TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

Technická diagnostika Základy frekvenční analýzy signálů

Učební text Ivan Jaksch

Liberec

2011

Materiál vznikl v rámci projektu ESF (CZ.1.07/2.2.00/07.0247) Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, KTERÝ JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Základy frekvenční analýzy signálů Úvod

1. Úvod: Analýza signálů je základem Číslicových měřicích systémů neboť každý měřený signál se podrobuje analýze. Analýza signálů je velmi rozsáhlý obor s určitými specialitami pro různá odvětví. Uveďme stručný přehled možných variant analýzy signálů. 

 

analýza deterministických (stacionárních) signálů  charakteristiky signálů v časové oblasti  zpracování signálů ve frekvenční oblasti, frekvenční analýza  číslicová filtrace  zpracování signálů za přítomnosti šumu  zpracování signálů z mechanických systémů, souběhová filtrace (order tracking), synchronní filtrace (time enhancement), měření a hodnocení frekvenčních charakteristik, koherenční funkce  modulace a demodulace signálů, amplitudová , frekvenční a fázová charakteristika, Hilbertova transformace, analýza obálky zpracování stochastických signálů, z hlediska rozložení amplitud – rozdělení pravděpodobností, časové –korelační funkce, spektrální – spektrální výkonové hustoty analýza nestacionárních signálů (analýza rychle se měnících signálů, spojená časověfrekvenční analýza), moderní nástroj, který se vyvíjel zejména po r. 1985  lineární  Short Time Fourier Transform (STFT)  wavelett transformace spojité a diskrétní  banky filtrů  ostatní  nelineární  Cohenovy třídy  afinní  ostatní

Pozn: V rámci Technické diagnostiky budou probrány v další přednášce i metody analýzy nestacionárních signálů.

2

Základy frekvenční analýzy signálů Fourierova transformace

Signál – převedená fyzikální veličina ( napětí, tlak aj.) Základní údaje v časová oblasti  Střední hodnota (centrální moment 1. řádu)  Efektivní hodnota (moment 2. řádu)  Rozptyl, střední kvadratická odchylka ( centrální moment 2. řádu)  Činitel výkyvu (crest factor)  Korelační (kovarianční) funkce  Pravděpodobnost rozložení

2. Fourierovy řady Základem pro zkoumání ve frekvenční bylo zjištění J.B.Fouriera, že jakékoliv periodická funkce x(t) může být složena z harmonických funkcí o frekvencích, které jsou násobkem základní frekvence dané reciprokou hodnotou periody signálu T.

xt   xt  nT  xt  

  a0  2   2    ak  cos k  t   bk  sin  k  t  2  T   T  k 1

2 2  2   2  xt   cos k  t  dt , bk   xt   sin k  t dt  T0 T0 T  T  T

kde

ak 

T

x(t) je možno také rozepsat pomocí samostatných kosinových nebo sinových funkcí.









1

 F b  2  xt   0   Fk  cos k  t   k , Fk  ak2  bk2 2 ,  k  tan 1 k 2 k 1 ak T  1

 F a  2  xt   0   Fk  sin  k  t   k , Fk  ak2  bk2 2 ,  k  tan 1 k 2 k 1 bk T 

Reálný harmonický signál lze vyjádřit součtem dvou komplexně sdružených exponenciálních funkcí:

A  cost    

A A  exp j t      exp j t    2 2

Rozklad harmonic. signálu na dvojici rotujících vektorů

Souvislost mezi rotací vektoru a hormon. signálem

3


Reálný harmonický signál je součet dvou rotujících vektorů (fázorů) o poloviční amplitudě reálného signálu A/2 z nichž jeden rotuje kladným a druhý záporným směrem. V součtu se oba promítají do reálné osy. To tvoří základ pro pochopení kladných a záporných frekvencí. Pak lze napsat ( Fourierova řada v komplexním tvaru):  1t  2   2  xt    ck  exp j k  t , ck   xt   exp j k  t dt , T0  T   T  k  

pro k  0,  1,  2,  3...

Vzájemná souvislost reálných a komplexních definic: ck  1 2 ak  jbk , ck  1 2 ak  jbk 

ak  ck  ck , bk  j ck  ck 

Fourierovy řady - určené pro periodické signály - spektrum obsahuje pouze izolované složky s frekvencemi, které jsou násobky základní (harmonické) frekvence 0 =2/T. Příklady Fourierových řad

Příklady Fourierových řad. Jsou uvedeny časové průběhy a vztahy pro výpočet koeficientů ak , bk

4


3. Fourierova transformace obecného signálu Fourierova transformace  rozklad obecného (periodického i neperiodického) signálu na harmonické složky  spektrum je spojitá funkce frekvence 

X    F xt  

 xt  exp  jt dt



xt   F 1X   

1 2



 X   exp  jt d



4. Fourierova transformace vzorkovaného signálu 



k  

k  

yt    xk   t  kt   xt     t  kt  Vzorkovací signál y(t) je součin x(t) a periodické funkce obsahující Diracovy pulsy. Jde o posloupnost Diracových pulsů posunutých o periodu vzorkování ∆t, fs=1/∆t. Y   

1   2  2 X   k , s  2f s   t k   t  t

Spektrum vzorkovaného signálu Y() je periodické s periodou ωs (fs).

5

Základy frekvenční analýzy signálů Diskrétní Fourierova transformace

5. Diskrétní Fourierova transformace a algoritmy FFT Za předpokladu, že x(t) je periodická funkce s periodou T=N*∆t – řad vzorků x(n) – je výsledné spektrum X(k) diskrétní s odstupem frekvenčních složek ∆f=1/T a periodické s periodou fs= fvz.

Základní vztahy pro přímou a inverzní transformaci: X(k) je vlastně výsledkem korelace vstupních vzorků se základními kosinovými a sinovými funkcemi na obr. se jedná o cos funkce s nulovou imaginární části X(k) DFT si můžeme představit jako soustavu pásmových propustí se shodnou šířkou pásma danou ∆f = 1/T .

         xt            

X0 

1 N

1 X1  N X2 

1 N

1 X3  N XN 

1 N

N 1

 xn n 0

N 1



xn e

 j 2 n N

n 0

N 1

 xn e

 j 2 2 n N

n 0

N 1



xn e

 j 2 3 n N

n 0

N 1

 xn e

 j 2 n

n 0

Pozn.: Normalizační koeficient v definici DFT 1/N je v některých publikacích uváděn obráceně: FT IFT xn X k , X k   1 xn N

6


Představa DFT Je nutno mít na zřeteli, že spektrum je komplexní, I když často, zejména v analýze náhodných procesů není fáze komplexního spektra pro analýzu zajímavá. 2

j 1 N 1 Xk   xn  w Nnk , w N  e N N n 0 N 1

xn   X k  w N nk k 0

spektrum je komplexní, X k  reX k   j  imX k   X k  e

 j k

s krokem ∆f

k  fs  k  X k  X k  f   X    X   T   N 

Obrázky ukazují harmonický signál postupně posunutý. Magnituda spektra je ve všech případech stejná, mění se jen reálná, imaginární část a tedy i fáze komplexního spektra. Vektor komplexního spektra se otáčí po kružnici. Pozn.: Hodnoty magnitudy |X[k]| bývají obvykle vyjádřeny v efektivních hodnotách namísto v amplitudách jako odmocnina výkonového spektra, (krát 1 2 ). Zvláště pokud používáme průměrování spekter.

7


Vztah mezi DFT a koeficienty Fourierovy řady

a0  2  X 0 , a k  2  reX k  , bk  2  imX k 

Plyne z rozkladu reálného harmonického signálu na dvě komplexně sdružené exponenciální funkce viz. str. 2 Základní vztahy – časová oblast / frekvenční oblast f 1 1 f    s T N  t N T 1 1 t    N 2  f MAX fN

f MAX  f N 

1 N  0.5  f s   f 2  t 2

5.1 Komplexní a reálná DFT, jednostranná a dvoustranná spektra DFT je definována obecně pro všechny frekvence odpovídající indexům od 0 až do N-1. Frekvence s indexy N/2- N-1 nejsou fyzikálně možné, byl by porušen vzorkovací teorém a odpovídají záporným frekvencím periodického spektra s e středem fs. Jsou to tedy vlastně záporně rotující frekvence se zápornou imaginární složkou periodického spektra se středem na vzorkovací frekvenci fs. Tato spektra se nazývají dvoustranná -double sided nebo full. A. reálné signály Koeficienty DFT mají pro reálné vzorkované signály některé důležité vlastnosti. Pro reálné signály platí sudá symetrie ve reálných hodnotách Xk reX k   reX N k , lichá symetrie v imaginárních hodnotách Xk imX k   imX N k .

Záporně rotující frekvence 0

fs

Sudá symetrie v magnitudách.

V technické praxi je většinou vstupní signál reálný. Vzhledem k výše uvedené symetrii je možno pro reálné signály počítat tzv. jednostranná -single sided - spektra. Jednostranná spektra přiřazují celou energii signálu do kladných frekvencí 0-fN, kde fN značí Nyquistovu frekvenci fN = fs/2 (neplést značení Nyquistovy frekvence fN s N ve vzorcích pro DFT, kde N značí počet dat). Tyto frekvence odpovídají reálným frekvencím z rozsahu 0- fN. Hodnoty těchto spekter jsou dvojnásobné oproti hodnotám dvoustranného spektra. Na tomto principu pracuje většina FFT analyzátorů, osciloskopů s FFT aj. Otázka tedy je, proč se u reálných signálů používá pouze spektrum od 0 do poloviny vzorkovací frekvence fN. Je to pro to, že spektrum reálných signálů je plně určeno od 0- fN. a koeficienty od N/2 do N-1jsou komplexně sdružené. Pokud použijeme pro reálné signály dvoustranné spektrum od 0-fs je a vyhodnocujeme pouze 0-fs /2 , je třeba hodnoty dvoustranného spektra vynásobit 2.

8


B. komplexní signály Pro komplexní signály např. orbity, nebo komplexní prostorová transformace tato symetrie neplatí a je třeba používat plná dvoustranná spektra. Ta jsou zobrazena buď v rozsahu –fs/2 do + fs/2 se středem v 0 a to je logické. V rozsahu –fs/2 - 0 jsou to záporné frekvence, v rozsahu 0 - fs/2 jsou to kladné frekvence. Další možnost je zobrazení v rozsahu 0 - fs kde v rozsahu 0 –( fs/2 -1) jsou to kladné frekvence,v rozsahu fs/2- (fs -1) jsou to záporné frekvence spektra s e středem fs Spektra komplexních signálů nejsou symetrická. Např. v uváděném případě komplexního vektoru jsou při vyváženosti 3 fázové soustavy hodnoty magnitudy spektra pro záporné frekvence blízké nule. V praxi např. MATLAB počítá vždy úplná dvoustranná spektra dle definice FFT a hodnoty koeficientů 0- fN je třeba vynásobit 2. LabWindows/CVI má funkce jak pro dvoustranná spektra např. FFT, aj. tak i pro jednostranná spektra ReFFT ve složce Measurement jako AutoPowerSpectrum, CrossPower Spektrum aj. Je vždy třeba vědět a jaký druh spektra jde.

9


Shrnutí:

Periodický signál je dán opakováním Gausova pulzu. Spektrum Gausova pulzu je stejná funkce jako původní časová funkce. Pozorně prohlédněte obrázky. 1.Periodický signál má diskrétní spektrum s krokem frekvence daným převrácenou dobou periody. 2.Integrál s mezemi -∞ , ∞ dává pro neperiodický pulz spojité spektrum. 3.Diskrétní signál má periodické spektrum ( opak bodu 1). 4.DFT je již z matematické definice periodická jak v originálech tak i obrazech.

10

Základy frekvenční analýzy signálů FFT

6. Rychlá Fourierova transformace, FFT Výpočet klasické Fourierova transformace je zřejmý z následujícího výpočtu:

Klasická Fourierova transformace potřebuje N2 komplexních násobení a stejný počet komplexních sčítání. FFT algoritmus redukuje počet násobení na (N/2)log2(N). FFT algoritmus pracuje s počtem prvků v mocnině 2, N=2m. N 256 512 1024 2048

DFT operace 65 534 262 144 1 048 576 4 144 304

FFT operace 1 024 2 304 5 120 11 264

Účinnost 64:1 144:1 205:1 372:1

První algoritmus pro výpočet FFT byl vytvořen Cooleyem a Tookeyem a je nazýván „algoritmem decimování v čase“ neboli „algoritmem DIT“. Princip FFT je založen na

r

N 2

  w Nr

1. symetrii

wN

2. periodicitě

wNr  N   wNr

N 1

N 1 2

N 1 2

n 0

n 0

n 0

X k   xn  w Nkn   x2n  w N2 kn   x2n  1  w Nk 2 n 1  N 1 2

  X 1 n   w N2 kn  n 0

N 1 k 2 wN  X 2 n 0

n   w N2kn

 X 1 k   w Nk X 2 k 

Součet dvou N/2-bodových DFT, liché a sudé členy

X k   X 1 k   w Nk  X 2 k 

 N  k  0 , 1 , .... 1  N  2 X  k    X 1 k   w Nk  X 2 k  2  

11

Základy frekvenční analýzy signálů FFT

Potřebujeme 2(N/2)2 = N2/2 operací. Postupně dělíme původní N-bodovou na čtyři (N/4)bodové a dále až se dostaneme k základní dvojici hodnot popisujících 2-bodovou DFT.

Dvoubodová DFT, tzv. motýlek Postup výpočtu DIT pro N=8 je znázorněn na následujícím obrázku. Výpočet sestává ze tří stupňů. DFT N/4, DFT N/2 . Hornímu bloku DFT/4 přísluší vzorky se sudým pořadím, dolnímu bloku DFT/4 přísluší vzorky s lichým pořadím. Pořadí vzorků je dáno tzv. bitovou inverzí, tj. otočí se bity odpovídající binárně pořadí vzorku.

Algoritmus FFT decimování v čase pro 8-mi bodovou FFT. Mimo tohoto základního algoritmu DIT existuje dalších několik algoritmů. Nejznámější je „decimování ve frekvenci“ DIF.

12

Základy frekvenční analýzy signálů Použití okének

7. Finitní Fourierova transformace, Okénka Finitní Fourierova transformace nese sebou dvě limitace:  konečný čas realizace T  konečný počet frekvencí fk, k=0,1,…N/2-1 s krokem Δ f= 1/T Diskrétní Fourierova transformace je definována za předpokladu periodické funkce jak v originálech, tak v obrazech. Měříme-li x(t) po dobu T je signál vždy hradlován funkcí jednotkového okénka g t   1 pro 0  t  T . Mimo mezí je g t   0. V čas. oblasti xT(t) = x(t) . g(t) znamená, že XT(f)= X(f)* G(f) a spektrum je přeměněno konvolucí se spektrem jednotkového okénka. Tento jev je neodstranitelný, vzhledem k měřicímu okénku, které existuje vždy. 

X T  f   G f   X  f    G f   X  f   d 

G f  



 g t   e

 j 2ft

dt 

 T /2

 ((cos(2ft )

j sin( 2ft ))dt 

T / 2

T

sin(fT )  T sin c (s ) fT

kde s= fT

Chyba magnitudy způsobená konvolucí změněného spektra – nejvyšší je pro frekvenci signálu, která leží přesně v polovině diskrétních frekvencí – může být až 37 %, což je mnohem více, než všechny chyby digitalizačního řetězce. Proto je třeba tuto chybu přesně znát a vědět, jak ji snížit!!! Jednotkové okénko je implicitní a nemůže být odstraněno. Spektrum okénka je funkce sinc(x). Obdélníkovým oknem lze měřit přesně pouze spektra signálů, která obsahují jen složky o frekvencích násobků 1/T. Postranní laloky mají malý odstup od hlavního laloku a v případě, že spektrální frekvence neleží na diskrétní frekvenci fk , je spektrum značně roztaženo a navíc magnituda spektra pro hlavní frekvenci je značně zkreslena. Největší pokles tehdy leží –li frekvence signálu přesně na polovině mezi diskrétními frekvencemi. To je ve většině případů nevýhodné, proto bylo vymyšleno mnoho jiných okének. Spektrum těchto okének má širší hlavní složku a větší odstup postranních laloků od hlavního. To má výhodu v menší chybě magnitudy, na druhé straně však dochází k roztažení hlavního pásma. Většina okének jsou posunuté kosinusovou s různě definovanými konstantami. Všechna mají pozvolný přechod v intervalu -1/2T +1/2T .

13


Konstrukce Hanningova okénka 

Okno Hanning je definováno vzorcem  2   t  wH (t )  1  cos  pro 0  t  T  T 

wH (t )  0 pro t  0, T  t

(3.7)

Časový průběh Hanningova okna

Spektrum Hanningova okna

Okénka můžeme použít v časové oblasti, kdy signál násobíme funkcí okénka (neperiodicita signálu snížena) a poté podrobíme spektrální analýze. Je však třeba dbát na to, aby se nesnížila celková efektivní hodnota signálu a tím i velikost spektrálních složek. Některé programy např. MATLAB vyžadují při použití okénka korekci magnitudy spektra. Můžeme je také použít ve frekvenční oblasti kdy provedeme dodatečnou konvoluci spektra signálu přeměněného konvolucí se spektrem jednotkového okénka se spektrem použitého okénka. Spektrum okének je vzhledem ke svým definicím několik posunutých impulsů a výpočet není složitý. Např. spektrum Hanningova okénka ,  1  1 H  f   G f   0.5G f    0.5G f   ( pozn.: konstanty v definicích liší, zde 1,0.5,0.5, nahoře  T  T

0.5, 0.25, 0.25) se skládá se tří pulzů. Konvoluce znamená, že při použití Hanningova okénka se k příslušné spektrální čáře připočte polovina předchozí a polovina následné. Opět musíme normalizovat. Porovnání vlastností časových oken včetně šířky pásma šumu je uveden dále

14


Porovnání vlastností časových oken Nejčastěji používaná okénka Obdélníkové okénko 1  T 2  t  T 2 G t    0 t   T 2, t  T 2 G s   sin cs  s  f T

ne jvetsi pokles je pro s 

   sin 2 je 20  log   /2  

1 2 , tedy pro f  2 T

  2   20 log  20 log 0.636  3.92dB    

Hanningovo okénko   2   H t   Gt    A0  2 A1 cos t  ,  T   A0  1, A1  0.5 Spektrum Hannigova okénka z obdélníkového ok. 1

H s   Gs  *  Ak   s  k  k  1

1 1   H  f   G  f   0.5G f    0.5G f   T T   Pokles v f=2/T je 1.4dB Flattop okénko:

4   2   H t   Gt    A0  2  Ak cos t    T  k 1  4

H s   Gs  *  Ak   s  k  k 4

Pokles v f=2/T je 0.1dB

15


Účinek obdélníkového okénka pro signál ležící na diskrétní frekvenci fn = n/T – horní obr.a v polovině mezi diskrétními frekvencemi fn = (n+1/2)/T – odpovídá π/2, 3π/2,……. (2k+1)π/2…spodní obr.s poklesy sin( 2k  1) ( 2k  1)





2 =

2 , (2k  1)

pro k = 0, 1, 2. tedy 0.636, 0.21 atd.

2

Přehledně funkce okének pro obdélníkové a Hanningovo okénko pro signál jehož frekvence  leží na diskrétní frekvenci spektra  je mimo diskrétní frekvenci.

16

Základy frekvenční analýzy signálů Obnovení signálu

8. Obnovení analogového signálu z jeho vzorků ( anti-imaging filtr) ωm ….. maximální frekvence ve spektru ωv = 2πfs ……vzorkovací frekvence x[n]……………posloupnost vzorků xa[t]…………..rekonstruovaný analogový signál Potřebujeme ze spektra vzorkovaného signálu odstranit všechna vyšší postraní pásma (spektrum je periodické s fv) a nechat pouze základní spektrum kolem počátku do ωv /2. Volíme ideální analogový filtr typu dolní propust s přenosovou funkcí Hr(jω)

 t H r  j    0 

 

v

 

v

2

2

(Pozn. Amplituda Hr je číselně rovno Δt, pro matematickou správnost)

X a  j   X D  j  t  H r  j   xa t   xD t  hr t 

kde Xa je spektrum rekonstruovaného signálu z původního Xd  /2  1 t r jt sin v / 2  t  jt hr t   H r  j   e d  e d   sin cv / 2  t    2  2 r / 2 v / 2  t xa t  



 xn hr t  nt  

n



 v



 xn sin c 2 t  nt 

n

Obnovený signál xa(t) je superpozicí posunutých funkcí sinc násobených hodnotami vzorků; tím jsou vyplněny mezery mezi vzorky a je obnoven analogový signál. Pro rekonstrukci proto používáme ideální analogovou dolní propust s pásmem 0,

17

v 2

.

Základy frekvenční analýzy signálů Číslicové zpracování signálů

9. Číslicové zpracování signálů Analogový signál  vzorkování, kvantování  číslicový signál 1 f s  fv  t  Shanon-Kotelnikův teorém f s  2 f max , složky f>fmax musí být menší jak kvantovací úroveň převodníku.  Antialiasing, překrytí, maskování Nastává při nedodržení vzorkovacího teorému

Maskování: Při nedodržení vzorkovacího teorému jsou skutečné frekvence z periodického spektra maskovány do oblasti frekvencí 0 – fN. Maskování může být i přes několik (n) pásem 0 – fs.

Skutečná frekvence se vypočte podle vztahu fskut = n fs ± fmask, n= 1,2 př. Skut. frekvence označená 1- je fskut = fs - fmask, Skut. frekvence označená 1+ je fskut = fs + fmask,

18

Základy frekvenční analýzy signálů Přístrojová technika

10.

Stručný přehled přístrojové techniky pro analýzu signálů.

Dále je uveden stručný přehled funkcí dynamického signálního analyzátoru. Jsou uvedeny přístroje firmy Hewlett- Packard. ( data nejsou k dispozici v češtině)

Blokové schéma Digitálního signálového analyzátoru – horní obrázek a detailnější schéma – spodní obrázek.

Princip bloku digitální filtrace. Po filtraci dolnofrekvenčním filtrem je provedena decimace. Postupně je tak vybíráno potřebné pásmo pro analýzu.

19

Základy frekvenční analýzy signálů Přístrojová technika

Princip „zoomu“ v dynamickém signálním analyzátoru.

Příchozí diskrétní signál A-A , který má být zvětšen kolem fc ,je mixovám s komplexní exponenciálou o frekvenci fc dané středem oblasti zvětšení („zoomu“). Tím je střední frekvence oblasti fc posunuta k nule B-B. Reálné a komplexní složky signálů jsou pak digitálně filtrovány C-C a převzorkovány D-D. Tím je snížena jejich frekvence a n krát zvýšeno rozlišení v daném pásmu. Další studijní materiály: [1]Literatura: M.Sedláček, Zpracování signálů v měřící technice, skripta ČVUT FEL [2] Analog Device, Hewlett Packard, notes, tutorials, technical articles etc.

Poděkování: Tento text vznikl za podpory projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření.

20

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Recommend Documents