TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Základy spojitého řízení Analýza elektrického obvodu

Učební text

Josef J a n e č e k

Liberec

2010

Materiál vznikl v rámci projektu ESF (CZ.1.07/2.2.00/07.0247) Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, KTERÝ JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Analýza elektrického obvodu Většina metod analýzy elektrických obvodů se opírá o tzv. Kirchhoffovy zákony. Rovnice popisující elektrický obvod lze snadno získat přímou aplikací těchto zákonů. 1. Kirchhoffův zákon (proudový) je speciálním případem rovnice kontinuity. Algebraický součet proudů ve větvích spojených v libovolném uzlu je roven nule

∑ ik (t ) = 0 k

Obvykle uvažujeme, že proudy tekoucí do uzlu mají znaménko plus a proudy tekoucí z uzlu pak znaménko minus. 2. Kirchhoffův zákon (napěťový) – algebraický součet všech napětí ve větvích tvořících libovolnou smyčku je roven nule

∑ u k (t ) = 0 k

Napětí orientované souhlasně se smyčkou uvažujeme jako kladné, napětí orientované opačně jako záporné.

Metoda smyčkových proudů vychází z druhého Kirchhoffova zákona. Neznámými jsou fiktivní (myšlené) smyčkové proudy, které uvažujeme v nezávislých smyčkách analyzovaného obvodu. Tyto proudy automaticky splňují první (proudový) Kirchhoffův zákon. Aplikace této metody viz příklad. Metoda vede v obecném případě k řešení velkého počtu rovnic s mnoha neznámými. Řešení i rozsáhlejší soustavy rovnic je bez použití výpočetní techniky složité a velmi pracné. Programové prostředí MATLAB je vhodné pro řešení takovýchto typů úloh. Nabízí řadu užitečných maticových funkcí v uživatelsky příjemného tvaru, které nám umožňují snadno tyto úlohy řešit bez nutnosti programování složitých cyklických operací.

ZSR - Analýza elektrického obvodu

2

Příklad Vypočítejte velikost všech neznámých proudů a napětí v obvodu podle obr. 1. Jsou zadány hodnoty odporů jednotlivých rezistorů R1 = 4 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 8 Ω, R4 = 15 Ω, R5 = 5 Ω a R6 = 10 Ω a napětí stejnosměrných zdrojů U1 = 6 V, U2 = 3 V, U3 = 12 V a U6 = 5 V. I1

R1

R2

I2

I3 R3 U1

IS1

U2

IS2 U3

I4

R4

R5

I5

I6

IS3 R6

U6

Obr. 1 : Schéma zapojení elektrického obvodu Řešení Příklad budeme řešit metodou smyčkových proudů. Jako neznámé zavedeme např. smyčkové proudy IS1, IS2 a IS3 v jednotlivých nezávislých smyčkách (viz obr.1). Směr proudu vyznačený šipkami (přesněji „smysl“) můžeme volit libovolně, stejně tak i odhadnuté směry proudů jednotlivých rezistorů. K sestavení rovnic použijeme druhý Kirchhoffův zákon s tím, že napětí na rezistorech se rovnají podle Ohmova zákona součinu jejich odporu a protékajícího proudu

R1 IS1 + U1 + R4 (IS1 − IS3) − U3 + R3 (IS1 − IS2 ) = 0 R2 IS2 + R3 (IS2 − IS1) + U3 + R5 (IS2 − IS3 ) − U2 = 0 R4 (IS3 − IS1) + R6 IS3 − U6 + R5 (IS3 − IS2 ) = 0 a po úpravě

(R1 + R3 + R4 ) IS1 − R3 IS2 − R4 IS3 = −U1 + U3 − R3 IS1 + (R2 + R3 + R5) IS2 − R5 IS3 = U2 − U3 − R4 IS1 − R5 IS2 + (R4 + R5 + R6 ) IS3 = U6 Po zadání konkrétních hodnot jednotlivých rezistorů a napěťových zdrojů dostáváme tři rovnice pro tři neznámé smyčkové proudy. Vyřešením této soustavy rovnic vypočítáme jejich konkrétní hodnoty, ze kterých pak snadno vyjádříme proudy, které protékají jednotlivými rezistory a jejich napětí.


3

1. Řešení úlohy matematickými prostředky v maticovém tvaru Výše uvedenou soustavu lineárních algebraických rovnic zapíšeme v maticovém tvaru ⎡ R1 + R3 + R4 ⎢ − R3 ⎢ ⎢⎣ − R4

− R3 R2 + R3 + R5 − R5

⎤ ⎡ I S1 ⎤ ⎡− U1 + U 3 ⎤ ⎥ ⋅ ⎢I ⎥ = ⎢ U − U ⎥ 3 ⎥ ⎥ ⎢ S2 ⎥ ⎢ 2 R4 + R5 + R6 ⎥⎦ ⎢⎣ IS3 ⎥⎦ ⎢⎣ U 6 ⎥⎦ − R4 − R5

a dosadíme konkrétní hodnoty dle zadání ⎡ 27 − 8 − 15⎤ ⎡ IS1 ⎤ ⎡ 6 ⎤ ⎢ − 8 33 − 5 ⎥ ⋅ ⎢ I ⎥ = ⎢− 9⎥ ⎢ ⎥ ⎢ S2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 15 − 5 30 ⎥⎦ ⎢⎣ IS3 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

Pro řešení soustavy v tomto tvaru využijeme s výhodou prostředky lineární algebry. Označíme-li matici soustavy symbolem A, vektor neznámých smyčkových proudů IS a vektor pravých stran b, lze vyjádřit uvedenou soustavu rovnic ve tvaru A IS = b

IS = A-1b ,

a její řešení

⎡ 27 − 8 − 15⎤ A = ⎢ − 8 33 − 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 15 − 5 30 ⎥⎦

,

A-1... inverzní matice k matici A

⎡ IS1 ⎤ IS = ⎢IS2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ IS3 ⎥⎦

⎡0,062 0,020 0,034⎤ A −1 = ⎢0,020 0,038 0,016⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0,034 0,016 0,053⎥⎦

,

⎡6⎤ b = ⎢− 9⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

(poznámka k výpočtu A-1 viz dále)

Poznámka k řešitelnosti uvedené soustavy rovnic Řešitelnost soustavy lineárních Soustava má řešení tehdy a jenom v tomto případě ⎡ 27 − 8 h S = hod A = hod ⎢ − 8 33 ⎢ ⎣⎢− 15 − 5

rovnic je určena tzv. Frobeniovou větou. tehdy, pokud hodnost hS matice soustavy A, − 15⎤ −5⎥ =3 ⎥ 30 ⎥⎦

a hodnost hR rozšířené matice soustavy AR = [A, b], zde ⎡ 27 − 8 − 15 6 ⎤ h R = hod A R = hod ⎢ − 8 33 − 5 − 9⎥ = 3 ⎥ ⎢ ⎢⎣− 15 − 5 30 5 ⎥⎦ ZSR - Analýza elektrického obvodu

4

jsou shodné. Podmínka hS = hR = 3 je splněna, soustava tedy řešení má. Pokud by hS ≠ hR, uvažovaná soustava by řešení neměla. Jestliže dále hS = hR = n, kde n je počet neznámých (zde n = 3), existuje řešení jediné. Pokud však hS = hR ≠ n existuje ∞ mnoho řešení. V našem konkrétním případě tedy řešení existuje a je jediné. Řešení soustavy algebraických rovnic Často používaným efektivním způsobem je aplikace tzv. Cramerova pravidla. Jestliže matice soustavy A má plnou hodnost (je regulární, její determinant je nenulový), má soustava jednoznačné řešení, které můžeme postupně pro jednotlivé proměnné vyjádřit jako podíl Di / D, kde D = det A a Di je determinant matice, která vznikne z matice A záměnou i-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic b. 27 − 8 − 15 D = det A = − 8 33 − 5 = 15510 − 15 − 5 30 6 − 8 − 15 − 9 33 − 5 5 − 5 30 D 5630 IS1 = 1 = = = 0,3630 A 15510 15510 D 27 6 − 15

−8 −9 −5 − 15 5 30 D 2100 IS2 = 2 = =− = −0,1354 A D 15510 15510 27 − 8 6

−8 IS3 =

33 − 9

− 15 − 5 5 D3 = D 15510

=

5050 = 0,3256 A 15510

Proudy v jednotlivých větvích pak jsou

I1 = IS1 = 0,3630 A I2 = −IS2 = 0,1354 A I3 = IS1 − IS2 = 0,3630 + 0,1354 = 0,4984 A I4 = IS3 − IS1 = 0,3256 − 0,3630 = −0,0374 A I5 = IS2 − IS3 = −0,1354 − 0,3256 = −0,4610 A I6 = IS3 = 0,3256 A


5

Napětí na jednotlivých rezistorech vypočteme pomocí Ohmova zákona

UR = R1 I1 = 4 ⋅ 0,3630 = 3,6684V UR = R2 I2 = 20⋅ 0,1354 = 2,7080V 1

2

UR UR UR UR

3

4 5 6

= R3 I3 = 8 ⋅ 0,4984 = 3,9872 V = R4 I4 = 15⋅ (−0,0374) = −0,5610V = R 4 I5 = 5 ⋅ (−0,4610 ) = −2,3050 V = R6 I6 = 10 ⋅ 0,3256 = 3,2560 V

Záporná znaménka u proudů I4 a I5 jsou způsobena opačnou volbou orientace jejich působení (špatně původně odhadnutý směr proudových šipek) ve schématu. Z toho vychází i orientace napětí UR4 a UR5. Poznámka k výpočtu inverzní matice Inverzní matice A-1 je taková čtvercová matice, pro kterou platí A-1 A = A A1 = E, kde E je jednotková matice (jedničky na hlavní diagonále, ostatní prvky nulové). Pro každou čtvercovou regulární matici A (det A ≠ 0) existuje právě jediná A-1 = adj A / det A. Matice adj A je tzv. adjungovaná matice, je sestavená z algebraických doplňků matice A (prvek na pozici (i, j) této matice dostaneme jako determinant matice vzniklé vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce transponované matice AT vynásobený koeficientem (–1) i+j ). V našem případě ⎡965 315 535⎤ adj A = ⎢315 585 255⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣535 255 827⎥⎦ ⎡0,062 0,020 A adj A−1 = = ⎢0,020 0,038 det A ⎢ , ⎢⎣0,034 0,016

27

− 8 − 15

det A = − 8 33 − 15 − 5

− 5 = 15510 30

0,034⎤ 0,016⎥ ⎥ 0,053⎥⎦

Výpočet inverzní matice pro nejčastější případ rozměru matice 2×2 je proto zcela triviální (záměna prvků ležících na hlavní diagonále a inverze znaménka prvků ostatních, vše děleno determinantem). Determinant čtvercových matic rozměru 2×2 a 3×3 je možné vyjádřit tzv. Sarrusovým pravidlem. Sarrusovo pravidlo však neplatí(!) pro matice s větším počtem řádků (a sloupců), pro výpočet jejich determinantů je nutné použít rozvoj podle libovolného řádku nebo sloupce. Inverzní matici lze vypočítat i jiným než výše uvedeným způsobem (často tzv. Gaussovou eliminací).


6

2. Řešení úlohy v prostředí MATLABu S použitím standardních funkcí MATLABu lze maticovou rovnici A IS = b velmi snadno vyřešit. Řešení hledáme ve tvaru IS = A-1 b , tedy jako násobení (zleva !) vektoru b inverzní maticí A-1 . Alternativou je i tzv. „dělení zleva“ IS = A \ b , které MATLAB nabízí. Jedná se však pouze o formální variantu téhož v jiném syntaktickém zápisu. (Podle názoru autora tohoto textu je toto označení poněkud zavádějící, v matematice neexistuje dělení maticí nebo vektorem, pouze násobení maticí inverzní. V tomto smyslu je i tato matlabovská funkce konstruována, vychází pouze vstříc uživatelům, pro které je tento syntaktický zápis přijatelnější.)

Obr. 2. : Dvě různé varianty řešení v MATLABu S výhodou lze řešení úkolu zapsat do skriptu, který je pak možné opakovaně volat. Jednoduchým způsobem je tak možné provést analýzu obvodu pro různé hodnoty zadaných parametrů. Příklad možného skriptu je na obr. 3. Uvedený skript je rozdělen na několik částí. V první části jsou zadávány hodnoty odporů jednotlivých rezistorů a napětí stejnosměrných zdrojů. V druhé části je proveden vlastní výpočet. Pomocí příkazu disp je realizován výstup textu na obrazovku. % Vypocet napetovych a proudovych pomeru pomoci smyckovych proudu % Aplikace Kirchhoffovych zakonu clear all, close all, clc format compact, format short disp(' ') disp(' ') disp('*****************************************************') disp(' Vypocet napetovych a proudovych pomeru v elektrickem obvodu') disp(' Aplikace Kirchhoffovych zakonu – metoda smyckovych proudu ') disp('*****************************************************') disp(' ') disp(' Parametry obvodu ') disp(' ')


7

% Zadane parametry obvodu R1=4, R2=20, R3=8, R4=15, R5=5, R6=10 disp('************ ') U1=6, U2=3, U3=12, U4=5 % Naplneni matic soustavy % matice soustavy A=[R1+R3+R4, -R3, -R4; -R3, R2+R3+R5, -R5; -R4, -R5, R4+R5+R6]; % vektor pravych stran b=[-U1+U3; U2-U3; U4]; % Reseni soustavy rovnic Is=inv(A)*b; disp('*****************************************************') disp(' ') disp(' Vypoctene hodnoty :') I1=Is(1), I2=-Is(2), I3=Is(1)-Is(2), I4=-Is(1)+Is(3) I5=Is(2)-Is(3), I6=Is(3) disp('************ ') UR1=R1*I1, UR2=R2*I2, UR3=R3*I3, UR4=R4*I4, UR5=R5*I5, UR6=R6*I6 disp('*****************************************************') disp(' Konec prikladu') disp('*****************************************************') disp(' ')

Obr. 3 : Příklad možného skriptu Stručné shrnutí, hlavní zásady Při práci v MATLABu rozlišujeme malá a velká písmena. Jednotlivé příkazy jsou odděleny čárkou, středníkem nebo novým řádkem. Středník potlačuje zobrazení vypočtených hodnot na obrazovce počítače. Prvky matice se zadávají do hranatých závorek po řádcích, jednotlivé prvky jsou na řádku odděleny mezerou nebo čárkou, řádky jsou navzájem odděleny středníkem. Chceme-li opakovat výpočet a případně také měnit vstupní parametry, je vhodné pro tyto účely vytvořit skript. Pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je vhodné její maticové vyjádření. Řešitelnost soustavy lineárních algebraických rovnic je určena tzv. Frobeniovou větou. Často používaným způsobem řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je použití Cramerova pravidla.


8

Otázky a úkoly o Jak se změní proud I1 rezistorem R1 jestliže se změní jeho odpor na polovinu ? o Jak se změní napětí UR1 při této změně ? o Jak se změní výkonové zatížení tohoto rezistoru ? o Sledujte všechny tyto změny jestliže se odpor rezistoru R1 mění v rozsahu 1 až 10 Ω. Závislosti vyjádřete tabulkou a grafem. o Vyšetřete, jak se změní poměry v obvodu, jestliže dojde k přerušení rezistoru R5. o Vyšetřete, jak se změní poměry v obvodu, jestliže se odpory všech rezistorů změní na polovinu. o Jak se změní proudy v obvodu, jestliže se změní všechna napájecí napětí na dvojnásobek? Ověřte váš předpoklad. o Klaďte si podobné otázky a váš předpoklad vždy ověřte výpočtem. o Realizujte obvod s reálnými rezistory a srovnejte teoretický výpočet s měřením. o Aplikujte výše popsaný přístup na jiný elektrický obvod.

JaJ, TUL FM MTI

Poděkování: Tento text vznikl za podpory projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření. ZSR - Analýza elektrického obvodu

9

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Recommend Documents