11 / Čtěme si pořádně zadání
Asi tak 30 % předpokladů pro úspěšné složení maturity z matematiky netkví vůbec v matematice samotné, nýbrž v psychické odolnosti, zdravě asertivním přístupu k řešení testu, pečlivém čtení zadání a vyplněním odpovědí v požadovaném tvaru a formální dokonalosti. Vážně. V České republice se tyhle aspekty (třeba oproti USA – viz níže) hrozně podceňují. My jim věnujeme celou kapitolu.
110
111
Psychická odolnost je důležitá. Zvládnout to. Podat nejlepší výkon v rozhodujícím okamžiku. Být lepší v zápase než v tréninku. To jsou rozdíly, které třeba ve sportu dělají z kvalitních hráčů hvězdy. Tenisová jednička Djokovič, či jiný hráč Top Ten, hraje v koncovkách setů lépe než na začátku. Zejména pokud to porovnáme s velmi kvalitními hráči světového okruhu. Podobně u hokejistů – v play off jdou skutečné hvězdy nahoru, jiní si statistiky zhoršují. Nevymlouvejte se, že jste nervák a že to určitě zkazíte. Hodně z toho sice dělá genetika, někdo je šťastnější povaha a bere život pozitivně, nicméně ovlivnit se to dá. Ovlivnit se to dá dost. 1) Fyzické zdraví a kondice: Pokud v maturitním ročníku strávíte mraky času po kavárnách s cigaretou, třikrát v zimě přechodíte angínu, máte nadváhu nebo naopak nezdravě málo jíte, trávíte 3 hodiny denně na Facebooku… projeví se to. Projeví se to negativně. Sokolské „Ve zdravém těle zdravý duch“ možná zní archaicky, ale odpovídá pravdě. Udělejte si dost času na hory, sport. Nešprtejte se v závěru 15 hodin denně, to nemá (v žádném předmětu) žádný smysl. Raději pár hodin intenzivního učení, jídlo, odpočinek, čerstvý vzduch, sport či jiná kompenzační aktivita, dostatek spánku. Neučte se v noci. Drtivá většina lidí má nejvyšší výkonnost naopak brzy ráno. Minimálně se cítíte lépe psychicky, když už máte u oběda spoustu práce udělanou a jste vyspalí. 2) Nervují se vždycky nejvíce ti, kdo nejsou moc připravení. Taky mají dobrý důvod. Udělejte si včas racionální plán, co v přípravě chcete stihnout. Například, pokud chcete přečíst a spočítat celou tuto knihu a víte, že jedné kapitole musíte věnovat jeden večer a že se k takovéto práci dostáváte kvůli jiným zábavám a aktivitám tak s bídou obden – pak vám to zabere dva měsíce. A tak podobně. Pokud přicházíte s tím, že jste přípravu neodflákli, projeví se to. Projeví se to pozitivně. 3) Lidské tělo je naprogramované na to, aby v důležitých chvílích podalo nadprůměrný výkon. Je plné adrenalinu. Noc před zkouškou nemusí být bůhvíjaká, ráno nebudete mít velkou chuť se nasnídat (stejně to udělejte), ale až to začne – budete mít energii a vaše smysly budou výrazně zbystřené. Je dobré to vědět.
112
Zdravě asertivní přístup k řešení testu Před mnoha lety jsem skládal před cestou do USA americkou jazykovou zkoušku TOEFL. Velmi mě zaujalo, že v publikaci k této zkoušce asi 15 z úvodních 30 stran pojednávalo výlučně o strategii, jak být pragmaticky úspěšný a zlepšit svůj výsledek. Například, že v části Vocabulary nemá smysl plýtvat časem (inkriminované slovo buď znáte, nebo neznáte), protože 5 minut navíc v části Reading naopak dokáže zlepšit vaše pochopení textu a odpovědi na otázky až o 20 %. To vše pochopitelně při stejné znalosti angličtiny. Připravit se takto „americky“ nestojí tolik úsilí a projeví se. Řešit nejdříve lehké příklady, kde si jsem jistý. K těžším se vracet až na závěr. Hlídat si čas. Když je 20 příkladů na 2 hodiny, mám 6 minut na příklad. Nesmím tedy za žádnou cenu řešit nějaký příklad 20 minut. Nepouštět se do příkladů, kde vůbec nevím, jak začít – maximálně je natipovat (některé zaškrtávací testy jsou tak hloupě zadané, že se dají řešit jaksi odzadu vylučovací metodou). Nechat si kontrolu až na závěr. Vědomí, že máte něco špatně, vás akorát znervózní. Pokud jde o numerickou chybu, budete ji obtížně hledat. Pravděpodobnost, že jste naopak chybovali v kontrole, není o nic menší. Počítejte pečlivě, ve více krocích, abyste chyby eliminovali už při výpočtu. A tak dále. Nikdy také nezapomínejte na princip „matematik vaří čaj“: Příklad 1: Jak se vaří čaj? No, naleju vodu do konvice, pak ji dám vařit, když se voda vaří, přeliju čaj, 3–8 minut (dle typu čaje) louhuju a pak naliju do šálku, můžeme osladit… A jak vaří čaj matematik? Úplně stejně. Příklad 2: Jak se vaří čaj, když už je voda v konvici nalitá? No, dám ji vařit, když se voda vaří, přeliju čaj, 3–8 minut (dle typu čaje) louhuju a pak naliju do šálku, můžeme osladit… A jak vaří čaj matematik v tomto případě? Vyleje vodu z konvice a pak postupuje analogicky dle Příkladu 1.
113
Jako vtip je to dost slabé a vždy jsem oceňoval těch pár snaživců, kteří se tomu ve třídě zasmáli. Ale jako princip řešení to slabé není. Matematika je z velké části převádění problémů do tvaru, s kterým již máme zkušenosti a víme, jak jej vyřešit. Neobjevujeme Ameriku. Nemusíme být originální. Nestydíme se využít něco, co již máme spočtené, něco, co funguje. Zrovna u maturity nic nového neobjevíme. Tam jenom vaříme ten čaj.
1) Chtějí po nás odpovědi na dvě otázky!! První vypadá snadná (tou začneme), takových příkladů bylo na základce habaděj. Druhá vypadá na první pohled dost obtížně (tou začínat nebudeme).
Čtěme si pečlivě zadání Banalita, ale jak důležitá. Na tomhle nikdy nic neuspěchejte! Co tedy po nás přesně zadavatel otázek chce? Já vím, někdy s logikou v případě zadání od CERMATu nevystačíte a musíte i odhadovat, co tak asi mohli mít na mysli. Nicméně ujasnit si, co budu počítat, v jakém tvaru bude výsledek a co všechno mi zadání prozrazuje, to je třetina práce.
2) U áčka se jedná o příklad typu „jede vůz A a naproti vůz B“, popřípadě „jede vůz A a za hodinu ho začne dohánět vůz B rychlostí xy“. Dle principu „matematik vaří čaj“ se uklidním, že takovéto příklady jsou většinou řešitelné, stačí znát vzorec pro průměrnou rychlost a vše si přehledně psát. Velmi se hodí načmárat si situační nákres s šipkami (vektory ) rychlosti.
Věnujte čtení zadání potřebný čas a pečlivost.
A počítáme a):
Řešený příklad 11.1 Cyklista se vrací z lesa domů do vesnice, přičemž jede průměrnou rychlostí 15 km/h. Cyklistův pes Reno běží domů rychlostí 30 km/h, přičemž když za deset minut doběhne domů, hned zase běží nazpátek cyklistovi naproti. Když ho potká, otočí se a zase peláší stejnou rychlostí k domovu (čas na brždění a otáčení psa zanedbávejme) a takhle pořád dál a dál. Reno tak běhá čím dál kratší a kratší úseky, až naposledy zaběhne limitně nulový úsek. Už jsou oba doma. Tohle psiska občas dělají. Otázky: a) Kolik kilometrů pes uběhl, když se poprvé s cyklistou potkali (Reno se poprvé vracel od domu cyklistovi naproti)? b) Kolik kilometrů pes naběhal celkem při tomto běhání? Výsledky uveďte zaokrouhleny na dvě desetinná místa.
114
Řešení: Čeho jsme si v zadání všimli hned a co z toho vyvodili?
Pes doběhne poprvé k domku za deset minut, což znamená, že vzdálenost les-domek je 5 km. 30 km/h znamená 1 km za dvě minuty (nebo půl kilometru za minutu), za 10 minut tedy 5 km. Trojčlenka. Cyklista za stejnou dobou ujel jen 2,5 km, protože se pohybuje poloviční rychlostí než pes. Nebo to můžeme otrocky spočíst (u maturity trocha otrocké pečlivosti vůbec nevadí): „Při rychlosti 15 km/h urazí 1 km za 4 minuty, za minutu 0,25 km (250 m), za 10 minut 2,5 km.“ Teď je tedy čeká 2,5 km, kdy se k sobě přibližují rychlostí 45 km/h (jejich rychlosti se sčítají). Při rychlosti 45 km/h se za 1 minutu urazí 750 metrů, což odpovídá součtu obou uvedených rychlostí/vzdáleností (0,5 km + 0,25 km) nebo taky 45:60 = 0,75 km/min. K setkání psa s cyklistou tedy dojde za 3, 333 minuty (2,5:0,75), lidsky za 3 minuty a 20 sekund od chvíle, kdy pes vyrazil od domku. Za tu dobu uběhne pes od domku 1, 666 km ( 3, 33 # 0, 5 km) = 1
2 3 km.
Celkem tedy v okamžiku prvního setkání 5 + 1, 66 = 6, 66 km = 6
115
2 3 km.
Píšu výsledek. Desetinný tvar vypadá lehce satanisticky, přesnější je
5 5 5 + 3 km, pak zas poběží 3 km k domku a kde se potkají podruhé?
2 3 km, a tak… POZOR!!! V zadání jasně uvádějí, že chtějí výsle-
Než doběhne pes k domu podruhé, cyklista opět urazí poloviční vzdále-
dek zaokrouhlený na dvě desetinná místa!! Nesmíme zapomenout, že vyšlo 6,66 periodických (6,6666…), tedy zaokrouhleno 6,67 km. Pokud bychom tohle zvorali, nějaký centrální počítač na ministerstvu není
5 5 1 5 nost a # = k a bude už jen 6 6 km daleko od domku. A běží/jedou
jistě 6
naše spravedlivá matikářka: 6
2 3 km či 6,66 km = NULA bodů; 6,67 km
= plný počet bodů. Je to bohužel tak.
Výsledek a): Při prvním setkání s cyklistou měl pes uběhnuto 6,67 km (5+1,67). A počítáme b): Především máme dobrý pocit, že půlku příkladu (a)) máme – nepropadneme. Dále využijeme vše ze zadání a z toho, co jsme vypočítali. 1) Vzdálenost les–domek je 5 km. 2) Pes se pohybuje 2× rychleji než náš cyklista.
2 5 3) Poprvé se potkali ve vzdálenosti 1 km = km od domku a pes zas 3 3 běžel zpět.
A teď nás to buď (z informací ad 1, 2) hned napadne nebo se nám bohužel zdá, že délka psích úseků bude nějaká klesající matematická posloupnost (nebo dvě posloupnosti v sobě) a na to budeme potřebovat trochu času. Máme ho? Umíme sčítat nekonečnou řadu? Ano, ne? Nevyřešíme zatím něco jednoduššího? Tak už všechno máme a vracíme se k téhle piplačce. Trocha zamyšlení. Pořád nic? Tak holt musíme otrocky počítat. Poprvé se potkali ve vzdálenosti 1
2 5 3 km = 3 km od domku a pes zas běžel zpět. Uběhl tedy
116
3
2
2 a5 k 3 této vzdálenosti 6 km , než se 2 5 10 5 potkají (běží totiž dvakrát rychleji), tedy 3 # 6 = 18 = 9 . Podruhé se 5 5 tedy potkají 9 km od domku a pes zase běží 9 km k domu nazpět. 5 5 A vidíme místa setkání psa s cyklistou 5; ; ; ... km od domu, což 3 9 podruhé proti sobě. Pes urazí zase
vypadá nadějně. Vypadá to jako nekonečná geometrická řada, kde každé další číslo je třikrát menší než číslo předchozí. A skutečně, potřetí by se potkali
5 27 km od domku. Výpočet je
pořád stejný. Ověřovat toto zobecnění nějak moc matematicky nemáme čas (u maturitní písemky). Pes běhá úseky dlouhé
5 5 5 5 5 5 5 + 3 + 3 + 9 + 9 + 27 + 27 + ... km, protože si musíme uvědomit, že kromě prvního pětikilometrového úseku běží vše dvakrát, tam a zpět. Takovouto vládu nad příkladem a zdravý selský rozum (ten uvidíte pak pod výsledkem ) nutno si udržet. Jedná se tedy o geometrickou řadu
1 5 5 5; 3 ; 9 ; ... kde q = 3 ; a 1 = 5 a pak ještě stejnou geometrickou řadu bez prvního čísla 5 (o pět km kratší). Součet nekonečné geometrické řady,
a
5 1 = 7, 5. 1- 3 Neboli pes ve směru cyklista–domek naběhá 7,5 kilometru. To jeho opačné běhání (domek–cyklista) pak bude o 5 km kratší. Je to stejná geometrická řada, jen bez úvodních 5 km. Tedy 2,5 km. 7,5 + 2,5 = 10. kde q 1 1 je (viz Kapitola 13) s n = 1 -1 q =
117
Výsledek b): Pes celkem naběhá 10,00 km. A teď dvě dost důležité otázky: 1) K dyž chtěl zadávající výsledné kilometry zaokrouhlit na dvě desetinná místa, máme uvést 10 km nebo 10,00 km? Čertví, ale pro klid duše snad raději 10,00 km. 2) Ještě vás nic nenapadlo? Ani když vyšel výsledek tak krásně 10 km? Pokud čteme pořádně zadání, vidíme, že pes Reno se pořád pohybuje 2× tak rychle než cyklista. Pořád. Že běhá podivně sem a tam čím dál kratší úseky, nám může být jedno. Běhá prostě 2× rychleji, urazí tedy za stejný čas dvojnásobnou dráhu. A cyklista i pes vyrazili z lesa spolu a když oba dorazili domů, příklad skončil. Jedná se tedy o stejný čas. Cyklista nic nevyváděl a ujel 5 km k domovu. Pes tedy za těchto podmínek urazil kilometrů dvakrát tolik → 10. Tahle kapitola je o tom, přečíst si pozorně zadání a vybrat z něj to důležité. Šetří to čas, mozek a nervy. Ale pokud jste to řešili jako otroci matematiky s námi – nevadí, alespoň jste si zopakovali nekonečné řady. Vyplnění odpovědí v požadovaném tvaru a f o r m á l n í dokonalosti
není důvod ani zvyk a očekávání. Byť stejně jako byste se na diskotéce necítili v tesilovém tmavomodrém obleku, z nějž teta odpárala výsostné znaky Českých drah, není snadné ani být v džínách na akci, kde jsou všichni ostatní oblečeni formálně. Lehce „overdressed“ je mnohem lepší než „underdressed“ – podobná „pravda“, jako „ve zdravém těle zdravý duch“ nebo „pište u složených zlomků precizně rovnítko přesně k hlavní zlomkové čáře“. Můžete se ušklíbat nad těmito řádky, ale ne všichni. Být dobře a slušně oblečen je totiž mnohem důležitější pro potenciálního propadlíka než pro premianta. Pokud víte, že máte jedničku v kapse a středoškolská matematika vás svou snadností nudí, pak můžete přijít na ústní zkoušku i v tričku s nápisem „Bierfest“, kraťasech a sandálech. Ukazujete tím sice okolí imbecilní sociální inteligenci, což ve spojení s vysokou matematickou inteligencí bude většině vašich potenciálních zaměstnavatelů strašně protivné, ale hodní učitelé vám zkoušku (maximálně s trochou hubování) dají, a za jedna. Pokud se však zmítáte mezi dostatečnou a nedostatečnou, pak na vzorném oděvu, skromnosti a slušnosti vystupování závisí vaše přežití. Učitelé budou znechucení, že nic neumíte, ale pokud ještě nedbalým oděvem dáváte najevo, že vám na té zkoušce a zkoušejících nezáleží – jejich rozpoložení se zhorší. Bude to: „Já, čtyřicátník, se tady už 5 hodin potím v dvouřadém obleku a tady ten floutek ani nemá kravatu, neumí nic, grrrr; učil jsem je to zleva zprava, vysvětloval, tenhle byl vždycky línej a drzej, měl jsem na ně bejt rovnou přísnější, tohodle jsem měl vyhodit už ve třeťáku, to je ta moje dobrota, teď to mám – pětka bez diskusí a ať třídní zkusí něco meknout.“
Odstavec o formálnosti může znít opět banálně, ale kolik bodů a vyznamenání a jedniček už formální nedostatky zahubily.
Je prostě užitečné formu nepodceňovat.
Věnujte potřebný čas pečlivému zapsání výsledku. Ještě jednou si vše zkonfrontujte se zadáním. Je výsledek v metrech či jiných jednotkách, nebo je to jen číslo? Je váš výsledek jednoznačně k přečtení? Nechtěli celou větu nebo se to má dvakrát podtrhnout?
A na té diskotéce je to stejné… Když jste tam největší borec, o kterém většina přítomných dívek tajně sní, jistě vám uhozené oblečení projde. Nic si tím sice neusnadníte, ale půjde to. Když jste však trochu ťunťa (takových je nás „dvanáct do tuctu“) – je lepší nebýt oblečený jako idiot.
Forma není pochopitelně na světě to hlavní. Ale pokud se ptáme, proč jít na ústní maturitu do školy v obleku, i když jsem rebel, pak není hlavní důvod, že „by to mamka nepřežila“. Byť vás, chudák, opečovávala 18 let, aby se dožila alespoň kvaziúspěchu – složení maturity. Dokonce
118
119
