III. TERMODYNAMIKA PROUDÍCÍCH PLYNŮ A PAR Termodynamika plynů a par sleduje změny stavu látek za předpokladu, že jsou látky v klidu, nebo že vliv rychlosti proudění látky má zanedbatelný vliv na změnu termodynamického stavu látky. Kinetická energie proudící vzdušniny menší než 420 J·kg-1 odpovídá rychlosti proudění do 30 m·s-1. Protože hodnota energie je nepatrná, lze do uvedené rychlosti uvažovat změny stavu jako v klidné látce. Termodynamicky stav klidného plynu je jednoznačně určen stavovými veličinami p, v, (V), T. Termodynamický stav proudícího plynu určují stavové veličiny (p, v, T) a veličiny velikosti a směru rychlosti proudění v každém místě pohybující se látky. Takové případy nastávají v dmychadlech, kompresorech, turbínách atp. Změna kinetické energie způsobená změnou rychlosti proudění (w) a změna potenciální energie proudící látky mají podstatný vliv na změnu jejího termodynamického stavu. Je proto nutné nalézt zákony, které popisují vzájemnou závislost těchto změn. 1.0 Druhy proudění Při poznávání závislostí proudících plynů a par se rovněž používá idealizace proudícího media. Z hlediska termodynamiky proudícího plynu je látka ideální tehdy, jestliže tato proudí bez ztrát energie proudu. U skutečného plynu k těmto ztrátám dochází vlivem vnitřního tření, turbulence proudu a víření samotných částic plynu. Dále se rozlišuje jedno a vícerozměrné proudění. 1.1 Jednorozměrné proudění Je nejjednodušším druhem proudění, při němž musí být splněny tyto podmínky: -
průtočný průřez je velmi malý a mění se spojitě jen velmi zvolna,
-
poloměr event. zakřivení je velmi značný,
-
proudící látka je hydrodynamicky ideální, tj. nevazká. Jsou-li tyto podmínky splněny, jsou v libovolném kolmém průřezu trubice tytéž
hodnoty veličin stavu (p, v, T) i rychlosti (w). Taková trubice se nazývá proudová trubice a její obsah sestává z proudových vláken. Tento stav proudění nastává vyjímečně.
2
1.2 Laminární a turbulentní proudění Nastává při proudění vazkých tekutin. Při laminárním proudění je maximální rychlost proudění větší než u turbulentního proudění (obr. č. III-1). Této maximální rychlosti je dosaženo v ose proudění.
Obr. č. III-1 Rychlostní profil proudění U laminárního proudění se jednotlivé vrstvy pohybují vůči sobě rovnoběžně. Jednotlivé vrstvy si lze představit jako vlákna, která se po sobě pohybují různou rychlostí. Vlákna rychlejší vlivem tření urychlují vlákna (vrstvy) pomalejší a opačně – vlákna pomalejší brzdí vlákna rychlejší (obr. č. III-2). Vlivem tohoto tření vzniká mezi vrstvami ⎛ ∂w ⎞ ⎟⎟ , tj. poměrnému tečné napětí (τ), které je podle Newtona úměrné gradientu rychlosti ⎜⎜ ⎝ ∂y ⎠ přírůstku rychlosti (w) ve směru (y) kolmém ke směru proudění: τ = η⋅
∂w ∂y
(III – 1)
Obr. č. III-2 Tečné napětí při proudění vazké vzdušniny Součinitel úměrnosti η se nazývá součinitelem vnitřního tření nebo častěji dynamickou viskozitou η=
τ ∂w ∂y
[N·s·m-2] = [Pa·s] (III – 2)
3
Laminární proudění nastává buď při nízkých rychlostech proudění nebo při vysokém součiniteli vazkosti či dynamické viskozitě. Při turbulentním proudění dochází kromě postupného pohybu částic k jejich neuspořádanému pohybu v jiném směru, nežli je směr proudění. Rychlost částic v jistém průřezu není stálá, nýbrž kolísá kolem určité střední hodnoty. Kriterium, podle kterého se rozlišuje laminární a turbulentní proudění je hodnota Reynoldsova čísla (Re):
Re =
ws ⋅ d ν
[-]
(III – 3)
[m2·s-1]
(III – 4)
kde ws
- je střední rychlost proudění (obr. č. III-1) [m·s-1]
d
- je charakteristický rozměr (průměr) [m]
ν
- je kinematická viskozita [m2·s-1].
Kinematická viskozita (ν) je dána poměrem: ν=
η ρ
kde ρ
- je měrná hmotnost látky [kg·m-3]
η
- dynamická viskozita [Pa·s] Pro vznik turbulentního proudění existuje jednoznačná spodní hranice Reynoldsova
čísla. Při proudění kruhovým průřezem to je Re = 2320. Při nižších hodnotách je proudění laminární. Nad touto hodnotou navazuje oblast smíšeného (přechodného) proudění, tj. turbulence začíná v některých místech průtočného průřezu a rozšiřuje se na celý průřez postupně. Podle povahy látky a trubice (kanálu) může k úplné turbulenci dojít také až při Re = 10 000. 1.3 Proudění adiabatické a izoentropické V praxi může nastat proudění látky bez výměny tepla s okolím, resp. se zanedbatelnou výměnou tepla. Takové proudění se nazývá adiabatické, které má dvě varianty:
4
1. Adiabatické proudění termodynamicky i hydrodynamicky ideální tekutiny, které probíhá bez aerodynamických a hydraulických odporů a tedy bez ztrát energie. Při takovém proudění se entropie proudící látky nemění, a proto se nazývá izoentropické. 2. Adiabatické proudění reálného vazkého plynu je provázeno energetickými „ztrátami“, které způsobuje odpor kanálu a vnitřní tření proudící látky. Práce potřebná k překonání těchto odporů se na tomto místě přemění v teplo a zůstává v proudící látce. Tento děj je nevratný, při němž roste entropie látek, proudění je sice adiabatické, protože se teplo nepřivádí z vnějšku, ale není isoentropické. 1.4 Machovo číslo Při vyšetřování charakteru proudění stlačitelných medií má velký význam rychlost zvuku. Z akustiky je známo, že šíření zvuku je provázeno podélným vlněním vzdušniny – stlačitelného média. Je to vlastně postupné zhušťování a zřeďování prostředí, které se od zdroje šíří v kulových vlnách. Poloměr této zvukové koule roste přímo úměrně s časem. Každou sekundu vzroste o délku proběhnutou rychlostí zvuku (obr. č. III-3).
Obr. č. III-3 Šíření vzduchových vln při klidném a pohybujícím se zdroji Je-li zdroj zvukové vlny v klidu (a), tvoří zvukové vlny soustředné kružnice. Pohybuje-li se zdroj zvukové (tlakové) poruchy podzvukovou rychlostí w < a, pak čela zvukových vln předbíhají zdroj “z“ (b). Pohybuje-li se zdroj rychlosti zvuku w = a, pak zdroj “z“ leží n vrcholu vln (c). Konečně pohybuje-li se zdroj nadzvukovou rychlostí w > a, předbíhá zdroj “z“ čela vln (d). Tečny k zvukovým kružnicím ze zdroje “z“ se nazývají
5
Machovy čáry, které s osou souměrnosti svírají Machův úhel (φ). Vztah rychlosti proudění (w) a Machovým úhlem určuje rovnice (obr. č. III-4): sinϕ =
a 1 = w M
(III – 5)
kde M je Machovo číslo dané poměrem rychlostí proudu (w) a rychlosti zvuku (a):
M=
w a
[-]
(III – 6)
je to bezrozměrná veličina používaná v dynamice proudění stlačitelných medií jako kriterium dynamické podobnosti.
Obr. č. III-4 Machův úhel Protože je zvuk způsoben malou tlakovou (p) poruchou vycházející z určitého zdroje, která způsobuje změnu hustoty prostředí (ρ =
1 ) a tedy způsobuje vlastně změnu v
stavu vzdušniny, je rychlost zvuku za těchto podmínek funkcí stavových veličin. Na zvukové kružnici (obr. č. III-3), resp. kouli jsou veličiny stavu (p, ρ =
1 , T) konstantní. v
Proto lze termodynamický stav plynu charakterizovat kromě jiného také rychlostí zvuku v plynu za tohoto stavu. Okamžitý místní stav proudu pak charakterizuje poměr rychlosti (w) a rychlosti zvuku (a), tj. Machovo číslo (M). Rychlost zvuku (a) lze obecně pro libovolný průřez trubice, v němž je plyn o stavu (p, ρ =
1 , T) vyjádřit vztahem odvozeným v akustice: v ⎛ δp ⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δρ ⎠s
(III – 7)
6
tj. poměrem změny tlaku v závislosti na změně měrné hmotnosti, při stálé entropii (s = konst). Z rovnice isoentropy: p · vκ = p · ρ-κ = konst
(III – 8)
lze po derivaci získat: -κ · ρ-κ-1 · p ·∂ρ + ρ-κ · ∂p = 0 −
κ ⋅ p ⋅ ∂ρ ∂p + κ =0 ρ κ +1 ρ
nebo κ⋅
p ⋅ ρ κ ∂p = ρ κ +1 ∂ρ
∂p p = κ ⋅ = κ ⋅r ⋅T ρ ∂ρ
(III – 9)
Z porovnání rovnice III – 7 a III – 9 vyplývá, že rychlost zvuku je dána: a = κ⋅
p = κ ⋅r ⋅T ρ
(III – 10)
1.5 Zákon o zachování hmoty a rovnice kontinuity Při ustáleném průtoku protéká průřezy S1, S2 (obr. č. III-5) totéž hmotnostní průtočné množství Qm [kg·s-1], pro něž platí: Qm = Qv1·ρ1 = Qv2·ρ2 nebo pro ρ =
1 v
Qm =
Q v1 Q = v2 v1 v2
(III – 11)
pro objemový průtok Qv [m3·s-1] platí: Qv1 = S1·w1 , Qv2 = S2·w2
(III – 12)
pak Qm =
S1 ⋅ w 1 S ⋅w = 2 2 v1 v2
Takže S·w·ρ =
S⋅ w = konst v
(III – 13)
7
Obr. č. III-5 Určení rovnice kontinuity což je rovnice kontinuity stlačitelných látek, která současně vyjadřuje zákon o zachování hmoty. Rovnice III – 12 platí obecně – tedy i pro nestlačitelné látky, u nichž je měrný objem konstantní, takže se rovnice zjednoduší na tvar: S·w = konst
(III – 14)
Většinu výpočtu lze provést pro jednotku hmotnosti. Průtočný průřez, kterým proudí tato jednotka hmotnosti (1 kg) za jednotku času (1 s) se nazývá měrný průtočný průřez “s“. Rovnice kontinuity má pak tvar: a) při vyjádření měrnou hmotností b) při vyjádření měrným objemem ρ·w·s = konst. = 1,
s⋅w = konst. = 1 v
(III – 15)
po logaritmování rovnice III – 15 ln ρ + ln w + ln s = 0, ln s + ln w – ln v = 0 a po diferencování bude ∂ρ ∂w ∂s + + = 0, ρ w s
∂s ∂w ∂v + − =0 s w v
(III – 16)
Diferenciální rovnice kontinuity (III – 16) vyjadřuje vzájemnou závislost poměrných přírůstků změny měrné hmotnosti (ρ) či objemu (v), rychlosti proudění (w) a měrného průřezu (s). 1.6 Zákon o zachování energie Obecně je nutno uvažovat proudění trubicí (kanálem) se třením a přívodem tepla. Z hlediska odevzdané práce se vyskytují v praxi dva případy proudění trubicí (kanálem): a) dynamicky neizolovanou trubicí, v níž dochází ke složitým a vzájemným přeměnám energie tepelné, kinetické a tlakové. Část z celkové energie se odvádí
8
navenek jako technická práce stroje. Takové děje se nazývají pracovními procesy např. tepelných turbin apod. b) dynamicky izolovanou trubicí, v níž se mění část tepelné a tlakové energie v kinetickou energii a navenek se neodvádí žádná práce (např. proudění potrubní sítí, výměníky tepla). Takové děje se nazývají procesy proudění. Pro dynamicky neizolovanou trubici platí, že element proudící látky (obr. č. III-6) obsahuje energii tepelnou et = u, energii kinetickou ek =
w2 , energii potenciální ep = g·h. 2
Dále je proudící látkou přinášena tzv. energie proudu et1 = p·v , která je rovna práci k překonání vnějších tlakových sil při posunu proudu mezi průřezy S a S + ∂S. Tuto práci (∂at1) vyjadřuje rozdíl součinů tlaku, plochy a rychlosti proudění těchto průřezů: ∂at1 = (p + ∂p) · (S + ∂S) · (w + ∂w) – S·p·w
(III – 17)
po roznásobení: ∂at1 = p·S·w + ∂p·S·w + p·∂S·w + ∂p·∂S·w + p·S·∂w + ∂p·S·∂w + p·∂S·dw + + ∂p·∂S·∂w – S·p·w členy druhého a třetího řádu lze zanedbat, protože jsou zanedbatelně malé hodnoty. Pak platí: ∂at1 = p·S·∂w + p·∂S·w + S·w·∂p = p·∂ (Sw) + S·w·∂p
(III - 18)
Obr. č. III-6 Působení vnějších sil na pohybující se element proudící látky Z rovnice kontinuity (III – 13) platí pro jednotkovou průtočnou plochu S·w = v a pak rovnice III – 18 má tvar: ∂at1 = p·∂v + v·∂p = ∂(vp) odkud po integraci je práce ( at1): 2
at1 = ∫ ∂a t1 = ∫ ∂ (vp) = p2·v2 – p1·v1 1
9
(III – 19)
Celkovou energii elementu (∂Qm) proudící látky lze vyjádřit: ∂Qm · (u +
w2 + g·h + p·v) 2
(III – 20)
Změna energií proudící látky mezi průřezy S, S+∂S je dána vlivem z vnějšku přivedeného tepla (∂q) a odvedené tlakové práce (∂at). Za těchto podmínek bude možno zákon o zachování energie formulovat následovně v diferenciální formě: ∂w 2 + g·∂h + ∂ (pv) ∂q – ∂at = ∂u + 2
(III – 21)
Proces tření proudícího media formulaci tohoto zákona nezmění, protože k překonání tření se musí vykonat práce atř, která se přemění v teplo qtř, jež zůstane v proudící látce. Takže rovnice III – 21 se doplní o: ∂q + ∂qtř – ∂at – ∂atř = ∂u +
∂w 2 + g·∂h + ∂ (pv) 2
(III – 22)
Protože práce tření (atř) není energií přivedenou z venku – jedná se jen o vzájemnou přeměnu energií uvnitř látky, musí platit dqtř = datř . Z tohoto vyplývá, že se rovnice III – 21 a III – 22 shodují, což potvrzuje platnost předešlého tvrzení, že tření vazké vzdušniny nezmění formulaci zákona o zachování energie. Použitím dříve odvozeného vztahu ∂i = ∂u + ∂(pv) lze rovnici III – 21 resp. III – 22 upravit na tvar: ∂q = ∂i +
∂w 2 + g·∂h + ∂at 2
(III – 23)
a po integraci v mezích 1 – 2 bude: 2
2
w − w1 + g · (h2 – h1) + at12 q12 = i2 – i1 + 2 2
(III – 24)
Tato základní energetická rovnice proudění je formulací I. zákona termodynamiky pro otevřené systémy. Pro dynamicky izolovanou trubici je odváděná tlaková práce nulová (at = 0) a pak formulace I. zákona termodynamiky je podle rovnice III – 23 dána: ∂q = ∂i +
∂w 2 + g·∂h 2
(III – 25)
či po integraci v těchže mezích:
10
2
q12 = i2 – i1 +
2
w 2 − w1 + g · (h2 – h1) 2
(III – 26)
z této rovnice plyne, že přivedené teplo (q) způsobí změnu entalpie, kinetické a polohové energie. Je-li trubice (kanál) vodorovná a neuvažuje-li se tření, má rovnice III – 26 tvar: w i1 + 1 2
2
w + q12 = i2 + 2 2
2
(III – 27)
a dále není – li látce v okolí přiváděno teplo (q12 = 0), bude podle rovnice III – 25 platit:
∂w 2 = – ∂i 2 po integraci: 2
w 2 − w1 2
2
= i1 – i2
(III – 28)
Tato rovnice se nazývá pohybovou energetickou rovnicí adiabatického proudění plynu. Vyjadřuje závislost změny kinetické energie na změně entalpie, tj. na změně teploty plynu. Změna energie je způsobena pouze změnou rychlosti. Nemění-li se rychlost, nemění se ani teplota. 1.7 Expanze plynu při proudění – výtoku tryskou a otvorem Předpokládá-li se adiabatický výtok termodynamicky i hydrodynamicky (bez odporů) ideálního plynu, je tento děj isoentropický. Podmínky a zákonitosti při výtoku tryskou a otvorem z klidového stavu se poněkud odlišují a proto jsou popsány zvlášť. 1.7.1 Expanze při výtoku tryskou - nátrubkem Pro průtok mezi průřezy S1 a S2 (obr. č. III-7) při adiabatickém ději (q12 = 0) platí podle rovnice III – 27 zákon zachování energie ve tvaru: 2
i1 +
w w1 = i2 + 2 2 2
2
(III – 29)
odkud w22 = w12 + 2 · (i1 – i2)
(III – 30)
11
Obr. č. III-7 Výtok z trysky – nátrubku Tepelný isoetropický spád lze vyjádřit: i1 – i2 = cp · (T1 – T2) = cp · T1 · (1 -
T2 ) T1
(III – 31)
Poměr teplot T2/T1 lze pro isoentropickou změnu nahradit poměrem tlaků p2/p1 : ⎛p ⎞ T2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ T1 ⎝ p1 ⎠
κ −1 κ
po dosazení do rovnice III – 31 bude: ⎡ ⎛p i1 – i2 = cp · T1 · ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎢ ⎝ p1 ⎢⎣ po dosazení za cp =
⎞ ⎟⎟ ⎠
κ −1 κ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(III – 32)
κ.r 1 a p1 · = r · T1 bude: ρ κ −1
⎡ κ p1 ⎢ ⎛ p 2 · · 1− ⎜ i1 – i2 = κ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎣⎢
⎞ ⎟⎟ ⎠
κ −1 κ
⎤ ⎥ ⎥ ⎦⎥
(III – 33)
dosazením rovnice III – 33 do III – 30 platí: ⎡ κ p1 ⎢ ⎛ p 2 2 2 · · 1− ⎜ w2 = w1 + 2· κ − 1 ρ1 ⎢ ⎜⎝ p1 ⎢⎣
⎞ ⎟⎟ ⎠
κ −1 κ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(III – 34)
V případě, že počáteční stav je klidový (w1 = 0) a hodnoty p1, ρ1 jsou rovny p0, ρ0 , bude mít předešlá rovnice tvar:
12
κ −1 ⎡ ⎤ κ ⎛ ⎞ p p κ 2 2 0 ⎢ · · 1− ⎜ ⎟ ⎥ w2 = 2· κ − 1 ρ 0 ⎢ ⎜⎝ p 0 ⎟⎠ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥
(III – 35)
Pro průtok se ztrátami platí tytéž rovnice jako pro průtok beze ztrát s tím rozdílem, že měrná entalpie i2 ve výtokovém (výstupovém) průřezu (S2) má vlivem přijatého tepla – ekvivalentního práci potřebné k překonání odporů, vyšší hodnotu i2´ (i2´ > i2). Plyn totiž expanduje na tentýž tlak p2 jako při výtoku beze ztrát (obr. č. III-8), ale expanzní křivka není isoentropická (s = konst), nýbrž leží vlivem sdíleného tepla napravo od isoentropické expanze (0 – 2)′ tzn., že entropie vzrůstá (s0 → s2´).
Obr. č. III-8 Proudění tryskou s odpory Pro tento případ proudění se ztrátami platí energetická rovnice: 2
i1 +
w w1 = i2´ + 2´ 2 2
2
(III – 36)
odkud w2´2 = w12 + 2 · (i1 – i2´)
(III – 37)
pokud se výtok tryskou uskutečňuje z klidového stavu (w1 = 0) při hodnotách stavových veličin p0 , ρ0, T0 , bude výtoková rychlost (w2´) dána: w2´ = 2 ⋅ (i1 - i 2´ )
(III – 37)
Původní tepelný spád (i1 – i2) se vlivem odporů zmenší na i1 – i2´ (obr. č. III-8), resp. na i0 – i2´. Tento tepelný spád se nazývá efektivní nebo skutečný. Zmenšením tepelného spádu se sníží výtoková rychlost z w2 na w2´ (w2 > w2′).
13
Popsaný děj probíhá bez sdílení tepla s okolím, takže je tento děj adiabatický, i když v jeho průběhu entropie roste. Vliv odporů proudění se zpravidla vyjadřuje poměrem výtokových rychlostí: w 2´ =ϕ w2
(III – 37)
kde φ je rychlostní součinitel pro trysku (nátrubek), jehož hodnoty se pohybují v mezích 0,80 ÷ 0,95. Ztráta rychlosti je tím větší, čím je rychlost proudění větší. Ztráta kinetické energie se vyjadřuje poměrem skutečného (efektivního) a isoentropického (teoretického) tepelného spádu a vyjadřuje isoentropickou účinnost trysky (ηd) 2
ηd =
i 0 − i 2´ i1 − i 2
w´2 2 w´2 = 22 = 2 w2 w2 2
(III – 38)
Z porovnání rovnic III – 37 a III – 38 plyne vztah: ηd = φ2
(III – 39)
1.7.2 Expanze při výtoku otvorem v nádobě Je to technicky důležitý případ (vzdušníky atp.) expanze z klidového stavu při stavových veličinách p0, ρ0, T0 na konečný tlak p2 , při němž plyn proudí rychlostí w2 otvorem plochy s2 (obr. č. III-9). Pro průtok bez ztrát platí: w2 2
2
= i0 – i2
(III – 40)
odkud w 2 = 2 ⋅ (i 0 − i 2 )
(III – 41)
a obdobně lze ve smyslu rovnice III – 35 psát závislost: κ −1 ⎡ ⎤ κ p0 ⎢ ⎛ p2 ⎞ κ ⎥ ⋅ ⋅ 1− ⎜ ⎟ w2 = 2⋅ κ − 1 ρ 0 ⎢ ⎜⎝ p 0 ⎟⎠ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥
(III – 42)
což je tzv. Saint-Venantova-Wantzelova rovnice. Z této rovnice plyne důležitý poznatek a to, že rychlost proudění (w2) nemůže růst neomezeně z počáteční nulové rychlosti (w1 = 0) nýbrž, že může dosáhnout jen určité maximální rychlosti (wmax). Této rychlosti se dosáhne při úplné expanzi z klidového (počátečního) tlaku (p0) do absolutního vakua – tj. na absolutní konečný tlak p2 = 0. Pro p2 = 0 je poměr p2/p0 = 0 a pak rovnice III – 42 má tvar:
14
w 2 = w max = 2 ⋅
κ p0 ⋅ = κ −1 ρ0
p 2 .κκ 0 κ − 1 ρ0
(III – 43)
Obr. č. III-9 Výtok otvorem v nádobě Protože podle rovnice III – 10 platí, že κ ·
p0 = κ · p0 · v0 = a02 , což je kvadrát rychlosti ρ0
zvuku v klidném plynu, je maximální rychlost (wmax) dána vztahem: w max = a 0 ⋅
2 κ −1
(III – 44)
či pro κ = 1,4 lze psát: wmax = 2,23 · a0
(III – 45)
Z rovnic III – 44 a III – 45 plyne, že maximální rychlost (wmax) závisí na hodnotě Poissonovy konstanty (κ), která je dána stavbou molekuly plynu (jednoatomové, více atomové).
Obr. č. III-10 Průtok nátrubkem a clonou Při výtoku otvorem z nádoby, pokud není tvarově řešen jako konvergentní (obr. č. III-11) dochází k zúžení proudových vláken jako při průtoku clonou (obr. č. III-10). Zúžení plochy průřezu proudu z plochy S na S′ vyjadřuje součinitel kontrakce (α) α=
S´ S
(III – 46)
15
Obr. č. III-11 Výtok z konvergentní trysky při px > pa, wv = wx pak skutečná průtočná hmotnost (Q′m) vychází z teoretické (Qm) a je dána: Q′m = α · Qm
(III – 47)
Obr. č. III-12 Expanze ze zúžené trysce při px > pa
16
