theresiaveni.wordpress.com
NAMA KELAS
: :
1
theresiaveni.wordpress.com
BARISAN DAN DERET Barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri.Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku. Contoh 1: 1, 3, 5, 7, 9, . . . 1, 2, 4, 8, 16, . . . contoh barisan 3, 5, 7, 9, . . . Contoh 2: 1 + 3 + 5 +7+9+ . . . 1+2+4+8+16+ . . . contoh deret 3+5+7+9+ . . . Perhatikan barisan berikut: 1. 1, 3, 5, 7, 9, . . . ., Un Suku ke 1 2 3 4 5 . . . n
1 3 5 7 9 . . . Rumus suku ke –n =...
2. 1, 2, 4, 8, 16, . . .Un Suku ke 1 2 3 4 5 . . . n
1 2 4 8 16 . . . Rumus suku ke –n =... Perhatikan setiap barisan berikut: a. 1, 4, 7, 10, 13, . . .
b. 2, 8, 14, 20, . . .
c. 30, 25, 20 , 15, . . .
d. 2, 10, 18, 26, . . .
2
theresiaveni.wordpress.com
1. Barisan Aritmetika (BA) selisih/beda-nya sama Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un. Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah sama/tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b). Misalkan suku pertama = a, beda b, maka U1, U2, U3, ..., Un
a,
a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah :
Un = a+ (n -1)b Keterangan: Un = suku ke -n a = suku pertama b = beda/ selisih Beda/selisih barisan aritmetika dapat diperoleh dari : b = Un – Un-1
Contoh: 1. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U15–nya dari barisan aritmetika: 1, 3, 5, 7, 9, . . !
2. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U20–nya dari barisan aritmetika: 3, 5, 7, 9, . . !
3. Tentukan rumus suku ke-n (Un) dan tentukan U50–nya dari barisan aritmetika: 2,10,18,26, ... !
4. Diketahui barisan aritmetika: -2, 1, 4, 7, . . .,40. Ada berapa banyak suku yang ada pada barisan tersebut ( nnya ada berapa)?
5. Suatu barisan aritmetika mempunyai suku ke-5 =25 dan suku ke-10=45, tentukan suku ke-20!
3
theresiaveni.wordpress.com
Suku Tengah Barisan Aritmetika ( Uk) Suku Tengah Barisan BA adalah suku barisan yang letaknya di tengah-tengah jika banyak sukunya ganjil.
a Rumus suku tengah : Uk = (a + U2k - 1)
= suku pertama
U2k – 1 = suku terakhir
Contoh: Diket: Barisan aritmetika 3, 5, 7, . . . , 95. Tentukan suku tengah barisan tersebut!
Sisipan Barisan Aritmetika Misalkan diberikan 2 bilangan x dan y (x ≠ y) kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan sebanyak k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. x, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , y k bilangan x,
(x + b), (x + 2b), . . ., (x+kb),
y
bilangan-bilangan yang disisipkan
Mencari beda aritmetika tersebut dapat ditentukan sebagai berikut: y – (x+kb) = b y – x – kb = b kb + b = y – x (k+1) b = y – x = Jadi, rumus aritmetika-nya yang terbentuk untuk beda sisipan barisan aritmatika: = Keterangan: b = beda sisipan barisan aritmatika y =suku terakhir x = suku pertama k = banyaknya bilangan yang disisipkan Contoh: Di antara bilangan 1 dan 49 disisipkan 7 bilangan. Tentukan: a. Beda dan rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut. b. Nilai U5
4
theresiaveni.wordpress.com
2.
Deret Aritmetika (DA)/ Deret Hitung Misalkan suatu Barisan Aritmetika: U1, U2, U3, U4, . . ., Un maka deret aritmetikanya: U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un Sn adalah jumlah n suku pertama, maka S3 = U1 + U2 + U3 S20 = U1 + U2 + U3 + . . . + U20 Deret Aritmetika adalah bentuk penjumlahan barisan aritmetika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmetika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un Rumus jumlah n suku pertama adalah :
n 2a (n 1)b 2 n Sn = (a Un) 2
Sn =
Contoh: 1. Diketahui barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, . . . . Tentukan jumlah 50 suku pertama!
2. Dari suatu barisan aritmetika Un diketahui Un = 12 dan suku U15 = 27. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari barisan tersebut!
3. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 5!
4. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 150 yang habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3!
5
theresiaveni.wordpress.com
Mencari Un jika diketahui Sn
Un = Sn - Sn-1
Contoh: 2 1. Diketahui rumus umum jumlah n suku pertama suatu barisan aritmetika adalah Sn = 2n - 3n + 5.
Tentukan suku ke-10!
2. Dalam suatu deret aritmetika diketahui U3 = 8 dan U10 = 29. Tentukan jumlah 5 suku pertama!
3. Barisan Geometri Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke – n (Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Dengan kata lain: Syarat suatu barisan geometri :
U2 U3 U4 U ... n U1 U 2 U 3 U n 1
konstan
Misal : 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . Rasionya = r = 2 (suku selanjutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 2) 25, 5, 1, . . . Rasionya = r = (suku selanjutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan ) Nilai perbandingan itu disebut ratio ( r ), ditulis :
r=
Un U n 1
dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1 Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka : U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , … ,arn – 1 Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Un = arn-1
6
theresiaveni.wordpress.com
Contoh: Diketahui barisan geometri suku ke 2 adalah 12, suku ke-5 adalah -324. Tentukan suku pertama dan rasio! Ingat: am : an = am √
– n
=
Suku tengah barisan geometri Suku Tengah Barisan barisan geometri adalah suku barisan yang letaknya di tengah-tengah jika banyak sukunya ganjil.
Rumus suku tengah : Uk =
U1
×
= suku pertama
U2k – 1 = suku terakhir
Contoh: Diketahui barisan geometri: 5, 10, 20, . . ., 1280. Tentukan suku tengahnya dan suku ke berapakah suku tengahnya! Jawab: Ingat: af(x) = ag(x) f(x) = g(x)
Sisipan barisan geometri Misalkan diberikan 2 bilangan x dan y (x ≠ y) kemudian di antara kedua bilangan tersebut disisipkan sebanyak k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. x, xr, xr2 , xr3, . . ., xrk ,
y
bilangan-bilangan yang disisipkan
Jadi, rasio barisan geometri yang terbentuk adalah:
=
(
)
=
Keterangan: k = banyaknya bilangan yang disisipkan y = suku terakhir x = suku pertama
Contoh: Antara bilangan dan 625 disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio barisan tersebut dan barisannya! Jawab:
Ingat: am . an = am √
+ n
=
7
theresiaveni.wordpress.com
4. Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri. Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un Rumus jumlah n suku pertama adalah :
r 1 dan r 1
r 1 dan r 1
a rn 1 Sn ; jika r 1 atau Sn
a 1 rn ; jika 1 r
Contoh: 1. Diketahui barisan geometri: 3, 9, 27, . . . Tentukan: a. Suku pertama b. Rasio c. Rumus suku ke-n d. Suku ke- 5 e. Jumlah n suku pertama f. Jumlah 5 suku pertama Jawab:
2.
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari suatu barisan geometri dengan U1 = 32 dan U4 = 4!
5. Deret Geometri Takhingga Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …
a r n 1 , karena.r n r 1 a 1 r n a , karena r mendekati 0. Jika r 1, maka S lim n 1 r 1 r Jika r 1, maka, S lim
Sehingga,rumus jumlah deret geometri takhingga untuk r 1, r 0adalah :
S
a 1 r
8
theresiaveni.wordpress.com
Contoh: 1. Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 9 dan suku pertamanya 6. Tentukan rasio dari deret tersebut!
2.
Diketahui jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 49. Jika suku pertamanya 7, tentukan rasionya!
3.
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m setiap menyentuh lantai, bola akan memantul 1 kembali kali ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti! 4
9
