TERMOMECHANIKA. Sbírka příkladů. Doc. Ing. Miroslav Jílek, CSc. Ing. Zdeněk Randa. Vydavatelství Č V U T. ČVUT Praha *0.. NENIČ ME

Doc. Ing. Miroslav Jílek, CSc. Ing. Zdeněk Randa

TERMOMECHANIKA Sbírka příkladů

ČVUT - fakulta strojní ústřední k n ih o v n a

Praha 2, Kar|o
r t

*0. .

ČVUT Praha

2004

Fa k u lta strojní

V ydavatelství Č V U T

*3 1 0 1 0 1 8 8 8 7 *

NENIČ ME

Termomechanika

-

sbírka příkladů

Předmluva Záměrem této učební pom ůcky pro studenty strojního inženýrství je získat aktivní schop nost aplikovat teoretické poznatky ze základů term odynam iky, sdílení tepla a proudění stlači telných tekutin. Skriptum obsahuje 369 příkladů, z nichž 187 je vyřešených a 182 neřešených s uvedeným i

ky s cílem hlouběji zaujm out čtenáře pro studovanou teorii. Autoři

Obsah Předmluva.......................................................................................................................................................3 Obsah............................................................................................................................................................... 3 A B C D E F G H I J K L M N 0 P

Stav a zm ěna stavu ideálního p ly n u .................................................. .............................................. 4 Stav a zm ěna stavu reálného plynu - p á ry ................................................................................... 18 Druhý zákon term odynam iky - entropie a její z m ě n a .............................................................. 38 Proudění ideálního p ly n u ................................................................................................................. 56 Proudění reálného plynu - p á r y ......................................................................................................68 Oběhy s ideálním plynem ................................................................................................................. 72 Oběhy s reálným plynem - p á ro u .................................................................................................. 81 Fázové zm ěny.......................................................................................................................................87 Směšování látek................................................................................................................................... 91 Vlhký v z d u c h .......................................................................................................................................96 Vedení tepla - k o n d u k ce................................................................................................................ 107 Přestup tepla - konvekce................................................................................................................ 114 Prostup te p la .......................................................................................................................................120 Výměníky te p la .................................................................................................................................128 Záření - rad ia ce.................................................................................................................................135 Chem ické p ro c e sy ............................................................................................................................140

Použitá literatu ra..................................................................................................................................... 148 Přílohy: tabulky a d iag ram y ................................................................................................................. 149 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tabulky kriteriálních rovnic pro nucenou konvekci............................................................................................................... 149 Tabulky kriteriálních rovnic pro bublinkový var.....................................................................................................................149 Tabulky kriteriálních rovnic pro volnou konvekci.................................................................................................................. 150 Termofyzikální vlastnosti vody.............. .................................................................................................................................. 151 Termofyzikální vlastnosti suchého vzduchu............................................................................................................................ 151 Tabulky syté vody a syté vodní páry........................................................................................................................................ 152 Tabulky přehřáté vodní páry.......................................................................................................................................................156 Tabulky čpavku - sytá kapalina a sytá pára............................................................................................................................. 158 Tabulky čpavku - přehřátá pára................................................................................................................................................. 158 Tabulky chladiva R12 - sytá kapalina a sytá pára.................................................................................................................. 160 Tabulky chladiva R 12 - přehřátá pára......................................................................................................................................161 Tabulky chladiva R 134a- sytá kapalina a sytá pára..............................................................................................................162 Tabulky chladiva R 134a- přehřátá pára..................................................................................................................................162 Ilustrační T-s a h-s diagram vody..............................................................................................................................................164 Mollierúv h-x diagram vlhkého vzduchu..................................................................................................................................165 p-h diagram čpavku NH3 ............................................................................................................................................................166 Nelsonův-Obertův diagram pro určení kompresibilitního faktoru Z 167............................................................................. 167 Tabulky parciálního tlaku syté vodní páry pro teploty -50 °C až 200 °C............................................................................168

Stav a změna stavu ideálního plynu

A Stav a změna stavu ideálního plynu Stav (term odynam ické) soustavy je charakterizován stavovým i veličinam i. V ztah mezi ter mickými stavovým i veličinam i je dán stavovým i rovnicem i. N apř. term ická stavová rovnice ideálního plynu soustavy tvořené ideálním plynem je D R p -v = —= r - T , kde r = ----- je m ěrná plynová konstanta (J kg’1K '1), R = 8314,41 J k m o l'1 K '1 •P m univerzální plynová konstanta, p absolutní tlak (Pa), v m ěrný objem (m 3 k g '1), p husto ta (kg/m ), T term odynam ická teplota (K, T K- t„c + 273,15) a M m je m olám í hm otnost dané ho plynu (kg k m o l'1). Jiná kategorie stavových veličin zahrnuje tzv. stavové funkce nebo kalorické veličiny. C ha rakterizují energetické interakce m ezi soustavou a okolím. N ejsou přím o m ěřitelné a stanovují se pomocí kalorických stavových rovnic. N apř. m ěrná vnitřní energie ideálního plynu je dána vztahem u = uo + cv (T - To) v (J k g '1), m ěrná entalpie h = ho + cp (T - To) v (J k g '1), měrné tepelné kapacity cp, cv (J k g '1 K '1) jso u konstantní a plynou z ekvipartičního teorém u a M aye r r rovy rovnice c v = i —, cp = c v + r = (i + 2 ) —, kde i je počet stupňů volnosti m olekuly plynu. V realističtějším m odelu poloideálního plynu uvažujem e m ěrné tepelné kapacity závislé na teplotě. Jsou často tabelovány. K alorické stavové rovnice jso u již složitější výrazy a stavové funkce bývají proto též tabelovány. V následujícím textu budem e někdy pro stručnost vynechávat adjektivum m ěrný, pokud ne bude jinak narušena srozum itelnost, tak ja k bývá v praxi zvykem . V eličiny značené přísluš nými písm eny m alé abecedy jso u m ěrné veličiny, vztažené na jednotkovou hm otnost. 2

Teplo

Q =Jm cdT

(J)

1

c je měrná tepelná kapacita (J k g '1K '1), je ž závisí na podm ínkách zm ěny (cv - při stálém ob jem u, cp - při stálém tlaku, cn - při polytropické změně). Práce W (J) - obecně zahrnuje m noho různých forem - objem ová práce, užitečná práce např. na hřídeli rotačního stroje, elektrická práce apod. V m nohých případech aplikací se objevuje pouze objem ová práce. Vratná objem ová práce - jednorázové děje 2

W = Jp -d V (J) 1 Vratná tlaková práce (též technická práce) - většinou opakované, nebo kontinuální děje

w,=-Jv-dp = w -(pJv: -p,vl)

4

(j)

Stav a zm ěna stavu ideálního plynu

1. zákon term odynam iky (1ZT) pro uzavřenou soustavu: Q = AE + W kde AE = AEk + AEp + AU

(J)

AEk) AEP- jsou zm ěny kinetické a potenciální energie soustavy jako celku - většinou jsou rovné nule AU - změna vnitřní energie (zm ěna stavové veličiny, nezávisí na integrační cestě) Q - přenos energie do soustavy formou tepla (Q > 0, když soustava teplo přijímá) W - přenos energie různými formami práce (W > 0, když soustava práci koná) Q, W - nejsou stavové veličiny, závisí na integrační cestě, popisují změnu stavu

První tvar 1ZT:

Q = AU + W

Druhý tvar 1ZT:

Q = AH + W t

(J) (J)

• AH - změna entalpie (zm ěna stavové veličiny, nezávisí na integrační cestě)

1ZT pro oběhy:

= £ w , = £ w ,i = £ q , = Q p + Q „

(J)

1. zákon term odynam iky (1ZT) pro otevřenou soustavu při stacionárním režim u formulován pro toky je aplikován na kontrolní objem - (indexy 1, 2 označují vstup, výstup)

\

r

m h 2 + ^ f + gz 2 - m h , + Ý + gz, V V 1 j £W

=Q -IW

(W )

je výsledný tok užitečné práce (výkon, příkon) vystupující nebo vstupující do kontrol

ního objem u přes hranici soustavy (často jen technická práce). A lternativní form ulace pro měrné veličiny: c2 c,2 h 2 - h . + Ý - ý + g ( z 2 - z i) = q - Z

(J kg'1)

W

Ideální plyny - shrnutí důležitých vztahů Veličiny jako cv, cp, r, k , atd. jso u nezávislé na tlaku i teplotě a tedy nem ěnné pro daný ideální plyn při všech procesech - zm ěnách stavu. Stavová rovnice ideálního plynu: pro 1 kg: p • v = r •T

d k g '1)

v = V /m

(m 3 k g '1)

pro m kg:

p • V = m • r •T

(J)

r

(J k g 'K '1)

pro 1 kmol:

p-Vm = R T

(J k m o l'1)

R = 8314,41 J k m o l'1K '1

p ro n k m o l:

p -V = n - R T

(J)

V m = V /n

(m 3 k m o l'1)

M m = m /n

(kg km ol' )

R /M m

Změna m ěrné vnitřní energie

Au = u 2 - u, = c v (T 2 - T 1)

(J k g ')

Změna m ěrné entalpie

Ah = h 2 - h t = cp •(T 2 - T ,)

(J kg'1)

Změna m ěrné entropie

As = c -ln — - r - l n — P T, p,

( J k g 'K - 1)

M ayerova rovnice

cp - c v = r

(J kg'1K'1)

Poissonova konstanta

K=

( 1)

Měrné tepelné kapacity

c, =

C = K •C„ = K —1

K -r K ^l

5


Vratné děje je m ožno považovat za obecnější polytropické děje \n-l / \n-l

n-1

Polytropické vztahy p • vn = konst vPw Měrné polytropické teplo:

q = J c , d T = c „ ( T J - T 1)

Polytropická m ěrná tepelná kapacita:

cn = c v

Polytropická m ěrná objem ová práce:

(J k g 1)

n-K

(J k g '1K '1)

n-1

w = q - Au =

jp

dv

(J k g 1)

i 2

Polytropická tlaková (technická) práce

t = q - A h = n- w = J - v •dp

(J k g 1)

Vyjdeme z obecné polytropické zm ěny a budem e postupně m ěnit hodnoty n: dp = 0, w t = 0, q = Ah, w = Ah - Au n=0 p = konst. izobarická zm ěna n= 1 T = konst. izoterm ická zm ěna dT = 0, Au = Ah = 0, q = w = w t n=k s = konst. izoentropická zm ěna ds = 0, q = 0, w = -Au, w t = -Ah n = ±oo v = konst. izochorická zm ěna dv = 0, w = 0, q = Au, w t = Au - Ah

S

Látkové m nožství vzduchu 1 km ol m á objem 25 m 3 při tlaku 100 kPa. Považujem e-li vzduch za ideální plyn, stanovte jeh o (a) teplotu a (b) hustotu. Řešení (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu

T .p^.l0000Q.25_m 7 K n -R

(b) Hustota souvisí s m ěrným objem em

p-lv

1-8314,41

p

r -T

100000 2 8 7 -3 0 0 ,7

1,16 kg m

-3

A2 N ádoba o objem u 40 litrů je naplněna kyslíkem . Stav kyslíku je dán teplotou 15 °C a tlakem (a) 15,8 M Pa, (b) 15,8 kPa. O hřevem je tlak zvýšen na (a) 17,5 M Pa, (b) 17,5 kPa. R ozhodně te na základě hodnoty kom presibilitního faktoru určeného z N elsonova-O bertova d iagramu pro obě zadání, z d a je vhodné pro kyslík v těchto podm ínkách použít m odel ideálního plynu, když je kritický tlak kyslíku 5,05 M Pa a kritická teplota -118,5 °C. Stanovte teplotu po ohře vu.

6


Řešení Vypočteme tzv. redukované tlaky a teploty pro oba případy a z N elsonova-O bertova diagra mu hodnoty kom presibilních faktorů: ( a ) p r = J L = ! M = 3 ,l r Pkr 5,05

T = - j —= 15 + 273-15 = 1,9 r -1 1 8 ,5 + 273,15

(b) pr = - ^ - = - - - — = 0,0031 r Pkr 5,05

T =— = 15 + 273’15 -1 9 r -1 1 8 ,5 + 273,15

->

Z = 0,945 z = 0,999

V případě (a) - vysoké tlaky - je Z příliš odlišné od 1 a proto m odel ideálního plynu je ne vhodný, proto vyhodnotím e pouze případ (b). Objem kyslíku v pevné nádobě je konstantní. Ze stavové rovnice ideálního plynu r\ 1H T =T, -— = (15 + 2 7 3 ,1 5 )— — = 319,15 K t2 = T2 - 273,15 = 46 °C 2 1 p, v ’ 15,8 -------A3 Nádoba je naplněna 85 g acetylenu (C 2H 2) o tlaku 260 kPa a teplotě 21 °C. Plyn je ohříván na 235 °C. Za předpokladu m odelu ideálního plynu stanovte (a) konečný tlak, (b) objem nádoby a (c) teplo potřebné k ohřevu. Použijte experim entálně zjištěnou hodnotu Poissonovy konstan ty k = 1,255. Řešení Změna probíhá při stálém objem u - izochorická změna: Měrná plynová konstanta acetylénu a jeho m ěrná tepelná kapacita při stálém objem u r = — = - S3 14,41 = 319,8 J kg 1'K '1, M m 2-12 + 2-1 / \ ry r ■ j (a) Ze stavové rovnice plyne

c = — = 319,8 = 1 2 5 4 J k g 'K '1 v k —1 1 ,2 5 5 -1 T-j , 23 5 H~273, 15 1 p n = p, — = 2 6 0 ------------------- = 449,15 kPa 2 T, 21 + 273,15 ----- ----------

(b) Objem určím e ze stavové rovnice a znám ých stavových veličin na počátku děje v , m ^ = 0 .0 8 5 .3 1 9 ,8 .(2 1 + 273, 15) ^ p,

260000

(c) Teplo dodané při konstantním objem u je dané přírůstkem vnitřní energie protože W = 0. Q = AU = m ■c v • ( t2 - tj) = 0,085 • 1254 - (235 - 21) = 22810 J A4 4 kg vzduchu se nachází ve válci pod pístem při tlaku 700 kPa a teplotě 37 °C. Poté je vzdu chu přivedeno 110 kJ tepla a 120 kJ objem ové práce. U rčete (a) konečnou teplotu, (b) koneč ný objem a (c) počáteční a konečnou hustotu vzduchu. Řešení Vzduch uzavřený volně pohyblivým pístem ve válci představuje uzavřenou soustavu, kde se tlak nebude m ěnit, tj. ve válci probíhá izobarický děj. (a) Z prvního tvaru 1. zákona term odynam iky vypočtem e konečnou teplotu AU = m cv (T2- T t) = Q - W

^

(b) Konečný objem je V2 = V, + AV

O -W 110000 - (-1 2 0 0 0 0 ) t 2 = t, + ^ — - = 37 + ------------- --------------¿ = 117.1 °C m -c v /| 287 1 ,4 -1


Ze stavové rovnice ideálního plynu určím e počáteční objem m -r-T ,

4 -2 8 7 -(3 7 + 273,15) _

V ,=

700000

0,508 m

Zm ěna objem u plyne z objem ové práce při izobarické zm ěně

W -1 2 0 3 AV = — = = -0,171 m

V2 = V, + AV = 0,508 + (-0 ,1 7 1 ) = 0.337 m 3 (c) Ze stavové rovnice počáteční hustota

p, =

Podobně hustota v konečném stavu

p2 =

700000 r-T ,

- 7.864 kg m

-3

2 8 7 -(3 7 + 273,15) 700000

r-T 2

= 6.250 kg m

-3

287 (117,1 + 273,15)

A5 Ve válci pod pístem je na počátku 5 kg vzduchu při teplotě 20 °C a tlaku 100 kPa. Vzduch ohřejeme na 80 °C přivedením 300 kJ tepla. Stanovte (a) práci vykonanou vzduchem , (b) změnu objem u vzduchu a (c) počáteční objem vzduchu. Řešení Soustava je uzavřená - vzduch ve válci, který se m ůže pohybovat (izobarická zm ěna). Vzduch uvažujeme jako ideální plyn s m ěrnou plynovou konstantou r = 287 J k g ^ K '1 a k = 1,4. r 287 (a) Zm ěna vnitřní energie AU = m c v AT = m ------ At = 5 ---------- ( 8 0 - 2 0 ) = 2 1 5 ,2 5 kJ k —1 1 ,4 -1 Objem ová práce z 1ZT

W = Q - AU = 300 - 215,25 = 84.75 kJ ... W 84750 AO„ c 3 (b) Zm ěna objem u při konstantním tlaku AV = — = ---------- = 0.8475 n ť p 100000 (c) Počáteční objem ze stavové rovnice

m -r-T ,

5 -2 8 7 -(2 0 + 273,15)

v,=----------- L = ---------- ----------------- -

^ 3 = 4 ,2 1 m

p, 100000 A6 Válec s pístem je situován vertikálně. N ejprve píst spočívá na zarážkách ve válci a pod pístem je 0,5 m 3 vzduchu při tlaku 200 kPa a teplotě 30 °C. Vzduchu ve válci se začne přivádět teplo a tlak pod pístem začne stoupat. Při tlaku 300 kPa se vyrovná tlaková síla s tíhou pístu a píst začne stoupat dokud vzduch nedosáhne dvojnásobného objemu. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) objem ovou práci, (c) tlakovou práci a (d) přivedené teplo. Řešení Vzduch ve válci tvoří uzavřenou soustavu. První část ohřevu 1-2 probíhá za stálého objemu. Tlak roste až do hodnoty 300 kP a (stav 2), k d y se vyrovná tlaková síla s tíhou pístu. Druhá část děje 2-3 je izobarická zm ěna, kdy píst se volně zvedá, dokud se objem vzduchu ve válci nezdvojnásobí - stav 3. Teplota Ti = 30 + 273,15 = 303,15 K. (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu T, = T, • P.V,

j W13 =

Jp•dV

2

3

Wm

= 3 0 3 ,1 5 .3 0 0 ' 2 ' °>5 = 9Q9 K = 636 °C 2 0 0 -0 ,5

(b) O bjem ová práce:

8

tp h

■*

= ( V3 - V ,) •p2= (1 - 0 ,5) ■300 = 1 5 0 k J

1

V


(c) Tlaková práce:

Wtl3 = WtI2 + Wt23 = - J v •dp = V, •(p, - p 3) = 0,5 •(200 - 300) = -50 kJ 1 (d) Teplo získám e z 1. zákona term odynam iky a vztahu pro vnitřní energii Q ]3 = AU + Wl3 Potřebnou hm otnost vypočítám e ze stavové rovnice a cv výhodně vyjádřím e pom ocí r a 4U = m . o , ( T ! - T l) = ^

. ^

. ( t 3- « , ) =

k.

^ . IJ I T .(6 3 6 - 3 0 ) .5 0 0 M

O n = 5 0 0 + 150 = 650 kJ A7 Izotermická expanze 10 kg vzduchu probíhá mezi tlaky 1,5 M Pa a 100 kPa při teplotě 25 °C. Stanovte (a) počáteční a konečný objem vzduchu, (b) objem ovou práci a (c) přivedené teplo. Řešení Počáteční a konečný objem plynou ze stavové rovnice ideálního plynu p-V = m-r-T (=konst.) T = 25 + 2 7 3 ,15 = 2 9 8 ,15 K ' (a) 1

p,

----------

1,5 10

m ^ T . 1 0 .2 8 7 .2 9 8 ,1 5 p2 (b) Objemová práce

m,

10s W = m •r •T • ln — = 10 -287 •298,15• ln 1122. = 2,317 M J p2 100

(c) Z prvního zákona term odynam iky vyplývá, že při izoterm ické zm ěně ideálního plynu je sdílené teplo rovné objem ové a zároveň i tlakové práci, protože AT = 0 a AH = AU = 0. Q = W, = W = 2.317 M J A8 Vzduch v nádobě m á na počátku objem 15 m 3 při teplotě 27 °C a tlaku 102 kPa. Je stlačen adiabaticky na tlak 840 kPa. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) konečný objem , (c) objem o vou práci a (d) tlakovou práci. Řešení Za předpokladu, že kom prese je vratný adiabatický děj, tedy izoentropický. Konečný stav ideálního plynu souvisí s počátečním stavem Poissonovým i vztahy. Pom ěr m ěrných tepelných kapacit je cp/cv = k = 1,4, neboť základní složky vzduchu, dusík N 2 a kyslík 0 2, jso u dvouatomové plyny. K- l

í

(a) Konečná teplota

T2 = Tt £2

\~

vP \J

\K P l = 153.327 m 3 V,1 I p 2, (c) O bjem ovou práci výhodně určím e z 1. zákona term odynam iky W = - m ■(u2 - ui), s využitím stavové rovnice pro výpočet hm otnosti

(b) K onečný objem

(N O O OO

(

1 4_1

, . í 840 1 1.4 = (27 + 273,15)- ----= 548.23 K = 275,08 °C 102

W = - m - c . .- ( T ,- T , ) = ^ - — - Í t , - U = 1Q2QQQ15 — I-----( 2 7 - 2 7 5 .0 8 ) = -3.161 M J vV 2 17 rT, K - l V ' 2' 27 + 273,15 1 ,4 -1 V J ---------(d) Tlaková práce

W, =

k

• W = 1,4 • (-3,161) = -4.425 M J 9


A9 Kompresor kontinuálně stlačuje vzduch ze 100 kPa na 500 kPa. N a vstupu je objem ový tok vzduchu 50 litrů za sekundu a teplota 17 °C. K om prese je izoentropická. Stanovte (a) obje mový tok na výstupu, (b) teplotu stlačeného vzduchu na výstupu a (c) příkon kompresoru. Srovnejte s řešením následujícího příkladu.

o o

Řešení Výstupní objem ový tok vzduchu a jeho teplota plynou z Poissonových vztahů pro ideální plyn i (, \' j ( n V ÍW )C \\ 1.4 T, = 17 + 273.15 = 290.15 K = 0.0158 m 3 s’1 (a) V2 = V, P1 K = 0 ,0 5 /

\

o o

I p 2J

K-l

Vi (b) T, = T, — 2 i v P .y

1,4-1

500 = 2 9 0 .1 5 -— 100

' 1,4

’ = 459.55 K ----- -------

= 186.4 °C

(c) Potřebný výkon se stanoví z druhého tvaru 1. zákona term odynam iky, kde Q = 0 P = W. = - A H = - ^ L - c p - ( t: - t 1) = ~ 1QP.00° 3 0 5 -1 0 Q 4 .5 .(i8 6 .4 - 1 7 ) = -10217 W r-T, 287-290,15 Záporné znam énko u výkonu znam ená, že práce je dodávána soustavě (vzduchu). Potřebný výkon (zde příkon), který je úm ěrný velikosti plochy vlevo od křivky zm ěny v p-v diagramu, je větší, než kdyby zm ěna byla izoterm ická (viz následující přiklad). A 10 Kompresor kontinuálně stlačuje vzduch z tlaku 100 kPa na 500 kPa. N a vstupu je objem ový tok 50 L s’1 a teplota 17 °C. K om prese je izotermická. Stanovte (a) objem ový tok na výstupu, (b) teplotu stlačeného vzduchu na výstupu a (c) příkon kom presoru. Srovnejte s řešením předchá zejícího příkladu. Řešení (a) Objem ový tok na výstupu z kom presoru při izoterm ickém ději plyne ze stavové rovnice ideálního plynu V, = V | — = 0,05 - 1 2 2 = 0 0 ! m 3 s-i p2 500 (b) Potřebný výkon

100

P = Wt = p ,V 1 -ln — = 100 0 0 0 -0 ,0 5 -ln = -8047 W p2 500

Záporné znam énko značí, že práce se soustavě dodává. Potřebný příkon (úm ěrný velikosti plochy vlevo od křivky zm ěny v p-v diagram u) je m enší než v izoentropickém případě. Proto objemový tok vychází také menší. A 11 Vzduch o tlaku 150 kPa a teplotě 27 °C je stlačován z objem u 260 m 3 na 80 m 3. Stlačování probíhá polytropicky, kde polytropický exponent je 1,2. Stanovte (a) objem ovou práci, (b) tlakovou práci, (c) m ěrnou tepelnou kapacitu při polytropické zm ěně cn a (d) teplo sdílené mezi soustavou a okolím . Řešení ■r Soustava je uzavřená, je tvořena vzduchem jeh o ž stav je známý.

10


(a) Polytropická objem ová práce W = Q - A U = m ( c , - c v) .(T 2 - T 1) = m . - i - - ( T l - T 2) = m - l S - - ( l - T 2/T 1) n- 1 n —I n- 1

n-1

W= m

n -1

1-

'

\

v,1 ' v

2J

P.V,

rT,

rT,

n -1

fv.l 1- _1_ VvY2 >

0,15 -IQ6 -260

260

1, 2 - 1

80

n1,2-I

W= -51.84 MJ (b) Polytropická tlaková práce

Wt = n • W = 1,2 • (-5 1 ,8 4 ) = -62.21 MJ

(c) Polytropická m ěrná tepelná kapacita n - K r n-K 287 1 ,2 -1 ,4 117tTI c_ = c . -------- = ---------------- = -----------------------= -717,5 J kg n v n -1 k —1 n - 1 1 ,4 -1 1 ,2 -1

K

t

(d) Teplo odvedené do okolí

f \n-l , , p, V, r n -K ' V Q = m ‘c n •(T2 - T ,) = — i-J ------- -------— -T, 1 r •T, k - 1 n - 1 vV2 y

n - K

•w

K —1

0 = - 1,2 ~ 1’4 . ( _ 5 1.84^ = -25.92 MJ 1 ,4 -1 V ’ — --------Konečná teplota

260

= 379,9 K vV 2 y Záporná hodnota m ěrné polytropické tepelné kapacity udává, že ačkoliv teplota stlačovaného vzduchu roste, teplo je ze soustavy odváděno. Je to proto, že soustavě je dodáváno více práce, než je množství odváděného tepla. Uvedené řešení ukazuje užitečné hledání hlubších souvis lostí mezi veličinami. Pro rychlý výsledek vypočteme m přím o ze stavové rovnice. T, = T,

= (27 + 273,15)-[

A 12 Ke stlačení 20 m 3 dusíku ze stavu o tlaku 100 kPa a teplotě 37 °C na tlak 400 kPa je třeba dodat 3500 kJ práce. Během polytropického p ro cesu je odvedeno do okolí 2000 kJ tepla. U r čete (a) konečnou teplotu dusíku a (b) polytropický exponent. Řešení Uvedené m nožství dusíku chápem e jako uzavřenou soustavu. (a) Konečná teplota plyne z 1ZT: AU = m c v(T 2 - T i ) = Q - W R 8314,41 Měrná plynová konstanta dusíku r=• = 296,9 J k g '1 K '1 2-14 M„m Měrná tepelná kapacita dusíku

c , =■ k

T2 = T ,+

Q -W m -cv

t2 - tj +

Q -W m -c

r

296,9

—1

1 ,4 -1

= 742,3 J k g 1 K '1

P.V, 1 0 0 0 0 0 -2 0 m = ili—LrT, 2 9 6 ,9 -(3 7 + 273,15) -2 0 0 0 0 0 0 -(-3 5 0 0 0 0 0 ) = 37 + ----------------- i -------------- - = 130.0 °C 21,72-742,3 ----- -------

21,72 kg


(b) Polytropický exponent vypočtem e z polytropického Poissonova vztahu n-1

2 _

ln P í Pi

n=

ln — - ln — P.

ln

400

100 = 1.233 , 400 , 130,0 + 273,15 l n ------ - l n 100 37 + 273,15

A 13 i Dvě nádoby jso u propojeny potrubím s ventilem . N ádoba A obsahuje 0,2 m vzduchu o tlaku 400 kPa a teplotě 150 °C, nádoba B obsahuje 0,5 m 3 vzduchu při 200 kPa a 250 °C. Po ote vření ventilu dojde ke sm íšení obou obsahů a dosáhne se rychle rovnovážného stavu v obou nádobách. Stanovte (a) teplotu a tlak krátce po otevření ventilu, (b) tlak po poklesu teploty na teplotu okolí 25 °C a (c) tepla sdílené s okolím při chladnutí. Řešení Vzduch v obou nádobách tvoří uzavřenou soustavu o konstantním objem u. Pom ocí 1. zákona term odynamiky naleznem e veličiny rovnovážného stavu krátce po otevření ventilu. Protože soustava nevykonala žádnou objem ovou práci (W = 0) a ani nedošlo k vým ěně tepla s okolím (Q = 0), bude zm ěna vnitřní energie AU = 0. (a) U - ( U A+ U B) = 0 Teploty:

nebo

-------m •c v 'TT ----= m ~AcTvTA--------+ m Bc--vTB

TA- 150 + 273,15 = 423,15 K Tok- 2 5 + 273,15 = 298,15 K

Ze stavové rovnice pro ideální plyn 400000 0,2 m A=

= 0,659 kg

287-423,15

-

T, T _= m ATA + m nTn m TB = 2 5 0 + 273,15 = 523,15 K PiV, m, =■ rTj 2 0 0000-0,5 a c.c.c 1 m R = -----------------= 0,666 kg B 287-523,15

m = m A+ niB = 0,659 + 0,666 = 1,325 kg Teplota krátce po otevření ventilu Ze stavové rovnice vypočtem e tlak

T

0,659-423,15 + 0,666-523,15 = 4 ? 3 4 K 1,325

m -r-T P=V

1 ,3 2 5 -2 8 7 -4 7 3 ,4

= 257.2 kPa

0 ,2 + 0 ,5

(b) Konečný tlak vzduchu v nádobě po vyrovnání teplot T 298 15 D = d —^ = 2 5 7 .2 ------ — = 162.0 kPa kon T 47 3 ,4 -------(c) Odvedené teplo

Q ok = m •c v (Tok - T ) = 1,325 • 717,5 •(298,15 - 4 7 3 ,4 ) = -166.7 kJ

A 14 Izolovaná nádoba je rozdělena přepážkou na dvě sekce. V jedné sekci je 1 kg vzduchu, na počátku s tlakem 500 kPa a teplotou 350 K. V druhé sekci jso u 3 kg CO 2 s počátečním tlakem 200 kPa a teplotou 450 K. V sekci se vzduchem je topná spirála s elektric kým odporem % = 10 Q připojená na x = 30 sekund k napětí V = 220 V. Přepážka propouští teplo a m á zanedbatelnou tepelnou kapacitou. N ení pevně uchycená, tj. m ůže se přem ísťovat v nádobě a tak m ěnit pom ěr objemů obou sekcí. V zduch i C O 2 považujte za ideální plyny. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) ko nečný tlak po přivedení tepla topnou spirálou.

12


)ba plyny v pevné nádobě včetně přepážky a topné spirály tvoří uzavřenou soustavu. Protože ládobaje dobře izolována, Q = 0, jedinou energetickou interakcí s okolím je elektrická práce

V2

2202

%

10

------- t = -----------30 = -1 4 5 2 0 0 J

a) lZ T :U 2 - U i = Q - W ei

nebo

X >2je tříatomový plyn, proto

k

(znam énko - znam ená, že se el. energie dodává)

(m 2c v2+ m ,c vl) T - ( m 2c v2T2 + m 1c vlT,) = - W el

= 1,33 r

_ L = Sl 14-41.. = 189 J k g ' K 1 12 + 2-16

Cv =

k

—1

189

567,4 J kg 1K ’1

1 ,3 3 -1

Cy vzduch Cv2 717,5 J kg K Z tohoto výrazu lze vyjádřit konečnou teplotu: T = m2cv2T2 + n^c^T, - We, = 1 •717,5 •350 + 3 •567,4-450 + 145200 _ SQ 3 K 1-717,5 + 3 -5 6 7 ,4

m 2cv2 + m ,c vl

(b) Objem nádoby zůstává konstantní V = v oi + V02 = V, + V2. Počáteční objem y Voi, V 02 zís káme ze stavové rovnice ideálního plynu Vn, = HlLS- = 1'287 ’350 _ o 2Q1 m3 5-10 Pi V = 0,201 + 1,275 = 1,476 m

m 02

^ = 3 -1 8 9 -4 5 0 = p,

3

2 -1 0

3

Konečná rovnováha se vyznačuje stejným i tlaky v obou sekcích. Použitím stavové rovnice ideálního plynu dostanem e: m.^T, _ m 2r2T2 _ m 2r2T2 1-287-350 3-189-450 P= 1 ,4 7 6 - V , V, " V, = V -V , V2= V - Vi = 1,476 - 0,417 = 1,059 m Ze stavové rovnice m.r.T. 1-287-350 p = —u —:1 = --------------- = 240.9 kPa V. 0,417 Poznámka: Soustavu lze volit také tak, že do ní nezahrnem e topnou spirálu. Spirála je pak součástí okolí (viz obrázek). V tom to případě energetická interakce m ezi soustavou a okolím nemá charakter práce, ale je to teplo dodávané z okolí do soustavy. V zhledem k zavedené znaménkové konvenci pro práci a teplo je výsledek v obou případech stejný. A 15

Proud vzduchu o stavu 10 °C a 80 kPa vstupuje do vodorovného izolo vaného rozšiřujícího se kuželového potrubí rychlostí 200 m s '1. V stupní

Řešení Otevřenou soustavou v ustáleném režim u je vzduch v rozšiřujícím se potrubí. V zduch pova žujeme za ideální plyn: 1 n 80000 , (a) H ustota plyne ze stavové rovnice p= = = 0,984 k g m v r-T 287 (10 + 273,15) Hmotnostní tok

m = p •A ■c = 0,984-0,4-200 = 78,7 kg s '1 13


(b) Z 1ZT vypočtem e výstupní teplotu. Pokud ke zm ěně stavu z 1 na 2 dojde rychle, můžem e zanedbat sdílení tepla s okolím . V kontrolním objem u se nekoná užitečná práce. Zm ěna po tenciální energie v kontrolním objem u je nulová nebo prakticky zanedbatelná. Proto „2

„2

c

„2

c

„2

c

h2 - hi + y - y = 0

resPektive

c

cP( T2 - Ti ) + y - Ý

=0

T*

Konečná teplota T2 = T 1 + - 1----- !-----c' p. lV 2 2

t , = t , + --------1------ -

* -

2

1 c.

2

= 10 +

2

2002

1

1004,5

22N

= 29.9 °C

A 16 Dusík expanduje v turbíně z tlaku 900 kPa a teploty 562 K na tlak 100 kPa. U rčete m ěrnou práci (a) při izoentropické expanzi, (b) při polytropické expanzi s exponentem n = 1,3, (c) při izotermické expanzi a (d) při polytropické (n = 1,3) dvoustupňové expanzi s přihříváním . Řešení Dusík v turbíně je uvažovaná otevřená soustava. Práce konaná při ustáleném chodu m á pova hu tlakové práce. Plyn je dvouatom ový, takže k = 1,4. M ěrná plynová konstanta dusíku r=—

=

28

= 297 J k g ^ K '1

(a) Izoentropická expanze Teplota plyne z izoentropického vztahu T,1

\ P2

K-1

1,4-1

0 0

/

K =562-

l P. j M ěrná tlaková práce

^900;

1,4 = 300 K

w tl2s = -A h 12s = -^ -!-(T 1- T :. ) = k 1

1,4-297 — - ( 5 6 2 - 3 0 0 ) = 272.3 kJ kg 1,4 1

(b) Polytropická expanze při n = 1,3 T2n=T, T,1

= 562-

l P ij M ěrná tlaková práce

1,3-1

0 0

Teplota z polytropického vztahu

r P2 ^

n-l n

1,3

= 338,5 K

^9 0 0 J

W(I2n = ^ - ( T 1- T 2n) = y ^ ^ - - ( 5 6 2 - 3 3 8 , 5 ) = 287.6 kJ kg 1

(c) Izoterm ická expanze při teplotě Ti = T 2T = 562 K f

M ěrná tlaková práce

^

w tl2T = w 12T = q12T = r •T, •ln Pí = 297 ■562 ■ln ■ — vP2y

100

= 366.7 kJ kg' — -------- 6"

(d) Polytropická dvoustupňová expanze s přihříváním . Po částečné expanzi, kdy teplota kles la, je dusík při optim álním m ezitlaku ohřátý na počáteční teplotu před expanzí. Optim ální hodnota m ezitlaku popt vyplývá z požadavku, aby součet technických prací v obou stupních byl maxim ální

14

Stav a změna stavu ideálního plynu r

w t l 2„

f p^ o p t ^

n ■r •T,

n-r-T, + ---------------

1 -

n -1

n

l P.

J

n-1

f

\

n- 1 n

P2

- 1-

tedy

,Pop. ,

8p opt

=O

opt

= Vp 7 p 2

Dosazením popt do vztahu pro m ěrnou tlakovou práci dostanem e / wtl2,

n -1

1-

P2

\ 2n =

2-

1,3-297-562

1

1 ,3 -1

100

1,3-1 2-1,3

323.9 kJ kg

\ 900 j

Zisk (úspora) práce vzniklý rozdělením expanze do dvou stupňů lze graficky znázornit v p-v diagramu (šedá plocha). r Konečná teplota

T2 = T,1 z 2n

\ P2_

/

\

= T, 23, ,P.>

n-1 2-n

= 562-

100 900

1,3-1 2 -1,3

= 436.1 K

VP°p‘ J A 17 Teplota vzduchu v nevyto p en é m ístnosti j e 1 6 °C a atm osférický tla k 1 01,4 kPa. Ohřevem teplota stoupne na 22 °C. Stanovte (a) počáteční hustotu vzduchu, (b) počáteční měrný objem, (c) změnu hustoty a (d) zm ěnu m ěrného objem u vlivem ohřevu. U važujte r = 287 J k g '1 K '1. Výsledek: (a) 1,222 kg m '3 (b) 0,818 m 3 kg-1 (c) 0,025 kg m '3 (d) 0,017 m 3 k g '1 A 18 Nádoba je naplněna 0,1 kg vodíku o tlaku 350 kPa a teplotě 20 °C. Stanovte (a) objem vodí ku, (b) tlak plynu poté, kdy nádoba byla vystavena slunečním u záření a teplota vodíku stoupla na 65 °C. Výsledek: (a) 0,3483 m 3 (b) 403,7 kPa A 19 Jaké množství plynu bylo vypuštěno z nádoby, jestliže před vypouštěním bylo v nádobě 10 kg plynu při tlaku 8,5 M Pa a teplotě 20 °C, po vypouštění měl plyn v nádobě tlak 6 M Pa a 15 °C. Výsledek: 2,82 kg A 20 Ve válci o prům ěru 0,6 m je 0,4 m 3 vzduchu o tlaku 0,2 M Pa a teplotě 35 °C. N a jakou teplotu je třeba ohřát vzduch, aby se píst posunul o 0,3 m a tlak se zvýšil na 0,5 M Pa? Výsledek: 660,6 °C A 21 Pístový kom presor nasává 5 m 3/m in vzduchu o teplotě 17 °C a barom etrickém tlaku 97 kPa a stlačuje jej do zásobníku o objem u 9 m 3. Za ja k dlouho kom presor zvýší tlak v zásobníku na 0,6 M Pa při konstantní teplotě? Počáteční tlak a teplota vzduchu v zásobníku je stejná jako u okolního vzduchu. Výsledek: l l m i n 8 s A 22 Bombička obsahuje oxid uhličitý při tlaku 200 kPa a teplotě 24 °C. O bjem C O 2 je 3 cm 3. Po její aplikaci v sifonové lahvi plyn expanduje na tlak 105 kPa. Stanovte (a) teplotu expandova ného plynu uvnitř bom bičky a (b) počáteční hm otnost plynu v bom bičce. Výsledek: (a) 247 K (b) 0,01 g

15

Stav a zmhns

s te v u

t á e &

n f o o

p t y u u

A 23 Vzduch je stlačován v ustáleném režim u ze stavu o tlaku 100 kPa a teplotě 27 °C na tlak 1200 kPa. U rčete m ěrnou kom presní práci a konečnou teplotu při (a) izoentropickém stlačo vání, (b) polytropickém stlačování s exponentem n = 1,2 (c) izoterm ickém stlačování a (d) dvoustupňové polytropické kom presi s m ezichlazením (n = 1,2). Výsledek: (a) w t = -311,6 kJ k g '1, T2 = 610,5 K ( b )w t = -265,1 kJ k g 1, T2 = 454,1 K (c) w t = -214,0 kJ k g 1, T 2= 300 K (d) w t = -237,7 kJ k g '1, T2 = 369,2 K A 24 Vzduch o hm otnosti 3 kg je pracovní látkou v oběhu tvořeném třem i ději: izochorickým 1-2 při objemu 2 m 3, izobarickým 2-3 při tlaku 100 kPa a izoterm ickým 3-1. V e stavu 3 je objem 10 m 3. V ypočtěte (a) celkovou práci oběhu a (b) tepla sdělovaná m ezi vzduchem a okolím v jednotlivých dějích. Výsledek: (a) -809 kJ (b) 1-2: -2000 kJ, 2-3: 2800 kJ, 3-1: -1609 kJ A 25 Pod pístem ve válci je 0,1 m 3 kyslíku, při tlaku 100 kPa a teplotě 20 °C. V álec je nad pístem opatřen zarážkami. P íst m á hm otnost 5 kg a prům ěr 30 cm. D o válce je přiváděno teplo a píst nejprve začne ve válci stoupat svisle vzhůru, přičem ž se tlak kyslíku ve válci nemění. V poloze, k dy n arazí n a z arážky, j e o bjem v zduchu p od p ístem 0 ,2 5 m 3. D alším přívodem tepla se dosáhne zvýšení tlaku na 150 kPa. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) konečnou hus totu, (c) objem ovou práci, (d) tlakovou práci a (e) m nožství přivedeného tepla. Výsledek: (a) 1099,3 K (b) 0,5252 kg n ť 3 (c) 15 kJ (d) -12,5 kJ (e) 83,854 kJ A 26 Helium se nachází v uzavřené nádobě o objem u 5 litrů. Jeho tlak je 135 kPa a teplota 24 °C. Dojde ke zvýšení tlaku na 210 kPa. Stanovte po zvýšení tlaku (a) teplotu, (b) hustotu, (c) změnu entalpie, (d) teplo sdílené s okolím , (e) objem ovou a (f) tlakovou práci. Výsledek: (a) 189 °C (b) 0,219 kg n ť 3 (c) 935 kJ (d) 560 J (e) 0 J (f) -375 J A 27 Oxid uhličitý ve válci s pohyblivým pístem m á počáteční teplotu 12 °C a tlak 101 kPa. Okolní tlak je také 101 kPa. Plyn se ohřeje na teplotu 80 °C a jeho konečný objem je 0,01 m 3. Sta novte (a) počáteční hustotu, (b) konečnou hustotu, (c) počáteční objem , (d) objem ovou práci, (e) tlakovou práci a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 1,875 kg n ť 3 (b) 1,514 kg m '3 (c) 0,00807 m 3 (d) 195 J (e) 0 J (f) 783 J A 28 0,25 kg dusíku expanduje izoentropicky v izolované nádobě ze stavu o teplotě 55 °C a tlaku 650 kPa na stav s teplotou -26 °C. V ypočtěte (a) tlak na konci expanze, (b) počáteční hustotu, (c) konečnou hustotu, (d) objem ovou práci a (e) tlakovou práci. Výsledek: (a) 241 kP a (b) 6,67 kg n ť 3 (c) 3,28 kg m '3 (d) 15 kJ (e) 21 kJ A 29 0,25 kg dusíku expanduje polytropicky z počátečního stavu o teplotě 55 °C a tlaku 650 kPa do stavu s teplotou -26 °C. Polytropický exponent je 1,28. V ypočtěte (a) tlak na konci expanze, (b) počáteční hustotu, (c) konečnou hustotu, (d) objem ovou práci, (e) tlakovou práci a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 178 kP a (b) 6,67 kg n ť 3 (c )'2,424 kg n ť 3 (d) 21,5 kJ (e) 27,5 kJ (f) 6,5 kJ

16


A 30 Množství vzduchu 2 km ol je polytropicky stlačováno ze stavu o teplotě 18 °C a tlaku 102 kPa, dokud hustota vzduchu nedosáhne hodnoty 2,214 k g m '3. D odaná objem ová práce vzduchu je 3165 kJ a dodaná tlaková práce 4146 kJ. V ypočtěte (a) počáteční objem, (b) počáteční hustotu, (c) polytropický exponent, (d) konečnou teplotu, (e) konečný tlak a (f) sdílené teplo. Výsledek: (a) 47,46 m 3 (b) 1,22 k g m ’3 (c) 1,31 (d) 77 °C (e) 222,5 kPa (f) -7 1 2 kJ A31 Teplo 2,5 M J se dodalo 5 kg vodíku při izoterm ické zm ěně ze stavu o tlaku 300 kPa a teplotě 25 °C. Stanovte (a) m ěrnou práci (objem ovou a tlakovou) konanou plynem , (b) tlak na konci změny, (c) hustotu na počátku zm ěny a (d) hustotu na konci změny. Výsledek: (a) w = w t = 500 kJ k g '1 (b) 200,4 kPa (c) 0,242 kg m ‘3 (d) 0,162 kg m '3 A 32 Teplo 32,85 kJ je uvolněné kyslíkem při polytropické zm ěně ze stavu o teplotě 20 °C a tlaku 120 kPa na stav s teplotou 41,4 °C. Objem kyslíku na počátku ohřevu je 1 m 3. Stanovte (a) polytropickou m ěrnou tepelnou kapacitu, (b) polytropický exponent, (c) konečný tlak, (d) konečnou hustotu, (e) objem ovou práci a (f) tlakovou práci. Výsledek: (a) -974 J k g ^ K '1 (b) 1,16 (c) 200 kPa (d) 2,447 kg m '3 ( e ) -54,75 kJ (f) -63,51 kJ A 33 Vzduch v uzavřené nádobě o objem u 500 litrů je ohříván. Počáteční stav je dán teplotou 22 °C a hustotou 1,45 k g m '3. Tlaková práce doprovázející zm ěnu je -5,256 kJ. Stanovte (a) počáteční tlak, (b) konečný tlak, (c) konečnou teplotu a (d) teplo sdílené s okolím. Výsledek: (a) 122,85 kPa (b) 133,3 kPa (c) 47,3 °C (d) 13,14 kJ A 34 3 g dusíku jso u uzavřeny ve válci s volně pohyblivým pístem. Teplota plynu je 75 °C a tlak 100kPa (je ro v e n atm osférickém u tlak u v okolí). P ly n k o n á ob jem o v o u práci 6 0 J. Určete (a) počáteční objem , (b) počáteční hustotu, (c) konečný objem , (d) konečnou hustotu, (e) konečnou teplotu a (f) teplo sdílené s okolím. Výsledek: (a) 0,0031 m 3 (b) 0,967 kg m '3 (c) 0,0037 m 3 (d) 0,811 kg n ť 3 (e) 142,3 °C (f) 210 J A 35 2 kg vzduchu o teplotě 20 °C a hustotě 1,2 kg m 3 mění svůj stav polytropicky a koná přitom objemovou práci 24 kJ a tlakovou práci 31 kJ. Stanovte (a) polytropický exponent, (b) konečnou teplotu, (c) teplo sdílené s okolím , (d) počáteční tlak, (e) konečný tlak a (f) ko nečnou hustotu. Výsledek: (a) 1,292 (b) 7,8 °C (c) 6,48 kJ (d) 101 kPa (e) 83,63 kPa (f) 1,037 kg m '3 A 36 Tři plyny považujte za ideální: vodík (H 2), dusík (N2) a oxid uhličitý ( C 0 2). Rozhodněte, kte rý z těchto plynů je z hlediska citlivosti m ěření teploty jak o teplom ěm á látka (a) nej výhodnější, a který (b) je nejm éně vhodný pro použití v plynovém teplom ěru. Za teploměmou veličinu uvažujte objem při izobarické zm ěně (např. běžný teplom ěr). Citlivost je tím větší, čím je větší zm ěna teploty s objem em (5T/3V). Výsledek: (a) oxid uhličitý (b) vodík ■»

17

Stav a změna stavu reálného plynu - páry

B Stav a změna stavu reálného plynu - páry Grafickou variantou stavových rovnic reálných plynů jso u term odynam ické diagram y. V eliči ny jako cv, cp, r, k , atd. jso u závislé na tlaku i teplotě. Stavová rovnice ideálního plynu zde nelze použít! Jediné, co lze použít je 1. a 2. zákon term odynam iky. Protože chování reálných plynů a par je pod statně složitější, zvláště pak ve stavech blíz kých stavům nasycení, kde dochází k fázovým změnám, analytické výrazy jso u velm i složité, a proto je upřednostňováno použití diagram ů a tabulek. Např. p-T, p-v, T-s, h-s diagram y, které jsou velm i užitečnou a názornou pom ůc kou. Vede rychle k výsledku, avšak na úkor přesnosti řešení. Je vhodné si každou zm ěnu znázornit v některém diagram u, abychom zís kali lepší představu o ději. Používání tabulek m ěrných stavových funkcí pro jednotlivé látky je zpravidla spojeno s interpolací mezi tabelovaným i hodnotam i. Práce s tabulkam i a diagram y patří k základním dovednostem inženýra v oblasti aplikované termodynamiky. Zpravidla jso u k dispozici dva typy tabulek: pro oblast sm ěsi syté kapaliny SK a syté páry SP (tzv. mokré páry M P) a pro oblast přehřáté páry PP nebo nenasycené kapaliny K. (a) Tabulky syté kapaliny a syté páry SK-SP (též tabulky m okré páry) pro oblast směsi syté páry a syté kapaliny jso u uspořádány zpravidla jednak podle teploty a jed n ak podle tlaku. Pro každou dvojici p-T nebo T-p jso u tabelovány hodnoty m ěrných veličin objem u, entalpie a entropie na dolní m ezní křivce (horní index veličiny - je d n a čárka) a na horní m ezní křivce (horní index - dvě čárky). U entalpie též rozdíl obou entalpií (což je m ěrné skupenské teplo vypařování). H odnoty vnitřní energie lze již snadno dopočítat z definice entalpie (u = h - p-v), avšak někdy jso u také navíc tabelovány. Stavy v oblasti m okré páry jso u dány hodnotou su chosti x, jež vyjadřuje vždy hm otnostní pom ěr syté páry SP ve sm ěsi m okré páry MP m sp _ m SP x = m MP m SK + m sp Ve snaze ulehčit uživateli výpočet stavových veličin v oblasti m okré páry pom ocí vztahů v= v' + x ( v " - v ') u = u ' + x ( u '- u ') h = h ' + x (hff - h') = h' + x •123 s = s' + x ( s ''- s ') bývají tabelovány i rozdíly m ěrných veličin, např. Ah = I23 = h" - h', As = s7/ - sf. Uspořádání tabulek syté kapaliny a syté páry (SK-SP) bývá následující: Tabulka řazená dle teplot v t v p

18

u

I23

h

s

s


Tabulka řazená dle tlaků ; ■ v t v p

u

hy

u"

hy;

123

s'

s"

(b) Tabulky přehřáté páry PP nebo nenasycené kapaliny K Jsou mnohem rozsáhlejší, neboť pro jednotlivé tlaky jso u tabelovány hodnoty m ěrných veli čin v závislosti na teplotě, ja k lze vidět na následujícím schém atu pi+1

Pí t

v

u

h

s

v

u

Pi+2 h

s

v

u

h

s

Hodnoty stavových funkcí v oblasti nenasycené kapaliny K jso u do značné m íry závislé pou ze na teplotě, jejich závislost na tlaku je - až do tlaků asi 10 M Pa - nepatrná a lze ji zanedbá vat (změna tlaku o dva řády způsobí zm ěnu stavových funkcí pouze m axim álně asi o 1%). Proto lze výhodně aproxim ovat stavy nenasycené kapaliny stavy syté kapaliny při dané teplo tě kapaliny, tedy vk = v ^ j ,, uk = u'pn t , hk = h ^, t , sk = s'přl t. Entalpie je pom ěrné nejvíce citlivá na zm ěny tlaku, proto při značných tlacích v nenasycené kapalině je vhodná její lepší aproxim ace vztahem h = h 'pFl t + v; (p - p sat), kde p Sat je tlak nasy cené (saturované) kapaliny nebo páry při uvažované teplotě t. Pro určení stavu a zm ěn ve vodní páře je uživatelsky příjem nější použít term odyna mický software (např. Pára - VUT FSI Brno nebo výborný ruský W aterSteam Pro, který je možné jako doplněk integrovat přím o do MS Excelu). Důležité upozornění: D říve než začnem e používat výše uvedené výpočtové pomůcky, je třeba ověřit, k jakým výchozím hodnotám vo, Uo, ho, So jso u vztaženy. I když je snaha o unifikaci vztažných stavů, různé pom ůcky nem usí odpovídat vždy tom uto požadavku. V ý počty prováděné se stavovým i veličinam i různých vztažných stavů vedou k fatálním chybám. Při interpolacích v tabulkách se pro jednoduchost většinou používá lineární interpolace. Abychom stanovili hodnotu stavové veličiny y, je ž m á odpovídat hodnotě stavové veličiny x, která leží mezi dvěm a tabelovaným i hodnotam i xi, x2, je třeba použít analytické rovnice přímky dané souřadnicem i dvou tabelovaných bodů [xi, yi], [x2, y2] v rovině x, y: y 2- y i • ( x - x , ) y - Yi +■ x 2- x ,

(INT)

Praktické provádění lineární interpolace lze výhodně usnadnit např. využitím statistické funk ce lineární regrese na kapesním kalkulátoru. L ineární interpolace je vlastně zvláštní případ lineární regrese, kde m nožina zpracovávaných údajů je om ezena pouze na dvě dvojice hodnot xay. Je proto žádoucí bezpečné zvládnutí používání této funk ce na kalkulátoru. Pracujeme-li s počítačem , lze si relativně pracnou interpolační proceduru rovněž usnadnit. Např. při použití MS Excelu lze jednou sestavit schém a interpolačního výpočtu, řádně jej ověřit, a při dalších četných aplikacích interpolační úlohy stejného typu vkládat do naprogram ovaného schém atu použe nové hodnoty a okamžitě získávat nové interpolované výsledky.

19

Stav a změna stavu reálného plynu

-

páry

Izočáry v digram ech reálných plynů

B 1 Stav vodní páry je určen teplotou 110 °C a tlakem 100 kPa. Stanovte měrný objem páry. Řešení Nejprve je třeba určit oblast zadaného stavu. V tabulce SK-SP řazené podle teplot najdem e k teplotě t = 110 °C saturační tlak (tlak na mezi sytosti) p sat= 143,4 kPa. Tento tlak je vyšší než zadaný tlak 100 kPa. Podle obecného trendu rozložení izoterem v p-v diagram u, průsečík izoterm y 110 °C a izobary 100 kPa je v oblasti přehřáté páry (PP). Lineární interpolací m ezi tabelovaným i teplotam i 100 °C a 150 °C pak najdem e m ěrný objem v._______

v = v, + 1

100

1,6960

150

1,9367

v-i- . ( t - O = 1.6960 + 1,19367 1,696° • (110 -1 0 0 ^ = 1.744 m 3 k e 1 t2 - t , V ' 1 5 0 -1 0 0 ------------

B2 Stav 5 kg vody je určen teplotou 120 °C a m ěrným objem em 0,4 m 3 k g '\ Stanovte (a) tlak a hodnoty (b) vnitřní energie, (c) entalpie a (d) entropie vody. Řešení V tabulce SK-SP řazené dle teplot najdem e pro teplotu 120 °C: (a) tlak na m ezi sytosti p = 198,665 kPa v7 = 0,001060 m 3 kg ' 1 v" = 0,891304 m 3 kg ' 1 u; = 503,6 k J kg ' 1 h; = 503,8 kJ kg ' 1 h" = 2705,9 kJ kg ' 1 s/ = 1,5278 kJ kg *1 _ Zadaný objem 0,4 m 3 kg ' 1 leží m ezi m ěrné objemy na m ezi sytosti, proto se jed n á o stav m ok ré páry. N ejprve stanovím e suchost m okré páry: x _ v v_ „4 v —v 0 ,8 9 1 3 0 4 -0 ,0 0 1 0 6 Požadované hodnoty m ěrných a celkových veličin: (b) u = u; + x (u;/- u') = 503,6 + 0,448 • (2528,9 - 503,6) = 1410,9 kJ k g 1 U = m • u = 5 • 1410,9 = 7054.5 kJ (c) h = h; + x (h7- h;) = 503,8 + 0,448 • (2705,9 - 503,8) = 1490,3 kJ kg ' 1 H = m • h = 5 • 1490.3 = 7451.5 kJ , (d) s = s; + x (s7/- s;) = 1,5278 + 0,448 • (7,1291 - 1,5278) = 4,0372 kJ k g ^ K ' 1 S = m ■s = 5 • 4,0372 = 20.186 kJ K ' 1

20


B3 5 kg vody m á teplotu 100 °C při tlaku 300 kPa. Stanovte její (a) objem , (b) vnitřní energii, (c) entalpii a (d) entropii vody. Řešení . y' Nejprve se určí oblast daného stavu v p-v diagramu. N apř. jý tabulce mokré páry řazené dle teplot najdem e k udané teplotě 100 °C saturační tlak 101,42 kPa, jen ž je m enší než zadaný tlak 300 kPa. Izoterm a 100 °C protíná izobaru 300 kPa v oblasti kapaliny. H ledané m ěrné veličiny aproxim ujem e hodnotam i na dolní m ezní křivce při zadané teplotě 100 °C. (a) v 2 vpfi ]00„c = 0,001044 m 3 kg "1 V = m • v = 5 • 0.001044 = 0.00522 (b) u s u p f i i r c = 418,94 k J k g 1

U = m • u = 5 • 418.94 = 2094.7 kJ

(c) h s h pfil00OC= 419,04 kJ k g 1

H = m • h = 5 • 419.04 = 2095.2 kJ

„ P P ^sat

/

" V

-

m3

případně použijem e lepší aproximaci: h = 1 W C + v - ( p - p satpfll00„c ) = 419,04 + 0,0010 • (300 - 101,42) = 419,25 kJ k g 1 H = m • h = 5 • 419,25 = 2096.2 kJ (rozdíl je asi 0,05 %) (d) s = s ...inn.r = 1.3069 kJ k °s ' 1 K ' 1 S = m • s = 5 • 1.3069 = —6.5345 kJ K ' 1 ----------------------------v / ^ —^pr,ioo°C B4 200 g vody ve stavu syté kapaliny se vypaří při stálém tlaku 100 kPa. Stanovte (a) zm ěnu objem u v o d y a (b) potřebnou tepelnou energii dodanou vodě. Řešení (a) Odečteme hodnoty m ěrných objem ů na dolní a horní m ezní křiv ce v7 a v;/ v tabulce m okré páry řazené podle tlaku. AV = m ■( / - v 7) = 0,2 • (1,6940 - 0,0010) = 0.3386 m 3 (b) Měrná energie potřebná k izobarickém u vypaření syté kapaliny je vlastně měrné skupenské teplo vypařování (q = I23). Energie na vypa ření je pak rovna přírůstku celkové entalpie: AH = m • (h/;- h7) = m • 123 = 0,2 • 2258,0 = 451.6 kJ B5 Ve válci uzavřeném pístem jso u 2 litry syté páry při tlaku 220 kPa. Stanovte (a) teplotu páry a (b) hmotnost páry. Řešení (a) Protože pára je nasycená, její teplota je přím o saturační teplota odpovídající tlaku 220 kPa, t = tsat ph 220 kPa- Je třeba interpolovat mezi tabelovanými hodnotam i při tlacích pi = 200 kPa a p2= 225 kPa v tabulce m okré páry dle tlaků. ^sat 2

^satl •(p - p ,) = 120,23 + 12 4 ,0 0 -12Q> 23 •(220 - 200) = 123.25 °C 2 2 5 -2 0 0 V ’ ----- -------P2 - P 1 v

21


(b) A nalogickou interpolací lze stanovit m ěrný objem v ;-v ; . A_ n o o „ . 0 ,7 9 3 3 -0 ,8 8 5 7 v" = v: + L - ( P - P i ) = 0,8857 + - --------------------- ( 2 2 0 - 2 0 0 ) = 0,8118 m 3 k g 1 ' P2 - P 1 ’ 2 2 5 -2 0 0 V 0 002 Hmotnost páry m = — = —------- = 0,00246 k s v" 0,8118 ----------- * B6 Stanovte pom ocí parních tabulek (a) m ěrný objem a (b) m ěrnou entalpii vodní páry, je-li zná ma její teplota 265 °C a tlak 300 kPa. Řešení Nejprve je třeba určit, ve které oblasti daný stav páry leží. Tlaku 300 kPa odpovídá saturační teplota tsat= 133,55 °C. V p-v diagram u je zřejm é, že izoterm a teploty 265 °C leží nad izoterm ou saturační teploty a protne se s izobarou o tlaku 300 kPa v oblasti přehřáté páry. Je proto třeba použít tabulku přehřáté páry pro tlak 300 kPa. Protože v naší tabulce m ěrný objem a m ěrná entalpie nejsou tabelovány pro t = 265 °C, je nutná interpolace mezi nejbližšími tabelovaným i hodnotam i při ti = 250 °C a t 2 = 300 °C. Interpolační vztah (INT) použijem e nejprve pro dvojici t, v a pak pro dvojici t, h: (a) v = v, + v ? ~ V| ■(t - t , ) = 0.7 9 6 4 + Q’_8 7 5 3 ~ ° ’7964 .( 2 6 5 - 2 5 0 ) = 0.8201 m 3 k g '1 -------------t 2 tj 3 0 0 -2 5 0 v ’ (b) h = h, + h 2 ~ hl • ft - 1. ) = 2967.6 + 3Q69>3 ~ 2967>6 . ( 265 _ 2 5 0 ) = 2998.1 kJ k g '1 t 2- t , V 3 0 0 -2 5 0 V ' ------- --------- ^ B7 V nádobě o objem u 2 m 3 jso u uzavřeny 4 kg vodní páry při tlaku 500 kPa. U rčete (a) teplotu, (b) měrnou vnitřní energii a (c) m ěrnou entropii páry. Řešení (a) M ěrný objem vypočítám e z daného objem u a hm otnosti v = V /m = 2/4 = 0,5 m 3 k g '1. Stav páry je určen dvěm a stavovým i veličinam i, tlakem p = 500 kPa a m ěrným objemem T I > O 1 # v = 0,5 m kg' . V tabulce m okré páry řazené podle tlaků lze zjistit, že v = 0,5 m kg' je větší než v//= 0,3749 m 3 k g '1. P á ra je proto přehřátá a je třeba pracovat s tabulkou PP pro 500 kPa. H odnota v = 0,5 m 3 k g '1 leží m ezi tabelovaným i hodnotam i vi = 0,4744 m 3 k g '1 při teplotě ti = 250 °C a V2 = 0,5226 m 3k g '1 při teplotě t 2 = 300 °C. Je nutno použít vztah pro lineární interpolaci (INT), kde za x dosazujem e v a za y dosazujem e t. t = t. + Í l Z Í l . ( v - v ,) = 250 + -----3QQ~ 25Q------( 0.5 - 0.4 7 4 4 ) = 276.6 °C 1 v2- v , V 0 ,5 2 2 6 -0 ,4 7 4 4 V ' ----- ------(b) Vnitřní energie a entropie se určí interpolací pom ocí příslušných sousedních tabelovaných hodnot a obdobného vztahu. u,-u, / s. , 2 8 0 2 ,9 -2 7 2 3 ,5 , T, -1 u = u, + — ----- - - ( v —v , ) = 2723.5 + ------------------------ Í 0 .5 - 0 .4 7 4 4 ) = 2765,7 kJ kg 1 v2-v , V 0 ,5 2 2 6 -0 ,4 7 4 4 V ; ^ c _c 7 4 S 9 9 - 7 9709 , , řc) s = s, + •( v - v .) = 7.2 7 0 9 + ’ - - - - - •( 0.5 - 0 .4 7 4 4 ) = 7.3713 kJ k g '1 K “1 v 2 —v, V 0 ,5 2 2 6 -0 ,4 7 4 4 V ; ---------------- 6-------Poznám ka: Pokud nejsou k dispozici tabulky s tabelovaným i hodnotam i vnitřní energie, je třeba nejprve analogickým postupem stanovit entalpii, 22


h = h, + h -2 h | - ( v - v , ) = 2960,7 + 3 0 6 4 ,2 2 9 6 0 , 7 - ( 0 ,5 - 0 ,4 7 4 4 ) = 3015,7 kJ k g 1 v2 - v , V ’ 0 ,5 2 2 6 -0 ,4 7 4 4 a pak vypočteme vnitřní energii pom ocí definičního vztahu m ezi vnitřní energií a entalpií u = h - p • v = 3015,7 - 5 0 0 • 0,5 = 2765.7 kJ k g 1 B8

Je dána m ěrná entalpie 3131 kJ kg ' 1 a m ěrná entropie 7,5263 kJ kg ' 1 K ' 1 vodní páry. Jaká je její teplota a tlak? Řešení Stavové veličiny jso u v parních tabulkách zpravidla tabelovány podle teploty a tlaku. Tedy teplota t a tlak p jso u považovány za nezávislé veličiny a tabelované hodnoty v, u, h, s za zá vislé. Je-li stav páry zadán pom ocí dvou tabelovaných veličin, v tom to případě h, s, stanovení ostatních stavových veličin pom ocí interpolace je složitější. Nejprve je třeba nalézt v tabulkách takové dvojice hodnot h, s (nejlépe ležících v tabulkách vedle sebe), aby zadané (zde h = 3131 kJ k g '1, s = 7,5263 kJ kg ' 1 K '1) ležely m ezi nimi (před poklad interpolace), ja k je ukázáno na následující výřezu:

t, = 300 °C t2 = 350 °C

P A= 500 kPa hA(kJ k g '1) | sA(kJ kg ' 1K '1) 3064,2 7,4599 3167,7 | 7,6329

00 °C t2= 350 °C

p B= 600 kPa h B (kJ k g '1) sB(kJ kg -1 K '1) 7,3724 3061,6 7,5464 3165,7

Dvě příslušné sousední teploty v tabulkách jsou označeny číselným i indexy 1, 2 a dva pří slušné sousední tlaky v tabulkách písm enným i indexy A, B. M ůžem e vyjádřit dva pomocné údaje thA, thB jako funkci entalpie interpolováním mezi tabelovaným i teplotam i ti, t 2 při tlacích pA, Pb a podobně tSA, tsB jako funkci entropie interpolováním m ezi tým iž tabelovaným i teplo tami. thA= t , + t 2 ~ t[— ( h - h , A) = 3 0 0 + ■ ■350 - - -9?------( 3 1 3 1 -3 0 6 4 ,2 ) = 3 3 2 ,3 °C i.a i u u v ia ; 3 1 6 7 ,7 -3 0 6 4 ,2 v ’ h 2A - h , A t2

- t , thR= t . + ' 2 ~ M - ( h - h , R) = 300 + ... 3 5 0 - - - ------(3 1 3 1 -3 0 6 1 ,6 )= 333,3 °C hB 1 û2 B ~ u^ 1 B V 1b; 3 1 6 5 ,7 -3 0 6 1 ,6 V ’

t . = t. + t 2 * "S 2A

- t ,

l| "

-S .A

•( s - s.A) = 300 + ----- 3 5 0 3-°- ------(7,5263 - 7 ,4 5 9 9 ) = 319,2 °C V ' 7 ,6 3 2 9 -7 ,4 5 9 9 v '

1 - s1B) = 300 + -----35Q~ 3QO------(7,5263 - 7,3724) = 344,2 °C t B = t. + t^2 ~_ tl|> •(s s 2B- s ]B V 7 ,5 4 6 4 -7 ,3 7 2 4 V ’ t

Získanými dvojicemi [pA, thA], [pB, t hB] a [pA, t sA], [P b , tsB] lze nyní proložit přímky. Souřadnice společného průsečíku jsou hledané hodnoty teploty a tlaku daného stavu.

p

Např. tlak získám e porovnáním dvou interpolačních vyjádření teploty (INT), na základě pom ocných údajů thA, thB, tsA, tsB a tabelovaných tlaků p A, p B. Spojením dvou interpolačních vztahů pro teplotu dostáváme t = thA + thB ~ thA ' (P ~ P a ) = t SA + tsB - J — ' ( P ~ P a ) Pb Pa Pb Pa

(* )

23


-

páry

T.T.T. 7, — ^ ^44 O - T i q 9 332,2 + — ---------- — ( p - 5 0 0 ) = 3 1 9 .2 + ’ (p -5 0 0 ) 6 0 0 -5 0 0 v ' 6 0 0 -5 0 0 V ’

->

p = 5 5 4 .6 k P a ----- --------

D osazením tlaku do (*), dostanem e teplotu: t —t ^44 9 - ^ 1 Q 9 t = t_. + ^ — — -Í d —t), ) = 31.9.2 + ----- ------5 5 4 .6 -5 0 0 ) = 3 3 2 .9 °C Pb - P a 6 0 0 -5 0 0 v ' ----- ------Méně přesný výsledek získám e přím ým odečtením z h-s diagram u vody: 540 kP a a 330 °C. B9 i • • Pro 3 m vodní páry o stavu uvažovaném v předcházející úloze stanovte (a) je jí hm otnost a (b) látkové m nožství v kilom olech. Řešení Stanovíme m ěrný objem páry. Teplota t = 332,9 °C a tlak p = 554,6 kPa byly určeny v předchozí úloze. Pro obě tyto hodnoty nejsou další veličiny tabelovány. Potřebnou interpo laci je nutno provést ve dvou krocích. N ejprve vypočtem e dvojí aplikací (IN T) interpolované hodnoty vA, v B pom ocí tabelovaných hodnot ti, Í2, V)A, V2A a vib, V2B pro teplotu t = 332,9 °C při tabelovaných tlacích Pa = 500 kPa, pe = 600 kPa. = 0,5226 + 0 ’ 537 50 ó l ° 0502 2 t,'( 332-9 - 300) = ° - 5 5 3 9 m 3 k 8 ''

va = v,A + Vb = v i . + V ~ f ~

• ( t - 1,) = 0,4344 + ° ,4 ™ ~ ” 04ň3 4 4 ■(3 3 2 ,9 - 3 0 0 ) = 0,4605 m3k g 1

Ve druhém kroku interpolací vA a vB podle tlaku aplikací vztahu (INT) získám e m ěrný objem. v = vA + ^

Pg

^

( p - p A) = 0 ,5 5 3 8 + ° ,4 ^ ~ ° ’5539 (5 5 4 ,6 - 5 0 0 ) = 0 , 5029 m ^ g '

Pa

oUU

ÛU

V 3 m = — = ---------- = 5,965 kg v 0,5029 (b) Látkové m nožství stanovím e pom ocí m olám í hm otnosti vody M m= 18 kg km ol ' 1 m 5,965 , n = ----- = ---------= 0,3314 km ol Mm 18 --------------(a) Hmotnost pak plvne ze vztahu

BIO 2 kg mokré páry chladiva R12 m á teplotu 4 °C. Přitom 1 kg ch la d ív a je ve stavu syté kapaliny a 1 kg ve stavu syté páry. Stanovte (a) m ěrný objem , (b) celkový objem m okré páry, (c) cel kovou entalpii a (d) celkovou entropii. Řešení Použijem e tabulky pro chladivo R12. Ze zadání ply n e, že náš stav je v oblasti m okré páry chladiva. S výhodou použijem e tabulku řazenou podle teploty. Ze zadaného pom ěru mezi sytou kapalinou a sytou párou určím e suchost m okré páry m SP 1 x = ------- —-----= ------ = 0,5 m SK + m Sp 1 + 1 (a) M ěrný objem: v = v' + x ( V - v") = 0.0007227 + 0.5 -(0.04895 - 0.00072) = 0.02484 m 3/kg (b) Objem:

24

V = m mpmp* v = 2 • 0,02484 = 0.04967 m 3


(c) Měrná entalpie: h = h' + x (hB- h') = h' + x •123 = 39,76 + 0,5-149,47 = 114,495 kJ k g 1 Entalpie:

H = m mp- h = 2 • 114,495 = 229 kJ

(d) Měrná entropie: s= s' + x ( s '- s ') -0 ,1 5 5 3 + 0,5-(0,6946 - 0,1553) = 0,42495 kJ k g 1 K -1 Entropie:

S = m mp • s = 2 • 0,42495 = 0.8499 k J K -1

B il

3 kg mokré vodní páry je v nádobě o objem u 200 litrů při tlaku 1 M Pa. U rčete (a) suchost, (b) entalpii, (c) vnitřní energii a (d) entropii mokré páry. Řešení (a) Měrný objem

v=—= m 3 v-v' x = ---------= v'-v'

O U * v. Suchost směsi

= 0,06667 m 3 kg ' 1 0 ,0 6 6 6 7 -0 ,0 0 1 1 2 7 A ----------------------------- = 0,339 0 ,1 9 4 4 4 -0 ,0 0 1 1 2 7

(b) Entalpie: H = m h = m-[h7+ x (h" - h')] = 3-(762,81 + 0,339-2015,3) = 4338 kJ (c) Vnitřní energie: U = m u = m-[u/ + x (u" - u )] = 3 (761,68 + 0,339-1822,1) = 4138 kJ nebo též: U = H - p-V = 43 3 8 - 103-0,2 = 4138 kJ (d) Entropie: S = m-s = m-[s/ + x (s^-s7)] = 3-(2,1387 + 0,339-4,4478) - 10,939 kJ K~‘ B 12

55 kg vody v nádobě m á tlak 2 M Pa a teplotu 183 °C. U rčete (a) m ěrný objem , (b) měrnou entalpii a (c) m ěrnou entropii vody v tom to stavu. Řešení Nejprve určím e oblast daného stavu. Saturační teplotu odpovídající tlaku 2 M Pa najdeme v tabulce m okré páry řazené podle tlaku, tsat = 212,42 °C. Je větší než daná teplota 183 °C. Průsečík izoterm y 183 °C a izobary 2 M Pa je proto v oblasti kapaliny. Stavové veličiny apro ximujeme údaji na dolní m ezní křivce při dané teplotě 183 °C. Pokud pro tuto teplotu nem á me tabelované stavové veličiny, interpolujem e pom ocí vztahu (IN T) m ezi tabelovaným i tep lotami, např. 180 °C a 185 °C. (a) v S v'I83.c = v ;80 + # ^ - ( 1 8 3 - 1 8 0 ) = 0,001127 + °» 001 ^ - 0 , 0 0 1127 (J g3 _ 1 g())

(b) h s h '

185 180 (1 8 3 -1 8 0 ) = 763,22 + ------- --— (183 -1 8 0 ) 1 8 5 -1 8 0 v ’ 1 8 5 -1 8 0 h = 776,51 kJ kg ' 1 H = m • h = 55 • 776.51 = 42708 kJ s' - s ' 2 1 8 7 9 - 2 1396 (c) s s s' c = s' + 185 180 (183 - 1 8 0 ) = 2,1396 + ’ ’ (1 8 3 -1 8 0 ) 183C 180 1 8 5 -1 8 0 ’ 1 8 5 -1 8 0 s = 2,1686 kJ kg ^ K ' 1 S = m • s = 55 • 2,1686 = 119.27 kJ K ' 1 183 c

= h'

+

185-180 ' 7 185-180 kg1 V =m ■ v = 55 ■ 0.001129 = 0,0621 h;85-h' 0„ lonx 785,37-763,22

180

B 13 Dvoufázová směs vody a vodní páry m á tlak 8 M Pa a suchost 60 %. Směs zaujím á objem 0,08 m 3. Stanovte (a) teplotu, (b) hm otnost syté vody m' a hm otnost syté páry m // ve směsi. Řešení Stav je v oblasti m okré páry MP. (a) Teplota sm ěsi je saturační teplota při daném tlaku 8 M Pa, tedy t = t
25


M ěrný objem v = v' + x •(v* - v ') = 0,0013842 + 0 ,6 •(0,02352 - 0,0013842) = 0,0146657 m 3 kg ' 1 (b) H m otnost směsi: Objem směsi:

m = m 7 + m 77 = — = — —_ = 5 ,4 5 5 kg v 0,0146657 V = V 7 + V 77 = m 7 v 7 + m /7 v 77

Spojením vztahů pro hm otnost a objem směsi lze vypočíst m a m /7: - - V - V ■ M ^ . O^ - O.OS . v "-v '

0 ,0 2 3 5 2 -0 ,0 0 1 3 8 4 2

-------- 6

V —m •v ř m" = -------------= m - m ' = 5.455 - 2 .1 8 2 = 3.273 kg v" - v ' -------B 14 Objem zásobníku chladiva je 0,005 m 3. Je v něm dvoufázová směs (kapalina-pára) chladiva R12 při tlaku 160 kPa. Suchost sm ěsi je 80 %. Určete (a) hm otnosti přítom né kapalné fáze i parní fáze a (b) jak é části celkového objem u zaujím ají jednotlivé fáze. Řešení Stav chladiva R12 v oblasti m okré páry je dán tlakem 160 kPa a suchostí 0,8. (a) M ěrný objem v = v' + x ( v " - v ') = 0,0006876 + 0,8-(0,1031 0 -0 ,0 0 0 6 8 7 6 ) = 0,0826175 m 3 kg ' 1 Hmotnost

m=—=— — = 0,0605 kg v 0,0826175

Spojením vztahů m = m / + m /7a V = V/ + V// = m / v 7 + m" v 77 dostanem e obě hm otnosti: m> = m . v - - V = 0 ^ p 5 ^ ° 11031-0,00_5 = o v "-v '

0 ,1 0 3 1 -0 ,0 0 0 6 8 7 6

V - m • v' / m" = -------------= m - m 7 = 0.0605 - 0.0121 = 0.0484 kg v" - v' ---------(b) Objemové zlom ky kapalné a parní fáze: , V' m ' v ' 0,012 1 -0 ,0 0 0 6 8 7 6 n n m _ co = — = -------- = ------------------------------ u.uu 1 / ------V V 0,005 V" m ' • v" ©' = — = ---------= 1 - 0 ) '= 1 -0 ,0 0 1 6 6 4 = 0,9983 V V ------B 15 V nádobě s pevným i stěnam i je horká tekutina, jejíž chladnutí je podporo váno m íchačkou dle nákresu. Počáteční hodnota vnitřní energie tekutiny byla 8 00 kJ. Během chladnutí se odvedlo 500 kJ tepla a m íchačka přitom dodala kapalině 100 kJ práce. Stanovte konečnou hodnotu vnitřní energie kapaliny. Energii sam otné m íchačky neuvažujte. Řešení Tekutinu v nádobě považujem e za uzavřenou soustavu. Z 1ZT: AE = AEk + A E p + A U = Q - W , k d e AEk = 0, AEp=0. AU = U 2 - U i = Q - W 26

-»

U , = Ui + Q - W = 800 - 500 - (-1 0 0 ) = 400 kJ


Práce konaná m íchačkou je užitečná práce dodávaná tekutině (není to objem ová práce, proto že objem tekutiny je konstantní). M usím e ji podle obecné konvence přisoudit znam énko m í nus, protože je to práce dodávaná do soustavy. B 16

V uzavřené nádobě je 0,15 m 3 vodní páry, nejprve při 500 kPa a 250 °C. O dvodem tepla stě nou se ochladí na 50 °C. Stanovte (a) odvedené teplo a (b) konečný tlak páry. Řešení Vodní pára v nádobě je brána jako uzavřená soustava. Chladnutí v uzavřené nádobě probíhá při konstantním objemu Vi = V 2. H m otnost páry se také nem ění, proto Vi = v2. (a) Protože se nekoná objem ová práce, 1ZT m á tvar Q = AU = U 2 - Ui = m • (U2 - ui) Výchozí stav páry je určen teplotou a tlakem. D aném u tlaku pi = 500 kPa odpovídá saturační teplota tsati = 151,86 °C, která je menší než daná teplota 250 °C, proto je výchozí stav v oblasti přehřáté páry. V tabulce PP pro pi a t j : V] = 0,4744 m 3 kg"1, ui = 2723,5 kJ k g '1. v

f

,

3

1

Konečný stav je určen teplotou t 2 = 50 °C a izochorickou podm ínkou v 2 = vj = 0,4744 m kg' . V tabulce SK-SP pro teplotu 50 °C najdeme: v/= 0,001012 m 3 kg ' 1 < v 2 = Vi = 0,4744 m 3 kg _1 < v//= 12,03 m 3 kg _1 —> m okrá pára Určíme suchost pom ocí m ěrných objem ů

x

_

V2

'2 _

v2 - v 2

0 ,4 7 4 4 -0 ,0 0 1 0 1 2

= 0,0394

1 2 ,0 3 -0 ,0 0 1 0 1 2

a pomocí suchosti vnitřní energii u 2 = u '2 + x •( u 2 - u'2) = 209,32 + 0,0394 • (2443,6 - 209,32) = 297,35 kJ kg ' 1 V

0,15

Hmotnost páry:

m = — = ■

Odvedené teplo:

Q = m ■(u 2 - u ,) = 0,316 • (300.8 - 2723.51 = -766.7 kJ

0,4744

0,316 kg

(b) Konečný tlak je saturační tlak při teplotě t 2 = 50 °C: p 2 = 12,349 kPa B 17

Ve válci o světlém průřezu 0,001 m 2 se svislou osou je 25 g syté páry při konstantním tlaku 300 kPa. O dporovým topidlem začne protékat proud I = 0,2 A ze zdroje o napětí V - 220 V po dobu x = 5 minut. Tepelné ztráty jso u 3,7 kJ. Stanovte (a) hmotnost pístu, je-li nad pístem tlak 100 kPa, (b) tlakovou p rá ci, (c) konečnou teplotu páry, (d) objem ovou práci a (e) počá teční i konečnou hodnotu tlakové energie. Řešení Uzavřená soustava je pára ve válci pod pístem. Část hranice soustavy tvořená čelem pístu, je pohyblivá. Píst se m ůře volně pohybovat, proto tlak páry ve válci zůstává konstantní pi = p 2 = 300 kPa. Počáteční stav 1 je na horní m ezní křivce (SP), konečný stav 2 je v důsled ku dodání elektrické energie a tím i ohřevu v oblasti přehřáté páry (PP).

27


-

páry

(a) Tlaková síla na čelo pístu Fp = p-A = mpiSťg + p 0-A m pjs, = ^ ( p - p 0 ) A = ^ - ( 3 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 ) •0,001 = = 20,39 kg (b) Tlaková a elektrická práce 2

Wt = m J - v •dp = 0

protože dp = 0

W d = - V - I -t = -220-0,2-5-60 = -13,2 kJ

(c) D ruhý tvar 1ZT Z tabulek SK-SP pro pi = 300 kPa: hi = h/; = 2725,3 kJ k g '1, vj = -v" = 0,6058 m 3 kg ' 1 AH = Q - W t - W d = -3,7 - 0 - (-13,2) = 9,5 kJ Ah = — = = 380 kJ kg'. m 0,025

h 2 = hj + Ah = 2725,3 + 380 = 3105,3 kJ kg ' 1

V konečném stavu 2 znám e tlak a entalpii. Pomocí tabulky přehřáté páry určím e interpolací konečnou teplotu t 2 = t a + r bŤ ra ( h " h a ) = 3 0 0 + '3 24705°-3 ~ 0360 9 0 ,3

(3 1 0 5 .3 -3 0 6 9 .3 )= 317.5 °C

Měrný objem stanovím e podobně v 2 = va + v.b... v a ( h - h a) = 0 ,8 7 5 3 + -^0 3 15 0 ,8 7 5 3 (3105,3 - 3069,3) = 0,9026 m 3 kg ' 1 h bK—h a 3 2 7 5 -3 0 6 9 ,3 (d) O bjem ová práce (při p = konst.) í, W = m Jp •dv = m ■p •( v 2 - v , ) = 0,025 • 300 • (0,9026 - 0,6058) = 2.226 kJ

(e) Tlakové energie:

Etiak i = m • pi • vj = 0,025 • 300 • 0,6058 = 4,543 kJ Etiak 2 = m • p 2 ■V2 = 0,025 • 300 • 0,9026 = 6,7698 kJ

Poznámka'. Tlaková energie (vnější energie) etiak~p ■v - je součin dvou stavových veličin proto je rovněž stavovou veličinou na rozdíl od objem ové nebo tlakové (technické) práce které závisí na integrační cestě (na způsobu, ja k přejdem e z jednoho stavu do druhého). B 18 N ádoba je rozdělena přepážkou na dvě části. N ejprve m enší část obsahuje 5 kg vody při tlak 300 kPa a teplotě 20 °C a druhá, dvakrát větší část je vakuována. Po odstranění přepážky í voda rozšíří do celé nádoby. Přitom dochází k vým ěně tepla s okolím až teplota v nádobě d sáhne teploty okolí 20 °C. V ypočítejte (a) objem nádoby, (b) konečný tlak a (c) sdílené tep s okolím. Řešení Voda v nádobě je uzavřená soustava. Teplotě 20 °C odpovídá saturační tlak psat = 2,339 kPa, který je nižší než daný tlak 300 kPa. Proto stav vody leží v oblasti nenasycené kapaliny. ,

28


(a) V tabulce SK-SP řazené podle teplot odečtem e veličiny na dolní m ezní křivce pro teplotu 20 °C: Vj 2 v'při20„c = 0,001002 m 3 k g ' , ui s u | íi20„c = 83,95 kJ k g 1 Počáteční objem sekce s vodou a zároveň celé soustavy: V] = m-Vi = 5-0,001 = 0,005 m 3 Celkový objem nádoby a zároveň konečný objem soustavy: V2= 3-V, = 3-0,005 = 0,015 m 3 (b) Konečný stav po odstranění přepážky leží v oblasti m okré páry. Je určen saturačním tlakem psat = 2i339_kPa odpovídajícím udané konečné teplotě 20 a měrným objem em

(c) Z 1ZT vypočtem e teplo přivedené páře z okolí. Při expanzi do vakua se nekonala žádná práce, proto Q = AU. H ledané teplo je tedy Q = m • (u 2 - ui). Stanovím e suchost m okré páry ve stavu 2 pom ocí znám é hodnoty m ěrného objem u a tabelovaných hodnot v'2, v 2 : v, - v '2 0 ,0 0 3 -0 ,0 0 1 6 v , , ,, i - j i , ,iv , x = —------ = ------------------- = 34,6-10 ... stav v tesne blízkosti dolní m ezní křivky v ; - v '2 5 7 ,7 9 -0 ,0 0 1 Vnitřní energie: u2= u 2 + x • ( u 2- u 2) = 83,95 + 34,6-10'6-(2402,95 - 83,95) = 84,03 kJ kg ' 1 Přivedené teplo z okolí:

Q = 5 • (84,03 - 83,95) = 0,4 kJ

B 19

Adiabatická parní turbína m á výkon 6 MW. Param etry páry na vstupu jsou pi = 2,5 M Pa, ti = 350 °C, Ci = 40 m s '1, po loha vstupu nad zem í z t = 9 m, na výstupu je tlak p2=15 kPa , suchost x2= 9 2 % , c2= 1 7 5 m / s , poloha Z| = 4 m nad zem í. Stanovte (a) zm ěnu entalpie, kinetické energie a potenciální energie páry při průchodu turbínou, (b) měrnou užitečnou práci turbíny, (c) hm otnostní tok páry v turbíně a (d) tlakové energie na vstupu a výstupu. Řešení Pára v turbíně je uvažovaná soustava. Soustava je otevřená, neboť v kontrolním objem u (tur bíně) dochází kontinuálně k je jí vým ěně s okolím. Turbína je tepelně izolovaná od okolí, tzn.

že změna stavu páry bude probíhat adiabaticky. Stav páry 1 rva vstupu \
pi = 2,5 M Pa, ti = 350 °C -> p 2 = 15 kPa, x 2 = 0,92 —»

vj = 0,10976 m 3 k g '1, hi = 3126,3 kJ kg ' 1 v 2 = 9,2185 m 3 k g 1, h 2 = 2409,2 kJ kg ' 1

(a) Změny m ěrných veličin (entalpie, kinetické energie a potenciální energie) Ah - h 2 - h, = 2409,2 - 3126,3 = -717.1 k J k g 1 a _ _C2 Aekin 6kin2 ^kinl

2

c * _ 1752 —

2

2

402

2

, . „ , 14,51 kJ kg_

Aep0t= ep0t2 - ep0t, = g-(z2- Zi) = 9,81 (9 - 4) = -0,05 kJ kg ' 1

29


Zm ěna entalpie výrazně převažuje nad zm ěnami kinetické a potenciální energie. Zm ěna kine tické energie je m alá a zm ěna potenciální energie je prakticky zanedbatelná. (b) 1ZT pro otevřenou soustavu při adiabatickém režim u stanoví m ěrnou užitečnou práci páry získanou v turbíně (v tom to případě technickou práci) w, = -{Ah + Aekin + Aepot) = -(-7 1 7 ,1 + 14,51 - 0,05) = 702.6 kJ kg 1

(d) Hustota páry při vstupu

W* w,

702,6

1

1

V1 1

0,10976

V2

9,2185

Pi =

Hustota páry při výstupu

(e) Tlaková energie na vstupu Tlaková energie na výstupu

6000

1

,8.539 « Q tkg s 'I = 9.1108 kg m~ = 0.1085 kg m

-3

etiaki = Pi • Vi = 2500 • 0,10976 = 274.4 kJ kg 1 etiak2 = P 2 ■V2 = 15 ■9,2185 = 138,3 kJ kg ' 1

B 20 3 kg vody ve stavu syté kapaliny je při konstantním tlaku 300 kPa zahříváno do úplného vy paření. Stanovte (a) objem ovou práci, (b) zm ěnu vnitřní energie, (c) zm ěnu entalpie a (d) při vedené teplo. Řešení 3 kg vody jso u uvažovanou uzavřenou soustavou. V ypařování probíhá při stálém daném tlaku 300 kPa v oblasti m okré páry. (a) Z tabulek SK-SP odečtem e pro tlak 300 kPa hodnoty: v, = V = 0,00104 m 3 kg ' 1 v 2 = v" = 0,6058 m 3 k g 1 ' u, = u; = 561,15 kJ kg ' 1 u 2 = u" =2543,6 kJ kg ' 1 h 2 = h" = 2725,3 kJ kg ' 1 h, = h '* 561,47 kJ kg ' 1 Při vypařování soustava koná vratnou objem ovou práci (p = konst.) 2

W = m Jp •dv = m ■p •( v. - v ,) = 3 •300 •(0.6058 - 0.00107)° 544.3 kJ 1

(b) Zm ěna vnitřní energie AU = m-(u 2 - uj) = m-(u/; - u7) = 3-(2543,6 - 561,15) = 5947.3 kJ (c) Zm ěna entalpie

AH = m-(h 2 - h i) = m-(h;/ - h;) = 3-(2725,3 - 561,47) - 6491.6 kJ

(d) Teplo z prvního tvaru 1ZT

Q = AU + W = 5947,5 + 544,3 = 6491,6 kJ

nebo také z druhého tvaru

Q = AH + W t = 6491,6 + 0 = 6491,6 kJ,

neboť technická práce

W t = W - m p ( v 2 - v ,) = m p (v 2 - v , ) - m p ( v 2 - v, ) = 0

B 21 Chladivo R12 v chladničce vstupuje do kapiláry s konstantním průřezem ve stavu syté kapali ny při tlaku 0,8 M Pa a je škrceno na tlak 0,12 M Pa. Stanovte (a) suchost par chladiva v konečném stavu, (b) teplotní pokles při škrcení a (c) zm ěnu m ěrné entropie.

30


-

páry

Řešení Otevřená soustava je tvořena chladivém v kontrolním objem u - podél kapiláry. Sdílení tepla mezi chladivém a okolím je zanedbatelné, nekoná se žádná užitečná práce. Protože průřez je konstantní, je stálá i velikost rychlosti chladiva v kapiláře. 1ZT pro otevřenou soustavu se tak redukuje na vztah Ah = 0 nebo hi = h2. Poznámka: N evratné škrcení je projevem tzv. hydraulické třecí ztráty, která je rovnom ěrné rozložena podél celé délky kapiláry. Stav 1 na vstupu leží na dolní m ezní křivce, je tak určen pouze hodnotou tlaku pi = 0,8 M Pa. Stav 2 na výstupu se nachází v oblas ti mokré páry a je dán tlakem pi = 0 , 1 2 M Pa a podm ínkou k o n stantní entalpie na začátku a konci zm ěny stavu h] = h2. Stav 1: p! = 800 kPa, t, = tsati = 32,74 °C

->

Stav 2 : p2= 120 kPa, h 2 = h, = 67,30 kJ kg ' 1 —>

(a) Suchost na výstupu (b) Teplotní pokles škrcením

h, - h l X2 =

hi = h7i = 67,30 kJ k g 1, s, = s'i = 0,2487 kJ kg ' 1 K ' 1 t 2 = tsat2 = -2 5 ,7 4 °C

6 7 ,3 0 -1 2 ,6 6

0,334

1 7 6 ,1 4 -1 2 ,6 6

K -K At = t 2 - ti (-25,74) - 32,74 = -58.48 °C

(c) Výstupní entropie s2 = s /2 + x 2-(s//2 - s;2) = 0,0526 + 0,334-(0,7133 - 0,0526) = 0,2733 kJ kg "1 K ' Pak změna m ěrné entropie As = s 2 - si = 0,2733 - 0,2487 = 0.0246 kJ kg~‘K B 22

Voda ve studni o teplotě 14 °C m á hladinu 60 m pod úrovní terénu. Čerpadlem o výkonu 8 kW je čerpána na povrch. Vstupní prům ěr sací ho potrubí je 10 cm, výstupní prům ěr je 15 cm. Sdílení tepla m ezi v o dou a okolím zanedbejte. Stanovte (a) výšku nad terénem do které je vodu možno čerpat při průtoku 0,012 m 3 s"1. Porovnejte (b) zm ěny kinetické energie a (c) potenciální energie vody mezi výstupem a vstu pem při čerpání. Ztráty zanedbejte. Řešení Voda v čerpacím systém u je chápána jako otevřená soustava. (a) Použitím 1ZT pro otevřenou soustavu dostávám e m Ah + A — + g ■Az = Q —Wt

2

Předpokládáme-li konstantní teplotu vody při čerpání, m ěrná vnitřní energie je tak stejná v místech 1 a 2. Protože rovněž tlaky a m ěrné objem y v m ístech 1 a 2 jso u prakticky stejné, příslušné entalpie jso u také stejné, tedy Ah = 0. K přenosu tepla nedochází. H ustotu vody ur číme jako hustotu na dolní m ezní křivce pro teplotu 14 °C. Z tabulek SK-SP: v1= 0,001001 m 3/kg —» p = l/v 7 = 999 kg/m 3

31


Takže 1ZT je redukován na 2

"\

m % - - % " + g ' ( Z2 " Z , ) = - W t , v y

kde

4-V 4 -0 ,0 1 2 , c, = ----- - = -----— 5- = 1,528 m s 1

71-df

C2 =

re - 0, l 2

z2 = z , + -

f e, „2

c„2 2

W.

2

2

p-V

m = p -V

= -60 + 9,81

a

V = c , A j = c 2A 2

4-V

4 -0 ,0 1 2

7i - d2

7 i-0 , 152

—>

= 0,679 m s"

1,5282

0,6792

-8 0 0 0

2

2

999-0,012

= 8.121 m

w „ v .. , , . (b) Zm ěna m em e km eticke energie

A c 22 c ,2 0,6 7 9 2 1,5282 . __ Aekjn = ------^ - = — ------------ -— = -0.937 J/kg

(c) Zm ěna m ěrné potenciální energie

Aepot = g ( z 2 - z ,) = 9 , 8 1 • [ 8 ,121 - ( - 6 0 ) ] = 668,3 J/kg

Poznámka-. V tom to případě největší příspěvek zm ěny energie přísluší potenciální energii, změna kinetické energie je m nohem m enší a zm ěna entalpie prakticky nulová. B 23 V čerpadle m á dojít ke zvýšení tlaku o 3000 kPa. H m otnostní tok vody 120 kg s' 1 vstupuje do čerpadla potrubím o prům ěru 2 2 cm a vystupuje potrubím o prům ěru 10 cm ve stejné výšce. Stanovte (a) m inim ální výkon pro pohon čerpadla, neuvažuj em e-li hydraulické ztráty a vliv sdílení tepla, (b) Jaká je zm ěna kinetické energie při čerpání za jed n o tk u času? Řešení (a) Vodu protékající čerpadlem považujem e za otevřenou soustavu. K apalná fáze vody je m á lo stlačitelná a její hustota je proto tém ěř konstantní (vzhledem k tom u, že není zadána teplota vody, uvažujem e pro jednoduchost p = 1 0 0 0 kg m~3). f \ ( c2 ■ • Ap ml Ah + A — + g- Az = Q - W t Ah = Au + A(p-v) = Au + A £ = Au + vP/ Protože teplo se s okolím nevym ěňuje, je tedy užitečná práce dodávaná systém u (vodě): (

A

2

\

AP +, A A C Au + — -----hg- Az . P 2 . Člen Au = 0 (představuje hydraulické ztráty). Rychlosti určím e z rovnice kontinuity pro staci onární proudění, tedy z hm otnostního toku, hustoty a plochy průřezu m 120 _ . , . m 120 = 15,28 m/s = 3,16 m /s c2 =c. = p-Ttd2/ 4 1000- t t - 0, 222/ 4 p-7id2/4 1000-71-0,l 2/4 W .= - m

Výkon pro pohon čerpadla

(b) Wkin= - m - A - = -1 2 0

Wt = -1 2 0 ■ 15,282

3,16

2

0 + i l O l + 1W 8 l _ 3 a 6 l+ 0

V 2 A

1000

2

=

w

2

= -13.4 kW . tj. pouze 3,5 % z Wt .

B 24 M okrá vodní pára m á suchost 0,96 a vstupuje do vým ěníku při tlaku 100 kPa (1). Vzniklá zkondenzovaná voda vystupuje při tlaku 100 kPa a teplotě 45 °C (2). Chladicí voda, jež je

32

Stav a zm ěna stavu reálného plynu - páry

oddělena stěnou od páry, vstupuje do vým ěníku při teplotě 15 °C (3) a vystupuje při 35 °C (4) stále při stejném tlaku. Přenos tepla z okolí a změny kinetické a potenciální energie obou proudů zanedbejte. Pro ustálený režim stanovte (a) pom ěr hm otnostních toků chladicí vody a kondenzující páry, (b) tepelný tok z páry do chladicí vody vztažený na jednotku hm otnosti páry.

I

pára

- J ri - voda - -y 'o5

L i

£

-

n

Řešení Oba tekutinové proudy jso u odděleny stěnou propouštějící teplo. O tevřená soustava výměníku je tvořena oběm a proudy. K aždý proud m á svůj vstup a výstup. U kondenzující mokré páry (kp) 1 a 2, u chladicí vody (v) 3 a 4. (a) Ve formulaci 1ZT pro tuto otevřenou soustavu je celková změna energie složená ze dvou dílčích zm ěn každého proudu. ^ r m ( A h + Aekin + Aepot) l = Q - £ W j

V tomto případě Aekin, Aep0t, Q , ^ W jso u nulové. mkp (h 2 - h , ) + m v ( h 4 - h 3) = 0

odkud pom ěr

hI ~ h2

m kp

h4- h 3

Stav 1 je v oblasti m okré páry, stavy 2, 3 a 4 jso u v oblasti kapalné vody, kde stavové veličiny lze dobře aproxim ovat hodnotam i na dolní m ezní křivce při příslušné teplotě, takže _ h . ~ h «°c L/

m kp

35°C

_ L' 15°C

2 5 8 5 ,1 4 -1 8 8 ,4 5

- = 28,64

1 4 6 ,6 8 -6 2 ,9 9

(b) A bychom získali teplo přenesené z kondenzující páry do chladicí vody, považujem e za otevřenou soustavu pouze např. parní stranu vým ěníku. Pak m ám e za stejných podm ínek m kp

(h ,-h ,) = Q

Teplo odvedené 1 kg páry

q

m kp

= h 2 - h , = 188.45 - 2585.14 = -2396.69 kJ kg

Záporné znam énko nám říká, že teplo je odváděno ze soustavy, z kondenzující páry do chla dicí vody, která je v tom to případě součástí okolí. Přenášené teplo lze rovněž získat tak, že zvolíme za soustavu část vým ěníku s chladicí vodou. V tom případě toto teplo vyjde kladné. B 25

Chladivo R 134a je ochlazováno proudem vzduchu ve vým ěníku při ustáleném režim u. H m otnostní tok chladiva je 3 kg m in ' 1 a vstupuje vzduch do vým ěníku při tlaku 900 kPa a teplotě 65 °C, vystupuje při 30 °C. R 134a Vzduch do vým ěníku vstupuje při tlaku 120 kPa a teplotě 12 °C, vystupuje ohřátý na 25 °C. D ochází k úniku 200 W tepla do okolí. Ichi vzduch Zanedbejte tlakové ztráty a stanovte (a) Q hm otnostní tok potřebného vzduchu a (b) r « \ tepelný tok mezi chladivém a chladicím vzduchem .

1*1

p4 1 1

v

Ř ešení M ám e více m ožností volby kontrolního objem u a příslušné otevře né soustavy. *

33


-

páry

(a) Pro výpočet hm otnostního toku vzduchu zvolím e za soustavu celý vým ěník s obsahem chladiva i vzduchu (dva vstupy a dva výstupy). Zanedbám e-li zm ěny kinetických a potenciál ních energií obou látek a nekoná-li se žádná práce, pak 1ZT m á tvar m chh 2ch + m vh 2v - m chh lch - m vh lv = Q ok ■ _ Q o k + m ch ( h lch ~ h 2ch) = h 2v - h lv Stav vstupujícího chladiva se nachází v oblasti přehřátých par a výstupní stav j e v oblasti ne nasycené kapaliny. Potřebné veličiny naleznem e v příslušných tabulkách pro chladivo R134a. Vzduch považujem e za ideální plyn a zm ěnu entalpie počítám e pom ocí vztahu Ah = cp-AT. . -2 0 0 + ^ •(2 9 8 ,5 8 - 9 1 ,4 9 ) •1000 , ------------ — ----- —t-------- - 1 -------- = 0.289 k e s' 1 m« v = 1004,5 (65 - 3 0 ) --------Ď—

H m otnostní tok vzduchu

mv

(b) Stanovení tepla odebíraného vzduchem chladivu vyžaduje jinou volbu otevřené soustavy. Zvolím e za soustavu chladivo ve vnitřní trubce. Tepelný tok z chladiva do vzduchu je pak podle 1ZT Q * = A * (1>M - h „ ) = ^

t Q R 134a le h l

2 ohl

•(91,49 - 298,58) = : 10,35 kW

? 26

Čerpadlo m á výkon 7,5 kW . V oda do něho vstupuje rychlostí 10 m s ' 1 přívodním potrubím o prům ěru 25 m m a vystupuje potrubím o prům ěru 35 mm . S tan o v te m ax im áln í teoretické -zvýšení tlaku tekutiny při izoterm ickém provozu. Voda v čerpadle je otevřená soustava. Použijem e 1ZT pro otevřenou soustavu. Při izoterm ic kém pro v o zu je zm ěna vnitřní energie nulová, takže Ah = ^ - P L P2 Pl

navíc zde uvažujem e nestlačitelnou tekutinu pi = p 2 = p = 1000 kg m

-3

Lze také zanedbat vým ěnu tepla s okolím a zm ěnu potenciální energie, takže m

= -w.

V ýstupní rychlost z rovnice kontinuity

c2 =

Hmotnostní tok

m = PlAjC, = 1 0 0 0 - 71-0,025 -10 = 4,91 kg s' 1

p 2A 2

c, =

025 - - 1 0 = 5 , 1 0 m s ‘

0,035

Zvýšení tlaku 7500 AP = P 2 - P 1 = P | ( ci2 - c 2 ) “ ~

= 100°- 0,5 ( l 0 2 - 5 ,1 2) -

= L 56 M Pa

4,91

B 27 Chladnička je opatřená elektrom otorem o příkonu 1 kW pro pohon kom presoru. Je umístněn: v dobře tepelně izolované m ístností. Během 15 m inut chladivo přijím á ve výpam íku 1800 k, tepla z vychlazováného prostoru a zároveň odvádí kondenzátorem do m ístnosti 2700 kJ tepla Stanovte zm ěnu vnitřní energie m ístnosti.

34

Stav a zm ěna stavu reálného plynu - páry

Řešení Za uzavřenou soustavu považujem e celou m ístnost včetně chladničky. V ým ěna energie sokolím se uskutečňuje jedině elektrickou prací prostřednictvím elektrického přívodu, neboť sdílení te p la je zam ezeno izolací. První zákon je tedy redukován na vtah: AU = - y ] w = -W„, = —P - x = —(- 1 -15 - 60) = 900 kJ Další zadané údaje jso u pro řešení příkladu nepodstatné. B 28

10 kg chladiva R12 je uzavřeno v nádobě o objem u 1 m 3. M ěrná entalpie je 200 kJ k g '1. Po mocí tabulek pro R12 stanovte (a) teplotu a (b) tlak chladiva. Výsledek: (a) 16,3 °C (b) 190,3 kPa B 29

Vodní pára v kontejneru m á teplotu 6 6 6 °C a tlak 3,38 MPa. Je třeba stanovit (a) měrný ob jem a (b) celkový objem páry, jestliže její látkové m nožství je 0,3 kmol. Výsledek: (a) 0,12727 m 3 kg ' 1 (b) 0,687 m 3 B 30

Stanovte (a) entalpii a (b) entropii chladiva R12, jeh o ž hm otnost je 0,15kg, tlak v nádobě je 540 kPa a teplota 88 °C. Výsledek: (a) 36,505 kJ (b) 0,1256 kJ K _1 B 31

2,3 kg chladiva R12 v dokonale tuhé nádobě m á m ěrnou entalpii 1 3 0 k J k g _1 při tlaku 800 kPa. Stanovte (a) teplotu, (b) suchost, (c) m ěrný objem a (d) celkový objem chladiva. Výsledek: (a) 32,76 °C (b) 0,471 (c) 0,01072 m 3 k g 1 (d) 0,0246 m 3 B 32

Stav chladiva R12 je dán teplotou 16,5 °C a m ěrným objem em 0,000745 m 3 kg‘'. Stanovte (a) tlak, (b) m ěrnou entalpii a (c) m ěrnou entropii chladiva. Výsledek: (a) 514 kPa (b) 51,44 kJ kg 1 (c) 0,196 kJ k g ^ K ’1 B 33

Tlakový hrnec je opatřen pojistným ventilem , jen ž udržuje přetlak v hrnci při varu vody. A t mosférický tlak je 100 kPa. Ventil je tělísko o hm otnosti 60 g, které je volně položeno na ústí vertikálního otvoru ve víku o prům ěru 3,25 mm. Při dosažení žádaného tlaku je tělísko nad zvednuto a vodní pára uniká z hrnce. Stanovte (a) tlak a (b) teplotu v hrnci při vaření. Výsledek: (a) 170,95 kPa (b) 115,3 °C B 34

V tlakovém hrnci, je n ž je používán v lokalitě s atm osférickým tlakem 91,5 kPa, m á být teplo ta varu vody 118 °C. H m otnost uzavíracího tělíska pojistného ventilu je 150 g. Stanovte (a) přetlak v hrnci a (b) prům ěr vertikálního kruhového otvoru ve víku hrnce. Výsledek: (a) 85,341 kPa (b) 4,47 mm B 35

V tlakovém hrnci probíhá var vody při teplotě 118 °C pom ocí elektrické topné spirály o pří konu 100 W. H m otnost uzavíracího tělíska pojistného v e n tilu je 150 g. V nější atm osférický tlak j e 9 1,5 kPa. S tanovte ( a) r ychlost u nikající p áry v otvoru v entilu a (b) h m otnostní t ok unikající páry. Výsledek: (a) 2,733 m s ’1 (b) 4,529-10'5 kg s ' 1 35


B 36 Pára kondenzuje v ustáleném režim u ve vým ěníku za stálého tlaku účinkem proudu vody. Hm otnostní tok páry je 0,3 kg s '1, vstupuje při tlaku 700 kPa, teplotě 200 °C a vystupuje ve stavu syté vody. C hladicí voda s hm otnostním tokem 3 kg s ' 1 vstupuje do vým ěníku při tlaku 100 kPa a teplotě 10 °C. Zanedbejte tepelnou interakci s okolím , zm ěny kinetické a potenciál ní energie a tlakové ztráty ve vým ěníku. Stanovte (a) výstupní teplotu chladicí vody a (b) te pelný tok m ezi kondenzující párou a chladicí vodou. Výsledek: (a )6 1 ,4 ° C (b) 644,4 kW B 37 Ve stacionárním režim u je pára ve vým ěníku chlazena za konstantního tlaku do stavu syté páry. Param etry vstupující páry jsou: hm otnostní tok 0,3 kg s '1, tlak 700 kPa, teplota 200 °C. Parametry chladicí vody: hm otnostní tok 3 k g s ' ’, tlak 100 kPa, teplota 10 °C. Tepelná in terakce s okolím , tlakový pokles a zm ěny kinetické a potenciální energie zanedbejte. Určete (a) teplotu chladicí vody na výstupu, (b) tepelný tok z páry do chladicí vody. Výsledek: (a) 12 °C (b) 24,8 kW B 38 Ponorným vařičem o příkonu 300 W se v otevřené neizolované sklenici 200 g vody o teplotě 25 °C přivedlo k varu za 4 m inuty a 50 sekund. B arom etrický tlak byl 99,6 kPa. U rčete (a) účinnost energetické přem ěny a (b) střední m ěrnou tepelnou kapacitu při konstantním tlaku mezi počáteční a koncovou teplotou. Průběh ohřevu zakreslete do p-v, T-s a h-s diagramu. Výsledek: (a) 71,8 % (b) 4188 J kg ' 1 K ' 1 B 39 Stav vodní páry na vstupu do turbíny je dán tlakem 4 M Pa a teplotou 500 °C, její rychlost je 150 m s '1. V stupní prům ěr přívodního potrubí páry je 60 mm. Pára vystupuje z turbíny při tlaku 80 kPa jako m okrá pára o suchosti 96 % otvorem o prům ěru 300 mm. Tepelné ztráty turbíny jso u 10 kW. V ypočtěte výkon turbíny. Výsledek: 4,27 M W ’ B 40 Stav vodní páry na vstupu do turbíny je dán tlakem 4,5 M Pa a teplotou 500 °C, její rychlost je 200 m s '1. V stupní prům ěr přívodního potrubí páry je 50 mm . Pára vystupuje z turbíny jako nasycená při tlaku 60 kPa. Prům ěr na výstupu páry je 250 mm. V ypočtěte (a) hm otnostní tok páry, (b) výkon turbíny za předpokladu, že sdělované teplo s okolím je zanedbatelné a (c) rychlost páry na výstupu z turbíny. D ále zjistěte (d) jak se podílí na výkonu zm ěna kine tické energie páry v turbíně. Výsledek: (a) 5,132 kg s ' 1 (b) 3,934 M W (c) 193 m s' 1 (d) -106,7 kW , tj. 2,7 % výkonu B 41 Parní turbína dodává výkon 3050 kW . Stav vodní páry na vstupu do turbíny je dán tlakem 3 M Pa a teplotou 500 °C, je jí rychlost je 100 m s’1. V stupní prům ěr přívodního potrubí páry je 70 mm. Pára vystupuje z turbíny při tlaku 50 kPa jako m okrá pára o suchosti 99 %. Prům ěr na výstupu páry je 350 mm. V ypočtěte (a) hm otnostní tok páry a (b) teplo přenášené z turbíny do okolí. Výsledek: (a) 2,906 kg s ' 1 (b) 32,5 kW B 42 * Čerpadlo nasává vodu o tlaku 120 kPa. V oda do něho vstupuje rychlostí 5 m s 1 přívodním potrubím o prům ěru 50 m m a vystupuje do vytlačovaného prostoru o tlaku 660 kPa potrubím

36


o průměru 65 mm. Stanovte (a) rychlost vytlačované vody na výstupu čerpadla a (b) výkon čerpadla. Výsledek: (a) 2,96 m s ' 1 (b) 5,22 kW B 43 Tepelně izolované čerpadlo m á výkon 1 kW a čerpá vodu do prostoru, kde je tlak o 25 kPa vyšší. Voda vstupuje do čerpadla rychlostí 1 0 m s ' přívodním potrubím o prům ěru 10 mm a vystupuje potrubím o prům ěru 40 mm. Stanovte (a) hm otnostní tok čerpané vody. Výsledek: (a) 0,7854 kg s ' 1 B 44

Píst o hm otnosti 5 kg a prům ěru 30 cm je ve svislém válci dle obrázku opřen o zarážky. Pod pístem ve válci je 0,1 m 3 vody, při tlaku 100 kPa a teplotě 20 °C. Do válce je přiváděno teplo, voda ve válci se vypařuje. Tlak při nezm ěI I něném objemu nejprve roste dokud se výsledná tlaková síla nevyrovná s tíhou _______ pístu, poté píst začne ve válci stoupat. Přívod tepla se zastaví, když se původní objem ztrojnásobí. Stanovte (a) konečný tlak, (b) konečnou teplotu, (c) objemovou práci, (d) tlakovou práci a (e) m nožství přivedeného tepla. Výsledek: (a) 100,69 kPa (b) 99,8 °C (c) 20,139 kJ ( d ) -0,0694 kJ (e) 33628,5 kJ B 45

Uzavřená nádrž m á objem 2 m 3 a obsahuje m okrou vodní páru o teplotě 50 °C a suchosti 0,4. Ohřevem je páře dodáno 10 kJ tepla. Stanovte po ohřevu (a) teplotu, (b) tlak, (c) entalpii a (d) entropii. Výsledek: (a) 71,1 °C (b) 32,715 kPa (c) 1088,9 kJ (d) 3,206 kJ K ' 1 B 46

5 kg syté vody přijím á teplo při stálém tlaku 600 kPa, dokud není dosažena teplota 500 °C. Stanovte (a) objem ovou a (b) tlakovou práci, (c) m nožství tepla a (d) zm ěnu vnitřní energie. Výsledek: (a) 1773 kJ (b) 0 kJ (c) 14060 kJ (d) 12288 kJ B 47

5 kg syté vodní páry přijím á teplo při stálém objemu, dokud není dosažena teplota 500 °C. Počáteční tlak je 600 kPa. Stanovte (a) objem ovou práci, (b) tlakovou práci a (c) množství tepla. Výsledek: (a) 0 kJ (b) -8 8 6 kJ (c) 2778 kJ B 48

5 kg syté vodní páry přijím á teplo při stálém tlaku 600 kPa, dokud není dosažena teplota 500 °C. Stanovte (a) objem ovou práci, (b) tlakovou práci a (c) m nožství tepla. Výsledek: (a) 829 kJ (b) 0 kJ (c) 3630 kJ B 49

Chladivo R 134a vstupuje do adiabatického kom presoru jako sytá pára při teplotě -20 °C a vystupuje z něho při tlaku 700 kPa a teplotě 70 °C. H m otnostní tok c h lad ív aje 1,2 kg s '1. Sta novte (a) příkon kom presoru (beze ztrát), objem ový tok (b) na vstupu a (c) na výstupu. Výsledek: ( a ) -82,44 kW (b) 0,176 m 3 s_1 (c) 0,0436 m 3 s ' 1 B 50

2 kg syté páry čpavku při teplotě -25 °C jso u ohřáté v nádobě s pevným i stěnam i na teplotu 100 °C. Stanovte (a) objem nádoby, (b) konečný tlak čpavku a (c) dodané teplo. Výsledek: (a) 1,542 m 3 (b) 236,1 kPa (c) 422,6 kJ

37

Druhý zákon term odynam iky - entropie

C Druhý zákon termodynamiky -

Entropie a její změna

M atem atická form ulace druhého zákona term odynam iky (2ZT). O becný diferenciální tvar: dS >

nebo dS =

Vratný děj dS =

dQv

+ dSprod, kde Sprod je produkce entropie (J K '1). a dSprod

0

N evratný děj dS >

dQn

a dSprod '> 0

Integrální tvar pro uzavřenou soustavu 2

A S ^ -S .žjáS ,

resp.

a s = s 1-s, = | Í 2 +s 2

IQ

Integrální tvar pro otevřenou soustavu - stacionární režim

m ■( s 2 - Sj) =

+Š

Integrální tvar pro oběhy - C lausiova nerovnost

(^dS = 0 > ( J —

Pro adiabatickou soustavu (Q = 0)

dS > 0 nebo AS = S 2 - S, > 0

Princip růstu entropie

ASCIll= A S , „ , + A S o l > 0

■ celk - celková, syst - sytém u (soustavy), ok - okolí

Účinnost tepelného stroje (term ická účinnost)

Efekt chladicího zařízení (chladicí efekt)

Efekt tepelného čerpadla (tepelný efekt)

• Qp - přivedené teplo (Q p > 0) , Q0 - odvedené teplo (Q 0 < 0), W 0 - práce oběhu (W 0 = Qp + Q 0) ■ Ve všech třech případech je to poměr „získané“ energie (ta, pro kterou stroj navrhujeme, co ze stroje chceme získat) ku „vynaložené“ energii (co m usím e do stroje přivézt, aby pracoval tak jak potřebujeme). ■ Camotovy vratné stroje pracují m ezi teplotami TN (nízká - minimální) a Tv (vysoká - maximální).

Zm ěna m ěrné entropie ideálního plynu

As = c„ • ln — + r • ln — As = cn -l n — - r - l n — P T, Pl As = c - l n — + c - l n— P. 'i

(Jk g "1)

C 1 Z pece je dodáváno tepelném u stroji teplo 80 MW. Ze stroje do okolí odchází teplo 50 MW. Stanovte (a) výkon stroje a (b) jeho tepelnou účinnost.

Řešení (a) 1ZT pro oběh

p = W.O = 0^v.p + 0^-0. = 8 0 - 5 0 = 3------------0 MW

(b) Term ická účinnost

r,T =

38

W

30 ' = — = 0.375 = 37.5 % Q d 80


C2

Motor automobilu o výkonu 55 kW m á tepelnou účinnost 27 %. Stanovte spotřebu paliva za hodinu, jestliže výhřevnost paliva qn = 45000 kJ k g '1. Řešení (a) Tepelná účinnost • , Přivedené teplo (dodávané do systém u)

W riT = -r^QP • W 55 Q r = m ■q n = — 2- = -------= 203,7 kW n r|T 0 ,2 7 O 203 7 m = —p- = ----- i— = 0,00453 k e s ' 1 = 16.30 ke hod ' 1 q n 45000 ------ 5--------

(b) Spotřeba paliva

C3

Potravinový chladicí prostor chladničky je udržován na teplotě 3 °C. Tepelný tok odváděný z potravin je 380 kJ m in ' 1 a elektrický příkon chladničky je 2 kW. Určete (a) chladicí efekt chladničky a (b) tepelný tok do okolí. Řešení (a) Chladicí efekt chladničky

8 , = r^ -r =

W

•

(b) Z 1ZT pro oběhy vychází tok odváděného tepla

= 317 2

I° I •

•

Q 0 = W0 - Q p = - 2 -

380

= -8,33 kW

C4

Tepelné čerpadlo udržuje v domě teplotu 20 °C. Při venkovní teplotě -2 °C jsou tepelné ztráty domu 75000 kJ h o d '1. Efekt tepelného čerpadla je 2,6. U rčete (a) potřebný elektrický příkon tepelného čerpadla a (b) tepelný tok čerpaný z venkovního chladného prostředí. Řešení (a) Efekt tepelného čerpadla

e, = -S2— > W = — = W0 et

(b) Z 1ZT plyne

= W -Ó

-28846 kJ hod ' 1 = -8,01 kW

75000 2 ,6

= - 2 8 8 4 6 - ( - 7 5 0 0 0 ) = 46154 kJ hod ' 1 = 12.82 kW

C5

Camotovu tepelném u stroji je v každém cyklu dodáváno 400 kJ tepla z velkého tepelného zdroje o teplotě 627 °C. Ze stroje se odvádí teplo okolním u vzduchu o teplotě 23 °C. Stanovte (a) tepelnou účinnost C arnotova stroje a (b) teplo odvedené během cyklu. Řešení a) TeDelná účinnost teoelného Carnotova stroie b) Tepelná účinnost tepelného stroje obecně

TN _ t 273,15 + 23 =1 — —= 1--------------------- = 67.1 % TC Tv 273,15 + 627 T Q r|TC = 1 — —= 1 + —2-

Tv Porovnáním vztahů získávám e

Qp

T 273 15 + 23 O = - O ■— = - 4 0 0 ------- ------------ = -131.6 kJ 0 p Tv 273,15 + 627

39

Druhý zákon term odynam iky

-

entropie

C 6 Reklama tvrdí, že tepelné čerpadlo udrží teplotu 25 °C ve vytápěném objektu, je-li vnější tep lota -10 °C a efekt tepelného čerpadla je 10. Zkontrolujte, zda uváděné param etry jso u princi piálně správné. Řešení Efekt tepelného čerpadla

s tr = Wc

= — —— = ^5 + 2/ 3, 15 = g 52 < 10 = s t T v- T n 25 —( —10)

Podle Cam otovy věty ale etc > st, takže údaje reklam y jso u nepravdivé a obchodník nesolidní.

Cl Tepelný stroj přijím á během oběhu 550 kJ tepla z rezervoáru o teplotě 800 K. Teplo 125 kJ je přeměněno na práci a zbylých 425 kJ je odvedeno do rezervoáru o teplotě 300 K. Zkontroluj te, zda není porušen 2Z T na základě (a) Clausiovy nerovnosti a (b) C am otovy věty. Řešení (a) Předpokládáme, že teplo vstupuje do soustavy tepelného stroje částí hranice, je ž m á kon stantní teplotu 1000 K a vystupuje částí hranice, kde je teplota 300 K. Pak křivkový integrál Clausiovy nerovnosti lze snadno vyčíslit j j Q . Q v ^ . S . 3 . — «9, + -4 2 5 1 T Tv Tn Tv Tn 800 + 273,15 30 + 273,15

-----------

(b) Abychom ověřili tvrzení C am otovy věty, je třeba porovnat hodnoty tepelné účinnosti da ného stroje a tepelné účinnosti C am otova stroje pracujícího m ezi stejným i teplotam i. O -4 2 5 Tepelná účinnost daného stroje riT = 1 + — = 1 + ------- = 0,227 T Qp 550 Tepelná účinnost C am otova stroje

T 30 + 273 15 n™ = 1 — —= 1--------------- -— = 0 , 7 1 8 TC Tv 800 + 273,15 -----

Cam otova věta je splněna, neboť

r|TC = 0,718 > r)T = 0,227

C 8 Stroj pracující v ustáleném cyklickém režim u dodává výkon 12 kW . V každém cyklu přijím á 3 kJ tepla z tepelného zdroje o teplotě 1000 K. Chlazení se provádí vodou o teplotě 300 K. Stanovte m inim ální teoretický počet pracovních cyklů za m inutu. Řešení Označme počet cyklů za jed n o tk u času ... i ( s 1). 1ZT pro oběh

i - ( Q p + Q o) = Wo ,

i = - W° ^ ^Cp + Teoretický m inim ální počet cyklů plyne z C am otovy věty a ze vztahů pro tepelné účinnosti našeho a C am otova stroje:

% = l + 2 s . s nTC = l - l i . Vp Dosazením

*v

-»

->

->

Q „ s - Q p' i

'■cp

W W i = ------ 2— > ----- 7—-— " " f ™ \ ' T Qp+Qo Qr 1 _ ÍTN V Av y

ív 12 , , i > — 7----------- r-= 5,71 s' = 342,86 m in' f 300 ^ 3- 1 1000 - -

Počet cyklů musí být celočíselný, proto 343 cyklů za m inutu.

40

.


C9 Solární kolektor dodává absorbovanou energii do oběhu tepelného stroje (TS) prostřednictvím zásobníku, v něm ž je teplota m édia stálá a j e 4 8 5 K. Příkon získaný jednotkou plochy povrchu k o lek to ru j e qsoi = 0,315 kW m ' . E lektrický výkon na výstupu ze stroje je

Ê C Y Î*

..

950 kW. Chlazení stroje se provádí okolním vzduchem o teplotě 23 °C. Předpokládejte ustálený pracovní režim. Stanovte (a) teore tickou m inim ální plochu povrchu kolektoru, (b) plochu povrchu ko lektoru za předpokladu, že 2 0 % dopadající energie je odraženo do okolního prostředí a term ická účinnost oběhu je 25 %. Řešení 1ZT pro oběhy platí W 0 = Q p + Q 0 , kde Q p = qsol •A , kde A je p lo cha povrchu kolektoru. C am otova věta jako důsledek 2ZT T-1 M -<■

Z,

Q o ^ - Q p ~

Vp

AV

xv

Spojením obou vztahů získám e m inim ální teoretickou plochu povrchu kolektoru. W„ í

950 T

\

1 _ ÍN A sol

= 7745 m

23 + 273,15

0,315

485

lv y

Tepelná účinnost oběhu

J)

W„

W_

QP

0>8-qsol-A

r|T =

Skutečná plocha povrchu kolektoru

W„

950

0 , 8 - q sol-ílT

0, 8- 0, 315- 0, 25

A=

-= 15079 m z

CIO V mrazničce je udržována teplota -45 °C a odváděný tepelný tok do okolí je 1,4 kW. Vnější teplota je 25 °C. Stanovte (a) teoretickou m axim ální hodnotu chladicího efektu a (b) teoretic ký minimální příkon. Řešení (a) Maximální hodnota chladicího efektu bude dosažena v případě C am otova oběhu. QP pchC = — ' •—

w„

T,N__ _ - 4 5 + 273,15 T -T 25-(-45)

(b) Příslušný m inim ální teoretický příkon

1,4

Pmin = W , ■'chC

= 0.43 kW

3,26

C il

Chladnička odvádí tepelný tok 9000 kJ hod ' 1 z vychlazovaného prostoru o teplotě -5 °C do okolí o teplotě 33 °C. Chladicí efekt je 2,7. Stanovte příkon chladničky a porovnejte jej s příkonem teoretické chladničky, která by pracovala vratným oběhem mezi stejnými teplo tami. Řešení Ech ~

QP |w0|

->

90 0 0 /3 6 0 0

w0 0 £ch

9 2 6 RW

2,7

41


TAXI e chC

-

entropie

-»

T -T

\ í TvV - 1 |Wom J =Q omin ^-pn T V

9000 f 33 + 273,15

-1

~ 3600^ - 5 + 273,15

= 0.354 kW

C 12 Kombinovaný topný a klim atizační systém udržuje teplotu výzkum né laboratoře na stálé hod notě 20 °C. V zim ě - v režim u oběhu tepelného čerpadla, v létě - v režim u chladicího oběhu. Při zimní venkovní teplotě -10 °C jso u tepelné ztráty laboratoře 1000 kJ m in '1, naopak při letní venkovní teplotě 26 °C proniká do laboratoře tepelný tok 400 kJ min"1. V ypočtěte m axi mální teoretické hodnoty efektů eCh, st a odpovídající m inim ální teoretické příkony tohoto zařízení (a) v zim ním provozu a (b) v letním provozu. Řešení Požadavek m inim álního příkonu předpokládá, že zařízení realizuje obrácený C am otův oběh. (a) Zimní provoz - tepelné čerpadlo Et —e tc

Qo

20 + 273,15

lab

womin.

TAv - Ta n

1000

venkovní

Womin= Q 0 1 -

lab

Tlab - T venkovní

60

/

1-

9.77

2 0 - ( - 10)

- 1 0 + 273,15

= -1.704 kW

20 + 273,15

(b) Letní provoz - chladicí zařízení T,lab

|_N______

T -T

Wm ,n min

venkovní

Worain = - Q'v p

-1

T,lab

Tvenkovní - T

20 + 273,15 26-20

lab

-4 0 0

26 + 273,15

60

20 + 273,15

= 48.86

= -0.136 kW

-1

C 13 Tepelné čerpadlo udržuje v budově teplotu 22 °C. V ustáleném režim u m á příkon 2 kW . Te pelné ztráty budovy jso u 1400 kJ hod ' 1 K ' 1 na každý stupeň teplotního rozdílu mezi vnitřní a vnější teplotou. Stanovte (a) pro jak o u nej nižší teoretickou vnější teplotu je vytápěcí zařízení navrženo a (b) odpovídající m axim ální teoretickou hodnotu efektu tepelného čerpadla. Řešení Ó

T

■

•

(a)C a m o to v a v ě ta s, = - ^ < v , kde Q 0 = - Q 1K(T v - TN ) W 0 T v Tn

-»

W Tv —

TN > T V +

V

Q 1K

Fyzikální interpretace připouští je n záporné znam énko před odm ocninou a tedy _rr

rF Nmin

__ V

j 'y J

V

w mm. _____ -

-2

t

- Q 1K

(b) M axim ální teoretická hodnota efektu čerpadla

= 2 2 - J ( 2 2 + 2 7 3 , 1 5 ) ~ = -1 7 °C Í 1K

3600

22 + 273,15

et = Tv - T Nrain

= 7.57

2 2 —( —17)

C 14 K lim atizační jednotka v ustáleném režim u m á příkon 2 kW a udržuje v budově upravený vzduch o teplotě 20 °C. Z venku proniká do budovy tepelný tok 0,5 kW K ' 1 na každý stupeň

42


teplotního rozdílu m ezi vnitřní a vnější teplotou. Stanovte (a) pro jak o u m axim ální teoretic kou vnější teplotu je jed notka navržena a (b) odpovídající m axim ální teoretickou hodnotu chladicího efektu. Řešení (a) Camotova věta s ch = r S f r < _ Tn , kde Q p = Q 1K(Tv - TN) -> w o Tv - T n

1 wu Tv < TN ± J tvn • ň

Fyzikální interpretace připouští je n kladné znam énko před odm ocninou a tedy W T

1

AN ' \ | *N

A

-ii T n

Wmm

= 20 + \ i1(20 + 273.15)/ — \ PÍ ^ = 54.2 °C V 0,3 T 20 + 273 15 (b) Maximální teoretická hodnota chladicího efektu s . = — —- ------ = --------------— = 8,57 TVmax - TaN 54 2 - 2^0 C 15 Izolovaná nádoba s pevným i stěnam i je naplněna 3 kg vodíku, jeh o ž teplota je 18 °C a tlak 100 kPa. Elektrickým ohřevem se vodík ohřeje na 45 °C. V odík považujte za ideální plyn. Vypočítejte zm ěnu entropie vodíku při ohřevu. ‘ Vmax

^Vmax

VlK

V

VlK

Řešení Vodík v nádobě - včetně topné spirály - tvoří uzavřenou soustavu. Elektrický odpor je typic ká příčina nevratnosti procesu. N ádoba je izolovaná, proto Q = 0. (Přiváděná elektrická ener gie má díky výše uvedené volbě soustavy charakter elektrické práce!) Zm ěna entropie je tak dána pouze produkcí entropie v soustavě, AS = Spr0d (topná spirála). Proces ohřevu je nevrat ný. Abychom m ohli vypočítat zm ěnu entropie, je třeba vycházet z náhradního vratného děje, který má stejný výchozí a konečný stav jako uvažovaný nevratný děj, v tom to případě by to byla např. izochorická zm ěna vodíku A S . f j g - 2| ď - 2r

' T

- T

I

dT . n, . - i - m l k . - 3 . 1S 314-4 1 / 2 .1 1 4-5 .+-27-3^

T

k -1

T,

1,4-1

■ 2765.1 J K~'

18 + 273,15

C 16 Těleso o hm otnosti 2 kg padá z výše 5 m na desku. Po dopadu zůstane ležet v klidu na desce. O kolní teplota je 20 °C. U rčete (a) velikost produkce entropie a (b) ověřte, z d a j e splněn princip růstu entropie v adiabatických soustavách.

m

Řešení Padající těleso je uvažovaná uzavřená soustava Při dopadu tělesa na desku dojde k nepružné srážce - typicky nevratném u ději. M echanická energie padajícího těle sa je disipována na energii neuspořádaných pohybů m ikročástic, tedy na vnitřní energii. Zm ěna entropie je zde redukována pouze na produkci entropie AS = Sprod> protože nedochází k vým ěně tepla s okolím. (a) Změnu entropie m ůžem e stanovit, když uvážíme, že ke stejně velkém u přírůstku vnitřní energie - rovném u počáteční m echanické (potenciální) energii tělesa - by m ohlo dojít při vratném přívodu tepla Q = AU = m-g-h z okolí o stálé teplotě T. S = AS = f— = — = — ž — = 2 ' 9 , 81-5 . = 0 3 3 5 j K -i prod J T T T 20 + 273,15

43


(b) Zm ěna entropie rozšířené soustavy (těleso + okolí), která je považovaná za dokonale izo lovanou - adiabatickou, je dána jedině produkcí entropie. 0.335 J K ' 1 > 0 ... v souladu s principem růstu entropie v adiabatické soustavě C 17 Dva bloky se sm ýkají rovinným i plocham i po sobě na dráze 1 I„ 0,5 m a jso u při tom k sobě přitlačovány silou ION. Od .....r i okolního prostředí jso u tepelně izolovány. K oeficient sm yko L vého tření je 0,2. Bloky i okolní vzduch mají teplotu 20 °C. Stanovte (a) produkci entropie vlivem tření při sm ýkání a (b) ověřte, z d a je splněn princip růstu entropie v adiabatických soustavách.

N

Řešení Oba bloky považujem e za uzavřenou soustavu. Tření při vzájem ném p o h y b u je nevratný děj. Práce Wf třecí síly Ff = f-N je příčinou disipace energie projevující se nárůstem vnitřní energie a produkcí entropie. P rotože bloky nevym ěňují teplo s okolím , je zm ěna entropie dána pro dukcí entropie, AS = Sprod- Ke stejné zm ěně vnitřní energie by však došlo, kdyby soustavě bylo dodáno při vratném izoterm ickém procesu teplo ekvivalentní práci třecí síly W f = f-N-L. M , , ♦ • cSprod = AS a c = 2Jf dQ f ’N 'L = — 0, 2-10 (a)DProdukce entropie - ^ = 2JfdU -^ - = — —— — :_=0,5 0.0034 J K T~- ' T T 20 + 273,15 (b) Zm ěna entropie rozšířeného adiabatického systém u (2 bloky + okolí) ASidiab= S . = 0,0034 J K -1 > 0 ... je v souladu s principem růstu entropie v adiabatické sou stavě. C 18 Válec uzavřený pístem obsahuje 1,5 kg syté vodní páry o teplotě 100 °C. Během izobarického děje je odvedeno 500 kJ tepla do okolí, jeh o ž teplota je 25 °C. Při tom to ději část páry zkondenzuje. U rčete (a) hm otnost kon denzátu, (b) zm ěnu entropie soustavy, (c) zm ěnu entropie okolí a (d) ro z hodněte, zda jd e o zm ěnu vratnou, nevratnou či nepřípustnou.

Řešení Nejprve sytá, posléze m okrá p ára ve válci je naše uvažovaná soustava. Izobarický odvod tepla do okolí je spojen s poklesem entalpie soustavy (p = konst., w t = 0, q = Ah). Q = AH = m •( h 2 —h, ) h 2 = h , + — = h " + -^- = 2676,1+ - ^ m m 1,5 Suchost páry na konci zm ěny je 2 3 4 2 ,8 -4 1 9 ,0 4 h2- h ' X2 = 23

= 0,852

2257

H m otnost kondenzátu

44

= 2342,8 kJ k g 1

mkond = m -(l —x 2) = 1,5 (1 - 0,852) = 0,221 kg


Protože se oba stavy nacházejí v mokré páře, jso u teplota i tlak konstanta!. Odvod tepla lze pokládat za vratný děj a lze stanovit jednoduše zm ěnu entropie soustavy

dQ Qo-,

- J 2?T -

AS„

T„

-5 0 0 100 + 273,15

Qo-p je teplo odvedené páře do okolí. Změna entropie okolí je tedy

Z

= -1.3399 kJ kg ' 1 K ' 1

hlediska okolí je toto teplo přivedené - kladné

( Q p-0k)-

AS.Mi = [ÉQ = Ê±L = ----- ---------- = i . 6770 kJ kg ' 11KT ^-l °k°"

j T

25 + 273,15

Rozšířená soustava je adiabatická a její zm ěna entropie je + ASokoli = -1,3399 + 1,6770 = 0.3371 kJ kg ' 1 K ' 1 > 0 —> Proces je nevratný! A Sadiab , „ = A S soustava , C 19

Dvě pevná tělesa, železné A (m A = 7 kg, cA = 450 J kg ' 1 K '1) a hliníkové B (m B = 11 kg, cB = 900 J kg ' 1 K '1) jso u izolována vůči okolí. Na počátku m ěla různé teploty, tA = 65 °C a tB = 12 °C. Poté byla uvedena do kontaktu a jejich teploty se postupně vy rovnaly - b ylo dosažen o rovnovážného stavu. Stanovte ( a) k o nečnou teplotu, (b) zm ěnu entropie a (c) velikost produkce ent ropie. Řešení (a) Uzavřená izolovaná soustava je tvořena oběm a tělesy v kontaktu. Protože jso u na počátku teploty různé, probíhající děj je nevratný. Soustava je izolovaná a nekoná se žádná práce, proto 1ZT je redukován na vztah AU = 0, tedy (mAcA+ m Bc B) T - ( m Ac ATA+ m BcBTB) = 0 - » t=

r

!A ♦ “Q 1 ¡ ' a- T

B

“1 ' i

fczolcvéno

1--------- » 1A 1 — Q

L.

Izolováno

J "1

r

mAcAt A + m Bc Bt B _ 7 - 4 5 0 - 6 5 + 11-900-12 = ^ m AC A + m BCB

B |

7- 4 5 0 + 11-900 1___ L.

(b) Aditivnost celkové entropie AS = ASa + ASB

izolováno

J

Abychom m ohli spočítat zm ěny entropie jednotlivých těles, m usím e uvažovat dvakrát jinou soustavu, obsahující vždy pouze jedno těleso a zvolit náhradní vratný děj se stejným počáteč ním a konečným stavem , např. izochorický děj. Spojením 1ZT a 2ZT tak dostanem e změny entropie. N akonec q. i adT i T T dT Tf AS = ASa + A S b = J m Ac A^— + + | m Bc Rc B R — = m AcA ln — + m BcB ln — rj'* J rj"' *a

>b

T

a

“

AS = 7■ 450• ln 2 4 , 7 9 ^ 2 ? 3 ,15 +11 -900 • ln 2 4 , 79 + 2 ? 3 ,15 = -398.8 + 434.5 = 35.7 J K ' 1 12 + 273,15 65 + 273,15 (c) Protože soustava obou těles je tepelně izolovaná, entropie spojená s přenosem te p la je nu lová a produkce entropie je proto přím o rovna zm ěně entropie Spr0d = AS = 35.7 J K '1.

45


C 20 Dvě nádoby L, R jso u propojeny potrubím s ventilem . O bjem y nádob jso u V L= 0 , 1 m 3, V R= 0 , 2 m 3. N a po čátku je nádoba L naplněna 1 kg vzduchu o teplotě 20 °C a tlaku 100 kPa a nádoba R je prázdná (vakuová na). Po otevření ventilu vzduch z nádoby L expanduje a zaplní i nádobu R. Stanovte (a) počáteční a konečný tlak plynu, (b) konečnou teplotu, (c) zm ěnu entropie a (d) velikost produkce entropie a (e) zkontrolujte, zda bylo vhodné pro vzduch v daných podm ínkách použít m odel ideálního plynu. Řešení (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu stanovíme: počáteční tlak

m r T = ------ 2 8 7 - ( 2 0 + 273.15^ = 841.3 kPa p, = -----

1 vL

a konečný tlak

p2 = vl

o,i

v

’

— -----

r •r •T = ^ ^ ^ ■287 •(2 0 + 2 7 3 , 1 5 ) = 280,4 kPa + vr 0,1 + 0 ,2

(b) Vzduch uzavřený nejprve v nádobě L je uzavřená soustava. 1ZT aplikovaný n a tuto sou stavu dává vztah AU = 0 —» U 2 = U j. Protože vnitřní energie závisí jen o m na teplotě (viz Jouleův pokus), také teplota se expanzí nezm ění, t L = tR= t = 2 0 °C . (c) Protože bezprostředně po otevření ventilu vzniká konečný rozdíl tlaků, expanzní proces je nevratný. Zm ěnu entropie m usím e určovat pom ocí vhodného náhradního vratného děje se stejným počátečním a konečným stavem plynu, v tom to případě izoterm ického děje .„ . VT + Vr, 0,1 + 0 ,2 1 AS = m - r - l n — ----- - = l - 2 8 7 - l n ------------ = 315,3 J K

vL

0,1

— J------

(d) Protože je soustava izolovaná Sprod = AS = 315,3 J K ' 1 > 0 ... což j e v souladu s 2ZT (e) O tom, zda lze použít m odel ideálního plynu rozhodne velikost kom presibilitního faktoru Z, který určím e z N elsonova-O bertova diagram u (viz příloha). Pro stanovení redukovaného tlaku pr a redukované teploty TVje třeba v tabulkách nejprve zjistit kritický tlak pkr a kritickou teplotu Tkr daného plynu. K onkrétně, poněkud zjednodušeně, pro hlavní složku vzduchu dusík - najdeme: pio-N = 3,39 M Pa, T ^ n = 126,2 K. Pak je redukovaný tlak T 20 + 273,15 0,1 = 2,32 = 0,029 a redukovaná teplota T. = Pr =P *

3 -3 9

T kr

1 2 6 >2

V N elsonově-O bertově diagram u odečtem e kom presibilitní faktor Z -» 1, takže m odel ideál ního plynu je adekvátní. K ontrola pom ocí druhé hlavní složky - kyslíku vede ke stejnému závěru. C 21 Při ustáleném režim u tepelná energie 3000 kJ přechází z tělesa 1 o teplotě 900 K na těleso 2 o teplotě (a) 450 K a (b) 800 K . R ozhodněte, který přenos te p la je V\ce nevtaXr^. Řešení Budeme předpokládat, že přenos tepla probíhá výlučně m ezi uvažovaným i tělesy, takže v) tvářejí adiabatickou soustavu. Přenos tepla při konečném teplotním rozdílu je nevratný dě který lze charakterizovat veličinou produkce entropie S p r o d - V případě adiabatické soustavy j

46


produkce entropie přím o rovna změně entropie. Zm ěnu entropie lze zjistit tak, že budeme uvažovat nekonečně pom alu probíhající vratnou vým ěnu tepla jako náhradu za skutečnou výměnu tepla za předpokladu, že počáteční a konečný stav soustavy je v obou případech stej ný. Změna entropie je pak součtem změn entropie obou těles. -3000 + 3000 = „

(a) Sprod-a - AS12a —AS, + AS2a — 2a

(b) SD

Q2 Q» + —AS,1k —AS, + AS-,. ——T, T2b

900 -3 0 0 0

, MK-

450 3000

+ -

900

800

= 0,42 kJ K '

Vidíme, že v případě (a) je produkce entropie - a tím též nevratnost přenosu tepla - větší. C 22

Na začátku děje je ve válci uzavřeném pístem 3 kg vody při teplotě 70 °C a tlaku 200 kPa. Ohřevem za stálého tlaku je vodě dodáno 10000 kJ tepla. Stanovte (a) zm ěnu objem u a (b) změnu entropie. Řešení

Voda ve válci je uzavřená soustava. Ohřev vody je izobarická změna. Podle druhého tvaru 1ZT dodá vané teplo soustavě při stálém tlaku zvětšuje entalpii soustavy.

P

h 2 = h, +- Q m Konečný stav 2 je tedy určen tlakem p a měrnou entalpií I12. Q = AH = m - ( h 2 - h , )

Stav 1: pi = 200 kPa, ti = 70 °C, tedy: pSau = 31,2 kPa < 200 kPa —> daný stav je v oblasti nenasycené kapaliny a lze přibližně použít veličiny na dolní m ezní křivce pro teplotu ti = 70 °C v, = v 70 °C = 0,001023 m k g '1, h, s h '70„c = 2 9 3 k J k g '1, s , = s ; o„c 0,9550 kJ kg ' 1 K ' 1 20 Stav 2: P 2 = Pi = 200 kPa, h 2 = 293 + 10000 _ 3626,3 kJ kg ' 1 > hA200kPa ~ 2706,2 kJ k g " ^ P P

(přehřátá pára), z tabulek pro 200 kPa interpolací V2 = 1,9294 m 3 kg"1, S2 = 8,6838 kJ kg "1 K "1 (a) Změna objem u

AV = m ( v 2 —v ,) = 3 - ( l , 9 2 9 4 - 0 , 0 0 1 ) = 5,7851 m 3

(b) Změna entropie

AS = m ( s 2 - s ^ = 3 - ( 8 , 6 8 3 8 - 0 , 9 5 5 ) = 23,1864 kJ

K '1

C 23 7 kg chladiva R 134a je v nádobě při teplotě 24 °C a tlaku 140 kPa. Soustava je chlazena a prom íchávána dokud její tlak neklesne na 100 kPa. Příkon m íchadla neuvažujte. Stanovte (a) konečnou teplotu, (b) změnu vnitřní energie a (c) zm ěnu entropie chladiva. Řešení

Chladivo v nádobě vytváří uzavřenou soustavu. Počáteční stav je zadán teplotou a tlakem , konečný stav je dán tlakem a nepřím o ob jemem (konstantní objem nádoby).

47


Údaje z tabulek pro chladivo R134a: Stav 1: pi = 140 kPa, tj = 24 °C - z tabulek SK-SP: pro teplotu 24 °C je saturační tlak Psati = 645,7 kPa > pi = 140 kPa —» přehřátá pára PP Interpolací v tabulce PP pro pi = 140 kPa a ti = 24 °C: V! = 0,1677 m 3 k g '1, Ul = 249,2 kJ k g '1, Si = 1,0650 kJ kg ' 1 K _1 Stav 2 :

p 2 = 100 kPa, v 2 = vi = 0,1677 m 3 kg ' 1 - objem leží m ezi v' = 0,00073 m 3 kg ' 1 a v" = 0 ,1 9 1 7 m 3 k g '’ pro tlak p 2 = 100 kPa -» m okrá pára M P

(a) K onečná teplota t 2 je saturační teplota pro tlak p 2 = 100 kPa je t 2 = t sat2 = -26,43 °C Vypočtem e suchost páry x = vI - v L = 0! 1 6 7 7 -0 ,0 0 0 7 3 = v*-v;

0 ,1 9 1 7 -0 ,0 0 0 7 3

u 2 = u ' + x (u" - u ') = 16,22 + 0,8745 •(212,18 - 1 6 ,2 2 ) = 187,6 kJ k g 1 s 2 = s' + x (s" - s') = 0,0678 + 0,8745 •(0,9395 - 0,0678) = 0,8301 kJ kg ' 1 K " 1 (b) Zm ěna vnitřní energie

AU =

(c) Zm ěna entropie

^soust = m Vs 2 - s ,') - 1 \§,%~hSS\

Q

= m ( u 2 - u ^ = 7 - ( 1 8 7 , 6 - 2 4 9 ,2 ) = -431.2 kJ V3 YT1

C 24 Hm otnostní tok 4,5 kg s' 1 vodní páry vstupuje do adiabatické turbíny při tlaku 6 M Pa a teplotě 445 °C, vystupuje při tlaku 1,2 M Pa. Stanovte (a) výkon turbíny, lze-li proces považovat za vratný a zm ěny kinetické a potenciální energie jso u zanedbatelné, a (b) výstupní teplotu páry. Řešení Pára v turbíně je uvažovaná otevřená soustava. U važujem e ustálený režim. Pak z 1ZT je výkon turbíny P = Wt = - A H = - m ( h 2 - h j ) Stav 1: pi = 6 MPa, ti = 445 °C — > přehřátá pára, interpolací v tabulce PP pro tlak 6 MPa získáme: hi = 3288,3 kJ kg'1, s ,= 6,6957 kJ kg'1 Stav 2 : p2= 1,2 MPa, s2= si = 6,6957 kJ kg'1 -» přehřátá pára, interpolací v tabulce PP pro tlak 1,2 MPa: h2 = 2868,2 kJ kg'1 (a) Výkon turbíny

P = m ( h , - h 2) = 4 ,5 -(3 2 8 8 ,3 -2 8 6 8 ,2 ) = 1890.5 kW

(b) Výstupní teplota z tab. PP interpolací pro tlak p2 = 1,2 MPa —> t2 = 271.8 °C C 25 Ocelový blok o hmotnosti 5 kg má teplotu 200 °C a je ponořen do velké tepelně izolované nádrže s vodou o teplotě 10 °C. Po ochlazení bloku nastane stav tepelné rovnováhy. Uvažujte pro ocel cp = 0,42 kJ kg'1K'1 a určete (a) změnu entropie ocelového bloku, (b) změnu entropií vody v nádrži a (c) celkovou změnu entropie při tomto nevratném ději. Řešení Ocelový blok spolu s vodou tvoří uzavřenou tepelně izolovanou soustavu (QVOda + Qbiok = 0).

48


-

entropie

(a) Změna entropie ocelového bloku T

1 0 4- 7 7 1 1 S

AStlnl = m ( s . - s , ) - m - c - l n— = 5 - 0 . 4 2 - l n — - - - - — = -1 .0 7 8 kJ K ' 1 blok p T, 200 + 273,15 --------------Z 1ZT lze stanovit teplo odevzdané vodě v nádrži: Q = AH, protože W t = 0 Qblok = AH = m •cp (T 2 - Tt ) = 5• 0,42• ( 1 0 - 2 0 0 ) = I3 9 9 k J Teplo, které přijala voda

Qvoda = -Qbiok = 399 kJ Q 399 (b) Změna entropie vody v nádrži ASvoda = ——da = 1.409 kJ K~ 10 + 273,15 voda (c) Celková změna entropie

ASceik —ASbiok

ASvoda — 1,078 + 1,409 —0,331 kJ K

C 26 Vodní pára o tlaku 6 M P a a teplotě 400 °C je škrcena ventilem n a j tlak 2 MPa. Proces je ustálený. Stanovte (a) velikost produkce ehtro, i pie a ověřte splnění principu růstu entropie. V ypočtěte (b) střední “ Pí hodnotu Jouleova-Thom sonova koeficientu.

i

Řešení

Pára v potrubí okolo ventilu je otevřená soustava v kontrolním ob jemu. Škrcení považujem e za adiabatický proces. Z 1ZT plyne, že je to izoentalpický děj hi = h 2 (případná zm ěna kinetické energie je zanedbatelná). N ejprve zjistím e stav na vstupu. H ledám e v tabulce PP pro tlak 6 MPa. Stav 1: pi = 6 M Pa, ti = 400 °C -> přehřátá pára h, = 3178,2 kJ k g '1, si = 6,5431 kJ k g 1 K ' 1 Stav 2: p 2 = 2 M Pa, h 2 = h] =3178,2 kJ kg ' 1 —» opět přehřátá pára Interpolace v tabulce PP pro 2 MPa: s1 = 6,7685 + ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ •(3 178,2 - 3024,2) = 7,0163 kJ kg ' 1 K ' 1 3 2 4 8 ,2 -3 0 2 4 ,2 t 2 —300 +

4 0 0 -3 0 0

( 3 1 7 8 ,2 -3 0 2 4 ,2 ) = 368,7 °C

3 2 4 8 ,2 -3 0 2 4 ,2

(a) Proces je adiabatický a nevratný. Produkce entropie je tedy dána přím o zm ěnou entropie. sProd = s2 - S i = 7,0163 - 6,5431= 0.4732 kJ kg ' 1 K ' 1 > 0 ... je v souladu s principem růstu ent ropie v adiabatické soustavě. (b) Jouleův-Thomsonův koeficient je definován vztahem k JT =

Jeho střední hodnota

ÂT^

3 6 8 ,7 -4 0 0

v AP y

2-6

kjT

= 7.82 K M Pa'

49


C il Topná sekce elektrického vytápění je tvořena kanálem ve stěně opatřeným odporovým tělesem o příkonu 18 kW. Proud vzduchu, 135 m 3/m in, je ohříván při nuceném průtoku touto sekcí. Stav vzduchu před topnou sekcí: Q. tlak 100 kPa a teplota 19 °C. Tepelné ztráty topné sekce jso u 235 W. U r čete (a) teplotu vzduchu za topnou sekcí a (b) zm ěnu toku entropie vzdu chu spolu s velikostí toku produkce entropie. U važujte, že se tlak nem ění.

Řešení Vzduch v topné sekci včetně topného tělesa je uvažovaná otevřená sousta va. Vzduch považujem e za ideální plyn. Elektrické topidlo - při uvedené volbě soustavy - m á charakter elektrické práce. Tepelné ztráty pak představují odváděné tep lo. r-T, _ 287 (19 + 273,15) _ = 0,8385 m kg' 105 P 135 Hmotnostní tok souvisí s objem ovým tokem vztahem = 2,683 kg s' v, 0 ,8385-60 (a) Ze stavové rovnice ideálního plynu

vi = '

1ZT pro otevřenou soustavu m á tvar:

m

Ah + A — + g- Az = Q - Wel

2

Změny kinetické a potenciální energie jso u nepatrné ve srovnání se zm ěnou entalpie. Odtud plyne vztah pro výstupní teplotu Q-W, -2 3 5 -(-1 8 0 0 0 ) t , = t , + —------ —= 19 + ---------- i -----------=2 5 . 5 9 °C m' -c 2 1 2,683-1004,5 “ ^-------(b) Zm ěna toku entropie / T \ 25,59 + 273,15 -0 AS = m •As = m c - l n — - r - l n — = 2,683- 1004,5-ln 19 + 273,15 VP T, Pl, Tok produkce entropie

Šprod = AŠ - -=- = 6 0 ,1 4 7 -

-2 3 5

= 60,15 W K '

= 60.94 W K~

(19 + 25, 59) 72 + 273,15

C 28 1 kg chladiva ve stavu syté páry je stlačován ve válci s pístem z tlaku 200 kPa na tla 1400 kPa. K om presi považujte za izoentropickou. U važujte nejprve chladivo R12, pak chk divo R134a. Pro srovnání obou chladiv stanovte pro obě chladiva (a) počáteční teplot; (b) konečné teploty a (c) objem ové práce na stlačení. Zanedbejte zm ěny kinetické a potenc ální energie. Řešení CVAa&YTO válci \ q uzavřená soustava. Protože kom prese je izoentropická (sdělené teplo je nulové), 1ZT se redukuje na w = -Au = Ui - U2. Stav 1 leží na horní m ezní křivce (SP), příslušné údaje hledám e v tabulce m okré páry (SK-SP). Protože se tlak zvyšu je, stav 2 je v oblasti přehřáté páry. Chladivo R 12 (a) Stav 1: pi = 200 kPa, ti = tsat = -12.53 °C z tabulek SK-SP - > u i = 165,36 kJ k g '1, st = 0,7035 kJ kg ' 1 K ' 1

50

Druhý zákon termodynamiky - entropie

(b) Stav 2: p 2 = 1400 kPa, s2 = st = 0,7035 kJ k g 1K ' 1 interpolací v tabulce PP pro s2 —» t 2 = 66.43 °C, u 2 = 198,54 kJ kg ' 1 (c) Měrná objemová práce w = u i - u 7 = 1 6 5 ,3 6 - 198.54 = -33.18 kJ kg ' 1 Chladivo R134a (a) Stav 1: pi = 200 kPa, ti = tsat = -10,09 °C z tabulek SK-SP -> m = 221,43 kJ kg'1, s, = 0,9253 kJ kg^K ' 1 (b) Stav 2: p 2 = 1400 kPa, s2 = si = 0,9253 kJ kg ' 1K ' 1 interpolací v tabulce PP pro s2 —» t2 = 58,88 °C, u 2 = 256,45 kJ kg ' 1 (c) Měrná objemová práce w = Ui - u 2 = 221,43 - 256,45 = -35,02 kJ kg ' 1 Chladivo R134a spotřebuje více práce a výstupní teplota je nižší při stejném stlačení. Z eko logických důvodů mu však dáváme přednost před chladivém R12. C 29

Jakou práci je třeba vynaložit na izoentropickou kompresi vody z tlaku 100 kPa na tlak 500 kPa při ustáleném režimu? Uvažujte výchozí stav ve stavu (a) syté kapaliny a (b) syté páry. Změny kinetické a potenciální energie neuvažujte. Řešení

Práce kompresoru při ustáleném režimu je dána technickou prací 2

w, = - Jv-dp ... tj. výsledný efekt objemové práce a tlakových eneri gií na vstupu a výstupu kompresoru. (a) U syté kapaliny je měrný objem prakticky nezávislý na tlaku (ka palina je téměř nestlačitelná), v 2 = vj = 0,001043 m 3 kg ' 1 (izoentropa Si - s2 v p-v diagramu je téměř svislá čára). w,k=wtl2= - v r (p2 - Pi) = -0,001043-(500 - 100) = -0,4172 kJ kg ' 1 Použij eme-li druhý tvar 1ZT pro izoentropický případ, wt)i= -Ahi2 = hi - h 2 —> z h-s diagramu je zřejmé, že bude velice malá. (b) U syté páry z druhého tvaru lZTpro S3 = S4: Wtp = -AI134 = h 3 - 114 Stav 3: p 3 = 100 kPa, x = 1 ... z tabulek SK-SP -» h 3 = 2675.0 kJ kg ' 1, s3 = 7,3588 kJ kg ' 1 K ' 1 Stav 4: p4 = 500 kPa, s4 = s3 = 7,3588 kJ kg ' 1 K '1... interpolací pro S4 —» I14 = 3008,4 kJ kg ' 1 Technická (tlaková) práce

Wtp = w t34 = h 3 - 114 = 2675 - 3008,4 = -333,4 kJ kg ' 1

Podstatný rozdíl mezi výsledky v uvažovaných dvou případech vysvětluje, proč je výhodnější komprese H20 v kapalném stavu než ve stavu páry! Tak např. v oběhu plynové turbíny je třeba na kompresi plynu nutné vynaložit mnohem větší část práce než v případě oběhu parní turbíny, kdy je pracovní látka stlačována po kondenzaci jako kapalina.

C30 Vodní pára vstupuje v ustáleném režimu do turbíny při tlaku 3 M Pa a teplotě 400 °C a vystu puje z ní při tlaku 50 kPa a teplotě 100 °C. Jestliže turbína má výkon 2 MW a změna kinetic ké energie je zanedbatelná, stanovte (a) termodynamickou (adiabatickou) účinnost turbíny a (b) hmotnostní tok páry procházející turbínou.

51


Řeš ení Pára v turbíně je otevřená soustava. Nevratné procesy při adiabatické expanzi páry v turbíně jsou spojené s produkcí entro pie. Část energetického potenciálu vstupující páry je tak zne hodnocena. Místo ideálního teoretického - izoentropického stavu 2 Sna výstupu máme skutečný výstupní stav 2 .

Stav 1: pí = 3 MPa, ti = 400 °C ... přehřátá pára z tabulek: h, = 3230,9 kJ kg'1, s, = 6,9212 kJ kg^K ' 1 Stav 2 : p 2 = 50 kPa, t2 = 100 °C ... přehřátá pára z tabulek: h 2 = 2682,5 kJ kg ' 1 Stav 2s: p2s = 50 kPa, s2s = si = 6,9212 kJ kg "1 K ' 1 ... mokrá pára neboť s7= 1,0910 kJ kg ' 1 K ' 1 < s2s< s"= 7,5939 kJ kg ' 1 K ' 1 Abychom mohli počítat entalpii h2s, je třeba znát suchost páry. Tu určíme z entropie s2s. S2s ~ S 6 ,9212-1,0910 = 0,897 X= — — s"-s' 7,593 9 -1 ,0 9 1 0 h2s = h; + x-(h/; - h;) = h' + x-l23 = 340,49 + 0,897-2305,4 = 2407,4 kJ kg ' 1 t a •i + (a) Termodynamická účinnost expanze

w 12 h , - h 2 3 2 3 0 ,9 -2 6 8 2 ,5 n. , = — — = ...... = ---------------------- = 0.667 w i2s hj —h 2s 3 2 3 0 ,9 -2 4 0 7 ,4

(b) Hmotnostní tok vychází z 1ZT

m •Ah = -W , = - P

. m=

-P

-2000

h2-h ,

2 6 8 2 ,5 -3 2 3 0 ,9

3.647 kg s~

C 31 Vzduch je kompresorem adiabaticky stlačován v ustáleném režimu z tlaku 102 kPa, teplo 25 °C na tlak 940 kPa. Hmotnostní tok vzduchuje 0,17 kg s '1. Termodynamická (adiabatick účinnost kompresoru je 82 %. Určete (a) výstupní teplotu vzduchu za kompresorem a (b) pi kon kompresoru. Řešení Vzduch v kompresoru je otevřená soustava. Nevratné procesy při kompresi vedou k produl entropie. Proto je nutné dodávat více práce než při ideálním vratném stlačování. Skuteč: stav 2 po stlačení má vyšší entropii než teoretický izoentropický stav 2 s.

(a) Teplota po izoentropické kompresi K-l 1,4-1 1,4 940 T2s = T*1 E l = (25 + 273,15)' . . . t 2s = 289,2 °C 102 v P .y Termodynamická (adiabatická) účinnost komprese w t!2s ^ 2s ^1 _ T2s T, t 2s t Tltd Tl 2 - T |W tl 2 h2 -h , t2 - t, t, = t,li +

52

= 25 + 289,2- 25 = 347.2 °C 0,82

(b) Příkon kompresoru: 1ZT v tomto případě má tvar m ■Ah = - W t = - P P = W, = m -(h , - h 2) = m -c p(T, - T 2) = m -c p(t, - 1: ) = 0.17 •1004.5 •(2 5 - 3 4 7 .2 ) = -55 kW C 32 Chladivo R134a vstupuje v ustáleném režimu do adiabatického kompresoru ve stavu syté páry při tlaku 140 kPa a vystupuje z něho stlačené na tlak 750 kPa. Příkon kompresoru je 1 kW a termodynamická účinnost komprese je 0,75. Změny kinetické a potenciální energie neuvažuj te. Stanovte (a) výstupní teplotu, (b) hmotnostní tok chladiva a (c) produkci entropie. Řešení

Chladivo v kompresoru je otevřená adiabatická soustava. Jestliže máme izolovanou soustavu (q = 0), pak z 1ZT: w t = - Ah a termodynamická účinnost komprese |w. h 2 s ~ h . iltd=W h2-h , 112 , , h, - h , Výstupní entalpie h 2 = h, + - 2*-----L Tl,d Stav 1: pi = 140 kPa, x = 1 ... sytá pára Tr-l z tabulek SK-SP: ln = 236.04 kJ k g 1. Si = 932,2 J k g 11K Stav 2s: p2 = 750 kPa, s2 = si —> h2S= 269.23 kJ kg ' 1 ... přehřátá pára Izoentropická tlaková práce w.i2s = hj - h 2s = 2 3 6 ,0 4 -2 6 9 ,2 3 = -33,19 kJ kg ' 1 Oa 1O Skutečná tlaková práce

w W tl2

=-44,25 kJ k g 1

'n.d °>75 h2= h, - w „ 2 = 236,04 - M 4 ,2 5 ) = 280,29 kJ kg ' 1 (a) Stav 2 je určen tlakem p 2 a entalpií h2. Interpolací v tabulce přehřáté páry najdeme hleda nou výstupní teplotu t2 = 44,19 °C a měrnou entropii s2= 967,6 J kg ' 1K'1. (b) Hmotnostní tok chladiva

-P

-1

w tl2

-44,25

= 0.0225 kg s' 1

(c) Měrná produkce entropie

Sprod = As = s 2 - s, = 967,6 - 932,2 = 35.4 J kg -i ' 1K~

Tok produkce celkové entropie

Š = m •sprod = 0,0225 •35,4 = 0J8_WK1¡_

C 33 Ověřte oprávněnost tvrzení, že tepelný stroj pracující mezi tepelnými rezervoáry o teplotách 600 K a 390 K má účinnost (a) 30 %, (b) 35 % a (c) 40 %. Rozhodněte, zda tvrzení je správné ve všech případech. Výsledek: V případě (c) není splněna Camotova věta - tvrzení je proto chybné. C34 Řešte příklad C l 2 pro venkovní teploty v zimě 5 °C a v létě 35 °C, teplotu v laboratoři udržuj te na 20 °C. Protože v tomto případě jsou teplotní rozdíly mezi laboratoří a venkovním vzdu-

53


chem v zimě i v létě v absolutní hodnotě stejné, uvažujte též stejnou absolutní hodnotu tepel ného toku v zimě i v létě 1000 kJ/min. Výsledek: et = e tC= 19,54; Womin = -51,17 kJ/min; 8ch = s chC= 19,54; Womin = -51,17 kJ/min C 35 Tepelné čerpadlo k vytápění domu má příkon 3 kW. Tepelné ztráty domu stěnami a střechou jsou 25 kJ min ' 1K ' 1 na každý stupeň teplotního rozdílu mezi vnitřní a vnější teplotou. Vnější teplota lokality je -2 °C. Stanovte (a) maximální teoreticky dosažitelnou teplotu uvnitř domu a (b) odpovídající hodnotu efektu tepelného čerpadla. Výsledek: (a) 45,9 °C (b) 6,66 C 36 Klimatizační zařízení laboratoře v ustáleném režimu má příkon 2,1 kW. Tepelné zatížení la boratoře pochází jednak z tepelné energie prostupující z venku, což je 0,5 kW K ' 1 na každý stupeň teplotního rozdílu mezi vnitřní a vnější teplotou, a z tepla produkovaného provozem laboratoře 1,6 kW. Vnější teplota je 35 °C. Stanovte (a) minimální teoretickou hodnotu teplo ty v laboratoři a (b) tomu odpovídající hodnotu chladicího efektu. Výsledek: (a) 2,5 °C (b) 8,49 C 37 Camotův tepelný stroj, u něhož je teplo odváděno při teplotě 20 °C, m á termickou účinnost 70 %. Stanovte pro stroj používající obrácený oběh složený ze stejných vratných dějů (a) chladicí efekt chladicího zařízení a (b) efekt tepelného čerpadla. Výsledek: (a) 0,429 (b) 1,429 C 38 Vzduch, který považujeme za ideální plyn, má teplotu 20 °C a tlak 200 kPa. Vypočtěte (a) změnu měrné entropie vzduchu při jeho izochorickém ohřevu na 99,5 °C. (b) Jak by se musela změnit hustota vzduchu při izotermickém ohřevu, aby bylo dosaženo stejné změny entropie, (c) Jak by se musela změnit hustota vzduchu při izobarickém ohřevu, aby bylo dosa ženo stejné změny entropie. Výsledek: (a) 172 J kg 1 K ' 1 (b) -1,072 kg m '3 ( c ) -0,374 kg m '3 C 39 0,6 kg vodíku přejde ze stavu daném teplotou 15 °C a tlakem 100 kPa vratným procesem do stavu o tlaku 350 kPa a hustotě 0,5 kg m '3. Stanovte (a) změnu entropie, (b) při jakém tlaku v konečném stavu by byla změna entropie poloviční a (c) při jakém hustotě v konečném stavu by byla změna entropie poloviční. Výsledek: (a) 189,3 J K ' 1 (b) 344,7 kPa (c) 0,2022 kg m '3 C 40 Ozón je uzavřen pístem ve válci. Počáteční objem je 0,2 m3, tlak 150 kPa a teplota 20 °C. Izobarickým ohřevem se objem zvětší o 150 %. Stanovte (a) přivedené teplo a (b) změnu ent ropie. Výsledek: (a) 180,1 kJ (b) 375,5 J K ' 1 C 41 Změna entropie dusíku při jeho přechodu ze stavu daném tlakem 300 kPa a teplotou 50 °C dt stavu o tlaku 120 kPa a teplotě 100 °C je 250 J K’1. Stanovte (a) hmotnost dusíku, (b) počá teční a (c) konečný objem. Výsledek: (a) 0,593 kg (b) 0,190 m 3 (c) 0,547 m 3 54


C 42 Tepelné čerpadlo přijímá teplo z nízkoteplotního venkovního zdroje o teplotě 2 °C a vytápí objekt na teplotu 20 °C. O kolik procent je třeba zvýšit pracovní příkon (kompresoru), aby se objekt začal vytápět na teplotu 22 °C. Předpokládejte, že tepelné ztráty objektu se při 22 °C zvýší o 5 %. Uvažujte ideální obrácený Camotův oběh. Výsledek: 15,9% C 43 Tepelné čerpadlo využívá podzemní vodu o teplotě 10 °C jako zdroj tepelné energie pro vytá pění budovy na teplotu 21 °C. Tepelné ztráty budovy jsou 20 kW a pokles teploty podzemní vody při sdílení teplaje 6 °C. Stanovte (a) minimální hmotnostní tok proudu podzemní vody a (b) minimální příkon. Výsledek: (a) 0,769 kg s' 1 (b) 0,748 kW C 44 Dva Camotovy stroje mají stejnou termickou účinnost. Pracují tak, že první stroj odevzdává teplo přímo druhému stroji. První stroj přijímá teplo z tepelného rezervoáru o teplotě 600 °C a druhý stroj odevzdává teplo do rezervoáru o teplotě 30 °C. Stanovte teplotu, při které je teplo předávané mezi oběma stroji. Výsledek: 241 °C C 45 Vodní pára vstupuje při tlaku 6 MPa do adiabatické turbíny o výkonu 2,38 MW. Vystupuje při tlaku 1 MPa a teplotě 251 °C. Stanovte (a) hmotnostní tok páry při ustáleném režimu za předpokladu, že expanze v turbíně je vratná a že změny kinetické a potenciální energie v tur bíně lze zanedbat, (b) Jaká je teplota páry na vstupu do turbíny? Výsledek: (a) 6,2 kg s' 1 (b) 450 °C C 46 Vodní pára vstupuje do adiabatické turbíny o výkonu 1,34 MW v ustáleném režimu při tlaku 5 MPa a teplotě 450 °C. Hmotnostní tok páry je 3,8 kg s 1. Uvažujte v turbíně vratnou expanzi a změny kinetické a potenciální energie zanedbejte. Vypočítejte na výstupu z turbíny (a) tlak a (b) teplotu. Výsledek: (a) 1,4 M Pa (b) 266 °C C 47 Napájecí voda o teplotě 30 °C a tlaku 600 kPa je předehřívána směšováním s přehřátou parou odebíranou z turbíny o teplotě 250 °C a tlaku 3 MPa. Hmotnostní toky jsou: voda 5 kg s’1, pára 0,7 kg s"1. Stanovte (a) výslednou teplotu a (b) produkci entropie za jednu sekundu. Výsledek: (a) 109,9 °C (b) 1,496 kW K ' 1 C 48 Voda je kontinuálně směšována s přehřátou parou za konstantního tlaku 3 MPa. Voda má teplotu 30 °C a pára 400 °C. Hmotnostní tok vody je 5 kg s"1 a páry 0,7 kg s’1. Stanovte (a) teplotu po směšování, (b) objemové toky proudů před směšováním a výsledného proudu, a (c) produkci entropie za 1 sekundu. Výsledek: (a) 120,8 °C (b) voda 0,00502 m 3 s '1, pára 0,0696 m 3 s ' \ směs 0,00605 m 3 s' 1 (c) 1,727 k W K ' 1

55

Proudění ideálního plynu

D Proudění stlačitelných tekutin - ideálního plynu c •A m = p-c- A = ------= konst. v

Rovnice kontinuity pro ustálený stav

Energetická rovnice (1ZT pro izolovanou otevřenou soustavu) dp

Rychlost zvuku v tekutině - obecně a =

h + ^ - = h 0 = konst.

... pro ideální plyn a =

V k -t

-T

v 5Pvs Klidový stav je stav po hypotetické izoentropické kompresi ze stavu statického. X^pM v.ÍrvcJi]osJ tekutiny z oblasti o klidovém stavu obecně

c = ^ 2 -(h 0 - h )

Výtoková rychlost tekutiny z oblasti o klidovém stavu pro ideální plyn_________ c=

V2 c„(T0 - T ) = )| 2 ^ ( T 0 - T ) = ^J2 —

K —1

T

2-k

1 -1

V

T

v. K

(3 = — je tlakový poměr, Po Kritická rychlost

Hustota hmotnostního toku

K-l Po

K —1

r-T n 1-P

je kritický tlakový poměr

VK + 1

c =a =

— K +

m

r-Tn l

2-k

p0 f

^

^ = - = J ---- 7-— * 1-P K -PK A

Vk

-1

v0 ^

K+l

Kritická hustota hmotnostního toku (Fliegnerův vzorec)

p.* =

■- a K v r ' T0 i

^

2

Vi

K + l

D1 Vzduch o teplotě 300 °C a tlaku 700 kPa proudí rychlostí 250 m s '1. Stanovte (a) klidovou entalpii, (b) klidovou teplotu, (c) klidový tlak a (d) klidovou hustotu. Řešení (a) Klidová entalpie plyne z energetické rovnice (předpokládáme: při T = 0 K je h = 0) 2 2 ^c a 2 h 0 = h + — = c J + ~ = 1004.5 •(300 + 273.15) + = ^ - = 606979.2 J kg 1

(b) Klidová teplota

T _ h„ 0

606979,2 1004,5

Cp

= 604,26 K = 331.11 °C

K

(c) Klidový tlak (izoentropická změna)

T p 0 = p - 2vT

(d) Klidová hustota ze stavové rovnice

p 0 = Po r-T 0

J

1,4

= 700-

604,26

842250 287-604,26

573,15

1,4-1

= 842.25 kPa

= 4.857 kg m -3

D2 Letadlo 1etí r ychlostí 2 60 m s' 1 ve v ýšce, k de j e a tmosférický t lak 4 0 kPa a t eplota - 25 0| Vzduch protéká proudovým motorem je v jeho difuzoru zpomalen a potom stlačov: v kompresoru, kde se dosahuje hodnoty poměru stlačení klidových tlaků 8,2. Proce v difuzoru i kompresoru považujte za izoentropické. Stanovte na vstupu do komprese 56


(a) klidovou teplotu, (b) klidový tlak, (c) klidovou teplotu na výstupu z kompresoru a (d) prá ci dodávanou kompresoru. Řešení

(a) Klidová teplota vzduchu před kompresorem T0,= T + — = (-2 5 + 273,15) + — ^ — = 281,8 K = 8,6 °C -----01 2c ' 2-1004,5 1,4 í 'T '

(b) Odpovídající klidový tlak

L01

\

281,8

1,4-1

= 40= 62.41 kPa 248,15 vTy (c) Klidová teplota na výstupu kompresoru pomocí Poissonova vztahu K—1 T =T • Po2 K = 2 8 1 .8 - ( 8 .2 ) ^ = 514.0 K *0 2

Poi = P -

A 01

(d) Práce dodávaná kompresoru

w t = cp-(T0i - T 02) = 1004,5-(281,8 - 514) = -233.4 kJ kg~

D3

Vzduch o teplotě 30 °C vstupuje do proudového stroje rychlostí 210 m s"1. Určete (a) rychlost zvuku a (b) zdaje proudění podzvukové či nadzvukové. Řešení

Vzduch lze považovat za dvouatomový ideální plyn

(k

= 1,4; r = 287 J kg ' 1K '1).

(a)Rychlost zvuku

a = -n/ k - t -T = ^ 1 ,4 -2 8 7 -(3 0 + 273,15) = 349.0 m s ' 1

(b) Machovo číslo

Ma = —=

= 0,602 ... protože M a < 1, proud je podzvukový

D4

Dusík o hmotnostním toku 2 kg s' 1proudí tryskou ve stacionárním režimu. Vstupuje do trysky se zanedbatelnou rychlostí při tlaku 1200 kPa a teplotě 230 °C. V trysce dusík expanduje izoentropicky na tlak 100 kPa. Stanovte na výstupu z trysky (a) hustotu, (b) rychlost, (c) průřez proudu a (d) Machovo číslo. Řešení

(a) Dusík považujeme za ideální plyn. Podle energetické rovnice klidová entalpie a klidová teplota jsou podél trysky konstantní. Protože se předpokládá izoentropický děj, zůstává podél trysky konstantní i klidový tlak. Podle zadání na vstupuje proud pomalý a proto tlak a teplota jsou prakticky rovné klidovým hodnotám to = ti, po = Pí- Měrná plynová konstanta dusíku je r = R /M m = 8 3 1 4 , 4 1 / ( 2 - 1 4 ) = 2 9 6 , 9 J kg ' 1K"1, cp = k t / ( k - 1 ) = 1 , 4 - 2 9 6 , 9 / 0 , 4 = 1093,2 J k g 1 K ' 1 Výstupní teplota plyne z Poissonova vztahu K-l

1.4-1

= (230 + 273,15)

W „* vPo J

100 '

1,4

1200

Hustota na výstupu ze stavové rovnice

p2 =

= 247,38 K = -25,77 °C p2 _ r-T 2

100000

296,9-247,38

= 1.362 kg m -3

(b) Výstupní rychlost z energetické rovnice c: = ,J2 ■cp (T 0 - T ,) = ,/ 2 •1039.2 ■(503.15 - 247.38) = 729.l O m s ' 1

57


2 = 0.002014 m 1,362-729,1 729,1

m

(c) Plocha výstupního průřezu

A2 =

(d) Machovo číslo

Ma = — = = 2.274 a 2 ~~ ^K -r-T , ~~ V M ^ 2 9 6 > 2 4 7 ^ 3 8

p 2 -c 2

D5 Uvažujte trysku z předchozího příkladu. Délka trysky je 1,1 m. Předpokládejte, že tlakový gradient podél trysky je konstantní. Stanovte (a) tvar trysky postupným výpočtem průřezů podél trysky v místech odpovídajících vždy tlakovému poklesu o 200 kPa. Stanovte (b) polo hu hrdla Lavalovy trysky a (c) průřez hrdla. Řešení

(a) Výpočtové kroky (a), (b), (c) z příkladu D4 je nutné provést pro polohy x i = Po “ Pí L P0 - P 2 měřené od vstupního průřezu, odpovídající vždy poklesu tlaku o 200 kPa. Takto získáme pro jednotlivé polohy následující statické tlaky a průřezy: p(kPa) x(m )

1200 0

A (m2)

00

d (mm)

00

1000 0,2

800 0,4

600 0,6

400 0,8

200 1

100 1,1

0,001231 0,000983 0,000942 0,001028 0,001383 0,002015 39,6

35,4

Kritický tlakový poměr 0,528 Kritický tlak v hrdle

34,64

36,2

2 p-

- * Po

50,6

2

1,4 1,4-1

1,4 + 1

p* = p* . P o = 0,528-1200 = 633,6 kPa

T* = T n — K+ l

(c) Plocha průřezu hrdla .. m m A = — — = --- ;-----------pc p i------ Z J r-T*

K -l

Vk + 1

(b) Poloha hrdla vůči vstupnímu průřezu Kritická teplota

42,0

x* = —— — L = -1,1 = 0.566 m 1200-100 P0 - P 2 = 503,15— — = 419,29 K = 146,14 °C 1,4 + 1 2

633600 296,9-419,29

= 0.000941 m

yj\, 4-296,9-419,29

4 -A 4-0,000941 d = J -------= , ------ ----------- = 34,61 mm n n D6 Vzduch o tlaku 900 kPa a teplotě 620 °C vstupuje do zužující se trysky rychlostí 170 m s'1. Vypočtěte hmotnostní tok tryskou, je-li plocha výstupního průřezu 40 cm 2 při protitlaku (a) 600 kPa a (b) 350 kPa. Řešení Vzduch považujeme za ideální plyn. Klidová teplota, tlak a hustota:

c2 1702 tfl = t| + ------ —620 + = 634,39 °C = 907,54 K 2-c„ 2-1004,5

58


1,4

ÍT \ 907 54 _£ K_1 = 900- ( ’ Po = Pi * 620 + 273,15 T vv Po =

Po r-T 0

1,4-1

= 951,78 kPa

951780 _3 ~ 3,654 kg m 287-907,54

Kritický tlakový poměr pro plyn tvořený dvouatomovými molekulami p = p*/po = 0,528. (a) Tlakový poměr odpovídající protitlaku pa = pa/po = 600/951,78 = 0,630 > 0,528, nedojde tedy k aerodynamickému zahlcení a tlak ve výstupním průřezu je roven protitlaku p 2 = pa. Hmotnostní tok tryskou f •

A

K -l A

1,4-1 >\

2

2 ’K

m .=A. ------PoP 0 l - ß a K ß K = 0,004 ¡ 2 - ^ - -951780-3,654• 1 -0 ,6 3 K —1 P “'1,4 —1 V

1,4

•0,63'-4 = = 4,99 kg s~

(b) Tlakový poměr odpovídající protitlaku Pb = Pb/Po = 350/951,78 = 0,368 < 0,528, dojde k aerodynamickému zahlcení, tj. ve výstupním průřezu jsou kritické podmínky: Ma = 1, vý stupní tlak je roven kritickému tlaku p 2 = p \ t2 = t , p 2 = p*, atd. 1,4-1 ^

Hmotnostní tok

rhk =0,004- p l i l i -951780 -3,654 ■ 11,4-1

-0,528

1,4

0,5281,4 = 5.11 kg s~

Případně lze použít pro výpočet hmotnostního toku Fliegnerův vzorec 1.4+1 K+l 1,4-1 K -l 951800 Po mb = A K = 0,0041.41,4 + 1 ^287-907,54

5,11 kg s'

D7

Proud helia při vstupu do trysky je popsán hmotnostním tokem 5 g s '1, tlakem 750 kPa, teplo tou 65 °C a rychlostí 5 m s '1. Stanovte (a) kritický tlak a kritickou teplotu, (b) průřez hrdla a (c) rychlost v hrdle. Řešení

Helium (molámí hmotnost Mm = 4 kg km ol'1) je jednoatomový plyn —> k = 1,667 Měrná plynová konstanta r = R /M m = 8314,41/4= 2078,6 J kg ' 1K ' 1 w« ' i 'i • Mema tepelná kapacita

K-r 1,667-2078,6 , iriliriT 1 -iT,-i c = ------= ------------------- = 5 194,9 J kg K K-l 1,667- I c 1 = 65 + - 5 = 65.0024 °C 2 -c„ 2-5194,9

Klidová teplota

T 0 = 338,15 K

Rychlost 5 m s' je relativně velmi malá a cp velké, takže to s ti a zároveň po s pi. (a) Kritická teplota

r

= T n - - ^ - = 338,15----------- =253,58 K K + l 1,667 + 1

ť = -19.57 °C

1,667 1,667-1

K-l

Kritický tlakový poměr

ß* = í

V k

Kritický tlak

2

1

+ iJ

í 2 1 [ 1,667 + 1 J

= 0,487

p = ß* ■p 0 = 0.487 •750 = 365.25 kPa

59


(b) Kritická hustota hmotnostního toku 1,667+1

K+l

*

* *

K

(

2

r* r

H = p c = Poa— -------- 7 1 rT0 Vk + 1

1,667

2

2078,6-338,15

1,667 + 1

-t r\5

= 7,5-10

' 1,667-1

= 649,68 kg s''m ‘2

Plocha průřezu hrdla

. m 0,005 „ , „-6 2 n n 2 A = — = --------- = 7,696-10 m » 7,7 mm \i 649,68

(c) Rychlost helia v hrdle

c* = a*

= V k - t -T* =

-y/l,667-2078,6-253,58

=

937,4 m s~‘

D8 Vzduch o tlaku 850 kPa a teplotě 650 K vstupuje do Lavalovy trysky se zanedbatelně malou rychlostí. Proud je stacionární, jednorozměrný a izoentropický. Hodnota Machova čísla na výstupu z trysky je 1,5 a plocha průřezu hrdla je 30 cm2. Vypočtěte (a) statické veličiny v hrdle, (b) statické veličiny a průřez na výstupu a (c) hmotnostní tok tryskou. Řešení Vzduch považujeme za dvouatomový ideální plyn. Protože vstupní rychlost je zanedbatelně malá, klidový stav je prakticky dán daným vstupním statickým stavem. Ze stavové rovnice je statická hustota (a též klidová hustota) na vstupu: p0 850000 ,3 Pi * Po = = 4 >556 k§ m r-T 0 287-650

(a) Kritické poměry v hrdle jsou charakterizovány takto: kritická teplota

T ' = Tn •— K+ l

= 65 0 — - — = 541.7 K 1,4 + 1 1,4

kritický tlak

*

/ 2 NK—1

O*

P = P -Po = VK +1 y

i K-l

1,4-1

■Po =

•850 = 449.0 kPa 1,4 + 1

2 1,4 + 1

1,4-1

kritická hustota

P =Po

rychlost v hrdle

C* =a* = y j K - r - T = ^1.4 -2 8 7 -5 4 1 .7 = 466.5 m s ' 1

VK + Iy

= 4,556-

= 2.889 kg m~

(b) Výstupní veličiny lze výhodně spočíst pomocí izoentropických dynamických funkcí. Podrobnější informace lze nalézt v literatuře [7] str. 21. výstupní teplota

T2 = T0 ------ -------------- = 6 5 0 ------ 7— ----- —= 448.3 K 2 + (K - l)M a : 2 + (l, 4 —l) *1,5: 1,4

í

výstupní tlak

P2 =Po

2

K-l = 850

2 + (K - l)M a 2

2

1,4-1

2 2 + (1,4 —l) *1,52 (

K -l

2

1,4-1

= 1,8 kg/m

výstupní hustota

p2 = p0

výstupní rychlost

c 2 = Ma •a 2 = Ma •^/k •r •T2 =1,5- ^1,4-287-448,3 = 636,6 m s' 1

^2 + ( K - l ) M a 2

= 4.556-

= 231,5 kPa

2 + (l, 4 —l) *1,52

(c) Hmotnostní tok m = m* = p* •c* •A* = 2,889 •466,5 ■0,003 = 4.043 kg s-1

60


D9 Proud vzduchu v předcházejícím příkladu protéká Lavalovou tryskou. Ve výstupním průřezu trysky je kolmá rázová vlna. Stanovte těsně za rázovou vlnou (a) klido vý a statický tlak, statickou teplotu a statickou hustotu, (b) změnu entropie na rázové vlně a (c) výstupní rych lost.

h

Poi/

PoifPo,

/

/

hoiimhoi

/ ' &

hti d 2

Řešení Veličiny vypočtené v příkladu D 8 : poi = 850 kPa, pí = 231,5 kPa, Ti = 448,3 K, i ___ Pí = 1,8 kg m '3, c’ = 466,5 m s '1, Ci = 636,6 m s

Sil. A r v \ NíamX

7

P„

SRaytefgh

Farmo, Pi

Ma»1 h>

S, isH (a) Veličiny za rázovou vlnou stanovíme pomocí dy namických funkcí rázové vlny. Podrobnější informace lze nalézt v literatuře [7] str. 35. Klidový tlak

(K + l)M a 2 Nk -1

' Pon —Poi

( k - 1 )+ 2

J Í^ 2 -K -M a ] - ( k - 1) ]

S

K-1

1,4

= 850-

(1,4 + 1)-1,5 2 'j 1,4-1 ^l-5 2 • ( l , 4 - l ) + 2 j

f

M +1 1^2-1,4-1,52 -1 ,4 + 1 M a? - 0

Statický tlak

pn = p

Statická teplota

Ma? -1 Tah = TAi 1 + 2 - k - ^ — k +1 V

1 + 2 -k

K+ l

= 448,3- 1 + 2 -1,4-

Statická hustota

1 J

1,4-1

= 231,5

1, 52 —1

1,4 + 1

(k - 1 ) +

1 + 2 -1,4-

1,4 + 1

= 569.1 kPa

M a 2 (k + 1) 1,52 (1 ,4 -1 ) + 2 - — M ------—— = 591.8 K 1,52 (1,4 + 1) 1,52 (1,4 + 1)

2~

V

c„ = í f l c,

,

• ( l,4 - l) + 2 =

(b) Změna entropie su - s, = s 0I1 - s0I = - r •l n - -2 8 7 •ln Poi (c) Výstupní rychlost z Prandtlova vztahu

1,52 - 1

M a 2 ( k - 1) + 2 _

M a*(K + l)

P" = P' ' M a,

= 790,3 kPa < p0i = 850 kPa!

- = 20.9 J kg^K ' 1 850

341.9 m s 636,6

D 10 Oxid uhličitý vytéká do prostředí o tlaku 100 kPa kruhovým otvorem o průměru 1 mm z nádoby, v níž je tlak 1 MPa a teplota 35 °C. Stanovte (a) výtokovou rychlost a (b) hmot nostní tok. Řešení Otvor ve stěně nádoby lze považovat za krátkou zužující se trysku. Oxid uhličitý je plyn stříatomovými molekulami —» k = 1,33 a r = R/Mm = 8314,41/(12 + 2-16) = 189 J k g 1K 1.

61

Proudění ideálního plynu 1,33 1,33-1

ř . £ l . i “ _ W < |ř - 1 - O - W _ 2 _ - - - 0,5403 p 0 1000 p0 U + l ) { l , 33 + 1 dojde k aerodynamickému zahlcení - na výstupu jsou kritické poměry

Tlakový poměr

(a) Výtoková rychlost c, = c*=a* = . —

2

Vk

+

1

tT. = , 3-3- •189• (35 + 273.15) = 257.9ms~ 0 V 1,33 + 1 v ' ---- --------

(b) Kritická hustota plyne z kombinace Poissonova vztahu a stavové rovnice ideálního plynu f p * A* ' K P2 ~ P ~ Po '

vPo J Hmotnostní tok

/ * N~ P_ “ Po r - T n vPoy

106

189 -(35 + 273,15)

0,5403133 = 10,81 kg rn

m = m* = p 2 -c 2 •A 2 = p* -c* •A 2 = 1 0 , 8 1 - 2 5 7 , 9 = 0,00219 kg s' 1 = 2.19 g s' 1 D li Ve válci pístového stroje je při sání tlak 94 kPa. Ve vnějším prostředí je teplota 15 °C a atmc sférický tlak 99 kPa. Rychlostní součinitel je cp = 0,9. Stanovte, jakou rychlost má vzduc proudící sacím ventilem. Řešení Otvor sacího ventilu považujeme za zužující se trysku. Veličiny vzduchu - vnějšího prostřec -js o u tak klidovými veličinami. Protitlakem je tlak ve válci. Tlakový poměr: n 0 94 P = — = —— = 0,9495 > P* = 0,528 ... dvouatomový plyn -> k = 1 ,4 Po 0,99 Poměry ve výstupním průřezu (ve válci) jsou podkritické, aerodynamické zahlcení nehrozí.

Teoretická vtoková rychlost: c2 =

2-k

V

rT„

^ i - 2 8 7 - ( l 5 + 273,15)1 ,4 -1 v ’

1- p

K —1

= 92,24 m s*

Skutečná rychlost je nižší v důsledku nevratností zahrnutých v daném rychlostním součinitel C2sk = cp • C2 = 0,9 • 92,24 = 83.0 m s-i D 12 Navrhněte trysku pro výtok metanu (CH 4) z nádoby do prostředí o tlaku 1,4 MPa. Uvažu_ rychlostní součinitel 0,9. Metan má v nádobě tlak 2 MPa a teplotu 25 °C. Hmotnostní tok v těkajícího proudu je 2,5 kg s"1. Řešení CH4 považujeme za ideální plyn ( k = 1,33; r = R/Mm = 8314,41/(12 + 4-1) = 519,6 J kg' K

Tlakový poměr

62

13

14

p = i^- = — = 0,7 > P * = 0,5403 ... pro 3 a víceatomový plyn Po 2 Navrhujeme pouze zužující se trysku.


Výstupní výtoková rychlost í K-l "\ c2= r t ~ r T 0 - 1 = 0,9- l - p ^ - 519,6 (25+ 273,15) -

'K -l

p

K

1,33-1 \

1 - 0 ,7 U3

= 292,7 m/s

V

Expanze ve skutečné trysce neprobíhá izoentropicky, ale dochází ke ztrátám (disipace ener gie), které mají za následek produkci entropie. Skutečná teplota t 2 ve výstupním průřezu je vyšší než odpovídající izoentropická teplota (při proudění beze ztrát). Vztah mezi teplotami je určen pomocí vztahu pro účinnost trysky \=
J

h 0- h 2 _ T 0- T 2

=

h 0 - h 2s

^

T 2 = T 0 - c p 2 ( T 0 - T 2s) = T 0 r

Tq - T 2s

1—

*l - p K

1,33-1 'N

T2 =(25 + 273,15)

1- 0,92 1 - 0 ,7

1,33

= 277,7 K

Výstupní hustota - ze stavové rovnice ideálního plynu p2 =

= — 1, 4 ' 1Q— = 9,702 kg nť 3 519,6-277,7

2 r-T 2

Průměr výstupního průřezu trysky d=,

m

4-A

n p 2 -c 2

n

4

2,5

ti

9,702-292,7

= 33,5 mm

D 13

Zplodiny spalování plynové turbíny o teplotě 650 °C a tlaku 250 kPa vstupují do trysky rych lostí 250 m s ’1. Vnější prostředí má atmosférický tlak 100 kPa. Hmotnostní tok tryskou je 25 kg s'1. Účinnost trysky je 0,92. Počítejte s konstantami k = 1,33 a r = 288 J kg ' 1K"1. Sta novte (a) plochu vstupního průřezu, (b) plochu výstupního průřezu a přichází-li v úvahu pak také (c) plochu kritického průřezu a (d) délku rozšiřující se kuželové části. Řešení

.

Klidové veličiny plynou z energetické rovnice a vztahů pro ideální plyny: ,2

„2

„

,

1) 33 _ 1

T0 = T, + — = T, + — •— = (650 + 273,15) + — ° 1 2 -cp 1 2 k t v ’ 2 K (

T

T

0

V1! ;

= 950,1 K

1,33

\k -1

Po = P r

1,33-288

= 250

950,1 650 + 273,15

1,33-1

= 280,7 kPa

Vstupní statická hustota ze stavové rovnice 250000 -= 0,9403 kg rrf Pi = r-T, 288-(650+ 273,15) Klidová hustota z rovnice izoentropické změny i ( T \k -I 1,33-1 950,1 X0 = 0,9403= 1,0259 kg m’ Po- Pi ‘ 650 + 273,15 VT i

63


Tlakový poměr

P = Pk = = 0,356 < P* = 0,5403 Po 280,7 F Pro využití celého tlakového spáduje třeba použít Lavalovu trysku.

(a) Vstupní průřez

A ,=

m

25

p,-c,

0,9403-250

4 ‘Aj

0,368 m

V n

(b) Výstupní rychlost ¡2-k

c2

L

r

„

(

= VoT92

1 -p K

2-1,33 -

1,33-1

‘v

r

\

Výstupní hustota

p2 = p0 • E i
Výstupní průřez

a 2=

1,33-1 ^

288-950,1

1,33

1 -0 ,3 5 6

= 677,1 m/s

i = 1,0259

100

280,7,

m

25

p 2 -c 2

0,4721-677,1

1,33

= 0,4721 kg m" 4 -A ,

= 0,0782 m 2 —» d 2 =

0.3155 m

7t

(c) Kritická rychlost se vypočítá pomocí obdobných vztahů, nahradíme-li v nich tlakový po měr protitlaku kritickým tlakovým poměrem. Dále předpokládáme rovnoměrné rozložení ne vratností podél trysky, tedy stejnou účinnost r|tr jako při určování výstupního průřezu. Í2 - K

K -l \

rTn 1 - ( P * ) K

=V 092-

K —1

Kritická hustota

P =Po'

( *A P_

2-1,33 1,33-1

1,33-1

-288-950,1- 1 -0 ,5 4 0 3

1,33

536,1 mh

= 1,0259-0,5403U3 =0,6458 kg m -3

25 0,6458 -536,1

= 0,07221 m 2 -> průměr hrdla d* =

4 -A

0.3032 m

71

(d) Při stanovení délky rozšiřující se části uvažujeme kuželové rozšiřování. Vrcholový úhe kužele a volíme zpravidla maximálně 10°. Z jednoduché geometrické úvahy vyjde vztah tg

a _ 2 '( ^ 2 _ d )

L _ d 2 -d* 2 - tg f

0 ,3 1 5 5 -0 ,3 0 3 2 2 -tg f

= 0.0703 m

D 14 Navrhněte pro zpomalení proudu vzduchu o hmotnostním toku 2 kg s' 1 kuželový difuza s vrcholovým úhlem 8 °. Do difuzoru vstupuje vzduch o tlaku 100 kPa a teplotě 20 °C rychlos tí 280 m s' 1 a vystupuje z něho rychlostí 120 m s'1. Určete (a) stav ve výstupním průřezu (b) základní rozměry difuzoru. Řešení Proudění v difuzoru považujeme za izoentropické.

64


(a) Výstupní teplota plyne z energetické rovnice n} —f-2 n2 _p2 v-_1 T2= Tj + = Tl + ^ L _ £ i . JS _i = (20 + 273,15)+ 28° - 120 - 1’-4 ■1 = 325.0 K li 2 -c K-r 2 1,4-287 1.4

/ t >K~1 f 1,4-1 325 2 - 100 Pl • V 20 + 273,15, VT,1J

Výstupní tlak Vstupní hustota

(b) Vstupní průřez Výstupní hustota

P, = A, = p2 =

Pl r-T,

100000

287-(20+ 273,15)

m p,-c, r-T 2

1,189-280 287-325

143.5 kPa

= 1,189 kg m'

= 0,00601 m 2 —» d, = J

n

= 0,0875 m

= 1,538 kg m '3

4 -A 2 _ m 2 Výstupní průřez = 0,01083 m 2 —» d 2 = . = 0.1175 m a 2= ' ‘ p 2 -c 2 1,538-120 71 Délka rozšiřující se části difuzoru L _ d 2 ~ di _ 0,1175-0,0875 = 0.2145 m 2 -tg f 2 - tg f 1) 15 Cyslík vstupuje do difuzoru rychlostí 250 m s' 1 při tlaku 100 kPa a teplotě 300 K a vystupuje :něho při tlaku 130 kPa. Uplatňují se ztráty, ztrátový součinitel difuzoru je 0,1. Stanovte a) výstupní rychlost vzduchu a (b) stupeň rozšíření A 2/A 1, (c) změnu entropie, (d) klidový lak na vstupu a (e) klidový tlak na výstupu. lešení

*ro kyslík O2: /lěmá plynová konstanta R - 8314 = 269,8 J kg^K -1 32 lěmá tepelná kapacita při stálém tlaku = — = 1,4' 27Q = 909,3 J k g 1 K ' 1 p K—1 1 ,4 -1 * lidová teplota proudu: c2 2502 = 334,5 K 01 = T 02 = T 0 = T, + — — = 300 + -------2 -c p 2-909,3 trátový součinitel ¿¡djf souvisí s účinností difusoru ridif: dif =

1

^ d if

~*

^ Id if —

1 —0,1 —0,9

činnost difuzoru je definována hni- h „ T „-T ,, * = -T1- T L = ^ - ^ r T,, = T 0 - t i djf(T 0 - T ,) = 334,5 - 0 , 9 -(3 3 4 ,5 -3 0 0 ) = 3 0 3 ,6 K T•‘o - T*1 ^01 ^1

65

■


Teplota na výstupu T 2 plyne z Poissonova izoentropického vztahu K-l 1,4-1 f \ 1,4 ^130 N Ti 2 = Ti,. £ l = 327,2 K = 303,6 v l0 0 y v P .y Rychlost z energetické rovnice c 2 = ^ 2 - c p (T 0 - T 2) = ^2 -9 0 9 ,3 -(334,5 -3 2 7 ,2 ) = 115,2 m/s Z rovnice kontinuity plyne hledaný poměr S využitím stavové rovnice nahradíme hustoty (c) Změna (růst) entropie v difuzoru

(d) Klidový tlak na vstupu do difuzoru

A,

p,c,

A,

p 2c 2

_ p ,-^ - ^ n= p 2 •T, •c 2

130-300-115,2

= 1.82

As = c„ •ln — = 909.3 ■ln = 10.35 J k e 1K 1 p T, 300 -------- 6----p 01 = P[

p 02 = p,

K-l

l 01

=

Tm y \

rj

(e) Klidový tlak na výstupu z difuzoru

100-327,2-250

02

vT2 y

100 -

'334,5

1,4 1,4-1

= 146.1 kPa

300

K

1,4

K“' =

100

f 334 5 ’

v 327,2

1,4-1

= 140,4 kPa

Klidový tlak po při průchodu difuzorem klesá (poi > P02) na rozdíl od statického tlaku (Pi < p2), podobně jako u rázové vlny. Pokles klidového tlaku je vždy vedle růstu entropie významný průvodní znak disipace energie, neboť část mechanické energie se přeměňuje na energii tepelnou. D 16 Proud kyslíku má statický tlak 500 kPa, klidový tlak 687,4 kPa a jeho klidová hustota j< 5,1 kg m~3. Stanovte (a) klidovou teplotu, (b) statickou teplotu, (c) rychlost proudícího plynui (d) statickou entalpii. Výsledek: (a) 245 °C (b) 200 °C (c) 286 m s’1 (d) 430,3 kJ k g 1 D 17 Oxid uhličitý při tlaku 250 kPa proudí kanálem rychlostí 120 m s"!. Klidový tlak je 273 kP Stanovte (a) klidovou teplotu, (b) statickou teplotu, (c) klidový měrný objem a (d) klidovc měrnou entalpii. Výsledek: (a) 164,5 °C (b) 155 °C (c) 0,3029 m 3 k g 1 (d) 333,2 kJ k g 1 D 18 Kyslík vstupuje při tlaku 800 kPa a teplotě 77 °C do zužující se trysky zanedbatelnou rychle tí. Protitlak na výstupu je 600 kPa. Vypočtěte (a) výstupní rychlost a (b) hmotnostní t tryskou, jestliže výstupní plocha průřezu má velikost 40 cm2. Výsledek: (a) 224,2 m s’1 (b) 6,420 kg s' 1 D 19 Kyslík vstupuje při tlaku 800 kPa a teplotě 77 °C do zužující se trysky zanedbatelnou rychl tí. Protitlak na výstupu je 100 kPa. Vypočtěte (a) výstupní rychlost a (b) hmotnostní tryskou, jestliže výstupní plocha průřezu má velikost 40 cm2. Výsledek: (a) 325,9 m s' 1 (b) 7,265 kg s' 1

66


0 loba je naplněná kyslíkem o tlaku 300 kPa a teplotě 260 °C. Určete (a) potřebnou velikost >ru ve stěně, aby hmotnostní tok vytékajícího kyslíku do okolního prostředí o tlaku 95 kPa 0,015 kg s'1. (b) Jaký bude výsledek v případě, že tlak v nádobě je 160 kPa? sledek: (a) 6,08 mm (b) 8,37 mm

:l duch o teplotě 90 °C a tlaku 350 kPa vstupuje s hmotnostním tokem 0,12 kg s' 1 a rychlostí )m s' 1do trysky. Za tryskou je prostředí o tlaku 80 kPa. Rychlostní součinitel trysky je 0,9. novte (a) tlakový poměr, (b) teplotu vzduchu ve výstupním průřezu. Navrhněte základní měry trysky: (c) velikost vstupního průřezu, (d) velikost výstupního průřezu, v případě valový trysky také (e) velikost kritického průřezu a (f) délku rozšiřující se části rcholovým úhlem kužele 10 °. sledek: (a) 0,1896 (b) 238,2 K (c) 1,79 cm 2 (d) 2,11 cm 2 (e) 1,53 cm 2 (f) 13,9 mm 12 íuzorem je třeba snížit rychlost proudu helia z 500 m s' 1 na 200 m s"1. Uvažujte hmotnostní : 10 gs"1. Na vstupu je teplota helia 100 K, jeho hustota ve výstupním průřezu má být kgm'3. Stanovte (a) vstupní a výstupní tlak, (b) klidový tlak a (c) základní rozměry difuu kuželového tvaru s vrcholovým úhlem 8 °. sledek: (a) vstup 90,53 kPa, výstup 143,4 kPa (b) 155,2 kPa (c) rozšiřující se tvar: vstupní průměr 7,65 mm; výstupní průměr 10,5 mm; délka 20,6 mm 23

počtěte skutečnou rychlost v sacím potrubí spalovacího motoru. Ve válci je podtlak 7 kPa, alní vzduch má tlak 100 kPa a teplotu 15 °C. Rychlostní součinitel je 0,96. rsledek: 104,6 m s ' 1 24

isík vytéká tryskou do atmosféry z velké nádrže, v níž je tlak 350 kPa a teplota 25 °C. At»sférický tlak je 101 kPa. Stanovte (a) účinnost trysky a (b) rychlostní součinitel, je-li výtová rychlost 404,5 m s '1. dedek: (a) 88,4 % (b) 0,94 25

1podzvukovém difuzoru sledujte souvislost veličin charakterizujících nevratnosti a disipaní účinky. Vzduch vstupuje do podzvukového difusoru rychlostí 300 m s '1, jeho tlak je OkPa a teplota 20 °C. Tlak na výstupu je 150 kPa. Nevratnosti vedou k vzrůstu entropie i J kg' 1K '1. Stanovte (a) změnu klidového tlaku, (b) účinnost difuzoru, (c) ztrátový součini.Vypočítejte také (d) výstupní rychlost a (e) změnu hustoty vzduchu. dedek: (a )-6737 Pa (b) 92,13% (c) 0,0787 (d) 98,59 m s' 1 (e) 0,338 kg m '3 26

i trysce sledujte souvislost veličin charakterizujících nevratnosti a disipativní účinky, notnostní tok 10 kg s' 1 vzduchu vstupuje do trysky se zanedbatelnou rychlostí, jeho tlak je OkPa a teplota 20 °C. Tlak prostředí na výstupu je 100 kPa. Nevratnosti vedou k poklesu idového tlaku o 5 kPa. Stanovte (a) změnu (produkci) měrné entropie, (b) účinnost trysky a ) rychlostní součinitel. Vypočtěte také (d) výstupní rychlost a (e) výstupní průřez trysky, ýsledek: (a) 8,085 J kg ' 1K ' 1 (b) 95,58 % (c) 0,978 (d) 295 m s' 1 (e) 0,0243 m 2

67

Proudění reálného plynu

E Proudění stlačitelných tekutin -

reálného plynu, páry m = p •c •A =

Rovnice kontinuity pro ustálený stav

- konst.

Energetická rovnice (1ZT pro izolovanou otevřenou soustavu) Rychlost zvuku v tekutině - obecně Klidový stav je stav po hypotetické izoentropické kompresi ze stavu statického. Výtoková rychlost tekutiny z oblasti o klidovém stavu obecně

c = ^ 2 •(h 0 - h)

*

Pro přehřátou p á ru je kritický tlakový poměr (5* = — = běžně 0,546 ( k = 1,3), v případě stavu Po páry blízko horní mezní křivky se doporučuje hodnota 0,576 ( k = 1,14). E 1 Vodní pára o teplotě 300 °C a tlaku 800 kPa se pohybuje rychlostí 250 m s '1. Stanovte (a) klidovou entalpii, (b) klidovou teplotu, (c) klidový tlak a (d) klidovou hustotu. Řešení Stav je určen teplotou a tlakem. Statické měrné entalpie a entropie najdeme v tabulce přehřáté páry PP: h = 3056,9 kJ k g 1, s = 7,2345 kJ kg^K ' 1 (a) Klidová entalpie vyjde z energetické rovnice 2 ^ rn 2 h ft= h + — =3056900 + ------ = 3088.15 kJ k e 1

0 2 2 ----------- ----------------- ^ Klidový s tav j e d á n veličinam i ho a so = s (hypotetická i zoentropická expanze). Interpolací v tabulce přehřáté páry nebo přímo z h-s diagramu zjistíme: (b) klidová teplota to = 316,0 °C (c) klidový tlak po = 900,95 kPa (d) klidová hustota po = 1/vo = 1/0,2958 = 3,38 kg m ~3 E2 Chladivo R134a m á tlak 500 kPa a teplotu 60 °C a protéká trubicí rychlostí 200 m s '1. Stanov te (a) rychlost zvuku v chladivu a (b) typ proudění. Řešení

(a) Rychlost zvuku obecně

a= 5p

Analytický výpočet parciální derivace je nepraktický, neboť stavová rovnice chladiva R134 je velmi složitá a je prezentována hodnotami v tabulkách. Proto aproximujeme diferenciá přírůstky tlaku a hustoty konečnými rozdíly a=

Měrnou entropii chladiva při tlaku 500 kPa a teplotě 60 °C najdeme v tabulce přehřáté p~ s = 1,0531 kJ kg ' 1K’1. Při této entropii a nejbližších tabelovaných tlacích kolem daného tl 68

Prouděni reálného plynu

500 kPa (konkrétně v naší tabulce přehřáté páry chladiva 400 kPa a 600 kPa) určíme měrné objemy 0,06228 m 3 kg ' 1 a 0,04239 m 3 kg'1. Dosazením máme as.

(6 0 0 -4 0 0 )-1 0 0 0

162,9 m s ' 1

1 /0 ,0 4 2 3 9 -1 /0 ,0 6 2 2 8 (b) Machovo číslo

s=l,0531

Ma = —= — = 1,227 ... protože Ma > 1, proudění ie nadzvukové a 162,9 ----------- ------------------

E3

Hmotnostní tok vodní páry 1,2 kg s' 1 o tlaku 2 MPa a teplotě 400 °C vstupuje do Lavalovy trysky zanedbatelnou rychlostí a vystupuje z ní při tlaku 300 kPa. Proudění je izoentropické. Stanovte (a) plochu průřezu v hrdle a (b) plochu výstupního průřezu. Řešení

Tlakový poměr protitlaku

P=— =

= 0,15 < (3* = 0,546 ... proudění na výstupu je

nadzvukové, máme k dispozici dostatečný tlakový spád Ap = p 0 - p2. Rychlost proudu v hrdle Tlak v hrdle

c* = a* p* = P* • p 0 = 0,546 - 2 = 1,092 M Pa

Stavové veličiny na vstupu určíme z tabulek PP (nebo z h-s diagramu) to s ti = 400 °C, po s pi —2 MPa: PP h 0 = 3248,23 kJ k g '1, s0 = s* = s2s = 7,1290 kJ kg ' 1K ' 1 Stavové veličiny v hrdle obdobně p’ = 1,092 MPa, s* = 7,1290 kJ kg ' 1 K '1: PP

h* = 3077,15 kJ k g '1, v* = 0,2416 m 3 k g '

(a)Rychlost v hrdle

_________ c* = ^ 2 - ( h 0 - h ’ ) = ^2 -(3 2 4 8 ,2 3 -3 0 7 7 ,1 5 )-1 0 0 0 = 584,94 m s' 1

Plocha průřezu v hrdle

A* =

p -c

^ 7 = c

584,94

= 4,96 cm 2

d* = 25,13 mm

Stavové veličiny ve výstupním průřezu (z tabulek PP) p2 = 300 kPa, s2s = 7,1290 kJ kg ' 1K '1: PP h2s = 2782,56 kJ k g '1, v2s = 0,6508 m 3 kg ' 1 Výstupní rychlost

c 2 = ^ 2 - ( h 0 - h 2s) = p •(3248,23 - 2782,56) •1000 = 965,06 m s' 1

(b) Výstupní průřez

A 2 = ^ V- = 1,2 ^,6508 c2 965,06

3 ^ 9 cm 2

d2

32,09 mm

E4

Řešte předchozí příklad pro případ, že celková účinnost trysky je 95 %. Určete (a) výstupní rychlost, (b) plochu výstupního průřezu, (c) rychlostní součinitel a (d) rychlost produkce ent ropie. Řešení Teoretická izoentropická entalpie ve výstupním průřezu h2s souvisí se skutečnou entalpií h 2 vztahem pro účinnost trysky. Z předchozího příkladu: h 0 = 3248,23 kJ kg ' 1 h2s = 2782,56 kJ kg'1, s0 = 7,1290 kJ kg ' 1K ' 1 h —h ntr = ------ -> h 2 = h 0 - r)tr •(h 0 - h 2s) = 3248,23 - 0,95 •(3248,23 - 2782,56) = 2805,84 h o ~ h 2s

69


Skutečný stav ve výstupním průřezu je tedy určen tlakem p 2 = 300 kPa a skutečnou entalpi h 2 = 2805,84 kJ kg ' 1 (PP). Ostatní stavové veličiny tohoto stavu získáme z tabulek (případn odečteme z h-s diagramu): v 2 = 0,6691 m 3 kg'1, s2 = 7,1821 kJ kg ' 1K '1. (a) Výstupní rychlost

c 2 = p ( h 0 - h 2) = ^ 2 • (3 2 4 8 ,2 3 -2 8 0 5 ,8 4 )• 1000 = 940.63 m s' 1

(b) Výstupní průřez

A , = £L_^l - ^ 0,6691 _ ^ Cm 2 --------c2 940,63

(c) Rychlostní součinitel

(p =

d? = 32,97 mm

= yj 0,95 = 0,975

(d) Rychlost produkce entropie Šprod = m (s 2 - s n) = 1.2-(7 .1 8 2 1 -7 .1 2 9 ) 1000= 63,7 W K ' 1

E5 Do zužující se trysky vstupuje zanedbatelnou rychlostí vodní pára o stavu 600 kPa a 160 °C vystupuje z n í do prostředí o tlaku 300 kPa průřezem o velikosti plochy 10 cm2. Účinnos trysky je 0,93. Stanovte (a) výstupní rychlost, (b) hmotnostní tok a (c) rychlost produkce enl ropie. Řešení Stav vstupující páry je blízko stavu nasycení (tsat ph óoo kPa = 158,83 °C), proto se doporučuj uvažovat kritický tlakový poměr P = 0,576 (odpovídá k = 1,14). Vstupní statický a klidov stav jsou vlivem zanedbatelné vstupní rychlosti prakticky totožné.

Tlakový poměr protitlaku

p=— = = 0,5 < P* = 0,576 p 0 600 Proudění je ve výstupním průřezu okolozvukové (sonické, kritické). Výstupní tlak je tedy kritický tlak

p* = p* • po = 0,576 • 600 = 345,6 kPa

Stavové veličiny pro vstup hledáme v tabulce přehřáté páry nebo odečítáme v h-s diagramu: to s ti = 160 °C, po = pi = 600 kPa -> h 0 = 2759,02 kJ k g '1, s0 = s* = s2s = 6,7658 kJ k g 1K’1 Výstupní kritický stav při izoentropickém proudění je v oblasti mokré páry p 2 = p* = 345,6 kPa, s2s = 6,7658 kJ kg ' 1K "1 -> h2s = 2657,92 kJ k g '1, x2s = 0,966 Reálné proudění není izoentropické, skutečný výstupní stav získáme z účinnosti trysky: h 2 = h 0 - ti* •(h 0 - h 2s) = 2759,02 - 0,93 •(2759,02 - 2657,92) = 2665,00 kJ kg ' 1 Skutečný výstupní stav je také v oblasti mokré páry a je dán: p 2 = 345,6 kPa, h 2 = 2665 kJ kg ' 1 s2 = 6,7830 kJ kg ' 1K '1, v *2 = 0,5141 m 3 kg '1, x 2 = 0,969 (a) Výstupní rychlost

c 2 = c* = y 2 - ( h 0 - h 2) = ^ 2 -(2 7 5 9 ,0 2 -2 6 6 5 ) 1000 = 433.64 m s'1

aw i , , (b) Hmotnostní tok

• c* -A* 433,64-0,001 -i m = — ;— = ------------------ = 0.8435 kg s v2 0,5141

(c) Rychlost produkce entropie Šprod = m •(s 2 - s0) = 0,8435 •(6,783 -6 ,7 6 5 8 ) •1000 = 14.5 W K ' 1

E6 Klidový stav vodní páry proudící rychlostí 250 m s' 1je dán teplotou 300 °C a tlakem 800 kPa Určete (a) statickou entalpii, (b) statickou teplotu, (c) statický tlak a (d) statickou hustotu. Výsledek: (a) 3025,7 kJ kg ' 1 (b) 284,1 °C (c) 713,2 kPa (d) 3,093 kg m '3 70


entalpií jřípadně ms 7 mm

W K'

160 °C, Jčinnost kce ent-

»oručuje klidový

E7

Vodní pára o tlaku 1200 kPa a teplotě 300 °C protéká potrubím rychlostí 400 m s '1. Vypočtěte (a) rychlost zvuku a (b) stanovte charakter proudění. Výsledek: (a) 408,8 m s' 1 (b) Ma = 0,978; proudění je okolozvukové (mírně podzvukové) E8

Klidový stav vodní páry v nádobě je dán hodnotami klidového tlaku 2 MPa a klidové teploty 250 °C. Ve stěně nádoby je otvor, kterým pára vytéká do okolního prostředí. Stanovte (a) protitlak, při kterém pára vystupuje z otvoru ve stavu syté páry a (b) příslušnou výtokovou rych lost. / Výsledek: (a) 1,12 M Pa (b) 492 m s' 1 E9

Vodní pára o tlaku 2 MPa a teplotě 300 °C vytéká otvorem o průměru 15 mm do prostředí o tlaku 0,6 MPa. Určete výtokovou rychlost a hmotnostní tok. Výsledek: (a) 534,8 m s' 1 (b) 0,473 kg s’1 E 10 Navrhněte trysku pro expanzi vodní páry z tlaku 3 MPa a teploty 450 °C na tlak 0,5 MPa. Hmotnostní tok tryskou má být 4 kg s’1. Celá energie tlakového spádu se má přeměnit na ki netickou energii. Pokud bude vycházet Lavalova tryska, zvolte úhel rozevření nátrubku 10°. Výsledek: Lavalova tryska: d = 38,2 mm d 2 = 47,7 mm L = 54,3 mm Eli

Vodní pára o klidových parametrech 6 MPa a 400 °C vstupuje do Lavalovy trysky a vystupu je do protitlaku 0,1 MPa. Určete rychlost a teplotu v (a) kritickém a (b) výstupním průřezu. Výsledek: (a) 572,4 m s '1; 310,7 °C (b) 1270,7 m s '1; 99,6 °C; x = 0,8653 -amu: g ' K-'

E 12 Navrhněte trysku pro expanzi vodní páry z tlaku 5 MPa a teploty 450 °C na tlak 0,8 MPa. Hmotnostní tok tryskou má být 2 kg s '1. Celá energie tlakového spádu se má přeměnit na ki netickou energii. Pokud bude vycházet Lavalova tryska, zvolte úhel rozevření nátrubku 10°. Výsledek: Lavalova tryska: d = 20,7 mm d 2 = 26 mm L = 30,3 mm E 13

0,969

Vodní pára o tlaku 0,8 MPa a teplotě 300 °C vstupuje do Lavalovy trysky a expanduje na tlak 0,2 MPa. Rychlostní součinitel je 0,92. Vypočtěte (a) kritickou a (b) výstupní rychlost. Výsledek: (a) 503,9 m s' 1 (b) 722,1 m s‘! E 14

\ m s~

Určete (a) rychlostní součinitel, (b) kritickou a (c) výstupní rychlost u Lavalovy trysky, jestli že klidový stav vodní páry je dán tlakem 1 MPa a teplotou 400 °C. Na výstupu z trysky je tlak 0,1 MPa a teplota 160 °C. Výsledek: (a) 0,924 (b) 562,1 m s' 1 (c) 965,4 m s’1 E 15

;00 kPa. itU.

Navrhněte trysku pro expanzi přehřáté vodní páry o klidový parametrech: 0,8 MPa a 500 °C. Pára bude vytékat do prostředí o tlaku 0,1 MPa. Hmotnostní tok tryskou má být 2 kg s’1. Uva žujte s rychlostním součinitelem 0,95. Celá energie tlakového spádu se má přeměnit na kine tickou energii. Pokud bude vycházet Lavalova tryska, zvolte úhel rozevření nátrubku 5°. Výsledek: Lavalova tryska: d* = 55,2 mm d 2 = 76,8 mm L = 123,4 mm 71

Oběhy s ideálními plyny

F Oběhy s ideálními plyny 1ZT pro oběhy: W 0 = Qp + Q 0 (W 0 - práce oběhu, Qp - přivedené teplo, Q 0 - odvedené teplo Vztahy pro účinnosti přímých a obrácených oběhů jsou uvedeny v úvodu kapitoly C. Střední efektivní tlak oběhu

Pst.ef.

w„ v -v . m ax

min

Předpokládáme, že oběhy v této kapitole jsou sestaveny z vratných dějů (s výjimkou škrcei u parního chladírenského oběhu). Ačkoliv v průběhu některých oběhů pracovní látka mě: svoje chemické složení od palivové směsi na zplodiny spalování, její termofyzikální vlastnos se výrazněji nemění. \

V této kapitole při aproximaci modelem ideálního plynu zjednodušeně stále uvažujeme stálými hodnotami měrných tepelných kapacit Cp a cv (nezávislými na teplotě a tlaku), c< v případech větších teplotních nebo tlakových rozdílů u některých úloh je již méně přesn V těchto případech by spíše měly být používány tabelované hodnoty cp a cv a dalších souvis jících stavových funkcí (model poloideálního plynu). F 1 V Camotově oběhu mezi teplotami 300 °C a 30 °C je pracovní látkou vzduch. Maximální tl v oběhu je 2 MPa a minimální 150 kPa. p. Stanovte (a) stavové veličiny na konci p, každého děje, (b) práci oběhu a (c) tepelnou (termickou) účinnost. Řešení (a) Používáme Poissonovy vztahy a stavovou rovnici ideálního plynu

Stav 1: Pí = 2000 kPa. Ti = 300 + 273.15 = 573.15 K = r i = 2 8 7 ^ = 0 08224mJke, v, -------------2000000 Pi \ Stav 2 :

p2 = p 3

2

V T3

K_1

= 150-

(

573 15 ’

1,4 1,4-1

= 1394 kPa.

T 2 = Ti = 573.15 K

/

^ 2 8 7 - 5 7 3 , 1 5 . 0 1 1 8 0 m 3 ke-, V2 = ‘ p2 1394000 T^ = 3 0 + 273.15 = 303.15 K Stav 3: p 3 = 150 kPa. r j 3 287-303,15 n . . . . r-T 3l v 3 = ---- - = —^ ______— = 0,5800 m kg 150000 P3 Stav 4 :

ff 30 + 273,15 fT „'l ITi = 2000p4 = p, — li;J V300 + 273,15

1,4 1,4-1

r-T 4 287-303,15 . . . . . 3, v 4 = ---- i- = —^ 7 - ^ 7 - - 0,4043 m kg 215200 P4 (b) 1ZT pro oběh: w 0 = qp + q 0 Teplo přivádíme při: T 2 = Ti = 573,15 K

72

= 215.2 kPa.

T 4 = T 3 = 303.15 K


^ = q.: = r •T. ' ln — = 287 •573,15 •ln = 59377,4 J k g 1 p2 1394 Teplo odvádíme při: T 3 = T 4 = 303,15 K q0 = q34 = r •T3 •ln ■ ^ = 287 •303,15 •ln = -31402,6 J k g 1 p4 215,2 w0 = qP+ q0 = 59377,4 + (-31402,6) = 27974.8 J kg 1 (c) Tepelná účinnost Carnotova oběhu _ w 0 27974,8 0.471 = 47.1 % nebo také V qp ” 59377,4

tit

T

=1 + ^ = 1+ 314Q2’-6-= 0.471 q 59377,4

F2

Zážehový motor s ideálním oběhem má kompresní poměr 8 . N a začátku komprese je tlak pa livové směsi 100 kPa a teplota 1 7 °C. Do motoru je dodáváno 6 kg/min smě si. Spalováním při izochorické kom presi získává pracovní látka 800 kJ kg' 1tepelné energie. Určete (a) maximální teplotu a m aximální tlak v oběhu, (b) výkon motoru, (c) tepelnou účinnost a (d) střední efektivní tlak oběhu. Řešení (a) Maximální teplota a tlak je ve stavu 3. Změna 1-2: izoentropická komprese (bez sdílení tepla), kompresní poměr 8 = vi/v 2

= p, •eK= 100 •814 = 1837,9 kPa

P2 = Pi

t, = 17 °C

v V2 y /

N.K-1

T2 =T

= T, •e “ 1 = (17 + 273,15) •81,4' 1= 666,59 K

t 2 = 393,44 °C

Změna 2-3: přívod tepla při stálém objemu qp = q 23 = Au 23 = cv -(T 3 - T 2) T, = T, + — = 666 .59 + - ? 0-0-00 = 1781.57 K cv 717,5 T

1701

t 3 = 1508,42 °C

^7

p, = p, -3- = 1837.9 3 2 T, 666,59

4912.1 kPa ------ --------

Změna 3-4: izoentropická expanze (bez sdílení tepla) V1,4-1

T4 =T*3 vv4y í

P4 = P 3

= T, - | VE

= 1781 ,5 7 -1 -

\

P3 í - 1

= p,

T

1 T,

= 100 •

775 47 290,15

= 775,47 K

U = 502,32 °C

= 267,3 kPa

Změna 4-1: odvod tepla při stálém objemu q 0 = q 41 = Au41 = cv -(T, - T 4) q0= cv•(T, - T4) = 717,5 ■(290,15 - 775,47) = -348217,1 J k g 1

73


(b) Měrná práce oběhu plyne z 1ZT w 0 = q p + q 0 = 800000+ (-348217,1) = 451782,9 J kg ' 1 Výkon motoru

P = W 0 = m •w 0 = 0,1 •451,78 = 45,178 kW

(c) Termická účinnost

w 451 78 n-r = —- = -----:— = 0.565 = 56.5 % T q„ 800 -----

(d) Ze stavové rovnice ideálního plynu Střední efektivní tlak oběhu

Pst.ef.

v, = — — = ^87 290,15 _ q 0^27 rn 3 kg ' 1 1 p, 100000 W„

W„

451782,9

Vj - V j

v, •(l —1/ s)

0,8327 ( 1 - 1 /8 )

= 620 kPa

P oznám ka : V zhledem k velkému teplotnímu rozdílu během oběhu předpoklad o konstanti měrné tepelné kapacitě cv není splněn, což vede k méně přesným výsledkům. Lepší řešei vyžaduje např. použití tabelovaných hodnot respektujících závislost na teplotě. F3 Stanovte (a) práci oběhu a (b) tepelnou účinnost ideálního Ottova oběhu, jestliže kompresi poměr je 8,5 a stupeň zvýšení tlaku 3. Teplota vstupující palivové směsi je 55 °C. Řešení (a) Práce oběhu jako funkce kompresního poměru, stupně zvýšení tlaku a vstupní teploty

w 0 = c. •T, •( s * '1 -

1) •(n - 1) = 7 17.5 •(55 + 273.15) •( 8 . 514"1 - 1)•(3 - 1) = 637.5 kJ k g 1

(b) Tepelná účinnost jako funkce kompresního poměru r|T = 1—e1_ic = 1 - 8 , 51“1’4 = 0,575 = 57.5 % Oba předchozí vztahy jsou odvozeny např. v literatuře [5] a [8 ]. F4 Motor na bázi ideálního Dieselová oběhu má kompresní poměr 18 a stupeň plnění 2. Na 2 čátku komprese má vzduch T 3 teplotu 25 °C, tlak 100 kPa a jeho objem je 1200 cm3. Sta /v » = novte (a) teplotu a tlak vzdu 2 ”4 chu na konci každého děje, W0 / (b) práci oběhu, (c) tepelnou účinnost a (d) střední efektiv / \ q*' ní tlak oběhu. 1

Řešení (a) Změna 1-2: izoentropická komprese vzduchu, kompresní poměr s = V 1/V 2 / \ K í V v = p t •8 K= 100 •181’4 = 5720 kPa tj = 25 °C P2 =Pi = Pi vV2 , VV27 NK-l

T2 =T,

74

= Tx •s ""1 = (25 + 273.15)-181-4-1= 947.4 K

= T,

2/

vV2y

t 2 = 674,3 °C


/ =V 1 = 1200-— = 6 6 ,7 cm 3 2 'e 18

jněna 2-3: izobarický přívod tepla: p 3 = p 2 = 5720 kPa, qp = Ah23, stupeň plnění cp = V 3/V 2 r, = T? — = T, •cp = 947.4 •2 = 1894.8 K

t 3 = 1621,7 °C

^2 ^3 = V2 •(P = v i — = 1200 -— = 133,3 cm 3

s 18 |p= h3- h 2 = cp -(T3 - T 2) = 1004,5-(1894,8-947,4) = 951,7 kJ kg ' 1 měna 3-4: izoentropická expanze (s 3 = S4, a také platí V 4 = Vj) / \K 133,3 V '4 Yl = 5720= 263.9 kPa >4 =P 3 1200 r4 = t*3

'V

“"

= 1894,8-

133,3

\ 1,4-1

786.8 K

v 1200 j

vV4y

t 4 = 513,7 °C

[měna 4-1: izochorický odvod tepla: q 0 = AU41 l0 = u, - u4 = cv •(T, - T4) = 717,5 ■(298,15 - 786,8) = -350,6 kJ k g 1 b) Měrná práce oběhu plyne z 1ZT

w 0 = qp + q0 = 951,7 + ( - 3 5 0 ,6 ) = 601,1 kJ kg

Imotnost vzduchu

p, - V, 105 -0 ,0 0 1 2 nnrx, A . 1A m = —— 1 ------------------= 0,0014 kg = 1,4 g r-T, 287-298,15

Celková práce oběhu

W3 = m -w . = 0.0014-601100= 842.9 J

c) Termická účinnost

%

d) Střední efektivní tlak oběhu

Pstef

w 0 _ 601,1 _ = 0.632 = 63.2 % 951,7 ___ 842,9

-=743,7 kPa V j-V 2 _ (1 2 0 0 -6 6 ,7)-10 ~6

?5 Stanovte (a) práci oběhu a (b) termickou účinnost ideálního Dieselová oběhu, jestliže kom>resní poměr je 21 a stupeň plnění 1,9. Teplota vstupujícího vzduchuje 55 °C. lešení

a) Práce oběhu jako funkce kompresního poměru, stupně plnění, vstupní teploty a vlastností )lynu wo = c v • T! •[ eK_1 •K •(cp - 1)

+ 1 - q>K]

w =717.5-(55 + 273.15)-[211’4-| - 1 .4 - ( l.9 - l) + l - 1 .9 1'4] = 659.8 kJ k g 1 b) Termická účinnost jako funkce kompresního poměru a plnicího poměru = 0.658 = 65.8 % K((P-1)

■ -

1,4 •(1,9 — 1)

3ba předchozí vztahy jsou odvozeny např. v literatuře [5] a [8 ].

75


Soustrojí plynové turbíny s Braytonovým oběhem má tlakový poměr 7,5. N a vstupu do kom presoru je teplota vzduchu 30 °C, na vstupu do turbíny je jeho teplota 1000 °C. Určete (a) teplotu vzduchu za kompresorem a teplotu spalin za turbínou, (b) po měr technické práce kompresoru a turbíny, (c) termickou účinnost a (d) teplotní poměr oběhu (Tmax/Tmjn). Řešení Soustrojí je tvořeno: kompresorem (1-2), spalovací komorou (2-3), tur bínou (3-4). Oběh je většinou uza vřen prostředím atmosférického vzduchu (4-1) (tzv. otevřený oběh). v2 Pracovní látku považujeme za ideální plyn.

(a) Změna 1-2: izoentropická komprese v kompresoru (ti = 30 °C, Ti = 303,15 K) í

P2

K-l

\

K-l

1+1

= Tr n K = 303,15-7,5 1,4’ = 539.1 K

t 2 = 266 °C

Změna 3-4: izoentropická expanze v turbíně (t3 = 1000 °C, T 3 = 1273,15 K) /

t 4= t3

K_*

\

K-l

K

P 4 =

TJ3 -

r n

k -1

1,4-1

= T3 - r ť K =1273,15-7,5 M = 7 1 5 .9 K

t4 = 442,8 °C

I p 3J (b) Izoentropická práce kompresoru a turbíny plynou z druhého tvaru 1ZT (q = 0) wkorap = w tl2 = -A h ,2 = h , - h 2 = c p (T, - T 2) = l 004,5• (3 0 3 ,1 5 -5 3 9 ,l) = *237,0kJ k g 1 W
= -A h 34 = h 3 - h 4 = cp •(T 3 - T4) = 1004,5 •(1273,15 - 715,9) = 559,7 kJ kg ' 1

Výsledná měrná práce oběhu

w 0 = w turb + Wkomp = 559,7 - 237 = 322,7 kJ kg ' 1

Poměr kompresní a expanzní tlakové práce

r=

w kom p

237

w turb

559,7

= 0.423

(c) Teplo dodávané pracovní látce spalováním ve spalovací komoře při konstantním tlaku qP= q23= c p - ( t 3- t 2) = i 0 0 4 ,5 •( 1273,15 - 539 , 1) = 737,3 k j k g 1 Teplo odváděné do okolního prostředí po výstupu spalin z turbíny q0 = q4>= cp •(T, - T4) = 1004,5 •(303,15 - 715,9) = -414,6 kJ k g 1

Termická účinnost

(d) Teplotní poměr oběhu

76

w 322 7 riT = —- = = 0.438 = 43.8 %

qP 737,3

Tmin.

T.1

303,15 7


(b) S regenerací Teplota spalin za turbínou T 4 je vyšší než teplota vzduchu T 2 za kompresorem. Je možné využít z tepla q4i jeho část qreg na ohřev vzduchu vystupujícího z kompresoru. Ideální - teoretické - regenerační teplo qreg = cp •|T4 - T21= 1004,5 •(658,2 - 549,2) = 109,5 kJ/kg Tím lze snížit potřebné dodávané teplo -1 qP-r= q23 - qreg = 687 - 109,5 = 577,5 k j k g Zároveň se sníží teplo (absolutní hodnota) odváděné do okolí q - . = - ( l q . , | - q . t ) = - ( 3 6 6 . 7 - 1 0 9 . 5 ^ -257.2kJkg-1 Práce oběhu

w

=q

+ q 0.r = 577,5 - 257,2 = 320.3 k j kg ' 1

Termická účinnost s regenerací

je nezměněna!

w„ Tlx-res =

320 3 = T ^ T T = 0,554 = 55,4% qp-r 577,5

F9 Oběh plynové turbíny se dvěma stupni komprese a dvěma stupni expanze má celkový tlakový poměr 7,5. Vzduch vstu puje do každého stupně kompresoru s teplotou 30 °C a uobou stupňů turbíny je na vstupu teplota 1000 °C. Pro dvoustupňovou kompresi s mezichlazením a expanzi s přihříváním volte vždy optimální hodnoty mezitlaků. Určete (a) poměr kompresní a expanzní práce a (b) termickou účin nost oběhu. Řešení Při dvoustupňové kompresi a expanzi se dosáhne maximální efekt, jestliže oba stupně kompresoru a turbíny mají vždy stejný tlakový poměr dle vztahů:

P2/P 1 = P 4/P 3 = P 5/P 6 =Vi / Vs = V n

2,739

Vzduch vstupuje do obou stupňů kompresoru při stejné teplotě, proto teploty a entalpie kompresním stupněm jsou též vždy stejné Ti = T 3 -» hi = h 3, T 2 = T 4 —> h 2 = h4. Podob poměry platí i pro dvoustupňovou expanzi v turbíně Ts = T 7 - > h 5 = h7, T 6 = T g - > h 6 = h 8. Práce dodávaná v obou stupních kompresoru je tak stejná w ti2 = w t34 a podobně jsou stej práce získané v obou stupních turbíny w t56 = wt78. Teploty za kompresními stupni plynou z Poissonových vztahů (Ti = 30 + 273,15 = 303,15 B K-l

Pi

V

k

\,4 - \ 1,4 _

= 303,15-2,739 14 = 404,3 K vP2 j Podobně získáme teploty za expanzními stupni v turbíně (T 5 = 1000 + 273,15 = 1273,15 K K-l t 2 = t 4 = t,

1,4-1

T6 = Tg = Ts — 1 Ps

78

= 1273,15/2,739 M = 954,7 K


přesní práce (obou stupňů) = 2 •(-A h 12) = 2 •cp •(T, - T2) = 2 ■1004,5 ■(303,15 - 404,3) = -203,1 kJ k g 1 nzní práce (obou stupňů) =2 •(-A h 56) = 2 •cp •(Ts - T6) = 2 •1004,5 •( l 273,15 - 954,7) = 639,7 kJ k g 1

Dměr kompresní a expanzní práce

|w I 203 1 r = 1■'~k1= — — = 0,318 = 31,8 % w t_t 639,7

¡oběhu w o = w M+ w lk = 6 3 9 ,7 -2 0 3 ,1 = 436,6 kJ kg'1 ) dodávané pracovní látce q45+q67 = c p ( t 5 - t 4) + cp .( t 7 - t 6) = cp ( t 5 - t 2 + t 5 - t 6) 1004,5 •(1273,15 - 404,3 +1273,15 - 954,7) = 1192,7 kJ kg 1 w 436 6 = —- = -------— = 0,366 = 36,6 % qP H 92,7 vnání s jednostupňovou kompresí a expanzí ukazuje, že dvoustupňová komprese s meazením a dvoustupňová expanze s přihříváním zlepšuje poměr kompresní a expanzní : (pokles), avšak na druhé straně zároveň snižuje termickou účinnost oběhu! ermická účinnost

tu

ím je pracovní látkou v Camotově obráceném oběhu. Přijímá teplo z vychlazovaného oru při teplotě -250 °C a odevzdává jej okolí při teplotě -100 °C. Maximální tlak v oběhu 0 kPa a minimální 80 kPa. Stanovte (a) měrné teplo přijímané z vychlazovaného prostoru mé teplo odváděné do okolí, (b) dodávanou měrnou práci oběhu, (c) chladicí efekt a fekt tepelného čerpadla. edek: (a) 4191 J k g '1; -31344 J kg"1 ( b ) -27154 J k g 1 (c) 0,154 (d) 1,154

ačátku komprese v ideálním oběhu zážehového motoru jsou tlak a teplota palivové směsi ďa a 20 °C. Kompresní poměr je 6,5. Maximální tlak oběhu je 4 MPa. Stanovte (a) ma.lní teplotu, (b) hustotu v horní úvrati, (c) měrné teplo přiváděné hořením pracovní látce, ipelnou účinnost a (e) střední efektivní tlak oběhu. edek: (a) 1804 K (b) 7,726 kg nť3 (c) 849,6 kJ k g '1 (d) 52,7 % (e) 629 kPa

rová směs o tlaku 98 kPa a teplotě 5 °C vstupuje do ideálního zážehového motoru. Spo. palivové směsi je 540 kg hod'1, výkon dodávaný motorem je 65 kW a tepelná účinnost ). Určete (a) maximální teplotu, (b) maximální tlak, (c) kompresní poměr, (d) maximální )tu pracovní látky a (e) střední efektivní tlak oběhu. edek: (a) 1751,8 K (b) 3,672 MPa (c) 5,95 (d) 7,304 kg m '3 (e) 639,4 kPa

ú jednotka s Dieselovým oběhem poskytuje měrnou práci oběhu 550 kJ na kilogram ichu jako pracovní látky. Nasávaný vzduch při tlaku 100 kPa má teplotu 15 °C. Maximálplota ve válci je 1778 °C. Určete (a) kompresní poměr, (b) stupeň plnění, (c) termickou nost a (d) střední efektivní tlak ve válci při oběhu, edek: (a) 17,91 (b) 1,946 (c) 63,3 % (d) 704 kPa

79


F 14 Vznětový motor má kompresní poměr 20. Na počátku komprese má vzduch teplotu 20 °C a tlak 100 kPa. Během oběhu byl naměřen maximální tlak 6629 kPa. Stanovte (a) stupeň plnění, (b) měrnou práci oběhu, (c) termickou účinnost oběhu a (d) střední efektivní tlak oběhu. Výsledek: (a) 2,20 (b) 747,2 kJ kg'1 (c) 63,8 % (d) 935 kPa F 15 Oběh zážehového motoru má kompresní poměr 8, oběh vznětového motoru má stupeň plnění 2. V obou motorech m á pracovní látka na vstupu teplotu 20 °C. Stanovte (a) kompresní poměr vznětového motoru tak, aby termické účinnosti obou motorů byly stejné, (b) měrnou práci oběhu zážehového motoru a (c) měrnou práci oběhu vznětového motoru. Výsledek: (a) 11,865 (b) 545,8 kJ k g '1 (c) 447,3 kJ k g '1

F 16 Plynová turbína jako záložní zdroj energie pracuje s otevřeným Braytonovým oběhem. Atmo sférický vzduch má tlak 96 kPa a teplotu 16 °C. Spaliny vstupující do turbíny mají teplotu 1030 °C. Termická účinnost soustrojí je 50 %. Stanovte (a) teploty pracovní látky po výstupu z kompresoru a z turbíny, (b) poměr práce kompresoru a turbíny, (c) pracovní tlak ve spalo vací komoře, (d) měrné teplo dodané oběhu spalováním, (e) měrné teplo odváděné do okolí a (í) měrnou práci oběhu. Výsledek: (a) 578,8 K - za kompresorem, 651 K - za turbínou (b) 0,444 (c) 1,112 MPa (d) 727,6 kJ k g 1 ( e ) -363,5 kJ k g 1 (f) 364,1 kJ k g 1 F 17 Pracovní látkou v Braytonově oběhu je vzduch a spaliny. Vzduch vstupuje do kompresoru s tlakem 102 kPa a teplotou 10 °C. Teplotní poměr je 3,5. Poměr kompresní a expanzní práce je 0,5. Stanovte (a) teploty plynů za kompresorem a za turbínou, (b) měrnou práci oběhu, (c) tlakový poměr a pracovní tlak ve spalovací komoře, (d) měrné teplo dodávané spalováním, (e) měrné teplo odváděné do okolí a (f) termickou účinnost oběhu. Výsledek: (a) 478,0 K - za kompresorem; 546,3 K - za turbínou (b) 205,8 kJ k g '1 (c) tlakový poměr 7,09; pracovní tlak 723,2 kPa (d) 480,2 kJ k g '1 (e) -274,4 kJ k g 1 (f) 42,9 % F 18 Vzduch vstupuje do kompresoru plynového chladicího zařízení při teplotě -10 °C a tlaku 100 kPa a je stlačován na tlak 1 MPa. Teplota plynu před turbínou je 30 °C. Vypočtěte (a) minimální teplotu dosahovanou během oběhu, (b) maximální teplotu dosahovanou bě hem oběhu, (c) měrné teplo odebrané vychlazovanému prostoru a (d) chladicí efekt. Výsledek: (a) -116 °C (b) 235 °C (c) 106 kJ k g '1 (d) 1,07 F 19 Pracovní látkou zážehového motoru je vzduch. Motor má kompresní poměr 8. N a počátku komprese je tlak 95 kPa a teplota 27 °C. Izochorickým spalováním paliva se dodává teplo 750 kJ kg' . Stanovte na konci izochorické změny (a) tlak a (b) teplotu. Dále určete (c) měr nou práci oběhu (motoru) a (d) tepelnou účinnost. Výsledek: (a) 4,39 M Pa (b) 1461,4 °C (c) 423,4 kJ k g '1 (d) 56,5 % F 20 Kolika stupňový je kompresor, jsou-li parametry nasávaného vzduchu 0,098 MPa a 20 °C. Tlak vystupujícího vzduchuje 15 MPa. Teplota stlačeného vzduchu nesmí překročit 160 °C? Výsledek: 4

80

Oběhy s reálnými plyny

G Oběhy s reálnými plyny -

párou

Gl Parní elektrárna pracuje sjednoduchým Rankinovým oběhem. Pára vstupuje do turbíny s tlakem 2,5 MPa a teplotou 340 °C a kondenzuje v kondenzátoru při tlaku 45 kPa. Stanovte (a) práci turbíny a čerpadla, (b) teplo dodané v parním generátoru, teplo odvedené v konden zátoru a (c) termickou účinnost oběhu. Řešení Pracovní látka vystupuje z kondenzátoru a vstupuje do čerpadla (1) jako sytá kapalina o tlaku 45 kPa.

(a) Z tabulek mokré a přehřáté páry nebo z h-s diagramu určíme stavy Stav 1: SK: pi = 45 kPa: h, = 329,55 kJ kg'1, vi = 0,001028 m 3 kg '1, s. 1,0601 kJ k g 1K '1 Stav 2 : KAP: p2 = 2500 kPa, s2 = si = 1,0601 kJ k g^K '1, kapalina je téměř nestlačitelná, pro to budeme předpokládat, že V] s v2 Zrn. 1-2: izoentropická komprese (bez sdílení tepla) syté kapaliny w te = w čerp = -Ahi2 = hi - h2 Práci čerpadla lze vyjádřit také z definice (uvažujeme nestlačitelnost kapaliny) 2

W čerp

- j v •dp = - v , (p 2 - p ,) = -0,001028 •(2 5 0 0 -4 5 ) = -2.524 kJ kg'

Sloučením předchozích rovnic: h2 = hi - wtó = 329,55 -(-2 ,5 2 4 ) = 332,1 kJ kg' Stav 3: PP: p3 = 2500 kPa, t3 = 340 °C: h3 3104,0 kJ k g '1, s3 = 6,8052 kJ k g^K '1 Stav 4: MP: p4 = p, = 45 kPa, s4 = s3 = 6,8052 kJ k g^K '1 S4 - S 4 6,8052-1,0601 = 0,8746 *4 = S4 - S 4 7,6288-1,0601 h 4 = h'4 + x 4 •(h 4 - h 4) = 329,55 + 0,8746 •(2 6 4 0 ,8 6 -3 2 9 ,5 5 ) = 2351,0 kJ kg'1 Práce turbíny Práce oběhu

w tt = w turb = w t34 = -Ah34 = h3- h 4 = 3 1 0 4 -2 3 5 1 = 753 kJ k g '1 = 7 5 3 -2 ,5 2 4 = 750,5 kJ k g '1 W o = W , u r b + W éerp w čerp

2,524

= 0.00335 = 0.33 % w turb 753 Práci čerpadla v Rankinově oběhu často neuvažujeme, protože je relativně malá. = q :: = h 3- h , = 3 1 0 4 -3 3 2 .1 = 2771.9 kJ k g '1 (b) Teplo dodávané v generátoru Poměr práce čerpadla a turbíny

r =

Teplo odváděné do okolí

q0 = q41 = h, - h 4 = 329,55 -2 3 5 1 = -2021,5 kJ kg

(c) Termická účinnost oběhu

w 750 5 riT = —- = ------— =0.271 =27.1 % T q 2771,9

G2 Parní elektrárna pracuje s ideálním Rankinovým oběhem s přihříváním. Pára vstupuje do vysokotlakého stupně turbíny o tlaku 17,5 MPa a teplotě 550 °C, za turbínou expanduje na nižší tlak p4 = ps, při kterém dochází k přihřívání páry na tep lotu 5 50 °C. N ásleduje expanze d o s tavu s t lakem 1 0 k P a a suchostí 0,9. Stanovte (a) tlak, při kterém probíhá přihřívání, (b) termickou účinnost oběhu a (c) měrné práce obou stupňů turbíny.

81


Řešení (a) Pro stanovení přihřívacího tlaku p 4 = ps vyjdeme ze stavu 6 za turbínou. Stav 6 : MP, dán tlakem v kondenzátoru a suchostí páry: p 6 = 10 kPa, x = 0,9: s6 = 7,3989 kJ k g 1K '1, h^ = 2344,68 kJ k g 1 Stav 5: PP, určen teplotou ts a izoentropickou podmínkou v nízkotlakém stupni S5 = S6: t 5 = 550 °C, s5 = s6 = 7,3989 kJ k g 1K '1: p 5 = 2866,0 kPa, h 5 = 3570,85 kJ k g 1 Stav 1: SK, pi = 10 kPa: si = 0,6492 kJ kg 1K"1, hi = 191,81 kJ k g '1, vi = 0,00101 m 3 k g ' Stav 2 : K: P2 = 17,5 MPa, S2 = si = 0,6492 kJ kg^K '1: wti2 = - v r( p 2 - p i ) = -A h i 2 = hi - h 2 h 2 = hi + v r (p 2 - pi) = 191,81 + 0,00101-(17500 - 10) = 209,5 kJ kg ' 1 Stav 3: PP, p 3 = p 2 = 17,5 MPa, t 3 = 550 °C: h 3 = 3423,7 kJ k g '1, s 3 = 6,4266 kJ kg ' 1 K ' 1 Stav 4 : PP, p 4 = ps = 2866 kPa, s4 = s3 = 6,4266 kJ kg ' 1K ' 1:114 = 2919,69 kJ kg ' 1

Teplo dodávané je tvořeno hlavní částí q 23 a přihřívacím teplem q 45 qp = q 23 + q 45 = (h 3 - h 2) ■+(h 5 - h 4) = 3423,7 - 209,5 + 3570,85 - 2919,69 = 3865,36 kJ kg ' 1 Odvedené teplo

q 0 = q 61 = h, - h 6 = 1 9 1 ,8 1 -2 3 4 4 ,6 8 = -2152,87 kJ kg ' 1

(b) Termická účinnost oběhu

r|T = — = —— — = 1+ — = 1+ ^152,87 = 0,443 = 44,3 % qP qP qP 3865,36 (c) Práce vysokotlakého stupně turbíny = h 3 - h 4 = 3 4 2 3 ,7 - 2 9 1 9 ,6 9 = 504,01 k J k g * Práce nízkotlakého stupně turbíny w turbni2k = h s - h 6 = 3 5 7 0 ,8 5 - 2344,68 = 1226,17 kJ kg ' 1 G3 Chladnička pracuje jako ideální parní chladicí oběh mezi tlaky 140 kPa a 800 kPa, kde je používáno chladivo R134a. Hmotnostní tok chladiva v chladničce je 0,05 kg s '1. Sta novte (a) tepelný tok odváděný z vychlazovaného prostoru (výpamíku), (b) tepelný tok odváděný v kondenzátoru, (c) příkon kompresoru, (d) chladicí efekt a efekt tepelného čerpadla, které by mohlo pracovat s tímto oběhem a (e) produkci měrné entropie při škrcení 3-4.

Řešení V ideálním parním chladicím oběhu vstupuje chladivo do kompresoru jako sytá pára při stej ném tlaku jako je ve výpamíku.

Stav 1: Stav 2 : Stav 3: Děj 3-4: Stav 4 :

82

SP, Xi = 1, pi = 140 kPa: v tabulce mokré páry pro chladivo R134a ti = -18,8 °C, hi = 236,04 kJ kg'1, st = 0,9322 kJ kg ' 1K ' 1 PP, p 2 = 800 kPa, s2 = sj = 0,9322 kJ kg ' 1K '1: h 2 = 272,05 kJ k g '1, t 2 = 38,5 °C SK, p 3 = p 2 = 800 kPa: h 3 = 170,73 kJ kg'1, t 3 =31,3 °C, s 3 = 0,3459 kJ kg ' 1K ' 1 je škrcení při průchodu chladiva kapilární trubicí konstantního průřezu —» entalpiesi nemění h 3 = I14 = 170,73 kJ kg ' 1 p 4 = pi = 140 kPa, Li = h 3 = 170,73 kJ kg '1: x4 = 0,6894, t 4 = ti = -18,8 °C, s4 = 0,6754 kJ kg ' 1K ' 1


(a) Teplo odváděné z vychlazovaného prostoru je dodávané pracovní látce Qp= q4. = h, - h 4 = 236,04 -1 7 0 ,7 3 = 65,31 kJ kg 1 Ór = m q r = 0,05-65,31 = 3.265 kW (b) Teplo odváděné kondenzátorem do okolního prostředí q0= q23 = h3 " h 2 = 170,73 - 272,05 = -101,32 kJ k g '1 0. = m q . = -0.05-(-101,32)= -5.066 kW Práce oběhu (a zároveň příkon kompresoru, protože h3 = lu) wo= qp + qo = h, - h 4 + h 3 - h 2 = h, - h 2 = 236,04 - 272,05 = -36,01 kJ k g '1 Ptomp = < mp = m •w 0 = 0,05 •(-3 6 ,0 1 ) = -1,8 kW

Chladicí efekt

s„k = t-^- t= = 1,813 ch |w 0| 36,01 -----

V případě, že tepelné čerpadlo využije tento oběh, efekt tepelného čerpadla bude e, = — =

w0

-36,01

2,813

nebo ze vztahu

et

= l + s rh = l + l,813 = 2,813

(e) Produkce měrné entropie při škrcení - změna 3-4 S s 34 = - s3 Sprod = ~A ^ S34 = s4 S4 ~ S3 = 0,6754 - 0,3459 = 0.3295 kJ k g V G4

Zvýšení účinnosti Rankinova oběhu lze dosáhnout zařazením regenerá toru, jehož součástí je směšovací komora (SK). Vodní pára vstupuje do turbíny (T) při tlaku 2 MPa a teplotě 600 °C. Tlak v kondenzátoru (K) je 10 kPa. Část expandující páry v turbíně je při tlaku 200 kPa odkloněna do regenerátoru (SK), kde je směšována s napájecí vodou vystupující z kondenzátoru (K) a použita na její předehřátí. Stanovte (a) jaká část páry v turbíně je určena pro předehřívání vody, (b) měrnou práci turbíny a (c) termickou účinnost oběhu s regenerátorem. Řešení

Z parních tabulek (případně z h-s diagramu) zjistíme potřebné stavové veličiny. Stav 1: pi = 10 kPa, xi = 0 —> hi = 192 kJ kg'1 £ h2 Stav 3: p3 = 2000 kPa, t3 = 600 °C -> h3 = 3690 kJ kg'1, s3 = 7,7032 kJ kg^K '1 Stav 4: p4 = pi = 10 kPa, s4 = s3 = 7,7032 kJ kg^K '1-> tu = 2442 kJ kg'1 Stav 5: p5 = 200 kPa, s5 = s3 = 7,7032 kJ kg^K '1 -> h5 = 2968 kJ kg'1 Optimálního regeneračního ohřevu směšováním se dosahuje, když napájecí voda po předehřívání je právě sytá (6), tj. její stav je na dolní mezní křivce: Stav 6: pó = 200 kPa, X6 - 0 —> h6 = 505 kJ kg'1 s I17 (a) Pro směšovací komoru regenerátoru použijeme zákon zachování hmotnosti: m6 = m 5 + m 2 83


1ZT: m 6 -h6 = m 5 -h5+ m 2 -h 2 Spojením obou vztahů vyjde hledaný podíl páry v turbíně určený pro regenerační ohřev m1 = l y I h 3_= 5 0 5 -1 9 2 n m 6 h 5 - h 2 2 9 6 8 -1 9 2 — ---(b) Měrná technická práce turbíny , _ ,. _+J_^rh2 . •(h 5 - h 4) = 3690 - 2968 + (l - 0,1128)(2968 - 2442) = l ^ l d k g ' 1 w tt = h3 3 - h5 5 m6 (c) Dodané měrné teplo q p = h 3 - h 7 = 3690 - 505 =3185 kJ kg -i Termická účinnost oběhu Protože wtt »

w w 1189 n-r = —- = ——= ------ = 0,3733 = 37,3% qP qP 3185

| wtí | (viz G l), při výpočtu účinnosti oběhu jsm e wte zanedbali a w0 = wtt.

G5 Parní elektrárna pracuje s ideálním Rankinovým oběhem. Vodní pára vstupuje do turb s tlakem 4 MPa a teplotou 300 °C a kondenzuje v kondenzátoru při tlaku 10 kPa. Stáno (a) termickou účinnost elektrárny, (b) termickou účinnost, jestliže pára je přehřátá na tepl 600 °C, (c) termickou účinnost, jestliže pracovní tlak v kotli je zvýšen na 15 kPa a teplota vstupu do turbíny je 600 °C, (d) termickou účinnost, jestliže tlak v kondenzátoru je snížen 4 kPa a na vstupu do turbíny je stav 15 kPa MPa a 600 °C. Výsledek: (a) 34,1 % (b) 38,4 % (c) 43,0 % (d) 45,2 % G6 Uvažujte Rankinův oběh s přihříváním. Vodní pára vstupuje do vysokotlakého stupně při t ku 15 MPa a teplotě 600 °C. Za turbínou v kondenzátoru je tlak 10 kPa. Teplo přivedené přihřívání zvyšuje teplotu páry na 550 °C. Požaduje se, aby suchost páry na výstupu z n kotlakého stupně turbiny byla 89 %. Stanovte (a) tlak za vysokotlakým stupněm pro přihřn ní, (b) výstupní teplotu vysokotlakého stupně, (c) práce získané ve vysokotlakém v nízkotlakém stupni a (d) termickou účinnost oběhu. Výsledek: (a) 3,324 M Pa (b) 350,8 °C (c) 476 kJ kg'1 vysokotlaký stupeň; 1246 kJ k g '1 nízkotlaký stupeň (d) 44,5 % G7 Řešte příklad G3 pro parní chladicí oběh pracující s chladivém R12. Výsledek: (a) 2,227 kW (b) -3,766 kW (c) -1,539 kW (d) ech = 1,447; et = 2,447 (e) 0,448 kJ k g ^K '1

G8 Rankinův oběh parní turbíny funguje mezi tlaky 10 kPa a 2 MPa. Maximální teplota vod páry je 400 °C. Stanovte (a) maximální teoretickou měrnou práci turbíny, (b) termickou účin nost oběhu a (c) vypočtěte měrnou práci dodávanou čerpadlem napájecí vodě a porovnejte s měrnou prací získanou v turbíně. Výsledek: (a) 989 kJ k g '1 (b) 0,323 (c) w č = 2 kJ kg'1 « wt = 989 kJ k g '1 G9 Jaké budou hodnoty (a) získané měrné práce a (b) termické účinnosti oběhu z předchozí! příkladu, zvýší-li se pracovní tlak v parním generátoru na 4 MPa. Ostatní parametry se » změní. Jaké procentní změny to bude znamenat. Výsledek: (a) 1070 kJ kg'1 - zvýšení o 8,2 % (b) 0,354 - zvýšení o 9,6 %

84


udou hodnoty (a) získané měrné práce a (b) termické účinnosti oběhu z příkladu G8, i se maximální teplota páry na 600 °C. Ostatní parametry se nezmění. Jaké procentní to bude znamenat. ek: (a) 1248 kJ kg'1 - zvýšení o 26,2 % (b) 0,357 - zvýšení o 10,4 %

udou hodnoty (a) získané měrné práce a (b) termické účinnosti oběhu z příkladu G8, se tlak v kondenzátoru na 4 kPa. Ostatní parametry se nezmění. Jaké procentní změny ; znamenat. ek: (a) 1101 kJ kg'1 - zvýšení o 11,3 % (b) 0,352 - zvýšení o 9,0 %

udou hodnoty (a) získané měrné práce a (b) termické účinnosti oběhu z příkladu G8, i se pracovní tlak v parním generátoru na 4 MPa, zvýší-li se maximální teplota páry na a sníží-li se tlak v kondenzátoru na 4 kPa. Jaké procentní změny to bude znamenat, ek: (a) 1454 kJ k g '1 - zvýšení o 47,0 % (b) 0,409 - zvýšení o 26,6 %

ostní tok vodní páry turbínou je 50 kg s '1. Pára vstupuje do turbíny s tlakem 4 MPa a u 450 °C. Po částečné expanzi ve vysokotlakém stupni turbíny na tlak 400 kPa je při tlaku přihřívána na teplotu 250 °C. Expanzí se v nízkotlakém stupni turbíny sníží tlak í a . Stanovte (a) teoretickou termickou účinnost turbíny a (b) výkon turbíny, ek: (a) 34,8 % (b) 57,75 kW

pára vstupuje s tlakem 3 MPa a teplotou 400 °C do turbíny o výkonu 40 MW. Po čásxpanzi ve vysokotlakém stupni turbíny na tlak 400 kPa je při tomto tlaku přihřívána na 350 °C. Pára pak expanduje v nízkotlakém stupni na tlak 30 kPa. Stanovte (a) měrnou .irbíny, (b) termickou účinnost oběhu a porovnejte je s případem bez přihřívání (expan'čátečního stavu na 30 kPa). Určete (c) hmotnostní tok páry. lek: (a) 1035 kJ kg'1 - bez přihřívání 532 kJ k g '1 (b) 30,4 % - bez přihřívání 17,8 % (c) 38,6 kg s"1 lostní tok čpavku v chladicím zařízení je 0,5 kg s '1. Uvažujeme, že pracuje s ideálním i chladicím oběhem mezi teplotami -20 °C ve výpamíku a 24,91 °C v kondenzátoru. te (a) chladicí výkon (teplo odvedené z chlazeného prostoru za jednotku času), (b) práivanou kompresorem a (c) chladicí efekt, lek: (a) 560 kW (b )-1 2 0 k W (c) 4,68

lostní tok chladiva R134a v chladicím zařízení je 0,5 kg s '1. Uvažujeme, že pracuje ním parním chladicím oběhem mezi teplotami -20 °C ve výpamíku a 39,39 °C enzátoru. Stanovte (a) chladicí výkon, (b) výkon kompresoru a (c) chladicí efekt, lek: (a) 65 kW (b) -21 kW (c) 3,1

lostní tok čpavku v tepelném čerpadle je 0,5 kg s*1. Uvažujeme, že pracuje na základě ho parního chladicího oběhu mezi teplotami -20 °C ve výpamíku a 24,91 °C enzátoru. Stanovte (a) topný výkon tepelného čerpadla (teplo dodané za jednotku ča) práci dodávanou kompresorem a (c) efekt tepelného čerpadla (topný efekt), lek: (a )-680 kW (b )-1 2 0 k W (c) 5,68

85


G 18 Hmotnostní tok chladiva R134a v tepelném čerpadle je 0,5 kg s '1. Uvažujeme, že pracuje i základě ideálního parního chladicího oběhu mezi teplotami -20 °C ve výpamíku a 39,39 c v kondenzátoru. Stanovte (a) topný výkon tepelného čerpadla, (b) práci dodávanou kompres^ rem a (c) efekt tepelného čerpadla. Výsledek: ( a ) -85,92 kW ( b ) -20,92 kW (c) 4,11 G 19 Elektrárna získává výkon kombinací Braytonova oběhu plynové turbíny a Rankinova parní! oběhu. Vzduch o teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa vstupuje do kompresoru plynového oběhu (1 jehož tlakový poměr je 5. Teplota spalin před plynovou turbí nou (3) je 850 °C. Expandované spaliny z plynové turbíny (4) mají ještě značně vysokou teplotu a jsou zdrojem tepelné ener gie pro výrobu vodní páry pro parní turbínu. Výměna tepla probíhá ve velkém výměníku - parním generátoru. Výstupní teplota spalin po předání tepla (5) je 79 °C. Vyráběná pára o hmotnostním toku 100 kg s '1 má tlak 4 MPa, její teplota před parní turbínou (8) je 400 °C. Tlak v kondenzátoru parní turbíny (6) je 10 kPa. Vypočtěte (a) výkon parní turbíny, (b) hmotnost ní tok plynů v plynové turbíně, (c) výkon plynové turbíny, (d) příkon kompresoru plynového oběhu a (e) termickou účinnost kombinovaného oběhu. Výsledek: (a) 107 M W (b) 841,6 kg s' (c) 348 MW (d) -146 M W (e) 0,564 G 20 Uvažujte ideální parní chladicí oběh, v němž je chladivém čpavek. Teplota chladiva ve výpai niku je -20 T a v kondenzátoru 40 °C. Hmotnostní tok chladiva je 3 g s '1. Stanovte (a) chl:

dici efekt, (b) chladicí výkon ( Qp) a příkon chladicího zařízení ( W0). Výsledek: (a) 3,28

(b )3 ,1 4 k W

( c ) -0,957 kW

G 21 Stanovte (a) výkon Rankinova oběhu, jehož pracovní látkou je vodní pára. Tlak na výstup z parního generátoru je 2 MPa a vystupující pára je právě sytá. Tlak v kondenzátoru j lOkPa. Parní generátor v yrábí 300 kg páry za hodinu. Určete (a) výkon oběhu, dále teplo které je třeba (b) dodat a (c) odvést za jednu hodinu. Výsledek: (a) 66 kW (b) 781710 kJ hoď 1 (c) -544710 kJ h o ď 1 G 22 Rankinův oběh s přihříváním má na výstupu z generátoru přehřátou vodní páru o teplotí 600 °C a tlaku 15 MPa. Tlak v kondenzátoru je 10 kPa. Za turbínou na vstupu do kondenzáte ru je 10,4 % páry zkondenzováno. Stanovte (a) tlak, při kterém probíhá přihřívání, měrné tep lo dodané (b) před vstupem do turbíny a (c) během přihřívání, (d) měrné teplo odvecfo v kondenzátoru a (e) hmotnostní tok páry, je-li výkon oběhu 5 MW. Výsledek: (a) 4 M Pa (b) 3375 kJ k g '1 (c) 520,1 kJ kg'1 (d) -2144 kJ k g '1 (e) 2,855 kgs G 23 Parostrojní zařízení pracuje podle Rankinova cyklu mezi tlaky 3920 Pa a 9,8 MPa. Teplo! vodní páry před vstupem do turbíny je 530 °C. Určete (a) termickou účinnost cyklu a poroi nejte ji s (b) účinností Camotova cyklu pracujícího mezi stejnými teplotami. Výsledek: (a) 42,9 % (b) 62,4 %

86

Fázové změny

azove změny ou změnu popisuje Clapeyronova rovnice dPij íěmé skupenské teplo fázové změny, p;j a Ty jsou tlak a a při nichž probíhá změna fáze i na fázi j, v;, v, jsou šné měrné objemy na mezní křivce fáze i a fáze j. je směrnice mezní křivky mezi fází i a j ve fázovém diagramu p-t. y i a j se zpravidla přiřazují takto: 1 ... pevná - tuhá fáze (T, popř. S), 2 ... kapalná fáze bo L), 3 ... plynná fáze (P nebo G), dále tr ... trojný bod, kr ... kritický bod.

v určité lokalitě vře za teploty 98,4 °C. Dojde k rychlému poklesu atmosférického tlaku ’a. Stanovte (a) atmosférický tlak před poklesem a (b) teplotu vroucí vody po poklesu

:dáme v tabulce mokré páry potřebné veličiny k teplotě 98,4 °C: I23 —2260,7 kJ kg"1, ,00104 m 3 kg_1, v "= 1,7707 n ť3 k1 ,g- 1 ívodní atmosférický tlak je vlastně saturační tlak příslušný teplotě vroucí vody 98,4 °C. .mí interpolací v tabulce mokré páry = P23A +

P23B *23B

P23A ( t 23 - t 23A) = 84,61 + 101,42 8 4 ,6 - (9 8 ,4 - 9 5 ) = 96.04 kPa 1 0 0 -9 5

t 23A

oužijeme Clapeyronovu rovnici, v níž derivaci nahradíme poměrem malých přírůstků a teploty 123 = T23 (v" - v')

AT.23

■ ->

= T23(v" - v') ^ 2 1 = ( 93 , 4 + 273,15) •(1,7707 - 0 ,001 0 )------ i— = -0,29 K, °C 2260,7 23 )ta varu po změně tlaku

t 23 2 = t 23, + AT23 = 98,4 - 0,3 = 98,1 °C

ámka4. Saturační teplota může být nalezena také přímo, budeme-li interpolovat v tabulce é páry. Je to saturační teplota atmosférického tlaku po jeho poklesu na hodnotu =96,04- 1,00 = 95,04 kPa - *23A +

ím Í 2 3 A ( p P 23B P 23A

23 -

p 23A

) = 95 +

1 - 9S— •(95,04 - 84,61) = 98.1 °C 101,42-84,61

nci - na dně válce - je 50 cm vysoká vrstva vody a var u ní nastává při teplotě 99,2 °C. te, při jaké teplotě nastane var, jestliže vrstva vody v hrnci bude pouze 10 cm a atmosfé’tlak se nezmění.

87

’ Fázové změny

Řešení i Vyhledáme potřebné veličiny v tabulce mokré páry pro teplotu 99,2 °C: I23 = 2259 kJ kg , v = 0,001042 m 3 kg"1, v 7 = 1,7213 m 3 kg’1. Různě silné vrstvy vody způsobují různě velký hydrostatický tlak a tedy i celkový tlak na teplosměnné stěně dna hrnce. Tomu odpovídají různé teploty varu vody. Změně výšky vrstvy vody odpovídá změna tlaku

Ap = — •g •Ah = --------------9,81 (0 ,1 -0 ,5 ) =-3763 Pa v' 0,001042 V ’ Z Clapeyronovy rovnice, pak plyne AT23 = T23 (v ' - v')

= ( 9 9 ?2 + 273,15) •(l, 7213 - 0,00104) • ~ ^ 3 = -1,067 K, °C

Teplota varu 10 cm vrstvy vody je t 23 2 = t 23I +AT 23 = 9 9 ,2 -1 ,1 = 98,1 °C . H3 V hrnci - na dně válce - je 50 cm vysoká vrstva vody a var u ní nastává při teplotě 99,2 °C Určete (a) atmosférický tlak, (b) změnu teploty varu vody vyvolanou jejím hydrostatickýr tlakem a (c) teplotu fázové změny při atmosférickém tlaku. Řešení Vyhledáme potřebné veličiny v tabulce mokré páry pro teplotu 99,2 °C: 123 = 2258,6 kJ kg ^= 0 ,0 0 1 0 4 2 m 3 k g '1, v//= 1,7213 m 3 kg"'. Saturační tlak při teplotě 99,2 °C najdeme interp lací v tabulce mokré páry psat = 98,73 kPa.

(a) Abychom zjistili atmosférický tlak, musíme odečíst hydrostatický tlak vrstvy vody v hm Pam, = P sa, - — -g -z = 9 8,73 -------- --------9,81-0,5 = 98,73 - 4,71 = 94,02 kPa Hsat v' 0,001042 (b) Změnu teploty varu vody vlivem jejího hydrostatického tlaku vypočteme z Clapeyronc rovnice AT23 = T23 (v* - v ') — = (99,2 + 273,15) •(i, 72 13 - 0,001042) • ~4 ,7 1 - = -1.336 K. °C 123 2258,6 (c) Teplota fázové změny při atmosférickém tlaku

t 23 = 99,2 -1 ,3 = 97.9 °C

H4 Odhadněte teplotu varu vody v Himalájích v nadmořské výšce 8500 m, při atmosféric’ tlaku 33,1 kPa. Uvažujte, že při normálním atmosférickém tlaku 101,325 kPa na úrovni h! ny moře voda vře při teplotě 100 °C. Uvažujte střední hodnotu měrného skupenského 1 vypařování I23 mezi uvažovanými tlaky 2330 kJ kg'1. Řešení V tomto případě aplikujeme Clapeyronovu rovnici na větší tlakový a teplotní rozdíl. Je ] třeba Clapeyronovu rovnici integrovat. Její integrace obecně není jednoduchá, protože 1 duje znalost, jak veličiny v ní obsažené závisejí na integrační proměnné. Je ale mož vhodně upravit a integraci provést zjednodušeně - přibližně. Protože v7 « v/;, je mož zcela zanedbat. Další zjednodušení dosáhneme, budeme-li uvažovat - jak je zvykem •

tt

^"D * ^ 23

lasti nízkých tlaků vodní páru za ideální plyn, takže v" = —-----P 23

88

a

,

d p „

123 = T23 —--------. P 23 dT23

Fázové změny P23 2

ižeme provést separaci proměnných a následně integrovat

i

f P 23 _

*23 2 i

r la ^23 d^23 T232 T23 23. rP

P 23 vislosti měrného skupenského tepla vypařování na teplotě se vyhneme použitím zadané nstantní střední hodnoty 1^ v intervalu teplot (T 231, T 23 2)- Pak je integrace již snadná: —/ 1 1 r = J _ = 8314141 = 4 6 ] 9 J k g . , K . 1 b ll-h i r-p T1 23 1 T23 2 y 2-1 + 16 M. P2 3 1 P231

^ 23

ohoto vztahu vypočteme saturační teplotu při zadaném nízkém tlaku: - L - ¿ .to ? « ^23 1 ^23 P23 1

, 33,1 v 1 -• In= 344,6 K = 71.5 °C 2330000 101,3

1

461,9

100 + 273,15

abulek SK-SP lze odečíst pro tlak 33,1 kPa hodnotu teploty 71,4 °C. 1 i stota syté kapaliny chladiva R134a při teplotě -12 °C je 1334 kg m ' . Lokální směrnice zní křivky vypařování (2-3) odpovídající danému stavu je charakterizována tlakovou změ1 7,445 Pa při teplotní změně 0,001 K. Příslušné měrné skupenské teplo vypařování je ¡,77 kJ kg'1. Stanovte hustotu syté páry. •em nocí Clapeyronovy rovnice vypočteme měrný objem syté páry. 1 205770 0,001 =v + ■+ = 0,1066 m 3 kg ' 1 T23 1334 -1 2 + 273,15 7,445 dT.23

stota syté páry chladiva

1 II

v"

0,1066

= 9.382 kg m '

novte směrnice tří mezních křivek vody v trojném bo d ě,jso u -li známy v trojném bodě: tota vody 999,79 kg m '3, hustota ledu 916,59 kg m '3, hustota páry 0,004855 kg m '3 a též má skupenská tepla - vypařování 2491,3 kJ kg ' 1 a tání 333,7 kJ k g '1. em

1 •né objemy: v; = — Pí =1,091 1O*3 m 3 k g '1, vvoda= 1,00018-10'3 m 3 kg'1, ,= 205,9732 m 3 kg ' 1 né skupenské teplo sublimace lze vypočíst ze vztahu =112+ 123 = 333,7 + 2491,3 = 2825 kJ kg ' 1 hnice plynou z Clapeyronovy rovnice pro tři fázové změny: mí křivka 1-2 (tání - tuhnutí): 333700 12 2 _ _ . = -13424 kPa K' Tff (vV0da - v led) 273,16 •(0,001000 - 0,001091)

89

\ Fázovézměny

Mezm křivka 2-3 (vypařováni - kondenzace)1. ~ = — 7— ---------- - = ----------- . 2491300------------ = 0.0443 kPa K*1 dT„ (v páia - v Ioda) 273,16 (2 0 5 ,9 7 3 2 -0 ,0 0 1 0 )

Mezní křivka 1-3 (sublimace - desublimace): -llp^ = — -— - ------- - = ----------- , 2825000------------ = 0.0502 kPa K’1 « i, 273,16.(205,9732 - 0,0011) J Mezní křivka tání - tuhnutí má výrazné větší směrnici. Analyzujte souvislost jejího zápoméh znaménka s růstem tlaku, ke kterému dochází při poklesu teploty při tuhnutí vody. H7 Průměrná hodnota atmosférického tlaku v Praze (průměrná nadmořská výška 250 m) j 98,67 kPa. Uvažujte válcový hrnec o průměru 15 cm. Vypočítejte teplotu varu 2,5 kg vod v tomto hrnci (a) bez víka a (b) s víkem o hmotnosti 3 kg. Výsledek: (a) 99,6 °C (b) 100,0 °C H8 Použitím Clapeyronovy rovnice určete přibližně tlak, při kterém voda vře při teplotě 20 °( Výsledek porovnejte s tabelovanou hodnotou. Výsledek: 2,239 kPa, tabulková hodnota 2,339 kPa H9 Ověřte platnost Clapeyronovy rovnice pro amoniak (čpavek) při teplotě 120 °C. Pro aprox maci derivace použijte střední diference tabelovaných hodnot. Výsledek: z Clapeyronovy rovnice 164,88 kPa K 1, interpolací v tabulkách 165,02 kPa K/1 H 10 Na hranol ledu je položen drát o průřezu 1 x 1 mm se dvěma závažími, každé o hmotnosti 250 kg. Po nějaké době drát pro jde ledem, ale hranol zůstane celý, nepřeříznutý. Proč? Určete teplotu tání ledu pod drátem, je-li šířka ledového hranolu 100 mm a teplota vzduchu v místnosti 0 °C. Měrné skupenské teplo tání ledu při 0 °C je 335 kJ kg'1, měrný objem vody při 0 °C je 0,0010002 m 3 kg"1 a měrný objem ledu při 0 °C je 0,0010907 m3 kg"1. Výsledek: -3,92 °C H 11 Čpavek se vypařuje v uzavřené nádobě při teplotě 10 °C. Údaj teploměru je zatížen chybí 0,1 °C. Určete (a) tlak vypařování a (b) chybu stanovení tohoto tlaku vlivem nepřesnosti tq loměru. Výsledek: (a)6 1 5 ,2 k P a (b )± 2 ,1 2 k P a H 12 Vypočtěte hustotu syté vodní páry o teplotě 100 °C, jsou-li pro tuto teplotu známy následuji údaje: hustota vody 958 kgm "3, měrná entalpie vody 4 1 9 k Jk g "1, měrná entalpie syté pá 2257 kJ kg'1. Dále víme, že v této teplotní oblasti změna tlaku 1 kPa způsobí změnu teple fázové změny 0,276 K. Výsledek: 0,60 kg m '3 90

Směšování látek

I Směšování látek Hmotnostní zlomek a, -- — - , kde m = V m, , molámí zlomek a r. = — , kde n = V n. m n Daltonův zákon p = Z p . Amagatův zákon V = S y Pí - parciální tlak - tlak samotné složky v celkovém objemu při teplotě směsi Ví - parciální objem - objem samotné složky, která má tlak a teplotu směsi Měrná plynová konstanta směsi

r=

a ( •r( , podobně i jiné měrné veličiny (cv, cp ...)

Molámí hmotnost směsi

M m = ^ a mi •

, podobně i jiné molámí veličiny

1ZT pro adiabatické směšování: a) při stálém objemu AU = 0, b) při stálém tlaku, jde-li za nedbat změny kinetické a potenciální energie AH = 0. II Izolovaná pevná nádoba má dvě části oddělené přepážkou. Část A obsahuje 1 litr dusíku při tlaku 1000 Pa a teplotě 300 K, část B obsahuje 1,5 litru argonu při 500 Pa a 400 K. Odstraně ním přepážky vznikne směs obou plynů. Stanovte (a) hmotnosti obou plynů a směsi, (b) hmotnostní zlomky ply nů, (c) látková množství obou plynů a směsi, (d) molámí B A zlomky, (e) teplotu směsi, (f) parciální tlaky plynů a celko l/0B P0B Kia P oa vý tlak směsi, (g) parciální objemy plynů, (h) změnu entro 1 Tb mB r A mA pie a produkci entropie obou plynů a také (i) změnu měrné 1 entropie směsi. izolováno 1

Řešení

Uzavřená soustava je tvořena dusíkem a argonem, nejprve oddělenými, posléze smíšenými. Oba plyny pokládáme za ideální. Nejprve stanovíme měrné plynové konstanty a měrné tepel né kapacity obou plynů. A: Dusík (N2) - dvouatomový plyn r= R m

k =1,4

8314,41 ^ 297 J k g 1K"1 28 ~

r c. = v k —1

B: Argon (Ar) - jednoatom ový plyn -» k =1,67 r = _R_ = 83 !4 ,4! = 2Q7 g j kg-i K -1 Cv= r k —1 40 M.

297 1’ ,4 -1

= 742 ,3 J k g '1K

207,8 = 3 11,6 J kg'1K -1 1 ,6 7 -1

p -V . (a) Hmotnosti před smíšením ze stavové rovnice : m i = 01 ■— , kde poi a V qí jsou počáteční VT, tlaky a počáteční objemy. ^ 0 ^ = 9. 1000 0,001 11 / l i n .6l m. = --------- ------= 11,2-106 kg mB= 207,8-400 A 297-300 Hmotnost směsi m = mA+ me = 20,2-10"6 kg (b) Hmotnostní zlomky složek:

a, = — m

=

11,2 20,2

= 0.554

ctb

=

20,2

0.446

91


(c) Látková množství složek a směsi: n, = 11,2-10-6 7 , n A= -------------= 4-10 kmol A 28 --------------směs: n = nA + nB = 6,26-10~7 kmol

m. M mi

9 •10-6 n n„ = ---------=2.26-10'7 kmol B 40 -----------------

n2,26 a mi = -i— CTm. = — = 0.639 o n = = ^ ~ = 0.361 n 6,26 ----6,26 ----(e) Nenastává výměna tepla s okolím, ani se nekoná práce, proto 1ZT má tvar AU = 0

(d) Molámí zlomky:

m A C v A T A + m B C vB T B = ( » A ^ A

+ m B C vB ) ' T

Teplota směsi T _ m Ac vATA+ m BcvBT = 1_1,2-10"6 -742,3-300 + 9-10“6 -311,6-400 m ACvA+m BCvB

11,2-10~6 -742,3 + 9-10~6 -311,6

(f) Parciální tlaky složek ve směsi: p, = m iriT V v = V oa + V ob = 0,001 + 0,0015 = 0,0025 nť 11,2-10-6 -297-325,2 = 433 Pa Pa = ' 0,0025 Celkový tlak směsi podle Daltonova zákona:

= 325.2 K

9-10~6 -207,8-325,2 Pb = '

0,0025

= 244 Pa

p = ^ p ; = 433 + 244 = 677 Pa

in r T (g) Parciální objemy složek Wi = —LJ— P 9.10-‘ .2Q7,8 . 3 2 5 , 2 . 0

= 11 n , z2 -10-6 í u — - z2 ?9 7/ - 3 2 5 ’ 2 = 0 . 0 0 1 9 m i

A 677 ----------Kontrola celkového objemu - Amagatův zákon:

B V=

3

677 --------- r_ Vj = 0,0019 + 0,0006 = 0.0025 n

(h) Směšování je nevratný děj. Je doprovázeno produkcí entropie. Protože jde o adiábatk děj produkce entropie je rovna přímo změně entropie. Změny entropie složek stanovíme j mocí náhradního vratného děje se stejným počátečním a konečným stavem. Celkovou zmt celkové entropie, získáme sečtením: AS = ASa + ASbf T v N Změna entropie složek při náhradním vratném ději ASj = m ( c • ln — + r ln — T *i

V

( 325 2 0,0025 -i ASa = 11,2-10“6 7 4 2 ,3 -ln ——^ + 297-ln = 0,00372 J K 300 0,001

ASB = 9 -1 0 '

3 n , 6 . ln H ^ + 2 o 7 ,8 . ta M 5 ? Ž = 0,00038 J K '1 400 0,0015

Sprod = AS = 0,00372 + 0,00038 = 0.0041 J K' AS 0,0041 = 202.2 J k e.-11K (i) Změna měrné entropie směsi As = Spro
92

Oi


12 Dva proudy plynů se kontinuálně směšují (ustálený režim) v izo lované směšovací komoře za stálého tlaku 100 kPa. Proud A, 2 m3/s, je oxid uhličitý (CO 2) o teplotě 20 °C a proud B, 3 m 3/s, je vodík (H2) o teplotě 50 °C. Určete (a) hmotnostní toky před a za směšovací komorou, (b) hmotnostní zlomky složek, (c) teplo tu vystupujícího proudu, (d) objemový tok vystupujícího proudu, (e) změnu toku entropie při směšování a (f) změnu měrné entro pie při směšování.

kořist.

Řešení

Za otevřenou soustavu považujeme mísící se plyny ve směšovací komoře. Směšování probíhá při stálém tlaku. Mísící se plyny považujeme za ideální. Nejprve je třeba určit měrné plynové konstanty a měrné tepelné kapacity obou plynů A: Oxid uhličitý (CO 2) - tříatomový plyn -» k = 1,33 r = J L = .8314,41 = 189 J k g ^ K -1 Mm 12 + 2-16 B: Vodík (H2) - dvouatomový plyn -»

c = — = 1,33' 189 = 761,5 J kg’1K“1 p k —1 1,33-1 k

= 1,4

r = — = - 314,41 = 4157 J k g 1K~] Mm 2 5

c = — = 1-»-4 ’- 1 ~7 = 14550 J kg 1KT1 p k —1 1 ,4 -1 &

p-V (a) Vstupující hmotnostní toky určíme ze stavové rovnice: rh, = - — L riTi 100000-2 . 100000-3 m, = ----- ----------------r = 3,611 ke s m D = ------------------------- r =0,223 kg s 189 (20 + 273,15) ------- B 4157-(50 + 273,15) ----------------------Hmotnostní tok vystupujícího proudu m = m A+ m B= 3,834 kg s '1 (b) Hmotnostní zlomky plynů před směšováním: a, = — m 0 = M U = 0.942 A 3,834

a D= ^ ^ = 0 . 0 5 8 B 3,834

(c) Nedochází k výměně tepla s okolím ani se nekoná práce, proto 1ZT má tvar AH = 0 + mBcpBTB = ( m AcpA + m BcpB) •T Teplota výsledného proudu směsi _ mAcpATA+ m BcpBTB _ 3,611 •761,5 •(20 + 273,15) + 0,223 •14550 •(50 + 273,15) _ mAcpA+ m BcpB

3,611-761,5 + 0,223-14550

309.4 K (d) Objemový tok vystupujícího proudu směsi plynů: V = m- r -^ , kde měrná plynová konP stanta směsi plynů je r =aArA+ a BrB =0,942-189 + 0,058-4157=420,1 J k g '1K '1 ý = 3,834-420,1-309,4,

3 s„

100000 Zvýpočtu vyplývá, že V

*

VA + VB

—»

4,98 ^¿2 + 3 = 5 m3 s'1!!!

Svr\é&o\jéxv\ \átek

Ve) 1^ 0 TvVm\iá\tv\ srnešovacv ptoces je tvevTatoý. T)oc\váz\ p n ïvercv V pTod\í^c\ etv\iop\e. ^to\.otí směšování je adiabatické, změna entropie je dána pouze produkcí entropie. Změnu entropie j třeba počítat pomoc náhradního vratného děje, jenž má stejný počáteční a konečný stav. Pn tože celková entropie, resp. tok celkové entropie, jsou extenzivní veličiny, získáme výslede sečtením příspěvků změny toku entropie od obou složek, AŠ = AŠa + AŠB. \

Změna celkového toku entropie složek:

AŠ = m

Tj - teplota před sm ěšováním (na začátku) p - tlak před sm ěšováním (na začátku)

V T i P y T - teplota po sm ěšování (na konci) P í - tlak po sm ěšování (po rozepnutí - na konci)

Cp.ln T f - ri ln ^

Protože tlakový zlomek je u směsi ideálních plynů roven molámímu zlomku, platí / n iT , > AS, = rhj c pi■ln ----r i ln cr mi• = m, c • ln ----- r l n O : ry. P X I r , v i y / - ^ 4 189 \ AŠa =3,611 761,5-ln -1 8 9 -ln 0,942= 734,4 W K -i 20 + 273,15 420,1, ASB= 0,223

14550-ln

309,4 50 + 273,15

■4157-ln 0,058

4157

= 370,2 W K'

420,1

ŠDrod = AŠ = 734,4 + 370,2 = 1104.6 W K '1 (f) Změna měrné entropie As = sprod = — = - ^ ^ = 288.1 J k g '1K '1 m 3,834 13 V koupelně je mísicí vodní baterie napájena vodou 65 °C teplou a studenou vodou o tepl 10 °C. Žádáme, aby pro sprchování výstupní proud z baterie měl teplotu 35 °C. Směšo\ probíhá za stálého tlaku 100 kPa. Únik tepla z baterie do okolí a změny kinetické a potenc ní energie v baterii neuvažujte. Stanovte potřebný poměr hmotnostních toků teplé a stud vody. Řešení Voda v baterii vytváří otevřenou soustavu. Bilance hmotnostních toků na vstupu a výsi (zákon z achování h motnosti) m, + m 2 = m . Z anedbáváme ú nik t epla d o o kolí. V b ateri

nekoná užitečná práce. Změny kinetické a potenciální energie jsou nepatrné a rovněž jez; dbáme. 1ZT je tak zjednodušen na tvar iňjh, + m 2h 2 = m •h . Spojením obou vztahů dost me hledaný poměr hmotnostních toků. ^ - = ——— . Entalpie aproximativně výhled m2 h j-h v tabulce mokré vodní páry na dolní mezní křivce při příslušné teplotě. h.

272,06k j k g 1

m, _ 1 4 6 ,68-42 ,01 m2

2 7 2 ,0 6 -1 4 6 ,6 8

h2 = h ^ ,„ T = 42,01 k j k g '

h = h pfi35X=: 146’68 kJ k

= 0.835

14 Dva plyny jsou smíšeny při konstantním objemu odstraněním oddělující přepážky v p izolované nádobě. Základní počáteční údaje o plynech: Plyn A - kyslík (O 2), objem 0,.' tlak 250 kPa, teplota -10 °C. Plyn B - helium (He), objem 0,3 m 3, tlak 150 kPa, teplota 2:

94


Stanovte (a) počáteční hustoty plynů, (b) hustotu směsi, (c) hmotnostní zlomky složek, (d)molámí zlomky složek, (e) teplotu směsi, (f) tlak po smíšení, (g) počáteční molámí obje my složek, (h) molární objem směsi a (i) změnu entropie způsobenou nevratným směšováním. Výsledek: (a) 3,656 kg m '3; 0,242 kg m '3 (b) 2,376 kg m '3 (c) 0,962; 0,038 (d) 0,759; 0,241 ( e ) -4,4 °C (f) 210,28 kPa (g) 8,75 m3 km ol'1; 16,53 m3 kmol’1 (h) 10,63 m 3 kmol"1 (i) 372,8 J K '1 15

V příkladě 12 uvažujte, že proud B je tvořen rovněž oxidem uhličitým. Všechny ostatní vstup ní údaje jsou stejné. Výsledek: (a) 3,611 kg s'1; 4,913 kg s'1; 8,524 kg s'1 (b) 0,424; 0,576 (c) 310,4 K (d) 5,00 m3 s'1 (e) 7,48 W K '1 (f) 0,878 J k g '1K '1 16 Řešte příklad 12 pro případ, že teploty obou vstupujících plynů jsou stejné, rovny 20 °C. Všechny ostatní vstupní údaje jsou stejné. Výsledek: (a) 3,611 kg s '1; 0,246 kg s '1; 3,857 kg s '1 (b) 0,936; 0,064 (c) 293,15 K (d) 5,02 m 3 s '1 (e) 1148 W K’1 (f) 297,6 J k g '1K '1 17

Hmotnostní tok 0,5 kg s '1proudu horké vody o teplotě 80 °C vstupuje do směšovací komory, kde se mísí s proudem chladné vody o teplotě 20 °C. Výsledný proud má teplotu 42 °C. Smě šování probíhá při stálém tlaku 250 kPa. Určete hmotnostní tok proudu chladné vody. Výsledek: 0,865 kg s '1 18

Proud vody o hmotnostním toku 2,75 kg s '1, teplotě 15 °C a tlaku 400 kPa je teplotně upravo ván míšením s proudem přehřáté páry o hmotnostním toku 0,36 kg s' , teplotě 300 °C a tlaku 400 kPa. Vypočtěte teplotu proudu po směšování. Výsledek: 98 °C 19

Vodní proud o hmotnostním toku 2,75 k g s '1, teplotě 15 °C a tlaku 225 kPa je směšován sproudem přehřáté páry o teplotě 350 °C a tlaku 225 kPa. Výsledkem je proud mokré páry 0 suchosti 70 %. Stanovte (a) teplotu výsledného proudu a (b) hmotnostní tok vstupující pře hřáté páry. Výsledek: (a) 124 °C (b) 4,89 kg s '1 110 V izolované pevné nádobě je 1 kg vody o tlaku 100 kPa a teplotě 4 °C oddělen přepážkou od 1kg páry o tlaku 5 M Pa a teplotě 300 °C. Dojde k prolomení přepážky a smíšení obou látek. Stanovte po smíšení (a) teplotu, (b) tlak a (c) změnu entropie vlivem směšování. Výsledek: (a) 218,9 °C (b) 2270,3 kPa (c) 0,6614 kJ K '1 111

Vzduch má hmotnostní složení 75,58 % N2, 23,15 % 0 2 , 1,29 % Ar a 0,05 % C 02. Vypočtě te parciální tlaky složek za předpokladu, že složky jsou ideální plyny a tlak vzduchu je lOOkPa. Výsledek: 78,13 kPa N 2 20,96 kPa 0 2 0,93 kPa Ar 0,03 kPa C 0 2

95

Vlhký vzduch

J Vlhký vzduch Vlhký vzduch - směs suchého vzduchu (index v) a vodní vlhkosti, většinou páry (index p ,//), případně drobných kapek (index kap, ') nebo částic ledu, jinovatky (index led, //;). Suchj vzduch považujeme za ideální plyn. V této kapitole i vodní páru považujeme za ideální plyn, protože se ve vlhkém vzduchu vyskytuje pouze při nízkých parciálních tlacích. /

Relativní vlhkost

/ Pp

V^p

\ Pp

t

Měrná vlhkost

x=

m„

_ P p ^ rv Pi

Vm v A

Ippj

x -p cp = (0 ,622 + x )p

Převody Hmotnost vlhkého vzduchu

Pv

rp Pv

xp PD=

0,622 + x

m = mv-(l+x) m„V

1

mp x = i---m 1+ x m 1+ x Teplota rosného bodu ír - saturační teplota při parciálním tlaku páry ve vlhkém vzduchu.

Hmotnostní zlomky suchého vzduchu a páry

Hustota vlhkého vzduchu

<*v =

__

gp

p = Pv + Pp = 1 (0 ,0 0 3 4 8 3 •p - 0,001316 •cp)

Entalpie základního množství (1 kg sv + x kg vlhkosti), tj. (1+x) kg vlhkého vzduchu. Teplo v těchto vztazích je nutné dosazovat ve °C !!! - nasycený a nenasycený vlhký vzduch: hy Cpy t Hi+x hy + xhp hp = 123,0 Cp| - přesycený vzduch drobnými kapkami: Hi+x —hv + X hp + X hkap hkap = Cpkapt - přesycený vzduch částicemi ledu (jinovatky): H i+X= hy + x" h p + x!" hled hled = Cpied t ll - přesycený vzduch vlhkostí při 0 °C: Hi+X- x" 123,0 - X7// ll 2,0 Měrná plynová konstanta suchého vzduchu Měrná plynová konstanta vodní páry Měrná tepelná kapacita suchého vzduchu Měrná tepelná kapacita suchého vzduchu Měrná tepelná kapacita kapalné vody Měrná tepelná kapacita vodního ledu Měrné skupenské teplo vypařování vody při 0 c Měrné skupenské teplo tuhnutí vody při 0 °C Molámí hmotnost suchého vzduchu Molámí hmotnost vodní páry

rv = 287 J k g 1 K '1 rp = 461,5 J k g '1 K -1 Cpy = 1005 J k g 1 K '1 Cyy = 717,5 J k g '1 K '1 Cpkap = 4186,8 J k g '1 K' Cpied = 2093 J k g '1 K '1 123.0 = 2 5 0 1 0 0 0 1 k g '1 112.0 = 335000 J k g '1 Mmv = 28,97 kg km ol'1 = 29 kg kmo Mmp = 2-1 + 16 = 18 kg km ol'1

JI Místnost má rozměry 4 m x 5 m x 3 m . Vzduch v ní má teplotu 22 °C při tlaku 100 kPa <• lativní vlhkost 73 %. Vypočítejte (a) parciální tlak suchého vzduchu, (b) měrnou vlb vzduchu, (c) entalpii základního množství, (d) hmotnost suchého vzduchu spolu s hmoti vlhkosti v místnosti a (e) teplotu rosného bodu. Zakreslete do h-x diagramu. Řešení (a) Parciální tlak páry p p = cp-p' 22„c = 0,73 • 2,6452 = 1,93 kPa

Parciální tlak suchého vzduchu dle Daltonova zákona p v = p - p p = 100 - 1,93 = 98.07 kl

96

Vlhký vzduch

P 1 93 Měrná vlhkost x = 0,622 — = 0,622 •— — = 0,0122 kgP/kgv pv 98,07 Entalpie základního množství - je vztažena na jednotku hmotnosti suchého vzduchu „ =h„ + x - h r s č p .t + x-hp = 1.005-22+ 0.0122-2541.1 = 53.11 kJ/kgv PV 3 Hmotnosti ze stavové rovnice m, = —— , kde objem V = 4-5-3 = 60 m r,T ♦ ♦ J 1. 98070-60 lotnost suchého vzduchu m.. = ------- :--------------- - = 69,46 kgv v 287-(22 + 273,15) --- ------ 6 lotnost vlhkosti (páry)

m.. = -------------- = 0,87 kgn p 461,5-(22 + 273,15) ------P

Teplota rosného b oduje saturační teplota odpovídající parciálnímu tlaku páry = 1,93 kPa při zadané teplotě 22 °C, tj. tR = tsat při 1,93 kPa = 17,0 °C.

)m3 vzduchu v hale o teplotě 20 °C a atmosférickém tlaku 100 kPa m á relativní vlhkost %. Stanovte (a) parciální tlak páry, (b) absolutní vlhkost, (c) měrnou vlhkost, (d) hustotu kého vzduchu, (e) hmotnostní zlomky suchého vzduchu a páry, (f) m olámí zlomky suchévzduchu a páry, (g) molámí vlhkost (np/nv) a (h) stupeň nasycení (x/x''). íení

Parciální tlak páry

pp = (p •p p 20„c = 0,65 • 2,3392 = 1.520 kPa

ciální tlak suchého vzduchu ,

pv = p - pp = 100 - 1,52 = 98.48 kPa P pV 1520-400 A . . £í m = —— = --------- ---------------- - = 4,496 kgp rpT 461,5-(20 + 273,15)

lotnost suchého vzduchu

p V 98480-400 m. = —— = ------- :--------------- - = 468,20 kgv v rvT 287-(20 +273,15)

iolutní vlhkost (hustota o ár/) v J

m n 4,496 i a = d_ = —- = --------= 0.01124 kg m p V 400 -----------

Měrná vlhkost

x = 0.622 ^ = 0.622 • ’ pv 98,48

:má vlhkost ve stavu nasvcení

p" 2 339 x" = 0. 622— = 0 .6 2 2 ------ !--------- = 0.0149 kgp/kgv p -p j 1 0 0 -2 ,3 3 9 --------- ^

TT

Hmotnost pary

0.0096 kgr/kgv

Hustota vlhkého vzduchu ■o. +p = ^ + p L= ------- ----------------- + 0.01124= 1.1817 k g m ‘3 Kv Pp r^T pP 2 8 7 -(2 0 + 273,15) --------- 6----Hmotnostní zlomek suchého vzduchu

m 1 1 cr = —- = ------= -------------- = 0.9905 m 1+ x 1 + 0,0096

m x a = —- = ------ = l - a v = 1 -0 ,9 9 0 5 = 0,0095 p m 1+ x m 468 2 m„ 4.496 Látková množství n = — — = -----= 16,162 kmol n n = — — = ------------ =0,250 kmol M mv 28,97 ’ 18

lotnostní zlomek páry

hký vzduch

n = nv + np = 16,162 + 0,250 = 16,412 kmol

97

Molámí zlomek suchého vzduchu Molámí zlomek páry (g) Molámí vlhkost

o mv =

16,162 n

16,412

= 0.9848

n„ a__ .0 1 5 2 m p = -2 . = l- o _m..v = 1 -0 ,9 " 8 4 8 = 0—3------------n n p 0,250 x„ = — = --------- = 0.0155 kmolp/kmolv n 16,162 0,0096

(h) Stupeň nasycení V* A

0,0149

= 0.644 = 64,4 %

J 3 Relativní vlhkost vzduchu v uzavřené místnosti při teplotě 10 °C je 85 %. Určete pro páru ve vzduchu (a) hustotu a parci ální tlak, dále relativní vlhkost a hustotu páry, jestliže teplota (b) stoupne o 5 °C a (c) klesne o 5 °C. Řešení (a) Známá relativní vlhkost a měrný objem na horní mezní křivce umožňují stanovit pomocí tabulek hustotu páry cp _ 0,85 0.00800 kg nť Pn =
(b) Při zvýšení teploty o 5 °C se parciální tlak páry i hustota páry nemění (ale zvýší se p") snižuje se relativní vlhkost. Mění se měrný objem páry na horní mezní křivce u v" = 77,88 m3 kg'1. Relativní vlhkost vzduchu cpj = pp •v* = 0,008 -77,88= 0,623 = 63.2 %.

(c) Při poklesu teploty o 5 °C se opět parciální tlak páry i hustota páry nemění, zvyšuje s relativní vlhkost. Mění se měrný objem páry na horní mezní křivce na v" = 147,02 m3kg

p* = 1/ v* = 0,0068 kg m '3 < pp = 0,008 kg m '3. To znamená, že vlhký vzduch je přesycenýI část vlhkosti má formu kapiček vody. (Relativní vlhkost je 100 % a ještě navíc vlhký vzduc obsahuje další část vlhkosti v kapalném skupenství.') Kapičkám přísluší hustota Pkap = Pp ~ P 2 = 0,008 - 0,0068 = 0,0012 kg m '3 J 4 V místnosti je vzduch o teplotě 22 °C a relativní vlhkosti 63,5 %. Dojde k orosení vnitřníh povrchu oken, jestliže teplota povrchu klesne na 12 °C? Řešení K orosení dojde, bude-li teplota vnitřního povrchu okna nižší než teplota rosného bodu tR. Pí stanovení tR musíme určit parciální tlak páry pp = cp •p p. Saturační tlak při teplotě 22 °C v

hledáme v tabulkách, p p = 2645,3 Pa —» pp = 0,635 • 2645,3 = 1679,8 Pa. Saturační teplota teplota rosného bodu - odpovídající tomuto tlaku se získá interpolací —> tR = 14,75 °C. Protože t = 12 °C < t R = 14.75 °C. okno se orosí.

98

Vlhký vzduch J5

17 m3vlhkého vzduchuje uzavřeno v pevné nádobě při tlaku 100 kPa, teplotě 95 °C a relativ ní vlhkosti 25 %. Směs je postupně ochlazována při konstantním objemu na teplotu 15 °C. Stanovte (a) teplotu rosného bodu na začátku, (b) teplotu, při níž se vodní pára stane právě nasycenou, (c) hmotnost zkondenzované páry, (d) odvedené teplo a (e) počáteční hmotnost směsi. Řešení

Uzavřenou soustavou je směs vzduchu a páry v nádobě. Při ochlazování tlak vlhkého vzduchu klesá, jeho objem je však stálý - nejedná se zde o izobarickou úlohu! (a) Teplota rosného b o d u je saturační teplota parciálního tlaku páry: ppl = (p, -ppl = 0,25 -84,61 = 21,15 kPa, kde saturační tlak p", při teplotě 95 °C hledáme v tabulce mokré páry. Ve stejné tabulce interpolací zjistíme teplotu rosného bodu tB= 61.3 °C. (b) Měrný objem páry, který je konstantní během ochlazování určíme ze stavové rovnice ide álního plynu (model id. plynu lze připustit, protože parciální tlak páry ppi je relativně malý) rp 'T, 461,5.(95 + 273,15) „ „ „ ,, v | = v = -------= ----------^--------------- - = 8,033 m kg pl p Ppl 21150 Ke kondenzaci dojde, když vp = v " . Interpolací v tabulce mokré páry získáme tk0nd = 58,9 °C. atedytk0n d * tR! (c) Hmotnost zkondenzované páry je rozdíl mezi hmotnostmi páry: m kond = m pl - m p2, kde V 17 . mD i určíme z měrného objemu m pínl = rn P = — = ------= 2,116 kg& a m 02 = X2 • mD , ze suchosti P j g )0 3 3 > p p mokré páry X2 v konečném stavu (pozor, dle zvyklostí je značená stejně jako měrná vlhkost). „ .......................... .. .. * u 11 , , , Určíme 11 pomoci udaiu z tabulky mokré pary

VP V2 8 ,0 3 3 -0 ,0 0 1 A1A0 x, = —------ - -------------------- =0,103 2 vff2 - v '2 7 7 ,8 8 0 -0 ,0 0 1

mP2= 0,103 • 2,116 = 0,218 kg

m^nd = 2,116 - 0,218 = 1,898 kg

(d) Odvedené teplo se vypočte z 1ZT. Nekoná se práce, proto Q = U 2 - U ,, kde U, = mvu vl + m plu pl

U 2 = m vu v2 + m p2u p2 + m kond u kond2

měrná vnitřní energie páry upi může být aproximována hodnotou pro sytou páru u" při teplotě ti, měmá vnitřní energie suchého vzduchu uv= Cw-T. Hmotnost suchého vzduchu určíme ze stavové rovnice p . - V (100000-21150) 17 m = — = *------- ------------- = 12,686 kg v rv-T, 287-(95+ 273,15) Odvedené teplo Q= mvcw ( t 2 - 1,) + m p2u';2+ m kondu'kond2 - m plu;, Q= 12,686-0,7 1 7 5 -(l5 -9 5 ) + 0 ,218-2395,5 + 1,898-62,982-2,116-2500 = I 5i257kJ (e) Počáteční hmotnost směsi: m = mv + mpi = 12,686 + 2,116 = 14.802 kg

99

Vlhký vzduch

J6 Ve výzkumné aparatuře proud vzduchu 4,2 m 3 m in'1 vstupuje do topné sekce při teplotě 8 °C tlaku 97 kPa a relativní vlhkosti 43 % a vystupuje ohřátý s teplotou 24 °C. Vypočtěte (a) dc dávaný tepelný tok v topné sekci, (b) příkon tepelného zdroje, jestliže účinnost ohřevu j 65 % a (c) relativní vlhkost ohřátého vzduchu. Řešení Ohřev předpokládáme izobarický. Obsah vlhkosti ve vzduchuje stálý.

(a) 1ZT pro otevřenou soustavu: Měrná vlhkost

x = 0,622

Hmotnostní tok VV

m=

Q = m (H 1+x 2 - H 1+x,) = m •j^cpv ( t 2 - t , ) + x •(h 2 - h")J

^ = 0,622 — - 4 3 ~1,073 = 0,00297 k gp/kgv p —cp •p" 9 7 -0 ,4 3 -1 ,0 7 3 ^ Měrná plynová konstanta vlhkého vzduchu 1---------------------------x 1 r = a r + a r = ------ r + r = ---------.. 287 + ■ 0,00297 •461,5 = 287,5 J kg'1K '1 vv pp 1+ x v 1 + x 1 + 0,00297 1+ 0,00297 97000-4,2 P-V,i_ _ ■= 5,040 kg m in' r-T, 287,5 -(8 + 273,15)

Q = 5,04 •[ l , 005 •(24 - 8) + 0,00297 •(2 5 4 4 ,7 -2 5 1 5 ,6 )]= 81,48 kJ m in'1 = 1.358 kW (b) Potřebný příkon elektrického topidla

• Ó 1 358 W = — = —-----= 2,089 kW ri 0,65

(c) Relativní vlhkost vzduchu po ohřevu xp 0,00297-97 = 0.154 = 15.4 %
Vzduch v klimatizační jednotce je otevřená soustava. Vystupující vzduch je nasycený cp2 = (a) Uplatníme zákon zachování hmotnosti pro suchý vzduch ve směsi m vl = m v2 = m v, i | vlhkost ve směsi m p = m p22 + m kond, tj. m vx, = m vx 2 + m kond mkond = m v( x , - x 2), m v = m / ( l + x) Měrné vlhkosti před a za klimatizační jednotkou x, = 0 , 6 2 2 - = 0 , 6 2 2 ^ ^ 4 ^ = ° ’0355 k g ^ k g v 9 9 -0 ,9 5 -5 ,6 2 9 P -
100

Vlhký vzduch

p-V, 99000-12,5 m, = ------ = ------------------------- = 13,71 kg min 1 r, -T, 2 9 3 -(3 5 + 273,15) Hmotnostní tok suchého vzduchu

■

13,71

,. _. ,

. i

mv = — — = -------------- = 13,24 k gv mm 1+ x, 1+ 0,0355 Odváděný kondenzát

m kond = 13,24 ■(0,0355 - 0,0 10 9 ) = 0,326 kgy m in '1

(b) 1ZT (otevřená soustava)

Q = m vH 1+x 2 + m kondh kond - m vH I+x,

H 1+x. = c pvt, + x,h''

Hi«,i = <>*1 + x ih pi= Ô 05 • 35 + °>0355 • 2564>5 = 126’2 kJ/k8v Hi«,2 = cpvt2+ X 2h p2= i ’ 005 • 15 + 0,0109-2528,3 = 42,6 kJ/kgv hkond = c pkapt = 4,1868 • 15 = 62,8 kJ/kgk Q = 13,24-(42,6 - 1 2 6 , 2 ) + 0 ,337-62,8 = -1085.70 kJ m in 1 = -18.10 k W

J8 Vlhký vzduch o objem ovém toku 12,5 m 3m in '1při tlaku 99 kPa, teplotě 35 °C a relativní vlh kosti 95 % je vysušován. Přitom je nejprve ochlazen na teplotu 15 °C a zkondenzovaná vlh kost je odváděna. Poté je ohřát na původní teplotu 35 °C. Stanovte (a ) výsled n ý tepelný tok při tomto vysušování a (b ) výslednou relativní vlhkost. Řešení Údaje o vzduchu jsou stejné jak o v příkladu J7. Tam je vyřešena och lazovací část procesu. Odváděný tepelný tok, m nožství kondenzátu a další potřebné údaje tedy jsou: QodV~ -18,1 k W , m kond = 0 ,3 2 6 k g m in '1, x 2 = 0,0109 kgp/kgv, m v= 13,24 k g m in '1, H,+x2=42,6 kJ/kgv

(a) Teplo potřebné k ohřátí na vých o zí teplotu při stálé měrné vlhkosti x 2 = x 3 H1«,3 = cpvt3 + X3h' = W

5 ' 35 + ° ’0109 ' 2564>5 = 63’ ! kJ/k§ v

OoMev = mv ( H 1+x3 - H 1+x 2) = 1 3 ,2 4 - (6 3 ,1 - 4 2 ,6 ) = 271,42 kJ m in '1 = 4,524 k W Celkový tepelný tok při vysušování (b) Relativní vlhkost

Q = Q ohfev + Q odv = 4,524 -1 8 ,1 = -13.576 k W

x n 0 0109-99 = --------- ------------ = ----------- ----------- :---------- = 0.303 = 30,3 % 3 ( 0 , 622 + x 3)- p " (0 .6 2 2 + 0.0109)-5,629

cd,

J9 Místnost má objem 90 m 3. V zduch v ní má tlak 98 kPa, teplotu 23 °C a měrnou vlhkost 60 %. Určete, jaké m nožství v o d y se musí vypařit, aby (a ) relativní vlhkost stoupla na 80 % a (b) vzduch se stal nasyceným. Řešení
n

Měrná vlhkost vzduchu při dané teplotě na začátku a na konci děje x ; = 0,622P -< P Í-P p Saturační tlak určíme z tabulek S K -S P vody: ... pro teplotu 23°C je p* = 2811 Pa Hmotnost suchého vzduchu ze stavové rovnice ideálního plynu:

m

P.V

(p-«p,-p;)v

(9 8 0 0 0 -0 ,6-2 8 1 1 )-9 0

v

rvT

rvT

2 8 7 -(2 3 + 273,15)

_

10

’

101

Vlhký vzduch

Hmotnost odpařené v o d y

m = m v ( x 2 - x , ) = m v •0,622 r

9 2-Pz

V P - 9 2 -P2

(a ) cp2 = 8 0 % :

m = 102-0,622

0,8-2,811

0,6-2,811

9 8 -0 ,8 -2 ,8 1 1

9 8 -0 ,6 -2 ,8 1 1

/ 1-2,811 (b ) 92 = 1 0 0 % : m = 102-0,622 \ 9 8 -1 -2 ,8 1 1

0,6-2,811

= 0.379 kg '

0.763 kg

9 8 -0 ,6 -2 ,8 1 1 ,

u q

P ro u d v z d u c h u 8 m 3m i n '1 o te p lo tě 15 ° C a r e la t iv n í v lh k o s ti 4 0 % se s m ěšu je s p ro u d e m

vzduchu 4 m 3m in "1 o teplotě 32 °C a rela tivn í vlh k osti 7 0 % . Sm ěšování probíhá při tlaku 100 kPa. Stanovte (a ) relativní vlhkost a (b ) teplotu vzduchu v e výsledném proudu. Použijte h-x diagram. Řešení Stav vzduchu ve výsledném proudu V leží v h-x diagramu na spoj nici stavů proudů A a B před sm ěšováním v poloze, pro n iž platí B V / A V = m vA/mvB . O dečtem e pro oba stavy A , B měrné vlhkosti x A = 0,0043 kgp/kgv, xb = 0,0219 kgp/kgv a pou žijem e je pro v ý p o čet měrných p lyn ových konstant dle vztahu 1

r, =■

l + Xj

rV h—1 x.- i__ — rp

i = A, B

l + Xj

rA = 287,7 J k g 1 K ' 1

rB = 290,6 J k g 1 K ' 1

Hmotnostní toky m vA, m vB získám e zd a n ých objem ových toků vlhkého vzduchu pom ocí stavové rovnice ideálního plynu a vztahu m ezi hmotnostmi suchého vzduchu a vlhkého vzdu chu ^

m .„

=

.

P-V,

1

V H

1+ x.

m vA= 9,63 kg s'1, m vB = 4,47 k g s' 1 ^vA

---------- -------------------

-

Úsečky úměrné hmotnostním tokům suchého vzduchu vynesem e na k olm ice k úsečce A B spojující oba vých o zí stavy. Spojnice kon cových bodů vynesených k olm ic protíná úsečku A B v hledaném bodě V , kde odečtem e relativní vlhkost 9 V = 63.5 % a teplotu tv = 20.5 ° C . J 11 D va proudy vlhkého vzduchu jsou směšovány při tlaku 100 kPa. Proud A m á hmotnostní tok 0,2 kg s'1, teplotu 20 °C a relativní vlhkost 40 %. Proud B, hmotnostní tok 0,3 kg s '1, teplotu 30 °C a relativní vlhkost 80 % . V yp očtěte pro výsled n ý proud (a ) teplotu a (b ) relativní vlh kost. Řešení (a) M ěrná vlhkost a hmotnostní tok suchého vzduchu Xj = 0,622-

9i ' Ppi

p - 9 i- p

. . ~ i = A, B

. rii; m,„ =■ 1 + X;

p>

0 4 -2 339 x A = 0, 6 2 2 -----’ ’ ......= 0,00587 kgp/kgv 1 0 0 -0 ,4 -2 ,3 3 9 x B = 0 ,6 2 2 -

0,8 -4,2 47 1 0 0 -0 ,8 -4 ,2 4 7

= 0,0219 kgp/kgv

= 0 ,1 9 9 k g s' 1

0 ,2

1+ 0,00587 m vB

^

------= 0 ,2 9 4 kg s' 1

1 + 0,02187

Vlhký vzduch

Zákon zachování hmotnosti:

- vzduch

m v = m vA + m vB = 0,199 + 0,294 = 0,493 kg s '1

-p ára

m vx = m vAx A + m vBx B

Výsledná měrná vlhkost x = riivAx A + m „ x B = 0,199

00587 + 0,294-0,0219 _

m,

0,492

p

1ZT pro otevřenou soustavu

mv

H,+X,i = CpVtj + Xi (^23,o°c + V

mv

í)

Hj+X A = 1,005 -20 + 0,00587 •(2501 +1,884 •20) = 35,002 kJ/kgv H ]+x B = 1 ,0 05 -3 0 + 0,0219 (2501 + 1 ,8 8 4 -3 0 )= 86,160 kJ/kgv 0199 0 294 H, = -35,002 + •86,16 = 65,510 kJ/kgv 1+x 0,493 0,493

Také platí vztah t

H )+x = 1,005 -1+ 0,0153 -(2501 +1,884 -1) = 65,51 kJ/kgv

6 5 ,5 1 -0 ,0 1 5 3 -2 5 0 1 _ 2 6 1 Q C 1,005 + 0,0153-1,884

~~J

(b) V vsledná relativní vlhkost (p = . - X- ^ .— = --------0,0153 100-------- = 0 .7 1 9 = 7 1 .9 % ( 0 , 622 + x )p " (0 ,6 22 + 0 ,0 1 5 3 )-3 ,364

J 12 V kontaktním vým ěníku tepla je teplá voda v přímém kontaktu s chladicím vzduchem. Proud vody 50 kg s '1 o teplotě 35 °C j e chlazen proudem vzduchu na teplotu 22 °C . Vzduch vstupuje do vým ěníku při teplotě 20 °C , tlaku 98 kPa a relativní vlhkosti 60 % a vystupuje ohřátý na teplotu 30 °C. V yp očtěte (a ) ob jem ový tok chladicího vzduchu na vstupu a (b ) hm otnosťodpařené vod y v e vým ěníku za jednotku času. Řešení Voda a vzduch v e vým ěníku tvoří otevřenou - přibližně adiabatickou soustavu. Proces probí há při konstantním tlaku 98 kPa. (a) Zákon zachování hmotnosti:

Množství odpařené v o d y za ls :

- suchý vzduch

m vl = m v2 = m v

- H 20

m p l+ m kapl = m p2+ m kap2

m odpaf = m kapl - m kap2 = m p2 - m pl = m v ( x 2 - x , )

Energetická bilance: adiabatická soustava b ez konání práce —» 1ZT: A H = 0 + m kaplh kapl = m v2H 1+x 2 + m kap2h kap2

Spojením se vztahem o zachování hmotnosti H 2O vyjádřím e hmotnostní tok vzduchu

rá\apl (^kapl

^kap2)

-

î+x ,2

H 1+x,,

(x 2

x ,)- h

kap2

103

Vlhký vzduch

R elativní vlhkosti Xi x = 0,622

( P r P Pl - = 0,622 ° ’ 6 -2i l 39— = 0,00904 k g p/kgv P “ 9 rP p i 9 8 - 0 ,6 - 2 ,3 3 9 ’ 6P *

Entalpie základního n m ožství H 1+x ■= c pvt, + x , ( l 230„c + č ppt , ] H 1+Xl = 1,005 -20 + 0,00904 •(2501 + 1,884 -20) = 43,05 kJ/kgv H i+*,2 = 1,005 •30 + 0,02817 •(2501 +1,884 •3 0) = 102,20 kJ/kgv

Entalpie v o d y hledám e v tabulce S K -S P setříděné podle teplot h k ap i

= h při35°c = 146,68 kJ/kg

^kaP2 = h při22°c ~ 92,33 kJ/kg . 50 (1 4 6 ,6 8 -9 2 ,3 3 ) m = --------------------- -----------------— ------T--------- = 47,36 kg/s v 1 0 2 ,2 0 - 4 3 ,0 5 - (0 ,0 2 8 1 7 - 0 ,0 0 9 0 4 )- 9 2 ,3 3

Z e stavové rovnice pro suchý vzduch je jeh o hustota pv 9 8 0 0 0 -0 ,6 -2 3 3 9 , 1/101 , 3 Pvi = — — = ------- t---------------- r = 1,148 kg/m rvT, 2 8 7 - (2 0 + 273,15) O b jem ový tok suchého vzduchu

V. = v p vl

1,148

= 4 1 ,2 5 m 3/s — 1

(b ) Rychlost odpařování v o d y ^ o dpař = rnv ( x 2 - x , ) = 47,36 •(0 ,0 28 1 7 - 0 ,0 0904) = 0,906 kg/s Poznám ka: M ám e-li k d isp ozici h-x diagram pro zadaný tlak, je m ožn é - sice m éně přesn velm i rychle - určit v diagramu potřebné údaje x i, x 2, H i+X,i a H i +X;2 pro přibližn ý výpočel J 13 V lh ký vzduch o teplotě 22 °C a relativní vlhkosti 20 % vstupuje do sprejového zvlhčo Hmotnostní tok suchého v zd u c h u je 90 k g m in '1. Sytá vodn í pára o teplotě 110 °C je vsi vána do upravovaného vzduchu v m nožství 52 k g h o d '1. V ým ěn u tepla s o k olím zanedl Vlhčení probíhá při tlaku 100 kPa (atm osférický tlak). U rčete (a ) měrnou vlhkost, (b ) te a (c ) relativní vlhkost vystupujícího vzduchu. Řešení V lh ký vzduch ve zv lh čo v a č i j e otevřená soustava. (a ) Zákon zachování hmotnosti:

- suchý vzduch: m vl = m v2 = rhv - H 20 : m pl + m SP = m p2 - >

M ěrné vlhkosti x* 9, ‘ Ppi

0,2 -2,6 45

m sp = m p2 - m p] = m v ( x 2 -

Vlhký vzduch

x2= x , + ^ L = 0 ,00331 + ^ ^ iii v 90

= 0,01294 kgp/kgv p

(b) Energetická bilance: adiabatická soustava bez konání práce —» 1ZT: A H = 0

róv,HI+*,, +riiSPhsp —m v2 H 1+x 2

H ]+Xj = cpvtj + Xj

cpp^í )

Spojením energetické bilance a zákona zachování hmotnosti odvodím e pro výstupní teplotu ( C pv + X l Š > p ) ' t l + ( X 2 _ X l ) ' ( h S P ~ 123,0',c )

,

h -----------------------------------------------------C PV +

. « n i , , / ,

h Sp = h phiio-c ~ 2691 kJ/k§

X 2 S P

(1,005 + 0,0 03 3 1-1 ,8 8 4)-2 2 + (0 ,0 1 2 9 4 -0 ,0 0 3 3 1 )•(2691 - 2 5 0 1 ) _ ^ or, t-)--------------------------------------------------------------------------------------------- 23,4 C 1,005 + 0,01294 •1,884 (c) Relativní vlhkost vzduchu na výstupu (z tabulek SK -S P pro 23,4 °C ... Pp7^ = 2,880 kPa)

■■■ = -- - - - - - - 29-4---00- - - - - - = 0,708 = 70,8 %

2 (0,622 + x 2) - P p2

(0 ,6 2 2 + 0,01294)-2,88

~ ^ -----

J 14 V pevné nádobě je uzavřeno 44,2 kg vlhkého vzduchu při tlaku 150 kPa, teplotě 120 °C a relativní vlhkosti 10 % . V zduch j e izoch oricky ochlazen na teplotu 22 °C . Stanovte (a ) teplotu rosného bodu, (b ) teplotu, při n íž začne vznikat v nádobě mlha, (c ) hmotnost vlhkosti, (d) hmotnost zkondenzované páry (kapiček), (e ) odvedené teplo a ( f ) objem nádoby. Výsledek: (a) 59,9 °C

(b ) 56,0 °C

(c ) 3,83 kg

(d ) 3,15 k g

(e ) -10,630 kJ

( f ) 35 m 3

J 15 Tepelný tok 1,152 k W proniká do proudícího vzduchu v teplosm ěnném úseku potrubí. Tlak vzduchu v potrubí j e 95 kPa a protékající m nožství je 0,1 m 3 s '1. Po ohřevu má vzduch teplotu 25 °C a relativní vlhkost 16,1 % . Určete na vstupu do teplosměnného úseku (a ) teplotu a (b) relativní vlhkost vzduchu. Úlohu řešte početně pom ocí tabulek a také graficko-početně pomocí h-x diagramu. P orovn ejte oba výsledky z hlediska přesnosti. Výsledek: (a) 15 °C

(b ) 30 %

J 16 Proud vlhkého vzduchu 11,5 kg s'1 při tlaku 100 kPa, teplotě 30 °C a relativní vlhkosti 80 % je ochlazován na teplotu 14 °C. V zduch se tak stává přesyceným vlhkostí. Kondenzát se kon tinuálně odvádí. V yp o čtěte (a ) hmotnostní tok kondenzátu, (b ) teplotu rosného bodu a (c ) od váděný tepelný tok. Řešte početně pom ocí tabulek a graficko-početně pom ocí h-x diagramu. Výsledek: (a) 0,135 k g m in 1

(b ) 26,2 °C

(c ) -8,766 k W

J 17 Vzduch o objem ovém toku 0,167 m 3 s'1 je kontinuálně ochlazován na teplotu 20 °C odvádě ným tepelným tokem 6,988 k W . R ychlost kondenzace vlhkosti je 1,81 litr s*1. Proces probíhá za stálého tlaku 97,4 kPa. Stanovte (a ) počáteční teplotu vzduchu, (b ) je h o relativní vlhkost a (c) teplotu rosného bodu. Řešte početně pom ocí tabulek a také graficko-početně pom ocí h-x diagramu. Výsledek: (a) 33 °C

(b ) 75 %

(c ) 28 °C

J 18 Řešte příklad JI 3 pro případ, že atm osférický tlak je 95 kPa. Výsledek: (a) 0,01274 kgp/kgv

( b )2 3 ,8 ° C

(c ) 64,6 %

105

Vlhký vzduch

J 19 Vzduch v místnosti o objem u 90 m 3 má tlak 98 kPa, relativní vlhkost 60 %

a tepl<

(a ) 10 °C , (b ) 30 °C . U rčete, k olik v o d y se musí vypařit z nádoby v místnosti, aby se v ob případech vzduch nasytil vodn í parou. Výsledek: (a ) 0,345 k g

(b ) 1,173 kg

J 20 Předpokládejte, že při každém otevření mrazničky dojde k úplné vým ěn ě vzduchu, důsledki čehož se postupně tvoří námraza. Uvažujm e, že okolní vzduch m á teplotu 20 °C , relatr vlhkost 70 % a atm osférický tlak j e 100 kPa. O bjem m razničky je 50 litrů a vnitřní teplota udržována na -20 °C . V yp o čtěte hmotnost vytvořené námrazy v mrazničce, otevřem e-li d v mrazničky stokrát. Výsledek: 58 g J 21 Proud vzduchu o teplotě 68 °C a relativní vlhkosti 4 % se m á sm ěšovat s proudem nasycení vzduchu tak, aby vzn ik l proud vzduchu o relativní vlhkosti 20 % a teplotě 52,5 °C. Směšov má probíhat při stálém tlaku 100 kPa. Stanovte (a ) teplotu proudu nasyceného vzduc (b ) poměr hmotnostních toků suchého'vzduchu směšovaných proudů, (c ) pom ěr hmotnostn toků vlhkého vzduchu sm ěšovaných proudů a (d ) pom ěr objem ových toků směšován? proudů. Výsledek: (a ) 32 °C

(b ) 1,31764

(c ) 1,31761

(d ) 1,473

J 22 Proud vzduchu o teplotě 5 °C a relativní vlhkosti 86 % je směšován s proudem vzdut

o teplotě 35 °C a relativní vlhkosti 90 % . V zduch v e výsledném proudu m á být právě nasy ný. M íšení probíhá při tlaku 100 kPa. V yp očtěte (a ) pom ěr hmotnostních toků směšován; proudů vlhkého vzduchu a (b ) teplotu vzduchu v e výsledném vzd u ch ovém proudu. Výsledek: (a ) 0,426

(b ) 26 °C

J 23 Jsou směšovány dva proudy vlhkého vzduchu. Proud A m á teplotu 10 °C a relativní v M 54 %, proud B má relativní vlhkost 90 % a jeh o o b je m o v ý tok je 3,47 m 3 m in '1. Hmotnos tok výsledného proudu o teplotě 30 °C má být 5,14 kg m in '1. U rčete (a ) relativní vlhkost

sledného proudu, (b ) teplotu proudu B, (c ) o b je m o v ý tok proudu A a (d ) hmotnostní tok pr du B. Výsledek: (a ) 93,3 %

(b ) 36 °C

(c ) 1 m 3 m in '1

(d ) 1,23 k g m in '1

J 24 V elektrárně chladicí v od a o teplotě 38 °C postupuje z kondenzátoru do chladicí věže.

hmotnostní tok je 4-106 k g h o d '1. V e v ě ž i je chlazena na teplotu 25 °C vzduchem , je n ž vstu je do věže s teplotou 18 °C a relativní vlhkostí 55 % a vystupuje s teplotou 32 °C a relati vlhkostí 95 %. T lak v zd u c h u je 101 kPa. Stanovte (a ) hmotnostní tok vzduchu vstupujícího

chladicí věže, (b ) od p ovíd ající o b je m o v ý tok vzduchu a (c ) hmotnostní tok vod y, která je p běžně doplňována, aby nahradila odpařenou vodu. Výsledek: (a ) 3,177-106 k g h o ď 1

(b ) 2,658-106 m 3 h o ď 1

(c ) 70,13-103 k g h o ď 1

J 25

Řešte příklad J I3 pro případ, že je do zvlhčovaného vzduchu místo 50 k g h o ď 1 syté p vstřikováno 10 kg h o ď 1 v o d y o teplotě 20 °C. Výsledek: (a ) 5,16 gp/kgv

106

(b ) 17,5 °C

(c ) 41,1 %

Vedení tepla - kondukce

.Sdílení tepla vedením - kondukcí urierův vztah

q = - X •g ra d T

(W m ^ )

X ... tepelná vod ivost (W m '1K ' 1)

istota tepelného toku a tepelný tok rozlehlou složenou rovinnou stěnou *1 *n+l _ *1

t n+l

Q = q R -A

( W m ‘2)

(W )

istota tepelného toku na jed n o tku délky a tepelný tok dlouhou složenou válcovou stěnou *1 *n+l R,

+1 ±

ý

l

2n t t K

Q = qv ' L

( W m '1)

qv =

n d - q R =27tr-qR

t a ! k

r,

jstota tepelného toku kulovou složenou stěnou (W )

-tepelné odpory při vedení tepla stěnami, n - počet stěn 1 ihlová stěna o rozm ěrech 8 x 3 m je 45 cm tlustá. T ep lo ty povrchů jsou 20 °C a -15 °C. Te:lná vodivost cihel je 0,7 W m '1K '1. Vypočtěte (a ) tepelný odpor stěny, (b ) hustotu tepelné ) toku, (c) celk ový tepelný tok stěnou a (d ) teplo proniklé stěnou za 24 hodin. isem ) Tepelný odpor rovinné stěny

r r

') Hustota tepelného toku rovinné stěny

qr R

= _ = = 0.6429 K m 2 W '1 X 0,7

Rr

20 ~ ( ~ 15) .= 54,44 W m 0,6429

) Tepelný tok stěnou

Ó = q R •A = 54.4 4 -8 -3 = 1306.6 W

) Teplo proniklé stěnou za 24 hodin

Q

= Ó -

t

-2

= 1 3 0 6 .6 -2 4 -3 6 0 0 = 112.9 MJ

2 předchozím příkladě stanovte teplotu ve stěně, v ž d y v e vzdále)Sti 0,1 m od povrchu. ešení .ozložení teploty v rovinné stěně je lineální t = tsl - — •x , X de x je vzdálenost od teplejšího povrchu.

aW, = 0.1m

t . = 2 0 - ^ ^ - 0 . 1 = 1 2 . 2 oC 1 0,7

107

Vedeni tepla - kondukce

(b ) x 2 = 0,45 - 0,1 = 0,35 m

t, = 2 0 - ^ ^ - 0 . 3 5 = -7.2 °C 0,7

K 3 Rovinnou stěnou o velikosti povrchu 2,5 m 2 prochází tepelný tok 7500 W a na každém i metru tloušťky dochází k poklesu teploty o 0,2 °C. Stanovte (a ) tepelnou vod ivost stě (b ) tloušťku stěny, je stliže teploty obou povrchů se liší o 25°C. Řešení (a ) Lineární závislost t —10 = Ti Í = ^ - = X 0,001

•x má směrnici — J e jíž hodnota je dle zadání A,

200°C rn 1

*. = J L = — Í L _ L . Z ^ = 200 200 A 200 2,5

(b ) Tloušťka souvisí se směrnicí

b=

15 W m ' 1 K ’ 1

= 0.125 m

200

200

K4 Stěna budovy je složena z cih lo vé v r s tv y o tloušťce 10 cm a z vápenné om ítky o tloi 5 cm. Je třeba j i zateplit deskami z čed ičové vlny. Tepeln é v od ivosti jed n o tlivých mat jsou: cihly 0,72 W m ' 1K *1, om ítka 0,51 W m "1K ‘ * a čed ičová vlna 0,066 W m ' 1K 1. Sta tloušťku izolačních desek, abychom dosáhli snížení tepelných ztrát o 90 % . Řešení

Jedná se o vedení tepla v e složené rovinné stěně. Pom ěr odváděného tepla izolovan ou s k odváděnému teplu stěnou b ez izolace r = 0 , 1.

________ __ Qbcz

b,

b, A,-,

\ b,

b 3 ■ b, b ---- h ■ A,, A,,

b7

b,

- L + - L + —

X,

X,

X.,

Tloušťka izolační vrstvy ( = 0,066 2

- ----1

0,1

0,1

. 1^0,72

0,05

14.1 cm

0,51

K 5 K o v o v á trubka o vnitřním průměru 2,4 cm a vnějším průměru 4,3 cm je obalena izolačn

vou o tloušťce 4 cm. Vnitřní povrch trubky má teplotu 550 °C a vnější povrch izolace : Určete (a ) tepelnou ztrátu délk y 1 metru trubky, (b ) teplotu na povrchu trubky v e styku lací. Známé jsou tepelné vod ivosti: stěna trubky 21 W m 1K ' 1, izo la ce 0,2 W m 1K 1. Řešení (a ) Hustota tepelného toku na jednotku délky složenou válcovou stěnou

qv =

t s3 _ 1_

1 1 r2 + —1 1 r3 — ln — ln — 2 tc X, r, X,2 2

(b ) Teplota povrchu pod izo la cí

108

2 tt- (5 5 0 - 5 0 )

1 , 4,3 1 , 4,3 + 2-4 — l n ^ — + — - l n —---------21 2,4 0,2 4,3

= 594.7 W i n

594 7 43 =547, ■ln — = 550- ^ - ■ l n — 271- X, 27t-21 2,4

qv


K6 Válcovou stěnou trubky prostupuje tepelný tok 250 W . D élka trubky je 2,85 m, vnitřní prů měr 38 mm, vnější průměr 46 mm, tepelná vodivost trubky 0,1 W m '1K '1 a teplota vnitřního povrchu trubky je 75 °C . V yp očtěte (a ) hustotu tepelného toku na jeden metr délky trubky, hustoty tepelného toku procházející (b ) vnitřním povrchem, (c ) vnějším povrchem a (d ) teplo tu vnějšího povrchu trubky.

Řešení (a) Hustota tepelného toku na 1 m délky

q v = ^ = ~ ~ ~ 87.72 W m '1 L 2,85

(b) Hustota tepelného toku vnitřním povrchem

^Rl —

(c) Hustota tepelného toku vnějším povrchem

(d) Teplota vnější stěny trubky

qv 7rd,

87,72 = 734.8 W m '2 71-0,038

qv

^1*2 =

87,72 = 607.0 W m 2 n -0 ,0 4 6

7id,

87,72 . 46 ln — = 7 5 ln — = 48.3 °C r. 271-0,1 38

ts2 == ts) -

K7 Ocelová roura s vnitřním průměrem 0,3 m, vnějším průměrem 0,45 m a délkou 3 m má tepel nou vodivost 47 W m_1 K 1. T eplota na vnitřním povrchu je 100 °C a na vnějším 10 °C. Sta novte (a) tepelnou ztrátu stěnou roury, (b ) tloušťku izolační vrstvy o tepelné vodivosti 0,12 W m'1K '1tak, aby se únik tepla snížil pětkrát.

Řešení ■ 2 n - At 2 n - (l0 0 - 1 0 ) Q = q v -L = -;— —r - L = — ^------^ - 3 1 , 45 ---- ln — — ln — 47 30 K r,

(a) Tepelná ztráta

= 196.65 k W

2n •A T qv = —: 1

Hustota tepelného toku na jednotku délky

V — ln — rť h

r,

(b) Poměr tepelných toků s izolací a bez izolace je f = 1/5 = 0,2

f=

2tt-A Ts

q y ,z o i_

A«..

Mvkz

1 I^ \

r,

+

271 - A T S

1 1 r, ' 1 , r,

X2

— in ^

r2

X,

— ln — r, ___________________ 1 .

X,

r3 = r2

h_

r,

\

v ri y Tloušťka izolační vrstvy je

1 .

= 0,2

r3

— l n ^ + — ln —

r,

f Vnější poloměr izolační vrstvy

r,

X2

r2

0,45

0,45

2

0,3

v— \ 47

1,0,2

)

= 0,2259 m

5iz = r3 - V2 = 0,2259 - 0,225 = 0,0009 m = 0.9 mm

4

109

Vedeni tepla - kondukce

K 8 Jak velká chyba při výpočtu vznikne, aproxim ujem e-li válcovou stěnu v předcházejícím kládě, úkol (a), rovinnou stěnou? Řešení Tepelný tok rovinnou stěnou

Q =

•A , kde A je teplosměnná plocha A = 7td •L b/X

Střední průměr v á lc o v é stěny

d = ^ ( d , + d 2) = -^-(0,45 + 0 ,3 ) = 0,375 m

Tloušťka stěny

b = ^ ( d , - d 2) = -^ (0 ,4 5 - 0 , 3 ) = 0,075 m

Q = ^ - A b/X

=

1 0 0 -1 0 -7i-0 3 7 5 *3 — 199,33 k W 0,075/47

Porovnáním s výsledkem z příkladu K 7 zjišťujem e chybu

QŤ

199,33

-------

K9 Teploty povrchů rovinné cih lové stěny pece jsou 1300 °C a 55 °C . T lou šťk a stěny je 30 Tepelná vod ivost závisí na teplotě (v e ° C ) vztahem X = Xo + X,pt, kde Xo = 0,838 W m '1° ( X\ = 0,00059 W m loC '2. Stanovte (a ) c elk o vý tepelný tok stěnou, (b ) ja k velk á chyba vz ne, budeme-li počítat pouze s konstantní tepelnou vod ivostí (X = Xq). Řešení (a) Separace proměnných a následná integrace Fourierova vztahu u l2 l2 q • J d x = — J A, •dt = — j ( X 0 + X ,t) •dt

q = ~ ( t , - t 2) + ^ - ( t f - t O = ^ ^ ( l 3 0 0 - 5 5 ) + Q;QQQ59(13002 - 5 5 2) = M b V 1 11 2 b V 1 2) 0,3 V ’ 2-0,3 v ’ = 3477,7 + 1658,9 = 5136.6 W n ť 2

(b ) V předcházejícím vztahu se ponechá pouze 1. člen a 2. člen odpadá, q apr= 3477,7 W m A = ^ sk~ ^ apr = 5136’ 6 — - _ : Z = 32,3 % q sk 5136,6

i

Neuvažováním závislosti tepelné vod ivosti na teplotě vzniká značná chyba! K 10 M lék o teče rychlostí 0,6 m s '1 skleněnou trubicí o vnějším průměru 60 mm a tloušťce s

3 mm. Teplota vnitřního povrchu trubice je 75 °C . V důsledku tepelných ztrát teplota m klesá, v žd y o 1 °C každých 8 metrů. Stanovte teplotu vnějšího povrchu trubice. Další pot né údaje: tepelná vod ivost skla 0,72 W m '1K '1, hustota m léka 1028 k g m '3 a měrná tep kapacita m léka 3936 J k g '1K ' 1. Řešení Pokles teploty podél trubice j e p rojev tepelných ztrát.

110


Hmotnostní tok mléka

m = p - c -— 4

= 1028-0,6 — ° -Q54 = 1,413 k g s '1 4

. . At q v = m ’ c p — = 1 ,4 1 3 -3 9 3 6 -- = 6 9 5 W m '1 8 Teplota vnějšího povrchu trubice plyne ze vztahu pro hustotu tepelného toku jednotkovou délkou válcové stěny

Tepelná ztráta na délce 1 m trubice

695 t2= t , - - Š Y _ l n ^ - = 7 5 •ln— = 5 8 .8 °C 2tc-X. dj -----2 t i -0,72 54

Kil Ocelové potrubí j e z vnějšku izolován o dvěm a stejně silným i vrstvam i (každá má tloušťku 70 mm) z různých izolačních materiálů. Vlastní potrubí kruhového průřezu má vnitřní průměr 60 mm, tloušťku stěny 5 mm a tepelnou vod ivost 4 5 W m '1K ' 1. Izolačn í vrstva ve styku s potrubím má tepelnou vod ivost 0,5 W m"1K ' 1 a vnější izolační vrstva 0,025 W m '1K ' 1. T ep lota vnitřní stěny potrubí je 250 °C a teplota vnějšího povrchu vnější izolační vrstvy je 30 °C. Stanovte (a) tepelnou ztrátu, (b ) tepelnou ztrátu v případě, kdy zam ěním e pořadí izolačních vrstev.

Řešení Tepelnou ztrátu lze charakterizovat velikostí hustoty tepelného toku na d élk ové jednotce, (a) Hustota tepelného toku na jednotku délky složenou válcovou stěnou . Qva -

2 ti -A ts

2 n - (2 5 0 - 3 0 )

1 , r2 1 - r, 1 . r, — ln— + — ln — + -----ln — r3 r. K i

175 1 , 35 1 , 105 1 ---- ln — + ------ ln ----- H---------- •ln 45 30 0,5 35 0,025 105

= 61.07 W m '1

(b) Hustota tepelného toku na jednotku délky složenou válcovou stěnou při zaměněném pořa dí izolujících vrstev 271-A ts

27c- (2 5 0 - 3 0 )

l r, 1 r3 1 r4 — ln -1 + -----ln — + ----- ln — r3 r. K i h izl

1 35 1 ,1 0 5 1 . 175 ■ln — + ----- ln ----— •ln — + 35 0,5 105 45 30 0,025

30.74 W m~

Zajímavý závěr, že změna pořadí izolačních vrstev výrazně ovlivň u je tepelnou ztrátu. Použití materiálu s nižší tepelnou vod ivostí u vnitřní izolační vrstvy je efektivnější!

K12 Měření tepelné vod ivosti tekutin. V á lc o v ý drát z elektrického odporového materiálu (p latin ové vlákno) o délce L = 10 cm a průměru 0,2 mm je umístněn koncentricky uvnitř křemenné trubky o průměrech 1 mm a 3 mm. Ú zká prstencová m ezera mezi drátem a trubicí je zaplněna tekutinou (o leje m ) u níž urču jeme tepelnou vodivost. Je-li přiváděn v ustáleném stavu na odporový drát elektrický příkon 30 W , teplota povrchu drátu je 110 °C a tepelný tok se šíří radiálně kapalinou a křemenem. Šíření tepla axiálním směrem je zanedbatelně malé. Teplota na povrchu křemenného válce je 32 °C a tepelná vod ivost křemene je l.ó W m ^ K '1. Stanovte

(a )

tepelnou

vod ivost

tekutiny

v mezeře a (b) střední teplotu tekutiny.

111


Řešení

Lze předpokládat, že tekutina v úzké prstencové mezeře je v klidu a přenos tepla se proto re lizuje jenom vedením (pou ze kondukce - b ez konvekce). (a) Hustota tepelného toku jedn otk ové délky dvouvrstvé vá lcové stěny (tekutina, křemen) q

Q = 30 = 3o o w m -1 L

a tak é

q v = - -----2 n ’ A t*-------

° ’!

— ln — + — ln — K ri K r2 1 r2 ln —

, 0,5 ln ’

------------- ------------- = —----------------- ------- ------( t j - t 3) - — ln ^ 3/ Jl r,

qv v '

= 1.7Q W m '1K ' 1

^ ! L . ( n o - 3 2 ) - — -ln — 300 v ' 1,6 0,5

(b ) Teplota na vnitřním povrchu křemenné trubice t2 = t , -----l n ^ = 110----------- ^ _ - l n — = 6 4 ,8 °C 2 1 2n-\ r, 2tt-1,7 0,1 Střední teplota tekutiny t, = ý ( t , + 12) = - j ( l 10 + 6 4 ,8 ) = 87.4 °C

K 13 K oule o polom ěru 100 m m z elektrického odporového materiálu má příkon 60 W . Je un něna koncentricky uvnitř k u lové dutiny větší koule. M ezik u lo v ý prostor m ezi kulovým i ] chámi ri = 100 m m a r2 = 170 m m je zaplněn látkou neznámé tepelné vod ivosti. T eploty vrchů ri a r2 v ustáleném režim u jsou ti = 85 °C a t2 = 28 °C. Stanovte tepelnou vod ivost 1í v m ezikulovém prostoru. Řešení Z tepelného toku vyjádřím e tepelnou vod ivost látky v m eziku lovém prostoru ( q = —

—

'1

1

1

471 -X. V ri

r2

_

1

4 7 t (t ,-t 2)^ r,

- 1

1

1 ^

L ..—

r j

471( 8 5 - 2 8 ) 1^0,1

= 0.345 W/fa 0,17

J

K 14 Dutina s tepelným zdrojem 200 W j e obklopena třemi koncentrickým i ku lovým i vrsť\ o stejné tloušťce. V eden í tepla probíhá stacionárně. Vnitřní povrch dutiny má průměr 1,8 teplotu 50 °C. T ep lota vnějšího povrchu třívrstvé soustavy je 10 °C . V yp očtěte (a ) tlou kulových vrstev a (b ) teploty na hranicích m ezi vrstvami. Tepelné v od ivosti vrstev (o d vn ke vn ější) jsou 20 W m 4 K 1, 1,2 W m '1K '1 a 0,08 W m '1K 1. Výsledek: (a ) 0,8925 m

(b ) 49,6 °C ; 47,1 °C

K 15 Řešte předchozí příklad pro obrácené pořadí materiálů vrstev. Výsledek: (a ) 0,1858 m

(b ) 12,2 °C ; 10,4 °C

K 16 M ěděná trubice je izolován a válcovo u azbestovou vrstvou, aby se sdílení tepla snížilo 5C Vnitřní průměr trubice j e

50 mm, tloušťka je jí stěny 4 mm, tepelná vod ivost mě

397 W m*1K ' 1 a azbestu 0,08 W m '1K '1. T eplota na vnitřní stěně je 95 °C a teplota na po^

112


azbestové vrstvy 20 °C . U rčete (a ) tloušťku azbestové vrstvy a (b ) teplotu m ezi trubicí a az bestem. Výsledek: (a) 4,7 mm

(b ) 94,99 °C

K 17 Uvažujme mosaznou válcovou trubici o průměrech 1,16 m a 0,88 m, která je obklopena dře věnou válcovou trubicí o průměrech 1,4 m a 1,16 m. T ep lota m osazi na vnitřním povrchu je 20 °C a teplota dřeva na vnějším povrchu je 50 °C. Stanovte (a ) hustotu tepelného toku na jednotku délky vá lcové stěny a (b ) polohu místa (radiální souřadnici) v e složené stěně, kde je teplota 45 °C. Tepelné vod ivosti: m osaz 90 W m '1K '1 a dřevo 0,085 W m '1K '1. Výsledek: (a) -85,1 W m '1 ... teplo proudí radiálně dovnitř (b) 0,678 m od osy, tj. v dřevěné části K 18 Proud vody protéká rychlostí 0,2 m s'1 plastovým potrubím kruhového průřezu o vnějším průměru 50 mm, délce 13,6 m a tloušťce stěny 4 mm. N a vstupu do potrubí je teplota vnitřní stěny 65 °C a teplota vnější stěny 25 °C. V liv e m tepelných ztrát teploty povrchů podél potrubí mírně klesají. Stanovte pokles teploty vnitřního povrchu potrubí na jeh o konci. Tepelná v o d i vost plastu je 0,125 W m ^ K 1, hustota a měrná tepelná kapacita v o d y jsou 996 kg m '3 a 4160 J kg'1K 1. Výsledek: teplotní pokles na této délce je 2,1 °C K19 Okno je často tvořeno dvěm a skleněnými deskami, m ezi nim iž je uzavřena vzduchová vrstva -vzduch je v klidu. Přenos tepla vlastním oknem se prakticky uskutečňuje jen vedením. T y pické hodnoty tloušťky a tepelné vodivosti: sklo 2 mm a 0,86 W m '1K ' 1, vzduch 10 mm a 0,0234 W m '1K '1. V yp očtěte (a ) pom ěr tepelných odporů uvažovaného okna a samotné jedné skleněné desky a (b ) přenášenou hustotu tepelného toku na 1 m 2 plochy, je -li rozdíl teplot na vnějších skleněných površích okna 30 °C. Výsledek: (a) 1840

(b ) 7,012 W m '2

K20 Řešte předchozí příklad pro tloušťku vzduchové vrstvy 20 mm. Výsledek: (a) 3677

(b ) 3,508 W m '2

K21 Kulovou stěnou složenou ze dvou vrstev prochází zevnitř ven tepelný tok 432 kW . T ep loty na hranicích jednotlivých vrstev jsou 500 °C , 448 °C a 50 °C . Vnitřní průměr stěny je 1,5 m, tloušťka vnitřní vrstvy j e 5 cm a vnější vrstvy 10 cm. Stanovte tepelné vod ivosti vrstev. Výsledek: (a) vnitřní 55 W m '1K ' 1

(b ) vnější 12 W m '1K ' 1

K22 Složená válcová stěna kanálu má dvě vrstvy. N a hranicích jed n o tlivých vrstev jsou (s jejich rostoucím poloměrem) zjištěny teploty 150 °C , 98,2 °C a 40 °C. Tepelná vod ivost vnitřní vrstvy je 20 W m '1K '1 a vnější vrstvy 8 W m '1K '1. T ep eln ý tok sdílený délkou kanálu 4 m je 64,2 kW. Vypočtěte tlou šťky vrstev, jestliže vnitřní průměr kanálu je 1 m. Výsledek: (a) vnitřní 25 cm

(b ) vnější 15 cm

Přestup tepla - konvekce

L Sdílení tepla přestupem mezi tělesem a tekutinou - konvekce Newtonův ochlazovací zákon:

q ... hustota tepelného toku [W m '2] • • 9 1 a ... součinitel přestupu tepla [W m ‘ K ' ] ts ... teplota stěny [°C ]

q = a- t - t.

tt ... teplota tekutiny [°C ]

Součinitel přestupu tepla a závisí na mnoha parametrech (tvar obtékaného tělesa, termofyzikální vlastnosti tekutiny, rychlost proudění, směr proudění atd.) Určuje se experimentálně a za pomoci teorie podobnosti výsled k y experimentů (kriteriální ro vn ice) m ůžem e aplikovat na jiné - geom etricky a fyzik áln ě podobné - případy. Podle způsobu obtékání tělesa tekutinou rozlišujem e dva druhy konvekce: a) Volná (přirozená) konvekce - tekutinu m echanicky nenutíme k pohybu, sam ovolně ob téká těleso (radiátory, stoupavé proudy ...) Nu = fce (Pr, G r)

nej častěji

N u = K • (G r • P r)n

b) Nucená konvekce - tekutinu nutíme k pohybu tlakovým spádem (kom presor, čerpadlo...) Nu = fce (Pr, R e )

nej častěji

N u = K • (R e • P r)n

Hodnoty K , n závisí na velik osti součinu (G r-Pr), resp. (R e-P r), ale také na dalších paramet rech, jako např. tvaru obtékaného tělesa, druhu obtékání. Jsou stanoveny experimentálně a je možné je najít pro běžné případy spolu s jin ým i kriteriálními rovnicem i v příloze těchto skript. Důležitá podobnostní čísla: a -L

Nusseltovo číslo:

Nu =

Reynoldsovo číslo:

Re =

Prandtlovo číslo:

P r- V - v - y p

L ... charakteristický rozm ěr (délka, průměr) [ml X

c -L

tepelná vod ivost tekutiny! [W m '1 K ’ 1]

c ... rychlost obtékající tekutiny [m/s] t 2 v ... kinematická visk ozita tekutiny [m /s] a ...

teplotní vod ivost tekutiny [m 2/s] - schopni látky měnit svo ji teplotu a = A,/(cp-p)

cp ... měrná tepelná kapacita tekutiny [J k g '1K m

-3

p ... hustota tekutiny [kg/m ]

Grashofovo číslo:

G r = p-|ts - t t|

g 'L 3

g ...

tíhové zrychlení [m/s ]

P ... izobar. souč. ob jem ové roztažnosti [1/K], pro id. plyn p = 1/T, kde za T dosazujeme termodynam. určující teplotu tu = (ts + tt)/2

LI M ezi okolním vzduchem a svislou stěnou 2,5 m vysokou a 3 m širokou dochází k přestupe tepla. Povrchová teplota stěny je 94 °C , teplota vzduchu 26 °C. U rčete (a ) součinitel přestupi tepla a (b ) c elk o vý tepelný tok ze stěny do vzduchu.

114

Přestup tepla - konvekce Řešení (a) Jedná se o volnou konvekci. Z tabulek kriteriálních rovnic vyhledám e vhodnou rovnici, např. Nu = K (G r-Pr)n, kde K a n jsou konstanty volen y v závislosti na velikosti součinu Gr-Pr. Charakteristickým rozm ěrem v Gr a N u číslech je výška stěny a určující teplota tu= 0,5 (ts + tt) = 0,5-(94 + 26) = 60 °C. Pro tuto teplotu jsou v tabulkách term ofyzikálních vlastností dané tekutiny ( v našem případě vzduch) vyhledávány příslušné veličin y v„ = 18,97-10'6 m2/s, Pru = 0,694, Xu = 0,0289 W rn 1K ’ 1. Pro ideální plyn je (3 = 1/TU. Gr-Pr = p (t —t ) ^ -• Pr = ------- -------- (9 4 - 2 6 ) - 9,81-2,5 ■ •0,694 = 60,34-109 Vs v2 273,15 + 60 ( l 8,97-10"6) Ztabulek kriteriálních rovnic vyhledám e odpovídající údaje pro Gr-Pr: K = 0,135 a n = 0,333 M ,1 3 5 -(6 0 ,3 4 -1 0 9)°'333= 52 5,1 c ♦ + i Součinitel přestupu tepla

Nu^ 525,1-0,0289 .2t,.i a = -------- = ------ ----- --------= 6,07 W m K L 2,5

(b) Celkový tepelný tok stěnou

Q = q •A = a ( t s - 1,) A = 6,07 •(9 4 - 26) •2,5 •3 = 3096 W

LI Vodorovná trubka o vnějším průměru 0,1 m má na povrchu teplotu 285 °C . T eplota okolního klidného vzd u ch u je 15 °C. Stanovte součinitel přestupu tepla m ezi povrchem trubky a vzdu chem v případě, že tlak vzd u ch u je (a ) 100 kPa a (b ) 5 M Pa.

Řešení Jde o volnou konvekci. Z tabulek kriteriálních rovnic vyhledám e příslušnou rovnici, např. Nu = K (G r-Pr)n, kde K a n jsou konstanty volen y v závislosti na velikosti součinu Gr-Pr. Charáteristickým rozm ěrem v G r a N u číslech je průměr trubky d. Předepsaná určující teplota tg= 0,5 (ts + tt) = 0,5-(285 + 1 5 )= 150 °C. (a) při tlaku 100 kPa a teplotě 150 °C má vzduch tyto vlastnosti: v = 29,5-10'6 m2 s'1, Pr = 0,722, X = 0,0338 W m '1K '1, pro ideální plyn je (3 = 1/TU Gr-Pr = p ( t s - t , ) ^ ~ P r = 2 8 5 -1 5 ------- 9,81-0,1 -0,722 = 5193158,7 v2 273,15 + 150 ( 2 9 , 5-10"6) Ztabulek kriteriálních rovnic vyhledám e odpovídající údaje pro Gr-Pr: K = 0,54 a n = 0,25 Nu = 0,54 •(5193158,7 )° ’25 = 25,78 o v . , v , Součinitel přestupu tepla

N u -X 25,78-0,0338 0 -2^-1 a = ----- — = -------------------= 8 ,7 1 W m K d 0,1 ------------------

Hustota tepelného toku

q v = a •( t s - tt) •7id = 8,71 •(2 8 5 - 1 5 ) ■n ■0,1 = 739 W m '1

(b) při tlaku 5 M P a a teplotě 150 °C má vzduch tyto vlastnosti: v = 0,61 -10’6 m 2 s'1, Pr = 0,78, X = 0,0338 W m '1K '1, pro ideální plyn je P = 1/TU Gr-Pr = p ( t s - t t) ^ - - Pr = 2 8 5 -1 5 ------- 9,81-0,1 - 0 ,7 8 = 13,121 19407- 10 9 HVs t; v 2 273,15 + 150 (o,6 1 -10 -6) Ztabulek kriteriálních rovnic vyhledám e odpovídající údaje pro Gr-Pr: K = 0,135, n = 0,333 Nu = 0,135-(13,12119407-109) ° 333= 315,95

115


o y • i i Součinitel přestupu tepla

Nu-A, 315,95-0,0338 a = -------- = --------------------d 0,1


q v = a •( t s - t t) •7id = 106,79 •(285 - 1 5 ) •7t •0,1 = 9058 W m'1

106,79 W m -----

-2^-1 K

L 3 V o d a protéká vodorovn ou trubkou o průměru 15 mm, délce 2 m. T ep lota vnitřního povrchu trubky j e 0 °C . Protékající vod a má teplotu 40 °C a rychlost 0,1 m s'1. U rčete (a ) součinitel přestupu tepla a (b ) radiální tepelný tok válcovou stěnou. Řešení Jedná se o nucenou konvekci. M usím e nejdříve rozhodnout, jak é m á proudění charakter. (a ) V ypočtem e R eyn o ld so vo číslo (charakteristický rozm ěr je průměr potrubí d ) cd 0 ,1 -0 ,0 15 Re = ----- = ■ — = 1500 < Reknt v ” 1-10“

2300

->

proudění je lam inám í

Term ofyzikální vlastnosti v o d y pro určující teplotu tu = 0,5 (ts + tt) = 0,5-(0 + 40) = 20 °C: v = 10'6 m2 s'1, P r = 7,06, X = 0,599 W m '1K '1, p = 0,207-10‘3 K ' 1 Gr -Pr = p|ts - t t|

■P r = 0,207 •10"3 •|0- 40| •9»81' °

»

.. 7 ,06 = 1 935 431,6 < 3600000

Za předpokladu, že m áme lam inám í proudění v e vod orovn é trubce (k = 0), délka trubky L > 50-d = 50-0,015 = 0,75 m a součin Gr-Pr < 3,6-106, lze použít kriteriální rovnici ve tvaru N u = 0,74 •(R e- P r )0,2 •(G r •P r )0,1 = 0,74 •( l 500 •7 ,0 6 )°’2 •( l 935431,6)°'' = 20,1 o v. • , v , Součinitel přestupu tepla (b ) Tepeln ý tok

Nu-A. 20,1-0,599 ... -2^-1 a = -------- = ---------------- = 802.66 W m K d 0,015

Q = q v - L = a - ( t , - t s)-7 id -L = 8 0 2 , 6 6 - (4 0 - 0 )- t t - 0 , 015-2 = 3026.W

L 4 V o d a proudí vzhůru rychlostí 0,1 m s'1 v e svislé trubici o průměru 10 m m a délce 2 m. Voda vstupuje do trubice a m á teplotu 62 °C , opouští ji ochlazená na teplotu 60 °C . Průměrná teplo ta stěny trubice je 9 °C . Trubice j e dostatečně štíhlá (L/d > 50). U rčete (a ) součinitel přestupu tepla a (b ) radiální tepelný tok válcovo u stěnou. Řešení Zabývám e se nucenou konvekci. Je nutné určit, zda m áme v trubici lam inám í nebo turbulent ní proudění. Průměrná teplota v o d y v trubici

tt = 0,5 (ti + t2) = 0,5-(62 + 60) = 61 °C

Term o fyzikální vlastnosti v o d y pro určující teplotu

tu = 0,5 (ts + tt) = 0,5-(9 + 61) = 35 °C:

v = 0,732-10'6 m 2 s'1; P r = 4,9; X = 0,626 W n ť 1K '1; (3 = 0,347-10'3 K ' 1 (a ) V ypočtem e R eyn o ld so vo číslo (charakteristický rozm ěr je průměr potrubí d) cd R e = -----=

0,1-0,01 _6- = 1366 < Reknt = 2300 0,732-10’

-»

.................. proudění je lam inám í

G r-P r = p i t , - t , i •P r = 0,347• 10 '3 •|9- 6 1|• 9’ 81' 0’ 01 , •4,9 = 1618735 < 3600000 v (0 ,7 3 2 -1 0 ^ ) Pro tento případ (L/d = 2/0,01 = 200 > 50 a 0,5 < P r = 4,9 < 12) je vhodná kriteriální rovnice: N u = |^0,74 •(R e •P r ) 0,2 + k •(p •A t )° ’°2J •(G r •P r )0,1

kde k = 1 pro proudění vzhůru a At = ti - 12 = 62 - 60 = 2 °C

116


Nu= 0,74-(1366-4,9)°’2 + 1 - ( o ,347-10-3 -2 )°’02 •(1618735)°’’ = 21,61 Součinitel přestupu tepla Jijlepělny tok

a = -^ U- ^ d

0*6^6 _ ^ 52.8 W m '2 K ' 1 0,01 ------------------------

Q = q v •L = a •(t, - ts)• n d •L = 1352.8 (61 - 9 )- tt- 0 .0 1 -2 = 4420 W

L5 Vodní pára o teplotě 400 °C a tlaku 3 M P a protéká potrubím o průměru 250 mm a délce 5 m. Rychlost p áry j e l O m s 1. Stanovte tepelný tok do povrchu vá lcové stěny, jeh o ž teplota je

350 °C. Řešení Konvekce je nucená. Napřed stanovíme charakter proudění. U rču jící teplota není u kriteriální rovnice předepsána, proto použijem e pro určování term ofyzikálních vlastností v tabulkách přímo teplotu páry 400 °C (v = 2,423-10'6 m 2 s'1, Pr = 0,969, X = 0,0573 W m '1K '1). Vypočteme R eynoldsovo číslo (charakteristický rozm ěr je vnitřní průměr potrubí d) c-d _ 0,1-0,25 Re = — = - ’ ^ ^_6 = 10279,6 > Reknt = 2300 v “ 2,432-10" L/d = 5/0,25 = 20 > 10

->

0,7 < Pr = 0,969 < 160

proudění je turbulentní

R e = 10279,6 > 10000

Protože ts = 350 °C < tt = 400 °C , lze použít kriteriální rovnici v e tvaru: Nu = 0,023-R e 08 -P r0’3 = 0,023-10279,60'8 -0,969°’3= 36,92 „ v -. , v . . , Součinitel přestupu tepla Tepelný tok

Nu-A. 36,92-0,0573 ,2 x a = -------- = --------------------= 8,46 W m K d 0,25

Q = q v - L = a - ( t p- t s)-7 td -L = 8 , 4 6 - (4 0 0 - 3 5 0 )-7i-0,25-5 = 1661J_W

L 6

Proud vody o teplotě 10 °C obtéká rovinnou stěnu chladiče o rozm ěrech 0,6 x 1 m. Rychlost vody je 0,5 m s '1 a směr proudu je ve směru delšího rozm ěru stěny. T ep lota stěny je 5 °C. Určete (a) součinitel přestupu tepla a (b ) tepelný tok procházející stěnou.

Řešení Jde o nucenou konvekci. U rčím e charakter proudění. (a) Termofyzikální vlastnosti vod y pro určující teplotu tu: tu= 0,5 (tt + ts) = 0,5-(10 + 5) = 7,5 °C : v = 1,42-10‘6 m 2 s’ 1; P r - 10,6; X = 0,569 W m '1K '1 Reynoldsovo číslo (charakteristický rozm ěr je rovnoběžný s proudící tekutinou L = 1 m ) Re = ^—^ = ^ A = 352112,7 < Reknt ~ 5-105 v 1,42•10”

->

proudění je laminámí

Nu = 0,664 •R e 0,5 •P rx = 0,664 -352112,70,5 •10,6X = 865,5 o v • , v , Součinitel přestupu tepla (b) Tepelný tok

N u -X 865,5-0,569 . . . _ ___ _2T,.\ a = — —— -------------------= 492.5 W m K

Ó = á r - A = a - ( t , - t . ) - A = 4 9 2 . 5 - ( l 0 - 5 ) - 0 . 6 - l = 1477.5 W

117


L7 Vnější rovinná stěna budovy má šířku 20 m a výšku 16 m. Je vod orovn ě obtékána vzduch o teplotě 20 °C , rychlostí 0,6 m s '1. Teplota na povrchu stěny je 19 °C . Určete (a ) součin přestupu tepla a (b ) tepelný tok ze vzduchu do stěny. Řešení Jde o nucenou konvekci. P od le velikosti R e určíme charakter proudění. T erm ofyzikáln í vl nosti vzduchu pro určující teplotu tu = 0,5 (tt + ts) = 0,5-(20 + 19) = 19,5 °C jsou: v = 15,7-10'6 m2 s*1; P r = 0,722; X = 0,0252 W m '1K '1 (a) R eyn oldsovo číslo (charakteristickým rozm ěrem je šířka L = 20 m ) Re = ^ - 1 = ^ v 15,7-10

= 764331,2 > Reknt = 5-105

—»

turbulentní proud, (na konci stěi

Kriteriální rovnice

N u = 0 ,037-R e°'8 -P rx = 0,037-764331,20'8 -0,722x = 1689,2

, Součinitel nrestuou tepla

N u -X 1689,2-0,0252 ,2„ . i a = -------- = --------------------- = 2.13 W m K L 20 ------------------

(b ) Tepelný tok

Q = q R •A = a (t, - t s) - A = 2 .1 3 -(2 0 -1 9 )-2 0 -1 6 = 681.6 W

L8 Řešte předchozí příklad pro případ, že šířka budovy je pouze 10 m. Řešení Menší šířka budovy o vliv n í nucenou konvekci nejen kvantitativně, ale i kvalitativně. Určující teplota tu = 0,5 (tt + ts) = 0,5-(20 + 1 9 ) = 19,5 °C , term ofyzikální vlastnosti vzdi jsou: v = 15,7-10'6 m 2 s'1; Pr = 0,722; X = 0,0252 W m '1K '1 (a) R eynoldsovo číslo (charakteristickým rozm ěrem je šířka L = 10 m ) Re =

^ v

^ 15,7-10

= 382165,6 < Rekrit = 5-105

—»

lam inámí proud, (n a k o n ci stěn

Kriteriální rovnice

N u = 0,664 •R e 0’5 •P rx = 0,664 -382165,60'5 •0,722x = 368,2

o y • i v i Součinitel Drestuou tenla

N u •X. 368,2-0,0252 _2 T,.i a = -------- = -— — — -- ------- = 0.928 W m K L 10 --------------------

(b ) Tepeln ý tok

Q = q R - A = a - ( t , - t s) - A = 0 .9 2 8 -(2 0 -1 9 )-1 0 -1 6 = 148.5 W

Obecně se zm ěna charakteru proudění význam ně projevuje na sdělovaném tepelném ti Turbulence výrazně podporuje přestup tepla. L 9 Var vod y v uzavřené nádobě probíhá při tlaku 140 kPa. Teplosm ěnnou stěnou je rovinné o velikosti p loch y 2 m . R ychlost vypařování je 100 g s' . M ěrné skupenské teplo vypařo v zadaném stavu je 2230 kJ k g '1. Stanovte (a ) součinitel přestupu tepla a (b ) přehřátí dna. Řešení Jedná se o konvekci tepla při fá zo vém přechodu - při varu vody. V tom to případě lze p empirický vztah pro v ýp o čet součinitele přestupu tepla a = 0,123 -q0,72 -p0,24 , m , Hustotatepelneho toku

tt

118

. Ó m -L , 0,1-2230000 ■ .2 q = — = ----- 21 = ------------------= 1 1 1 5 0 0 W m A A 2


(a) Součinitel přestupu tepla

a = 0,123 •1 1 15000,72 •1400000,24= 9099,4 W m~2 K ' 1

(b) Přehřátí dna nádoby

At = t - 123 = -5- = 111500 = 12,25 °C a 9099,4

L10 Proud vody o teplotě 10 °C obtéká rovinnou stěnu chladiče o rozm ěrech 0,6 x 1 m. Rychlost vody je 0,5 m s'1 a směr proudu je ve směru kratšího rozm ěru stěny. T ep lota stěny je 5 °C. Určete (a) součinitel přestupu tepla a (b ) tepelný tok. ^kítek-. (a ) 630,8 W m 2 K ' 1

(b ) 1892 W

Lil Mete tepelný tok z jednoho metru délky horizontální trubky o vnějším průměru 0,1 m a tep lotě povrchu 180 °C do okolního prostředí o teplotě 20 °C. T ep eln ý tok určete pro (a ) vodu a (b) vzduch. Výsledek: (a) 132 k W /m

(b ) 4 0 1 k W /m

L12 Svislá stěna o výšce 4 m a šířce 5 m má stálou teplotu 60 °C. K o le m stěny proudí vzduch oteplotě 10 °C. Stanovte tepelný tok přecházející ze stěny do vzduchu.

Výsledek: 4,8 k W L13 Vzduch o tlaku 200 kPa a teplotě 200 °C je při průtoku trubkou o průměru 25 mm ohříván. Rychlost vzduchu je 10 m s'1, povrchová teplota stěny trubky je 220 °C . Určete tepelný tok předávaný vzduchu v topném úseku trubky dlouhém 5 m.

Výsledek: 517 W L14 Voda o teplotě 60 °C vstupuje střední rychlostí 0,02 m s '1 do trubice o průměru 25 mm a dél ce3m. Teplota povrchu stěny trubice je 80 °C. Určete sdílené teplo.

Výsledek: 703 W 115 Vzduch o teplotě 27 °C a tlaku 100 kPa obtéká kouli, je jíž průměr je 12 mm. Rychlost nabíha jícího proudu vzduchu je 4 m s '1. Povrch koule je vyhříván m alým topným elementem zabu dovaným v kouli, takže povrchová teplota je udržována na stálé hodnotě 77 °C . Stanovte te pelný tok odváděný z koule.

Výsledek: 1,55 W L16 hm\ potrubí o vnitřním průměru 100 mm má v běžném provozu vnější teplotu povrchu 110°C. Na potrubním úseku dlouhém 200 m mají být provedeny rekonstrukční práce, v y ža dující sejmutí tepelné i zolace n a dobu 2 4 hodin. Potrubí bude vystaveno účinku chladného větrného vzduchu o rychlosti 8 m s ’ , tlaku 100 kPa a teplotě 4 °C . V yp o čítejte odhad tepelné ztráty neizolovaného potrubního úseku, pokud nebude zajištěna doprava páry náhradním po trubím.

Výsledek: 20,4 G J

119

M

Prostup tepla = přestup + vedení + přestup

Hustota tepelného toku rozlehlou rovinnou stěnou složenou z n vrstev m ezi tekutinami tl qR =

( t , i - t , 2)

k R

( W r n 2)

Q R = q R -A

(W )

Součinitel prostupu tepla ro v innou stěnou 1

( W m ^ K '1)

R

J- +V ÍL +

ftX .

a,

1 a2

Hustota tepelného toku na 1 m délky dlouhou válcovou stěnou složenou z n vrstev mezi t< tinami t l a t2 q v = k v - ( t , i - t , 2)

( W m ' 1)

Qv = q v L

(W )

Součinitel prostupu tepla válcovo u stěnou ( W n ť 1K '1)

Hustota tepelného toku kulovou stěnou složenou z n vrstev m ezi tekutinami t l a t2 4k ~

,

'(^ti

_ K

(W )

^t2)

1 _ Rk

(W )

Qk = q K

1 1

1 1Y 1 f 1 471 « , - r , 2 jť x X { l ri

(W K ' 1) 1 1 1 ri+iJ ' a 2 -rn+, .

R - tepelné odpory při prostupu tepla M l

Cihlová stěna místnosti j e 30 cm silná, 3 m vysok á a 4 m dlouhá. T epeln á vodivost cihe

0,75 W m '2K '\ V zduch uvnitř má teplotu 22 °C , součinitel přestupu tepla na vnitřní stí

stěny je 25 W m '2 K "1, ven kovn í vzduch má teplotu -5 °C a součinitel přestupu tepla na vr

straně je 13 W m ‘2K ‘ \ Stanovte (a ) tepelný odpor stěny, (b ) tepelný tok stěnou a (c) tep na površích stěny. Řešení (a) Tepelný odpor stěny

(b ) Hustota tepelného toku

_

1

b

1

0 ,3

qR =

1

_ _. _

= 52,22 W m

2 r/- 1T7-

-2

0,517

Rr Tepelný tok stěnou

1

R „ = ----- 1----- 1 ----- = ------ 1 --------- 1------- 0,517 m K W a, X a, 25 0,75 13

Q = q R - A = 52,2 2 -4 -3 = 626.8 W

(c ) Pro výpočet teplot vyjd em e ze vztahu, který v y p lý v á z předpokladu, že tepelný tok ]

cházející z tekutiny do stěny, projde touto stěnou a na druhé straně přejde do druhé tekutin; *tl

120

tt2

1

b

1

a,

X

a,

_ *tl__ *1_______ h- _ ^2 b

a,

X

a.

^t2 _ ^tl

a,

^2 _ tl X

X

a.

Prostup tepla

Teplota vnitřní stěny

t, = t „ a,

Teplota vnější stěny

= 22 - — ’ 25

t2 = t t2 + — = - 5 + a2

= 19,91 °C

= -Q.98 °C 13

M2 Vzduch protéká kanálem, je h o ž stěny jsou sestaveny z p řek ližk ových rovinných desek otloušťce 3 mm. Teplota okolí je 25 °C , na vnějším povrchu kanálu je teplota 28 °C a souči nitel přestupu tepla 12 W m '2K '\ Uvnitř kanálu je součinitel přestupu tepla 58 W m ^ K '1, tepelná vodivost překližky je 0,13 W m ^ K ’ 1. Určete (a ) teplotu vzduchu uvnitř kanálu a (b) střední teplotu stěny. Řešení Newtonův vztah pro přestup tepla na vnější stěně určuje hustotu tepelného toku qR= a 2-(t2 —tt2) = 12 -(2 8 —2 5) = 36 W m ‘2 (a) Teplota vzduchu uvnitř kanálu *11“ *2 +C1r

*+■ v a,

= 28 + 36' X

1 0,003 — + —----58 0,13

29.45 °C

Teplotu vnitřní stěny určíme z Fourierova vztahu pro stacionární veden í tepla rovinnou stěnou t, = t2+ q R- = 2 8 + 3 6 - - ^ ^ = 28,83 °C ' 2 RX 0,13 (b) Střední teplota stěny t = i(t , + t 2) = 0 ,5 -(2 8 ,8 3 + 2 8) = 28.42 °C

Poznámka: Použité vztahy jsou odvozen y pro nekonečně rozlehlou rovinu. V našem případě se uplatní v liv jednak konečných rozměrů a také bočních stěn, zvláště pak v rozích. Výsledek je proto pouze přibližný. M3

Stěna budovy je složena z cih lové vrstvy o tlou šťce 10 cm a z vápenné om ítky o tloušťce 5cm. Součinitelé přestupu tepla jsou 250 W m '2 K "1 na vnější straně a 2,4 W m '2K ' 1 na vnitřní straně. Stěnu je třeba zateplit deskami z čedičové vlny. Tepeln é vod ivosti jedn otlivých mate riálů jsou: cihly 0,72 W m '1K ' 1, om ítka 0,51 W m '1K '1, čed ičová vlna 0,066 W m '1K ' 1. Sta novte tloušťku izolačních desek, abychom dosáhli snížení tepelných ztrát o 90 %. Řešení Vedení tepla řešené v příkladě K 4 je rozšířeno na prostup tepla. Hustota tepelného toku při prostupu tepla rovinnou složenou stěnou . _ qR

At, 1 ^ bj 1 -CC| + Xj=jr Xj - + — a2

Poměr odváděného tepla izolovan ou stěnou k odváděnému teplu stěnou b ez izolace r = 0,1 1 b. b, 1 — + - L + -^- + ---

Tloušťka izolační vrstvy \ f /, \ í 1 b, 1 1 0,1 0,05 1 - + — — + —— + -+ +— +— = 0,066-9b3 — X3 • v a, a 2v 250 0,72 0,51 2,4

= 39,1 cm

Poznám ka: Při uvažování pouze vedení tepla v příkladě K 4 vyšla vrstva izola ce b 3 = 14,1 Přídavným účinkem přestupu te p la je zde nutné zateplit stěnu silnější izolační vrstvou. M 4 Rovinná stěna ocelovéh o (o ) kotle o tloušťce 12 mm, oddělující spaliny

O k

(sp) o teplotě 550 °C od vroucí v o d y ( v ) 190 °C teplé, je pokryta na straně spalin vrstvou sazí (s ) o tloušťce 1 mm a na straně v o d y vrstvou kotelního kamene (k ) silnou 2 mm. T epeln é vod ivosti materiálů: ocel 45 W m '1K ' 1, saze 0,08 W m '1K ' 1 a vodní kámen l ^ W m ^ K ' 1. Součinitelé přestupu 9

1

9

1

tepla: na straně spalin 105 W m ' K ' a na straně v o d y 6250 W m ' K ' . Sta novte (a ) součinitel prostupu tepla stěnou, (b ) hustotu tepelného toku a (c ) teploty na površích o c e lo v é stěny kotle. Řešení (a) Součinitel prostupu tepla složenou rovinnou stěnou kotle / ................................... v 1 1 1 0,001 0,012 0,002 1 1 +— bs + — K + —i bk — + —----- + —------ + —------ + kR = 105 0,08 45 1,5 6250 \ a sp X s X o X.k (b ) Hustota tepelného toku stěnou

= 42,05 Wm'

q R = k R ■( t s - t v) = 42,05 ■(550 - 1 9 0 ) = 15136 W i ť

(c ) Teplota ocelovéh o povrchu v e styku se sazemi = 5 5 0 -1 5 1 3 6 -

1

0,001

216.6 °C

v 105 + 0,08 (d ) Teplota ocelovéh o povrchu v e styku s kotelním kamenem t3 = t v + q R

1 va v

= 190 + 15136Xk

1

0,002

-+ ■ 6250 1,5

212.6 °C

Teplotní gradient v o ce lo vé stěně

t,-t, 2 1 6 ,6 -2 1 2 ,6 .i -2— t = ----- ^---------- — = 3 3 3 ,3 K m b0 0,012

Střední teplota stěny je

t = | ( t 2 + t 3) = 0 ,5 -(2 1 6 ,6 + 2 1 2 ,6 )= 2 1 4 ,6 °C

M 5

Studujte v liv kotelního kamene a sazí z předcházejícího příkladu na provozuschopnost k Stanovte (a ) pom ěr tepla vedeného stěnou s kotelním kamenem a sazem i a tepla vedei

ocelovou stěnou b ez kotelního kamene a sazí. D ále pak (b ) p ovrch ové teploty ocelové s

bez kotelního kamene a sazí, (c ) teplotní gradient v oceli a průměrné teploty ocelové s v obou případech a (d ) střední teplotu o celo vé stěny kotle. Řešení • •

9

(a) D le M 4 hustota tepelného toku s kotelním kamenem a sazemi je q ^ = 15136 W m ' . Hustota tepelného toku b ez kotelního kamene a sazí

• , í \ í 1 1 \ \ \ T 1 0,012 1 v ' • (5 5 0 -1 9 0 ) = Ódu —k Rh ' ( t —t ) — ------ 1 ------ 1 ----- ( t —t ) — -----------1 ----------- 1 ----Rb ' sp v' I a sp X0 a v J l p ’ v 105 45 ^6 250 = 36179,2 W r

122

Prostup tepla

Poměr hustot tepelných toků

r=

q Rs _ q Rb

15136

0,418 = 41.8 %

36179,2

Přítomnost sazí a kotelního kamene snižuje provozuschopnost kotle téměř o 42 % ! (b) Povrchová teplota na straně vod y bez kamene vych ází z N e w to n o v a zákona tu - t„ +

^Rb

= 190 +

a„

36179,2

195.8 °C

6250

Povrchová teplota na straně spalin b ez sazí I ]b = t„sp - ^ OL

= 550 - 36179,2 = 205.4 °C 105

(c) Teplotní gradient v o ce lo vé stěně b ez sazí a kotelního kamene t;b- t 3b_ 2 0 5 ,4 -1 95 ,8

b0

0,012

= 800 K/m

(d) Střední teplota stěny

t,, = | ( t 2b + t 3b) = 0.5 •(2 0 5 .4 + 1 9 5 .8 ) = 200,6 °C

Srovnání s M4: teplotní gradient v o celové stěně je větší, ale je jí střední teplota je menší. M6

Ocelová trubka kotle o světlosti 66 mm a tloušťce stěny 12 mm, je ž odděluje spaliny o teplotě 550 °C od vroucí vody 190 °C teplé protékající trubkou, je p o

kámen Xk

kryta na straně spalin vrstvou sazí o tloušťce 1 mm a na straně vody vrstvou kotelního kamene o tloušťce 2mm. Tepelné vod ivosti:

ocel 45 W m '1K ' 1, saze

0,08 W m"1K ’ 1 a vodní kámen 1,5 W n ť 1K '1. Součini telé přestupu tepla na straně spalin 105 W m ' K ' , na straně vody 6250 W m ‘2K ''. Stanovte (a) hustotu te pelného toku složenou válcovo u stěnou, (b ) teploty na

spaliny t„

površích ocelové trubky, (c ) hustotu tepelného toku bez přítomnosti kotelního kamene a sazí, (d ) pom ěr

hustot tepelných toků vedených stěnou o celo vé trubky s usazeninami a b ez usazenin. Řešení

Poloměry stěn: ri = 31 mm, r2 = 33 mm, r3 = 45 mm, r* = 46 mm (a) Součinitel prostupu tepla složenou válcovou stěnou trubky 1

1 1 . r2 1 . r3 1 , r4 1 — + — ln — + — ln — + — ln — + ---2n Va vri r r2 1 1 , 33 1 , 45 1 , 46 - + — ln — + — ln — + ------ ln — + 271 6250-0,031 1,5 31 45 33 0,08 45 105-0,046 1


11.733 W m '1K 1

q Vs = k Vs ( t sp - tv ) = 11,733 •(550 - 1 9 0 ) = 4223.9 W m~

(b) Teplota o ce lo vé trubky na vnitřní straně - ve styku s kotelním kamenem ( 1 1 . r2 4223,9 1 | 1 l n 33 = 221.5 °C — + — ln — = 190 + t2 = tl v + ^ ^ n 271 6 2 5 0 -0 ,0 3 1 + 1,5 n 31 y 271 v a vri

123

Teplota ocelové trubky na vnější straně - ve styku se sazemi *3 - *sp

1

Sv

-+ — h A 2n Va spr4 X. r,

= 550-

4223,9 271

1

1 , 46 - + ------ ln — 105-0,046 0,08 45

= 226.1 °C

net

4 223,9. 45 Í vlJ t, = t, + ^ — ln -*- = 221,5 + - ln — = 226,1 °C 3 2 271 X. r, 271-45 33 (c ) Součinitel prostupu tepla b ez usazenin -1 1 1 1 + —1 ,ln= 28.128 W m '1K '1 ^vb — 271 v a vr2 r-i2 a spj ,3 y Hustota tepelného toku

q,^ = k ^ ( t sp - t v ) = 28,128 •(5 50 - 1 9 0 ) = 10126.1 W m~ q vs _ 4223,9 _

(d ) Provozuschopnost k otlo vé trubky vyjadřuje pom ěr

<

0.417 = 41.7

10126,1

Porovnáním s výsled k y pro rovinnou stěnu (příklady M 4 a M 5 ) je zřejm é, že u válcové trubky je v liv provozn ích usazenin stejných tloušťek prakticky stejný - nepatrně větší.

M 7 V álcová nádoba o vnitřním průměru 1,5 m a výšce 1,5 m je uzavřena rovinn ým i víky. Tlo

ka všech stěn je 5 cm a tepelná vod ivost 55 W m '1K ' 1. V nádobě je pára o teplotě 350

Teplota okolního vzduchu j e 20 °C . Součinitel přestupu tepla na vnitřní straně stěi 600 W m '2 K "1, na vnějších stranách vá lc o v é stěny je 12 W m"2 K ' 1 a v ík 7 W m"2 K "1. Stáni

pokles úniku tepla, opatřím e-li na vnějším povrchu nádobu izolační vrstvou o tloušťce 10 a tepelné vod ivosti 0,05 W m '1K '1. Řešení C elkový tepelný tok stěnami (1 v á lc o v á + 2 rovinné)

Q = Q v + 2 Q R = q v -h + 2-qR'y

i

(1 ) B ez izolace - jednoduché stěny 1 + —l ,ln^ — + 1 — ----a r , X, r, a w r2 j _2n -i 1 , 0,8 1 -+ — ln — -— h( 3 5 0 - 2 0 ) = 19277 W m ' 271^600-0,75 55 0,75 12-0,8

^Vb “ ^Vb (*p

*v )) -~

r

^Rb = ^Rb (tp —* v ) =

1

n -d2 Qb —^vb •h + 2 •q Rb

b,

1 V'/

— i— - + ----a ^1 a vR V p p

\ ( 1 0,05 1 ( t - t v = ----- + —— + Vp v' Uoo 55 7

= 19277-1,5 + 2-2269

tt-1,52

(350 - 2 0 ) = 2269 Wi

= 36935 W

(2 ) S izolací - složené stěny 1 Qvs ~

2 ti 1

^Vs ~

124

1 V

/

1 r, 1 r3 1 - + — ln — + — ln — + -

p

-1 1

1 t 0,8 1 , 0,9 1 -+ — ln — -— + ------ l n - 1- + 271 600-0,75 55 0,75 0,05 0,8 12-0,9,

( 3 5 0 - 2 0 ) = 846 W m

-i

Prostup tepla

f 1

b, b2 1 V' qRs = --- + - L + ^ - + ----V a

p

^ 2

Q , = q Vs-h + 2 - q R

a

vR

í 4

1

0,05 0,1 1 ■H— ---- + — — + 600 55 0,05 7

J

,-i

-2

( 3 5 0 - 2 0 ) = 154 W m

= 846-1,5 + 2 - 1 5 4 - ^ - ^ - = 1812 W 4 Ó

Poměr vyjadřující pokles úniku tepla

1812

~ 0,049, tj. redukce původní ztráty na 5 %.

M 8 Kulová o celo vá nádoba o vnitřním průměru 1,5 m má stěnu 5 cm tlustou a tepelná vodivost materiálu j e 55 W m "1K ' 1. V nádobě je uzavřena pára o teplotě 350 °C . T ep lota obklopujícího prostředí je 20 °C . Součinitelé přestupu tepla jsou: na vnitřním povrchu 600 W rrf2K "1, na vnějším 12 W m '2K ''. Určete, jak se sníží únik tepla, opatřím e-li nádobu na vnějším povrchu izolační vrstvou o tloušťce 10 cm a tepelné vod ivosti 0,05 W m '1 K '1. Řešení (1) T ok tepla jednoduchou kulovou vrstvou b ez izolace

1 r

Qb =

1

1 r

1

n

4 tt ^6 0 0 -0 ,7 5 2 ' 55 ,0 ,7 5

1

+-

( 3 5 0 - 2 0 ) = 30789.3 W

0 ,8 ,

(2) T ok tepla složenou kulovou stěnou s izolací 1

Qs= k Ks(tp-tv) = A

1

1

4n

I

1

1

1

1

^ o V

‘r,l

r. *2 J

I

1

+-

1

1

iz

v r,2

I

1

1 r,3 7

+a vr 3 J

1

1

Q — — ------------- —h--------------------- H---------- ---------------H------------- — 5 471^600-0,75 5 5 ^ 0 ,7 5 0 ,8 J 0,051,0,8 0 ,9 J 1 2 -0 ,92 J

(350 —20) — v ’ = 1437.3 W

Poměr tepelných toků

Ó

1437 3 = ------- -— = 0,047, ti. snížení úniku tepla na méně než 5 %. Qb 30789,3

M 9 K ovová v á lcová nádoba s rovinným dnem a p olok u lovým víkem dle nákresu je izolována. R ozm ěr a = 1 m, tloušťka stěn 5 cm a tloušťka izolace 10 cm. Tepelné vodivosti: k o v o vá stěna 55 W m '1K ' 1 a izolační

vrstva

0,05 W m '1K ' 1.

V nádobě je pára o teplotě 350 °C , okolní prostředí má tep lo tu 20 °C.

Součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu 9

1

9

1

600 W m ' K ' , na vnějším povrchu 12 W m ' K ' . V ypočtěte (a) tepelný tok při prostupu tepla, (b ) tepelný tok při prostupu tepla b ez izolační vrstvy a (c ) celkovou účinnost izolace a účinnosti izolace jed n o tlivých stěn.

125

Prostup tepla

Řešení C elkový tepelný tok při prostupu třemi různými stěnami:

Q = QR+ Qv + QK

(a) S izolací na Q R s = k Rs-(tp - t v ) - A = 7T-12 0,05 0,1 1v ' + —— + — — + — (3 5 0 - 2 0 ) — = 124 W 600 55 0,05 12

A 1 Q rs =

r 1 , r2 1 r3 1 + — ln — + — ln — + 2n < V . r. K h « vr3 j . v -1 1 1 f 1 1 , 0,55 1 , 0,65 — I ----------- + — ln —— ++ ------ln —— -ln(350 - 2 0 ) •1 = 597 W 271^600-0,5 55 0,5 0,05 0,55 12-0,65

Qvs = k vs ■(tp —

Qvs ~

1

\ )/)-a ‘a = =

1

1

Qks ~ 2 k Ks (*p

1

1

Q ks= ~

471

2

1 +4 tt a nr 2 X V p 1

tv ) — 2 ’

í

1

1 r

1

1

1

+X.„ r2 J

V r.

1

r,

1

+0 ,0 5 ^ 0 ,5 5

^ 6 0 0 -0 ,52 ’ 55 L 0,5

1 0 — I' ' 2 r. « vr ; hj 1

0,65

-1

\

1

+1 2 -0 ,652

(3 5 0 -2 C = 357 W

Q s= 124 + 597 + 357 = 1078 W

C elkový tepelný tok s izo la cí (b ) B ez izolační vrstvy

Q Rb

=

k Rb ‘ ( t p ~

t v ) ' A

=

f 1 b0 1 V ‘ — +— +— ap X a' #vO

7t-l2 ■ (3 5 0 - 2 0 )- —-j— = 3017 W

1

0,05 1 -H— -----+ 600 55 12

Q Rb =

na ( lP _ t v)

1

Qvb -

r— H

\ )-a =

1

1 , r2 1 - + — ln -2- + 2 tt a .r, X0 r, a vr2y

1 ( 1 1 , 0,55 1 — I ----------- + — ln' 2 t i ^ 6 00 -0,5 55 0,5 12-0,55

( 3 5 0 - 2 0 ) 1= 13242 W

-1 QKb _ 2 k Kb'(tp

Q «,= 4

t v) ~ 0 '

471 v V *

" 1 í

1 1 í 1 4 tc ^ 6 0 0 -0 ,52 ' 55 ^0,5

C elkový tepelný tok b ez izo la ce

126

Xo l r,

hs

a vr2 j -1

1 1 1 0,55, ’ 1 2-0,552 J

( 3 5 0 - 2 0 ) = 7264 W

Q b= 3017 + 13242 + 7264 = 23523 W

PrQpJiiQ tes/a

Qs _

(c) Účinnost izolace celk ová

Qb

1078 _ 23523

Účinnost izolace dna (rovinn é stěny)

■Q rs QRb

124 _ = 0,0412 = 4,12 % 3017

Účinnost izolace vá lc o v é stěny

Qvs .

597

Účinnost izolace víka (k u lové stěny)

Qvb

13242

Q ks

357

Q Kb

7264

M 10 K ulové nádobě je opsána nádoba válcová. Porovnejte prostup tepla oběm a nádobami. Průměr kulové nádoby uvažujte 1 m, tloušťku stěny 5 cm, tepelnou vod ivost stěny 55 W m '1K '1, sou9

1

9

1

činitele přestupu tepla na vnitřním povrchu 600 W m ‘ K" , na vnějším 12 W m" K ' . V yp očtě te pom ěr tepelných toků. Výsledek:

Q koule / Q válec = 0,754

M 11 Kulové nádobě je opsána nádoba krychlová. Průměr kulové nádoby uvažujte 1 m, tloušťku stěny 5 cm, tepelnou vod ivost stěny 55 W m '1K ' 1, součinitele přestupu tepla na vnitřním po vrchu 600 W m '2 K ' 1, na vnějším 12 W m '2 K ' 1. V ypočtěte pom ěr tepelných toků. Výsledek:

Q koule / Q krychle = 0,630

M 12 Určete (a ) tepelné ztráty neizolované o celové trubky o průměru 150/165 m m a délce 1 m ulo žené v nepohybujícím s e vzduchu o teplotě -15 °C, jestliže trubkou protéká voda o střední teplotě 90 °C. Tepelná vod ivost trubky je 58 W m '1 K ' 1, součinitel přestupu tepla na straně 7 1 9 1 • vody je 1150 W m ' K ' a na straně vzduchu 14 W m ‘ K ' . D ále určete (b ) teploty na vnitřním a vnějším povrchu trubky. Výsledek:

(a ) 750,5 W m '1

(b ) vnitřní 88,6 °C ; vnější 88,4 °C

M 13 Určete teplotu vzduchu proudícího překližkovým vzduchovodem o tloušťce 5 mm, jestliže je teplota okolí 20 °C , teplota vnějšího povrchu vzduchovodu 32 °C , součinitel přestupu tepla na vnitřní straně 72 W m ‘2 K '1, na vnější straně 15 W m '2 K ' 1. Tepelná vod ivost překližky je 0,12 W m "1K ' 1. Stěnu vzduchovodu uvažujte rovinnou. Výsledek:

42 °C

M 14 Určete tepelný tok procházející ocelovou trubkou o průměru 76/70 m m a délce 50 m, jestliže teplota chladiva uvnitř trubky je -14 °C. Tepelná vod ivost trubky je 46 W m '1 K '1, součinitel přestupu tepla na straně chladiva 2350 W m '2 K "1 a na straně vzduchu 12 W m '2 K '1. Průměrná teplota okolního v zd u ch u je 18 °C. Výsledek:

4555,3 W

M 15 Řešte (a ) úlohu M 7 pro případ, že izolační vrstva je umístěna na vnitřním povrchu nádoby. Stanovte též (b ) teplotu na vnitřním izolovaném povrchu nádoby. Výsledek:

(a ) Q s / Q b= 0,039

(b ) 31,6 °C

127

Výměníky tepla

N Vým ěníky tepla 1) Energetická bilance vým ěníku Q = m 1•c pl (t j - t " ) = m 2 •c p2 ( t 2 —ť2) = C,0, = C 20 2 Cj = rii; •cpi, 0, = tj - 1" (och lazení teplejší tekutiny 1), 02 = t2 - ť 2 (oh řev chladnější tek. 2).

2) Tepelný tok při prostupu tepla m ezi dvěm a tekutinami

Q = k R -A t-A = k v -A t-L

3) Vztah m ezi součiniteli prostupu tepla válcovou a rovinnou stěnou k v = m l •k R 4 ) Střední logaritm ický ro zd íl teplot (střední teplotní logaritm ický spád)

vým ěník souproudý

AtL = t ; - ť 2

Atp = t* - 12

protiproudý

AtL = t ! _ t 2

Atp = t* —ť2

r

5) Závislost rozdílu teplot podél vým ěníku At = A t0 •e x p ( - k i -Q j •x ) , A t0 = A tx=0 (i = R - deskový nebo V - trubkový a j = S - souproudý nebo P - protiproudý vým ěník tepla) 6) Kapacitní Q a charakteristické O funkce l - e x p ( - k v Q sL ) - vým ěník souproudý

protiproudý

Qs= — + — C C2 M

Qs= — + — C C2 H

~

1 - — e x p ( - k RQ pA )

0. = t ; - t r = ( t ; - ť 2)
protiproud

NI Vzduch ( 2 - chladnější) se ohřívá v souproudém v ý měníku tepla z 18 °C na 185 °C . Spaliny (1 - teplejší) jsou ochlazovány z teploty 410 °C na 222 °C. Stanovte střední logaritm ický teplotní rozdíl.

Atp = t" - 12 = t* - 1" = 222 -1 8 5 = 37 °C

128 ■

c,

1 - — e x p ( - k v Q pL )

souproud

A tL = t ; - ť 2 = ť s - ť v = 4 1 0 - 1 8 = 392 °C

1+ ^

l - e x p ( - k RQ pA )

0, = t ; - t ; = ( t ; - ť 2).cDs

R ozd íly teplot u souproudého vým ěníku

=

l - e x p ( - k v Q pL )

Použití charakteristické funkce

Řešení

Č 1+ ^ L c,

l - e x p ( - k RQ sA )

Výměníky tepla

Střední logaritm ický teplotní rozdíl A t = Atl

Atp

ln ^ A tD

3 9 2 ~ 3 7 = 150.4 °C 392 ln 37

N2 Vzduch ( 2 ) se ohřívá v protiproudém vým ěníku tepla z 18 °C n a 1 85 °C. S palin y ( 1 ) j sou ochlazovány z teploty 410 °C na 222 °C. Stanovte střední logaritm ický teplotní rozdíl. Řešení Rozdíly teplot u protiproudého vým ěníku AtL = ť, - ť 2 = ť s - ť v = 410 -1 8 5 = 225 °C Atp = t" - ť 2 = t" - ť v = 222 - 1 8 = 204 °C

Střední logaritm ický teplotní rozdíl — At, At = — -

•At„

ln — At,.

2 2 5 -2 0 4 ln

225

= 214.3 °C

204

N3 X Trubkovým vým ěníkem je chlazen mazací olej stroje. Hmotnostní tok chladicí v o d y ve vnitř ní trubce je 0,25 kg s '1 a hmotnostní tok oleje vnějším prstencovým průřezem je 0,15 kg s'1. Olej vstupuje do vým ěníku s teplotou 98 °C a voda s teplotou 20 °C. D ále uvedené údaje od povídají v žd y příslušným středním teplotám kapalin: součinitel prostupu tepla válcovou stě nou m e z i o le je m a v o d o u 3 W m ^ K ' 1, měrné tepelné kapacita o leje 2 1 3 0 J k g '1K ' 1 a v o d y 4178 J k g '1K ' 1. Stanovte délku vým ěníku, má-li být výstupní teplota oleje 62 °C při (a ) proti proudém a (b ) souproudém uspořádání. Řešení Energetická bilance

Q = m, •c pl (t| - t " ) = m 2 •cp2 (t " - 12) = k v •At •L

Tepelný tok z oleje do v o d y

Q = m, -cpl (tj - t " ) = 0 ,1 5 - 2 1 3 0 - (9 8 - 6 2 )= 11502 W

Výstupní teplota v o d y

Q

_ 11502 = 31,0 °C = 20 + 0,25-4178 m 2 ‘ Cp2

(a) Protiproud Střední logaritm ický rozd íl teplot

A tp =

Délka vým ěníku

Lp=

A tL - A tp _ (98 - 3 1 ) - (6 2 - 2 0 ) _ = 53,5 °C 9 8 -3 1 ln ^ ln 6 2 -2 0 A tD 11502 k v ■Atp

71.66 m

3-53,5

(b) Souproud Střední logaritm ický ro zd íl teplot

— A ts

A tL - A t p

(9 8 - 2 0 )- (6 2 - 3 1 )

ln

ln 11502

Ls =

k v -At,

50,9 °C

6 2 -3 1

A t„ Délka vým ěníku

9 8 -2 0

= 75.32 m

3-50, 9

129

N 4 Navrhněte trubkový protiproudý vým ěník tepla pro ohřev 2,2 k g s '1 v o d y z 12 °C na 88 °C. Ohřev bude prováděn průtokem horké páry vnitřní trubkou (vstupní teplota páry 150 °C), ohřívaná vod a j e v e vn ější trubce. Střední hodnoty součinitelů přestupu tepla: na straně páry 3000 W m '2K ' , na straně v o d y 200 W m '2K '\ Trubka oddělující vodu od o leje má průměry 220/200 mm a tepelnou vod ivost 45 W m '2 K '1. Střední hodnoty měrných tepelných kapacit při stálém tlaku: pro páru 2015 J k g '1K ' 1 a pro vodu 4180 J kg"’ K ' 1. U rčete (a ) hmotnostní tok páry, jestliže na výstupu z vým ěníku má pára teplotu 105 °C . U rčete (b ) délku výměníku. Řešení (a ) Energetická bilance

Q = m p •c pp ( ť p - t p) = m v •c pv (t " - ť v) = k v •At •L

Tepelný t o k - p ř ijm e vod a

Q = m v -cpv (t* - ť v) = 2 ,2 - 4 1 8 0 - (8 8 - 1 2 ) = 698896 W 698896

Q

Hmotnostní tok páry

mp=

Sp

-i = 7.708 k g s

2015 (1 5 0 - 1 0 5 )

(b ) Střední logaritm ický rozdíl teploty -

A tL - A tp

(1 5 0 - 8 8 )- (1 0 5 - 1 2 )

ln A tL A tD

ln

76,5 °C

1 5 0 -8 8

105-12

Součinitel prostupu tepla vá lcovo u stěnou 1 kv =

27t

1

V

1 , r2 1 - + — ln — + • ar. X r, a r. p 1

1

v 2

i 2n

y

1

1

.

0,11

-1 1

-+ — ln —— + ■ 3000 0,1 45 0,1 200 0,11 = 123,4 W m '1K '1

. Q 698896 _. L = — = --------------- = 74.03 m k v •At 123,4-76,5 -------

Délka vým ěníku

N 5 Hmotnostní tok o leje 0,24 k g s’ 1o teplotě 15 °C vstupuje do deskového souproudého výmění ku tepla, kde se ohřívá horkou vod ou o vstupní teplotě 85 °C a hmotnostním toku 0,3 kg s'1. Střední hodnoty měrné tepelné kapacity: vod a 4187 J k g '1K ' 1, olej 2147 J k g '1K ' 1. Teplosměnná plocha vým ěníku j e 2,5 m a součinitel prostupu tepla 1300 W m '2 K '1. Stanovte (a) výstupní teplotu o leje i v o d y a (b ) tepelný tok v e výměníku. Řešení (a ) Ochlazování horké v o d y lze vyjádřit pom ocí charakteristické funkce souproudého výmě níku Os a vstupních teplot 0 V = ť v - 1" = ( ť v - ť 0) •O s A

_ l - e x p ( - k RQ sA ) p

^

1 1 - n + n

1 +

o C v —m v -cpv

^ „ C 0 —m 0 c ^

'- 'o

C0

cv= m v •cpv = 0 ,3 •4187 = 1256,1 a

= — + — = — -— + — -— = 0,0027367 K W '] Cv

^ ^

W K '1

C0

1256,1

515,3

l - e x p ( - l 3 0 0 -0 ,0 0 2 7 3 6 7 -2 ,5 ) ■

130

, 1256,1-------------- ° ’ 29086° 1+ ------ — 515,3

C 0 = m 0 -cp0 = 0 ,2 4 -2 1 4 7 = 5 1 5 ,3 W K ' 1

Výměníky tepla

Rozdíl teplot v o d y

0v = ( ť v - 1 ;) •G>s = (85 - 1 5 ) •0,29086 = 20,36 °C


t ' = ť v - 0 V= 85 - 20,36 = 64.64 °C

Z energetické bilance

0 = t'-ť 0

0

= ^ 0 = 1 ^ 1 - 2 0 , 3 6 = 4 9 , 6 3 °C 0

C0 v

515,3

Výstupní teplota oleje

t ' = ť + 0 = 15 + 49.63 = 64.63 °C

(b) Tepelný tok ve vým ěníku

Q = C v •0 V = 1256,1 ■20,36 = 25574.2 W

N6 Hmotnostní tok o leje 0,24 k g s '1 o teplotě 15 °C vstupuje do deskového protiproudého vým ě níku tepla, kde se ohřívá horkou vodou o vstupní teplotě 85 °C a hmotnostním toku 0,3 kg s'1. Střední hodnoty měrné tepelné kapacity: voda 4187 J k g '1K ' 1, olej 2147 J k g '1K '1. Teplosměnná plocha vým ěníku j e 2,5 m a součinitel prostupu tepla 1300 W m '2K ' ’ . Stanovte (a) výstupní teplotu o leje i v o d y a (b ) tepelný tok ve výměníku. Řešení (a) Ochlazování horké v o d y lze vyjádřit pom ocí charakteristické funkce protiproudého vým ě níku Op a vstupních teplot 0V = ť v - 1" = (t^, - ť0) •® p l - e x p ( - k RQ pA )
Q P = -- ------C„ C„

Cv = m v •cpv = 0,3 •4187 = 1256,1 W K '

q

l

-

J

—

C„

L

-

CG

.

1

1256,1

C „ = m „ -c pv

C 0 = m 0 -cp0

C on = m o- c po = 0 ,2 " 4 -2 1 4 7 = 5 1 5 ,3 5 W K :

1 =-0,0011445 K W ' 1 515,3

1 - exp (-1 3 0 0 -(-0 .0 0 1 1 4 4 5 )-2 ,5 ) ° p

1256,1 1- 1 ^ 1 - e x p (- 1 3 0 0 - (-0 .0 0 1 1 4 4 5 )-2 ,5 ) 515,3

•= 0,404314

Rozdíl teplot v o d y

6v = ( ť v - t ; ) - 0 P = ( 8 5 - 1 5 ) 0 ,4 0 4 3 1 4 = 2 8 ,3 0 °C


t" = ť v - 0 V= 85 - 28,30 = 56.70 °C

Z energetické bilance

0 = t- - ť = ^ 0 v = 1 ^ 1 ■28,30 = 68,98 °C 0 0 0 C0 v 515,3

Výstupní teplota oleje

t ' = ťD + 0O= 15 + 68,98 = 83.98 °C

(b) Tepelný tok v e vým ěníku

Q = C v -0V = 1 2 5 6 .1 -2 8 .3 0 = 35547.6 W

N7 Kondenzátor vodn í páry je rozsáhlý vým ěník tepla, v něm ž pára kondenzuje při konstantním tlaku na vnějším povrchu svazku trubek protékaných chladicí vodou. Hmotnostní tok vod y je 30000 kg s '1. Součinitel prostupu te p la je 4500 W m '2K '' a prostupující tepelný tok je 2 G W . Trubky o průměru 25 m m jsou tenkostěnné. Teplota chladicí v o d y na vstu p u je 20 °C a teplo ta kondenzující páry 50 °C . Střední měrná tepelná kapacita v o d y je 4179 J k g '1K ' 1. Stanovte (a) teplotu chladicí v o d y vystupující z kondenzátoru a (b ) délku výměníku.

131

Výměníky tepla

Řešení (a) Výstupní teplotu v o d y určíme z předaného tepla vodě

Q

ť = ť+ -

=

m vCpv

20 +

-

2109

= 35.95 £ 36 °C

30000-4179

Teplota kondenzující páry je při kondenzaci konstantní, c o ž se je v í, ja k o b y je jí tepelná kapa cita byla nekonečně velk á (1/CP - » 0). Kapacitní funkce souproudého vým ěníku je pak Qs = 1/CV. V ztah m ezi ro zd íly teplot tekutin na vstupu a výstupu je A ť = A ť exp ( - k VQ SL ) . (b ) Z něho vypočtem e délku vým ěníku 1

L =

■ln

k wQ s

Ať At"

mv

30000-4179

^ • ln — 7td • k Ať

7t-0,025-4500

■ln50 20 = 269155 m 5 0 -3 6

Protože b yl zadán součinitel prostupu pro rovinnou stěnu kR, jak je patrné z fyzikálního rozměru ( m ' ), j e třeba je j přepočítat na válcovou geom etrii vztahem kv = 7rd-kR !!! N 8 Sytá vodní pára o tlaku 410 kPa vstupuje do povrchového vým ěníku, kde kondenzuje na vněj ším povrchu soustavy trubek o průměru 25 mm a celk ové délce 30 m. Chladicí voda má hmotnostní tok 3 k g s '1 postupuje vnitřkem trubek a ohřívá se z tep loty 12 °C na 91 °C . Střed ní hodnota měrné tepelné kapacity v o d y je 4187 J k g '1K ' 1. Stanovte (a ) střední logaritmický rozdíl teplot, (b ) hmotnostní tok kondenzované páry a (c ) součinitel prostupu tepla. Řešení Tlaku syté páry pp = 410 kPa odpovídá saturační teplota a v ý pamé teplo určené interpolací z tabulek S K -S P tsa, = t; = t ! = t = 144,5 °C

123 = 2130,6 kJ k g '1

(a) Střední logaritm ický teplotní rozdíl At =

A tL - A tp _ (144,5 - 1 2 ) - (144,5 - 91) _ ln ^ At„

ln

1 4 4 .5 -1 2

87.1 °C

1 4 4 .5 -9 1

(b ) Předaný tepelný tok

Q = m vcpv -(t* - t ý ) = 3 -4 1 8 7 - (9 1 - 1 2 ) = 992319 W

Hmotnostní tok zkondenzované párv ť 3

Q 992319 -i m_ = — = ------------ = 0,466 k g s p 123 2130600 --------

(c ) Součinitel prostupu tepla k „ = = 2 - = 992319 = 379.8 W m '1K ' 1 A t-L 87,1-30 -----

nebo

k r = ^ = 379,8 = 4 8 3 5 .8 W m ^ K 1 R 7td 7t-0,025

N 9 Hmotnostní tok v o d y 2 k g s'1 o teplotě 85 °C protéká dlouhým potrubím o světlém průměru 100 mm a délce 1 km. T ep lota vnějšího prostředí je 18 °C . Součinitel prostupu tepla válcovou stěnou je 21 W m ^ K ' 1 a střední měrná tepelná kapacita v o d y 4187 J k g '1K ' 1. Stanovte (a) teplotu v o d y v e vzdálenostech 100 m, 500 m a 1 km od vstupu do potrubí a (b ) polohu místa, kde teplotní ro zd íl m édií j e p olo vičn í než na vstupu do potrubí. Řešení (a) Vzduch v okolním prostředí m ůžem e chápat ja k o chladicí tekutinu (o k ) o velm i velké te pelné kapacitě v e vým ěníku, např. souproudém, proto se je jí teplota t0k nemění. Pokles teplot ního rozdílu m édií s rostoucí vzdáleností od počátku je exponenciální a řídí se rovnicí:

132 I

Výměníky tepla

At(x) = A t0 e x p ( - k ví ž sx )

Kapacitní funkce j e zjednodušena pouze na 1 0 S= m vcpv

1

= 0,119417-10

K W'

2-4187

At0 = A tx=0 = ť v - t ok = 8 5 - 1 8 = 67 °C Teploty v daných vzdálenostech: tIOO= tok + A t(lO O ) = 18 + 67 - e x p (- 2 1 - 0,119417 T O '3 -100) = 18 + 52.14 = 70.14 °C t*~ > = tok + A t(5 0 0 ) = 18 + 6 7 - e x p (- 2 1 - 0 ,l 19417-10"3 -500) = 18 + 19.12 = 37.12 °C 500 l 1000

= tok + At (1 00 0) = 18 + 67 •e x p (- 2 1 ■0,119417 ■10‘ 3 •1000) = 18 + 5,46 = 23.46 °C

(b) Pro hledanou vzdálenost x ^ , kde At = A t0 / 2 = 33,5 °C , platí: . At=

A t0 2

4

i ° ' eXpV

_ v

\ sX* /

ln 2 x /'/ 2~ X = _k v -Q s

ln 2

— = 276.4 m

21-0,119417-10

N 10 Sytá pára o tlaku 270 kPa protéká potrubím a postupně kondenzuje. Její hmotnostní tok je 2 kg s*1. T ep lota vnějšího vzduchu je 20 °C. V n ější průměr potrubí je 55 mm, tloušťka stěny 3 mm, délka potrubí 1 km. Součinitelé přestupu tepla jsou: na straně páry 1300 W m ' K ' , na straně vzduchu 12 W m '2 K ’ 1. Tepelná vod ivost potrubí je 58 W m '1K ' 1. V yp očtěte hmotnost ní tok kondenzátu. Řešení Okolní vzduch má stálou teplotu a lze je j považovat za chla-

řl

dici tekutinu s velik ou tepelnou kapacitou ve vým ěníku tepla.

ř-

para

Kondenzující pára při fá zo v é změně má rovněž stálou teplo tu, a proto se chová ja k o kapalina o nekonečně velk é tepelné kapacitě. V parních tabulkách S K -S P vyhledám e saturační teplotu a výpam é teplo odpovíd ající tlaku 270 kPa: tsa, = ťD= t ! = t D= 130 °C

okolí

t"ok

řok < x

123 = 2173,8 kJ k g 1

0

Součinitel prostupu tepla na jednotku délky 1

kv =

1

1 . r2 ' 1 •+ — ln — + ----2n Va pri a „oktr-2

1 2n

1

1 , 0,0275 1 -+ — ln —------- + 1300-0,0245 58 0,0245 12-0,0275 2,05 W m '1K '1

Hmotnostní tok zkondenzované páry určíme z energetické bilance: Q = riV

l 32= k v ( t p - t ok) L

k v ( t p - t ok) L 2 ,0 5 -(1 3 0 -2 0 )-1 0 0 0 , v p ’ v ; — = 0.104 kg s'1 132 2173800 Protože m kp < m p ... pára kondenzuje v potrubí jen částečně. Kondenzační efekt lze vyjádřit pom ěrem —— = m_

= 0,052 = 5.2 %

133

Výměníky tepla

N il Mokrá pára o tlaku 450 kPa a suchosti 80 % vstupuje do vým ěníku tepla a při stálém tlaku částečně kondenzuje na vnějším povrchu systému trubek o průměru 25 m m a celk ové délce 60 m. N a konci vým ěníku vystupuje mokrá pára o suchosti 10 %. Hm otnostní tok chladicí vody je 5 k g s"1 a je h o teplota se m ění z 15 °C na 90 °C. U važujte střední měrnou tepelnou kapacitu v o d y 4187 J k g '1K '1. Určete (a ) střední logaritm ický teplotní rozdíl, (b ) hmotnostní tok vzniklého kondenzátu a (c ) součinitel prostupu tepla. Výsledek:

(a ) 90,27 °C

(b ) 1,056 k g s '1

(c ) kR = 3684 W m ’2 K ’ 1 a kv — 289,3 W m '! K '1

N 12 Řešte příklad N 4 ja k o souproudý vým ěník. Výsledek:

(a ) 7,7 k g s '1

(b ) 98,0 m

N 13 U deskového souproudého vým ěníku má teplejší tekutina na vstupu teplotu 175 °C a na vý stupu 80 °C , chladnější tekutina m á na vstupu 20 °C a na výstupu 72 °C . Součinitel prostupu 9

1

9

tepla 750 W m ' K ' a teplosměnná plocha je 1,4 m . V yp očtěte (a ) tok tepla v e výměníku a (b) rozdíl teplot uprostřed vým ěníku (x = L/2). Výsledek:

(a ) 45865 W

(b ) 27,8 °C

N 14 U deskového protiproudého vým ěníku má teplejší tekutina na vstupu teplotu 175 °C a na vý stupu 80 °C , chladnější tekutina má na vstupu 20 °C a na výstupu 72 °C. Součinitel prostupu tepla 750 W m '2K ’ ' a teplosměnná plocha je 1,4 m 2. V yp očtěte (a ) tok tepla v e výměníku a (b) rozdíl teplot uprostřed vým ěníku (x = L/2). Výsledek:

(a ) 82220 W

(b ) 77,5 °C

N 15 Zahradní hadice o délce 50 m je za slunečného letního dne p oložen a na zem i. Teplota vzdu chu je 50 °C. Z v od o vo d n í sítě vstupuje na jedn om konci do hadice vod a o teplotě 15 °C. Hmotnostní tok v o d y j e 0,1 k g s '1. Součinitel prostupu tepla válcovo u stěnou na jednotku dél ky je 5 W m '1K ' 1. V yp o čtěte (a ) teplotu vytékající v o d y na druhém konci hadice a (b ) vzdále nost od vstupního konce, kde m á vod a teplotu 20 °C. Výsledek:

(a ) 30,7 °C

(b ) 12,91 m

N 16 Důlní potrubí dlouhé 150 m p oložen é na zem i je vystaveno stálé teplotě okolního vzduchu 45 °C. V o d a o teplotě 12 °C vstupuje do potrubí s hmotnostním tokem 0,1 k g s '1 a na konci potrubí vystupuje ohřátá na teplotu 25 °C. Stanovte (a ) součinitel prostupu tepla potrubní stě nou, (b ) vzdálenost, v níž teplota v o d y dosáhne 20 °C a (c ) střední logaritm ický teplotní spád. Výsledek:

(a ) 1,40 W m '1K '1

(b ) 83,16 m

(c ) 26 °C

N 17 M nožství 1,6 k g s '1 syté páry o tlaku 400 kPa vstupuje do potrubí o délce 580 m. Vzduch na vnější straně potrubí má teplotu 10 °C . V n ější průměr potrubí je 65 m m a tloušťka válcové stěny je 3,5 mm. Součinitelé přestupu tepla: na straně páry 1250 W m '2 K ' 1, na straně vzduchu 14 W n ť 2K '*. T epelná v odivost p otrubí j e 4 8 W m '1K ' 1. Stanovte suchost páry při výstupu z potrubí. Výsledek:

134

0,936

Záření - radiace

O Sdílení tepla zářením - radiace

Stefanův-Bolzmannův zákon pro intenzitu záření

Ě = e •a ■T 4 = s •c0 • v

Stefanova-Bolzmannova konstanta

100

Konstanta záření dokonale černého tělesa

cr = 5,67-10‘8 W m '2 K -4 co = 5,67 W n ť 2 K '4

Emisi vita (pom ěrná zářivost) povrchu

E = ■

/

0 Tepelný tok přenášený zářením m ezi dvěm i rovnoběžným i rovinným i povrchy ( A ) (W )

Součinitel vzájem ného ozařování (W m '2 K -4)

Tepelný tok m ezi vnitřním povrchem dutiny ( A i ) a povrchem j í obklopeného tělesa ( A 2) v*' Q = CI2

^

-

100

7 ^

(W )

U oo; i

C12=-

1 8, A ,

+

1 A,

(Wť)

\ l - i V S2

J

Ol S )u n ce vy za řu je ja k o če rn é SěJeso. T e p lo ta je h o p o v rch u je

5 8 0 0 K . P o lo m ě r S lu n ce je

696000 km a je h o střední vzdálenost od Zem ě 149,6-106 km. Stanovte tok energie dopadající ze Slunce v e vzdálenosti Z em ě, na jednotku plochy k olm é na sm ět šíření energie. Řešení Intenzita vyzařován í slunečního povrchu dle Stefanova-B olzm annova zákona É0 = ctT 4 = 5,67 -10“8 •5 8 004 = 64,17-106 W m '2 Zářivý tok (v ý k o n ) vych á zející ze Slunce všem i směry v kulových vlnoplochách Q = 4:t •R 2 •É 0 = 4n •(6 96 •106) 2 •64,17 ■106 = 390,625-1024 W

Sluneční energie dopadající na 1 m 2 Zem ě ve vzdálenosti od Slunce Rs-z F

= •

L Í é 4 n -R lz R 2.E 0

f 696-106 V

64,17-10

= 1388.7 W m

-2

149,6 -109

Tj. solární konstanta - solární tok energie dopadající na jednotku kolm ého zemského povrchu.

135

Záření - radiace

02 D va rovnoběžné p ovrch y - k aždý má velikost ploch y 1,8 m 2 - se vzájem ně ozařují. Povrch 1 je z oxidované ocele, m á teplotu 105 °C a em isivitu 0,61. Povrch 2 je z červených cihel, má teplotu 22 °C a em isivitu 0,93. Stanovte (a ) součinitel vzájem ného ozařování a (b ) tepelný tok vzájem ně vyzářen ý m ezi povrchy. Řešení (a ) Součinitel vzájem ného ozařování 1

1

0,2 = 1 1 7 ■c° = — — + ----- 1 e, e2 0,61

1

5,67 = 3.307 W m '2K '4 -1

0,93

(b ) V ýsledn ý zá řivý tepelný tok

\4 J L

Q = c,2A

105 + 273,15 \4

= 3,307-1,8-

100

22 + 273,15 •\4

100

100

V l0 0 y

= 765.4 W

03 V rozlehlé tovární hale protéká chladicí směs potrubím o délce 15 m. Potrubí má vnější prů měr 135 mm a j e opatřeno lesklým lakem, je h o ž em isivita je 0,875. T ep lota povrchu je 5 °C a teplota okolních stěn je 24 °C . Stanovte vzájem ně vyzářen ý tepelný tok. Řešení Tepeln ý tok m ezi rozleh lým povrchem stěn a povrchem potrubí >4

Q = C12

looj

1 \ c o — SjAjCo

C12=-

vlOOy

1 s ,A i

A, = 7 id -L = 7i-0,135-15 = 6,361 m \4

V100y

v 100 j

i - i A 2 V S2 J

<
^4

JL

Q = e,c0A

+

1

= 0,875-5,67-6,361

' 24 + 273,15 Y

( 5 + 273,15v

100

100 = 571.5 W

04 D vě rovnoběžné cih lo vé stěny se vzájem ně ozařují. E m isivita obou povrchů stěn je 0,93. Tenká stínící hlin íková fó lie s em isivitou povrchu 0,05 j e vložen a rovnoběžně m ezi obě stěny Stanovte účinek stínění v případě použití (a ) jedn é fólie, (b ) dvou fó lií. Řešení Hustota vzájem ně vyzařovanéh o tepelného toku m ezi rovnoběžn ým i povrchy stěn b ez stínění

T, q = c.2

v 100y

V l0 0 y

8, = 82 = S

C 12 — C 0

VS1

E2

(a ) Hustota tepelného toku s jednou stínící fó lií N4 q = c 12

i

100

\4 C,2 =

1 1 — +— V c is

C s2 J

Cis, c S2 jsou součinitelé vzájem ného ozařování m ezi povrchem stěny a fó lií

136

Záření - radiace Účinek stínění lze vyjád řit pom ěrem hustot tepelných toků v obou případech: J_ + J ____ 1_

I_I

1 -1 -1 2

c

C1

C2

C0

1 1 — + ----

c

1 1 , 1 1 , — + ----- 1+ — + ------ 1 í: 8„

's2

s

8 2 1 1 , - + ------1

1 21

0 93

z

1 .+ J — 0,93 0,05

- = 0.0287 i

Tepelný tok b yl snížen na méně než 3 % , tj. pokles přibližně 35krát. (b) V případě 2 vložen ých fó lií

+ J ____ L

1 4 _ C12 _

C1 C,ls

C2

C0

C ss

C s2

I_I

i - i 0,93 2 ____ S £ 2 _ 1 2 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 2 3 — + ----- 1+ — + ------1+ — + ------ 1 - + ------•+ 2 0,93 0,05 8

3 2

= 0.0145 Dvě fó lie om ezí tepelný tok asi na 1,5 % , tj. celk ové snížení asi 69krát. První fó lie m á největší stínící účinek. 05 Dvě rovnoběžné o ce lo vé desky o různých teplotách se vzájem ně ozařují. Obě jsou pokryty bílou smaltovanou vrstvou s em isivitou 0,9. Je nutné snížit vým ěnu tepla m ezi deskami 150krát. K dispozici je lesklá hliníková fó lie s em isivitou povrchu 0,039. Stanovte potřebný počet fólií. Řešení ní - bez stínění c u a se stíněním při použití n fó lií Ci2,n. -1 ( , i i >-1 1 n -1 1 f— l +— 1 Jl l H— + C I2 - C 0 C12,„ = , C ls C ss C s2 > ^£1 S2 ,

II oO

Stínící účinek při stejném rozdílu teplot desek je dán pom ěrem součinitelů vzájem ného ozáře

1 1 1 2 1l l — + ----- l + n í --------S, 82 )

Poměr r charakterizující stínění 1

r=

q.2

'1 2

^12,11

■'M.n

— -1 + n ' 1 - r

l - i /

Ve s

1 1 ---- h---

= l + n-

_

I

+ l - i

Potřebný počet fó lií 1 -+ ^ - l n= (r - l)

—

^-----= (1 5 0 - 1 )- 0,9

0, 9

-1 ss

-= M 2 -1

0,039

Nejblíže vyšší celé číslo nám udává skutečný počet fó lií, které je nutno použít, tj. 4 fólie. 06 Potrubí o průměru 0,2 m s povrchovou teplotou 80 °C a em isivitou 0,93 je umístněno koncen tricky v tunelu s kruhovým průřezem o průměru 2 m. Teplota povrchu tunelu je 10 °C a emisivita 0,736. Stínění tepelného toku zářením se provádí vložen ím hliníkové fó lie s emisivitou 0,05 stočené do tvaru koncentrického válce. Stanovte tepelný tok vym ěňovaný potrubím

137

Zářeni - radiace

o délce 1 m (a ) b ez stínění, (b ) s válcovou fó lií o průměru 0,3 m a (c ) s válcovou fó lií o prů měru 1,9 m. Řešení (a) T ep eln ý tok z i m

d élk y povrchu potrubí b ez stínící fó lie ( L = 1 m ):

í rr \ l\

q L - ci2

1

100

c12 — e I2co —'

100

1

1 +E,7idjL n d2L V S 2

°

Součinitel vzájem ného ozáření ---C 12

71

=■

1

-+

0,93-0,2 q L = 3 ,2 0 6

\ •5 ,6 7 = 3,206 W m

1

1

2

0,736

-1 Tr-4 K

-1

80 + 273,15

10 + 273,15

100

100

= 292.6 W m~

(b ) Se stíněním - fó lie j e v e vzdálenosti ds = 0,3 m, b lízko stěny potrubí: 1

l ~VlOO, íT' J e.d,

c'12 = 5 ,6 7 -tc

\

1

0 ,9 3 -0 ,2

l) Cs2 >

1 1 + ----- + — ' l - . ' e„d„ d. VS2

d, U 1

Í 1+
1

C12 ~ Co ' n

r f12 “-

"o ' o T— ^

4 l = C12 ‘

+--1 0,31 0,05

-i 1 1 +— --1 2 0,736

= 0,1314 W m ^ K -4

Tepelný tok na délce 1 m vá lcových povrchů q'L = 0,1314

80 + 273,15

10 + 273,15 V

100

100

= 12.0 W r n

(c ) Se stíněním - fó lie j e v e vzdálenosti ds = 1,9 m, b lízko stěny tunelu: Použijem e stejné vztah y jak o v případě (b ), je n místo ds = 0,3 m dosadím e za ds = 1,9 m = 0,6830 W m '1K "4

á" = 62.3 W m '1

V tomto případě je stínění silně ovlivn ěn o umístěním fólie. N e jlep š í stínící účinek dosáhneme s fó lií v těsné blízkosti teplejšího povrchu potrubí.

07 Kamna o rozm ěrech 0,4 x 0,6 x 1,3 m jsou umístněna v místnosti o rozm ěrech 5 x 3 x 2,5 m, Teplota povrchu kamen j e 150 °C a em isivita 0,5. T ep lota povrchu zd í místnosti je 15 °Ca em isivita je 0,9. U rčete tepelný tok vzájem ným zářením m ezi kamny a stěnami místnosti. Řešení Tepelný tok m ezi kamny umístěnými uprostřed a povrchem zdí Q " C 12

138

j l

V100,

T

100 I

( A' 1 = Cn +— i - i Ek-Ak A z V z 1

/ -r \4 k v lO C ,

v l0 0 ,

Záření - radiace Velikosti ploch povrchů kamen a místnosti Ak= 2 -(0 ,4 - 0 ,6 + 0 ,6 -1 ,3 + 1 ,3 -0 ,4 )= 3,08 m 2

A z = 2 -(3 -5 + 5-2,5 + 2 ,5 -3 ) = 70 m

“ -i V 1 1 í 1 150 + 273,15 ^ . -+ ■ ------ 1 0,5-3,08 70 1 0 , 9 J. 100 v

15 + 273,15

100

= 2192.2 W

08

Železná kamna o rozm ěrech 0,4 x 0,6 x 1,3 m natřená h lin íkovým nátěrem jsou uprostřed místnosti o rozm ěrech 5 x 3 x 2,5 m. Teplota povrchu kamen je 150 °C a em isivita 0,56. P o vrch stěn místnosti má teplotu 15 °C a em isivitu 0,9. Stanovte tepelný tok zářením. Výsledek: 2454,5 W 09

Rovinný povrch stěny ze šam otových cihel s em isivitou 0,75 ozařuje rovnoběžnou ocelovou stěnu s emisivitou povrchu 0,6. Stíněním je třeba snížit tepelný tok 3Okřát. V ypočtěte potřeb nou emisivitu stínící fó lie při použití (a ) jedné fó lie a (b ) dvou fó lií o stejných emisivitách. Výsledek: (a) 0,0339

(b ) 0,0667

010 Dva rovnoběžné povrchy A a B si vym ěňují tepelnou energii zářením. E m isivita povrchu A je 0,83, ale povrchu B není známa. V lo žen ím sedmi stejných stínících fó lií o em isivitě 0,046 se dosáhlo 220násobného snížení tepelného toku zářením. Stanovte em isivitu povrchu B. Výsledek: 0,867

011 Kruhové potrubí o průměru 0,3 m je uloženo koncentricky v kruhovém kanále o průměru 1 m. Teplota na povrchu potrubj je 30 °C a teplota na vnitřním povrchu kanálu 10 °C. Povrch po trubí má emisivitu 0,88 a vnitřní povrch kanálu 0,65. Stínění tepelného toku m ezi povrchy uskutečňuje hliníková fó lie s em isivitou 0,045. Stanovte (a ) tepelný tok zářením na 1 metr délky bez stínění a (b ) průměr kruhové koncentrické stínící fólie, tak aby se tepelný tok snížil 30krát. Výsledek: (a ) 83,08 W m '1

(b ) 0,346 m

012 Pozorovacím otvorem pece se vyzařuje teplo. Tento otvor lze pokládat za dokonale černé tě leso. Průměr pozorovacíh o otvoru je 5 cm. V peci je teplota 1900 °C a okolní teplota je 29 °C. Určete ztrátu tepla tím to p ozorovacím otvorem . Výsledek: 2483,9 W 013

Kouli považujeme za šedé těleso s em isivitou povrchu 0,7. K ou le má průměr 1 m a zářivý tok energie vystupující povrchem do okolního prostoru je 2 k W . V yp o čítejte teplotu na povrchu koule ve stupních Celsia. Výsledek: 82,7 °C 014

Emisivita ocelovéh o výrobku o teplotě 750 °C je 0,72. Určete hustotu tepelného toku zářením. Výsledek: 44737,6 W m '2

139

Chemické procesy

P Chemické procesy Chemická stechiometrická rovnice: ( ^ v . Z j j

= ( ^ v . Z ; ) p, kde Z\ jsou chem ické značky látek

při reakci (R - reagenty, P - produkty). D osadím e-li příslušné m olám í hmotnosti látek, vznikne vztah pro látkovou bilanci látkových m nožství (v k m ol) - p rojev zákona zachování hmotnosti. Stechiometrické k oeficien ty Vj udávají pom ěry, v e kterých se látková m nožství účastní reakce. Spalování - chemická reakce m ezi palivem - zpravidla na bázi uhlíku a vodíku - a kyslíkem, Často zdrojem O 2 j e atm osférický kyslík, je n ž je obsažen v e vzduchu. P rotože o b jem o vý (a prak ticky i m olám í) pom ěr dvou základních složek vzduchu, dusíku a kyslíku, je 79/21 = 3,76. Po třebný kyslík přiváděný do reakce j e doprovázen 3,76-násobným m nožstvím dusíku. Dusík se zpravidla sice reakce neúčastní, avšak je nutné s ním uvažovat, např. při návrhu průřezů vstup ních a výstupních kanálů, při energetické bilanci reakce apod. V edle celkového zachování hmotnosti reagentů a produktů je zachováván počet atomů jednotli vých základních prvků, které tvoří reagenty a produkty, a tím i jejich.hm otnost. Změna objemu při reakci A V mr = V mA v , kde A v =

v .) -

v .)

je zm ěna m olám ího čísla,

Teplo při reakci za stálého objem u

Q mV = A U mV = U mP - U mR = ( £ v . U mi) p - Q £ v . U mi)R

Teplo při reakci za stálého tlaku

Q mp = A H mp = H mP - H raR = ( 2 > . H mi) p - ( £ v . H rai)R

Pro ideální p lyn yp la tí

A H mp = U mP + p ( V mP - V mR) = A U mV + p V raA v = A U mV + R T A v

Standardní reakční entalpie:

A H °98m = H p - H r _ ( 2 j n^298msluč)p

( ¿ L n^298msluč)R

Adiabatická teplota plam ene (spalin) plyne z podm ínky HP= H r

->

(E n H 0 298mslui) p = ( X n H ° 98msluč) R

Vzhledem k vysok ým teplotám produktů při spalování zpravidla je třeba uvažovat se závislostí měrných tepelných kapacit na teplotě a pracovat s m odelem poloideálního plynu. Používají se proto tabelované hodnoty entalpií v závislosti na teplotě.

PÍ 1 km ol oktanu CgHis j e spalován v e vzduchu, který obsahuje 25 km ol kyslíku O 2. V e zplodinách spalování jsou pouze p lyn y C O 2, H 2O, O 2 a N 2. Určete (a ) látková m nožství všech plynů ve spa linách a (b ) pom ěr vzduchu a paliva. Řešení Chemická rovnice spalování:

CsHig + 25 (O 2 + 3,76 N 2) = x C O 2 + y H 2O + z 0 2 + w N 2

(a) Zachování hmotnosti jed n o tlivých prvků vyjadřují vztahy: C: 8 = x

x = 8 km ol

m ac = 12 kg/kmol

H: 18 = 2 y

y = 9 k m ol

m aH = 1 kg/kmol

O: 2-25 = 2x + y + 2z

z = 1 2 ,5 km ol

M vzd = 29 kg/kmol

N : 25-3,76-2 = 2 w

w = 94 km ol

(b ) Pom ěr vzduchu a p aliva

_ m vzd VP = m„„, "> 1

k - n ^ - M ^ _ 4 ,7 6 -2 5 -2 9 _ X v i ' m ai

8-12 + 18-1 = 30,27 k g vzduchu/kg paliva

140

Chemické procesy

Abychom ve vzduchu m ěli 1 km ol O 2, musíme mít 4,76 km ol vzduchu. __ a kmol vzd __ 1 kmol 0 2 , ^ n u kmol N, - 4>76 kmol 0 2 - 1 kmol kmÎÖ 0 27 + 3> 576 kmol 0 2

P2 Etan C 2H 6 j e spalován s 50 % přebytku vzduchu. Předpokládá se dokonalé spalování při tlaku 100 kPa. Stanovte (a ) pom ěr vzduchu a paliva a (b ) teplotu rosného bodu spalin.

Řešení Chemická rovnice spalování: (a t je stechiometrický koeficient pro kyslík nebo vzduch) C2H6 + 1,5 at ( 0 2 + 3,76 N 2) = 2 C 0 2 + 3 H 20 + 0,5 at 0 2 + 1,5 • 3,76 a, N 2 Zachování hmotnosti 0 2:

1,5 at= 2 + 1,5 + 0,5 at

(a) Poměr vzduchu a p aliva

VP =

^ m Pa.

—>

at = 3 ,5

= 24,16 k g vzduchu/kg paliva 2-12 + 6-1

(b) Teplota rosného bodu - teplota, při které začnou vodní páry v e spalinách kondenzovat. Je to saturační teplota vodn í páry ve spalinách odpovídající parciálnímu tlaku páry. Parciální tlak vodní páry = Z voél_ . = ------------------- 3-------------------- 100 = 11,32 kPa P v spaliny ťspa“ny 2 + 3 + 0,5-3,5 + 1,5-3,76-3,5 ’ Teplota rosného bodu

trb = tsat ph 11¿2 kpa = 48,2 °C

P3 Objemové zlo m k y zem ního plynu jsou: 0,70 metan C H 4; 0,10 vod ík H 2; 0,15 dusík N 2; 0,02 kys lík 0 2; 0,03 oxid uhličitý C 0 2. Tento plyn je spalován při stechiom etrickém m nožství vzduchu, jež vstupuje do spalovací kom ory o teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa s relativní vlhkostí 80 %. Předpokládá se dokonalé izobarické spalování při 100 kPa. Stanovte teplotu rosného bodu spalin, je-li použit (a ) vlh k ý vzduch a (b ) suchý vzduch. Řešení Při dokonalém spalování je veškerý kyslík využit na vznik oxidu uhličitého a v o d y a ve spali nách se nevyskytuje. V o d n í vlhkost obsažená ve vzduchu se neúčastní reakce, ale projeví se z v ý šeným obsahem H 20 v e spalinách. V chemické rovnici se nejprve uvažuje je n suchý vzduch: 0,7 C H 4 + 0,1 H 2 + 0,15 N 2 + 0,02 0 2 + 0,03 C 0 2 + at ( 0 2 + 3,76 N 2) = x C 0 2 + y H 20 + z N 2 Zachování hmotnosti jed n o tlivých prvků: C: 0,7 + 0,03 = x

x = 0,73 km ol

H: 0,7-4 + 0,1-2 = 2 y

y = 1,5 km ol

0: 0,02-2 + 0,03-2 + 2at = 2x + y

at = 1,43 km ol

N: 0,15 + 3,76 at = z

z = 5,527 km ol

Voda obsažená v 4,76 at = 4,76 • 1,43 = 6,81 km ol suchého vzduchu. Parciální tlak vodní páry ve vzduchu je

p p = cp-Pppfi25.c = 0,8-3,169 = 2,535 kPa. P ovažu jem e-li vzduch i vodní páru ve

vzduchu za ideální plyny, ze stavové rovnice vych ází látkové m nožství páry ve vzduchu: np = — — Spaliny = P spaliny

( 6’ 81 + UP)

np = 0 ,1 77 k m ol

1

(a) Parciální tlak celk o vé vlhkosti (páry) v e spalinách plyne opět ze stavové rovnice _ n p-Spaiiny Pp-spahny

_ Pspal.ny

Y + nP x + y + z + ^ P*

_________ 1,5 + 0,177_________1 0 0 =2 1 14kPa 0,73 + 1,5 + 5,527 + 0,177 ’

141

Chemické procesy

Teplota rosného b o d u je saturační teplota příslušná tomuto parciálnímu tlaku: ÍR — tsat pfi 21,14 kPa — 6 1 , 2 (h ) nP = ~

C

nsPaiiny =

Pspalin y

‘

81

np = 0 ,1 73 k m ol

1U U

+ y+

= 0 , 7 3 + 1 , 5 + ' ^ 5 2 7 + 0,173 ' 0 0 = 18' 92 “ *

Teplota rosného bodu

tR = tsat ph 18,92 kPa= 58.9 °C

P4 Oktan CgHig j e spalován v suchém vzduchu. R ozb o r suchých spalin (b ez H 2O ) v objemovýc procentech: 10 % C O 2, 4,5 % O 2, 0,9 % C O a 84,6 % N 2. Stanovte (a ) pom ěr vzduchu a páliví (b ) podíl vzduchu v procentech teoretické spotřeby a (c ) část v o d y zkondenzované ochlazenír spalin na 25 °C při tlaku 100 kPa. Řešení

Spaliny považujem e za ideální p lyn y a je jic h objem ová procenta tak udávají zároveň jejich mc lámí zlom ky. R o vn ice pro látkovou bilanci 100 km ol suchých spalin b ez v o d y je : x C 8H 18+ a ( 0 2 + 3,76 N 2) = 10 C 0 2 + 0,9 C O + 4,5 0 2 + 84,6 N 2 + b H 20 Zachování hmotnosti jed n o tlivých prvků: N 2: 3,76 a = 84,6

a = 22,5 km ol

C:

8 x = 10 + 0,9

x = 1,3625 km ol

H:

18 x = 2 b

b = 12,26 km ol

Při ideálně přesně stanoveném rozboru spalin by bilanční vztah pro O 2 musel být identito O 2: a = 10 + 0,45 + 4,5 + b/2 = 21,08 - » R o z d íl oproti hodnotě 22,5 z bilance N 2 je způsobe nedostatečně přesně proveden ým

rozborem

spalin. Proto dále pou žijem e

střední hodnot

a = 21,79 kmol. Dosadíme do rovnice látkové bilance 1,3625 C 8H 18 + 21,79 ( 0 2+ 3,76 N 2) = 10 C 0 2 + 0,9 C O + 4,5 0 2 + 84,6 N 2 + 12,26 H 20 Pro 1 km ol oktanu C 8H ,8+ 15,99 ( 0 2+ 3,76 N 2) = 7,34 C 0 2 + 0,66 C O + 3,3 0 2 + 62,09 N 2 + 9 H 20 (a) Poměr vzduchu a p aliva

m 15 9 9-4 76-29 V P = — — = — -------- ----------= 19,36 k g vzduchu/kg paliva m Pai 8-12 + 18-1

(b ) Teoretické stechiom etrické m nožství vzduchu C8H ,8+ at ( 0 2 + 3,76 N 2) = 8 C 0 2 + 9 H 20 + 3,76 at N 2 Z bilance O 2: at = 8 + 4,5 = 12,5 km ol Spotřeba vzduchu v procentech teoretické spotřeby 15,99/12,5 = 1,28 - > 128 % . (c ) Z 1 km ol CsHig vzniká 7,34 + 0,66 + 3,3 + 62,09 + 9 = 82,39 km ol spalin, z toho je 9 kmi

H 2O. Je-li teplota rosného bodu tR > 25 °C , při ochlazení H 2O na 25 °C část látkového množst1 nkond zkondenzuje a část nPára = 9 - nkond zůstane ve spalinách v podobě vodní páry. Látkov

množství plynných spalin j e pak nps = 82,39 - n k ond- Je-li m ožno p ovažovat plynné spaliny 2 ideální plyny, pak pom ěry látkových m nožství a tlaků ze stavové rovnice jsou stejné

142

Chemické procesy

•'pára _ Ppára nPs

P

9

rikond

^ Ppára _ 3,169

8 2 , 3 9 - n kond

p

nkond = 6.60 km ol (73,3 % H 2O )

100

P5 Stanovte reakční entalpii pro plynný metan C H 4 při teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa na základě tabelovaných hodnot standardních m olám ích slučovacích entalpii H °98mslue. Vodu ve spalinách uvažujte v kapalném skupenství. Řešení Spalování metanu:

C H 4 + at (O 2 + 3,76 N 2) = C O 2 + 2 H 2O + 3,76 at N 2

Reagenty i produkty m ají standardní teplotu 25 °C při tlaku 100 kPa = H P - H R = ( 2 v H ; „ „ , aui) p - ( X v H Í lm,luí) R Tabelované hodnoty standardních m olám ích slučovacích entalpii v kJ k m ol’ 1jsou

co2

h 2o -285830

-393520

ch4 -74850

n

2

0

o2 0

AH298m = 1 -(- 3 9 3 5 2 0 ) + 2 - (- 2 8 5 8 3 0 )+ 3,76 a, - 0 - l - ( - 7 4 8 5 0 ) - a t - 0 - 3 , 7 6 a t -0 AH°98m= -890330 kJ k m o l'1 C H 4

P6 Kapalný propan C 3H 8 vstupuje do spalovací kom ory při teplotě 25 °C hmotnostním tokem 0,1 kg m in '1, kde se m ísí se vzduchem , je h o ž je o 25 % více, než vyžadu je stechiometrické množství. V zduch vstupuje do spalovací kom ory s teplotou 7 °C. Při hoření veškerý vodík zreaguje na H 20 , uhlík z 90 % zreaguje na C O 2 a z 10 % na CO . T ep lota spalin je 1500 K . Stanovte (a) hmotnostní tok vzduchu, (b ) spalné teplo a (c ) tepelný tok produkovaný spalovací komorou. Řešení Chemická rovnice pro teoretické m nožství vzduchu: C3H 8 + a, ( 0 2 + 3,76 N 2) = 3 C 0 2 + 4 H 20 + 3,76 at N 2 Zachování hmotnosti O 2: at = 3 + 2 = 5 km ol Chemická rovnice pro přebytek vzduchu 25 % a reakci C na C 0 2 (90 % ) a na C O (10 % ) C3H 8 + 6,25 ( 0 2 + 3,76 N 2) = 2,7 C 0 2 + 0,3 C O + 4 H 20 + 1,4 0 2 + 23,5 N 2 (a) Poměr vzduchu a p aliva

VP = m Pai

Množství vzduchu

= ^>25 4,76 29 _ 3-12 + 8-1

^

vzduchu/kg paliva

m vzd = V P -rhpal = 19,61 • 0,1 = 1.961 k g m in '1

(b) U volňované teplo při reakci vych ází z 1ZT Q= ( 2 > K . - « + H . - H f ))P- ( X

n ( H “„

.

+ H „ - H f ))R

Vzhledem k velkém u teplotnímu rozsahu je třeba uvažovat u plynů závislost měrných tepelných kapacit na teplotě (p oloid eáln í p lyn ) a příslušné hodnoty entalpii pro žádané teploty získat z tabulek term ochem ických vlastností látek.

143

«i _ tu ! Y S U V li

..

T tó ň e i M m m & ' n m & x p o t t t w ^ XT

r-

c 3 h 8(1)

l

^XW \

‘~5~-- —

o2

-118910 0

n2

0

H , 0 ( g ) ..

co2 co

t íi

-

C~Vi Ü 5 ? *m c

8150 8141

v

8682 8669

49292 47073

-241820 -393520

9904 9364

57999 71078

-110530

8669

47517

Q = 2,7-(-393520 + 71078 - 9364) + 0,3 ( - l 10530 + 47517 - 8669) + + 4-(-241820 + 57999 - 9904) + l,4 -(0 + 49292 - 8682) + 23,5-(0 + 47073 - 8669) - l-(-l 18910+ H f - H ” 8) - 6 ,2 5 (0 + 8150 - 8682) - 23,5-(0 + 8140 - 8669) = = -598266 kJ k m o l 1 C 3H 8 Spalné teplo získáme vztažen ím na 1 kg propanu - vyd ělím e m olám í hmotností propanu qsp = |Q|/Mm = 598266 / 44 = 13597 kJ/(l kg propanu)

(c) Tepelný tok produkovaný spalováním

Q = m palq = 0,1 / 60 • 13597 = 22,66 k W

P7 V nádobě je 1 k g metanu C H 4 a 5 k g kyslíku O 2 při teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa. V nádobí proběhne dokonalé spalování. K onečná teplota zplodin je 1000 K . Stanovte (a ) konečný tlá (b) teplo vyvinuté hořením, (c ) Srovnejte výsledek s případem, kdy látková m nožství metanu kyslíku jsou ve stechiom etrickém poměru. Řešení Chemická rovnice pro dokonalé spalování CH 4 při stechiometrických pom ěrech: CH 4 + 2 0 2= C O 2 + 2 H 20

—>

Látková m nožství metanu a kyslíku jsou v poměru Zi.

Zjistíme skutečná látková m nožství metanu a kyslíku: nCHj = m CH4//M CH4 =1/16 = 0,0625 km ol, n 02 = m 02/ M 02 = 5/32 = 0,1562 km ol

Látková množství reagentů nejsou ve stechiometrickém pom ěru Ví, nadbytečná část kyslíku (0,1562 - 2 • 0,0625) = 0,0312 km ol se reakce neúčastní, avšak bude součástí produktů reáce dle rovnice 0,0625 C H 4 + 0,125 0 2 + 0,0312 0 2 = 0,0625 C 0 2 + 0,125 H 20 + 0,0312 0 2, resp. 0,0625 (C H 4 + 2 0 2 + 0,5 0 2) = 0,0625 ( C 0 2 + 2 H 20 + 0,5 0 2) Látková m nožství reagentů a produktů; jsou np = 0,0625 • (1 + 2 + 0,5) = 0,2187 kmol

nR = 0,0625 - ( 1 + 2 + 0,5) = 0,2187 km ol

(a) Při 1000 K lze páru H 2O i ostatní reagenty a produkty aproxim ovat m odelem ideálního plynu P

r

-V -

n R-R T R

P p V = np-R-Tp

ip n D T, Pp=Pr—

ťP

ťR n- R

•

^ I r

in5 0,2187

1000

= 1 0 ----------------------0,2187

= 335 kPa

298

(b) Teplo plyne z prvního tvaru 1 Z T pro uzavřenou soustavu: Q - W = A U Nekoná se práce a rozd íl vnitřních energií lze vyjádřit pom ocí entalpií, které jsou běžně tabelovány, a pom ocí tlakových energií: Q ^ E n K ^ + H .- H r - p V .))

-(£ n (H

298

Chemické procesy

Vzhledem k m odelu ideálního plynu u všech zúčastněných komponent, platí Q = ( Z " K . m,M + H „ - H » * - R T ) ) p - ( X n ( H ; M„ !llt + H n, - H !nr - R T ) ) R

Velký teplotní rozsah při reakci vyžaduje respektovat u plynů závislost měrných tepelných kapa cit na teplotě (p oloid eáln í p lyn ) a příslušné hodnoty entalpií pro žádané teploty získat z tabulek. Přehled tabelovaných hodnot potřebných entalpií v kJ k m o l'1:

Látka CH 4(g ) o

2

C02 H20 ( g )

T T °

298 m sluč

-74850 0 -393520 -241820

t t

H f

I OOO m

8682 9364

31389 42769 35882

9904

Q = 0,0625 • {1-(-393520 + 42769 - 9364 - 8,314-1000) + 2-(-241820 + 35882 - 9904 - 8,314-1000) + 0,5-(0 + 31389 - 8682 - 8,314-1000) - 1-(-74850 - 8,314-298) - (2 + 0,5)-(0 - 8,314-298)} = -45376 kJ (c)Při stechiometrickém poměru by příslušelo 0,0625 km ol metanu 2 • 0,0625 = 0,125 kmol kys líku. Uvolněné teplo b y pak b ylo Q« = 0,0625 • {1-(-393520 + 42769 - 9364 - 8,314-1000) + 2-(-241820 + 35882 - 9904 - 8,314-1000) - 1-(-74850 - 8,314-298) - 2-(0 - 8,314-298)} = - 45906 kJ Při nestechiometrickém p o m ěřu je uvolněné teplo menší, n eb oť část tepelné energie je použita na zvýšení entalpie přebytečného (nereagujícího) kyslíku v produktech reakce.

P8 Palivem v tryskovém motoru j e

tekutý oktan CgHig o teplotě 25 °C.

Vzduch o teplotě

600 K vstupuje do izolovan é spalovací kom ory a teplota vzn iklých spalin je 1000 K . Spalování probíhá izobaricky při tlaku 100 kPa a při ideálních stechiom etrických poměrech. Stanovte v ý stupní rychlost spalin za předpokladu, že dodávané m nožství vzduchu je stechiometrické. P o třebné tabelované údaje jsou v kJ km ol"1:

Látka c 8h

18(1)

02 N2

co2 h 20 ( g )

TT° n 298 m sluč

-249950 0 0 -393520 -241820

TT

H f 8682 8669 9364 9904

600 m

17929 17563

t t

IOOO

31389 30129 42769 35882

Řešení C8H,8 + 12,5 ( 0 2 + 3,76 N 2) = 8 C 0 2 + 9 H 20 + 47 N 2 1ZT pro otevřenou soustavu za předpokladu Q = 0 a W = 0, uvažuj em e-li nárůst kinetické ener gie v kontrolním objem u z nulové hodnoty na rychlost c produktů, je jic h ž m olám í hmotnost je Mp H p -H R + y M

p = 0

->

C= J A . ( H

R - H P)

HP= 8-(-393520 + 42769 - 9364) + 9-(-241820 + 35882 - 9904) + 47-(30129 - 8669) = = -3814878 kJ k m o l'1 C 8H 18 Hr = -249950 + 12,5 (17929 - 8682) + 47-(17563 - 8669) = 283655 kJ k m o l'1

145

Chemické procesy

M olám í hmotnost produktů

Mp = 8-44 + 9 18 + 47-28 = 1830 k g k m ol ' 1

Výstupní rychlost spalin

c=

(283655 + 3814878)-103 = 2116 m s' 1

P 9 V odík je dokonale spalován v ustáleném režim u v izolovan é spalovací kom oře. Zdrojem k) je vzduch, je

dodáván s přebytkem

1 00 % . Teplota vodíku i vzduchu před komon

400 K . Stanovte teplotu spalin. V šech n y hodnoty v následující tabulce jsou v kJ k m o l'1. u®

Látka

298 m sluč

h2

o2 2 H :0 ( g )

n

n r

0 0

8468 8682

0 -241820

8669 9904

t j 400

t t 1700

t j 1800

m

m

m

11426 11711 11640

67589 56652 54099

13356

67589

72513 60371 57651 72513

Řešení Chemická rovnice spalování:

2 H 2 + 2 (O 2 + 3,76 N 2) = 2 H 20 + O 2 + 7,52 N 2

V e spalinách převažuje dusík, teplotu spalin orientačně odhadneme tak, ja k o b y celkové n ství spalin (2 + 1 + 7,52 = 10,52 k m o l) tvořil pouze dusík. 2 '(H mvodík 400 — H mvodík 298)

2' { (H mkyslík 400 — H mkyslík 298) — 2 H 298 msluč voda

2 (11426 - 8468) + 2 (11711 H md usík

t

3,76'(H mdusík 400 — H mdusík 298)} 10,52 (H mdusíkT “ Hm dusík 298)

8682 + 3,76 (11640 - 8669) = 2-(-241820) + 10,52-(Hm - 86i

= -57904 kJ k m o l'1

O dpovídající teplota dusíku b y b yla podle tabelovaných hodnot entalpií asi 1800 K . Teploti

lin upřesníme použitím tabelovaných entalpií všech zúčastněných plynů v závislosti na tepl< Teplota spalin j e pak 1730 K . P10 1 km ol oktanu CgHig je spalován v e vzduchu. Spalování probíhá dokonale a v e zplodinácl

lování jsou pouze p lyn y C O 2, H 2O, O 2 a N 2. Pom ěr vzduchu a p aliva je 24,2. U rčete (a) lá množství dodávaného kyslíku v e vzduchu a (b ) látková m nožství všech plynů v e spalinách. Výsledek:

(a ) 20 km ol

^(b) C O 2 - 8 km ol, H 2O - 9 km ol, O 2 - 7,5 km ol, N 2 - 75,2 kmo

P il Etan C 2H 6 j e dokonale spalován v e vzduchu při tlaku 100 kPa. P om ěr vzduchu a paliva je Stanovte (a ) přebytek vzduchu oproti stechiom etrickým pom ěrům v procentech a (b ) teploti ného bodu spalin. Výsledek:

(a ) 20 %

(b ) 52,3 °C

P 12 O bjem ová procenta složení zem ního plynu jsou: 72 % metan C H 4 , 9 % v o d ík H 2 , 14 % dus

2 % kyslík O 2, 3 % o x id uhličitý C O 2. Zem ní plyn je spalován při stechiometrickém mm vzduchu, je ž vstupuje s teplotou 20 °C a tlakem 100 kPa do spalovací kom ory. Jeho rel v lh k o s tje 5 0 % . Předpokládá se dokonalé izobarické spalování při 100 kPa. Stanovtete rosného bodu spalin. Výsledek:

146

60,3 °C

Chemické procesy P 13 Oktan CgHig je spalován v suchém vzduchu. R ozb or suchých spalin (b ez H 2O ) v objemových procentech: 10,02 % C O 2, 5,62 % O 2, 0,88 % C O a 83,48 % N 2. Stanovte (a) poměr vzduchu a paliva, (b ) podíl vzduchu v procentech teoretické spotřeby a (c ) část vod y zkondenzované ochla zením spalin na 10 °C při tlaku 100 kPa. Výsledek:

(a ) 19,76

(b ) 1,31

(c ) 8,09 km ol

P 14 Stanovte reakční entalpii pro plynný oktan CgHig při teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa na základě níže uvedených tabelovaných hodnot standardních molárních slučovacích entalpii (v kJ km ol'1).

Výsledek:

00

H 20 -285830

00

CO, -393520

O

Vodu ve spalinách uvažujte v kapalném skupenství.

-208450

-5512180 kJ k m o l'1 C 8H 18

P15 Řešte úlohu P6 pro spalování plynného butanu za jinak stejných podmínek. Pro plynný butan H“9gmS|UČ= -126150 kJ km ol"1. V yu žijte další potřebné údaje uvedené v řešení úlohy P6. Výsledek:

(a ) 1,16 k g s"1

(b ) 493100 kJ km ol"1 C 4H I0

(c ) 7,08 k W

P 16 V uzavřené nádobě j e 1 km ol metanu C H 4 a 2,5 km ol kyslíku 0 2 při teplotě 25 °C a tlaku 100 kPa. V nádobě proběhne dokonalé spalování. Teplota spalin je 900 K . Stanovte (a ) konečný tlak a (b ) teplo vyvinu té hořením. Potřebné tabelované hodnoty entalpii (v kJ km o!"1): Látka CH4(g) o2

co2 H2o (gj

Výsledek:

(a ) 3020 kPa

H 90°

TT° 298 m sluč

-74850 0 -393520 -241820

8682 9364 9904

27928 37405 31828

( b ) -738320 kJ km ol"1 C H 4

P 17 Uvažujte, že v příkladu P8 je palivem etylalkohol C 2H 5OH. B yla zm ěřena rychlost vytékajících spalin z kom ory 2065 m s"1. Stanovte standardní slučovací entalpii pro etylalkohol. Výsledek:

-277690 kJ k m o l'1

P 18 Do spalovací kom ory parního generátoru je přiváděn jako p alivo metan C H 4 o teplotě 25 °C. Zdrojem kyslíku pro oxidaci je vzduch, kterého je přiváděno v íce n ež odp ovíd á stechiometrickému poměru, aby b ylo zabezpečeno dokonalé spalování. T eplota spalin na výstupu ze spalovací komory je 1015 °C . Pou žijte následující údaje z tabulek term ofyzikálních vlastností (v kJ/kmol): Látka CH4(g) o2 n

2

H20 ( g )

co2

1288

T_r° n 298 m sluč

C 8

m

-74850 0 0 -241820 -393520

8682 8669 9904 9364

31913 30620 36502 43586

t t

147

Chemické procesy

Stanovte (a ) součinitel přebytku vzduchu, (b ) kolik kilogram ů vzduchu je třeba přivádět prc lení každého kilogram u metanu. Výsledek:

(a ) 3,6

(b ) 34,3 kg

P 19 Metan C H 4 je spalován stechiom etricky v e vzduchu při tlaku 100 kPa a spaliny jsou ochk na 20 °C. Stanovte (a ) pom ěr vzduch-palivo, (b ) procento C O 2 v e spalinách a (c ) teplotu ro; bodu. (d ) Jaká část vlhkosti (H 2O ) v e spalinách zkondenzuje. Výsledek:

(a ) 17,25

(b ) 1 5 ,1 4 %

(c ) 59 °C

(d ) 89,8%

P 20 Metan C H 4 je spalován v e vzduchu při tlaku 100 kPa. Přebytek vzduchu je 50 %. Spalin) ochlazeny na 15 °C . Stanovte (a ) pom ěr vzduch-palivo, (b ) procento C 0 2 v e spalinách a (c lotu rosného bodu. (d ) Jaká část vlhkosti (H 2O ) v e spalinách zkondenzuje. Výsledek:

(a ) 25,88

(b ) 10,28 %

(c ) 51,1 °C

(d ) 88,5 %

Přehled použité literatury [1] Incropera, F. - D eW itt, D.: Fundam entals o f H ea t and M ass Transfer, John W ile y & 1996 [2 ] Qengel, Y .: H eat transfer - a p r a c tic a l approach, M cG ra w -H ill Inc., 1998 [3] Sazima, M . - K m oníček, V . - Schneller, J.: Teplo, Tech nický průvodce 2. S N T L , 1989 [4] Jílek, M .: Exercises and Labs in Therm om echanics, Skripta, Č V U T 2002 [5] (perigei, Y . - B oles, M .: Thermodynamics - An E n g in eerin g A p p roa ch , M cG raw -H ill 1994

[6] N ožička, J. - Adam ec, J. - V áradiová, B.: Term om echanika - sbírka příkla d ů , Č V U T 1 [7] N ožička, J.: P říru čk a dynamiky plynů, Skripta, Č V U T 2002 [8] N ožička, J.: Základy term om echaniky, Skripta, Č V U T 2001 [9] Štětina, J.: Sbírka p řík la d ů z term omechaniky, H ypertextová skripta, V U T Brno 1999 [10] Sifner, O. - K lom fa r, J.: M ezin á rod n í standardy term ofyzikálních vlastností vody a páry, A C A D E M IA , Praha 1996 [11] Klom far, J. - Šifner, O.: M o llie rů v h-s diagram vodní páry, A C A D E M IA , Praha 1997 [1 2 ]O rlov, K .: D ocu m en ta tion o f W aterS te a m P ro ™ , M o s c o w P o w er E ngineering Institute,

148

Příloha

Stručný přehled často používaných kriteriálních rovnic, dle [1], [2] a [3] Nucená konvekce: Obtékání desky, délka L - určující (referenční) teplota tu = 0 ,5 -( t, + t s) Nu = — X

= 0 ,6 6 4 -R e 0’5 - P r ^

R e < 5 -1 0 (lam inám í režim ) 0,6 < Pr < 60 a 5T O 5 < R e < 107 (turbulentní

Nu = — = 0 ,0 3 7 -R e 0,8 -Pr^3 X Nu = — X

= (0 ,0 3 7 •R e 0’8 - 8 7 1 )-Pr

režim se zanedbáním lam inám í oblasti) y3

0,6 < Pr < 60 a 5 TO 5 < R e < 107 (turbulentní režim s uvažováním lam inámí oblasti)

Obtékání válce, průměr D , hladký povrch 0,8

XT aD 0 ,6 2 -R e 0,5 -P r 3 Re Nu = — = 0,3 + 1+ 0,25 X 282000 ^ 0 ,4 ^

1+

R e-Pr > 0,2 tu = 0,5 •( t, + ts)

vPr ,

Obtékání koule, průměr D 3,5 < R e < 8 0 0 0 0 Nu = ^

( ^0■25 = 2 + (o, 4 •R e 0'5 + 0,06 •Re^3 1P r04 J I

0,7 < P r < 380 t u = 0 , 5 - ( t , + t s) r|s se určuje při teplotě stěny

Průtok trubkou - lam inám í proudění, vnitřní průměr D 3,i4 XT aD , 0£ ( R e - P r - D Ý 3( ^ Nu = ----- = 1,86- -------------— ^ V L J i,r| J

ts = konst a 0,48 < Pr < 16700 0,0044 < r|/r|s < 9,75 r\s se určuje při teplotě stěny L > 50-D;

Re <2300;

Gr-Pr < 3,6T 0 ; Nu = [ o , 74 •(R e •P r )0,2 + k •(p ■A t)° ’°2 ■ÍG r ■P r )0,1

0 ,5 < P r < 1 2

At — tvstUp —tvýstup

P ••• °b jern ová roztažnost [1/K] k = 0 ... vodorovná trubka k = 1 ... tekutina - svisle nahoru k = -1 ... tekutina - svisle dolů

Průtok trubkou - vyvinuté turbulentní proudění, vnitřní průměr D 0,7 < P r < 160 a R e > 10000 Nu =

aD

0,023 •R e

~x

•P r11

n = 0,4 pro ohřev (ts > tt) n = 0,3 pro ochlazování (ts < tt) L / D > 10

Bublinkový var: a = 1,537 -q0,75 a = 0,123-q0,72 -p0,24

var při atmosférickém tlaku pa a hustotě tepelného toku q [W m ' ] var při vyšších tlacích p [P a] než atmosférický tlak pa

149

Příloha

Stručný přehled často používaných kriteriálních rovnic, dle [1], [2] a [3] Volná konvekce: Určující teplota je zde pro všechny případy stejná: tu = 0,5 •( t, + t s)

3 5 -L Svislá deska (výšk a L ) nebo svislý válec (délka L ) o průměru D , pokud D > — —

0 ,3 8 7 (G r - P r )/ Nu = —

= <¡0,825 + '21

l + (0 ,4 9 2 / P r )/'6

aL N u = — = 0 ,6 8 + X

0 ,6 7 (G r P r ) v '

0,25

pro Gr-Pr < 109 je přesnější

l + (0 ,4 9 2 / P r )/

Vodorovná deska, plocha povrchu A , obvod o N u = “ A/° = 0,54 ( G r - P r ) " ”

104 < Gr-Pr < 107

Nu = U A 0 = 0 , 1 5 - ( G r - P r ) !‘ A,

107 < Gr-Pr < 10u

Spodní povrch teplé desky nebo horní povrch chladné desky_____________ N u = a A / o = o ,2 7 . ( G r . p r ) 0'25 A.

105 < G r P r < 10n

V odorovn ý válec, průměr D

0,387 ( G r - P r ) ' Nu = —

= <¡0,6 + -

Gr-Pr < 10 l + (0 ,5 5 9 / P r ); '16

12

/2 7

Koule, průměr D x T,

. _ « D _ o , X

0,5 89 ( G r - P r ) 0,25

__ %

Gr-Pr < 1 0

a P r > 0,7

l + (0 ,4 6 9 / P r )^ 6

Svislé stěny, vod orovn é a svislé dráty a trubky a k u lový povrch: N u = K •(G r •P r )n

O O

ůa

0

1

Gr Pr < 10J 500 - 20 106 20-106- 1013

150

K 0,45 1,18 0,54 0,135

n 0 0,125 0,25 0,333

TERMOMECHANIKA. Sbírka příkladů. Doc. Ing. Miroslav Jílek, CSc. Ing. Zdeněk Randa. Vydavatelství Č V U T. ČVUT Praha *0.. NENIČ ME

Recommend Documents