Teorie obnovy
Metoda operačního výzkumu, která za pomocí matematických modelů zkoumá problémy hospodárnosti, výměny a provozuschopnosti technických zařízení.
Obnova
Uskutečňuje se až po uplynutí určitého času činnosti zařízení, které končí jeho zničením nebo opotřebením.
1
Údržba Zabezpečuje původní vlastnosti zařízení a odstranění poškozených částí. Rozlišuje se: preventivní (profylaktická) údržba – vykonává se bez ohledu na stav poškození. Vyměňují se při ní ty prvky zařízení, které jsou opotřebené nad stanovenou mez. represivní (dodatečná) údržba – vykonává se tehdy, dojde-li k poruše zařízení v důsledku selhání některého prvku.
Základní typy úloh teorie obnovy A. Problémy obnovy strojního zařízení, jehož užitečnost pro systém se postupně snižuje. Důvody pro náhradu starého zařízení:
dosavadní zařízení nestačí již svým výkonem zvýšeným požadavkům, i když je jinak v bezvadném stavu,
dosavadní zařízení morálně zastaralo, i když podává stejný výkon jako dříve,
dosavadní zařízení již vyžaduje nadměrné náklady na údržbu a opravy,
výkon dosavadního zařízení klesá, čímž rostou provozní náklady připadající na jednotku výroby,
kombinace výše uvedených okolností.
2
Základní typy úloh teorie obnovy B. Problémy obnovy prvků zařízení, které v určitém okamžiku selžou a přestanou plnit svou funkci. Je-li v systému několik prvků stejného nebo podobného druhu, přicházejí pro provedení oprav v úvahu následující varianty:
Systém se opravuje pouze pokud dojde k selhání některého prvku. Existují tyto alternativy: nahradí se pouze porouchaný prvek, ostatní prvky se ponechají, ostatní prvky stejného typu se prohlédnou, a dle potřeby vymění, nahradí se všechny prvky stejného druhu prvky novými.
Zařízení se v pravidelných lhůtách prohlíží a vyměňují se ty prvky, které jsou nadměrně opotřebovány.
V pravidelných lhůtách se vymění v zařízení vždy všechny prvky tohoto druhu, bez ohledu na stupeň jejich opotřebení.
Druhy nákladů v teorii obnovy
náklady na nově zamontované prvky,
náklady na demontáž zařízení, montáž nových prvků a montáž zařízení, náklady vyvolané vyřazením zařízení z provozu po dobu jeho opravy.
3
Základní charakteristiky procesů obnovy Uvažujme soubor homogenních prvků, který prochází postupně obnovou následkem selhání. Jednotlivé prvky souboru jsou při selhání nahrazovány prvky novými. p(t)
pravděpodobnost selhání prvku ve věku t
p(T>t)
pravděpodobnost přežití věku t
pc(t)
podmíněná pravděpodobnost selhání
Označení použitých veličin
t
věk prvku
T
doba fungování prvku základního souboru
N(t)
počet prvků, jež fungují v čase t
4
Pravděpodobnost selhání prvku ve věku t Pravděpodobnost, že náhodně vybraný prvek souboru selže po dosažení věku t, před dosažením věku t + 1.
N ( t ) N( t 1) p( t ) N ( 0)
Pravděpodobnost přežití věku t Pravděpodobnost, že náhodně vybraný prvek přežije věk t.
N(t) p(T t) N(0)
5
Podmíněná pravděpodobnost selhání Pravděpodobnost, že náhodně vybraný prvek, který přežil věk t selže v následující časové jednotce, tj. v časovém intervalu (t, t + 1).
N( t ) N( t 1) pc (t ) N(t )
Vztah mezi pravděpodobností selhání a pravděpodobnostmi přežití
p(t) = p(T > t) – p(T > t + 1) neboť platí:
N ( t ) N ( t 1) N ( t ) N ( t 1) N (0) N ( 0) N ( 0)
6
Vztah mezi pravděpodobností přežití a pravděpodobnostmi selhání
p (T t ) p ( k ) k t
neboť platí:
p( T t )
N ( t ) N ( t ) N ( t 1) N( t 1) N( t 2) N ( t 2) N ( t 3) ... N (0) N ( 0)
Vzájemný vztah mezi pravděpodobnostmi pc(t), p(t), p(T>t)
N( t ) N( t 1) N( t ) N( t 1) N(0) p( t ) p c (t) N(t) N( t ) p (T t ) N(0)
7
Střední doba životnosti prvku souboru Střední doba, jež uplyne od počátku fungování prvku do jeho selhání. Za předpokladu, že k selhání prvků dochází vždy na konci příslušného období, platí:
t ( t 1)p( t ) t 0
Celkový počet odpracovaných období
1 . N(0) . p(0) + 2 . N(0) . p(1) + 3 . N(0) . p(2) + …
počet prvků fungujících jedno období
počet prvků fungujících dvě období
počet prvků fungujících tři období
8
Střední počet odpracovaných období 1 (1.N(0).p(0) 2.N(0).p(1) 3.N(0).p(2) ...) N(0) po úpravě:
t 1.p(0) 2.p(1) 3.p(2) ...
Střední doba životnosti prvku souboru t = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + … + p(1) + p(2) + p(3) + … + p(2) + p(3) + … + atd.
Jelikož platí:
p(T t ) p( k )
lze psát
kt
t p (T t ) t 0
9
Demontážní věk
Maximální doba životnosti prvku, po jejímž dosažení bude prvek obnoven, bez ohledu na jeho skutečný fyzický stav.
Střední doba životnosti prvku souboru při demontážním věku d d 1
t 0
t d
t d ( t 1).p( t ) d. p( t ) d 1
t d p (T t ) t 0
10
Rovnice procesu obnovy
Předpokládejme, že prvky základního souboru jsou obnovovány vždy na konci období v němž selžou, že je známo rozdělení pravděpodobnosti p(t) věku selhání prvků základního souboru, a že je stanoven maximální věk d prvků, při jehož dosažení jsou prvky obnovovány.
Označení použitých veličin No(t – 1)
počet prvků obnovených v období (t – 1),
No(t – 2)
počet prvků obnovených v období (t – 2), atd.
pak: No(t – 1).p(0)počet prvků, které musí být vyměněny v období t
11
Základní rovnice teorie obnovy Celkový počet No(t) prvků, jež je nutno obnovit v období t:
No(t) = No(t – 1).p(0) + No(t – 2).p(1) + … … + No(t – d).p(d – 1) Tato rovnice platí za předpokladu, že obnova probíhá v plném věkovém strukturním složení základního souboru.
Rovnice obnovy v useknuté formě Proces rozvíjející se obnovy v souboru právě vytvořeném lze popsat za předpokladu t < d soustavou rekurentních vztahů: No(1) = No(0).p(0) No(2) = No(1).p(0) + No(0).p(1) ………………………………….. No(d – 1) = No(d – 2).p(0) + No(d – 3).p(1) + … + No(0).p(d – 2)
12
Závislost počtu obnovovaných prvků na době provozu No(t)
N o (t )
t
Cykličnost procesu obnovy Je vyvolána koncentrací obnovy do jednoho nebo několika málo po sobě následujících období.
V důsledku nestejné životnosti jednotlivých prvků souboru dochází postupně k homogenizaci věkové struktury složení souboru, a tím i k ustálení počtu pravidelně obnovovaných prvků.
13
Stabilizovaný (rovnoměrný) proces obnovy Ve stabilizovaném procesu obnovy je počet obnovovaných prvků v každém období stejný. No(t) = No(t – 1) = No(t – 2) = … = No(t – d) Platí, že základní soubor v okamžiku t obsahuje N prvků různého věku: No(t – 1).p(T > 0) + No(t – 2).p(T > 1) + … + No(t – d).p(T > d – 1) = N No(t) . [p(T > 0) + p(T > 1) + … + p(T > d – 1)] = N
Limitní hodnota obnovy S ohledem na platnost vztahu: d 1
t d p (T t ) t 0
N o (t) . t N dostáváme:
N N o (t) t
14
Závislost počtu obnovovaných prvků na době provozu No(t)
N o (t )
t
Optimální cyklus obnovy zařízení z hlediska nákladů jeho selhání Úkolem je stanovit optimální (plánovaný) cyklus obnovy D tak, aby úhrn očekávaných nákladů na plánované obnovy a nákladů na poruchové obnovy za dostatečně dlouhou dobu H (tzv. plánovací horizont) byl co nejnižší. Plánovaný cyklus obnovy D udává demontážní věk zařízení, tedy D = tmax = d.
15
Druhy nákladů c1
náklady na plánovanou obnovu (náklady, které si vyžádá obnova zařízení, je-li uskutečněna v době mimo provoz zařízení)
c2
náklady na neplánovanou, poruchovou obnovu (náklady a ztráty, které vzniknou, je-li nutno provést obnovu následkem selhání při provozu zařízení)
Celkový počet obnov zařízení během doby H
H tD H
plánovací horizont
tD
střední doba životnosti zařízení při stanovení cyklu D
16
Počet plánovaných obnov
H p( T D) tD p(T > D)
pravděpodobnost, že se zařízení dožije alespoň věku D
Počet neplánovaných obnov
H H p(T D) 1 p(T D) tD tD
17
Úhrnné náklady na plánované i neplánované obnovy zařízení během doby H
N c c1
H H p(T D) c 2 1 p(T D) tD tD
Úhrnné náklady Nc(D) připadající na jednotku času
N c ( D)
c 2 (c 2 c 1 ) p ( T D) tD
c 2 (c 2 c 1 ) p ( T D) D 1
p (T t ) t 0
Optimální cyklus obnovy D je takový, pro který funkce Nc(D) nabývá minimální hodnoty.
18
