Tartalom
1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér
2015
1
Számítógéppel irányított rendszerek
Számítógéppel irányított rendszer blokkvázlata
Tartószerv D/A
ZOH
Folytonos rendszer
A/D
Számítógép 2015
2
Számítógéppel irányított rendszerek
D/A átalakítás A diszkrét idej˝u jelb˝ol kódolási eljárással folytonos idej˝u impulzus sorozatot állít el˝o, mely a D/A átalakító analóg kimen˝o jele.
2015
3
Számítógéppel irányított rendszerek
Tartószerv
A tartószerv feladata két mintavételi pont között a jel biztosítása. A D/A konverter kimen˝o impulzussorozatából folytonos idej˝u jelet biztosít. A tartószerv meghatározza, hogy két mintavételi id˝opont között hogyan változik a jel. A legegyszer˝ubb tartószerv a zérusrend˝u (ZOH) tarószerv, mely állandó értéken (el˝oz˝o kimeneti függvény érték) tartja a kimenetet, míg a a következ˝o mintavétel sorra nem kerül.
2015
4
Számítógéppel irányított rendszerek
A zérus rend˝u tartószerv a D/A átalakító kimenetét integrálja h mintavételi ideig. Els˝orend˝u tartó (FOH) a két mintavételi pont értékeinek adott meredekség˝u összekötését biztosítja. Léteznek magasabbrend˝u tartószervek, melyek törekszenek a folytonos jelalak két mintavétel közötti értékének minél tökéletesebb visszaadására.
2015
5
Számítógéppel irányított rendszerek
A/D átalakítás Az id˝oben folytonos rendszer kimenetét diszkrét jellé alakítja kódolási eljárással. Ezt a diszkretizált, majd digitalizált jelet használjuk fel a számítógéppel irányított szabályozó bemeneteként.
2015
6
Számítógéppel irányított rendszerek
2015
7
Tartalom
1. Számítógéppel irányított rendszerek (bevezetés) 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér
2015
8
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Egységugrásra ekvivalens, diszkrét ideju˝ állapottér modell Legyen adott az alábbi folytonos idej˝u állapottér reprezentáció, x0 kezdeti értékkel x˙ = Ax + bu y = cT x
2015
9
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
ahol az inhomogén állapotegyenlet megoldása a következ˝o: x(t) = eAt x0 +
Z
t
eA(t−τ)bu(τ)dτ
0
y(t) = cT x(t).
2015
10
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Diszkrét esetben x(tk+1) = eA(tk+1−tk)x(tk ) +
Z
tk+1
eA(tk+1−τ)bu(τ)dτ
tk
Legyen a mintavételi id˝o állandó: h = tk+1 − tk = állandó valamint feltételezzük, hogy két mintavételi id˝o között a bemen˝ojel nem változik.
2015
11
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Változó transzformáció tk+1 − τ = (tk+1 − tk ) + (tk − τ) = h − θ Z h Z h eA(h−θ)bu(tk )dθ = e−Aθdθ eAhbu(tk ) = 0
2015
0 −1 −Aθh Ah = −A e e bu(tk ) = 0 Ah −1 −Ah −1 = −A e + A In e bu(tk )
12
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Tehát a diszkrét idej˝u állapottér reprezentáció x(tk+1) = Φx(tk ) + Γu(tk ) y(tk ) = Cx(tk ) + Du(tk ) ahol Φ = eAh −1 Ah Γ = A e − In b
2015
13
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Példa Legyen b . G(s) = s+a Határozzuk meg az 1TP tag folytonos állapottér reprezentációját!
2015
14
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
A = −a, B = b, cT = 1 m x˙ = −ax + bu y=x
2015
15
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Határozzuk meg az egységugrásra ekvivalens állapottér reprezentáció paramétermátrixait ha a mintavételi id˝o h! Φ = e−ah 1 −ah Γ = e −1 b a 1 −ah −ah x(tk+1) = e x(tk ) + e − 1 bu(tk ) a y(tk ) = cT x(tk )
2015
16
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Példa Legyen adott az alábbi átviteli függvény: s+1 G(s) = (s + 2)(s + 3) Határozzuk meg a tag folytonos diagonál állapottér reprezentációját! A folytonos rendszer pólusai a p1 = −2 és p2 = −3 helyeken vannak.
2015
17
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
A residuumok: r1 = lim (s + 2)G(s) = −1 s→−2
r2 = lim (s + 3)G(s) = 2 s→−3
És az állapottér reprezentáció, x˙1 −2 0 x1 −1 = + u x˙2 0 −3 x2 2 h i x1 y= 1 1 x2 2015
18
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Határozzuk meg az egységugrásra ekvivalens állapottér reprezentáció paramétermátrixait ha a mintavételi id˝o h! −2h e 0 Ah Φ=e = 0 e−3h 1 −2h e 0 1 0 −1 − 0 2 −1 Ah = − Γ = A [e − In]b = 0 e−3h 0 1 2 0 − 31 1 e−2h −1 −2h −2 0 1−e 0 = 2 −3h = 2(1−e ) 0 − 31 0 2(e−3h − 1) 3 2015
19
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Diszkrét rendszerek stabilitása λih ⇔ e < 1
Re(λi) < 0 ∀i = 1..n
2 1.5 1.5 1 1 0.5
Im
Im
0.5 0 −0.5
0
−0.5
−1 −1 −1.5 −1.5 −2 −2
−1 −1.5
−1
−0.5
0
Re
2015
0.5
1
1.5
2
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Re
20
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Diszkrét rendszerek megfigyelhet˝osége 1. Definíció. Az On(cT , Φ) mátrixot a diszkrét idej˝u rendszer megfigyelhet˝oségi mátrixának nevezzük. 1. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (cT , Φ) pár megfigyelhet˝o akkor és csak akkor, ha megfigyelhet˝oségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz T rang On(c , Φ) = n, 2015
21
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
ahol
cT
T c Φ On = . . cT Φn−1
2015
22
Az egységugrásra ekvivalens, diszkrét állapottér
Diszkrét rendszerek irányíthatósága 2. Definíció. Az Cn(Φ, Γ) mátrixot a diszkrét idej˝u rendszer irányíthatósági mátrixának nevezzük. 2. Állítás (Kálmán-féle rangfeltétel): Egy (Φ, Γ) pár akkor és csak akkor irányítható, ha irányíthatósági mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz rang {Cn(Φ, Γ)} = n, h i ahol Cn = Γ ΦΓ . . . Φn−1Γ
2015
23
