Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
Téma: Jednoduché úročení 1. Půjčili jste 10 000 Kč. Za 5 měsíců Vám vrátili 11 000 Kč. Jaká byla výnosnost této půjčky (při jaké úrokové sazbě jste ji poskytli)? [24 % p. a.]
2. Za kolik dnů vzroste vklad 500 000 Kč na 505 000 Kč při úrokové sazbě 12 % p. a. a použitém standardu ACT/360? Úroky podléhají srážkové dani 15 %. [35,29 dne]
3. Máte možnost koupit motocykl. Můžete: a) buď okamžitě zaplatit 100 000 Kč a za 3 měsíce doplatit 50 000 Kč b) nebo platit vždy 55 000 Kč na konci každého z následujících 3 měsíců. Kterou z možností zvolíte, jestliže můžete alternativně investovat peníze za 5 % p. a.? [a) 149 382,72 Kč, b) 163 638,23 Kč – zvolíme a)]
4. Dlužník Vám nabídne 2 možnosti splacení svého dluhu: a) zaplatit za 5 měsíců 10 000 Kč, b) zaplatit za 10 měsíců 11 000 Kč. Kterou možnost zvolíte při roční 6% úrokové sazbě? [a) 9 756,10 Kč, b) 10 476,19 Kč – jako věřitel zvolíte b)]
5. Vzali jste si hypoteční úvěr 1 000 000 Kč na nákup pozemku. Roční úroková sazba činí 4,5 % p. a. Měsíčně budete splácet 10 000 Kč, v čemž je započtena i úroková platba. Jakou hodnotu nemovitosti zaplatí první splátka? [6 250 Kč]
6. Zájemce může koupit nemovitost buď nyní za 5 mil. Kč nebo za rok za 5,4 mil. Kč. Co je pro něho výhodnější, pokud si může peníze uložit na dobu jednoho roku při sazbě 7 % p. a.? [nyní]
7. Odběratel nezaplatil dodavateli fakturu znějící na 150 000 Kč splatnou 3. března 2007. Podle smlouvy má odběratel právo účtovat penále ve výši 0,05 % z fakturované částky za každý den prodlení- Jak velké bude penále 11. listopadu 2007? [18 600 Kč]
8. Banka nabízí dvě varianty placení úroku u ročního úvěru: a) sazba 10 % p. a. splatných při splatnosti úvěru, b) sazba 9,5 % p. a. splatných k datu poskytnutí úvěru. Která varianta je pro dlužníka výhodnější? [A]
Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
Téma: Složené úročení 1. Na 3letý termínový vklad u peněžního ústavu jste uložili 5 000 Kč. Kolik si budete moci za 3 roky vybrat, jestliže úroková sazba na tento vklad je 5 % p. a., úroky jsou připisovány čtvrtletně a podléhají srážkové dani 15 %? [5 676,11 Kč]
2. Nejmenovaná americká společnost prodává hektar půdu na Měsíci za 40$. Využijete tuto nabídku, pokud předpokládáte, že za 50 let bude cena 1 ha 40 000$? Protože jde o vysoce rizikovou investici, požadujete výnos minimálně 25 % p. a. [PV =0,57$ -- nabídku nevyužijeme]
3. Při jaké roční hrubé úrokové sazbě při pololetním připisováním úroků se nám za 3 roky zúročí částka 10 000 Kč na 15 000 Kč? Úroky podléhají 15% srážkové dani. [16,45 % p. a.]
4. Při jaké roční úrokové sazbě se ztrojnásobí vložený kapitál za 10 let? Úroky jsou připisovány pololetně. [11,29 % p. a.]
5. Půjčka ve výši 200 000 Kč má být splacena dvěma nominálně stejnými splátkami, splatnými za rok a za tři roky. Určete výši této splátky při úrokové sazbě 15 % p. a. a čtvrtletním připisování úroků. [132 804,59 Kč]
Téma: Efektivní úroková sazba 1. a) b) c)
Který peněžní ústav si vyberete pro uložení kapitálu na dobu n let: úroková sazba 5,5 % p. a. s pololetním připisováním úroků, úroková sazba 5,4 % p. a. se čtvrtletním připisováním úroků, úroková sazba 5,3 % p. a. se spojitým úročením? [a)re=5,576 %, b) re=5,510 %, c) re =5,443 %, zvolíme možnost a) ]
2. Chcete si uložit 10 000 Kč na 3 roky. Máte 3 možnosti: a) r = 12 % p. a., úrokové období je 6 měsíců, b) r = 11 % p. a., úrokové období je 3 měsíce, c) r = 10,5 % p. a., spojité úročení. Kterou možnost zvolíte? [je zbytečné počítat budoucí hodnotu, k porovnání využijte efektivní úrokovou sazbu: a)re=12,36 %, b) re=11,46 %, c) re =11,07 % - zvolíme možnost a) ]
Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
Téma: Spojité úročení 1. Jaký byl počáteční kapitál, jestliže se za 3 roky a 3 měsíce zúročil na 150 000 Kč? Banka používá úrokovou sazbu 10 % p. a. se spojitým úročením. [108 379,10 Kč]
Téma: Smíšené úročení 1. Určete hodnoty n a l při době uložení kapitálu 3 roky a 11 měsíců a ročním, půlročním, čtvrtletním a měsíčním připisování úroků. Úročení Roční Půlročním Čtvrtletní Měsíční
n 3 7 15 47
l 11/12 5/6 2/3 0
2. Na kolik se zúročí 10 000 Kč za 3 roky a 3 měsíce při úrokové sazbě 10 % p. a. se čtvrtletním připisováním úroků? Úroky podléhají srážkové dani ve výši 15 %. [13 143,68 Kč]
3. Za 7 měsíců byste si rádi koupili horské kolo za 15 000 Kč. Kolik musíte dnes uložit do banky, jestliže nabízí roční 4% úrokovou sazbu s pololetním připisováním úroků? Úroky podléhají srážkové dani 15 %. [14 707,59 Kč]
4. Za jakou dobu (spočtenou přesně na dny) se zúročí vklad 100 000 Kč na 125 751 Kč? Banka používá úrokovou sazbu 10 % p. a. s pololetním připisováním úroků. Úroky podléhají srážkové dani 15 %. [5 pololetí a 90 dnů = 2 roky a 9 měsíců]
5. Jaká doba splatnosti, vypočtěte přesně na dny, je potřebná pro zúročení částky 50 000 Kč na 56 463 Kč při smíšeném úročení s roční úrokovou sazbou 12 % p. a. a čtvrtletním připisování úroků? [4 čtvrtletí a 10 dnů = 1 rok a 10 dnů]
Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
Téma: Inflace, nominální a reálná úroková míra 1. Dle makroekonomické predikce MF bylo možné v roce 2001 očekávat inflaci 5,1 % a v roce 2002 inflaci 4,6 %. a) Jakou cenu můžeme očekávat na konci roku 2002 u zboží, které mělo na konci roku 2000 cenu 10 000 Kč? b) Jaká bude na konci roku 2002 reálná kupní síla tisícikoruny z konce roku 2000? [a) 10 993,46 Kč , b) 909,63 Kč]
2. Banka nabízí termínovaný úrokový vklad úročený sazbou 5 % p. a. Daň z úroků činí 15 % a očekávaná inflace je 5,1 %. Jaká je reálná úroková míra na tento vklad? [-0,809 %]
Téma: Spoření – budoucí hodnota anuity 1. Jakou částku uspoříme, pokud budeme ukládat každé 2 měsíce částku 1 000 Kč po dobu 1 roku a) vždy počátkem dvouměsíčního interval, b) vždy koncem dvouměsíčního interval? Úroková sazba je 12 % p. a. [a) 6 420 Kč, b) 6 300 Kč]
2. Nájemce osobního automobilu platí měsíční leasingové splátky 1 500 Kč vždy počátkem měsíce. Leasingová společnost mu umožní splácet koncem čtvrtletí. Kolik zaplatí, pokud leasingová společnost účtuje roční 10% úrokovou sazbu se čtvrtletním připisováním úroků? [4 575 Kč]
3. Dlužník splácí hypoteční úvěr splátkami 3 000 Kč měsíčně polhůtně po dobu 15 let. Úroková sazba je 8 % p. a. s pololetním úročením. Kolik činí ekvivalentní pololetní splátka? [18 300 Kč]
4. Jakou částku uspoříme za 5 let, pokud budeme každé pololetí ukládat 500 Kč a) vždy počátkem pololetí, b) vždy koncem pololetí? Úroková sazba je 16 % p. a. s pololetním připisováním úroků, které podléhají dani 15 %. [a) 7 308,65 Kč, b) 6 843,31 Kč]
5. Kolik bude mít naspořeno klient za 6 let, bude-li ukládat počátkem každého roku částku 12 000 Kč při roční úrokové sazbě 7 % p. a. a ročním připisování úroků, které jsou daněny srážkovou daní 15 %? [88 572,6 Kč]
6. Kolik naspoří klient, který ukládá po dobu pěti let vždy počátkem čtvrtletí 1 250 Kč při roční úrokové sazbě 10 % a pololetním připisování úroků? [32 623,9 Kč] Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
7. Vypočtěte velikost úložky, kterou jsme dávali počátkem každého pololetí na účet úročený neměnnou úrokovou sazbou 10 % p. a. při ročním připisováním úroků. Na účtu máme nyní, na konci 7. roku od počátku spoření, částku 125 000 Kč. [6 128,23 Kč]
8. Spořili jsme 1 000 Kč čtvrtletně, předlhůtně, při úrokové sazbě 12 % p. a. s pololetním připisováním úroků. Po 10 letech máme na účtu 1 000 000 Kč. Jaký byl počáteční vklad? [Kc = 76 882 Kč, PV = 287 833 Kč]
9. Jako částku jsme před 5 lety uložili na účet, pokud dnes máme na účtu 100 000 Kč a přitom jsme na konci každého měsíce spořili 500 Kč? Účet je úročen úrokovou sazbou 8 % p. a. s pololetním připisováním úroků, které jsou daněny srážkovou daní 15 %. [Kc = 35 528,25 Kč, PV =46 149,19 Kč]
10. Půjčili jsme si peníze na nákup bytu. Musíte splácet 100 000 Kč postupně na konci prvního, druhého, … a šestého roku. Věřitel Vám umožní zaplatit jednorázově na konci šestého roku. O jakou částku se jedná, předpokládáme-li úrokovou sazbu 10 % p. a. a roční připisování úroků? [771 561 Kč]
11. Kolik naspoří při roční úrokové sazbě 10 % klient, který uložil na účet částku 4 000 Kč a přidává k ní koncem každého pololetí 1 000 Kč po dobu 5 let. Úrokovací období je pololetní. [19 093,47 Kč]
12. Vynález přinesl za 5 let úsporu 37 208 Kč. Kolik činila průměrná roční úspora, je-li výnosová míra podniku 20 % p. a.? [5 000 Kč]
13. Kolik budeme mít uspořeno i s úroky za 3 roky, ukládáme-li koncem každého měsíce částku 1 000 Kč při úrokové sazbě 12 % p. a.? Úroky jsou připisovány měsíčně a dále úročeny stejnou sazbou. Daň u úroků neuvažujeme. [43 077 Kč]
Téma: Důchody – současná hodnota anuity 1. Jakou částku musíte uložit, abyste dostávali důchod 16 000 Kč na konci pololetí po dobu 10 let? Úroková sazba je 8 % p. a. a úrokovací období je pololetní. [217 445 Kč]
2. Jakou výši konta musí mít účastník penzijního fondu, aby on sám, nebo případně jeho pozůstalí, mohli pobírat po dobu 15 let měsíční penzi ve výši 1 000 Kč vyplácenou
Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
Finanční matematika – kombinované studium
Příklady k procvičení
vždy počátkem měsíce. Uvažujeme konstantní úrokovou sazbu 4,5 % p. a. a roční připisování úroků. [132 015,87 Kč]
3. Na počátku každého čtvrtletí je nutné zaplatit nájem za nebytové prostory ve výši 10 000 Kč. 1.1.2001 musíte zaplatit 4 dlužné splátky za minulý rok a zároveň jste se rozhodli zaplatit na 2 roky dopředu. Jakou částku zaplatíte, jestliže úroková sazba činí 4 % p. a. se čtvrtletním připisováním úroků? [118 292,00 Kč]
4. Při narození Vám rodiče uložili 1 000 000 Kč. Od 20 let Vám má být vyplácen měsíční důchod po dobu 40 let při úrokové sazbě 4 % p. a. se čtvrtletním připisováním úroků. Jak velký bude tento důchod? [9 246,17 Kč]
5. Koupil jste nemovitost. Vynášela Vám nájemné 50 000 Kč počátkem každého čtvrtletí. Za 10 let jste ji však museli zbourat (náklady na bourání po odečtení prodejní ceny pozemku činily 500 000 Kč). Za jakou cenu jste nemovitost koupili, pokud Vám tato investice přinesla výnos 20 % p. a.? [862 553,43 Kč]
6. Dlužník se zavázal splácet 500 Kč koncem každého čtvrtletí po dobu 5 let. Počátkem 4. roku (hned potom, co byla zaplacena 12. splátka) věřitel tuto pohledávku prodal. Kolik činila cena pohledávky, jestliže úroková míra byla 10 % p. a. a úrokovací období bylo čtvrtletní. [3 585,07 Kč]
7. Ukládali jsme 1 000 Kč vždy na počátku čtvrtletí po dobu 20 let. Ihned po skončení spoření jsme začali dostávat čtvrtletní předlhůtní důchod po dobu 10 let. Jaká byla jeho výše, jestliže úroková míra byla 10 % p. a. a úrokovací období bylo pololetní? [9 693,29 Kč] 8. Jak velký měsíční předlhůtní věčný důchod jste si zajistili spořením částky 800 $ vždy na konci čtvrtletí po dobu 2 let? Úroková sazba byla 5 % p. a., úrokovací období je roční. [27,11 $] 9. Jak velký věčný polhůtní měsíční důchod jsme si zabezpečili spořením částky 12 000 Kč na konci roku po dobu 20 let? Úroková míra je 10 % p. a. a úrokové období je roční. [Kc = 687 300 Kč, a = 5476,49 Kč]
10. Budeme spořit 10 let měsíčně polhůtně 500 Kč a ihned po skončení spoření budeme dostávat polhůtní důchod 1 000 Kč ročně po dobu 20 let. Jaká částka nám po skončení čerpání důchodu zůstane na účtu? Úroková míra je 10 % p. a. a úrokové období je roční. [Kc = 100 007,34 Kč, D =8 513,56 Kč, Zůstatek = 615 524,37 Kč]
11. Pětadvacetiletá osoba uložila 200 000 Kč při úrokové sazbě 4 % p. a. a ročním připisování úroků. Počínaje 60. rokem věku vybírala měsíčně předlhůtně 5 000 Kč. Zemřela po 10 letech. Kolik zanechala dědicům? [432 259 Kč] Převzato z publikace: Radová, J.—Chýna, V.—Málek, J. Finanční matematika v příkladech. 2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2005.
