1. Úkol měření 1. Stanovte hodnoty součinitele tepelné vodivosti mědi a slitiny hliníku. 2. Porovnejte naměřené hodnoty s tabulkovými hodnotami a vysvětlete pravděpodobnou příčinu nalezené diference. 3. Vypracujte graf teplotního spádu v závislosti na čase.
2. Použité přístroje a pomůcky • • • • •
Posuvné měřítko, rozlišení 0,02 mm. Přípravek s měřeným vzorkem (měď, hliník), termoska s vodou a ledem. Digitální měřicí přístroj MY-65 pro měření termoelektrického napětí. Použitý rozsah: 200 mV. Dle technického listu přístroje je přesnost měření na tomto rozsahu ±0,05% z údaje ± 3 digity. Ručkový magnetoelektrický střídavý voltmetr pro měření napětí na zdroji tepla (páječce), třída přesnosti TP=1,5, rozsah 24V, stupnice dělená na 120 dílků. Ručkový elektromagnetický střídavý ampérmetr pro měření proudu protékajícího zdrojem tepla, třída přesnosti TP=1, rozsah 1A, stupnice dělená na 100 dílků.
3. Naměřené hodnoty Hliníkový vzorek Délka vzorku (vzdálenost mezi termočlánky): L = 102,34 mm Průměr vzorku d (měřeno na různých místech vzorku): Tabulka 1. d [mm] 10,04 10,06 10,01 9,98 10,01 10,03 9,99 10,01 9,99 10,03 Napětí na zdroji tepla: U = 11,2 V Proud protékající zdrojem tepla: I = 0,95 A
Měděný vzorek Délka vzorku (vzdálenost mezi termočlánky): L = 98,57 mm Průměr vzorku d (měřeno na různých místech vzorku): Tabulka 2. d [mm] 10,04 10,01 10,06 10,03 10,03 10,08 10,01 10,11 10,07 10,07 Napětí na zdroji tepla: U = 11,4 V Proud protékající zdrojem tepla: I = 0,95 A
Časový vývoj rozdílu teplot na měřených vzorcích Pro přepočet termoelektrického napětí na rozdíl teplot byl použit vzorec ΔT = 20ΔU [ o C, mV].
t [min] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Hliník ΔU [mV] ΔT [°C] 0,03 0,6 0,85 17,0 1,32 26,4 1,54 30,8 1,66 33,2 1,83 36,6 1,99 39,8 2,10 42,0 2,23 44,6 2,27 45,4 2,33 46,6 2,40 48,0 2,36 47,2 2,43 48,6 2,46 49,2 2,50 50,0 2,52 50,4 2,50 50,0 2,52 50,4 2,53 50,6 2,55 51,0 2,59 51,8 2,60 52,0 2,61 52,2 2,62 52,4 2,62 52,4
t [min] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Měď ΔU [mV] ΔT [°C] 0,03 0,6 1,05 21,0 1,20 24,0 1,32 26,4 1,38 27,6 1,45 29,0 1,43 28,6 1,50 30,0 1,50 30,0 1,52 30,4 1,52 30,4 1,53 30,6 1,53 30,6 1,52 30,4 1,53 30,6 1,57 31,4 1,54 30,8 1,54 30,8 1,54 30,8 1,55 31,0 1,58 31,6 1,57 31,4 1,57 31,4 1,57 31,4 1,56 31,2 1,57 31,4
3. Výpočty Použité vzorce Součinitel tepelné vodivosti λ se vypočte pomocí vzorce PL λ= , S ΔT kde P je tepelný výkon dodávaný do vzorku, L je jeho délka, S je průřez a ΔT označuje rozdíl teplot na koncích vzorku. Dosadíme-li za výkon P = UI , kde U je napětí a I proud napájející zdroj tepla (páječku) a dále za průřez S = π d 2 / 4, kde d je průměr vzorku, dostaneme vzorec pro výpočet součinitele tepelné vodivosti ve tvaru
4 UIL . π ΔTd 2 Nejistotu měření pro součinitel tepelné vodivosti vypočteme pomocí vztahu
λ=
2
2
2
2
2
⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 uλ = ⎜ ⎟ uU + ⎜ ⎟ uI + ⎜ ⎟ uL + ⎜ ⎟ uΔT + ⎜ ∂d ⎟ ud , ⎝ ∂U ⎠ ⎝ ∂I ⎠ ⎝ ∂L ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂ ( ΔT ) ⎠ kde pro jednotlivé parciální derivace platí ∂λ 4 IL ∂λ 4 UL ∂λ 4 UI = , = , = , 2 2 ∂U π ΔTd ∂I π ΔTd ∂L π ΔTd 2 ∂λ 4 UIL ∂λ 8 UIL =− , =− . 2 π ( ΔTd ) π ΔTd 3 ∂ ( ΔT ) ∂d Nejpravděpodobnější hodnota průměru měřeného vzorku je vypočtena jako aritmetický průměr N opakovaných měření 1 N d = ∑ di , N i =1 Pro odhad střední kvadratické chyby aritmetického průměru (nejistota typu A) je použit vzorec
∑ (d N
sd =
i =1
i
−d)
2
N ( N − 1)
.
Vzorek ze slitiny hliníku Průměr vzorku Nejpravděpodobnější hodnota průměru vzorku je vypočtena jako aritmetický průměr deseti opakovaných měření, viz tabulka 1. 1 10 d = ∑ d i = 10,015 mm . 10 i =1 Odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru je vypočten jako 10
sd =
∑(d
i
− 10,015)
2
= 0,0079 mm. 10(10 − 1) Nejistota typu A je rovna odhadu směrodatné odchylky a platí pro ni tedy uA ( d ) = sd = 0,0079 mm. i =1
Nejistota typu B se vypočte z rozlišení posuvky (0,02 mm). Pro maximální chybu měření platí δ max = ±0,01 mm. Jelikož skutečná hodnota se v intervalu daném jejím rozlišením může se stejnou pravděpodobností nacházet kdekoliv, chyba měření se řídí rovnoměrným rozdělením a nejistotu typu B vypočteme jako δ 0,01 uB ( d ) = max = = 0.0058 mm. 3 3 Kombinovanou nejistotu (nejistotu typu C) vypočteme jako uC ( d ) = uA2 ( d ) + uB2 ( d ) = 0,00792 + 0,00582 = 0,0098 mm.
Délka vzorku Jelikož se nedá přesně určit kde jsou termočlánky umístěny, nemá smysl provádět opakovaná měření Posuvným měřítkem. Odhaduji, že skutečná hodnota leží kdekoliv v intervalu δ max = ±1 mm od naměřené hodnoty, takže pro nejistotu typu B (a tím pádem i celkovou nejistotu určení délky vzorku) bude platit δ 1 uB ( L) = uC ( L) = max = = 0,58 mm. 3 3
Napětí na páječce Napětí v průběhu měření nekolísalo, voltmetr po celou dobu měření ukazoval stejnou hodnotu. Třída přesnosti použitého voltmetru TP=1,5, měření bylo prováděno na rozsahu 24 V, takže pro maximální chybu měření platí 1,5 δ max = ± ⋅ 24 = ±0,36 V. 100 Pro nejistotu typu B (a tím pádem i C) pak dostaneme δ 0,36 uB (U ) = uC (U ) = max = = 0,21 V. 3 3
Proud protékající páječkou Proud v průběhu měření nekolísal, ampérmetr po celou dobu měření ukazoval stejnou hodnotu. Třída přesnosti použitého ampérmetru TP=1, měření bylo prováděno na rozsahu 1 A, takže pro maximální chybu měření platí 1 δ max = ± ⋅ 1 = ±0,01 A. 100 Pro nejistotu typu B (a tím pádem i C) pak dostaneme uB ( I ) = uC ( I ) =
δ max 3
=
0,01 = 0,0057 A. 3
Termoelektrické napětí a rozdíl teplot Termoelektrické napětí se ustálilo na hodnotě ΔU = 2,62 mV, čemuž odpovídá rozdíl teplot (s využitím vzorce ΔT = 20ΔU [ o C, mV] ) ΔT = 52,4 o C. Pro maximální chybu měření použitého digitálního multimetru platí δ max = ±0,05% z údaje ± 3 digity. Rozlišení (velikost digitu) na tomto rozsahu je 0,01 mV. Po dosazení tak dostaneme ⎞ ⎛ 0,05 ⋅ 2,62 + 3 ⋅ 0,01⎟ = ±0,031 mV. δ max = ± ⎜ ⎝ 100 ⎠ Jelikož rozdíl teplot na termočláncích t termoelektrického napětí vypočteme pomocí vztahu ΔT = 20ΔU [ o C, mV], bude pro nejistotu typu B (a tedy i C) platit δ 0,031 uB ( ΔT ) = uC ( ΔT ) = 20 ⋅ max = 20 ⋅ = 0,36 o C. 3 3
Součinitel tepelné vodivosti Nejpravděpodobnější hodnotu součinitele tepelné vodivosti pro vzorek ze slitiny hliníku dostaneme jako 4 UIL 4 11,2 ⋅ 0,95 ⋅ 102,3 × 10−3 λ= = ⋅ = 263,43 Wm -1K −1. 2 2 π ΔTd π 52,4 ⋅ 10,02
Kombinovanou nejistotu (nejistotu typu C) pro součinitel tepelné vodivosti pak vypočteme pomocí vztahu 2
2
2
2
2
⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 ⎛ ∂λ ⎞ 2 uC (λ ) = ⎜ ⎟ uC (U ) + ⎜ ⎟ uC ( I ) + ⎜ ⎟ uC ( L) + ⎜ ⎟ uC ( ΔT ) + ⎜ ⎟ uC ( d ) = ⎝ ∂U ⎠ ⎝ ∂I ⎠ ⎝ ∂L ⎠ ⎝ ∂d ⎠ ⎝ ∂ ( ΔT ) ⎠ = 23,52 ⋅ 0,212 + 277,42 ⋅ 0,00572 + 25762 ⋅ (0,58 × 10−3 )2 + 5,022 ⋅ 0,362 + 526072 ⋅ (0,0098 × 10−3 )2 = = 5,72 Wm -1K −1.
Pro rozšířenou nejistotu můžeme psát U = ku, kde k je koeficient rozšíření. Pokud zvolíme k=2, bude se skutečná hodnota nacházet v intervalu (λ − U (λ ), λ + U (λ )) s pravděpodobností 95 %. Měřením jsme nalezli součinitel tepelné vodivosti hliníkového vzorku λ = (263 ± 12) Wm -1K −1.
Měděný vzorek Všechny výpočty se provádějí stejným způsobem jako v případě hliníkového vzorku.
Průměr vzorku Aritmetický průměr je vypočten z hodnot v tabulce 2. 1 10 d = ∑ di = 10,041 mm . 10 i =1 Odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru je vypočten jako 10
sd =
∑(d i =1
i
− 10,041)
2
10(10 − 1)
= 0, 0086 mm.
Nejistota typu A: uA ( d ) = sd = 0,0086 mm.
δ max
0,01 = 0.0058 mm. 3 3 Kombinovanou nejistotu (nejistotu typu C) vypočteme jako
Nejistota typu B: uB ( d ) =
=
uC ( d ) = uA2 ( d ) + uB2 ( d ) = 0,00862 + 0,00582 = 0,0104 mm.
Délka vzorku Nejistota B a C: uB ( L) = uC ( L) =
δ max 3
=
1 = 0,58 mm. 3
Napětí na páječce Maximální chyba měření: 1,5 δ max = ± ⋅ 24 = ±0,36 V. 100 Nejistota B a C: δ 0,36 uB (U ) = uC (U ) = max = = 0,21 V. 3 3
Proud protékající páječkou Maximální chyba měření: 1 δ max = ± ⋅ 1 = ±0,01 A. 100 Nejistota B a C: uB ( I ) = uC ( I ) =
δ max 3
=
0,01 = 0,0057 A. 3
Termoelektrické napětí a rozdíl teplot Termoelektrické napětí se ustálilo na hodnotě ΔU = 1,57 mV, čemuž odpovídá rozdíl teplot ΔT = 31,4 o C. Maximální chyba měření: ⎞ ⎛ 0,05 ⋅ 1,57 + 3 ⋅ 0,01⎟ = ±0,031 mV. δ max = ± ⎜ ⎝ 100 ⎠ Nejistota B a C pro rozdíl teplot: δ 0,031 uB ( ΔT ) = uC ( ΔT ) = 20 ⋅ max = 20 ⋅ = 0,36 o C. 3 3
Součinitel tepelné vodivosti Nejpravděpodobnější hodnotu součinitele tepelné vodivosti pro měděný vzorek dostaneme jako 4 UIL 4 11,4 ⋅ 0,95 ⋅ 98,6 × 10−3 λ= = ⋅ = 429,55 Wm -1K −1. π ΔTd 2 π 31,4 ⋅ 10,042 Pro kombinovanou nejistotu (nejistotu typu C) součinitele tepelné vodivosti pak platí uC (λ ) = 10,04 Wm -1K −1. Pro rozšířenou nejistotu můžeme psát U = ku, kde k je koeficient rozšíření. Pokud zvolíme k=2, bude se skutečná hodnota nacházet v intervalu (λ − U (λ ), λ + U (λ )) s pravděpodobností 95 %.
Měřením jsme nalezli součinitel tepelné vodivosti měděného vzorku λ = (430 ± 20) Wm -1K −1.
4. Graf Ke zhotovení grafu byl použit skript ze serveru Herodes, k proložení naměřených hodnot byla použita funkce ΔT (t ) = A (1 − e −α ( t − t0 ) ) .
5. Závěr Naměřené hodnoty spolu s hodnotami tabulkovými jsou shrnuty v následující tabulce Vzorek
Naměřená hodnota
Tabulková hodnota
Slitina hliníku
λ = (263 ± 12) Wm -1K −1 λ = (430 ± 20) Wm -1K −1
λ = 229 Wm -1K −1 λ = 395 Wm -1K −1
Měď
Odchylka od tabulkové hodnoty +14,8 % +8,9 %
Vzhledem ke zvolenému koeficientu rozšíření k=2 by se skutečná hodnota měla nacházet ve vymezeném intervalu s pravděpodobností 95 %. Z tabulky je patrné, že pro oba vzorky vyšla hodnota součinitele tepelné vodivosti mírně vyšší oproti hodnotám tabulkovým což by mohlo být způsobeno těmito skutečnostmi: • nebylo možné přesně určit umístění termočlánků, takže délka vzorku L mohla být oproti délce odhadnuté menší, • při míchání směsi vody a ledu byl ochlazován vzorek i nad spodním termočlánkem, takže rozdíl teplot na koncích vzorku byl snížen, • veškeré teplo vygenerované v páječce neprochází měřeným vzorkem, tato skutečnost není při výpočtech vzata v potaz.
