Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Ádám Katalin: Villamosmérnöki matematika gyakorlat

Egyváltozós függvények

Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék ........................................................................................................................ 1 Valós változós valós értékű függvények .................................................................................. 2 Hatványfüggvények: .......................................................................................... 2 Páratlan gyökfüggvények: ................................................................................... 2 Páros gyökfüggvények ........................................................................................ 3 Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai) .............................................. 3 Trigonometrikus függvények (sinx, cosx, tanx) ...................................................... 4 Exponenciális függvények:

....................................................................... 4

Hiperbolikus függvények ..................................................................................... 5 Koszinusz-hiperbolikusz függvény ..................................................................... 5 Szinusz-hiperbolikusz függvény ........................................................................ 5 Tangens-hiperbolikusz függvény ....................................................................... 6 Inverz függvények ............................................................................................. 7 Természetes alapú logaritmus függvény ...............................................................11 Nevezetes határértékek .....................................................................................12 Határozatlan határértékű alakok összefoglaló táblázata..........................................14 Határozott határértékű alakok, konvergencia kritériumok .......................................15 Gyakorló feladatok megoldással: .........................................................................16 Függvények ábrázolása a „kritikus” helyeken vett határértékek segítségével ............22 Reciprokfüggvények ábrázolása, határértékek a „kritikus” helyeken ........................25 Racionális törtfüggvények ..................................................................................26 Racionális törtfüggvények ábrázolása, határértékek a „kritikus” helyeken .................26 Összetett függvények ábrázolás a határértékek alapján .........................................30

1



Valós változós valós értékű függvények

Hatványfüggvények:

f  x   x k ahol k pozitív egész szám

f1  x   x2

f2  x   x 3 f3  x   x 4

f 4  x   x5 f5  x   x 6 f6  x   x 7

Páratlan gyökfüggvények:

f1 (x)  x

1 3

f2 (x)  x  x 3

1 5

f3 (x)  x  x 5

1 7

f 4 (x)  x  7 x

2



Páros gyökfüggvények 1

f1 (x)  x 2  x

1

f2 (x)  x 4  4 x

1

f3 (x)  x 6  6 x

Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai) 2 3

yx 

 x 3

2

 3 x2

3

y  x2 

 x

3

 x3

3



Trigonometrikus függvények (sinx, cosx, tanx)

Exponenciális függvények:

f  x   a x (a>0)

y  2x

y

f(x)=2^x f(x)=e^x f(x)=(1/2)^x

y  ex 1 y   2

3 x

2

1

x -8

-6

-4

-2

2

4

6

8

Természetes alapú exponenciális függvény-1 n

y  e ahol az alapszám egy nevezetes sorozat határértéke: x

-2

-3

 1 lim 1    e n   n

4



Hiperbolikus függvények Koszinusz-hiperbolikusz függvény Definíció: chx 

e x  e x 2

y  cosh x

szokásos jelölés még

y

ye

ye

x

x

f(x)=cosh(x) f(x)=e^x

3.5

f(x)=e^(-x)

3 2.5

e x  e x y  chx 2

2 1.5 1 0.5

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-0.5 -1 -1.5 -2

Szinusz-hiperbolikusz függvény

-2.5 -3

Definíció:

e x  e x shx  2

-3.5

szokásos jelölés

még y  sin hx

y  e x

y  ex

y

f(x)=sinh(x) f(x)=e^x

3.5

y  shx 

e e 2 x

f(x)=e^(-x)

x 3 2.5 2 1.5 1 0.5

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

5



Tangens-hiperbolikusz függvény Definíció:

thx 

y

s hx e x  e x szokásos jelölés még y  tanh x  chx e x  e x

shx  thx chx y

f(x)=tanh(x) f(x)=sinh(x)

3.5

f(x)=cosh(x) f(x)=-1

3

f(x)=1

2.5 2 1.5 1 0.5

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

6



Inverz függvények Definíció:inverz függvény

f függvény inverz függvényének nevezzük és f 1 -el jelöljük azt a függvényt, mely minden valós a számhoz (mely az f függvény az értékkészletéhez tartozik), azt a Az

b számot rendeli, melyhez az f az a -t rendelte, vagyis: Ha

f  b   a , akkor f 1  a   b

Innen következik, hogy

f  f 1  a    a és f 1  f  b    b

Innen következik, hogy az értékkészlete az Jelben:

f 1 értelmezési tartománya az f értékkészlete, és f 1

f értelmezési tartománya.

D  f 1   R  f  , és R  f 1   D  f 

Tehát csak kölcsönösen egyértelmű függvénynek van inverze, hiszen szükséges, hogy

b egyértelmű legyen. Tétel: invertálhatóság elégséges feltétele A függvény invertálhatóságának elégséges feltétele a függvény szigorú monotonitása, hiszen szig. monoton függvény esetén ha

x1  x2 , akkor f  x1   f  x2 

7


Az


f 1 függvény és az f függvény grafikonja egymásnak az y  x egyenesre vett

tükörképe

A képen az és inverze az

Az

y  x3 függvény 1 3

y  x  3 x látható

y  sin x függvény nem invertálható a  ,   intervallumon, mert nem kölcsönösen

egyértelmű. Invertálható a

     2 , 2  tartományon, itt szigorúan monoton nő.

Az inverz függvényét arkusz-szinusz függvénynek nevezzük, jele arcsinx

8


Az y  arcsin x értelmezési tartománya a


 1,1 intervallum ,értékkészlete

     2 , 2 

Hasonlóan ábrázolhatjuk a trigonometrikus függvények inverzeit a szigorúan monoton szakaszokon. Példa Adjuk meg, hogy az

y

1 függvény hol invertálható és ott adjuk meg az inverzét. x 1 2

Megoldás: A függvény nem kölcsönösen egyértelmű,

y

1 x 1 2

De felbontható két szigorúan monoton (kölcsönösen egyértelmű) szakaszra:

1.

y

1 x 1 2

ha x  0

2.

y

1 , x 1 2

ha x  0

9



A függvénykapcsolatból x-et kifejezve adódik az inverz függvénykapcsolat, ezután x és y szerepét felcserélve kapjuk az inverz függvényt az Vagyis

x

y

1 , x 1 2

1  x2 1 , y

 x, y  koordináta-rendszerben.

1  1  x2 , y

1 1  1 , az x  0 ágra, illetve x    1 a x  0 ágra. y y

Felcserélve x és y szerepét kapjuk,hogy: Az y 

1 ( x 0) x 1

inverze

y

Az y 

1 (x0) x 1

inverze

y

2

2

1 1 x

1 1 x

10


Természetes alapú logaritmus függvény:


f  x   ln x

A függvény szigorúan monoton, tehát mindenhol létezik az inverze, ezt a függvényt nevezzük természetes alapú logaritmus függvénynek

y  ln x

A továbbiakban az eddig felsorolt függvényekből „összeállított” függvényeket fogjuk vizsgálni. Összeállítás jelenti a fenti függvények konstans szorosát, összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát, összetett függvényét, inverz függvényét fogjuk vizsgálni. Megvizsgáljuk a különböző x helyeken és a végtelenben a határértékeiket. A célunk az, hogy minél pontosabban fel tudjuk vázolni a grafikonjukat.

11



Nevezetes határértékek

sin x sin x 0, bizonyítás rendőrelv segítségével lim 0 x  x  x x 1 sin x 1 1 1 sin x Mivel    és   0 és  0  0 x x x x x x sin x lim  1 , bizonyítás rendőrelvvel x 0 x lim

Ívmértekkel mérve az x szöget sin x  x  tan x , innen sinx-el osztva

1

x 1  sin x cos x

Mivel lim x 0

lim x 0

1 x  1 ezért a rendőrelv szerint lim 1 x  0 cos x sin x

sin x 1  lim 1 x  0 x x sin x x

 1 lim 1    e x   x A függvény csak ott van értelmezve, ahol az alap pozitív, vagyis

1

1 1  0 ,  1 , azaz x x

x<-1 vagy x>0

 1 y  1    x

x

12



x

 1 lim 1    e , bizonyítás vázlat. Belátjuk, hogy ha x   , akkor van a függvénynek x   x határértéke. Ez nem lehet más, mint az egész helyeken véve a határértéket ami n

 1 lim 1    e n   n

13



Határozatlan határértékű alakok összefoglaló táblázata. Határozatlan határértékű alakok:

 f  x   f  x   lim g  x    szimbolikusan     alakú és xlim  x0 x  x0   g  x   f  x  akkor a lim   nem egyértelműen meghatározott (határozatlan alakú). x  x0  g  x     Ha egy függvény

A határérték az f(x) és g(x) függvénytől függ. Hasonlóan kell érteni az alábbi táblázatban szereplő szimbólumokat. A határozatlan alakokat határozott alakúvá kell alakítani úgy, hogy már ismert határérték függvénye legyen. Ismertnek tételezzük a következő határértékeket:

lim x 0

sin x 1 x x

 1 lim 1   x   x 1 valamint x

0   0   e 1  (a  lehet akár  vagy  )   1   lim 1  x  x  e helyettesítéssel 1  (a 0 lehet akár 0 x 0  

Szimbolikusan

    0   0      

   0      1     0 0     0    

vagy

1. példa

2. példa

4 1  x x2   3 1 2 2 2 x sin x sin x sin x 1 lim  lim  lim  x 0 x 0 x x  x x 0 x x 3x 2  4 x  1 lim  lim x  x  1  2 x2





lim x  x  lim x 

2

x 

0 )

3



x  x 4



  lim x 

x4  x x  x 4







x4  x  

 2  2 x    sin x  lim  sin x   lim  sin x   lim  2 x   0    x 0 x  x 0  x x  x 0  x  

 1 x   1 lim   lim 1    e  x   x  x  x  x

x

 

lim x x  lim e ln x x 0

x 0

x

x

1

 

1 lim    lim e ln x x 0 x x 0  

x

1

14



Határozott határértékű alakok, konvergencia kritériumok Szimbolikusan

C   0

A szimbólum tartalma Ha a számláló konstanshoz tart ( C  0 ) és a nevező 0.hoz, akkor a tört -  hez tart

C  0 

Ha a számláló konstanshoz tart és a nevező  .hez, akkor a tört -0 hoz tart

3. 

  0

Ha a számláló végtelenhez tart és a nevező 0.hoz, akkor a tört  hez tart

0 4.    0 

Ha a számláló 0.hoz tart és a nevező végtelenhez, akkor a tört - 0 hoz tart

1. 

2. 

     (C>1)  

5.  C

  0  

6.  C

(0
 c 7.      (c>0)    0 8.  C   1 (c>0)     0  

9.  0 10

 0  korlátos   0

Példa

3x  4 x  1 2 lim 5 x  7 x  1   x  1 sin x 2 3x  4 x  1 2 lim 5 x  7 x  1  0 x  ln x 2 3x  4 x  1 lim  x  1 sin x arcsin x lim 0 x 0 x 1 x2 2

Ha egy függvény alapja egynél nagyobb konstanshoz tart és a kitevője  -hez, akkor a tört  hez tart Ha egy függvény alapja egynél kisebb pozitív konstanshoz tart és a kitevője  -hez, akkor a tört 0-hoz tart Ha egy függvény alapja  -hez tart és a kitevője konstanshoz ami nagyobb mint 0, akkor a tört  -hez tart Ha egy függvény alapja pozitív konstanshoz tart és a kitevője 0 -hoz, akkor a tört 1-hez tart

 3x 2  4 x  1  lim  2   x  2x  7 x 1 

Ha egy függvény alapja 0-hoz tart és a kitevője  -hez, akkor a tört 0-hoz tart

 2x2  4x 1  lim  3  1 x  3x  7 x  1  sin x lim 0 x  x

Ha egy szorzat egyik tényezője korlátos a másik pedig 0-hoz tart, akkor a szorzat 0.hoz tart.

x

x

 2 x2  4 x 1  lim  2  0 x  3x  7 x  1  x 1

 2 x3  4 x  1  3 x lim  2   x  3x  7 x  1 

 2x  4x 1  lim  2  x  3x  7 x  1  3

1 3x

1

3x

15



Gyakorló feladatok megoldással: 1.

x3  3 =? határozott alakú lim x 1 2 x  1

 C1    behelyettesítve x=1 et  C2 

x3  3 4  x 1 2 x  1 1

lim

2.

lim x 

1 2

x3  2 x  3 C  =? Határozott     alakú, de pontosabban a kérdés azaz, 2x 1 0

hogy mennyi a határérték ha x jobbról tart az

x3  2 x  3 y 2x 1

50

y

1 -hez. 2

f(x)=(x^3-2x+3)/(2x-1)

40

Ekkor azt kell megvizsgálni, hogy  vagy  hez tart a függvény. A függvény grafikonján látható, hogy a válasz az, hogy a függvény 

30

20

10

x -1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-10

-20

lim

-30

x 

-40

1 2

x3  2 x  3   2x 1

-50

-60

Az ábra ismerete nélkül a függvény előjeléből lehet megállapítani ugyanezt. Azt kell mondani, hogy végtelenhez tart és ha

x

1 akkor a függvény előjele pozitív (úgy 2

állapíthatom meg, hogy behelyettesítek egy 1-nél nagyobb számot pl. x=1- t). 3.

lim x 1

x2  2 x  1 =? x3  x

0   határozatlan alakú 0

 x  1  lim  x  1  x  1  0  0 x2  2 x  1 lim  lim  lim 3 x 1 x 1 x x 2  1 x x   x1 x  x  1 x  1 x1 x  x  1 2 2

4.

5.

3x 2  4 x  1 lim ? x  1  2 x2 1   3x 2  4 x  1 x 2 lim   2 x  1  1 2x x2  lim x 1

2

   határozatlan alakú  4 1  3  2  x x 3   lim x  1 2  2 2 x 

x3  3x  10 6  3 x2  x  2 2

határozott alakú

 C1     C2 

16



x3  3x  10   ?   határozatlan alakú, a számlálót és a nevezőt a leg 2 x  x  x  2  3 „gyorsabban”  -hez tartóval azaz x -el osztva: 5.

lim

3 10  3 2 x  3x  10 x x már határozott  C    alakú, mert a számláló lim  lim   x  x 2  x  2 x  1 1 2 0  2 3 x x x 1

3

konstanshoz a nevező pedig 0-hoz tart. Az előjel pedig + behelyettesítéssel láthatjuk

x3  3x  10   x  x 2  x  2 lim

6.

lim x 0

x3  3x  10 ? x2  x  2

határozott alakú

 C1     C2 

x3  3x  10 10 lim 2  5 x 0 x  x  2 2

7.

lim

x 2  3x 0  ?   határozatlan alakú 2 x x 0

lim

x  x  3  x  3  3 x 2  3x  lim  lim 2 x  0 x  0 x x x  x  1  x  1

x 0

x 0

8.

 x  3 lim

2

 x  3 lim

2

x 0

x 0

9

x

x

9

?

 lim x 0


  x  3  3   x  3  3  lim x   x  3  3  lim  x  3  3  6 x

x 0

x

x 0

1

x 2  3x  10 lim 2 ? x  x  x  2

   határozatlan alakú  3 10 1  2 2 x  3x  10 x  3x  10 x x 1 lim 2 =? lim 2 = lim x  x  x  2 x  x  x  2 x  1 2 1  2 x x 3x  10  10. lim 2  ?   határozatlan alakú x  x  x  2  2 A leggyorsabban  -hez tartóval x el osztva a számlálót és a nevezőt 9.

17



3 10  2 3x  10 3x  10 0 már határozott    0 alakú, azaz lim 2 lim 2  lim x x 0 x  x  x  2 x  x  1 2 x  x  2    1  2 x x 11.

A

1  x  1  x2 0  ?   határozatlan alakú 1  x 1 0

lim x 0

0   ságát úgy meg lehet szüntetni, hogy mind a számláló, mind a nevező 0 konjugáltjával szorozzuk a számlálót is és a nevezőt is:

1  x  1  x2 1  x  1  x2 1  x  1  x2 1  x  1  lim    x 0 1  x 1 1  x 1 1  x  1  x2 1  x  1

lim x 0

1  x  1  x    lim 2

x 0

12.

lim x 1

1  x 1

lim x 1

1  x  1  x2

x 0

1  x   x  x2 1 x 1 1 x 1 2   lim  x 1  x  1  x 2 x 0 1 1  x  1  x2 2

  x2  x x2 1  1  x 1 x  1 x   lim  lim  x  1   lim x  1     x 1 x 1 x 1 x 1 x  1  x1  x  1  

lim x 0



1 x



x 1

    lim  x  1  x  1  x1   



sin 5 x sin 5 x  lim 5  5 , x 0 x 0 x 5x

mert

(precízen a  5 x helyettesítéssel ha

sin 5 x =? x  x

lim



   2 1  3 2 2 x 1   1




sin 5 x ? x

lim

14.

 lim

x2  x 0  ?   határozatlan alakú x 1 0

  lim  x  1  x 1   13.

1 x 1

x 0

sin 5 x  1, x 0 5x

lim

akkor

a 0

és lim a 0

sin a  1) a

Korlátos függvény szorozva 0-hoz tartó függvénnyel 0-hoz

tart!

sin 5 x 1   lim  sin 5 x    0 x  x  x x  1 sin 5 x 1 (precízen rendőrelvvel    x x x lim

mivel mindkét oldal 0-hoz tart

18


15.

16.


sin 5 x 0 =?   határozatlan alakú x 0 tg10 x 0 sin 5 x sin 5 x 10 x 1 sin 5 x 10 x cos10 x 1 lim  lim    lim    x 0 tg10 x x 0 tg10 x 5 x x  0 2 5 x sin10 x 2 2 1  cos x 0 lim  ? =?   határozatlan alakú 2 x 0 x 0

lim

1   cos x  1  cos x 1  cos x 1  cos x 1 sin 2 x 1  lim   lim   lim   2 2 2 2 x 0 x  0 x  0 x  0 x x 1  cos x x 1  cos x x 1  cos x 2

lim

2

1 1  sin x   lim     x 0  x  1  cos x 2

17.

1  cos x 0  ?   határozatlan alakú x 0 x 0

lim

A 16. példa eredményét felhasználva

1  cos x 1  cos x 1  cos x 1  lim  x  lim  lim x   0  0 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x 2

lim

18.

tgx  sin x  ? =? x 0 x3

lim


1    sin x cos x  1  tgx  sin x   sin x  1  cos x    sin x  1  cos x 1  1 1 lim  lim    lim    2  lim      1  1       3 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x cos x  2 2   x  x cos x  x0   x   x   

  1  határozatlan alakú  

x

19.

 x  lim   =? x  1  x   x

   1  1 1 1  x  lim   lim       x  1  x  1 x   1 e   x  1  x  lim  lim 1    x   x   x  x  x  x

 2x 1  lim   =? x  1  x   x

20.

Az alap tart 2-höz a kitevő pedig

határozatlan alakú, ez tart végtelenhez precízen:

 -hez, ez nem

   C  ahol C>1,  

 2x 1   2x 1  ha    2 , akkor ha x elég nagy, akkor   >1,9 így  1 x   1 x 

19


1,9 


x  2x 1   2x 1  1,9    , tehát lim     és lim   x x  1  x  1 x    x

x

x

x

21.

2  2x  Az alap -hoz, egynél kisebb számhoz tart, a kitevő pedig lim  ?  x  1  3 x 3    -hez, ez nem határozatlan alak, hanem ez mindig 0-hoz tart (határozott alakok

táblázata 6. sor)

x

x

x

 2x   2  2 precízen rendőr elvvel: 0       és lim   0 x  1  3x   3  3

22.

 3 x  lim   x  1  x  

x x

 3 x  lim   x  1  x  

x x

?

  1  határozatlan alakú  

 3 x   lim   x  1  x  

 3 x     3 x  lim   lim  x   x  1  x   x   1  x   x 

x

x

 3 x   3 x   3 x    lim    lim    x  1  x  1 x    x   1  x  x x  3 x   3 lim  lim 1    3 x  x  x    x   e  e2 , valamint   e  1 x   1 lim  lim 1    x   x   x x

x

x

x

x 

x   3  x x   3 x  lim      = lim x 1  x x   1  x     

7

1 x

alapján

  3  x x      1  x     és

1 x

1 x

 8

e2  7,3441

rendőrelvvel

1 x

 3 x  2 lim    e a feladat első része x  1  x   x

mivel és

lim  7  x

1 x

8 x

= lim

1 x

=1, ezért a középső is

1-hez tart..

 3 x  Tehát lim   x  1  x  

23.

lim x 0

x x

=e

2

1  e 2

ln(100 x  50)  ln 50 0  ?   határozatlan alakú 2x 0

1 ln  2 x  1 ln(100 x  50)  ln 50 1  lim  lim  ln  2 x  1  lim ln  2 x  1 2 x  x 0 x 0 x 0 2 x x 0 2x 2x

lim

1    ln lim  2 x  1 2 x   ln(e)  1 x 0  

20


lim  2 x  1

1 2x

x 0


a

1 1  1 precízen  a helyettesítéssel lim  2 x  1 2 x  lim 1    e x 0 a  2x  a

e

 sin x  0 lim   ?   határozatlan alakú  x 0 0  16  x  4  x sin x x  sin x   sin x  lim   lim    lim  lim    x 0 16  x  4  x0 x x0 16  x  4  16  x  4  x0  x sin x x  lim  lim x 0 x  0 x 16  x  4

25.

x x 16  x  4 x 16  x  4 =  lim  lim 2 x  0 x  0 16  x  4 16  x  4 16  x  4 16  x  16

lim



x 0



x 16  x  4 x 16  x  4 16  x  4  lim  lim 8= x 0 16  x  16 x 0 x 0 x 1 sin x lim  1 , tehát a szorzat határértéke 8. x 0 x

lim

sin x 0  ?   határozatlan alakú x 0 sin x sin x 1 lim  lim   1 0  0 x 0 x  0 x x x

26.

lim x 0



   határozatlan alakú 



lim x 2  x  ?

27.

x 







lim x  x  lim x  x 

2

x 

  lim  x  x    x x  x

2

 x

2



4

x 

2







lim x  x  2

29.

x x x

lim x  x 2  2  ?

28.

x 

x 

2

2



x   lim

thx ? x  x

lim

x 

x2  2 1

 x  x 

  lim  x   x  2  lim  2  0 x  2 x  x  2 x  x  2

x2  2 2

2

x 

2

2

x 

2

thx 1  0 , mert thx  1 és lim  0 2. táblázat 10. sor, x  x x  x

lim

21



Függvények ábrázolása a „kritikus” helyeken vett határértékek segítségével Kritikus helynek nevezzük a nevezője nulla. Ábrázoljuk a

y

 -t valamint azokat a helyeket ahol valamelyik függvény

sin x függvényt x

Vegyük észre, hogy ha az

y

1 x

y

1 x

y

sin x x

y  f ( x) függvényt megszorozzuk az y  sin x -el, akkor ahol

a szinusz függvény nulla volt ott a szorzat függvény is nulla, ahol a szinusz függvény 1 értéket vett fel ott a szorzat függvény f ( x) értékét veszi fel, ahol pedig a szinusz függvény -1 értéket vett fel ott a szorzat függvény szorzat függvény az

f ( x) és a - f ( x) görbéje között „hullámzik”

Ebből következik, hogy az lehet határértéke ha Ábrázoljuk a

f ( x) értékét veszi fel. Ezért a

f  x   sin x függvénynek a végtelenben akkor és csak akkor

lim f ( x)  0 x 

x

y  e sin x

Állapítsuk meg a határértékét a végtelenben (  )

y  e x

y  e x

y  sin x

22



y  e x

y  e x

Ábrázoljuk az

y   x  2   x 3 függvényt (ezt a függvényt később, mikor már tudunk

y  sin x

y  e x sin x

2

deriválni, meg fogjuk részletesen vizsgálni) 2

y  x3

y   x  2 

23



y

f(x)=x+2 f(x)=x^(2/3)

2.5

2

1.5

1

0.5

x -4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

y   x  2  x

2 3

y

f(x)=x+2 f(x)=x^(2/3) f(x)=(x+2)*x^(2/3)

3

2.5

2

1.5

1

0.5

x -3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

24



Reciprokfüggvények ábrázolása, határértékek a „kritikus” helyeken

 -t valamint azokat a helyeket ahol a nevező nulla. 1 Vegyük észre, hogy ha az y  függvény görbéje úgy keletkezik az f ( x) f ( x) görbéjéből, hogy ahol f ( x) az 1 értéket vett fel ott a reciproka is az 1 értéket veszi fel, ahol f ( x) a -1 értéket vette fel ott a reciproka is a -1 értéket veszi fel, ahol f ( x)  0 értékét vette fel, ott a reciprokának végtelen a határértéke (  vagy  ,függően attól, hogy pozitív vagy negatív értékeken keresztül vette fel a 0 értéket. Ahol pedig a függvénynek  vagy  volt a határértéke, ott a reciprokának 0 a határértéke. Kritikus helynek nevezzük a

f ( x)  x 2  1

g ( x) 

1 x2  1

f ( x)  x  1

g ( x) 

1 x 1

25



Racionális törtfüggvények Definíció Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük, jelben:

Pn  x  Qm  x 

Racionális törtfüggvények ábrázolása, határértékek a „kritikus” helyeken „Kritikus” helynek nevezzük a

 -t valamint azokat a helyeket ahol a nevező nulla.

Vegyük észre, hogy ahol a racionális törtfüggvény nevezője nulla, és a számlálója nem

c   ). Ahol a nevező is és a 0 0 számláló is nulla, ott ki kell számolni a határértékét (szimbolikusan határozatlan alak) 0  a határértéke (szimbolikusan

nulla, ott a függvénynek

A végtelenben vett határértékét az dönti el, hogy a számláló foka nagyobb-e mint a nevező foka, vagy fordítva, vagy egyenlő. Ha

Pn  x  esetén Qm  x 

Pn  x   , x  Q  x  m

ha

n  m , akkor lim

ha

m  n , akkor lim

ha

n  m , akkor lim

Pn  x   0, x  Q  x  m

Pn  x   C , ahol C a két polinomok x  Q  x  m

legmagasabb fokú tagja együtthatóinak hányadosa. Példa: Ábrázoljuk és állapítsuk meg a határértékeket a „kritikus” helyeken ha 2 Pn  x  x  x  4   x  4  x 4  4 x3  4 x 2  16 x   3 Qm  x   x 2  9  ( x  2) x  2 x 2  9 x  18

x  4 x  4 x  16 x  x3  2 x 2  9 x  18 4

lim

x 

3

2

x 4  4 x3  4 x 2  16 x  x  x 3  2 x 2  9 x  18 lim

n=4 és m=3

1 4 16 x4  2 3 x  lim x x   1 x 2 9 18 1  2  3 x3 x x x 1 4 16 x4  2 3 x  lim x x   1 x 2 9 18 1  2  3 x3 x x x

Nézzük meg, hogy ahol a nevező =0, azaz x=3, x=-3, és x=2 helyeken, , van-e határértéke

lim x 3

x  x2  4  x  4

x

2

 9  ( x  2)

 ? Ha

x 3

akkor a számláló tart -15 höz (behelyettesítjük a

C   . 0 Ez nem határozatlan alak, ez mindig  . A kérdés csak az, hogy  vagy  . számlálóba az x=3 értéket), a nevező pedig tart nullához. Szimbolikusan:

26



Ha az x=3 helyhez közelítünk jobbról, azaz 3-nál nagyobb értékeket helyettesítünk a törtbe, akkor a kapott tört értéke negatív, egyre kisebb szám, azaz

lim

x 3

x  x2  4  x  4

x

2

 9  ( x  2)

 

Ha az x=3 helyhez közelítünk balról, azaz 3-nál kisebb értékeket helyettesítünk a törtbe, akkor a kapott tört értéke pozitív, egyre nagyobb szám, azaz

lim

x 3

x  x2  4  x  4

x

2

 9  ( x  2)

 

A x=2 ben mind a számláló mind a nevező nulla.

lim x 2

x  x2  4  x  4

x

2

 9  ( x  2)

 lim x 2

x  x  2  x  2  x  4 

x

2

 9  ( x  2)

 lim x 2

x  x  2  x  4 

x

2

 9



2  4   2  16  5 5

Azaz itt véges határértéke van függvénynek. Továbbá a zérushelyek, ahol az x-tengelyt elmetszi a görbe: -2, 0, 4

27



Állapítsuk meg a „kritikus” helyeken a határértékét a következő függvényeknek:

x

2

 1  x  3

 x  1  x  4  x  2  2

9

y

f(x)=((x^2-1)*(x+3))/((x+1)^2*(x+4)*(x+2))

8 7 6 5 4 3 2 1

x -12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Megoldás:

28



5x2  8x  3 y 3x 2  2

Megoldás:

29



Összetett függvények ábrázolás a határértékek alapján

 1   1 lim 1    lim 1   x   x  y    y  x

Az

y

1

1  1 y  1  lim  1        e y    e  y  

x  0 helyen balról a határértéke: x

1 1 1  1 lim 1    lim 1  y  y . Tekintve, hogy ln 1  y  y  ln 1  y  , x 0  y  x  y 

1 lim ln 1  y   1 x  y

Ezt később mutatjuk meg. Jobbról közelítve a 0-hoz nincs értelmezve a függvény, hiszen x<-1 vagy x>0 1

lim 1  x  x  e x 

lim 1  x  x 

1 x

z

 1  lim 1    e z   z 1

y  1  x  x

30



ex 1 y x ex 1 1 x 0  x lim

ex 1 1 x 0  x lim

y  5

10 x x2  1

31

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Recommend Documents