Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

[1]

BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k

[2]

Euklides

Euklidovsky´ prostor

Hlavnı´ dı´lo: Euklidovy Za´klady (ve 13 kapitolaćh). Po Bibli nejvıće publikovane´ dı´lo azˇ do 19. stoletı´.

• Euklidovy Za´klady (pohled do historie)

Pokusil se o prˇesne´ forma´lnı´ vyjadrˇovańı´, vybudoval geometrii syste´mem definice, veˇta, du˚kaz. Pokusil se definovat i nedefinovatelne´:

• dnesˇnı´ definice

• bod je to, co nema´ cˇa´sti,

• karte´zsky´ sourˇadnicovy´ syste´m

• krˇivka je de´lka bez sˇ´ırˇky,

• vlastnosti „rovin“ v En

• prˇ´ımka je krˇivka s body, ktera´ lezˇ´ı rovneˇ,

Euklides (jiny´ prˇeklad: Eukleides) byl rˇecky´ matematik (kolem roku 300 prˇ. n. l.).

• specia´lnı´ vlastnosti v E3 (vektorovy´ soucˇin)

a) eprostor, 16, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)

• rozdeˇlenı´m prˇ´ıme´ho u´hlu na dva stejne´ vznika´ u´hlel pravy´, • ...

L

. Viz p. d. 4/2010


[3]


Euklidovy postula´ty (axiomy)

Otaznı´ky kolem pa´te´ho axiomu

Euklides si uveˇdomil, zˇe neˇktera´ tvrzenı´ nelze doka´zat, je nutne´ je prˇedpokla´dat. Formuloval peˇt tzv. postula´tu˚:

Pa´ty´ axiom je formulovań slozˇiteˇ, je v geometrii nutny´?

[4]

• Dva body urcˇujı´ jedinou u´secˇku, ktera´ v teˇch bodech koncˇ´ı.

Uka´zalo se, zˇe pa´ty´ axiom je (za prˇedpokladu platnosti prvnıćh cˇtyrˇ) ekvivalentnı´ s na´sledujıćı´mi tvrzenı´mi:

• Kazˇda´ u´secˇka mu˚zˇe by´t prodlouzˇena tak, zˇe vznikne opeˇt u´secˇka.

• Dany´m bodem lze k dane´ prˇ´ımce ve´st jedinou rovnobeˇzˇku.

• Je mozˇne´ nakreslit kruzˇnici s libovolny´m strˇedem a polomeˇrem.

• Troju´helnı´ky majı´ soucˇet vnitrˇnıćh u´hlu˚ 180◦ .

• Vsˇechny prave´ u´hly jsou si rovny.

• Platı´ Pythagorova veˇta.

• Jestlizˇe prˇ´ımka protıńa´ dveˇ prˇ´ımky tak, zˇe vnitrˇnı´ u´hly na te´zˇe straneˇ jsou mensˇ´ı nezˇ dva prave´ u´hly, pak se tyto dveˇ prˇ´ımky protnou na stejne´ straneˇ, na ktere´ jsou u´hly mensˇ´ı nezˇ dva prave´.

Pozdeˇji se uka´zalo (Gauss, Lobacˇevskij, Riemann), zˇe uzˇitecˇna´ je i geometrie bez pa´te´ho axiomu (tzv. neeuklidovska´ geometrie). Naprˇ´ıklad dvourozmeˇrna´ geometrie na sfe´rˇe: troju´helnı´ky majı´ soucˇet u´hlu˚ veˇtsˇ´ı nezˇ 180◦ , kazˇde´ dveˇ „prˇ´ımky“ (nejkratsˇ´ı spojnice dvou bodu˚ prodlouzˇene´ na obou koncıćh) se protıńajı´, tj. neexistuje rovnobeˇzˇka. Neplatı´ Pythagorova veˇta.


[5]


[6]

Euklidovsky´ prostor dnes

Za´kladnı´ objekty v euklidovske´m prostoru

V euklidovske´m prostoru chceme pracovat s prˇ´ımkami (to umı´me v afinnı´m prostoru), da´le chceme v rovinaćh vymezit kruzˇnice. K tomu potrˇebujeme meˇrˇit vzda´lenosti. Potrˇebujeme tedy metricky´ prostor. Metrika musı´ by´t odvozena z Pythagorovy veˇty (jinak by tato veˇta neplatila a neplatil by pa´ty´ Euklidu˚v axiom). Tuto vlastnost splnˇuje metrika odvozena´ ze skala´rnı´ho soucˇinu. Konecˇneˇ v euklidovske´m prostoru potrˇebujeme meˇrˇit u´hly. K tomu take´ slouzˇ´ı skala´rnı´ soucˇin. Dnesˇnı´ definice euklidovske´ho prostoru je tedy na´sledujıćı´:

→ → → → • Prˇı´mka: p = {A + t− s , t ∈ R}, kde A ∈ X, − s ∈ V, − s 6= − o.

Definice: Euklidovsky´ prostor En je afinnı´ prostor (X, V) dimenze n, prˇitom V je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Z tohoto soucˇinu je odvozena norma a metrika na V. Metrika na X je definovańa takto: vzda´lenost bodu˚ P, Q je rovna velikosti vektoru P−Q.


Prˇ´ımka je tedy dańa bodem A, ktery´m procha´zı´ a nenulovy´m smeˇ→ rovy´m vektorem − s . Mu˚zˇe by´t te´zˇ dańa dveˇma body A a B: p = {A + t (B − A), t ∈ R}. ´ secˇka s koncovy´mi body A, B: u = {A + t (B − A), t ∈ 〈0, 1〉}. • U • Kruzˇnice se strˇedem S a polomeˇrem r: k = {X, ρ (S, X) = r}. Kruzˇnici lze takto definovat jen v E2 (dimenzi 2). Pro veˇtsˇ´ı dimenze je uvedena´ mnozˇina povrchem n-rozmeˇrne´ koule. − → − → → → a + u b , t, u ∈ R}, A ∈ X, − a , b ∈ V jsou LN. • Rovina: σ = {A + t− Rovina je dańa bodem a dveˇma neza´visly´mi smeˇry. → → • Zobecneˇna´ rovina (afinnı´ podprostor): τ = A + 〈− a 1, . . . , − a k〉,

[7]


Vztahy mezi prˇı´mkami

Prˇı´klad

→ → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1 , t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2 , t ∈ R} → jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 a − s 1 jsou LZ a soucˇasneˇ → → smeˇrove´ vektory − s 1, − s 2 jsou LZ. → → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2, t ∈ R} jsou − → → rovnobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou totozˇne´ a vektory s , − s jsou LZ.

Najdeme parametr a ∈ R takovy´, aby se prˇ´ımky p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 5)〉 a q = (4, 3, 7) + 〈(3, a, 1)〉 protıńaly.

1

2

→ → Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t− s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t− s 2, t ∈ R} lezˇ´ı ve → → spolecˇne´ rovineˇ, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 , − s 1, − s 2 jsou LZ. Dveˇ prˇ´ımky jsou ru ˚ znobeˇzˇky (protıńajı´ se v jednom bodeˇ), pra´veˇ kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ a nejsou totozˇne´ ani rovnobeˇzˇne´. Dveˇ prˇ´ımky jsou mimobeˇzˇky (mı´jejı´ se v prostoru), pra´veˇ kdyzˇ nelezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ. Uvedene´ vztahy rozpozna´me algebraicky´mi metodami: vysˇetrˇenı´m linea´rnı´ za´vislosti nebo neza´vislosti vektoru˚.

[8]

ˇ esˇenı´: Prˇ´ımky nejsou rovnobeˇzˇne´ ani totozˇne´, protozˇe jejich smeˇR rove´ vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Aby tyto prˇ´ımky byly ru˚znobeˇzˇkami, musı´ by´t vektory (3, 1, 4), (2, 2, 5), (3, a, 1) liena´rneˇ za´visle´, takzˇe kdyzˇ jejich sourˇadnice zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice A, musı´ mı´t tato matice nulovy´ determinant:   3 1 4 det  2 2 5  = −5 − 7a = 0. 3 a 1 5 Takzˇe a = − . 7


[9]


[10]

Zobecneˇna´ rovina: afinnı´ podprostor

Vza´jemna´ poloha zobecneˇnyćh rovin

→ → → Je dań bod A ∈ X a linea´rneˇ neza´visle´ vektory − u 1, − u 2, . . . , − uk v afinı´m prostoru (X, V). Mnozˇineˇ

→ → → → → → Oznacˇme U = 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉 a V = 〈− v 1, − v 2, . . . , − v m 〉. Necht’ A a B jsou body v afinnı´m prostoru (X, V) a necht’ jsou dańy dveˇ zobecneˇne´ roviny M = A + U a N = B + V.

→ → → M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉

• M a N jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ U = V a A − B ∈ U.

rˇ´ıka´me zobecneˇna´ rovina. Ma´ dimenzi k.

• M je obsazˇena v N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V a A − B ∈ V.

Zobecneˇna´ rovina dimenze 1 je prˇ´ımka.

Dalsˇ´ı pojmy se ty´kajı´ jen zobecneˇnyćh rovin M a N takovyćh, zˇe zˇa´dna´ nenı´ obsazˇena v druhe´.

Zobecneˇna´ rovina dimenze 2 je „skutecˇna´“ rovina. Pojem zobecneˇna´ rovina tedy zahrnuje pojmy prˇ´ımka a rovina dokonce pro linea´rnı´ prostory libovolne´ dimenze n. Zobecneˇna´ rovina je podprostor v afinnı´m prostoru (X, V). → → → Prˇesneˇji, prˇi oznacˇenı´ W = 〈− u ,− u ,...,− u 〉 je dvojice (M, W) afinnı´ 1

2

k

podprostor: operace afinnı´ho prostoru jsou na mnozˇineˇ M a linea´rnı´m podprostoru W uzavrˇeny.


• M je rovnobeˇzˇna´ s N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V nebo V ⊆ U. • Zobecneˇne´ roviny M a N se protıńajı´, pra´veˇ kdyzˇ A − B ∈ U ∪ V. • Zobecneˇne´ roviny jsou mimobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou rovnobeˇzˇne´ a neprotıńajı´ se. → → • M a N jsou na sebe kolme´, pra´veˇ kdyzˇ − ui ⋅ − v j = 0 pro vsˇechna i ∈ {1, . . . , k} a j ∈ {1, . . . , m}

[11]


[12]

Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m

Idea analyticke´ geometrie

Necht’ En = (X, V) je euklidovsky´ prostor. Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m tohoto prostoru je sourˇadnicovy´ syste´m (O, B) afinnı´ho prostoru (X, V) takovy´, zˇe ba´ze (B) je ortonorma´lnı´. → Necht’ (x1, x2 , . . . , xn) a (y1, y2, . . . , yn) jsou sourˇadnice vektoru˚ − x − → a y vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak

Geometricke´ u´lohy lze rˇesˇit algebraicky prˇechodem k sourˇadnicı´m vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

− → → x ⋅− y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , q → x21 + x22 + · · · + x2n. ||− x || = (a′1 , a′2, . . . , a′n)

Geometricke´ konstrukce pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem v rovineˇ sesta´vajı´ z teˇchto elementa´rnıćh u´konu˚: • najı´t pru˚secˇ´ık dvou prˇ´ımek (pokud existuje), • najı´t pru˚secˇ´ık prˇ´ımky s kruzˇnicı´ (pokud existuje), • najı´t pru˚secˇ´ık dvou kruzˇnic (pokud existuje).

′

Necht’ (a1, a2 , . . . , an) a jsou sourˇadnice bodu˚ A a A vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak vzda´lenost teˇchto bodu˚ se pocˇ´ıta´ „podle Pythagorovy veˇty“: q ρ (A, A′ ) = ||A − A′|| = (a1 − a′1 )2 + (a2 − a′2 )2 + · · · + (an − a′n)2.

Vsˇechny tyto u´koly lze prˇeve´st na vy´pocˇet sourˇadnic hledanyćh pru˚secˇ´ıku˚ vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadnicove´mu syste´mu, pokud jsou dańy sourˇadnice vyćhozıćh objektu˚ (sourˇadnice bodu a smeˇrove´ho vektoru prˇ´ımky, sourˇadnice strˇedu a hodnota polomeˇru kruzˇnice).


[13]


[14]

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mek

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mky a kruzˇnice

V E2 jsou dańy prˇ´ımky p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a q = (2, 0) + 〈(1, 3)〉. Vektory a body jsou dańy v karte´zskyćh sourˇadnicıćh. Najdeme pru˚secˇ´ık prˇ´ımek p, q.

V E2 je dańa prˇ´ımka p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a kruzˇnice k se strˇedem (1, 1) a polomeˇrem 3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.

Protozˇe smeˇrove´ vektory (3, 4) a (1, 3) jsou linea´rneˇ neza´visle´, prˇ´ımky se protıńajı´ (v E2 neexistujı´ mimobeˇzˇky). Pru˚secˇ´ık najdeme v mı´steˇ, pro ktere´ nasta´va´ rovnost: (1, 2) + t (3, 4) = (2, 0) + u (1, 3) To vede na soustavu dvou linea´rnıćh rovnic s nezna´my´mi t, u. Ta ma´ rˇesˇenı´ t = 1, u = 2, takzˇe pru˚secˇ´ık je v bodeˇ P = (1, 2) + 1 ⋅ (3, 4) = (4, 6).

Vzda´lenost strˇedu kruzˇnice od bodu (1, 2) + t (3, 4) na prˇ´ımce je p √ f (t) = (1 + 3t − 1)2 + (2 + 4t − 1)2 = 25t2 + 8t + 1 Pru˚secˇ´ık nasta´va´ v mı´steˇ, kde (f (t))2 = 32 , neboli √ −8 ± 54 , 25t2 + 8t − 8 = 0, t1,2 = 25

takzˇe jsme nasˇli dva pru˚secˇ´ıky: √ √ −8 + 54 1 3 54 (1, 2) + (3, 4) = + , 25 25 25 (1, 2) +


[15]

√ −8 − 54 (3, 4) = 25

√ 1 3 54 − , 25 25

√ ! 18 4 54 + , 25 25 √ ! 18 4 54 − . 25 25


[16]

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k dvou kruzˇnic

Nekopı´rovat vzˇdy konstrukci vy´pocˇtem

Jsou dańy kruzˇnice k1 se strˇedem (1, 1) a polomeˇrem 3 a kruzˇnice k2 se strˇedem (3, 4) a polomeˇrem 2. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.

Ne vzˇdy se vyplatı´ postupovat stejneˇ jako prˇi rˇesˇenı´ u´loh pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem jen vy´pocˇtem sourˇadnic postupneˇ vznikajıćıćh pru˚secˇ´ıku˚.

Pru˚secˇ´ık ma´ sourˇadnice (x, y), ktere´ vyhovujı´ dveˇma rovnicı´m: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 32 (x − 3)2 + (y − 4)2 = 22 Odecˇtenı´m rovnic dosta´va´me linea´rnı´ rovnici 2x + 3y = 14. Dosazenı´m x = 7 − 23 y do prvnı´ rovnice dosta´ve´me kvadratickou rovnici 13y2 −80y+112 = 0, ktera´ ma´ rˇesˇenı´ y1 = 4, y2 = 28 ˇ itı´m vzorce 13 . Pouz , takz ˇ e hledane ´ pru ˚ secˇ´ıky jsou x = 7 − 23 y dosta´va´me x1 = 1 a x2 = 49 13 49 28 . , P1 = (1, 4), P2 = 13 13

Naprˇ´ıklad sestrojenı´ kolmice na danou prˇ´ımku p procha´zejıćı´ dany´m bodem P udeˇla´me kruzˇ´ıtkem tak, zˇe zapıćhneme kruzˇ´ıtko s dostatecˇneˇ velky´m polomeˇrem do P a najdeme pru˚secˇ´ıky na p. Pak pıćhneme kruzˇ´ıtko do teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ se shodny´m polomeˇrem veˇtsˇ´ım nezˇ polovina vzda´lenosti pru˚secˇ´ıku˚ a najdeme pru˚secˇ´ıky kruzˇnic. Jejich spojnice je hledana´ kolmice. → → Analyticky ale stacˇ´ı kolmici vyja´drˇit jako P + 〈− s ⊥ 〉, prˇicˇemzˇ − s ⊥ je vektor kolmy´ na smeˇrovy´ vektor prˇ´ımky p. Kolmy´ vektor k vektoru ⊥ → → v rovineˇ − s = (u, v) je vektor − s = (−v, u), protozˇe skala´rnı´ soucˇin teˇchto dvou vektoru˚ je nulovy´.


[17]


[18]

Dva popisy zobecneˇne´ roviny v En, n ≥ 3

Prˇı´klady popisu ˚ prˇı´mky a roviny v E3

Zobecneˇna´ rovina M mu˚zˇe by´t zadańa dveˇma zpu˚soby: → → → • Bodem a smeˇrovy´mi vektory: M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉.

→ Prˇı´mka: Je popsańa bodem a smeˇrovy´m vektorem A + 〈− s 〉. Cˇasto se tento popis rozepisuje do sourˇadnic jako

• Soustavou linea´rnıćh rovnic Bx = b takovou, zˇe sourˇadnice vsˇech bodu˚ zobecneˇne´ roviny M tvorˇ´ı mnozˇinu jejıćh rˇesˇenı´. Tuto soustavu nazy´va´me soustavou zobecneˇne´ roviny M. Tyto dva popisy umı´me prˇeva´deˇt jeden na druhy´: • Je-li dańa soustava zobecneˇne´ roviny, pak jejı´ smeˇrove´ vektory jsou ba´zove´ vektory prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy Bx = o a bod A je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ soutavy. • Je-li dańa zobecneˇna´ rovina smeˇrovy´mi vektory, pak zapı´sˇeme jejich sourˇadnice do rˇa´dku˚ matice A a vyrˇesˇ´ıme Ax = o. Ba´zi rˇesˇenı´ zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice B a pravou stranu zjistı´me dosazenı´m sourˇadnic bodu A za nezna´my´ vektor x.


x = a1 + t s1 ,

y = a2 + t s2,

z = a3 + t s3 ,

t ∈ R.

Prˇ´ımku mu˚zˇeme take´ popsat soustavou dvou rovnic Bx = b. Nenı´ to typicke´, ale prˇedvedeme si to. Ba´zi rˇesˇenı´ soustavy s jednou rovnicı´ s1 x + s2 y + s3 z = 0 oznacˇ´ıme (u1 , u2 , u3 ), (v1 , v2 , v3 ). Hledana´ soustava ma´ pak matici obsahujıćı´ tyto dva rˇa´dky a pravou stranu: b1 = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 ,

b2 = v1 a1 + v2 a2 + v3 a3 .

→ → Rovina: Je popsańa dveˇma smeˇrovy´mi vektory A + 〈− u,− v 〉. Vyrˇesˇenı´m homogennı´ soustavy dvou rovnic se sourˇadnicemi teˇchto vektoru˚ v rˇa´dcıćh matice dosta´va´me ba´zovy´ vektor (n1 , n2 , n3 ). Rovinu pak mu˚zˇeme popsat rovnicı´ roviny n1 x + n2 y + n3 z = d,

kde

d = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 .

[19]


[20]

Pru ˚ secˇı´ky zobecneˇnyćh rovin

Prˇı´klad: pru ˚ secˇı´k prˇı´mky s rovinou

Dveˇ zobecneˇne´ roviny se mohou protıńat. Pru˚nik pak tvorˇ´ı bod nebo zobecneˇnou rovinu. Jak tento pru˚nik nalezneme?

Je dańa prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 1)〉 a rovina M = (2, 3, 4) + 〈(3, 3, 1), (3, 4, 3)〉 v E3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ık.

Sestavı´me soustavu prvnı´ zob. roviny Bx = b a druhe´ zob. roviny ˇ esˇ´ıme pak soustavu, ktera´ vznikne sloucˇenı´m teˇchto B′x = b′ . R dvou soustav. Soustava ma´ rozsˇ´ırˇenou matici B b ′ ′ B b

Podle prˇedchozı´ strańky bychom mohli prˇ´ımku p popsat dveˇma rovnicemi a rovinu M trˇetı´ rovnicı´ a pak vyrˇesˇit soutavu teˇchto trˇ´ı rovnic. Ovsˇem v tomto prˇ´ıpadeˇ se veˇtsˇinou postupuje jinak:

a jejı´ rˇesˇenı´ popisuje pru˚nik danyćh zobecneˇnyćh rovin. Prˇı´klad: Pru˚nik dvou rovin ax + by + cz = d a a′ x + b′ y + c′z = d′ najdeme jako rˇesˇenı´ soustavy ax + by + cz = d a′ x + b′ y + c′ z = d′

Rovnice roviny M ma´ tvar 5x − 6y + 3z = 4 a prˇ´ımka p ma´ parametricke´ vyja´drˇenı´ x = 1 + 2t, y = 2 + 2t, z = 3 + t. Dosadı´me parametricke´ vyja´drˇenı´ prˇ´ımky do rovnice roviny: 5 (1 + 2t) − 6 (2 + 2t) + 3 (3 + t) = 4. Tato rovnice s jednou promeˇnnou ma´ rˇesˇenı´ t = 2. Pru˚secˇ´ık je P = (1, 2, 3) + 2 (2, 2, 1) = (5, 6, 5).

[21]



[22]

Kolmice k zobecneˇne´ rovineˇ v En

Kolmice ve 2D a 3D

Je dańa zobecneˇna´ rovina dimenze k:

Kolmici v En pocˇ´ıta´me rˇesˇenı´m homogennı´ soustavy, jak bylo zmıńeˇno na prˇedchozı´ strańce. To je univerza´lnı´ postup.

→ → → M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉. Kolmice k M vedena´ z bodu B je zobecneˇna´ rovina N dimenze n−k, kterou lze zapsat ve tvaru

V prˇ´ıpadeˇ E2 a E3 jsou jesˇteˇ jine´ postupy: • V E2 platı´: 〈(a, b)〉⊥ = 〈(−b, a)〉. • V E3 platı´ pro lin. neza´visle´ vektory:

→ → → → → → N = B + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉⊥ = B + 〈− v 1, − v 2, . . . , − v n−k 〉. → → → prˇicˇemzˇ vektory − v 1, − v 2, . . . , − v n−k zı´ska´me na´sledovneˇ: Zvolı´me karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m a sourˇadnice vektoru˚ vzhledem k tomuto sourˇadne´mu syste´mu ztotozˇnı´me s vektory samotny´mi. Vek→ → → tory − v 1, − v 2, . . . , − v n−k pak tvorˇ´ı ba´zi rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy → → → Ax = o, kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh vektory − u 1, − u 2, . . . , − u k.

→ → → → 〈− u,− v 〉⊥ = 〈− u ×− v 〉, kde symbolem × je oznacˇem vektorovy´ soucˇin. O neˇm si povı´me vıće pozdeˇji.

Prˇı´klady: V euklidovske´m prostoru E3 je kolmice k rovineˇ prˇ´ımka a kolmice ke prˇ´ımce je rovina.

[23]



[24]

Kolmy´ pru ˚ meˇt bodu do zobecneˇne´ roviny

Kolmy´ pru ˚ meˇt zob. roviny do zob. roviny

→ → → Je dańa zobecneˇna´ rovina M = A + 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k 〉 a bod B (typicky mimo M). Najdeme bod B′ ∈ M takovy´, zˇe B − B′ je vektor kolmy´ na M. Bodu B′ rˇ´ıka´me kolmy´ pru ˚ meˇt bodu B do zobecneˇne´ roviny M. → → → Bod B′ lze najı´t takto: sestrojı´me kolmici K = B+〈− u ,− u ,...,− u 〉⊥ .

Prˇedstavme si, zˇe naprˇ´ıklad hleda´me kolmy´ pru˚meˇt prˇ´ımky do roviny. Nebo deˇla´me neˇco podobne´ho ve vıće dimenzıćh. . . → → → Kolmy´ pru˚meˇt zob. roviny N = B + 〈− v 1, − v 2, . . . , − v m〉 do zob. roviny − → − → − → M = A + 〈 u , u , . . . , u 〉 spocˇ´ıta´me v na´sledujıćıćh krocıćh:

Pru˚nik M ∩ K obsahuje jediny´ bod B′ .

1

2

k

Jiny´ postup*: skala´rnı´m soucˇinem lze pocˇ´ıtat kolmy´ pru˚meˇt vektoru na vektor. Oznacˇme symbolem pi kolmy´ pru˚meˇt vektoru B − A → → → na vektor − u i . Pak je B′ = A + ∑ pi (− u i /||− u i||). Pozorovańı´: V bodeˇ B′ ma´ zobecneˇna´ rovina M nejmensˇ´ı vzda´lenost od bodu B. Du˚kaz: Je-li C ∈ M, pak BB′C tvorˇ´ı pravou´hly´ troju´helnı´k a mu˚zˇeme pouzˇ´ıt Pythagorovu veˇtu.

1

2

k

→ → → → → → • Najdeme 〈− u 1, − u 2, . . . , − u k〉⊥ = 〈− w 1, − w 2, . . . , − w n−k〉. − → − → − → − → − → → • Oznacˇme K = B + 〈 v 1, v 2 , . . . , v m , w 1 , w 2, . . . , − w n−k〉. Je to zobecneˇna´ rovina, ktera´ je nejmensˇ´ı takova´, zˇe obsahuje zobecneˇnou rovinu N a soucˇasneˇ obsahuje smeˇr kolmy´ na M. • Hledany´ kolmy´ pru˚meˇt je pru˚nik M ∩ K.


[25]


[26]

Prˇı´klad: Kolmy´ pru ˚ meˇt

Determinant meˇrˇı´ objem rovnobeˇzˇnosteˇnu

Je dańa prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2)〉. Najdeme kolmy´ pru˚meˇt te´to prˇ´ımky do roviny M = (2, 2, 1) + 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉. Sourˇadnice jsou dańy vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

→ → → Necht’ − v 1, − v 2, . . . , − v n jsou vektory, ktere´ tvorˇ´ı hrany pomyslne´ho n-dimenziona´lnı´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu. Vektory tvorˇ´ı jen hrany, ktere´ se potka´vajı´ ve spolecˇne´m vrcholu. Ostatnı´ hrany rovnobeˇzˇnosteˇnu je trˇeba dory´sovat doplneˇnı´m na rovnobeˇzˇnı´ky. → Tvrzenı´: Zapı´sˇeme-li do sloupcu˚ matice A sourˇadnice vektoru˚ − v

ˇ esˇenı´m homogennı´ soustavy s maticı´ R 1 3 4 1 3 4 ∼ 3 2 6 0 7 6

i

je 〈(10, 6, −7)〉, takzˇe 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉⊥ = 〈(10, 6, −7)〉. Kolma´ rovina k M obsahujıćı´ p je K = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2), (10, 6, −7)〉. Rovnice roviny M je 10x + 6y − 7z = 25 a rovnice K je −26x + 55y + 10z = 114. Hledany´ pru˚meˇt je rˇesˇenı´ soustavy s maticı´ 25 25 10 6 −7 10 6 −7 ∼ . −26 55 10 0 353 −41 114 895

Hledany´ pru˚meˇt je p′ = (−524/41, 0, −895/41) + 〈(445, 41, 353)〉.


vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi (B), pak absolutnı´ hodnota determinantu matice A je rovna objemu zmıńeˇne´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu. Idea du˚kazu*: Jsou-li vektory LZ, pak je zrˇejmeˇ objem nulovy´ a → je det A = 0. Jsou-li − v i LN, tvorˇ´ı ba´zi a je mozˇne´ ji Schmidtovy´m ortogonalizacˇnı´m procesem upravit na ortonorma´lnı´ ba´zi (C). → Napı´sˇeme do sloupcu˚ matice R sourˇadnice − v i vzhledem k (C). Pak det R je roven objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu (du˚kaz indukcı´, v indukcˇnı´m kroku se pouzˇije vzorec „za´kladna kra´t vy´sˇka“). Matice prˇechodu od (B) k (C) je ortogona´lnı´ a je tedy det A = det(PB→C ⋅ R) = det PB→C det R = ±1 ⋅ det R

[27]


[28]

Prˇı´klady

Orientace linea´rnı´ho prostoru

Sourˇadnice uvedenyćh bodu˚ jsou v teˇchto prˇ´ıkladech vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

V linea´rnı´m prostoru zvolı´me jednu usporˇa´danou ba´zi (B) a prohla´sı´me ji kladneˇ orientovanou. Vsˇechny ba´ze (C), pro ktere´ je det PB→C > 0, nazveme take´ kladneˇ orientovane´. Vsˇechny ba´ze (C′), pro ktere´ je det PB→C′ < 0, nazveme za´porneˇ orientovane´.

Plocha rovnobeˇzˇnı´ka s vrcholy (0, 0), (a, b) (c, d), (a + c, b + d) je rovna det a b = | ad − bc |, c d

Objem cˇtyrˇstenu s vrcholy (0, 0, 0), (a1 ,a2,a3), (b1 ,b2 ,b3 ), (c1,c2,c3) je roven   a1 b1 c1 1 det  a2 b2 c2  , 6 a3 b3 c3 protozˇe cˇtyrˇsteˇn ma´ objem roven jedne´ sˇestineˇ objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu. Sourˇadnice mu˚zˇeme zapsat i do rˇa´dku˚, protozˇe det A = det AT .

Obvykla´ u´mluva pro E2: kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ druhy´ ba´zovy´ vektor smeˇrˇujıćı´ vlevo od prvnı´ho. Obvykla´ u´mluva pro E3: kdyzˇ se na ba´zi dı´va´me z vhodne´ho mı´sta, pak kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ prvnı´ vektor orientovany´ k na´m, druhy´ doprava od na´s a trˇetı´ nahoru. Pozorovnańı´: determinant pouzˇity´ prˇi vy´pocˇtu objemu rovnobeˇzˇ→ → → nosteˇnu je za´porny´, kdyzˇ sourˇadnice vektoru˚ − v 1, − v 2, . . . , − v n jsou zapsańy vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi a vek→ → → tory − v 1, − v 2, . . . , − v n samotne´ tvorˇ´ı za´porneˇ orientovanou ba´zi.


[29]


[30]

Specia´lnı´ vlastnosti v E3

Vektorovy´ soucˇin

• Je mozˇne´ definovat vektorovy´ soucˇin.

→ → Definice: Vektorovy´ soucˇin dvou vektoru˚ − u a − v z E3 znacˇ´ıme − → → u ×− v a je to: → → • nulovy´ vektor, pokud jsou − u a− v linea´rneˇ za´visle´, jinak:

• Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, smeˇrovy´ vektor te´to kolmice je norma´lovy´ vektor roviny. • Norma´lovy´ vektor je mozˇne´ hledat pomocı´ vektorove´ho soucˇinu. • Rovina je dańa jedinou rovnicı´ se trˇemi nezna´my´mi, koeficienty te´to rovnice jsou sourˇadnice jejı´ho norma´love´ho vektoru.

→ → • vektor kolmy´ na rovinu 〈− u,− v 〉 s velikostı´ plochy rovnobeˇzˇnı´ka − → − → − → − → − → → mezi u a v . Ba´ze ( u , v , u × − v ) je kladneˇ orientovana´. Pozorovańı´: Vektorovy´ soucˇin je definovań jednoznacˇneˇ. → → → → → → u a− v. Platı´ ||− u ×− v || = ||− u || ||− v || sin α , kde α je u´hel mezi vektory − − → → Veˇta: Jsou-li (u1 , u2 , u3 ) a (v1 , v2 , v3) sourˇadnice vektoru˚ u a − v − → − vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi, pak u × → v ma´ vzhledem k te´to ba´zi sourˇadnice: u2 u3 , − u1 u3 , v v v v 2

3

1

Du˚kaz*: technicky´, viz skriptum.


3

u1 v 1

u2 v2

[31]


[32]

Prˇı´klad: norma´lovy´ vektor roviny

Prˇı´klad: rovina dana´ trˇemi body

Je dańa rovina (2, 2, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉. Najedeme jejı´ norma´lovy´ vektor. Sourˇadnice jsou uvedeny vzhledem ke kladneˇ orientovane´mu karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.

Jsou-li dańy trˇi body A, B, C, ktere´ nelezˇ´ı ve spolecˇne´ prˇ´ımce, pak jimi procha´zı´ jedina´ rovina A + 〈(B − A), (C − A)〉. Norma´lovy´ vektor roviny je (B − A) × (C − A).

Norma´lovy´ vektor je roven vektorove´mu soucˇinu (1, 2, 3) × (3, 1, 1), protozˇe ten je (podle definice) kolmy´ na oba smeˇrove´ vektory. Podle veˇty o sourˇadnicıćh vektorove´ho soucˇinu je 2 3 , − 1 3 , 1 2 = (−1, 8, −5) (1, 2, 3) × (3, 1, 1) = 1 1 3 1 3 1

Trˇeba jsou dańy body (1, 1, 2), (2, 3, 5), (4, 2, 3) v karte´zskyćh sourˇadnicıćh. Pak rovina je dańa vzorcem:

Rovnice roviny tedy je −x + 8y − 5z = 4.

Jina´ mozˇnost, jak najdeme norma´lovy´ vektor: vyrˇesˇ´ıme homogennı´ soustavu s maticı´ 1 2 3 . 3 1 1

(1, 1, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉 Protozˇe (1, 2, 3) × (3, 1, 1) = (−1, 8, −5), ma´ rovina tento norma´lovy´ vektor. Ma´ tedy rovnici −x + 8y − 5z = d,

prˇitom d = −1 + 8 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 = −3.


[33]


[34]

Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od prˇı´mky

Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od roviny

Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do prˇ´ımky (oznacˇ´ıme B′ ) a da´le spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´ soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji): → Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky A+〈− s 〉 je vy´sˇka rovnobeˇzˇnı´ka vyme− → zene´ho vektory B − A, s a ta je rovna plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka deˇlena´

Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do roviny (oznacˇ´ıme B′) a da´le spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´ soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji): → → Vzda´lenost bodu B od roviny A + 〈− u,− v 〉 je rovna vy´sˇce rovnobeˇzˇ− → − → → → nosteˇnu se stranami B − A, u , v s podstavou − u,− v . Tato vy´sˇka

velikostı´ za´kladny. Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky tedy je → || (B − A) × − s || . − → || s ||

je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deˇleno plocha podstavy. Vzda´lenost bodu B od roviny tedy je det A , → → ||− u ×− v ||

kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh (nebo ve sloupcıćh) sourˇadnice → → vektoru˚ A − B, − u,− v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.


[35]


[36]

Prˇı´klad: vzda´lenost mimobeˇzˇek

Prˇı´klad: kolmice v E3

→ → Vzda´lenost mimobeˇzˇek A + 〈− u 〉 a B + 〈− v 〉 je rovna vy´sˇce rovno→ → → → beˇzˇnosteˇnu vymezene´ho vektory B − A, − u,− v se za´kladnou − u, − v. Takzˇe vzda´lenost je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deleno plochou za´kladny: det A , → → ||− u ×− v || kde matice A obsahuje v rˇa´dcıćh (nebo ve sloupcıćh) sourˇadnice → → vektoru˚ A − B, − u,− v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.

• Kolmice k prˇ´ımce je rovina, ktera´ ma´ norma´lovy´ vektor rovny´ smeˇrove´mu vektoru prˇ´ımky. • Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, ktera´ ma´ smeˇrovy´ vektor rovny´ norma´love´mu vektoru roviny. Rovina dana´ rovnicı´ ax + by + cz = d ma´ norma´lovy´ vektor (a, b, c), takzˇe prˇechod od roviny ke kolme´ prˇ´ımce nebo od prˇ´ımky ke kolme´ rovineˇ je snadny´.


[37]


´ hly mezi prˇı´mkami a rovinami U

Prˇı´klad: plocha troju ´ helnı´ka ABC

→ → ´ hel φ mezi vektory − u a − v vypocˇ´ıta´me ze vzorce pro skala´rnı´ U soucˇin − → → − → → u ⋅− v u ⋅− v , tj. φ = arccos − . cos φ = − → − → → → || u || || v || || u || ||− v ||

Troju´helnı´k ma´ plochu polovicˇnı´ plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka.

´ hel mezi dveˇma prˇ´ımkami je u´hlel mezi smeˇrovy´mi vektory. • U Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ (nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu). ´ hel mezi rovinami je u´hel mezi jejich norma´lovy´mi vektory. • U Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ (nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu). ´ hel mezi prˇ´ımkou a rovinou je 90◦ mıńus u´hel mezi smeˇro• U vy´m vektorem prˇ´ımky a norma´lovy´m vektorem roviny (ve vzorci v cˇitateli je trˇeba pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu).

• V E2 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jako „objem rovnobeˇzˇnosteˇnu v E2 “, tedy spocˇ´ıta´me absolutnı´ hodnotu determinantu matice A, ktera´ obsahuje ve sloupcıćh sourˇadnice vektoru˚ B − A, C − A vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi. Prˇı´klad: A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 8). Plocha troju´helnı´ka je: 1 2 4 S△ = det =2 2 2 6

• V E3 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jeko velikost vektorove´ho soucˇinu vektoru˚ B − A, C − A. Prˇı´klad: A = (1, 2, 2), B = (2, 3, 4), C = (7, 8, 9). S△ =


[39]

´ vaha*: k-dimensiona´lnı´ objem v En. U Jak spocˇ´ıtat naprˇ. plochu rovnobeˇzˇnı´ka v E4? Tam to nenı´ ani objem rovnobeˇzˇnosteˇnu, ani nema´me mozˇnost pouzˇ´ıt vektorovy´ soucˇin. Odpoveˇd’ najdeme v du˚kazu ze strańky [26]. → → → ´ loha: Jsou dańy linea´rneˇ neza´visle´ vektory − U v ,− v ,...,− v vE , 1

2

k

n

k ≤ n. Ma´me najı´t k-dimensiona´lnı´ objem v En. → → → → ˇ esˇenı´: Vektory doplnı´me na ba´zi − R v 1, − v 2, . . . , − v k, . . . , − v n a zapı´sˇeme jejich sourˇadnice do sloupcu˚ matice A. Provedeme QR rozklad A = QR. Matici R „zmensˇ´ıme“ na matici Rk , ktera´ obsahuje jen prvnıćh k rˇa´dku˚ a k sloupcu˚. Hledany´ k dimenziona´lnı´ objem je roven det Rk . Pozna´mka: doplneˇnı´ na ba´zi nenı´ prakticky potrˇeba deˇlat. Software doka´zˇe prove´st i neu´plny´ QR rozklad obde´lnı´kove´ matice A = QkRk . Zde matice A obsahuje ve sloupcıćh jen sourˇadnice → → → vektoru˚ − v 1, − v 2, . . . , − v k.

[38]

√ 1 5 2 1 ||(1, 1, 2) × (6, 6, 7)|| = ||(−5, 5, 0)|| = . 2 2 2

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Recommend Documents