Téma: Světlo a stín Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Objekty na nebeské sféře září ve viditelném spektru buď vlastním světlem (hvězdy, galaxie) nebo světlem odraženým (planety, planetky, satelity). Lidské oko vnímá množství světelné energie zářícího tělesa dopadnuvší za časovou jednotku na jednotku plochy povrchu jako jasnost objektu. Ve speciálních polohách pozorovatele může dojít k případu, kdy jedno nebeské těleso je zastíněno druhým a jeho jasnost výrazně klesá. Popisem zmíněných jevů, stejně jako upřesněním pojmu jasnost objektů, se budeme zabývat v tomto tématu.
Zatmění nebeských těles Zatmění nebeského tělesa vzniká jako geometrický jev, jenž může mít dvě příčiny: • stínící těleso se dostane mezi zdroj světla a oko pozorovatele, • zdroj odraženého světla se dostane do stínu tělesa, na kterém se nachází pozorovatel.
A1
B3 ,
B1 S1
A2
B2
C B1
, B2
A3 S3
S2
D
,
A2
,
A1
Obrázek 1: Budeme předpokládat, že zdroj světla (ať už vlastního nebo odraženého) je koule poloměru r1 se středem S1 (obr.1) a stínící těleso je rovněž koule poloměru r2 se středem S2 . Středy těles nechť jsou vzdáleny R = S1 S2 . Za stínícím tělesem vzniká kuželový stín, jenž je na řezu rovinou procházející středy obou těles ohraničen vnějšími tečnami k povrchu těles s dotykovými body A1 (A′1 ) a A2 (A′2 ) (obr.1). Za předpokladu r1 > r2 se tečny protínají v bodě D, jenž je vrcholem kužele tvořícího prostor plného stínu. Vzdálenost d = S2 D pak označujeme jako délku stínu. Jestliže se pozorovatel nachází ve vnitřku tohoto kužele (na obr.1 šrafován vodorovně), zdroj světla vůbec nevidí a nastává pro něho tzv. úplné zatmění zdroje. Jestliže do tohoto prostoru pronikne 1
třetí těleso celým svým objemem, dojde pro pozorovatele na přilehlé polokouli tělesa 2 rovněž k úplnému zatmění třetího tělesa. Popsané vnější tečny vytvoří za bodem D středově symetrický kužel (na obr.1 šrafováno svisle). Jestliže se pozorovatel nachází v tomto prostoru, celé stínící těleso se promítá na zářící kotouč zdroje. Situace vypadá jako na obr.2 a říkáme, že došlo k prstencovému zatmění zdroje.
111 000 000 111 000 111
111 000 000 111 000 111 Obrázek 2:
Obrázek 3:
Zkonstruujeme-li ke zdroji i stínícímu tělesu vnitřní společné tečny s body dotyku B1 (B1′ ) a B2 (B2′ ) (obr.1), vzniknou opět dva středově symetrické kužele se společným vrcholem C. Část jednoho z těchto kuželů za stínícím tělesem, ze které vyjmeme už výše popsané množiny úplného a prstencového zatmění, je na obr.1 šrafována šikmo. Pozorovateli v tomto prostoru se stínící těleso promítá pouze svojí částí na část svítícího kotouče zdroje světla. Situace vypadá jako na obr.3 a říkáme, že došlo k částečnému zatmění zdroje. Popsaný šikmo šrafovaný prostor se nazývá prostor polostínu. Jestliže se do tohoto prostoru dostane (byť částečně) třetí těleso, dojde pro pozorovatele na přilehlé polokouli tělesa 2 rovněž k částečnému zatmění třetího tělesa. Uvažujme na spojnici S1 S2 bod S3 ”za” bodem S2 (obr.1). Vzdálenost S2 S3 označme ρ a předpokládejme, že ρ < d. Veďme bodem S3 kolmice k hranicím stínu i polostínu. Paty těchto kolmic označme (po řadě) A3 a B3 (obr.1). Délku úsečky hS = S3 A3 nazýváme šířkou stínu v místě S3 a délku úsečky hP = S3 B3 nazýváme šířkou polostínu v místě S3 . Při znalosti parametrů r1 , r2 , R a ρ nyní určíme parametry d, hS a hP . Protože trojúhelníky S1 A1 D a S2 A2 D mají shodné odpovídající úhly, jsou podobné. Platí tedy, že poměry odpovídajících stran jsou shodné, tedy např. r1 R+d = , r2 d odkud d=
r2 R. r1 − r2
(1)
Protože platí r1 > r2 , vychází d > 0. Pokud by tato relace neplatila, vyšlo by d < 0. Geometricky by tato relace vyjadřovala reálnou situaci, neboť kužel omezený vnějšími tečnami by měl svůj vrchol v opačné polorovině. Fyzikálně by se ovšem nejednalo o stínový kužel. V takovém případě by stínem byl kužel se zvětšující se šířkou, jehož délka by byla nekonečná. Trojúhelníky S2 A2 D a S3 A3 D jsou (ze stejného důvodu jako výše) rovněž podobné. Proto např. platí d−ρ hS = , r2 d 2
odkud hS = r2
ρ 1− d
.
Po dosazení za d z (1) dostaneme ρ (r1 − r2 ) . (2) R Pro určení šířky polostínu musíme nejprve pomocným výpočtem určit polohu bodu C (obr.1). Označme délku úsečky CS2 = c. Protože trojúhelníky S1 B1 C a S2 B2 C jsou podobné, platí hS = r2 −
R−c r1 = , r2 c odkud r2 R. r1 + r2 V neposlední řadě i trojúhelníky S2 B2 C a S3 B3 C jsou podobné, pročež platí c=
(3)
hP ρ+c = , r2 c odkud
hP = r2 1 +
ρ c
.
Po dosazení z (3) vznikne ρ (r1 + r2 ) . (4) R Uvedené poznatky nyní aplikujeme na případ, kdy zdrojem světla je Slunce a pozorovatel se nachází na povrchu Země. Je-li stínícím tělesem Měsíc, dochází k zatmění Slunce. Je-li stínícím tělesem Země (a Měsíc se dostane do jejího stínu), dochází k zatmění Měsíce. hP = r2 +
Zatmění Měsíce
Zeme
Mesic
Slunce
Obrázek 4: K tomuto jevu dochází, když se Měsíc dostane do stínu nebo polostínu Země (obr.4). Z obrázku je patrno, že k zatmění může dojít pouze v okolí opozice Měsíce se Sluncem, tedy v době, kdy jest Měsíc v úplňku. Zdrojem světla je Slunce, takže r1 = 697.1[Mm]. 3
Stínícím tělesem je Země, takže r2 = 6.4[Mm]. Vzdálenost středů Země a Slunce se mění. Berme ji proto jako střední, tedy R = 149600[Mm] (astronomická jednotka). Místem, kde budeme zkoumat šířku stínu a polostínu Země, bude místo, kde se bude nacházet střed S3 Měsíce v úplňku. Protože vzdálenost středů Země a Měsíce se opět mění, bereme ji jako střední, tedy ρ = 384.4[Mm]. Dosazením daných číselných hodnot do (1) vyjde d = 1386.2[Mm]. Délka stínu Země je tedy více než 3.5 krát větší než vzdálenost Měsíce od Země. Dosazením číselných hodnot do (2), dostáváme pro šířku stínu Země v místě Měsíce hS = 4.6[Mm]. Konečně dosazením do (4), dostáváme pro šířku polostínu Země v místě Měsíce hP = 8.2[Mm]. Protože poloměr Měsíce r3 = 1.7[Mm], je i šířka stínu Země cirka 2.7 krát větší. Kdyby byla rovina dráhy Měsíce shodná s rovinou ekliptiky, dostával by se Měsíc v každém úplňku celý přesně do středu stínu Země. Každý synodický měsíc by tedy docházelo k úplnému zatmění Měsíce. Ze zkušenosti víme, že to není pravda. ”Na vině” je nenulový sklon roviny měsíční dráhy s ekliptikou. Tento úhel i je asi 5 stupňů. Měsíc se proto dostává svým středem až do vzdálenosti ρ tgi = 33.6[Mm] mimo spojnici středů Slunce a Země (obr.5). Tento rozměr více než čtyřikrát převyšuje i šířku polostínu Země v místě Měsíce v úplňku. Proto k zatmění Měsíce nedochází zdaleka tak často. K základní podmínce Měsíce v úplňku se jako podmínka jeho zatmění přidružuje ještě podmínka blízkosti Měsíce k uzlům (výstupnímu nebo sestupnému) svojí dráhy. K této poloze dochází dvakrát za (přibližně) siderický měsíc.
ρ i Slunce
Mesic .
ρ tg i
Zeme
Obrázek 5:
Poznámka: Vlivem rušivého gravitačního působení Slunce na soustavu Země-Měsíc dochází k natáčení spojnice uzlů měsíční dráhy (tzv. uzlové přímky). Ke zmíněnému natáčení dochází proti smyslu pohybu Měsíce kolem Země s periodou 18.6 roku. V důsledku tohoto jevu je doba mezi dvěma sousedními průchody Měsíce uzlem své dráhy stejného typu kratší než siderický měsíc. Této periodě Tdr se říká drakonický měsíc. = 0.996. Drakonický měsíc má tedy Její vztah k délce siderického měsíce Tsi je TTdr si 27.2122 dní. K zatmění Měsíce proto dojde znovu tehdy, když celý násobek periody synodického měsíce se rovná celému násobku periody drakonického (nepřesně siderického) měsíce. Nejmenší perioda, kdy se toto s dostatečnou přesností děje, je perioda 223 synodických měsíců (=6585.32 dní) a 242 drakonických měsíců (=6585.36 dní). Této periodě říkáme perioda saros a byla z praktických pozorování známa už ve starověku. Perioda saros je dlouhá 18 let a 10 a 1/3 dne nebo 11 a 1/3 dne (podle toho, jestli se v jejím průběhu nachází čtyři nebo pět přestupných roků.) Zmíněná třetina dne (8 hodin) způsobuje, že se jednotlivá zatmění posouvají v čase. Některá se mohou dostat i do období, kdy v dané lokalitě Měsíc není nad obzorem viditelný. V jiné lokalitě ovšem viditelný bude. Vzhledem k relaci mezi rozměrem Měsíce a šířkou stínu Země je zatmění Měsíce ve většině případů viditelné na celé Zemi, kde jest momentálně Měsíc nad obzorem. Pozorný čtenář si jistě všiml malého rozdílu mezi 223 synodickými měsíci a 242 drakonickými 4
měsíci. Tento rozdíl 0.04 dne (necelá hodina) způsobuje, že po periodě saros sice zatmění znovu nastane, ovšem ne zcela stejného charakteru. Z úplného zatmění se po několika periodách saros stane zatmění částečné, které pak úplně vymizí a nakonec je nahrazeno dalším částečným zatměním. Poznámka: Ani při úplném zatmění Měsíce tento oku pozorovatele zcela nezmizí. Stane se pouze podstatně méně jasný a červenohnědě zbarvený. Jev je způsoben atmosférou Země. Sluneční paprsky blízké k tečnému směru k povrchu Země procházejí zemskou atmosférou. Protože se jedná o prostředí optický hustší, lámou se k normále, tedy ”do stínu” a slabě Měsíc ozařují. Při průchodu těchto paprsků atmosférou Země je modrá část spektra (krátké vlnové délky) atmosférou pohlcena. Měsíc je částečně ozařován pouze červenou částí viditelného spektra slunečního záření. K tomuto jevu by nedošlo, pokud stínícím tělesem by bylo těleso bez atmosféry. Zatmění Slunce
Mesic
Zeme
Slunce
Obrázek 6:
K tomuto jevu dochází, když se pozorovatel na Zemi dostane do stínu nebo polostínu Měsíce (obr.6). Z obrázku je patrno, že k zatmění může dojít pouze v okolí konjunkce Měsíce se Sluncem, tedy v době, kdy jest Měsíc v novu. Zdrojem světla je Slunce, takže je opět r1 = 697.1[Mm]. Stínícím tělesem je tentokráte Měsíc, takže r2 = 1.7[Mm]. Protože Měsíc je v tomto případě mezi Sluncem a Zemí, je vzdálenost R středů zdroje a stínícího tělesa rovna rozdílu vzdálenosti Země-Slunce a Země-Měsíc (obr.6). Užijeme-li opět středních vzdáleností, je R = 149216[Mm]. Dosadíme-li tyto číselné hodnoty do (1), vyjde d = 373.4[Mm]. Srovnáním tohoto výsledku se střední vzdáleností ZeměMěsíc zjišťujeme, že stín Měsíce nedosahuje ani k Měsíci přivrácenému povrchu Země. Zatmění v takovém případě (i při splnění dodatkové podmínky blízkosti Měsíce k uzlům své dráhy) bude pouze prstencové a nikoliv úplné. Z výrazu (1) plyne, že délka stínu přímo závisí na vzdálenosti stínícího tělesa od zdroje. Proto délka stínu se významněji prodlouží, bude-li se Země současně nacházet v okolí afelia. V tom případě (pro střední vzdálenost Země-Měsíc) bude R = 151756[Mm] a z (1) plyne d = 379.7[Mm]. V tom případě už vrchol stínu zasahuje k Měsíci přivrácený povrch Země. Určíme ještě šířku polostínu Měsíce v místě Země pro případ obou středních vzdáleností. Dosadíme-li do (4) ρ = 378[Mm], vyjde hP = 3.5[Mm]. Ani částečné zatmění Slunce tedy nezasáhne celý povrch Země, na kterém Slunce momentálně svítí. V příznivém případě, kdy se (při splnění výše popsaných dvou podmínek zatmění Slunce) Země navíc nachází v afeliu, určíme ještě šířku stínu v místě zemského povrchu přivráceného k Měsíci. Do (2) dosazujeme R = 151756[Mm] a ρ = 378[Mm]. Vyjde pak hs = 0.01[Mm]=10[km]. V tomto případě tvoří část povrchu Země, kde je viditelné úplné zatmění Slunce, kruh o průměru 20km. Vlivem otáčení Země kolem osy dochází k ”zasažení” tímto kruhem postupně i 5
dalších míst zemského povrchu (dokud jsou splněny ostatní podmínky zatmění). Vzniká tak tzv. pás totality. Kdyby sklon roviny měsíční dráhy s rovinou ekliptiky byl nulový, docházelo by (alespoň k prstencovému) zatmění Slunce na jisté části zemského povrchu každé období měsíčního novoluní (tedy jedenkrát za synodický měsíc). Protože popisovaný úhel sklonu rovin je i = 5o , dostává se střed Země až o ρtg i = 33.6[Mm] mimo spojnici středů Slunce a Měsíce. Tento rozměr více než 2.5 krát převyšuje průměr Země. Proto k Zatmění Slunce (byť na omezené části zemského povrchu) tak často nedochází. Stejně jako v případě zatmění Měsíce, je třeba splnit ještě dodatkovou podmínku polohy Měsíce v blízkosti uzlů své dráhy kolem Země. I zde se tedy zatmění opakují po periodě saros. Třetina dne, vyskytující se v přesném vyjádření periody saros, způsobí (vzhledem k omezenosti rozsahu území, kde je zatmění viditelné) územní posuv příslušného zatmění po periodě saros o 120 stupňů západně od minulého zatmění. Necelý počet let periody saros způsobuje též posuv v poloze Země vůči svému afeliu. Proto se po periodě saros (kromě územní změny viditelnosti) mění i jeho kvalita. Úplné zatmění se mění na prstencové, poté na částečné, v některých případech může zatmění po několika periodách saros zcela vymizet, a poté se objeví zase jako částečné, prstencové a úplné. Vzhledem k velikosti průměru Země je možnost jejího ”zasažení” stínem nebo polostínem Měsíce příznivější než možnost incidence Měsíce se stínem Země. Zatmění Slunce je proto (alespoň nějakého typu a někde na povrchu Země) častější než zatmění Měsíce. Uvádí se poměr čtyři zatmění Slunce na tři zatmění Měsíce. Za periodu saros dojde průměrně k 70 zatměním. Z toho je 40 slunečních a 30 měsíčních. Úplné zatmění Slunce na konkrétním místě zemského povrchu je z výše popsaných důvodů jev velmi řídký. V České republice bylo poměrně velké zatmění Slunce 11. srpna 1999, kdy na jihu republiky bylo zakryto 98% slunečního kotouče (v Rakousku už bylo toto zatmění viditelné jako úplné). Nejbližší úplné zatmění Slunce viditelné v České republice bude až v roce 2125.
Jasnost nebeských těles Jasnost nebeských těles (speciálně hvězd) je pojem intuitivně zavedený na základě pozorování už ve starověku. Tehdy astronomové pozorovali oblohu pouhým okem a hvězdy podle subjektivního vnímání jasnosti rozdělili do šesti tříd jasnosti. Nejjasnější hvězdy byly třídy 1 a nejslabší (pouhým okem viditelné) pak třídy 6. Dnes víme, že vnímání jasnosti světelných zdrojů má ”na svědomí” intenzita světelného výkonu I. Jedná se o fyzikální veličinu definovanou jako výkon záření ve viditelném rozsahu vlnových délek (tedy jeho energie za časovou jednotku), dopadnuvší na jednotku plochy. Jednotkou veličiny I je proto W/m2 (Watt na čtvereční metr). Lidské oko vnímá změny výše popsané veličiny logaritmicky. Jestliže se tedy veličina I změní na I 2 , lidské oko to vnímá jako dvojnásobné zjasnění zdroje. Ukazuje se, že poměr intenzity zářivého výkonu nejjasnějších hvězd a hvězd sotva pouhým okem viditelných je přibližně 100:1. Aby byl tento poznatek zohledněn a zároveň se zachovalo starověké roztřídění hvězd podle jasnosti, byly pro dva zdroje s intenzitami zářivého výkonu I1 a I2 přiřazeny (po řadě) třídy jasnosti m1 a m2 tak, aby platilo I2 . (5) I1 Třídu jasnosti zdroje m často označujeme latinským slovem magnitudo (překlad je ”velikost”). Rovnici (5) říkáme Pogsonova rovnice. Jestliže do této rovnice dosadíme m1 − m2 = 2.5 log
6
poměr II12 = 100 : 1, obdržíme rozdíl magnitud m1 − m2 = 5. Jest tím zachován rozdíl ve starověku určených tříd jasnosti pouhým okem viditelných hvězd, včetně faktu, že jasnější hvězdy mají magnitudo menší. Pogsonova rovnice srovnává magnituda dvou zdrojů na základě poměrů jejich intenzit zářivých výkonů. Nic neříká o třídě jasnosti jediného zdroje. Za standard byla vzata nejjasnější hvězda severní oblohy (části nebeské sféry s kladnou deklinací) Vega (nejjasnější hvězda souhvězdí Lyry), jíž bylo přiřazeno magnitudo m = 0. Logicky tedy jasnější zdroje než Vega mají magnitudo záporné. Slunce má s ohledem na výše řečené magnitudo m = −26.8, Měsíc v úplňku m = −12.0. Planety svoji třídu jasnosti v čase mění (viz níže). V období maximální jasnosti je pro Merkur m = −1.2, pro Venuši m = −4.3, pro Mars m = −2.8, pro Jupiter m = −2.5, pro Saturn m = −0.1, pro Uran m = 5.7 a konečně pro Neptun m = 9.6. Nejjasnější hvězdou celé oblohy je Sirius (nejjasnější hvězda souhvězdí Velkého psa), jenž má magnitudo m = −1.6. Lidé s dobrým zrakem za ideálních pozorovacích podmínek (bezměsíčná astronomická noc, dokonale průhledná atmosféra, bez rušivých vlivů městského osvětlení) jsou schopni vidět pouhým okem zdroje o magnitudu do m = 6. Nejslabší objekty, které je možno pozorovat Hubbleovým teleskopem z oběžné dráhy kolem Země (tedy bez rušivé přítomnosti atmosféry), mají magnitudo cca 27. Poznámka: Pojem magnitudo byl definován pro vlnové délky ve viditelném spektru záření. Jestliže výkon uvažujeme v celém rozsahu vlnových délek (tedy od radiových vln až po gamma záření), hovoříme o tzv. bolometrickém magnitudu. Poznámka: Označíme-li ∆m = m1 − m2 , vyplývá z Pogsonovy rovnice, že ∆m √ I2 5 100 = 2.511886∆m . = 100.4·∆m = I1
Odtud tedy plyne, že přibližně 2.5 hvězdy magnituda m svítí stejně jasně jako jedna hvězda magnituda m − 1. Z názoru je zřejmé, že magnitudo stejného zdroje závisí na vzdálenosti od pozorovatele. Tento vztah nyní kvantifikujeme. Nechť zdroj vysílá světlo o výkonu P všemi směry. Záření tohoto výkonu dopadá na povrch koulí po řadě o poloměrech R1 a R2 se středy v popsaném zdroji světla. Příslušné intenzity výkonu jsou pak podle definice P Ii = 4πR 2 , i = 1, 2. Proto platí i
I1 R2 2 = . (6) I2 R1 Intenzity zářivého výkonu zdroje tedy ubývá s kvadrátem vzdálenosti pozorovatele od zdroje. Protože hvězdy se nacházejí od Země v různých vzdálenostech, jejich třída jasnosti vůbec nic neříká o skutečném zářivém výkonu příslušné hvězdy. O skutečném zářivém výkonu hvězdy (ve viditelném rozsahu vlnových délek) vypovídá tzv. absolutní magnitudo M . Jedná se o třídu jasnosti, kterou by hvězda zářila po jejím fiktivním přemístění do smluvené vzdálenosti R∗ = 10Pc. Je-li R skutečná vzdálenost hvězdy o magnitudu m od Země (udaná v Pc), pak dosazením (6) do (5) pro vzdálenosti R a R∗ a příslušná magnituda m a M dostaneme
10 10 2 = 5 log = 5(1 − log R) . (7) R R Protože R[Pc] = πr1[′′ ] , kde πr je roční paralaxa hvězdy v obloukových sekundách, dostáváme odtud M − m = 2.5 log
7
M = m + 5(1 − log R) = m + 5(1 + log πr ) .
(8)
Poznámka: Určíme nyní absolutní magnitudo Slunce. Z tématu o jednotkách vzdálenosti víme, že 10Pc=2062650AU. Podle (8) pak jest MS = −26.8+5 log 2062650 = 4.77. Kdybychom se tedy přemístili do vzdálenosti 10Pc, Slunce bychom mezi hvězdami pouhým okem stěží uviděli. Poznámka: Známé objekty mají absolutní magnitudo M v rozsahu od -9 pro vzplanuvší supernovy až po 19 pro hasnoucí červené trpaslíky. Z tohoto hlediska je Slunce hvězdou se zářivým výkonem přibližně v polovině rozsahu známých objektů (tedy hvězdou z hlediska světelného výkonu průměrnou). Příklad: Při znalosti magnituda Slunce mS0 při jeho pozorování ze Země, určete magnitudo Slunce mS při jeho pozorování z ostatních planet sluneční soustavy. Řešení: Známe-li (střední) vzdálenosti R′ planet od Slunce v astronomických jednotkách, dostáváme dosazením (6) do (5) mS = mS0 + 5 log R′ . Dosazením příslušných hodnot R′ dostáváme následující tabulku magnitud. planeta R′ [AU] mS
Merkur Venuše Země 0.39 0.72 1.00 -28.9 -27.5 -26.8
Mars Jupiter Saturn Uran Neptun 1.52 5.20 9.55 19.22 30.11 -25.9 -23.2 -21.9 -20.4 -19.4
Planety (ani planetky či měsíce planet) nezáří vlastním světlem, nýbrž odraženým slunečním světlem. Povrch každého takového objektu část zářivého výkonu pohltí a část odrazí. Tento jev kvantifikujeme zavedením tzv. koeficientu odrazivosti povrchu čili albeda a. Veličinu definujeme jako poměr a = II0 , kde I je intenzita odraženého a I0 intenzita dopadnuvšího zářivého výkonu. Zřejmě a je bezrozměrný parametr z intervalu (0, 1). Po vynásobení stem se může uvádět v procentech. Nízké albedo mají tělesa bez vody a bez atmosféry (Merkur, Měsíc), zatímco tělesa s hustými atmosférami (Venuše a velké vnější planety) mají albedo podstatně vyšší. Přesné hodnoty pro nejdůležitější tělesa jsou uvedeny v následující tabulce. těleso albedo
Měsíc 0.07
Merkur Venuše Země 0.06 0.78 0.36
Mars Jupiter Saturn Uran Neptun 0.15 0.52 0.51 0.68 0.64
Zatímco hvězdy jsou bodovými zdroji, tělesa sluneční soustavy jsou kotoučky různých poloměrů, jež k pozorovateli na Zemi přivracejí pouze svoji část určenou fází tělesa. Intenzita zářivého výkonu odraženého světla pak přímo závisí na albedu povrchu a složitěji na fázi a poloměru kotoučku (protože dopad není vždycky kolmý). Blíže tyto poměry rozebírat nebudeme. Už výše bylo konstatováno, že třída jasnosti planet se s časem mění. Souvisí to s faktem, že se s časem mění fáze planety i její vzdálenost od pozorovatele na Zemi. Vnitřní planety (Merkur a Venuše) mění svou fázi od novu do úplňku. V období novu není planeta vůbec viditelná, má tedy teoreticky nekonečnou třídu jasnosti. U vnějších planet je fáze přibližně konstantní, rovna jedné (stále úplněk). Časové rozdíly jasnosti vnějších planet tedy souvisejí pouze s jejich měnící se vzdáleností od Země. Planeta je nejjasnější, 8
je-li v opozici se Sluncem, kdy její vzdálenost od Země je minimální. Označme třídu její jasnosti v této poloze m0 . Uvažujme pro jednoduchost, že všechny vnější planety se pohybují po kruhových drahách v rovině ekliptiky. Vzdálenost planety od Slunce je (trvale) R a Země od Slunce pak RZ . Nechť planeta je v obecné poloze P (obr.7). Úhlová odchylka vůči poloze opozice se Sluncem je určena úhlem ϕ. V trojúhelníku SZP (obr.7) má strana SZ délku RZ a strana SP pak délku R. Aplikací kosínové věty získáme pro vzdálenost d planety od Země vztah
S ϕ P
Z
Obrázek 7:
d=
q
R2 + RZ2 − 2RRZ cos ϕ .
(9)
Označíme-li magnitudo planety v obecné poloze ϕ jako m(ϕ), dostaneme dosazením (6) do (5) pro vzdálenosti d0 a d a magnituda (po řadě) m0 a m(ϕ) d ∆m(ϕ) = m(ϕ) − m0 = 2.5 log d0
!2
,
Vzhledem k tomu, že minimální vzdálenost planety od Země (v referenční poloze opozice se Sluncem) je d0 = R − RZ , dostáváme dosazením z (9) ∆m(ϕ) = 2.5 log
R2 + RZ2 − 2RRZ cos ϕ . (R − RZ )2
Rozšířením zlomku výrazem R12 a zavedením R′ = Z astronomických jednotkách) dostaneme ∆m(ϕ) = 2.5 log
R RZ
(vzdálenost planety od Slunce v
1 + R′2 − 2R′ cos ϕ . (R′ − 1)2
(10)
Tyto závislosti pro ϕ ∈ h0; 2πi jsou pro vnější planety (Mars až Neptun) znázorněny na obr.8 (hodnoty R′ jsou uvedeny v tabulce na předešlé straně). Zřejmě největší rozdíl magnitud bude pro ϕ = π (kdy vnější planeta je v konjunkci se Sluncem). Pro příslušný maximální rozdíl magnitud platí 9
Zmena magnituda planet v zavislosti na odchylce od opozice se Sluncem 3.5 Mars Jupiter Saturn Uran Neptun
3
2.5
∆m
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3 φ[rad]
4
5
6
Obrázek 8:
R′ + 1 ∆m(π) = 2.5 log R′ − 1
!2
= 5 log
Číselné výsledky jsou uvedeny v následující tabulce. planeta R′ [AU] mS
R′ + 1 . R′ − 1
Mars Jupiter Saturn Uran Neptun 1.52 5.20 9.55 19.22 30.11 3.43 0.85 0.46 0.23 0.14
Protože maximální jasnost Marsu je vyjádřena magnitudou -2.8, je jeho minimální jasnost vyjádřená magnitudou -2.8+3.4=0.6. Podobně pro ostatní planety. Je zřejmé, že v jasnosti nejvíce kolísá planeta, jejíž dráha je nejbližší k ekliptice, tedy Marsu.
10
