Počítačová podpora statických výpočtů
Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání
1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni 2) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí Fakulta stavební , VŠB – Technická univerzita Ostrava
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni
Frekvence kmitání stavebních konstrukcí nedosahuje takových hodnot, při níž by se vlastnosti materiálu lišily od vlastností statických. Dynamicky namáhaný materiál mnění své fyzikální charakteristiky při velmi vysokých frekvencích.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni - Ocel
Rychlý průběh namáhání měkkých ocelí zvětšuje jejich mez kluzu a mez pevnosti. V tahu a při rázové zkoušce modul pružnosti kovových materiálů ke téměř nezávislý na rychlosti namáhání. Při zvyšování rychlosti namáhání se mez kluzu přiblíží k mezi pevnosti. Při určité rychlosti obě meze kluzu splynou. Takový stav se projevuje křehkým lomem, plastická deformace nevznikne.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni - Beton
Řešení dynamických vlastností nehomogenního materiálů je závislé na několika faktorech – vlastnosti cementu, zrnitosti směsi, množství záměnové vody, stáří betonu a počátečních mikrotrhlinách. Beton se stává křehčí s růstem rychlosti namáhání, proto se zavádí dynamické moduly pružnosti betonu stanovené při rezonanční [E bd rez] a impulsní [E bd rez] zkoušce.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni - Zemin
Modul pružnosti suchých zemin při dynamickém namáhání se příliš neliší od hodnot při statickém namáhání. Modul pružnosti roste s nasycením, především jílovitých zemin.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni - Únava materiálů Při proměnné odezvě konstrukce v čase dochází k únavovému namáhání konstrukce. Únava materiálu je závislá na počtu cyklů druhu materiálu. Rozlišujeme nízkocyklovou únavu (cca do 104 do 107) kdy dochází k plastickým deformacím a vysokocykvocé únavě (cca od 105 do 107) nastává mechanika lomu.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni - Útlum
Vlastnost materiálů při níž dochází k přeměně kinetické energie na jinou energii nazýváme útlumem. Celkový útlum rozdělujeme na: a)
vnitřní – vzniká ve struktuře materiálů (přeměna kinetické energie na tepelnou)
b)
strukturální - vzniká na hranicích trhlin a styku dvou materiálů
c)
konstrukční – vzniká v podporách
Pro zjednodušení matematického řešení se zavádí logaritmický dekrement útlumu výchylky závislý na vlastní frekvenci.
Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni logaritmický dekrement útlumu konstrukce ocelové svařované, volně stojící
Logaritmický dekrement útlumu 0,025 – 0,05
jiné ocelové, svařované
0,05
nýtované nebo šroubované
0,1
ocelové vyzdívané komíny
0,1
z předpjatého betonu
0,2
z železobetonu
0,3
ocelové komíny
0,08
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti - úvod
Volné kmitání – kmitání probíhá setrvačností bez působení vnějších sil, které kmitání způsobili. Toto kmitání je udržováno pružnými a setrvačnými silami a konstrukce kmitá vlastním kmitáním.
Vlastní kmitání – konstrukce kmitá v některém ze svých vlastních tvarů
Vynucené kmitání – na konstrukci působí síly proměnné v čase a místě.
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Pro zjednodušení se soustředí hmotnost konstrukce do hmotných bodů, abychom dostaly soustavu s konečným počtem stupňů volnosti tzv. diskrétní soustavy.
Okamžitá poloha hmotného bodu je určena jedinou nezávislou souřadnicí, která je funkcí času t.
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti – obecná rovnice kmitání Pohybová rovnice vynuceného kmitání s jedním stupněm volnosti
d 2 v (t ) dv (t ) m +b + kv (t ) = F (t ) 2 dt dt setrvačná síla
budící síla tlumící síla
vratná síla
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti – obecná rovnice kmitání - řešení Jedná se o řešení diferenciální rovnice druhého řádu a je dáno Duhamelovým integrálem. Jehož řešením dostáváme výchylku. t 1 v( t ) = ⋅ ∫ F (τ ) ⋅ e −ξω ( t −τ ) ⋅ sin(ωD (t − τ )) ⋅ dτ m ⋅ ωD 0
poměr tlumení c 2m ω tlumená vlastní úhlová frekvence
ξ=
ωD = ω 1 − ξ 2
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti - vlastní netlumené kmitání
pohybová rovnice
d 2 v (t ) m + kv(t ) = 0 2 dt
setrvačná síla
d 2 v (t ) m = Fin 2 dt vratná síla
kv(t ) = Fre
m v (t ) k
- hmotnost soustavy - výchylka - tuhost
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti - vlastní tlumené kmitání
pohybová rovnice d 2 v (t ) dv (t ) m + b + kv (t ) = 0 2 dt dt
setrvačná síla
dv (t ) dt viskózní tlumení Fd = b
b = 2 mω b ωb (s-1) – kruhová frekvence útlumu
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti - vlastní tlumené kmitání – druhy útlumu
kritický útlum
- ωb = ω0
nadkritický útlum
- ωb > ω0
podkritický útlum
- ωb < ω0
ω0 – vlastní kruhová frekvence Zajímá nás zejména třetí případ s podkritickým útlumem, nebot u prvních dvou nastává aperiodický pohyb. Tlumené kmitání se projevuje poklesem amplitudy kmitů a zmenšením vlastní kruhové frekvence tj. prodloužením doby kmitu. Schopnost tlumení soustavy nazýváme logaritmickým dekrementem útlumu.
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti - Netlumené kmitání vynucené deterministickým buzením
pohybová rovnice d 2 v (t ) m + kv (t ) = F (t ) 2 dt budící síla
F (t )
Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti – druhy budících sil
harmonicky proměnná síla
buzení impulsem
F sin ωt
budící síla periodického průběhu
F (t ) = F (t + kT p )
budící síla zcela obecného průběhu
F (t )
F (t ) = Ff (t ) TI F f
0 ≤ t ≤ TI
- doba působení zatížení - maximální hodnota zatížení - funkce popisující charakter změny impulsu
Doporučená literatura
Pirner, M., a kol., Dynamika stavebních konstrukcí, TP 33, SNTL-Nakladatelství technické literatury, Praha, 1989, ISBN 80-03-00000-9
Baťa, M., Dynamika stavebních konstrukcí - příklady,Ediční středisko ČVUT, Zidkova 4, Praha 6, 1989
Koloušek, V., a kol., Stavebné konštrukcie namahané dynamickými účinkami, Slovenské vydavatelstvo technickej literatúry, Bratislava, 1967, ISBN 63-121-67
Děkuji za pozornost.
