Teori kendali. Oleh: Ari suparwanto

Teori kendali Oleh: Ari suparwanto

Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto

Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem sedekat mungkin dengan sinyal referensi. Sinyal kendali yang bergantung pada respon sistem disebut kendali feedback atau kendali loop tertutup. Untuk mendapatkan kendali yang baik, sinyal kendali feedback didesain sebagai fungsi dari state dan sinyal referensi

Permasalahan Masalah kendali yang dibahas : 1. Pole Assignment Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback dapat dipilih sebarang. 2. Stabilisasi Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback berada di sebelah kiri bidang kompleks.

Permasalahan 3. State Estimator atau State Observer Menentukan sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya 4. Decoupling Menentukan kompensator sehingga sistem tercouple menjadi sistem terdecouple

Permasalahan 5. Kendali Optimal Diberikan sistem dengan input 𝑢 ∈ 𝑈 . Tentukan fungsi 𝑢 ∈ 𝑈 sedemikian hingga fungsi cost yang diberikan minimal.

Minggu Ke-2 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

Pole Assigment dan Stabilisasi Ekuivalensi Sistem Diberikan sistem 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

Misalkan 𝑥 = 𝑃𝑥, dengan 𝑃 matriks nonsingular.

(1)

Pole Assigment dan Stabilisasi Sistem 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑢 𝑦 = 𝐶 𝑥 + 𝐷𝑢

dengan

(2)

𝐴 = 𝑃𝐴𝑃;1 , 𝐵 = 𝑃𝐵, 𝐶 = 𝐶𝑃;1 , 𝐷 = 𝐷

disebut sistem ekuivalen dari sistem (1).

Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Terkendali Sifat. Sistem (1) terkendali jika dan hanya jika sistem (2) terkendali.

Kasus Single Variabel Misalkan polinomial karakteristik dari matriks 𝐴 pada sistem (1) adalah ∆ 𝜆 = det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆𝑛 + 𝛼1 𝜆𝑛;1 + ⋯ + 𝛼𝑛;1 𝜆 + 𝛼𝑛

Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Teorema. Jika sistem (1) single variabel dan terkendali, maka ia ekuivalen dengan sistem 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 𝑥= 𝑥+ 𝑢 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 1 0 0 0 0 −𝛼𝑛 −𝛼𝑛;1 −𝛼𝑛;2 ⋯ −𝛼2 −𝛼1 1 𝑦 = 𝛽𝑛 𝛽𝑛;1 𝛽𝑛;2 ⋯ 𝛽2 𝛽1 dengan 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 adalah koefisien dari polinomial karakteristik dari 𝐴.

Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Transformasikan sistem terkendali variabel 1 2 0 2 𝑥 = 1 −1 1 𝑥 + 1 𝑢 0 2 0 1 Ke bentuk kanoniknya.

single

Minggu Ke-3 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

Pole Assigment dan Stabilisasi State Feedback Dengan mengganti 𝑢 pada sistem (1) dengan 𝑟 + 𝐾𝑥, maka diperoleh sistem feedback 𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐾 𝑥 + 𝐵𝑟 𝑦 = 𝐶 + 𝐷𝐾 𝑥 + 𝐷𝑟

(3)

Teorema. Sistem feedback (3) terkendali jika dan hanya jika sistem (1) terkendali.

Pole Assigment dan Stabilisasi Teorema berikut menyatakan bahwa kendali feedback dapat digunakan untuk mengendalikan eigenvalue dari sistem. Teorema. Jika sistem (1) terkendali, maka dengan kendali feedback 𝑢 = 𝑟 + 𝐾𝑥 , nilai-nilai eigen dari 𝐴 + 𝐵𝐾 dapat ditentukan sebarang.

Pole Assigment dan Stabilisasi Algoritma Diberikan sistem (1) terkendali dan himpunan nilai-nilai eigen 𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑛 . Tentukan kendali feedback 𝑢 = 𝑟 + 𝐾𝑥 sedemikian hingga sistem feedback (3) mempunyai himpunan 𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ , 𝜆𝑛 sebagai nilai-nilai eigennya. Langkah-langkah: 1. Tentukan polinomial karakteristik dari 𝐴 : det 𝑠𝐼 − 𝐴 = 𝑠 𝑛 + 𝛼1 𝑠 𝑛;1 + ⋯ + 𝛼𝑛;1 𝑠 + 𝛼𝑛 . 2. Hitung (𝑠 − 𝜆1 ) 𝑠 − 𝜆2 ⋯ 𝑠 − 𝜆𝑛 = 𝑠 𝑛 + 𝛼1 𝑠 𝑛;1 + ⋯ + 𝛼𝑛;1 𝑠 + 𝛼𝑛

Pole Assigment dan Stabilisasi 3. Tentukan 𝐾 = 𝛼𝑛 − 𝛼𝑛 𝛼𝑛;1 − 𝛼𝑛;1 ⋯ 𝛼1 − 𝛼1 . 4. Hitung 𝑞𝑛;𝑖 = 𝐴𝑞𝑛;𝑖;1 + 𝛼𝑖 𝑞𝑛 , untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 − 1 , dengan 𝑞𝑛 = 𝐵. 5. Bentuk 𝑄 = 𝑞1 𝑞2 ⋯ 𝑞𝑛 . 6. Tentukan 𝑃 = 𝑄 ;1 . 7. Tentukan 𝐾 = 𝐾𝑃.

Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali 2 1 1 𝑥= 𝑥+ 𝑢. −1 1 2 Tentukan vektor 𝑘1 𝑘2 sedemikian hingga sistem state-feedback mempunyai -1 dan -2 sebagai eigenvaluenya. Hitunglah 𝑘1 , 𝑘2 secara langsung tanpa menggunakan transformasi ekuivalensi.

Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Tentukan state feed-back yang mentransformasikan eigenvalue dari sistem −1 −2 −2 2 𝑥 = 0 −1 1 𝑥+ 0 𝑢 1 0 −1 1 menjadi -1, -2 dan -2.

Minggu Ke-4 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Multi Variabel Untuk kasus ini, pada dasarnya metode atau prosedur yang digunakan sama dengan kasus untuk single variabel, yaitu mentransformasikan sistem semula ke sistem ekuivalen berbentuk kanonik dan selanjutnya menentukan kendali feedbacknya.

Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Jika sistem (1) terkendali, maka terdapat 𝑛 vektor kolom yang bebas linear pada matriks keterkendaliannya. Berikut skema yang dapat digunakan untuk memilih 𝑛 vektor kolom tersebut: Misalkan 𝐵 = 𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑝 . Dimulai dari vektor 𝑏1 , dan selanjutnya ditinjau vektor 𝐴𝑏1 , 𝐴2 𝑏1 , ⋯ , 𝐴𝜇1 ;1 𝑏1 sampai vektor 𝐴𝜇1 𝑏1 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari 𝑏1 , ⋯ , 𝐴𝜇1 ;1 𝑏1 .

Pole Assigment dan Stabilisasi Jika 𝜇1 = 𝑛, maka 𝑏1 , ⋯ , 𝐴𝜇1;1 𝑏1 adalah 𝑛 vektor kolom yang bebas linear. Jika 𝜇1 < 𝑛 , ditinjau 𝑏2 , 𝐴𝑏2 , ⋯ , 𝐴𝜇2;1 𝑏2 sampai vektor 𝐴𝜇2 𝑏2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari himpunan 𝑏1 , ⋯ , 𝐴𝜇1;1 𝑏1 , 𝑏2 , ⋯ , 𝐴𝜇2;1 𝑏2 . Jika 𝜇1 + 𝜇2 < 𝑛, lanjutkan proses seperti di atas sampai diperoleh 𝑛 vektor yang bebas linear.

Pole Assigment dan Stabilisasi Ditinjau sistem dengan 𝑛 = 9 dan 𝑝 = 3 . Diasumsikan dengan skema di atas diperoleh 𝜇1 = 3, 𝜇2 = 2 dan 𝜇3 = 4, maka matriks 𝑀 = 𝑏1 𝐴𝑏1 𝐴2 𝑏1 𝑏2 𝐴𝑏2 𝑏3 𝐴𝑏3 𝐴2 𝑏3 𝐴3 𝑏3 nonsingular. Hitung 𝑀;1 dan nyatakan baris-barisnya sebagai berikut:

Pole Assigment dan Stabilisasi

𝑀;1

𝑒11 𝑒12 𝑒13 𝑒21 = 𝑒22 𝑒31 𝑒32 𝑒33 𝑒34

𝑒13 𝑒13 𝐴 𝑒13 𝐴2 𝑒22 . Bentuk matriks 𝑃 = 𝑒22 𝐴 . 𝑒34 𝑒34 𝐴 𝑒34 𝐴2 𝑒34 𝐴3

Pole Assigment dan Stabilisasi Diperoleh bektuk kanonik : 0 1 0 0 0 1 𝑥 𝑥 𝑥

𝐴 = 𝑃𝐴𝑃;1 = 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 0 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 1 𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥 0 0 0 𝑥

𝑥 1 0 0 𝑥

𝑥 0 1 0 𝑥

𝑥 0 0 1 𝑥

Pole Assigment dan Stabilisasi 0 0 1 0 𝐵 = 𝑃𝐵 = 0 0 0 0 0

0 0 𝑥 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 𝑥

Pole Assigment dan Stabilisasi Diambil kendali feedback 𝑢 = 𝑟 + 𝐾𝑥. Karena bentuk dari 𝐵, maka semua baris dari 𝐴 kecuali tiga baris yang ditandai dengan huruf 𝑥 tidak dipengaruhi oleh kendali feedback. Karena tiga baris tak nol dari 𝐵 bebas linear, maka tiga baris dari 𝐴 yang ditandai dengan huruf 𝑥 dapat ditentukan sebarang, sehingga 𝐾 dapat dipilih sedemikian hingga 𝐴 + 𝐵𝐾 berbentuk:

Pole Assigment dan Stabilisasi 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑑1

1 0 0 0 0 0 0 0 𝑑2

0 1 0 0 0 0 0 0 𝑑3

0 0 1 0 0 0 0 0 𝑑4

0 0 0 1 0 0 0 0 𝑑5

0 0 0 0 1 0 0 0 𝑑6

0 0 0 0 0 1 0 0 𝑑7

0 0 0 0 0 0 1 0 𝑑8

0 0 0 0 0 0 0 1 𝑑9

Pole Assigment dan Stabilisasi Polinomial karakteristik dari 𝐴 + 𝐵𝐾 adalah 𝑠 9 − 𝑑9 𝑠 8 − 𝑑8 𝑠 7 − ⋯ − 𝑑2 𝑠 − 𝑑1 . Karena 𝑑𝑖 dapat ditentukan sebarang, maka akan diperoleh hasil yang diinginkan.

Minggu Ke-5 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali multi variabel 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 𝑥= 2 0 0 1 1 𝑥+ 1 0 𝑢 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 −2 0 1 Tentukan kendali feedback 𝑢 = 𝐾𝑥 + 𝑟 sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari sistem feedbacknya adalah -1, -2±𝑖 dan -1±2𝑖.

Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Tak Terkendali Bentuk Kanonik Jika sistem (1) tidak terkendali, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵 u

Pole Assigment dan Stabilisasi 𝐴11 𝐴12 𝐵 dengan 𝐴 = , 𝐵 = 1 dan sistem 0 𝐴22 0 𝑥1 = 𝐴11 𝑥1 + 𝐵1 𝑢 terkendali. Karena bentuk dari 𝐴 , maka himpunan nilai eigen dari 𝐴 adalah gabungan dari himpunan nilai eigen dari 𝐴11 dan 𝐴22 . Dari bentuk 𝐵 , maka matriks 𝐴22 tidak dipengaruhi oleh pengambilan sebarang kendali feedback berbentu 𝑢 = 𝑟 + 𝐾 𝑥 . Oleh karena itu semua nilai eigen dari 𝐴22 tidak dapat dikendalikan.

Pole Assigment dan Stabilisasi Akan tetapi, karena 𝐴11 , 𝐵1 terkendali, maka semua nilai eigen 𝐴11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa nilai eigen eigen dari (𝐴 + 𝐵𝐾) dapat ditentukan sebarang jika dan hanya jika himpunan nilai-nilai eigen 𝐴22 merupakan himpunan bagian dari nilai-nilai eigen yang ditentukan.

Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem tak terkendali −2 1 0 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 𝑥= 0 0 1 1 0 𝑥 + 0 𝑢. 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 Selidiki apakah sistem di atas dapat distabilkan dengan menggunakan state feedback ! Jika ya, tentukan vektor gain 𝑘 sedemikian hingga sistem closed-loopnya mempunyai eigenvalue -1, -1, -2, -2 dan 2.

Minggu Ke-6 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto

State Estimator atau State Observer State Estimator atau Observer adalah sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya. Observer dari sistem 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢, 𝑦 = 𝐶𝑥 (4) diasumsikan berbentuk 𝑧 = 𝑃𝑧 + 𝑄𝑢 + 𝐾𝑦 𝑥 = 𝑆𝑧 + 𝑇𝑢 + 𝑅𝑦 dengan matriks 𝑃, 𝑄, 𝐾, 𝑆, 𝑇 dan 𝑅 harus ditentukan.

State Estimator atau State Observer Observer harus memenuhi kondisi berikut: 1. Jika 𝑥 𝑡0 = 𝑥(𝑡0 ) pada saat 𝑡0 , maka 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡) untuk 𝑡 ≥ 𝑡0 . 2. Selisih 𝑥 𝑡 − 𝑥(𝑡) harus konvergen ke nol untuk 𝑡 → ∞ terhadap kondisi awal 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑧 0 = 𝑧0 dan kendali 𝑢.

State Estimator atau State Observer Akan dikonstruksikan observer dengan 𝑆 = 𝐼, 𝑇 = 𝑅 = 0. Pilihan ini menghasilkan 𝑥 = 𝑧 dan state dari observer mempunyai peran sebagai aproksimasi dari state 𝑥. Kondisi pertama yang harus dipenuhi oleh observer menghasilkan 𝑄 = 𝐵; 𝑃 = 𝐴 − 𝐾𝐶. Jadi, observer berbentuk 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 + 𝐾(𝑦 − 𝑦) dengan 𝑦 = 𝐶𝑥 .

State Estimator atau State Observer Agar kondisi kedua dipenuhi oleh observer, didefinisikan 𝑒 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥 𝑡 maka diperoleh 𝑒=

𝑑 𝑑𝑡

𝑥 − 𝑥 = 𝐴 − 𝐾𝐶 𝑒.

Karena 𝑒(𝑡) harus konvergen ke nol, maka matriks (𝐴 − 𝐾𝐶) harus stabil asimtotik. Dengan demikian, matriks 𝐾 harus dipilih sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari (𝐴 − 𝐾𝐶) mempunyai bagian real negatif.

State Estimator atau State Observer Teorema berikut menjamin bahwa pemilihan matriks 𝐾 dapat dikerjakan apabila sitem (4) terobservasi. Teorema. Untuk sebarang polinomial 𝑤 𝜆 = 𝜆𝑛 + 𝑤𝑛;1 𝜆𝑛;1 + ⋯ + 𝑤0 terdapat matrik 𝐾 sedemikian hingga det 𝜆𝐼 − 𝐴 − 𝐶𝐾 = 𝑤(𝜆) jika dan hanya jika sistem (4) terobservasi

Minggu Ke-7 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto

State Estimator atau State Observer Berdasarkan teorema di atas dapat disusun algoritma sebagai berikut. Algoritma. 1. Tinjau sistem terkendali 𝐴⊺ , 𝐶 ⊺ . 2. Tentukan matriks 𝐿 sedemikian hingga matriks 𝐴⊺ + 𝐶 ⊺ 𝐿 mempunyai nilai-nilai eigen dengan bagian real negatif. 3. Tentukan 𝐾 = −𝐿⊺ .

State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem 2 1 1 𝑥= 𝑥+ 𝑢 𝑦 = 1 1 𝑥. −1 1 2 Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk 𝑡 → ∞ dengan memilih nilai eigen pengobserver dari *−2 ± 2𝑖+.

State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 𝑥 = 0 1 0 1 −1 𝑥 + 1 𝑢. 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk 𝑡 → ∞.

State Estimator atau State Observer Jika sistem (4) tidak terobservasi, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵u, 𝑦 = 𝐶 𝑥 𝐴11 0 𝐵1 dengan 𝐴 = , 𝐵= , 𝐶= 𝐵2 𝐴21 𝐴22 dan sistem 𝑥1 = 𝐴11 𝑥1 + 𝐵1 𝑢 , 𝐶1 0 𝑦 = 𝐶1 𝑥1 terobservasi.

State Estimator atau State Observer Dari bentuk 𝐴 dan 𝐶 , maka untuk sebarang pemilihan matriks 𝐿, nilai-nilai eigen matriks 𝐴22 pada matriks 𝐴⊺ + 𝐶 ⊺ 𝐿 tidak berubah. Akan tetapi, karena 𝐶1 , 𝐴11 terobservasi, maka semua nilai eigen 𝐴11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa observer untuk sistem (4) tak terobservasi dapat ditentukan jika dan hanya jika semua nilai eigen 𝐴22 mempunyai bagian real yang negatif.

Mingg Ke- 8 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

Decoupling dengan State Feedback Ditinjau sistem (4) dengan banyak input sama dengan banyak output. Matriks transfer dari sistem (4) adalah 𝐺 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 ;1 𝐵. Jika state awal sistem adalah nol, maka hubungan antara input dan output dapat dinyatakan dengan 𝑦1 𝑠 = 𝑔11 𝑠 𝑢1 𝑠 + 𝑔12 𝑠 𝑢2 𝑠 + ⋯ + 𝑔1𝑝 (𝑠)𝑢𝑝 (𝑠) 𝑦2 𝑠 = 𝑔21 𝑠 𝑢1 𝑠 + 𝑔22 𝑠 𝑢2 𝑠 + ⋯ + 𝑔2𝑝 (𝑠)𝑢𝑝 (𝑠) ⋮ 𝑦𝑝 𝑠 = 𝑔𝑝1 𝑠 𝑢1 𝑠 + 𝑔𝑝2 𝑠 𝑢2 𝑠 + ⋯ + 𝑔𝑝𝑝 (𝑠)𝑢𝑝 (𝑠) dengan 𝑔𝑖𝑗 𝑠 elemen ke-𝑖𝑗 dari 𝐺 𝑠 .

Decoupling dengan State Feedback Dari sistem persamaan di atas terlihat bahwa setiap input mengendalikan lebih dari satu output dan setiap output dikendalikan lebih dari satu input. Sistem sedemikian disebut sistem tercouple. Pada umumnya, sistem tercouple sangat sulit untuk dikendalikan. Oleh karena itu, pada bagian ini akan ditentukan kompensator yang mengubah sistem tercouple menjadi sistem terdecouple, yaitu sistem yang setiap inputnya hanya mengendalikan satu output dan setiap outputnya hanya dikendalikan oleh satu input

Decoupling dengan State Feedback Berikut definisi sistem terdouple dalam terminologi matriks transfernya. Definisi. Sistem multivariabel dikatakan terdecouple jika matriks tranfernya adalah matriks diagonal nonsingular. Untuk menentukan kondisi pada 𝐺 (𝑠) agar sistem dapat didecouplekan oleh kendali feedback, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang diperlukan.

Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: 𝑑𝑖 =min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari 𝐺 (𝑠)}-1 dan 𝐸𝑖 = lim 𝑠 𝑑𝑖:1 𝐺𝑖 (𝑠) 𝑠→∞

dengan 𝐺𝑖 (𝑠) adalah baris ke-i dari 𝐺 (𝑠).

Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberika matriks transfer 𝐺 𝑠 =

𝑠:2 𝑠 2 :𝑠:1 1 𝑠 2 :2𝑠:1

1 𝑠 2 :𝑠:2 3 𝑠 2 :𝑠:4

.

Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris pertama 𝐺 𝑠 adalah 1 dan 2, maka 𝑑1 = 0 dan

Decoupling dengan State Feedback 𝑠+2 1 𝐸1 = lim 𝑠 2 = . 1 0 𝑠→∞ 𝑠 + 𝑠 + 1 𝑠2 + 𝑠 + 2 Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris kedua 𝐺 𝑠 adalah 2 dan 2, maka 𝑑1 = 1 dan 1 3 2 𝐸2 = lim 𝑠 𝑠→∞ 𝑠 2 + 2𝑠 + 1 𝑠 2 + 𝑠 + 4 = 1 3.

Minggu Ke-9 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

Decoupling dengan State Feedback Diberikan kendali feedback berbentuk: 𝑢 𝑡 = 𝐾𝑥 + 𝐻𝑟 Dengan mensubstitusikan kendali feedback di atas pada sistem (4) diperoleh sistem feedback: 𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝐾 𝑥 + 𝐻𝑟 𝑦 = 𝐶𝑥 Matriks transfer sistem feedback (5) adalah 𝐺𝑓 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 − 𝐵𝐾

;1

𝐵𝐻.

(5)

Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: 𝑑𝑖 =min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari 𝐺𝑓 (𝑠)}-1 dan 𝐸𝑖 = lim 𝑠 𝑑𝑖:1 𝐺𝑓𝑖 (𝑠) 𝑠→∞

dengan 𝐺𝑓𝑖 (𝑠) adalah baris ke-i dari 𝐺𝑓 (𝑠).

Decoupling dengan State Feedback Teorema berikut menyatakan hubungan antara 𝑑𝑖 dan 𝑑𝑖 dan antara 𝐸𝑖 dan 𝐸𝑖 . Teorema. Untuk sebarang matriks 𝐾 dan matriks nonsingular 𝐻, berlaku 𝑑𝑖 = 𝑑𝑖 dan 𝐸𝑖 = 𝐸𝑖 𝐻.

Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan hasil pada teorema di atas dapat diturunkan karakterisasi untuk suatu sistem dapat didecouplekan atau tidak dalam teorema berikut. Teorema. Suatu sistem dengan matriks transfer 𝐺 (𝑠) dapat didecouplekan oleh state feedback berbentuk 𝑢 = 𝐾𝑥 + 𝐻𝑟 dengan 𝐾 sebarang matriks dan 𝐻 matriks nonsingular jika dan hanya jika matriks 𝐸1 𝐸2 𝐸= ⋮ 𝐸𝑝 nonsingular.

Minggu Ke-10 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan teorema di atas, maka dapat disusun algorima untuk mendecouplekan sistem. Algoritma. 1. Tentukan matriks transfer 𝐺 (𝑠). Jika 𝐺 (𝑠) diagonal nonsingular maka sistem terdecouple. Jika tidak demikian, sistem tercouple, lanjutkan ke langkah 2. 2. Tentukan 𝑑𝑖 dan 𝐸𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑝. 𝐸1 𝐸2 3. Tentukan 𝐸 = ⋮ . 𝐸𝑝

Decoupling dengan State Feedback Jika matriks 𝐸 singular, sistem tak dapat didecouplekan. Jika 𝐸 nonsingular, sistem dapat didecouplekan, lanjutkan ke langkah 4. 𝐶1 𝐴𝑑1 :1 𝐶2 𝐴𝑑2 :1 4. Tentukan matriks 𝐹 = ⋮ 𝐶𝑝 𝐴𝑑𝑝 :1 5. Tentukan kendali feedback 𝑢 = 𝐾𝑥 + 𝐻𝑟 dengan matriks 𝐾 = −𝐸 ;1 𝐹 dan 𝐻 = 𝐸 ;1 .

Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberikan sistem 0 1 0 1 0 𝑥= 0 0 1 𝑥+ 0 1 𝑢 −2 −4 −3 −1 1 0 1 −1 𝑦= 𝑥 1 2 1 Selidiki apakah sistem terdecouple atau tidak. Jika tidak, apakah sistem dapat didecouplekan. Jika ya, tentukan state feedback yang mendecouplekan sistem.

Kendali Optimal Masalah kendali optimal: Diberikan sistem 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 yang didefinisikan pada interval waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, kondisi awal 𝑥 0 = 𝑥0 , Himpunan kendali 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈 dan fungsi obyektif 𝑇

𝐽 = 𝜓(𝑥 𝑇 ) +

𝑙 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 0

yang harus dimaximumkan.

Kendali Optimal Hamiltonian Untuk menyelesaikan masalah kendali optimal, cara yang dilakukan adalah dengan membentuk fungsi Obyektif yang dimodifikasi: 𝑇

𝐽=𝐽−

𝜆 𝑡

𝑇

𝑥 𝑡 − 𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡

𝑑𝑡

0

dan mendefinisikan fungsi Hamiltonian: 𝐻 𝜆, 𝑥, 𝑢 = 𝜆𝑇 𝑓 𝑥, 𝑢 + 𝑙(𝑥, 𝑢). Dengan Hamiltonian, maka fungsi obyektif yang dimodifikasi menjadi: 𝑇

𝐽=𝜓 𝑥 𝑇

𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 − 𝜆 𝑡 𝑇 𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 0

Minggu Ke-11 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

Kendali Optimal Misalkan fungsi kendali 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈 mengalami perubahan kecil menjadi 𝑣(𝑡) ∈ 𝑈 , maka diperoleh state trayektori baru 𝑥 𝑡 + 𝛿𝑥 𝑡 . Jika 𝛿𝐽 menyatakan perubahan yang berkorespondensi pada fungsi obyektif yang dimodifikasi makadiperoleh 𝛿𝐽 = 𝜓 𝑥 𝑇 + 𝛿𝑥 𝑇 − 𝜓(𝑥(𝑇) 𝑇

𝐻 𝜆, 𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑣 − 𝐻(𝜆, 𝑥, 𝑢) − 𝜆 𝑡 𝑇 𝛿𝑥 𝑑𝑡

+ 0

Kendali Optimal Karena 𝑇

𝑇

𝜆𝑇 𝛿𝑥 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑇 𝑇 𝛿𝑥 𝑇 − 𝜆 0 𝑇 𝛿𝑥 0 − 0

𝜆𝑇 𝛿𝑥𝑑𝑡 0

maka 𝛿𝐽 = 𝜓 𝑥 𝑇 + 𝛿𝑥 𝑇 + 𝜆 0 𝑇 𝛿𝑥 0

− 𝜓(𝑥 𝑇 −𝜆 𝑇

𝑇

𝛿𝑥 𝑇

𝑇

𝐻 𝜆, 𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑣 − 𝐻 𝜆, 𝑥, 𝑢 + 𝜆𝑇 𝛿𝑥 𝑑𝑡

+ 0

Kendali Optimal Karena 𝑇

𝐻 𝜆, 𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑣 − 𝐻(𝜆, 𝑥, 𝑢) 𝑑𝑡 0

𝑇

=

𝐻𝑥 𝜆, 𝑥, 𝑢 𝛿𝑥 + 𝐻 𝜆, 𝑥, 𝑣 − 𝐻(𝜆, 𝑥, 𝑢) 𝑑𝑡 0

maka 𝛿𝐽 = 𝜓𝑥 (𝑥 𝑇 − 𝜆 𝑇

𝑇

𝛿𝑥 𝑇 + 𝜆 0 𝑇 𝛿𝑥 0

𝑇

𝑇

𝐻𝑥 (𝜆, 𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑇 𝛿𝑥𝑑𝑡 +

+ 0

𝐻 𝜆, 𝑥, 𝑣 − 𝐻(𝜆, 𝑥, 𝑢) 𝑑𝑡 0

Karena 𝛿𝑥 0 = 0, maka suku kedua persamaan terakhir menjadi nol.

Kendali Optimal Persamaan Adjoint Pilih 𝜆(𝑡) sebagai solusi dari persamaan diferensial adjoint: −𝜆 𝑡 = 𝐻𝑥 (𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) dengan kondisi akhir 𝜆(𝑇)𝑇 = 𝜓𝑥 (𝑥 𝑇 ). Dari sini, maka 𝑇

𝛿𝐽 =

𝐻 𝜆 𝑡 ,𝑥 𝑡 ,𝑣 𝑡 0

− 𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) 𝑑𝑡

Kendali Optimal Jika fungsi kendali 𝑢 adalah kendali optimal, maka untuk sebarang 𝑡, berlaku 𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑣 𝑡 ) ≤ 𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) untuk semua 𝑣 ∈ 𝑈. Jadi, untuk setiap 𝑡, nilai 𝑢(𝑡) dalam kendali optimal mempunyai sifat memaksimalkan fungsi Hamiltonian.

Kendali Optimal Prinsip Maximum Hasil di atas merupakan prinsip maksimum untuk teorema berikut. Teorema. Jika 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈 kendali optimal dan 𝑥(𝑡) menyatakan trayektori state untuk masalah kendali optimal, maka terdapat trayektori adjoint 𝜆(𝑡) sedemikian hingga memenuhi 𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑢(𝑡) 𝑥 0 = 𝑥0 −𝜆 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑇 𝑓𝑥 (𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 + 𝑙𝑥 (𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 𝜆(𝑇)𝑇 = 𝜓𝑥 (𝑥 𝑇 ) Untuk semua 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, dan 𝑣 ∈ 𝑈 𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑣 𝑡 ) ≤ 𝐻(𝜆 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 ) Dengan 𝐻 adalah fungsi Hamiltonian 𝐻 𝜆, 𝑥, 𝑢 = 𝜆𝑇 𝑓 𝑥, 𝑢 + 𝑙(𝑥, 𝑢).

Minggu Ke-12 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem 𝑥 𝑡 =𝑢 𝑡 𝑥 0 =0 𝑢 𝑡 ≤1 Maksimumkan fungsi obyektif 𝐽 = 𝑥(𝑇)

Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) 𝑥 0 =0 𝑥 0 =0 Maksimumkan fungsi obyektif 𝐽=𝑥 𝑇 −

1 𝑇 2 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡. 0 2

Optimisasi Linear Kuadratik Masalah Optimisasi Linear Kuadratik: (kasus time varying) Diberikan sistem 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝐵(𝑡)𝑢 𝑡 yang didefinisikan pada interval waktu 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, kondisi awal 𝑥 0 = 𝑥0 , Himpunan kendali 𝑢(𝑡) ∈ 𝑈 dan fungsi obyektif 1 𝑇 𝐽= 𝑥 𝑡 𝑇 𝑄 𝑡 + 𝑢 𝑡 𝑇 𝑅 𝑡 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 2 0 yang harus diminimumkan.

Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan adjoint: 𝑇

−𝜆 𝑡 = 𝜆 𝑡 𝑇 𝐴 𝑡 − 𝑥 𝑡 𝑇 𝑄(𝑡) dengan kondisi akhir 𝜆 𝑇 = 0. Fungsi Hamiltonian: 𝐻 = 𝜆 𝑡 𝑇𝐴 𝑡 + 𝜆 𝑡 𝑇𝐵 𝑡 𝑢 𝑡 1 1 𝑇 − 𝑥 𝑡 𝑄 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝑢 𝑡 𝑇 𝑅 𝑡 𝑢(𝑡) 2 2

Optimisasi Linear Kuadratik Kondisi untuk memaksimalkan Hamiltonian terhadap 𝑢(𝑡) adalah 𝐻𝑢 = 0, atau 𝜆 𝑡 𝑇𝐵 𝑡 − 𝑢 𝑡 𝑇𝑅 𝑡 = 0 sehingga diperoleh 𝑢 𝑡 = 𝑅 𝑡 ;1 𝐵 𝑡 𝑇 𝜆 𝑡 . Jika hasil ini disubstitusikan ke sistem awal, maka diperoleh 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝑥 𝑡 + 𝐵 𝑡 𝑅 𝑡 ;1 𝐵 𝑡 𝑇 𝜆 𝑡 𝜆 𝑡 = 𝑄 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝐴 𝑡 𝑇𝜆 𝑡 dengan kondisi 𝑥 0 = 𝑥0 𝜆 𝑇 =0

Minggu Ke-13 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan Riccati Karena sistem linear, maka 𝑥(𝑡) dan 𝜆(𝑡) bergantung pada 𝑥0 , sehingga 𝜆 𝑡 bergantung pada 𝑥 𝑡 . Dari sini, akan dicoba memilih solusi berbentuk 𝜆 𝑡 = −𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 dengan 𝑃 𝑡 matriks yang masih harus ditentukan.

Optimisasi Linear Kuadratik Dengan mensubstitusikan 𝜆 𝑡 = −𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 ke persamaan terakhir diperoleh 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑡 − 𝐵 𝑡 𝑅 𝑡 ;1 𝐵 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 𝑥(𝑡) −𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑄 𝑡 − 𝐴 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 𝑥 𝑡 Kalikan ke dua ruas persamaan pertama dengan 𝑃(𝑡) dan tambahkan ke persamaan kedua, maka diperoleh 0 = ,𝑃 𝑡 − 𝑃 𝑡 𝐴 𝑡 + 𝐴 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 − 𝑃 𝑡 𝐵 𝑡 𝑅 𝑡 ;1 𝐵 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 + 𝑄(𝑡)-𝑥(𝑡). Persamaan ini dipenuhi untuk sebarang 𝑥(𝑡) jika 𝑃 𝑡 dipilh sedemikian memenuhi persamaan diferensial matriks −𝑃 𝑡 = 𝑃 𝑡 𝐴 𝑡 + 𝐴 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 − 𝑃 𝑡 𝐵 𝑡 𝑅 𝑡 ;1 𝐵 𝑡 𝑇 𝑃 𝑡 + 𝑄(𝑡) Karena 𝜆 𝑇 = 0, maka diperoleh 𝑃 𝑇 = 0. Persamaan diferensial di atas disebut persamaan diferensial Riccati.

Optimisasi Linear Kuadratik Kasus Time Invariant Misalkan semua matriks dalam masalah optimisasi linear kuadratik adalah matriks konstan dan 𝑇 → ∞, maka diperoleh persamaan aljabar Riccati: 0 = 𝑃𝐴 + 𝐴𝑇 𝑃 − 𝑃𝐵𝑅;1 𝐵𝑇 𝑃 + 𝑄. Dalam kasus ini, kendali optimalnya adalah 𝑢 𝑡 = −𝑅 𝑡 ;1 𝐵𝑇 𝑃𝑥 𝑡 .

Optimisasi Linear Kuadratik Contoh. Diberikan sistem linear 𝑥1 0 1 𝑥1 0 = + 𝑢 𝑥 𝑥2 0 0 2 1 𝑥1 0 = 𝑥2 0 = 0 Maksimumkan fungsi obyektif 1 𝑇 𝐽 = 𝑥1 𝑇 − 𝑢 𝑡 2 𝑑𝑡 . 2 0