teorie elektronických obvodů Jiří Petržela topologie obvodů, analýza obvodů s regulárními prvky

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela topologie obvodů, analýza obvodů s regulárními prvky

teorie elektronických obvodů

topologie obvodů, analýza obvodů s regulárními prvky

metody analýzy obvodů heuristické metody • jsou založeny na zkušenostech řešitele • vyžadují tvůrčí přístup k problému algoritmické metody • vedou vždy k cíli, i když neznáme správnou funkci obvodu • využívá je počítač



základní principy analýzy elektronických obvodů • metoda postupného zjednodušování • metoda úměrných veličin • transfigurace • věty o náhradním zdroji • princip superpozice a kompenzace často nelze použít obecně, například u řízených zdrojů (tranzistorů, operačních zesilovačů nebo konvejorů)



základní pojmy topologie je odvětví matematiky zkoumající geometrické vlastnosti obrazců, struktur a objektů topologický graf je obrazem globálního linearizovaného elektronického obvodu větví rozumíme dvojpól zapojený mezi dva uzly, je to hrana grafu uzel je místo, ve kterém jsou spojeny svorky dvou nebo více dvojpólů



základní pojmy u orientovaného grafu odpovídá šipka orientaci napětí nebo proudu uzlový pár je tvořen libovolnou dvojicí uzlů, větve připojené k jednomu uzlovému páru jsou paralelní smyčka představuje posloupnost konečného počtu větví, které na sebe navazují a tvoří uzavřenou dráhu separátní část není vodivě spojena s ostatními částmi obvodu, jedná se například o induktivní vazbu



základní pojmy vstupní (výstupní) uzel je uzel s jedinou vstupující (vystupující) větví úplný strom je část topologického grafu obsahující větve spojující všechny uzly soustavy a nevytváří žádnou uzavřenou smyčku haluze jsou větve úplného stromu větve, které nejsou součástí zvoleného úplného stromu jsou tětivy



Obr. 1: Příklady úplných stromů jednoduchého elektronického obvodu.



Obr. 2: Příklad obvodu se dvěma separátními částmi, induktivní vazba.



Obr. 3: Příklad obvodu s několika separátními částmi.



určení počtu nezávislých uzlů a smyček počet nezávislých uzlů p = n−d

počet nezávislých smyček s =v− p =v−n+d

kde n je počet uzlů celého obvodu, d je počet separátních částí obvodu a v je celkový počet větví nezávislá smyčka vznikne přidáním tětivy k úplnému stromu soustavy



incidenční matice zavedl Henry Poincaré vyjadřují základní vlastnosti elektronického obvodu, oba Kirchhoffovy zákony umožňují algoritmizování maticových metod při řešení obvodů na počítači zkrácenou (úplnou) incidenční matici uzlů a větví označíme symbolem M (M*) a zkrácenou (úplnou) incidenční matici smyček a větví symbolem D (D*)



sestrojení incidenční matice smyček a větví b1 + b2 + b5 = l1 − b4 − b5 + b6 = l2 b1 + b3 + b6 = l3

D*B = L

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎛ 1 1 0 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ l1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b3 ⎜ 0 0 0 − 1 − 1 1 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ l2 ⎟ ⎜ 1 0 1 0 0 1 ⎟ ⎜ b4 ⎟ ⎜ l ⎟ ⎝ ⎠ ⎜b ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎜ 5⎟ ⎜b ⎟ ⎝ 6⎠ Obr. 4: Příklad na sestavení incidenční matice uzlů a větví.



princip sestrojení incidenční matice smyček a větví dik=1 když se orientace i-té smyčky shoduje s orientací k-té větve dik=-1 když je orientace i-té smyčky opačná s orientací k-té větve dik=0 když k-tá větev není součástí i-té smyčky incidenční matice má s řádků a v sloupců



sestrojení incidenční matice uzlů a větví − i1 + i4 + i6 = 0 − i2 + i4 + i5 = 0 − i3 − i5 − i6 = 0

M *I = 0

i1 + i2 + i3 = 0

Obr. 5: Příklad na sestavení incidenční matice uzlů a větví.



incidenční matice uzlů a větví ⎛ −1 0 0 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 0 −1 1 0 ⎟ * M =⎜ 0 0 − 1 0 − 1 − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 1 1 0 0 0⎟ ⎝ ⎠

veškerá větvová napětí lze vyjádřit jako rozdíly uzlových napětí, tedy maticově U vetev = M T U uzel U i 4 = U1 − U 2



princip sestrojení incidenční matice uzlů a větví mik=1 když z i-tého uzlu k-tá větev vystupuje mik=-1 když do i-tého uzlu k-tá větev vstupuje mik=0 když i-tý uzel s k-tou větví nesouvisí incidenční matice má n řádků a v sloupců úplná incidenční matice je singulární, det(M*)=0 zkrácená incidenční matice je regulární, hod(M)=n-1



jsou-li větve v incidenčních maticích D a M uspořádány stejně, potom platí ortogonální vztahy M T D = DT M = 0



soubor řezů grafu řez je soubor větví, které jsme odstranili, aby se graf rozpadl na dvě nesouvisející části (ne však více) fundamentální soubor řezů je případ, když každý řez protíná právě jednu haluzi

Obr. 6: Fundamentální soubory řezů.



soubor řezů grafu za jednu část grafu lze považovat i samotný uzel fundamentálních řezů je tolik, kolik je haluzí řezům přisuzujeme orientaci tak, že haluze protínají zprava

Obr. 7: K výkladu o orientaci řezů.



incidenční matice řezů a větví řezy označujeme ci a větve bk soubor řezů lze zachytit incidenční maticí řezů a větví Q • qik=1 protíná-li k-tá větev i-tý řez zprava • qik=-1 protíná-li k-tá větev i-tý řez zleva • qik=0 když k-tá větev i-tý řez neprotíná



incidenční matice řezů a větví ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 0 0 −1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

0 0

1 1

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ b3 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ c2 ⎟ ⋅ ⎜ b4 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ 1 ⎜ ⎟ c3 ⎜ ⎟ ⎟ b5 0 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜⎝ c4 ⎟⎠ ⎜ b6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ b7 ⎠

Q⋅B = C



maticové metody řešení elektronických obvodů • řešení na základě Kirchhoffových rovnic • metoda smyčkových proudů • metoda uzlových napětí • metoda řezů • modifikovaná metoda uzlových napětí



řešení na základě Kirchhoffových rovnic • sestavení rovnic obvodu na základě 1. Kirchhoffova zákona ∑I=0 • sestavení rovnic obvodu na základě 2. Kirchhoffova zákona ∑U=0 • řešením maticové rovnice (lineární nehomogenní soustava rovnic)

P = WX kde P je vektor známých (zadaných) veličin, X je vektor neznámých (hledaných) veličin a W je čtvercová matice



vlastnosti matice W • musí existovat její inverze, musí být regulární • její koeficienty mohou být impedance, admitance nebo to mohou být bezrozměrná čísla řešení (vektor neznámých) získáme inverzí matice W −1

X=W P stejný počet rovnic a neznámých

matice W je čtvercová



řešení na základě Kirchhoffových rovnic • nepracujeme s incidenčními maticemi • velký počet řešených rovnic, nevhodné pro ruční výpočty • komplikovaný algoritmus sestavení rovnic, nevhodné pro počítačovou implementaci • umožňuje analyzovat všechny obvody bez omezení



pro daný obvod existuje p rovnic na základě 1. KZ a s rovnic na základě 2. KZ nezávislé smyčky určíme podle úplného stromu grafu proud sériově zapojených prvků je stejný, můžeme proto vynechat rovnice sestavené pro uzly E a F

Obr. 8: Příklad na řešení obvodu Kirchhoffovými rovnicemi.



aplikace prvního a druhého Kirchhoffova zákona pro uzel A, C a D dostáváme − i1 + i2 + i4 = 0

− i3 + i1 − i6 = 0

− i2 − i5 + i3 = 0

pro smyčku 1, 2 a 3 obdržíme u R1 + u R 4 + u R 6 = u1

uR 2 − uR5 − uR 4 = 0

u R 5 + u R 3 − u R 6 = −u2

pro výpočet proudů nahradíme ve druhých rovnicích uRx úbytky napětí na rezistorech Rxix, chceme-li vypočítat napětí pak nahradíme ix součinem Gxux



metoda smyčkových proudů motivací je zmenšení počtu řešených rovnic zavedeme fiktivní smyčkové proudy I, mezi nimi a skutečnými proudy Iskut bude platit

I skut = D I T

kde D je incidenční matice smyček volíme vějířovitý tvar úplného stromu soustavy, potom jsou jednotlivé smyčky přehledně rozprostřeny a dotýkají se minimálním počtem větví



postup řešení u metody smyčkových proudů nelze řešit obvody se zdroji proudu, budící zdroje proudu přepočítáme na ekvivalentní zdroje napětí sestavíme (s) nezávislých rovnic podle 2. Kirchhoffova zákona (lineární nehomogenní soustava rovnic)

U = Z⋅I kde U je vektor známých uzlových napětí, Z je impedanční matice soustavy a I je vektor neznámých smyčkových proudů



postup řešení u metody smyčkových proudů aby měla soustava řešení musí být matice Z regulární, tedy det(Z)≠0 I = Z −1U

pro výpočet neznámých použijeme Cramerova pravidla, který má pro impedanční matici 2×2 tvar ⎛ u1 ⎞ ⎛ z11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ u2 ⎠ ⎝ z 21

z12 ⎞ ⎛ i1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ z 22 ⎠ ⎝ i2 ⎠

⎛ u1 i1 = det⎜⎜ ⎝ u2

⎛ z11 u1 ⎞ ⎛ z11 ⎟⎟ / det⎜⎜ i2 = det⎜⎜ ⎝ z12 u2 ⎠ ⎝ z 21

z12 ⎞ ⎛ z11 ⎟⎟ / det⎜⎜ z 22 ⎠ ⎝ z21 z12 ⎞ ⎟⎟ z 22 ⎠

z12 ⎞ ⎟⎟ z 22 ⎠



postup řešení u metody smyčkových proudů každý řádek sestaveného systému rovnic vyjadřuje proud v příslušné nezávislé smyčce, například pro k-tou platí 1 I k = (Δ1,kU1 + Δ 2,kU 2 + ... + Δ s ,kU s ) Δ

kde Δ je determinant impedanční matice a Δi,k je její algebraický doplněk, což je (-1)α krát determinant zkrácené matice po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce pro zjištění k-tého smyčkového proudu provedeme rozvoj determinantu podle k-tého sloupce



obvodové funkce u metody smyčkových proudů ve většině případů budíme obvod pouze na jedné bráně, například x-té (ostatní napětí jsou nulová)

(− 1)

x+k

Ik =

Δ x ,k

Δ

Ux

předpokládejme, že y-tá brána je výstupní

(− 1)

x+ y

Iy =

Δ x, y

Δ

Ux

potom vstupní admitance při výstupu nakrátko bude Yvstup =

1 Z vstup

Ix = Ux

(− 1)

2x

= U y =0

Δ

Δ x, x



obvodové funkce u metody smyčkových proudů přenosová admitance při výstupu nakrátko bude Iy

1 YT = = ZT U x

=

(− 1)x + y Δ x, y Δ

U y =0

přenos proudu při výstupu nakrátko bude KI

(− 1) Δ x, y = = I x U =0 (− 1)2 x Δ x , x x+ y

Iy

y

tvar obvodových funkcí je jednoznačně určen tvarem impedanční matice



algoritmizace metody smyčkových proudů vychází s využití incidenčních matic a impedanční matice větví Zv což je čtvercová diagonální matice s impedancemi větví v hlavní diagonále (jinak jsou prvky nulové) v

Z = D Z v DT = ∑ Di Z i DiT i =1

matice Zv je součástí impedančního popisu jednotlivých větví v globálním tvaru Uv = ZvIv

kde Uv a Iv jsou vektory napětí a proudů všech větví



algoritmizace metody smyčkových proudů u elektronických obvodů obsahující regulární dvojbrany je výše uvedený postup nezbytný u obvodů obsahujících pouze dvojpóly lze snáze získat impedanční matici postupem • prvky v hlavní diagonále jsou součtem impedancí všech dvojpólů zapojených ve větvích příslušné smyčky • prvky mimo hlavní diagonálu jsou vždy rovny dvojpólu zapojenému ve větvi společné oběma smyčkám, přičemž znaménko je kladné při shodném směru smyč. proudů



pro obvod lze podle 2. KZ odvodit soustavu rovnic R1is1 + R4 (is1 − is 2 ) + R6 (is1 − is 3 ) = u1

R4 (is 2 − is1 ) + R2is 2 + R5 (is 2 − is 3 ) = 0

R6 (is 3 − is1 ) + R5 (is 3 − is 2 ) + R3is 3 = −u2

lze ukázat, že další libovolná smyčka je lineární kombinací stávajících, což vede k singularitě impedanční matice

Obr. 9: Příklad na řešení rezistivního obvodu smyčkovými proudy.



tuto soustavu lze zapsat maticově ve tvaru ⎛ R1 + R4 + R6 ⎜ − R4 ⎜ ⎜ − R6 ⎝

− R4 R2 + R4 + R5 − R5

− R6 ⎞ ⎛ is1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − R5 ⎟ ⋅ ⎜ is 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ R3 + R5 + R6 ⎟⎠ ⎜⎝ is 3 ⎟⎠ ⎜⎝ − u2 ⎟⎠

a vyřešit inverzí impedanční matice proudy větvemi spočítáme ze znalosti smyčkových proudů napětí na jednotlivých prvcích (větvích) lze spočítat pomocí Ohmova zákona



zkrácenou incidenční matici lze zapsat ve tvaru ⎛1 1 1 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 0 0 −1 D=⎜ 0 0 −1 1 1 ⎜ ⎜ 0 −1 0 −1 0 ⎝

0 1 0 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

Obr. 10: Příklad na řešení setrvačného obvodu smyčkovými proudy.



impedanční matice větví bude 0 0 ⎛ R1 ⎜ ⎜ 0 1 / (sC1 ) 0 ⎜0 0 R2 ⎜ Zv = ⎜ 0 0 0 ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ 0 0 ⎝0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

R4 + sL1 0 1 / (sC2 ) 0 0 R5 + sL2 0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ R3 ⎠ 0 0 0 0 0 0



výslednou impedanční matici získáme postupným násobením řádků a sloupců Z = D Z v DT

a obdržíme výsledek 1 ⎛ ⎜ R1 + R2 + sC1 ⎜ ⎜ 0 ⎜ Z=⎜ ⎜ − R2 ⎜ ⎜ 1 ⎜⎜ − sC1 ⎝

− R2

0 R5 + sL2 +

1 sC2

−

1 sC2

1 − sC2

1 R2 + R4 + sL1 + sC2

0

− R4 − sL1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ − R4 − sL1 ⎟ 1 ⎟ ⎟⎟ R3 + R4 + sL1 + sC1 ⎠ 1 − sC1

který využijeme při výpočtu hledané obvodové funkce



metoda uzlových napětí motivací je zmenšení počtu řešených rovnic zavedeme fiktivní uzlová napětí U (proti referenčnímu uzlu) mezi nimi a skutečnými větvovými napětími Uskut bude platit

U skut = M U T

kde M je incidenční matice uzlů



postup řešení u metody uzlových napětí nelze řešit obvody se zdroji napětí, budící zdroje napětí přepočítáme na ekvivalentní zdroje proudu sestavíme (p) nezávislých rovnic podle 1. KZ (lineární nehomogenní soustava rovnic)

I = Y⋅U kde I je vektor známých proudů, Y je admitanční matice soustavy a U je vektor neznámých uzlových napětí



postup řešení u metody uzlových napětí aby měla soustava řešení musí být matice Y regulární, tedy det(Y)≠0 −1

U=Y I

pro výpočet neznámých použijeme Cramerova pravidla, který má pro admitanční matici 2×2 tvar ⎛ i1 ⎞ ⎛ y11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ i2 ⎠ ⎝ y21

y12 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ y22 ⎠ ⎝ u2 ⎠

⎛ i1 u1 = det⎜⎜ ⎝ i2

⎛ y11 i1 ⎞ ⎛ y11 ⎟⎟ / det⎜⎜ u2 = det⎜⎜ ⎝ y12 i2 ⎠ ⎝ y21

y12 ⎞ ⎛ y11 ⎟⎟ / det⎜⎜ y22 ⎠ ⎝ y21 y12 ⎞ ⎟⎟ y22 ⎠

y12 ⎞ ⎟⎟ y22 ⎠



postup řešení u metody uzlových napětí každý řádek sestaveného systému rovnic vyjadřuje napětí příslušného nezávislého uzlového páru, pro k-tý platí 1 U k = (Δ1,k I1 + Δ 2,k I 2 + ... + Δ p ,k I p ) Δ

kde Δ je determinant impedanční matice a Δi,k je její algebraický doplněk, což je (-1)α krát determinant zkrácené matice po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce pro zjištění k-tého uzlového napětí provedeme rozvoj determinantu podle k-tého sloupce



obvodové funkce u metody uzlových napětí ve většině případů budíme obvod pouze do jedné větve, například x-té (ostatní proudy jsou nulové)

(− 1)

x+k

Uk =

Δ x ,k

Δ

Ix

předpokládejme , že y-tá brána (uzlový pár) je výstupní

(− 1)

x+ y

Uy =

Δ x, y

Δ

Ix

potom vstupní admitance při výstupu naprázno bude Z vstup =

1 Yvstup

Ux = Ix

(− 1)

2x

= I y =0

Δ

Δ x, x



obvodové funkce u metody uzlových proudů přenosová impedance při výstupu naprázno bude 1 Uy ZT = = YT Ix

(− 1)

x+ y

=

Δ x, y

Δ

I y =0

přenos proudu při výstupu naprázno bude KU =

Uy Ux

(− 1) Δ x, y = 2x (− 1) Δ x, x I =0 x+ y

y

tvar obvodových funkcí je jednoznačně určen tvarem admitanční matice



algoritmizace metody uzlových napětí vychází s využití incidenčních matic uzlů M a admitanční matice větví Yv což je čtvercová diagonální matice s admitancemi větví v hlavní diagonále (jiné prvky nulové) v

Y = M Yv M T = ∑ M i Yi M iT i =1

matice Yv je součástí admitančního popisu jednotlivých větví v globálním tvaru I v = Yv U v

kde Uv a Iv jsou vektory napětí a proudů všech větví



algoritmizace metody uzlových napětí u elektronických obvodů obsahující regulární dvojbrany je výše uvedený postup nezbytný u obvodů obsahujících pouze dvojpóly lze snáze získat admitanční matici postupem • prvky v hlavní diagonále jsou součtem admitancí všech dvojpólů připojených k danému nezávislému uzlu • prvky mimo hlavní diagonálu jsou vždy rovny záporně vzaté admitanci dvojpólu zapojené ve větvi přímo mezi oba nezávislé uzly



algoritmizace metody uzlových napětí výsledná admitanční matice je součtem tří dílčích matic a celá maticová rovnice podle metody uzlových napětí bude ⎛ y&1 0 ⎞ ⎛ y& 2 − y& 2 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ Y = ⎜⎜ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ − y& 2 y& 2 ⎠ ⎝ 0 y& 3 ⎠ − y& 2 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ i1 ⎞ ⎛ y&1 + y& 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ y& 2 + y& 3 ⎠ ⎝ u2 ⎠ ⎝ i2 ⎠ ⎝ − y& 2

Obr. 11: Příklad rozkladu admitanční matice u metody uzlových napětí.



pro obvod lze podle 1. KZ odvodit soustavu rovnic G1u1 + G2 (u1 − u2 ) + G6 (u1 − u3 ) = i1

G2 (u2 − u1 ) + G3u2 + G4 (u2 − u3 ) = 0 G5u3 + G4 (u3 − u 2 ) + G6 (u3 − u1 ) = i2

Obr. 12: Příklad na řešení rezistivního obvodu uzlovými napětími.



tuto soustavu lze zapsat maticově ve tvaru ⎛ G1 + G2 + G6 ⎜ − G2 ⎜ ⎜ − G6 ⎝

− G2 G2 + G3 + G4 − G4

− G6 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ i1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − G4 ⎟ ⋅ ⎜ u2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ G4 + G5 + G6 ⎟⎠ ⎜⎝ u3 ⎟⎠ ⎜⎝ i2 ⎟⎠

a vyřešit inverzí admitanční matice napětí na jednotlivých prvcích (větvích) jsou rozdílem příslušných uzlových napětí proudy větvemi spočítáme aplikací Ohmova zákona



zkrácenou incidenční matici lze zapsat ve tvaru ⎛1 0 0 0 ⎜ ⎜ −1 1 1 0 M=⎜ 0 −1 0 1 ⎜ ⎜ 0 0 −1 −1 ⎝

0 0 1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

Obr. 13: Příklad na řešení setrvačného obvodu uzlovými napětími.



admitanční matice větví bude ⎛ G1 ⎜ ⎜0 ⎜0 Yv = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 sC1 0 0

0 0 G3 0

0 0

0 0

0 0 0 sC2 0 0

0 0 0 0 G2 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟⎟ G4 ⎟⎠ 0 0 0 0



výslednou admitanční matici získáme postupným násobením řádků a sloupců Y = M Yv M T

a obdržíme výsledek − G1 ⎛ G1 ⎜ ⎜ − G1 G1 + G3 + sC1 Y=⎜ 0 − sC1 ⎜ ⎜ 0 − G3 ⎝

0 − sC1 sC1 + sC2 − sC2

0 ⎞ ⎟ − G3 ⎟ ⎟ − sC2 ⎟ G3 + G4 + sC2 ⎟⎠



úplný admitanční popis soustavy souhlasně orientovanou soustavu uzlových napětí lze rozšířit, pokud vztažný uzel položíme mimo soustavu počet uzlových napětí bude roven počtu uzlů soustavy, přičemž jedno napětí bude závislé I* = Y* U*

kde Y* je úplná admitanční matice



vlastnosti úplné admitanční matice • je singulární, tedy det(Y*)=0 • součet prvků v každém řádku a sloupci je roven nule n

* y ∑ rs = 0

s =1

n

* y ∑ rs = 0

r =1

• libovolný jednoduchý algebraický doplněk má stejnou hodnotu, je to invariant Δ*i , j = C *



obvodové funkce při úplném admitančním popisu vstupní a výstupní lze vyjádřit jako U ab = U a* − U b*

U cd = U c* − U d*

dvojnásobné algebraické doplňky jsou stejně složité jako jednoduché při zkráceném admitačním popisu výhodná implementace na počítači

Obr. 14: K definici branových napětí při úplném admitančním popisu.



obvodové funkce při úplném admitančním popisu vstupní impedance při výstupu naprázdno Z vstup

Δ*ab ,ab

U ab = = I0 C*

přenosová impedance při výstupu naprázdno U cd Δ ZT = = I0 C

* ab ,cd *

přenos napětí při výstupu naprázdno Δ*ab ,cd

U cd = * KU = U ab Δ ab ,ab



metoda řezů sestavujeme rovnice podle 1. KZ pro zvolený soubor řezů obecnější postup než metoda uzlových napětí výhodné, když chceme určit specifické napětí v obvodu

Obr. 15: Příklad na analýzu rezistivního obvodu metodou řezů.



metoda řezů pro řez s1 platí

i1 + G1 (u2 − u1 − u3 ) − G3u1 − G5 (u1 + u3 ) + i2 = 0

pro řez s2 platí

− i1 + G1 (u1 − u 2 + u3 ) + G2 (u3 − u2 ) − G6u2 = 0

pro řez s3 platí

− i1 + G1 (u1 − u 2 + u3 ) + G2 (u3 − u2 ) + G4u3 + G5 (u1 + u3 ) = i2

proudy vystupující z řezů bereme s kladným znaménkem



Obr. 16: Topologie dvoustupňového tranzistorového zesilovače.



analýza obvodů s regulárními vícebrany pro dvoustupňový zesilovač na obrázku platí • haluze plnou čarou, tětivy tečkovaně • souhlasně orientovaná soustava čtyř uzlových napětí • jeden vztažný uzel označený číslem 5 • souhlasně orientovaná soustava smyčkových proudů • každá smyčka má svou tětivu



zobecněná metoda smyčkových proudů za regulární se považuje prvek popsatelný impedančními parametry, tzn. který má vlastní impedanční matici ekvivalentní počet větví vekv = q − m

kde m je počet všech regulárních obvodových prvků (včetně dvojpólů) a q je celkový počet jejich vývodů počet nezávislých smyček je dán vztahem s = vekv − n + d = q − m − n + d



zobecněná metoda smyčkových proudů při popisu je třeba vycházet z dílčího impedančního popisu jednotlivých prvků U xi = Z xi I xi

i = 1,2,..., m

kde Ixi a Uxi jsou vektory původních smyčkových proudů a budicích smyčkových napětí i-tého prvku a Zxi je jeho původní impedanční matice k provedení transformace dílčích matic do výsledných souřadnic soustavy je potřeba znát vztahy mezi původními a novými výslednými smyčkovými proudy I a napětími U I xi = Ci I

U = Di U xi



zobecněná metoda smyčkových proudů u regulárních obvodů platí Di = CiT

dílčí impedanční matice i-tého prvku přetransformovaná do nových souřadnic je dána součinem Z i = CiT Z xi Ci

i = 1,2,..., m

výslednou impedanční matici soustavy lze pak zapsat jako součet dílčích transformovaných matic m

m

Z = ∑ Z i =∑ C Z xi Ci i =1

i =1

T i



dílčí impedanční matice trojbranového transformátoru Z trafo

⎛ sL1 ⎜ = ⎜ sM 12 ⎜ sM ⎝ 13

sM 12 sL2 sM 23

sM 13 ⎞ ⎟ sM 23 ⎟ sL3 ⎟⎠

kde Li jsou vlastní indukčnosti a Mij představuje vzájemné indukčnosti vinutí

Obr. 17: Popis trojbranového transformátoru.



maximální míra zobecnění vede přes součin tří matic součin tří matic není pro ruční výpočty vhodný tento krok lze provést zjednodušeně

Obr. 18: Demonstrační příklad na zobecněnou metodu smyčkových proudů.



• převod definičního popisu transformátoru do souřadnic řešení celého obvodu I x1 = I s1

I x 2 = I s1 + I s 2

I x3 = − I s3

• připíšeme symboly odpovídající Ixi do řádků a sloupců příslušného indexu Isi x1

x2

x2

-x3

⎛ s(L1 + L2 + 2 M 12 ) s(L2 + M 12 ) − s(M 13 + M 23 )⎞ ⎟ ⎜ sL2 Z trafo =x2 ⎜ s(L2 + M 12 ) − sM 23 ⎟ ⎟ ⎜ − s (M + M ) -x3 sM sL − 13 23 23 3 ⎠ ⎝ x1 x2

znaménko je vždy dáno jako součin znamének u značek v řádku a sloupci



• stejný postup lze formálně použít i při sestavování impedanční matice zbytku obvodu I z1 = I s1

I z 2 = I s1 + I s 2

I z3 = I s3

• pro zjednodušení zápisu zavedeme impedance 1 Z1 = R1 + sC1

1 Z 2 = R2 + sC2

• přetransformovaná matice podobvodu tvořeného dvojpóly Z dvojpoly

⎛ Z1 (s ) + Z 2 (s ) Z 2 (s ) 0 ⎞ ⎟ ⎜ Z 2 (s ) Z 2 (s ) 0 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ 0 0 R 3⎠ ⎝



• výsledná impedanční matice soustavy je dána součtem Z = Z trafo + Z dvojpoly = ⎛ s (L1 + L2 + 2 M 12 ) + Z1 (s ) + Z 2 (s ) s(L2 + M 12 ) + Z 2 (s ) − s (M 13 + M 23 )⎞ ⎜ ⎟ s(L2 + M 12 ) + Z 2 (s ) sL2 + Z 2 (s ) =⎜ − sM 23 ⎟ ⎜ ⎟ sL3 + R3 − s(M 13 + M 23 ) − sM 23 ⎝ ⎠

• tuto impedanční matici využijeme k výpočtu hledaných obvodových funkcí U 0 (− 1) Δ1,3 Δ1,3 Δ = =− = ... 1+ 2 Δ1, 2 U 0 (− 1) Δ1, 2 Δ 1+ 3

I s3 KI = I s2



dílčí impedanční matice bipolárního tranzistoru jako dvojbranu Z tran

⎛ z BB ⎜ = ⎜ zCB ⎜z ⎝ EB

z BC zCC z EC

z BE ⎞ ⎟ zCE ⎟ z EE ⎟⎠

parametry zij mohou být reálná čísla (odpory) nebo komplexní čísla (impedance)

Obr. 19: Bipolární tranzistor jako dvojbran a speciální případy zapojení.



soustava rovnic popisující tranzistor je modifikována, pokud je jeden z jeho uzlů spojen s referenčním • zapojení se společným emitorem Z tran

⎛ z BB = ⎜⎜ ⎝ zCB

z BC ⎞ ⎟⎟ zCC ⎠

• zapojení se společným kolektorem Z tran

⎛ z BB = ⎜⎜ ⎝ z EB

z BE ⎞ ⎟⎟ z EE ⎠



• zapojení se společnou bází Z tran

⎛ zCC = ⎜⎜ ⎝ z EC

zCE ⎞ ⎟⎟ z EE ⎠

impedanční matice Ztran rozměru 3×3 je úplnou impedanční maticí, det(Ztran)=0 součet prvků v každém řádku a sloupci je roven nule stačí znát čtveřici parametrů a zbytek lze dopočítat

Obr. 20: Určení hybridních parametrů bipolárního tranzistoru BCW60.

Obr. 21: Přepočet hybridních parametrů BCW60 do pracovního bodu.



maximální zjednodušení • zdroje stejnosměrného napětí nahradíme zkraty • nejsou uvažovány pomocné rezistory pro nastavení pracovního bodu • předpokládáme linearizovaný režim zesilovače

Obr. 22: Příklad na řešení obvodu se dvěma tranzistory.



původní definiční proudy prvního tranzistoru I x1 = I1

I x 2 = − I1 + I 2

původní definiční proudy druhého tranzistoru I y1 = − I 2 + I 3

I y2 = −I3

a obdobně pro rezistor Ir = I3

výsledná impedanční matice je součtem tří dílčích matic Z = ZTx + ZTy + Z R



po zápisu pomocných značek přetransformujeme jednotlivé prvky do celé soustavy x1 -x2

(

x x x x ⎛ -x2 x1 z11 + z 22 − z12 + z 21 ⎜ x x − z 22 Z = x2 ⎜ z 21 ⎜ 0 ⎝ -y1

0 ⎛0 ⎜ + -y1⎜ 0 z11y y y ⎜ -y2 y1 0 z 21 − z11 ⎝

)

x2

z −z x 12

x 22

x z 22 0

y1 -y2

0 z12y − z11y y y y y z11 + z 22 − z12 + z 21

(

0⎞ ⎟ 0⎟ + 0 ⎟⎠ r

⎞ ⎟ ⎟+ ⎟ ⎠

)

⎛0 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ r 0 0 R ⎠ ⎝



výsledná impedanční matice je

(

x x ⎛ z11x + z22 − z12x + z 21 ⎜ x x − z 22 Z=⎜ z 21 ⎜ 0 ⎝

)

x z12x + z 22

0

x + z11y z 22 z 21y − z11y

z12y − z11y R + z11y + z 22y − z12y + z 21y

hledaný přenos proudu bude KI =

Δ1,3 Δ1,1

=

x z 22

kde determinant

(z

(

)(

)

x − z 22 z 21y − z11y R + z11y + z − z12y − z 21y + z11y R + det z y

(

( )

x 21 y 22

)

det z y = z11y z 22y − z12y z 21y

( )

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

)



zobecněná metoda uzlových napětí za regulární se považuje prvek popsatelný admitančními parametry, tzn. který má vlastní admitanční matici počet nezávislých uzlových párů je p = n−d

postup je duální k zobecněné metodě smyčkových proudů admitanční matici celé soustavy Y sestavíme opět jako součet dílčích admitančních matic Yxi přetransformovaných do zvolené soustavy napětí



zobecněná metoda uzlových napětí je třeba znát vztah mezi původními napětími Uxi a zvolenými uzlovými napětími soustavy U, tedy U xi = Ci U

mezi původními proudy prvků Ixi a novými budicími proudy soustavy I platí vztah I = Di I xi

u regulárních obvodů platí Di = C

T i



dílčí admitanční matice i-tého prvku přetransformovaná do nových souřadnic je dána součinem Yi = C Yxi Ci

i = 1,2,..., m

T i

výslednou admitanční matici soustavy lze pak zapsat jako součet dílčích transformovaných matic m

m

i =1

i =1

Y = ∑ Yi =∑ CiT Yxi Ci

tento vztah vyjadřuje duální zobecněný pohled na strukturu celé soustavy jako spojení dílčích obvodových prvků



popis samostatného dvojpólu R I i1 = G ⋅ U i1

popis samostatného trojpólu Y ⎛ I i 2 ⎞ ⎛ y11 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I i 3 ⎠ ⎝ y21

y12 ⎞ ⎛U i 2 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ y2 ⎠ ⎝ U i 3 ⎠

Obr. 23: Admitanční popis jednoduchého obvodu s regulárním prvkem.



společný popis dvojpólu R a trojpólu Y vznikne sdružením ⎛ I i1 ⎞ ⎛ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ Ii2 ⎟ = ⎜ 0 ⎜I ⎟ ⎜ 0 ⎝ i3 ⎠ ⎝

0 y11 y21

0 ⎞ ⎛ U i1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ y12 ⎟ ⋅ ⎜U i 2 ⎟ y22 ⎟⎠ ⎜⎝ U i 3 ⎟⎠

vektory uzlových napětí a budicích proudů ⎛ U1 ⎞ ⎛ I0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = Y ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ ⎝U 2 ⎠

zbývá určit admitanční matici Y



původní definiční napětí vyjádříme pomocí uzlových napětí U i1 = U 2 − U1

U i 2 = U1

U i3 = U 2

tyto vztahy zapíšeme maticově (incidenční matice) ⎛ U i1 ⎞ ⎛ − 1 1 ⎞ ⎟ ⎛ U1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜U i 2 ⎟ = ⎜ 1 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ U ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝U 2 ⎠ ⎠ ⎝ i3 ⎠ ⎝

Ui = C U

výslednou admitanční matici dostaneme násobením ⎛G ⎛ −1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜ 0 Y = ⎜⎜ ⎝ 0 0 1⎠ ⎜ 0 ⎝

0 y11 y21

0 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ G + y11 y12 ⎟ ⋅ ⎜ 1 0 ⎟ = ⎜⎜ − G + y21 ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ y22 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

− G + y12 ⎞ ⎟⎟ G + y22 ⎠



dílčí admitanční matice bipolárního tranzistoru jako trojpólu Ytran

⎛ y BB ⎜ = ⎜ yCB ⎜y ⎝ EB

y BC yCC y EC

y BE ⎞ ⎟ yCE ⎟ y EE ⎟⎠

parametry yij mohou být reálná čísla (vodivosti) nebo komplexní čísla (admitance)

Obr. 24: Bipolární tranzistor jako dvojbran a speciální případy zapojení.



soustava rovnic popisující tranzistor je modifikována, pokud je jeden z jeho uzlů spojen s referenčním tranzistor uvažujeme většinou jako dvojbran popsaný admitanční maticí rozměru 2×2 • zapojení se společným emitorem Ytran

⎛ y BB ⎜ = ⎜ yCB ⎜y ⎝ EB

y BC yCC y EC

y BE ⎞ ⎟ ⎛ y BB yCE ⎟ = ⎜⎜ yCB ⎝ ⎟ y EE ⎠

y BC ⎞ ⎟⎟ yCC ⎠



• zapojení se společným kolektorem Ytran

⎛ y BB ⎜ = ⎜ yCB ⎜y ⎝ EB

y BC yCC y EC

y BE ⎞ ⎟ ⎛ y BB yCE ⎟ = ⎜⎜ y EB ⎝ ⎟ y EE ⎠

y BE ⎞ ⎟⎟ y EE ⎠

y BE ⎞ ⎟ ⎛ yCC yCE ⎟ = ⎜⎜ y EC ⎝ ⎟ y EE ⎠

yCE ⎞ ⎟⎟ y EE ⎠

• zapojení se společnou bází Ytran

⎛ y BB ⎜ = ⎜ yCB ⎜y ⎝ EB

y BC yCC y EC



admitanční matice Ytran rozměru 3×3 je úplnou admitanční maticí det(Ytran)=0 součet prvků v každém řádku a sloupci je roven nule stačí znát čtveřici parametrů a zbytek lze dopočítat



vzorce pro zbývající prvky úplné admitanční matice (reálné vodivosti nebo komplexní admitance) jsou y13 = − y11 − y12

y23 = − y21 − y22

y32 = − y12 − y22

y31 = − y11 − y21

y33 = y11 + y12 + y21 + y22



admitanční matice bez tranzistorů ⎛ 0 0 0⎞ ⎟ ⎜ YR = ⎜ 0 G 0 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎠ ⎝

Obr. 25: Část linearizovaného modelu integrovaného obvodu RCA3040.



admitanční matice prvního tranzistoru ⎛ y1BB ⎜ 1 YT 1 = ⎜ yCB ⎜ y1 ⎝ EB

y1BC 1 yCC 1 y EC

y1BE ⎞ ⎟ 1 yCE ⎟ 1 ⎟ y EE ⎠

admitanční matice druhého tranzistoru ⎛0 0 ⎜ YT 2 = ⎜ 0 0 ⎜0 0 ⎝

2 2 y BB + y BC

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 2 2 ⎟ + yCB + yCC ⎠

první tranzistor je připojen přímo na uzly 1, 2, 3, a proto dojde ke zkopírování YT1 do výsledné admitanční matice



výsledná admitanční matice je součtem dílčích matic ⎛ y1BB ⎜ 1 Y = ⎜ yCB ⎜ y1 ⎝ EB

y1BC 1 G + yCC 1 y EC

⎞ ⎟ 1 yCE ⎟ 1 2 2 2 2 ⎟ y EE + y BB + y BC + yCB + yCC ⎠ y1BE

hledaný přenos napětí bude

I1 (− 1) Δ1, 2 Δ1, 2 U2 Δ =− = KU = = 1+1 Δ1,1 U1 I1 (− 1) Δ1,1 Δ 1+ 2

(

)

1 2 2 2 2 1 yCB y1EE + y BB + y BC + yCB + yCC − yCE y1EB =− 1 2 2 2 2 1 G + yCC y1EE + y BB + y BC + yCB + yCC − yCE y1EC

(

)(

)



transadmitanční zesilovač (OTA) je z hlediska metody uzlových napětí regulárním prvkem jedná se o zdroj proudu řízený napětím přivedeným mezi diferenční vstupní svorky proud je úměrný transkonduktanci gm za transadmitanční zesilovače lze považovat i unipolární tranzistory, a to JFET i MOSFET



dílčí admitanční matice prvních dvou nejpoužívanějších konfigurací transadmitančních zesilovačů ⎛ I3 ⎞ ⎛ gm ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I4 ⎠ ⎝ 0

0 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎠ ⎝U 2 ⎠

⎛ I3 ⎞ ⎛ gm ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I4 ⎠ ⎝ 0

− g m ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎠ ⎝U 2 ⎠

připojením OTA s nesymetrickým výstupem do obvodu je narušena proudová bilance v jednom (výstupním) uzlu

Obr. 26: Transadmitanční zesilovače s nesymetrickým výstupem.



dílčí admitanční matice OTA se symetrickým výstupem ⎛ I3 ⎞ ⎛ gm ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I4 ⎠ ⎝ − gm

0 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎠ ⎝U 2 ⎠

⎛ I3 ⎞ ⎛ gm ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I4 ⎠ ⎝ − gm

− g m ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ g m ⎠ ⎝U 2 ⎠

připojením OTA se symetrickým výstupem do obvodu je narušena proudová bilance ve dvou uzlech

Obr. 27: Transadmitanční zesilovače se symetrickým výstupem.



rovnici popisující OTA lze v tomto jednoduchém případě psát rovnou do výsledné admitanční matice dvojbranu, tedy ⎛ I1 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ I2 ⎟ = ⎜ 0 ⎜ I ⎟ ⎜− g ⎝ 3⎠ ⎝ m

0 0 gm

0 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⋅ ⎜U 2 ⎟ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ U 3 ⎟⎠

⎛ 0 ⎜ Y=⎜ 0 ⎜− g ⎝ m

0 0 gm

0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠

admitanční matice integrátoru a odpovídající přenos napětí ⎛ 0 Y = ⎜⎜ ⎝ − gm

0 ⎞ (− 1) Δ1, 2 Δ1, 2 g m ⎟⎟ ⇒ KU = =− = 1+1 sC ⎠ Δ1,1 sC (− 1) Δ1,1 1+ 2

Obr. 28: Integrátor realizovaný transadmitančním zesilovačem.



obvod má dva OTA s jedním uzemněným vstupem, jejichž dílčí admitanční matice ⎛0⎞ ⎛ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ I x ⎠ ⎝ g mx

0 ⎞ ⎛ U1x ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎠ ⎝U 2 x ⎠

⎛0⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟=⎜ ⎜I ⎟ ⎜g ⎝ y ⎠ ⎝ my

0 ⎞ ⎛ U1 y ⎞ ⎟ ⎟⋅⎜ 0 ⎟⎠ ⎜⎝U 2 y ⎟⎠

Obr. 29: Oscilátor realizovaný dvěma transadmitančními zesilovači.



transformační rovnice popisují, jakým způsobem je daný OTA připojen v obvodu U1x = U1

U 2x = U 2

U1 y = U 2

U 2 y = U1

při tvorbě výsledné admitanční matice postupujeme stejně jako v případě tranzistorů x1

Y=

x1

y2

x2

y1

y2

⎛ sC2 + sC3 ⎜⎜ ⎝ − sC3 + g mx

x2

y1

− sC3 + g my ⎞ ⎟⎟ sC1 + sC3 ⎠

vyhodnocení této admitanční matice za účelem získání hledané obvodové funkce probíhá standardním způsobem



jedná se o autonomní obvod (oscilátor), hledáme tedy symbolický tvar charakteristické rovnice

det Y = (sC2 + sC3 )(sC1 + sC3 ) − (− sC3 + g my )(− sC3 + g mx ) = 0

tuto rovnici upravíme do vhodnějšího tvaru

s 2 (C1C2 + C1C3 + C2C3 ) + sC3 (g mx + g my ) − g mx g my = 0

oscilátor bude na mezi stability pokud bude platit g mx = − g my

a pro tento specifický případ bude oscilační kmitočet roven f osc =

g mx g my

2π (C1C2 + C1C3 + C2C3 )

=

g mx g my 6πC 2

děkuji za pozornost

teorie elektronických obvodů Jiří Petržela topologie obvodů, analýza obvodů s regulárními prvky

Recommend Documents