ATLAS FUNKCÍ
Každý absolvent(ka) gymnázia či střední odborné školy zaměřené na techniku by si měl(a) do života po maturitě odnést povědomí o elementárních funkcích, jejich seznamu a vlastností jednotlivých druhů. Měl(a) by umět bez zaváhání načrtnout jejich graf a pokud mu(jí) je předložen graf okamžitě poznat, o kterou elementární funkci jde. Tento text se snaží být takovým atlasem elementárních funkcí podobně jako atlas hub, ptáků či květin. Elementární funkce lze rozdělit do několika skupin: Polynomické konstantní lineární (přímá úměra) kvadratická polynomická Racionální lomené reciproká (nepřímá úměra) lineární lomená racionální lomená Mocninné mocninná
Exponenciální exponenciální logaritmická Goniometrické sinus kosinus tangent kotangent Ostatní absolutní hodnota signum celá část desetinná část
1
KONSTANTNÍ FUNKCE
název: konstantní funkce předpis: y = k zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: jednoprvková množina {k}
graf: křivka: přímka rovnoběžná s osou x asymptoty: nemá funkce inverzní: konstantní funkce není prostá, funkce inverzní neexistuje derivace: y´= 0 užití: poznámka: protože grafem je přímka - linea, je konstantní funkce zahrnována pod funkce lineární zvláštní případ: funkce y = 0 se nazývá nulová, grafem je osa x zpět
2
LINEÁRNÍ FUNKCE
název: lineární funkce (přímá úměra) předpis: y = kx + q , k 0 zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: celá množina reálných čísel R graf: sklon přímky k ose x určuje znaménko koeficientu k
křivka: přímka asymptoty: nemá funkce inverzní: lineární funkce je prostá, funkce inverzní je opět lineární
y
1 x k
q k
derivace: y´= k užití: velmi pestré; lze říci, když nevíme jak na to, použijeme lineární funkci; lineární interpolace; všude tam, kde jsou jevy spolu svázány přímo úměrně poznámka: a) grafem je přímka - linea, odtud název; b) z důvodu podobnosti grafu k ní bývá připojena také konstantní funkce jako součást c) žádná lineární funkce nemá za graf přímku rovnoběžnou s osou y zvláštní případ: zpět
3
KVADRATICKÁ FUNKCE
název: kvadratická funkce předpis: y
ax 2
bx c , a 0
zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R
4ac b 2 obor hodnot: pro a>0 interval , 4a
) , pro a<0 interval (
4ac b 2 , 4a
graf: směr otevření určuje znaménko koeficientu a
křivka: parabola asymptoty: nemá funkce inverzní: kvadratická funkce není prostá derivace: y´= 2ax + b užití: velmi pestré; spolu s lineární funkcí je kvadratická funkce numericky i logicky dostupná široké veřejnosti poznámka: v bodě x zvláštní případ: zpět
b má funkce extrém; pro a>0 minimum a pro a<0 maximum 2a
4
POLYNOMICKÁ FUNKCE
název: polynomická funkce stupně n předpis: y
a n xn
a n 1x n
1
a n 2 xn
2
... a 2 x 2
a1 x a 0 , a n 0, a n 1 , a n 2 ,... a 2 , a 1 , a 0
zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: pro lichý stupeň celé R, pro sudý stupeň nelze obecně říci graf: příliš individuální křivka: přímka, parabola, další nejsou pojmenovány asymptoty: nemá funkce inverzní: polynomická funkce obecně není prostá; záleží na konkrétním zadání derivace: y na n x n 1 (n 1)a n 1x n 2 (n 2)a n 2 x n 3 ... 2a 2 x a1 užití: kromě přímého zadání se používá k aproximaci jiných funkcí poznámka: zvláštní případ: některé stupně mají zvláštní pojmenování n=0 konstantní n=1 lineární n=2 kvadratická n=3 kubická n=4 bikvadratická zpět
R
5
RECIPROKÁ FUNKCE
název: reciproká funkce (nepřímá úměra) předpis: y
k , k 0 x
zařazení: patří do skupiny racionálních lomených funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R, kromě 0 obor hodnot: celá množina reálných čísel R, kromě 0 graf: tvar křivky závisí na znaménku koeficientu k
křivka: rovnoosá hyperbola asymptoty: má dvě asymptoty, které jsou totožné se souřadnými osami x a y funkce inverzní: reciproká funkce je prostá, funkce inverzní je táž reciproká funkce
y derivace: y
k x
k x2
užití: velmi časté; všude tam, kde jsou jevy spolu svázány nepřímo úměrně poznámka: reciproká funkce je zvláštním případem funkce lineární lomené zvláštní případ: zpět
6
LINEÁRNÍ LOMENÁ FUNKCE
název: lineární lomená funkce předpis: y
ax b , c 0, cx d
a b
ad bc
c d
0
zařazení: patří do skupiny racionálních lomených funkcí definiční obor: množina reálných čísel R\{-d/c} obor hodnot: množina reálných čísel R\{a/c} graf: tvar křivky závisí na znaménku determinantu
křivka: rovnoosá hyperbola asymptoty: má dvě asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami x a y: přímka rovnoběžná s osou y a protínající osu x v bodě -d/c. přímka rovnoběžná s osou x a protínající osu y v bodě a/c. funkce inverzní: lineární lomená funkce je prostá, funkce inverzní je též lineární lomená funkce
y derivace: y
dx b cx a
(cx d ) 2
užití: velmi časté; všude tam, kde jsou jevy spolu svázány nepřímo úměrně s počáteční konstantou K, kde K dostaneme rozkladem y
ax b cx d
a c
poznámka: zvláštní případ: reciproká funkce, kde a=d=0, c=1, b=k a tedy zpět
K , K cx d k
c
7
RACIONÁLNÍ LOMENÁ FUNKCE
název: racionální lomená funkce stupně n/m předpis: y
a nxn bmxm
a n 1 x n 1 .... a 1 x a 0 , b m 1 x m 1 .... b1 x b 0 a n 0, a n 1 , a n 2 ,... a 2 , a 1 , a 0 , b m
0, b m 1 , b m 2 ,... b 2 , b1 , b 0 R
zařazení: patří do skupiny racionálních lomených funkcí definiční obor: množina reálných čísel R, kromě reálných kořenů rovnice
bm xm
b m 1x m 1
bm 2 xm
2
... b2 x 2
b1x b0
0
b1x b0
0
obor hodnot: nelze obecně říci graf: příliš individuální křivka: hyperbola, další není pojmenováno asymptoty: má rovnoběžné asymptoty s osou y a v kořenech rovnice
bm xm
b m 1x m 1
bm 2 xm
2
... b2 x 2
Je-li n<m, pak jednou asymptotou je osa x. Jsou-li n=m, pak má jednu asymptotu rovnoběžnou s osou x a protínající osu y v bodě
y
am . bm
Platí-li n=m+1, pak má jednu šikmou asymptotu. funkce inverzní: racionální lomená funkce není obecně prostá, funkce inverzní obecně neexistuje derivace: nutno použít pravidel pro derivování na konkrétní případ užití: poznámka: zvláštní případ: některé stupně mají zvláštní pojmenování n=0, m=1 reciproká n=1, m=1 lineární lomená zpět
8
MOCNINNÁ FUNKCE
název: mocninná funkce s reálným exponentem předpis: y
x t , x R, t R
zařazení: definiční obor: množina kladných reálných čísel R obor hodnot: množina kladných reálných čísel R graf: všimněte si, jak exponent t ovlivňuje tvar křivky
křivka: asymptoty: pro t<0 jsou souřadné osy asymptotami, jinak nemá funkce inverzní: mocninná je prostá, funkce inverzní je též mocninná funkce
y derivace: y
tx
t x
x
1 t
t 1
užití: velmi časté hlavně v ekonomii a fyzice poznámka: mocninná funkce má varianty podle hodnot jichž může nabývat exponent; srovnejte s funkcí exponenciální zvláštní případ: grafy všech mocninných funkcí procházejí bodem [1; 1] zpět
9
EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE
název: exponenciální funkce o základu z předpis: y
z x , z>0, z 1
zařazení: patří do skupiny exponenciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: množina kladných reálných čísel R graf:
křivka: exponenciela asymptoty: má jednu asymptotu, kterou je osa x funkce inverzní: exponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logaritmická funkce o základu z
y
derivace: y
log z x z x ln z , speciální případ pro z=e: ( e x )
ex
užití: velmi časté v ekonomii, fyzice a astronomii poznámka: každou exponenciální funkci o základu z lze převést na exponenciální funkci o x základu e - Eulerovo číslo: y z e x ln z zvláštní případ: pro z=e je derivace funkce rovna stejné funkci grafy všech exponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1] zpět
10
LOGARITMICKÁ FUNKCE
název: logaritmická funkce o základu z předpis: y
log z x , z>0, z 1
zařazení: patří do skupiny exponenciálních funkcí definiční obor: množina kladných reálných čísel R obor hodnot: množina všech reálných čísel R graf: grafy logaritmické funkce a exponenciální funkce jsou zrcadlové podle osy 1. a 3. kvadrantu
křivka: exponenciela (někdy se uvádí logaritmická křivka) asymptoty: má jednu asymptotu, kterou je osa y funkce inverzní: logaritmická funkce je prostá, funkcí inverzní je exponenciální funkce o základu z
y derivace: y
zx
1 , speciální případ pro z=e: (ln x) x ln z
1 x
užití: velmi časté v ekonomii, fyzice a astronomii poznámka: funkce dekadického a přirozeného logaritmu je vydávána v tabulkách; logaritmus převádí násobení na sčítání, mocnění na násobení; byl to nástroj, který pomohl Keplerovi s výpočtem pohybu planet a zformulování jeho pohybových zákonů každou logaritmickou funkci o základu z lze převést na logaritmickou funkci o základu e Eulerovo číslo: y
log z x
ln x ln z
zvláštní případ: některé základy mají zvláštní pojmenování z=10 dekadický logaritmus y=log x z = e přirozený logaritmus y=ln x grafy všech logaritmických funkcí procházejí bodem [1; 0] zpět
11
FUNKCE SINUS
název: sinus předpis: y = sin x zařazení: patří do skupiny goniometrických funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-1; 1> graf:
křivka: sinusoida asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce sinus není prostá derivace: y´= cos x užití: velmi časté v trigonometrii, fyzice a astronomii poznámka: kromě rovinné trigonometrie je také sférická trigonometrie zvláštní případ: zpět
12
FUNKCE KOSINUS
název: kosinus předpis: y = cos x zařazení: patří do skupiny goniometrických funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <-1; 1> graf: grafy funkce sinus a kosinus jsou stejné jen posunuté o /2
křivka: sinusoida asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce kosinus není prostá derivace: y´= - sin x užití: velmi časté v trigonometrii, fyzice a astronomii poznámka: kromě rovinné trigonometrie je také sférická trigonometrie zvláštní případ: zpět
13
FUNKCE TANGENT
název: tangent předpis: y = tg x zařazení: patří do skupiny goniometrických funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R kromě všech lichých násobků čísla /2 obor hodnot: množina všech reálných čísel R graf:
křivka: tangentoida asymptoty: nekonečně mnoho rovnoběžných s osou y protínající osu x v lichých násobcích čísla /2 funkce inverzní: funkce tangent není prostá derivace: y
1 cos2 x
užití: v trigonometrii, fyzice a astronomii poznámka: kromě rovinné trigonometrie je také sférická trigonometrie zvláštní případ: zpět
14
FUNKCE KOTANGENT
název: kotangent předpis: y = cotg x zařazení: patří do skupiny goniometrických funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R kromě všech sudých násobků čísla /2 (všech násobku ) obor hodnot: množina všech reálných čísel R graf:
křivka: tangentoida asymptoty: nekonečně mnoho rovnoběžných s osou y protínající osu x v sudých násobcích čísla /2 funkce inverzní: funkce kotangent není prostá derivace: y
1 sin 2 x
užití: v trigonometrii, fyzice a astronomii poznámka: kromě rovinné trigonometrie je také sférická trigonometrie zvláštní případ: zpět
15
FUNKCE ABSOLUTNÍ HODNOTA
název: absolutní hodnota předpis: y = |x| zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: množina všech nezáporných reálných čísel R 0 graf:
křivka: asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce absolutní hodnota není prostá derivace: y
1 neexist. 1
pro x 0 pro x 0 pro x 0
užití: v matematice a ekonomii poznámka: v bodě nula má funkce bod zvratu zvláštní případ: platí vztah |x| = sgn(x) x a také x = sgn(x) |x| zpět
16
FUNKCE SIGNUM
název: signum (znaménko)
předpis: y
sgn x
1 0 1
pro
x 0 x 0 x 0
zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: tříbodová množina {-1; 0; 1} graf:
křivka: asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce signum není prostá derivace: y´=0 pro x 0, pro x=0 neexistuje užití: v matematice a ekonomii poznámka: v bodě nula je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah |x| = sgn(x) x a také x = sgn(x) |x| zpět
17
FUNKCE CELÁ ČÁST
název: celá část předpis: y = [x] , každému reálnému číslu je přiřazeno nejbližší nižší celé číslo zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: množina všech celých čísel graf:
křivka: asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce celá část není prostá derivace: y´=0 pro x Z , pro x Z neexistuje užití: v matematice a ekonomii Matematické zaokrouhlování na celá čísla je dáno vzorcem: y = [x + 0,5] V zákoně o dani z příjmů se praví, že základ daně se zaokrouhlí na tisíce korun nahoru; odpovídající vzorec má tvar y = 1000[x/1000 + 0,999] poznámka: v každém celočíselném bodě je funkce nespojitá zvláštní případ: platí vztah x = [x] + {x} zpět
18
FUNKCE DESETINNÁ ČÁST
název: desetinná část předpis: y = {x} , každému reálnému číslu je přiřazena jeho desetinná část zařazení: patří do skupiny speciálních funkcí definiční obor: množina všech reálných čísel R obor hodnot: interval <0; 1) graf:
křivka: asymptoty: nemá funkce inverzní: funkce desetinná část není prostá derivace: y´=1 pro x Z , pro x Z neexistuje užití: v matematice a ekonomii poznámka: v každém celočíselném bodě je funkce nespojitá funkce je periodická s periodou 1 zvláštní případ: platí vztah x = [x] + {x} zpět
