Techniky řízení jakosti s aplikací v textilu

Techniky řízení jakosti s aplikací v textilu Jiří Militký a Dana Křemenáková Technická univerzita v Liberci, Fakulta Textilní, 461 17 LIBEREC

1. Úvod Pojem jakost (kvalita) se používá jak v celé hierarchii řízení podniků, tak v obchodní sféře a sféře spotřebitelů. Přitom se ukazuje, že již vlastní definice tohoto pojmu je často zmatená a neumožňuje jakost stanovit. Dobře je tento fakt demonstrován na výsledcích ankety mezi špičkovými britskými manažery z roku 1989. Na základě vyhodnocení této ankety bylo zjištěno, že: - Většina řídících pracovníků cítí potřebu řízení jakosti. - Nikdo z řídících pracovníků nemá pocit, že by měl za jakost osobně zodpovídat. - Většina řídících pracovníků nedovede přesně vyjádřit, co to jakost vlastně je. Závěrem uvedené ankety bylo konstatováno, že manažery zajímají tři problémy: peníze, jak je získat a jak je neztratit. Pokud by se provedla obdobná anketa u jiných skupin pracovníků z výroby, resp. obchodu, dospělo by se zřejmě k obdobným závěrům. To vše ukazuje, že se v řadě případů chápe jakost pouze proklamativně. V tomto sdělení je učiněn pokus o naznačení základních přístupů k hodnocení jakosti s aplikací na průmysl. Je uveden základní matematicko-statistický aparát pro konstrukci regulačních diagramů, indexů způsobilosti procesů a souvisejících úloh. Další podrobnosti lze nalézt např. v literatuře [1]. Jsou popsány vybrané statistické softwareové produkty umožňující aplikaci jednoduchých nástrojů pro řízení jakosti v praxi.

2. Definice jakosti V literatuře lze nalézt celou řadu více či méně obecných definic jakosti. Populární Juranova učebnice jakosti [7] uvádí tuto definici: "Jakost je vyjádřením vhodnosti k užívání". Podrobnější definici lze nalézt v normě ANSI/ASCQ z r. 1978: "Jakost je souhrn rysů a charakteristik produktu nebo služby, který zajišťuje jeho schopnost vyhovět daným požadavkům". Velmi výstižná a obecná je definice z našich ČSN: "Jakost výrobku je souhrnem vlastností podmiňujících způsobilost uspokojit potřeby odpovídající jeho účelu použití". Tato definice obsahuje v praxi často opomíjený fakt, že jakost je vždy spjatá s účelem použití. Nelze tedy říci, že se vyrábí jakostní výrobky, aniž je známo k čemu budou použity. To je např. v případě posuzování jakosti polotovarů často omezující.

3. Filosofie KAIZEN Japonský znamená KAIZEN „zlepšení“. V kontextu „jakosti“ se KAIZEN chápe jako pokračující zlepšování zahrnující všechny složky podniku od manažerů až k dělníkům. Porovnání přístupu KAIZEN a typického západního přístupu k inovačním aktivitám Inovace KAIZEN západní Z vs. K Efekt dlouhodobý nedramatický krátkodobý a dramatický Tempo malé kroky velké kroky + Časový rámec spojité a přírůstkové přerušované a nepřirůstkové Změna postupná náhlá + Zahrnutí celý personál několik specialistů Přístup kolektivy a týmy individuality Způsob udržování a zlepšování přestavba a boření + Inovace rychlost standardní know how technologické přelomy + Potřeby malé investice ale úsilí o velké investice ale malé úsilí o udržení udržení Orientace na pracovníky na technologie + Kritéria hodnocení úsilí o zlepšení výsledků výsledky pro zisk + Výhody pracuje dobře při pomalém výhodnější pro rychlý růst růstu ekonomiky ekonomiky + Dnes: pokusy o rozšíření japonského přístupu do světa. Problémy: !"neochota dělníků (nepřipravenost) !"nepřipravenost managementu (orientace na rychlý zisk) !"nechuť k dlouhodobým koncepcím (hledání rychlých řešení

a okamžitých výsledků) Pokud se má něco zlepšit je třeba mít kvantitativní nástroje pro „měření“ stupně zlepšení.

Poznámka V roce 1950 začali Japonci s aplikací a výukou statistických nástrojů pro řízení jakosti, které rozvinuli Walter Shewhart a W. Edward Deming v 30 tých a 40 tých letech. Jejich pokrok ve stálém zlepšování vedl k rozšíření statistických nástrojů do praxe. Kaoru Ishikawa, president Japonského sdružení inženýrů a vědců (J.U.S.E.) rozšířil v Japonských podnicích v 60 tých letech tzv. 7 nástrojů pro řízení jakosti (7- Quality Control - Q) tools) Na počátku 70 tých let se totální řízení jakosti rozšířilo do administrativy a služeb. Pro tyto účely bylo (pod vedením Nyatanniho) vybráno 7 nových nástrojů. Všechny nástroje jsou velmi zjednodušené ale pro rychlou orientaci v podmínkách průmyslu zcela postačují. Při seriózní práci je však třeba používat i složitější matematicko statistické metody a modely. Pro vizualisaci a porozumění řízení procesů s ohledem na jakost se používá sedm jednoduchých nástrojů. 1. 2. 3.

Diagamy Ishikawa (cíl: vyhledávání příčin) Časové diagramy (cíl: sledování trendů) Rozptylové diagramy (cíl: měření závislostí)

Vývojové diagramy (cíl: zobrazení procesů) Paretovy diagramy (cíl: zaměření na klíčové problémy) Histogram (cíl: statistické chování procesů) Regulační diagramy (cíl: řízení procesů) Tyto grafické nástroje umožňují lépe porozumět chování technologických procesů, resp. realizovat on-line řízení jakosti (regulační diagramy). 4. 5. 6. 7.

Diagram Ishikawa Známý také jako diagram příčina/důsledek resp „rybí kost“. Umožňuje vizualizaci příčin vedoucích k danému důsledku. Účelem je nalézt zásadní příčiny způsobující problém. Používá se při Brainstormingu. 1.

Časové diagramy Zachycují vývoj daného znaku jakosti v čase. (Blízké regulačním diagramům). 2.

Rozptylové diagramy Slouží k posouzení závislosti mezi dvěma proměnnými. 3.

Vývojové diagramy Umožňují posouzení toků materiálu, energií, surovin atp., resp. vizualizaci konkrétního procesu. 4.

Paretovy diagramy Umožňují posouzení významnosti příčin způsobující daný problém. Paretova věta „Z 80 ti % je problém způsoben pouze 20 ti % příčin“. Většina příčin má tedy nevýznamný vliv na důsledek. 5.

Histogram Slouží k posouzení statistického chování dat (symetrie, rozptýlení, meze atd.).

6.

Regulační diagramy Pro přímé „on-line“ řízení jakosti v podmínkách statistické stability a identifikaci odchylek od tohoto stavu. 7.

Speciálně pro plánování a management bylo navrženo sedm nových nástrojů 1. Relační diagramy 2. Diagramy afinity 3. Stromové diagramy 4. Maticové diagramy 5. Maticová analýza dat 6. Diagramy pro rozhodování o procesech 7. Šipkové diagramy

Uvedené nástroje byly vybrány s ohledem na tato kriteria !"schopnost dokončit zadání !"schopnost eliminovat poruchy !"pomoc při výměně informací !"schopnost dělení informací složkám !"schopnost použití „nefiltrovaných faktů“

Relační diagram Vyjasnění příčinných souvislostí v komplexních situacích. Systém elips (koncepty) propojený směrovými šipkami (souvislosti). 2. Diagram afinity Vyjasnění důležitých, ale neřešených problémů sběrem dat s neuspořádaných a zmatených situací. Shluky čtverců (koncepty) s menšími podskupinami. 1.

Stromový diagram Stromová struktura popisuje hierarchii vazeb v systému. 3.

Maticový diagram Stanovení problematických částí a jejich uspořádání do řádků a sloupů pro vyjasnění vazeb. 4.

Maticová analýza dat Analýza maticových diagramů za účelem stanovení vazeb a stanovení kombinací původních dat (analýza hlavních komponent). 5.

PDPC graf Pomáhá nalézt optimální řešení vyhodnocením jevů a výstupů. Snižování rizik. 6.

Šipkový diagram Síť šipek propojující elementy pro realizaci plánů a hledání optimálních cest. 7.

Použití těchto nástrojů obyčejně nevyžaduje žádné speciální pomůcky ani počítače. V poslední době se však již nabízí i programy pro personální počítače schopné zpracovat výše popsané techniky. Počítače však mohou snadno realizovat i složitější a praktický potřebnější úlohy související se statistickým řízením jakosti. 4. Total Quality Management TQM - Total Quality Management TQC - Total Quality Control CWQC - Company wide Quality Control CWQI - Company wide Quality improwment TQM - zahrnuje vedoucí roli managementu - bez něj není úspěch (aktivace lidských zdrojů Vznik: počátek 70. let, nic revolučního, pouze systematické a důsledné uplatňování několika metod orientovaných - na jakost a spokojenost zákazníků Total - celý podnik Quality - viz. definice - jakost je splnění požadavků - o splnění požadavků rozhoduje zákazník - požadavky se neustále zvyšují Pozor: TQM - může pouze pomoci dělat správné věci správně Základní požadavky na TQM 1) vedení prostřednictvím cílů - za jakost odpovídá management ne souhlasit x jít v první řadě ( změna chování pracovníků)

např.: zaměstnanec - aktivní součást podniku - ne pouze nákladová položka hledat příčiny chyb - ne určovat vinu určení pravomocí a odpovědnosti 2) podnikové zásady jakosti - podle jakých zásad pracovat chování vůči zákazníkům, jakost provedení práce, inovace 3) dodavatelsko odběratelské vztahy - vytvoření metodické podpory, která dává zákazníkům záruku, že dostanou to co chtějí 4) nulový počet chyb - udělej to pořádně hned - nepřetržité redukování chyb ve všech oblastech podniku bariéra: každý dělá chyby změnit: chyby nejsou normální: je to finanční ztráta hledat příčiny chyb ne trestat viníky 5) management procesů - ve smyslu TQM - všechny činnosti v podniku jsou částí jednoho procesu, zlepšení toků informací mezi výrobou a správou - management technických procesů - zavedení, zdokonalení, ovládnutí - management netechnických procesů 6) nepřetržité zdokonalování - zvyšování spokojenosti zákazníků - lze pouze tehdy, když všichni zaměstnanci mají vůli zdokonalovat své činnosti. 7) zapojování všech zaměstnanců -kroužky jakosti - řeší úkoly ze svého okolí, na pracovišti, účast dobrovolná, téma dobrovolné -zlepšovatelské skupiny TQM - pracovníci z různých oddělení pro -řešení daného úkolu - interdisciplinární složení 8) školení a vzdělávání - v metodách, TQM - změna myšlení ISO řady 9000 Výhody TQM: představuje jednoduchý soubor zásad má mezinárodní platnost - zjednodušuje komunikaci v dodavatelsko - odběratelských vztazích Nevýhody TQM: může vést ke strnulosti Certifikace nehovoří o jakosti výrobku ale o způsobu práce - administrace

5. Užitná hodnota Z definic jakosti je zřejmé, že existují jisté znaky jakosti vyjádřené tzv. užitnými vlastnostmi, které mohou být buď jednoduše měřitelné (pevnost, tažnost, navlhavost) mající u některých výrobků (např. oděvních textilií) malý význam, nebo přímo neměřitelné (omak, vůně, komfort při použití, vzhled), které jsou zejména pro výrobky spotřebního charakteru rozhodující. Předpokládejme, že lze obecně specifikovat K-tici užitných vlastností R1 ,...,RK. Na základě přímých a nepřímých měření lze pak stanovit tzv. ukazatele jakosti (průměr, rozptyl,

kvantily, podíl prvků mimo meze atd.) x1 ,...,xK. Tyto ukazatele charakterizují vhodným způsobem užitné vlastnosti. Z hodnot xi pro i-tou užitnou vlastnost lze pomocí vhodné funkční transformace (založené často na psychofyzikálních zákonech) definovat dílčí úroveň jakosti

u i = f( x i , K D , K H ) kde KD je předepsaná hodnota užitné vlastnosti pro právě nevyhovující (ui = 0) a KH pro právě vyhovující (ui = 1) výrobek. Celková úroveň jakosti, označovaná jako užitná hodnota výrobku, je pak vhodný vážený obecný průměr dílčích úrovní

u = ave(u i , w i) Zde wi jsou váhy definující význam dané užitné vlastnosti a související s účelem použití výrobku [6]. S ohledem na své vlastnosti ( pro nulové ui vychází také u = 0 ) se obyčejně používá vážený geometrický průměr. Popsaný postup vycházející z obecné definice jakosti vyžaduje: - nalezení pokud možno úplné množiny významných užitných vlastností, - stanovení jejich velikosti (měření), - nalezení vhodných vah. Při konstrukci užitné hodnoty se projeví (zejména u relativní významnosti dílčích užitných vlastností) hledisko hodnocení. Výrobce bude zřejmě preferovat především dodržení technologických parametrů výroby a snažit se omezovat variabilitu produktů. Zpracovatel bude hodnotit zpracovatelské vlastnosti vstupujícího "meziproduktu" a jejich vliv na jakost vyráběného produktu. Spotřebitele budou zřejmě zajímat užitné vlastnosti, které nemusí přímo souviset s jakostí vyjádřenou z hlediska výrobce a zpracovatele (organoleptické vlastnosti, vzhled, životnost atd.). Protože je užitná hodnota u stanovena na základě experimentálních údajů, jde o náhodnou veličinu, pro kterou lze určit střední hodnotu E(u), rozptyl D(u) a interval spolehlivosti střední hodnoty. Na základě těchto údajů lze pak porovnávat rozdíly mezi užitnými hodnotami výrobků s ohledem na přesnosti měření jednotlivých charakteristik. Komplexní charakteristika jakosti užitná hodnota se při řízení jakosti přímo ve výrobě uplatňuje velmi obtížně. Hodí se spíše pro komparaci finálních výrobků.

6. Ztrátová funkce Klasický přístup k hodnocení jakosti realizovaný např. v regulačních diagramech dělí podle úrovně sledovaného znaku objekty na dobré (prošlé testy) a zmetky (neprošlé testy). Podíl zmetků pak souvisí s variabilitou (rozptýlením) výroby resp. tvarem rozdělení dat

Moderní postupy "inženýrství kvality" využívají Taguchiho definice jakosti [5]: "Jakost produktu je úměrná ztrátě způsobené společnosti odchylkou od předepsaných (cílových) hodnot". Přitom ztráta způsobená společnosti zahrnuje různé opravy, čištění, přerušení výroby, likvidace, odpady, nespokojenost zákazníka, ztráty trhu, náklady na arbitráž atd. a vyjadřuje se v peněžních jednotkách.

Pro jeden parametr jakosti x lze výše uvedenou ztrátu definovat jednoduše pomocí kvadratické ztrátové funkce

L(x) = K(x - T )2

kde T je předepsaná hodnota (cílová hodnota) a K je parametr určený z odchylky x od T právě o definovanou (předepsanou) toleranci stanovenou výrobcem nebo akceptovanou spotřebitelem.

Ztrátovou funkci L(x) je třeba pro některé parametry jakosti poněkud modifikovat: a) pro případy kdy "nižší hodnota je lepší" (nestejnoměrnost, vady) se používá jednoduchá ztrátová funkce konvexně rostoucí

L(x) = K x 2 b) pro případy, kdy "vyšší hodnota je lepší" (pevnost, stálosti, zralost) se používá konvexně klesající ztrátová funkce, která má v nejjednodušším případě tvar

L(x) =

K x2

c) pro případy, kdy "nominální hodnota je nejlepší" (plošná hmotnost, tažnost atd.), se často používá asymetrická varianta ztrátové funkce

L(x) = K1 (x - T ) 2

pro x ≤ T

L(x) = K 2 (x - T ) 2

pro x ! T

Tyto tvary ztrátových funkcí odrážejí obecně to, jakým způsobem ovlivňují jednotlivé parametry jakosti ztrátu způsobenou společnosti. Na obrázku je znázorněn průběh ztrátové funkce pro případ "nižší hodnota je lepší" (A) a pro "nominální hodnota je nejlepší" (B).

Příklad použití ztrátové funkce pro hodnocení kvality šlichtování je popsán v práci [8]. Výše uvedené definice ztrátové funkce vycházejí z předpokladu, že je parametr jakosti x stanoven přesně (deterministická proměnná). Zejména ve zpracovatelském průmyslu, kde je variabilita složení a struktury vždy značná, je třeba uvažovat, že na základě výběru (z různých míst, v různých časech) lze získat pouze odhad střední hodnoty xs (aritmetický průměr) a odpovídající rozptyl s2 (výběrový rozptyl). Ztrátová funkce má pak tvar

[

L(x) = K s 2 + ( x s - T ) 2

]

Při vlastním řízení jakosti pomocí ztrátové funkce lze pak určit, zda je výhodnější

snižovat variabilitu (s2) nebo se blížit předepsané hodnotě (T). Je také zřejmé, že i při dodržení předepsané hodnoty parametru jakosti může být ztráta způsobená variabilitou výroby (nebo výrobku) poměrně značná.

Procesy se liší pouze v poloze

Procesy se liší pouze v rozptýlení

Procesy se liší jak v poloze tak i rozptýlení

7. Techniky řízení jakosti S ohledem na historii řízení jakosti lze specifikovat tři základní koncepce: • • •

přejímací plány určující pravidla, podle kterých se na základě analýzy části výrobků usuzuje, zda je celá dodávka přijatelné kvality či nikoliv, statistické řízení procesů, kdy se monitorují znaky jakosti s využitím regulačních diagramů (on-line regulace), inženýrství jakosti, kdy se provádí off-line projektování hodnot procesních proměnných s využitím koncepce ztrátové funkce.

V současné době se využívá kombinace všech těchto koncepcí řízení jakosti přesto, že zde existuje logický nesoulad. Přejímací plány a regulační diagramy vycházejí z předpokladu skokové funkce jakosti, tj. pokud jsou parametry jakosti v zadaných mezích, je jakost přijatelná, a pokud jsou mimo tyto meze, je nepřijatelná. Inženýrství jakosti využívá spojité funkce jakosti (ztrátové funkce), kdy se každá odchylka od ideálního stavu (xs = T, s2 = 0)

projeví ztrátou vyjádřenou finančně. Teorie přejímacích plánů je v současné době zpracována jak pro přejímky srovnáváním (diskrétní znaky jakosti), tak i měřením (spojité znaky jakosti). Obecně je statistická přejímka soubor postupů výběrové kontroly jakosti, prováděné na dodávkách surovin, polotovarů a výrobků. Postup statistické přejímky je vlastně testem statistické hypotézy o parametru jakosti. Pravděpodobnost zamítnutí vyhovující dodávky a se označuje jako riziko dodavatele (chyba prvního druhu), pravděpodobnost přijetí nevyhovující dodávky b se označuje jako riziko odběratele (chyba druhého druhu). Při statistické přejímce srovnáváním i měřením je třeba určit tzv. rozhodné číslo (odpovídá kritické hodnotě u testů) c a rozsah výběru N. Dvojice (c, N) se označuje jako přejímací plán. Pro přímé řízení jakosti výroby se používají toleranční meze. Tyto meze LSL (dolní) a USL (horní) definují interval, ve kterém leží se zvolenou pravděpodobností předepsané procento výsledků (hodnot parametru jakosti). Na základě tolerančních mezí se definuje tzv. parametr způsobilosti procesu (process capability index)

C p = (USL - LSL) / (6σ) kde s je směrodatná odchylka parametru jakosti. Hodnota Cp > 1 svědčí o tom, že jakost je přijatelná (prakticky je celá výroba v tolerančních mezích). Je zajímavé, že i ve vyspělých státech jako jsou USA vychází Cp menší než 1. Na druhé straně v Japonsku již v r. 1980 docílili průměrného Cp = 1.33 a u tzv. "high tech" produktů dokonce Cp = 2. Je zřejmé, že pro případ normálního rozdělení leží v mezích ± 3s přibližně 99.73% hodnot parametru jakosti. Hodnota Cp = 1 pak ukazuje že 99.72% výrobků je v tolerančních mezích. Hodnota 6 ve jmenovateli je obecně závislá na velikosti výběru z něhož se odhaduje s a na rozdělení znaku jakosti. Tři procesy se stejným CP jsou znázorněny na obrázku

Omezení problému s nenormalitou rozdělení znaku jakosti lze docílit vhodnou volbou procenta výrobků ležících v tolerančních mezích. Pokud zvolíme tento parametr 99% můžeme použít ve jmenovateli hodnotu 5.15 platnou pro řadu rozdělení ( se šikmostí od 0 do 3.111 a špičatostí od 1 do 5.997). Pro případ, že lze předpokládat normální rozdělení parametru jakosti je také možno vypočítat LSL a USL (pokud nejsou zadány) relativně jednoduše (popsáno v ČSN 01 0230) a Cp lze pak snadno určit. V obecném případě je třeba použít komplikovanější postupy [10]. Je patrné, že přejímací plány a parametry způsobilosti jsou off-line charakteristiky umožňující sledování jakosti mimo vlastní proces výroby. Pro přímé ovlivňování výroby (monitorování kvality) se používají regulační diagramy.

Jejich základní myšlenka vychází z intervalů spolehlivosti. Účelem je ovlivňovat proces výroby tak, aby hodnoty parametrů jakosti ležely uvnitř těchto intervalů. Regulační diagram je graf, v němž je obyčejně vyznačena jistá předepsaná (průměrná) hodnota a regulační meze (příp. jiné kontrolní meze). Do tohoto grafu se postupně vyznačují hodnoty parametru jakosti určované přímo v procesu výroby. V případě, kdy se projeví nenáhodné trendy následuje seřízení procesu nebo zásah do výroby. Pro případ spojitého znaku jakosti se obyčejně používají regulační diagramy Shewhartovy. Při jejich konstrukci se vychází z měřených dat (výběrů) a počítá se vhodná statistika Si (což může být např. průměr xSi, směrodatná odchylka si, rozmezí Ri atd.). Statistiky Si se vynášejí do grafu, kde jsou znázorněny regulační meze, odpovídající obyčejně intervalům spolehlivosti E(Si) ± 3 √[D(Si)]. Zde obecně E(x) označuje střední hodnotu a D(x) rozptyl parametru x. Na základě znázorněných bodů se pak usuzuje, zda je proces statisticky stabilní. Pokud mají statistiky Si přibližně normální rozdělení, je pravděpodobnost překročení těchto tzv. 3 sigma mezí rovna pouze 0.0027. V ostatních případech je třeba stanovit regulační meze buď ze znalosti rozdělení statistiky Si, nebo použít speciální postupy . Pokud je do regulačních diagramů vynášeno více hodnot současně (neprovádí se přímo on-line kontrola) je pravděpodobnost P toho, že jedna nebo více hodnot padne mimo regulační meze závislá na počtu vynášených bodů N. Tato pravděpodobnost se dá modelovat pomocí binomického rozdělení. Platí, že

P = 1 - (1 - p ) N kde p je pravděpodobnost, že hodnota jednoho znaku padne mimo toleranční meze, tj. p = 0.0027. Pro malá N pak přibližně platí, že

P = 1 - (1 - p ) N ≈ pN Je tedy patrné, že při vynášení více bodů současně se odpovídající pravděpodobnost P zvyšuje. Tato rovnice se dá použít pro určení p pro které, bude dodržena pravděpodobnost P = 0.0027 při zadaném N. Např. pro N = 20 je pak p = 0.00014 a odpovídající 100(1-p/2)%ní kvantil normálního rozdělení je 3.81. Pro tuto situaci je tedy vhodné konstruovat regulační meze LCL = xs - 3.81 s a UCL = xs + 3.81 s. Regulační diagramy jsou velmi populární pro svoji jednoduchost a lze je konstruovat pro prakticky všechny typy parametrů jakosti (spojité, diskrétní, ordinální, nominální). Při praktickém sestrojování činí potíže zejména nerobustnost odhadů xs a s2, nenormalita rozdělení znaku jakosti a závislost mezi jednotlivými měřeními. Kromě diagramů Shewhartova typu jsou používány také diagramy kumulativních součtů (CUSUM), pohyblivých charakteristik polohy a různé kombinace [1]. Regulační diagramy se dají použít také pro případ simultánního sledování více znaků jakosti (Hotellingovy karty) [1]. Přehledně je o jednotlivých druzích regulačních diagramů pojednáno v kap.6.

Přejímací plány a regulační diagramy vycházejí z představy, že proces, který se sleduje je v ustáleném stavu, tj. jeho řiditelné parametry (teplota, koncentrace, rychlost atd.) jsou na optimální úrovni. Inženýrství jakosti umožňuje off-line nastavení podmínek výroby tak, aby bylo dosaženo jakostní výroby. Využívá se principů plánování experimentů s několika modifikacemi: - parametry výroby se dělí na ovladatelné (ty se optimalizují) a šumy (omezuje se jejich variabilita) -měřítkem kvality experimentu je poměr signál/šum, který se maximalizuje - používá se plánů ve tvaru ortogonálních polí. Poměr signál/šum (S/N) souvisí s definicí ztrátové funkce L(x). Inženýrství jakosti využívá obecně technik plánovaných experimentů pro modelování chování procesů výroby s ohledem na nalezení optima.

8. Modely variability procesů

Způsoby odhadu směrodatné odchylky procesů ve statisticky ustáleném stavu souvisejí obecně s variabilitou sledovaných procesů. Je zřejmé, že vlivem kolísání vlastností surovin, podmínek zpracování, stavu okolí, atd., mají průmyslové procesy náhodný charakter. Variabilita procesů je jedním ze základních ukazatelů jeho stavu a její odhad se používá jak při konstrukci regulačních diagramů, tak i při výpočtech indexů způsobilosti.

Základní příčiny variability průmyslových procesů lze rozdělit do těchto skupin: - náhodné šumy, které se vyskytují i za podmínek, že je proces v optimálním (standardním) stavu. Jsou způsobeny nekontrolovanými příčinami a lze je obecně snížit pouze změnou procesu (strojního zařízení), - externí zdroje variability způsobené změnami podmínek okolí, - procesní zdroje variability způsobené nekonstantností procesních parametrů, - přiřaditelné zdroje variability způsobené např. změnou jakosti suroviny, špatným seřízením strojů, opotřebením pracovních orgánů, stárnutím materiálů a různými skokovými změnami externím, resp. procesních, proměnných ovlivňujících stav procesu. Techniky řízení jakosti se snaží postihnout právě přiřaditelné zdroje variability, které lze provedením "regulačního" zásahu eliminovat a převést zpět do stavu, kdy proces ovlivňuj jen náhodné šumy. Standardně se při posuzování variability procesů vychází z (nezávislých) výběrů V1,...,Vj,...,VM z nichž má každý velikost N a je charakterizován výběrovým průměrem xSj a rozptylem sj2. Symbol xij označuje i-tý prvek v j-tém výběru Vj. Je účelné sestavit typické modely ukazující zdroje variability. Nejjednodušší je model náhodného šumu, pro který platí

x ij = d + σ C * ε ij Zde d je celkový průměr, σC2 je rozptyl (uvnitř výběrů) a εij jsou nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením N(0, 1). Odhadem d je d* definované rovnicí

d* =

1 M ∑ xsj M j=1

a odhadem σC je σ* definované vztahem

σ* =

1 M *(1 − 4*( N1 −1) )

M

∑sj j=1

Tento model je standardně používán při konstrukci regulačních diagramů. Poněkud komplexnější model uvažuje, že kromě šumů se projeví i další zdroje variability, ovlivňující každý výběr jako celek (procesní, resp. externí zdroje variability). Pro tento model platí

x ij = d + σ B * ω i + σ C * ε ij kde σB2 je rozptyl mezi výběry a ωi jsou nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením N(0, 1). Pro tento model platí, že rozptyl měření je roven

D( x ij ) = σ 2B + σ 2C a rozptyl výběrových průměrů je roven

D( xSj ) = σ 2B + σ C2 / N Je patrné, že zvětšováním počtu prvků ve výběru (N) se sníží pouze část variability (uvnitř výběrů), ale neovlivní rozptyl mezi výběry. Posledním frekventovaným modelem je případ autokorelace prvního řádu. To vlastně znamená porušení předpokladu nezávislosti jednotlivých výběrů. To je typický model situace, kdy data tvoří časovou řadu, nebo když se některé procesní parametry, resp. externí parametry, mění zvolna. Na obrázcích jsou znázorněna data pro nekorelovaný případ, silnou pozitivní korelaci (ρ = 0.8) a silnou negativní korelaci(ρ = - 0.8)

Model autokorelace prvního řádu má tvar

x ij = d + Wi + σ c * ε ij kde

Wi = ρ * Wi −1 + σ B * ε ij Platí, že W0 = 0. Autokorelační koeficient ρ je korelační koeficient mezi dvojicemi xSj a xSj+1, i = 1,...,M - 1. S využitím výsledků pro předchozí modely lze pak vyjádřit rozptyl měření

D( x ij ) =

σ 2B + σ C2 2 1− ρ

a rozptyl výběrových průměrů

σ 2B + σ C2 / N D( x sj ) = 2 1− ρ Je patrné, že v případě výrazné autokorelace dojde ke zvýšení rozptylu výběrových průměrů, což by mělo za následek zvětšení regulačních mezí a ztrátu citlivosti regulačních diagramů vůči změnám stavu procesu.Autokorelační koeficient ρ se obyčejně odhaduje pomocí vztahu M −1

ρ" =

∑ ( xsj − d * )*( xsj−1 − d* ) j=1

[s 2B ( M − 1)]

" v intervalu Orientačně platí, že pokud leží ρ

− 2 / M ≤ ρ" ≤ 2 / M lze považovat ρ za nevýznamný. Přesnější testy významnosti jsou uvedeny v [16]. Pro posouzení autokorelace lze použít také modifikovaný von Neumanův poměr M −1

V2 =

∑ ( xsj − xsj+1 )2 j=1 M

∑ ( xsj − d* )2 j=1

Lze ukázat, že pro velká M má veličina V2 přibližně normální rozdělení s parametry

E( V 2 ) = 1

D(V 2 ) =

M-2 1 ≈ M 2 -1 M + 2

Orientačně platí, že pokud leží V2 mimo interval 1 ± 2 / √(M + 2), nejsou výběry nezávislé. Pokud vyjde V2 menší než spodní mez tohoto intervalu, projevuje se v datech trend, nebo pomalé cyklické změny. Pokud vyjde V2 větší než horní mez tohoto intervalu, projevují se v datech rychlé cyklické změny. Z uvedeného je patrné, že při určování směrodatné odchylky výběrových průměrů je třeba postupovat opatrně a nejdříve testovat autokorelaci, resp. významnost rozptylu.

9 Regulační diagramy Regulační diagramy patří k základním nástrojům pro regulaci jakosti při výrobních procesech. Dají se však použít zcela obecně všude tam, kde jsou postupně v čase získávány informace o jakosti. Umožňují pro procesy, které jsou statisticky regulovatelné (měřený znak jakosti má stejné v čase neměnné rozdělení) modifikovat výrobní procesy tak, aby procento zmetků (kdy znak jakosti leží mimo předepsané meze) bylo dostatečně malé. Hodí se velmi dobře zejména pro monitorování procesů pomocí počítače. V této kapitole jsou přehledně uvedeny pouze základní regulační diagramy Shewhartova typu. Typy regulačních diagramů V květnu 1924 navrhl W.A.Shewhart z Bell Telephone Laboratory první regulační diagram pro posouzení toho, zda je variabilita sledovaného procesního parametru způsobena náhodným kolísáním, nebo speciálními příčinami (seřízení strojů, změna surovin, atd.). V současné době představují Shewhartovy regulační diagramy v praxi nejrozšířenější typ, i když nejsou zdaleka univerzální. Typický regulační diagram Shewhartova typu je diagram, kde je znázorněna centrální linie (standardní, očekávaná, cílová hodnota charakteristiky znaku jakosti) a regulační meze (dolní - LCL a horní - UCL). Tyto meze určují interval, ve kterém se s velkou pravděpodobností pohybují charakteristiky znaku jakosti, pokud je proces v požadovaném stavu. Pokud padnou hodnoty charakteristiky znaku jakosti mimo regulační meze, je proces "mimo" požadovaný stav a je třeba provést korekce (seřízení strojů, atd.).

Jako charakteristiky znaků jakosti se používají zejména průměr xS, směrodatná odchylka s, variační rozpětí R, podíl nestandardních výrobků P, počet defektních výrobků C a počet defektů na výrobek u. Speciální typy regulačních diagramů jako jsou kumulativní součty (CUSUM), pohyblivé průměry (MA) atd. vycházejí z metod analýzy časových řad a konstrukčně se poněkud liší od regulačních diagramů Shewhartova typu. Konečně je možné sestrojovat také regulační diagramy pro více znaků jakosti současně [1]. Regulační diagramy pro dílčí výběry V řadě případů je měření znaku jakosti jednoduché a rychlé, takže lze provést opakovaná měření (prakticky ve stejném čase) a získat (v různých časech) několik výběrů V1,...,VM. Uvažujme pro jednoduchost, že pro každý výběr Vj stejné velikosti N jsou určeny výběrové průměry xsj a rozptyly sj2. Předpokládejme, že rozdělení výběrových průměrů xs je normální N(d, σ2 / N) a výběrové průměry jsou vzájemně nezávislé. Odhadem střední hodnoty d je pak generální průměr d* definovaný vztahem

d* =

1 M ∑ x sj M j =1

a odhadem směrodatné odchylky σ je např. průměrná směrodatná

odchylka

1 σ* = M. C 4

M

∑ sj j =1

kde C4 je konstanta zajišťující nevychýlenost. Zde

C4 ≈ 1 -

1 4 N -1

Pro odhad směrodatné odchylky s se také používá vztah +

σ =

M

∑ s 2j

M

j =1

Odhad s* však již není nevychýleným. Regulační diagramy typu "x s pruhem" Tyto regulační diagramy využívají k posuzování stavu sledovaného procesu aritmetické průměry xSi (resp. obecněji parametr polohy). Vyžadují ke své konstrukci buď znalost parametrů d, s2 normálního rozdělení (ze kterého data pocházejí), resp. obyčejně pouze znalost vhodných odhadů d* a σ*2. Regulační meze se konstruují tak, aby bylo zajištěno, že pravděpodobnost jejich překročení pro proces v požadovaném stavu je dostatečně malá. Z vlastností normálního rozdělení plyne, s jakou pravděpodobností se vyskytuje veličina xs v mezích

d ±

Kσ N

Pro K = 1.96 to je pravděpodobnost 0.95 a pro K = 3.09 je to pravděpodobnost 0.999. V praxi se pro konstrukci regulačních mezí volí běžně hodnota K = 3, které odpovídá pravděpodobnost 0.9973 » 0.998. Obyčejně však nejsou parametry d a s známy a nahrazují se odhady d* a σ*. Regulační diagram " x s pruhem" má pak centrální linii d* a regulační meze

3σ* * " LCL = d N 3σ* * " UCL = d + N Takto definované regulační meze jsou odhady regulačních mezí LCL a UCL.. Pro účely návrhu a posouzení regulačních diagramů je vhodné sledovat počet hodnot v regulačním diagramu L, který je třeba k tomu, aby bylo indikováno překročení regulačních mezí (run length). Pokud jsou výběrové průměry nezávislé, má veličina L geometrické

rozdělení s pravděpodobnostní funkcí

P(L = i)

= p(1 - p )

i- 1

i = 1,2,3, ...

Zde p je pravděpodobnost toho, že jeden výběrový průměr xS překročí regulační meze. Střední hodnota E(L) se označuje jako ARL a je rovna

E(L) = ARL = 1 / p Pro regulační diagramy "x s pruhem" je v případě exaktních regulačních mezí LCL a UCL veličina ARL = 370.37. Při konstrukci regulačních diagramů "x s pruhem" se vychází z těchto předpokladů: A. rozdělení dat je alespoň přibližně normální, B. velikosti výběrů jsou stejné, C. měření jsou nezávislá, D. v datech nejsou vybočující měření (hrubé chyby). Obecně je tedy třeba jak ve fázi konstrukce, tak i ve fázi použití regulačních diagramů testovat předpoklady o datech, podobně jako při statistické analýze jednorozměrných výběrů [16]. A. Nenormalita V řadě případů má sledovaný parametr sešikmené rozdělení (pevnost, koncentrace ve stopové analýze, atd.). Pro menší a střední šikmosti se nenormalita výrazně neprojeví, pokud je počet prvků v jednotlivých výběrech N > 5. Pro větší šikmosti je možno použít těchto technik: - nalézt vhodnou normalizační transformaci (např. ve třídě Box-Coxovy rodiny mocninných transformací [16]) a realizovat regulační diagramy v transformovaných proměnných. Jednoduché empirické pravidlo doporučuje použití logaritmické transformace dat, pokud jsou prvky ve výběrech řádově rozdílné. - nalézt vhodnou teoretickou hustotu pravděpodobnosti, resp. distribuční funkci FT a určit meze LCL a UCL tak, aby

F T (LCL) = 1 - F T (UCL) = p/ 2 kde standardně p = 0.0027. Pro hledání FT je možné použít jak teoretických úvah, tak i celé řady exploratorních metod (např. Q-Q grafy, atd.) [16]. - použít heuristické techniky, vycházející z pravděpodobnosti Px, že výběrové průměry

xSj leží pod generálním průměrem d*. B. Nestejné velikosti výběrů Pokud se počet prvků výběru N mění, je třeba pouze upravovat regulační meze, které jsou pak tvořeny po částech konstantními úseky. C. Autokorelace Vlivem autokorelace dochází ke zkreslení regulačních diagramů "x s pruhem". Např. v případě pozitivní autokorelace roste počet případů, překračujících regulační meze, i když je proces v požadovaném stavu (falešný poplach). Pro případ autokorelace prvního řádu s autokorelačním koeficientem ρ platí pro střední hodnotu výběrového rozptylu vztah

E(s2) = σ 2 (1 - 2ρ / N) Při použití s2 tedy v případě pozitivní autokorelace vyjde rozptyl střední hodnoty podhodnocený (nesprávně menší). Někteří autoři dooručují pro omezení vlivu autokorelace zvětšit regulační meze o 2

faktor 1/ 1 - ρ . Obecně však nejsou Shewhartovy regulační diagramy vhodné, pokud jsou měření silně korelována. V některých případech lze zdroje autokorelace indikovat a odstranit. D. Vybočující měření Přítomnost vybočujících měření obecně zkresluje odhady d* a σ* a vede k rozšiřování regulačních mezí. K velmi dobrým robustním výsledkům vede náhrada výběrových rozptylů interkvartilovým rozmezím

IQR = x(b) - x(a) kde a = int[N / 4] + 1 a b = N - a + 1. Zde symbol int[x] označuje celou část čísla x a x(i) je i-tá pořádková statistika. Obecně se může zrobustňovat celá řada parametrů. Místo aritmetických průměrů xSj lze použít robustní odhady polohy Gj, místo výběrových rozptylů lze použít robustní odhady rozptýlení sRj a místo aritmetických průměrů d* a σ* lze použít robustní charakteristiky polohy T(G), T(sR). Na základě detailnějšího testování bylo zjištěno, že dobré vlastnosti mají mediánové regulační diagramy, pro které jsou Gj jsou mediány, sRj jsou interkvartilové rozmezí a T(.) je aritmetický průměr. Místo mediánu lze také použít uřezaný průměr (stupeň uřezání 0.25) [16]. V případě, že data pocházejí z normálního rozdělení, jsou robustní regulační diagramy méně efektivní. To znamená, že regulační meze jsou široké. Tak např. pro mediánové diagramy a N = 5 je směrodatná odchylka o faktor 1.2 větší, tj. meze jsou o 20% širší. Klasické regulační diagramy "x s pruhem" jsou také málo citlivé na malé systematické změny střední hodnoty d (trend). Pro tyto účely se konstruují ještě výstražné meze ve vzdálenostech ± 2σ* / √N a ± σ* / √N od generálního průměru d*. Pro indikaci trendu se pak

používá celá řada heuristických pravidel: 1. jedna hodnota xS leží mimo regulační meze (3σ), 2. dva ze tří po sobě následujících bodů leží mimo výstražné meze (2σ) na stejné straně od d*, 3. čtyři z pěti po sobě následujících hodnot xSj leží mimo výstražné meze (1σ) na stejné straně od d*, 4. osm po sobě následujících bodů leží na stejné straně od průměru. Existuje ještě celá řada dalších heuristických pravidel, které mohou být pro speciální případy užitečné. Obyčejně se do regulačních diagramů Shewhartova typu vynášejí xSi po konstantních časových intervalech. S ohledem na rychlost odhalení systematických změn je často výhodné použít také nekonstantní časové intervaly. Při konstrukci regulačních diagramů je třeba důkladně ověřit, zda použité výběry V1,...,VM netvoří nenáhodná seskupení či trendy. Podrobnosti o konstrukci a ověřování regulačních diagramů x s pruhem lze nalézt v ISO 8258. Regulační diagramy pro posouzení variability Tyto regulační diagramy umožňují posouzení úrovně variability procesu. Vycházejí opět z předpokladu normality nezávislosti výběru a konstantnosti rozptylů. Regulační diagram "s" má centrální linii sp = σ* C4 a regulační meze

LCL = sp - σ

χ

*

UCL = sp + σ

2 0.001

(N - 1)

N- 1 *

χ

2 0.999

(N - 1)

(N - 1)

2

kde χr (N - 1) je 100 ν%ní kvantil chí-kvadrát rozdělení s N - 1 stupni volnosti. Volba ν = 0.001 a ν = 0.999 zajišťuje, že v regulačních mezích bude ležet (pokud je proces v požadovaném stavu) 99.8 % všech výběrových směrodatných odchylek. V předpočítačové éře se často pro vyjádření variability používalo místo směrodatné odchylky s variační rozpětí R dat

R = x(N) - x(1) , kde x(N) je nejvyšší a x(1) nejmenší prvek výběru. Při konstrukci regulačního diagramu "R" lze pak použít průměrné rozpětí Rp z výběrů V1,...,VM . Pro regulační meze platí

LCL = R p - D3 R p UCL = R p + D4 R p

Hodnoty D3 , D4 souvisejí pouze s rozsahem výběru a jsou tabelovány např v [1]. Pro N = 3 je D3 = 0, D4 = 2.575 pro N = 5 je D3 = 0, D4 = 2.115 a pro N = 10 je D3 = 0.233, D4 = 1.773. Je zřejmé, že snahou výrobců je snižování variability výroby. Z tohoto pohledu ztrácejí dolní meze pro regulační diagramy "s" a regulační diagramy "R" smysl a často se definuje pouze horní regulační mez. Při korektní konstrukci meze UCL pro regulační diagram "s" je nutné použít takový 100 ν%ní kvantil chí-kvadrát rozdělení, který odpovídá požadované pravděpodobnosti s jakou nemají výběrové směrodatné odchylky překročit regulační mez. Tedy pro případ, že minimálně 99.8 % výběrových směrodatných odchylek má ležet pod UCL se volí ν = 0.998. Na obrázcích jsou ukázány některé speciální situace a) skoková změna úrovně

b)trend

c) positivní autokorelace

Regulační diagramy pro distrétní znaky V řadě případů lze sledovaný znak jakosti rozdělit pouze do dvou kategorií t.j.vyhovující a nevyhovující (zmetek). V různých časech lze získat z výběru velikosti N celkový počet x (nevyhovujících). Podíl nevyhovujících výrobků je pak zřejmě

PN

*

=

x N

Tento podíl je odhadem pravděpodobnosti výskytu nevyhovujících výrobků PN. Je však třeba použít dostatečně vysoké N (obyčejně N > 500). Regulační diagramy "np" pro počet nevyhovujících jednotek mají centrální linii N PN a regulační meze *

*

*

*

LCL = N P N - 3 N P N (1 - P N ) UCL = N P N * + 3 N P N * (1 - P N *) Vynáší se do nich počet nevyhovujících výrobků určený z výběrů velikosti N.

Regulační diagramy "p" pro podíl nevyhovujících výrobků mají centrální linii PN* a regulační meze *

*

*

LCL =

P N - 3 P N (1 - P N ) / N

UCL =

* * * P N + 3 P N (1 - P N ) / N

V některých případech je regulovanou veličinou počet vad výrobku C. Při konstrukci regulačního diagramu se vychází z předpokladu, že parametr C má Poisonovo rozdělení. Velikost C se prakticky odhaduje jako průměrný počet vad CP určený z N výrobků. Regulační diagramy "c" pak mají centrální linii CP a regulační meze jsou

LCL = CP - 3 C P UCL = CP + 3 CP Tyto limity vycházejí opět z aproximace Poissonova rozdělení rozdělením normálním. Zlepšení aproximace lze docílit vhodnou transformací. Jednoduchá je transformace

B(C) =

C +

C+ 1

kdy jsou toleranční meze B( CP ) ± 3 .

Další typy regulačních diagramů pro diskrétní znaky lze nalézt např. v [1]. Obecně je důležité ověřit, zda diskrétní data pocházejí z binomického nebo Poissonova rozdělení a podle toho volit další zpracování. A. Pro Poissonovo rozdělení platí, že E(x) = λ = D(x), tj. střední hodnota je totožná s

ˆ = x .. rozptylem. Parametr λ se odhaduje jako aritmetický průměr λ S B. Pro binomické rozdělení platí, že E(x) = n.p

a

D(x) = n.p (1 - p)

To znamená, že rozptyl se nerovná střední hodnotě. Parametr p se odhaduje pomocí výběrového aritmetického průměru pˆ = x S /n . Jednoduše lze ověřit shodu rozdělení diskrétních dat s Poissonovým a binomickým rozdělením s využitím grafu poměru frekvencí [16]. Orientačně lze použít poměru rozptylů

V = s 2 /D(x) kde D(x) se dosazuje podle toho, které rozdělení se ověřuje. Pokud leží V mimo interval 0.8 ≤ V ≤ 1.25, ukazuje to, že dané rozdělení neaproximuje dobře experimentální data.

10. Jakost přízí Jakostní charakteristiky přízí souvisejí obecně s: jemností !" nestejnoměrností !" počtem vad !" pevností !"

Jsou k dispozici tabulky a grafy- „ Uster - Statistics.“ Orientačně platí, že hodnoty nad 75% má linií Uster Statistics jsou pro jakostní parametry nevhodné! Při hodnocení přízí se téměř u všech vlastností sleduje také variabilita vyjádřená variačním koeficientem v (*). A. Jemnost a její kolísání: Obyčejně se považuje variační koeficient jemnosti v(J) do 3% za přijatelný pro většinu přízí různých jemností. Jeho růst se projevuje na růstu přetrhovosti při tkaní . a)

b)

v(J)

A

CV nestejnoměrnost

B

a) velké v (J) a malé CV ........ > přetrhovost b) malé v (J) a velké CV ........ < přetrhovost Kritické z hlediska nestejnoměrnosti vzhledu tkanin a pletenin je v (J) ≈ 10 %. Systémy hodnocení česaných přízí dle v (J): Třída velmi regulární. Regulární průměrná neregulární velmi neregulární.

Bornet <2 2,0 - 2,25 2,25 - 3,0 3 - 3,5 > 3,5

Rozycki <2 2 - 2,5 2,5 - 3,0 3 - 3,5 > 3,5

Uster < 1,4 1,4 - 1,8 1,8 - 2,75 2,75 - 3,6 > 3,6

Statistics. 10 % 25 % 75 % 90 % > 90 %

B. Nestejnoměrnost: Nestejnoměrností se míní hodnota CV (%) určená z aparatury Uster [vnější kvadratická nestejnoměrnost na krátkých délkách - 8 mm]. Jde o kolísání hmotnosti mezní úseky délky L = 8 mm. Přímé použití CV pro hodnocení jakosti přízí má tyto nevýhody: závisí na jemnosti příze TP !" ⇒ počtu vláken v přízi závisí na jemnosti vláken TV ⇒ počtu vláken v přízi !" typu přádního procesu !" Počet vláken v příčném řezu N je přibližně:

N=

TP TV

Empirický vztah k CV:

CV = Q1 * N Q 2 kde Q1 a Q2 souvisí s typem vlákna a přádního procesu. Přibližně Q2 ≈ 1/3 pro všechna přediva

Rozklad CV na složky:

CV 2 = VI2 + VS2 VI je limitní nestejnoměrnost (závisí na procesu předení) VS je strojová nestejnoměrnost (závisí na kvalitě strojů a technologií) Index nestejnoměrnosti:

VS2 CV = 1+ 2 I= VI VI Index I ≥ 1 , čím je nižší tím lépe. Vhodnost I závisí na způsobu stanovení limitní nestejnoměrnosti VI2 A) Martindale ( Poissonovo rozdělení konců vláken)

VI =

100 N

Index I je pak silně závislý na počtu vláken v příčném řezu. Operace Jemnost [Tex] CV [%] N Mykání 3620 4,7 20 224 Posuk 3450 4,73 19 274 Předpřádání 455 8,91 2 542 Dopřádání 20 21,8 111 Empirický vztah: ln( I ) = a 0 + a1 * ln( N ) Pro ba mykané příze a0 = - 0,173 a1 = 0,202 (statisticky významné). Není vhodné pro hodnocení jakosti.

I 6,25 6,2 4,24 2,17

B) Bornett (Poissonovo rozdělení shluků vláken).

VI =

50 N

3

Index I je pak statisticky nevýznamné závislý na N ln( I ) = a 0 + a1 * ln( N ) Pro ba mykané příze a0 = 0,519, a1 = 0,036 (statisticky nevýznamné) Uster Statistics: Kumulativní četnosti CV dosahované ve světě ( čím vyšší úroveň tím méně kvalitní). CV

90 % 75 % 50 %

25 %

Tex

Příze s CV > 75 % ní úroveň je nepoužitelné pro většinu tkanin a pletenin. Příze s 25% - 50% úrovní CV jsou vhodné pro popelíny. Nestejnoměrnost CV ovlivňuje variační koeficient pevnosti v (P).

CV = K1 * v( P ) K 2 K1 = 6.23 a K2 = 1.03 pro mykané příze K1 = 7.76 a K2 = 1.02 pro česané příze C. Počet vad: Hodnotí se standardně s využitím stupnice Uster (Classimat). Existují také Uster Statistics. Pro kvalitní materiály ( spodní prádlo,....) se doporučuje úroveň 25 - 50%. Nepoužívá se samostatně pro hodnocení jakosti. D.Pevnost: Zajímavé jsou spíše dolní extrém ( 5%ní kvantil) a variační koeficient než střední hodnota. Nepoužívá se samostatně pro hodnocení jakosti. Jednoduché kritérium CS faktor (součin pevnosti a jemnosti). Komplexní hodnocení: normy ( stupně jakosti) !" užitná hodnota - vlastnosti z norem !" empirické ukazatele !" GOST 1119 - 70

IK =

C S * v( P )

C je relativní pevnost [N . tex - 1 ], S je jemnost [Tex] a v(P) je variační koeficient pevnosti NORMY Bavlněné příze: Podle ON 80 2120 se zařazují do výběrové standardní a nestandardní třídy podle těchto vlastností: Třída Výběr ba III M - 14 ÷ 50 tex -1 - pevnost [N . tex ] 0,14 - variační koeficient. pevnosti [%] 13,5 - variační koeficient. jemnosti [%] 3 - třída vzhledu [−] C50 Vlněné příze: Podle ČSN 80 000 a ČSN 80 052 se třídí jako vyhovující a nevyhovující. Vyhovující = všechny ukazatele jsou v normalizovaném rozmezí.

11. Jakost plošných textilií A. Užitná hodnota (obecně). B. Omak ⇒ oděvní účely. C. Komfort ⇒ oděvní účely

A. Užitná hodnota Aplikace obecné metodiky výpočtu U. Je třeba určit: určující užitné vlastnosti a jejich meze (S,D) !" váhy užitných vlastností (C). !" Technické textilie: Dle účelu použití. Většina měřitelné vlastnosti v kardinální škále. Oděvní textilie: Interní publikace SVÚT (Užitná hodnota plošných textilií 1876) specifikace všeho dle oblastí použití.

I. Textilie s přímým kontaktem s lidským tělem: A. Přímý dlouhodobý kontakt: - prádlovky - trenýrkoviny - plavkoviny B. Částečný přímý kontakt: - šatovky - košiloviny - povlaky na prostěradla - pyžamoviny

II. Textilie pro vnější použití: A. Svrchní oděvní textilie: - svrchní ošacení - kožešiny a plyše - teplákoviny - přikrývky - pracovní oděvy B. Speciální požadavky: - podšívkoviny - matracoviny - potahové textilie Příklad: kapesníky Vlastnost 1. Pevnost za mokra [N] 2. Plošná hmotnost [g . m -2] 3. Oděr ( Accelerotor 30 s) [%] 4. Splývavost (%) 5. Savost [mm ] 6. Stálosti [etalon] 7. Náročnost údržky [Kč/m2 den]

S 150 45 (S´ = 115) 19 45 (S´ = 72) 50 3 0,2

D 400 60 (D´ = 100) 8 53 ( D´ = 60) 80 5 1,2

C 1,24 0,93 0,64 0,97 1,74 1,25 0,8

Problém: prakticky vůbec nejsou uvažovány organoleptické charakteristiky (omak, vzhled,....).

B. Omak: Vyjádření pocitů, které vyvolává textilie při styku s pokožkou. Psychofyzikální veličina: vjem související s kvalitou senzorických orgánů a zkušeností. Celkový omak (Total Hand Value) je kombinací primárních složek (odpovídající stimulům vyvolávajícím vjemy. Mozek

S ⇒V čidlo (prst) Stimul (S) S0 ... práh (V = 0) textilie Zde S0 je prahová hodnota (mez citlivosti)

Vjem (V) Weber-Fechner S V = ln( ) S0

Centra omaku: centrum povrchové hladkosti (C1) → S1 centrum tuhosti (C2) → S2 centrum objemových charakteristik (C3) → S3 centrum tepelných projevů (C4) → S4

THV = funkce(S i * R i )

pro i = 1, 2, 3, 4

Ri ...... míra odezvy ( váha dílčího vjemu) .Sématika omaku: Polární páry (souvisejí se stimuly). Drsný Tuhý Kompaktní Studený

-

Hladký Ohebný Otevřený Teplý

Subjektivní hodnocení omaku: Vyjádření pocitů při dotyku s textilií ( Japonci mají několik typových způsobů „ohmatávání“). " " Způsoby hodnocení: a) párové porovnávání vzorků - pořadí (rank) b) porovnávání s etalony (ordinální škála) c) zařazení přímo do ordinální škály Typická škála 1. nevyhovující 2. velmi špatné 3. špatné

4. 5. 6. 7.

průměrné dobré velmi dobré vynikající

Výběr hodnotitelů: Experti: vyjádření obecného omaku ( rozlišení). Nespecialisté (uživatelé) : vyjádření preference pro daný účel použití. Diference: - geografické - muži / ženy - mladí/ stáří Vhodné - vždy poučení hodnotitelé!

Velikost skupiny: 25 - 30 pro rutinní hodnocení

více než 200 pro základní studie

Výběr bodové škály: Psychometrický výzkum: 9 -11 bodů. U stupnice s menším počtem bodů jsou v blízkosti středu příliš malé rozdíly. Muži: - hodnotí blíže ke středu stupnice a s menšími rozdíly. Ženy: - větší extrémy a rozdíly.

Standardizace omaku: HESC ( Hand Evaluation Standardisation Commitee). V roce 1972 KAWABATA sestavení standardů pro primární složky omaku. !" vyjádření intensity primárních složek pro různé textilie. !" Příklad: zimní šacení KOSHI - tuhost NUMERI - hladkost FUKURAMI - měkkost a plnost

Objektivní hodnocení omaku: Nelze přímo - viz. Centra omaku ( vjemy).

1. Speciální měření ( jeden přístroj): Vyjádření omaku z výsledků měření na jednom zařízení.

F F [N]

INSTRON Průtah textilie tryskou

Ht Textilie H0 H0

Pt D H [mm]

F = A + B * h + C * h 2 pro 0 ≤ h ≤ H T (A, B, C koeficienty) S omakem souvisí především Ht a Pt. Není komplexní hodnocení všech složek.

2. Sada speciálních měřících přístrojů: a) b) c) d) e) f) g)

Speciální přístroje pro měření celkem 16 ti charakteristik ( KES - Kawabata). deformace v tahu (3) deformace v tlaku (3) deformace ve smyku (3) deformace v ohybu (2) povrchní charakteristiky (3) geometrické charakteristiky (2).

PříkladTahové charakteristiky f 500

Fm

r F s F

εm

0 εM

LT =

∫ 0

εM

→

Fdε

0.5 * FM * ε M

ε

WT =

εM →

∫ 0

Fdε

RT =

∫

→

Fdε

0

εM

∫

0

←

Fdε

Povrchové charakteristiky Tření µ

µ

xk x

MMD =

1 xK

xK

∫

−

| µ − µ| dx

0

Tloušťka T [cm]

T

xk x

1 SMD = xK

xK

∫

−

−

| T − T| dx MIU = µ

0

Podobně jsou definovány ostatní charakteristiky. Vyhodnocení : Využívá regresních rovnic pro jednotlivé složky ( primární ) omaku. 16

Y = C 0 + ∑ C i * X *i i =1

Zde C0 až C16 jsou regresní koeficienty ( tabelované) Xi* jsou standardizované proměnné −

X −X X *i = i si

resp. X *i =

ln X i − ave(ln X i ) 2 s ln

Zde ave(.) je aritmetický průměr a sln je směrodatná odchylka v logaritmech

Celkový omak:

THV = '

C'0

3

+∑ i =1

'

C 'i ''

Yi − M i1 Yi2 − M i 2 '' *( ) + C i *( ) σ i1 σ i2 ''

kde C 0 .. C 4 a C 0 ..C 4 jsou regresní koeficienty

Použití KES pro hodnocení jakosti z hlediska šicích schopností (konfekcionování). a) chování při šití ( mechanické vlastnosti). b) chování při propařování ( srážení textilie v parním prostředí). Mechanické vlastnosti se sledují při velmi nízkých zatížení ( velké deformace způsobují vrásnění při šití a manipulaci). Speciální charakteristiky: HG ........ hystereze smykové síly EM1..... tažná deformace ve směru osnovy ( biaxiální upnutí) S2 .... srážení při propařování ( 2 hod) HG < 0,8 .... příliš deformovatelné ( problémy při šití) HG > 3,5 .... příliš tuhé ( pro šití) EM1 > 10 ... nevhodné pro oděvní účely S2 > 1,5 .... problémy nestability při tvorbě oděvů

Řízení procesoru šití ( ITD): Oděvní výroba

Textil

1

2

D KES systém opravy

Indikátory problémů: a) Abnormální deformabilita ( vysoká / nízká) speciální postup zabraňující vrásnění švů !" omezení kroucení textilií při oddělování !" předběžné propařování omezují kroucení. !" b) Abnormální smyková hystereze (HG) obtížné zachování tvaru textilie !" c) Sráživosti při paření veliké speciální nebezpečí při podlepování ( vznik bublin). !"

3

4

1 ........ oddělování 2, 4 .... šití 3 ....... tepelné zpracování D........ dekatura

Z1 Tah

O

Z2

LT RT EM1

O ....... zóna, která nevyžaduje kontrolu Z1, Z2...kontrolní zóny oblast parametrů pro kvalitní textilie

(při šití jsou problémy s vyšší tažností)

G Smyk HG

S2 Srážení S4 Q

Kontrolní karty pro šití Regulační diagramy pro šití ( pro šití jsou problémy s vyšší tažností) !!

3. Kombinace výsledků standardních měření: Vybírají se postupy pro určení charakteristik souvisejících s centy omaku. Raheel: plošná měrná hmotnost → normy ASTM !" tlouškťka !" → normy ASTM ohybová tuhost !" → normy ASTM úhel zotavení !" → normy ASTM deformace po diagonále → normy ASTM !"

C. Komfort Stav fyziologické, psychologické a fyzikální harmonie mezi člověkem a okolím. Psychologické faktory optimální vzdálenost mezi lidmi preferovaná teplota okolí !" požadavky na soukromí !" citlivost na nepříjemnosti !" vliv stresových situací !" parádivost ,....... !" ⇒ lze vyjádřit dle nepřímých indikací - styl nákupu - velikost šatníku Fyziologický komfort: Řada snáze měřitelných charakteristik. Citlivost na různé faktory ( vlhkost, teplota, proudění) !" Organoleptické charakteristiky (omak, ........) !" Optimální podmínky komfortu: teplota pokožky 33 - 35 o C !" relativní vlhkost okolí 50 + - 10 % !" rychlost proudění vzduchu 25 + - 10 cm . s -1 !" nepřítomnost vody na pokožce !"

Fyzikální vlastnosti související s komfortem: přenos tepla (tepelná izolace) !" tloušťka !" přenos vzdušné vlhkost !" přenos kapalné vlhkosti ochlazení větrem !" Tepelný komfort - lidské tělo je v rovnováze s okolím - souvisí s konstrukcí textilie. a) - TI - tepelně izolační schopnost - úměrná tloušťce vlákna tepelná vodivost tepelný odpor b) - PV - přenos vlhkostí 1 - permeace vodních par - nepřímo úměrná tloušťce 2 - přenos kapilární vlhkosti - roste s smáčivostí, závisí na povrchovém napětí 3 - přenos vlhkosti hmotou vlákna - závisí na schopnosti absorbovat vlhkost Diskomfort - 25% povrchu pokožky je zvlhčeno potem ⇒ - rovnovážný stav Průměrné hodnoty závisí na typu textilie. Tloušťka 0,8 - 2 [mm ] Plošná hmotnost 0,11 - 0,4 [ kg/m 2 ] Koeficient tepelné propustnosti 14 - 22 [J/ m2 s K ] Koeficient propustnosti vodních par 0,44 - 0,7 [g/ m2 s bar ] Prodyšnost vzduchu 10 - 100 [m3 / m 2 . s ] Mechanický komfort: a) reversibilní tvarové rozměry při pohybu těla b) adaptace na tvar těla - pružnost - vratné protažení pleteniny - 200 - 300% - tkaniny - max 25% tvarová stálost - schopnost obnovení původního tvaru po deformacích v průběhu užívání - úhel zotavení vzhledová stálost - souvisí s opotřebením vláken při použití tření, oděr, tuhost, žmolkovitost. 10. Literatura [1] Ryan T.P.: Statistical Methods for Quality Improvement, J.Wiley New York 1989 [2] Lucas J.M.: J. Quality Technology 14 , 51 (1982) [3] Hawkins D.M.: J. Quality Technology 13 , 228 (1981) [4] Alwan L.C., Roberts H.V.: J. of Business and Economic Statistics 6 , 87 (1988) [5] Taguchi G.: Quality Evaluation for Quality Assurance, American-Supplier Institute, Romulus MI, 1984 [6] Militký, J.: Metody hodnocení jakosti plošných textilií, Sborník přednášek z mezinárodní konference Jakost 93, Ostrava, duben 1993 [7] Juran, J.M.: Quality Control Handbook Mc Graw Hill, New York 1977 (3rd Ed.) [8] El Mogahzy Y.: "Using Off-line Quality Engineering in Textile Processing", Tex.Res. J. 62, 622 (1992) [9] Sullivan L.P.: "The Power of Taguchi Methods", Quality Progres, str. 76-79 (1987) [10] Jílek J." Statistické toleranční meze, SNTL Praha 1988

[11] Kotz S., Johnson N.L.: Process Capability Indices, Champan and Hall, 1993 [12] Lam C.T., Litting S.J.: Tech. Rept.92, An Arbor University, 1992 [13] Kane V.E.: J.Qual.Technol. 18, 41 (1986) [14] Chan L.K. a kol.: J.Qual.Technol. 20, 160 (1988) [15] Pearn W.L. a kol.: J.Qual.Technol. 24, 216 (1992) [16] Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, Nakladatelství Plus, Praha 1994 [17] Anonym: Quality Progress, March 1994 str.61. [18] Choobinech F., Ballard J.L.: IEEE Trans. on Reliability, R36, 473 (1987) [19] Gan F.F.: J. Quality Technology 25, 205 (1993) [20] Lucas J.M., Crosier R.B.: Commun. Statist. A11, 2669 (1982) [21] Montgomery D.C., Mastrangelo Ch.H.: J. Quality Technol., 23, 179 (1991) [22] Wetheril G.B., Brown D.W.: Statistical Process Control, Theory and Practice, Chapman and Hall, London 1991 [23] Jackson J.E.: Commun. Statist. A14, 2657 (1985) [24] Crosier R.B.: Technometrics 30, 291 (1988) [25] Pignatello J.J., Runger G.C.: J. Quality Technol. 22, 173 (1990) [26] Wade M.R., Woodall W.H.: J. Quality Technol. 25, 161 (1993) [27] Box G.E.P.: Studies in Quality Improvement, Rept. No. 26, University of Wisconsin, July 1987

Příloha: Škály měření Určeno těm, kteří chtějí vědět nejen že ale také jak a proč A. Nominální ( jmenná) B. Ordinální ( pořadová) C. Kardinální ( číselná) Uspořádání dle množství informací o měřených znacích. Škála vyššího typu zahrnuje škály předcházející. A. Nominální škála • nejslabší typ Operace: určení různosti resp. rovnosti (≠ =) Rozložení souboru na disjunktní části, mezi kterými nejsou žádné relace. Třídy (části) mohou být libovolně pojmenovány. (Čísla = jména). Vhodné pouze pro klasifikaci objektů. Požadavky: • jednoznačnost zařazení • existence • rozlišitelnost B. Ordinální škála a) Určení různosti a nerovnosti ≠ = b) Určení vztahu větší/menší > < a1 ..... a2 . . . a k počty prvků (0 ..... 1 . . . K) kategorie absolutní četnost n1 n2 n k ∑ ni = N relativní četnost

f1 =

n1 N

f2 =

n2 N

...

fk =

nk N

kumulativní četnost

F1 = f 1

F2 = f 1 + f 2 ...

Fk = 1

j

Fj = ∑ f j i =1

Dohoda: od nejslabšího k nejlepšímu. Příklad: stupnice jakosti Nevyhovující 0 A Podprůměrná 1 B Průměrná 2 C Dobrá 3 D Vynikající 4 E

Obecně bodování nebo známkování Stálosti ( 1 - 5 ) Světlo ( 1 - 8 ) Vzhled ( 1 - 5 )

Charakterizace rozdělení: Poloha: 1. Mediánová kategorie ( kategorie, kde je 50 % dat) ME .... [FME - 1 < 0.5 ; FME ≥ 0.5]

F − 0.5 ~ x0.5 = Me + 0.5 − Me fMe #%$ % & c

2. Medián ordinálního znaku

Kde c je část dat mediánové kategorie zařazených k horní polovině Vlastnosti ordinálního mediánu: 1. 1 ≤ ~ x0.5 ≤ K

2. ~ x0 .5 = 1 ⇒

f1 = 1 3. ~ x0 .5 = K ⇒ f k = 1 4. ~ x0.5 = Me ⇒

Me −1

∑ fi = i =1

K

∑ fi

i = Me +1

5. Hodnota ~ x0 .5 ukazuje posun 50 %-ního dělícího bodu, čím je vyšší, tím se data koncentrují ve vyšších kategoriích. Variabilita Diskrétní ordinální variace dorvar K K  K dor var = 2.∑ Fi .(1 − Fi ) = 2. ∑ Fi − ∑ Fi 2  i =1 i =1   i =1

Vlastnosti: 1. 0 ≤ dor var ≤ ( K − 1 ) / 2 2. dor var = 0 pro případ, že f i = 1

3. dor var = ( K − 1 ) / 2 pro případ, že f 1 = f K = 0.5 4. Čím více jsou rozptýlená data, tím je větší.

Konstrukce intervalu spolehlivosti pro populační medián Med N ≥ 30

(F

* D

a) Kumulativní četnosti

(F

* D

)

, FH* = 0.5 ±

, FH*

)

0.5. Z1−α n

0.5.Z1−α = 2 pro α = 0.05 *

*

Určení kategorie D, kde leží FD c) Výpočet korekcí

Určení kategorie H, kde leží FH

FD* − FD−1 d= fD S M = D − 0.5 + d

FH* − FH −1 h= f DH H M = H − 0.5 + h

Příklad: Subjektivní omak ( hodnocení 100 dívek) Nevyhovující Podprůměrný Průměrný Dobrý Vynikající

Interval spolehlivosti

FD* = 0.5 −

0.5.2 = 0.4 100

D=H =4 0.4 − 0.32 = 017 d= . 0.48 S M = 4 − 0.5 + 017 . = 3.67

ni 2 5 25 48 20

fi 0.02 0.05 0.25 0.48 0.2

Fi 0.02 0.07 0.32 0.80 1

0.5 − 0.32 ~ = 38 x0.5 = 4 − 0.5 + . 0.48

Me = 4

Medián:

třída 1 2 3 4 5

FM* = 0.5 +

0.5.2 = 0.6 100

D=H =4 0.6 − 0.32 = 0.583 h= 0.48 H M = 4 − 0.5 + 0.583 = 4.083 3.67 ≤ Med ≤ 4.083

Užitné vlastnosti v ordinálních škálách se postupně převádějí na vyšší typ = kardinální škály . Kardinální škály .......... kvantifikace vzdálenosti mezi kategoriemi. Charakterizace:

x , s 2 , sx = s /

n

Interval spolehlivosti: x ± t1−α / 2 ( N − 1 ).

s N

Znaménková a preferenční data. Zhoršení n-, f-

Neutrální 0 n0, f0

Zlepšení + n+, f+

Asymetrie přirozená

Asymetrie vzhledem ke krajům:

A* = f + − f −

Vlastnosti: A* = 1 . . . . . A* = -1 . . . . A* = 0 . . . . . A* > 0 . . . . . A* < 0 . . . . .

A=

f+ − f− f+ + f−

Vlastnosti: A=1...... A = -1 . . . . . A=0...... A >0...... A <0......

případ f + = 1 případ f - = 1 případ f + = f převaha + převaha -

případ f - = 0 případ f + = 0 případ f - = f + převaha + převaha -

Interval spolehlivosti pro A ( N > 30; n -, n + > 5)

P( AD < A < AH ) = 1 − α AH = tgh( a H ) a H = a + Z1−α / 2 . sa

AD = tgh( a D ) a D = a − Z1−α / 2 . sa

1 f  a = ln +  2  f− 

a=

1 1 1 + 2 n + n−

Příklad: Vliv změny střihu na pocity při nošení 48 respondentů.

n f

+ 17 0,354

0 21 0,438

10 0,208

0.354 − 0.208 = 0.2598 0.354 + 0.208 a D = 0.265 − 2. 0.199 = −0133 . AD = tgh( −0133 . ) = −0.132 A=

Nedošlo k výraznému zlepšení!

1  0.354  a = .ln  = 0.265 2  0.208  1 1 1 + = 0199 sa − . . 2 17 10 = 0.663 a H = 0.265 + 2. 0199 . AH = tgh( 0.663 ) = 0.58 −0132 < A < 0.58 .

C. Kardinální škála Nejsilnější typ (číselná proměnná). Jsou přípustné asymetrické operace. Intervalová škála Určená s přesností do lineární transformace Y=c.x+b. Příklad: měření teploty. Poměrová škála má přirozený pořádek (b = 0) a je určena s přesností do proporcionální transformaceY = a.x Příklad: fyzikální měření (délka, hmotnost, pevnost,...) Většina užitných vlastností je v kardinálních škálách.

Zpracování dat: a) Nekategorizovaná data Nechť {xi} i = 1, . . . N je náhodný výběr • složený z nezávislých prvků • homogenní • normálně rozdělený Normalita: Q - Q grafy, vynáší se x(i) proti uPi, Pi = i/(N+1) Vybočující hodnoty: metoda barier (viz ZED) Jednodušší momentová metoda: platí, že vybočující jsou takové xj ,pro které je

x * − x j ≥ Kc . s * kde

[

]

Kc = 155 . + 0.8. g2 * −1.log( N / 10 )

x * , s* ......... odhadnuty střední hodnoty a směrodatné odchylky bez podezřelých bodů. g2*................. odhad špičatosti bez vybočujících bodů

g2* =

N . ∑ ( x i − x )4

[∑ ( x

i

− x )2

]

2

Postup je vhodný pro N ≥ 20 Pro N = 20 vyjde pro různá rozdělení: g2 = 3 Kc = 1.89 • Normální rozdělení g2 = 1.8 Kc = 1.77 • Rovnoměrné rozdělení g2 = 6 Kc = 2.09 • Laplaceovo rozdělení ODHADY PARAMETRŮ Polohy: průměr x ~ medián x 0 .5

Rozptýlení: rozptyl s2 směrodatná odchylka s variační koeficient v = s / x .100

Přesnosti odhadů se charakterizují pomocí rozptylů: 2 Pro případ normálního rozdělení dat xi ~ N ( µ , σ ) je

σ2 π .σ 2 ~ D( x ) = D( x0.5 ) = 2. N N 4 σ2 2 .σ 2 D( s ) = D( s ) = 2.( N − 1 ) N −1  N + δ 2 .( 2. N + 1 )  µ , kde δ = je populační medián D( v ) = δ 2 .   + σ 2 1 . N .( N )  

Klasická analýza: a) x , s2 a 100. (1 - α) % má interval spolehlivosti střední hodnoty

x − t1−α / 2 ( N − 1 ). b)

s s ≤ µ ≤ x + t1−α / 2 ( N − 1 ). N N

Variační koeficient v [%] a interval spolehlivosti pro δ asymptoticky:

v v − Z1−α / 2 . D( v ) ≤ δ ≤ + Z1−α / 2 . D( v ) 100 100 Extrémně malé výběry: (N ≤ 20) ! Vždy vysoká nejistota → velký vliv vybočujících měření. N=2 1. Určí se x , {x1, x2} 2. 95 %-ní IS

x − x2 x − x2 x1 + x2 x + x2 − 12.7 1 ≤µ≤ 1 + 12.7 1 2 2 2 2

Obecně se místo koeficientu 12.7 dává koeficient závislý na typu rozdělení. N=3 1. Určí se odhad x * (průměr ze dvou nejbližších hodnot) 2. 95 %-ní IS pro µ je

x * −4.3

s s ≤ µ ≤ x * +4.3 3 3

Hornův postup: (pro malé výběry 4 ≤ N ≤ 20 ) {xi}i-1,2,...N {1,3,2,6,1.5}

Pořádkové statistiky {x(i)} {1,1.5,2,3,6}

Hloubka pivotů:

H=

int[( N + 1 ) / 2] 2

Dolní pivot: x D = x (H) Horní pivot: x U = x ( N + 1 -H ) Odhady 1. Polohy

PL =

x D + xU 2

2. Rozptýlení

R L = xU − x D

H=

int[(( N + 1 ) / 2 ) + 1] 2

..... vybere se celé číslo

3. 95%-ní IS střední hodnoty u (odhad je PL )

PL − R L . K0.975 ( N ) ≤ µ ≤ PL + R L . K0 .975 ( N )

Kvantily K0.975(N) pro různá N: (podrobněji kniha Meloun M., Militký J.:Statistické zpracování experimentálních dat, PLUS 1994) N 4 5 6 7

K0.975(N) 0.738 2.094 1.035 0.72

N 8 9 10 15 20

K0.975(N) 0.564 0.915 0.668 0.466 0.397

Příklad: Měření pevnosti ba vláken. {xi } i = 1, . . . 5 {0.531, 0.677, 0.171, 0.065, 0.848} {x(i) } . . . . . . {0.065, 0.171, 0.531, 0.677, 0.848} 4 N +1 N +1 H= =2 = 3, +1= 4 ⇒ 2 2 2 x D = x( 2 ) = 0171 . xU = x( 6− 2 ) = 0.667 0.171 + 0.667 = 0.424 2 L = 0.424 − 2.094 .0.506 = −1332 .

PL =

PL = 0.667 − 0171 . = 0.506 K0 .975 ( 5 ) = 2.094 L = 0.424 + 2.094 .0.506 = 2.18

Interval spolehlivosti zahrnuje 0 ( málo dat). b) Kategorizovaná data Vznikají tříděním číselných údajů do intervalů, které jsou třídami nového znaku. Jednotlivým třídám přiřazujeme číselné hodnoty x j (střed intervalu,....). Diskrétní, kardinální, četností kategorizace, pseudokategorizace. Příklad:

Délka vláken: Třída 21 - 23 23 - 25 25 - 27 27 - 29 N = 250

xj 22 24 26 28

nj 50 80 72 48

Třídy: • přirozené číselné vyjádření (počet vad) • sloučením údajů A = {a1 ,a2 ,...a K ′ } ⇒ x = {x1 , x2 ,... x K }

fj 0.2 0.32 0.288 0.192

Fj 0.2 0.52 0.808 1

kde K < K ′

Sloučení údajů: n1

n2

n3

H1 x1 *

D1

D2

xi* ............................ průměr

H2 x2 *

D3

x3 *

D3

xi * = Di + ( Hi − Di ) / 2 = ( Di + Hi ) / 2 ∆xi = Hi − Di ........... délka třídy

Di , Hi .................... třídní interval K

N = ∑ ni i =1

Parametry: D1 , K ,∆xi

[

]

0 ≤ k . ∆x − x N − x( 1 ) ≤ ∆x Volba K:

D1 + K . ∆x > x( N )

N > 100 ................................ 40 ≤ N ≤ 100 .........................

0 < x( 1 ) − D1 ≤ ∆x

K = int[10.log( N )]

[

K = int 2. N

]

N < 100 .................................

K = int[1 + 144 . .ln( N )]

Universálně ............................

K = int 2.64 .( N − 1 )0.4

46

[

]

Nekonstatní délka tříd - ekvipravděpodobnostní princip. f(x) stejné plochy

delší

kratší

kratší

Charakteristiky polohy: a) Konstantní ∆x

F − 0.5 ~ x0 .5 = x Me + ∆x / 2 − ∆x . Me l

b) obecně:

F − 0.5 ~ x0.5 = x Me − ∆x Me . Me f 0.5

Aritmetický průměr:

1 K x = ∑ f i . xi * = ∑ ni . xi * N i =1 i =1 K

x = xK * → f K = 1

f1 = 1

Charakteristiky rozptýlení: Rozptyl

x

Me . . . mediánová kategorie

Medián

Vlastnosti: x = x1 * →

delší

K

K

i =1

i =1

s 2 = ∑ f i .( xi * − x )2 = ∑ ( f i . xi * 2 − x 2 )

Vlastnosti: 1. s2 = 0 ........ všechna data v jedné třídě f i = 1 2. Maximálně smax2 = ( xK* - x1*) / 4 ⇒ f1 = fK = 0.5 3. Čím větší s2 tím více se data vzdalují od x .

47