T T A. Természettudományi. alapismeretek. Segédlet a. című tárgyhoz. matematika geometria fizika. Összeállította:

T T A

Segédlet a

Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz – matematika – – geometria – – fizika – Összeállította: Árvainé Molnár Adrien Kézi Csaba Kocsis Imre Szíki Gusztáv Áron Vinczéné Varga Adrienn

Debreceni Egyetem Műszaki Kar 2011

Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika -

2. oldal

– matematika – 1. hét

Számok, műveletek I. Számhalmazok, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, a műveletek tulajdonságai.

Közönséges törtek, tizedes törtek. A logaritmus

fogalma és a rá vonatkozó azonosságok. 2. hét

Számok, műveletek II. Normál alak, nevezetes középértékek és alkalmazásaik. Százalékszámítás. A hatványozással kapcsolatos azonosságok. A Pascal háromszög használata.

3. hét

Hatványfüggvények, polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Függvényekkel kapcsolatos alapvető fogalmak. Valós függvények ábrázolása. Néhány hatványfüggvény grafikonja, alapvető tulajdonságai. n-ed fokú polinom fogalma. Polinomegyenletek megoldása, polinomosztás.

4. hét

Exponenciális és logaritmus függvények, egyenletek és egyenlőtlenségek

5. hét

Trigonometrikus függvények és egyenletek

6. hét

Vektorok, derékszögű koordinátarendszer, koordinátageometria Vektorműveletek geometriai értelmezése. Derékszögű koordinátarendszer. Műveletek végrehajtása koordinátákkal. Vektor nagysága. Vektor vetületei. Koordinátatengelyekkel bezárt szög. Pontok távolsága. Vektorok szöge. Szakasz arányos felosztása. Háromszög súlypontja. Síkbeli ponthalmazok megadása (egyenes, kör), metszési feladatok.


3. oldal

____ Számok, műveletek I. ____ Számhalmazok A természetes számok halmaza: ℕ = {1; 2; 3; … } Ha m és n természetes szám, akkor az m + x = n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2.

Az egész számok halmaza:

ℤ = ℕ {0} { −n| nℕ} Ha m és n egész szám, akkor az m ∙ x = n egyenlet nem mindig oldható meg az egész számok halmazán. Példa: 6x=2.

A racionális számok halmaza:

p pℤ, qℤ\{0} q Ha m racionális szám, akkor az x2=m egyenlet nem feltétlenül oldható meg a racionális számok halmazán. Példa: x 2 = 2 . Ha ugyanis az x 2 = 2 egyenlet megoldható lenne, akkor lenne olyan pℤ és olyan qℤ\{0}, hogy p2 = 2q2 teljesülne. Ekkor az egyenlőség bal oldalán a 2 páros hatványon, míg az egyenlőség jobb oldalán páratlan hatványon szerepelne a prímtényezős felbontásban. Így jutottunk el középiskolában a valós szám fogalmához: ℝ = ℚℚ∗ a valós számok halmaza, ahol ℚ∗ : = ℝ\ℚ = {x | x nem írható fel két egész szám hányadosaként} az irracionális számok halmaza. ℚ=

Használni fogjuk még az ℝ+ és az ℝ− jelöléseket a pozitív valós számok, illetve a negatív valós számok halmazára. Példák


4. oldal

Egy mennyiség értékének rögzítése a mértékegység és a mérőszám megadásával történik. Példa Egy test tömege lehet 23,4 g, ahol g (gramm) a mértékegység, 23,4 a mérőszám. Az elméleti (pontos) számításoknál a mérőszámok a valós számok halmazának elemei. A valós számok halmaza megfelel a számegyenesnek, a valós számok és a számegyenes pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. A valós számok halmazánál szűkebb halmaz nem lenne alkalmas bármely mennyiség pontos leírására. Ha például a racionális számok halmazát akarnánk csak használni, akkor nem tudnánk pontosan leírni az 1 m oldalhosszúságú négyzet átlójának hosszát sem. (Az átló hossza 2, ami nem racionális szám.) A gyakorlatban azonban a valós számok halmazánál sokkal szűkebb halmaz elemeit használunk mérőszámként, hiszen az elvárt pontosság mindig véges. Ha az adatokat tizedes tört formában kezeljük, akkor kerekítünk, és a racionális számokon belül is csak egy szűk részhalmaz elemeit használjuk: azokat a számokat, melyek néhány számjeggyel leírhatók. A műszaki problémák megoldásakor általában elegendő a 4 értékes számjegy, de nagy pontosságú számítások esetén szükség lehet akár 10 értékes számjegyre is. Példa Ha egy gerendát megadott hosszúságúra kell levágni, és a mérőszalag, valamint a vágás mm pontosságú, akkor nincs értelme annak, hogy az előírt méretet például 2,135628 m-nek adjuk meg, ami ezred milliméteres pontosságot igényelne. Néhány elnevezés és megállapítás a négy alapművelettel kapcsolatban: összeadás

szorzás

Amiket összeadunk, azok a tagok.

Amiket összeszorzunk, azok a tényezők.

Például a

Például a p+x+5

px5

összeadásban a p, az x és az 5 a tagok.

szorzásban a p, az x és az 5 a tényezők.

Az összeadás eredménye az összeg.

A szorzás eredménye a szorzat.

Az összeadás kommutatív művelet, azaz

A szorzás kommutatív művelet, azaz

x+y = y+x

xy = yx

bármely x és y szám esetén.

bármely x és y szám esetén.

Az összeadásnak a 0 egységeleme, azaz

A szorzásnak az 1 egységeleme, azaz

x+0 = x bármely x szám esetén.

x1 = x bármely x szám esetén.

Több szám összegének felírására használatos Több szám szorzatának felírására a szumma jel, amennyiben a tagok egy közös használatos a produktum jel, amennyiben a képlet segítségével írhatók fel. tényezők egy közös képlet segítségével írhatók fel. Példa Példa

7

(i − 1)3 = 23 + 33 + 43 + 53 + 63 i=3

2 i=0(3k

+ 2) = 2 ∙ 5 ∙ 8


kivonás

5. oldal osztás

A kivonás az összeadásból és a szorzásból származtatható: a − b = a + (−1) ∙ b

Az osztás nem végezhető el korlátlanul: a valós számok között: 0-val való osztásnak nincs értelme.

A kivonás eredménye a különbség.

Az osztás eredménye a hányados.

A kivonás nem kommutatív művelet, általában

Az osztás nem kommutatív művelet, általában a

b

a: b ≠ b: a, avagy b ≠ a .

a − b ≠ b − a.

A + és – műveleti jelek egyben a számok előjelének jelölésére is szolgálnak. A műveleti jeleket tartalmazó kifejezések leírásakor figyelni kell arra, hogy két műveleti jel nem kerülhet közvetlenül egymás mellé, zárójelet kell alkalmazni: például 4(-5) helyes írásmód, 4-5 nem helyes. A műveleteknek erősorrendje van, amit a kifejezések kiszámításakor figyelembe kell venni. A szorzás és az osztás magasabb rangúak, mint az összeadás és a kivonás. A szorzás és az osztás egymás közt egyenrangúak, az összeadás és a kivonás egymás közt szintén egyenrangúak. Egyenrangú műveletek végrehajtása balról jobbra történik. Ha ettől el akarunk térni, akkor zárójelet kell alkalmazni. Példa 34+5=17, de 3(4+5)=27

Tizedes törtek Tízes számrendszerben a számokat a 10 hatványainak segítségével állítjuk elő. Példa 384 = 3100 + 810 + 41 Tört szám esetén tizedes tört alakot használunk, melyben tizedek, századok, stb. is megjelennek. Példa 384,5472 = 3100 + 810 + 41 + 50,1 + 40,01 + 70,001 + 20,0001 A 384,5472 tizedes tört egész része: 384, tört része: 0,5472 A tizedes törteket a törtrészük alapján három csoportba lehet sorolni: 

véges tizedes törtek



végtelen, szakaszos tizedes törtek



végtelen, nem szakaszos tizedes törtek

Véges tizedes törtek: a törtrész felírható véges sok számjeggyel (a racionális számok egy része véges tizedes tört formában felírható). Példa 384,5472


6. oldal

Végtelen szakaszos tizedes törtek: a törtrész nem írható fel véges sok számjeggyel, de véges sok számjegy után egy számjegycsoport ismétlődik (azok a racionális számok, melyek nem írhatók fel véges tizedes tört formában, végtelen szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő csoportot a számjegyei fölé tett pontokkal szoktuk jelölni. Példa 450 = 5,11363636 … = 5,1136 , 88

10 = 1,11111 … = 1, 1 9

A 9-re végződő végtelen szakaszos tizedes törteknek véges tizedes tört alakjuk is van. A racionális számoknak véges, vagy végtelen, szakaszos tizedes tört alakjuk van. Példa 0, 9 = 1,

12,429 = 12,43

Végtelen nem szakaszos tizedes törtek: azok a valós számok, melyek nem tartoznak az előző két kategória egyikébe sem. Példa 2 é𝑠 𝜋 irracionális számok Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos. Bármely valós szám kerekítés után egész, vagy véges tizedes tört alakú. Példa A 13625407,4963 szám különböző kerekített értékei: 14 000 000

13 625 400

13 625 407,5

13 600 000

13 625 410

13 625 407,50

13 630 000

13 625 407

13 625 407,496

13 625 000 Példák Tizedes törtekkel végzett írásbeli műveletek: 1 + 1

1

2 4

+ 1

4

7 1 9

3, 4 0 4 2 3 7 3, 4

5, 4, 0,

6 5 1

∙

6, 1

1 1

3 -

4 0 4

2 2

-

-

1 1 2 1

4 2 0 8 2 2 2

3 2 8 3 4 4 4

4’ 6 4, 9 5, 5 5

9 1 7

0, 4, 5,

1 5 6

4, 2 : 6 1 3 = 2 3, 4 „visszaszorzás” 2 2 2 2 0

tizedesvessző! „visszaszorzás”


7. oldal

Közönséges törtek Közönséges törtről akkor beszélünk, ha a számot egy egész szám (p) és egy pozitív egész szám p hányadosaként írjuk fel: q , q > 0. p a számláló, q a nevező x

Ha x egy egész szám, akkor – szükség esetén – lehet 1 alakban közönséges törtként is írni. Két közönséges tört összeszorzása p

r

A q és az s közönséges törtek szorzata p r p∙r ∙ = q s q∙s vagyis a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel kell összeszorozni. Közönséges tört szorzása egész számmal, vagy tizedes törttel p

A q közönséges tört, és az x szám szorzata p p∙x ∙x= , q q vagyis az x számmal a számlálót kell megszorozni. x

Ezt úgy is el lehet képzelni, hogy az x számot 1 alakú közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört összeszorzására vonatkozó szabályt. p

q

A q közönséges tört reciproka, p ha p≠0. Világos, hogy egy törtnek és a reciprokának szorzata 1. (Reciprok minden nullától különböző 1 x valós számhoz rendelhető: az x formula szerint.) Két közönséges tört osztása p

r

A q és az s közönséges törtek hányadosa (ha r≠0) p r p s : = ∙ , q s q r vagyis törttel osztani úgy kell, hogy szorozni kell a reciprokával. Közönséges tört osztása egész számmal, vagy tizedes törttel p

A q közönséges tört, és az x szám hányadosa (ha x≠0) p p p: x :x = = , q q∙x q vagyis az x számmal meg kell szorozni a nevezőt, vagy el kell osztani a számlálót. x

Ezt úgy is el lehet képzelni, hogy az x számot 1 alakú közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört osztására vonatkozó szabályt.


8. oldal

A számításokban gyakran előfordulnak az alábbi (ún. „emeletes” törtekre vonatkozó) átalakítások, melyek összhangban vannak a fentiekkel: p p p s p q p s q r = q ∙ r, r = p ∙ r, r = q ∙ r s s Az előbbi formulákból látható, hogy több törtvonal esetén világosan kell érzékeltetni, hogy melyik az ún. fő törtvonal. Ennek az egyenlőség jellel kell egy magasságban lenni. Közönséges törtek egyszerűsítése és bővítése p

s

p

Könnyen belátható, hogy q ∙ s = q , ha s≠0. Ez a formula úgy fogalmazható meg, hogy egy közönséges tört értéke nem változik meg, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal osztjuk (egyszerűsítés), vagy szorozzuk (bővítés). Két közönséges tört összeadása azonos nevező esetén p

r

A q és az q közönséges törtek összege p r p+r + = , q q q vagyis azonos nevezőjű törtek esetén össze kell adni a számlálókat, a nevező változatlan. (A fenti formulát „fordítva olvasva” látható, hogy ha a számlálóban több tag van, akkor azokat külön-külön elosztva a nevezővel, az eredeti törtet egyszerűbbekre bonthatjuk.) Két közönséges tört összeadása különböző nevező esetén p

r

A q és az s közönséges törtek összege p r p∙s r∙q p∙s+r∙q + = + = , q s q∙s s∙q q∙s vagyis különböző nevezőjű törteket először úgy kell bővíteni, hogy a két nevező egyforma legyen (közös nevezőre hozás), és ez után alkalmazható az azonos nevezőjű törtek összeadása. Legegyszerűbb az eredeti nevezők szorzatát alkalmazni közös nevezőként, bár sok esetben lehet ennél kisebb közös nevezőt is találni. Példa 3 7 3 ∙ 12 7 ∙ 8 3 ∙ 12 + 7 ∙ 8 92 23 + = + = = = 8 12 8 ∙ 12 12 ∙ 8 12 ∙ 8 96 24 3 7 3∙3 7∙2 23 + = + = 8 12 8 ∙ 3 12 ∙ 2 24


9. oldal

Hatvány, gyök, logaritmus Hatvány pozitív egész kitevővel Ha n pozitív egész szám, x valós szám, akkor x n = xx … x

(n db szorzótényező)

x: alap, n: kitevő

Hatvány negatív egész kitevővel Ha n pozitív egész szám és x≠0, akkor x −n =

1 xn

Példa 1 1 1 1 = , 10−5 = 5 = = 0,00001 3 5 125 10 100000 Hatvány 0 kitevővel 5−3 =

Ha x≠0, akkor x0 = 1. Hatvány tört kitevővel, gyökvonás Ha x egy pozitív szám, n pedig egy pozitív egész szám és xn = y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke. Jelölése: x =

n

1

y , vagy x = y n .

Példa 1

x = x2,

3

1

x = x3,

4

1

x = x4 ,

1

83 =

3

8=2

A gyökvonás fenti értelmezésében csak a pozitív számokra szorítkoztunk, ahol a gyökvonás egyértelműen elvégezhető. Az xn = y típusú egyenletekben (y ismert, x ismeretlen) nem feltétlenül kell élnünk az x>0, y>0 feltételezéssel, így a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete:

Páratlan n esete:

Ha y<0, akkor nincs megoldás.

Egy megoldás van.

Példa x4 = -3

Példa x3 = -8 megoldása: x=-2.

Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa x4 = 0 megoldása: x=0 Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa x4 = 16 megoldásai: x1=-2, x2=2


10. oldal

p

Ha egy közönséges tört és x>0, akkor q

p xq

=

p

q

x .

Példa 2

83 =

3

8

2

= 22 = 4,

1

3

81−4 =

4

3

81

=

1 1 = 3 3 27

A hatványozás néhány tulajdonsága Ha x>0, y>0, továbbá n és k racionális szám, akkor (x ∙ y)n = x n ∙ y n

x n ∙ x k = x n+k xn = x n−k xk (x n )k = x n∙k

x y

xn = n y

n

Mivel a kitevők racionális számok is lehetnek, ezek a képletek egyben a gyökvonás tulajdonságait is megadják. Így, ha x>0, y>0, továbbá n és k pozitív egész szám, akkor n

x∙

1

1 1

k+n

x = x n ∙ x k = x n +k = x n∙k =

n

x

k

x

k n

n

1

k

n ∙k

x k+n

1

=

xn

1 xk

x=

1 1

k−n

= x n −k = x n∙k = 1 1 k xn

11

n ∙k

1

= x n ∙k = x n∙k = 1

1

1

x ∙ y = (x ∙ y)n = x n ∙ y n = n

x k−n

x x = y y

1 n

1

=

xn

1 yn

=

n

n

x

n

y

n ∙k

x

x∙ n y

A logaritmus Ha a,b > 0 és a≠ 1, akkor az ax = b egyenlet megoldását log a b–vel jelöljük. Szavakkal elmondva: a alapú logaritmus b azt a hatványkitevőt jelöli, melyre a-t kell emelni, hogy b-t kapjunk, azaz: 𝑎log a b = 𝑏) A definíció következménye, hogy ha a > 0 és a≠ 1, akkor log a 1 = 0, log a a = 1. A logaritmus azonosságai: log a (x ∙ y) = log a x + log a y (x, y, a > 0, a ≠ 1) x log a = log a x − log a y (x, y, a > 0, a ≠ 1) y log a x k = k ∙ log a x

(x, a > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑘  ℝ)


11. oldal

____ Számok, műveletek II. ____ Normál alak A p10k alakú szorzat, melyben 1≤p<10, k pedig egy egész szám normál alaknak nevezzük. p: mantissza, k: karakterisztika Minden valós számnak van normál alakja. Példa 3,845472102 = 384,5472 A k értéke adja a szám nagyságrendjét. Így pl. az, hogy egy y szám 3 nagyságrenddel nagyobb az x számnál azt jelenti, hogy y kb. 1000-szer akkora, mint az x. Normál alakú számok szorzása A p10k alakú és a q10s normál alakú számok szorzata (p10k)  (q10s) = pq10k+s, vagyis a mantisszákat össze kell szorozni, a karakterisztikákat pedig össze kell adni. Példa 51051,4106 = 71011 Normál alakú számok összeadása Az összeadás előtt a számokat vissza kell írni tizedes tört alakba, vagy olyan alakba, ahol a 10 hatványkitevője azonos: Példa A 4,52105 + 9,1106 összeadás két lehetséges elvégzési módja: 1,

4,52105 + 9,1106 = 452000 + 9100000 = 9552000 = 9,552106

2,

4,52105 + 9,1106 = 4,52105 + 91105 = 95,52105 = 9,552106


12. oldal

Középértékek Számtani közép (átlag) Az x1 , x2 , … , xn számok számtani közepe (átlaga): 𝑛

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 1 = ∙ 𝑛 𝑛

𝑥𝑖 𝑖=1

Súlyozott számtani közép Az x1 , x2 , … , xn számoknak a p1 , p2 , … , pn pozitív számokkal (súlyokkal) képzett súlyozott számtani közepe (átlaga): n i=1 pi xi . n i=1 pi

p1 x1 + p2 x2 + ⋯ + pn xn = p1 + p2 + ⋯ + pn

Ha a p1 , p2 , … , pn (pozitív) súlyok összege 1, akkor a fenti formula leegyszerűsödik: n

p1 x1 + p2 x2 + ⋯ + pn xn =

pi x i . i=1

Mértani közép Az x1 , x2 , … , xn nemnegatív számok mértani közepe: n

n

n

x1 ∙ x2 ∙ … ∙ xn =

xi . i=1

Harmonikus közép Az x1 , x2 , … , xn pozitív számok harmonikus közepe: n = 1 1 1 + + ⋯ + x1 x2 xn

n n 1 i=1 x i

Négyzetes közép Az x1 , x2 , … , xn nemnegatív számok négyzetes közepe: x12 + x22 + ⋯ + xn2 = n

n 2 i=1 xi

n

Könnyen belátható, hogy az x1 , x2 , … , xn számok bármelyik közepe a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik. Ha speciálisan az összes szám egyenlő, akkor mindegyik közepük egyenlő ezzel az értékkel. Ha x1 , x2 , … , xn pozitív számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes közepét H, M, S és N jelöli, akkor fennáll, hogy H≤M≤S≤N


13. oldal

Százalékszámítás 2

2

Törtrész kiszámítása: egy x szám 3-ad részének kiszámítása: 𝑥 ∙ 3. 𝑝

A százalékszámítás is törtrész kiszámítását jelenti: p% jelentése 100 -ad rész. 35

35

Például egy x szám 35%-ának, azaz 100 -ad részének kiszámítása: 𝑥 ∙ 100 = 𝑥 ∙ 0,35. Példa 125.000 Ft 35%-a: 125.0000,35 = 43.750 (Ft) A százalékszámítás alapképlete, mellyel lényegében bármely százalékszámítási feladat megoldható: százalék láb = százalék érték 100 A képlet alapján a százalék alap, százalékláb és a százalékérték közül bármelyik kettőből a harmadik kiszámítható. Egy feladat megoldásának legfontosabb lépése, hogy azonosítsuk, hogy a rendelkezésre álló adatok közül melyik százalék alap, százalékláb vagy a százalékérték, illetve hogy melyiket kell kiszámítani. százalék alap ∙

Példa Mennyi 12-nek a 30%-a? Itt a százalékalap 12, a százalékláb 30, és a százalékértéket kell kiszámítani. 30

Válasz: x ∙ 100 = 12 ∙ 0,3 = 3,6. Példa Hány %-a 288 a 240-nek? Itt a százalékalap 240, a százalékérték 288, és a százaléklábat kell kiszámítani. p

Válasz: 240 ∙ 100 = 288  p =

28800 240

= 120, tehát 288 a 240-nek 120%-a.

A százalékszámítás egyik gyakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az egy éves kamat p% (vagyis a kamatláb p), akkor a bankban elhelyezett T összegre (tőkére) egy év elteltével p p p kapott kamat T ∙ 100 , a kamattal növelt összeg pedig T + T ∙ 100 = .1 + 100 / ∙ T. Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: p n .1 + / ∙ T. 100 Példa 250.000 Ft tőke 7% éves kamat és évenkénti tőkésedés mellett 6 év elteltével (egész forintra kerekítve): 7 1+ 100 forintot ér.

6

∙ 250000 = 1,076 ∙ 250000 = 375183


14. oldal

Többtagú összeg hatványozása, néhány azonosság Kéttagú összeg hatványaira vonatkozó formulákat a binomiális tétel adja, melyet nem részletezünk, mivel ez a későbbi tanulmányok része lesz. Itt csak a második, a harmadik és a negyedik hatvány esetét mutatjuk be. (A binomiális tétel ismeretében nem szükséges ezeket a képleteket fejben tartani, mivel az általános sémából könnyen levezethetők.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Megjegyzésként megadjuk a háromtagú összeg második hatványára vonatkozó formulát is. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc A szorzattá alakításban gyakran alkalmazzuk az an – bn = (a-b)( an-1 + an-2b + an-3b2 + …+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1) azonosságot, mely minden n pozitív egész szám esetén fennáll. a2 – b2 = (a-b)(a+b) a3 – b3 = (a-b)( a2+ab+b2) A felsorolt azonosságok bármelyike könnyen ellenőrizhető a műveletek elvégzésével. Binomiális tétel: Ha n nemnegatív egész szám, akkor n

(a + b)n = k=0

n . / ∙ an−k ∙ bk k

n n! ahol n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, . / = k!∙(n−k)!, 0! = 1. k Példa 2

(a + b)2 =

2 2 2 2 . / ∙ a2−k ∙ bk = . / ∙ a2 ∙ b0 + . / ∙ a1 ∙ b1 + . / ∙ a0 ∙ b2 0 k 1 2 k=0 2! 2! 2! = ∙ a2 + ∙a∙b+ ∙ b2 = a2 + 2ab + b2 0! ∙ 2! 1! ∙ 1! 2! ∙ 0!

 4    0 .

 3   0

.

 2   0

 4   1

1    0

 3   1

.

 0    0

 2   1

 4    2

 1    1

 3    2

.

 2    2

 4    3

 3    3

.

A Pascal háromszög

 4    4 .

.


15. oldal

Ha n nemnegatív egész szám, a háromszög n+1-edik sorában (a+b)n együtthatói olvashatók.

( a  b) 0

1 1 1 1 1 .

2 3

4 .

( a  b) 2

1 3

6 .

( a  b) 1

1

4 .

( a  b) 3

1

( a  b) 4

1 .

.

.

A háromszög soraiban a fentieknek megfelelően binomiális együtthatók vannak.


16. oldal

__ Függvények, egyenletek, egyenlőtlenségek __ Függvények Függvény két halmaz elemei közötti kapcsolat. Sokan azt hiszik, hogy a függvény nem más, mint egy görbe egy síkbeli koordinátarendszerben. Példa Legyen A az emberek halmaza, B az anyák halmaza. Ha minden emberhez hozzárendeljük az anyját, akkor egy függvényt kapunk. (Próbálja meg valaki ezt a függvény ábrázolni derékszögű koordinátarendszerben!) Példa Legyen A a téglalapok halmaza, B a pozitív valós számok halmaza. Ha minden téglalaphoz hozzárendeljük a területét, akkor egy függvényt kapunk. A leggyakrabban előforduló függvények számokhoz számokat rendelnek, ezekkel találkozunk leghamarabb a tanulmányaink során. Ezeket természetesen ábrázolhatjuk, sőt sokszor éppen azzal a céllal adunk meg egy függvényt, hogy azzal egy görbét azonosítsunk. Egy függvény az értelmezési tartományának minden eleméhez pontosan egy elemet rendel hozzá az értékkészletének elemei közül. Az értelmezési tartomány elemeit szokás helyeknek, az értékkészletének elemeit pedig értékeknek nevezni.

A műszaki problémák esetén az adott feltételekből, körülményekből következik, hogy a folyamatot leíró függvényeknek mi az értelmezési tartománya. Az értelmezési tartomány gyakran az idő. Ebben az esetben az értelmezési tartomány nyilvánvalóan a mérés időtartama. Azt, hogy egy függvény a 6 számhoz a 2 számot rendeli így jelöljük: 62. Ha f a függvény neve, akkor ugyanezt így jelöljük: f(6)=2 A hozzárendelést megadhatjuk az összetartozó párok felsorolásával, ha a függvény értelmezési tartománya véges sok elemet tartalmaz.


17. oldal

Példa -5 -1 0 4 52 100 104 7

2

1 1

-4

0

0

A függvényeket általában képlettel adjuk meg. A képlet azt mutatja meg, hogy az értelmezési tartománybeli x elemhez („bemenő adat”) a függvény mely elemet rendeli az értékkészletből („kimenő adat”). Ilyenkor azt is meg kell mondani, hogy melyik halmaz az értelmezési tartomány. Példa x  x2 + 5x, x[-1,12] vagy, ha g a függvény neve: g(x) = x2 + 5x, x[-1,12] A g függvény néhány értéke: x (hely)

-0,5

2,2

6

8,9

11

11,6

g(x) (érték) -2,25 15,84 66 123,71 176 192,56

A matematikai tanulmányok minden részében központi szerepe van a függvényeknek. Az alkalmazások többségében néhány alapvető függvény szerepel. A problémák megoldásához tudnunk kell, hogy ezek a függvények milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. A későbbiekben megadjuk néhány alapvető függvény grafikonját. (Ezeket a képeket nem kell memorizálni, de szükség esetén – a hozzárendelési szabály alapján – fel kell tudni rajzolni.)

Egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenlet alatt egy (*)

f(x)=g(x)

alakú szimbólumot értünk, ahol f és g valamilyen valós függvények, s egy ilyen egyenlet megoldáshalmaza alatt mindazon x valós számok halmazát értjük, amelyek beletartoznak az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részébe és amelyekre teljesül a (*)


18. oldal

egyenlőség. Egyébként az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részét szokás az egyenlet értelmezési tartományának nevezni. Mindez az egyenlőtlenségekkel kapcsolatban is szó szerint megismételhető, ha (*)-ban az = jelet a ≤, ≥, <, > jelek valamelyikével helyettesítjük. Ha két egyenletnek, vagy egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenlet, vagy egyenlőtlenség ekvivalens. Ha egy egyenlet, vagy egyenlőtlenség megoldáshalmazának keresése közben az egyes lépésekben az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk, akkor azt mondjuk, hogy ekvivalens átalakításokat végeztünk.

Hatványfüggvények Az xxn típusú függvényeket, ahol n racionális szám hatványfüggvényeknek nevezzük.

A változó (x) a hatványkifejezés alapjában van! A hatványfüggvények értelmezési tartománya – az n értékétől függően – lehet a valós számok halmaza, a nemnegatív valós számok halmaza, vagy ℝ \{0}.

xx

Függvény

f(x)=ax+b (a  0 )

Értelmezési tartomány

x ℝ

Értékkészlet

f(x)  ℝ

Zérushely Növekedés Szélsőérték

x=−

b a

szigorúan monoton növekvő, ha a>0, szigorúan monoton csökkenő, ha a<0 nincs


xx2

19. oldal

xx3

(a  0 )

Függvény

f(x)=a·x2


xℝ

Értékkészlet

f(x) ∈ ℝ+ ∪ *0+, ha a>0 f(x) ∈ ℝ− ∪ *0+, ha a<0

Zérushely

x=0

Növekedés

a>0 esetén: szigorúan monoton növekvő, ha x>0, szigorúan monoton csökkenő, ha x<0

a<0 esetén: szigorúan monoton növekvő, ha x<0, szigorúan monoton csökkenő, ha x>0 a>0 esetén x=0 minimumhely, a<0 esetén x=0 maximumhely

Szélsőérték

x → x −1 =

1 x

x → x −2 =

1 x2


20. oldal

1 x x ∈ ℝ\*0+

Függvény

f(x) =

Értelmezési tartomány Értékkészlet

f(x) ∈ ℝ\*0+

Zérushely

nincs

Növekedés

szigorúan monoton csökkenő, ha x<0; szigorúan monoton csökkenő, ha x>0 nincs

Szélsőérték

x→

x→

x

Függvény

f(x) = x


x ∈ ℝ+ ∪ *0+

Értékkészlet

f(x) ∈ ℝ+ ∪ *0+

Zérushely

x=0

Növekedés

szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték

x=0 minimumhely

3

x

Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek n-ed fokú polinom Ha an,…..,a0 rögzített valós számok és an≠0, akkor P(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x + a0 módon értelmezett függvényt n-ed fokú polinomnak nevezzük. A legmagasabb fokú tag együtthatóját a polinom főegyütthatójának mondjuk. Ha az an,…..,a0 együtthatók egyike sem nulla, teljes n-ed fokú polinomról, ellenkező esetben hiányos n-ed fokú polinomról beszélünk. Ha valamely x0 valós szám esetén P(x0)=0, akkor x0-at a P(x) polinom zérushelyének, vagy a P(x)=0 egyenlet gyökének nevezzük. Ezért ha a P(x) polinomot ábrázoljuk, akkor a P(x) polinom képe azokon az x1,...xn, helyeken metszi az x tengelyt melyekre P(x1)=0,.., P(xn)=0.


21. oldal

Példa A P(x)=5x3-4x2+7x-9 polinom egy teljes harmadfokú polinom. A Q(x)=6x4-3x3-5 polinom egy hiányos negyedfokú polinom. Legyen adott egy P(x) polinom, illetve az általa meghatározott P(x)=0 algebrai egyenlet. Megoldóképletnek nevezünk egy olyan képletet, vagy eljárást, amely az egyenlet együtthatóiból a négy alapművelet, az egész kitevőjű hatványozás és a gyökvonás segítségével véges sok lépésben származtatja az egyenlet gyökeit, vagy bizonyítja annak megoldhatatlanságát. Másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekre vannak megoldó képletek, ennél magasabb fokúakra azonban bizonyítottan nincsenek, ezért az ötöd- vagy magasabb fokú polinomegyenleteket csak abban az esetben tudunk megoldani, ha az egyenlet alakja speciális. Bármely másodfokú egyenlet rendezéssel az ax2 + bx + c=0 alakra hozható. Ezt az alakot a másodfokú egyenlet 0-ra rendezett, vagy 0-ra redukált alakjának nevezzük.

Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom P(x) = ax2 + bx + c ahol a≠0. Másodfokú polinom grafikonja parabola, mely a>0 esetben „felfelé nyílt”, a<0 esetben „lefelé nyílt”. A grafikonnak az x tengellyel 0, 1 vagy 2 közös pontja van, vagyis egy másodfokú polinomnak 0, 1 vagy 2 zérushelye van.

Másodfokú egyenlet ax2 + bx + c = 0 Másodfokú egyenlet megoldása nem más, mint a baloldalon lévő másodfokú polinom zérushelyeinek megkeresése. A fentiekből következik, hogy egy másodfokú egyenletnek 0, 1 vagy 2 megoldása van. Diszkrimináns: D = b2 − 4ac A másodfokú egyenletnek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns értéke nem negatív, azaz ha b2 4ac.


22. oldal

Megoldóképlet: −𝑏 ± b 2 − 4ac −𝑏 ± D = 2𝑎 2𝑎 A megoldóképlet a diszkrimináns értékétől függően 0, 1 vagy 2 valós megoldást (gyököt) ad: 

Ha D<0, akkor nincs valós megoldás.



Ha D=0, akkor egy valós megoldás van.



Ha D>0, akkor két valós megoldás van.

Példa 2x2 + 10x + 12 = 0 D=100-4·2·12=4 𝑥1 =

−10 − 4 = −3, 4

𝑥2 =

−10 + 4 = −2 4

Gyöktényezős felbontás Az ax2+bx+c másodfokú polinom gyöktényezős felbontását illetően három eset van annak megfelelően, hogy a megfelelő ax2+bx+c=0 egyenletnek hány gyöke van. Ha az egyenletnek egy gyöke van: x0, akkor ax2 + bx + c = a(x- x0)2 (ekkor ún. teljes négyzet alakról beszélünk) Ha az egyenletnek két gyöke van: x1 és x2, akkor ax2 + bx + c = a(x- x1)(x-x2) Ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor nincs gyöktényezős felbontás. A gyökök és az együtthatók összefüggései 𝑥1 + 𝑥2 =

−𝑏 , 𝑎

𝑥1 𝑥2 =

𝑐 𝑎

Másodfokú egyenlőtlenségek ax2 + bx + c  0,

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c  0,

ax2 + bx + c < 0

Egy másodfokú egyenlőtlenség a megfelelő egyenlet megoldása, és a másodfokú polinom grafikonjáról készítet vázlat alapján könnyen megoldható.


23. oldal

Az ax2 + bx + c  0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében:

Az ax2 + bx + c  0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében:

Magasabb fokú polinomegyenletek Magasabb fokú polinomok zérushelyeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Polinomegyenletek megoldásakor hasznosak lehetnek az alábbi megállapítások:  Az ax2n+bxn+c=0 (nℕ) alakú egyenletek megoldása visszavezethető másodfokú egyenlet megoldására a p=xn helyettesítéssel. (Először a ap2+bp+c=0 egyenletet kell megoldani, majd a p=xn egyenletet.)  Az anxn+an-1xn-1+...+a1x+ao egyenlet egész megoldásait az ao (pozitív és negatív) osztói között kell keresni (természetesen ilyenek nem mindig vannak)  Az anxn+an-1xn-1+...+a1x+ao polinomnak akkor és csak akkor gyöke az 1, ha az együtthatóinak összege 0, azaz an+an-1+...+a1+ao=0  Egy polinomnak akkor és csak akkor gyöke a -1, ha a páros indexű együtthatóinak összege egyenlő a páratlan indexű együtthatóinak összegével  Ha a P polinomnak gyöke a c szám, akkor P a következő alakba írható: P(x)=(x-c)Q(x), ahol Q egy a P-nél eggyel alacsonyabb fokszámú polinom. Az utóbbi megállapítás szerint ha egy n-edfokú polinom k db gyökét ismerjük, akkor az esetleges további gyökök keresése visszavezethető egy (n-k)-adfokú polinom gyökeinek keresésére.


24. oldal

A polinomok gyökeivel kapcsolatos az ún. gyöktényezős felbontás. Minden polinom felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú tényezők szorzatára: 𝑃(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑐1 )𝛼 1 ∙ … ∙ (𝑥 − 𝑐𝑛 )𝛼 𝑛 ∙ (𝑥 2 + 𝑝1 𝑥 + 𝑞1 )𝛽1 ∙ … ∙ (𝑥 2 + 𝑝𝑘 𝑥 + 𝑞𝑘 )𝛽𝑘 Egy (x-c) tényező pontosan akkor szerepel a P felbontásában, ha a c gyöke P-nek, azaz P(c)=0. Ezért a fenti felbontásában szereplő (x-ci) tényezőket a ci gyökökhöz tartozó gyöktényezőknek (i=1,...n), magát a felbontást gyöktényezős felbontásnak nevezzük. Példa Határozzuk meg a P(x) = x3-x2-x+1 harmadfokú polinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az x3-x2-x+1=0 harmadfokú polinomegyenletet kell megoldani.

Így a P polinom felbontása: P(x) = ( x – 1 )  Q(x) = ( x – 1 )  ( x2 – 1 ) A Q(x) = x2 – 1 másodfokú polinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P(x) = (x – 1)  (x – 1)  (x + 1) = (x – 1)2  (x + 1) A gyökök pedig: x1= 1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: (x – 1) x2= -1 (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: (x + 1)


25. oldal

Exponenciális és logaritmusfüggvények Exponenciális függvények 1 x→ 2

x2x

Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet

x

f(x) = ax (a > 0, 𝑎  1 ) x∈ℝ f(x) ∈ ℝ+

Zérushely

nincs

Növekedés

01 esetén szigorúan monoton növekvő nincs

Szélsőérték

Logaritmus függvények xlog2x

xlog0,5x


Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet

f(x) = log a x (a > 0, 𝑎  1 ) x ∈ ℝ+ f(x) ∈ ℝ

Zérushely

x=1

Növekedés

01 esetén szigorúan monoton növekvő nincs

Szélsőérték

26. oldal

Az exponenciális és a logaritmus függvények kapcsolata

Exponenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Exponenciális egyenletek Az exponenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szerepel. A legegyszerűbb exponenciális egyenlet: af(x)=b alakú, ahol a>0, b>0 és f valamilyen adott valós függvény. Ha a≠1, akkor 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, ami már nem exponenciális egyenlet. Ha a=1, akkor két eset van: b=1 vagy b≠1.  

Ha a=1 és b=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Ha a=1 és b≠1, akkor nincs megoldása az egyenletnek.

Másik ilyen alaptípus az af(x)= ag(x), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények.


 

27. oldal

Ha a=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Ha a≠1, akkor mindkét oldal a alapú logaritmusát véve az f(x)=g(x) egyenlethez jutunk.

Logaritmusos egyenletek A logaritmusos egyenlet olyan egyenlet, melyben az ismeretlen valamilyen logaritmus változójában szerepel. A legegyszerűbb logaritmusos egyenlet: logaf(x)=b alakú, ahol a>0, a≠1 és f valamilyen adott valós függvény. Az egyenlet értelmezési tartománya az f függvény értelmezési tartományának azon része, amelyen f pozitív értékeket vesz fel. A logaritmus definícióját használva f(x)=ab. Másik alaptípus 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥), ahol a>0, a≠1 valamint f és g adott valós függvények. Az egyenlet értelmezési tartománya az f és g függvény értelmezési tartományai metszetének azon része, amelyen f és g is pozitív értékeket vesz fel. Az egyenlet mindkét oldalára az a alapú logaritmus függvény inverzét, az a alapú exponenciális függvényt alkalmazva kapjuk, hogy f(x)=g(x). Exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek Az exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségeket az exponenciális és logaritmusfüggvények szigorú monotonitását figyelembe véve (csökkenő vagy növekvő) oldjuk meg.


28. oldal

Trigonometrikus függvények Nevezetes szögek szinusza és koszinusza Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják

Nevezetes szögeknek a rajzon megjelölt szögeket nevezzük.

A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a 1 2 3 0, ± , ± , ± , ±1 2 2 2 értékek valamelyikével egyenlők. A felsorolt értékek nagyságrendi sorrendben vannak, így könnyen azonosíthatók a rajzon, a tengelyeken megjelölt értékekkel.


29. oldal

A rajzról bármelyik nevezetes szög koszinusza és szinusza leolvasható. Az értékeket a következő táblázat is tartalmazza: szög (fok)

szög (rad)

sin

cos

szög (fok)

szög (rad)

sin

cos

0°

0

0

1

180°



0

-1

30°

𝜋 6

1 2

3 2

210°

7𝜋 6

−

45°

𝜋 4

2 2

225°

5𝜋 4

𝜋 3 𝜋 2

3 2

2 2 1 2

1

0

120°

2𝜋 3

3 2

135°

3𝜋 4

150°

5𝜋 6

2 2 1 2

60° 90°

240° 270°

4𝜋 3 3𝜋 2 5𝜋 3

1 2

−

−

2 2

−

−

3 2

2 2 1 − 2

-1

1 2

300°

−

2 2

315°

7𝜋 64

−

3 2

330°

11𝜋 6

2 2 1 − 2

360°

2

0

−

−

3 2

0 1 2

3 2

2 2

−

−

3 2 1


30. oldal

Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 360°

Radián: egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik

Összefüggés fok és radián között :

180° =  (rad)

A szinuszfüggvény: f(x)=sin(x)

Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek

Növekedés

Szélsőértékek

f(x) = sin x x∈ℝ sin x ∈ [−1,1] x = k ∙ π, k ∈ ℤ szigorúan monoton növekvő, ha 𝜋 𝜋 𝑥 ∈ 0− + k ∙ 2π, + k ∙ 2π1 , k ∈ ℤ 2 2 szigorúan monoton csökkenő, ha 𝜋 3𝜋 𝑥 ∈ + k ∙ 2π, + k ∙ 2π , k ∈ ℤ 2 2 3𝜋 a minimumok helye: 2 + k ∙ 2π, k ∈ ℤ a minimum értéke: -1 𝜋

a maximumok helye: 2 + k ∙ 2π, k ∈ ℤ a maximum értéke: 1 Paritás

páratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, sin (-x)= -sin(x))

Periódus

2𝜋


31. oldal

Nevezetes szögek tangense és kotangense

Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak,

sin 𝛼

így megfelelő oldalaik aránya egyenlő: cos 𝛼 =

𝑡𝑔 𝛼 1

sin 𝛼

, azaz 𝑡𝑔 𝛼 = cos 𝛼

A tangens függvény: f(x)=tg(x) (cos(x)  0 )


Függvény

f(x) = tg x


x ∈ ℝ, x ≠

Értékkészlet

tg x ∈ ℝ

Zérushelyek

x = k ∙ π, k ∈ ℤ

Növekedés Szélsőértékek

32. oldal

𝜋 + k ∙ π, k ∈ ℤ 2

szigorúan monoton növekvő, ha 𝜋 𝜋 𝑥 ∈ 1− + k ∙ π, + k ∙ π0 , k ∈ ℤ 2 2 nincs

Paritás

páratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, tg (-x)= -tg(x))

Periódus

𝜋 Összefüggések derékszögű háromszögben

Hasonlóan a fentiekhez, két derékszőgű háromszög hasonlóságát figyelembe véve

derékszögű háromszögben az oldalak aránya: a b a = sin α, = cos α, = tg α c c b Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hogy ha a derékszögön kívül még egy másik szög () adott a derékszögű háromszögben, akkor az oldalak aránya meghatározott. A fenti jelölésekkel, pl. az a és a b oldal arányát a tg értéke adja. (Meg kell jegyezni, hogy a fenti formuláknak a szögfüggvények definiálására való alkalmazása csak a 0≤≤/2 tartományban lenne értelme.) Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fentiek szerint a a = csin, összefüggések alkalmazását jelenti.

b = ccos


33. oldal

Összefüggés a trigonometrikus függvények között sin

cos

sin x =

-

± 1 − cos2 x

cos x =

 1  sin x

-

sin x

± 1 − cos 2 x cos x cos x

2

tg x =

± 1−

sin2 x

± 1 − sin2 x sin x

ctg x =

± 1−

tg

ctg

tg x

1

± 1 + tg2 x

± 1 + ctg2 x

1

ctg x

± 1 + tg2 x

± 1 + ctg2 x

-

1 ctg x

1 tg x

-

cos 2 x

A táblázat használata: ha például a cos függvénynek a tg függvénnyel való kifejezésére van szükség, akkor a cos x sorban és a tg oszlopban lévő formulát kell tekinteni: cos x =

1 ± 1 + tg2 x

A  jel arra utal, hogy az összefüggés az x értékétől függően két formulával adható meg. Szögek összege, különbsége, kétszerese és fele trigonometrikus függvényeinek kifejezése az eredeti szögek trigonometrikus függvényeivel x+y

x–y

2x

x/2

sin

sinxcosy + cosxsiny

sinxcosy – cosxsiny

2sinxcosx

±

1 − cos x 2

cos

cosxcosy – sinxsiny

cosxcosy + sinxsiny

cos2x – sin2x

±

1 + cos x 2

tg

tg x + tg y 1 − tg x ∙ tg y

tg x − tg y 1 + tg x ∙ tg y

2tg x 1 − tg2 x

1 − cos x sin x

ctg

ctg x ∙ ctg y − 1 ctg x + ctg y

ctg x ∙ ctg y + 1 ctg y − ctg x

ctg2 x − 1 2ctg x

1 + cos x sin x

A táblázat használata: ha például a cos(x–y) kifejezésére van szükség az x és az y trigonometrikus függvényeivel, akkor a cos sorban és az x–y oszlopban lévő formulát kell tekinteni: cos(x–y) = cosxcosy + sinxsiny. További összefüggések sin2 x + cos 2 x = 1 x+y x−y ∙ cos 2 2 x+y x−y cos x + cos y = 2 cos ∙ cos 2 2 sin x + sin y = 2 sin

1 cos2 x x+y x−y sin x − sin y = 2 cos ∙ sin 2 2 x+y x−y cos x − cos y = 2 sin ∙ cos 2 2 1 + tg2 x =


34. oldal

Trigonometrikus függvények

Trigonometrikus egyenletek Jelölje trig a cos, sin tg, illetve ctg függvények bármelyikét. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet 𝑡𝑟𝑖𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑐 alakú, ahol f adott valós függvény, melynek értékkészlete részhalmaza a trig függvény értelmezési tartományának, c pedig valós szám. Ennek az egyenletnek nyilván csak akkor van megoldása, ha a c szám benne van a trig függvény értékkészletében. Ha ez teljesül, a megoldásokat az adott trigonometrikus függvény periodicitási tulajdonságát felhasználva tudjuk megadni.


35. oldal

___ Koordinátageometria a síkban ___ Pontok távolsága Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok távolsága 𝑑(𝑃1 , 𝑃2 ) =

(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

Két pont által meghatározott vektor Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok által meghatározott vektor: P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 )

Vektor hossza és szöge A v = (vx , vy ) vektor hossza: v = d(P1 , P2 ) =

vx2 + vy2

A v = (vx , vy ) vektor szöge (az x tengely pozitív felétől pozitív forgásirányban mért szög): vy tg φ = , vx amennyiben vx≠0. Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két pontot: (x1,y1) és (x2,y2) az y2 − y1 m = tg α = x2 − x1 értéket az egyenes meredekségének, iránytangensének nevezzük.

vagy


36. oldal

Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az

y = m(x-x0) + y0 formulát értjük. Az m, az x0 és az y0 paramétereknek közvetlen geometriai jelentése van: m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja

Meg kell jegyezni, hogy az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek ilyen egyenlete nincs. Az ilyen egyenesek egyenlete x=c alakú, ahol c az x tengellyel alkotott metszéspont. Az y = m(x-x0) + y0 formula átrendezésével kapott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Egy egyenes „különböző” egyenletei valójában tehát csak átrendezésben térnek el egymástól. Az egyes átrendezésekben szereplő paraméterek más-más geometriai tartalommal bírnak. A lehetséges átrendezések közül igen gyakran használjuk az y = mx + b formulát. Itt az m és a b paraméterek jelentése: m: meredekség (iránytangens) b: metszéspont az y tengellyel Példa y=2x+3


37. oldal

Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból Az alábbi esetek mindegyikében az egyik adat az egyenes egy pontja, ami megfelel az egyenes egyenletében szereplő (x0,y0) pontnak, a másik adat pedig a következők valamelyike: egy másik pont, egy irányvektor, egy normálvektor. Mindegyik esetben kifejezhető a meglévő adatokból a meredekség, és felírható az egyenlet. 1. Két pont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: (x 0,y0) és (x1,y1)! (Feltételezzük, hogy x0≠x1)

y −y

m = x 1 −x 0 , így az egyenes egyenlete: 1

0

y=

y1 − y0 ∙ (x − x0 ) + y0 x1 − x0

2. Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy irányvektora (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx≠0)

vy

m = v , így az egyenes egyenlete: x

y=

vy ∙ (x − x0 ) + y0 vx

Szokásos a vy x- vx y= vy x0- vx y0 alakra való átírás.


38. oldal

3. Egy pont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B≠0)

A

m = − B , így az egyenes egyenlete: A ∙ (x − x0 ) + y0 B Szokásos az Ax + By = Ax0 + By0 alakra való átírás, illetve az y=−

Ax + By+C =0 alak, ahol C=-( Ax0 + By0) . Speciális helyzetű egyenesek egyenlete

Kör egyenlete Az (u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete: (x-u)2 + (y-v)2 = R2


39. oldal

Szakasz felezőpontja Az (x1;y1) és az (x2;y2) pontokat összekötő szakasz felezőpontja:

𝐹=(

𝑥 1 +𝑥 2 𝑦 1 +𝑦 2 ; ) 2 2

Példa Legyen P=(2;-4), Q=(3;1). Ekkor a PQ szakasz felezőpontja: 2 + 3 −4 + 1 5 3 𝐹= ; , 𝑎𝑧𝑎𝑧 𝐹 = ; − 2 2 2 2 Háromszög súlypontja Az A=(x1;y1), B=(x2;y2), C=(x3;y3) csúcspontú háromszög súlypontja:

𝑆=

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ; 3 3

Szakasz általános osztó pontja Legyen P1=(x1;y1), P2=(x2;y2) két pont, ezek helyvektorai legyenek rendre 𝑝1 és 𝑝2 . A P1P2 szakaszt m:n arányban osztó P pont helyvektora legyen 𝑝, a P koordinátái (x;y). Ha P1P:PP2=m:n , akkor

𝑝=

𝑛 𝑝 1 +𝑚 𝑝 2 𝑚 +𝑛

és 𝑥 =

𝑛 𝑥 1 +𝑚 𝑥 2 𝑚 +𝑛

, y=

𝑛 𝑦 1 +𝑚 𝑦 2 𝑚 +𝑛

Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria -

40. oldal

– geometria – 1. hét

Síkgeometria I. Térelemek

kölcsönös

helyzete,

térelemek

hajlásszöge,

merőlegessége. Párhuzamossági és merőlegességi tételek.

távolsága, Euklideszi

alapszerkesztések. 2. hét

Síkgeometria II. A háromszög geometriája: összefüggések oldalak és szögek között; nevezetes pontok, vonalak. A kör geometriája: a kör részei, körcikk, körszelet területe. Síkidomok területe, kerülete. Síkbeli szerkezetek geometriai adatainak meghatározása. Kúpszeletek.

3. hét

Térgeometria Szabályos testek. Hasáb, henger, gúla származtatása. Testek felszíne és térfogata. Térbeli szerkezetek geometriai adatainak meghatározása. Lemezek és testek felületének, tömegének számítása.

.


41. oldal

____ Síkgeometria I. ____ Geometriai alapfogalmak 1. Térelemek A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C, ... P, Q, ... X, Y, Z – latin nagybetű; egyenes: a, b, c, ... p, q, ... x, y, z – latin kisbetű; sík: S,T,…….. – latin nagybetű A továbbiakban támaszkodni fogunk a szemlélet alapján magától értetődő ismereteinkre. A tér egyeneseit és síkjait is ponthalmazoknak tekintjük. Igaznak fogadjuk el például, hogy egy egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja, egy síkot bármely egyenese két félsíkra bontja, míg a teret bármely síkja két féltérre bontja.

A tér A és B pontját összekötő szakasz az A kezdőpontú és a B pontot tartalmazó, valamint a B kezdőpontú és az A pontot tartalmazó félegyenes metszete. Térelemek kölcsönös helyzete: Két egyenest a térben metszőnek mondunk, ha van közös pontjuk és nem esnek egybe. Két egyenest a térben párhuzamosnak mondunk, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Két egyenest a térben kitérőnek mondunk, ha nincsenek egy síkban. Két síkot a térben metszőnek mondunk, ha van közös pontjuk és nem esnek egybe. Két síkot a térben párhuzamosnak mondunk, ha nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Azt mondjuk, hogy a tér egy egyenese döfi a tér egy síkját, ha van közös pontjuk és az egyenes nem illeszkedik a síkra. A tér egy egyenesét és egy síkját párhuzamosnak mondjuk, ha nincs közös pontjuk. Összegezve:   

Két egyenes kölcsönös helyzete lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő. Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző vagy párhuzamos. Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet: - az egyenes illeszkedik a síkra, - az egyenes döfi a síkot, - az egyenes párhuzamos a síkkal.


42. oldal

2. A szög A szög: olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.(Ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa. Szögek mérése és fajtáik.



A szögeket úgy is származtathatjuk, hogy a két, közös kezdőpontú, egymást fedő félegyenes közül az egyiket a kezdőpont körül elforgatjuk. Ilyenkor forgásszögről beszélünk. Ha a mozgó szár mozgása az óramutató járásával ellenkező irányú, akkor a szöget pozitívnak, ha pedig megegyező irányú, akkor a szöget negatívnak mondjuk. A szög nagyságát az elforgatás nagyságával mérjük, függetlenül a forgási iránytól.



Ha a mozgó félegyenes egy teljes fordulatot megtesz, a keletkező szöget teljesszögnek nevezzük. A szögmérés mértékegysége a fok, 1 o- a teljes szög 360-ad része.

A szögeket görög kisbetűvel jelöljük: α, β, γ, δ, … A szögeket nagyság szerint a következő csoportokba soroljuk: teljesszög : α

α = 360o

egyenesszög : β

β = 180o

nullszög : γ

γ = 0o

hegyesszög : δ

0o < δ < 90o

derékszög : ε

ε = 90o

tompaszög : ζ

90o < ζ <180o

homorúszög : η

180o < η < 360o

teljesszög

hegyes szög

egyenesszög

tompaszög

nullszög

derékszög

homorúszög


43. oldal

A szögeket mérhetjük radiánban is: ekkor a teljes szög mértéke 2π. Az egységnyi sugarú körben az 1o-hoz tartozó körívhossz: π/180 Példa Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók 0 és 12 óra között minden egész órakor?

Nevezetesebb szögpárok: -

Egyenlő szögpárok

Egyállású szögek : száraik páronként párhuzamosak és azonos irányúak Váltószögek : száraik páronként párhuzamosak, és ellenkező irányúak Csúcsszögek : speciális váltószögek; egy-egy száruk egy egyenest alkot Merőleges szárú szögek : száraik páronként merőlegesek egymásra; a merőleges szárú szögek között vannak egyenlők és olyanok is, amelyek 180°-ra egészítik ki egymást

Példa Az ábrán az α szög 32o42’. Mekkora a többi jelölt szög?

Példa Az α és β merőleges szárú szögek. Határozzuk meg a szögek nagyságát, ha a β szög harmadrésze az α-nak.


44. oldal

Egymást kiegészítő szögpárok Pótszögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 90°. A kiegészítő szögek 180°-ra egészítik ki egymást-mellékszögek, társszögek

Példa Mekkora az a szög, amelyik a mellékszögének

2 3

részével egyenlő?

Térelemek szöge : Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90o.



 




45. oldal

Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel párhuzamos két egyenes szögét értjük. e

e' f f'

S

Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a

a' S

Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük.

Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is.( a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)


Párhuzamossági tételek Egy egyenes akkor párhuzamos egy síkkal, ha van a síkban egy olyan egyenes, amely az adott egyenessel párhuzamos.

Két sík akkor párhuzamos egymással, ha az egyik síkban van két olyan metsző egyenes, amely a másik síkkal párhuzamos.

Ha egy síkkal párhuzamos egyenesre síkot fektetünk, ez a sík az adott síkot az adott egyenessel párhuzamos egyenesben metszi.

Az adott síkkal párhuzamos egyenesre illeszkedő síkoknak az adott síkkal alkotott metszésvonalai egymással is párhuzamosak.

Két egymást metsző sík metszésvonalával párhuzamos harmadik sík az adott síkokat a metszésvonallal párhuzamos egyenesekben metszi. Ezek az egyenesek egymással is párhuzamosak.

Két párhuzamos síkot egy harmadik sík egymással párhuzamos egyenesekben metsz.

46. oldal


47. oldal

Két párhuzamos sík két, velük nem párhuzamos párhuzamos egyenesből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki.

Egy ponton át egy síkkal párhuzamosan végtelen sok egyenes fektethető. Ezek egy olyan síkban fekszenek, mely az adott síkkal párhuzamos.

Két térelem párhuzamosságára a továbbiakban a

jelölést is használjuk.

Merőlegesség 1. Egy egyenes merőleges egy síkra, ha van a síkban két olyan, különböző irányú egyenes, amelyre az adott egyenes merőleges. (Ekkor az egyenes a sík összes egyenesére merőleges.)

2. Két sík merőleges egymásra, ha legalább az egyik síkban van olyan egyenes, amely a másik síkra merőleges. Ez természetesen maga után vonja azt, hogy a másik síkban is van olyan egyenes, amely merőleges az egyikre.


Merőlegességi tételek Egy egyenes adott pontjában, az adott egyenesre merőleges egyenesek egy síkban vannak, mégpedig az egyenesre merőleges síkban. Ha két egyenes ugyanarra a síkra merőleges, akkor a két egyenes egymással párhuzamos. Ha két egyenes párhuzamos egymással és közülük az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra. Ha két sík ugyanarra az egyenesre merőleges, akkor a két sík egymással párhuzamos.

Két sík metszésvonalára merőleges sík mindkét adott síkra merőleges.

Ha két egymást metsző sík merőleges egy harmadikra, akkor a metszésvonaluk is merőleges a harmadik síkra

48. oldal


Ha három sík páronként merőleges egymásra, akkor metszésvonalaik is merőlegesek egymásra.

Egy ponton át egy adott síkra végtelen sok merőleges sík állítható. Ezek metszésvonala a ponton átmenő, adott síkra merőleges egyenes.

Egy általános helyzetű egyenesen keresztül, egy adott síkra merőlegesen csak egyetlen sík állítható.

49. oldal


50. oldal

Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. 1.

Két pont távolsága értelmezés szerint a két pontot összekötő szakasz hossza.

2. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.

3. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük

4. Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mérttávolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető.

5. Egymással párhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakaszhosszát értjük


51. oldal

6. Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.

7. Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük

Euklideszi alapszerkesztések Ha ábrákat készítünk, akkor két derékszögű háromszög alakú vonalzó segítségével könnyedén párhuzamos egyeneseket, illetve merőleges egyeneseket rajzolhatunk: e

f

P

e

P

f

Az euklideszi szerkesztés csak körző és egyélű vonalzó használatát engedi meg.


52. oldal

Az euklideszi szerkesztés lehetőségei: 1. 2. 3. 4. 5.

Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

Szakasz felezése B A

A

B

Szög felezése

o



o

Egyenesre merőleges szerkesztése adott külső pontból



P

P e

e A

e A

B P

P e

2 2

o

B A

m B


Egyenes adott pontjára merőleges szerkesztése

53. oldal

P

e

e A

P

P

e A e B A

B P m

B

Szakasz felezőmerőlegese A síkon egy szakasz felezőmerőlegese az az egyenes, amely a szakasz felezőpontjára illeszkedik, és merőleges a szakaszra.

Tételek A sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. A térben adott két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szakaszra merőleges, annak felezőpontjára illeszkedő sík. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon egy pont (ha a három pont nem esik egy egyenesre), vagy üres halmaz (ha a három pont egy egyenesre esik).

Szögfelező

Definíció Egy konvex szög szögfelezője a szög csúcsából kiinduló, a szögtartományban haladó azon félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja.

Tétel Egy konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szög szögfelezője.

Párhuzamos szelők tétele Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A tétel megfordítása is igaz: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.


54. oldal

D C A

B

A'

O 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ = 𝐶𝐷 𝐶′𝐷′

B'

C'

D'

𝐴𝐴′ 𝑂𝐴 𝑂𝐴′ = = 𝐵𝐵′ 𝑂𝐵 𝑂𝐵′

A párhuzamos szelők tételét felhasználhatjuk adott szakasz egyenlő részekre osztásához. Példa Legyen adott egy AB szakasz. Osszuk fel ezt a szakasz 2:5 arányban. Külső pontból húzható érintők a körhöz

E1 e1

r1 k

O

P

r2

e2 E2

A kör egy adott pontjához egyetlen érintő húzható, a körön kívül fekvő bármely pontból két érintő húzható. A két érintődarab egyenlő egymással, és a kör sugara az érintési pontban merőleges az érintőre. Adott egy k kör és egy külső P pont. Szerkesszünk egyenest, amely illeszkedik az adott pontra és érinti az adott kört

F

P

k

E A vázlatrajzról látjuk, hogy a szerkesztést Thalész tétele segítségével végezhetjük el. Azt is azonnal megállapíthatjuk, hogy egy körhöz egy külső pontból két érintőegyenes húzható, és a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú: PE = PF.


55. oldal

Két kör közös érintőinek megszerkesztése

Közös külső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A külső érintők szerkesztése: Ha a kisebb sugarú k kör r sugarát (gondolatban) csökkentjük, és a nagyobb K kör R sugarát is ugyanannyival csökkentjük, akkor a két kör közös külső érintője párhuzamos marad az eredeti közös külső érintővel. Ezért mindkét kör sugarát r-rel csökkentjük, és megszerkesztjük a (R-r) sugarú körhöz a k kör O1 középpontjából húzott érintőket. Ezeket az érintőket eltoljuk az r abszolút értékű, az érintőkre merőleges és az O1-ből „kifelé irányított” vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös külső érintői: e1, és e2 .

e1 R-r

r k O1

O2

R

e2

K

Közös belső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A belső érintők megszerkesztése: Most a kisebb k kör sugarát r-rel csökkentjük, és vele együtt a nagyobb kör sugarát r-rel növeljük. Ezután szerkesszük meg az O2 középpontú és R+r sugarú körhöz az O1-ből induló érintőket. Ezeket toljuk el az r abszolút értékű, az érintőre merőleges és az O2-hez „befelé irányított” vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös belső érintői, e1 és e2.

e1 r R

r k

O1

O2

F

K

e2

Két kör közös érintőinek a szerkesztésekor speciális eset az, amikor a két kör azonos sugarú. Ekkor a közös külső érintők párhuzamosak az O1O2 egyenessel.


56. oldal

____ II. Síkgeometria____ Háromszögek A szakaszokat, így az ABC háromszög oldalait is az ábécé kisbetűivel jelöljük (a, b, c). A pontokat, így a háromszög csúcsait is az ábécé nagybetűivel jelöljük.( A, B, C). A szögek jelölésére görög betűket használunk (α, β, γ). (Az A csúcsnál az α szög, vele szemben az a oldal található.) A szögeket a csúcspontjuk és a száraikon lévő egy-egy pont betűjelével is megadhatjuk. Például az α szöget így is jelölhetjük: CAB szög. A háromszögek csoportosítása:

Szögeik szerint: -

hegyesszögű háromszögek (minden szögük hegyesszög),

-

derékszögű háromszögek (egyik szögük derékszög, a többi hegyesszög),

-

tompaszögű háromszögek (egyik szögük tompaszög, a többi hegyesszög).

Oldalaik szerint: -

egyenlő oldalú háromszögek (minden oldaluk egyenlő),

-

egyenlőszárú háromszögek (két oldaluk egyenlő),

-

általános háromszögek (minden oldaluk különböző)

A háromszögre vonatkozó állítások 1. A háromszög belső szögeinek összege 180°.

Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak (egyenlőszárú háromszög). A háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög található, mint a rövidebb oldallal szemben.


57. oldal

Minden háromszög oldalaira teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: 2. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál.

3. A háromszög külső szögeinek összege 360°. 4. A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. ( a háromszög külső szöge az adott szög mellékszöge)

Háromszögek egybevágósága: Mindhárom megfelelő oldal páronként egyenlő nagyságú

Két háromszög egybevágó, ha

Két megfelelő oldaluk hossza, és az általuk közrefogott szögek páronként egyenlők Egy megfelelő oldaluk hossza, és két megfelelő szögük páronként egyenlő Két-két oldaluk hossza, és a nagyobbik oldallal szembe lévő szögek páronként egyenlők.


58. oldal

Háromszögek hasonlósága: oldalaik aránya egyenlő

Két háromszög hasonló, ha

két oldaluk aránya, és az ezek által közrefogott szögük egyenlő két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt lévő szögük egyenlő két-két szögük páronként egyenlő

A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai: A háromszög szögfelezői:

A szögfelező olyan egyenes, amely felezi a háromszög belső szögét (fα , fβ , fγ). A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja (O).

A szögfelezők osztásaránya: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre- szögfelező tétel.

𝐴𝐷 𝑐 = 𝐷𝐶 𝑎


59. oldal

A háromszög oldalfelező merőlegesei: Az oldalfelező merőleges olyan egyenes, amely átmegy az oldal felezőpontján és merőleges az oldalra (fa , fb , fc). A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja(O).

A háromszög magasságvonalai: A magasságvonal a háromszög csúcspontjából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenes ( ma; mb; mc ). A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög

magasságpontja. (M)

A háromszög súlyvonalai: A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. (sa, sb, sc .)

A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög súlypontja (S). A súlyvonalak harmadolják egymást úgy, hogy a csúcs felé esik a súlyvonal kétharmad része.


60. oldal

A háromszög középvonalai: A háromszög középvonala két oldalának felezőpontját összekötőszakasz (ka; kb ; kc). A háromszög középvonala párhuzamos és feleakkora, mint a harmadik (nem felezett) oldal.

𝑎

𝑏

𝑐

𝑘𝑎 ‖ a ; 𝑘𝑏 ‖ b; 𝑘𝑐 ‖ c; 𝑘𝑎 = 2 ; 𝑘𝑏 = 2 ; 𝑘𝑐 = 2

Számítások általános háromszögekben

ma: az a oldalhoz tartozó magasság : a beírt kör sugara Kerület: K = a + b + c Terület: a ∙ ma 2 (A képlet bármely oldallal és a hozzá tartozó magassággal érvényes.) T=

a ∙ b ∙ sin γ 2 (A képlet bármely két oldallal és a közrefogott szöggel érvényes, a háromszög trigonometrikus területképletének is mondják) T=

T=

s ∙ (s − a) ∙ (s − b) ∙ (s − c)

𝐾

ahol 𝑠 = 2 , (Heron-képlet) T=

K∙ρ 2


61. oldal

Szinusz tétel a sin α = b sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) Koszinusz tétel c2 = a2 + b2 – 2abcos (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.)

Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek: (A derékszögű háromszögekre természetesen érvényesek az általános háromszögekre kimondott állítások, az alábbiakban csak a további speciális tulajdonságokat soroljuk fel.)

Pitagorasz-tétel (a koszinusz tétel speciális esete derékszögű háromszögre): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c2 = a2 + b2 a, b: befogók c: átfogó Terület: T 

ab 2

c2 = a2 + b2 Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt mc = c1 ∙ c2

C

Befogótétel: Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a = c ∙ c2 és b = c ∙ c1 ahol c=c1+c2.

b

A

a

m

c1

c2 c

B


62. oldal

A Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két végpontját a körvonal bármely másik pontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör középpontja mindig az átfogójának felezőpontja lesz. Az átfogó a kör átmérője.

O

A kör geometriája A kör (körvonal) a sík mindazon pontjainak mértani helye, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az adott pont a kör középpontja, az adott állandó a kör sugara.   3,1415926 Kerület: 2R Terület: R2

A kör részei:

let

lõ sze

átmérõ

e rsz ö k sug

k ik

k

c ör

középponti szög

ár

húr

érintõ

Emlékeztető: 180° =  (rad)

kerületi szög

körgyûrû


63. oldal

Körcikk Ívhossz: i = R (radiánban kell számolni) Terület: T =

R 2 ∙α 2

(radiánban kell számolni)

Körszelet területe: T =

iR −h(R−m) 2

ahol R a kör sugara, h a húr hossza, m a körszelet magassága,

i a körív hossza.

Kerületi és középponti szögek A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara (illetve azok félegyenese). Két sugár két középponti szöget határoz meg. Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: „az α szöghöz az i körív tartozik”, vagy „az ii köríven a β szög nyugszik”.

A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcsa a kör kerületén van, a két száruk vagy egy- egy húrt tartalmaz, vagy egy húrt tartalmaz, a másik pedig egy érintőre illeszkedik.

D 

A 

 

B

A B

C

A kerületi szög két szára között a körnek egy íve van. Gyakran azt mondjuk, hogy a kerületi szög ahhoz a körívhez „tartozik”, vagy azon a köríven „nyugszik”. (Végtelen sok kerületi szöghöz tartozhat ugyanaz a körív.)


64. oldal

Egy adott körben egy adott körívhez (ill. húrhoz) egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik.

 2  2

 2 

A

B

Kerületi szögek tétele : Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Középponti és kerületi szögek tétele: Egy körben a középponti szög kétszerese a vele azonos íven nyugvó kerületi szögnek. Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. D

A

C O

B

A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk. Oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köré írt kör középpontjában metszik egymást. Húrnégyszögek tétele: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

𝛼 + 𝛾 = 180°

A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglalap, a szimmetrikus trapéz és a derékszögű deltoid húrnégyszög.


65. oldal

Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük. Az érintőnégyszögek belsejébe érintő kört szerkeszthetünk. Belső szögeinek szögfelezői egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást.

D  

A

 

 

O

C

 

B Érintőnégyszögek tétele: Egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. (Itt: AB + CD= AD + BC.) Az ábrán érintőnégyszöget látunk.

D d

d G

H a

c

A O

a

C c

E b

F b B

Oldalait az E, F, G, H érintési pontok két-két szakaszra bontják. Tudjuk, hogy a körhöz egy külső pontból húzott két érintőszakasz hossza egyenlő. Ezért AE = AH = a, BE = BF = b, CF = CG = c, DG = DH = d. A szemközti oldalak szakaszait összeadva, nyilvánvaló az egyenlőség: AB + CD = a+b+c+d;

AD + BC = a+d+c+b


66. oldal

Kúpszeletek

A kör, a parabola, az ellipszis és a hiperbola sok közös tulajdonsággal rendelkezik, ezek egyike, hogy előállnak egy forgáskúp (hiperbola esetén kettős forgáskúp) meghatározott síkkal vett síkmetszeteként.

A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy adott v egyenesétől (vezéregyenes) és egy v-re nem illeszkedő F pontjától (fókuszpont) vett távolsága egyenlő.

A fókuszpontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola tengelye (t), erre az egyenesre nézve a parabola tengelyesen szimmetrikus. A tengelyen a fókuszpont és a vezéregyenes közötti szakasz felezőpontja a parabola tengelypontja (T). A fókuszpont és a vezéregyenes távolsága a parabola paramétere ( p  0 ). Két parabola egybevágó, ha paraméterük egyenlő.

Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságösszege a két adott pont távolságánál nagyobb állandó.


67. oldal

Az ellipszis két fókuszpontja: F1 és F2. Az F1F2 szakasz felezőpontja az ellipszis középpontja (O). Az ellipszis bármely P pontját tekintve F1P + F2P = 2a állandó (ahol 2a > F1F2). Az ellipszisnek az F1F2 egyenesre illeszkedő A és B pontjaira AB = 2a. Az AB szakasz az ellipszis nagytengelye. A nagytengelyt merőlegesen felező KL szakasz az ellipszis kistengelye, hossza 2b. Az ellipszis tengelyesen szimmetrikus a nagytengely és a kistengely egyenesére nézve egyaránt, továbbá középpontosan szimmetrikus a középpontjára nézve. Az F1F2 távolságot 2cvel szokás jelölni. Ekkor az ábrán látható F1OK derékszögű háromszög oldalaira b 2  c 2  a 2 .

A hiperbola azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságkülönbsége abszolút értékben a két adott pont távolságánál kisebb pozitív állandó.

A hiperbola két fókuszpontja F1 és F2. Az F1F2 szakasz felezőpontja a hiperbola középpontja (O). a hiperbola bármely P pontját tekintve F1 P  F2 P  2a állandó (0< 2a  F1 F2 ). A hiperbolának az F1F2 egyenesre illeszkedő A és B pontjaira AB = 2a. Az AB szakasz a hiperbola valós tengelye. A valós tengelyt merőlegesen felező egyenes a hiperbola képzetes tengelye. A hiperbola tengelyesen szimmetrikus a valós tengely és a képzetes tengely egyenesére nézve egyaránt, továbbá középpontosan szimmetrikus középpontjára nézve. Az F1F2 távolságot 2cvel szokás jelölni. A képzetes tengely K és L pontjaira AK = AL = BK = BL = c. Az OL = OK távolságot b-vel jelölve : a2 + b2 = c2.


68. oldal

____ III. Térgeometria____ Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszöglap határolja. A poliéder konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. A poliéder szabályos, ha élei, éleinek szögei és lapszögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 lap), hexaéder (kocka; 6 lap), oktaéder (8 lap), dodekaéder (12 lap), ikozaéder (20 lap). Szabályos tetraéder. (négylapú test)

Hexaéder (kocka) (hatlapú test)

Oktaéder (nyolclapú test)

Lapok száma

Csúcsok száma

Élek száma

Oldallap éleinek száma

Egy csúcsba futó élek száma

Szabályos tetraéder

4

4

6

3

3

Hexaéder (Kocka)

6

8

12

4

3

Oktaéder

8

6

12

3

4

Dodekaéder

12

20

30

5

3

Ikozaéder

20

12

30

3

5

Dodekaéder (tizenkét lapú test)

Ikozaéder (húszlapú test)

A test felszíne a testet határoló felület területe. Síklapokkal határolt testek esetén a határoló lapok területének összege.


69. oldal

A test hálója poliéderek esetén az a sokszöglap, amelyet ha egy síklapból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. A hasáb származtatása: Adott egy alapsíkon egy sokszög (alaplap), és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a sokszög minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az alapsíkra. Az oldallapokat együtt palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a hasáb magasságát. Felszíne: A = 2 · alapterület + a palást területe A hasáb térfogata: V = alapterület · testmagasság

S

S

e A

A

A téglatest és a kocka speciális hasábok.

A kocka térfogata: V =a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza). A henger származtatása: Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap), és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a görbe minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet kapunk. Ezt elmetsszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a testmagasságot (M). Az egyenes körhenger felszíne: A = 2r2π + 2rπM = 2rπ (r + M) Az egyenes körhenger térfogata: A = r2π M A henger felszíne A= 2Talapterület + Tpalást A henger térfogata: V = alapterület · testmagasság.


70. oldal

e

g

A

k

k

A gúla származtatása: Adott az alapsíkon egy sokszög (alaplap), és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a sokszög minden pontját egyenesekkel összekötjük az adott ponttal, gúlafelületet kapunk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az alaplap síkjának és a csúcspontnak a távolsága. Ha a gúlát elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk.

A

A gúla felszíne: A= Talapterület + Tpalást A gúla térfogata: V =

alapterület ∙testmagasság 3 𝑀

A csonkagúla térfogata: V = 3 𝑇 + 𝑡 + 𝑇 + 𝑡 ahol M a testmagasság, t a fedőlap, T az alaplap területe. A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs képlet, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. A kúp származtatása: Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap), és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a görbe minden pontját egyenesek segítségével összekötjük az adott ponttal, kúpfelületet kapunk. A keletkező korlátos testet kúpnak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkúp. Egyenes körkúpnak nevezzük a körkúpot, ha a pontnak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpontjába esik. A test határoló felületét nevezzük palástnak (egyenes körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot nem tartalmazza), a csúcspont és a görbe pontjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotóknak. Az alaplap síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kúp magasságát. Ha az


71. oldal

egyenes körkúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kúp magasságának egyenesét tartalmazza (tengelymetszet), akkor egyenlőszárú háromszöget kapunk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Másként: az egyenes körkúp tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget a kúp nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkúp szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll a derékszögű háromszögre érvényes Pitagorasz-tétel. M

M

M

g k

A

k

A kúp felszíne A= Talapterület + Tpalást alapterület ∙testmagasság A kúp térfogata: V = 3 Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapunk, amelyet csonkakúpnak nevezünk. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a csonkakúp testmagasságát. Az egyenes körkúpból származó csonkakúp felszíne: A= 𝜋 ∙ ,𝑟 2 + 𝑅 2 + (𝑟 + 𝑅)𝑎- , ahol r az alapkör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Az egyenes körkúpból származó csonkakúp térfogata: 𝑀∙𝜋 (𝑟 2 + 𝑟 ∙ 𝑅 + 𝑅 2 ) 𝑉= 3

A gömb A gömb egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik Az r sugarú gömb térfogata és felszíne: 4

V= 3 𝑟 3 𝜋 ,

A= 4𝑟 2 𝜋

Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - fizika -

72. oldal

– fizika – 1. hét

Anyagi pont kinematikája Alapfogalmak: anyagi pont és pálya. Egyenes vonalú mozgás, a mozgást leíró skalármennyiségek: pályakoordináta, pályamenti sebesség és gyorsulás. Példa: egyenletes és egyenletesen változó mozgások. Síkmozgás és általános térbeli mozgás, a mozgást leíró vektormennyiségek: helyvektor, elmozdulás, sebesség és gyorsulás.

2. hét

Anyagi pont dinamikája I. Vonatkoztatási

–

és

inerciarendszer

fogalma.

Newton

törvényei.

Erőtörvények; gravitációs erő, Coulomb erő, rugalmas erő, kényszererő. Példák: Erő derékszögű komponenseinek meghatározása az erő nagyságának, irányának és értelmének ismeretében. Newton törvényeinek alkalmazása egyszerű statikai és dinamikai feladatokban. 3. hét

Anyagi pont dinamikája II. A munka fogalma állandó és változó erő esetén, Munkatétel. Példák: állandó erő

munkájának

feladatokban.

kiszámítása,

a

Munkatétel

alkalmazása

egyszerű


73. oldal

Az alábbiakban röviden, a teljesség igénye nélkül, összefoglaljuk a klasszikus mechanika néhány alapvető fogalmát és törvényét. A továbbiakban csak olyan problémákkal találkozunk majd, amelyekben a vizsgált testek méretei elhanyagolhatóak az adott fizikai problémában előforduló egyéb méretekhez képest. A fenti esetben a testet pontszerűnek tekintjük, és anyagi ponttal modellezzük. Az anyagi pontnak tömege van, és mindig a tér egy jól meghatározott pontjában van, rajzban egy egyszerű pont szemlélteti. (Magyarország térképén egy gépkocsi például egyértelműen anyagi pontnak tekinthető). Alapvetően a klasszikus mechanika két fontos ágára, a kinematikára és a dinamikára térünk ki. A kinematika a mozgás leírásával foglalkozik, míg a dinamika azt vizsgálja, hogy miért pont úgy mozog az anyagi pont, ahogy azt tapasztaljuk. A mechanikában számos mennyiséget puszta nagysága nem jellemez kielégítően, így fontos megadni irányát és értelmét (irányítását) is; azaz vektormennyiségként kell értelmezni. Mint majd látjuk, általános esetben a sebesség, a gyorsulás és az erő is vektormennyiségek.

1. ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA 1.1 MOZGÁSLEÍRÁS SKALÁRMENNYISÉGEKKEL 1.1.1 Foronómiai függvények Az anyagi pont mozgása során egy térgörbén halad végig, amelyet a mozgás pályájának nevezünk (1. ábra). Ha a mozgás pályája ismert, akkor azon az anyagi pont helye egy előjeles skalármennyiséggel (valós számmal) megadható. Ehhez jelöljük ki a pályán egy O vonatkoztatási pontot, és egy pozitív irányítást. s P

Pálya irányítása

O

Pálya

1. ábra A P anyagi pont helyét a pályán az O-tól mért előjeles ívhossz (𝑠) – amelyet pályakoordinátának vagy kitérésnek nevezünk – egyértelműen meghatározza. Ha a P pont az O-tól pozitív irányban van, akkor 𝑠 pozitív, ha az O pontban, akkor nulla, egyébként pedig negatív. Így, szemléletesen szólva, a pálya egy „görbe számegyenes” lesz, amelynek az origója az O pont. (Már itt ki kell hangsúlyoznunk, hogy 𝑠 nem azonos a középiskolában tanult úttal!) A pályakoordináta SI egysége a méter. (𝑠 = ,𝑚-) Példaként tegyük fel, hogy a térképen ismerjük egy gépkocsi útvonalát, és az útvonalon a nulla kilométerkő pontos helyét. Ha megadjuk, hogy a kilométerkőtől merre és pontosan hány kilométer távolságban van a gépkocsi, akkor megadtuk annak pontos helyét a térképen. Ahogy az anyagi pont halad a pályán, helyét időről-időre más pályakoordináta érték jellemzi. A pályakoordinátát megadva az egymást követő időpillanatokban, megkapjuk az anyagi pont 𝑠(𝑡)pályakoordináta-idő függvényét.


74. oldal

A pályán mozgó 𝑃 anyagi pont helyét egyenlő ∆𝑡 nagyságú időközönként megjelöltük. (P0, P1, P2, P3 2. ábra)

S 2 S1 S 0

..

.

S0

.

S3

P3

.

S2

P2

S1

P1

O

P0

2. ábra Ábrázoljuk az 𝑠 pályakoordinátát, mint az eltelt idő függvényét (3. ábra). Az ábrán látható esetben például a ∆𝑠𝑖 ívhosszak monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás sebessége növekszik, azaz a mozgás gyorsuló. st  st 3 

s 2

st 2  st1  st 0 

s1 s 0

t0

t1

t2

t3

t

3. ábra

∆s i ∆𝑡

Az 𝑖 -edik szakaszon a pont átlagos sebességét a hányados szolgáltatja. A ∆𝑡 időtartam csökkentésével a fenti hányados egyre inkább a

𝑡𝑖 időpillanatra lesz jellemző. Ez alapján például a ∆𝑠

∆𝑠0 ∆𝑡

hányados a 𝑡0 időpillanatra. Ha a ∆𝑡

időtartamot nullára csökkentjük, akkor a ∆𝑡0 hányados pontosan a 𝑡0 időpillanatbeli 𝑣0 sebességet adja. Matematikai megfogalmazásban: ∆s0 s(t1 ) − s(t 0 ) = lim , ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑡 1 →𝑡 0 t1 − t 0

𝑣(t 0 ) = lim

Az 1 ∆𝑠0

összefüggésben tehát a lim∆𝑡→0

∆𝑠0 ∆𝑡

𝑚 𝑣=0 1 𝑠

1

jelölés azt a valós számot jelenti, amelyhez a

hányados értéke tart, ha a ∆𝑡 időtartamot nullára csökkentjük. Az 1 összefüggéssel értelmezett sebességet pálya menti sebességnek, vagy röviden pályasebességnek nevezzük. Most ábrázoljuk a pálya menti sebességet az eltelt idő függvényében (4. ábra)! ∆𝑡


75. oldal

vt  vt 3 

v 2

vt 2  vt1  vt 0 

v1

v 0

t0

t1

t2

t3

t

4. ábra ∆v

A pont átlagos gyorsulását az 𝑖-edik szakaszon a ∆𝑡i hányados adja. Az ábrán látható esetben például a ∆𝑣𝑖 pályasebesség-változások monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás átlagos gyorsulása növekszik. A pillanatnyi pálya menti gyorsulást, vagy röviden pályagyorsulást a pálya menti sebességhez hasonlóan értelmezzük. Például a 𝑡0 időpillanatban: ∆v0 v(t1 ) − v(t 0 ) = lim , ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑡 1 →𝑡 0 t1 − t 0

𝑎(t 0 ) = lim

𝑚 𝑎 = 0 21 𝑠

2

Természetesen a pályakoordinátához és pálya menti sebességhez hasonlóan a pálya menti gyorsulást is ábrázolhatjuk az idő függvényében. Az 𝑠(𝑡), 𝑣(𝑡) és 𝑎(𝑡) függvényeket összefoglaló néven foronómiai függvényeknek nevezzük. A foronómiai függvényeket általában együtt, egymás alatt ábrázoljuk. 1.1.2 Egyenletes és egyenletesen változó mozgások A címben szereplő egyszerű mozgástípusokkal feladatmegoldás során gyakran találkozunk. Határozzuk meg, majd ábrázoljuk foronómiai függvényeiket! Egyenletes mozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi pont azonos ∆𝑡 időtartamok alatt azonos nagyságú s i pályaszakaszokat fut be (5. ábra), azaz: ∆𝑠0 = ∆𝑠1 = ∆𝑠2 = ⋯

3


76. oldal

st   st n  st 2  st1  s0  st 0 



s 0

0  t 0 t1 t 2 t 3

s s1 2

tn  t

t 5. ábra A t időtartammal a 3 egyenletet beosztva, majd ∆𝑡-vel nullához tartva: lim∆𝑡→0

∆𝑠0 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

∆𝑠1 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

∆𝑠2 ∆𝑡

= ⋯ = 𝑡𝑔𝛼

𝑣0 = 𝑣1 = 𝑣2 = ⋯ = 𝑡𝑔𝛼

4

Tehát egyenletes mozgás esetén az anyagi pont pálya menti sebessége időben állandó: 𝑣(𝑡) = 𝑣 = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó

5

A sebességre az 5. ábra alapján teljesül az alábbi összefüggés: s(t) − s(0) 6 t−0 A 6 összefüggést átrendezve megkapjuk az anyagi pont pályakoordináta-idő függvényét: 𝑣 = 𝑡𝑔𝛼 =

𝑠(𝑡) = 𝑠(0) + 𝑣 ∙ 𝑡

7

Egyenletesen változó mozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi pont azonos ∆𝑡 időtartamok alatt azonos nagyságú ∆𝑣𝑖 sebességváltozásokat szenved el (6. ábra), azaz: ∆𝑣0 = ∆𝑣1 = ∆𝑣2 = ⋯

8

vt   vt n  vt 2  vt1  v0  vt 0 



v 0

0  t 0 t1 t 2 t 3

t 6. ábra

tn  t

v v1 2


77. oldal

A ∆𝑡 időtartammal beosztva a fenti egyenletet, majd ∆𝑡-vel nullához tartva: lim∆𝑡→0

∆𝑣0 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

∆𝑣1 ∆𝑡

= lim∆𝑡→0

∆𝑣2 ∆𝑡

= ⋯ = 𝑡𝑔𝛽

𝑎0 = 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑡𝑔𝛽

9

Tehát egyenletes változó mozgás esetén az anyagi pont gyorsulása időben állandó: 𝑎(𝑡) = 𝑎 = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó

10

A gyorsulásra a 6. ábra alapján teljesül az alábbi összefüggés: v(t) − v(0) 11 t−0 A 11 összefüggést átrendezve megkapjuk a pályasebesség-idő függvényt: 𝑎 = 𝑡𝑔𝛽 =

𝑣(𝑡) = 𝑣(0) + 𝑎 ∙ 𝑡

12

A pályakoordináta-idő függvény származtatásához tekintsük a 7. ábrát! vt   vt n  vt 2  vt1  v0  vt 0 

v 0

v v1 2

s 0 s1 s 2 0  t 0 t1 t 2 t 3

tn  t

t

7. ábra A rövid ∆𝑡 időtartamú pályaszakaszokon a sebesség nem változik számottevően, így a mozgás egyenletesnek tekinthető. Ez a közelítés természetesen annál pontosabb, minél rövidebb a ∆𝑡 időtartam. Ennek megfelelően az 𝑖-edik pályaszakaszra: ∆𝑠𝑖 ≈ 𝑣(𝑡𝑖 ) ∙ ∆𝑡

13

Tehát a befutott pályaszakasz nagysága a ∆𝑡 alapterületű és 𝑣(𝑡𝑖 ) magasságú téglalap területével közelíthető. A fentiek alapján a ,0, 𝑡-időtartamon befutott pályaszakaszt az alábbi összeg közelíti: ∆𝑠 = 𝑠(𝑡) − 𝑠(0) ≈ 𝑣(𝑡0 ) ∙ ∆𝑡 + 𝑣(𝑡1 ) ∙ ∆𝑡 + ⋯ + 𝑣(𝑡𝑛−1 ) ∙ ∆𝑡

14

A fenti összeg nem más, mint a 7. ábrán látható téglalapok területeinek összege. A ∆𝑡 időtartam minél rövidebb – azaz minél több szakaszra bontjuk a mozgást – a fenti összeg annál pontosabban közelíti a befutott ∆𝑠 pályaszakaszt. Ezzel együtt a téglalapok terültének összege egyre pontosabban közelíti a 𝑣(𝑡) függvény és a 𝑡 időtengely által közrefogott trapéz területét. Az elmondottakból adódik, hogy a ∆𝑠 pályaszakasz hosszúsága egyenlő a fenti trapéz területével, azaz: v(0) + v(t) ∙𝑡 2 A 15 összefüggést átrendezve megkapjuk az 𝑠(𝑡)függvényt: ∆𝑠 = 𝑠(𝑡) − 𝑠(0) = 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑝 é𝑧 =

𝑠(𝑡) = 𝑠(0) +

v(0) + v(t) ∙𝑡 2

16

15


78. oldal

Felhasználva a 12 összefüggést: 𝑎 𝑠(𝑡) = 𝑠(0) + 𝑣(0) ∙ 𝑡 + ∙ 𝑡 2 17 2 Most ábrázoljuk az egyenletes és egyenletesen változó mozgások foronómiai függvényeit (8.

ábra)! Egyenletes

Egyenletesen változó

a

0a 0

0

t

t

v v

v(t )  v

0

0

t

s(t ) s(0)

v(t )  v0  a  t

v 0 

t

s(t ) s(t )  s0  v  t

s(t )  s0  v0  t 

s(0)

0

t

0

t

a 2 t 2 t

8. ábra 1. mintafeladat Egy gépkocsi a 10-es kilométerkőnél áll, amikor egy mozdony állandó, 𝑣 sebességgel elhalad mellette. A gépkocsi az elhaladás pillanatában állandó, 𝑎 gyorsulással üldözőbe veszi a mozdonyt.

Adatok: 𝑚 𝑣 = 36 0 1 𝑠 𝑚 𝑎 = 2 0 21 𝑠

a 0

10

v

km

Kérdések: a) Mennyi idővel az indulása után, és hol éri utol a gépkocsi a mozdonyt? b) Mekkora a gépkocsi sebessége az utolérés pillanatában?

Megoldás: a) Jelölje ∆𝑡 a gépkocsi indulásától a vonat utoléréséig eltelt időt. A gépkocsi sebessége a 10-es kilométerkőnél 𝑣(0) = 0. A fenti jelölésekkel: 𝑠𝑣𝑜𝑛𝑎𝑡 (∆𝑡) = 𝑠(0) + 𝑣 ∙ ∆𝑡 = 10000 + 10 ∙ ∆𝑡


79. oldal

𝑎 2 𝑠𝑘𝑜𝑐𝑠𝑖 (∆𝑡) = 𝑠(0) + 𝑣(0) ∙ ∆𝑡 + ∙ ∆𝑡 2 = 10000 + 0 ∙ ∆𝑡 + ∙ ∆𝑡 2 = 10000 + ∆𝑡 2 2 2 Az utolérés pillanatában: 𝑠𝑣𝑜𝑛𝑎𝑡 (∆𝑡) = 𝑠𝑘𝑜𝑐𝑠𝑖 (∆𝑡) 10000 + 10 ∙ ∆𝑡 = 10000 + ∆𝑡 2 ∆𝑡 = 10,𝑠Az utolérés helye: 𝑠𝑣𝑜𝑛𝑎𝑡 (∆𝑡) = 𝑠𝑘𝑜𝑐𝑠𝑖 (∆𝑡) = 10000 + 10 ∙ 10 = 10100,𝑚b) A gépkocsi sebessége az utolérés pillanatában: 𝑚 𝑣(∆𝑡) = 𝑣(0) + 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 0 + 2 ∙ 10 = 20 0 1 𝑠

2. mintafeladat 𝑚

A Föld felszínétől 500,𝑚- magasságban 10 0 𝑠 1 nagyságú kezdősebességgel lefelé hajítunk egy 𝑚

követ. A közegellenállástól eltekintünk. (𝑔 = 9,81 0𝑠 2 1) h0 v 0 

0

Kérdések: a) Milyen magasan lesz a kő a Föld felszínétől 4,𝑠- múlva? b) Mennyi idő alatt ér földet a kő, és mekkora ekkor sebességének nagysága?

Megoldás: A ködarab függőleges irányú, egyenes vonalú pályán mozog. A későbbiekben belátjuk, hogy 𝑚 gyorsulása időben állandó nagyságú, értéke Magyarország területén 𝑔 = 9,81 0𝑠 2 1, továbbá a gyorsulás értelme a Föld középpontja felé mutat. Legyen a pálya irányítása függőlegesen fölfelé mutató. Ekkor a kezdősebesség és a gyorsulás értéke negatív. h

h0 v 0 

0


80. oldal

𝑔

9,81

2

2

a) 𝑕(4) = 𝑕(0) + 𝑣(0) ∙ ∆𝑡 − ∙ ∆𝑡 2 = 500 − 10 ∙ 4 −

∙ 42 = 381,52,𝑚-

b) Jelölje az elhajítástól a földet érésig eltelt időt ∆𝑡 ∗ ! A földet érés pillanatában: 𝑔 9,81 0 = 𝑕( ∆𝑡 ∗ ) = 𝑕(0) + 𝑣(0) ∙ ∆𝑡 ∗ − ∙ ∆𝑡 ∗ 2 = 500 − 10 ∙ ∆𝑡 ∗ − ∙ ∆𝑡 ∗ 2 2 2 0 = −4,905 ∙ ∆𝑡 ∗ 2 −10 ∙ ∆𝑡 ∗ + 500 ∆𝑡 ∗1,2 =

10 ± 100 − 4 ∙ 4,905 ∙ 500 −9,81

∆𝑡 ∗ = 9,13,𝑠-

𝑚 𝑣( ∆𝑡 ∗ ) = 𝑣(0) − 𝑔 ∙ ∆𝑡 ∗ = −10 − 9,81 ∙ 9,13 = 99,57 0 1 𝑠 1.2 MOZGÁSLEÍRÁS VEKTORMENNYISÉGEKKEL Ha a mozgás pályája nem ismert, akkor a skaláris mozgásjellemzők nem alkalmasak a mozgás leírására. Ebben az esetben vektormennyiségeket kell bevezetni. 1.2.1 Vonatkoztatási- és koordinátarendszer Az anyagi pont mozgását mindig egy másik testhez, vagy testekhez viszonyítjuk, amelyek összességét vonatkoztatási rendszernek nevezzük. A vonatkoztatási rendszer matematikai leírása a koordinátarendszer. A koordinátarendszereknek több típusa van, itt mi csak a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel foglalkozunk. A mozgásjellemző vektoriális mennyiségeket (pl.: hely, sebesség, gyorsulás) ebben a rendszerben adjuk meg. Az anyagi pont (P) helyét a koordinátarendszer origójából a ponthoz húzott 𝑟 helyvektorral adjuk meg (9. ábra). z

.

P r

. x

y

..

. 9. ábra

A helyvektornak – és egyben a pontnak – térbeli mozgás esetén három, síkmozgás esetén két koordinátája van. Az egyes koordinátákat az 9. ábra értelmezi. A helyvektort általában az alábbi, oszlopvektoros formában adjuk meg: 𝑥 𝑟= 𝑦 18 𝑧


81. oldal

1.2.2 Hely-idő függvény és sebesség Tüntessük fel az anyagi pont helyét egyenlő t időközönként (P0, P1, P2, P3 pontok, 2. ábra)! Az egyes pontokhoz az 𝑟(𝑡0 ), 𝑟(𝑡1 ), 𝑟(𝑡2 ), 𝑟(𝑡3 ) helyvektorok tartoznak. e0

v0 r 0

P0

P1

r t1 

r t 0 

r1

P2

r 2

r t 2 

P3

r t 3 

O

pálya

10. ábra A helyvektort megadva az idő függvényében a pont hely-idő függvényét kapjuk. 𝑥(𝑡) 𝑟(𝑡) = 𝑦(𝑡) 𝑧(𝑡)

19

A hely-idő függvénybe egy konkrét időpontot helyettesítve megkapjuk a pont aktuális helyvektorát. Vezessük be az elmozdulás vektort, mint két időben egymást követő helyvektor különbségét. A későbbi időponthoz tartozó helyvektorból vonjuk ki a korábbi időponthoz tartozót (10. ábra). Azaz például Δ𝑟0 = 𝑟(𝑡1 ) − 𝑟(𝑡0 ). Minél rövidebb a t időtartam a Δ𝑟0 vektor annál inkább a mozgás irányába mutat, hosszúsága pedig közelíti a pályán befutott

P0P1 ív hosszát. Tehát Δ𝑡 csökkentve a

Δ𝑟 0

vektor iránya és nagysága közelíti a P0 pontbeli mozgásirányt és sebességnagyságot. A vektoriális sebességet a t0 időpillanatban ezek alapján az alábbi módon értelmezzük: Δ𝑡

Δ𝑟0 𝑟(𝑡1 ) − 𝑟(𝑡0 ) = lim Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑡 1 →𝑡 0 𝑡1 − 𝑡0

𝑣(𝑡0 ) = lim

20 Δ𝑟

A Δ𝑡 → 0 jelölés azt jelzi, hogy az elmozdulás időtartamát nullára csökkentve képezzük a Δ𝑡0 hányadost. Az így értelmezett sebesség iránya, értelme és nagysága már pontosan az adott időpillanathoz tartozó mozgásirány, értelem és sebességnagyság. A sebességvektor fontos tulajdonsága, hogy mindig a pálya adott pontbeli érintőjének irányába mutat.


82. oldal

1.2.3 Gyorsulás A gyorsulásvektor értelmezéséhez tekintsük a 11. ábrát! at 0 

hodográf

at1  at 2 

pálya vt1 

vt 0 

c, vt 2 

at1  at  2 at 0 

hodográf vt 3 

vt 0 

O’

a,

v 0

vt1 

v 1

vt 2 

v 2

vt 3 

b,

11. ábra Az ábra a részén felrajzoltuk az anyagi pont pályáját és feltüntettük rajta az anyagi pont sebességvektorát néhány, egymást követő időpillanatokban. Ezt követően a sebességvektorokat az ábra b részén látható O’ pontból, mint közös kezdőpontból felrajzoltuk. A sebességvektorok végpontjai – ha elég sűrűn vesszük fel őket – egy görbét rajzolnak ki, az úgynevezett sebesség hodográfot. A gyorsulást az ábra b része alapján hasonlóan értelmezzük, mint ahogy azt a sebesség esetében tettük. Csak most a Δ𝑟0 elmozdulás helyett, a Δ𝑣0 sebességváltozást használjuk a definícióban: Δ𝑣0 𝑣(𝑡1 ) − 𝑣(𝑡0 ) = lim Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑡 1 →𝑡 0 𝑡1 − 𝑡0

𝑎(𝑡0 ) = lim

21

Mint korábban említettük a sebesség a pálya adott pontbeli érintőjének irányába mutat. Ez alapján a gyorsulás iránya az ábra b részén látható hodográf görbe érintőjének iránya. Az ábra c részén feltüntettük a gyorsulásvektorokat. Fontos eredményre jutunk, ha a gyorsulásvektorokat átmásoljuk az ábra a részére, a pálya megfelelő pontjaiba. Látható, hogy a gyorsulás mindig a pálya belseje (homorú oldal) felé mutat!

2. ANYAGI PONT DINAMIKÁJA Tapasztalatból tudjuk, hogy egy test mozgásállapota egy másik test hatására megváltozhat. A mechanikában ezt a hatást egy erővel vesszük figyelembe, és azt mondjuk, hogy a test mozgásállapota a másik test által kifejtett erő hatására változott. Azaz a test mozgásállapotát a rá ható erők befolyásolják. A dinamika tárgya annak vizsgálata, hogy egy test a rá ható erők hatása alatt hogyan fog mozogni (milyen hely-, sebesség- és gyorsulás-idő


83. oldal

függvény szerint) vagy fordítva, a test előírt mozgásához milyen erőkre van szükség. Az utóbbi esettel a kényszermozgásoknál találkozunk. 2.1 NEWTON TÖRVÉNYEI A dinamika alapját Newton négy törvénye képezi. Ezeket most anyagi pont mozgására fogalmazzuk meg, de kiterjedt testek mozgására is általánosíthatók. Továbbá feltételezzük, hogy az anyagi pont tömege állandó. A dinamika alapfeltevése az, hogy mindig található olyan vonatkoztatási rendszer – úgynevezett inercia rendszer –, amelyben Newton törvényei teljesülnek. A műszaki mechanikában a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer ilyen. Az ehhez képest gyorsuló rendszerek nem inercia rendszerek. Bennük egy test akkor is gyorsuló mozgást végez, ha nincs kölcsönhatásban más testekkel. (pl. egy gyorsuló járműben, mint vonatkoztatási rendszerben, egy tárgy akkor is gyorsulhat, ha a rá ható erők eredője nulla!) Newton törvényei tehát inercia rendszerben teljesülnek.

Newton I. törvénye (tehetetlenség törvénye): Ha egy anyagi pont nincs kölcsönhatásban más testekkel, akkor sebessége időben állandó; azaz egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van. 𝑣(𝑡) = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó

22

Tehát a sebesség fenntartásához nem szükséges egy másik test hatása! (Például a világűrben elhajított kődarab egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, amíg egy égitest gravitációs mezejével kölcsönhatásba nem kerül)

Newton II. törvénye (mozgásegyenlet): Ha egy anyagi pont kölcsönhatásban van más testekkel, akkor azok együttes hatása minden időpillanatban egyértelműen meghatározza az anyagi pont tömegének és gyorsulásának szorzatát. A hatás jellemzésére az erő nevű fizikai mennyiséget vezetjük be, 𝐹 = ,𝑁- . Tehát: 𝐹 = 𝑚𝑎

23

Az anyagi pont tartós nyugalmi állapota esetén a gyorsulás zérus. Ebből adódóan Newton II. törvénye az alábbi, egyensúlyi egyenletté egyszerűsödik: 𝐹=0

24

Ha egy tartósan egyensúlyban lévő anyagi pontra ható ismeretlen erő meghatározása a feladat, akkor a 24 egyenletet kell felírni és megoldani.

Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás törvénye): Egy test és egy anyagi pont kölcsönhatása során minden pillanatban teljesül az alábbi egyenlőség: 𝐹𝑡𝑝 = −𝐹𝑝𝑡

25

Ahol 𝐹𝑡𝑝 a test által a pontra, 𝐹𝑝𝑡 pedig a pont által a testre kifejtett erő.

Newton IV. törvénye (erőhatások függetlenségének elve): Ha egy anyagi pontra több test is hatást

gyakorol,

akkor

a

Newton

II.

törvényében

szereplő


84. oldal

𝐹 erő helyére azon 𝐹𝑖 erők vektoriális összegét kell írni, amelyeket a testek külön-külön, a többi test hiányában fejtenének ki az anyagi pontra. Azaz az erők nem befolyásolják egymás hatását: 𝐹=

𝐹𝑖

26

𝑖

2.2 ERŐTÖRVÉNYEK Most számba vesszük a műszaki gyakorlatban leggyakrabban előforduló kölcsönhatásokat, és megadjuk az erőnek a kölcsönhatás paramétereitől való függését, azaz az erőtörvényt. Az erőtörvényeket általában kísérleti úton, méréssel határozzák meg. 2.2.1 Gravitációs erő Bármely két tömeggel rendelkező test között fellép a gravitációs erő, amely mindig vonzó jellegű (12. ábra). m Fg

M

er

r

12. ábra Az erő nagyságát pontszerű, vagy gömbszimmetrikus testek esetén az alábbi összefüggés adja, 𝐹𝑔 = 𝛾

mM 𝑟2

27

Nm 2

ahol 𝛾 = 6,679 ∙ 10−11 0 𝑘𝑔 2 1, a gravitációs állandó, 𝑚 és 𝑀 a két test tömege, 𝑟 pedig a két test geometriai középpontjának távolsága. Az erő nagysága akkor érzékelhető, ha legalább az egyik test nagyon nagy tömegű (pl. egy égitest). Ebben az esetben be szokták vezetni a nagy 𝑀 tömegű test középpontjából a kis 𝑚 tömegű testhez mutató 𝑟 helyvektort, vagy a belőle 𝑟 képzett 𝑒𝑟 = 𝑟 egységvektort. Ekkor az 𝑚 tömegű testre ható erő: mM mM 𝑒𝑟 = −𝛾 3 𝑟 28 2 𝑟 𝑟 A műszaki gyakorlatban a nagy tömegű test általában a Föld. A Föld felszínén, vagy annak közvetlen közelében mozgó testek esetén az 𝑟 távolság változása az 𝑅𝐹 Földsugárhoz képest elhanyagolható, így a gravitációs erő nagysága állandónak tekinthető és az alábbi, egyszerű formában írható: 𝐹𝑔 = −𝛾

𝐹𝑔 = 𝛾

𝑀𝐹 𝑚 = 𝑔𝑚 = á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó 𝑅𝐹2

29


85. oldal

Az összefüggésben g a gravitációs gyorsulás nagyságát, 𝑀𝐹 és 𝑅𝐹 a Föld tömegét és sugarát jelöli. Mivel a Föld nem tökéletesen gömb alakú, a gravitációs gyorsulás nagysága kis m mértékben függ a földrajzi helytől, értéke Magyarország területén 𝑔 = 9,81 0𝑠 2 1. 2.2.2 Rugalmas erő Ha egy spirálrugót megnyújtunk vagy összenyomunk, akkor az a rugó hossztengelyével egyirányú, a megnyúlással/összenyomódással ellentétes értelmű erőt fejt ki. r

P

Fr r*

P*

r

er

C

13. ábra A rúgóerő előjeles nagyságát az alábbi összefüggés szolgáltatja, N 30 m ahol 𝑐 a rúgóállandó vagy rugómerevség, ∆𝑟 a rúgó megnyúlása/összenyomódása, amely megnyúlás esetén pozitív, összenyomódás esetén pedig negatív előjelű. 𝐹𝑟 = −𝑐Δr,

c=

A rúgóerőt vektorosan az alábbi összefüggés adja, 𝐹𝑟 = −𝑐Δr𝑒𝑟 = −𝑐(𝑟 − 𝑟 ∗ )𝑒𝑟

31

ahol 𝑟 ∗ és 𝑟 az anyagi pontnak a rugó rögzített 𝐶 végponttól mért távolsága a rugó terheletlen, és megnyújtott (összenyomott) állapotában, 𝑒𝑟 pedig a 𝐶 pontból az anyagi pont irányába mutató egységvektor. 2.2.3 Közegellenállási erő Egy folyadékban, vagy gázban mozgó testre közegellenállási erő hat, amely a test pillanatnyi sebességével azonos irányú, de ellentétes értelmű. Kis sebességek esetén az erő nagysága a közeghez viszonyított sebesség első, a sebesség növelésével egyre inkább annak második hatványával arányos. (Kis sebességről addig beszélünk, amíg a közeg örvénymentesen áramlik a test körül.) Ha a test speciálisan gömb alakú, kis sebességeknél teljesül a Stokestörvény: 𝐹 = −6πRη𝑣

32


86. oldal

Az összefüggésben 𝑅 a gömb sugara η pedig a folyadék vagy gáz viszkozitása. A viszkozitás a folyadék belső súrlódását jellemzi. Nagyobb sebességeknél az erő nagyságára – számos gyakorlati esetben – teljesül az alábbi összefüggés: 𝐹 =

1 CAϱv 2 2

33

Az erőt vektorosan felírva: 1 𝐹 = − CAϱvv 34 2 Az egyenletben szereplő 𝐶 konstans az alaki tényező (a test „áramvonalasságát” jellemzi), az 𝐴 konstans a test homlokfelülete (legnagyobb felülete a sebességre merőleges irányban), ϱ a közeg sűrűsége. 2.2.4 Kényszererők Számos gyakorlati esetben a tömegpont csak egy előírt felület, vagy pálya mentén mozoghat. Erre példa egy vasúti kocsi, amely csak a sínen haladhat, vagy egy nyújthatatlan kötélre függesztett pontszerű test, amelynek mozgása egy gömbfelületre korlátozott. De példaként említhetjük egy síkfelületű lejtőn, vagy hepehupás dombvidéken haladó gépkocsit, amelynek mozgási felülete a terepviszonyok által meghatározott. Az előírt pályán/felületen történő mozgást minden esetben egy merev (nem deformálható) test által kifejtett erő biztosítja. A fenti példákban a merev test a sín, kötél, lejtő, dombvidék, amelyeket összefoglaló néven kényszereknek nevezünk, a kényszerek által kifejtett erőt pedig kényszererőnek. A kényszererőkre mindig teljesül valamilyen feltétel. A kötélerő kötélirányú és húzó jellegű. Egy ideálisan sima, súrlódásmentes felület által kifejtett kényszererő a felületre merőleges irányú és nyomó jellegű. Egy súrlódásmentes görbe által kifejtett kényszererő pedig mindig a pálya érintőjére merőleges. A valóságban minden felületnek van érdessége, ami azt eredményezi, hogy a kényszererőnek a felület síkjába eső (görbe érintőjének irányába mutató) komponense is van. Ezt a komponenst mozgó pont esetén csúszási súrlódási, míg nyugvó pont esetén tapadási súrlódási komponensnek nevezzük. A csúszási súrlódási komponens mindig a tömegpont sebességével egyező irányú és ellentétes értelmű (14. ábra), nagysága arányos a felületre (görbe érintőjére) merőleges komponens nagyságával. 𝐹𝑠 = 𝜇𝐹𝑛 ,

(𝜇 = 𝑡𝑔𝛼)

35

Fk  Fs  Fn

Fk

Fk n

Fs

0

Fn



Fn



v

Ft max

Ft

e

Fk  Ft  Fn

n e Súrlódási kúp

14. ábra


87. oldal

A felület érdességét jellemző 𝜇 arányossági tényezőt (csúszási) súrlódási tényezőnek nevezünk. Nyugvó pont esetén, rögzített nagyságú 𝐹𝑛 nyomókomponens mellett, az 𝐹𝑡 tapadási súrlódási komponensnek létezik egy 𝐹𝑡𝑚𝑎𝑥 maximális értéke, amely fölé nem emelkedhet, mert akkor bekövetkezik a megcsúszás. Ez a maximális érték arányos az 𝐹𝑛 komponens nagyságával. Az arányossági tényezőt tapadási súrlódási tényezőnek nevezzük, jele: 𝜇0 . Tehát: 𝐹𝑡𝑚𝑎𝑥 = 𝜇0 𝐹𝑛 ,

(𝜇0 = 𝑡𝑔𝛼0 )

36

Az elmondottakból adódik, hogy az 𝐹𝑘 kényszererő mindig egy olyan kúpon belül, vagy határesetben annak alkotóján helyezkedik el, amelynek csúcsa egybeesik az anyagi ponttal, szimmetria tengelye a nyomókomponens egyenese, fél nyílásszögét pedig az 𝛼0 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝜇0 összefüggés definiálja. A fenti kúpot súrlódási kúpnak nevezzük (14. ábra). Az elmondottak alapján tehát mindig teljesül az alábbi egyenlőtlenség: 𝐹𝑡 ≤ 𝜇0 𝐹𝑛 = 𝐹𝑡𝑚𝑎𝑥

37

2.2.5 Molekulák és atomok között fellépő erő A molekulák (atomok) között fellépő erőket csak minőségileg írjuk le, mennyiségileg nem. A 6. ábrán két molekula (atom) között fellépő erőt ábrázoltuk a két molekula (atom) távolságának függvényében. A taszító erőt pozitív, míg a vonzóerőt negatív előjellel tüntettük fel. F

r d0 d max

15. ábra Az ábráról leolvasható, hogy létezik egy 𝑑0 egyensúlyi távolság, amelynél a két molekula (atom) által egymásra kifejtett erő nagysága nulla. Ha ennél közelebb visszük a két molekulát egymáshoz, akkor taszítóerő lép fel, amelynek nagysága a távolság csökkentésével rohamosan nő, ha távolabb, akkor vonzóerő, amely egy 𝑑𝑚𝑎𝑥 távolságig nő, majd fokozatosan nullára csökken. 2.3 MOZGÁSEGYENLET Newton II törvénye mozgásegyenlet néven is ismert. A mozgásegyenletbe beírva az erőtörvények konkrét alakját, egy differenciál egyenletet kapunk. A differenciálegyenletek megoldása általában komoly matematikai nehézséget jelent. A legegyszerűbb esetet az jelenti, amikor az egyenletben szereplő erők nem függnek a tömegpont sebességtől és helyétől. Ekkor


88. oldal

a gyorsulás-idő függvény (ha az erők függetlenek az időtől, akkor speciálisan a gyorsulás értéke) a tömeggel való osztás után közvetlenül adódik. 2.4 PÉLDÁK 2.4.1 Hajítási problémák Hozzunk mozgásba a vízszinteshez képest  szögben, v0 nagyságú kezdősebességgel egy anyagi pontot: hajítsunk el például egy kődarabot! Ha a dobás elég nagy, akkor a kő méretei a pálya méretei mellett elhanyagolhatóak, így a követ anyagi pontnak tekinthetjük. Tekintsünk el a közegellenállástól. Ekkor a kőre csak a gravitációs erő hat, amely minden pillanatban a Föld középpontja felé mutat. A kő mozgásegyenlete: 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎

𝑎=𝑔

38

Tehát a gyorsulásvektor is a Föld középpontja felé mutat, és állandó g nagyságú. y v0 

v0 y 

y0

v0  x

r 0  g

x

x0

z

16. ábra Vegyük fel az ábrán látható derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a mozgás kezdeti pillanatát jellemző 𝑟0 és 𝑣0 vektorok, valamint a 𝑔 vektor az xy síkba essenek. Ekkor a mozgás az xy síkban zajlik, így a z koordináta a mozgás leírásában nem játszik szerepet. A gyorsulás, a kezdeti sebesség, és a kezdeti hely koordinátái: 𝑔=

0 −𝑔

39 , 𝑣(0) =

𝑣𝑥 (0) 𝑣(0)𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑣𝑦 (0) 𝑣(0)𝑠𝑖𝑛𝛼

40 , 𝑟(0) =

𝑥(0) 𝑦(0)

41

A gyorsulás x irányú komponense zérus, y irányú komponense állandó g nagyságú. Ebből adódóan a mozgás x irányban egyenletes, y irányban egyenletesen változó. Tehát a kő sebesség- és hely-idő függvényeinek komponensei: 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣𝑥 (0) 𝑥(𝑡) = 𝑥(0) + 𝑣𝑥 (0)𝑡 Tömör vektoriális jelöléssel:

42 ,

𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣𝑦 (0) − 𝑔𝑡

43 𝑔

44 , 𝑦(𝑡) = 𝑦(0) + 𝑣𝑦 (0)𝑡 − 2 𝑡 2

45


𝑣𝑥 (0) 𝑣𝑦 (0) − 𝑔𝑡

𝑣(𝑡) =

46 ,

𝑟(𝑡) =

89. oldal 𝑥(0) + 𝑣𝑥 (0)𝑡 𝑔 𝑦(0) + 𝑣𝑦 (0)𝑡 − 𝑡 2 2

47

3. mintafeladat 𝑚

Egy lövedéket a vízszintessel 40°-os szöget bezáró, 100 0 𝑠 1 nagyságú kezdősebességgel kilövünk. A közegellenállástól eltekintünk.

v0 P



d

a) Vegyünk fel célszerű koordinátarendszert a mozgás leírásához, majd határozzuk meg a lövedék helyvektorát a kilövés után 2s-mal! b) Milyen távol van ekkor a lövedék a kilövés helyétől, és mekkora sebességének nagysága? c) Milyen d távolságban ér földet a lövedék a kilövés helyétől?

Megoldás: y v2  v0 

P

r 2 

x

r t1 

a) Először felírjuk a lövedék kezdeti hely és sebességvektorát, valamint a gravitációs gyorsulást. 0 𝑟(0) = . / [𝑚] 0 𝑣(0)𝑐𝑜𝑠𝛼 76,6 𝑚 100𝑐𝑜𝑠40° 𝑣(0) = =. /=. /0 1 64,3 𝑠 𝑣(0)𝑠𝑖𝑛𝛼 100𝑠𝑖𝑛40° 𝑚 0 𝑔=. / 0 21 −9,81 𝑠 Ezt követően felírjuk a lövedék hely-idő függvényét. 𝑟(𝑡) = 𝑟(0) + 𝑣(0)𝑡 +

𝑔 2 76,6𝑡 76,6 0 0 𝑡 =. /+. /𝑡 + . / 𝑡2 = [𝑚] 64,3 −4,905 64,3𝑡 − 4,905𝑡 2 0 2

Most helyettesítsük be a 2s-ot a t helyére: 𝑟(2) =

76,6 ∙ 2 153,21 =. / [𝑚] 108,93 64,3 ∙ 2 − 4,905 ∙ 22

b) A kérdéses távolság nem más, mint a helyvektor hosszúsága:


𝑥(2)2 + 𝑦(2)2 =

𝑟(2) =

90. oldal

153,212 + 108,932 = 187,99[𝑚]

A sebesség nagyságának kiszámításához fel kell írnunk a lövedék sebesség-idő függvényét: 𝑣(𝑡) = 𝑣(0) + 𝑔𝑡 𝑣(𝑡) = .

𝑚 76,6 0 76,6 /+. /𝑡 = . /0 1 64,3 −9,81 64,3 − 9,81𝑡 𝑠

A sebesség-idő függvénybe 2s-ot behelyettesítve: 76,6 76,6 𝑚 𝑣(2) = . /=. /0 1 64,3 − 9,81 ∙ 2 44,66 𝑠 𝑚

76,62 + 44,662 = 88,67 0 𝑠 1

A sebesség nagysága: 𝑣(2) =

c) Induljunk ki a hely-idő függvényből: 𝑟(𝑡) =

76,6𝑡 [𝑚] 64,3𝑡 − 4,905𝑡 2

𝑑 A földet érés pillanatában a lövedék helyvektora 𝑟(𝑡1 ) = . / [𝑚], ahol 𝑡1 a kilövéstől a földet 0 érésig eltelt időt jelenti. Ezt felhasználva: 76,6𝑡1 𝑑 . / = 𝑟(𝑡1 ) = [𝑚] 64,3𝑡1 − 4,905𝑡12 0 Innen az alábbi egyenletrendszert kapjuk: I.

𝑑 = 76,6𝑡1

II. 0 = 64,3𝑡1 − 4,905𝑡12

𝑡1 = 13,1[𝑠]

𝑡1 -et behelyettesítve az első egyenletbe megkapjuk a keresett távolságot: 𝑑 = 76,6 ∙ 13,1 = 1003,46[𝑚]

4. mintafeladat A vízszinteshez képest milyen 𝛼 szögben kell elhajítani egy pontszerű testet, hogy ugyanolyan magasra emelkedjék, mint amilyen távol ér vissza az elhajítás szintjére? A közegellenállástól eltekintünk.

Megoldás: Jelöljük az elhajítástól a pálya tetőpontjának eléréséig eltelt időt 𝑡1 -gyel. A tetőpontban a sebesség y irányú komponense nulla. Ezt felhasználva: 𝑣𝑥 (0) 𝑣 (0) 𝑣(𝑡1 ) = . 𝑥 /= 𝑣𝑦 (0) − 𝑔𝑡1 0 𝑣𝑥 (0)𝑡1 𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑔 𝑟(𝑡1 ) = .𝑦 /= = 𝑚𝑎𝑥 𝑣𝑦 (0)𝑡1 − 𝑡12 2

𝑡1 =

𝑣𝑦 (0) 𝑔 𝑣𝑥 (0)

𝑣𝑦 (0) 𝑔

𝑣𝑦 (0) 𝑔 𝑣𝑦 (0) 𝑣𝑦 (0) − 𝑔 2 𝑔

A földet érés helyének az elhajítás helyétől mért távolsága:

2

=

𝑣𝑥 (0)𝑣𝑦 (0) 𝑔 𝑣𝑦 (0)2 2𝑔


𝑑𝑚𝑎𝑥 = 2𝑥𝑚𝑎𝑥 = A feladat feltétele szerint: 𝑑𝑚𝑎𝑥 = 𝑦𝑚𝑎𝑥

91. oldal 2𝑣𝑥 (0)𝑣𝑦 (0) 𝑔

𝑣𝑦 (0) 𝑣𝑥 (0)

= 4 = 𝑡𝑔𝛼

𝛼 = 76°

2.4.2 Mozgás érdes lejtőn

5. mintafeladat Egy m tömegű, pontszerű testet egyenes vonalú, a vízszintessel 𝛼 szöget bezáró, érdes lejtőn állandó 𝐹 erővel, Δ𝑡 ideig húzunk felfelé.

Adatok:

F

m F = 5,kN-, m = 500,kg-, v0 = 0 0 1 s Δ𝑡 = 3,𝑠-, 𝜇0 = 0,3, 𝜇 = 0,1



0 , 

m

𝛼 = 30°, 𝛽 = 10°

 a, Elegendő-e a megadott erő nagysága a test megmozdításához? b, Ha igen, akkor mekkora a test gyorsulása, és a talaj által kifejtett kényszererő nagysága a mozgás során?

c, Mekkora lesz a test pályasebessége

t

idő elteltével, ha kezdetben nulla volt?

d, Mekkora s pályaszakaszt fut be a test a megadott

t

idő alatt.

Megoldás: a, Feltételezzük az egyensúlyt: n

F sin 

Fn

F F cos 



Fk Ft

mg cos 

mg sin



mg

Egyensúlyi egyenlet: 𝐹𝑖 = 𝐹 + 𝐹𝑔 + 𝐹𝑘 = 0 𝑖

𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 −𝐹𝑡 −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 0 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽 + −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑛 = 0 0 0 0 0 I. 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝐹𝑡 = 0 𝐹𝑡 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

e


II. 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑛 = 0

92. oldal

𝐹𝑛 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽

A test nyugalomban marad, ha: 𝐹𝑡 ≤ 𝜇0 𝐹𝑛 , azaz: 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 ≤ 𝜇0 (𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽) 500𝑐𝑜𝑠10° − 500 ∙ 9,81𝑠𝑖𝑛30° ≤ 0,3 ∙ (500 ∙ 9,81𝑐𝑜𝑠30° − 5000𝑠𝑖𝑛10°) 2471,53,𝑁- > 1013,88[𝑁]  a test elmozdul.

b, n

F sin 

Fn

F F cos 



Fk

e

Fs mg cos 

mg sin

mg



Mozgásegyenlet: 𝐹𝑖 = 𝐹 + 𝐹𝑔 + 𝐹𝑘 = 𝑚𝑎 𝑖

𝑚𝑎 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 −𝐹𝑠 −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 0 + + = −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑛 0 0 0 0 I. 𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼𝑡 − 𝐹𝑠 = 𝑚𝑎

II. 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝑛 = 0

𝐹𝑛 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽

A kényszererő komponensei közötti kapcsolat: III. 𝐹𝑠 = 𝜇𝐹𝑛 I. 𝑎 =

𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽 −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 −𝜇 (𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽 ) 𝑚

𝑚

= 4,27 0𝑠 2 1

A kényszererő nagysága: 𝐹𝑘 = 𝐹𝑠2 + 𝐹𝑛2 = (𝜇𝐹𝑛 )2 + 𝐹𝑛2 = 𝐹𝑛 𝜇 2 + 1 = 3396,45[𝑁] c, m 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎Δt = 4,27 ∙ 3 = 12,81 0 1 s

d, 𝑎 4,27 2 Δs = 𝑣0 Δt + Δt 2 = ∙ 3 = 19,21,m2 2 2.4.3 Statikai példák

6. mintafeladat Az ábrán látható m tömegű, pontszerű test nyugalomban van.


93. oldal

Adatok: 

F

F = 150,N-, 𝛼 = 30°

m a) Rajzoljuk be a testre ható erőket! b) Válasszunk egy célszerű koordinátarendszert, és írjuk fel benne a test egyensúlyi egyenleteit, majd határozzuk meg a kötélben ébredő erő nagyságát, valamint a test tömegét! c) Szerkesszük meg a kötélerőt, valamint a testre ható gravitációs erőt!

Megoldás: a) y K  sinα K

F

x



K  cosα

mg

b)

𝑖

I. 𝐾𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹 = 0

0 𝐾𝑐𝑜𝑠𝛼 −𝐹 0 𝐹𝑖 = 𝐾 + 𝐹 + 𝑚𝑔 = . /+. /+ =. / −𝑚𝑔 𝐾𝑠𝑖𝑛𝛼 0 0 𝐾𝑐𝑜𝑠30° − 150 = 0

II. 173,2 ∙ 𝑠𝑖𝑛30° − 𝑚 ∙ 9,81 = 0

𝐾 = 173,2[𝑁]

𝑚 = 8,83[𝑘𝑔]

c) F

 K

mg

7. mintafeladat Az ábrán látható, nyújthatatlan fonálhoz erősített m tömegű, d átmérőjű pingponglabdát szélsebesség mérésére használjuk. Egy adott szélerősségnél megmérjük a fonál függőlegessel bezárt  szögét, a gömb C alaki tényezője ismert.


94. oldal

Adatok: m = 2,465,g-, d = 37,7,mmC = 0,45, 𝜌𝑙𝑒𝑣𝑒𝑔 ő = 1,204



𝑘𝑔 𝑚3

y

K

𝛼 = 30°

 F sz

x

mg

Kérdés: Határozzuk meg a megadott adatokból a mozgó levegő (szél) által a nyugvó labdára kifejtett Fsz közegellenállási erő nagyságát, majd abból a szélsebességet!

Megoldás: Felírjuk a labda egyensúlyi egyenletét: 𝐹𝑘 + 𝑚𝑔 + 𝐹𝑠𝑧 = 0 A mozgás leírásához az ábrán látható koordinátarendszert választjuk, majd az összes erőt x és y komponensekre bontjuk. A labda egyensúlyi egyenlete ezt követően: −𝐹𝑘 𝑠𝑖𝑛𝛼 0 𝐹 0 + + . 𝑠𝑧 / = . / −𝑚𝑔 𝐹𝑘 𝑐𝑜𝑠𝛼 0 0 Ebből az alábbi két skaláregyenlet adódik: 𝐼. −𝐹𝑘 𝑠𝑖𝑛𝛼 + −𝐹𝑠𝑧 = 0 𝐼𝐼. 𝐹𝑘 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑚𝑔 = 0 A fenti egyenletekből: 𝑚𝑔

𝐹𝑠𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0,014[𝑁],

1

𝐹𝑠𝑧 = 2 𝜌𝐴𝐶𝑣 2

𝑣=

2𝐹𝑠𝑧 𝜌𝐴𝐶

𝑚

= 6,805 0 𝑠 1

T T A. Természettudományi. alapismeretek. Segédlet a. című tárgyhoz. matematika geometria fizika. Összeállította:

Recommend Documents