Topologie. 18. května Motivace Topologický prostor Spojitá zobrazení Podprostory, součiny Axiomy oddělitelnosti 6

Topologie Lukáˇs Vokˇr´ınek 18. kvˇetna 2013

Obsah 1. Motivace

1

2. Topologick´ y prostor

1

3. Spojit´ a zobrazen´ı

3

4. Podprostory, souˇciny

5

5. Axiomy oddˇelitelnosti

6

6. Kompaktn´ı prostory

8

7. Souvislost

12

8. Lokálnˇe kompaktn´ı prostory

16

9. Reálné funkce

17

10. Homotopie, fundament´ aln´ı grupa, nakryt´ı

20

11. Simplici´ aln´ı komplexy, Brouwerova vˇeta, invariance dimenze

26

12. Kompaktnˇe generované Hausdorffovy prostory

31

13. Algebry spojit´ ych funkc´ı

33

14. Topologické grupy, Pontryaginova dualita

35

15. Parakompaktn´ı prostory

38

i

´ Uvod Tento text vznikl seps´ an´ım m´ ych pˇr´ıprav pˇrednáˇsek a cviˇcen´ı k pˇredmˇetu Topologie“. Jako ” v´ ychoz´ı text jsem pouˇz´ıval své z´ apisky, které jsem poˇr´ıdil kdyˇz pˇredmˇet vyuˇcoval prof. Rosick´ y. Ten vycházel z Pultrovy knihy Podprostory euklidovsk´ ych prostor˚ u“. Nˇekteré ˇcásti jsem ” rozˇs´ıˇril ˇci doplnil, ˇcerpal jsem pˇredevˇs´ım z Bredonovy knihy Geometry and topology“. To se ” t´ yká také kapitol, které jsem pˇridal. V textu jsou pˇr´ıklady, které jsme dˇelali ve cviˇcen´ıch oznaˇceny cv“; nesepisoval jsem k ” nim vzorov´ a ˇreˇsen´ı. Pˇr´ıklady oznaˇcené d´ u“ jsem nechal za domác´ı u ´kol. ” ˇ asti textu oznaˇcené ∗“ jsou technicky nároˇcnˇejˇs´ı pasáˇze, které jsem nˇekdy ani neprob´ıral C´ ” ˇ asti oznaˇcené ∗∗“ povaˇzuji za zbyteˇcnˇe na pˇrednáˇsce, ale na které se mohu ptát u zkouˇsky. C´ ” ˇ tˇeˇzké nebo speci´ aln´ı a pt´ at se na nˇe nebudu. Cásti oznaˇcené jako nd“ jsme nedˇelali, ale mám ” v plánu je v budoucnu prob´ırat.

ii

1. Motivace Topologie se zab´ yv´ a topologick´ ymi prostory“ – to jsou zhruba metrické prostory, akorát za” pomeneme na konkrétn´ı vzd´ alenosti mezi body a zapamatujeme si pouze, které body jsou ” ´ redn´ım pojmem je pak spojitosti, konkrétnˇeji spojité zobrazen´ı. Ve v´ bl´ızko“. Ustˇ ysledku to znamená, ˇze ˇctverec je totéˇz“ co kruˇznice (narozd´ıl od geometrie). To je proto, ˇze existuj´ı ” spojitá vz´ ajemnˇe inverzn´ı zobrazen´ı mezi ˇctvercem a kruˇznic´ı – dohromady zadávaj´ı izomorfismus. Existuj´ı i jiné druhy prostor˚ u – zaloˇzené na jin´ ych typech zobrazen´ı. Jedná se napˇr´ıklad o metrické prostory – diferencovatelné variety – algebraické variety – PL (po ˇc´ astech line´ arn´ı) variety – polyedry –

izometrie diferencovatelná zobrazen´ı polynomiáln´ı zobrazen´ı po ˇcástech lineárn´ı zobrazen´ı afinn´ı zobrazen´ı

V negeometriˇcnosti (ˇctverec = kruˇznice) jde jeˇstˇe znaˇcnˇe dál algebraická topologie, kter´ a prohlás´ı za stejné prostory i Rn a prostor sestávaj´ıc´ı se z jediného bodu, nebot’ Rn lze spojitˇe ” zdeformovat“ do bodu.

2. Topologick´ y prostor V metrickém prostoru M definujeme otevˇrenou kouli okolo x o polomˇeru ε > 0 jako Bε (x) = {y ∈ M | dist(x, y) < ε}. ˇ Rekneme, ˇze podmnoˇzina U ⊆ M je otevˇren´ a, jestliˇze pro kaˇzdé x ∈ U existuje ε > 0 tak, ˇze Bε (x) ⊆ U . Zkr´ acenˇe ˇr´ık´ ame, ˇze U obsahuje s kaˇzd´ ym bodem i nˇejaké jeho okol´ı. Definice 2.1. Topologie na mnoˇzinˇe X je systém podmnoˇzin X ⊆ P(X) splˇ nuj´ıc´ı následuj´ıc´ı podm´ınky (1) ∅, X ∈ X , S (2) Ui ∈ X , i ∈ I ⇒ i∈I Ui ∈ X , T (3) Ui ∈ X , i ∈ I, I koneˇcn´ a ⇒ i∈I Ui ∈ X . Topologický prostor je mnoˇzina X spoleˇcnˇe s topologi´ı X na X. Prvky X naz´ yváme oteˇrené podmnoˇziny X. Pozn´ amka. Podm´ınka (0) plyne ze zbyl´ ych dvou, ∅ je totiˇz sjednocen´ım prázdného systému podmnoˇzin a X pr˚ unik pr´ azdného systému. Pˇ r´ıklady 2.2. 1. metrické prostory (podrobnˇeji to dokáˇzeme ˇcasem), 2. pro libovolnou mnoˇzinu X definujeme diskrétn´ı topologii na X jako X = P(X) (vˇse je otevˇrené, je zad´ ana metrikou dist(x, y) = 1), 3. pro libovolnou mnoˇzinu X definujeme trivi´ aln´ı topologii na X jako X = {∅, X} ( nic“ ” nen´ı otevˇrené, je zad´ ana pseudometrikou dist(x, y) = 0), 4. pro libovolnou mnoˇzinu X definujeme topologii koneˇcných doplˇ nk˚ u na X jako X = {U ⊆ X | X r U koneˇcná} ∪ {∅}, 1

d´ u1

5. je-li X libovoln´ a (pˇred)uspoˇr´ adaná mnoˇzina, je X = {U ⊆ X | U splˇ nuje ∀x ∈ U ∀y ≤ x : y ∈ U } topologie. Naopak, je-li X libovolná topologie splˇ nuj´ıc´ı (2) i pro nekoneˇcné indexové mnoˇziny I, pak na X existuje pˇreduspoˇrádán´ı zadávaj´ıc´ı tuto topologii. Pokus´ıme se nyn´ı dok´ azat, ˇze otevˇrené mnoˇziny zadané metrikou opravdu definuj´ı topologii. K tomu se n´ am bude hodit n´ asleduj´ıc´ı pojem. Definice 2.3. Systém mnoˇzin S ⊆ P(X) se naz´ yvá subb´ aze topologie X , jestliˇze X je nejmenˇs´ı topologie obsahuj´ıc´ı S. Systém mnoˇzin B ⊆ P(X) se naz´ yvá b´ aze topologie X , jestliˇze X jsou právˇe vˇsechna sjednocen´ı prvk˚ u S. Jin´ ymi slovy, X = {A ⊆ X | ∀x ∈ A ∃U ∈ B : x ∈ U ⊆ A} (protoˇze pak A =

S

{U ∈ B | U ⊆ A}).

Lemma 2.4. Plat´ı, ˇze B je b´ aze nˇejaké (podle definice vˇsak jediné), pr´ avˇe kdyˇz plat´ı n´ asleduj´ıc´ı podm´ınky S 1. X = B a 2. pro kaˇzdé U, V ∈ B a x ∈ U ∩ V existuje W ∈ B tak, ˇze x ∈ W ⊆ U ∩ V . cv

Dokaˇzte pˇredchoz´ı lemma.

cv Pˇ r´ıklad 2.5. Necht’ M je metrick´ y prostor. Potom systém koul´ı B = {Bε (x) | x ∈ M , ε > 0} je báz´ı topologie. (Prvnˇe dokaˇzte, ˇze je báz´ı nˇejaké topologie, pak ji identifikujte jako kanonickou topologii na metrickém prostoru.) Je-li nyn´ı S ⊆ P(X) libovoln´ y systém podmnoˇzin, splˇ nuje B = {koneˇcné pr˚ uniky prvk˚ u S} podm´ınky lemmatu a proto je topologie generovaná S právˇe X = {sjednocen´ı koneˇcn´ ych pr˚ unik˚ u prvk˚ u S}. Definice 2.6. Podmnoˇzina F ⊆ X se naz´ yvá uzavˇren´ a, jestliˇze X r F je otevˇrená. Napˇr´ıklad v prostoru koneˇcn´ ych doplˇ nk˚ u jsou uzavˇrené právˇe koneˇcné mnoˇziny a X. Pro X = C lze ekvivalentnˇe uzavˇrené mnoˇziny popsat jako nulové mnoˇziny polynom˚ u – tento pˇr´ıklad má zobecnˇen´ı do Cn , viz algebraická geometrie. Pozn´ amka. Pro uzavˇrené mnoˇziny plat´ı duáln´ı“ axiomy k axiom˚ um topologie. Ekvivalentnˇe ” je moˇzné topologii zadat systémem uzavˇren´ ych mnoˇzin, které splˇ nuj´ı tyto axiomy. Definice 2.7. Uz´ avˇer A podmnoˇziny A ⊆ X je nejmenˇs´ı uzavˇrená podmnoˇzina obsahuj´ıc´ı A, tj. \ A= F. A⊆F uz.

cv Pˇ r´ıklad 2.8. Dokaˇzte n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti uzávˇeru 1. ∅ = ∅, 2. A ∪ B = A ∪ B, 2

3. A ⊆ A, 4. A = A. Dále ukaˇzte, ˇze obecnˇe neplat´ı A ∩ B = A ∩ B. Pomoc´ı uz´ avˇeru (nebo lépe ˇreˇceno uzávˇerového operátoru) lze topologii zrekonstruovat následovnˇe: podmnoˇzina A ⊆ X je uzavˇrená, právˇe kdyˇz A = A. Pozn´ amka. Plat´ı, ˇze topologii lze ekvivalentnˇe zadat uzávˇerov´ ym operátorem (tj. operátorem P(X) → P(X) splˇ nuj´ıc´ım axiomy (1)–(4)). Lemma 2.9. Plat´ı A = {x ∈ X | ∀U otevˇren´ a, x ∈ U : A ∩ U 6= ∅}. O bodech z pravé strany mluv´ıme jako o limitn´ıch bodech A (a nepotˇrebujeme k tomu ˇr´ıct, co je to limita posloupnosti). D˚ ukaz. Plat´ı x ∈ / A, pr´ avˇe kdyˇz existuje uzavˇrená F ⊇ A, neobsahuj´ıc´ı x. Pˇrej´ıt´ım k doplˇ nk˚ um to je, právˇe kdyˇz existuje otevˇren´ a U = X r F , A ∩ U = ∅ a obsahuj´ıc´ı x. To je ale pˇresnˇe x∈ / RHS. Definice 2.10. Du´ alnˇe“ definujeme vnitˇrek A jako nejvˇetˇs´ı otevˇrenou mnoˇzinu obsaˇzenou ” v A, tj. [ ˚= A U. A⊇U ot.

ˇ ıkáme, ˇze vnitˇrn´ı body A jsou ty, které se do A vejdou i s nˇejak´ R´ ym sv´ ym okol´ım. Pˇresnˇeji okol´ı definujeme pozdˇeji.

3. Spojit´ a zobrazen´ı Definice 3.1. Zobrazen´ı f : X → Y mezi dvˇema topologick´ ymi prostory se naz´ yvá spojité, jestliˇze pro pro kaˇzdou otevˇrenou U ⊆ Y je také f −1 (U ) ⊆ X otevˇrená. cv Cviˇ cen´ı 3.2. 1. Spojitost staˇc´ı ovˇeˇrit pro U z nˇejaké (libovolné) subbáze topologie na Y . 2. Zobrazen´ı f je spojité, pr´ avˇe kdyˇz vzor kaˇzdé uzavˇrené mnoˇziny je uzavˇren´ y. konec 1. pˇrednáˇsky Definice 3.3. Podmnoˇzina N ⊆ X se naz´ yvá okol´ım bodu x ∈ X, jestliˇze existuje otevˇren´ a mnoˇzina U s vlastnost´ı x ∈ U ⊆ N . Zejména otevˇrené okol´ı bodu x je to samé, co otevˇrená mnoˇzina obsahuj´ıc´ı x. Pomoc´ı okol´ı se daj´ı charakterizovat otevˇrené mnoˇziny jako ty, které jsou okol´ımi vˇsech sv´ ych bod˚ u. ˇ Definice 3.4. Rekneme, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je spojité v bodˇe x ∈ X, jestliˇze pro kaˇzdé okol´ı N bodu f (x) je také f −1 (N ) okol´ım bodu x. d´ u 2 Cviˇ cen´ı 3.5. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je spojité, právˇe kdyˇz je spojité v kaˇzdém bodˇe x ∈ X. ˇ Definice 3.6. Rekneme, ˇze systém N okol´ı bodu x je b´ az´ı okol´ı bodu x, jestliˇze kaˇzdé okol´ı bodu x obsahuje jako podmnoˇzinu nˇejak´ y prvek N . (Dˇelal jsem pozdˇeji u regulárn´ıch.) 3

Pˇ r´ıklad 3.7. V metrickém prostoru tvoˇr´ı otevˇrené koule Bε (x), ε > 0, se stˇredem v x bázi okol´ı bodu x. Alternativnˇe tvoˇr´ı b´ azi okol´ı koule B1/n (x), n ∈ N. Tato mnoˇzina je spoˇcetn´ a. Proto kaˇzd´ y metrizovateln´ y prostor, tj. takov´ y prostor, jehoˇz topologie je zadána nˇejakou metrikou, mus´ı m´ıt spoˇcetnou b´ azi okol´ı kaˇzdého bodu – je tzv. first countable“. ” nd Cviˇ cen´ı 3.8. 1. Spojitost v bodˇe x ∈ X staˇc´ı ovˇeˇrovat na okol´ıch f (x) z nˇejaké (libovolné) báze okol´ı. 2. Zobrazen´ı f : M → N mezi metrick´ ymi prostory je spojité, právˇe kdyˇz splˇ nuje ε-δdefinici spojitosti. ˇ ast 1. je element´ ˇ ast 2. plyne z toho, ˇze otevˇrené koule Bδ (x), δ > 0, tvoˇr´ı D˚ ukaz. C´ arn´ı. C´ bázi okol´ı x a Bε (f (x)), ε > 0, tvoˇr´ı bázi okol´ı f (x). ∗∗ Cviˇ cen´ı 3.9. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı f : X → Y mezi pˇreduspoˇrádan´ ymi mnoˇzinami X, Y je spojité, pr´ avˇe kdyˇz je izotonn´ı. ∗∗ Lemma 3.10. N´ asleduj´ıc´ı podm´ınky na zobrazen´ı f : X → Y jsou ekvivalentn´ı 1. f je spojité, 2. f −1 (B) ⊆ f −1 (B) pro libovolnou podmnoˇzinu B ⊆ Y , 3. f (A) ⊆ f (A) pro libovolnou podmnoˇzinu A ⊆ X. Posledn´ı podm´ınka je zobecnˇen´ ym vyjádˇren´ım toho, ˇze xn → x implikuje f (xn ) → f (x) (pro obecné topologické prostory vˇsak posloupnosti nemus´ı b´ yt dostaˇcuj´ıc´ı). D˚ ukaz. Uk´ aˇzeme prvnˇe ekvivalenci 1. a 2. Jelikoˇz f −1 (B) je uzavˇrená podmnoˇzina obsahuj´ıc´ı −1 f (B), mus´ı obsahovat i f −1 (B). V opaˇcném smˇeru pro uzavˇrenou F ⊆ Y plat´ı f −1 (F ) ⊆ f −1 (F ) = f −1 (F ) a tedy f −1 (F ) je uzavˇrená. Nyn´ı uk´ aˇzeme 2. ⇒ 3. Chceme A ⊆ f −1 (f (A)), pˇritom zjevnˇe plat´ı A ⊆ f −1 (f (A)) a tedy 2.

A ⊆ f −1 (f (A)) ⊆ f −1 (f (A)). Zb´ yvá uk´ azat 3. ⇒ 2. Chceme f (f −1 (B)) ⊆ B, pˇritom zjevnˇe plat´ı f (f −1 (B)) ⊆ B a tedy 3.

f (f −1 (B)) ⊆ f (f −1 (B)) ⊆ B. Definice 3.11. Zobrazen´ı f : X → Y se naz´ yvá homeomorfismus, jestliˇze je f bijekce a obˇe zobrazen´ı f , f −1 jsou spojit´ a. Pˇ r´ıklad 3.12. 1. Interval (0, 1) je homeomorfn´ı R; homeomorfismus (0, 1) → R je napˇr´ıklad zobrazen´ı t 7→ tg(πt − π/2). 2. Zobrazen´ı id : Xdisc → Xtriv je spojitá bijekce, ale jeho inverze id : Xtriv → Xdisc spojit´ a nen´ı; viz dalˇs´ı pˇr´ıklad. nd 3. Rozmyslete si, kdy je zobrzen´ı id : (X, X0 ) → (X, X1 ) spojité. 4. Zobrazen´ı [0, 1) → S 1 , t 7→ e2πit je spojitá bijekce, ale jeho inverze spojitá nen´ı. ∼ =

5. Ve skuteˇcnosti neexistuje homeomorfismus [0, 1) − → S 1 . To se nejlépe ukáˇze tak, ˇze se najde nˇejak´ y invariant“, kter´ y tyto dva prostory odliˇs´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe lze napˇr´ıklad ” ˇr´ıct (ˇcasem to budeme schopni formulovat pˇresnˇe), ˇze vyjmut´ım jakéhokoliv bodu z S 1 se prostor nerozpadne, zat´ımco vyjmut´ım bodu t 6= 0 z [0, 1) se tento interval rozpadne. Dalˇs´ım takov´ ym invariantem je kompaktnost. 4

∼ =

6. Pro m 6= n neexistuje homeomorfismus Rm − → Rn . Pro n = 1 to lze vidˇet, podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe, pomoc´ı odstraˇ nován´ı bod˚ u a souvislosti. Pro vyˇsˇs´ı n je potˇreba vyˇsˇs´ı souvislost“. ” cv Pˇ r´ıklad 3.13. Popiˇste spojit´ a zobrazen´ı z triviáln´ıho prostoru a spojitá zobrazen´ı do diskrétn´ıho prostoru. Pozn´ amka. Topologie je nealgebraická (spojitá bijekce nen´ı nutnˇe homeomorfismus). Z jednoho z pˇr´ıklad˚ u vid´ıme, ˇze u ´plnost metrického prostoru nen´ı topologick´ y pojem, tj. existuj´ı homeomorfn´ı prostory, z nichˇz jeden tuto vlastnost splˇ nuje a druh´ y ne. Na druhou stranu kompaktnost je topologick´ y pojem, pozdˇeji ji charakterizujeme ˇcistˇe v ˇreˇci otevˇren´ ych mnoˇzin.

4. Podprostory, souˇ ciny Definice 4.1. Necht’ X je topologick´ y prostor a A ⊆ X jeho podmnoˇzina. Definujeme na A topologii podprostoru jako {A ∩ U | U ⊆ X otevˇrená}. Mnoˇzinu A spoleˇcnˇe s topologi´ı podprostoru nazveme podprostorem X. D˚ uleˇzitou vlastnost´ı podprostoru je, ˇze vloˇzen´ı i : A → X je spojité a má následuj´ıc´ı univerzáln´ı vlastnost: zobrazen´ı f : T → A je spojité, právˇe kdyˇz je spojité if : T → X. f

T

/A _

if

i

X (oboj´ı plyne z toho, ˇze A ∩ U = i−1 (U )). D˚ ukaz lze shrnout do pozorován´ı: topologie podprostoru je nejmenˇs´ı takov´ a, pro kterou je inkluze i spojitá. d´ u 3 Lemma 4.2. Pro podmnoˇzinu B ⊆ A plat´ı clA B = A ∩ B, kde clA B znaˇc´ı uz´ avˇer B v podprostoru A. Pozn´ amka. Nic podobného neplat´ı pro vnitˇrek. Definice 4.3. Systém A ⊆ P(X) mnoˇzin se naz´ yvá pokryt´ı prostoru X, jestliˇze

S

A = X.

cv Cviˇ cen´ı 4.4. Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı prostoru X. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je spojité, pr´ avˇe kdyˇz kaˇzdé z´ uˇzen´ı f |U : U → Y , U ∈ U, je spojité. Podobnˇe dokaˇzte totéˇz pro koneˇcné uzavˇrené pokryt´ı F. d´ u 4 Cviˇ cen´ı 4.5. Dokaˇzte, ˇze ˇctverec je homeomorfn´ı kruˇznici. Definice 4.6. Necht’ X, Y jsou topologické prostory. Definujeme na X × Y souˇcinovou topologii generovanou b´ az´ı {U × V | U ∈ X , V ∈ Y}. Mnoˇzinu X × Y spoleˇcnˇe se souˇcinovou topologi´ı nazveme souˇcinem topologick´ ych prostor˚ u X, Y . 5

D˚ uleˇzitou vlastnost´ı souˇcinu je, ˇze projekce p : X × Y → X, q : X × Y → Y jsou spojité a maj´ı následuj´ıc´ı univerz´ aln´ı vlastnost: zobrazen´ı f = (g, h) : T → X × Y je spojité, právˇe kdyˇz jsou spojité jeho sloˇzky pf = g : T → X a qf = h : T → Y . . :X

pf p

T

f

p

/X ×Y

≡

T

(g,h)

/X ×Y

q qf

. :X

g

$

q

1Y

$

h

1Y

(oboj´ı plyne z toho, ˇze U × V = p−1 (U ) ∩ q −1 (V )). O nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı je souˇcin nekoneˇcnˇe mnoha topologick´ ych prostor˚ u, kde vod´ıtkem ke správné definici je pr´ avˇe pˇredchoz´ı univerzáln´ı vlastnost a jej´ı d˚ ukaz. Oznaˇcme Y pj : Xi → Xj i∈I

projekci na j-tou sloˇzku. Definice 4.7. Necht’ Xi , i ∈ I, jsou topologické prostory. Definujeme na topologii generovanou subb´ az´ı

Q

i∈I

Xi souˇcinovou

{p−1 rená}. j (U ) | j ∈ I, U ⊆ Xj otevˇ Q Mnoˇzinu i∈I Xi spoleˇcnˇe se souˇcinovou topologi´ı nazveme souˇcinem topologick´ ych prostor˚ u Xi , i ∈ I. Q cv Cviˇ cen´ı 4.8. Dokaˇzte, ˇze souˇcin i∈I Fi uzavˇren´ ych mnoˇzin Fi ⊆ Xi je uzavˇren´ y. konec 2. pˇrednáˇsky

5. Axiomy oddˇ elitelnosti Pozn´ amka. Existuje axiom oddˇelitelnosti T0 . Definice 5.1. Topologick´ y prostor X se naz´ yvá T1 , jestliˇze pro kaˇzdé dva body x, y ∈ X, x 6= y existuje otevˇrené okol´ı U 3 x disjunktn´ı s y, tj. y ∈ / U. Lemma 5.2. Topologický prostor X je T1 , pr´ avˇe kdyˇz jsou vˇsechny jeho jednobodové podmnoˇziny uzavˇrené. D˚ ukaz. ⇐“: V definici staˇc´ı volit U = X r {y}. ⇒“: Necht’ y ∈ X. Pak pro libovolné x 6= y ” ”S existuje Ux 3 x otevˇren´ a neobsahuj´ıc´ı y. Proto je x6=y Ux = X r {y} otevˇrená a {y} tedy uzavˇrená. Definice 5.3. Topologick´ y prostor X se naz´ yvá T2 (Hausdorff˚ uv), jestliˇze pro kaˇzdé dva body x, y ∈ X, x 6= y existuj´ı disjunktn´ı otevˇrená okol´ı U 3 x, V 3 y, tj. U ∩ V = ∅. cv Pˇ r´ıklad 5.4. Prostor koneˇcn´ ych doplˇ nk˚ u je T1 , ale nen´ı Hausdorff˚ uv (pokud nosná mnoˇzina nen´ı koneˇcn´ a). 6

Lemma 5.5. Topologický prostor X je Hausdorff˚ uv, pr´ avˇe kdyˇz ∆X ⊆ X × X je uzavˇren´ a podmnoˇzina. Zde ∆X = {(x, x) | x ∈ X} je diagon´ ala“. ” D˚ ukaz. ⇒“: Uk´ aˇzeme, ˇze X × X r ∆X je otevˇrená. Necht’ (x, y) ∈ X × X r ∆X , tj. x 6= y. ” Podle definice existuj´ı U 3 x, V 3 y disjunktn´ı otevˇrené. Pak (x, y) ∈ U × V ⊆ X × X r ∆X , pˇriˇcemˇz U × V je b´ azick´ a otevˇren´ a. ’ ⇐“: Analogicky; necht x, y ∈ X, x 6= y, tj. (x, y) ∈ X × X r ∆X . Protoˇze je X × X r ∆X ” otevˇrená, existuje b´ azick´ a otevˇren´ a podmnoˇzina U × V s vlastnost´ı (x, y) ∈ U × V ⊆ X × X r ∆X . Proto x ∈ U , y ∈ V a U ∩ V = ∅. D˚ usledek 5.6. Necht’ f, g : X → Y jsou dvˇe spojit´ a zobrazen´ı a Y je Hausdorff˚ uv. Potom {x ∈ X | f (x) = g(x)} je uzavˇren´ a podmnoˇzina X. D˚ ukaz. Zobrazen´ı (f, g) : X → Y × Y je spojité, pˇriˇcemˇz {x ∈ X | f (x) = g(x)} = (f, g)−1 (∆Y ). cv Pˇ r´ıklad 5.7. Ortogo´ aln´ı grupa O(n) ⊆ GL(n) je uzavˇrená. Vˇ eta 5.8. 1. Podprostory Hausdorffových prostor˚ u jsou Hausdorffovy. 2. Souˇciny Hausdorffových prostor˚ u jsou Hausdorffovy. D˚ ukaz. Necht’ x, y ∈ A jsou oddˇeleny v X otevˇren´ ymi mnoˇzinami U , V . Potom A ∩ U , A ∩ V jsou otevˇrené mnoˇzinyQv A oddˇeluj´ıc´ı x od y. uzné body. Pak existuje index j ∈ I takov´ y, ˇze xj 6= yj . Necht’ (xi ), (yi ) ∈ i∈I Xi jsou r˚ −1 Protoˇze je Xj Hausdorff˚ uv, existuj´ı U 3 xj , V 3 yj , U ∩ V = ∅. Potom pj (U ), p−1 j (V ) oddˇeluj´ı (xi ) od (yi ). Definice 5.9. T1 -prostor X se naz´ yvá T3 (regul´ arn´ı), jestliˇze pro kaˇzd´ y jeho bod x ∈ X a uzavˇrenou podmnoˇzinu F ⊆ X neobsahuj´ıc´ı x existuj´ı otevˇrená disjunktn´ı okol´ı U 3 x, V ⊇ F , tj. U ∩ V = ∅. Pˇ r´ıklad 5.10. Kaˇzd´ y metrick´ y prostor M je regulárn´ı – uzavˇrené koule tvoˇr´ı bázi okol´ı kaˇzdého bodu. Za chv´ıli dok´ aˇzeme jin´ ym zp˚ usobem jeˇstˇe silnˇejˇs´ı tvrzen´ı. Lemma 5.11. Topologický prostor X je regul´ arn´ı, pr´ avˇe kdyˇz pro kaˇzdý bod x ∈ X tvoˇr´ı uzavˇren´ a okol´ı x b´ azi okol´ı, tj. pro kaˇzdé okol´ı N 3 x existuje uzavˇrené okol´ı F 3 x splˇ nuj´ıc´ı N ⊇ F. D˚ ukaz. ⇒“: Staˇc´ı pro kaˇzdé otevˇrené okol´ı W 3 x naj´ıt uzavˇrené podokol´ı. Podle definice ” lze oddˇelit x od X r W , tj. x ∈ U , X r W ⊆ V , U ∩ V = ∅. Jin´ ymi slovy x ∈ U ⊆ X r V ⊆ W , tedy X r V je uzavˇrené podokol´ı x. ⇐“: Necht’ x ∈ / F , tj. x ∈ X r F tvoˇr´ı otevˇrené okol´ı. Podle pˇredpokladu existuje ” x ∈ G ⊆ X r F , pˇriˇcemˇz G je uzavˇrené okol´ı x, tj. x ∈ U ⊆ G, F ⊆ X r G = V . Vˇ eta 5.12. 1. Podprostory regul´ arn´ıch prostor˚ u jsou regul´ arn´ı. 7

2. Souˇciny regul´ arn´ıch prostor˚ u jsou regul´ arn´ı. D˚ ukaz. Necht’ F ⊆ A je uzavˇren´ a neobsahuj´ıc´ı x ∈ A. Potom A ∩ F = F , takˇze x ∈ / F a lze je oddˇelit v X pomoc´ı U , V ; v A je pak lze oddˇelit pomoc´ı A ∩ U , A ∩ V . Alternativn´ı d˚ ukaz vede pˇres pˇredchoz´ Qı lemma. Necht’ (xi ) ∈ i∈I Xi , (xi ) ∈ U otevˇrené okol´ı. Potom existuj´ı j1 , . . . , jn ∈ I a otevˇrené mnoˇziny Uk ⊆ Xjk takové, ˇze −1 (xi ) ∈ p−1 j1 (U1 ) ∩ · · · ∩ pjn (Un ) ⊆ U.

a podokol´ı. Potom Necht’ xjk ∈ Fk ⊆ Uk jsou uzavˇren´ −1 (xi ) ∈ p−1 j (F1 ) ∩ · · · ∩ pjn (Fn ) ⊆ U. |1 {z } uzavˇren´ e okol´ı

Definice 5.13. T1 -prostor X se naz´ yvá T4 (norm´ aln´ı), jestliˇze pro kaˇzdé jeho dvˇe disjunktn´ı uzavˇrené podmnoˇziny F, G ⊆ X existuj´ı otevˇrená disjunktn´ı okol´ı U ⊇ F , V ⊇ G. Analogie pˇredchoz´ı vˇety neplat´ı – viz d˚ ukaz: pokud F, G ⊆ A jsou disjunktn´ı uzavˇrené podmnoˇziny, nemus´ı b´ yt nutnˇe pravda, ˇze F , G jsou disjunktn´ı. Nemˇelo by tedy b´ yt tˇeˇzké uvˇeˇrit, ˇze existuj´ı norm´ aln´ı prostory, jejichˇz podprostory a souˇciny nejsou normáln´ı. Pˇ r´ıklad 5.14. Kaˇzd´ y metrick´ y prostor M je normáln´ı. To je proto, ˇze pro libovolnou A ⊆ M funkce dist(A, −) : M → R spojit´ a (nezkracuje vzdálenosti). Poloˇz´ıme-li nyn´ı f (x) =

dist(F, x) , dist(F, x) + dist(G, x)

je tato funkce vˇsude definovan´ a a spojitá, im f ⊆ [0, 1]. Pˇritom f (x) = 0 na F a f (x) = 1 na G, takˇze lze volit U = f −1 [0, 1/2), V = f −1 (1/2, 1]. Fenomén z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je oddˇelován´ı pomoc´ı spojit´ ych funkc´ı. Vrát´ıme se k nˇemu pozdˇeji.

6. Kompaktn´ı prostory Definice 6.1. Topologick´ y prostor X se naz´ yvá kompaktn´ı, jestliˇze z libovolného jeho otevˇreného pokryt´ı lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı. V dalˇs´ım budeme velmi ˇcasto vyuˇz´ıvat následuj´ıc´ı interpretaci S kompaktnosti podprostoru A ⊆ X. Je-li U systém otevˇren´ ych mnoˇzin v X takov´ y, ˇze A ⊆ U, pak existuje koneˇcnˇe mnoho U1 , . . . , Un ∈ U tak, ˇze A ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un . cv Pˇ r´ıklad 6.2. R nen´ı kompaktn´ı. cv Pˇ r´ıklad 6.3. (a, b) nen´ı kompaktn´ı (bez naj´ıt´ı pokryt´ı). Vˇ eta 6.4. Uzavˇrený interval [a, b] je kompaktn´ı.

8

Pozn´ amka. Pˇredchoz´ı vˇeta vyuˇz´ıv´ a u ´plnosti reáln´ ych ˇc´ısel – neplat´ı totiˇz nad Q. Interval [a, b]Q = Q ∩ [a, b] nen´ı kompaktn´ı: necht’ c ∈ (a, b) je iracionáln´ı. Pak [ [a, b]Q = [a, c − 1/n)Q ∪ (c + 1/n, b]Q . n∈N

D˚ ukaz. Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı [a, b]. Uvaˇzme T = {t ∈ [a, b] | interval [a, t] lze pokr´ yt koneˇcnˇe mnoha prvky U}. Zjevnˇe a ∈ T a tedy T 6= ∅. M˚ uˇzeme tedy poloˇzit t0 = sup T . Prvnˇe uk´ aˇzeme, ˇze t0 ∈ T . Existuje totiˇz U ∈ U tak, ˇze t0 ∈ U a proto existuje nˇejaké t1 < t0 tak, ˇze cel´ y interval [t1 , t0 ] ⊆ U . Protoˇze t1 ∈ T , plat´ı [a, t1 ] ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un . Proto [a, t0 ] ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un ∪ U . Nyn´ı uk´ aˇzeme sporem, ˇze t0 = b. Kdyby t0 < b, opˇet dostáváme t0 ∈ U ∈ U a T obsahuje i nˇejaké t1 ∈ U , t1 > t0 . To je spor s t0 = sup T . Vˇ eta 6.5. Uzavˇrený podprostor kompaktn´ıho prostoru je kompaktn´ı. ’ D˚ y a U je nˇejaké systém otevˇren´ ych mnoˇzin s vlastnost´ı Sukaz. Necht F ⊆ X je uzavˇren´ U ⊇ F . Potom V = U ∪ {X r F } je otevˇrené pokryt´ı X. D´ıky kompaktnosti X je X = U1 ∪ · · · ∪ Un ∪ (X r F ) a proto F ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un . konec 3. pˇrednáˇsky Vˇ eta 6.6. Kompaktn´ı podprostor Hausdorffova prostoru je uzavˇrený. D˚ ukaz. Necht’ C ⊆ X je kompaktn´ı, x ∈ / C. Chceme naj´ıt nˇejaké U 3 x, U ∩ C = ∅. Necht’ y ∈ C. Potom existuj´ı disjunktn´ı Uy 3 x, Vy 3 y. Systém {Vy | y ∈ C} tvoˇr´ı otevˇrené pokryt´ı C. Z kompaktnosti z nˇej lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı C ⊆ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn . Potom x ∈ Uy1 ∩ · · · ∩ Uyn = U je otevˇrené okol´ı x a U ∩ C = ∅, protoˇze U ∩ Vyk ⊆ Uyk ∩ Vyk = ∅. D˚ usledek 6.7. V kompaktn´ım Hausdorffovu prostoru jsou uzavˇrené mnoˇziny pr´ avˇe kompaktn´ı. Vˇ eta 6.8. (o souˇcinu) Souˇcin X × Y dvou kompaktn´ıch prostor˚ u X, Y je kompaktn´ı. Vˇetu dok´ aˇzeme pozdˇeji. D˚ usledek 6.9. Podmnoˇzina Rn je kompaktn´ı, pr´ avˇe kdyˇz je uzavˇren´ a a ohraniˇcen´ a. D˚ ukaz. ⇒“: Uzavˇrenost plyne z Hausdorffovosti Rn , ohraniˇcenost plyne z pokryt´ı Bk (0), ” k ∈ N. ⇐“: Z ohraniˇcenosti A ⊆ [−k, k]n , pˇriˇcemˇz krychle [−k, k]n je kompaktn´ı podle vˇety o ” souˇcinu. Proto i jej´ı uzavˇren´ a podmnoˇzina A je kompaktn´ı. Vˇ eta 6.10. Spojitý obraz kompaktn´ıho prostoru je kompaktn´ı. 9

D˚ ukaz. Necht’ f je spojité zobrazen´ı f : X → Y z kompaktn´ıho prostoru X a necht’ U je otevˇrené pokryt´ı f (X). Potom f −1 (U) = {f −1 (U ) | U ∈ U} je otevˇrené pokryt´ı X a tedy X = f −1 (U1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Un ), neboli f (X) ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Un . Vˇ eta 6.11. Spojit´ a bijekce f : X → Y z kompaktn´ıho prostoru X do Hausdorffova prostoru Y je homeomorfismus. D˚ ukaz. Staˇc´ı uk´ azat, ˇze f −1 je spojité, tedy ˇze pro uzavˇrenou F ⊆ X je i f (F ) ⊆ uzavˇren´ a. Pˇritom je ale F kompaktn´ı, tedy i f (F ) je kompaktn´ı a proto uzavˇrená. Definice 6.12. Necht’ X je topologick´ y prostor a necht’ ∼ je relace ekvivalence na X. Oznaˇcme projekci p : X → X/∼. Definujme kvocientovou (identifikaˇcn´ı) topologii na rozkladu X/∼ jako {V ⊆ X/∼ | p−1 (V ) ⊆ X otevˇrená}. Rozklad X/∼ spoleˇcnˇe s kvocientovou topologi´ı nazveme kvocientem X podle relace ∼. Základn´ı vlastnost kvocientu je, ˇze zobrazen´ı f : X/∼ → Y je spojité, právˇe kdyˇz je spojité fp: X → Y , X

fp

/Y =

p

f

X/∼ Ve spojen´ı s pˇredchoz´ı vˇetou lze nˇekteré kvocienty popsat velice konkrétnˇe. cv cv cv cv

∗∗ ∗∗ d´ u5

Pˇ r´ıklady 6.13. 1. Popiˇste topologii kvocientu R/Q grupy R podle jej´ı podgrupy Q. Nen´ı ani T1 byt’ R je dokonce T4 . 2. ([0, 1] × S n−1 )/({0} × S n−1 ) ∼ = Dn ; zde X/A = X/∼, kde a ∼ a0 pro libovolná a, a0 ∈ A. (Potˇrebné zobrazen´ı jsou pol´ arn´ı souˇradnice“.) ” n n−1 n ∼ 3. D /S = S . (Potˇrebné zobrazen´ı je dané ob´ıhán´ım okolo S n po hlavn´ıch kruˇznic´ıch, pro nˇeˇz je jednoduch´ a formulka.) 1 1 2 ∼ 4. S × S = [0, 1] /∼ (∼ = R2 /Z2 – zde jde o kvocient grup). 5. Obrázek ilustruj´ıc´ı ostatn´ı plochy jako kvocienty mnoho´ uheln´ık˚ u; poznámka o hyperbolickém dl´ aˇzdˇen´ı. 6. SS n−1 ∼ = Sn 7. Pˇr´ımka s dvojn´ asobn´ ym poˇc´ atkem R × {−1, 1}/∼, kde (x, −1) ∼ (x, 1) kdykoliv x 6= 0 ’ – nen´ı Hausdorff˚ uv, byt je lokálnˇe Hausdorff˚ uv“. ” 8. R2 /∼, x ∼ y ⇔ |x| = |y|, je homeomorfn´ı R≥0 Nyn´ı dok´ aˇzeme vˇetu o souˇcinu. Prvnˇe uved’me lemma. Lemma 6.14. Necht’ X je kompaktn´ı prostor, Y libovolný, W ⊆ X × Y otevˇren´ a mnoˇzina obsahuj´ıc´ı X × {y}. Potom existuje otevˇrené okol´ı V 3 y takové, ˇze X × V ⊆ W . D˚ ukaz. Z definice souˇcinové topologie existuj´ı pro kaˇzdé (x, y) otevˇrená okol´ı Ux 3 x a Vx 3 y tak, ˇze Ux × Vx ⊆ W . Z pokryt´ı {Ux | x ∈ X} lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı Ux1 , . . . , Uxn . Poloˇzme V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn . Pak Uxi × V ⊆ Uxi × Vxi ⊆ W a tedy také X × V =

S

U xi × V ⊆ W . 10

d´ u 6 Pˇ r´ıklad 6.15. Dokaˇzte, ˇze lemma je ekvivalentn´ı následuj´ıc´ımu tvrzen´ı: projekce X ×Y → Y je uzavˇren´ a, tj. obraz uzavˇrené mnoˇziny je uzavˇren´ y. D˚ ukaz vˇety o souˇcinu. Necht’ W je otevˇrené pokryt´ı X ×Y . Pro kaˇzdé y ∈ Y uvaˇzme podprostor X × {y}, kter´ y je homeomorfn´ı X a tedy kompaktn´ı. Protoˇze je W jeho otevˇrené pokryt´ı, lze vybrat W1,y , . . . , Wn,y ∈ U pokr´ yvaj´ıc´ı X × {y}. Podle lemmatu obsahuje W1,y ∪ · · · ∪ Wn,y podmnoˇzinu tvaru X × Vy . Vid´ıme tedy, ˇze staˇc´ı pokr´ yt Y koneˇcnˇe mnoha Vy , protoˇze je kaˇzdé X × Vy pokryto koneˇcnˇe mnoha prvky W. Protoˇze je ale {Vy | y ∈ Y } otevˇrené pokryt´ı Y , plyne toto z kompaktnosti Y . Naˇs´ım dalˇs´ım c´ılem bude d˚ ukaz Tichonovovy vˇety o nekoneˇcn´ ych souˇcinech kompaktn´ıch prostor˚ u. Dok´ aˇzeme k tomu prvnˇe tzv. Alexanderovo lemma. Lemma 6.16. Necht’ X je topologický prostor. Pokud existuje subb´ aze S takov´ a, ˇze z kaˇzdého otevˇreného pokryt´ı U ⊆ S lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı, pak X je kompaktn´ı. D˚ ukaz. D˚ ukaz je zaloˇzen na axiomu v´ ybˇeru, konkrétnˇe na principu maxima, ˇci jak se to ˇcesky jmenuje. Pˇredpokl´ adejme, ˇze X nen´ı kompaktn´ı a vyberme maximáln´ı otevˇrené pokryt´ı U, d´ u 7 které nem´ a koneˇcné podpokryt´ı (pˇredpoklady Zornova lemmatu se ovˇeˇr´ı jednoduˇse). Necht’ x ∈ X je libovoln´ y bod. Jelikoˇz je U pokryt´ı, existuje x ∈ U ∈ U. Protoˇze je S subbáze, existuj´ı pak S1 , . . . , Sn ∈ S tak, ˇze x ∈ S1 ∩ · · · ∩ Sn ⊆ U. Ukáˇzeme nyn´ı sporem, ˇze nˇejaké Si je prvkem U. Kdyby Si ∈ / U, podle maximality U existuje koneˇcná Ui ⊆ U tak, ˇze {Si } ∪ Ui je pokryt´ı, tj. Ui pokr´ yvá X r Si . Potom ale U1 ∪ · · · ∪ Un pokr´ yvá (X r S1 ) ∪ · · · ∪ (X r Sn ) = X r (S1 ∩ · · · ∩ Sn ) ⊇ X r U a tedy {U } ∪ U1 ∪ · · · ∪ Un pokr´ yv´ a X, coˇz je spor. Oznaˇc´ıme-li pˇr´ısluˇsné Si ∈ U jako Sx , máme x ∈ Sx ∈ S ∩ U. Protoˇze je ale {Sx | x ∈ X} ⊆ S otevˇrené pokryt´ı prvky S, lze z nˇej podle pˇredpokladu vybrat koneˇcné podpokryt´ı. To bude ale z´ aroveˇ n koneˇcn´ ym podpokryt´ım U, spor. Vˇ eta 6.17 (Tichonov). Souˇcin libovolného mnoˇzstv´ı kompaktn´ıch prostor˚ u je kompaktn´ı. Q D˚ ukaz. Necht’ X = i∈I Xi , kde Xi je kompaktn´ı. Ukáˇzeme, ˇze subbáze {p−1 rená} j (U ) | j ∈ I, U ⊆ Xj otevˇ splˇ nuje podm´ınky Alexandrova lemmatu. Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı subbazick´ ymi mnoˇzinami. Definujme Uj jako mnoˇzinu tˇech otevˇren´ ych U ⊆ Xj , ˇze p−1 (U ) ∈ U. Pˇ r edpokl´ adejme, j j S ˇze ˇzádné Uj nen´ı pokryt´ı. Potom existuje, pro kaˇ z d´ e j ∈ I, bod x ∈ X tak, ˇ z e x ∈ / Uj . j j j S Potom ale bod se sloˇzkami (xj )j∈I neleˇz´ı v U, coˇz je spor s t´ım, ˇze U je pokryt´ı. Proto je nˇejaké Uj pokryt´ı a d´ıky kompaktnosti z nˇej lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı −1 U1 , . . . , Un . Potom zˇrejmˇe p−1 cné podpokryt´ı U. j (U1 ), . . . , pj (Un ) je koneˇ konec 4. pˇrednáˇsky Vˇ eta 6.18. Kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor je norm´ aln´ı.

11

D˚ ukaz. Necht’ F ⊆ X je uzavˇren´ a, x ∈ / F . Pro libovoln´ y y ∈ F existuj´ı Uy 3 x, Vy 3 y otevˇrené disjunktn´ı. Protoˇze je F kompaktn´ı, existuje koneˇcnˇe mnoho y1 , . . . , yn ∈ F takov´ ych, ˇze x ∈ Uy1 ∩ · · · ∩ Uyn ;

F ⊆ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn , d´ u8

ty jsou otevˇrené a disjunktn´ı. Implikace T3 ⇒T4 je za dom´ ac´ı u ´kol. Hromadný bod posloupnosti (xn ) je takov´ y bod x, ˇze pro kaˇzdé otevˇrené okol´ı U 3 x existuje nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u xn ∈ U . Naˇs´ım c´ılem bude nyn´ı ukázat, ˇze metrick´ y prostor ˇ je kompaktn´ı, pr´ avˇe kdyˇz m´ a kaˇzd´ a posloupnost hromadn´ y bod. R´ıkejme této vlastnosti prozat´ım sekvenˇcn´ı kompaktnost. Definujme pr˚ umˇer diam A = sup{dist(x, y) | x, y ∈ A}. Vˇ eta 6.19 (Lebesgueovo lemma). Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı (sekvenˇcnˇe) kompaktn´ıho metrického prostoru M . Potom existuje ε > 0 takové, ˇze kaˇzd´ a podmnoˇzina A ⊆ M pr˚ umˇeru diam A ≤ ε leˇz´ı v nˇejakém U ∈ U. ˇ ıslu z vˇety ˇr´ık´ C´ ame Lebesgueovo ˇc´ıslo pokryt´ı U. D˚ ukaz. Zjevnˇe staˇc´ı naj´ıt ε takové, ˇze kaˇzdá uzavˇrená koule o polomˇeru ε leˇz´ı v nˇejakém U ∈ U. Pˇredpokl´ adejme, ˇze ˇz´ adné takové ε neexistuje a zvolme, pro kaˇzdé n ∈ N, kouli B1/n (xn ), kter´ a se nevejde do ˇz´ adné U ∈ U. Pˇrechodem k podposloupnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze xn → x. Protoˇze je U otevˇrené pokryt´ı, existuje δ > 0 tak, ˇze B2δ (x) ⊆ U ∈ U. Pro n 0 je dist(xn , x) < δ a 1/n < δ a proto B1/n (xn ) ⊆ B2δ (x) ⊆ U , spor. Vˇ eta 6.20. Metrický prostor je kompaktn´ı, pr´ avˇe kdyˇz je sekvenˇcnˇe kompaktn´ı. D˚ ukaz. Smˇer ⇒“ je jednoduch´ y. Necht’ xn je posloupnost, která nemá ˇzádn´ y hromadn´ y ” bod. Potom pro kaˇzdé x ∈ M existuje nˇejaká koule Bεx (x) obsahuj´ıc´ı pouze koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti. V´ ybˇerem koneˇcného podpokryt´ı dostaneme, ˇze v celém prostoru je pouze koneˇcnˇe mnoho bod˚ u posloupnosti, spor. Pro opaˇcn´ y smˇer ⇐“ necht’ ε > 0 je Lebesgueovo ˇc´ıslo U. Protoˇze se kaˇzdá koule o ” polomˇeru ε vejde do nˇejaké U ∈ U, staˇc´ı M pokr´ yt koneˇcnˇe mnoha koulemi polomˇeru ε. Volme postupnˇe posloupnost bod˚ u, které jsou navzájem vzdáleny alespoˇ n o ε. Taková posloupnost mus´ı b´ yt nutnˇe koneˇcn´ a, protoˇze ˇz´ adná jej´ı podposloupnost nen´ı cauchyovská a nem˚ uˇze tedy konvergovat; oznaˇcme ji x1 , . . . , xn . Potom M = Bε (x1 ) ∪ · · · ∪ Bε (xn ).

7. Souvislost Klasicky se pr´ azdn´ y topologick´ y prostor povaˇzuje za souvisl´ y, z r˚ uzn´ ych d˚ uvod˚ u je ale v´ yhodnˇejˇs´ı ho za souvisl´ y nepovaˇzovat. Tomuto dilematu se vyhneme t´ım, ˇze se omez´ıme na neprázdné prostory. ˇ Definice 7.1. Necht’ X je nepr´ azdn´ y topologick´ y prostor. Rekneme, ˇze X je souvislý, jestliˇze jediné podmnoˇziny A ⊆ X, které jsou zároveˇ n otevˇrené a uzavˇrené, jsou ∅ a X. Podmnoˇziny z definice (tj. ty, které jsou jak otevˇrené, tak uzavˇrené) se naz´ yvaj´ı obojetné, anglicky clopen. Je-li U obojetn´ a a V = X rU jej´ı doplnˇek, pak cel´ y prostor X je disjunktn´ım slednocen´ım X = U tV . V ˇc´ asti o oddˇelovac´ıch axiomech jsme pomoc´ı disjunktn´ıch otevˇren´ ych mnoˇzin oddˇelovali podmnoˇziny X a tento rozklad pak odpov´ıdá tomu, ˇze cel´ y prostor se sklád´ a za dvou oddˇelen´ ych ˇc´ ast´ı. 12

cv Lemma 7.2. Nepr´ azdný prostor X je souvislý, pr´ avˇe kdyˇz kaˇzdé spojité zobrazen´ı χ : X → {0, 1} je konstantn´ı. Vˇ eta 7.3. Uzavˇrený interval [a, b] je souvislý. Pozn´ amka. Tato vlastnost intervalu závis´ı, stejnˇe jako kompaktnost, na u ´plnosti reáln´ ych ˇc´ısel. Konkrétnˇe [a, b]Q nen´ı souvisl´ y: zvolme libovolné iracionáln´ı c s vlastnost´ı a < c < b, pak [a, b]Q = [a, c)Q ∪ (c, b]Q . D˚ ukaz. Pˇredpokl´ adejme, ˇze U ⊆ [a, b] je obojetná, ∅, X 6= U . Pˇr´ıpadn´ ym pˇrej´ıt´ım k doplˇ nku m˚ uˇzeme pˇredpokl´ adat, ˇze a ∈ U . Oznaˇcme T = {t ∈ [a, b] | [a, t] ⊆ U } Chceme b ∈ T . Zjevnˇe a ∈ T a proto existuje t0 = sup T . Z uzavˇrenosti U dostáváme t0 ∈ T , z otevˇrenosti pak t0 + ε ∈ T s v´ yjimkou pˇr´ıpadu t0 = b. To je spor s U 6= X. Vˇ eta 7.4. Spojitý obraz souvislého prostoru je souvislý. D˚ ukaz. Necht’ f : X → Y je spojité zobrazen´ı, kde X je souvisl´ y. Necht’ χ : f (X) → {0, 1} je libovolná spojit´ a funkce. Potom je také χf : X → {0, 1} spojitá a tedy konstantn´ı. Protoˇze je f : X → f (X) surjektivn´ı, je také χ konstantn´ı. (Jinak: je-li U ⊆ f (X) obojetná, je obojetn´ a i f −1 (U ) ⊆ X.) Vˇ eta 7.5. Uz´ avˇer souvislé podmnoˇziny je souvislý. D˚ ukaz. Je-li χ : A → {0, 1} spojit´ a funkce, pak jej´ı z´ uˇzen´ı na A je konstantn´ı, ˇreknˇeme χ|A = 0. −1 Pˇritom χ (0) je uzavˇren´ a mnoˇzina obsahuj´ıc´ı A a tedy χ−1 = A, tedy χ je konstantn´ı. Vˇ eta 7.6. Necht’ M S je systém souvislých podmnoˇzin v X takový, ˇze A ∩ B 6= ∅ pro kaˇzdé dvˇe A, B ∈ M. Potom M je souvislý. S D˚ ukaz. Necht’ f : M → {0, 1} je spojité zobrazen´ı. Potom jej´ı z´ uˇzen´ı na kaˇzdé A ∈ M je konstantn´ı, d´ıky souvislosti A. Pˇritom mus´ı b´ yt tato konstantn´ı hodnota stejná pro vˇsechna A ∈ M, d´ıky nepr´ azdnosti pr˚ unik˚ u. Tedy f je konstantn´ı. S D˚ usledek 7.7. Re´ aln´ a osa R = n∈N [−n, n] je souvisl´ a. cv Pˇ r´ıklad 7.8. Intervaly [a, b], [a, b), (a, b) jsou souvislé – dokaˇzte. Pomoc´ı odeb´ırán´ı bod˚ u dále dokaˇzte, ˇze nejsou homeomorfn´ı. ∗∗ Pˇ r´ıklad 7.9. Dokaˇzte, ˇze prostor {(x, sin πx ) | x > 0} ∪ {(0, y) | −1 ≤ y ≤ 1} je souvisl´ y, ale nikoliv obloukovˇe souvisl´ y. Definice 7.10. Komponenta nepr´ azdného prostoru X je maximáln´ı souvislá podmnoˇzina. Vˇ eta 7.11. Libovolný topologický prostor je disjunktn´ım sjednocen´ım svých komponent. Tyto komponenty jsou uzavˇrené.

13

’ D˚ Sukaz. Necht x ∈ X a uvaˇzme systém M = {A ⊆ X | A souvislá, x ∈ A}. Potom M je souvisl´ a podmnoˇzina obsahuj´ıc´ı x, zjevnˇe maximáln´ı. Kdyby dvˇe r˚ uzné komponenty mˇely nepr´ azdn´ y pr˚ unik, bylo by jejich sjednocen´ı souvislé, coˇz by byl spor s maximalitou. Uzavˇrenost plyne z toho, ˇze uz´ avˇer souvislé podmnoˇziny je souvisl´ y a z maximality. ˇ Definice 7.12. Rekneme, ˇze topologick´ y prostor X je tot´ alnˇe nesouvislý, jestliˇze jeho komponenty jsou jednobodové. d´ u 9 Pˇ r´ıklad 7.13. Dokaˇzte, ˇze Q je tot´ alnˇe nesouvisl´ y. Mnoˇzina obojetn´ ych mnoˇzin spoleˇcnˇe s inkluz´ı, (Ob(X), ⊆), tvoˇr´ı Booleovu algebru (obojetné mnoˇziny jsou uzavˇrené na koneˇcné sjednocen´ı, koneˇcné pr˚ uniky a komplementy). Takto dostaneme vˇsechny Booleovy algebry (aˇz na izomorfismus). Po z´ uˇzen´ı na kompaktn´ı totálnˇe nesouvislé prostor dost´ av´ ame jednoznaˇcnou korespondenci, tzv. Stoneovu dualitu. konec 5. pˇrednáˇsky Pˇ r´ıklad 7.14 (Cesta vyplˇ nuj´ıc´ı ˇctverec). Zaˇcnˇeme s cestou znázornˇenou v prvn´ım obrázku, kterou proch´ az´ıme konstantn´ı rychlost´ı, oznaˇcme ji γ1 . V dalˇs´ıch kroc´ıch nahrad´ıme vˇsechny u ´seky γn , které vypadaj´ı jako γ1 , odpov´ıdaj´ıc´ımi u ´seky vypadaj´ıc´ımi jako γ2 . Vˇsechny cesty jsou proch´ azeny konstantn´ı rychlost´ı.

γ1

γ2

γ3

γ4

Poloˇzme γ = limn→∞ γn . Jelikoˇz γn+1 (t) a γn (t) leˇz´ı v témˇze ˇctverci o stranˇe (1/2)n−1 , je tato posloupnost stejnomˇernˇe konvergentn´ı a proto je γ spojitá. Zb´ yvá ukázat, ˇze je surjektivn´ı. Necht’ x je libovoln´ y bod ˇctverce a napiˇsme ho jako pr˚ unik posloupnosti ˇctverc˚ u o stranách n−1 (1/2) zn´ azornˇen´ ych v obr´ azc´ıch. V kaˇzdém takovém ˇctverci leˇz´ı nˇejak´ y bod γn (tn ) a proto je x = limn→∞ γn (tn ). Pˇrej´ıt´ım ke konvergentn´ı podposloupnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat tn → t a pak γ(t) = limn→∞ γ(tn ) = limn→∞ γn (tn ) = x ze stejnomˇerné konvergence. Jinak 0, x1 x2 x3 x4 . . . 7→ (0, x1 x3 . . . ; 0, x2 x4 . . .). Pˇ r´ıklad 7.15. Prostory R a Rn , kde n > 1, nejsou homeomorfn´ı – opˇet pomoc´ı odeb´ırán´ı bod˚ u. K tomu je potˇreba dok´ azat, ˇze Rn r {0} je souvisl´ y. Lze ho napsat jako sjednocen´ı i j ’ souvisl´ ych mnoˇzin tvaru R × R± × R , kde R± je bud mnoˇzina kladn´ ych nebo záporn´ ych ˇc´ısel a i + 1 + j = n. Tyto mnoˇziny sice nemaj´ı neprázdné pr˚ uniky, ale to nastane pouze pro dvojice Ri × R+ × Rj a Ri × R− × Rj a ty maj´ı neprázdn´ y pr˚ unik s kteroukoliv jinou mnoˇzinou ze systému (n > 1). Vˇ eta 7.16. Souˇcin dvou souvislých prostor˚ u je souvislý. D˚ ukaz. Necht’ f : X × Y → {0, 1} je spojité zobrazen´ı a necht’ (x, y) a (x0 , y 0 ) jsou dva body X ×Y . Potom f (x, y) = f (x0 , y) ze souvislosti X ×{y} ∼ = X a f (x0 , y) = f (x0 , y 0 ) ze souvislosti 0 {x } × Y ∼ = Y . Je tedy f konstantn´ı. 14

Vˇ eta 7.17. Libovolný souˇcin souvislých prostor˚ u je souvislý. Q D˚ ukaz. Necht’ opˇet f : i∈I Xi → {0, 1} a necht’ x = (xi ) ∈ f −1 (0). Protoˇze je f spojité, −1 ena f nab´ yv´ a nab´ yvá hodnoty 0 také na nˇejakém okol´ı p−1 j1 (Uj1 ) ∩ · · · ∩ pjn (Ujn ) bodu x. Zejm´ ukazu hodnoty 0 na vˇsech bodech y splˇ nuj´ıc´ıch xj1 = yj1 , . . . , xjn = yjn . V pˇredchoz´ım d˚ jsme ukázali, ˇze f m´ a stejné hodnoty na bodech liˇs´ıc´ıch se v koneˇcnˇe mnoha komponentách. Dohromady je f konstantn´ı. Od ted’ budeme znaˇcit I = [0, 1]. ˇ ıkáme, ˇze γ spojuje body γ(0), Definice 7.18. Cesta v X je spojité zobrazen´ı γ : I → X. R´ γ(1). Definice 7.19. Nepr´ azdn´ y prostor X se naz´ yvá cestovˇe souvislý (tradiˇcnˇe obloukovˇe souvislý ), jestliˇze lze kaˇzdé dva jeho body spojit cestou. Vˇ eta 7.20. Libovolný cestovˇe souvislý prostor je souvislý. D˚ ukaz. Je-li γx cesta spojuj´ıc´ı nˇejak´ y vybran´ y bod x0 ∈ X s bodem x, pak X = pˇriˇcemˇz kaˇzd´ y im γx je souvisl´ y (jako obraz I) a vˇsechny se prot´ınaj´ı v x0 .

S

x∈X

im γx ,

ˇ V opaˇcném smˇeru vˇeta neplat´ı vˇzdy, ale pouze za jist´ ych omezuj´ıc´ıch podm´ınek. Rekneme, ˇze prostor X je lok´ alnˇe cestovˇe souvislý, jestliˇze cestovˇe souvislá okol´ı tvoˇr´ı bázi okol´ı v kaˇzdém bodˇe, tj. jestliˇze pro kaˇzdé okol´ı N 3 x existuje cestovˇe souvislé okol´ı O splˇ nuj´ıc´ı N ⊇ O 3 x. cv Pˇ r´ıklad 7.21. Otevˇrené podmnoˇziny eukleidovsk´ ych prostor˚ u jsou lokálnˇe cestovˇe souvislé. Obecné podmnoˇziny lok´ alnˇe cestovˇe souvislé b´ yt nemus´ı (viz Pˇriklad 7.9). Lemma 7.22. Pokdu lze spojit cestou x s y a y se z, pak také x lze spojit cestou se z. cv D˚ ukaz. Necht’ γ je cesta spojuj´ıc´ı x s y a δ cesta spojuj´ıc´ı y se z. Poloˇzme γ(2t) 0 ≤ t ≤ 1/2 (γ ∗ δ)(t) = δ(2t − 1) 1/2 ≤ t ≤ 1 Protoˇze intervaly [0, 1/2] a [1/2, 1] tvoˇr´ı koneˇcné uzavˇrené pokryt´ı a na kaˇzdém je γ ∗δ spojité, je spojité na celém [0, 1]. Pˇritom (γ ∗ δ)(0) = γ(0) = x a (γ ∗ δ)(1) = δ(1) = z. Vˇ eta 7.23. Je-li X souvislý a lok´ alnˇe cestovˇe souvislý, pak je cestovˇe souvislý. D˚ ukaz. Necht’ x ∈ X a uvaˇzme C(x) = {y ∈ X | x lze spojit cestou s y}. Podle pˇredpokladu lokáln´ı cestové souvislosti je C(x) otevˇrená – kdykoliv lze x spojit s y a O je libovolné cestovˇe souvislé okol´ı y, pak lze x spojit s kter´ ymkoliv bodem O. Jelikoˇz je X disjunktn´ım sjednocen´ım C(x), kde x ∈ X, je i doplnˇek C(x) otevˇren´ y a proto je C(x) obojetná. Pˇritom x ∈ C(x), takˇze ze souvislosti plyne C(x) = X, a tedy x lze spojit s kaˇzd´ ym bodem X. d´ u 10 Pozn´ amka. Pro obecn´ y prostor X se mnoˇzina C(x) z pˇredchoz´ıho d˚ ukazu naz´ yvá cestov´ a komponenta a podobnˇe lze uk´ azat, ˇze pro lokálnˇe cestovˇe souvisl´ y X se jeho komponenty shoduj´ı s cestov´ ymi komponentami.

15

8. Lok´ alnˇ e kompaktn´ı prostory Definice 8.1. Hausdorff˚ uv prostor X se naz´ yvá lok´ alnˇe kompaktn´ı (Hausdorff˚ uv), jestliˇze kompaktn´ı okol´ı tvoˇr´ı b´ azi okol´ı kaˇzdého bodu, tj. pokud kaˇzdé okol´ı N 3 x obsahuje kompaktn´ı podokol´ı N ⊇ C 3 x. Pˇ r´ıklad 8.2. 1) Kaˇzd´ y kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor je lokálnˇe kompaktn´ı, protoˇze je regulárn´ı (uzavˇren´ a okol´ı tvoˇr´ı b´ azi okol´ı) a uzavˇren´ a=kompaktn´ı. 2) Kaˇzd´ y eukleidovsk´ y prostor je lokálnˇe kompaktn´ı – uzavˇrené koule tvoˇr´ı bázi okol´ı a jsou kompaktn´ı. 3) Diskrétn´ı prostory jsou lok´ alnˇe kompaktn´ı. 4) Racionáln´ı ˇc´ısla Q nejsou lok´ alnˇe kompaktn´ı – ˇzádné okol´ı nen´ı kompaktn´ı. Následuj´ıc´ı asi pˇreskoˇcit, ten d˚ ukaz je dost o niˇcem; jinak samozˇrejmˇe pom˚ uˇze obrázek pouˇz´ıval jsem konevnci kulaté=otevˇrené, hranaté=uzavˇrené. ∗∗ Vˇ eta 8.3. M´ a-li kaˇzdý bod Hausdorffova prostoru X nˇejaké kompaktn´ı okol´ı, pak je lok´ alnˇe kompaktn´ı. D˚ ukaz. Necht’ C je kompaktn´ı okol´ı bodu x a N libovolné jeho okol´ı. Potom C ∩ N je okol´ı x v kompaktn´ım Hausdorffovˇe prostrou C. Proto existuje kompaktn´ı podokol´ı x ∈ D ⊆ C ∩ N . Protoˇze je D okol´ım x v C a C je okol´ım x v X, je D také okol´ım x v X. Vˇ eta 8.4. Souˇcin dvou lok´ alnˇe kompaktn´ıch prostor˚ u je lok´ alnˇe kompaktn´ı. D˚ ukaz. Zjevnˇe staˇc´ı naj´ıt kompaktn´ı okol´ı (x, y) ∈ X × Y , které se vejde do U × V 3 (x, y). Necht’ U ⊇ C 3 x a V ⊇ D 3 y. Potom C × D je ono hledané kompaktn´ı okol´ı. Konstrukce 8.5 (jednobodov´ a kompaktifikace). Necht’ X je lokálnˇe kompaktn´ı prostor a + ∞ ∈ / X. Poloˇzme X = X ∪ {∞}. Definujme na X + topologii následuj´ıc´ım zp˚ usobem: U ⊆ X + je otevˇren´ a, pr´ avˇe kdyˇz • ∞∈ / U a U je otevˇren´ a v X nebo • ∞ ∈ U a X r U je kompaktn´ı. Tento prostor se naz´ yv´ a jednobodov´ a kompaktifikace prostoru X. d´ u 11 Pˇ r´ıklad 8.6. Dokaˇzte, ˇze se jedn´ a opravdu o topologii (k tomu budete potˇrebovat dokázat, ˇze koneˇcné sjednocen´ı kompaktn´ıch podmnoˇzin je kompaktn´ı). Vˇ eta 8.7. Prostor X + je kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor, jehoˇz je X podprostorem. D˚ ukaz. Zjevnˇe vˇsechny stopy“ X ∩ U otevˇren´ ych U ⊆ X + jsou otevˇrené (k tomu je potˇreba ” Hausdorffovost), takˇze je vskutku X podprostorem X + . Necht’ U je libovolné otevˇrené pokryt´ı X + . Pak nˇejaké U0 ∈ U obsahuje ∞ a z otevˇrenosti je X r U0 kompaktn´ı. Proto lze z U vybrat koneˇcnˇe mnoho U1 , . . . , Un pokr´ yvaj´ıc´ıch X r X0 . + Dohromady U0 , U1 , . . . , Un pokr´ yvaj´ı X . Body X lze oddˇelit otevˇren´ ymi podmnoˇzinami v X. Zb´ yvá tedy oddˇelit x ∈ X a ∞. D´ıky lokáln´ı kompaktnosti existuje kompaktn´ı okol´ı C 3 x. Z definice okol´ı C ⊇ U 3 x a potom U 3 x a X + r C 3 ∞ jsou hledané oddˇeluj´ıc´ı otevˇrené mnoˇziny. cv Pˇ r´ıklad 8.8. V´ yˇse uveden´ ymi poˇzadavky je topologie na X + jednoznaˇcnˇe urˇcena. 16

cv Pˇ r´ıklad 8.9. Popiˇste jednobodovou kompaktifikaci Rn . (popsat stereografickou projekci S n → −1+|v|2 2 0 , uk´ a zat, ˇ z e je spojit´ a spoleˇ c nˇ e se svou inverz´ ı v → 7 Rn , x 7→ xx−e · e0 + 1+|v| e 2 · v – obˇ −1 1+|v|2 0 jsou dány vzoreˇckem (moje univerz´ aln´ı zd˚ uvodˇ nován´ı) – a pouˇz´ıt pˇredchoz´ı pˇr´ıklad). Vzoreˇcek ´ pro inverzi lze nechat za DU s t´ım, ˇze bych jim odvodil, ˇze mus´ı b´ yt tvaru e0 + k(v − e0 ). d´ u 12 Pˇ r´ıklad 8.10. Popiˇste jednobodovou kompaktifikaci kompaktn´ıho Hausdorffova prostoru. konec 6. pˇrednáˇsky Tvrzen´ı 8.11. Spojit´ a bijekce f : X → Y mezi lok´ alnˇe kompaktn´ımi prostory je homeomorfismus, pr´ avˇe kdyˇz je ˇr´ adné“ (proper, tj. vzor kompaktn´ı mnoˇziny je kompaktn´ı). ” D˚ ukaz. Podle definice topologie na jednobodové kompaktifikaci je f + : X + → Y + spojité, právˇe kdyˇz je f ˇr´ adné. Potom se ale jedná o spojitou bijekci mezi kompaktn´ımi Hausdorffov´ ymi prostory a tedy o homeomorfismus. Jeho z´ uˇzen´ı f pak mus´ı b´ yt také homeomorfismus. To lze (moˇzn´ a) pouˇz´ıt na pˇr´ıklad stereografické projekce S n r{e0 } → Rn – je vˇsak potˇreba dokázat ˇrádnost. Vˇ eta 8.12. Lok´ alnˇe kompaktn´ı prostory jsou pr´ avˇe otevˇrené podprostory kompaktn´ıch Hausdorffových prostor˚ u. D˚ ukaz. ⇒“: kaˇzd´ y lok´ alnˇe kompaktn´ı prostor X je otevˇren´ ym podprostorem X + . ” ⇐“: kaˇzd´ y kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor je lokálnˇe kompaktn´ı a tyto jsou zjevnˇe ” uzavˇrené na otevˇrené podprostory. Pozn´ amka. Plat´ı také, ˇze uzavˇren´ a podmnoˇzina lokálnˇe kompaktn´ıho podprostoru X je lokálnˇe kompaktn´ı: kompaktn´ı okol´ı x v F lze dostat jako pr˚ uniky F s kompaktn´ımi okol´ımi x v X. ∗∗ Jeˇstˇe obecnˇeji plat´ı, ˇze podmnoˇzina A ⊆ X je lokálnˇe kompaktn´ı, právˇe kdyˇz je pr˚ unikem otevˇrené a uzavˇrené podmnoˇziny (konkrétnˇe je A otevˇrená v A).

9. Re´ aln´ e funkce Definice 9.1. Kompaktifikace prostoru X je vloˇzen´ı X ,→ K prostoru X do nˇejakého kompaktn´ıho Hausdorffova prostoru K jako podprostoru takové, ˇze plat´ı X = K. Základn´ım pˇr´ıkladem je v´ yˇse zmiˇ novaná jednobodová kompaktifikace. Opaˇcn´ ym extrémem ˇ je tzv. Stoneova-Cechova kompaktifikace, která naopak pˇridá bod˚ u co nejv´ıce. Tato kompaktifikace funguje pro libovolné u ´plnˇe regulárn´ı prostory – tˇemi se budeme zab´ yvat v této kapitole. ˇ Definice 9.2. Necht’ X je T1 topologick´ y prostor. Rekneme, ˇze X je T3 1 (´ uplnˇe regul´ arn´ı), 2 jestliˇze pro kaˇzd´ y jeho bod x ∈ X a uzavˇrenou podmnoˇzinu F ⊆ X neobsahuj´ıc´ı x existuje spojitá funkce f : X → [0, 1] takov´ a, ˇze f (x) = 0 a f |F = 1. Pˇ r´ıklad 9.3. Kaˇzd´ y metrick´ y prostor je u ´plnˇe regulárn´ı. Dokázali jsme dokonce, ˇze je u ´plnˇe ” normáln´ı“, tj. ˇze lze oddˇelit funkc´ı libovolné dvˇe uzavˇrené mnoˇziny. Za chv´ıli uvid´ıme, ˇze tato podm´ınka je ekvivalentn´ı normalitˇe. ´ e regul´ Vˇ eta 9.4. Uplnˇ arn´ı prostory jsou uzavˇrené na podprostory a souˇciny. 17

D˚ ukaz. Je-li A ⊆ X libovon´ y podprostor a x ∈ A, F ⊆ A uzavˇrená v A a neobsahuj´ıc´ı x, tak potom x a F jsou také disjunktn´ı v X. Proto existuje f : X → [0, 1] oddˇeluj´ıc´ı x od F . Jej´ı z´ uˇzen´ı na A oddˇeluje x od F . Q Necht’ nyn´ı Xi jsou u ´plnˇe regul´ arn´ı, i ∈ I, a uvaˇzme souˇcin X = i∈I Xi . Je-li x ∈ X a F ⊆ X uzavˇren´ a neobsahuj´ıc´ı x, potom x ∈ X r F (otevˇrená) a podle definice topologie souˇcinu −1 x ∈ p−1 j1 (U1 ) ∩ · · · ∩ pjn (Un ) ⊆ X r F nk˚ um Fk = Xjk r Uk dostáváme pro nˇejaké otevˇrené Uk ⊆ Xjk . Pˇrechodem k doplˇ −1 p−1 j1 (F1 ) ∪ · · · ∪ pjn (Fn ) ⊇ F

a uzavˇrená mnoˇzina nalevo st´ ale neobsahuje x. Staˇc´ı ji proto od x oddˇelit. Zvolme spojité funkce fk : Xjk → [0, 1] oddˇeluj´ıc´ı pjk (x) od Fk a poloˇzme f (x) = max{f1 (pj1 (x)), . . . , fn (pjn (x))}. cv Cviˇ cen´ı 9.5. Dokaˇzte, ˇze pro spojité funkce f, g : X → R je spojitá i max{f, g}. ´ e regul´ Vˇ eta 9.6. Uplnˇ arn´ı prostory jsou pr´ avˇe podprostory krychl´ı [0, 1]S . D˚ ukaz. Kaˇzd´ y podprostor [0, 1]S je u ´plnˇe regulárn´ı podle pˇredchoz´ı vˇety. Necht’ tedy naopak X je u ´plnˇe regulárn´ı a poloˇzme S = {f : X → [0, 1] | f je spojité}. Komponenty t ∈ [0, 1]S budeme ps´ at jako tf = pf (t). Definujme zobrazen´ı h : X → [0, 1]S pomoc´ı jeho komponent X

h

/ [0, 1]S

f

!

pf

[0, 1] tedy h(x) = (f (x))f ∈S . Podle univerzáln´ı vlastnosti souˇcinu je h spojité. Dále ukáˇzeme, ˇze je injektivn´ı a na z´ avˇer, ˇze je homeomorfismem na sv˚ uj obraz. Necht’ x, y ∈ X jsou dva r˚ uzné body a necht’ f : X → [0, 1] je spojitá funkce oddˇeluj´ıc´ı x od y. Potom (h(x))f = 0 a (h(y))f = 1, proto h(x) 6= h(y). Zb´ yvá ukázat, ˇze obraz uzavˇrené mnoˇziny F ⊆ X je uzavˇren´ y v h(X). Zvolme proto libovoln´ y bod h(x) ∈ / h(F ) a hledejme jeho okol´ı disjunktn´ı s h(F ). D´ıky injektivitˇe plat´ı x ∈ / F a proto existuje f : X → [0, 1] oddˇeluj´ıc´ı x od F . Potom ale (h(x))f = 0, zat´ımco pf |h(F ) = 1. Proto (pf )−1 [0, 1) je hledané otevˇrené okol´ı h(x) disjunktn´ı s h(F ). D˚ usledek 9.7. Topologický prostor m´ a kompaktifikaci, pr´ avˇe kdyˇz je u ´plnˇe regul´ arn´ı. D˚ ukaz. Pokud m´ a X kompaktifikaci, je podprostorem kompaktn´ıho Hausdorffova prostoru, o kterém jsme dok´ azali, ˇze je norm´ aln´ı. Za chv´ıli uvid´ıme, ˇze T4 ⇒ T3 1 (Uryshohnova vˇeta). 2 Necht’ naopak X je u ´plnˇe regul´ arn´ı. Potom X je homeomorfn´ı podprostoru krychle a tedy u ´plnˇe regul´ arn´ı. Definice 9.8. Pro vloˇzen´ı h : X → [0, 1]S z pˇredchoz´ıho d˚ ukazu poloˇzme β(X) = h(X). ˇ Jedná se o kompaktifikaci prostoru X a ˇr´ıká se j´ı Stoneova-Cechova kompaktifikace.

18

ˇ Pozn´ amka. Stoneova-Cechova kompaktifikace má následuj´ıc´ı univerzáln´ı vlastnost: je-li X ,→ K libovoln´ a kompaktifikace, pak existuje jediné spojité rozˇs´ıˇren´ı β(X) → K (jednoduˇse se rozˇs´ıˇr´ı na zobrazen´ı β(X) → β(K) ∼ uvodu se jedná o nejvˇetˇs´ı“ moˇznou = K). Z tohoto d˚ ” kompaktifikaci. ´ e regul´ ∗ Vˇ eta 9.9. Uplnˇ arn´ı topologický prostor se spoˇcetnou b´ az´ı topologie je metrizovatelný. D˚ ukaz. Anal´ yzou d˚ ukazu vˇety o vloˇzen´ı do krychle lze jednoduˇse dospˇet k následuj´ıc´ımu ’ pozorován´ı. Necht S0 ⊆ S = {f : X → I spojité}. Potom zobrazen´ı h0 : X → I S0 s komponentami h0 = (f )f ∈S0 je vloˇzen´ı, jestliˇze pro kaˇzdou uzavˇrenou mnoˇzinu F a bod x∈ / F existuje f ∈ S0 takov´ a, ˇze f (x) = 0, f |F = 1. V dalˇs´ım nalezneme spoˇcetnou mnoˇzinu S0 s touto vlastnost´ı. Potom h0 : X ,→ I ω a na ω I existuje metrika X 1 dist(x, y) = 2n |xn − yn |. Q ∼ d´ u 13 Dokaˇzte, ˇze tato metrika zad´ av´ a na I ω souˇcinovou topologii I ω = ∞ n=1 I. Metrika na X = h0 (X) se pak dostane z´ uˇzen´ım metriky na I ω . Zb´ yvá nalézt S0 . Necht’ U ⊆ V jsou bazické otevˇrené mnoˇziny. Pokud existuje nˇejak´ a spojitá f : X → I s vlastnost´ı f |U = 0, f |XrV = 1, tak nˇejakou takovou zvolme a oznaˇcme FU,V . Poloˇzme S0 = {fU,V | U ⊆ V bazické takové, ˇze fU,V existuje}. Je potˇreba ovˇeˇrit podm´ınku. Necht’ x ∈ / F , tedy x ∈ X r F . Podle definice báze topologie existuje bázick´ a V s vlastnost´ı x ∈ V ⊆ X r F . D´ıky u ´plné regularitˇe pak existuje f : X → I taková, ˇze f (x) = 0 a f |XrV = 1. Vhodnou reparamterizac´ı 0 t ≤ 12 ϕ(t) = 2t − 1 t ≥ 12 dostaneme funkci ϕf , kter´ a je nulová na okol´ı f −1 [0, 12 ) 3 x. Opˇet existuje bazická U s 1 −1 vlastnost´ı f [0, 2 ) ⊇ U 3 x. Proto funkce fU,V existuje; sice nemus´ı b´ yt rovna ϕf , ale nicménˇe libovolné fU,V oddˇeluje x od F tak, jak poˇzadujeme. ∗ Vˇ eta 9.10 (Urysohn). Necht’ X je norm´ aln´ı prostor a F, G ⊆ X dvˇe jeho disjunktn´ı uzavˇrené podmnoˇziny. Pak existuje spojité f : X → [0, 1] takové, ˇze f |F = 0 a f |G = 1. D˚ ukaz. Poloˇzme F0 = F , U1 = X r G. Hledáme tedy funkci f s vlastnostmi f |U0 = 0, f |XrU1 = 1. Z normality existuj´ı F0 ⊆ U1/2 ⊆ F1/2 ⊆ U1 (nebot’ X r F1/2 je okol´ı X r U1 disjunktn´ı s U1/2 ). V dalˇs´ım kroku dost´ av´ ame F0 ⊆ U1/4 ⊆ F1/4 ⊆ U1/2 ⊆ F1/2 ⊆ U3/4 ⊆ F3/4 ⊆ U1 . a induktivnˇe pak systém otevˇren´ ych mnoˇzin Um/2n a uzavˇren´ ych mnoˇzin Fm/2n splˇ nuj´ıc´ı Ur ⊆ Fr a pro r < s také Fr ⊆ Us . Poloˇzme f (x) = inf{r = m/2n ∈ [0, 1] | x ∈ Ur }, pˇriˇcemˇz f (x) = 1, pokud x neleˇz´ı v ˇzádném Ur . Zejména tedy f |XrU1 = 1; zˇrejmˇ Se také f |F0 = 0. Spojitost zobrazen´ı f plyne z jednoduˇse ovˇeˇritelného vzoreˇcku f −1 (a, b) = a
D˚ ukaz. O nˇeco symetriˇctˇejˇs´ı je pˇr´ıpad funkce s hodnotami v intervalu [−1, 1]. Definujme postupné aproximace rozˇs´ıˇren´ı f , pˇriˇcemˇz bude f = limn fn . Uvaˇzme uzavˇrené mnoˇziny F = g −1 [−1, −1/3] a G = g −1 [1/3, 1] a zvolme libovolnou funkci f1 : X → [−1/3, 1/3] tak, aby f1 |F = −1/3 a f1 |G = 1/3. Potom |g(x) − f1 (x)| ≤ 2/3. V dalˇs´ım kroku se podobnˇe snaˇz´ıme aproximovat funkci g − f1 : F → [−2/3, 2/3] a opˇet se n´ am podaˇr´ı naj´ıt f2 : X → [−2/32 , 2/32 ] tak, ˇze |(g(x) − f1 (x)) − f2 (x)| ≤ 22 /32 ... Obecnˇe pak fn : X → [−2n−1 /3n , 2n−1 /3n ] a |g(x) − f1 (x) − . . . − fn (x)| ≤ 2n /3n . Protoˇze je posloupnost ˇc´ asteˇcn´ ych souˇct˚ u f1 + · · · + fn stejnomˇernˇe konvergentn´ı, je souˇcet f1 + f2 + · · · spojitá funkce a podle odhad˚ u se na F shoduje s g.

10. Homotopie, fundament´ aln´ı grupa, nakryt´ı Definice 10.1. Necht’ X, Y jsou topologické prostory, f0 , f1 : X → Y spojitá zobrazen´ı. ˇ Rekneme, ˇze f0 , f1 jsou homotopick´ a, jestliˇze existuje spojité zorazen´ı h : [0, 1] × X → Y takové, ˇze h(0, x) = f0 (x), h(1, x) = f1 (x). Znaˇc´ıme f0 ∼ f1 , pˇr´ıpadnˇe h : f0 ∼ f1 . Zobrazen´ı h se naz´ yv´ a homotopie mezi f0 a f1 . cv Pˇ r´ıklad 10.2. Kaˇzd´ a dvˇe zobrazen´ı f0 , f1 : X → Rn jsou homotopická. To samé plat´ı pro libovolnou konvexn´ı podmnoˇzinu Rn . Pˇ r´ıklad 10.3 (d˚ ukaz pozdˇeji). Vloˇzen´ı S 1 → R2 r {0} nen´ı homotopické s ˇzádn´ ym konstantn´ım zobrazen´ım. V dalˇs´ım v´ıceménˇe ukáˇzeme, ˇze homotopické tˇr´ıdy zobrazen´ı S 1 → R2 r {0} jsou v bijekci s Z, pˇriˇcemˇz ˇc´ıslo odpov´ıdaj´ıc´ı zobrazen´ı f je tzv. nav´ıjec´ı ˇc´ıslo f , tj. poˇcet obˇeh˚ u f okolo poˇc´ atku. Vˇ eta 10.4. Homotopie je relace ekvivalence na mnoˇzinˇe spojitých zobrazen´ı. D˚ ukaz. Pro reflexivitu f ∼ f staˇc´ı vz´ıt homotopii (t, x) 7→ f (x) ( konstantn´ı homotopie“). ” Pro symetrii h : f0 ∼ f1 ⇒ h : f1 ∼ f0 staˇc´ı vz´ıt h(t, x) = h(1 − t, x). Je-li h : f0 ∼ f1 a k : f1 ∼ f2 , pak h(2t, x), t ≤ 21 (h ∗ k)(t, x) = k(2t − 1, x), 21 ≤ t je homotopie f0 ∼ f2 . Jej´ı spojitost plyne z toho, ˇze [0, 12 ] × X a [ 12 , 1] × X tvoˇr´ı koneˇcné uzavˇrené pokryt´ı I × X. Vˇ eta 10.5. Jsou-li f0 ∼ f1 : X → Y a g0 ∼ g1 : Y → Z, potom také g0 f0 ∼ g1 f1 : X → Z. D˚ ukaz. Necht’ h je homotopie f0 ∼ f1 a k homotopie g0 ∼ g1 . Potom k(t, h(t, x)) je homotopie mezi k(0, h(0, x)) = g0 f0 (x) a k(1, h(1, x)) = g1 f1 (x). konec 7. pˇrednáˇsky Definice 10.6. Prostory X, Y se naz´ yvaj´ı homotopicky ekvivalentn´ı, jestliˇze existuj´ı spojit´ a zobrazen´ı f : X → Y , g : Y → X taková, ˇze gf ∼ idX , f g ∼ idY . Znaˇc´ıme X ' Y . Zobrazen´ı f a g se naz´ yvaj´ı homotopické ekvivalence. cv Pˇ r´ıklad 10.7. Plat´ı Rn ' {∗}, tj. Rn je staˇziteln´ y; Rn r {0} ' S n−1 . 20

Fundament´ aln´ı grupa (Poincar´ e). Necht’ x0 , x1 , x2 ∈ X jsou pevnˇe zvolené body. Tak jako v d˚ ukazu tranzitivity definujme pro cestu γ z x0 do x1 a cestu δ z x1 do x2 jejich nav´ az´ an´ı β(2t), t ∈ [0, 21 ] β ∗ γ(t) = γ(2t − 1), t ∈ [ 12 , 1] Tato operace je skoro asociativn´ı“, konkrétnˇe asociativn´ı aˇz na homotopii. Definujeme ho” motopii cest mezi γ0 a γ1 jako homotopii h : [0, 1] × [0, 1] → X splˇ nuj´ıc´ı h(0, x) = γ0 (x),

h(1, x) = γ1 (x),

h(t, 0) = x0 ,

h(t, 1) = x1 .

(Jin´ ymi slovy vˇsechny cesty mezi γ0 a γ1 zaˇc´ınaj´ı a konˇc´ı v t´ ychˇz bodech x0 , x1 .) Speciáln´ım pˇr´ıpadem cest jsou smyˇcky v x0 , tj. cesty z x0 do x0 . V takovém pˇr´ıpadˇe se homotopie cest naz´ yv´ a homotopi´ı smyˇcek. Definujeme π1 (X, x0 ) = {smyˇcky v x0 }/homotopie smyˇcek. Na π1 (X, x0 ) definujeme operaci [β] · [γ] = [β ∗ γ]. Vˇ eta 10.8. Výˇse uveden´ a operace je dobˇre definovan´ a a zad´ av´ a na π1 (X, x0 ) strukturu grupy. D˚ ukaz. Je-li h homotopie smyˇcek β0 ∼ β1 a k homotopie smyˇcek γ0 ∼ γ1 , pak h(2t, s), t ≤ 21 (h ∗ k)(t, s) = k(2t − 1, s), 12 ≤ t je homotopie smyˇcek β0 ∗ γ0 ∼ β1 ∗ γ1 . Asociativita: definujme α ∗ β ∗ γ, smyˇcku, která projde vˇsechny tˇri smyˇcky α, β, γ tˇrikr´ at rychleji. Obˇe α ∗ (β ∗ γ), (α ∗ β) ∗ γ jsou nˇejaké reparametrizace, konkrétnˇe α ∗ (β ∗ γ) = (α ∗ β ∗ γ) ◦ ϕr ,

(α ∗ β) ∗ γ = (α ∗ β ∗ γ) ◦ ϕl ,

kde ϕr , ϕl : I → I jsou konkrétn´ı spojitá zobrazen´ı, viz obrázek. Protoˇze je I konvexn´ı, máme ϕr ∼ ϕl a proto také α ∗ (β ∗ γ) ∼ (α ∗ β) ∗ γ. d´ u 14 Proˇc je to homotopie smyˇcek? Jednotka je konstantn´ı cesta ε(t) = x0 , opˇet ε ∗ γ a γ ∗ ε jsou reparametrizace“ smyˇcky ” γ. Inverze je d´ ana smyˇckou γ(t) = γ(1 − t). d´ u 15 Ukaˇzte, ˇze se jedn´ a vskutku o inverzi. Pˇ r´ıklad 10.9. Plat´ı π1 (Rn , 0) = {e}. cv Pˇ r´ıklad 10.10. Pokud lze x0 , x1 ∈ X spojit cestou, pak π1 (X, x0 ) ∼ = π1 (X, x1 ). Tento isomorfismus z´ avis´ı na volbˇe cesty – identifikujte jej pro smyˇcku (tj. pro x0 = x1 ). cv Pˇ r´ıklad 10.11. Dokaˇzte π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ∼ = π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ). Definice 10.12. Disjunktn´ı sjednocen´ı topologick´ ych prostor˚ u X, Y je mnoˇzina X t Y = ({0} × X) ∪ ({1} × Y ) spoleˇcnˇe s topologi´ı {W ⊆ X t Y | X ∩ W ⊆ X otevˇrená, Y ∩ W ⊆ Y otevˇrená} 21

Pozn´ amka. Alternativnˇe je topologie dána {U t V | U ⊆ X otevˇrená, V ⊆ Y otevˇrená}. Oznaˇc´ıme-li inkluze i : X → X t Y , j : Y → X t Y , má disjunktn´ı sjednocen´ı následuj´ıc´ı univerzáln´ı vlastnost fi

X

i

(

X 6 tY

f

" /Z <

j

Y

fj

tj. zobrazen´ı f : X t Y → Z je spojité, právˇe kdyˇz obˇe z´ uˇzen´ı f i : X → Z, f j : Y → Z jsou spojitá. To je proto, ˇze X ∩ U = i−1 (U ), Y ∩ U = j −1 (U ). Zobrazen´ı f znaˇc´ıme téˇz f = [g, h], kde g = f i, h = f j jsou jeho z´ uˇzen´ı na podprostory X, Y . cv Pˇ r´ıklad 10.13. Dokaˇzte, ˇze topologick´ y prostor je nesouvisl´ y, právˇe kdyˇz je homeomorfn´ı disjunktn´ımu sjednocen´ı dvou nepr´ azdn´ ych prostor˚ u. Je-li Z = X t Y jako mnoˇzina, pak Z má topologii disjunktn´ıho sjednocen´ı, právˇe kdyˇz X, Y jsou obojetné. Pozn´ amka. Pokud maj´ı X, Y metriku, dodefinujme ji na metriku na X tY pomoc´ı dist(x, y) = 1. To zadáv´ a na X t Y topologii disjunktn´ıho sjednocen´ı. ’ Definice F 10.14.SNecht Xi , i ∈ I, jsou topologické prostory. Definujeme disjunktn´ı sjednocen´ı jako i∈I Xi = i∈I {i} × Xi spolu s topologi´ı {U ⊆

G

Xi | ∀i ∈ I : Xi ∩ U ⊆ Xi otevˇrená}

i∈I

Topologick´ y prostor uzavˇren´ y podprostor.

F

i∈I

Xi m´ a opˇet univerzáln´ı vlastnost a opˇet je kaˇzdé Xi otevˇren´ ya

Definice 10.15. Spojité zobrazen´ı p : Y → X se naz´ yvá nakryt´ı, jestliˇze pro kaˇzdé x ∈ X ∼ F = existuje otevˇrené okol´ı U 3 x a homeomorfismus ϕ : i∈I U − → p−1 (U ) takov´ y, ˇze komutuje F

i∈I

[id]

kde [id] :

F

i∈I

ϕ

U "

U

|

/ p−1 (U ) p

U → U je zobrazen´ı, které je na kaˇzdém sˇc´ıtanci identita, tedy pϕ(i, x) = x.

cv Pˇ r´ıklad 10.16. Dokaˇzte, ˇze p : R → S 1 , t 7→ e2πit je nakryt´ı. Vˇ eta 10.17 (zved´ an´ı cest). Necht’ p : Y → X je nakryt´ı a γ : I → X cesta. Pro kaˇzdé ˇ ık´ y0 ∈ p−1 (γ(0)) existuje jedin´ a cesta γ e : I → Y takov´ a, ˇze γ e(0) = y0 , pe γ = γ. R´ ame j´ı zvednut´ı cesty γ zaˇc´ınaj´ıc´ı v y0 . F D˚ ukaz. Z definice nakryt´ı je X pokryto otevˇren´ ymi mnoˇzinami U takov´ ymi, ˇze p−1 (U ) ∼ = U; toto pokryt´ı oznaˇcme U. D´ ale uvaˇzme γ −1 (U) = {γ −1 (U ) | U ∈ U }, otevˇrené pokryt´ı I. k Podle Lebesgueova lemmatu existuje n ∈ N takové, ˇze kaˇzd´ y interval [ k−1 z´ı v nˇejakém n , n ] leˇ k−1 k 0 1 n −1 −1 γ (U ) ∈ γ (U), tj. γ[ n , n ] ⊆ U . Definujme γ e postupnˇe na intervalech [ n , n ], . . . , [ n−1 n , n ]. 22

F Necht’ pˇri homeomorfismu ϕ : i∈I U ∼ e[ n0 , n1 ] je = p−1 (U ) je ϕ−1 (y0 ) ∈ {i} × U . Protoˇze γ souvisl´ y a mus´ı obsahovat y0 , mus´ı leˇzet v ϕ({i} × U ). d´ u 16 dokázat posledn´ı tvrzen´ı ∼ = Protoˇze je p : ϕ({i} × U ) − → U homeomorfismus, jsme nuceni poloˇzit γ e(t) = (p|ϕ({i}×U ) )−1 γ(t). T´ım je urˇceno z´ uˇzen´ı γ e na [ n0 , n1 ] a zejména γ e( n1 ), poˇcáteˇcn´ı bod zvednut´ı γ|[ 1 ,1] . n

Vˇ eta 10.18 (zved´ an´ı homotopi´ı). Necht’ p : Y → X je nakryt´ı, h : I × P → X homotopie a e h0 : P → Y (ˇc´ asteˇcné zvedunt´ı) takové, ˇze p(e h0 (z)) = h(0, z). Potom existuje jedin´ a homotopie e e e e ˇ h : I × P → Y takov´ a, ˇze h(0, z) = h0 (z), ph(t, z) = h(t, z). R´ık´ ame j´ı zvednut´ı homotopie h zaˇc´ınaj´ıc´ı v e h0 . konec 8. pˇrednáˇsky ∗∗ D˚ ukaz. Podle pˇrechoz´ı vˇety pro kaˇzdé z ∈ P existuje jediné spojité zvednut´ı h(−, z) zaˇc´ınaj´ıc´ı ve h0 (z), oznaˇcme jej e h(−, z). T´ım je dokázána jednoznaˇcnost e h, zb´ yvá ukázat jeho spojitost. k−1 k Necht’ z0 ∈ P je pevn´ F e a zvolme U1 , . . . , Un ⊆ X otevˇrené tak, ˇze h(−, z0 )[ n , n ] ⊆ Uk . −1 ∼ Necht’ ϕk : p (Uk ) = Uk je lok´ aln´ı trivializace a ik takov´ y index, ˇze k ϕk e h(−, z0 )[ k−1 n , n ] ⊆ {ik } × Uk .

Jednoduˇse se uk´ aˇze, ˇze na nˇejakém okol´ı N 3 z0 plat´ı tytéˇz vztahy (pouˇzit´ım tube lemma). k To ale znamen´ a, ˇze pro t ∈ [ k−1 ı ϕk e h(t, z) = (ik , h(t, z)). Protoˇze je ϕk homen , n ] a z ∈ N plat´ e a. D´ıky tomu, ˇze jsou intervaly uzavˇrené a je jich koneˇcnˇe omorfismus, je h|[ k−1 , k ]×N spojit´ n n mnoho, je i e h|I×N spojit´ a a tedy i e h. Definice 10.19. Topologick´ y prostor X se naz´ yvá jednoduˇse souvislý (1-souvisl´ y), jestliˇze je cestovˇe souvisl´ y a π1 (X, x0 ) = {e} pro kaˇzdé/nˇejaké x0 ∈ X. Lemma 10.20. Je-li X jednoduˇse souvislý a x, y ∈ X, potom existuje cesta z x do y, jedin´ a aˇz na homotopii cest. D˚ ukaz. Necht’ γ, δ jsou dvˇe cesty z x do y. Potom γ ∗ εy ∗ δ je smyˇcka v x. D´ıky jednoduché souvislosti je homotopick´ a trivi´ aln´ı smyˇcce. Tato homotopie lze pˇreskládat“ na homotopii ” mezi γ a δ, viz εx

δ εx

5 εx

4

6

4 1

γ

2 εy

εx

εx εx

3

3

5 6

2

εy

1 γ

δ

Vˇ eta 10.21. Necht’ p : Y → X je nakryt´ı, kde Y je jednoduˇse souvislý. Potom existuje bijekce mezi π1 (X, x0 ) a p−1 (x0 ). 23

D˚ ukaz. Zafixujme y0 ∈ p−1 (x0 ). Definujme zobrazen´ı p−1 (x0 ) → π1 (X, x0 ),

y 7→ [pγy ],

kde γy je libovoln´ a cesta z y0 do y. Podle definice je jednoznaˇcná aˇz na homotopii cest a tedy pγy je jednoznaˇcn´ a aˇz na homotopii smyˇcek (p(y0 ) = x0 = p(y)). Inverzn´ı zobrazen´ı je π1 (X, x0 ) → p−1 (x0 ), [γ] 7→ γ e(1), kde γ e je zvednut´ı γ zaˇc´ınaj´ıc´ı v y0 . Necht’ [γ] = [δ], tj. γ ∼ δ jako smyˇcky, a necht’ h je nˇejaká takov´ a homotopie smyˇcek. Podle vˇety o zvedán´ı homotopi´ı existuje jediné zvednut´ı e h e e a proto e zaˇc´ınaj´ıc´ı v h(0, s) = y0 , mus´ı tedy b´ yt e h(t, 0) = γ e(t), e h(t, 1) = δ(t) h(1, s) je cesta z e leˇz´ıc´ı v p−1 (x0 ). Protoˇze je vˇsak p−1 (x0 ) diskrétn´ı (z lokáln´ı trivializace nakryt´ı), γ e(1) do δ(1) e mus´ı b´ yt tato cesta konstantn´ı a γ e(1) = δ(1); proto je zobrazen´ı dobˇre definované. Zb´ yvá ovˇeˇrit, ˇze v´ yˇse uveden´ a zobrazen´ı jsou vzájemnˇe inverzn´ı. To je ale jasné vhodnou volbou dat, pomoc´ı kter´ ych se definuj´ı. Definice 10.22. Necht’ p : Y → X je libovolné spojité zobrazen´ı, y0 ∈ Y libovoln´ y bod a x0 = p(y0 ) ∈ X jeho obraz. Definujeme indukované zobrazen´ı p∗ : π1 (Y, y0 ) → π1 (X, x0 ),

[γ] 7→ [pγ].

Protoˇze p(γ ∗ δ) = (pγ) ∗ (pδ), jedná se o homomorfismus grup. d´ u 17 Pˇ r´ıklad 10.23. Dokaˇzte, ˇze pro nakryt´ı p : Y → X je indukované zobrazen´ı p∗ injektivn´ı. ∗∗ Vˇ eta 10.24. Necht’ p : Y → X je nakryt´ı, Y cestovˇe souvislý. Potom existuje bijekce mezi p∗ π1 (Y, y0 )\π1 (X, x0 ) a p−1 (x0 ) (pˇripomeˇ nme, ˇze kvocient H\G je mnoˇzina tˇr´ıd Hg, g ∈ G). cv Pˇ r´ıklad 10.25. Spoˇctˇete fundamentáln´ı grupu kruˇznice π1 (S 1 , 1) a popiˇste reprezentanty vˇsech homotopick´ ych tˇr´ıd. (Podle pˇredchoz´ı vˇety je v bijekci se Z; dokaˇzte, ˇze je to ve skuteˇcnosti isomorfismus grup. Reprezentanti jsou dáni zobrazen´ımi z 7→ z n .) ∗∗ Pˇ r´ıklad 10.26. Fundament´ aln´ı grupa S 1 ∨ S 1 , jeho nekoneˇcné nakryt´ı a nekoneˇcnˇe generovaná voln´ a podgrupa volné grupy na dvou generátorech. ˇ Necht’ f : X → X je zobrazen´ı X do sebe. Rekneme, ˇze x ∈ X je pevný bod f , jestliˇze f (x) = x. Vˇ eta 10.27 (Brouwerova vˇeta v dimenzi 2). Kaˇzdé spojité zobrazen´ı f : D2 → D2 m´ a pevný bod. D˚ ukaz. D˚ ukaz zredukujeme na n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı: neexistuje retrakce D2 na S 1 , tj. spojité 2 1 zobrazen´ı r : D → S takové, ˇze r|S 1 = id. Kdyby r existovalo, dostali bychom S1

/ D2

/ S1

π1 (S 1 , 1)

/ π1 (D 2 , 1)

/ π1 (S 1 , 1)

Z

{e}

Z

pˇriˇcemˇz podle definice retrakce je sloˇzen´ı rovno id, a tedy idZ by se faktorizovala pˇres {e}, coˇz nelze. 24

Zb´ yvá uk´ azat, jak z neexistence retrakce plyne Brouwerova vˇeta – opˇet sporem. Kdyby existovalo spojité zobrazen´ı f : D2 → D2 bez pevného bodu, vyrob´ıme z nˇej retrakci r tak, ˇze r(x) bude pr˚ useˇc´ık S 1 s (otevˇrenou) polopˇr´ımkou vedenou z f (x) bodem x. Jednoduˇse lze pro r odvodit formulku, kter´ a dokazuje, ˇze je to spojité zobrazen´ı. Vˇ eta 10.28 (Z´ akladn´ı vˇeta algebry). Kaˇzdý nekonstantn´ı polynom nad C m´ a koˇren. D˚ ukaz. Základn´ı myˇslenkou d˚ ukazu je, ˇze lze spoˇc´ıtat poˇcet koˇren˚ u (poˇc´ıtan´ ych podle své násobnosti) uvnitˇr daného kruhu. Ukáˇzeme si to prvnˇe na triviáln´ım pˇr´ıkladu polynomu fn (z) = z n . Zab´ yvejme se smyˇckou γ(t) = Re2πit , která ohraniˇcuje kruh o polomˇeru R. Sloˇzen´ı fn γ : I → R2 r {0} je d´ ano pˇredpisem fn (γ(t)) = Re2πint a obˇehne poˇcátek právˇe 2 n-krát; proto v grupˇe π1 (R r {0}, 1) ∼ ukazu pak = Z reprezentuje prvek n. Hlavn´ı ideou d˚ bude, ˇze to samé plat´ı pro libovoln´ y polynom g stupnˇe n – pokud vˇsechny jeho koˇreny leˇz´ı uvnitˇr kruhu o polomˇeru R, pak gγ je smyˇcka reprezentuj´ıc´ı prvek n. Necht’ g(z) = z n +an−1 z n−1 +· · ·+a1 z+a0 . Prvnˇe omez´ıme moˇzné koˇreny tohoto polynomu. Necht’ R > |an−1 | + · · · + |a1 | + |a0 |, R ≥ 1. Potom pro |z| = R plat´ı |g(z)| ≥ |z n | − |an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 | ≥ Rn − |an−1 |Rn−1 + · · · + |a1 |R + |a0 | ≥ Rn−1 R − (|an−1 | + · · · + |a1 | + |a0 |) > 0 a tedy g m´ a vˇsechny své koˇreny uvnitˇr kruhu o polomˇeru R. Ze stejného d˚ uvodu m´ a pro t ∈ I polynom z n + t(an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 ) koˇreny pouze uvnitˇr kruhu o polomˇeru R. Uváˇz´ıme opˇet smyˇcku γ(t) = Re2πit . Pak v´ yˇse uveden´ a homotopie polynom˚ u urˇcuje homotopii gγ ∼ fn γ smyˇcek v R2 r {0}. Spoˇc´ıtali jsme, ˇze druh´ a smyˇcka reprezentuje prvek n ∈ Z ∼ = π1 (R2 r {0}, 1) a to samé tedy plat´ı pro gγ. Pˇredpokl´ adejme nyn´ı, ˇze g nem´ a ˇzádné koˇreny. Pak libovolná homotopie h : γ ∼ ε s konstantn´ım smyˇckou zad´ av´ a homotopii smyˇcek gγ ∼ ε v R2 r {0}. To je ale moˇzné pouze pro n = 0. Pozn´ amka. V d˚ ukazu jsme poˇc´ıtali“ pouze koˇreny uvnitˇr dostateˇcnˇe velkého kruhu. Stejnˇe ” lze poˇc´ıtat koˇreny g uvnitˇr libovolné oblasti omezené kˇrivkou γ : I → C jakoˇzto homotopickou tˇr´ıdu smyˇcky gγ v R2 r{0}. Z tohoto principu plyne i spojitá závislost“ koˇren˚ u na polynomu. ” Je-li z0 koˇren polynomu g a g 0 je polynom bl´ızk´ y g, potom g 0 má koˇren bl´ızk´ y z0 . konec 9. pˇrednáˇsky cv Pˇ r´ıklad 10.29. Dokaˇzte, ˇze π1 (S n ) = {e} pro kaˇzdé n > 1. (Nápovˇeda: kaˇzdou cestu rozsekejte na naváz´ an´ı cest, které leˇz´ı v doplˇ nku severn´ıho/jiˇzn´ıho pólu a kaˇzdou pozmˇen ˇte homotopi´ı na cestu s mal´ ym obrazem“.) ” cv Pˇ r´ıklad 10.30. Uvaˇzujme na Pn = P(Rn+1 ) topologii kvocientu S n /∼, x ∼ −x. Dokaˇzte, ˇze zobrazen´ı S n → Pn , x 7→ [x], je nakryt´ı a spoˇctˇete π1 (Pn ), n > 1. (Nápovˇeda: leˇz´ı-li otevˇrená mnoˇzina U uvnitˇr jedné hemisféry, pak pro kanonickou projekci p : S n → Pn plat´ı, ∼ = ˇze p : U − → p(U ); d˚ uvodem je, ˇze p je otevˇrené.) d´ u 18 Pˇ r´ıklad 10.31. Pˇredchoz´ı zobecnit na properly discontinuous“ akce (viz Bredon, ale název ” nesed´ı s klasickou definic´ı), tj. akce splˇ nuj´ıc´ı: pro kaˇzd´ y bod x ∈ X existuje okol´ı U 3 x takové, ˇze gU ∩ U = ∅ pro g 6= e. V takovém pˇr´ıpadˇe je projekce X → G\X nakryt´ı a pokud je X jednoduˇse souvislé, pak π1 (G\X) ∼ = G. 25

d´ u 19 Pˇ r´ıklad 10.32. Popiˇste fundament´ aln´ı grupu Kleinovy láhve jakoˇzto G\R2 . ∗∗ Pˇ r´ıklad 10.33. Dokaˇzte, ˇze pro cestovˇe souvisl´ y prostor X plat´ı [S 1 , X] ∼ = π1 (X)/conj.

11. Simplici´ aln´ı komplexy, Brouwerova vˇ eta, invariance dimenze V dalˇs´ım dok´ aˇzeme Brouwerovu vˇetu v obecné dimenzi. Vˇ eta 11.1 (Brouwerova vˇeta). Kaˇzdé spojité zobrazen´ı Dn → Dn m´ a pevný bod. Prvnˇe si rozmysleme, co ˇr´ık´ a v dimenzi 1. Máme D1 = [−1, 1] a tedy tvrd´ıme, ˇze kaˇzdé zobrazen´ı f : [−1, 1] → [−1, 1] m´ a pevn´ y bod. To ale plyne z toho, ˇze f (−1) ≥ −1, f (1) ≤ 1 a tedy nˇekde v intervalu [−1, 1] mus´ı b´ yt f (x) = x. Brouwerovu vˇetu budeme dokazovat kombinatoricky. Proto prvnˇe potˇrebujeme nahradit disk Dn nˇejak´ ym kombinatorick´ ym objektem. K tomu nám poslouˇz´ı následuj´ıc´ı vˇeta, ve které ˚ ∂X = X r X je hranice X. Vˇ eta 11.2. Necht’ X ⊆ Rn je kompaktn´ı konvexn´ı podmnoˇzina s nepr´ azdným vnitˇrkem. Potom existuje homeomorfismus h : Dn → X takový, ˇze h(S n−1 ) = ∂X. D˚ ukaz. Nejprve m˚ uˇzeme pˇr´ıpadn´ ym posunut´ım X, které je homeomorfismus, dosáhnout toho, ˇze poˇcátek 0 je vnitˇrn´ım bodem X. Definujme zobrazen´ı d : S n−1 → R+ jako d(v) = max{t ∈ R+ | tv ∈ X}. Protoˇze je 0 vnitˇrn´ım bodem, je v´ yˇse uvedená mnoˇzina neprázdná a d´ıky kompaktnosti také ohraniˇcená a uzavˇren´ a; proto maxim´ aln´ı prvek existuje. D˚ uleˇzit´ ym krokem bude uk´ azat spojitost zobrazen´ı d. Potom definujeme h0 : I × S n−1 → X,

h0 (t, v) = td(v)v;

to zˇrejmˇe pos´ıl´ a {0} × S n−1 na 0 a indukuje tak zobrazen´ı h : Dn ∼ = (I × S n−1 )/({0} × S n−1 ) → X, které je spojité a podle definice také bijekce mezi kompaktn´ımi Hausdorffov´ ymi prostory. To je onen hledan´ y homeomorfismus. ˚ právˇe kdyˇz t < d(v). To Ukáˇzeme prvnˇe, ˇze pro t ∈ R+ a v ∈ S n−1 plat´ı tv ∈ X, n−1 pˇresnˇe odpov´ıd´ a podm´ınce h(S ) = ∂X. Zjevnˇe pro vnitˇrn´ı bod tv je t < d(v). Naopak stejnolehlost se stˇredem v d(v)v pˇrev´ adˇej´ıc´ı 0 na tv pos´ılá nˇejakou kouli Bε (0) ⊆ X na nˇejakou kouli Bε0 (tv) ⊆ X a proto je tv vnitˇrn´ı. Nyn´ı dok´ aˇzeme spojitost zobrazen´ı d. Necht’ vn → v je konvergentn´ı posloupnost. Protoˇze je d(S n−1 ) omezen´ a, staˇc´ı dok´ azat, ˇze kaˇzdá konvergentn´ı podposloupnost d(vn ) konverguje k d(v). Pˇredpokl´ adejme pro jednoduchost, ˇze sama d(vn ) konverguje k nˇejakému t. Protoˇze d(vn )vn → tv a posloupnost vlevo leˇz´ı v X, mus´ı také tv ∈ X a proto t ≤ d(v). Pˇredpokládejme nyn´ı, ˇze t < d(v). Potom tv je vnitˇrn´ı bod X a proto také d(vn )vn je vnitˇrn´ı bod pro n 0. Podle pˇredchoz´ıho odstavce se ale jedn´ a o hraniˇcn´ı body, spor. 26

Nyn´ı pop´ıˇseme n´ aˇs kombinatorick´ y model disku Dn . ˇ Rekneme, ˇze body A0 , . . . , Ak ∈ Rn jsou afinnˇe nez´ avislé, jestliˇze A1 −A0 , . . . , Ak −A0 jsou lineárnˇe nez´ avislé vektory. Simplexem dimenze k (také k-simplex) nazveme konvexn´ı obal s = [A0 , . . . , Ak ] = {ξ0 A0 + · · · ξk Ak | ξi ≥ 0, ξ0 + · · · + ξk = 1}, afinnˇe nez´ avisl´ ych bod˚ u A0 , . . . , A k . Pˇ r´ıklad 11.3. Standardn´ı simplex ∆k dimenze k je definovan´ y jako konvexn´ı obal ∆k = n+1 [e0 , . . . , ek ] vektor˚ u standardn´ı b´ aze R . Je-li s = [A0 , . . . , Ak ] libovoln´ y jin´ y k-rozmˇern´ y k simplex, pak existuje jediné afinn´ı zobrazen´ı ∆ → s pos´ılaj´ıc´ı ei na Ai a jedná se o homeomorfismus. Libovolné dva simplexy dimenze k jsou tedy homeomorfn´ı. Podle pˇredchoz´ı vˇety je libovoln´ y simplex dimenze n homeomorfn´ı Dn – protoˇze jsou kaˇzdé dva simplexy dimenze n homeomorfn´ı, plyne to z pˇr´ıpadu konvexn´ıho obalu n-tice afinnˇe nez´ avisl´ ych bod˚ u v Rn (ten má neprázdn´ y vnitˇrek). Stˇena simplexu s je [Ai0 , . . . , Ai` ], kde 0 ≤ i0 , . . . , i` ≤ k (a m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze jsou tyto indexy navz´ ajem r˚ uzné a uspoˇr´ adané). Kombinatorick´ y vnitˇrek s je intc s = {ξ0 A0 + · · · ξk Ak | ξi > 0, ξ0 + · · · + ξk = 1} a kombinatorick´ a hranice pak ∂c s = s r intc s. Simpli´ aln´ı komplex K v Rn je koneˇcná mnoˇzina simplex˚ u taková, ˇze • kaˇzd´ a stˇena simplexu z K leˇz´ı v K, • jsou-li s, t dva simplexy z K, pak s ∩ t je jejich spoleˇcná stˇena. S S yv´ a Tˇelesem komplexu K je mnoˇzina |K| = K = s∈K s. Podmnoˇzina P ⊆ Rn se naz´ polyedrem, jestliˇze existuje simplici´ aln´ı komplex K takov´ y, ˇze P = |K|. Simpliciáln´ı komplex K se pak naz´ yv´ a triangulac´ı polyedru P . ˇ Pˇ r´ıklad 11.4. Ctverec m´ a triangulaci sestávaj´ıc´ı se ze dvou troj´ uheln´ık˚ u. Sloˇzitˇejˇs´ı je krychle – ta má triangulaci sest´ avaj´ıc´ı se z ˇsesti ˇctyˇrstˇen˚ u. Podrozdˇelen´ı L komplexu K je simpliciáln´ı komplex takov´ y, ˇze |L| = |K| a kaˇzd´ y simplex s ∈ L leˇz´ı v nˇejakém simplexu t ∈ K, tj. s ⊆ t. Barycentrické podrozdˇelen´ı sd K je definováno následovnˇe: sd[A0 , . . . , Ak ] je d´ ano vˇsemi stˇenami k-simplex˚ u 1 [Ai0 , 21 (Ai0 + Ai1 ), . . . , k+1 (Ai0 + · · · + Aik )],

kde i0 , . . . , ik je libovoln´ a permutace 0, . . . , k; barycentrické podrozdˇelˇen´ı sd K je sjednocen´ım vˇsech sd s, s ∈ K. Jemnost triangulace K je µ(K) = max{diam s | s ∈ K} = max{dist(A, B) | [A, B] ∈ K}, tj. nejvˇetˇs´ı pr˚ umˇer simplexu K nebo, ekvivalentnˇe, nejvˇetˇs´ı vzdálenost bod˚ u spojen´ ych hranou. Lemma 11.5. µ(sd K) ≤

dim K dim K+1 µ(K).

D˚ ukaz. V d˚ ukazu nˇekolikr´ at vyuˇzijeme následuj´ıc´ı pozorován´ı: nejvˇetˇs´ı vzdálenost bodu od bodu simplexu se vˇzdy realizuje v nˇejakém vrcholu tohoto simplexu.1 Nejvˇetˇs´ı vzd´ alenost bodu X od s je stejn´ a jako nejvˇetˇs´ı vzd´ alenost X 0 od s, kde X 0 je projekce X do line´ arn´ıho podprostoru L generovaného s. Podle d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety (s m´ a nepr´ azdn´ y vnitˇrek uvnitˇr L) je tato maxim´ aln´ı pro body z hranice. D´ ale se pouˇzije indukce. 1

27

Tvrzen´ı zˇrejmˇe staˇc´ı dok´ azat pro simplex s = [A0 , . . . , Ak ]. Necht’ t je simplex jeho barycentrického podrozdˇelen´ı. Pr˚ umˇer t je maximáln´ı délka hrany mezi jeho vrcholy. Pokud 1 tato hrana neobsahuje k+1 (A0 + · · · + Ak ), jedná se o simplex barycentrického podrozdˇelen´ı nˇejaké stˇeny s a m˚ uˇzeme pouˇz´ıt indukci vzhledem k dimenzi k. 1 Maxim´ aln´ı vzd´ alenost k+1 (A0 +· · ·+Ak ) od vrchol˚ u barycentrického podrozdˇelen´ı nastane pro nˇekter´ y vrchol Ai a tedy 1 µ(sd s) ≤ max{dist(Ai , k+1 (A0 + · · · + Ak )) | i = 0, . . . , k}, 1 k bi · · · + Ak )) a toto je omezeno pˇriˇcemˇz dist(Ai , k+1 (A0 + · · · + Ak )) = k+1 dist(Ai , k1 (A1 + · · · A k asobky vzd´ alenost´ı Ai od nˇekterého z vrchol˚ u Aj , j 6= i. k+1 -n´

Vˇ eta 11.6 (Spernerovo lemma). Necht’ T je triangulace simplexu [A0 , . . . , An ] a necht’ ϕ je zobrazen´ı mnoˇziny vrchol˚ u T do mnoˇziny {0, . . . , n} takové, ˇze pro B ∈ [Ai0 , . . . , Aik ] je ϕ(B) ∈ {i0 , . . . , ik }. Potom poˇcet simplex˚ u [B0 , . . . , Bn ] ∈ T takových, ˇze ϕ{B0 , . . . , Bn } = {0, . . . , n} je lichý. konec 10. pˇrednáˇsky D˚ ukaz. Indukc´ı vzhledem k n. Oznaˇcme S0 mnoˇzinu n-simplex˚ u, jejichˇz vrcholy jsou oznaˇceny právˇe vˇsemi 0, . . . , n − 1, p0 = #S0 ; S1 mnoˇzinu n-simplex˚ u, jejichˇz vrcholy jsou oznaˇceny právˇe vˇsemi 0, . . . , n, p1 = #S1 ; R mnoˇzinu (n − 1)-simplex˚ u, jejichˇz vrcholy jsou oznaˇceny právˇe vˇsemi 0, . . . , n − 1, x = #R. Poˇc´ıtejme dvˇema zp˚ usoby poˇcet dvojic (s, r), kde s je n-simplex a r jeho stˇena dimenze n − 1 s vlastnost´ı r ∈ R. Prvnˇe se zab´ yvejme t´ım, kolika zp˚ usoby lze vybrat s. Ten zjevnˇe leˇz´ı bud’ v S0 nebo v S1 . V prvn´ım pˇr´ıpadˇe lze stˇenu r vyrbat právˇe dvˇema zp˚ usoby, v druhém právˇe jedn´ım zp˚ usobem. Proto je poˇcet dvojic (s, r) roven 2p0 + p1 . Nyn´ı rozdˇelme tent´ yˇz poˇcet podle moˇznost´ı na v´ ybˇer simplexu r. Ten lze vybrat právˇe x zp˚ usoby, pˇriˇcemˇz kaˇzd´ y takov´ y simplex leˇz´ı právˇe ve dvou2 n-simplexech s s v´ yjimkou tˇech r, které leˇz´ı na hranici simplexu [A0 , . . . , An ]. D´ıky podm´ınce na oznaˇcen´ı vrchol˚ u ve stˇenách pak r leˇz´ı ve stˇenˇe [A0 , . . . , An−1 ] a podle indukˇcn´ıho pˇredpokladu je poˇcet y takov´ ych simplex˚ u lich´ y. Poˇcet dvojic je tedy roven 2p0 + p1 = 2x − y a tedy p1 = 2(x − p0 ) − y je liché. D˚ ukaz Brouwerovy vˇety. Podle dˇr´ıve provedené redukce staˇc´ı ukázat neexistenci retrakce Dn na S n−1 . D´ıky ∆n ∼ adˇej´ıc´ı ∂c ∆n na S n−1 , pak staˇc´ı ukázat neexistenci retrakce = Dn , pˇrev´ r : ∆n → ∂c ∆n . Z pˇr´ıpadné retrakce zkonstruujeme oznaˇcen´ı vrchol˚ u sdN ∆n , N 0, které 2

Form´ alnˇe to plyne z toho, ˇze kaˇzd´ y n-simplex s maj´ıc´ı r za stˇenu leˇz´ı pr´ avˇe v jednom z poloprostor˚ u urˇcen´ ych r. Pokud tedy existuje takov´ y s jedin´ y, nem˚ uˇze r leˇzet uvnitˇr [A0 , . . . , An ]. V pˇr´ıpadˇe, ˇze dva takové n-simplexy s, s0 leˇz´ı v témˇz poloprostoru, tak se prot´ınaj´ı v nˇejakém vnitˇrn´ım bodˇe; tato moˇznost tedy nem˚ uˇze v simplici´ aln´ım komplexu nastat.

28

bude v rozporu se Spernerov´ ym lemmatem. Oznaˇcen´ı ϕ(B) vrcholu B ∈ sdN ∆n je dáno indexem i libovolného takového ei , pro nˇejˇz ve vyjádˇren´ı r(B) = ξ0 e0 + · · · + ξn en je ξi nejvˇetˇs´ı ze vˇsech (tˇech m˚ uˇze b´ yt v´ıc – v takovém pˇr´ıpadˇe vybereme libovoln´ y z nich; vrchol ei je nejbl´ıˇz k bodu r(B)). Myˇslenkou d˚ ukazu pak je, ˇze pˇri dostateˇcnˇe jemné triangulaci budou obrazy simplex˚ u malé a nebudou moct m´ıt vrcholy oznaˇcené vˇsemi 0, . . . , n. Nyn´ı definujeme otevˇrené pokryt´ı U0 , . . . , Un hranice ∂c ∆n pˇredpisem Ui = {ξ0 e0 + · · · ξn en | ξi <

1 n+1 }

Protoˇze jsou ξj nez´ aporn´ a a jejich souˇcet je 1, je jedin´ ym bodem ∆n nepatˇr´ıc´ım do U0 ∪· · ·∪Un 1 n je také zˇrejmé, ˇze pro barycentrum n+1 (e0 + · · · + en ), které ovˇsem neleˇz´ı na hranici. Zároveˇ r(B) ∈ Ui nen´ı ei nejbliˇzˇs´ı vrchol k r(B). Podle Lebesgueova lemmatu existuje ε > 0 takové, ˇze kaˇzdá podmnoˇzina pr˚ umˇeru ε leˇz´ı v nˇekteré z r−1 (U0 ), . . . , r−1 (Un ). Zvolme N 0 tak, N n aby µ(sd ∆ ) ≤ ε. Potom pro s ∈ sdN ∆n bude platit r(s) ⊆ Ui pro nˇejaké i a zejména vˇsechny vrcholy s budou ohodnoceny ˇc´ısly z mnoˇziny {0, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n}. Ke sporu se Spernerov´ ym lemmatem pak staˇc´ı ovˇeˇrit hraniˇcn´ı podm´ınku. Necht’ tedy B ∈ sdN ∆n je vrchol leˇz´ıc´ı ve stˇenˇe [ei0 , . . . , eik ]. Potom r(B) = B = ξ0 e0 + · · · + ξn en s koeficienty ξj = 0 pro vˇsechna j ∈ / {i0 , . . . , ik }; zejména ϕ(B) ∈ {i0 , . . . , ik }. Vˇ eta 11.7 (o invarianci dimenze). Pokud Rn ∼ = Rm jsou homeomorfn´ı, potom n = m. Zaˇcneme s jednoduchou redukc´ı. Pokud Rn ∼ = Rm , budou homeomorfn´ı i jednobodové n m kompaktifikace, S ∼ uzn´ ych dimenz´ı nejsou dokonce ani = S . V dalˇs´ım ukáˇzeme, ˇze sféry r˚ homotopicky ekvivalentn´ı. ˇ Rekneme, ˇze zobrazen´ı f : X → Y je nepodstatné, je-li homotopické konstantn´ımu zobrazen´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe ˇrekneme, ˇze je podstatné. Vˇ eta 11.8. Necht’ Y je topologický prostor. Spojité zobrazen´ı f : S n → Y je nepodstatné, pr´ avˇe kdyˇz lze spojitˇe rozˇs´ıˇrit na Dn+1 . cv D˚ ukaz. Pokud lze f rozˇs´ıˇrit na g : Dn+1 → Y , homotopie f s konstantn´ım zobrazen´ım je tˇreba h(t, x) = g(tx); je totiˇz h(0, x) = g(0) = const a h(1, x) = g(x) = f (x). Necht’ naopak h : I × S n → Y je homotopie mezi konstantn´ım zobrazen´ım a f . Jelikoˇz je h(0, x) nez´ avislé na x, dost´ av´ ame z univerzáln´ı vlastnosti kvocientu spojité zobrazen´ı h0 : Dn+1 ∼ = (I × S n )/∼ → Y, kde (0, x) ∼ (0, x0 ). To je hledané rozˇs´ıˇren´ı. Vˇ eta 11.9. Kaˇzdý homeomorfismus f : S n → Y je podstatný. D˚ ukaz. To je pˇr´ım´ y d˚ usledek Brouwerovy vˇety a pˇredchoz´ı vˇety. Pˇr´ıpadné rozˇs´ıˇren´ı g : Dn+1 → Y by dávalo retrakci f −1

g

Dn+1 → − Y −−→ S n . Zejména plat´ı, ˇze ˇz´ adn´ a sféra S n nen´ı staˇzitelná, tj. homotopicky ekvivalentn´ı jednobodovému prostoru. To je totiˇz ekvivalentn´ı tomu, ˇze identita je nepodstatná. 29

∗ Pˇ r´ıklad 11.10. Dokaˇzte, ˇze kaˇzd´ a homotopická ekvivalence f : S n → Y je podstatná. V dalˇs´ım uk´ aˇzeme, ˇze kaˇzdé zobrazen´ı f : S n → S m , n < m, je nepodstatné. Podle pˇredchoz´ıho pak nem˚ uˇze b´ yt homeomorfismus, coˇz dokazuje vˇetu o invarianci dimenze. ˇ Definice 11.11. Necht’ K, L jsou dva simpliciáln´ı komplexy. Rekneme, ˇze zobrazen´ı f : |K| → |L| je simplici´ aln´ı vzhledem k triangulac´ım K, L, jestliˇze pro libovoln´ y simplex s = [A0 , . . . , Ak ] ∈ K plat´ı [f (A0 ), . . . , f (Ak )] ∈ L a na s je f afinn´ı, tj. plat´ı f (ξ0 A0 +· · ·+ξk Ak ) = ξ0 f (A0 ) + · · · + ξk f (Ak ). Zd˚ uraznˇeme, ˇze vrcholy f (A0 ), . . . , f (Ak ) nemus´ı b´ yt r˚ uzné, dostáváme tak simpliciáln´ı zobrazen´ı z troj´ uheln´ıku na u ´seˇcku. To pˇr´ıliˇs nekoresponduje s kombinatorickou definic´ı simpliciáln´ıho komplexu jako mnoˇziny simplex˚ u r˚ uzn´ ych dimenz´ı, které nˇeco splˇ nuj´ı – dalo by se pˇredpokl´ adat, ˇze simplici´ aln´ı zobrazen´ı bude pos´ılat k-simplexy na k-simplexy. M´ıra obecnosti definice je vˇsak potˇreba – jinak by neexistovalo ˇzádné simpliciáln´ı zobrazen´ı netriviáln´ıho polyedru do bodu.3 Vˇ eta 11.12. (o simplici´ aln´ı aproximaci) Necht’ K, L jsou dva simplici´ aln´ı komplexy a necht’ 0 f : |K| → |L| je spojité zobrazen´ı. Potom existuje podrozdˇelen´ı K triangulace K takové, ˇze f je homotopické zobrazen´ı g : |K 0 | → |L|, které je simplici´ aln´ı vzhledem k triangulac´ım K 0 , L. Pˇred vlastn´ım d˚ ukazem vˇety o simpliciáln´ı aproximaci dokaˇzme vˇetu o invarianci dimenze. D˚ ukaz vˇety o invarianci dimenze. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, staˇc´ı ukázat, ˇze kaˇzdé zobrazen´ı f : n S → S m , n < m, je nepodstatné. D´ıky homeomorfism˚ um S n ∼ = ∂∆m+1 = ∂∆n+1 , S m ∼ 0 n+1 m+1 pak staˇc´ı, ˇze kaˇzdé zobrazen´ı f : ∂∆ → ∂∆ , n < m, je nepodstatné. Podle vˇety o 0 simpliciáln´ı aproximaci je f homotopické simpliciáln´ımu zobrazen´ı g 0 : |K| → |L|. Protoˇze je g 0 na kaˇzdém simplexu afinn´ı, je jeho obraz sjednocen´ım simplex˚ u dimenz´ı nejv´ yˇse n a zejména nen´ı g 0 surjektivn´ı (protoˇze má L vˇetˇs´ı dimenzi). Zpˇetn´ ym pˇrechodem ke sférám je f homotopické zobrazen´ı g, které nen´ı surjektivn´ı a tedy g : S n → S m r {P } ,→ S m . Protoˇze je S m r {P } ∼ y, je prvn´ı zobrazen´ı homotopické konstantn´ımu a to = Rm staˇziteln´ stejné tedy plat´ı i pro kompozici g. Nyn´ı se vr´ at´ıme k d˚ ukazu vˇety o simpliciáln´ı aproximaci. Oznaˇcme pro vrchol A triangulace K jeho otevˇrenou hvˇezdu [ st(A) = intc [A, A1 , . . . , Ak ], [A,A1 ,...,Ak ]∈K

d´ u 20

tj. sjednocen´ı vnitˇrk˚ u vˇsech simplex˚ u obsahuj´ıc´ıch A. Dokaˇzte, ˇzeTst(A) ⊆ |K| je otevˇrené okol´ı bodu A. Protoˇze je ki=0 st(Ai ) sjednocen´ım vnitˇrk˚ u tˇech simplex˚ u, které obsahuj´ı vˇsechny vrcholy A0 , . . . , Ak , je tento pr˚ unik nepr´ azdn´ y, právˇe kdyˇz [A0 , . . . , Ak ] ∈ K. To se nám bude hodit v d˚ ukazu. 3

Form´ alnˇe lze tento problém“ obej´ıt tak, ˇze uv´ aˇz´ıme také form´ aln´ı degenerované“ k-simplexy [A0 , . . . , Ak ] ” ” u nichˇz nepoˇzadujeme, aby vrcholy byly r˚ uzné (st´ ale ale chceme, aby mnoˇzina {A0 , . . . , Ak } byla afinnˇe nez´ avisl´ a). Tyto u ´vahy vedou na tzv. simplici´ aln´ı mnoˇziny.

30

D˚ ukaz vˇety o simplici´ aln´ı aproximaci. Simpliciáln´ı zobrazen´ı g je jednoznaˇcnˇe urˇceno sv´ ymi 0 hodnotami na vrcholech triangulace K , která bude násobn´ ym barycentrick´ ym podrozdˇelen´ım, K 0 = sdN K. Homotopie mezi f a g bude lineárn´ı – potˇrebujeme tedy, aby pro kaˇzd´ y x ∈ |K| leˇzely f (x), g(x) v témˇz simplexu L. Necht’ N 0 je takové, aby se otevˇrená hvˇezda kaˇzdého vrcholu A ∈ K 0 = sdN K zobrazila pomoc´ı f do otevˇrené hvˇezdy nˇejakého vrcholu B ∈ L. To je moˇzné proto, ˇze {st(B) | B ∈ L} je otevˇrené pokryt´ı |L|, tedy U = {f −1 (st(B)) | B ∈ L} otevˇrené pokryt´ı |K|, a st(A) ⊆ Bµ(K 0 ) (A). Staˇc´ı tedy zvolit N tak, aby jemnost µ(K 0 ) byla menˇs´ı neˇz Lebesgueovo ˇc´ıslo otevˇreného pokryt´ı U. Nyn´ı m˚ uˇzeme definovat g(A). Zvolme vrchol B ∈ L libovolnˇe tak, aby f (st(A)) ⊆ st(B) a poloˇzme g(A) = B. Necht’ [A0 , . . . , Ak ] ∈ K 0 . Potom f (intc [A0 , . . . , Ak ]) ⊆

k \

st(g(Ai ))

i=0

a pr˚ unik napravo je tedy nepr´ azdn´ y; to ale znamená, ˇze [g(A0 ), . . . , g(Ak )] ∈ L a g je opravdu simplici´ aln´ı. Necht’ x leˇz´ı uvnitˇr [A0 , . . . , Ak ]. Podle pˇredchoz´ıho pak f (x) leˇz´ı ve vnitˇrku nˇejakého simplexu s obsahuj´ıc´ıho g(A0 ), . . . , g(Ak ). Protoˇze g(x) leˇz´ı uvnitˇr simplexu [g(A0 ), . . . , g(Ak )], kter´ y je stˇenou s, leˇz´ı u ´seˇcka spojuj´ıc´ı f (x), g(x) v s ⊆ |L| a lineárn´ı homotopie mezi f a g m´ a opravdu hodnoty v |L|. konec 11. pˇrednáˇsky

12. Kompaktnˇ e generovan´ e Hausdorffovy prostory Definice 12.1. Topologick´ y prostor X se naz´ yvá kompaktnˇe generovaný Hausdorff˚ uv (CGH), jestliˇze je Hausdorff˚ uv a pro podmnoˇzinu A ⊆ X plat´ı: je-li pro kaˇzdou kompaktn´ı C ⊆ X pr˚ unik C ∩ A otevˇren´ y v C, pak A je otevˇrená. V dalˇs´ım budeme mnoˇzinu A, pro n´ıˇz je C ∩A ⊆ C otevˇrená, naz´ yvat kompaktnˇe otevˇren´ a. Analogicky se definuje kompaktnˇe uzavˇren´ a mnoˇzina. Je tedy X kompaktnˇe generovan´ y, jestliˇze kaˇzd´ a kompaktnˇe otevˇren´ a mnoˇzina je otevˇrená. Pˇ r´ıklad 12.2. Kaˇzd´ y lok´ alnˇe kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor X je kompaktnˇe generovan´ y: ’ necht U je kompaktnˇe otevˇren´ a a x ∈ U . Existuje kompaktn´ı okol´ı C 3 x a d´ıky definici kompaktn´ı otevˇrenosti je C ∩ U ⊆ C otevˇrená, tedy pr˚ unikem C ∩ V s otevˇrenou mnoˇzinou V ⊆ X. Protoˇze jsou obˇe C, V okol´ımi x, je také C ∩U = C ∩V okol´ım x a t´ım sp´ıˇs U ⊇ C ∩U . Necht’ X je Hausdorff˚ uv prostor. Oznaˇcme kX mnoˇzinu X spoleˇcnˇe s topologi´ı danou systémem kompaktnˇe otevˇren´ ych podmnoˇzin. cv Cviˇ cen´ı 12.3. Zobrazen´ı f : kX → Y je spojité, právˇe kdyˇz f : X → Y je spojité na kaˇzdé kompaktn´ı podmnoˇzinˇe. Lemma 12.4. Prostor kX je kompaktnˇe generovaný Hausdorff˚ uv prostor. D˚ ukaz. Protoˇze je v kX v´ıc otevˇren´ ych mnoˇzin, je to zˇrejmˇe Hausdorff˚ uv prostor. Ukáˇzeme, ˇze má stejné kompaktn´ı podprostory. Identické zobrazen´ı kX → X je spojité a proto kaˇzd´ y kompaktn´ı podprostor kX je kompaktn´ı i v X. Necht’ naopak C ⊆ X je kompaktn´ı. Podle 31

cviˇcen´ı je sloˇzen´ı C → X → kX spojité (nebot’ id : kX → kX je spojitá), takˇze jeho obraz je kompaktn´ı mnoˇzina. Dvˇe moˇzné topologie na C, jako podprostoru X a jako podprostoru kX, jsou totoˇzné, protoˇze obˇe identity na C jsou spojité. Kompaktnˇe otevˇrené mnoˇziny X a kX jsou tedy stejné a proto je kX kompaktnˇe generovan´ y (kompaktnˇe otevˇrená podmnoˇzina kX je kompaktnˇe otevˇren´ a v X, tedy otevˇrená v kX). Definice 12.5. Necht’ Y , Z jsou topologické prostory. Na mnoˇzinˇe spojit´ ych zobrazen´ı Z Y = {f : Y → Z | f spojité} definujme compact-open topologii pomoc´ı subbáze M (C, U ) = {f ∈ Z Y | f (C) ⊆ U }, kde C ⊆ Y je kompaktn´ı a U ⊆ Z otevˇrená. ∗ Pˇ r´ıklad 12.6. Necht’ Y je kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor a Z metrick´ y prostor. Definujme metriku stejnomˇerné konvergence na Z Y pomoc´ı pˇredpisu dist(f, g) = max{dist(f (y), g(y)) | y ∈ Y }. Tato metrika zad´ av´ a na Z Y pˇresnˇe compact-open topologii. O nˇeco obecnˇeji pro lok´ alnˇe kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor Y je compact-open topologie na Z Y dána stejnomˇernou konvergenc´ı na kompaktn´ıch podmnoˇzinách. Pro zobrazen´ı f : X × Y → Z definujme f [ : X → Z Y , f [ (x)(y) = f (x, y). Naopak, pro g : X → Z Y definujme g ] : X × Y → Z, g ] (x, y) = g(x)(y). Definujeme X ×k Y = k(X × Y ). D˚ uleˇzitost této konstrukce spoˇc´ıvá v následuj´ıc´ı vˇetˇe. Vˇ eta 12.7 (o adjunkci). Necht’ X, Y jsou kompaktnˇe generované Hausdorffovy prostory a Z libovolný prostor. Potom zobrazen´ı f : X ×k Y → Z je spojité, pr´ avˇe kdyˇz je spojité zobrazen´ı f [ : X → ZY . D˚ ukaz. Spojitost f [ staˇc´ı ovˇeˇrit na kaˇzdé kompaktn´ı podmnoˇzinˇe C ⊆ X a lze vyjádˇrit následovnˇe. Necht’ M (D, U ) je subbazická mnoˇzina. Pak {x ∈ C | ∀y ∈ D : f (x, y) ∈ U } je otevˇren´ a v C. To plyne ze spojitosti f : X × Y → Z na C × D a z kompaktnosti D s pouˇzit´ım tube lemma“. ” Spojitost f je ekvivalentn´ı spojitosti f : X ×Y → Z na kaˇzdé kompaktn´ı mnoˇzinˇe C ×D ⊆ X × Y . Necht’ U ⊆ Z je otevˇren´ a a necht’ f (x, y) ∈ U . Protoˇze je f (x, −) : Y → Z spojité a D ⊆ Y lok´ alnˇe kompaktn´ı, existuje kompaktn´ı okol´ı y ∈ D0 ⊆ D takové, ˇze f (x, D0 ) ⊆ U . To znamen´ a, ˇze x ∈ (f [ )−1 (M (D0 , U )) a ze spojitosti f [ existuje okol´ı x ∈ C 0 ⊆ C takové, ˇze f [ (C 0 ) ⊆ M (D0 , U ), tj. f (C 0 × D0 ) ⊆ U . Tedy f je spojité na C × D. Pozn´ amka. Spojitost f [ je ekvivalentn´ı spojitosti f [ : X → k(Z Y ). To znamená, ˇze kategorie kompaktnˇe generovan´ ych Hausdorffov´ ych prostor˚ u je kartézsky uzavˇrená (nebot’ X ×k Y je Y souˇcin v této kategorii a k(Z ) je objekt funkc´ı).

32

Necht’ ∼ je relace ekvivalence na kompaktnˇe generovaném Hausdorffovˇe prostoru X takov´ a, ˇze X/∼ je opˇet Hausdorff˚ uv. Pak je kompaktnˇe generovan´ y Hausdorff˚ uv. To plyne z toho, ˇze projekce X → X/∼ indukuje spojité zobrazen´ı X = kX → k(X/∼). Protoˇze je ale X/∼ nejvˇetˇs´ı topologie, pro kterou je toto zobrazen´ı spojité, a k(X/∼) má v´ıc otevˇren´ ych mnoˇzin, mus´ı b´ yt k(X/∼) = X/∼, tj. X/∼ je kompaktnˇe generovan´ y Hausdorff˚ uv. D˚ usledek 12.8. Necht’ ∼ je relace ekvivalence na kompaktnˇe generovaném Hausdorffovˇe prostoru X takov´ a, ˇze X/∼ je také Hausdorff˚ uv. Pak existuje homeomorfismus (X ×k Y )/∼ ∼ = (X/∼) ×k Y. D˚ ukaz. Spojité zobrazen´ı (X ×k Y )/∼ → (X/∼) ×k Y je ekvivalentnˇe zadáno jako X ×k Y → (X/∼) ×k Y respektuj´ıc´ı relaci. Staˇc´ı tedy vz´ıt p × id, kde p : X → X/∼ je kanonická projekce. Ze spojitosti pak plyne, ˇze také (X ×k Y )/∼ je Hausdorff˚ uv prostor. V opaˇcném smˇeru, spojité zobrazen´ı (X/∼) ×k Y → (X ×k Y )/∼ je ekvivalentnˇe zadáno jako X/∼ → ((X ×k Y )/∼)Y , tedy jako zobrazen´ı X → ((X ×k Y )/∼)Y respektuj´ıc´ı relaci, a tedy jako zobrazen´ı X ×k Y → (X ×k Y )/∼ respektuj´ıc´ı relaci. Staˇc´ı vz´ıt kanonickou projekci. D˚ uleˇzit´ ym speci´ aln´ım pˇr´ıpadem je, kdyˇz Y je lokálnˇe kompaktn´ı. Tvrzen´ı 12.9. Necht’ X je kompaktnˇe generovaný Hausdorff˚ uv, Y lok´ alnˇe kompaktn´ı Hausdorff˚ uv. Pak X ×k Y = X × Y . D˚ ukaz. Necht’ A ⊆ X × Y je kompaktnˇe otevˇrená a (x0 , y0 ) ∈ A. Potom také ({x0 } × Y ) ∩ A je komapktnˇe otevˇren´ a v {x0 } × Y ∼ = Y a d´ıky kompaktn´ı generovanosti Y otevˇrená. Existuje tedy kompaktn´ı okol´ı y0 ∈ D ⊆ Y s vlastnost´ı {x0 } × D ⊆ A. Uvaˇzme mnoˇzinu U = {x ∈ X | {x} × C ⊆ A} ⊆ X. Ukáˇzeme, ˇze U je kompaktnˇe otevˇrená, tedy otevˇrená – je-li C ⊆ X kompaktn´ı, je (C ×D)∩A otevˇrená v C × D; C ∩ U je pak otevˇrená podle tube lemma“. Proto (x0 , y0 ) ∈ U × D ⊆ A. ” Protoˇze bylo (x0 , y0 ) libovolné, je A otevˇrená. Alternativn´ı d˚ ukaz spoˇc´ıv´ a v n´ asleduj´ıc´ım: zobrazen´ı in : X → (X ×k Y )Y je spojité podle vˇety o adjunkci a evaluace ev : Z Y × Y → Z, (f, y) 7→ f (y), je spojitá d´ıky velice jednoduchému argumentu (je-li U 3 f (y) otevˇrená, tak ze spojitosti f a lokáln´ı kompaktnosti Y existuje kompaktn´ı okol´ı C 3 y; pak M (C, U ) × C je okol´ı (f, y), které se zobraz´ı do U ). Proto je spojit´ a i kompozice in × id

ev

Y X × Y −−−−−→ (X ×k Y )Y × Y −→ X ×k Y

a proto je X × Y kompaktnˇe generovan´ y.

13. Algebry spojit´ ych funkc´ı Pˇripomeˇ nme, ˇze (asociativn´ı, s jednotkou) C-algebra A je vektorov´ y prostor nad C spoleˇcnˇe s bilineárn´ım zobrazen´ım A × A → A, které dˇelá z A okruh. Zobrazen´ı C → A, z 7→ z1, je potom homomorfismus okruh˚ u. Naopak, kaˇzd´ y homomorfismus okruh˚ u ι : C → A zadává na A strukturu vektorového prostoru nad C pomoc´ı za = ι(z) · a. Jednoduˇse se ovˇeˇr´ı, ˇze se jedn´ a 33

o C-algebru, pr´ avˇe kdyˇz obraz ι leˇz´ı v centru okruhu A. Zejména komutativn´ı C-algebra je pˇresnˇe homomorfismus okruh˚ u C → A. Homomorfismus C-algeber Φ : A → B je homomorfismus okruh˚ u, kter´ y je zároveˇ n lineárn´ı. Ekvivalentnˇe komutuje diagram C A

Φ

/B

Necht’ X je kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor. Definujme C(X) = {f : X → C spojitá}. Spoleˇcnˇe se sˇc´ıt´ an´ım a n´ asoben´ım funkc´ı se jedná o okruh. Vloˇzen´ı konstantn´ıch funkc´ı je homomorfismus C → C(X) a jedn´ a se tedy o C-algebru. Vˇ eta 13.1. Existuje pˇrirozen´ a bijekce mezi body X a maxim´ aln´ımi ide´ aly C(X). D˚ ukaz. Prvnˇe pop´ıˇseme maxim´ aln´ı ideály odpov´ıdaj´ıc´ı bod˚ um X. Necht’ x ∈ X. Definujeme mx = {f ∈ C(X) | f (x) = 0}. Protoˇze je mx j´ adrem surjektivn´ıho homomorfismu C-algeber (zejména okruh˚ u) evx : C(X) → C, d´ u 21

f 7→ f (x)

a C je tˇeleso, je mx = ker evx opravdu maximáln´ı ideál. Ukaˇzte, ˇze pˇriˇrazen´ı x 7→ mx je injektivn´ı. Zb´ yvá uk´ azat, ˇze kaˇzd´ y maxim´ aln´ı ideál je tvaru mx pro nˇejaké x ∈ X. Pˇredpokládejme sporem, ˇze I ⊆ C(X) je maxim´ aln´ı ideál r˚ uzn´ y od mx . Potom existuje fx ∈ I r mx . Vynásoben´ım komplexnˇe sdruˇzenou funkc´ı fx dostáváme nezápornou funkci gx = fx fx ∈ I s vlastnost´ı gx (x) > 0. Poloˇzme Ux = {y ∈ X | gx (y) > 0}. Dostáváme tak otevˇrené pokryt´ı U = {Ux | x ∈ X}. D´ıky kompaktnosti X = U x1 ∪ · · · ∪ U xn a funkce g = gx1 + · · · + gxn je kladn´ a na celém X. Proto g −1 existuje a I obsahuje 1 = g −1 g a nem˚ uˇze b´ yt maxim´ aln´ı. Pozn´ amka. Pˇredchoz´ı vˇeta neplat´ı bez podm´ınky kompaktnosti X. Ideál I = {f : Rn → C | ∃C kompaktn´ı: f = 0 na Rn r C}

neleˇz´ı v ˇzádném maxim´ aln´ım ide´ alu mx . Mus´ı tedy leˇzet v nˇejakém maximáln´ım ideálu r˚ uzném od mx a zejména takové maxim´ aln´ı ideály m existuj´ı. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze dimenze C(X)/m ∗∗ bude vˇzdy nekoneˇcn´ a. (Pˇredpokl´ adejme, ˇze jePtato dimenze koneˇcná a poloˇzme f (x) =P |x|. Potom [1, f, f 2 , . . .] m´ a nekoneˇcnou dimenzi – an f n (x) = 0 pouze pro f (x) koˇrenem an z n , tˇech P je koneˇcnˇe mnoho a nem˚ uˇze tedy rovnost platit pro vˇsechna x. Proto mus´ı b´ yt nˇejaké n h = an f ∈ m a mnoˇzina nul Z(h) je kompaktn´ı; dále postupujeme jako v d˚ ukazu vˇety.)

34

Z algebry C(X) lze tedy zrekonstruovat X jako mnoˇzinu; ukaˇzme si nyn´ı, jak lze zrekonstruovat topologii. Je-li I ⊆ C(X) libovoln´ y ideál, je mnoˇzina \ Z(I) = f −1 (0) = {x ∈ X | ∀f ∈ I : f (x) = 0} f ∈I

uzavˇrená (jedn´ a se o mnoˇzinu spoleˇcn´ ych nul ideálu I). d´ u 22 Ukaˇzte, ˇze kaˇzd´ a uzavˇren´ a mnoˇzina vznikne t´ımto zp˚ usobem z nˇejakého ideálu. Vˇ eta 13.2. Existuje pˇrirozen´ a bijekce mezi spojitými zobrazen´ımi ϕ : X → Y a homomorfismy C-algeber Φ : C(Y ) → C(X). D˚ ukaz. Necht’ ϕ : X → Y je spojité zobrazen´ı. Definujme homomorfismus C-algeber ϕ∗ : C(Y ) → C(X) pˇredpisem ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ. Ukáˇzeme nyn´ı, ˇze kaˇzd´ y homomorfismus C-algeber Φ : C(Y ) → C(X) je tohoto tvaru. Necht’ x ∈ X a uvaˇzme ideály mx ⊆ C(X), Φ−1 (mx ) ⊆ C(Y ). Indukované zobrazen´ı C(Y )/Φ−1 (mx ) → C(X)/mx je zjevnˇe injektivn´ı. Oba kvocienty obsahuj´ı C jako podtˇeleso, a to je t´ımto zobrazen´ım fixované. Protoˇze je C(X)/mx rovno C, jedná se o izomorfismus. Proto je Φ−1 (mx ) také maximáln´ı a Φ−1 (mx ) = mϕ(x) pro nˇejaké ϕ(x) ∈ Y . T´ım je urˇceno zobrazen´ı ϕ : X → Y . konec 12. pˇrednáˇsky Zb´ yvá uk´ azat, ˇze ϕ je spojité, a ˇze Φ = ϕ∗ . Necht’ x0 ∈ X, y0 = ϕ(x0 ); potom my0 = tedy Φ(my0 ) ⊆ mx0 . Poˇc´ıtejme

Φ−1 (mx0 ),

Φ(f ) = Φ(f (y0 ) +(f − f (y0 ))) = f (y0 ) + Φ(f − f (y0 )) ∈ f (y0 ) + mx0 , | {z } | {z } ∈my0

konst

tj. Φ(f )(x0 ) = evx0 Φ(f ) = evx0 f (y0 ) = f (y0 ) = f (ϕ(x0 )) = (ϕ∗ f )(x0 ). Protoˇze bylo x0 ∈ X libovolné, m´ ame Φ(f ) = ϕ∗ f , tj. Φ = ϕ∗ . Pro spojitost si staˇc´ı uvˇedomit, ˇze Z(I) = {y ∈ Y | I ⊆ my }. Potom Z(Φ(I)) je mnoˇzina tˇech x ∈ X, pro nˇeˇz Φ(I) ⊆ mx ⇔ I ⊆ Φ−1 (mx ) = mϕ(x) ⇔ ϕ(x) ∈ Z(I), tedy Z(Φ(I)) = ϕ−1 (Z(I)) a zejména je ϕ−1 (Z(I)) uzavˇrená. Protoˇze je kaˇzdá uzavˇren´ a mnoˇzina tvaru Z(I), je ϕ spojité.

14. Topologick´ e grupy, Pontryaginova dualita Definice 14.1. Topologick´ a grupa G je Hausdorff˚ uv topologick´ y prostor a zároveˇ n grupa takov´ ym zp˚ usobem, ˇze grupové operace µ : G × G → G,

µ(x, y) = xy;

ν : G → G,

ν(x) = x−1

jsou spojité. Definujme levou translaci λy : x 7→ yx a pravou translaci ρy : x 7→ xy. Obˇe jsou homeomorfismy, protoˇze (λy )−1 = λy−1 a (ρy )−1 = ρy−1 . Podobnˇe jsou homeomorfismy inverze ν a konjugace x 7→ yxy −1 . 35

Lemma 14.2. Kaˇzd´ a otevˇren´ a podgrupa je z´ aroveˇ n uzavˇren´ a. Zejména podgrupa obsahuj´ıc´ı nˇejaké okol´ı jednotky e obsahuje celou komponentu jednotky. S D˚ ukaz. Doplnˇek uzavˇrené podgrupy H ⊆ G je sjednocen´ım G r H = x∈H riˇcemˇz / xH, pˇ xH = λx (H) je otevˇren´ a – λx je homeomorfismus a H je otevˇrená; je tedy otevˇrená i G r H a H je skuteˇcnˇe uzavˇren´ a. Komponenta jednotky Ge je souvislá uzavˇrená podgrupa – obrazy Ge · Ge = µ(Ge × Ge ), G−1 e souvislé a obsahuj´ı e, proto mus´ı leˇzet v Ge . Je-li H ⊆ G libovoln´ a e = ν(Ge ) jsou tak´ podgrupa obsahuj´ıc´ı nˇejaké okol´ı U 3 e, pak je zjevnˇe otevˇrená – s kaˇzd´ ym x ∈ H obsahuje i nˇejaké okol´ı xU 3 x. Proto je pr˚ unik Ge ∩ H otevˇrená podgrupa souvislé grupy Ge a mus´ı b´ yt tedy rovn´ y Ge . Lemma 14.3. Uz´ avˇer podgrupy je podgrupa. Uz´ avˇer norm´ aln´ı podgrupy je norm´ aln´ı podgrupa. D˚ ukaz. Je-li H ⊆ G podgrupa, plat´ı H × H ⊆ µ−1 (H). Nen´ı tˇeˇzké se pˇresvˇedˇcit4 , ˇze H × H = −1 H × H a proto také H × H ⊆ µ−1 (H), tj. H · H ⊆ H. Spoleˇcnˇe s H ⊆ ν −1 (H), tj. H ⊆ H, to znamen´ a, ˇze H je grupa. Norm´ alnost plyne podobn´ ym zp˚ usobem pomoc´ı konjugac´ı. Pˇ r´ıklad 14.4. d´ u 23 1. Dokaˇzte, ˇze Hausdorffovost topologické grupy plyne ze slabˇs´ıho poˇzadavku T1 , ve skuteˇcnosti z uzavˇrenosti {e}. (N´ apovˇeda: jsou-li U , V dvˇe okol´ı e a x, y dva body G, pak xU ∩ yV = ∅, pr´ avˇe kdyˇz x−1 y ∈ / U · V −1 .) ∗∗ 2. Kaˇzd´ a topologick´ a grupa je regulárn´ı topologick´ y prostor. Tvrzen´ı 14.5. Kvocient G/H topologické grupy G podle uzavˇrené norm´ aln´ı podgrupy H ⊆ G je topologick´ a grupa. (Zde G/H je vybaven topolgi´ı kvocientu.) D˚ ukaz. D´ıky pˇredchoz´ımu pˇr´ıkladu staˇc´ı ukázat, ˇze násoben´ı a inverze na G/H jsou spojité, a ˇze G/H je T1 . Oznaˇcme p : G → G/H kanonickou projekci. Libovoln´ y bod G/H je uzavˇren´ y, protoˇze jeho vzor je tˇr´ıda xH = λx (H). Prvnˇe si uvˇedomme, ˇze projekce p je otevˇ S otevˇrenou U ⊆ G je i Srená – pro libovolnou p(U ) ⊆ G/H otevˇren´ a – je totiˇz p−1 (p(U )) = y∈U yH = U · H = x∈H U x. Spojitost n´ asoben´ı plyne z n´ asleduj´ıc´ıho diagramu µ

G×G p×p

G/H × G/H

/G

µ0

p

/ G/H

Je-li W ⊆ G/H otevˇren´ a, je také (µ0 )−1 (W ) = (p×p)(µ−1 (p−1 (W ))) otevˇrená d´ıky otevˇrenosti zobrazen´ı p × p. Spojitost inverze je podobná, ale jednoduˇsˇs´ı. Kvocient grupy G podle (uzavˇrené) nenorm´ aln´ı podgrupy H je pouze mnoˇzina, v naˇsem ˇ ıkáme mu homogenn´ı prostor. Homogenn´ı prostory pˇr´ıpadˇe Hausdorff˚ uv topologick´ y prostor. R´ charakterizuje n´ asleduj´ıc´ı vˇeta v pˇr´ıpadˇe kompaktn´ı grupy G. Existuje i rozˇs´ıˇren´ı této vˇety na lokálnˇe kompaktn´ı grupy, je vˇsak technicky nároˇcnˇejˇs´ı. 4

Plat´ı, ˇze A × B je mnoˇzina hromadn´ ych bod˚ u A × B, tj. tˇech (x, y), jejichˇz kaˇzdé okol´ı prot´ın´ a A × B. Zjevnˇe se staˇc´ı omezit na libovolnou b´ az´ı okol´ı, napˇr. na okol´ı tvaru U × V . Pak podm´ınka prot´ın´ an´ı A × B je pˇresnˇe A ∩ U 6= ∅ & B ∩ V 6= ∅. To je ekvivalentn´ı x ∈ A & y ∈ B.

36

Tvrzen´ı 14.6. Necht’ G je kompaktn´ı topologick´ a grupa maj´ıc´ı spojitou akci na Hausdorffovˇe prostoru X. Potom zobrazen´ı G/Gx → G(x),

gGx 7→ gx

je homeomorfismus kvocientu G/Gx podle stabiliz´ atoru x na orbitu G(x) proch´ azej´ıc´ı x. D˚ ukaz. Spojitost zobrazen´ı G/Gx → G(x) plyne z univerzáln´ı vlastnosti kvocientu. Protoˇze je to zároveˇ n bijekce a G/Gx je kompaktn´ı a G(x) Hausdorff˚ uv, je to homeomorfismus. Pˇ r´ıklad 14.7. cv 1. Ukaˇzte, ˇze GL+ (n), SO(n) jsou souvislé. (To lze také ukázat pˇres SO(n+1)/ SO(n) ∼ = Sn n n a d´ıky souvislosti S – k tomu se hod´ı, ˇze projekce SO(n + 1) → S je otevˇrená.) 2. O(n + 1)/ O(n) ∼ cv = Sn. 3. O(n)/({E} × O(n − k)) ∼ cv = Vk (Rn ). cv

def

4. O(n)/(O(k) × O(n − k)) = Gk (Rn ). b = hom(G, T) ⊆ TG , tj. Necht’ G je lok´ alnˇe kompaktn´ı abelovská grupa a definujme Γ = G prostor spojit´ ych homomorfism˚ u G → T do komplexn´ıch jednotek T = R/Z. Opˇet se jedn´ a o lokálnˇe kompaktn´ı abelovskou grupu – jej´ı prvky se naz´ yvaj´ı charaktery. Vezmˇeme nyn´ı b Existuje pˇrirozené zobrazen´ı druh´ y duál Γ. b E : G → Γ,

x 7→ (evx : χ 7→ χ(x)).

Podstatou Pontryaginovy duality je, ˇze E je izomorfismus topologick´ ych grup. b = R, T b = Z, Z b = T. Pˇ r´ıklad 14.8. Plat´ı R Potom na G existuje m´ıra µ definovaná na mnoˇzinˇe Borelovsk´ ych podmnoˇzin E ⊆ G, tj. nejmenˇs´ı σ-algebˇre obsahuj´ıc´ı uzavˇrené mnoˇziny, s následuj´ıc´ımi vlastnostmi 1. je regul´ arn´ı, µ(E) = sup{µ(C) | C ⊆ E kompaktn´ı} = inf{µ(U ) | U ⊇ E otevˇrená}, 2. je translaˇcnˇe invariantn´ı, µ(xE) = µ(E), 3. nen´ı identicky nulov´ a. Taková m´ıra se naz´ yv´ a Haarova m´ıra, existuje a je jednoznaˇcná aˇz na násobek. V pˇr´ıpadˇe G = R je Lebesgueova m´ıra Haarovou m´ırou. Pro obecné G se konstrukce Haarovy m´ıry provád´ı následovnˇe: zkonstruuje se vhodná spojitá lineárn´ı forma Cc (G) → C, kde Cc (G) jsou funkce s kompaktn´ım nosiˇcem; podle Rieszovy reprezentaˇcn´ı vˇety pak tato lineárn´ı forma odpov´ıdá jediné m´ıˇre, pˇriˇcemˇz vlastnosti m´ıry se odvod´ı z vlastnost´ı tohoto funkcionálu. Definuje se potom Fourierova transformace Z 1 b L (G) → C(Γ), f (χ) = f (x)χ(x)dµ, G

kde L1 (G) je prostor absolutnˇe integrabiln´ıch funkc´ı. Inverzn´ı Fourierova transformace je dána Z 1 L (Γ) → C(G), gˇ(x) = g(χ)χ(x)dν, Γ

kde ν je jist´ a du´ aln´ı“ m´ıra na Γ. ” 37

Tyto transformace jsou v˚ uˇci sobˇe inverzn´ı na prostoru funkc´ı absolutnˇe integrabiln´ıch i se sv´ ym kvadr´ atem a zad´ avaj´ı izometrii ∼ =

L2 (G) − → L2 (Γ) (tzv. Plancherelova vˇeta). Z tˇechto u ´vah plyne Pontryaginova dualita pomˇernˇe jednoduˇse. konec 13. pˇrednáˇsky

∗∗

15. Parakompaktn´ı prostory ˇ Definice 15.1. Necht’ U je pokryt´ı prostoru X. Rekneme, ˇze pokryt´ı V je zjemnˇen´ım pokryt´ı U, jestliˇze kaˇzd´ y prvek V ∈ V leˇz´ı v nˇejakém U ∈ U. ˇ Rekneme, ˇze pokryt´ı V je lok´ alnˇe koneˇcné, jestliˇze kaˇzdé x ∈ X má okol´ı N 3 x, které prot´ıná pouze koneˇcnˇe mnoho V ∈ V. ˇ Rekneme, ˇze Hausdorff˚ uv topologick´ y prostor X je parakompaktn´ı, jestliˇz kaˇzdé jeho otevˇrené pokryt´ı m´ a lok´ alnˇe koneˇcne otevˇrené zjemnˇen´ı. Lemma 15.2. Sjednocen´ı lok´ alnˇe koneˇcného systému uzavˇrených mnoˇzin je uzavˇrené. D˚ ukaz. Necht’ F je lok´ alnˇe koneˇcn´ y systém uzavˇren´ ych mnoˇzin a x S ∈ / F. Potom nˇejaké jeho okol´ı N 3 x prot´ın´ a pouze koneˇ c nˇ e mnoho prvk˚ u F a tedy N ∩ F je uzavˇrená v N a S S neobsahuj´ıc´ı x, tedy N r F je okol´ı x a X r F je otevˇrená. Lemma 15.3. Uzavˇrený podprostor parakompaktn´ıho prostoru je parakompaktn´ı. D˚ ukaz. podobn´ y jako pro kompaktn´ı. Tvrzen´ı 15.4. Kaˇzdý parakompaktn´ı prostor je norm´ aln´ı. D˚ ukaz. Dok´ aˇzeme regul´ arnost, norm´ alnost se pak dokáˇze stejnˇe. Necht’ x ∈ / F , kde F ⊆ X je uzavˇrená. Pro kaˇzd´ y y ∈ F zvolme otevˇrené okol´ı Uy 3 y takové, ˇze x ∈ / Uy ; dostáváme tak otevˇrené pokryt´ı {Uy | y ∈ Y } mnoˇziny F . Protoˇze je tato parakompaktn´ Sı podle pˇredchoz´ıho lemmatu, existuje jeho lok´ alnˇe koneˇcnéSotevˇrené zjemnˇen´ı V. Potom V ∈V V je uzavˇrené (d´ıky lokáln´ı koeˇcnosti) okol´ı (obsahuje V) mnoˇziny F , které neobsahuje x. Definice 15.5. Nosiˇc spojité funkce f : X → R je mnoˇzina supp f = f −1 (R r {0}). ˇ Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı X. Rekneme, ˇze systém funkc´ı fλ : X → I, λ ∈ Λ, je rozklad jednotky podˇ r ´ ızen´ y U, jestliˇ z e je {supp f | λ ∈ Λ} lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı U a plat´ı λ P f = 1. λ∈Λ λ Souˇcet v definici d´ av´ a smysl, protoˇze je systém nosiˇc˚ u lokálnˇe koneˇcn´ y, tj. v okol´ı kaˇzdého bodu je tento souˇcet koneˇcn´ y. Ze stejného d˚ uvodu je takov´ y souˇcet vˇzdy spojitá funkce. Vˇ eta 15.6. Necht’ U je otevˇrené pokryt´ı parakompaktn´ıho prostoru X. Potom existuje rozklad jednotky podˇr´ızený U. D˚ ukaz. M˚ uˇzeme pˇredpokl´ adat, ˇze U je lokálnˇe koneˇcné pokryt´ı (pˇr´ıpadn´ ym pˇrechodem ke zjemnˇen´ı). Necht’ U = {Uλ | λ ∈ Λ} a zvolme na indexové mnoˇzinˇe Λ dobré uspoˇrádán´ı. Rozklad jednotky budeme konstruovat transfinitn´ı indukc´ı. Zjevnˇe staˇc´ı zkonstruovat systém 38

P funkc´ı fλ takov´ y, ˇze supp fλ ⊆ Uλ a f = λ∈Λ fλ > 0 – takov´ y systém pak staˇc´ı normovat, tj. nahradit kaˇzdou fλ pod´ılem fλ /f . −1 Pro jiˇz zkonstruované funkce S fλ oznaˇ S cme Vλ = fλ (0, 1]. Indukc´ı budeme pˇredpokládat, ˇze pro i < λ plat´ı Vi ⊆ Ui a i<λ Vi ∪ i≥λ Ui = X. Z tohoto d˚ uvodu je Fλ =

\

(X r Vi ) ∩

i<λ

\

(X r Ui ) ⊆ Uλ

i>λ

a fλ : X → I vol´ıme libovolnˇe tak, ˇze jeP 1 na Fλ a má nosiˇc uvnitˇr Uλ – to je moˇzné d´ıky normálnosti X. Je jednoduché ovˇeˇrit, ˇze λ∈Λ fλ > 0, jak chceme. Plat´ı, ˇze kaˇzd´ y lok´ alnˇe kompaktn´ı Hausdorff˚ uv prostor se spoˇcetnou báz´ı topologie je parakompaktn´ı (d˚ ukaz nen´ı obt´ıˇzn´ y). Také kaˇzd´ y metrick´ y prostor je parakompaktn´ı, d˚ ukaz tohoto tvrzen´ı uˇz je ale pomˇernˇe n´ aroˇcn´ y.

39

Topologie. 18. května Motivace Topologický prostor Spojitá zobrazení Podprostory, součiny Axiomy oddělitelnosti 6

Recommend Documents