TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

ALGEBRAICKÁ TEORIE ŘÍZENÍ

Učební text

Ing. Petr Mrázek, Ph.D.

Liberec

2011

Materiál vznikl v rámci projektu ESF (CZ.1.07/2.2.00/07.0247) Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, KTERÝ JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Algebraická teorie řízení

POLYNOMY A=A0+A1q+….+ Anqn kde je q=z-1 dále platí AP1 + BP2 = G AR1 + BR2 = 0 L = AR1 = -BR2 kde jsou

A,B – polynomy G – největší společný dělitel polynomů a,b L – nejmenší společný násobek polynomů a,b P1,P2 a R1,R2 – dva páry nesoudělných polynomů

 P1 P 2  A G   R1 R 2  B  =  0        P1 P 2  - polynomiální (unimodální) matice, která má konst. nenulový determinant  R1 R 2

kde 

Příklad: mějme následující polynomy

A = (2 − q )(1 − q 2 ) = 2 − q − 2q 2 + q 3 B = (2 − q )(− q ) = −2q + q 2 největší společný dělitel a nejmenší společný násobek pak je

G = (a, b) = 2 − q L = (2 − q )(q )(1 − q 2 ) = 2q − q 2 − 2q 3 + q 4 Polynom A je stabilní (asymptoticky), jestliže řada konverguje k nule tzn.

lim G (k ) = 0 k →∞

2


POLYNOMIÁLNÍ ROVNICE Př. Řešme diofantickou rovnici A=2-q-2q2+q3 , B= -2q+q2, C= -2+q+4q3-4q4+q5, G=2-q P1=1 P2= -q

R1=q R2=1-q2 C0=C/G=-1+2q3-q4

obecné řešení je M=P1C/G+R1H=-1+2q3-q4+(q)H N=P2C/G+R2H=(-q)(-1+2q3-q4)+(1-q2)H H – libovolný polynom

1. Stabilizující regulátor Př. Stejnosměrný motor s cizím buzením řízeným proudem do kotvy má přenos.

G( s) =

k 1 J s2

pro jednoduchost uvažujme k/J=1 diskretizovaný přenos je ve tvaru

g ( q) =

Ts2 q + q 2 2 (1 − q) 2

Pro zanedbatelnou dobu výpočtu akční veličiny v regulátoru je pak přenos

s (q ) = q −1 g (q) =

Ts2 1 + q 2 (1 − q ) 2

Abychom nemuseli mít omezující podmínky na regulátor, přesuneme zpoždění do systému. Pak řešíme polynomiální rovnici v tomto tvaru

Ts2 (1 − 2q + q ) X + (q + q 2 )Y = 1 2 2

řešením výše uvedené rovnice je X=1+0.75q

r=

Y=1/Ts2(2.5-1.5q)

Y − Af N = X + Bf M 3


kde f – libovolný stabilní přenos X , Y - řešení polynomiální matice

1 (2.5q − 1.5q 2 ) + (q + 2q 2 + q 3 ) S Ts2 N = rr (q) = qr (q ) = 2 T M 1 + 0.75q − s (q + q 2 )S 2

2. Modální řízení -

návrh regulátoru R tak aby systém měl zvolený charakteristický polynom

Příklad Uvažujme předchozí systém Nechť chceme určit přenos regulátoru R tak, aby zpětnovazební obvod měl nulové póly.Charakteristický polynom ∆ zpětnovazebního obvodu je dán ∆ =ap1+bp2. Stupeň charakteristického polynomu je omezen vztahem n=i>2na-1=3 zvolíme např. i=4

( z 2 − 2 z + z)M +

Ts2 ( z + 1) N = z 4 2

pro periodu Ts=1 je pak přenos R

r=

N − 2.5 + 3.5 z = M 1.25 + 2 z + z 2

4


3. Přizpůsobení systému zvolenému modelu Problém je možné vysvětlit i na lineárním spojitém systému Pro regulátor s jedním stupněm volnosti

s( s) =

B 10 s G 1 = , m( s ) = = 2 A ( s + 1) F s +1

AG (s + 1) 2 ( s + 1) 2 r ( s) = = = B( F − G ) 10 s ( s + 1 − 1) 10 s 2 Regulátor s dvěma stupni volnosti

s( s) =

G 1 B 10( s + 1) = , m( s ) = = 3 F ( s + 1) 2 A (s + 2)

Stupeň volitelného polynomu X je dán vztahem nx>=2na-nf-nbb-1 jestliže X je nultého stupně pak nesplňuje podmínku ryzosti regulátoru r1 proto volíme X=X0+X1s

AM + BN = FBX ( s + 2) 3 M + 10( s + 1) N = 10( s + 1) 3 ( X 0 + X 1 s ) volime X 1 = 1 , pak M = 10( s + 1) N = ( x0 − 4) s 2 + (2 x0 − 11) s + ( x0 − 8) pro X0=4 je N pouze prvního stupně. Přenos regulátoru je

N − 4 − 3s = , M 10( s + 1) R = GX

r1 =

r2 =

R 4+ s = M 10( s + 1)

4. Konečný počet kroků regulace pro neměřenou poruchu Mějme regulační obvod kde A(q)=(1-q)(1-0,5q), B(q)=0,5+0,3q, v=1, C- =q A+= (1-q)(1-0,5q) A- = 1

B+=B= 0,5+0,3q C- = q C+= 1

AM + q v BN = C +

5


(1 − 1.5q + 0.5q 2 )(M 0 + M 1 q) + (0.5q + 0.3q 2 )( N 0 + N 1 q) = 1 M 0 = 1, M 1 = 0.47727 N 0 = 2.0454, N 1 = −0.7954 r ( q) =

2.0454 − 0.7954q 1 + 0.47727q

e = − MC − = −(1 + 0.47727 q)q ∆u = − NC − = −(2.0454 − 0.7954q )q

6


5. KVADRATICKY OPTIMÁLNÍ DISKRÉTNÍ ŘÍZENÍ ( PRO SYSTÉMY S JEDNÍM VSTUPEM A JEDNÍM VÝSTUPEM - SISO )

5.1. S DOPŘEDNÝM REGULÁTOREM a)

Moderní přístup

Při kvadraticky optimálním řízení hledáme optimální akční veličinu u. Struktura řízení včetně označení veličin je uvedena na obrázku.

obr. 5.1.1 Struktura dopředného řízení Minimalizujeme kvadratické kritérium ve tvaru ∞

J = ∑ ek2 + κu k2 = ee + κ uu

(5.1.-1)

k =0

B G ,w = A F G B e = w− y = − u F A BB LL  G B  G B  J =  − u  − u  + κ uu , +κ = , AA AA  F A  F A  S=

LL = BB + κ AA

Za předpokladu že L je stabilní polynom, který získáme spektrální faktorizací podle výše popsané rovnice. Sečteme členy u uu

J=

GG B G B G LL − − + u u uu FF A F A F AA

GG L  L J =  u − α ( u − α ) + − αα FF A  A

, LL = BB + κAA Doplníme na úplný čtverec ,

α=

L G B  L G B GG G B G B  +  u − J =  u − − F L  A F L FF F L F L A

GB F L

Dosazením α do předchozí rovnice dostaneme Racionálně lomená funkce α je zavedena pro přehlednější úpravu

(doplnění na úplný čtverec) Absolutní minimum dostaneme když u je řešením rovnice

L u −α = 0 A V tomto případě řízení u začíná v mínus nekonečnu (není kauzální – tzn. že hodnota výstupu závisí na minulých i budoucích hodnotách vstupu).

7


Absolutní minimum při nekauzálním řízení je

J1 =

GA0 G A0 GG GG BB − =κ FF FF LL LF0 L F0

A A0 = F F0

,

A0, F0 – jsou nesoudělné polynomy

Kauzální řízení u musí být vyjádřeno jako podíl dvou polynomů v kladných mocninách q. Proto je nutná dekompozice (převedení racionálně lomené funkce na polynomy) u v rovnici

L u −α = 0 čímž dostaneme rovnici A

GB Y X = + FL F L XF + YL = GB Tato rovnice s neznámými polynomy X, Y nemá jediné řešení. Pak kriterium je rovno

L X Y  L X Y  J =  u − −  u − −  + J 1 L F  A L F A  X  X X X X X J =  v −  v −  + J 1 = vv + − v − v + J1 L  L L L L L  L Y v= u− A F

Řízení u se objeví pouze v proměnné v. Kriterium bude minimální pokud nekauzální část rozkladu bude v čase nula nulová (tj. absolutní člen polynomu X bude roven nule (X0=0) a pak vX/L=0.)

J=

GB Y X = + FL F L

X X + vv + J 1 L L

Pokud v=0 pak hodnota kritéria je minimální a uopt je pak

u opt =

Y A Y A0 = F L L F0

(5.1.-2)

Minimální hodnota kriteria při kauzálním řízení je

J=

X X + J1 L L

8


e = w− y =

G B Y A0 G B Y A0 A0GL B Y A0 (GL − BY ) A0 G B − u= − = − = − = F A L F0 AF0 A L F0 AF0 L A L F0 AF0 L F A A0

b) Současný přístup na TU v Liberci J = ax + b + κ cx = ax + 2 ax, b + b + κ cx , 2

2

2

2

J = sx + 2 ax, b + b = sx + 2 sx, 2

2

2

ab ab J = sx + − s s

2

2

ax + κ cx = sx ,

2

2

ab 2 + b , s

 ab   a b  + b = sx +   +    s +  s −

2

2

ss = aa + κ cc

ax, b = x, a b , x, a b = sx, 2

2

−

ab s

ab s

2

+ b

2

1  ab xopt = −   s  s +

(5.1.-3)

Závěr: Aby regulační odchylka e byla stabilní, musí být stabilní i w (polynom F resp. F0 musí být stabilní). Dále musí být při řízení ovládáním stabilní i řízený systém (polynom a stabilní). Požadavek na stabilitu systému je podstatným omezením přímovazební struktury řízení.

5.2. S REGULÁTOREM Mějme schéma zobecněného modelu zpětnovazebního řízení složený z regulátoru s dvěma stupni volnosti a soustavou podle obrázku.

Obr. 5.2.1 Model s regulátorem s jedním stupněm volnosti

obr. 5.2.2 Model s regulátorem s dvěma stupni volnosti

Vyjádříme nejprve racionálně lomené funkce potřebné pro výpočet a minimalizaci kvadratického funkcionálu (y, u, e).

9


Odvození racionálně lomené funkce výstupu y

y=

BQG BQ BQ BQ B y e= u= (w − y ) = − APF AP AP AP A BQG  B Q 1 + y = APF  A P BQG AP y= A P F AP + BQ BQG y= (5.2.-1) F ( AP + BQ)

B  GS Q  B u=  − y A  FP P  A BGS BQ y y= − AFP AP BGS  BQ  1 + y = AFP AP   y=

y=

BGS F ( AP + BQ)

(5.2.-2)

Odvození racionálně lomené funkce vstupu u

Q Q e = ( w − y) P P Q QB u = w− u P PA QG  QB  1 + u = PF  PA  QG PA u= PF PA + QB QGA u= F ( PA + QB)

u=

GS Q GS QB − y= − u FP P FP PA GS  QB  1 + u = FP  PA  GS AP GSA u= = FP AP + BQ F ( AP + BQ) u=

u=

(5.2.-3)

GSA F ( AP + BQ)

(5.2.-4)

Odvození racionálně lomené funkce regulační odchylky e

e=

G BQG − (5.2.-5) F F ( AP + BQ)

e = w− y =

G BGS − (5.2.-6) F F ( AP + BQ)

Ad a) Regulační odchylka e je dána vztahem e=w-y.

u=

SAG , F∆

y=

SBG , F∆

e=

G SBG − F F∆

kde ∆=AP+BQ je charakteristický polynom celého zpětnovazebního systému ∞  G SBG  G S B G   SAG  S A G J = ∑ ek2 + κu k2 = ee + κ uu =  −  + κ   −  F∆   F F∆  F  F∆  F ∆ k =0

J=

GG SBG G SB G G SGL S G L − − + FF F∆ F F∆ F F∆ F ∆

  

, LL = BB + κ AA

10


G = G + G −G 0 ,

( )

~ G = G − qn

kde G+ je stabilní část polynomu G G- je nestabilní část polynomu G G0 je faktor polynomu G (kořeny leží na jednotkové kružnici)

~ G je reciproký polynom k nestabilní části polynomu G

n je stupeň nestabilní části polynomu G

~ ~ ~  0  SG + GL  S G + G L B G +G GG 0 0  J = G  − α  − (G α )(G α ) = , α = −α G +  LF F F  ∆F  ∆F  ~ ~ ~ + ~  GA0 G A0 B G + G  S G + G L BG + G  0 0 SG GL   G +κ = G  − −    L F  ∆F LF  LF0 L F0  ∆F 0

~ ~ SG + GL B G + G − = 0 což vede na nekauzální regulátor. Absolutní minimum dostaneme když ∆F LF

Je vidět, že je

nutné opět provést dekompozici.

~ B G +G Y X ~ = + ⇒ XF + YL = B G + G LF F L Po dosazení do kritéria

~ SG + GL Y ~ − = 0 ⇒ SG + GL − Y∆ = 0 ∆F L

(5.2.-7)

Tím jsme zajistili kauzalitu regulátoru (kladné mocniny q)

J = G0 AP + BQ = ∆, ~ SG + GL − Y∆ = 0 ~ XF + YL = B G + G ,

GA0 G A0 X X 0 G +κ L L LF0 L F0

pseudocharakteristický polynom zpětnovazebního obvodu vyplývá z minimalizace kriteria při kauzálním regulátoru vyplývá z dekompozice, která zajišťuje kauzalitu regulátoru Vyloučíme body na jednotkové kružnici.

Pro S=Y

~ AP + BQ = G + GL ~ XF + SL = B G + G

(5.2.-8)

Vyřešením výše popsaných diofantických rovnic získáme hledané polynomy P, Q, S respektive M, N.

11


u opt eW =

SA G 0 G − SBG 0 G − = 0 ~ , y= ~ , LF0 G LF0 G

G SBG C 1 − = + F F∆ A D A− B + +r A

eD =

~ GGL − SBG − G 0 e= ~ LF0G

T 1 ⇒ GD = −TAq v1 , FD = AH B H A− + +r A

ad b)

e=−

C B A+ D (1 − q) A− + q v + r A 1

(5.2.-9)

Zavedeme funkci x=x(q) takovou, aby byla stabilní, lineární kombinací e(q) a přírůstků u(q) ( ty aby též byly stabilní pro stabilní x(q) ) a aby přenos r(q) byl funkcí x(q) a realizovatelný. Dále platí, že racionální funkci můžeme vyjádřit jako součet konečného polynomu a ryze racionální funkce. Pak

1 (1 − q ) A− + q v

B r A+

= F + qv B− x

F – polynom vyjadřující neovlivnitelnou část obrazu e(q) řízením

B+ 1 − F (1 − q) A − B+ B− B+ F r − r G F r 1 − F (1 − q) A − Fq − v − + 1 q B A A+ A+ x= v − = = B B B q B (1 − q) A− + q v + r (1 − q ) A − + q v + r (1 − q ) A− + q v + r A A A −

v

Gq v B − + F (1 − q) A− = 1 a z toho vyjádříme r

r=

G − (1 − q ) A− x A+ , F + qvB− x B+

e=−

C ( F + q v B − x ), + DA

∆u = −

C (G − (1 − q) A− x ) + B D

Hodnota kvadratického kriteria

CB − CF J = −q x− + DA DA+ v

2

(1 − q) A− C GC x− + +κ + B D B D

2

1 ab A+ B + D *  C * B + B F + κ (1 − q)q v −1 A + A G    xopt = −   = − s  s + C * P  A+ B + D * qv P + ropt =

G − (1 − q) A− xopt A+ F + q v B − xopt B +

(5.2.-10)

12


dále jsou možné úpravy

ab C* B + B F + κ (1 − q )q v−1 A+ A G H = + + * =Q+ s + + *~ v s A B D q P q A B D P vyjádření mocniny s je podmíněno pro

∂A ≥ ∂B ∧ ∂A + 1 − ∂B < v ∂A ≥ ∂B ∧ ∂A + 1 − ∂B ≥ v ∂A < ∂B

, , ,

s = v − ∂A − 1 + ∂B s=0 s=v

H Z Y ~ = + + * + s ~ ⇒ Zq s P + YA+ B + D * = H + *~ q A B D P A B D q P s

+

Z Y  Z R  ab     =  Q + + + * + s ~  = Q + + + * = + + * , A B D q P + A B D A B D  s + 

R C *P N GC * P + (1 − q) A− R A + = = M FC * P − q v B − R B +

R = A + B + D *Q + Z

xopt = −

ropt

(5.2.-11)

Příklad: ad b) A+=1-0.5q, A- =1, v=1, B=0.5, B- =1, C+=C*=0.5, C- =q, D=D*=1 Pro kapa=1 polynom P=1.4181-1.2707q+0.3526q2 Řešení diofantické rovnice: Gq+F(1-q)=1 F=G=1 Získáme potřebné polynomy podle výše popsaného postupu Q=-0.7052, H=-0.1509q2+0.4898q-0.1257 Z=0.07176, Y=-0.30198+1.01103q, R=0.1763q-0.28082 Přenos regulátoru r=N/M=0.8565-0.3565q/0.70905 (optimální regulátor pro žádanou hodnotu w) Jw=0,372675

13


y

u

Porucha (jednotkový skok) – Jd=1,161749

Ověření funkce diskrétního regulátoru na spojité soustavě s přenosem S ( s ) =

0,6931 s + 0,6931

Skok na žádanou hodnotu

14


Vyrovnání poruchy

Ověření funkce diskrétního regulátoru na spojité soustavě s různými hodnotami zesílení při skoku na žádanou hodnotu w=1.

ad a)

1 ~ G SBG C 0 P=M, Q=S=N, G=C, G =1, P=L, F=AD, G = (1 − q ) , e = − = + F F∆ A D A− + B r A+ Vyřešením diofantické rovnice

~ AP + BQ = G + GL

získáme hledané polynomy N a M Přenos regulátoru r=N/M=Q/P=0.84-0.35q/0.7

Kontrola A P B Q G+ G~ L 2 (1-1.5q+0.5q )*0.7+0.5q*(0,84-0.35q)=0.5*1*(1,4181-1,2707q+0,3526q2) (1-1.5q+0.5q2)*0.7=0.7-0.63q+0,175q2-0.42q+0.175q2 0.7-1.05q+0.35q2=07-1.05q+0.35q2 Jw=0,193601

15


y

u

Jd=1,097026

Ověření funkce diskrétního regulátoru na spojité soustavě s různými hodnotami zesílení při skoku na žádanou hodnotu w=1.

16


Závěr: Moderní přístup návrhu regulátoru zajišťující kvadraticky optimální diskrétní řízení se liší od námi publikovaného ve schématu regulačního obvodu. Moderní přístup se opírá o zobecněné schéma regulačního obvodu, čímž je odstraněna nelinearita (r) ve jmenovateli obrazu regulační odchylky.

Literatura: MODRLÁK, Osvald. Teorie automatického řízení II (Cvičení). Ediční středisko VŠST Liberec, 1. vyd., 1992, sv.200, s. 270 ŠTECHA, Jan, HAVLENA, Vladimír. Moderní teorie řízení, Vydavatelství ČVUT, 2. vyd., 2000, sv. 9514, s. 297 KUČERA, Vladimír: Discrete linear control, Academia Praha, 2. vyd. anglické, 1979, sv. 2000, s. 208 MODRLÁK, Osvald. Základy číslicového řízení, Studijní materiály World Wide Web. http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr2/tar2_zcr.pdf MODRLÁK, Osvald. Z – transformace, Studijní materiály World Wide Web. http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr2/cr_p1.pdf MODRLÁK, Osvald. Úvod do diskrétní parametrické identifikace, Studijní materiály World Wide Web. http://www.fm.vslib.cz/~krtsub/fm/tr2/tar2_did.pdf

Poděkování: Tento text vznikl za podpory projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření.

17

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Recommend Documents