Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

´ sz´ınu ˝ se ´gsza ´ m´ıta ´s Valo F¨ oldtudom´ any szak, 2015/2016. tan´ ev ˝ oszi f´ el´ ev ´ Backhausz Agnes (ELTE TTK Val´osz´ın˝ us´egelm´eleti ´es Statisztika Tansz´ek)1

Tartalomjegyz´ ek 1. Val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

3

1.1. P´eld´ak val´osz´ın˝ us´egi mez˝ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. M˝ uveletek ´es val´osz´ın˝ us´egek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Szitaformul´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. P´eld´ak a szitaformul´ara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2. Klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

10

2.1. P´eld´ak klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝ore . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Mintav´etelez´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg

14

3.1. Teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Bayes-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Esem´ enyek f¨ uggetlens´ ege

18

5. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ es eloszl´ asuk

20

5.1. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´asa . . . . . . . . . . . . 21 5.2. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke . . . . . . . . . . 22 5.3. Diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa . . . . . . . . . . . . . . 23 1

K´erd´esek, m´ odos´ıt´ asi javaslatok, jav´ıtanival´ok eset´en: [email protected]

1

6. Nevezetes diszkr´ et eloszl´ asok

26

6.1. Binomi´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2. Hipergeometrikus eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.3. Geometriai eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.4. Negat´ıv binomi´alis eloszl´as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.5. Poisson-eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7. Eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

36

7.1. Abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok v´arhat´o ´ert´eke, sz´or´asa ´es momentumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8. Nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

39

8.1. Egyenletes eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 8.2. Norm´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.3. Exponenci´alis eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9. Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok egy¨ uttes eloszl´ asa

43

9.1. Egy¨ uttes eloszl´as– ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . 44 9.2. Val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlens´ege . . . . . . . . . . . . . . . 44 10.V´ arhat´ o´ ert´ ek, sz´ or´ as, kovariancia, korrel´ aci´ o

45

10.1. A v´arhat´o ´ert´ek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 10.2. A sz´or´asn´egyzet tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.3. A kovariancia ´es tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10.4. A korrel´aci´os egy¨ utthat´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 11. Egyenl˝ otlens´ egek

49

12.Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok o ¨sszege

50

12.1. Konvol´ uci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 12.2. Nevezetes eloszl´asok o¨sszege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 12.3. Az a´tlag v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2

13. A nagy sz´ amok t¨ orv´ enyei

52

14. Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel

53

15. Tov´ abbi nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

55

1.

Val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

1.1. defin´ıci´ o (Kolmogorov-f´ ele val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o). Az (Ω, A, P) h´armast Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝onek nevezz¨ uk, ha • Ω nem u ¨res halmaz; • A az Ω r´eszhalmazaib´ol a´ll´o halmaz (azaz minden A ∈ A-ra A ⊆ Ω) u ´gy, hogy (i) Ω ∈ A; S aml´alhat´o sok (ii) ha A1 , A2 , . . . ∈ A, akkor ∞ n=1 An ∈ A (azaz megsz´ A-beli elem uni´oja is A-beli); (iii) ha A ∈ A, akkor Ω \ A ∈ A (azaz A-beli halmazok komplementere is A-beli. • P : A → [0, 1] f¨ uggv´eny, melyre (i) P(Ω) = 1; (ii) ha A1 , A2 , . . . ∈ A ´es minden 1 ≤ i < j-re Ai ∩ Aj = ∅, akkor ! ∞ ∞ [ X An = P(An ). P n=1

n=1

1.2. defin´ıci´ o. A Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝ovel kapcsolatos elnevez´esek: • Ω: esem´enyt´er vagy elemi esem´enyek halmaza. • Ω elemei (ω ∈ Ω): elemi esem´enyek. • A: esem´enyek halmaza (vagy esem´enyek σ-algebr´aja). • A elemei (A ∈ A): esem´enyek. 3

• P: val´osz´ın˝ us´eg (probability). • Ω esem´eny neve: biztos esem´eny. • ∅ (¨ ures halmaz) esem´eny neve: lehetetlen esem´eny. • A ∈ A ´es B ∈ A kiz´ar´o esem´enyek, ha A ∩ B = ∅, azaz nincs olyan ω ∈ A, melyre ω ∈ B is teljes¨ ul. 1.3. megjegyz´ es. A val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´ag´at (megsz´aml´alhat´o sok kiz´ar´o esem´eny uni´oj´anak val´osz´ın˝ us´ege a val´osz´ın˝ us´eg¨ uk ¨osszege) σ-additivit´asnak h´ıvj´ak. 1.4. defin´ıci´ o (Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o). Az (Ω, A, P) val´osz´ın˝ us´egi mez˝o diszkr´et, ha Ω v´eges vagy megsz´aml´alhat´oan v´egtelen. 1.5. ´ all´ıt´ as. Ha Ω elemeinek sz´ama n, akkor az ¨osszes lehets´eges esem´eny n sz´ama 2 . Bizony´ıt´as. Az esem´enyek Ω r´eszhalmazai. Egy n elem˝ u halmaznak 2n r´eszhalmaza van, ezek k¨oz¨ ul b´armelyik lehet esem´eny. 

1.1.

P´ eld´ ak val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ ore

Csapad´ ek Tegy¨ uk fel, hogy holnap 25% val´osz´ın˝ us´eggel lesz csapad´ek. Ennek egy modellje Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝ovel: • Ω = {lesz, nem lesz}. • A az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. Ez 22 darab:  A = ∅, {lesz}, {nem lesz}, {lesz, nem lesz} . • P : A → [0, 1] az al´abbiak szerint: P(∅) = 0; P(lesz) = 0, 25; P(nem lesz) = 0, 75; P(lesz, nem lesz) = 1.

4

Szab´ alyos kockadob´ as Egyszer dobunk egy szab´alyos dob´okock´aval. • Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • A az {1, 2, 3, 4, 5, 6} o¨sszes r´eszhalmaza. Ez 26 darab, vagyis |A| = 64. • P(A) =

|A| 6

minden A ∈ A-ra. Vagyis p´eld´aul

P(5) = P(¨ot¨ost dobunk) = 1/6 (A = {5}); P(1, 2) = P(h´aromn´al kisebb sz´amot dobunk) = 2/6 = 1/3; P(2, 4, 6) = P(p´aros sz´amot dobunk) = 3/6 = 1/2. Vagyis: annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy p´aros sz´amot dobunk, 1/2. H´ arom szab´ alyos ´ ermedob´ as H´aromszor dobunk egy szab´alyos p´enz´erm´evel. A szab´alyoss´ag (szimmetria) miatt minden lehets´eges dob´assorozat egyform´an val´osz´ın˝ u. • Ω = {F F F, F F I, F IF, F II, IF F, IF I, IIF, III}. Vagyis |Ω| = 8. • A az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. Ez 28 darab. • P(A) =

|A| 8

minden A ∈ A-ra. Vagyis p´eld´aul

P(F II) = P(az els˝o dob´as fej, a m´asik kett˝o ´ır´as) = 1/8; P(F F F, F F I, F IF, F II) = P(az els˝o dob´as fej) = 4/8 = 1/2; P(F F I, F IF, IF F ) = P(pontosan k´et fejet dobunk) = 3/8. Vagyis: annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k´et fejet dobunk, 3/8. K´ et szab´ alyos kockadob´ as K´etszer dobunk egy szab´alyos dob´okock´aval (minden sz´amol´as ugyanaz lenne, ha k´et szab´alyos dob´okock´aval dobn´ank). • Ω = {11, 12, 13, . . . , 65, 66}, ahol p´eld´aul 13 azt jelenti, hogy az els˝o dob´as 1, a m´asodik 3 (ez k¨ ul¨onb¨ozik 31-t˝ol). |Ω| = 6 · 6 = 36, vagyis 36 darab elemi esem´eny (dob´assorozat) van: mindk´et dob´as hatf´ele lehet. 5

• A: az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. |A| = 236 . • P(A) =

|A| 36

minden A ∈ A-ra. P´eld´aul: A = {16, 25, 34, 43, 52, 61} = {az ¨osszeg 7}. 11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 15 24 25 34 35 44 45 54 55 64 65

16 26 36 46 56 66

Teh´at P(A) = P(az ¨osszeg 7) = 6/36 = 1/6. M´asik p´elda: B = {46, 55, 56, 64, 65, 66} = {az ¨osszeg legal´abb 10}. 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 51 52 53 54 61 62 63 64

15 16 25 26 35 36 45 46 55 56 65 66

Teh´at P(B) = P(az ¨osszeg legal´abb 10) = 6/36 = 1/6. Itt A ´es B kiz´ar´o esem´enyek, a metszet¨ uk u ¨res, nincs olyan dob´assorozat, ami A-ba ´es B-be is beletartozna. Fagyos napok sz´ ama decemberben Ha a decemberi fagyos napok (amikor fagypont al´a megy a h˝om´ers´eklet) sz´am´at figyelj¨ uk, akkor az o¨sszes lehet˝os´eg: 0, 1, . . . , 31. Vagyis lehet Ω = {0, 1, . . . , 31}. Ilyenkor A lehet az Ω o¨sszes r´eszhalmaza. Viszont az egyes lehet˝os´egek val´osz´ın˝ us´eg´et nem tudjuk k¨onnyen megmondani. Viszont a 0, 1, . . . , 31 nem mind egyform´an val´osz´ın˝ uek: p´eld´aul az 5 minden bizonnyal val´osz´ın˝ ubb, mint a 31. Az o¨sszes eddigi p´eld´aban diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi mez˝o szerepelt, hiszen Ω minden esetben v´eges. A k¨ovetkez˝o p´elda m´ar nem diszkr´et.

6

Csapad´ ekmennyis´ eg Tekints¨ uk a holnapi csapad´ekmennyis´eget millim´eterben m´erve, de kerek´ıt´es n´elk¨ ul. • Ω = [0, 300] (ha feltessz¨ uk, hogy 300 mm-n´el sosem esik t¨obb). • A: Az esem´enyek halmaz´anak pontos le´ır´as´ahoz m´elyebb matematikai fel´ep´ıt´es ´es fogalmak lenn´enek sz¨ uks´egesek, de az al´abbi p´eld´akban szerepl˝o halmazok j´ol ´erthet˝ok ´es A-beliek. • P: ez a modellt˝ol f¨ ugg (amit p´eld´aul a kor´abbi megfigyel´esek alapj´an k´esz´ıthet¨ unk el). 0 ∈ Ω, {0} ∈ A, ´es P(0) = P(holnap nem lesz csapad´ek). [0, 5) ∈ A, ´es P([0, 5)) = P(holnap 5 mm-n´el kevesebb csapad´ek lesz). [10, 300) ∈ A, ´es P([10, 300]) = P(legal´abb 10 mm csapad´ek lesz). 1.6. megjegyz´ es. Tekints¨ uk a napi csapad´ekmennyis´eget eg´esz szeptemberen kereszt¨ ul. Ekkor Ω = [0, 300]30 lehetne j´o v´alaszt´as: mind a 30 naphoz egy 0 ´es 300 k¨oz¨otti ´ert´ek tartozik, ¨osszesen egy 30 tag´ u v´eletlen sorozatot kapunk.

1.2.

M˝ uveletek ´ es val´ osz´ın˝ us´ egek

Legyen (Ω, A, P) Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝o. 1.7. defin´ıci´ o. Legyenek A, B ∈ A esem´enyek. • Uni´o: A ∪ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A vagy ω ∈ B}. • Metszet: A ∩ B = {ω ∈ Ω : ω ∈ A ´es ω ∈ B}. / A}. • Komplementer/ellentett esem´eny: A = {ω ∈ Ω : ω ∈ • K¨ ul¨onbs´eg: B \ A = {ω ∈ Ω : ω ∈ B ´es ω ∈ / A}. • A maga ut´an vonja B-t, ha minden ω ∈ A-ra ω ∈ B is teljes¨ ul. Jel¨ol´es: A ⊆ B. 1.8. ´ all´ıt´ as. Ha A ∈ A esem´eny, akkor P(A) = 1 − P(A). 7

Bizony´ıt´as. A ´es A kiz´ar´o esem´enyek, azaz A ∩ A = ∅. ´Igy a val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´aga alapj´an (1.1. defin´ıci´o) alapj´an P(A) + P(A) = P(A ∪ A) = P(Ω) = 1, a val´osz´ın˝ us´eg (i) tulajdons´ag´at is felhaszn´alva.  1.9. ´ all´ıt´ as. Tetsz˝oleges A, B ∈ A esem´enyekre P(B) = P(A∩B)+P(B \A). Bizony´ıt´as. A defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy A ∩ B ´es B \ A kiz´ar´o esem´enyek (az egyikban csak A-beli, a m´asikban csak A-n k´ıv¨ uli elemi esem´enyek vannak, ´ıgy nem lehet olyan, amit mindkett˝o tartalmaz). Ez´ert a val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´aga alapj´an (1.1. defin´ıci´o) P(A ∩ B) + P(B \ A) = P((A ∩ B) ∪ (B \ A)) = P(B).  1.10. ´ all´ıt´ as. Ha az A, B ∈ A esem´enyekre A ⊆ B, akkor P(A) ≤ P(B). Bizony´ıt´as. Az A ⊆ B felt´etel miatt A ∩ B = A. Az el˝oz˝o a´ll´ıt´ast ´es a val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at haszn´aljuk, miszerint egy esem´eny val´osz´ın˝ us´ege nem lehet negat´ıv: P(B) = P(A ∩ B) + P(B \ A) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A). 

1.3.

Szitaformul´ ak

1.11. ´ all´ıt´ as (Szitaformula k´ et esem´ enyre). Tetsz˝oleges A, B ∈ A esem´enyekre teljes¨ ul, hogy P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Bizony´ıt´as. Az A ´es B \ A esem´enyek kiz´ar´oak. Haszn´aljuk a val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´ag´at (1.1. defin´ıci´o), majd az 1.9 ´all´ıt´ast: P(A ∪ B) = P(A ∪ (B \ A)) = P(A) + P(B \ A) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 

8

1.12. ´ all´ıt´ as (Szitaformula h´ arom esem´ enyre). Tetsz˝oleges A, B, C ∈ A esem´enyekre teljes¨ ul, hogy P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B)− − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C). 1.13. ´ all´ıt´ as (Szitaformula, Poincar´ e-formula). Legyenek A1 , . . . , Ak tetsz˝oleges esem´enyek. Ekkor az esem´enyek uni´oj´anak val´osz´ın˝ us´eg´et a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk ki: P

k [



Ai =

i=1

k X

X

P(Ai ) − X

+

P(Ai1 ∩ Ai2 )+

1≤i1
i=1

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 )−

1≤i1
− . . . + (−1)k+1 P(A1 ∩ . . . ∩ Ak ) = =

k X (−1)t+1 t=1

X

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ).

1≤i1

1.14. megjegyz´ es. Az utols´o r´eszben a bels˝o o¨sszegnek kt tagja van, hiszen ennyif´elek´eppen tudunk kiv´alasztani az 1, 2, . . . , k sz´amok k¨oz¨ ul k k¨ ul¨onb¨oz˝ot, ha a sorrend nem sz´am´ıt (´es itt nem sz´am´ıt, hiszen nagys´ag szerint lesznek rendezve).

1.4.

P´ eld´ ak a szitaformul´ ara

K´ et esem´ eny Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi napon 0, 3 val´osz´ın˝ us´eggel esik az es˝o, 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel esik a h´o, 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel pedig es˝o is esik ´es h´o is hullik. Annak val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy lesz csapad´ek es˝o vagy h´o form´aj´aban (az is sz´am´ıt, ha mindkett˝o lesz), a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk ki: A : es˝o;

P(A) = 0, 3; B : h´o; P(B) = 0, 2; P(A ∩ B) = P(es˝o ´es h´o is lesz) = 0, 1; P(es˝o vagy h´o) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0, 3 + 0, 2 − 0, 1 = 0, 4.

9

H´ arom esem´ eny Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi napon Ajk´an 0, 1, B´ek´escsab´an 0, 3, Csorn´an pedig 0, 4 val´osz´ın˝ us´eggel esik az es˝o. Annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy Ajk´an ´es B´ek´escsab´an is esik, 0, 06, annak, hogy B´ek´escsab´an ´es Csorn´an is, 0, 25, annak pedig, hogy Ajk´an ´es Csorn´an is, 0, 08. V´eg¨ ul annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy mindh´arom helyen esik az es˝o, 0, 02. K´erd´es: mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap a h´arom v´aros k¨oz¨ ul legal´abb az egyik helyen esik az es˝o. Az 1.12. a´ll´ıt´as alapj´an ´ıgy sz´amolhatunk, ha A az az esem´eny, hogy Ajk´an esik, B az, hogy B´ek´escsab´an, C pedig az, hogy Csorn´an lesz es˝o: P(legal´abb az egyik helyen esik) = P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)− − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 4 − 0, 06 − 0, 25 − 0, 08 + 0, 02 = 0, 43 = 43%.

2.

Klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o

2.1. defin´ıci´ o (Klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ o). Az (Ω, A, P) Kolmogorov-f´ele val´osz´ın˝ us´egi mez˝o klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o, ha • Ω v´eges sok elemb˝ol ´all: Ω = {ω1 , . . . , ωn }. • A az Ω o¨sszes r´eszhalmaz´ab´ol ´all. • P(ω) = egyenl˝o.

1 n

minden ω ∈ Ω-ra, azaz az elemi esem´enyek val´osz´ın˝ us´ege

Az 1.5 a´ll´ıt´as alapj´an ilyenkor |A| = 2n , hiszen az n elem˝ u Ω halmaznak 2n r´eszhalmaza van. 2.2. ´ all´ıt´ as. Ha (Ω, A, P) klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o ´es A ∈ A esem´eny, akkor A elemeinek sz´ama |A| P(A) = = . Ω elemeinek sz´ama |Ω| Bizony´ıt´as. Legyen tov´abbra is Ω = {ω1 , . . . , ωn }, ´es A = {ωi1 , . . . , ωik } ∈ A. Mivel az elemi esem´enyek egyszerre nem k¨ovetkezhetnek be (kiz´ar´oak), a

10

val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´aga alapj´an (1.1. defin´ıci´o): P(A) = P({ωi1 } ∪ {ωi2 } ∪ . . . ∪ {ωik }) = = P(ωi1 ) + P(ωi2 ) + . . . + P(ωik ) = 1 1 1 k |A| = + + ... + = = , n n n n |Ω| hiszen az a feltev´es, hogy minden ω elemi esem´eny val´osz´ın˝ us´ege 1/n.

2.1.



P´ eld´ ak klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ ore

Az 1.1. szakaszb´ol a szab´alyos kockadob´as, h´arom szab´alyos ´ermedob´as, k´et szab´alyos kockadob´as. Ezekben az esetekben az o¨sszes lehets´eges dob´assorozat egyform´an val´osz´ın˝ u (6, 8, illetve 36 lehet˝os´eg a h´arom esetben). A csapad´ek nem klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o: Ω k´etelem˝ u volt, teh´at v´eges, de az elemi esem´enyek (lesz, nem lesz es˝o), nem egyform´an val´osz´ın˝ uek (az egyik 25%, a m´asik 75% val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik be az ottani feltev´es szerint. A fagyos napok sz´ama sem klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o: p´eld´aul az 5 ´es a 31 nem egyform´an val´osz´ın˝ uek. A csapad´ekmennyis´eg sem klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o, hiszen Ω = [0, 300] intervallum, azaz v´egtelen sok elemet tartalmaz.

2.2.

Mintav´ etelez´ es

Egyetlen mintav´ etel A gy´art´asi folyamat v´eg´en egy dobozban N darab sz´amozott alkatr´esz ker¨ ult. K¨oz¨ ul¨ uk M darab selejtes (0 ≥ M ≥ N ), a marad´ek N −M j´o. Kih´ uzunk egy alkatr´eszt tal´alomra, u ´gy, hogy mindegyik egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztjuk. Ekkor P(selejtes alkatr´eszt h´ uzunk) = M/N. Az ehhez tartoz´o klasszikus val´osz´ın˝ us´egi mez˝o a 2.1. defin´ıci´o ´ertelm´eben: • Ω = {a1 , . . . , aN }, az N sz´amozott alkatr´esznek megfelel˝oen. • A: az Ω o¨sszes r´eszhalmaza, 2N darab (1.5. ´all´ıt´as). • P(ai ) = 1/N minden i = 1, 2, . . . , N -re. Legyen A az az esem´eny, amely a selejtes ai -b˝ol ´all. Ekkor |A| = M , ´es a 2.2. a´ll´ıt´as alapj´an P(A) = M/N val´oban. 11

Visszatev´ es n´ elk¨ uli mintav´ etelez´ es 2.3. ´ all´ıt´ as. Egy dobozban N darab sz´amozott alkatr´esz van. K¨oz¨ ul¨ uk M darab selejtes (0 ≤ M ≤ N ), a marad´ek N −M j´o. Kih´ uzunk v´eletlenszer˝ uen n darabot egyszerre, u ´gy, hogy minden n nagys´ag´ u csoport azonos val´osz´ın˝ us´eggel szerepel. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k darab selejtes alkatr´eszt h´ uzunk:

M N −M k

n−k
N n

(k = 0, 1, . . . , min(n, M )).

Bizony´ıt´as. Mivel n-szer h´ uzunk ´es csak M selejtes van, a h´ uzott selejtesek sz´ama nem lehet nagyobb sem n-n´el, sem M -n´el. Az elemi esem´enyek a k¨ovetkez˝ok: melyik n darab (k¨ ul¨onb¨oz˝o) alkatr´eszt h´ uzzuk ki. Mivel N elemb˝ol n k¨ ul¨onb¨oz˝ot   N! N N (N − 1) . . . (N − n + 1) = = n(n − 1) . . . 1 n!(N − n)! n m´odon lehet kiv´alasztani (mivel egyszerre h´ uzunk, sorrend nincs), az elemi
N esem´enyek sz´ama n . A felt´etelez´es szerint minden ilyen csoportot egyenl˝o val´osz´ın˝ us´eggel h´ uzunk. ´Igy a 2.2. a´ll´ıt´as alapj´an a k´erd´eses val´osz´ın˝ us´eg |A|
, N n

ahol A az olyan n-es csoportokb´ol a´ll, amik pontosan k darab selejtes alkatr´eszt tartalmaznak. Teh´at a pontosan k selejtes alkatr´eszt tartalmaz´o csoportok sz´am´at kell meg
M hat´arozunk. Az M darab selejtes alkatr´eszb˝ol k -f´elek´eppen v´alaszthatjuk ki azt
a k k¨ ul¨onb¨oz˝ot, mely a csoportba ker¨ ul. Az N − M j´o alkatr´eszb˝ol N −M -f´ e lek´ e ppen v´ a laszthatjuk ki azt az n−k k¨ ul¨onb¨oz˝ot, mely a csoportba n−k ker¨ ul. B´arhogyan v´alasztottuk a selejteseket,
b´arhogyan v´alaszthatjuk a
−M j´okat, vagyis mind az Mk lehet˝os´eget Nn−k -f´elek´eppen tudjuk a j´okkal kieg´esz´ıteni. Ez´ert a pontosan k alkatr´eszt tartalmaz´o csoportok sz´ama:     M N −M |A| = · . k n−k Mivel m´ar bel´attuk, hogy annak us´ege, hogy pontosan k darab selej
val´osz´ın˝ N tes alkatr´eszt h´ uzunk, |A|/ n , az a´ll´ıt´as bizony´ıt´asa k´esz. 12

2.4. megjegyz´ es. A fenti megfogalmaz´asban egyszerre v´alasztottuk ki az n alkatr´eszt. Ugyanez az a´ll´ıt´as ´erv´enyes, ha az alkatr´eszeket egym´as ut´an v´alasztjuk ki, ´es a m´ar kiv´alasztottakat nem tessz¨ uk vissza: a v´eg´en ugyan´ ugy n darab k¨ ul¨onb¨oz˝o alkatr´eszt l´atunk egyszerre, ´es, ha elfelejtj¨ uk a sorrendet, minden csoport azonos val´osz´ın˝ us´eggel jelenik meg. P´ elda visszatev´ es n´ elk¨ uli mintav´ etelre: lott´ osorsol´ as Az ¨ot¨oslott´on 90 sz´amb´ol h´ uznak ki ¨ot k¨ ul¨onb¨oz˝ot, u ´gy, hogy minden o¨t¨os csoportnak ugyanannyi a val´osz´ın˝ us´ege (a sz´amokat egym´as ut´an h´ uzz´ak, ´es a kih´ uzottat nem teszik vissza). A szelv´enyen o¨t sz´amra tippelhet¨ unk. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan h´arom sz´amot tal´alunk el:

5 85 P(h´arom tal´alat) =

3


2

90 5

≈ 0, 000812.

Itt N = 90 az o¨sszes sz´am, ami szerepel, a szelv´enyen szerepl˝o M = 5 sz´am selejtes, majd n = 5-¨ot h´ uznak visszatev´es n´elk¨ uli mintav´etellel. A k´erd´es pedig az, hogy mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy k = 3 tal´alatunk lesz (azaz pontosan k = 3 selejtest h´ uzunk).

90 ¨ Osszesen lehet˝os´eg van a h´ uz´asra, 53 -f´elek´eppen lehet kiv´alasztani a 5
85 szelv´enyen szerepl˝o sz´amokb´ol, hogy melyik lesz kih´ uzva, ´es 2 -f´ele lehet˝os´eg van arra, hogy melyik legyen az a k´et sz´am, amit nem tal´altunk el. Tov´abbra is, ezeket a lehet˝os´egeket tetsz˝olegesen p´aros´ıthatjuk, b´armelyik b´armelyik m´asikkal szerepelhet. Visszatev´ eses mintav´ etelez´ es 2.5. ´ all´ıt´ as. Egy dobozban N darab sz´amozott alkatr´esz van. K¨oz¨ ul¨ uk M darab selejtes (0 ≤ M ≤ N ), a marad´ek N −M j´o. Kih´ uzunk v´eletlenszer˝ uen n darabot u ´gy, hogy az ´epp kih´ uzottat mindig azonnal visszatessz¨ uk, ´es minden h´ uz´asn´al mind az N alkatr´eszt azonos val´osz´ın˝ us´eggel h´ uzzuk ki. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k darab selejtes alkatr´eszt h´ uzunk:   k n M (N − M )n−k (k = 0, 1, . . . , n). Nn k Bizony´ıt´as. Mivel n-szer h´ uzunk, ´es b´armelyik h´ uz´as lehet selejtes ´es j´o is, a kih´ uzott selejtesek sz´ama 0 ´es n k¨oz¨ott van. 13

Az elemi esem´enyek (Ω elemei) a k¨ovetkez˝ok: melyik h´ uz´asn´al melyik alkatr´eszt h´ uzzuk. P´eld´aul: a3 a2 a5 a2 (felt´eve, hogy N ≥ 5). A lehets´eges sorozatok sz´ama: N n , mert mind a n h´ uz´as N -f´ele lehet, ´es (a visszatev´es miatt) b´armit is h´ uzunk az els˝o n´eh´any h´ uz´as sor´an, a k¨ovetkez˝o h´ uz´asban u ´jra az ¨osszes alkatr´esz sorra ker¨ ulhet. A szimmetria miatt ezek a lehets´eges sorozatok egyform´an val´osz´ın˝ uek, teh´at itt is haszn´alhatjuk a 2.2. a´ll´ıt´ast. K´erd´es, hogy h´any olyan sorozat van, ami pontosan k selejtes alkatr´eszt tartalmaz. A kih´ uzott selejtes alkatr´eszek az n h´ uz´as sor´an k k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen szerepelnek. Azt kiv´ a lasztani teh´ a t, hogy melyik az a k h´ u z´as, ahol selej
n test h´ uzunk, k -f´elek´eppen lehet. Ha ez megvan (b´arhogyan is v´alasztottuk ki a helyeket), a selejtesnek kijel¨olt k k¨ ul¨onb¨oz˝o hely mindegyik´ere M -f´ele k alkatr´eszt v´alaszthatunk, ez o¨sszesen M lehet˝os´eg. Ha ez is megvan, a marad´ek n − k hely mindegyik´ere N − M -f´elek´eppen v´alaszthatjuk ki, hogy oda melyik j´o alkatr´esz ker¨ ulj¨on. Ez teh´at (N −M )n−k lehet˝os´eg. Mivel b´armelyik v´alaszt´ast b´armelyikkel o¨sszet´eve olyan sorozatot kapunk, ami
pontosan k darab selejtes alkatr´eszt tartalmaz, az ilyen sorozatok sz´ama nk M k (N −M )n−k . A 2.2. ´all´ıt´as alapj´an az olyan sorozatok sz´am´at, melyek pontosan k darab selejtes alkatr´eszt tartalmaznak, kell elosztanunk az o¨sszes sorozat sz´am´aval, vagyis N n -nel, ´ıgy kapjuk az a´ll´ıt´asban szerepl˝o kifejez´est.  P´ elda visszatev´ eses mintav´ etelez´ esre Egy fi´okban 12 keszty˝ u van, amib˝ol 8 balkezes, a t¨obbi jobbkezes. N´egyszer h´ uznak v´eletlenszer˝ uen, mindig visszat´eve az ´epp kih´ uzott keszty˝ ut, ´es mindig az o¨sszes keszty˝ ut azonos val´osz´ın˝ us´eggel v´alasztj´ak. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k´etszer h´ uznak balkezest:   2 2 64 · 16 4 84 =6 ≈ 0, 2963. P(k´et balkezes h´ uz´as) = 4 20736 2 12

3.

Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg

K´erd´es. Valakir˝ol annyit tudunk, hogy h´arom gyermeke van. Mennyi a ´ ha el´arulja, hogy pontosan val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k¨oz´eps˝o gyermeke fi´ u? Es egy fia van, mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k¨oz´eps˝o gyermeke fi´ u? K´erd´es. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztott embernek magas a v´ernyom´asa? Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy magas a 14

v´ernyom´asa, ha megm´erj¨ uk a testt¨omeg´et, ´es megtudjuk r´ola, hogy t´ uls´ ulyos (de nem elh´ızott)? 3.1. defin´ıci´ o (Felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg). Legyenek A, B ∈ A esem´enyek, ´es tegy¨ uk fel, hogy P(B) > 0. Az A esem´eny B-re vonatkoz´o felt´eteles val´osz´ın˝ us´ege: P(A ∩ B) P(A|B) = . P(B)

Az els˝o esetben: A: a k¨oz´eps˝o gyerek fi´ u; B: pontosan egy fi´ u van a h´arom gyerek k¨oz¨ott. Ekkor A ∩ B azt jelenti, hogy a k¨oz´eps˝o gyerek fi´ u, ´es pontosan egy fi´ u van, vagyis a m´asik kett˝o l´any. Mindebb˝ol, az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert felt´etelezve, hogy a fi´ uk ´es l´anyok ar´anya n´epess´egben megegyezik, ´es a testv´erek neme k¨oz¨ott nincs ¨osszef¨ ugg´es (vagyis mind a nyolc lehet˝os´eg: FFF, FFL, FLF, ..., LLL egyform´an val´osz´ın˝ u): 1 P(A) = P(a k¨oz´eps˝o fi´ u) = . 2 Ugyanakkor a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eget ´ıgy sz´amolhatjuk ki: P(a k¨oz´eps˝o fi´ u|egy fi´ u van) =

P(A ∩ B) P(LF L) = = P(B) P(F LL, LF L, LLF )

1 8 3 8

= 1/3.

A m´asodik esetben (nagyj´ab´ol val´os adatokkal): a magyar lakoss´ag 25 %a´nak van magas v´ernyom´asa (A esem´eny). A magyar lakoss´ag 30%-a t´ uls´ ulyos (de nem elh´ızott), ez a B esem´eny. Azok ar´anya, akik t´ uls´ ulyosak (de nem elh´ızottak) ´es magasv´ernyom´as-betegs´egben is szenvednek, 15 %. Teh´at: P(magas v´ernyom´as) = 0, 25. P(magas v´ernyom´as|t´ uls´ uly) = P(A|B) =

0, 15 P(A ∩ B) = = 0, 5. P(B) 0, 3

P´ elda felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ egre Holnap 0, 4 val´osz´ın˝ us´eggel nem lesz csapad´ek, 0, 15 val´osz´ın˝ us´eggel lesz es˝o ´es h´o is, 0, 25 val´osz´ın˝ us´eggel csak es˝o, 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel pedig csak h´o. Felt´eve, hogy lesz es˝o, mennyi a val´osz´ın˝ us´ege, hogy havazni is fog?

15

A esem´eny: havazni fog. B esem´eny: lesz holnap es˝o. Ekkor P(B) = 0, 15 + 0, 25 = 0, 4. M´asr´eszt A ∩ B azt jelenti, hogy es˝o ´es h´o is lesz. ´Igy: P(havazni fog|lesz es˝o) =

0, 15 P(A ∩ B) = = 0, 375. P(B) 0, 4

3.2. megjegyz´ es. 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 teljes¨ ul minden A, B ∈ A esem´enyre, ha P(B) > 0. S˝ot, ha B-t r¨ogz´ıtj¨ uk, P(A|B) rendelkezik a val´osz´ın˝ us´eg mindk´et, 1.1. defin´ıci´oban szerepl˝o tulajdons´ag´aval.

3.1.

Teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele

3.3. defin´ıci´ o (Teljes esem´ enyrendszer). A B1 , B2 , . . . ∈ A (v´eges vagy megsz´aml´alhat´o sok) esem´eny egy¨ uttes´et teljes esem´enyrendszernek nevezz¨ uk, ha (i)

S∞

i=1

Bi = Ω;

(ii) Bi ∩ Bj = ∅ teljes¨ ul minden 1 ≤ i < j-re; (iii) P(Bi ) > 0 minden i = 1, 2, . . .-re. P´ elda. B1 : holnap nem lesz csapad´ek; B2 : holnap lesz csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el; B3 : a holnapi csapad´ekmennyis´eg t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm; B4 : a holnapi csapad´ekmennyis´eg meghaladja a 10 mm-t. Ekkor B1 , B2 , B3 , B4 teljes esem´enyrendszer (k¨oz¨ ul¨ uk pontosan az egyik k¨ovetkezik be). 3.4. t´ etel (Teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele). Legyen A ∈ A tetsz˝oleges esem´eny, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer. Ekkor P(A) =

∞ X

P(A|Bi )P(Bi ).

i=1

Bizony´ıt´as. 16

S 1. l´ep´es: Felhaszn´alva, hogy a 3.3. defin´ıci´o (i) r´esze szerint ∞ i=1 Bi = Ω:     ∞ ∞ [  [ P(A) = P A ∩ Bi =P (A ∩ Bi . i=1

i=1

2. l´ep´es: Az A ∩ Bi , i = 1, 2, . . . esem´enyek p´aronk´ent kiz´ar´oak (vagyis semelyik kett˝o nem k¨ovetkezhet be egyszerre). Ugyanis (A ∩ Bi ) ∩ (A ∩ Bj ) ⊆ Bi ∩ Bj = ∅

(1 ≤ i < j),

hiszen a 3.3. defin´ıci´o (ii) r´esze szerint a Bi esem´enyek is p´aronk´ent kiz´ar´oak. 3. l´ep´es: A val´osz´ın˝ us´eg (ii) tulajdons´aga (az 1.1. defin´ıci´o) megsz´aml´alhat´o sok p´aronk´ent kiz´ar´o esem´eny uni´oj´anak val´osz´ın˝ us´ege a val´osz´ın˝ us´egek o¨sszege, ´ıgy az 1. l´ep´est folytatva, majd felhaszn´alva a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at (a 3.1. defin´ıci´o): [  X ∞ ∞ ∞ X P(A) = P (A ∩ Bi = P(A ∩ Bi ) = P(A|Bi )P(Bi ).  i=1

i=1

i=1

P´ elda. Hanna s´atorozni megy Badacsonyba. Ha van csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el, akkor 15% val´osz´ın˝ us´eggel a´zik be a s´atra. Ha t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm csapad´ek lesz, akkor 35% val´osz´ın˝ us´eggel. V´eg¨ ul, ha t¨obb mint 10 mm csapad´ek lesz, akkor 60% val´osz´ın˝ us´eggel a´zik be a s´ator. Az el˝orejelz´es szerint 10% val´osz´ın˝ us´eggel lesz csapad´ek, de nem t¨obb 5 mm-n´el, 30% val´osz´ın˝ us´eggel a holnapi csapad´ekmennyis´eg t¨obb mint 5 mm, de kevesebb mint 10 mm, ´es 20% annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a csapad´ekmennyis´eg holnap meghaladja a 10 mm-t. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap be´azik Hanna s´atra? Az el˝oz˝o p´eld´aban m´ar l´attuk, hogy az ott felsorolt B1 , B2 , B3 , B4 esem´enyek teljes esem´enyrendszert alkotnak. Legyen az A esem´eny az, hogy Hann´anak be´azik a s´atra. Ezekre alkalmazzuk a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et: P(A) = P(A|B1 )P(B1 ) + P(A|B2 )P(B2 ) + P(A|B3 )P(B3 ) + P(A|B4 )P(B4 ) = 0 · 0, 3 + 0, 15 · 0, 1 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 6 · 0, 2 = 0, 24 = 24%.

3.2.

Bayes-t´ etel

3.5. t´ etel (Bayes-t´ etel). Legyen A ∈ A olyan esem´eny, melyre P(A) > 0, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer. Ekkor minden k = 1, 2, . . .-ra teljes¨ ul, hogy P(A|Bk )P(Bk ) . P(Bk |A) = P∞ i=1 P(A|Bi )P(Bi ) 17

Bizony´ıt´as. Haszn´aljuk a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg defin´ıci´oj´at (3.1. defin´ıci´o), mindk´etszer: P(Bk ∩ A) P(A|Bk )P(Bk ) P(Bk |A) = = . P(A) P(A) Mivel A esem´eny, B1 , B2 , . . . pedig teljes esem´enyrendszer, ezut´an haszn´alhatjuk a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et (3.4. t´etel) a P(A) val´osz´ın˝ us´eg kifejez´es´ere, ´ıgy megkapjuk az ´all´ıt´ast.  P´ elda. M´asnap Hanna a be´azott s´atorr´ol k¨ uld k´epeket. Mennyi annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy Badacsonyban t¨obb mint 10 mm es˝o esett ezen a napon? A k´erd´es a B4 esem´eny (t¨obb mint 10 mm es˝o) val´osz´ın˝ us´ege, felt´eve, hogy az A esem´eny (a s´ator be´azik) bek¨ovetkezett, azaz P(B4 |A). M´ar l´attuk, hogy P(A) > 0, B1 , B2 , B3 , B4 pedig tov´abbra is teljes esem´enyrendszer, ´ıgy alkalmazhatjuk Bayes t´etel´et: P(A|B4 )P(B4 ) = P(A|B1 )P(B1 ) + . . . + P(A|B4 )P(B4 ) 0, 6 · 0, 2 0, 12 = = = 0, 5. 0 · 0, 3 + 0, 15 · 0, 1 + 0, 35 · 0, 3 + 0, 6 · 0, 2 0, 24

P(B4 |A) =

3.6. megjegyz´ es. Szorz´asi szab´aly: ha A1 , A2 , . . . , An esem´enyek, ´es teljes¨ ul, hogy P(A1 ∩ . . . ∩ An ) > 0, akkor P(A1 ∩ . . . An ) = P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1 ∩ A2 ) . . . P(An |A1 ∩ . . . ∩ An−1 ).

4.

Esem´ enyek f¨ uggetlens´ ege

4.1. defin´ıci´ o (K´ et esem´ eny f¨ uggetlens´ ege). Az A, B ∈ A esem´enyek f¨ uggetlenek, ha P(A ∩ B) = P(A) · P(B). P´ elda. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten esik az es˝o, 0, 2. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Toront´oban esik az es˝o, 0, 1. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten ´es Toront´oban is esik az es˝o, 0, 02. Ekkor az a k´et esem´eny, hogy Budapesten (B), illetve Toront´oban (T ) esik az es˝o, f¨ uggetlen, hiszen P(B ∩ T ) = P(mindk´et helyen esik az es˝o) = 0, 02 = 0, 2 · 0, 1 = P(B)P(T ). P´ elda. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten esik az es˝o, 0, 2. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Buda¨ors¨on esik az es˝o, 0, 15. Annak 18

val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap Budapesten ´es Buda¨ors¨on is esik az es˝o, 0, 12. Ekkor az a k´et esem´eny, hogy Budapesten (B), illetve Buda¨ors¨on (C) esik az es˝o, nem f¨ uggetlen, hiszen P(B ∩ C) = 0, 12 6= 0, 03 = 0, 2 · 0, 15 = P(B)P(C). ´ Eszrevehetj¨ uk azt is, hogy ilyenkor P(B|C) =

P(B ∩ C) 0, 12 = = 0, 8 6= 0, 2 = P(B). P(C) 0, 15

Vagyis C-t felt´etelezve B nagyobb val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik be, mint felt´etelez´es n´elk¨ ul (a buda¨orsi es˝o eset´en Budapesten nagyobb val´osz´ın˝ us´eggel esik, mint a budapesti es˝o felt´etel n´elk¨ uli val´osz´ın˝ us´ege). 4.2. megjegyz´ es. Ha A, B ∈ A esem´enyek, ´es P(B) > 0: A ´es B pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha P(A|B) = P(A). 4.3. defin´ıci´ o (F¨ uggetlens´ eg). Az A1 , A2 , . . . , An ∈ A v´eges sok esem´eny (teljesen) f¨ uggetlenek, ha minden 1 ≤ k ≤ n-re ´es 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ nre P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). Az A1 , A2 , . . . ∈ A megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok esem´eny (teljesen) f¨ uggetlen, ha minden k ∈ N-re ´es 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik -ra P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) . . . P(Aik ). 4.4. defin´ıci´ o (P´ aronk´ enti f¨ uggetlens´ eg). Az A1 , A2 , . . . ∈ A esem´enyek p´aronk´ent f¨ uggetlenek, ha minden 1 ≤ i < j eset´en Ai ´es Aj f¨ uggetlenek, azaz P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ). P´ elda. Szab´alyos dob´okock´aval k´etszer dobunk. Legyen A: az els˝o dob´as p´aros. B: a m´asodik dob´as p´aros. C: a k´et dob´as o¨sszege p´aros. Ekkor P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, tov´abb´a P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 1/4. Ugyanakkor, ha az els˝o ´es a m´asodik dob´as p´aros, akkor a k´et dob´as ¨osszege is biztosan p´aros, ´ıgy P(A ∩ B ∩ C) = 1/4 6= 1/2 · 1/2 · 1/2 = P(A) · P(B) · P(C). 19

Mindebb˝ol az l´athat´o, hogy az A, B, C esem´enyek p´aronk´ent f¨ uggetlenek, de nem teljesen f¨ uggetlenek (amit az is mutat, hogy ha kett˝or˝ol el´arulj´ak, hogy bek¨ovetkeztek-e, a harmadikr´ol m´ar biztosan el tudjuk d¨onteni, hogy az bek¨ovetkezett-e). 4.5. ´ all´ıt´ as (Komplementer f¨ uggetlens´ ege). Ha az A1 , A2 , . . . , An ∈ A uggetleesem´enyek f¨ uggetlenek, akkor az A1 , A2 , . . . , An ∈ A esem´enyek is f¨ nek. 4.6. ´ all´ıt´ as. Ha az A, B ∈ A esem´enyek f¨ uggetlenek, akkor uggetlenek; • A ´es B f¨ • A ´es B f¨ uggetlenek; • A ´es B f¨ uggetlenek. 4.7. ´ all´ıt´ as. Legyenek A, B ∈ A esem´enyek u ´gy, hogy P(A) = 0, vagy P(A) = 1. Ekkor A ´es B f¨ uggetlenek.

5.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ es eloszl´ asuk

5.1. defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o). Egy X : Ω → R f¨ uggv´eny val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, ha tetsz˝oleges a < b val´os sz´amokra {ω ∈ Ω : a < X(ω) ≤ b} ∈ A. P´ elda. Valakinek h´arom gyereke sz¨ uletik. Legyen X a fi´ uk sz´ama. Ekkor Ω = {F F F, F F L, F LF, F LL, LF F, LF L, LLF, LLL}; X(LLL) = 0;

X(LLF ) = X(LF L) = X(F LL) = 1;

X(F F L) = X(F LF ) = X(LF F ) = 2;

20

X(F F F ) = 3.

5.1.

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok eloszl´ asa

5.2. defin´ıci´ o (Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o). Az X : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o diszkr´et, ha v´eges sok vagy megsz´aml´alhat´o sok ´ert´eket vesz fel. 5.3. defin´ıci´ o (Eloszl´ as). Legyenek az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei x1 , x2 , . . . ∈ R, ´es legyen pi = P({ω ∈ Ω : X(ω) = xi }) = P(X = xi )

(i = 1, 2, . . .).

Ekkor az (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . . . sorozat az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa. Ezent´ ul a defin´ıci´oban szerepl˝o r¨ovidebb, P(X = xi ) jel¨ol´est fogjuk haszn´alni. Vegy¨ ul minden i = 1, 2, . . . eset´en, ´es P∞ uk ´eszre, hogy 0 ≤ pi ≤ 1 teljes¨ p = 1. Ugyanis {X = x } teljes esem´ enyrendszer (pontosan egy k¨oveti i=1 i kezik be k¨oz¨ ul¨ uk), teh´at az uni´ojuk Ω, ´ıgy pedig az 1.1. defin´ıci´o P-re vonatkoz´o r´esz´eb˝ol k¨ovetkezik az ´all´ıt´as. 5.4. defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egeloszl´ as). Azt mondjuk, hogy a p1 , p2 , . . . sorozat val´osz´ın˝ us´egeloszl´as, ha • pi ≥ 0 minden i = 1, 2, . . . eset´en; P∞ • i=1 pi = 1. Teh´at azt l´attuk, hogy ha (xi , pi ) egy X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa, akkor pi val´osz´ın˝ us´egeloszl´as. P´ elda: h´ arom gyerek. Az el˝oz˝o p´eld´aban: h´aromszor gyerek sz¨ uletik, X a fi´ uk sz´ama. Ekkor X lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2, 3, vagyis x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Tegy¨ uk fel, hogy minden gyerek a t¨obbiekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel fi´ u. Eszerint mind a nyolc lehet˝os´eg val´osz´ın˝ us´ege 1/8, ´ hiszen p´eld´aul P(F LF ) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8. Igy, a fenti csoportos´ıt´asb´ol ad´od´oan: P(X = 0) = 1/8;

P(X = 1) = 3/8;

P(X = 2) = 3/8;

P(X = 3) = 1/8.

Mindezek alapj´an X eloszl´asa az al´abbi sorozat: (0, 1/8),

(1, 3/8),

(2, 3/8), 21

(3, 1/8).

1. ´abra. A fi´ uk sz´am´anak lehets´eges ´ert´ekei a h´arom gyerek k¨oz¨ ul ´es a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek Ez az eloszl´as l´athat´o az 1. ´abr´an. P´ elda: szab´ alyos kockadob´ as. Egyszer dobunk szab´alyos dob´okock´aval, jel¨olje Y a dobott sz´amot. Ekkor Y eloszl´asa (2. a´bra): (1, 1/6),

(2, 1/6),

(3, 1/6),

(4, 1/6),

(5, 1/6),

(6, 1/6).

A 3. ´abr´an 1000 (sz´am´ıt´og´eppel szimul´alt) szab´alyos kockadob´as ut´an mind a hat lehets´eges ´ert´ekr˝ol felt¨ untett¨ uk a relat´ıv gyakoris´ag´at: az el˝ofordul´asok sz´am´anak ´es az ¨osszes dob´asnak a h´anyados´at. P´ elda: j´ eges˝ o. Tegy¨ uk fel, hogy j´ uliusban 0, 7 val´osz´ın˝ us´eggel nincs j´eges˝o, 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel egyszer fordul el˝o, 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel pedig k´etszer. Legyen Z a j´ uliusi j´eges˝ok sz´ama. Ekkor Z eloszl´asa: (0, 7/10),

5.2.

(1, 2/10),

(2, 1/10).

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o´ ert´ eke

5.5. defin´ıci´ o (V´ arhat´ o´ ert´ ek, diszkr´ et eset). Legyen X : Ω → R olyan diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek eloszl´asa (x1 , p1 ), (x2 , p2 ), . . .. Ekkor X v´arhat´o ´ert´eke: E(X) =

∞ X

xi p i ,

ha E(X) =

i=1

∞ X i=1

22

|xi |pi < ∞.

2. ´abra. A szab´alyos kockadob´as lehets´eges ´ert´ekei ´es a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek A defin´ıci´ob´ol is l´atszik, hogy a v´arhat´o ´ert´ek csak a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at´ol f¨ ugg. P´ eld´ ak v´ arhat´ o´ ert´ ekre Fi´ uk sz´ ama. Tov´abbra is h´arom gyerek sz¨ uletik, egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 − 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel fi´ uk, illetve l´anyok. X a fi´ uk sz´ama. A fenti sz´amol´as alapj´an 3 3 1 12 3 1 = = 1, 5. E(X) = 0 · + 1 · + 2 · + 3 · = 8 8 8 8 8 2 Kockadob´ as. Y a dobott sz´amot jel¨oli. Ekkor Y v´arhat´o ´ert´eke: 1 1 1 1 1 1 21 7 E(Y ) = 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + 5 · + 6 · = = = 3, 5. 6 6 6 6 6 6 6 2 J´ eges˝ o. A fenti p´eld´aban a j´ uliusi j´eges˝o sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke: E(Z) = 0 · 0, 7 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 1 = 0, 4.

5.3.

Diszkr´ et val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o sz´ or´ asa

5.6. defin´ıci´ o (Sz´ or´ asn´ egyzet). Legyen X : Ω → R diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi 2 v´altoz´o, melyre E(X ) l´etezik. Ekkor X sz´or´asn´egyzete: 
2  2 D (X) = E (X − EX . 23

3. ´abra. 1000 szab´alyos kockadob´asb´ol k´esz´ıtett hisztogram 5.7. defin´ıci´ o (Sz´ or´ as). Legyen X : Ω → R diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, 2 melyre E(X ) l´etezik. Ekkor X sz´or´asn´egyzete: r 
2  D(X) = E (X − EX . 5.8. ´ all´ıt´ as. Legyen X olyan diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melyre E(X 2 ) l´etezik. Ekkor  2 D2 (X) = E(X 2 ) − E(X) .

P´ eld´ ak sz´ or´ asn´ egyzetre Fi´ uk sz´ ama. X a fi´ uk sz´ama a h´arom gyerek k¨oz¨ott. M´ar l´attuk, hogy X lehets´eges ´ert´ekei: 0, 1, 2, 3, ´es E(X) = 3/2. A defin´ıci´o alapj´an teh´at ezt kell kisz´am´ıtanunk:
D2 (X) = E (X − 3/2)2 . Az X − 3/2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa (minden lehets´eges ´ert´ek mellett felt¨ untetj¨ uk a val´osz´ın˝ us´eg´et): (−3/2; 1/8);

(−1/2; 3/8);

(1/2, 3/8);

(3/2, 1/8).

Ebb˝ol l´atszik, hogy az (X − 3/2)2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei csak 9/4, illetve 1/4. Az els˝o esetben: (X − 3/2)2 = 9/4 pontosan akkor teljes¨ ul, ha X = 0 vagy X = 3. Ennek val´osz´ın˝ us´ege 1/8 + 1/8 = 1/4. Teh´at (X − 3/2)2 eloszl´asa: (1/4, 3/4);

(9/4, 1/4). 24

Az 5.5. defin´ıci´o alapj´an:
1 3 9 1 12 3 = . D2 (X) = E (X − 3/2)2 = · + · = 4 4 4 4 16 4 M´asik megold´as az 5.8. ´all´ıt´as alapj´an. Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei 0, 1, 2, 3 voltak. ´Igy az X 2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei 0, 1, 4, 9. Eloszl´asa pedig: (0, 1/8);

(1, 3/8);

(4, 3/8);

(9, 1/8).

´Igy az 5.5. defin´ıci´o szerint 1 3 3 1 24 +1· +4· +9· = = 3. 8 8 8 8 8 Ebb˝ol ´es a kor´abbi sz´amol´asb´ol  2 3 D2 (X) = E(X 2 ) − E(X) = 3 − 1, 52 = 3 − 2, 25 = 0, 75 = . 4 V´eg¨ ul pedig a fi´ uk sz´am´anak sz´or´asa: r 3 = 0, 866. D(X) = 4 E(X 2 ) = 0 ·

Kockadob´ as. Most m´ar csak az 5.8. a´ll´ıt´as alapj´an sz´amolunk. Az Y 2 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekei: 1, 4, 9, 16, 25, 36, mindegyiknek 1/6 a val´osz´ın˝ us´ege. Teh´at 1 1 1 1 1 1 91 + 4 · + 9 · + 16 · + 25 · + 36 · = . 6 6 6 6 6 6 6 Teh´at, mivel m´ar l´attuk, hogy E(Y ) = 3, 5 = 27 : E(Y 2 ) = 1 ·

 2 91 49 182 − 147 35 D2 (Y ) = E(Y 2 ) − E(Y ) = − = = = 2, 9167, 6 4 12 12 amib˝ol a kockadob´as ´ert´ek´enek sz´or´asa ennek n´egyzetgy¨oke: D(Y ) = 1, 7078. J´ eges˝ o. A fenti p´eld´aban a j´ uliusi j´eges˝ok sz´ama (amit Z-vel jel¨olt¨ unk) 0 volt 0, 7 val´osz´ın˝ us´eggel, 1 volt 0, 2 val´osz´ın˝ us´eggel, ´es 2 volt 0, 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Azt is l´attuk, hogy E(Z) = 0, 4. Teh´at most E(Z 2 ) = 02 · 0, 7 + 12 · 0, 2 + 22 · 0, 1 = 0, 6. Teh´at a j´eges˝ok sz´am´anak sz´or´asa: q p  2 p D(Z) = E(Z 2 ) − E(Z) = 0, 6 − 0, 42 = 0, 44 = 0, 6633. 25

6. 6.1.

Nevezetes diszkr´ et eloszl´ asok Binomi´ alis eloszl´ as

Legyen n pozit´ıv eg´esz, 0 < p < 1 sz´am. Tegy¨ uk fel, hogy n-szer ism´etl¨ unk egy k´ıs´erletet, ami minden egyes alkalommal a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul. Legyen az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o a sikeres k´ıs´erletek sz´ama. Ekkor X lehets´eges ´ert´ekei: 0,
1, . . . , n. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy n k n−k a k´ıs´erlet pontosan k-szor siker¨ ul: k p (1 − p) , ha 0 ≤ k ≤ n. Ennek a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´onak az eloszl´as´at binomi´alis eloszl´asnak nevezz¨ uk (jel¨ol´ese: X ∼ Bin(n, p)), az al´abbi defin´ıci´o szerint. 6.1. defin´ıci´ o (Binomi´ alis eloszl´ as n renddel ´ es p param´ eterrel). A binomi´alis eloszl´as n renddel ´es p param´eterrel a (k, pk ) sorozat, ahol   n k k = 0, 1, 2, . . . , n; pk = p (1 − p)n−k . k P P A binomi´alis t´etel szerint nk=1 pk = nk=1 ´ıgy ez val´oban val´osz´ın˝ us´egeloszl´as.

n k




pk (1−p)n−k = (p+1−p)n = 1,

6.2. ´ all´ıt´ as (A binomi´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o n renddel ´es p param´eterrel. (a) Az X ∼ Bin(n, p) binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = np. (b) Az X ∼ Bin(n, p) binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa: p D(X) = np(1 − p). (c) Az a k ´ert´ek, melyre pk = P(X = k) maxim´alis (vagyis X m´odusza): [(n + 1)p], ahol [·] az eg´esz r´eszt jel¨oli (azaz a legnagyobb olyan eg´esz sz´am, mely (n + 1)p-n´el kisebb). Ha (n + 1)p eg´esz, akkor az eggyel kisebb k is maxim´alis ´ert´eket ad.

26

P´ elda: fi´ uk sz´ ama A kor´abbi p´eld´aban: h´arom gyermek mindegyike a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel fi´ u. X jel¨olte a fi´ uk sz´am´at. Ekkor X binomi´alis eloszl´as´ u n = 3 renddel ´es p = 0.5 param´eterrel, ahogy l´attuk is:   3 P(pontosan k fi´ u sz¨ uletik) = P(X = k) = 0, 5k 0, 53−k . k P´eld´aul    3 3 1 2 1 P(pontosan 2 fi´ u sz¨ uletik) = P(X = 2) = 0, 5 0, 5 = 3 · = 3/8. 2 2 X v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa (ahogy l´attuk is): r E(X) = 3 · 1/2 = 3/2;

p D(X) = 3 · 1/2 · 1/2 =

3 ≈ 0, 866. 4

P´ elda: visszatev´ eses mintav´ etelez´ es A 2.2. szakaszban le´ırt p´eld´aban N alkatr´esz k¨oz¨ ul M volt selejtes. n-szer h´ uzunk, u ´gy, hogy az ´eppen kiv´alasztott alkatr´eszt a h´ uz´as ut´an visszatessz¨ uk. Minden alkalommal minden alkatr´eszt azonos val´osz´ın˝ us´eggel h´ uzunk. Ilyenkor az n h´ uz´as sor´an kapott selejtes alkatr´eszek sz´ama binomi´alis eloszl´as´ u n renddel ´es p = M/N param´eterrel. P´ elda: m´ er˝ om˝ uszerek Az orsz´ag ter¨ ulet´en 20 id˝oj´ar´asi m´er˝om˝ uszert helyeztek el. Tegy¨ uk fel, hogy egy adott napon mindegyik a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul 0, 75 val´osz´ın˝ us´eggel k¨ uld adatot a k¨ozpontba (k¨ ul¨onben hiba t¨ort´enik). Jel¨olje Y azt, hogy egy adott napon h´any m˝ uszert˝ol ´erkezik adat a k¨ozpontba. Ekkor Y binomi´alis eloszl´as´ u n = 20 renddel ´es p = 0, 75 param´eterrel. Vagyis   20 P(pontosan k adat ´erkezik) = P(Y = k) = 0, 75k · 0, 2520−k . k P´eld´aul   20 P(pontosan 9 adat ´erkezik) = P(Y = k) = 0, 759 · 0, 2511 ≈ 0, 003; 9   20 P(pontosan 16 adat ´erkezik) = P(Y = k) = 0, 7516 · 0, 254 ≈ 0, 1897. 16 27

4. ´abra. M´er˝om˝ uszerekt˝ol ´erkez˝o adatok sz´am´anak eloszl´asa: binomi´alis eloszl´as, n = 20, p = 0, 75.

A be´erkez˝o adatok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: E(Y ) = n · p = 20 · 0, 75 = 15; p p D(Y ) = np(1 − p) = 20 · 0, 75 · 0, 25 = 1, 936. Itt a legnagyobb val´osz´ın˝ us´eget is le tudjuk olvasni: (n + 1)p = 21 · 0, 75 = 15, 75. Teh´at [(n + 1)p] = 15. Vagyis k = 15-re kapjuk a legnagyobb val´osz´ın˝ us´eget, ahogy az a´br´an is l´athat´o.

6.2.

Hipergeometrikus eloszl´ as

A visszatev´eses mintav´eteln´el (2.2. szakasz) a kih´ uzott selejtes alkatr´eszek sz´am´at hipergeometrikus eloszl´as´ unak fogjuk nevezni, az al´abbi defin´ıci´o ´ertelm´eben. 6.3. defin´ıci´ o (Hipergeometrikus eloszl´ as). Legyenek N, M, n pozit´ıv eg´eszek u ´gy, hogy 1 ≤ n ≤ M ≤ N . A hipergeometrikus eloszl´as N, M ´es n param´eterekkel a (k, pk ) sorozat, ahol

M N −M k = 0, 1, . . . , n;

pk =

28

k

n−k
N n

.

6.4. ´ all´ıt´ as (A hipergeometrikus eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o hipergeometrikus eloszl´as´ u N, M ´es n param´eterekkel. (a) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = n ·

M . N

(b) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sz´or´asa: s   M M N −n D(X) = n · 1− . N N N −1 P´ elda: k´ ezilabdacsapat Egy h´ uszf˝os oszt´alyban kilenc 180 cm-n´el magasabb gyerek van. Torna´or´an v´eletlenszer˝ uen kiv´alasztanak h´et gyereket, akik egy csapatba ker¨ ulnek a k´ezilabdameccsen. Legyen X a 180 cm-n´el magasabb gyerekek sz´ama a k´ezilabdacsapatban. Ekkor X hipergeometrikus eloszl´as´ u N = 20, M = 9, n = 7 param´eterekkel. Teh´at a lehets´eges ´ert´ekei k = 0, 1, . . . , 7, ´es ilyenkor
11
9 P(pontosan k magas gyerek) = P(X = k) =

k

7−k
20 7

.

5. ´abra. Magas gyerekek sz´am´anak eloszl´asa: hipergeometrikus eloszl´as, N = 20, M = 9, n = 7.

29

P´eld´aul 9 2

11
5 20
7
9 11 4
3 20 7




P(pontosan 2 magas gyerek) = P(X = k) = P(pontosan 4 magas gyerek) = P(X = k) =


= 0, 2145; = 0, 2682.

A csapatba ker¨ ul˝o 180 cm-n´el magasabb gyerekek sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: 9 E(X) = 7 · = 3, 15; 20 s   9 2 9 D(X) = 7 · · 1− · = 0, 6581. 20 20 8

6.3.

Geometriai eloszl´ as

F¨ uggetlen k´ıs´erleteket v´egz¨ unk, melyek mindegyike p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul. Azt k´erdezz¨ uk, hogy h´anyadik k´ıs´erlet volt az els˝o sikeres. Ez a mennyis´eg geometriai eloszl´as´ u, az al´abbi defin´ıci´o alapj´an. 6.5. defin´ıci´ o (Geometrai eloszl´ as/Pascal-eloszl´ as). Legyen p ∈ (0, 1) r¨ogz´ıtett sz´am. Azt mondjuk, hogy a (k, pk ) sorozat geometriai eloszl´as´ up param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei k = 1, 2, . . . , a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek pedig pk = (1 − p)k−1 p. Ez val´oban eloszl´as: ∞ X k=1

pk =

∞ X

(1 − p)k−1 p = p

k=1

∞ X

(1 − p)s = p ·

s=0

1 = 1, 1 − (1 − p)

a geometrai sor o¨sszege alapj´an. 6.6. ´ all´ıt´ as (A geometriai eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen Y geometriai eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o p param´eterrel. 30

6. ´abra. Az els˝o hatos eloszl´asa: geometriai eloszl´as, p = 1/6, k = 10-ig. (a) Ekkor Y v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: r

1 E(Y ) = ; p

D(Y ) =

1−p . p2

(b) A P(Y = k) val´osz´ın˝ us´eg k = 1-re maxim´alis. P´ elda: els˝ o hatos. Szab´alyos dob´okock´aval dobunk addig, am´ıg hatost nem kapunk. Jel¨olje Y , hogy ez h´anyadik dob´asn´al siker¨ ult, vagyis h´anyadik dob´asn´al j¨ott ki az els˝o hatos. A dob´asok egym´ast´ol f¨ uggetlenek. Ekkor Y geometriai eloszl´as´ u p = 1/6 param´eterrel, lehets´eges ´ert´ekei k = 1, 2, . . ., ´es  k−1 5 1 . P(Y = k) = pk = 6 6 P´eld´aul  3 5 1 P(Y = 4) = P(a negyedik dob´asra j¨ott ki az els˝o hatos) = . 6 6 Valamint Y v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: s E(Y ) = 6;

D(Y ) =

31

√ 5/6 = 30 = 5, 477. 1/36

6.4.

Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as.

F¨ uggetlen k´ıs´erleteket v´egz¨ unk, melyek mindegyike p val´osz´ın˝ us´eggel siker¨ ul. Azt k´erdezz¨ uk, hogy h´anyadik k´ıs´erlet volt az r. sikeres. Ez a mennyis´eg negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u, az al´abbi defin´ıci´o alapj´an. 6.7. defin´ıci´ o (Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as). Legyen p ∈ (0, 1) r¨ogz´ıtett sz´am. Azt mondjuk, hogy a (k, pk ) sorozat geometriai eloszl´as´ u r renddel ´es p param´eterrel, ha lehets´eges ´ert´ekei k = r, r + 1, r + 2, . . . , a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek pedig   r−1 pk = (1 − p)k−r pr . k−1 6.8. megjegyz´ es. Az r = 1 rend˝ u, p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as megegyezik a p param´eter˝ u geometriai eloszl´assal. 6.9. ´ all´ıt´ as (A negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen Z negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o p param´eterrel. Ekkor r 1−p r D(Z) = r 2 . E(Z) = ; p p P´ elda: harmadik defekt. B´alint minden bicikliz´eskor a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul 1/2 val´osz´ın˝ us´eggel kap defektet. A harmadik defekt ut´an lecser´eli a biciklibels˝ot. Jel¨olje Z, hogy h´anyadik haszn´alatkor kell bels˝ot cser´elnie. Ekkor Z lehets´eges ´ert´ekei k = 3, 4, . . . (az els˝o k´et alkalommal biztosan nem kell cser´elnie), eloszl´asa pedig negat´ıv binomi´alis r = 3 renddel ´es p = 1/2 param´eterrel. Tov´abb´a r 0, 5 E(Z) = 3 · 1/(1/2) = 6; D(Z) = 3 · = 1, 225. 0, 52

6.5.

Poisson-eloszl´ as

Az al´abbi eloszl´as j´ol haszn´alhat´o, ha kis val´osz´ın˝ us´eggel sikeres k´ıs´erletb˝ol v´egz¨ unk sokat, ´es a sikeres k´ıs´erletek sz´am´at akarjuk egyszer˝ uen modellezni. P´eld´aul: a balesetek sz´ama egy biztos´ıt´on´al, ahol sok u ¨gyf´el mindegyike kis val´osz´ın˝ us´eggel okoz balesetet egy ´ev alatt. 32

7. ´abra. A harmadik defekt eloszl´asa: negat´ıv binomi´alis eloszl´as, r = 3, p = 1/2, k = 10-ig. 6.10. defin´ıci´ o (Poisson-eloszl´ as). Legyen s > 0. Az s param´eter˝ u Poissoneloszl´as lehets´eges ´ert´ekei k = 0, 1, 2, . . ., a hozz´ajuk tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek pedig: sk (k = 0, 1, . . .). pk = e−s k! 6.11. ´ all´ıt´ as (A Poisson-eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eterrel. (a) Ekkor X v´arhat´o ´ert´eke, sz´or´asa ´es sz´or´asn´egyzete: √ E(X) = s; D(X) = s; D2 (X) = s. (b) A P(X = k) val´osz´ın˝ us´eg k = [s] eset´en maxim´alis. Ha s eg´esz, az eggyel kisebb k is a legnagyobb ´ert´eket adja. P´ elda. Jel¨olje X azt, hogy egy ny´ar alatt Budapesten h´anyszor esik j´eges˝o. Tegy¨ uk fel, hogy a j´eges˝ok sz´ama Poisson-eloszl´as´ u, s = 3, 61 param´eterrel. Ekkor 3, 61k −3,61 e (k = 0, 1, 2, . . .). P(X = k) = k! P´eld´aul 3, 613 −3,61 ·e = 0, 2121. P(X = 3) = P(pontosan h´aromszor esik j´eges˝o) = 6 33

8. ´abra. A ny´ari j´eges˝ok sz´am´anak eloszl´asa: Poisson-eloszl´as, s = 3, 61, k = 12-ig. Tov´abb´a a j´eges˝ok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: p √ E(X) = s = 3, 61; D(X) = s = 3, 61 = 1, 9. Poisson-eloszl´ as k¨ ozel´ıt´ ese binomi´ alissal A j´eges˝ok sz´am´at le´ır´o Poisson-eloszl´ast ¨osszehasonl´ıtjuk egy binomi´alis eloszl´assal. Ez ut´obbi param´eter´et u ´gy v´alasztjuk, hogy a k´et eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke megegyezzen, vagyis s = np teljes¨ ulj¨on. Egy ´evben 92 ny´ari nap van. Ha feltenn´enk, hogy minden nap a t¨obbit˝ol f¨ uggetlen¨ ul p = 0, 0392 val´osz´ın˝ us´eggel esik j´eges˝o, akkor ebben a modellben a j´eges˝ok sz´ama (jel¨olj¨ uk Y -nal) binomi´alis eloszl´as´ u n = 92 renddel ´es p = 0, 0392 param´eterrel. Ennek az eloszl´asnak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: p E(Y ) = np = 92·0, 0392 = 3, 61; D(X) = 92 · 0, 0392 · 0, 9608 = 1, 861. S˝ot p´eld´aul k = 3-ra   92 P(Y = 3) = 0, 03923 · 0, 960889 = 0, 2153. 3 A 8. ´es a 9. a´br´ak o¨sszehasonl´ıt´asa is mutatja, hogy a Poisson-eloszl´as s = 3, 61 param´eterrel ´es a binomi´alis eloszl´as n = 92 renddel ´es p = 0, 0392 param´eterrel k¨ozel vannak egym´ashoz. Itt teh´at s = np teljes¨ ult. T´abl´azatban, k = 7-ig (teh´at X a Poisson-eloszl´as, ´es Y a binomi´alis): 34

9. ´abra. A ny´ari j´eges˝ok sz´am´anak k¨ozel´ıt´ese: binomi´alis eloszl´as, n = 92, p = 0, 0392, k = 12-ig. k P(X = k) P(Y = k)

0 1 2 3 4 5 6 7 0,027 0,098 0,176 0,212 0,191 0,138 0,083 0,042 0,025 0,094 0,176 0,215 0,195 0,14 0,083 0,043

´ Altal´ anosabban is igaz, hogy nagy n eset´en az n rend˝ u ´es p param´eter˝ u binomi´alis eloszl´as k¨ozel van az s = np param´eter˝ u Poisson-eloszl´ashoz, abban az ´ertelemben, hogy minden r¨ogz´ıtett k-ra a k-hoz tartoz´o val´osz´ın˝ us´egek k¨ozel vannak. Err˝ol sz´ol az al´abbi a´ll´ıt´as. 6.12. ´ all´ıt´ as (A Poisson– ´ es binomi´ alis eloszl´ as kapcsolata). Legyen s pozit´ıv sz´am, ´es pn = s/n minden n = 1, 2, . . . eg´eszre. Legyen X Poissoneloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s param´eterrel, Yn pedig binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o n renddel ´es pn param´eterrel. Ekkor tetsz˝oleges k = 0, 1, 2, . . . eset´en lim P(Yn = k) = P(X = k), n→∞

azaz

  n k sk lim pn (1 − pn )n−k = e−s n→∞ k k!

35

(k = 0, 1, 2, . . .).

7.

Eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

7.1. defin´ıci´ o (Eloszl´ asf¨ uggv´ eny). Legyen X : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ekkor X eloszl´asf¨ uggv´enye az al´abbi F : R → [0, 1] f¨ uggv´eny: F (t) = P(X ≤ t) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ t})

minden t ∈ R val´os sz´amra.

7.2. ´ all´ıt´ as. Legyenek a, b ∈ R tetsz˝oleges val´os sz´amok. Ekkor P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Bizony´ıt´as. Ez azonnal ad´odik az P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) egyenl˝os´egb˝ol (amihez l´asd az 1.10. ´all´ıt´as bizony´ıt´as´at: A = {X ≤ a} ⊆ {X ≤ b} = B) ´es az eloszl´asf¨ uggv´eny defin´ıci´oj´ab´ol.  P´ elda. Szab´alyos kock´aval dobunk. A dobott sz´amot jel¨olje X. Legyen F az X eloszl´asf¨ uggv´enye. Ekkor F (0) = P(X ≤ 0) = 0;

F (1) = P(X ≤ 1) = 1/6;

F (π) = P(X ≤ π) = P(X ≤ 3) = 1/2;

F (6) = P(X ≤ 6) = 1.

7.3. t´ etel (Az eloszl´ asf¨ uggv´ eny tulajdons´ agai). Legyen X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, F pedig az eloszl´asf¨ uggv´enye. Ekkor (i) F monoton n¨ov˝o: a < b eset´en F (a) ≤ F (b). (ii) limt→−∞ F (t) = 0;

limt→∞ F (t) = 1.

(iii) F jobbr´ol folytonos, azaz minden t ∈ R val´os sz´amra lims→t− F (s) = F (t). 7.4. megjegyz´ es. Ha a G : R → [0, 1] f¨ uggv´eny rendelkezik a t´etelben szerepl˝o (i) − (iii) tulajdons´agokkal, akkor van olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek G az eloszl´asf¨ uggv´enye. 7.5. defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o folytonos, ha eloszl´asf¨ uggv´enye folytonos.

36

Egy val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o pontosan akkor folytonos, ha P(X = t) = 0 teljes¨ ul minden t sz´amra. ´Igy p´eld´aul a kockadob´as nem folytonos: P(X = ´ 1) = 1/6 6= 0. Altal´ anosabban, nincs olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, mely egyszerre diszkr´et ´es folytonos is lenne. Olyan viszont van, ami sem nem diszkr´et, sem nem folytonos (p´eld´aul a napi csapad´ekmennyis´eg, ami pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel nulla, viszont nem megsz´aml´alhat´oan v´egtelen az ´ert´ekk´eszlete). 7.6. defin´ıci´ o (Abszol´ ut folytonoss´ ag ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny). Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o abszol´ ut folytonos, ha van olyan f : R → R f¨ uggv´eny, melyre Z t

P(X ≤ t) =

f (s)ds −∞

teljes¨ ul minden t ∈ R sz´amra. Ilyenkor az f f¨ uggv´enyt az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. 7.7. ´ all´ıt´ as. Legyen az X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor tetsz˝oleges a < b sz´amokra teljes¨ ul, hogy Z b P(a ≤ X ≤ b) = f (s)ds. a

P´ elda: l´ epcs˝ os s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny. Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi csapad´ekmennyis´eg s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az al´abbi:   ha s ∈ [0, 1]; 0, 2, f (s) = 0, 4, ha s ∈ (1, 3];   0 ha s < 0 vagy s > 2. Jel¨olje a holnapi csapad´ekmennyis´eget X. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy holnap legfeljebb 0, 5 mm csapad´ek lesz: Z 0,5 Z 0,5 P(0 ≤ X ≤ 0, 5) = f (s)ds = 0, 2ds = 0, 5 · 0, 2 = 0, 1. 0

0

Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a holnapi csapad´ekmennyis´eg 0,5 mm ´es 2 mm k¨oz¨ott lesz: Z 2 Z 1 Z 2 P(0, 5 ≤ X ≤ 2) = f (s)ds = 0, 2ds+ 0, 4ds = 0, 5·0, 2+1·0, 4 = 0, 5. 0,5

0,5

1

37

7.8. ´ all´ıt´ as (Az eloszl´ asf¨ uggv´ eny ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny kapcsolata). Legyen X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek F az eloszl´asf¨ uggv´enye. (a) Ha f az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, akkor minden t ∈ R sz´amra Z t f (s)ds. F (t) = −∞

(b) Az f (t) = F 0 (t) f¨ uggv´eny (azokra a t-kre, ahol F differenci´alhat´o) az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. 7.9. ´ all´ıt´ as (A s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny tulajdons´ agai). Legyen f : R → R az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Ekkor (i) f (s) ≥ 0 teljes¨ ul “majdnem minden” s ∈ R-re (p´eld´aul v´eges vagy megsz´aml´alhat´o sok kiv´etel lehets´eges). R∞ (ii) −∞ f (s)ds = 1. 7.10. megjegyz´ es. Ha a g : R → R f¨ uggv´enyre teljes¨ ul a fenti (i) ´es (ii) tulajdons´ag, akkor van olyan X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek g a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye.

7.1.

Abszol´ ut folytonos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok v´ arhat´ o ´ ert´ eke, sz´ or´ asa ´ es momentumai

7.11. defin´ıci´ o (V´ arhat´ o´ ert´ ek, abszol´ ut folytonos eset). Legyen X abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor X v´arhat´o ´ert´eke: Z ∞ E(X) = s · f (s)ds, −∞

ha ez az integr´al l´etezik ´es v´eges. 7.12. defin´ıci´ o (Sz´ or´ asn´ egyzet ´ es sz´ or´ as). Tegy¨ uk fel, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ekkor X sz´or´asn´egyzete:   D2 (X) = E (X − E(X))2 , sz´or´asa pedig q   D(X) = E (X − E(X))2 , ha ezek a v´arhat´o ´ert´ekek l´eteznek. 38

7.13. ´ all´ıt´ as (A sz´ or´ asn´ egyzet kisz´ am´ıt´ asa). A sz´or´asn´egyzetet a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´am´ıthatjuk ki abszol´ ut folytonos X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eset´en: Z ∞ 2 Z ∞  2 2 2 2 D (X) = E(X ) − E(X) = s f (s)ds − s · f (s)ds , −∞

−∞

ahol f az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye.

8. 8.1.

Nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok Egyenletes eloszl´ as

8.1. defin´ıci´ o (Egyenletes eloszl´ as). Legyenek a < b val´os sz´amok. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o egyenletes eloszl´as´ u az [a, b] intervallumon, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( 1 , ha a ≤ s ≤ b; f (s) = b−a 0, k¨ ul¨onben. R∞ Rb 1 Vegy¨ uk ´eszre, hogy f (s) ≥ 0 minden s-re, ´es −∞ f (s)ds = a b−a ds = 1, ´ıgy f val´oban lehet s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, a 7.9. a´ll´ıt´as ´es az azt k¨ovet˝o megjegyz´es alapj´an. 8.2. ´ all´ıt´ as (Az egyenletes eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o egyenletes eloszl´as´ u az [a, b] intervallumon. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (i) X eloszl´asf¨ uggv´enye:

F (t) = P(X ≤ t) =

  0,

ha t ≤ a; ha a < t < b; ha t ≥ b.

t−a ,  b−a



1,

(ii) Ha a ≤ c ≤ d ≤ b, akkor Z P(c ≤ X ≤ d) =

d

Z f (s)ds =

c

c

39

d

1 d−c ds = . b−a b−a

(iii) Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa: E(X) =

a+b ; 2

b−a D(X) = √ . 12

Vegy¨ uk ´eszre, hogy a v´arhat´o ´ert´ek a megadott intervallum k¨ozepe, a sz´or´as pedig az intervallum hossz´aval ar´anyos – hosszabb intervallum eset´en nagyobb a sz´or´as. P´ elda. Csomagot v´arunk, a fut´ar 10 ´es 12 o´ra k¨oz¨ott ´erkezik. Feltessz¨ uk, hogy ´erkez´es´enek id˝opontja egyenletes eloszl´as´ u a [10, 12] intervallumon. Ekkor az el˝oz˝o a´ll´ıt´as alapj´an az al´abbiak igazak. • Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy 10 ´es 11 o´ra k¨oz¨ott ´erkezik: (11 − 10)/(12 − 10) = 1/2. • Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy 10:15 ´es 10:30 k¨oz¨ott ´erkezik, 1/8 = 0, 125. ´ • Erkez´ esi id˝opontj´anak v´arhat´o ´ert´eke: (10 + 12)/2 = 11 o´ra. √ √ ´ • Erkez´ esi id˝opontj´anak sz´or´asa: (12 − 10)/ 12 = 1/ 3 = 0, 5774.

8.2.

Norm´ alis eloszl´ as

8.3. defin´ıci´ o (Norm´ alis eloszl´ as). Legyen m val´os, σ pedig pozit´ıv sz´am. Azt mondjuk, hogy az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o norm´alis eloszl´as´ u m v´arhat´o 2 ´ert´ekkel ´es σ sz´or´asn´egyzettel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye   1 (s − m)2 f (s) = √ exp − (s ∈ R). 2σ 2 2πσ Jel¨ol´ese: Y ∼ N (m, σ 2 ). Ez az f val´oban s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, ´es hogy az ´ıgy megadott Y -ra E(Y ) = m ´es D2 (Y ) = σ 2 (ezeket nem bizony´ıtjuk). 8.4. defin´ıci´ o (Standard norm´ alis eloszl´ as). Azt mondjuk, hogy a Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o standard norm´alis eloszl´as´ u, ha norm´alis eloszl´as´ um=0 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ 2 = 1 sz´or´asn´egyzettel, azaz Z ∼ N (0, 1), ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: 1 2 (s ∈ R). f (s) = √ e−s /2 2π 40

A standard norm´alis eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´eny´et Φ-vel jel¨olj¨ uk, vagyis Z t 1 2 e−s /2 ds. Φ(t) = P(Y ≤ t) = √ 2π −∞

10. ´abra. A standard norm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye (m = 0, σ = 1) 8.5. ´ all´ıt´ as (A norm´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Ha az Y val´osz´ın˝ us´egi 2 v´altoz´o norm´alis eloszl´as´ u m v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ sz´or´asn´egyzettel, valamint a < b val´os sz´amok, akkor (i) P(a < Y < b) = P(a ≤ Y ≤ b) =   Z b (s − m)2 1 exp − ds = =√ 2σ 2 2πσ a     b−m a−m =Φ −Φ . σ σ (ii) P(Y < b) = P(Y ≤ b) =

√1 2πσ

Rb

(iii) P(a < Y ) = P(a ≤ Y ) =

√1 2πσ

R∞

−∞

a



exp −

(s−m)2 2σ 2



(s−m)2 2σ 2

exp −



  b−m ds = Φ σ .

   a−m ds = 1 − Φ σ .

(iv) Y v´arhat´o ´ert´eke m, sz´or´asa σ. (v) Legyenek u, v val´os sz´amok. Ekkor uY +v is norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, um + v v´arhat´o ´ert´ekkel ´es u2 σ 2 sz´or´asn´egyzettel. 41

P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy a holnapi cs´ ucsh˝om´ers´eklet (Celsius-fokban m´erve) norm´alis eloszl´as´ u m = 2 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ 2 = 9 sz´or´asn´egyzettel. Jel¨olj¨ uk ezt a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot Y -nal. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy ◦ a holnapi cs´ ucsh˝om´ers´eklet 0 ´es 4 C k¨oz¨ott lesz:     4−2 2 P(0 < Y < 4) = P(Y < 4) − P(Y < 0) = Φ −Φ − = 3 3          2 2 2 2 −Φ − =Φ − 1−Φ =Φ 3 3 3 3   2 = 2Φ − 1 = 2 · 0, 7486 − 1 = 0, 4972, 3 felhaszn´alva a norm´alis eloszl´as t´abl´azat´at (vagy b´armilyen statisztikai szoftvert) ´es a Φ(−x) = 1 − Φ(x) tulajdons´agot (mely a standard norm´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek 0-ra vonatkoz´o szimmetri´aj´ab´ol ad´odik).

8.3.

Exponenci´ alis eloszl´ as

8.6. defin´ıci´ o (Exponenci´ alis eloszl´ as). Legyen b > 0 pozit´ıv sz´am. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o exponenci´alis eloszl´as´ u b param´eterrel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( be−bs , ha s > 0; f (s) = 0 k¨ ul¨onben.

8.7. ´ all´ıt´ as (Az exponenci´ alis eloszl´ as tulajdons´ agai). Legyen X exponenci´alis eloszl´as´ u b > 0 param´eterrel. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (i) X eloszl´asf¨ uggv´enye: ( 1 − e−bs , F (t) = P(X ≤ t) = P(X < t) = f (s)ds = 0 −∞ Z

t

ha s > 0; k¨ ul¨onben.

(ii) X v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = 1/b, sz´or´asa: D(X) = 1/b. ¨ okifj´ (iii) Or¨ u tulajdons´ ag. Legyenek s, t pozit´ıv sz´amok. Ekkor P(X ≥ s + t|X ≥ s) = P(X ≥ t). 42

11. ´abra. A b = 1 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye P´ elda. Tegy¨ uk fel, hogy egy radioakt´ıv r´eszecske ´elettartam´anak elolsz´asa (m´asodpercben m´erve) 10 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Jel¨olj¨ uk ezt X-szel. Ekkor annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecske t¨obb mint 1 m´asodpercig ´eletben marad: P(X > 1) = 1 − F (1) = 1 − (1 − e−10·1 ) = e−10 = 0, 0000454. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecske ´elettartama 0, 1 ´es 0, 2 m´asodperc k¨oz´e esik: P(0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) = F (0, 2) − F (0, 1) = 1 − e−10·0,2 − (1 − e−10·0,1 ) = = 1/e − 1/e2 = 0, 2325. A r´eszecske ´elettartam´anak v´arhat´o ´ert´eke: E(X) = 1/10 = 0, 1.

9.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok egy¨ uttes eloszl´ asa

9.1. defin´ıci´ o (Val´ osz´ın˝ us´ egi vektorv´ altoz´ o). Az X = (X1 , . . . , Xn ) : n Ω → R f¨ uggv´eny val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o, ha tetsz˝oleges ai < bi (i = 1, 2, . . . , n) val´os sz´amokra teljes¨ ul, hogy {ω ∈ Ω : a1 < X1 (ω) ≤ b1 , a2 < X2 (ω) ≤ b2 , . . . , an < Xn (ω) ≤ bn } ∈ A. Ha X val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o, akkor az Xi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at az X i. peremeloszl´as´anak nevezz¨ uk. Az X val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o diszkr´et, ha ´ert´ekk´eszlete v´eges vagy megsz´aml´alhat´oan v´egtelen. 43

9.1.

Egy¨ uttes eloszl´ as– ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny

9.2. defin´ıci´ o. Az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o egy¨ uttes eloszl´asf¨ uggv´enye az F : Rn → [0, 1] f¨ uggv´eny, melyre F (t) = F (t1 , . . . , tn ) = P(X1 ≤ t1 , X2 ≤ t2 , . . . , Xn ≤ tn ), ha (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn . 9.3. defin´ıci´ o. Az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o abszol´ ut n folytonos, ha van olyan f : R → R f¨ uggv´eny, melyre Z tn Z t1 f (s1 , . . . , sn )ds1 . . . dsn . ... F (t1 , . . . , tn ) = −∞

−∞

teljes¨ ul minden (t1 , . . . , tn ) ∈ Rn eset´en. Ilyenkor az f f¨ uggv´enyt az X egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk.

9.2.

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok f¨ uggetlens´ ege

9.4. defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az X1 , . . . , Xn : Ω → R val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ha P(X1 ≤ t1 , X2 ≤ t2 , . . . , Xn ≤ tn ) = P(X1 ≤ t1 ) · P(X2 ≤ t2 ) . . . P(Xn ≤ tn ) teljes¨ ul tetsz˝oleges t1 , t2 , . . . , tn val´os sz´amokra. V´egtelen hossz´ u sorozatra a defin´ıci´o ´ıgy m´odosul. Az X1 , X2 , X3 . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ha k¨oz¨ ul¨ uk b´armely v´eges sokat kiv´alasztva f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat kapunk. F¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okra p´elda: • K´et kockadob´asn´al az els˝ok´ent (X1 ) ´es m´asodikk´ent dobott sz´am (X2 ). • A holnapi csapad´ekmennyis´eg Budapesten ´es Toront´oban. • K´et tal´alomra v´alasztott ember testmagass´aga. Nem f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okra p´elda: • K´et kockadob´asn´al az els˝o sz´am ´es a k´et dobott sz´am o¨sszege. • A holnapi csapad´ekmennyis´eg Budapesten ´es Buda¨ors¨on. 44

• K´et testv´er testmagass´aga. 9.5. ´ all´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy az X1 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, ´es g1 , . . . , gn : R → R f¨ uggv´enyek. Ekkor a g1 (X1 ), g2 (X2 ), . . . , gn (Xn ) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok is f¨ uggetlenek. Tov´abb´a, ha h : Rk → R, akkor a h(X1 , . . . , Xk ), Xk+1 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok is f¨ uggetlenek. 9.6. ´ all´ıt´ as (F¨ uggetlens´ eg ´ es s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny). Tegy¨ uk fel, hogy az X = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ us´egi vektorv´altoz´o abszol´ ut folytonos, egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , tov´abb´a az Xi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye fi minden i = 1, 2, . . . , n eset´en. Ezekkel a jel¨ol´esekkel: X1 , X2 , . . . , Xn pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha f (t1 , . . . , tn ) = f1 (t1 ) · f2 (t2 ) . . . fn (tn ) teljes¨ ul b´armely t1 , t2 , . . . , tn val´os sz´amokra. 9.7. ´ all´ıt´ as (F¨ uggetlens´ eg eg´ esz ´ ert´ ek˝ u esetben). Tegy¨ uk fel, hogy az us´egi vektorv´altoz´o diszkr´et, s˝ot minden peremX = (X1 , . . . , Xn ) val´osz´ın˝ eloszl´asa eg´esz ´ert´ek˝ u. Az X1 , X2 , . . . , Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok pontosan akkor f¨ uggetlenek, ha P(X1 = k1 , . . . , Xn = kn ) = P(X1 = k1 ) · P(X2 = k2 ) . . . P(Xn = kn ) teljes¨ ul b´armely k1 , k2 , . . . , kn eg´esz sz´amokra. P´elda. Egy szab´alyos dob´okock´at feldobunk n-szer, jel¨olje Xi az i. dob´as ´ert´ek´et (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 , X2 , . . . , Xn ) f¨ uggetlenek. P´eld´aul 1 P(X1 = 3, X2 = 4) = P(X1 = 3) · P(X2 = 4) = ; 36 1 P(X1 = 3, X2 = 4, X3 = 2) = P(X1 = 3) · P(X2 = 4) · P(X3 = 2) = 3 . 6 Vegy¨ uk ´erszre, hogy ez o¨sszhangban van azzal, hogy az els˝o k´et dob´as eredm´enye 36, a az els˝o h´arom dob´as eredm´enye 63 = 216-f´ele dob´assorozat lehet.

10.

10.1.

V´ arhat´ o ´ ert´ ek, sz´ or´ as, kovariancia, korrel´ aci´ o A v´ arhat´ o´ ert´ ek tulajdons´ agai

10.1. ´ all´ıt´ as. Legyenek X, Y, X1 , X2 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek v´arhat´o ´ert´eke l´etezik vagy az 5.5. defin´ıci´o, vagy a 7.11. defin´ıci´o 45

´ertelm´eben. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) Ha a ≤ X ≤ b teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel valamely a, b val´os sz´amokra, akkor a ≤ E(X) ≤ b. (b) Konstanssal szorz´ as. Ha c ∈ R, akkor E(c · X) = c · E(X). ¨ (c) Osszeg v´ arhat´ o´ ert´ eke. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). (d) Szorzat v´ arhat´ o´ ert´ eke f¨ uggetlen esetben. Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, akkor E(X · Y ) = E(X) · E(Y ). (e) Legyen g : Rn → R f¨ uggv´eny. Ekkor, ha X1 , . . . , Xn diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor X E(g(X1 , . . . , Xn )) = g(t1 , . . . , tn )P(X1 = t1 , . . . , Xn = tn ), (t1 ,...,tn )

ha a jobb oldal abszol´ ut konvergens, ´es az o¨sszegz´es az X1 , X2 , . . . , Xn lehets´eges ´ert´ekeire t¨ort´enik. Ha X1 , . . . , Xn abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel, akkor Z ∞ Z ∞ E(g(X1 , . . . , Xn )) = ... g(t1 , . . . , tn )f (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn , −∞

−∞

ha a jobb oldal abszol´ ut konvergens. Gyakran el˝ofordul, hogy f¨ uggv´enyk´ent a k. hatv´anyra emel´est haszn´aljuk. 10.2. defin´ıci´ o (Momentumok). Legyen X olyan diszkr´et vagy abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melyre X k v´arhat´o ´ert´eke l´etezik. Ekkor az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o k. momentuma: E(X k )

(k = 1, 2, . . .).

Az ´all´ıt´as (e) r´esze alapj´an, ha X diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, akkor k

E(X ) =

∞ X

uki P(X = ui ),

i=1

ahol u1 , u2 , . . . az X lehets´eges ´ert´ekei. Ha X abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , akkor viszont ´ıgy sz´amolhatjuk a k. momentumot: Z ∞ k E(X ) = tk f (t)dt. −∞

46

10.2.

A sz´ or´ asn´ egyzet tulajdons´ agai

10.3. ´ all´ıt´ as. Legyenek X, Y, X1 , X2 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) Nemnegativit´ as. D(X) ≥ 0. (b) D2 (X) = 0 akkor ´es csak akkor, ha P(X = c) = 1 valamilyen c ∈ R sz´amra. (c) Konstans hozz´ aad´ asa D2 (X + b) = D2 (X) tetsz˝oleges b ∈ R sz´amra. (d) Konstanssal val´ o szorz´ as. D2 (a · X) = a2 D2 (X), ´es D(a · X) = |a|D(X) tetsz˝oleges a ∈ R sz´amra. ¨ (e) Osszeg sz´ or´ asn´ egyzete f¨ uggetlen esetben. Ha X ´es Y f¨ uggetlenek, ´ anosabban, ha X1 , X2 , . . . , Xn akkor D2 (X + Y ) = D2 (X)+D2 (Y ). Altal´ f¨ uggetlenek, akkor D2 (X1 + . . . + Xn ) = D2 (X1 ) + . . . + D2 (Xn ).

10.3.

A kovariancia ´ es tulajdons´ agai

10.4. defin´ıci´ o (kovariancia). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Ekkor az X ´es Y kovarianci´aja:   cov(X, Y ) = E (X − E(X)) · (Y − E(Y )) . 10.5. ´ all´ıt´ as. Legyenek X, Y, Z, X1 , . . . , Xn olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asa l´etezik. Ekkor a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek. (a) A kovariancia kisz´ am´ıt´ asa. cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X)E(Y ). (b) Szimmetria. cov(X, Y ) = cov(Y, X). (c) Konstanssal val´ o kovariancia. cov(X, c) = 0, ha c ∈ R. (d) Kapcsolat a sz´ or´ asn´ egyzettel. cov(X, X) = D2 (X). (e) Linearit´ as. Egyr´eszt cov(X + Y, Z) = cov(X, Z) + cov(Y, Z), m´asr´eszt tetsz˝oleges c ∈ R sz´amra cov(cX, Y ) = c · cov(X, Y ). (f) F¨ uggetlens´ eggel val´ o kapcsolat. Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, akkor cov(X, Y ) = 0.

47

¨ (g) Osszeg sz´ or´ asn´ egyzete. D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) + 2cov(X, Y ). Tov´abb´a n n X  X X D2 Xi = D2 (Xi ) + 2 cov(X, Y ). i=1

i=1

i<j

(h) K¨ ul¨ onbs´ eg sz´ or´ asn´ egyzete D2 (X − Y ) = D2 (X) + D2 (Y ). P´ elda. Legyen X Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o 2 param´eterrel. Ekkor (e)

(e)

cov(X + 3, 2 · X) = 2cov(X + 3, X) = 2cov(X, X) + 2cov(3, X) = (c,d)

= 2D2 (X) = 2 · 2 = 4,

ahol felhaszn´altuk a Poisson-eloszl´as sz´or´asn´egyzet´ere vonatkoz´o o¨sszef¨ ugg´est (6.11. ´all´ıt´as (a) r´esz). 10.6. defin´ıci´ o (Korrel´ alatlans´ ag). Ha az X, Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok kovarianci´aja 0, akkor azt mondjuk, hogy X ´es Y korrel´alatlanok. 10.7. ´ all´ıt´ as (F¨ uggetlens´ eg ´ es korrel´ alatlans´ ag). (i) Ha az X ´es Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek ´es sz´or´asuk l´etezik, akkor korrel´alatlanok, azaz cov(X, Y ) = 0. (ii) Vannak olyan U, V val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek nem f¨ uggetlenek, de korrel´alatlanok, azaz cov(U, V ) = 0. Az a´ll´ıt´as (ii) r´esz´ere p´elda a k¨ovetkez˝o. Legyen X ´es Y k´et szab´alyos kockadob´as, ezek f¨ uggetlenek. Legyen tov´abb´a U = X + Y, V = X − Y . Ekkor (e,d)

cov(U, V ) = cov(X + Y, X − Y ) = D( X) − cov(X, Y ) + cov(X, Y ) − D2 (X) = (f )

= D2 (X) − D2 (Y ) = 0.

Ugyanakkor U ´es V nem f¨ uggetlenek, p´eld´aul 0 = P(U = 11, V = 0) 6= P(U = 11) · P(V = 0) =

48

3 1 · . 36 6

10.4.

A korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o

10.8. defin´ıci´ o (Korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asn´egyzete l´etezik. Ekkor X ´es Y korrel´aci´os egy¨ utthat´oja: ( cov(X,Y ) , ha D(X) > 0, D(Y ) > 0; D(X)D(Y ) R(X, Y ) = 0, ha D(X) = 0 vagy D(Y ) = 0. 10.9. ´ all´ıt´ as (A korrel´ aci´ os egy¨ utthat´ o tulajdons´ agai). Legyenek X ´es Y olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek sz´or´asa l´etezik. (i) Ekkor teljes¨ ul, hogy |R(X, Y )| ≤ 1. (ii) Legyen a > 0 val´os sz´am, b tetsz˝oleges val´os sz´am. Ekkor R(X, aX + b) = 1 ´es R(X, −aX + b) = −1. (iii) Tegy¨ uk fel, hogy |R(X, Y )| = 1. Ekkor l´eteznek olyan a ´es b val´os sz´amok, hogy az Y = aX + b egyenlet 1 val´osz´ın˝ us´eggel teljes¨ ul. P´ elda. K´etszer dobunk szab´alyos dob´okock´aval. Kisz´am´ıtjuk az el˝osz¨or dobott sz´amnak ´es a dobott sz´amok ¨osszeg´enek korrel´aci´os egy¨ utthat´oj´at. Ehhez legyen X az el˝osz¨or dobott sz´am, Y a m´asodszor dobott sz´am. A k´erd´es X ´es X + Y korrel´aci´os egy¨ utthat´oja. Felhaszn´alva, hogy X ´es Y f¨ uggetlenek, ´es ´ıgy egyr´eszt a kovarianci´ajuk nulla, m´asr´eszt az o¨sszeg¨ uk sz´or´asn´egyzete a sz´or´asn´egyzeteik o¨sszege (10.3. a´ll´ıt´as): cov(X, X) + cov(X, Y ) cov(X, X + Y ) p = D(X)D(X + Y ) D(X) D2 (X) + D2 (Y ) D2 (X) 1 √ = = √ > 0. D(X) · 2 · D(X) 2

R(X, X + Y ) =

11.

Egyenl˝ otlens´ egek

11.1. ´ all´ıt´ as (Markov-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen t > 0 tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am, X pedig olyan v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, mely csak nemnegat´ıv ´ert´ekeket vesz fel, vagyis melyre X ≥ 0 teljes¨ ul. Ekkor P(X ≥ t) ≤ 49

E(X) . t

11.2. ´ all´ıt´ as (Csebisev-egyenl˝ otlens´ eg). Legyen X v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s > 0 pozit´ıv sz´am. Ekkor P(|X − E(X)| ≥ s) ≤

D2 (X) . s2

11.3. k¨ ovetkezm´ eny. Legyen X v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, s > 0 pozit´ıv sz´am. Ekkor P(|X − E(X)| < s) ≥ 1 −

12. 12.1.

D2 (X) . s2

Val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszege Konvol´ uci´ o

12.1. ´ all´ıt´ as. Legyenek X ´es Y olyan f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek lehets´eges ´ert´ekei eg´esz sz´amok. Ekkor P(X + Y = k) =

∞ X

P(X = i)P(Y = k − i).

i=−∞

12.2. ´ all´ıt´ as. Legyenek X ´es Y egym´ast´ol f¨ uggetlen, abszol´ ut folytonos val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Legyen az X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f , az Y -´e pedig g. Ekkor az X + Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o is abszol´ ut folytonos, ´es s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: Z ∞ hX+Y (t) = f (s)g(t − s)ds. −∞

12.2.

Nevezetes eloszl´ asok ¨ osszege

12.3. ´ all´ıt´ as (Binomi´ alis val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok o ¨sszege). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi eloszl´asa binomi´alis mi renddel ´es p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa binomi´alis eloszl´as m1 + m2 + . . . + mn renddel ´es p param´eterrel. 12.4. ´ all´ıt´ as (Geometriai eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ¨ osszege). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi geometriai eloszl´as´ u p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa negat´ıv binomi´alis eloszl´as n renddel ´es p param´eterrel. 50

12.5. ´ all´ıt´ as (Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u mi renddel ´es p param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor X1 + . . . + Xn eloszl´asa negat´ıv binomi´alis eloszl´as m1 + m2 + . . . + mn renddel ´es p param´eterrel. 12.6. ´ all´ıt´ as (Poisson-eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi Poisson-eloszl´as´ u si param´eterrel (i = 1, . . . , n). Ekkor (a) X1 + X2 Poisson-eloszl´as´ u s1 + s2 param´eterrel. (b) X1 + X2 + . . . + Xn Poisson-eloszl´as´ u s1 + . . . + sn param´eterrel. 12.7. ´ all´ıt´ as (Norm´ alis eloszl´ as). Legyenek X1 , . . . , Xn f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, u ´gy, hogy Xi norm´alis eloszl´as´ u mi v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σi2 sz´or´asn´egyzettel (i = 1, . . . , n). Ekkor (a) X1 +X2 norm´alis eloszl´as´ u m1 +m2 v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ12 +σ22 sz´or´asn´egyzettel. (b) X1 + X2 + . . . + Xn norm´alis eloszl´as´ u m1 + . . . + mn v´arhat´o ´ert´ekkel ´es σ12 + . . . + σn2 sz´or´asn´egyzettel.

12.3.

Az ´ atlag v´ arhat´ o´ ert´ eke ´ es sz´ or´ asa

12.8. ´ all´ıt´ as (Az o ¨sszeg v´ arhat´ o´ ert´ eke ´ ert´ eke ´ es sz´ or´ asa). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok (vagyis eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk megegyezik). Ekkor √ E(X1 + . . . + Xn ) = nE(X1 ); D(X1 + . . . + Xn ) = nD(X1 ). 12.9. ´ all´ıt´ as (Az ´ atlag v´ arhat´ o´ ert´ eke ´ ert´ eke ´ es sz´ or´ asa). Tegy¨ uk fel, hogy X1 , X2 , . . . , Xn f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor     X 1 + . . . + Xn X 1 + . . . + Xn D(X1 ) E = E(X1 ); D = √ . n n n

51

13.

A nagy sz´ amok t¨ orv´ enyei

13.1. defin´ıci´ o (Sztochasztikus konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat sztochasztikusan konverg´al az Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ohoz, ha minden ε > 0-ra P(|Xn − Y | > ε) → 0 teljes¨ ul n → ∞ eset´en. 13.2. t´ etel (A nagy sz´ amok gyenge t¨ orv´ enye). Legyenek X1 , X2 , . . . olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek f¨ uggetlenek, ´es azonos eloszl´as´ uak (vagyis eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk megegyezik). Tegy¨ uk fel, hogy D(X1 ) l´etezik. Ekkor X1 + X2 + . . . + Xn → E(X1 ) n sztochasztikusan n → ∞ eset´en. Ez teh´at azt jelenti, hogy ha X n = (X1 + X2 + . . . + Xn )/n jel¨oli az els˝o n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´atlag´at, akkor minden ε > 0 eset´en P(|X n − E(X1 )| > ε) → 0

(n → ∞).

13.3. defin´ıci´ o (1 val´ osz´ın˝ us´ eg˝ u konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata. Azt mondjuk, hogy ez a sorozat 1 val´osz´ın˝ us´eggel konverg´al a Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ohoz, ha P({ω ∈ Ω : Xn (ω) → Z(ω)}) = 1. 13.4. megjegyz´ es. Ha Xn → Z teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel, akkor Xn → Z sztochasztikusan is. Ennek a megford´ıt´asa viszont nem igaz (van olyan sztochasztikusan konvergens sorozat, mely nem 1 val´osz´ın˝ us´eggel konvergens). 13.5. t´ etel (A nagy sz´ amok er˝ os t¨ orv´ enye). Legyenek X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak. Tegy¨ uk fel m´eg, hogy E(X1 ) l´etezik. Ekkor X1 + X 2 + . . . + Xn → E(X1 ) n teljes¨ ul 1 val´osz´ın˝ us´eggel n → ∞ eset´en. 52

14.

Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel

14.1. defin´ıci´ o (Eloszl´ asbeli konvergencia). Legyen X1 , X2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok sorozata, Xi eloszl´asf¨ uggv´enye Fi (i = 1, 2, . . . eset´en). Legyen tov´abb´a Y val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek eloszl´asf¨ uggv´enye F . Azt mondjuk, hogy az (Xn )n∈N sorozat tart Y -hoz eloszl´asban, ha Fn (t) → F (t)

(n → ∞)

teljes¨ ul minden olyan t ∈ R-re, melyre F folytonos t-ben. 14.2. t´ etel (Centr´ alis hat´ areloszl´ ast´ etel). Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyeknek sz´or´asa l´etezik. Haszn´aljuk a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket: E(X1 ) = m ´es D(X1 ) = s. Legyen Y standard norm´alis val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o: Y ∼ N (0, 1). Ekkor X1 + X 2 + . . . + Xn − n · m √ →Y s n eloszl´asban n → ∞ eset´en. Vagyis tetsz˝oleges a < b val´os sz´amokra teljes¨ ul, hogy   X 1 + X2 + . . . + X n − n · m √ < b = P(a ≤ Y < b), lim P a ≤ n→∞ s n azaz (mivel Y standard norm´alis eloszl´as´ u):   Z b X 1 + X2 + . . . + X n − n · m 1 2 √ lim P a ≤ e−x /2 dx.
Z

b

e−x

2 /2

dx

a

teljes¨ ul n → ∞ eset´en. P´ elda. Legyenek X1 , X2 , . . . f¨ uggetlen s = 0, 5 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ezek azonos eloszl´as´ uak, v´eges sz´or´as´ uak, ´es 1 1 E(X1 ) = = 2; D(X1 ) = = 2. s s

53

A nagy sz´amok er˝os t¨orv´enye szerint n

1X Xj = 2 n→∞ n j=1 lim

1 val´osz´ın˝ us´eggel. A centr´alis hat´areloszl´ast´etel szerint tetsz˝oleges a < b sz´amokra Pn   Z b 2 j=1 Xj − 2n √ lim P a ≤ e−x /2 dx = Φ(b) − Φ(a).
a

j=1

  Z b n X √ √ 2 lim P 2n + 2a n ≤ Xj < 2n + 2b n = e−x /2 dx = Φ(b) − Φ(a).

n→∞

a

j=1

 2a lim P 2 + √ ≤ n→∞ n

Pn

j=1

n

Xj

2b <2+ √ n



Z =

b

e−x

2 /2

dx = Φ(b) − Φ(a).

a

Teh´at p´eld´aul a = −1 ´es b = 1 v´alaszt´assal Pn   Z 1 2 2 2 j=1 Xj <2+ √ lim P 2 − √ ≤ = e−x /2 dx = Φ(1) − Φ(−1) n→∞ n n n −1 = Φ(1) − [1 − Φ(1)] = 2Φ(1) − 1 = 2 · 0, 8413 − 1 = 0, 6826. Ugyanakkor p´eld´aul Pn   j=1 Xj lim P 1, 99993 ≤ < 2, 00008 = 1. n→∞ n A 12. a´br´an a k¨ovetkez˝o l´athat´o. X1 , X2 , . . . , X3000 f¨ uggetlen exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok s = 0, 5 param´eterrel, mint el˝obb. MinPn 1 den n = 100, 101, . . . , 3000-re kisz´am´ıtjuk az n ( j=1 Xj ) a´tlagot, ´es ezt a´br´azoljuk n f¨ uggv´eny´eben. Az a´tlag E(X1 ) = 1/s = 2-h¨oz konverg´al a nagy sz´amok er˝os t¨orv´enye szerint 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Az ´abr´an az a´tlag nem megy nagyon k¨ozel a kett˝oh¨o√ z, de el´eg nagy n-re 1, 95 ´es 2, 05 k¨oz´e esik. Az a´tlag sz´or´asa n = 3000-re 2/ 3000 = 0, 0365 a 12.9. a´ll´ıt´as szerint. 54

12. ´abra. Az ´atlag v´altoz´asa a darabsz´am f¨ uggv´eny´eben f¨ uggetlen exp(0, 5) eloszl´as´ u mint´an´al

15.

Tov´ abbi nevezetes abszol´ ut folytonos eloszl´ asok

15.1. defin´ıci´ o (gamma-f¨ uggv´ eny). Ha a > 0 pozit´ıv sz´am, legyen Z ∞ ta−1 e−t dt. Γ(a) = 0

Parci´alis integr´al´assal kisz´am´ıthat´o, hogy Γ(a) = (a − 1)Γ(a − 1) minden a > 1-re, ´es ´ıgy Γ(n) = (n − 1)!, ha n pozit´ıv eg´esz. 15.2. defin´ıci´ o (gamma-eloszl´ as). Legyenek a ´es λ pozit´ıv sz´amok. Azt mondjuk, hogy az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o gamma-eloszl´as´ u a renddel ´es λ param´eterrel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( a a−1 λ t e−λt , t ≥ 0; Γ(a) f (t) = 0, t < 0. 15.3. defin´ıci´ o (χ2 -eloszl´ as). Legyenek X1 , X2 , . . . , Xq f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Az Y = X12 + X22 + . . . + Xn2

55

val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at q szabads´agi fok´ u χ2 -eloszl´asnak nevezz¨ uk. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: ( q/2−1 t e−t/2 , t ≥ 0; q/2 f1 (t) = 2 Γ(q/2) 0, t < 0. A q szabads´agi fok´ u χ-n´egyzet eloszl´as megegyezik az a = q/2 rend˝ u ´es λ = 1/2 param´eter˝ u Γ-eloszl´assal.

13. ´abra. Az n = 3 szabads´agi fok´ u χ2 -eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye

15.4. defin´ıci´ o (F -eloszl´ as). Legyenek m, n pozit´ıv eg´eszek, X1 , . . . , Xm , Y1 , Y2 , . . . , Yn pedig f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor az 2 ) n(X12 + X22 + . . . + Xm F = 2 2 2 m(Y1 + Y2 + . . . + Yn ) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at m, n param´eter˝ u F -eloszl´asnak nevezz¨ uk. 15.5. defin´ıci´ o (t-eloszl´ as). Legyenek X1 , X2 , . . . , Xn ´es Y f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ekkor a Y Z=p 2 2 (X1 + X2 + . . . + Xn2 )/n val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at n szabads´agi fok´ u t-eloszl´asnak (vagy Studenteloszl´asnak) nevezz¨ uk.

56

15.6. defin´ıci´ o (Cauchy-eloszl´ as). Az n = 1 szabads´agi fok´ u t-eloszl´ast Cauchy-eloszl´asnak nevezz¨ uk. Vagyis, ha X ´es Y f¨ uggetlen standard norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor X/Y Cauchy-eloszl´as´ u. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: 1 1 f2 (x) = · . π 1 + x2 A Cauchy-eloszl´asnak sem v´arhat´o ´ert´eke, sem sz´or´asa nem l´etezik.

14. ´abra. A Cauchy-eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye

15.7. defin´ıci´ o (beta-eloszl´ as). Legyenek a, b > 1 sz´amok. Azt mondjuk, hogy az U val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o beta-eloszl´as´ u a ´es b param´eterekkel, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye ( Γ(a+b) a−1 t (1 − t)b−1 , t ∈ [0, 1]; Γ(a)Γ(b) f3 (t) = 0, t < 0 vagy t > 1. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny csak a [0, 1] intervallumon vesz fel pozit´ıv ´ert´ekeket, vagyis a beta-eloszl´asb´ol sorsolt ´ert´ekek mindig 0 ´es 1 k¨oz´e esnek.

57

15. ´abra. A beta-eloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a = 5 ´es b = 2 param´eterekkel Impresszum A jegyzet els˝o v´altozata 2015 nyar´an k´esz¨ ult Budapesten, az E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem Term´eszettudom´anyi Kar´anak f¨oldtudom´any alapszak m´asod´eves val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as el˝oad´as´ahoz. K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as • Csisz´ar Vill˝onek, akinek az informatikus szak sz´am´ara k´esz¨ ult val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as jegyzet´ere t´amaszkodva ´ep¨ ult fel ez az el˝oad´as. • Varga L´aszl´onak, konzult´aci´o´ert, kieg´esz´ıt´esek´ert, javaslatok´ert. Tov´ abbi aj´ anlott irodalom (1) Csisz´ar Vill˝o: Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as jegyzet. 2009. http://www.cs.elte.hu/∼villo/esti/valszam.pdf (2) Denkinger G´eza: Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as. Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 2001. (3) Denkinger G´eza: Val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi gyakorlatok. Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1999.

58