TRANSPOR POLUTAN. April 14. Pollutan Transport

TRANSPOR POLUTAN April 14

Pollutan Transport

2

Transpor Polutan Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis Rerensi Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England

Transpor Polutan di Sungai 3

¨ 

Sungai tercemar polutan ¤  Sungai

Songhua, China, November 2005 ¤  Sungai Danube, Eropa, Oktober 2010

4

5

q More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005 §  http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm §  webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

6

Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010

7

8

q More stories on Danube River pollution in October 2010 §  http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540 §  webarchive file §  http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviethungary-sludge §  webarchive file

9

Transpor Polutan 10

¨ 

Mekanisme penyebaran polutan di sungai ¤  Difusi n  penyebaran

yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi n  bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi) ¤  Konveksi n  penyebaran

yang dipicu oleh aliran fluida (air)

11

12

13

14

Difusi 15

¨ 

Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.    qf = −k∇cf ¤  k

  ∂cf qf = −k ∂xi

   qf = −k grad cf

= konstanta = koefisien difusi = diffusivity

n  k

merupakan parameter karakteristika fluida (polutan) n  k bergantung pada temperatur dan tekanan

Difusi 16

¨ 

Sifat proses difusi ¤  tidak

dapat kembali (irreversible) ¤  mengakibatkan kehilangan/peredaman energi ¨ 

Contoh difusi ¤  difusi

massa ¤  difusi panas/thermal ¤  difusi momentum

Difusi 17

¨ 

Difusi massa à Fick’s law

¨ 

Difusi panas à Fourier’s law

qm,i

∂cf = −εm ∂xi

∂T qh,i = −ρ ah Cp ∂xi ¨ 

Difusi momentum à Newton’s law

qmt ,ij

∂Vi = −ρ ν ∂xj

(ρ C

p

= konstan)

( ρ = konstan)

Konveksi-Difusi 18

¨  ¨  ¨ 

Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh: ¤  ¤ 

beda konsentrasi (gradien) à difusi aliran à konveksi

 ∂c   + V ⋅ grad c = div ε m grad c   ∂t  

(

konveksi

)

difusi

Konveksi-Difusi 19

¨ 

¨ 

difusi murni

Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius ⎛ ∂2c ∂2c ∂2c ⎞ ∂c ∂uc ∂vc ∂wc + + + = ε m ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ← ε m konstan ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x Dalam medium air diam, tidak ada aliran, maka kecepatan nol, sehingga tidak ada konveksi

⎛ ∂2 c ∂2 c ∂2 c ⎞ ∂c = ε m ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ← ε m konstan ∂t ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y

Konveksi-Difusi (Turbulen) 20

kecepatan [m/s]

0.72

kecepatan rata-rata

0.68 0.64 0.60 0.56 0

50

100

150

200

waktu [detik]

§  Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen §  Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah §  Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula

u = u + u′

u′ u′

u

c = c + c′

v = v + v′ w = w + w′


q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

!!!!" ∂c !" !!!!" $ + V ⋅ grad c = div %(εm + εt ) grad c&' ∂t

§ 

Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada koefisien difusi molekuler, εt >> εm

§ 

Pada bahasan mengenai konveksi-difusi turbulen, difusi molekuler diabaikan


q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

§ 

dituliskan dalam koordinat cartesius

∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ + + + = ε + ε + ε ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎜⎝ tx ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ty ∂y ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ tz ∂z ⎟⎠

εm + εt ⇒ εt karena εt ≫ εm

23

Difusi Penyelesaian analitis persamaan difusi

Persamaan Difusi 24

q 

Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran) ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ # ∂c & ∂ # ∂c & ∂ # ∂c & + + + = %εm + εtx ( + %εm + εty ( + %εm + εtz ( ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x $ ∂x ' ∂y $ ∂y ' ∂z $ ∂z ' u=v=w=0

⇒

u = 0 ⇒ εtx = 0

v = 0 ⇒ εty = 0 w = 0 ⇒ εtz = 0

∂c ∂ # ∂c & ∂ # ∂c & ∂ # ∂c & = %ε ( + %ε ( + %ε ( ∂t ∂x $ m ∂x ' ∂y $ m ∂y ' ∂z $ m ∂z ' εm = konstan ⇒

∂c ∂2 c ∂2 c ∂2 c = εm + εm + εm 2 2 ∂t ∂x ∂y ∂z2

Difusi 1-Dimensi 25

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi ∂c ∂2 c = εm §  Difusi satu dimensi, arah x saja ∂t ∂x2 §  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c (±∞, t ) = 0

c ( x, 0) = M1 δ ( x)

•  M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)

M0 = M1 S

•  M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba •  S adalah luas permukaan

Difusi 1-Dimensi 26

•  δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0) +∞

∫ δ ( x) dx = 1 −∞

•  Ingat bahwa massa total M0 harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau +∞

+∞

+∞

∫ c ( x, t ) dx = ∫ c ( x, 0) dx = M1 ∫ δ ( x) dx = M1 −∞

−∞

−∞

Difusi 1-Dimensi 27

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:

$ x2 ' ) c ( x, t ) = exp &&− ) 4 π εm t % 4 εm t ( M1

§  Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M0 •  yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik •  menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x •  konsentrasi maksimum, yang berada di titik x = 0, berkurang seiring dengan waktu

Difusi 1-Dimensi 28

Difusi 1-Dimensi 29

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:

c ( x, t ) =

$ x2 ' ) exp &&− 2) 2π % 2 σx (

M1 σx

§  Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

W

2

σ x ( t ) = 2 εm t §  95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:

W = (2×1.96) σ x ≈ 4 σ x

0.95 −1.96

+1.96

Difusi 1-Dimensi 30

§  Koefisien difusi dapat dihitung dengan: 2 2 2 1 dσ x 1 σ x (t2 ) − σ x (t1) εm = = 2 dt 2 (t2 − t1)

•  Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi

dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t1 dan t2

Difusi 2-Dimensi 31

q 

Persamaan transpor difusi dua dimensi # ∂2 c ∂2 c & ∂c ( = εm %% + ( 2 2 ∂t $ ∂x ∂y '

§  Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c (±∞,±∞, t ) = 0

c ( x, y, 0) = M2 δ ( x, y )

Difusi 2-Dimensi 32


c ( x, y, t ) =

$ $ x2 ' 2 ' My y &− ) )+ exp &&− exp 2) & 2σ 2) 2π % 2 σx ( σy 2 π y ( %

Mx σx

§  Jika medium homogen, σx = σy = σ

c ( x, y, t ) =

$ x2 + y 2 & exp &− 2 2 2 σ &% 2π

(

M2

(

σx

)

) ') ) )(

σ 2 ( t ) = 2 εm t M2 = M0 L

Difusi 3-Dimensi 33

q 

Persamaan transpor difusi tiga dimensi # ∂2 c ∂2 c ∂2 c & ∂c ( = εm %% + + ( 2 2 2 ∂t $ ∂x ∂y ∂z '

§  Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c (±∞,±∞,±∞, t ) = 0

c ( x, y, z, 0) = M3 δ ( x, y, z )

Difusi 3-Dimensi 34


$ r2 ' ) c ( x, y, z, t ) = exp &&− 3 2) % 2σ ( σ 2π M3

(

)

r 2 = x2 + y 2 + z 2 M3 = M0

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 35

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D

c ( x, t ) =

$ x2 ' ) exp &&− 2) 2π % 2 σx (

M1 σx

§  Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source

0 * $ ' 2 x − 2Lp M1 2 x , ) + exp − c ( x, t ) = 1exp &&− , 2) 2 σx 2 π 2 2 σ % 2 σx ( x ,+ 3

(

)

2 -4

/2 /5 /.26

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 36

di dinding

c ( x, t ) =

$ L2 ' exp &− p ) & 2σ 2) 2π x ( %

2M1 σx

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 37

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M0 dimasukkan secara menerus (kontinu) di x = 0 c ( x, t ) =

$ x2 ' ) exp &&− 2) 2π % 2 σx (

M1 σx

§  Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c ( x = 0, t ≥ 0) = c0 c ( x = ±∞, t ≥ 0) = 0

c ( x > 0, t = 0) = 0


§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu

" x % ' c ( x, t ) = c0 erfc $ $ 4ε t ' # m & •  complementary error function

erfc (Y ) =

2 π

∞

∫ e−ξ dξ

Y

•  dapat dihitung dengan MSExcel: =ERFC(…)


40

Konveksi-Difusi Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi dalam regime turbulen


q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen ∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ + + + = εtx ⎟ + ⎜ εty ⎟ + ⎜ εtz ⎟ ⎜ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠

§ 

Koefisien difusi merupakan besaran tensorial •  koefisien difusi vertikal, εtz •  koefisien difusi transversal, εty •  koefisien difusi longitudinal, εtx

!" εt εtx ,εty ,εtz

(

)


§ 

§ 

z

Koefisien difusi vertikal

z εtz = κ u∗ ( h − z ) h

εtz U

h

εtz

Koefisien difusi vertikal rerata kedalaman aliran h

1 z εtz = ∫ κ u∗ ( h − z ) dz h0 h

εtz = 0.067 ( h u∗ ) kecepatan geser kedalaman aliran


Lz

Lz

h/2 U

U

h

h/2

ξ z = 0.1

Jarak Lz = ξ z U

h2 εtz

ξ z = 0.4

ditempuh dalam waktu t z = ξ z

h2 εtz

U kecepatan rerata kedalaman aliran


§ 

Koefisien difusi transversal

tepi, tebing

•  di flume

εty = 0.15 ( h u∗ )

U

B

•  di sungai

εty = 0.6 ( h u∗ )

tepi, tebing


Ly

Ly

B/2 U

U

B

B/2

ξy = 0.1

Jarak Ly = ξy U

B2 εty

ξy = 0.5

ditempuh dalam waktu t y = ξy

B2 εty

U kecepatan rerata kedalaman aliran


§ 

Koefisien difusi longitudinal, searah aliran

εtx = 0.23 ( h u∗ )

tepi, tebing

•  Difusi longitudinal (searah aliran) yang U = U + U! B U ditimbulkan oleh turbulensi aliran U U! umumnya diabaikan karena pengaruh dispersi lebih dominan. tepi, tebing •  Parameter dispersi adalah koefisien dispersi Kx. •  Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.

far-field zone of mixing

mid-field zone of mixing

near-field zone of mixing

47

Konveksi dan Difusi Transversal 48

q 


§ 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

•  • 

•  • 

aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0 sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen

difusi longitudinal diabaikan difusi vertikal telah dicapai, polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran


∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ + + + = ε + ε + ε ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎜⎝ tx ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ty ∂y ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ tz ∂z ⎟⎠ transpor permanen

v=w=0

difusi longitudinal diabaikan

∂uc ∂ # ∂c & ∂C ∂2 C = %εty ( ⇒ U = εty ∂x ∂y $ ∂y ' ∂x ∂y 2

difusi vertikal telah dicapai

U kecepatan aliran rerata kedalaman (depth-averaged velocity)

C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged karena polutan telah menyebar di seluruh kedalaman concentration) aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata kedalaman


§ 

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai lebar

$ y2 U ' ) Cu ( x, y ) = exp &&− ) h 4 π εty x U % 4 εty x ( G0

§ 

G0 = M0 t [kg/s] debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai berbatas N

C ( x, y ) = Cu ( x, y + y 0 ) + ∑ Cu ( x, 2nB ± y ± y 0 ) n=1

lokasi sumber polutan

51

Konveksi dan Difusi Longitudinal 52

q 


§ 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

• 

• 

aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0

difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran à polutan telah menyebar di tampang lintang aliran


∂c ∂uc ∂vc ∂wc ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ ∂ ⎛ ∂c ⎞ + + + = ε + ε + ε ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ⎜⎝ tx ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ty ∂y ⎟⎠ ∂z ⎜⎝ tz ∂z ⎟⎠ v=w=0

difusi transversal telah dicapai

difusi vertikal telah dicapai

∂c ∂uc ∂ # ∂c & ∂C ∂C ∂ + ∂C . + = %εtx ( ⇒ +U = - εtx + K*x 0 ∂t ∂x ∂x $ ∂x ' ∂t ∂x ∂x , ∂x /

(

)

karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata tampang

εtx + K"x = Kx


∂C ∂C ∂ $ ∂C ' ∂C ∂C ∂ + ∂C . +U = & εtx + K#x +U = - Kx 0 ) ⇒ ∂t ∂x ∂x % ∂x ( ∂t ∂x ∂x , ∂x /

(

)

§  Pada aliran permanen dan seragam, Kx konstan

∂C ∂C ∂2 C +U = Kx ∂t ∂x ∂x2

koefisien dispersi

persamaan dispersi longitudinal

§  berlaku setelah: •  difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai •  difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai

Dispersi Longitudinal 55

∂C ∂C ∂2 C +U = Kx ∂t ∂x ∂x2 Berlaku setelah Ly = ξy U

B2 εty

atau setelah t y = ξy

B2 εty

à di far-field mixing zone

§  Koefisien dispersi, Kx Kx = 6 ( h u∗ )

à saluran tampang segi-empat

B2U 2 Kx = 0.011 h u∗

à sungai

140 < Kx < 500

à  saluran atau sungai yang memiliki distribusi kecepatan aliran ke arah vertikal maupuan ke arah transversal


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba, maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah: 2& # x − U t M1 ( )( C ( x, t ) = exp %− % 4K t ( 4 π Kx t x $ '

Cmax (t ) =

M1 4 π Kx t

×1=

M1 = M0 S [kg/m2 ] luas tampang aliran

M1 4 π Kx x U

konsentrasi maksimum, bergerak dengan kecepatan U dan berkurang seiring dengan waktu t


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T •  dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil

ΔCi ( x, t ) =

mi S 4 π Kx (t − τ i )

n

C ( x, t ) = ∑ ΔCi ( x, t ) = i=1

2) % + &x − U (t − τ i )'( + exp *− . + 4 Kx (t − τ i ) + , /

mi S 4 π Kx

n

∑

i=1

mi

(t − τ i )

mi = ( M0 T ) Δτ

2. * & ( x − U t − τ , ' ( i )) ,/ exp +− , 4 Kx (t − τ i ) , 0


§  Jika polutan M0 dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu) secara konstan ( ! $ ! $+ !U x $ C0 * x + U t x − U t & + erfc # &C ( x, t ) = exp # & erfc # C0 konstanta # 4K t& # 4 K t &2 *) " Kx % " " x % x %, • 

Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t ! ∞ •  erfc(+∞) = 0 •  erfc(−∞) = 2

( 1 U ( x) > 0 ** C " U x% =) C0 * e xp $− ' U ( x) < 0 # Kx & *+

59

60

TRANSPOR POLUTAN. April 14. Pollutan Transport

Recommend Documents