TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií

MatLab příručka pro předmět SDS

Učební text

Michal Menkina, Petr Školník

Liberec

2010

Materiál vznikl v rámci projektu ESF (CZ.1.07/2.2.00/07.0247) Reflexe požadavků průmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měření, KTERÝ JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Matlab Příručka pro předmě ředmět SDS

Obsah 1

Úvod ................................................................ ................................................................................................ ...................................................................... 3

2

Začínáme ................................................................ ................................................................................................ ............................................................... 4

3

4

2.1

Základní okno MatLab ................................................................................................ ................................ ................................................................ 4

2.2

Proměnné v MatLabu ................................................................................................ ................................ .................................................................. 6

Základní operace s maticemi ................................................................................................ ................................ ................................................................. 7 3.1

Vytváření vektorůů a matic ................................................................................................ ........................................................... 7

3.2

Maticové operace................................................................................................................................ ................................ ......................................... 8

Graf 2D, 3D ................................................................................................................................ ................................ .......................................................... 9 4.1

Graf 2D ................................................................................................................................ ................................ ........................................................ 9

4.1.1

Popisy grafu z příkazové říkazové řádky ................................................................................................ ............................................... 9

4.1.2

Nastavení os z příkazové říkazové řádky ................................................................................................ ............................................. 10

4.1.3

Rozdělení lení obrázku pro více grafů graf ................................................................................................ ......................................... 10

4.2

Graf 3D ................................................................................................................................ ................................ ...................................................... 10

5

Programování v M-souborech, souborech, čtení č a zápis dat do souboru................................................................ ............................................... 11

6

Simulink ................................................................ ................................................................................................ .............................................................. 13 6.1

Využití simulinku ................................................................................................ ................................ ...................................................................... 13

6.2

Základní bloky ................................................................................................................................ ................................ ........................................... 13

6.3

Spuštění ní a nastavení parametrů parametr simulace ................................................................ .................................................................. 18

6.4

Využití simulinku z příkazové říkazové řádky ................................................................................................ ......................................... 19

2


1 Úvod Následující text je určen čen pouze pro potřebu pot předmětu Simulace dynamických systémů systém a jeho úkolem je seznámit uživatele se základními funkcemi a ovládáním MatLabu. Vzhledem k rozsahu MatLabu jsou podrobně podrobn probírány pouze některé jeho části, a to ty, které jsou důležité d pro absolvování předmětu ětu SDS. Texty nemají při p i práci sloužit jako referenční referen manuál nebo podrobný návod, ale měly ěly by být při p práci určitým vodítkem. Účelem čelem je vytvořit vytvo pro uživatele stručný přehled potřebných řebných základů základ MatLabuu a jeho použití. Tímto chceme uživateli usnadnit orientaci v takto velmi rozsáhlém rozsá programu, kterým MatLab zajisté je a ulehčit uleh další samostudium. První část seznamuje uživatele s hlavním oknem MatLabu, jeho možnostmi a nastavením, n s orientací na disku nebo v nápovědě. nápov Dále popisuje práci v příkazovém říkazovém řádku a zápis jednoduchého výrazu nebo proměnné. prom K dalším důležitým ležitým partiím patří patř zápis a operace s maticemi, na jejichž principu je činnost MatLabu založena. Dále je věnována ěnována 2D, 3D grafice a práci s grafy. Uživatel se seznámí s tím, jak zajistit popis grafu, jak zakreslit více funkcí do jednoho grafu nebo jak vytvořit vytvoř na jeden obrázek více grafů. Ke konci první části se uživatel seznamuje se soubory a importem a exportem textových i binárních dat do MatLabu. MatLab Dále se uživatel seznámí s prostředky ředky pro řízení chodu programu (M-souboru). Druhá část seznamuje uživatele s prostředím edím Simulink, jeho nastavením a používáním. Jsou zde popsány základní bloky pro stavbu simulačních si ních schémat a nastavení jejich parametrů. parametr Dále je zde popsáno jak využít simulační simula schéma sestavené v Simulinku z M-souboru souboru a jak následně následn získat přístup k výsledkům ům simulací z příkazové řádky nebo z m-souboru.

3


2 Začínáme 2.1 Základní ákladní okno MatLab Základní okno MatLabu se skládá ze 4 základních oken -

Command Window Command History Workspace Current Directory

Okna lze libovolně kombinovat a s každým lze pracovat samostatně. ě. Možné je také zakomponovat další okna. prost MatLabu a jeho součástí částí jako je Command V dialogu Preferences je možné nastavit prostředí Window, Command History, Current Directory, textový editor, fonty a další.

4


V okně Command Windows se ručně ru zadávají příkazy, spouštějí M-soubory soubory a jednotlivé funkce MatLabu , vypisují proměnné, ěnné, volá help adt. Užitečné příkazy: • whos • who • clear <proměnná>, >, clear all • helpwin, help • pwd • dir, ls • format • lookfor • workspace • cd • copyfile • movefile • mkdir • rmdir • what • type • web

- výpis proměnných nných (textová kopie Workspace), - zjednodušený výpis proměnných, nných, pouze jejich název - mazání proměnných z prostření ření workspace - informace o zadaných funkcích. - aktuální adresář - výpis obsahu adresáře - zobrazování výstupů v příkazovém íkazovém okně okn - vyhledává zadané klíčové ové slovo ve všech nápovědách nápov - zobrazí okno pracovního prostoru - mění pracovní adresář - kopíruje soubor nebo adresáře - přesouvá soubory nebo adresáře - vytváří nový adresář - odstraňuje adresář - vrací seznam specifik. souborůů v aktuálním adresáři adresá - vypíše obsah určeného souboru - zobrazí HTML soubor nebo zadanou HTTP adresu

5


Jednotlivé příkazy íkazy se ukládají do historie, proto je možné v řádcích ádcích listovat použitím šipek na klávesnici ↑ a ↓. Historii příkazů př je možné také sledovat v okně Command History. History Pro přerušení prováděného příkazu říkazu stiskněte stiskn kombinaci ctrl+c.

2.2 Proměnné v MatLabu Proměnná musejí mít název začínající zač písmenem a může se skládat až z 31 znaků. znak Rozlišují se malá a velká písmena a jména proměnných prom nesmí obsahovat tečku „ .“. Seznam některých předdefinovaných ředdefinovaných proměnných: • • • • • • • • • • • • •

ans beep pi Inf (inf) NaN (nan) i nebo j realmin realmax bitmax varargin varargout nargin nargout

- default proměnná prom - zvuk - Ludolfovo číslo - nekonečno nekoneč (např. výsledek výrazu 1/0) - neplatná numerická hodnota (např. (nap výsledek výrazu ýrazu 0/0) - složka komplexního čísla odmocnina z (-1) - nejmenší použitelné kladné reálné číslo - největší ětší použitelné kladné reálné číslo - největší ětší použitelné kladné celé číslo - proměnné ěnné vstupující do funkce (pole buněk) - proměnné ěnné vystupující z funkce (pole buněk) bun - počet čet proměnných prom vstupujících do funkce - počet čet proměnných prom vystupujících z funkce

a další nejpoužívanější znaky: • tečka . - desetinná tečka, te oddělovač proměnných ve struktuře struktuř • středník ; - potlačení potlač následného výpisu v příkazovém okně • dvojtečka : - rozsah hodnot nebo indexů index v poli, v matici • procento % - označení označ komentáře na řádce • tři tečky … - rozdělení rozdě dlouhého řádku • čárka , - možnost oddělení odd příkazů na řádku • vykřičník ! - spouštění spouště systémových příkazů • závorky [] - ohraničuje ohranič obsah definovaného pole nebo matice • závorky {} - ohraničuje ohranič obsah definované buňky • závorky () - použití při p indexování polí, obsahy • apostrof ' - transpozice matice, ohraničení ohrani textové proměnné

6


3 Základní operace s maticemi 3.1 Vytváření vektorů a matic Skalár je matice, která má rozměr rozm r 1x1. Vektor je matice, kdy jeden rozměr rozmě je roven jedné a rozlišujeme vektory sloupcové nebo řádkové. Zvykem je, že první rozměr ěr udává počet po řádků a druhý pak počet sloupců. ů. Vektory a matice jsou při p vytváření ohraničeny čeny hranatou [] závorkou. I.

Vektor Zápis prvků do vektoru x : x=[1 2 3 4 5] nebo x=[1,2,3,4,5] výpis z MatLabu: >> x=[1 2 3 4 5] x= 1 2 3 4

5

Jiný způsob vytvoření ření vektoru: x=1:1:5 výpis z MatLabu: >> x=1:1:5 x= 1 2 3 4

5

nebo x=logspace(1,3,3), x=linspace(1,3,5) a podobně. podobn II.

Matice Zápis matice A: 1 2 3  4 5 6 A= 5 6 7   9 10 11

4  7 8  1

→

A=[1 2 3 4;4 5 6 7;5 6 7 8;9 10 11 1]

výpis z MatLabu: >> A=[1 2 3 4;4 5 6 7;5 6 7 8;9 10 11 1] A= 1 2 3 4 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 11 1 Speciální typy matic • ones - matice ze samých jedniček jedni • zeros - matice ze samých nul • eye - jednotková matice

7


• • •

diag - diagonální diagonál matice rand - matice náhodných čísel ísel na intervalu (0,1), stejnoměrné stejnomě rozdělení randn - matice náhodných čísel s normálním rozdělením

3.2 Maticové operace • • • • • • • •

součet dvou matic - A+B rozdíl dvou matic - A-B násobení dvou matic - C=A*B, odpovídá algebraickému násobení dělení matic - D=A/B,, odpovídá algebraickému dělení d zprava A.B-11 nebo zleva A\B, -1 A .B. Pozn. použitím .* se prvky matice násobí první s první, druhý s druhým, atd. Lze také takto dělit ./ nebo .\ . umocnění matice A^2 jen pro čtvercové matice nebo .^ pro umocnění každého prvku matie transpozice matice A' inverzní matice inv(A) determinant matice det(A)

8


4 Graf 2D, 3D 4.1 Graf 2D Pro vykreslení grafu slouží základní funkce plot. Obecná syntaxe příkazu říkazu plot má tvar: plot(x,y,'',…)

nebo plot(x1,y1,'< >',x2,y2,'< >',…),

kde vektory xi, yi, popisují různé ůzné grafy yi = f(xi). Údaje v < > závorkách popisují čáru příslušného grafu spojeného v jeden řřetězec ězec uzavřený uzav v apostrofech. Možnosti jednotlivých údajů: údaj

b – blue

.

point

-

solid

g – green

o

circle

:

dotted

r – red

x

x-mark

-.

dashdot

c – cyan

+

plus

-- dashed

m – magenta

*

star

(none) no line

y – yellow

s

square

k – black

d

diamond

w – white

v

triangle (down)

^

triangle (up)

<

triangle (left)

>

triangle (right)

p

pentagram

h

hexagram

Například chceme-li li vykreslit funkci cos(x), která bude mít barvu čáry č červenou, body zobrazeny jako x a čáry áry byla čerchovaná, napíšeme plot (x,cos(x),'rx-.'). Je-li potřeba eba zakreslit více grafů do jednoho obrázku, můžeme použít příkaz říkaz hold hold on – umožní vykreslení dalšího grafu do stejného osového systému hold off 4.1.1 Popisy grafu z příkazové řádky -

title('Název') ¨ xlabel ('x') ylabel ('y') grid legend('první', 'druhý',…) ,…)

- hlavička grafu - popis osy x - popis osy y - mřížka - popis jednotlivých čar v grafu

9


4.1.2 Nastavení os z příkazové řádky -

axis ([xmin xmax ymin ymax]) axis auto axis xy axis manual axis equal axis square axis image axis on axis off axis normal

4.1.3 Rozdělení obrázku pro více grafů V případě, že potřebujeme ebujeme několik grafů graf (celých) umístit do jednoho obrázku, použijeme funkci subplot(m,n,p).. Obrázek bude rozdělen rozd na m řádků a n sloupců. Číslo p pak pozici grafu. Grafy jsou vykresleny po řádcích ádcích od shora dolů. dol

4.2 Graf 3D K vykreslení grafů ve 3D slouží funkce plot3, kde přibyl pouze třetí rozměr ěr – souřadnice z. Syntaxe: plot3(x,y,z)

nebo plot3(x,y,z,)

Řetězec zec specifikující vykreslované body, čáry a práce s grafy 3D je stejný jako ve 2D.

10


5 Programování v M-souborech, M čtení tení a zápis dat do souboru Skript je textový M – soubor obsahující seznam příkazů p MatLabu, který po zavolání postupně postupn zpracovává jednotlivé příkazy. říkazy. Soubory se ukládají s příponou .m a volají se jednoduchým zápisem jména na řádek v příkazovém říkazovém okně. okn Všechny používané proměnné ěnné se zapisují do pracovního prostoru MatLabu. Komentářev K M-souboru souboru jsou uvozené procentem (%). ( Následují některé užitečné příkazy při ři programování M-souboru: M •

rozhodovací funkce Příkaz if

-

if výraz ová část příkazová elseif výraz ( elseif může m být libovolné množství) příkazová říkazová část elseif výraz ová část příkazová else příkazová ová část end - Příkaz switch - case switch výraz case výraz, příkaz, ..., příkaz case_výraz1, case_výraz2, case_výraz3,...} case {case_výraz1 příkaz, ..., příkaz ... otherwise, příkaz, ..., příkaz end

•

cykly -

příkaz while výraz príkazová část

while

end

-

příkaz for for proměnná = výraz příkazová část end

11


MatLab umí pracovat s různými ůznými typy souborů. soubor Pro uložení dat slouží příkaz říkaz save, který ukládá proměnné z pracovního vního prostoru MatLabu MatLab do definovaného souboru: save matice A B

- ukládá proměnné prom A, B do souboru 'matice.mat'

save matice.txt A B –ascii

- ukládá stejné proměnné nné do textového souboru

nebo save('matice.txt','A','B' save('matice.txt','A','B')

- ve tvaru funkce

K načtení uložených souborůů zpět zpě do pracovního prostoru slouží funkce load: load load matice - načte čte .mat . soubor do pracovního prostoru MatLabuu load matice.txt

nebo load('matice.txt')

– načte textový soubor matice.txt

12


6 Simulink 6.1 Využití simulinku Prostředí edí Simulink je nadstavbou prostředí prost Matlabu, která umožňuje ň řešit výpočty výpo a simulace nejrůznějších problémůů s využitím grafického prostředí. prost Řešený ešený problém je zde možno definovat spojením a definováním parametrů parametr základních funkčních bloků.. Tyto bloky jsou pak rozděleny rozd do jednotlivých toolboxůů a kategorií ka podle jejich účelu. Některé které toolboxi pak mají typické předurčení pro řešení ešení konkrétních problémů problém jako například řešení ešení mechanických, elektrických a jiných obvodů, řeší úlohy s využitím grafů graf toku výkonu nebo problémy zabývající se letectvím, robotikou a dalšími.

6.2 Základní bloky V případě,, že chceme použít prostředí prost edí Simulink, je nutno pro stavbu použít základní funkční funk bloky. Základní funkční ční bloky, které jsou používány pro potřeby pot předmětu ř ětu SDS jsou uvedeny na obrázku níže a je veden jejich popis a umístění v knihovně skulinku.

Obrázek 6.1: Základní funkční bloky.

Integrator Funkce: Integrování Umístění: Simulink-Continues Continues Popis: Základní blok pro řešení diferenciálních rovnic v prostředí ředí Simulinku. V parametrech bloku lze nastavit počáteční poč podmínky integrace „initial initial conditions“. conditions V případě, že je nutno nastavovat z nějakých ně důvodů počáteční podmínky proměnné, ěnné, je možno nastavit „initial initial condition source“ source na vnější počáteční ní podmínku, což přidá př bloku integrátoru nový port na který je možno přivést p počáteční ní podmínku. Dále je možno nastavit „external reset“, “, který k bloku přidá idá nový port nastavených parametrů parametr (náběžná, sestupná hrana, atd.), který hodnotu integrátoru vynuluje určeným určeným signálem. Po resetu dojde okamžitě k vynulování výstupu integrátoru, pokud je ovšem nutné, aby byl tento výstup zachován ještě v jednom následujícím kroku výpočtu, čtu, lze ho zachytit volbou „show state port“, “, která přidá p výstupní port s touto hodnotou.

13


Obrázek 6.2: okno parametrů integrátoru.

Gain Funkce: násobení signálu Umístění: Simulink-Math Math Operations Popis: Tento blok vynásobí vstupní signál nebo vektor signálů signálů číslem respektive maticí, která je definována v parametru „Gain“. „ “. Násobení bude provedeno způsobem zp zvoleným v parametru „Multiplication Multiplication“.

Obrázek 6.3: Okno parametrů zesilovače.

Math Function Funkce: výpočet et zvolené matematické funkce Umístění: Simulink-Math Operations Popis: Tento blok aplikuje zvolenou matematickou funkci „Function „Function“ na vstupní signál bloku.

14


Obrázek 6.4: Parametry Math Function.

Sum Funkce: sčítání/odčítání Umístění: Simulink-Math Math Operations Operati Popis: Tento blok sčítá čítá nebo odčítá od dva a více signálů respektive vektorů. vektor Lze nastavit obecně libovolný počet poč vstupů v parametru „List of signs“. “. V tomto parametru se nastavuje seznam vstupů vstup seznamem jejich znaménkem. Znak „|“ „ určuje prázdný port (mezeru mezi porty).

Obrázek 6.5: Parametry bloku Sum.

Product Funkce: násobení Umístění: Simulink-Math Math Operations Popis: Tento blok násobí mezi sebou vstupní signály bloku. Lze nastavit násobení po prvcích nebo maticové násobení. Fcn Funkce: výpočet et definované matematické funkce Umístění: Simulink-User User Defined Function Popis: Tento blok vypočítá vypočítá matematickou funkci definovanou zápisem v parametru „Expression“. “. Jako proměné prom funkce jsou použity elementy vstupního vektoru u(1), u(2)…u(n).

15


Obrázek 6.6: Parametry bloku Fcn.

Relational operator Funkce: porovnání dvou signálů Umístění: Simulink-Logic Logic nad Bit Operations Popis: Tento blok porovnává hodnotu dvou signálů. signál Je-li li nastavená podmínka „Relational „ operator“ splněna, ěna, na, pak je na výstupu bloku nastavena hodnota 1. Pokud podmínka splněna na není, pak je výstup nastaven na hodnou 0. Switch Funkce: přepínání epínání dvou signálů Umístění: Simulink-Signal Signal Routing Popis: Tento blok přepíná řepíná mezi dvěma dv signály. Způsob přepínání epínání jednotlivých signálů signál je prováděn nastavením parametrů parametr „Criteria Criteria for pasing first input“ input a „Treshold“. State space Funkce: dynamický systém zadaný stavovým popisem Umístění: Simulink-Continuous Continuous Popis: Slouží k výpočtu čtu tu dynamického modelu, který je zadán spojitým stavovým popisem. Pro definici se zadávají stavové matice A, B, C, D a počáteč počáteční podmínky „Initial conditions“. “. Vektor počátečních po podmínek musí mít stejný tejný počet prvků, prvk jako je počet stavů. Mux, Demux Funkce: skládání a rozklad vektorů vektor Umístění: Simulink-Signal Signal Routing Popis: Tyto bloky skládají, respektive rozkládají jednotlivé signály do vektorů vektor nebo je z vektorů rozkládají na jednotlivé složky. Constant Funkce: zdroj konstantního signálu Umístění: Simulink-Sources Popis: Blok slouží jako zdroj signálu konstantní hodnoty podle parametru „Constant „ value“. Repeating sequence interpolated Funkce: zdroj definovaného signálu Umístění: Simulink-Sources Popis: Blok slouží jako zdroj požadovaného průběhu, hu, jehož hodnoty jsou definovány vektorem „Vector Vector of output values“, values kterých nabývá v čase daném vektorem

16


parametru „Vector Vector of time values“. values Tento časově definovaný signál se pak periodicky opakuje a hodnotyy mezi jednotlivými hodnotami jsou interpolovány.

Obrázek 6.7: Parametry bloku repating sequence.

From Workspace Funkce: zdroj průběhu ěhu definovaného ve workspace Umístění: Simulink-Sources Popis: Blok slouží jako zdroj průběhu definovaného ve workspace v proměnné prom v parametru „Data“. “. Tato proměnná promě se musí skládat ze dvou sloupců, z nichž první definuje časovou asovou osu a druhý definuje hodnotu nebo vektor hodnot signálu na výstupu v těchto časech (může být ýt tvořena tvoř i strukturovaným typem).. Hodnoty mezi definovanými body jsou interpolovány. V čase, který odpovídá času asu za posledním definovanou hodnotou z parametru „Data““ se výstupní signál bude chovat podle parametru „From „ output after final data value by“. by Clock Funkce: zdroj časového asového signálu Umístění: Simulink-Sources na výstupu bloku je aktuální hodnota času v simulaci (výpočtu). Popis: Step Funkce: zdroj skokového signálu Umístění: Simulink-Sources Popis: Naa výstupu bloku je generován signál skoku s počáteční č ční hodnotou v parametru „Initial value“ a s cílovou hodnotou „Final value“. “. Skok bude proveden v čase „Step time“. Scope Funkce: zobrazení časového průběhu prů signálu Umístění: Simulink-Sinks Tento blok umožňuje ňuje zobrazovat časový průběh signálu, který může m být i vektorem Popis: signálů. V parametrech bloku „Number „ of axes““ lze nastavit počet poč oddělených vstupů

17


do bloku (počet čet vykreslených oddělených odd průběhů). Dále lze v parametru „Limit „ data points““ nastavit počet poč posledních vzorků, které si bude pamatovat (doporučuji (doporu zrušit). Lze také nastavit ukládání dat do workspace podobně podobn jako u bloku To Workspace.

Obrázek 6.8: Nastavení parametrů bloku Scope.

To Workspace Funkce: uložení průběhu ů ěhu signálu do workspace Umístění: Simulink-Sinks Popis: Tento blok ukládá data průběhu pr hu signálu do workspace do proměnné prom v parametru „Variable name““ s periodou nastavenou v „Sample time“. “. Struktura dat se dá nastavit v položce „Save „ format“.

Obrázek 6.9: Parametry bloku To Workspace.

6.3 Spuštění a nastavení parametrů simulace Před spuštěním ním samotného výpočtu výpo tu simulace je po sestavení simulačního schématu nutno nastavit parametry výpočtu čtu simulace. Toto nastavení provedeme v menu „SimulationConfiguration parameters“. “. Zde je možno podle obrázku 6.10 nastavit počáteční poč a koncový čas simulace „Start time“ a „Stop Stop time“. time“. Dále je zde možno nastavit parametry výpočtového výpo modulu, ze kterých jsou klíčové čové nastavení na výpočtové metody „Solver““ a typ výpočtu výpo pokud jde

18


o pevný nebo proměnný ěnný krok simulace, simulace který vybereme v parametru „Type“. „ Posledním důležitým ležitým parametrem jsou pak „Max „ step size“ a „Min step size“, “, které určují ur minimální a maximální délku kroku výpoččtu, nebo „Fixed-step size“, který určuje čuje délku kroku při p výpočtu s pevným krokem simulace. Pro následné spuštění ění výpočtu je pak možno použít buď bu klávesovou zkratku Ctrl+T, nebo v menu „Simulation-Start““ nebo použít tlačítko tla na toolbaru. Z toolbaru je pak možno nastavovat i čas výpočtu.

Obrázek 6.10: Nastavení parametrů simulace.

Obrázek 6.11: Toolbar skulinku.

6.4 Využití simulinku linku z příkazové řádky Simulační modely vytvořené řené v skulinku je možno také využít z příkazové říkazové řádky, respektive vyvolat jejich výpočet z vytvořeného vytvoř m-souboru. Data z modelu jsou po výpočtu výpo předána do workspace, kde je s nimi možno dále pracovat. Data lze předávat p například říklad pomocí pomo bloků „To workspace“ nebo „Scope“ a dalších, jak bylo popsáno v předcházející edcházející kapitole. Data do modelu pak lze předávat edávat zapsáním vektorů vektor vstupních hodnot do workspace a odkazovat se na ně n jménem. Nakonec to jde použít i při p práci v simulinku. Pro spuštění ní simulace pak lze pužít příkaz: p sim(model, Time)

kde jsou zadány parametry jméno modelu a doba simulace.

19


Poděkování: Tento text vznikl za podpory projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků ů průmyslu ůmyslu na výuku v oblasti automatického řízení a měřen. m Formát zpracování originálu: titulní list barevně, barevn další listy včetněě příloh říloh barevně. barevn

20

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

Recommend Documents