TRANSLASI Definisi : Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu itu dapat diwakili oleh vektor translasi yaitu suatu pasangan
a bilangan terurut . b Perhatikan gambar di samping ! A A’ B B’ C C’ Akibatnya ABC kongruen dengan A’B’C’
Translasi Titik Perhatikan gambar di samping ! b a
Jika translasi T memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’) maka berlaku hubungan P(x, y)
a T b
P’(x’, y’) ≡ P’(x + a, y + b)
atau
x' x a x a y' y b y b
Contoh : 1.
2 Tentukan bayangan dari titik P(1, 4) oleh translasi T . 3 Jawab : P(1, 4)
2 T 3
x' 1 2 3 P’(3, 7) y' 4 3 7
Jadi, bayangannya adalah titik P’(3, 7). Translasi Bangun Datar Perhatikan gambar di samping ! Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya.
Contoh : 2.
Tentukan bayangan segitiga ABC, A(−1, −1), B(2, −4), dan C(−3, −1) oleh
2 translasi T . 3 Jawab : A(−1, −1)
B(2, −4)
C(−3, −1)
2 T 3
2 T 3
2 T 3
x' 1 2 1 y' 1 3 2
A’(1, 2)
x' 2 2 4 y ' 4 3 1
B’(4, −1)
x' 3 2 1 y' 1 3 2
C’(−1, 2)
Jadi, bayangannya adalah segitiga A’B’C’ dengan A’(1, 2), B’(4, −1), dan C’(−1, 2).
Translasi Kurva Suatu kurva merupakan himpunan titik yang tersusun dengan pola tertentu. Mentranslasikan kurva berarti mentranslasikan semua titik pada kurva. Perhatikan gambar di samping ! Ambilah titik P(x, y) pada kurva, translasikan
a sejauh , maka b
x a x' y b y'
x x' a x'a sehingga y y' b y'b Dengan demikian semua x pada kurva memiliki peta x' − a dan semua y pada kurva memiliki peta y' − b. Contoh : 3.
Carilah persamaan peta (bayangan) dari garis g: 2x + 3y − 3 = 0 oleh translasi
1 T . 2 Jawab : x 1 x' x x' 1 x'1 y 2 y' y y' 2 y'2 g: 2x + 3y − 3 = 0
1 T 2
g’: 2(x’ + 1) + 3(y’ – 2) − 3 = 0 g’: 2x’ + 2 + 3y’ – 6 − 3 = 0 g’: 2x’ + 3y’ – 7 = 0
Jadi, bayangan garis g: 2x + 3y − 3 = 0 adalah g’: 2x + 3y – 7 = 0
Kerjakan soal berikut sebagai latihan !
1.
2 Tentukan bayangan titik M(5, 7) oleh translasi T . 4
2.
Tentukan nilai a dan b
3.
4.
a jika titik K(3, −5) ditranslasikan oleh T b menghasilkan bayangan K'(−4, 1).
1 Jika titik F(x, y) ditranslasikan oleh T menghasilkan bayangan F'(2, −6), 3 maka tentukan nilai x − 2y. Tentukan vektor translasi yang memetakan bayangan titik N(−2, 3) menjadi titik N'(1, 8).
5.
Tentukan bayangan segiempat ABCD dengan A(3, −2), B(3, 4), C(−2, 3), dan
4 D(−3, −1) oleh translasi T . 1 6.
Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(1, 2), Q(1, 5), dan R(5, 5) oleh
1 translasi T . Tentukan pula keliling dan luas bayangannya. 3
7.
1 Tentukan persamaan bayangan garis g : y = 2x − 5 oleh translasi T . 2
8.
3 Tentukan persamaan bayangan parabola P : y x 2 2 x 3 oleh translasi T . 4
REFLEKSI Definisi : Refleksi atau pencerminan adalah suaatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan itu. Pada pencerminan, bayangan suatu bangun diperoleh dengan cara:. Menentukan suatu garis sebagai cermin sekaligus sebagai sumbu cermin. Membuat garis-garis pencerminan dari titik-titik pada benda yang akan dicerminkan. Jarak titik ke cermin sama dengan jarak cermin ke bayangan titik tersebut. Refleksi Terhadap Sumbu X Refleksi terhadap sumbu X identik dengan refleksi terhadap garis y = 0. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke sumbu X, maka : P(x, y)
M y 0
P’(x’, y’) ≡ P’(x, −y)
atau :
x' x y' y
x' 1x 0 y y ' 0 x 1y
x' 1 0 x y ' 0 1 y
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap sumbu X. dimana 0 1 Contoh : 1. Titik P(−5 , 7) dicerminkan ke sumbu X. Tentukan bayangannya. Jawab : x' 1 0 5 5 P’(−5, −7) y ' 0 1 7 7 Jadi, bayangannya adalah titik P’(−5, −7). Refleksi Terhadap Sumbu Y Refleksi terhadap sumbu Y identik dengan refleksi terhadap garis x = 0. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke sumbu Y, maka : P(x, y) atau :
M x 0
P’(x’, y’) ≡ P’(−x, y)
x' x y' y
x' 1x 0 y y' 0 x 1y
x' 1 0 x y' 0 1 y
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap sumbu Y. dimana 0 1 Contoh : 2.
Segitiga ABC dengan A(2, −3), B(−5, 2), dan C(5, 7) dicerminkan ke sumbu Y. Tentukan bayangannya. Jawab :
1 0 2 5 5 2 5 5 = A’B’C’ : 0 1 3 2 7 3 2 7 Jadi, bayangannya adalah titik A’(−2, −3), B’(5, 2), dan C’(−5, 7). Refleksi Terhadap Pusat Koordinat Refleksi terhadap pusat koordinat identik dengan refleksi terhadap sumbu Y yang dilanjutkan refleksi terhadap sumbu X. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke pusat koordinat, maka : P(x, y)
MO
P’(x’, y’) ≡ P’(−x, −y)
atau :
x' x y' y
x' 1x 0 y y ' 0 x 1y
x' 1 0 x y ' 0 1 y
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap pusat koordinat. dimana 0 1 Contoh : 3.
Diketahui parabola P: y x 2 x 6 Jika P dicerminkan ke pusat koordinat, maka tentukan persamaan P'. Jawab :
1 0 x x' x x' x x' 0 1 y y' y y' y y' P: y x 2 x 6
MO
P’: ( y' ) ( x' ) 2 ( x' ) 6 P’: y' x' 2 x'6
P’: y' x' 2 x'6
Jadi, bayangan garis P: y x 2 x 6 adalah P’: y x 2 x 6 .
Refleksi Terhadap Garis y = x. Pencerminan titik P(x, y) ke garis y = x diperoleh bayangan sebagai berikut: P(x, y)
M yx
P’(x’, y’) ≡ P’(y, x)
atau :
x' y y' x
x' 0 x 1y y' 1x 0 y
x' 0 1 x y' 1 0 y
0 1 adalah matriks transformasi refleksi terhadap garis y = x. dimana 1 0 Refleksi Terhadap Garis y = −x. Pencerminan titik P(x, y) ke garis y = −x diperoleh bayangan sebagai berikut: M y x
P(x, y)
P’(x’, y’) ≡ P’(−y, −x)
atau :
x' y y' x
x' 0 x 1y y' 1x 0 y
x' 0 1 x y' 1 0 y
0 1 adalah matriks transformasi refleksi terhadap garis y = −x. dimana 1 0 Matriks-matriks Refleksi
1 0 0 1
Pencerminan terhadap sumbu X
:
Pencerminan terhadap sumbu Y
1 0 : 0 1
Pencerminan terhadap titik O
1 0 : 0 1
Pencerminan terhadap garis y = x
0 1 : 1 0
0 1 Pencerminan terhadap garis y = −x : 1 0
Kerjakan soal berikut dengan menggunakan matrik transformasi sebagai latihan ! 1.
Tentukan bayangan titik A(3, 5) oleh refleksi terhadap pusat koordinat.
2.
Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(1, 4), Q(1, 8), dan R(−5, 8) oleh refleksi terhadap sumbu X.
3.
Tentukan persamaan bayangan garis g : 3x 4 y 15 0 oleh refleksi terhadap garis y = −x.
4.
Tentukan persamaan bayangan parabola P : y x 2 2 x 3 oleh refleksi terhadap garis y = x.
5.
Tentukan persamaan bayangan lingkaran refleksi terhadap sumbu Y.
L : ( x 1) 2 ( y 3) 2 16
oleh
REFLEKSI (LANJUTAN) Refleksi Terhadap Garis x = h Refleksi terhadap garis x = h merupakan refleksi terhadap sumbu Y yang cerminnya digeser sejauh h satuan ke kanan/kiri dan 0 satuan ke atas/bawah. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke garis x = h, maka : P(x, y)
M xh
P’(x’, y’) ≡ P’(2h − x, y)
atau :
x ' 2h x y' y
x' (1( x h) 0( y 0)) h y' (0( x h) 1( y 0)) 0
x' 1 0 x h h y' 0 1 y 0 0
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap sumbu Y. dimana 0 1 Contoh : 1. Titik P(5 , 3) dicerminkan ke garis x = 2. Tentukan bayangannya. Jawab : x' 1 0 5 2 2 3 2 1 P’(−1, 3) y' 0 1 3 0 0 3 0 3 Jadi, bayangannya adalah titik P’(−1, 3). Refleksi Terhadap Garis y = k Refleksi terhadap garis y = k merupakan refleksi terhadap sumbu X yang cerminnya digeser sejauh 0 satuan ke kanan/kiri dan k satuan ke atas/bawah. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke garis y = k, maka : P(x, y)
M y k
P’(x’, y’) ≡ P’(x, 2k − y)
atau :
x' x y ' 2k y
x' (1( x 0) 0( y k )) h y' (0( x 0) 1( y k )) 0
x' 1 0 x 0 0 y' 0 1 y k k
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap sumbu X. dimana 0 1
Contoh : 2.
Segitiga ABC dengan A(4, 1), B(3, 2), dan C(5, 3) dicerminkan ke garis y = 4. Tentukan bayangannya. Jawab :
1 0 (4 0) (3 0) (5 0) 0 0 0 A’B’C’ : 0 1 (1 4) (2 4) (3 4) 4 4 4 3 5 0 0 0 1 0 4 = 0 1 3 2 1 4 4 4 4 3 5 0 0 0 4 3 5 = = 3 2 1 4 4 4 7 6 5 Jadi, bayangannya adalah titik A’(4, 7), B’(3, 6), dan C’(5, 5). Refleksi Terhadap Titik (h, k) Refleksi terhadap titik (h, k) merupakan refleksi terhadap pusat koordinat yang cerminnya digeser sejauh h satuan ke kanan/kiri dan k satuan ke atas/bawah. Suatu titik P(x, y) bila direfleksikan ke titik (h, k), maka : P(x, y)
M ( h,k )
P’(x’, y’) ≡ P’(2h − x, 2k − y)
atau :
x ' 2h x y ' 2k y
x' (1( x h) 0( y k )) h y' (0( x h) 1( y k )) k
x' 1 0 x h h y' 0 1 y k k
1 0 adalah matriks transformasi refleksi terhadap pusat koordinat. dimana 0 1 Kerjakan soal berikut dengan menggunakan matrik transformasi sebagai latihan ! 1.
Tentukan bayangan titik P(4, −5) oleh refleksi terhadap garis y = −1.
2.
Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A(2, 3), B(−1, 1), dan C(5, −4) oleh refleksi terhadap titik (1, 2).
3.
Tentukan persamaan bayangan garis g : 3x 4 y 15 0 oleh refleksi terhadap garis x = 1.
ROTASI Definisi : Rotasi atau perputaran adalah perpindahan objek oleh suatu perpindahan berdasarkan sudut putar terhadap titik tertentu dalam arah tertentu pula. Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh : titik pusat rotasi besar sudut rotasi arah pemutaran jika rotasi berlawanan arah putar jarum jam, maka rotasi itu dikatakan mempunyai arah positif, sebaliknya jika rotasi searah dengan jarum jam, maka rotasi itu dikatakan mempunyai arah negatif. Rotasi Terhadap O (Pusat Koordinat) sebesar α Rotasi titik P(x, y) terhadap O sebesar α diperoleh bayangan sebagai berikut: P(x, y)
R[ O , ]
P’(x’, y’)
dengan :
x' cos y' sin
sin x cos y
cos sin adalah matriks transformasi rotasi terhadap O sebesar α. dimana sin cos Contoh : 1. Tentukan bayangan titik P(2, −4) oleh rotasi terhadap O sebesar 60º. Jawab :
x' cos 60 sin 60 2 12 12 3 2 1 2 3 1 1 4 3 2 y' sin 60 cos 60 4 2 3 2 Jadi, bayangannya adalah titik P’( 1 2 3 , 2 3 ). 2.
Tentukan persamaan bayangan garis g : 2 x 3 y 10 oleh rotasi terhadap O sebesar 90º. Jawab :
x' cos 90 sin 90 x 0 1 x y y x' y' sin 90 cos 90 y 1 0 y x x y'
g : 2 x 3 y 10
R[ O , ]
g ': 2( y' ) 3( x' ) 10 g ': 3x' 2 y' 10 g ': 3x' 2 y' 10
Jadi, persamaan bayangannya adalah garis g ': 3x 2 y 10 Rotasi Terhadap titik (h, k) sebesar α Rotasi titik P(x, y) terhadap titik (h, k) sebesar α diperoleh bayangan sebagai berikut: P(x, y)
R[( h , k ), ]
P’(x’, y’)
dengan :
x' cos y' sin
sin x h h cos y k k
cos sin adalah matriks transformasi rotasi terhadap O sebesar α. dimana sin cos Contoh : 3. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A(2, 2), B(5, 2), dan C(5, 6) oleh rotasi terhadap titik (1, 2) sebesar 180º. Jawab : x' cos 180 sin180 2 1 1 1 0 1 1 0 Titik A: y' sin180 cos 180 2 2 2 0 1 0 2 2 x' cos 180 sin180 5 1 1 1 0 4 1 3 Titik B: y' sin180 cos 180 2 2 2 0 1 0 2 2 x' cos 180 sin180 5 1 1 1 0 4 1 3 Titik C: y' sin180 cos 180 6 2 2 0 1 4 2 2 Jadi, bayangannya adalah titik A’(0, 2), B’(−3, 2), dan C’(−3, −2). Kerjakan soal berikut dengan menggunakan matrik transformasi sebagai latihan ! 1.
Tentukan bayangan titik P(4, −6) oleh rotasi terhadap titik O sebesar 30º.
2.
Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A(1, 3), B(−1, 2), dan C(5, −2) oleh rotasi terhadap titik (4, 2) sebesar 270º.
3.
Tentukan persamaan bayangan parabola P : y x 2 4 x 5 oleh rotasi terhadap titik O sebesar 90º.
DILATASI Definisi : Dilatasi adalah suatu transformasi di mana panjang sisi dan luas gambar diperbesar atau diperkecil dari suatu titik tertentu, tetapi bentuk dan ukuran sudut-sudutnya tidak berubah. Luas bayangan dari suatu objek yang didilatasikan dengan skala n, luasnya akan menjadi n2 kali luas semula. Jika n > 0, maka perubahan searah dengan garis dilatasinya. Jika n < 0, maka perubahan berlawanan arah dengan garis dilatasinya. Untuk n > 1 atau n < −1, maka transformasinya adalah perbesaran (zoom in), sedangkan untuk −1 < n < 1, maka transformasinya adalah pengecilan (zoom out). Dilatasi Terhadap O (Pusat Koordinat) dengan skala n Dilatasi titik P(x, y) terhadap O dengan skala n diperoleh bayangan sebagai berikut: P(x, y)
D[ O , n ]
P’(x’, y’)
dengan :
x' n 0 x y ' 0 n y n 0 adalah matriks transformasi dilatasi terhadap O dengan skala n. dimana 0 n Contoh : 1. Tentukan bayangan segitiga A(1, 1), B(3, 1), dan C(1, 3) oleh dilatasi terhadap O dengan skala 3. Jawab : 3 0 1 3 1 3 9 3 A’(3, 3), B’(9, 3), C’(3, 9) A' B' C' : 0 3 1 1 3 3 3 9 Jadi, bayangannya adalah titik A’(3, 3), B’(9, 3), C’(3, 9). 2.
Tentukan persamaan bayangan lingkaran L : x 2 y 2 16 oleh dilatasi terhadap O dengan skala
1 2
.
Jawab :
x 2 x' x' 12 0 x 12 x 1 1 y 2 y' y ' 0 2 y 2 y
L : x2 y2 9
D[ O , 1 ] 2
L': (2 x' ) 2 (2 y' ) 2 16 L': 4 x' 2 4 y' 2 16 L': x' 2 y' 2 4
Jadi, persamaan bayangannya adalah garis L': x 2 y 2 4 Dilatasi Terhadap titik (h, k) dengan skala n Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik (h, k) dengan skala n diperoleh bayangan sebagai berikut: P(x, y)
D[( h , k ),n ]
P’(x’, y’)
dengan :
x' n 0 x h h y' 0 n y k k
n 0 adalah matriks transformasi dilatasi terhadap O dengan skala n. dimana 0 n Contoh : 3. Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A(3, 2), B(5, 2), dan C(3, 4) oleh dilatasi terhadap titik (1, 1) dengan skala 2. Jawab : x' 2 0 3 1 1 2 0 2 1 4 1 5 Titik A: y' 0 2 2 1 1 0 2 1 1 2 1 3 x' 2 0 5 1 1 2 0 4 1 8 1 9 Titik B: y' 0 2 2 1 1 0 2 1 1 2 1 3 x' 2 0 3 1 1 2 0 2 1 4 1 5 Titik C: y' 0 2 4 1 1 0 2 3 1 6 1 7 Jadi, bayangannya adalah titik A’(5, 3), B’(9, 3), dan C’(5, 7). Kerjakan soal berikut dengan menggunakan matrik transformasi sebagai latihan ! 1.
Tentukan bayangan segitiga ABC dengan A(1, 3), B(−1, 2), dan C(5, −2) oleh dilatasi terhadap titik (4, 2) dengan skala −3. Tentukan luas semula dan luas bayangannya.
2.
Tentukan persamaan bayangan lingkaran L : x 2 y 2 9 oleh dilatasi terhadap titik O dengan skala 2.
KOMPOSISI TRANSFORMASI Definisi : Misalkan T1 adalah suatu transformasi yang memetakan titik A(x , y) ke titik A'(x' , y'). Kemudian oleh transformasi T 2, titik A'(x', y') dipetakan ke titik A"(x", y"). Transformasi T1 yang dilanjutkan dengan T2 dapat ditulis: T2 ◦ T1 A(x, y) A"(x", y") dan dinamakan komposisi transformasi.
a b e dan T2 Jika T1 c d g e T = T2 ◦ T1 = g
f h
f , maka transformasi T1 yang dilanjutkan T2 adalah h
a b . c d
Komposisi Dua Translasi Komposisi dua translasi adalah suatu translasi T 1 kemudian dilanjutkan dengan translasi T2. Komposisi dua translasi T1 kemudian dilanjutkan dengan translasi T 2 dapat dituliskan T2 ◦ T1 dan dapat dinyatakan sebagai satu translasi tunggal T yang mewakilinya.
a a a a T = T2 ◦ T1 = 2 1 = 2 1 . b2 b1 b2 b1 Contoh : 1.
3 Titik A(3, −2) ditranslasikan oleh T 1 dilanjutkan dengan translasi T2 2 Tentukan bayangannya. Jawab :
4 . 1
4 3 1 x' 3 1 4 T = T2 ◦ T1 = P’(4, −1) 1 2 1 y' 2 1 1 Jadi, bayangannya adalah titik P’(4, −1). Komposisi Translasi dan Refleksi Komposisi translasi dan refleksi tidak memiliki satu wakil transformasi, karenanya dalam pengerjaan dilakukan terpisah.
Contoh : 2.
3 Titik P(−2, 4) ditranslasikan oleh T dan dilanjutkan dengan pencerminan 2 terhadap sumbu Y. Tentukan bayangannya. Jawab :
3 x' 2 3 1 Translasi T : P’(1, 2) 2 y' 4 2 2 x' ' 1 0 1 1 P’’(−1, 2) Pencerminan terhadap sumbu Y : y ' ' 0 1 2 2 Jadi, bayangannya adalah titik P’’(−1, 2).
Komposisi Translasi dan Rotasi Komposisi translasi dan rotasi tidak memiliki satu wakil transformasi, karenanya dalam pengerjaan dilakukan terpisah. Komposisi Translasi dan Dilatasi Komposisi translasi dan dilatasi tidak memiliki satu wakil transformasi, karenanya dalam pengerjaan dilakukan terpisah. Komposisi Dua Refleksi Komposisi dua refleksi yang memiliki matriks transformasi dapat ditentukan matriks T sebagai satu wakil transformasinya. Contoh : 3.
Tentukan persamaan bayangan garis g : y = 3x − 4 oleh refleksi terhadap garis y = x dan dilanjutkan refleksi terhadap sumbu Y. Jawab :
1 0 0 1 0 1 = M = Mx=0 ◦ My=x = 0 1 1 0 1 0
x y' x' y x' 0 1 x y y ' 1 0 y x y ' x y x' g' : (−x’) = 3(y’) – 4 x’ + 3y’ – 4 = 0 Jadi, persamaan bayangannya g’ : x + 3y – 4 = 0
Komposisi Refleksi dan Rotasi Komposisi refleksi dan rotasi yang memiliki matriks transformasi dapat ditentukan matriks T sebagai satu wakil transformasinya. Komposisi Refleksi dan Dilatasi Komposisi refleksi dan dilatasi yang memiliki matriks transformasi dapat ditentukan matriks T sebagai satu wakil transformasinya. Komposisi Dua Rotasi Komposisi dua rotasi, R[O, ] dan R[O, ], dapat ditentukan matriks R sebagai satu wakil transformasinya, di mana R = R[O, + ]. Contoh : 4.
Suatu titik P(6, −8) diputar 10 dengan pusat O kemudian diputar lagi 20 dengan pusat O. Tentukan koordinat bayangan P tersebut. Jawab :
cos 30 sin 30 12 3 = R = R[O, 10 + 20] = R[O, 30] = 1 sin 30 cos 30 2
x ' 12 3 = 1 y ' 2
12 1 3 2
12 3
1 2
6 4 3 3 = 8 3 4 3
Jadi, bayangannya adalah titik P’( 4 3 3 , 3 4 3 ). Komposisi Rotasi dan Dilatasi Komposisi rotasi dan dilatasi yang memiliki matriks transformasi dapat ditentukan matriks T sebagai satu wakil transformasinya. Komposisi Dua Dilatasi Komposisi dua dilatasi, D[O, n] dan D[O, m], dapat ditentukan matriks D[O, n.m] sebagai satu wakil transformasinya.
Transformasi Bebas
a b adalah Suatu transformasi yang matriks transformasinya dinyatakan T c d transformasi bebas. Bangun yang mendapatkan transformasi ini, bayangannya bisa berbeda bentuk dan luasnya dari bangun sebelumnya. Luas Bayangan Hasil Transformasi Suatu bangun datar yang luasnya L kemudian ditransformasikan sesuai dengan matriks
a b maka luas bayangannya : T c d L' det(T ) L
a b L (ad bc) L c d
Kerjakan soal berikut dengan menggunakan komposisi transformasi (jika ada) !
1.
1 Tentukan bayangan titik A(3, 4) oleh translasi T , kemudian dilanjutkan 2 dengan refleksi terhadap pusat koordinat O.
2.
Tentukan bayangan titik K(−2, 1) oleh refleksi terhadap sumbu Y, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x.
3.
Tentukan bayangan segitiga PQR dengan P(1, 1), Q(1, 4), dan R(4, 4) oleh refleksi terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan dengan rotasi terhadap pusat koordinat sebesar 90.
4.
Tentukan persamaan bayangan garis g : x 2 y 4 0 oleh rotasi terhadap pusat koordinat O sebesar 30, kemudian dilanjutkan dengan rotasi terhadap pusat koordinat O sebesar 60.
5.
Tentukan persamaan bayangan parabola P : y x 2 3x 4 oleh refleksi terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan dengan dilatasi terhadap pusat koordinat O dengan skala 2. -o0o-
