TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA

PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi Kar

Dr. Kotek László

TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Feladatgyűjtemény

Pécs, 2005

Lektorálta: Dr. Hraskó Péter

ELŐSZÓ

A feladatgyűjtemény a Pécsi Tudományegyetem Fizikai Intézetében, az alapozó fizika keretében, „Hőtan” néven oktatott program támogatását szolgálja. Ennek megfelelően a feldolgozás sorrendjében teljes mértékben igazodik az elméleti anyaghoz, szerves egységet alkotva azzal. A 7 fejezetből álló, 320 feladatot tartalmazó monográfia egyes fejezeteinek összeállítása során törekedtünk arra, hogy a bevezető, egyszerűbb feladatok után összetettebb, az elméleti anyag finomságainak ismeretét igénylő feladatok következzenek. Így a feladatok megoldása, diszkussziója elősegíti a termodinamika és molekuláris fizika megértését, rávilágít a szakmai háttérre, megmutatja az elmélet korlátait, kreatív gondolkodást is igényelve előkészít a tanári, kutató munkára. A feladatgyűjtemény megoldásokat nem tartalmaz, a VII. fejezetben a feladatok paraméteres, illetve numerikus végeredménye olvasható. Az összetettebb feladatok paraméteres alakban megadott végeredményei a megoldást és ellenőrzést nagyban elősegítik. A feladatgyűjtemény főiskolai, egyetemi hallgatók számára készült, de olyan céllal, hogy a témában feladatgyűjteményként szolgáljon későbbi munkájuk során is. Emiatt hasznosan forgathatják gyakorló tanárok és a fizika iránt komolyabban érdeklődő középiskolai tanulók is. Kívánom, hogy a feladatok megoldása olyan szellemi élményt jelentsen minden megoldónak, mint a szerzőnek a feladatok írása, válogatása és megoldása. Pécs, 2005. szeptember

A szerző

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 1. Mennyi a hőmérséklete a 2 g tömegű nitrogénnek, ha térfogata 820 cm3, nyomása pedig 202,6 kPa? 2. Mennyi a széndioxid sűrűsége 20 °C hőmérsékleten és 100 kPa nyomáson? 3. Határozzuk meg annak a gáznak a moláris tömegét, amelynek sűrűsége 10 °C hőmérsékleten és 2·105 Pa nyomáson 3,4·10-4 g/cm3! 4. 400 K hőmérsékletű, 105 Pa nyomású, 2 dm3 térfogatú gázt állandó hőmérsékleten összenyomunk V2 térfogatra, majd az elért állandó nyomáson 200 K hőmérsékletre lehűtjük. Végül 200 K állandó hőmérsékleten 1 dm3 térfogatra tágítjuk. Határozzuk meg a gáz nyomását a végállapotban! 5. Határozzuk meg a normálállapotú hélium sűrűségét! 6. Bizonyítsuk be, hogy a Boyle—Mariotte-törvény a két Gay-Lussac-törvényből levezethető! 7. Mindkét végén nyitott, 1 m hosszú üvegcsövet félig higanyba nyomunk. Ezután a csövet, miután a felső végét ujjunkkal bezártuk, kiemeljük a higanyból. Milyen hosszú higanyoszlop marad a csőben, ha a külső levegő nyomása 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos? 8. U alakú csőben a higany mindkét szárban egyenlő magasan áll. A bal oldali szárban a higany felett 28,5 cm magasságban levő dugattyút lassan 28,5 cm-rel mélyebbre nyomjuk. A folyamat során a bezárt levegő hőmérséklete nem változik, a külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Milyen magasan áll most a higany a jobb oldali ágban? 9. Egy zárt tartályban 10 kg tömegű, 105 Pa nyomású ideális gáz található. Mekkora tömegű gázt kell kiengedni a tartályból állandó hőmérsékleten, hogy a gáz nyomása 2,5·104 Pa-ra csökkenjen?

6

TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA

10. Egy 2 dm3 térfogatú edényben 96 kPa nyomású ideális gáz van. Mekkora volt eredetileg a gáz sűrűsége, ha változatlan hőmérséklet mellett 2 g tömegű gázt eltávolítva a gáz nyomása 6 kPa lesz? 11. A gázpalackban 4053 kPa nyomású, 27 °C hőmérsékletű ideális gáz van. Mekkora lesz a palackban a gáz nyomása, ha a gáz tömegének 25%-át kiengedve, a hőmérséklet 7 °C-ra csökken? 12. Egy 20 dm3 térfogatú palackban 10132,5 kPa nyomású, 0 °C hőmérsékletű oxigén van. Az oxigénből kiengedünk 0,86 kg-ot. a) Mekkora lesz a nyomás, ha a hőmérséklet ismét 0 °C? b) Mekkora hőmérsékletre kell felmelegítenünk az oxigént, hogy nyomása újból az eredeti értékű legyen? 13. Két különböző, de állandó térfogatú edény ugyanazon gáz egyenlő tömegű mennyiségeit tartalmazza. Ábrázoljuk a nyomást, mint a hőmérséklet függvényét! 14. Az ábrán két azonos tömegű és hőmérsékletű, de különböző minőségű ideális gázok izotermáit látjuk. Határozzuk meg, melyik ideális gáz moláris tömege nagyobb!

p

2. 1. V

15. Alul zárt, A keresztmetszetű, függőleges hengerben m tömegű dugattyú levegőt zár el. Kezdetben a dugattyún egy nehezék van, a külső légnyomás p0. A nehezéket a dugattyúról levesszük. A kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz térfogata kétszerese, a Kelvin-skálán mért hőmérséklete pedig fele az eredeti értéknek. Határozzuk meg a nehezék tömegét! 16. Vízszintes, egyik végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó, 1 dm2 keresztmetszetű dugattyú 105 Pa nyomású, 1 dm3 térfogatú, 300 K hőmérsékletű levegőt zár el. A külső légnyomás ugyancsak 105 Pa. A dugattyút az ábra szerint olyan rugó köti össze a függőleges fallal, amelynek 0,1 cm-rel való megnyújtásához 10 N erő szükséges. Mekkora lesz a nyomás, ha a hengerben levő levegőt 600 K hőmérsékletre melegítjük?

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET

7

17. Két edény közül az egyik térfogata 3 dm3, a benne levő gáz nyomása 2·105 Pa. A másik edény térfogata 5 dm3, benne a gáz nyomása 105 Pa. A gázok hőmérséklete és anyagi minősége azonos. Mennyi lesz a közös nyomás, ha a két edényt összekötő vékony csövön levő csapot kinyitjuk? 18. Két azonos térfogatú edényt csappal ellátott vékony cső köt össze. Egyikben p1, T1, a másikban p2, T2 állapotjelzőkkel meghatározott, azonos minőségű gáz található. Mekkora lesz a nyomás a csap kinyitása után, ha a közös hőmérséklet T? 19. V1 = 7 dm3 és V2 = 12 dm3 térfogatú tartályokat vékony cső köti össze. A tartályokban levő gáz hőmérséklete 0 °C. A V1 térfogatú tartályban levő gáz hőmérsékletét állandóan 0 °C-on tartjuk. Mekkora hőmérsékletre kell felmelegíteni a V2 tartályban levő gázt, hogy ebben a tartályban a rendszerben levő gáz tömegének harmadrésze legyen?

V1

V2

20. Az ábrákon ideális gázok állapotváltozásait látjuk V–T, illetve p–T diagramon. Ábrázoljuk ezeket p–V diagramon! V

3.

2.

1.

p

2.

1. T

3. T

8


21. Ábrázoljuk a bizonyos mennyiségű ideális gáz egymás V után következő folyamatait p–V, illetve p–T diagramokon!

4.

2.

3.

1. T

22. Az ábrán bizonyos tömegű ideális gáz egymás után következő állapotváltozásait látjuk. A gáz Kelvin skálán mért hőmérséklete az 1. állapotban T1, a 2. állapotban pedig T2.

p

2.

a) Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét a 3. állapotban! b) Ábrázoljuk a folyamatokat p–T diagramon!

3.

1.

V

23. Bizonyos mennyiségű ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy azt V–T diagramon ábrázolva kört kapunk. Határozzuk meg, hogy melyik állapotban a legnagyobb, illetve a legkisebb a gáz nyomása!

V

T

24. Az ábrán bizonyos mennyiségű ideális gáz egymás p után következő állapotváltozásait látjuk. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T0, a 2. állapotban 3T0. a) Mennyi a gáz hőmérséklete a 3. és 4. állapotban? b) Ábrázoljuk a folyamatokat p–T diagramon!

3.

2.

4.

1. V

I. EMPIRIKUS HŐMÉRSÉKLET, ÁLLAPOTEGYENLET 25. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz az ábrán V 6V0 látható folyamatot végzi. a) Határozzuk meg a nyomást a térfogat függvényében! 1. b) Ábrázoljuk a folyamatot p–V diagramon! 2V0

9 2.

T T0

6T0

26. Vízszintes, mindkét végén zárt henger terét egy könnyen mozgó, termikus kölcsönhatást megengedő dugattyú két részre osztja. Az egyik térrészben m tömegű, a másikban 2m tömegű azonos minőségű gáz található. Az egész henger térfogatának hányad részét foglalja el a nagyobb tömegű gáz, ha a dugattyú egyensúlyban van? 27. Vízszintes, mindkét végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó dugattyú található. A kezdő állapotban a bal oldali térben 8 dm3 térfogatú, normálállapotú gáz, a jobb oldali térben 5 dm3 térfogatú, normálállapotú gáz helyezkedik el. A jobb oldali gázt ezután 100 °C-ra melegítjük, miközben a dugattyútól balra levő gázt továbbra is 0 °C hőmérsékleten tartjuk. A henger és a dugattyú hőszigetelőnek tekinthető! a) Mekkora lesz az egyik, illetve a másik oldalon a nyomás, ha a dugattyú melegítés közben nem mozdulhat el? b) Mekkora lesz az egyik, illetve a másik oldalon a nyomás és térfogat, ha a dugattyú a melegítés során elmozdulhat? 28. Vízszintes, zárt hengert egy súrlódásmentesen mozgó fal egy 5 dm3 és egy 3 dm3 térfogatú részre oszt fel. A hengerben a környezet hőmérsékletével azonos hőmérsékletű, de a külső levegő nyomásánál megfelelően nagyobb nyomású gáz van. A mozgó fal és a henger fala jó hővezető. A henger keresztmetszete 1 dm3. A bal oldali részből kiengedjük a gáz tömegének 2/5-öd részét. Hol állapodik meg a fal, miután a szerkezet minden része felvette a környezet hőmérsékletét? 29. Vízszintes, mindkét végén zárt hengerben súrlódásmentesen mozgó dugattyú két oldalán azonos térfogatú, és azonos T0 = 120 K hőmérsékletű hidrogén és hélium található. A dugattyút a henger végeivel azonos rugóállandójú, nyújtatlan rugók kötik össze. Ha a hidrogént T1 = 480 K hőmérsékletre felmelegítjük, akkor elfoglalja a henger 3/4-ed részét. Milyen hőmérsékletre kell felmelegíteni a hidrogént, hogy az a henger 7/8ad részét foglalja el, miközben a hélium hőmérséklete végig állandó marad?

10


T0

T0

H2

He

30. Két különböző keresztmetszetű, mindkét végén zárt hengerben két dugattyú azonos hőmérsékletű ideális gázokat zár el. A dugattyúkat merev rúd köti össze, és köztük vákuum van. A dugattyúk egyensúlyban vannak, és a hengerek végeitől egyenlő távolságra helyezkednek el. A gázok hőmérsékleteit megváltoztatjuk, aminek következtében a dugattyúk elmozdulnak. Határozzuk meg a gázok Kelvin-skálán mért hőmérsékleteinek arányát, ha a változtatások következtében a bal oldali gáz térfogata felére csökken!

31. Az ábrán látható 1 cm2 keresztmetszetű cső egyik vége be van forrasztva, a másik hosszabbik vége nyitott. A 30 cm hosszúságú térrészbe bezárt levegő hőmérséklete 18 °C. A nyitott oldal feletti levegő hőmérséklete ugyancsak 18 °C, nyomása 101,3 kPa. A levegő sűrűsége 0 °C hőmérsékleten, 101,3 kPa nyomáson 1,29 kg/m3, a higany sűrűsége 18 °C-on 13,6 kg/dm3. a) Határozzuk meg a zárt térben levő levegő tömegét! b) Hány kg tömegű higanyt kell a nyitott végén át a csőbe tölteni, ha azt akarjuk, hogy a zárt térrészben levő levegő térfogata a felére csökkenjen? 32. Egy állandó keresztmetszetű U alakú cső egyik szára nyitott, a másik zárt. A benne levő higany felszíne a két szárban azonos magasságban van. Ekkor a zárt szárban a higanyoszlop feletti levegőoszlop magassága 10 cm. A külső levegő nyomása 101,3 kPa, a higany sűrűsége 13 600 kg/m3. Hányszorosára nő a levegő térfogata, ha annyi levegőt viszünk állandó hőmérsékleten a higanyszint feletti zárt térrészbe, hogy a levegő tömege éppen megkétszereződik?


11

33. Mindkét végén zárt, vékony csőben középütt L cm hosszúságú higanyszál van. Vízszintes helyzetben a csőben levő, a higanyoszlop által elválasztott gázok térfogata egyenlő, nyomásuk pedig akkora, mint az L cm magas higanyoszlop nyomása. Mekkora lesz a gázok nyomása a cső függőleges helyzetében, ha a gázok hőmérséklete állandó marad? L

34. Egyik végén zárt, keskeny hengeres cső a külső levegőtől higanycseppel elválasztott levegőt tartalmaz. Ha a csövet zárt végével fordítjuk felfelé, a benne levő levegőoszlop hossza L cm. Amikor a csövet nyitott végével fordítjuk felfelé, akkor a benne levő levegőoszlop hossza L cm. A higanycsepp hossza h cm. Határozzuk meg a külső levegő nyomását! 35. U alakú csőben alul higany helyezkedik el úgy, hogy a higany felszínétől a cső vége h cm-re van. A cső egyik ágát felül lezárjuk. A külső levegő H cm magas higanyoszlop nyomásával azonos nyomású. Mekkora legyen h értéke, ha azt akarjuk elérni, hogy a melegítés során a bezárt levegőoszlop nyomása arányos legyen a térfogatával? 36. Egy 97 cm hosszúságú, vékony üvegcső vízszintesen helyezkedik el, és a benne levő 20-20 cm hosszúságú légoszlopokat 20-20 cm hosszúságú higanyoszlopok választják el. A külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Meddig lehet a cső nyitott végét lesüllyeszteni anélkül, hogy a higany kifolyna a csőből? 20 cm

20 cm 20 cm

20 cm

37. Vízszintesen tartott, mindkét végén beforrasztott, egyenletes keresztmetszetű, 1 m hosszú csőbe p0 nyomású gáz van bezárva úgy, hogy a cső közepén egy 20 cm hosszúságú higanyoszlop helyezkedik el. A csövet függőleges helyzetbe fordítva, a gázok Kelvin-skálán mért hőmérsékletét háromszorosára növelve a higanyoszlop 10 cm-rel lejjebb csúszik.

12

TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA Határozzuk meg az eredeti p0 nyomást! 20 cm

38. Függőleges, alul zárt, vékony csőben 15 cm hosszúságú higanyoszlop 30 cm hosszúságú levegőoszlopot zár el. A külső levegő nyomása 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A csövet a cső bezárt végén átmenő vízszintes tengely körül függőleges síkban lassan körbeforgatjuk. Milyen görbén mozog az a pont, ahol a higanyszál érintkezik a bezárt levegőoszloppal?

39. Egy vízszintes, mindkét végén zárt, A keresztmetszetű vékony üvegcsőben az m tömegű higanyoszlop a bezárt gázok térfogatát 2:1 arányban osztja. A gázok nyomása p, hőmérsékletük megegyezik. Mekkora gyorsulással kell a csövet a cső irányába mozgatni, hogy a térfogatok aránya felcserélődjön, ha az összenyomott gáz Kelvin-skálán mért hőmérséklete kétszeresére növekszik, míg a másik gáz hőmérséklete nem változik?

40. Mindkét végén zárt, vékony függőleges csőben két azonos hosszúságú higanyoszlop három azonos hosszúságú térrészt zár el. Az alsó két térrészben levegő, a felsőben vákuum van. A levegőoszlopok hosszúsága megegyezik a higanyoszlopok hosszúságával, az alsó térrészben a levegő nyomása 6·104 Pa. A csövet függőleges helyzetéből a másik függőleges helyzetébe átfordítjuk, miközben a hőmérséklet állandó. Mekkora lesz a levegőoszlopok nyomása a cső átfordítása után?

h h h h h

41. Az ábrán látható, egyik végén zárt, derékszögben meghajlított, vékony cső vízszintes részében L hosszúságú levegőoszlopot 3L hosszúságú higanyoszlop zár el. A csövet függőleges tengely körül forgatni kezdjük. Ismert, hogy a felpörgetés során a levegő tömegének 1/4-ed része eltávozott a csőből, abszolút hőmérséklete pedig 4/5-szeresére változott. L = 0,5 m, a külső levegő nyomása pedig 75 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. Mekkora szögsebességgel kell forgatni a csövet, hogy a vízszintes csőben a levegőoszlop és higanyoszlop aránya felcserélődjön.


L

13

3L

42. Két edényt, amelyek egyike 3-szor nagyobb térfogatú, mint a másik, vékony cső köt össze. Az edényekben 15 °C hőmérsékletű, 101,3 kPa nyomású levegő van. A nagyobb edényt 100 °C hőmérsékletre felmelegítjük, a kisebbet pedig 15 °C hőmérsékleten tartjuk. a) A végállapotban hányszor nagyobb tömegű levegő lesz a nagyobb edényben, mint a kisebbikben? b) Mekkora lesz az edényekben a levegő nyomása? 43. 200 cm3, illetve 100 cm3 térfogatú edényeket rövid, vékony cső köt össze, amelyben félig áteresztő anyag van. Ez lehetővé teszi a nyomás-kiegyenlítődést, de a hőmérséklet-kiegyenlítődést nem. Amikor a rendszer 27 °C hőmérsékletű, 101,3 kPa nyomású oxigént tartalmaz, lezárjuk. Ezután a kisebb edényt 0 °C hőmérsékletű jégfürdőbe, a nagyobbat pedig 100 °C hőmérsékletű gőzfürdőbe helyezzük. Mekkora lesz a végső nyomás a rendszer belsejében? 44. Egy 50 dm3 térfogatú és egy 15 dm3 térfogatú tartályt nyomáskiegyenlítő szeleppel ellátott vékony cső köti össze. A szelep csak akkor teszi lehetővé, hogy a gáz a nagyobb tartályból a kisebbe áramoljon, ha a nagyobb tartályban a nyomás 117,2 kPa-lal nagyobb, mint a kisebb tartályban. 17 °C hőmérsékleten a nagyobb tartály 101,3 kPa nyomású gázt tartalmaz, a kiseb-ben pedig légüres tér van. Mekkora a nyomás a kisebb tartályban, ha mindkét tartály hőmérséklete egyaránt 162 °C? 45. Három egyenlő térfogatú edényt vékony, hőszigetelő csövekkel összekapcsolunk, és a rendszert megtöltjük bizonyos mennyiségű, T0 hőmérsékletű ideális gázzal. Hogyan változik a rendszerben a nyomás, ha az egyik edény hőmérsékletét 3T0-ra, a másikét 6T0-ra változtatjuk, miközben a harmadik edény hőmérséklete nem változik?

14


3T0

6T0

T0

V

V

V

46. Az ábrán látható módon, közlekedőedény azonos keresztmetszetű ágaiban κ sűrűségű folyadék található. A folyadékoszlopok magassága megegyezik. A folyadékfelszín felett h magasságban mindkét ágban dugattyú helyezkedik el. A jobb oldali dugattyú rögzített, a bal oldali mozgatható. A bezárt levegő nyomása mindkét ágban p. Mennyivel kell elmozdítani a dugattyút a bal oldali ágban felfelé, hogy a folyadékfelszínek távolsága h legyen?

h

h

47. Zárt henger csappal ellátott csővel egy V térfogatú edénnyel van összekapcsolva, amelyben vákuum van. A hengerben rugón felfüggesztve súrlódásmentesen mozgó, súlytalan dugattyú található, amely akkor feszítetlen, ha a henger alján van. A dugattyú alatti térbe a csap zárás során bizonyos mennyiségű levegő szökött, amely a dugattyút h magasságig emelte fel, miközben a dugattyú feletti térben vákuum van. A henger keresztmetszete A, a hőmérséklet állandó. Milyen h1 magasságban állapodik meg a dugattyú, ha a csapot kinyitjuk? 48. Egy függőleges hengerben, amelynek mindkét vége zárt, súrlódásmentesen mozgó dugattyú található. A dugattyú alatt és felett azonos tömegű és minőségű, 15 °C hőmérsékletű ideális gáz van. A dugattyú súlya miatt a felső rész térfogata háromszorosa az alsó rész térfogatának. Mekkora hőmérsékletre kell lehűteni a rendszert, hogy az alsó rész térfogata a felére csökkenjen?

h

V


15

49. Függőleges, mindkét végén zárt hengerben levő, hőszigetelő anyagból készült, nem elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú a henger térfogatát két egyenlő térfogatú részre osztja. A felső térrészben p0 nyomás, T0 hőmérsékletű hidrogén, az alsó térrészben 2T0 hőmérsékletű oxigén található. A hengert 180°-kal elfordítjuk. Azt akarjuk elérni, hogy a gázok térfogata ne változzon. Ennek érdekében az oxigént T0/2 hőmérsékletre le kell hűteni, miközben a hidrogén hőmérséklete nem változik. Határozzuk meg az oxigén nyomását az első, illetve a második helyzetben! 50. Függőleges, alul zárt hengerben levő dugattyú m tömegű, M moláris tömegű ideális gázt zár el. A dugattyút a henger aljával D rugóállandójú rugó köti össze. T1 hőmérsékleten a dugattyú távolsága a henger aljától h. Milyen hőmérsékletre kell felmelegíteni a gázt, hogy ez a távolság H legyen?

m M T1

D

h

51. Mindkét végén zárt, függőleges hengerben súrlódásmentesen mozgó dugatytyú található. A dugattyú alatt és felett azonos tömegű és minőségű, 300 K hőmérsékletű gáz van. A dugattyú súlya miatt a felső részben levő gáz térfogata háromszorosa az alsó részben levő gáz térfogatának. Adjuk meg a térfogatok arányát, ha a hőmérséklet 400 K-re emelkedik! 52. Függőleges, mindkét végén nyitott, különböző keresztmetszetű hengerben két súrlódásmentesen mozgó dugattyú helyezkedik el, amelyek nyújthatatlan, megfeszített fonállal vannak összekapcsolva. A felső dugattyú keresztmetszete ΔA = 10 cm2-rel nagyobb az alsónál. A dugattyúk között 1 mol anyagmennyiségű ideális gáz van. Mindkét dugattyú tömege m = 5 kg, a külső légnyomás p0 = 105 Pa. Mennyivel kell megnövelni a dugattyúk közti gáz hőmérsékletét, hogy a dugattyúk b = 5 cm-rel elmozduljanak? 53. Azonos keresztmetszetű, rögzített, függőleges hengerekben levő súlytalan dugattyúk azonos minőségű, térfogatú és hőmérsékletű ideális gázokat zárnak el. A dugattyúkat elhanyagolható tömegű, merev rudakkal összekapcsoltuk. A bal oldali hengerben levő gáz tömege 2-szerese a másikénak. A külső nyomást egy adott pillanatban 4-szeresére növeljük. A gázok térfogatát állandó értéken szeretnénk tartani. Hányszorosára kell növelni a bal oldali hengerben levő gáz Kelvin-skálán mért hőmérsékletét, ha a jobb oldali hőmérsékletét 3-szorosára növeltük?

16


54. Egy hengerben levő, 10 g tömegű oxigén olyan egyensúlyi állapotokon keresztüli folyamatot végez, hogy a hőmérséklet és a térfogat összefüggését a T = 104(4,8 K/m3·V – 120 K/m6·V) összefüggés írja le. Határozzuk meg a maximális hőmérsékletű állapotban az oxigén térfogatát, hőmérsékletét és nyomását! 55. 0,5 kg tömegű levegő olyan egyensúlyi állapotokon keresztüli folyamatokat végez, hogy a nyomás és térfogat összefüggését a p = 2·106 Pa/m3·V – 2·106 Pa/m6·V2 formula írja le. A levegő moláris tömege 29·10-3 kg/mol. Határozzuk meg a folyamat során a levegő maximális nyomását és maximális hőmérsékletét! 56. Egy termodinamikai folyamat során bizonyos p A mennyiségű ideális gáz állapotjelzői az ábrán látható 4p0 módon változnak. A gáz hőmérséklete az A. állapotban 360 K. a) Határozzuk meg, hogy a folyamat során a gáz melyik állapotában maximális a gáz p0 hőmérséklete! b) Mekkora ez a maximális érték? V0 57. Függőleges, alul zárt, 1 cm2 keresztmetszetű, 152 cm hosszúságú csőben 76 cm hosszú higanyoszlop 76 cm hosszúságú ideális gázoszlopot zár el. A gáz hőmérséklete 400 K, a külső légnyomás 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A gázt nagyon lassan melegítjük. a) Ábrázoljuk a gáz hőmérsékletét a térfogat függvényében! b) Mekkora maximális hőmérséklet érhető el a melegítés során? 58. Egy 2,24·10-2 m3 térfogatú tartályban 0,7 kg tömegű, 273 K

B V 6V

76 cm

76 cm


17

hőmérsékletű nitrogén van. A nitrogén van der Waals-állandói: a = 169,9 Pa·m6/kg2, b = 1,42·10-3 m3/kg. Határozzuk meg a valódi gáznak tekinthető nitrogén nyomását! 59. Tartályban levő, bizonyos mennyiségű oxigén nyomása 7·106 Pa, sűrűsége 100 kg/m3. Az oxigén van der Waals-állandói: a = 133,8 Pa·m6/kg2, b = 9,38·10-4 m3/kg. Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét! Tekintsük az oxigént: a) valódi gáznak, b) ideális gáznak! 60. A van der Waals-állandók meghatározása céljából bizonyos mennyiségű, p1 = 107 Pa nyomású, V1 = 6,79·10-4 m3 térfogatú, T1 = 300 K hőmérsékletű szénmonoxid gázt állandó hőmérsékleten V2 = 4·10-4 m3 térfogatra összenyomunk, aminek eredményeként a gáz nyomása p2 = 1,65·107 Pa-ra nő. Végül a gáz hőmérsékletét állandó térfogaton T2 = 200 K-re csökkentjük, aminek következtében a gáz nyomása p3 = 0,819·107 Pa-ra változik. Határozzuk meg a gáz van der Waals-állandóit! 61. Állandó, 0,5 m3 térfogatú tartályban 600 mol széndioxid található 3·106 Pa nyomáson. Ebben az állapotban a széndioxid állapotjelzői a van der Waalsb egyenletet elégítik ki. A gáz van der Waals-állandói: a = 188 Pa m6/kg2, 4 3 = 9,7·10 m /kg. Hányszorosára kell növelni a gáz hőmérsékletét, hogy nyomása kétszeresére növekedjék? 62. 5 dm3 térfogatú, merev falú tartályban 4 mol széndioxid van 106 Pa nyomáson. Állandó hőmérsékleten a gáz tömegének felét a tartályból kiengedjük. Tekintsük a széndioxidot valós gáznak! A van der Waals-állandók: a = 188 Pa·m6/kg2, b = 9,7·10-4 m3/kg. Határozzuk meg a gáz nyomását a végállapotban! 63. A gőzmozdony kerekének sugara T0 = 0 °C hőmérsékleten r0 = 1 m. Határozzuk meg a 100 km úton bekövetkező fordulatszám-különbséget, ha első esetben nyáron, T1 = 25 °C hőmérsékleten, második esetben télen, T2 = –25 °C hőmérsékleten teszi meg a kérdéses utat. A kerék anyagának lineáris hőtágulási együtthatója: α = 1,2·10-5 1/°C. 64. Egy óra bizonyos hosszúságú, matematikai ingának tekinthető ingája szobahőmérsékleten pontosan jár. Az inga szála anyagának lineáris hőtágulási együtthatója 1,85·10-5 1/°C. Mennyit késik vagy siet az óra 24 óra alatt, ha a szoba hőmérséklete 10 °Ckal megnövekszik?

18


65. Két különböző anyagú, vékony huzalból egy bizonyos hőmérsékleten fizikai eszközt készítünk. Milyen hosszúságú huzalokat válasszunk, ha azt akarjuk, hogy a hosszúságkülönbség minden hőmérsékleten d legyen? Az anyagok lineáris hőtágulási együtthatói α1 és α2, továbbá α2 > α1. 66. T1 = 20 °C hőmérsékleten vas és bronz lemezekből bimetállemezt készítünk. Az azonos hosszúságú, szélességű és d = 0,2 mm vastagságú lemezeket összeszegecseljük. A vas lineáris hőtágulási együtthatója α1 = 1,1·10-5 1/°C, a bronzé α2 = 2·10-5 1/°C. Mekkora lesz a bimetállemez görbületi sugara T2 = 100 °C hőmérsékleten? 67. Korong alakú, T0 hőmérsékletű test függőleges tengely körül ω0 szögsebességgel forog. A korong anyagának lineáris hőtágulási együtthatója α. Határozzuk meg a korong szögsebességét, ha a környezet hőmérséklete T0-ról T1-re növekszik! 68. Higanyos barométer rézből készült skáláját 0 °C hőmérsékleten hitelesítették. 18 °C hőmérsékleten a barométer 760 mm magas higanyoszlop nyomásával azonos értéket mutat. A réz lineáris hőtágulási együtthatója 1,9·10-5 1/°C, a higany térfogati hőtágulási együtthatója pedig 1,8·10-4 1/°C. Mekkora nyomást jelezne a barométer 0 °C hőmérsékleten? 69. Mekkora erőt kell kifejteni az egyik végén befogott, 1 cm2 keresztmetszetű homogén acélrúd másik végére, ha annak hőmérsékletét 1 °C-kal növeljük és azt akarjuk elérni, hogy hosszúsága ne változzon? α = 1,2·10-5 1/°C, E = 2,1·1011 N/m2. 70. Két fal között levő, L hosszúságú, A keresztmetszetű, T1 hőmérsékletű vékony rúd két egyenlő hosszúságú, de különböző anyagú részből áll. Az egyik anyag lineáris hőtágulási együtthatója α1, Young-modulusza E1, a másik anyagé pedig a2 és E2. A rudat T2 hőmérsékletre melegítjük. A rúd oldalirányú deformációjától eltekintünk. a) Mekkora erővel nyomja a rúd a falakat? b) Mennyivel mozdul el a két különböző anyagú rész találkozási pontja? α2 E2 E1 α1


19

71. β térfogati hőtágulási együtthatójú, T1 hőmérsékletű üveggolyót elhanyagolható tömegű fonállal rugós erőmérőre akasztunk. Az erőmérő F nagyságú erőt jelez. Ha az üveggolyót T1, illetve T2 hőmérsékletű folyadékba merítjük, akkor az erőmérő F1, illetve F2 nagyságú erőket jelez. Határozzuk meg a folyadék térfogati hőtágulási együtthatóját! 72. A folyadékok térfogati hőtágulási együtthatójának mérésekor tartó üvegedény tágulásából adódó hibát úgy kompenzáljuk, hogy az edénybe bizonyos térfogatú, β1 = 8·10-5 1/°C térfogati hőtágulási együtthatójú ötvözetet helyezünk. Az üveg térfogati hőtágulási együtthatója β2 = 3·10-5 1/°C. Az edény térfogatának hányad részét kell az ötvözettel megtölteni, hogy a kompenzáció teljes legyen? 73. Laboratóriumi körülmények között a higany térfogati hőtágulási együtthatóját tömegmódszerrel határozták meg. Egy vékony csőben végződő üvegedényt a csövön levő jelzésig higannyal töltöttek meg. Az edényben ekkor 32 g higany volt, a hőmérséklet pedig 0 °C. A higany és üvegedény alkotta rendszer hőmérsékletét 100 °C-ra növelték, és a csövön levő jelzés feletti higanyt eltávolították az edényből. Ekkor a higany tömege 31,5 g maradt. Az üveg térfogati hőtágulási együtthatója 2,7·10-5 1/°C. Határozzuk meg ezekből az adatokból a higany térfogati hőtágulási együtthatóját! 74. Bizonyítsuk be, hogy ha a p, V, T állapotjelzők közötti kapcsolat megadható az f(p,V,T) = 0 állapotegyenlettel, akkor igaz a következő összefüggés:

⎛ ∂ p ⎞ ⎛∂V ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ∂ V ⎝ ⎠T ⎝ ∂ T

⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ =− 1 . ∂ p ⎠ p⎝ ⎠V

75. Bizonyítsuk be, hogy a homogén, izotóp testek esetén a β izobár térfogati hőtágulási együttható, a K izotermikus kompresszibilitási együttható és az αV termikus nyomási együttható kielégítik a

p0 =

K ⋅α V

β

=1

összefüggést, ahol p0 a nyomás 0 °C hőmérsékleten! 76. A higany térfogati hőtágulási együtthatója 0 °C hőmérsékleten és 105 Pa nyomáson 1,8·10-4 1/°C, az izotermikus kompresszibilitási együtthatója 3,9·10-11 1/°C. Határozzuk meg a higany termikus nyomási együtthatóját!

20


77. Az előző feladatban hányszorosára kell megnövelni a külső nyomást, hogy 10°C hőmérséklet-növekedés esetén a higany térfogata ne változzon? 78. Határozzuk meg az ideális gáz, illetve a van der Waals-gáz izotermikus kompresszibilitási együtthatóját!

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA 79. Számítsuk ki az O2 molekula tömegét! 80. Mennyi a térfogata annak a vízmennyiségnek, amelyben 6,02·1023 vízmolekula van? 81. A vízmolekulákat gömb alakúnak tekintve határozzuk meg átmérőjüket! 82. Egy neonatom tömege 3,35·10-26 kg. Mennyi a normál állapotú neongáz sűrűsége? 83. Határozzuk meg a normál állapotú ideális gáz molekuláinak átlagos távolságát! 84. A szőlőcukor 6 kg/m3 koncentrációjú vizes oldatának ozmotikus nyomása 27 °C hőmérsékleten 83,12 kPa. Mekkora a szőlőcukor moláris tömege? 85. 27 °C hőmérsékletű oldat ozmotikus nyomásának növelése céljából az oldat koncentrációját 1,3-szeresére növeltük. Milyen hőmérsékletre kell melegíteni az oldatot, hogy az eredeti koncentrációt megtartva az ozmotikus nyomás ugyanúgy változzon, mint a koncentráció növelése esetén? 86. 1dm3 térfogatú, 30 °C hőmérsékletű oldatban 3 g tömegű konyhasó (NaCl) található. Az oldat ozmotikus nyomása 1,7·105 Pa. Milyen mértékben disszociáltak a konyhasó molekulái? 87. Féligáteresztő anyagból készült, 1 dm3 térfogatú edény felül vékony, függőleges csőben folytatódik. Az edényben levő 1 dm3 térfogatú, 27 °C hőmérsékletű víz 0,2 g tömegű konyhasót tartalmaz, a konyhasó molekulái disszociáltak. Milyen magasra emelkedik a függőleges csőben a víz, ha az oldatot tartalmazó edényt vízbe helyezzük?

22


88. Határozzuk meg az ideális gáz nyomását molekulárisan! KRÖNIG nyomán a számítás egyszerűsítése végett tegyük fel, hogy a V térfogatú, téglatest alakú edényben minden m* tömegű részecske azonos v0 sebességgel mozog, és az N db részecske 1/6-od része mozog egy-egy fal irányába, a falra merőlegesen! 89. Egy vékony fémlap két oldalát irányított, a fémlapra merőleges irányú gázrészecskenyaláb bombázza. A gázrészecskék tömege m*, sebessége v0. A nyalábokban a részecskekoncentráció n, a nyalábok keresztmetszete A. A gázrészecskék fémlappal való ütközését tekintsük tökéletesen rugalmasnak! Mekkora erővel mozgathatjuk u állandó sebességgel a fémlapot a nyalábok irányába, ha v0 > u? v0

v0

u

90. R sugarú gömbben N db m* tömegű molekula található. Tegyük fel, hogy a molekulák azonos, v0 nagyságú sebességgel mozognak a gömbben és az edény falával rugalmasan ütköznek! a) Számítsuk ki a gömb belső felületére gyakorolt nyomóerőt! b) Határozzuk meg a gáz nyomását! 91. Gázrészecskék azonos sebességgel nyalábban haladva rugalmasan falnak ütköznek. A részecskék sebességének iránya a fal normálisával α szöget zár be. Adott a részecskék m* tömege, v0 sebessége, a térfogategységben levő részecskék n száma. Határozzuk meg a falra kifejtett nyomást, ha a) a fal áll, b) a fal normálisának irányába állandó u sebességgel mozog! 92. Egy r sugarú, h magasságú egyenes hengerben az alaplappal párhuzamos N db különböző síkban egy-egy m* tömegű, v0 sebességű gázrészecske pattog. Az ütközések rugalmasak. Milyen összefüggés áll fenn a gáz nyomása és térfogata között? 93. Vízszintes, hőszigetelő anyagból készült hengerben levő dugattyú egyatomos ideális gázt zár el. Az ugyancsak hőszigetelő anyagból készült dugattyút u állandó sebességgel mozgatni kezdjük, ahol u << v. Igazoljuk a kinetikus gázelmélet alapján, hogy a dugattyú mozgatása során a gáz állapotjelzői kielégítik a

II. MOLEKULÁRIS FIZIKA

23

5

p ⋅V 3 = állandó összefüggést! u

94. Hány db molekula ütközik 1 másodperc alatt annak a gáztartálynak az 1 m2 területű oldallapjához, amelyben 101,3 kPa nyomású, 20 °C hőmérsékletű nitrogén található? 95. Ismerve az ideális gáz κ sűrűségét és M moláris tömegét, határozzuk meg az egységnyi térfogatban levő részecskék n számát! 96. Az oxigénmolekula átmérője 2,9·10-10 m. Milyen hosszú láncot alkotna annyi részecske, amennyi a 0,5 cm3 térfogatú normálállapotú oxigénben található, ha azokat egymás mellé tennénk? 97. Határozzuk meg a valódi gáz részecskéinek r sugara és a b van der Waalsállandó közti összefüggést, ha a gáz moláris tömege M! 98. Határozzuk meg az argonmolekula átmérőjét, ha ismert a van der Waalsegyenletben szereplő b = 7,5·10-4 m3/kg állandó értéke! 99. Egy tartály, melynek térfogata 0,25 m3, 327 °C hőmérsékletű gázkeveréket tartalmaz. A gázkeverék 6,6·1021 db széndioxid és 9·1020 db vízgőzmolekulából áll. Határozzuk meg a gázkeverék nyomását és átlagos moláris tömegét! 100. Hélium és argon keverékből álló gáz sűrűsége 1,5·105 Pa nyomáson, 300 K hőmérsékleten 2 kg/m3. Hány héliumatom található 1 cm3 térfogatú gázkeverékben? 101. Egy zárt edény bizonyos mennyiségű hidrogént tartalmaz, amelynek hőmérséklete 200 K, nyomása 400 Pa. A gázt 10 000 K hőmérsékletre melegítjük, amely során a hidrogénmolekulák atomokra esnek szét. Mekkora lesz a gáz nyomása, ha az edény térfogata változatlan? 102. Egy 2,55 dm3 térfogatú edény 2500 °C hőmérsékletű, 1,5·10-2 g tömegű hidrogént tartalmaz. Ezen a hőmérsékleten a hidrogénmolekulák 0,25-öd része már atomokra esik szét. Határozzuk meg a hidrogén nyomását!

24


103. Egy zárt edényben hidrogén-nitrogén gázkeverék van. T hőmérsékleten, amikor a nitrogénmolekulák már atomokra esnek szét, de a hidrogén még nem disszociált, az edényben a gázkeverék nyomása p. 2T hőmérsékleten, amikor mindkét gáz atomokra esett szét, a gázkeverék nyomása 3p. Határozzuk meg a nitrogén- és hidrogénatomok arányát a 2T hőmérsékletű gázkeverékben! 104. Zárt edényben n0 = 1 mol kéntrioxidot T1 = 1000 K hőmérsékletre melegítve az részlegesen disszociál (2SO3 = 2SO2 + O2). A disszociáció mértéke α1 = 0,2. Egy másik kísérlet során, amikor n2 = 0,4 mol kéntrioxidot használtunk fel, T2 = 2000 K hőmérsékletre kellett a gázt melegíteni, hogy a T1 hőmérséklethez tartozó nyomást elérjük. Határozzuk meg a T2 hőmérsékleten bekövetkező disszociáció mértékét! 105. Mekkora a héliumatom átlagos mozgási energiája 300 K hőmérsékleten? 106. Határozzuk meg kétatomos gáz molekuláinak haladó és forgó mozgásából származó átlagos kinetikai energiáját, ha a hőmérséklet 4500 K! 107. Egy 5 dm3 térfogatú edényben 3 · 105 Pa nyomású ideális gáz van. Mekkora részecskéinek összes mozgási energiája és a gáz belső energiája, ha a) a gáz egyatomos, b) a gáz kétatomos? 108. Egy zárt edényben 5·1025 db oxigénmolekula van, amelyek hőmérsékletét 20 °C-ról 100 °C-ra növeljük. Mennyivel változik a rendszer belső energiája? 109. A 2·105 Pa nyomású egyatomos ideális gáz részecskéinek átlagos mozgási energiája 6·10-21 J. Határozzuk meg, hány db részecske található az edény 2 m3 térfogatú részében! 110. Az 1000 K hőmérsékletű, négyatomos gáz termikusan gerjeszthető szabadsági fokai kiolvadtak. a) Határozzuk meg az 1 mol mennyiségű gáz belső energiáját! b) A teljes energia hányadrésze kapcsolatos a haladó mozgással?


25

111. Egy zárt, állandó térfogatú tartályban kétatomos ideális gáz található. A gáz Kelvin-skálán mért hőmérsékletét 10-szeresére növelve a molekulák 20%-a atomokra esik szét. a) Hányszorosára nőtt a gáz nyomása? b) Hogyan változott a gáz belső energiája? 112. Egy zárt, állandó térfogatú tartályban egyatomos és kétatomos ideális gázból álló gázkeverék van. A gázmolekulák (kétatomos) száma 1023. A gázkeverék Kelvin-skálán mért hőmérsékletét 13-szorosára növelve a molekulák egy része atomokra esik szét, aminek következtében a gáz nyomása 52/3szorosára, belső energiája 14-szeresére nő. a) Hány db egyatomos gázrészecskét tartalmaz az eredeti gázkeverék? b) A gázmolekulák hányad része esett szét atomokra? 113. Mekkora hőmérsékleten egyezik meg az oxigénmolekulák „közös” sebessége (a sebességnégyzet átlagának négyzetgyöke) a 273 K hőmérsékletű hidrogén molekuláinak „közös” sebességével? 114. Mekkora hőmérsékleten egyezik meg az oxigénmolekulák „közös” sebessége a második kozmikus sebességgel (11,2 km/s)? 115. Határozzuk meg azon gáz részecskéinek „közös” sebességét, amely sűrűsége 1,8 kg/m3, nyomása pedig 1,5·105 Pa! 116. Zárt edényben levő, 7,2 kg tömegű acetilén (C2H2) molekuláinak „közös” sebessége 500 m/s, sűrűsége 18 kg/m3. a) Határozzuk meg a gáz nyomását! b) Számítsuk ki az egy molekula haladó mozgásához tartozó átlagos energiát! 117. A Nap felszíni rétegének (fotoszféra) hőmérséklete körülbelül 6000 K. A Nap tömege 2·1030 kg, sugara 7·108 m. Miért nem repülnek le a Nap felszíni rétegéből az ott levő hidrogénatomok? 118. Két azonos térfogatú, hőszigetelő anyagból készült tartályt csappal ellátott vékony cső köt össze. A tartályokban azonos tömegű és minőségű, egyatomos ideális gázok találhatók. A bal oldali tartályban a részecskék „közös” sebessége v01, a jobb oldaliban pedig v02.

Határozzuk meg a gázrészecskék „közös” sebességét a csap kinyitása után bekövetkező egyensúlyi állapotban!

26


v01

v02

119. Nitrogénnel töltött, hőszigetelt edény 86 m/s sebességgel mozog, a nitrogén hőmérséklete 273 K. Mekkora lesz a gázrészecskék haladó mozgásából származó átlagos energia, ha az edényt hirtelen megállítjuk? 120. Bizonyos mennyiségű gázt tartalmazó edényt állandó v sebességgel mozgatunk, majd hirtelen megállítunk. Határozzuk meg a gáz hőmérséklet-változását és a részecskék sebességnégyzet átlagának megváltozását, ha a) a gáz egyatomos és moláris tömege M1,

b) a gáz kétatomos és moláris tömege M2! 121. Fejezzük ki az ideális gáz molekuláinak átlagos szabad úthosszát a p nyomás, a T abszolút hőmérséklet és az r molekulasugár függvényeként! 122. Ritkított hidrogéngáz nyomása 0,1 Pa, hőmérséklete 100 K, a hidrogénmolekulák átmérője 2,3·10-10 m. Határozzuk meg a hidrogénmolekulák átlagos szabad úthosszát! 123. Bizonyos állapotban levő héliumatomok átlagos távolsága 4·10-9 m. A héliumatomok átmérője 1,9·10-10 m. Határozzuk meg a héliumatomok átlagos szabad úthosszát! 124. Ritkított hidrogéngáz molekuláinak átlagos szabad úthossza 1 cm. A hidrogénmolekulák átmérője 2,3·10-10 m. Határozzuk meg a gáz sűrűségét! 125. A normál állapotú hidrogén molekuláinak átlagos szabad úthossza 1,12·10-7 m. Határozzuk meg az ütközési számot! 126. Egy 0,4 m átmérőjű, gömb alakú edényben 20 °C hőmérsékletű nitrogén található. A nitrogénmolekulák átmérője 3,1·10-10 m. Mekkora legyen az edényben a nitrogén nyomása, hogy a nitrogénmolekulák gyakorlatilag ne ütközzenek?


27

127. Határozzuk meg a normálállapotú oxigén diffúziós együtthatóját, ha az oxigénmolekula átmérője 2,9·10 m-10! 128. Hogyan változik a kétatomos gáz diffúziós együtthatója, ha a gáz nyomása állandó hőmérsékleten felére csökken? 129. Határozzuk meg a 105 Pa nyomású, 7 °C hőmérsékletű nitrogén viszkozitását, ha a nitrogénmolekula átmérője 3,1·10-10 m? 130. 0,5 mm átmérőjű golyó azonos nyomású és hőmérsékletű hidrogén, illetve nitrogéngázban szabadon esik. A hidrogénmolekula átmérője 2,3·10-10 m, a nitrogénmolekuláé pedig 3,1·10-10 m. Határozzuk meg az esési sebességek arányát! 131. Hogyan változik egy hengerben a henger adott felületdarabjához egy adott idő alatt nekiütköző részecskék száma, ha a gáz nyomása 4-szeresére növekszik a) állandó hőmérsékleten, b) állandó térfogaton? 132. Két, egymástól porózus fallal elválasztott tartályban azonos anyagi minőségű gáz van. Az egyik tartályban levő gáz nyomása p1, hőmérséklete T1, a másik tartályban levő gáz megfelelő paraméterei pedig p2 és T2.

Milyen feltétel teljesülése esetén nem történik anyagáramlás a két tartály között? p1

p2

T1

T2

133. Zárt edényben oxigénből és héliumból álló gázkeveréket készítünk, majd kinyitjuk az edény falán levő, nagyon kis keresztmetszetű csapot. Milyen összetételű lesz a kiáramló gázsugár, ha a csap kinyitása előtt a tartályban a) a gázok koncentrációi megegyeztek, b) a gázok tömegei megegyeztek? 134. Mindkét végén zárt hengerben levő féligáteresztő fal a hengert két egyenlő térfogatú részre osztja. A bal oldali térrészben 1,5·105 Pa nyomású argonhidrogén keverék van, a jobb oldali térrészben pedig vákuum. A rögzített féligáteresztő falon csak a hidrogén tud átdiffundálni, a folyamat során a hőmérséklet állandó. A dinamikus egyensúly kialakulása után a bal oldali térrészben a nyomás 105 Pa.

28


Határozzuk meg az argon és hidrogén tömegének arányát az eredeti gázkeverékben! H2 Ar

135. Azonos tömegű hidrogénből és héliumból álló gázkeverék egy olyan V1 térfogatú edényben van, amely egy rögzített féligáteresztő falon keresztül V2 térfogatú edényhez kapcsolódik. A V2 térfogatú edényben kezdetben vákuum van. A féligáteresztő falon csak a hidrogén tud áthaladni. Az állandó hőmérsékleten lezajló kiegyenlítődési folyamat során a V1 térfogatú edényben a gázkeverék nyomása felére csökken. Határozzuk meg a V2/V1 arányt! 136. Vákuumban levő, zárt edényben p nyomású ritkított gáz található. Az edény egyik falán olyan, A területű nyílást készítünk, amelynek méretei kicsik a gázmolekulák átlagos szabad úthosszához képest. Határozzuk meg azt az erőt, amit a vákuumba kiáramló gáz kifejt az edényre a kiáramlás kezdetén! 137. Vékony falú, V térfogatú tartályban M moláris tömegű, T0 hőmérsékletű, n0 koncentrációjú ritkított ideális gáz van. A tartály vákuumban van. A tartályon egy nagyon kicsi, A keresztmetszetű nyílást készítünk, és a gáz hőmérsékletét állandó T0 értéken tartjuk.

a) Határozzuk meg a tartályban levő koncentrációját az idő függvényében! b) Mennyi idő eltelte után csökken a koncentráció az eredeti érték felére? 138. Hőszigetelt üreg két azonos, kis keresztmetszetű nyílással másik két üreghez kapcsolódik, amelyek állandó nyomáson és hőmérsékleten tartott, ritkított héliumgázt tartalmaznak. A bal oldali üregben a hélium nyomása p, hőmérséklete T, a jobb oldaliban a nyomás p, a hőmérséklet pedig 2T. Határozzuk meg a középső üregben levő hélium nyomását és hőmérsékletét! p

px

p

T

Tx

2T


29

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI 139. 5 kg tömegű, 300 K hőmérsékletű oxigén térfogata 10 m3. Mennyi munkát kell végezni, ha az oxigén térfogatát felére akarjuk csökkenteni a) állandó nyomáson, b) állandó hőmérsékleten? 140. Egyik végén zárt, függőleges helyzetű U alakú üvegcsőben alul higany helyezkedik el, mindkét ágban egyenlő magasan. A bezárt levegőoszlop térfogatát melegítéssel 100 cm3-ről 120 cm3-re növeljük. Az üvegcső keresztmetszete 5 cm3, a külső légnyomás 101,3 kPa, a higany sűrűsége 13,6 kg/dm3. Számítsuk ki a bezárt levegőoszlop által végzett munkát! 141. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz az ábrán V látható körfolyamatot végzi. V2 Határozzuk meg a körfolyamat során a gáz által végzett munkát!

3.

V1

2.

1. T1

T2

T

142. Bizonyos mennyiségű ideális gáz olyan kvázisztatikus folyamatot végez, hogy a nyomás és térfogat kapcsolatát a következő függvény írja le: p = p0 ⋅ exp(− α (V −V0 )) , ahol p0 = 6·105 Pa, α = 0,2 m-3, V0 = 2 m3. Határozzuk meg a gáz által végzett munkát, ha a V1= 3 m3 térfogatról V2 = 4 m3 térfogatra tágul! 143. n = 0,4 mol anyagmennyiségű ideális gáz az ábrán V látható folyamatot végzi, ahol V1 = 5 dm3, V 2 T1 = 300 K, V2 = 8 dm3, T2 = 600 K.

Mennyi munkát végez a táguló gáz?

V1

2. 1. T T1

T2

III. A TERMODINAMIKA FŐTÉTELEI

31

144. Vegyük fel p–V diagramon n = 2 mol anyagmennyiségű ideális gáz T1 = 200 K, illetve p A T2 = 800 K hőmérsékletekhez tartozó izotermáit! Húzzunk tetszőleges helyen a p tengellyel B párhuzamos egyenest, amely messe az izoD T2 termákat a C, illetve A pontokban! Kössük össze a C és A pontokat az origóval! Ezen egyenesek C T1 messék az izotermákat az újabb B, illetve D V pontokban! Rajzoljuk meg az ABCD négyszöget! Az ideális gáz végezze az egyenes szakaszokból álló ABCD körfolyamatot! a) Bizonyítsuk be, hogy az AC szakasz merőleges a BD szakaszra! b) Határozzuk meg az egy ciklus alatt nyert hasznos munkát! c) Igazoljuk, hogy a hasznos munka független attól, hogy milyen térfogatértéknél húztuk meg a p tengellyel párhuzamos egyenest! 145. Két azonos melegítő berendezéssel edényekben lévő folyadékokat melegítünk azonos ideig. A K1 hőkapacitású edényben lévő, c1 fajhőjű, m1 tömegű folyadék T0 hőmérsékletről T1 hőmérsékletre melegedett fel, míg a K2 hőkapacitású edényben levő, m2 tömegű, T0 hőmérsékletű folyadék T2 hőmérsékletű lett. Határozzuk meg a második edényben levő folyadék fajhőjét! 146. Kemence T1 hőmérsékletének meghatározása céljából a benne felmelegített m1 = 0,3 kg tömegű vashengert m2 = 1,27 kg tömegű, T2 = 15 °C hőmér-sékletű vizet tartalmazó, m3 = 0,2 kg tömegű rézedénybe helyezzük. A ki-alakuló közös hőmérséklet Tk = 32 °C. A vas fajhője c1 = 465 J/kg·°C, a víz fajhője c2 = 4,2 kJ/kg·°C, a réz fajhője c3 = 385,2 J/kg·°C.

Milyen hőmérsékletű a kemence? 147. Milyen magasra lehetne felemelni egy 1 t tömegű testet, azon energia árán, amely 1 dm3 térfogatú, 100 °C hőmérsékletű víz 20 °C hőmérsékletre való lehűlése során felszabadul, ha a víz fajhője 4,2 kJ/kg·°C. 148. n db különböző, hőszigetelt edényben rendre 1, 2, ..., n kg tömegű víz van. Az edényekben a víz hőmérséklete szintén rendre 1, 2, ..., n °C. Az n db edény tartalmát egy hőszigetelt edénybe összeöntjük, az energiaveszteségektől eltekintünk. Mekkora lesz a kialakuló közös hőmérséklet, ha a) n = 4, b) n = 10, c) n = 25?

32


149. Rézhengerre, melynek keresztmetszete A = 12 cm2, M = 4,92 N·m állandó forgatónyomaték kifejtésével h = 0,75 mm menetemelkedésű menetet vágunk. A réz fajhője c = 385,2 J/kg·°C, sűrűsége κ = 8900 kg/m3. Mennyivel változik meg az állandó tömegűnek tekinthető rézhenger hőmérséklete, ha feltesszük, hogy a végzett munka teljes egészében a rézhenger belső energiájának növelésére fordítódik? 150. Vízszintes lapon m1 tömegű vaskocka és m2 tömegű rézkocka áll. A vas hőtágulási együtthatója α1, sűrűsége κ1. A vízszintes lap hőkapacitásától eltekintünk. Mennyivel változik meg a rendszer hőkapacitása, ha a rézkockát a vaskockára helyezzük? 151. m tömegű, fémből készült test fajhője a c = a + b·T összefüggés szerint függ a hőmérséklettől, ahol a és b ismert állandók. Mennyi energiát kell közölni a testtel, hogy hőmérséklete T1-ről T2-re emelkedjen? 152. Lehetséges-e 1 kg tömegű, 100 °C hőmérsékletű víz felhasználásával 60 °C-ra melegíteni 1 kg tömegű, 0 °C hőmérsékletű vizet? A hidegebb víz belső energiájának növekedése kizárólag a melegebb víz belső energiájának csökkenése árán történhet. Az energiaveszteségektől tekintsünk el! Mekkora a maximális elérhető hőmérséklet? 153. Igazoljuk a

c p −cV =

1 ⎡⎛ ∂ U ⎢⎜ m ⎣⎢⎜⎝ ∂ V

⎤⎛ ∂ V ⎞ ⎟⎟ + p ⎥⎜⎜ ⎥⎦⎝ ∂ T ⎠T

⎞ ⎟⎟ ⎠p

összefüggés felhasználásával Robert MAYER egyenletét! 154. Határozzuk meg a van der Waals gázra nézve a Cm, p − Cm,V különbséget! 155. Adiabatikusan izolált, 1 mol anyagmennyiségű nitrogén vákuumba tágul, aminek következtében térfogata 1 dm3-ről 10 dm3-re növekszik. A gáz van der Waals-állandói: a =169,6 Pa·m6/kg2, b = 1,42·10-3 m3/kg. Határozzuk meg a hőmérséklet megváltozását! 156. 4 g tömegű hidrogén vákuumba tágul, térfogata 2 dm3-ről 10 dm3-re növekszik. A gáz van der Waals-állandói: a = 6000 Pa·m6/kg2, b = 1,35·10-2 m3/kg. Mennyi energiát kell termikus módon közölni a gázzal, hogy hőmérséklete ne változzon?


33

157. Hidrogéngázzal Joule—Thomson-kísérletet végzünk. A gáz kezdeti hőmérséklete 200 K. A hidrogén van der Waals-állandói: a = 6000 Pa·m6/kg2, b = 1,35·10-2 m3/kg. Felmelegszik vagy lehűl a gáz a kísérlet során? 158. Hidrogéngázzal végzett Joule—Thomson-kísérlet során a gáz kezdeti nyomása p1 = 106 Pa. A gáz kezdeti hőmérsékletét a következő módon választották: a) T1 = 273 K, b) T1 = 210,5 K, c) T1 = 173 K. A megfelelő V1 értékeket határozzuk meg az ideális gázok termikus állapotegyenletéből! A gáz van der Waals-állandói: a = 6000 Pa·m6/kg2, b = 1,35·10-2 m3/kg. Határozzuk meg a három különböző esetben bekövetkező hőmérsékletváltozást! 159. 2 dm3 térfogatú normálállapotú hélium izotermikusan kitágul úgy, hogy térfogata 4 dm3 lesz. Számítsuk ki a gáz által végzett munkát és a termikus módon felvett energiát! 160. 64,15 g tömegű oxigént 4·105 Pa állandó nyomáson 27 °C-ról olyan hőmérsékletre melegítünk, melyen térfogata 25 dm3 lesz. Az oxigén állandó nyomáson vett fajhője cp = 916,9 J/kg·K. a) Mennyi energiát kell termikus módon közölni a rendszerrel? b) Mennyivel változik a gáz belső energiája? c) Mekkora a gáz által végzett munka? d) Mennyivel változik a rendszer entalpiája? 161. Kétatomos ideális gáz kétféle úton juthat az 1. p 4. állapotból a 3. állapotba. Az 1.–2.–3. úton a gáz 3p0 által termikus módon felvett energia Q1 = 1220 J.

Határozzuk meg az 1.–4.–3. úton termikus p0 módon felvett energiát!

1. V0

3.

2. 4V0 V

162. Könnyen mozgó, súlytalan dugattyúval elzárt hengerben 300 K hőmérsékletű, 0,5 mol anyagmennyiségű kétatomos gáz van. A gázzal 1,32·104 J energiát közlünk termikus módon. Hányszorosára nő a gáz térfogata?

34


163. Bizonyos mennyiségű, adiabatikusan izolált, egyatomos ideális gázt összenyomunk úgy, hogy nyomása a kezdeti érték 10-szeresére nő. Ezután a gáz izotermikusan kitágul a kezdeti térfogatra. Határozzuk meg hányszorosára nőtt a gáz nyomása a kezdő állapothoz viszonyítva! 164. 0 °C hőmérsékletű levegőt (κ = 1,4) adiabatikusan összenyomunk, aminek következtében a levegő felmelegszik. Mekkora lesz a levegő hőmérséklete a végállapotban, ha az összenyomás során a levegő a) térfogata 20-ad részére csökken, b) nyomása 20-szorosára nő? 165. n mol egyatomos, T hőmérsékletű ideális gáz izobár módon kitágul, majd állandó térfogaton lehűl addig, hogy a folyamatot p—V diagramon ábrázolva, a kezdő- és a végállapotot ábrázoló pontok azonos adiabatán helyezkednek el, továbbá V1/V2 = 2.

p 1.

3.

Határozzuk meg a belső energia megváltozását! V1

V2 V

166. Normálállapotú, 28 g tömegű nitrogén adiabatikusan (κ =1,4) V0 térfogatról 5V0 térfogatra tágul.

Számítsuk ki a végzett munkát és a belső energia megváltozását! 167. p0 = 105 Pa nyomású, V0 = 20 dm3 térfogatú p háromatomos ideális gáz olyan állapotba jut, hogy 3p0 nyomása 3-szorosára, térfogata 2-szeresére változik. Határozzuk meg a belső energia megváltozását, p0 a gáz által végzett munkát, a hőmennyiséget, ha az átmenet a) 1.–3.–2. úton, b) 1.–2. úton, c) 1.–4.–2. úton történt!

3.

2.

1.

4.

V0

2V0 V

168. Bizonyos mennyiségű, kétatomos ideális gáz izobár tágulása során 7000 J energiát vesz fel termikus módon.


35

Határozzuk meg a rendszer által végzett munkát és a belső energia megváltozását! 169. 1 kmol anyagmennyiségű ideális gázt izobár módon felmelegítünk 20 °C hőmérsékletről 600 °C hőmérsékletre. A folyamat során a gáz 1,2·107 J energiát vesz fel termikus módon. Határozzuk meg a) a gázrészecskék szabadsági fokát, b) a gáz belső energiájának megváltozását, c) a gáz által végzett munkát! 170. m tömegű, M moláris tömegű ideális gáz hőmérséklete a T = b·V2 összefüggés szerint változik, ahol b pozitív állandó. a) Határozzuk meg a gáz által végzett munkát, ha térfogata V1-ről V2-re növekszik! b) Milyen előjelű a környezettel történő energiacsere? 171. n mol anyagmennyiségű ideális gáz izobár módon p kitágul, majd izochor módon lehűl a kezdeti hőmérsékletre. A gáz által végzett munka W, a p1 kezdő- és végállapothoz tartozó nyomások aránya p1/p3 = a.

Határozzuk meg a gáz eredeti hőmérsékletét!

p3

1.

2.

3. V

172. 1 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz 300 K hőmérsékletről izochor módon lehűl, aminek következtében nyomása felére csökken. Ezután izobár módon kitágul úgy, hogy hőmérséklete ismét a kezdeti érték lesz. Határozzuk meg a folyamat során a) a belső energia megváltozását, b) a gáz által végzett munkát, c) a termikus módon felvett energiát! 173. Bizonyos állapotban levő, kétatomos gázt úgy nyomunk össze, hogy térfogata 1/10-ed részére csökken. Az összenyomás egyik esetben izotermikusan, a másik esetben adiabatikusan történt. a) Melyik esetben nagyobb a végzett munka és hányszoros? b) Melyik folyamat során nőtt jobban a belső energia és hányszorosára? 174. Vízszintes, egyik végén zárt, rögzített hengerben levő, súrlódásmentesen mozgó, m tömegű dugattyú bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gázt zár

36


el. A dugattyú rögzített, a külső légnyomás elhanyagolható! A dugattyú rögzítését megszüntetjük és a gázt úgy melegítjük, hogy a dugattyú állandó gyorsulással mozogjon. Mennyi energiát kell a gázzal közölni termikus módon, hogy a dugattyú v sebességre felgyorsuljon? 175. Függőleges, alul zárt hengerben levő, m tömegű dugattyú fonálon függ. A dugattyú alatt n mol anyagmennyiségű, p0 nyomású, T0 hőmérsékletű kétatomos ideális gáz van, melynek nyomása megegyezik a külső légnyomással. A dugattyú kezdetben a henger alja felett h magasságban helyezkedik el. A henger és dugattyú hőkapacitásától eltekintünk. Mennyi energiát kell közölni a gázzal termikus módon, hogy a dugattyú 2h magasságra emelkedjen? 176. Egy V térfogatú tartályban, melynek egyik falán kis lyuk van, p0 nyomású, T0 hőmérsékletű, M moláris tömegű, cp állandó nyomáson vett fajhőjű ideális gáz van. A külső légnyomás p0, a tartály hőkapacitásától eltekintünk.

Mennyi energiát kell termikus módon közölnünk, hogy a tartályban a gáz hőmérséklete T0-ról T1-re növekedjen? 177. Számítsuk ki a Cm, p Cm,V hányadost 3 mol anyagmennyiségű argon és 5 mol

anyagmennyiségű oxigén keverékére! 178. Bizonyos mennyiségű, kétatomos, ideális gáz α -ad része felmelegítés során atomokra esett szét. Határozzuk meg a gáz állandó térfogaton vett mólhőjét az új állapotban! 179. Hányatomos molekulákból áll az a gáz, melynek κ = c p cV hányadosa

(adiabatikus kitevő) a rezgési szabadsági fokainak befagyása esetén 1,2szeresére növekszik? 180. Egyatomos és kétatomos gázrészecskéket tartalmazó ideális gázkeverék állandó nyomáson tágul. A rendszer belső energiájának növekedése 1,8-szorosa a gázkeverék által végzett munkának. A kétatomos gáz moláris tömege 2-szerese az egyatomosénak. Határozzuk meg a rendszerben levő kétatomos és egyatomos gázrészecskék össztömegeinek arányát!


37

181. m tömegű, M moláris tömegű, T0 hőmérsékletű, a és b van der Waals-állandókkal jellemzett valódi gáz állandó hőmérsékleten V1 térfogatról V2 térfogatra tágul. Határozzuk meg a) a gáz által végzett munkát, b) a belső energia megváltozását, c) a termikus módon közölt energiát! 182. Adiabatikusan és kvázisztatikusan működő kétlépcsős kompresszor összenyom bizonyos mennyiségű, p0 nyomású, V0 térfogatú, κ adiabatikus kitevőjű ideális gázt egy közbenső térfogatig. Ezután állandó térfogaton a gáz lehűl a kezdeti hőmérsékletre, majd a kompresszor összenyomja a végső, V2 térfogatra. a) A közbenső térfogat milyen értéke esetén kell a kompresszornak a legkisebb munkát végezni? b) Mekkora ez a legkisebb munka? 183. Mindkét végén zárt, hőszigetelő anyagból készült, vízszintes hengerben súrlódásmentesen mozgatható dugattyú található. Kezdetben a dugattyú a hengert két egyenlő, V0 térfogatú részre osztja. Mindkét részben azonos minőségű, p0 nyomású, egyatomos ideális gáz van. A dugattyú hőszigetelő anyagból készült. Mekkora munkát kell végeznünk, ha a dugattyút lassan mozgatva az egyik oldalon levő gázt V0/2 térfogatra nyomjuk össze? 184. Határozzuk meg az előző feladat feltételei esetén a dugattyú rezgőmozgásának periódusidejét, ha kissé kimozdítjuk kezdeti egyensúlyi helyzetéből! A dugattyú tömege m, területe A. 185. Vékony, mindkét végén nyitott, A keresztmetszetű, U alakú csőben κ sűrűségű higany van. A higany szintjét kitérítve, az súrlódásmentesen mozogva T1 periódusidejű harmonikus rezgőmozgást végez. Csatlakoztassunk az U alakú cső két nyitott végéhez azonos, V0 térfogatú, hőszigetelt gömböket, melyekben p0 nyomású ideális gáz van! Ebben az esetben a higany kis kitérések esetén T2 periódusidővel végez rezgőmozgást. Határozzuk meg a gáz adiabatikus kitevőjét!

V0

V0

38


186. Hőszigetelt edényben levő, rögzített hőszigetelő fal két oldalán azonos minőségű ideális gázok vannak eltérő termodinamikai állapotban. A bal oldali térrészben levő gáz paraméterei: p1, V1, T1, m1, a jobb oldaliban levőé pedig: p2, V2, T2, m2.

Mekkora lesz az eredő nyomás és hőmérséklet, ha a hőszigetelő falat kivesszük? 187. Két hőszigetelt, V1 = 1 dm3 és V2 = 3 dm3 térfogatú edényt vékony, csappal ellátott cső köt össze. A V1 térfogatú edényben p1 = 0,5·105 Pa nyomású, T1 = 273 K hőmérsékletű kétatomos, a V2 térfogatú edényben p2 =1,5·105 Pa nyomású, T2 = 373 K hőmérsékletű egyatomos ideális gáz van.

Mekkora lesz a gázok hőmérséklete és nyomása a csap kinyitása után, ha elegendő ideig várunk? 188. V0 térfogatú szobában p0 nyomású, T0 hőmérsékletű levegő van. Befűtünk a szobába, és ennek következtében a levegő hőmérséklete T1-re növekszik, de a nyomás változatlan marad. Mennyivel növekszik a szoba levegőjének belső energiája? 189. Ha egy termodinamikai rendszert az ábrán látható p A 1. módon, az 1. úton viszünk az A állapotból a B állapotba, akkor 200 J energia áramlik a 3. rendszerbe, és a rendszer 60 J munkát végez. 2. B a) Mennyi energiát vesz fel a rendszer termikus V módon az A és B állapotok közti 2. úton, ha közben 20 J munkát végez? b) Mennyi energiát ad le a rendszer termikus módon a 3. úton, ha a rendszert 40 J munka árán vihetjük B-ből A-ba? 190. Vákuumban levő, vízszintes, mindkét végén nyitott, hőszigetelő anyagból készült hengerben két, m = 8,31 kg tömegű dugattyú 1 mol anyagmennyiségű, T = 300 K hőmérsékletű, egyatomos ideális gázt zár el. Egy adott pillanatban a dugattyúkat azonos irányba v = 9 m/s, illetve 3v sebességgel elindítjuk. A súrlódás, a dugattyúk hőkapacitása és a gáz tömege a dugattyúk tömegéhez viszonyítva elhanyagolhatók. Milyen maximális hőmérsékletre melegszik fel a gáz? 191. 1 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz politrop módon (n = 1,5) kitágul, miközben hőmérséklete 1 K-nel csökken. Határozzuk meg a) a gáz mólhőjét erre a folyamatra,


39

b) a gáz által termikus módon felvett energiát, c) a gáz által végzett munkát! −

1 2

192. Egyatomos ideális gáz a V = a ⋅ p összefüggés szerint tágul, ahol a ismert állandó. a) Felmelegszik vagy lehűl a gáz a tágulás során? b) Mekkora a gáz mólhője erre a folyamatra? 193. Egyatomos ideális gáz politrop folyamatot végez. A gáz állapotjelzői a kezdő állapotban p1 = p0, V1 = 2V0, a végállapotban p2 = 5p0, V2 = V0.

a) Határozzuk meg a politrop kitevőt! b) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? 194. Ábrázoljuk az egyatomos ideális gáz mólhőjét a politrop kitevő függvényében! 195. Bizonyos mennyiségű, p1 nyomású, V1 térfogatú, egyatomos ideális gáz a p·V3 = állandó összefüggés szerint kitágul úgy, hogy V2 = 2V1.

a) Mi történik a gázzal hőmérséklet szempontjából? b) Határozzuk meg a belső energia megváltozását, a gáz által végzett munkát, a termikus módon felvett energiát! 196. M moláris tömegű, egyatomos ideális gáz az ábrán p látható módon jut az A állapotból a B állapotba. 7p0 a) Mennyi a folyamat során termikus módon felvett energia? b) Határozzuk meg a gáz fajhőjét erre a 3p0 folyamatra!

B

A

V V0

197. m tömegű, M moláris tömegű, κ adiabatikus kite- p vőjű ideális gáz az ábrán látható folyamatot végzi. p 0 a) Mennyi a folyamat során elérhető maximális hőmérséklet? b) Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra! c) Mekkora a mólhő a maximális hőmérséklethez tartozó állapotban?

3V0

V0 V

40


198. Vízszintes, mindkét végén zárt hengert súrlódásmentesen mozgó dugattyú oszt ketté. A bal oldali részben kétatomos ideális gáz, a jobb oldali részben vákuum van. A dugattyút a henger jobb oldali végével rugó köti össze, melynek nyújtatlan hossza a henger hosszával egyenlő. A gázt melegítjük, a henger, a dugattyú, a rugó hőkapacitásától eltekintünk. Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra!

199. Egy h = 76 cm hosszú, vékony, felül zárt üvegcső alsó vége higanyba merül. A cső részben higanyt tartalmaz, a felette levő elzárt térben 2·10-3 mol anyagmennyiségű levegő van. A külső levegő nyomása 76 cm magas higanyoszlop nyomásával azonos. A levegő állandó térfogaton vett mólhője Cm,V = 20,5 J/mol·K.

h

Mennyi energiát ad le termikus módon a csőbe zárt levegő, amikor hőmérséklete 10 °C-kal csökken? 200. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a Cm mólhő a folyamat során állandó. A folyamat során a gáz kitágul és 175 J térfogati munkát végez. A tágulás befejeződése után állandó térfogaton felmelegítjük a kiindulási állapothoz tartozó hőmérsékletre. Ehhez 125 J energia közlésére van szükség. a) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? b) Határozzuk meg a nyomás és térfogat összefüggését a tágulási folyamatra! 201. Bizonyos mennyiségű és minőségű ideális gázzal az ábrán látható módon különböző folyamatokat végeztetünk. Az A állapotból a B állapotba vezető folyamat esetén 3600 J energiát, az A állapotból a C állapotba vezető folyamat esetén 560 J energiát kell termikus módon közölni. Mennyi energiát kell termikus módon közölni a gázzal a C állapotból a B állapotba vezető átmenet során?

p B

A V0

C 3V0 4V0 V


41

202. m tömegű, M moláris tömegű, κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a hőmérséklet és nyomás összefüggését a T = b·p2 öszszefüggés írja le, ahol b adott állandó. A folyamat során a gáz nyomása p1-ről p2-re növekszik.

a) Határozzuk meg a gáz által végzett munkát! b) Mennyi energiát kell ehhez termikus módon közölni a gázzal? 203. Dugattyúval elzárt hengerben levő, n mol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy a környezetének termikus módon leadott energia megegyezik a gáz belső energiájának növekedésével. A gáz hőmérséklete a kezdő állapotban T0.

a) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? b) Mennyi munkát kell végezni a külső erőknek ahhoz, hogy a gáz térfogata a felére csökkenjen? 204. Bizonyos mennyiségű, adiabatikus kitevőjű ideális gáz olyan folyamatot végez, amely során a mólhő a Cm= b·T2 összefüggés szerint függ a hőmérséklettől, ahol b ismert állandó. Határozzuk meg a térfogat és hőmérséklet összefüggését a folyamat során! 205. κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz mólhője egy bizonyos folyamat során a Cm = b/T összefüggés szerint változik, ahol b adott állandó. a) Határozzuk meg az 1 mol anyagmennyiségű gáz által végzett munkát, ha hőmérsékletét T1-ről 2T1-re növeljük!

b) Milyen összefüggés áll fenn a folyamat során a nyomás és a térfogat között? 206. Ideális gáz olyan folyamatot végez, ahol a nyomás a p = p0·eaV összefüggés szerint változik, p0 és a ismert állandók. A gáz állandó térfogaton vett mólhője Cm,V .

Határozzuk meg a gáz mólhőjét erre a folyamatra! 207. Egyik végén zárt, hőszigetelt hengerben levő, rögzített, hővezető anyagból készült válaszfal 1 mol anyagmennyiségű hidrogént zár el. A válaszfal jobb oldalán 1 mol anyagmennyiségű hélium található, amelyet hőszigetelő anyagból készült, könnyen mozgó dugattyú zár el. Kezdetben a gázok nyomása p0, hőmérséklete T0. A dugattyút kvázisztatikusan mozgatni kezdjük, aminek következtében a hélium térfogata 2-szeresére növekszik. Határozzuk meg a gázok hőmérsékletét és nyomását a hélium tágulásának befejeződése után!

42


He

H2 p0

T0

p0

T0

208. Elasztikus burokban levő, κ adiabatikus kitevőjű ideális gáz p1 nyomású környezetben van, ekkor a gáz nyomása p1, hőmérséklete T1.

a) Határozzuk meg a gáz T2 hőmérsékletét, ha a környezet nyomása hirtelen p2-re csökken! b) Mekkora lenne T2 értéke, ha a gáz adiabatikus kvázisztatikus folyamattal jutna a p2 nyomású állapotba? c) Hasonlítsuk össze a két eredményt! 209. Vízszintes, mindkét végén zárt, hőszigetelt hengerben levő rögzített dugatytyútól balra bizonyos mennyiségű, egyatomos gáz található. A henger jobb oldali részében levő vákuumban a dugattyú és a henger vége között megfeszítetlen rugó van elhelyezve. A dugattyú rögzítésének megszüntetése után beálló egyensúly esetén a gáz térfogata 2-szeresére növekszik. A henger, a dugattyú és a rugó hőkapacitásától eltekintünk. Hogyan változik a gáz nyomása és hőmérséklete?

210. Függőleges, hőszigetelt hengerben bizonyos tömegű dugattyú mozoghat, amely kezdetben rögzített. A dugattyú alatt kétatomos gáz, felette pedig vákuum van. Egy adott pillanatban a dugattyú rögzítését megszüntetjük. A kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz térfogata fele az eredeti értéknek. A henger és a dugattyú hőkapacitásától eltekintünk. Hányszorosára változott a gáz hőmérséklete?


43

211. Függőleges, A keresztmetszetű hengerben levő m tömegű dugattyú n mol anyagmennyiségű, T0 hőmérsékletű, V0 térfogatú, egyatomos ideális gázt zár el. A dugattyú kezdetben rögzített, a külső légnyomás p0. Az egész rendszer hőszigetelt, a henger és a dugattyú hőkapacitása elhanyagolható. A dugattyú rögzítését megszüntetjük. Határozzuk meg a kialakuló egyensúlyi állapotban a gáz hőmérsékletét és térfogatát!

p0 m

n

212. Egyik végén zárt, adiabatikusan izolált hengerben levő, elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú T1 hőmérsékletű egyatomos ideális gázt zár el. A dugattyú anyaga is hőszigetelő, a külső nyomás kezdetben p1. Egy adott pillanatban a külső nyomást hirtelen p2-re növeljük, majd a kialakuló egyensúlyi állapot bekövetkezése után hirtelen ismét p1-re csökkentjük. a) Határozzuk meg a gáz hőmérsékletét a két adiabatikus folyamat lezajlása után! b) Bizonyítsuk be, hogy ez mindig nagyobb, mint T1!

p1

T1

213. Az ábrán látható 2L hosszúságú, A keresztmetszetű, tökéletesen hőszigetelt tartály T0 hőmérsékletű, p0 nyomású egyatomos ideális gázt tartalmaz. A henger L közepén elhanyagolható hőkapacitású, vékony, hővezető, m tömegű dugattyút rögzítettünk. A dugattyú rögzítését megszüntetjük. Adatok: p0 = 1000 Pa, T0 = 300 K, L = 50 cm, m = 1 kg, A = 2 dm2.

a) Az egyensúlyi helyzet beállta után hol helyezkedik el a dugattyú? b) Mekkora lesz a gáz hőmérséklete a végállapotban?

T0

V0

L

T0

p0 m

p0

T0

214. Reverzibilis Carnot-körfolyamatot végző hőerőgép minden periódusában Q1 = 2500 J energiát vesz fel termikus módon a magasabb hőmérsékletű tartálytól, melynek hőmérséklete T1 = 400 K. A hűtő hőmérséklete T2 = 300 K.

Számítsuk ki az egy periódusban végzett munkát (W ∗ ) és a hűtőnek leadott energiát ( Q2∗ )!

44


215. Mikor nő jobban a megfordítható Carnot-körfolyamatot végző hőerőgép hatásfoka, ha a felső energiatartály hőmérsékletét 1 °C-kal növeljük, vagy az alsó energiatartály hőmérsékletét 1 °C-kal csökkentjük? 216. Bizonyos mennyiségű, kétatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T1 = T0, a 3. állapotban T3= 4T0, a 2. és 4. pontok pedig közös izotermán helyezkednek el. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

p

2.

3.

1.

4. V

217. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az p ábrán látható körfolyamatot végzi. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

2.

1.

3. V

218. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az p ábrán látható módon körfolyamatot végez. A gáz hőmérséklete az 1. állapotban T1 = 300 2. állapotban T2 = 960 K.

Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

V0 2.

3V0 3.

1.

V

219. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. A gáz Kelvinskálán mért hőmérséklete az 1. állapotban T1, a 2. állapotban T2 = 2T1.

Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

p 3. 2.

4.

1. V


45

220. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az V ábrán látható körfolyamatot végzi. A 2. állapotból a 3. állapotba vezető folyamatot a következő függvény írja le:

V = állandó ⋅ T

−

3 2.

3.

1.

Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! T0

2. 4T0 T

221. 2 kmol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan körfolyamatot végez, amely egy izotermából, izobárból és izochorból áll. Az izotermikus szakasz a körfolyamat során elért maximális 400 K hőmérsékleten történik. Ismert továbbá, hogy a körfolyamat során a maximális és minimális térfogatok aránya: Vmax/Vmin = 2.

Számítsuk ki a körfolyamat hatásfokát! 222. A p–V diagramon m tömegű, M moláris tömegű, p T2 egyatomos ideális gáz T1 és T2 hőmérsékletekhez C B tartozó izotermáit látjuk. Ha az origóból két T1 tetszőleges egyenest húzunk, ezek az A, A és C, C pontokban metszik az izotermákat. Ezeken a A D pontokon a tengelyekkel párhuzamos egyeneseket B húztunk. A a) Igazoljuk, hogy az így kialakított téglalapok területe egyenlő! b) Mekkorák a kérdéses területek? c) Bizonyítsuk be, hogy a két körfolyamat hatásfoka egyenlő!

C D

V

223. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz nyomása a kezdő állapotban p1, térfogata V1. Az ideális gázzal a következő körfolyamatot végeztetjük: izobár módon összenyomjuk V2 = V1/4 térfogatra, majd politrop módon a p3 = 8p1, V3 = V1/8 állapotjelzőkkel megadott állapotba juttatjuk. Ezután izobár módon kitágítjuk V4 = V1/4 térfogatra, végül politrop módon visszajut a kezdő állapotba. Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát!

46


224. Bizonyos mennyiségű, egyatomos ideális gáz az p ábrán látható körfolyamatot végzi. 2p0 Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! p0

2.

1.

V0

3.

2V0 V

225. Hányszorosára kell növelni a 4 mol anyagmennyiségű ideális gáz térfogatát állandó hőmérsékleten, hogy entrópiája 23 J/K-nel növekedjen? 226. 2 mol anyagmennyiségű ideális gázt izochor módon lehűtünk úgy, hogy nyomása 10/3-ad részére csökken, majd izobár módon kitágítjuk addig, hogy hőmérséklete ismét a kezdeti értékkel lesz azonos. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 227. 3,2 kg tömegű oxigén Kelvin-skálán mért hőmérséklete T0-ról 4T0-ra változik, miközben térfogata V0-ról 2V0-ra növekszik. Az oxigén állandó térfogaton vett fajhője cV= 653,1 J/kg·K.

Számítsuk ki az entrópia megváltozását! 228. m tömegű, M moláris tömegű, egyatomos ideális gáz politrop folyamatot végez, miközben hőmérséklete T1-ről T2-re változik. A politrop kitevő n.

Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 229. m tömegű, M moláris tömegű, egyatomos ideális p gáz az ábrán látható folyamatot végzi. 4p0 Határozzuk meg az entrópia megváltozását az 1. állapotból a 2. állapotba való átmenet során!

1.

2.

p0

V V0

230. Ideális gáz az ábrán látható módon kétféleképpen jut el kvázisztatikus folyamatokkal az A állapotból a B állapotba. A gáz kétatomos, tömege m, moláris tömege M. Igazoljuk számítással, hogy az entrópiaváltozás mindkét esetben azonos!

3V0

p

izoterma

1.

B 2. A V0 3V0 5V0

V


231. m tömegű, M moláris tömegű, V kétatomos ideális gáz kvázisztatikus folyamatokkal kétféleképpen jut el az A állapotból a B állapotba. 2V0 Számítással igazoljuk, hogy az entrópiaváltozás mindkét V0 esetben azonos!

47

B 1.

2.

A 4T0

T0

12T0 T

232. Ideális gáz, melynek adiabatikus kitevője κ, a p = p0 – b·V összefüggéssel leírt folyamatot végzi, ahol p0 és b ismert pozitív állandók.

Mekkora térfogatnál legnagyobb a gáz entrópiája? 233. Vízszintes, hőszigetelt, mindkét végén zárt hengert elhanyagolható tömegű, súrlódásmentesen mozgó dugattyú két egyenlő térfogatú részre oszt fel. A jobb oldali térrészben 1 mol anyagmennyiségű, T0 = 400 K hőmérsékletű, kétatomos ideális gáz van. A bal oldali térrészben vákuum van és a dugattyú kezdetben rögzített. A dugattyú rögzítését megszüntetjük, majd a kialakuló egyensúlyi állapot beállta után a dugattyút nagyon lassan eredeti helyére, a henger közepéig toljuk vissza. a) Határozzuk meg a gáz belső energiájának megváltozását! b) Mennyi munkát végeztünk a gáz összenyomása során? c) Mennyivel változott a kezdő állapothoz képest a gáz entrópiája?

T0

234. Mindkét végén zárt, adiabatikusan izolált hengerben levő, hőszigetelő fal azonos tömegű és anyagi minőségű, egyatomos ideális gázokat választ el. A gázok nyomása azonos, tömegük m, moláris tömegük M, de hőmérsékletük különböző, T1, illetve T2. A gázokat elválasztó falakat eltávolítjuk.

Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 235. Oldjuk meg az előző feladatot abban az esetben, ha a hőmérsékletek egyeznek meg, a nyomások viszont különböznek egymástól, p1, illetve p2!

48


236. Két szomszédos, hőszigetelt tartályban különböző anyagi minőségű, n1, illetve n2 mol anyagmennyiségű ideális gáz van. Mindkét rendszer nyomása és hőmérséklete azonos. A két tartályt egyesítjük. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 237. Határozzuk meg n mol anyagmennyiségű, a és b van der Waals állandójú, Cm,V állandó térfogaton vett mólhőjű, M moláris tömegű valódi gáz esetén az

S(T,V) entrópiafüggvényt! 238. n mol anyagmennyiségű, M moláris tömegű, a és b van der Waals állandójú, Cm,V állandó térfogaton vett mólhőjű, V1 térfogatú, T1 hőmérsékletű, adiaba-

tikusan izolált valódi gáz vákuumba tágul. A gáz térfogata a végállapotban V2. Határozzuk meg az entrópia megváltozását! 239. m tömegű, M moláris tömegű, cV állandó térfogaton vett fajhőjű, a és b van der Waals-állandókkal jellemzett valódi gáz a V1 térfogatú, T1 hőmérsékletű állapotából átmegy a V2 térfogatú állapotba.

Mennyit változott a gáz entrópiája? 240. Adiabatikusan izolált edényekben levő, 1 kg tömegű, 20 °C hőmérsékletű, illetve 2 kg tömegű, 65 °C hőmérsékletű vizeket egy hőszigetelt edénybe töltjük. A víz fajhője 4,2 kJ/kg·°C. Számítsuk ki az entrópia megváltozását! 241. A réz mólhője a 300 K hőmérséklet feletti tartományban a következő módon függ a hőmérséklettől: Cm = 23,11 J/mol·K + 5,68·10-3 J/(mol·K2)·T. A réz moláris tömege 63,54·10-3 kg/mol. Határozzuk meg, hogy mennyivel nő az 1 kg tömegű réztárgy entrópiája, ha hőmérsékletét 300 K-ről 1200 K-re növeljük! 242. Egy 3 dm3 térfogatú tartályban 0,5 mol anyagmennyiségű oxigén, egy 2 dm3 térfogatúban pedig szintén 0,5 mol anyagmennyiségű nitrogén található. Az ideálisnak tekinthető gázok hőmérséklete 300 K. Határozzuk meg azt a maximális munkát, amit a két edény összekapcsolása esetén nyerhetünk, ha a) a keveredési folyamat izotermikus, b) a keveredési folyamat adiabatikus! 243. Tetszőleges termodinamikai rendszer kvázisztatikus módon kétféleképpen jut el az 1. állapotból a 2. állapotba. Az első esetben állandó T0 hőmérsékleten


49

eljut egy közbenső állapotba, miközben energiát vesz fel, majd adiabatikusan lehűl és így jut a 2. állapotba. A második esetben az átmenet tetszőleges úton történik, de végig energiafelvétel történik, és a hőmérséklet végig kisebb T0nál. Mutassuk meg, hogy az első esetben a rendszer termikus módon több energiát vesz fel! 244. Igazoljuk a Clausius-egyenlőség alapján, hogy az p ábrán látható körfolyamathoz tartozó hőmérsékletekre, bármely anyagra nézve, amely rendelkezik állandó cV és cp értékekkel, igaz a T1T3 = T2T4 összefüggés!

2.

1. T1

T2

T4

T3

4.

3. V

245. Egy hőerőgépet azonos m tömegű, c fajhőjű energiatartályok közé kapcsolunk, amelyek hőmérséklete kezdetben T2, illetve T1, ahol T2 > T1. A hőerőgép addig működik, míg a tartályok hőmérséklete meg nem egyezik. a) Mekkora ez a közös hőmérséklet? b) Maximálisan mennyi munkát végezhet a hőerőgép? 246. 1 mol anyagmennyiségű, egyatomos ideális gáz olyan folyamatot végez, hogy entrópiája az S = a/T függvény szerint függ a hőmérséklettől, ahol a ismert állandó. A gáz hőmérséklete T1-ről T2-re változik.

a) Mennyi energiát kell ehhez termikus módon közölni a gázzal? b) Mennyi munkát végez a táguló gáz? c) Mennyi a gáz mólhője erre a folyamatra? 247. Tetszőleges munkaanyagú hőerőgép az ábrán látható megfordítható körfolyamatot végzi. A kör- T folyamatokat alkotó nyílt folyamatok politropok, T2 T2 = 2T1.

2.

Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! T1

1.

3. S

248. Tetszőleges munkaanyagú hőerőgépek az ábrán látható reverzibilis körfolyamatot végzik. A körfolyamatok során a maximális hőmérséklet T1, a minimális hőmérséklet T2.

50


Határozzuk meg a körfolyamatok hatásfokát! T T1

1.

a)

T T1

b) 1.

2.

1. T2

3.

2. S

T2

3. S

TERMODINAMIKA ÉS MOLEKULÁRIS FIZIKA

Recommend Documents