theresiaveni.wordpress.com
NAMA KELAS
: :
1
theresiaveni.wordpress.com
BAB 2 TRIGONOMETRI
Pengukuran Sudut Ada dua satuan pengukuran sudut yaitu : derajat dan radian Satuan derajat Definisi : 10 =
Ingat : 1 putaran = 360
1 putaran 360
Jadi :
1 putaran = 1800 2 1 putaran = 900 4 3 putaran = 2700 4
1 putaran = 3600 1 1 putaran = 360 0 60 0 6 6
Satuan radian Definisi: 1
radian : besar sudut pusat lingkaran yang menghadapi busur sepanjang jari-jari
ukuran sudut (dalam radian ) dihitung =
panjang busur atau panjang jari jari
Suatu sudut dikatakan besarnya 1 radian jika: panjang busurnya = panjang jari-jarinya B
O 1 rad
A
Hubungan derajat dan radian 1 putaran penuh = 3600 1 putaran penuh menghadapi busur sepanjang 2 R Jadi 3600 = 2 radian 1800 = radian 2
theresiaveni.wordpress.com 0
600 =
60 1 rad = rad 0 3 180
1 rad 180 1 1 rad = 180 0
10=
Contoh : 1.
Ubah sudut –sudut ini kedalam satuan radian :
90 0 ; 450 ; 300 ; 1200 Jawab : 90 0
2.
; 2400
90 0 1 rad = rad 0 2 180 45 0 1 450 = rad rad 0 4 180 0 30 1 300 = rad rad 0 6 180 0 120 2 1200 = rad rad 0 3 180 0 240 4 2400 = rad rad 0 3 180
Ubah sudut-sudut ini kedalam satuan derajat:
1 3 7 ; ; ; 2 ; 3 4 6 1 1 Jawab : = 180 0 60 0 3 3 3 3 = 180 0 135 0 4 4 7 7 180 0 210 0 6 6 2 2 180 0 360 0
3
theresiaveni.wordpress.com 0
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT SUDUT KHUSUS : 0
dan 900
Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900 ,kita menggunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius Dari gambar kita dapat : Sin = …….. Cos = …….. Tan = ……..
1. Jika sudut 00 titik Q berimpit dengan titik P pada sumbu x : x = 1, y = 0 dan r = 1 sehingga : sin 00 = ………. ; cos 00 = …….. dan tan 00 = . …… 2. Jika kita gambarkan sudut 900 , titik Q di sumbu y , titik P di O x = ………… ., y = …….. dan r = …….. , sehingga sin 900= ………..; cos 90 0 = ………., dan tan 90 = ………
Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi Sekarang kita akan mempelajari perbandingan trigonometri sudut dikuadran I, I, III, dan IV dan hubungannya satu sama lain.
Kuadran I , II, III dan IV Besar sudut positip di ukur dari sumbu x+ berlawanan arah
dengan putaran jarum jam Besar sudut negatip diukur dari sumbu x– searah putaran
jarum jam .
Sudut dari 00 sampai 3600 dibagi menjadi empat kuadran : Sudut antara 00 dan 900 terletak di kuadran I Sudut antara 900dan 1800 terletak di kuadran II Sudut antara 1800dan 2700 terletak dikuadran III Sudut antara 2700dan 3600 terletak di kuadran IV Contoh : 4
theresiaveni.wordpress.com
Dikuadran manakah sudut-sudut ini ? 650 ; 1170 ; 3260 ; 2340; 950; 3550 Jawab: 650 terletak di kuadran ...... 3260 terletak di kuadran ...... 1170 terletak di kuadran ..... 2340 terletak di kuadran ......
950 terletak di kuadran ...... 3550 terletak di kuadran ......
Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut di kuadran I , II , III , IV 1.
Sudut di-kuadran I
sin = . . . . .
cos = . . . . .
tan = . . . . .
2.
Sudut di kuadran II sin = . . . . .
cos = . . . . .
tan = . . . . .
3.
Sudut di kuadran III sin = . . . . .
cos = . . . . .
tan = . . . . .
4.
Sudut di kuadran IV sin = . . . . .
cos = . . . . .
tan = . . . . .
5
theresiaveni.wordpress.com
Jadi : tanda perbandingan trigonometri di kuadran adalah sbb (hafalkan ! ) : Di kuadran I : semua (perbandingan trigonometri) positif Di kuadran II: hanya sin ( dan cosec ) positif Di kuadran III : hanya tan ( dan cotan ) positif Di kuadran IV : hanya cos ( dan sec ) positif
Sudut Berelasi (1) 1.
dan (180 - ) sin (180 - ) = . . . .
cos (180 - ) = . . . .
tan (180 - ) = . . . .
2.
dan (180 + ) sin (180 + ) = . . . .
cos (180 + ) = . . . .
tan (180 + ) = . . . .
3.
dan (360 - )
sin (360 - ) = . . . .
cos (360 - ) = . . . .
tan (360 - ) = . . . . Contoh : Tentukan nilai : sin 2250, sin 1200, sin 330 0 , sin 2030, cos 950, cos 2400, cos 3500, tan 1350 , tan 1870 , tan 3000! Jawab :
6
theresiaveni.wordpress.com
Sudut Berelasi (2) 1.
dan (90 - ) sin = . . . .
cos = . . . .
tan = . . . .
2.
dan (90 + ) sin (90 + ) = . . . .
cos (90 + ) = . . . .
tan (90 + ) = . . . .
3.
dan (270 - ) sin (270 - ) = . . . .
cos (270 - ) = . . . .
tan (270 - ) = . . . .
4.
dan (270 + )
sin (270 + ) = . . . .
cos (270 + ) = . . . .
tan (270 + ) = . . . .
5.
dan - sin (- ) = . . . .
cos ( - ) = . . . .
tan (- ) = . . . .
7
theresiaveni.wordpress.com
6. dan k .360 0 Sudut k .360 0 gambarnya sama dengan gambar sudut Maka: sin( k .3600 ) sin
cos( k .360 0 ) cos tan( k .360 0 ) tan Contoh: 1. Ubah perbandingan trigonometri ini menjadi perbandingan trigonometri sudut lancip, hitunglah tan 120 0 , cos 2800 , cos 240 0 , cos (-135) 0 , sin (-45) 0 , tan 390 0 ! Jawab :
8
theresiaveni.wordpress.com
Rangkuman Dalam Derajat 1.
0
sin(180 ) sin cos(180 0 ) cos tan(180 0 ) tan
Dalam Radian sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
cos(180 0 ) cos
sin( ) sin cos( ) cos
tan(180 0 ) tan
tan( ) tan
sin( 360 0 ) sin cos(360 0 ) cos
sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos
tan(360 0 ) tan x
tan( 2 ) tan
4.
sin cos( 90 0 ) cos sin( 90 0 ) tan cot( 90 0 )
1 sin( ) cos 2 1 cos( ) sin 2 1 tan( ) cot 2
5.
sin( 90 0 ) cos
2.
3.
sin(180 0 ) sin x
0
cos(90 ) sin tan(90 0 ) cot
6.
sin( 270 0 ) cos cos(270 0 ) sin tan( 270 0 ) cot
7.
sin sin
1 ) cos 2 1 cos( ) sin 2 1 tan( ) cot 2
sin(
3 sin( ) cos 2 3 cos( ) sin 2 3 tan( ) cot 2 -
cos cos tan tan 8.
sin( k .360 0 ) sin cos( k .360 0 ) cos
sin( k .2 ) sin cos( k .2 ) cos
tan( k .360 0 ) tan
tan( k .2 ) tan
Kesimpulan : nama tetap 1. fungsi trigonometri
1800 3600
tanda sesuai kuadran
nama berubah 0
2. fungsi trigonometri 90 270 0 tanda sesuai kuadran 9
theresiaveni.wordpress.com
GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik fungsi trigonometri f ( x) sin x 0 , f ( x) cos x 0 dan f ( x) tan x 0 didalam domain 0 x 360 dapat digambarkan ,dengan membuat daftar terlebih dahulu . 1.
Grafik y f ( x) sin x 0 , 0 x 360
x y = f(x) = sin x 0
150
180
210
240
270
300
330
360
2. Grafik y f ( x) cos x 0 , 0 x 360 x 0 30 60 90 120 150 y = f(x) = cos x 0
180
210
240
270
300
330
360
Catatan:
0
30
60
90
120
3 0,8660 2
10
theresiaveni.wordpress.com
3.
0
Grafik y f ( x) tan x , 0 x 360
x y = f(x) = tan x 0
0
45
30
60
90
120
135
150
180
210
215
240
270
300
315
330
360
Catatan: 3 1,732 3 0,577 3
11
theresiaveni.wordpress.com
IDENTITAS TRIGONOMETRI HUBUNGAN ANTAR PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT =
+
y y2 2 sin sin 2 r r x x2 cos cos 2 2 r r
Identitas trigonometri: 1. sin 2 cos 2 1 Bukti:
y2 x2 y2 x2 r 2 sin cos 2 2 2 1 r r r2 r 2 2 1 tan sec 2. 2
2
Bukti:
y2 x2 y2 r 2 2 sec 2 2 2 x x x 2 2 1 cot cos ec
1 tan 2 1 3. Bukti:
1 cot 2 1
1 tan 1 5. sec cos 1 6. cos ec sin 4. cot
x2 y2 x2 r 2 2 cos ec 2 2 2 y y y
sin cos cos 8. cot sin 7. tan
Membuktikan Identitas Trigonometri Dalam membuktikan identitas Trigonometri terdapat beberapa cara yang dilakukan ,yaitu 1.Menyederhanakan ruas kiri menjadi seperti ruas kanan 2.Menyederhanakan ruas kanan supaya seperti ruas kiri 3.Menyederhanakan kedua ruas unutk memperoleh bentuk yang sama
Pemilihan cara mana yang akan dilakukan tergantung dari kerumitan soal.
12
theresiaveni.wordpress.com
Latihan Buktikan identitas trigonometri berikut: 1. sin cos tan (1 cos )(1 cos ) 1 cos sin 2. sin 1 cos 1 cos x 3. tan x cos x sin x sin x sin x sec x 1 4. 1 cos x tan x 5. sin tan cos sec 6. (1 + sin x)2 – (1 - sin x)2 = 4 sin x tan A cot B 7. tan A cot B cot A tan B Jawab:
13
theresiaveni.wordpress.com
ATURAN SINUS,ATURAN COSINUS DAN RUMUS LUAS SEGITIGA Pada subbab ini kita akan membahas segitiga sembarang ( bukan segitiga siku-siku ). Sebuah segitiga tertentu apabila 3 unsurnya diketahui (asalkan bukan sudut ketiga-tiganya) dapat dicari unsur lain yang belum diketahui. Untuk mencari unsur yang lain, dapat menggunakan salah satu dari dua rumus ini : aturan Sinus, aturan Cosinus 1.
Aturan Sinus Perhatikan segitiga ABC berikut : y y a sin B ........1) a y sin A y b sin A.........2) b a b a sin B b sin A sin A sin B x sin C x b sin C.......3) b x sin B x c sin B.........4) c b c b sin C c sin B sin B sin C sin B
Jadi :
a b c = sin A sin B sin C
Contoh: Tentukan besar z pada gambar berikut! a.
b.
Jawab:
14
theresiaveni.wordpress.com
2.
LUAS SEGITIGA a x 1 1 Luas segitiga ABC = ( a b sin C ) ab sin C 2 2 2 Dengan cara sama dapat dibuktikan bahwa : 1 ab sin C 2 1 = ac sin B 2 1 = bc sin A 2
Luas ABC
(jika yang diketahui ss,sd,ss)
Jika yang diketahui sd.ss.sd
1 1 a sin B a 2 sin B sin C LABC ab sin C a. . sin C 2 2 sin A 2 sin A Dengan cara sama diperoleh : a 2 sin B sin C 2 sin A 2 b sin A sin C LABC 2 sin B 2 c sin A sin B LABC 2 sin C
LABC
Jika yang diketahui ss, ss,ss
c 2 a 2 b 2 2ab cos C a cos C x
c 2 a 2 b 2 2bx 2bx a 2 b 2 c 2 2b a 2 d 2 a 2 b 2 c 2 4b 2 (a 2 d 2 ) (a 2 b 2 c 2 ) 2
4b 2 a 2 4b 2 d 2 (a 2 b 2 c 2 ) 2 4b 2 d 2 4b 2 a 2 (a 2 b 2 c 2 ) 2
= (2ab a 2 b 2 c 2 ) 2ab a 2 b 2 c 2
= (a b)
2
c c c
= (a b) c
2
2
2
2
(a b 2ab) 2 2 2 ( a b) 2 = ( a b c )( a b c)( c a b)( c a b ) a b c keliling 2 s a b c a b c 2c 2s 2c a c b 2 s 2b b c a 2 s 2a
15
theresiaveni.wordpress.com 2
2
4b d 2s.2(s a ).2( s b).2( s c) b 2 d 2 4s( s a )(s b)(s c) 4s ( s a )( s b)( s c ) b2 d2 2 b s ( s a)( s b)( s c ) d 1 b.d s ( s a )( s b)( s c) 2 LuasABC s( s a)( s b)(s c ) Catatan: s = keliling segitiga = (a + b + c) Contoh : 1. Hitung luas segitiga yang tergambar sbb:
Jawab :
16
theresiaveni.wordpress.com
3.
Aturan Cosinus Perhatikan gambar! Pada segitiga ABC , Diketahui AB , AC dan sudut A Berapa panjang sisi BC ? x 2 b 2 AD 2 x 2 b 2 (b cos A) 2 b 2 b 2 cos2 A
BD 2 (c b cos A) 2 c 2 2bc cos A b 2 cos 2 A a 2 CD 2 BD 2 x 2 BD 2 b 2 b 2 cos 2 A c 2 2bc cos A b 2 cos 2 A a 2 b 2 c 2 2bc cos A (Aturan Kosinus ) Dengan cara yang sama didapat ; a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2 ac cos B c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
Contoh : 1. Tentukan besar z, kemudian tentukan luasnya! a. b.
c.
2. Tentukan besar sudut Q dan tentukan luasnya!
17
