Tijdschrift voor wiskundeonderwijs Januari 2009 nummer 7
vector
��� ������
�������� ����������� �����������������������
���������������������������������� ������������ ��������
������ INHOUD
VOORWOORD
��� ������
�����
��������������������������
�����������
Eerst en vooral wensen we iedereen een gelukkig en voorspoedig Nieuwjaar. Wist je trouwens al dat op 12 februari 2009 het startschot wordt gegeven voor het internationale jaar van Charles Darwin? Naar aanleiding van de 200e
2
verjaardag van deze wetenschapper, worden er dit jaar een heleboel leuke
Voorwoord
initiatieven op poten gezet, waaronder een theatermonoloog van De Goesting, ism. prof. Braeckman (UGent) en met steun van het Koninklijk museum voor
3
Natuurwetenschappen in Brussel. Er is een jongerenversie voor 16-18 jarigen
Op zoek naar een mensenmaat
en een versie voor 10-12 jarigen. Reserveren kan nu al (max. 50 leerlingen) op 016 / 25 43 08. Darwin moet wel delen, want 2009 is tevens het jaar van de
7
sterrenkunde.
Bezoek van Edo Timmermans
We geven in deze Vector al een kleine knipoog naar π-dag in maart, met het wel zeer smakelijke artikel over ChocoPI’s ®. Misschien ben je straks zo geïnspireerd
8
Lees- en kijktips
door dit artikel dat jouw school een groot vak-, vorm- en richtingsoverschrijdend
10
weten!
schoolproject organiseert tijdens de GWP-week? Onze redactie wil het graag
Kangoeroe zonder grenzen Vector laat ook een architect-kunstenaar aan het woord over zijn opvattingen
12
naar de ideale mensenmaat, probeert leerkrachten uit de eerste graad warm te
Zelf chocoladeletters maken
maken voor de Vlaamse Kangoeroewedstrijd en biedt zijn lezers weer enkele leuke boekbesprekingen aan.
18
Frimoutprijs GO!
In
er k j i k de
Veel plezier!
������������������������� ��������������� ������������������������������������������������������������
� ��������� ������ ��������� ��� �������������� ������ ������������������ �������� ���������������������� ���������� ����������������� ������������ ������������ ����� ������������� ������� ������������� ������ ������������������ �������������������������� ����������� ��������������� ��������������� �������� ������������ ������� ������ ����� � ������ ����������� ���������� ����� �������������� ����� ��������������� ��������� ���������������� ������ ������������������������� ���������� ������������������������� ��������������� ����������
������
����� ����������������� �����������������
2
vector
Voorbij de limiet: wiskunde, aardrijkskunde en sterrenkunde In dit boek stellen we ons op de kruising van deze drie wetenschappen. Wiskunde komt hier voornamelijk van pas om dingen te meten, op ons aardoppervlak, maar ook ver weg in het heelal. “Meten” moeten we opvatten in een zeer ruime zin: we meten afstanden, tijd, gebeurtenissen, helderheid, licht. Wat we in de eerste plaats beogen is het geven van een wiskundige verklaring van bepaalde natuurfenomenen, die soms verrassend blijken te zijn. Doelgroep: 3e graad aso - tso - kso Auteur: Hendrik Van Maldeghem ISBN 978 90 8661 673 2 Bestelnr. 94.404.0100 € 18
Op zoek naar een mensenmaat:
Gesprek met Lubroc, architectkunstenaar over architectuur, getallen en de mensenmaat. Interview: Luc Gheysens
Lubroc is de codenaam van architect en beeldconstructeur Louis Broc. Wie in de streek Zuid-West-Vlaanderen woont, is vast en zeker vertrouwd met enkele van zijn projecten. Met hem had ik onlangs een verrassend gesprek over de mens en zijn plaats binnen de architectuur. Het gesprek ging al vlug over in de betekenis van de getallen en de verhoudingen binnen het menselijke lichaam.
Als architect en kunstenaar kijk je ongetwijfeld anders tegen getallen en maten aan dan een wiskundeleraar. Heeft de mens volgens jou altijd een natuurlijke behoefte gehad om te meten? Inderdaad. We kunnen ons voorstellen dat de primitieve mens met zijn ogen grootheden en afstanden leerde inschatten zoals een roofdier zijn prooi bespiedt vooraleer aan te vallen. Daarbij was zijn eigen lichaam maatbepalend. Gaandeweg ging die mens zijn armen en benen inzetten om metingen uit te voeren. Denken we maar aan de lengtematen zoals een voet, een hand, een el … Van hieruit was het een kleine sprong om een stok of een staaf ter hand te nemen en die als meetinstrument te gebruiken.
Hiermee kon hij dan bijvoorbeeld de lengte van een bamboestengel of de hoogte van een boomstam opmeten om er een hut of een dak mee te construeren. Maar wat deed hij dan om de omtrek van die stengel of die stam te meten? Daarvoor had hij een touw nodig of haar dat tot een touw is vervlochten. Zo komen we op een vrij natuurlijke manier tot de afmetingen van een haar. Een mensenhaar kan tot 600 cm lang worden. De dikte daarentegen bedraagt slechts 0,01 cm of 0,1 mm. Voor mij is dit een fundamentele maat die ik met hm aanduid: 1 hm = 0,1 mm.
3
Wie meten zegt, zegt ook getallen. Zijn er getallen die voor jou een speciale betekenis hebben? Als we het hebben over het opmeten van de omtrek van een bamboestengel of een boomstam komen we uiteraard bij het getal π = 3,14159... terecht. Als we aan een afmeting van 3,14159 m 1/10 hm toevoegen, krijgen we 3,14160 m. Het getal 314160 is op zich al merkwaardig omdat het deelbaar is door 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8. Zelfs het eigenzinnig cijfer 7 blijkt een deler te zijn van 314160. Bovendien levert de deling een merkwaardig geheel getal als quotiënt op, zoals mijn rekenmachine aangeeft 0,4488a. Reeds in de 6e eeuw vond de Indiër Aryabhatta de benaderende waarde �� �� � ��������� van � � ��������� � b Archimedes te grof en nam hij ����� ����� � ������ � � � ���� aan als ‘exacte’ waarde voor ����� ����� π. Maar � � � over het getal π valt er nog veel � � � � � � �� ������� � � � �� ������� � meer �te vertellen als we het hebben over � � ���� de lengte van een mens en over de ver������ houdingen van de verschillende onderde������ ������ len�� van het menselijk lichaam. � � ������ ������
a
b c
4
Ben je dan zelf op zoek gegaan naar een beschrijving van de maten van de mensengestalte zoals bijvoorbeeld Leonardo da Vinci die probeerde weer te geven in ‘de man van Vitruvius’? �� Zeker, hiermee ben ik jaren bezig ge� ��������� � weest en het houdt me nog steeds in de ����� ban. Vandaag is�bijvoorbeeld de ‘gulden ������ ����� snede’ of het gouden getal ϕ van Fibonacci � � � � � � �een vedette ��� � ����echte � geworden. Zo hebben heel wat auteurs ������ dit getal arbitrair of abusief in verband ������ gebracht met architectuur en met ver� houdingen binnen het menselijk lichaam. � wel de beroemde ‘Uomo Iedereen kent Vitruviano’ (mens ������ van Vitruvius) van Leonardo da Vinci. Dat logo leent zich gemakkelijk tot misplaatste mystieke interpretaties van het getal ϕ.c Ik geef persoonlijk de voorkeur aan het getal π als praktische maat voor de rondboog in de architectuur van de Romeinen. Vitruvius was een Romeins architect die vermoedelijk leefde ten tijde van Caesar en Augustus. Hij schreef een standaardwerk ‘Vitruvii de architectura libri decem’, dat bestaat uit tien boekdelen waarin hij de constructie van gebouwen behandelt. Boek drie is hoofdzakelijk gericht op de metriek van het menselijk lichaam. Hierin gaat hij op zoek naar een goede maat voor de gestalte van de mens, canon genoemd. Hij stelt de mens op binnen een cirkel en een vierkant
met als vertrekpunt de navel die hij het natuurlijk centrum noemt. Aanvankelijk worden de armen gestrekt in de hoogte zodat de vingertoppen en de teentoppen de cirkel raken. Vervolgens worden de armen gespreid in de breedte zodat de figuur omkaderd wordt door een vierkant. Vitruvius liet geen schetsen na, maar het was duidelijk zijn bedoeling om via deze denkoefeningen naar redelijke afmetingen voor de toegang tot een gebouw te komen, zowel in de hoogte als in de breedte. De geometrische afmetingen van Vitruvius kloppen niet met de natuurlijke maten van de mens. Zo is het natuurlijk centrum van het menselijke lichaam het geslacht en niet de navel. Ook is de aanzet van de armen en daarbij de schouder-
N.v.d.r.: elke kunstenaar/tekenaar heeft zo zijn eigen ideale maten voor het menselijk lichaam. De meesten werken met gemakkelijke verhoudingen of met klassieke verhoudingen, waar inderdaad de gulden snede enkele malen in voorkomt, maar enkelingen werken met zelf gevonden toevalligheden, zoals Lubroc. Dus alle toespelingen op π,√2 en de rij van Fibonacci zijn middeltjes van de artiest om er “iets” in te zien en een zekere geheimzinnigheid te creëren. Zo ook het getal 314160 dat de delers 1,2,3,4,5,6,7 en 8 heeft. Het schrikkelt wel lekker 9 over en gaat dan verder met 10, 11 en 12. Goed gezien, maar wel toeval. N.v.d.r.: Archimedes heeft bewezen dat π ligt tussen 223/71= 3,1408... en 22/7=3,1428... en heeft die laatste benadering nooit als ‘waarde’ beschouwd. N.v.d.r.: Lubroc zegt dat vele auteurs ϕ “ten onrechte” in verband brachten met het menselijke lichaam, maar doet dat iets verder in dit artikel zelf ook, met name door de getallen 89 en 144 te gebruiken, wiens verhoudingen uitzonderlijk dicht bij ϕ liggen, wat geen toeval is omdat dit twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonnacci zijn.
vector
�� � ��������� � ����� � ������ �����
hoogte niet drie vierden maar vier vijfden van de lichaamslengte (178 cm). Vitruvius berekent de armlengte op drie achtsten (67 cm) terwijl de natuur naar zeven zestienden (78 cm) neigt. In de loop van de voorbije eeuwen ontstonden heel wat interpretaties van het werk van Vitruvius, maar we kunnen gerust stellen dat het allemaal slechts gedeeltelijke studies waren. We vermelden hier Leonardo da Vinci (1452-1519), Albrecht Dürer (1471-1528), Agrippa von Nettesheim (1486-1535), Daniele Barbaro (1514-1570), Claude Perrault (1613-1688) en Ernst Neufert (Bauentwurfslehre, 1936). Ze behandelden enkel de spreidstand in de breedte, terwijl Le Corbusier (1887-1965) zich uitsluitend concentreerde op de strekstand in de hoogte. Volgens mij moeten we Vitruvius in zijn geheel interpreteren en zijn we verplicht de strekstand en spreidstand in één figuur samen te brengen (zie figuur pagina 6). Belangrijk hierbij is te weten dat Vitruvius zijn beschrijving van de menselijke maten steunde op de ‘cubitus’ (de el of voorarm). Volgens diverse bronnen en volgens de biometrie is een el ongeveer 0,45 m of 4500 hm. Hij stelt dat een el overeenkomt met één vierde van de lichaamshoogte die dan gelijk is aan 1,80 m. Zelf draai ik echter de zaken om en vertrek ik vanaf het getal π, waarvoor ik de waarde 3,1416 neem. Ik stel de lichaamshoogte gelijk aan d e f
g
�� � � � � �� ������� 3,1416 m of 1,7724 m. Afgerond kunnen � we dus de hoogte van de hoofdkruin op ������ 1,78 m nemen. We kunnen dan stellen ������ dat 1 el overeenkomt met � m of ongeveer 0,4450 m. Wanneer de mens � zijn hand naar boven toe strekt, bereikt ������ hij zo een hoogte van 5 el of 2,2250 m. De navel bevindt zich dan op de helft van die hoogte m.a.w. op een hoogte van 1,10 m. Op een hoogte van 0,89 m (de helft van 1,78 m) bevindt zich de pubis en de beenscharnier. Op een hoogte van 1 m boven de grond bevindt zich de aanzet van de wervelkolom. Als je hierbij 1 el optelt, kom je uit op 1,44 m (schouderhoogte). De armscharnier ligt op een hoogte van √2 of ongeveer 1,41 m. Wanneer je bij 0,89 m 1 el optelt, kom je uit op 1,33 m en dat is de hartstreek. In plaats van in de geometrie moeten we dus de sleutel gaan zoeken in de biometrie. De figuur op pagina 6 confronteert beide stelsels met elkaar: links de canon van Vitruvius en rechts een proefondervindelijke biometrische canon, mijn persoonlijke interpretatie.
Het valt me op dat zowel op jouw tekening als op die van da Vinci de mens getekend is in een figuur met een vierkant en een cirkel. Dit doet me denken aan de kwadratuur van de cirkel, het probleem om met passer en liniaal een vierkant te construeren dat even groot is als een gegeven cirkel. Heb je je ooit in dat probleem verdiept?
Ah, hier komen we meteen op één van mijn andere objectieven. De kwadratuur van de cirkel is voor heel wat architecten een uitdaging. Zoals ik eerder liet opmerken werken wij niet met wiskundig exacte waarden, maar om constructies uit te voeren hebben we ‘handelbare getallen’ nodig. Zo werk ik ook, naast π en ϕ, met het getal e = 2, 7183... dat de basis is voor de natuurlijke logaritmen. Het getal fungeert benaderend als hoogte van een gelijkzijdige driehoek met π als zijde.d Afgeleid van e is er de constante van Euler γ = 0,5772... of ongeveer 0,4000 +��0,1772e/f. Heb je er trouwens al eens � ��������� � over nagedacht hoe groot de zijde van een vierkant moet zijn opdat het dezelfde ����� � ������ ����� oppervlakte zou hebben als een cirkel waarvan � � � de straal 1 m of de lengte-een� � � �� ������� � Het verrassende antwoord is heid is? g ������ m of 1,7724 m . ������
In dit � verband moeten we het misschien bij ons volgende gesprek eens hebben � over drie grote problemen uit de Griekse ������ Oudheid: de kwadratuur van de cirkel, de verdubbeling van de kubus en de trisectie of driedeling van een hoek. Dat is genoteerd!
N.v.d.r.: de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijde π is een benadering voor e met een fout die kleiner is dan een duizendste. De correcte hoogte is 2,72069... N.v.d.r.: ‘afgeleid van e’ in de betekenis: ‘uitdrukbaar d.m.v. integralen, sommen of reeksen waarin exponentiële functies en/of natuurlijke logaritmen voorkomen’. Stellen dat e is afgeleid uit de constante van Euler is niet geheel exact. Deze constante is de limiet van het verschil van de n-de term van de harmonische reeks en de natuurlijke logaritme van n. De som gamma (γ =0,4 + 0,1772 ) waarbij deze laatste wortel wederom de wortel uit π zou zijn, is weerom toeval. In feite kent men nog geen gesloten uitdrukking voor gamma, buiten een oneindige kettingbreuk. Het “=” teken moet dus met een korreltje zout genomen worden. N.v.d.r.: dit is (niet verrassend) de ‘hoogte van de mens’, want die hoogte werd door Lubroc gedefinieerd als √π .
5
VITRUVIUS
LUBROC
220 200 178
144 133 110 100 89
45
220 178 133 45 110 89
6
vector
strekstand hoofdkruin armscharnier elleboog navel centrum
220 178 144 45 110 100 89
strekstand hoofdkruin armscharnier knie navel eenheid geslacht-beenscharnier
0
Bezoek in de klas van
Edo Timmermans Tekst: Odette De Meulemeester ‘Een vierkant met zijde 3 en een vierkant met zijde 4 hebben samen dezelfde oppervlakte als een vierkant met zijde 5, immers 32 + 42 = 52.’ Je kent deze formule ongetwijfeld als de stelling van Pythagoras. Dat de oppervlakte van de kleinere twee gelijk is aan die van het grote vierkant, kun je ook laten zien door het grote vierkant in stukken op te delen waarmee je de kleinere twee dan kunt leggen. Zo’n legpuzzel heet een ‘dissectie’. Edo Timmermans doet sinds enkele jaren op eigen houtje onderzoek naar dissecties van vierkanten en kubussen: de ‘PYTHAGOREÏSCHE DISSECTIES’. De voorstelling
Een paar indrukken van de leerlingen:
Op 11 november (ja, op een vrije dag) om 9 uur ging de lezing door. Edo gaf eerst een inleiding en daarna mochten we zelf puzzelen.
Emilie (3 Wet): “Ik vond het interessant om te zien hoe je van 1 kubus 63 in 3 kubussen van 33,43 en 53 kon ‘veranderen’. Het was tof dat we zelf eens mochten puzzelen. Het was niet zo simpel. Toen Edo het deed leek het heel gemakkelijk maar als we het zelf moesten doen werd het toch wel nadenken. De mooiste puzzel vond ik die van karton met alle kleuren. Het is echt fijn om ernaar te kijken. Hij was wel een beetje zenuwachtig maar hij heeft wel goed uitgelegd vond ik. Ik heb er geen spijt van dat ik geweest ben. Ik heb bijgeleerd over de derdemachten en ook de tweedemachten. De puzzelstukken waren een heel mooi bewijs van 33+43+53=63. Hij heeft ook een tabel ingevuld met welke getallen het allemaal mogelijk is. Het was echt de moeite waard. Nogmaals bedankt dat me mochten komen luisteren!”
Benoît (3 Lat): “Ik vond het supertof. Het geeft je namelijk een andere kijk op wiskunde met al die formules en definities. Ik heb heel veel bijgeleerd en mijn interesse voor wiskunde is groter dan tevoren. Wat die man allemaal kan doen is echt ongelofelijk en ik wist niet dat wiskunde zo ‘breed’ was.” Olivia (3 Lat): “Het was heel tof! Het was eens een andere kijk op de wiskunde en toont aan dat wiskunde meer is dan enkel theorie! Echt, SUPER! “ Edo: “Het was erg leuk om te doen, die lezing en ook die demonstratie voor die jongen de avond ervoor! Fijn dat mensen hierdoor kunnen zien dat wiskunde ook leuk kan zijn! Als ik dit zo hoor, dan is het in elk geval voor herhaling vatbaar! Wie weet ook eens op een andere school in België!”
Bert (3 Wet): “Ik vond het leuk dat ik er bij was.” Sarah (3 Lat): “Ik vond de dissectie van kubussen, vierkanten e.d. echt heel leuk. Ik vond het zeer speciaal om te zien dat zijn puzzel niet enkel stukjes bevat, maar ook Boeddhistische tekens. Wiskunde bestaat dus duidelijk niet enkel uit cijfers en rechten! Het was echt de moeite waard om tijd voor vrij te maken en ik raad het echt iedereen aan!!! “
Praktisch: Wie meer wil weten over Edo Timmermans kan een en ander terugvinden op deze websites: www.pythagoras.nu/pyth/pdf/artikel_304_edotimm45-6.pdf www.cs.purdue.edu/homes/gnf/ book/Booknews/edosppd.html
7
Lees- en kijktips WISKUNDE IN EEN NOTENDOP. Tekst: Jeanine Daems
Uitgeverij Bert Bakker geeft een brede serie informatieve boeken uit: “(bijna) Alles wat je altijd wilde weten - X in een notendop”. X staat voor een onderwerp, bijvoorbeeld de bezetting, Boeddhisme, fysica, popmuziek, noem maar op, of een persoon (sinds kort is er zelfs een over Barack Obama). Maar ook de wiskunde kwam aan de beurt: Martin Kindt en Ed de Moor schreven “Wiskunde in een notendop”. Het is een hele klus om de wiskunde samen te vatten in een notendop, oftewel een boek van 202 pagina’s. Zoals de auteurs zelf schrijven in de inleiding: “De hele wiskunde past niet in een notendop, maar er schuilt - naar wij hopen - in dit kleine dopje toch heel wat leesen studieplezier.” Kindt en De Moor zijn er wonderwel in geslaagd een heleboel wiskundige onderwerpen te behandelen en daarbij onderlinge verbanden te laten zien, de historische ontwikkelingen aan te geven en ook nog te benadrukken dat de wiskunde een menselijke activiteit is. De uitleg en de voorbeelden zijn goed en duidelijk, de bewijzen (jawel!) ook. De samenhang tussen stukjes wiskunde wordt benadrukt. Een van de mooiste stukjes in het boek
8
vector
vind ik de heldere uitleg van de parabool. De parabool wordt geïntroduceerd als kegelsnede, maar direct wordt het verband met een functie gelegd en bewezen. Daarna zien we de parabool ook nog als “de verzameling van alle punten met gelijke afstanden tot een vast punt en een vaste lijn”. Zo wordt duidelijk dat je sommige dingen op verschillende manieren wiskundig kunt beschrijven, en dat de ene manier in sommige contexten handiger is dan de andere, maar ook dat je echt kunt bewijzen dat de verschillende manieren equivalent zijn. Er is niet zo veel voorkennis nodig: iemand die de middelbare school met wiskunde heeft afgerond zou het boek moeten kunnen lezen. Maar de lezer moet wel welwillend zijn zich echt in de stof te verdiepen: als je er snel overheen leest zonder je af te vragen of je echt snapt wat er staat, mis je een essentieel deel van de inhoud. Maar dat is een kenmerk van wiskundige teksten in het algemeen en dus representatief. De onderwerpen die aan de orde komen zijn erg divers: cijfers en getallen, rekenen met letters, veeltermen, combinatoriek, kans en verwachting, priemgetallen, aanschouwelijke meetkunde, regelmatige patronen in het vlak en in de ruimte, axioma’s, analytische meetkunde, irrationale getallen, kettingbreuken, rijen, differentiëren en integreren, logaritmen en spiralen. En in het allerlaatste hoofdstuk geven de auteurs een meer filosofische indruk van hoe zij het vakgebied wiskunde zien, waarbij ze aandacht geven aan de vraag of wiskunde ontdekt wordt of uitgevon-
den, aan de rol van logica en van intuïtie en aan de vraag of wiskunde altijd een nuttigheidsaspect moet hebben in onderwijs en onderzoek. Samenvattend kunnen we zeggen dat het boek “Wiskunde in een notendop” verschilt van veel andere populairwiskundige boeken in de zin dat het echt een wiskundeboek is: het gaat de diepte in. Dat legt natuurlijk meteen een beperking op de onderwerpen die behandeld kunnen worden, meer moderne onderwerpen als groepentheorie liggen buiten de doelstelling en haalbaarheid van dit boek. Maar dat is niet erg. Het boek is niet hip, het taalgebruik is soms een beetje ouderwets en er staan geen flitsende kleurenplaten in. Maar het geeft een goede indruk van wat wiskunde is door echt wiskunde te doen, op een leuke, aansprekende en inzichtgevende manier, en het is dus de moeite van het lezen zeker waard.
DE TELDUIVEL. Tekst: Vicky Vermeulen
“Wiskunde? Hou op zeg! Voor veel mensen is wiskunde een warboel van getallen, sommen en onbegrijpelijke berekeningen. Ook Robert, de jongen in de blauwe pyjama haat wiskunde en vooral zijn wiskundeleraar: mijnheer Van Balen. Tot hij bezoek krijgt van een telduivel en twaalf nachten lang met
getallen goochelt. Dan blijkt dat wiskunde een spannend en grappig spel is dat Robert - en ook de lezers - geen enkele moeite kost. Wiskunde is niet moeilijk. Zodra het telduiveltje met zijn stokje zwaait, verdwijnt de angst voor getallen als sneeuw voor de zon.” Dat is wat de achterflap van “De Telduivel-een hoofdkussenboek voor iedereen die bang is voor wiskunde” vertelt, het boek van Hans Magnus Enzensberger dat ondertussen al meer dan tien jaar oud is. Het is bedoeld om de interesse van kinderen vanaf 10 jaar te wekken, die wiskunde in het lager onderwijs maar een saaie en droge bedoening vinden. Ook in de eerste graad van het middelbaar kan het ongetwijfeld nog worden gebruikt, vooral bij kinderen die een grote achterstand hebben opgelopen in rekenen. Jammer genoeg staat die doelgroep meestal niet te springen om boeken te lezen (en zeker niet als die over wiskunde gaan). Voor hen kan het luister- en kijkboek dat in 2005 op cd-rom verscheen een oplossing zijn. Het verhaal wordt voorgelezen, de illustraties van Rotraut Susanne Berner uit het boek zijn tot leven gewekt in flash, waardoor je eigenlijk naar een interactieve tekenfilm kijkt. De oefeningen en opdrachten uit het boek zijn verrijkt met rekenspelletjes op het einde van elk hoofdstuk. Pas als je alle mini-games tot een goed einde hebt gebracht, wordt het laatste level geopend. Er zit ook een digitale handleiding voor leerkrachten en/of ouders bij de cd-rom (pdf). Het boek op cd-rom uitbrengen is volgens mij de perfecte zet om kinderen
met desinteresse in lezen toch een duwtje in de rug te geven. De spelletjes op het einde van de hoofdstukken zijn erg leuk: de leerlingen leren op een speelse manier schatten, een raceparcours met kleurencombinatoriek bouwen ... en ze kunnen die mini-games op elk moment opnieuw spelen voor een betere score. De kinderen worden echt meegezogen in de droomwereld van Robert. Maar ondanks al deze positieve dingen en goede bedoelingen, blijf ik toch met een dubbel gevoel zitten. Van bij het begin heb ik me geërgerd aan het taalgebruik. Ik vraag me af waarom de auteur het nodig vond om de wiskundige begrippen te “vertalen”. Zo spreekt de telduivel over doodgewone getallen (natuurlijke getallen), leert hij Robert huppen (machtsverheffingen), tovert hij met de prima getallen (priemgetallen) en moet je samen met Robert radijs trekken of achteruithuppen (vierkantswortels oplossen). Ook de onverstandige getallen en de Bonatsji-konijnen (rarara) passeren de revue. Robert mag dan wel dromen over wiskunde en de telduivel bestaat alleen in zijn fantasie, toch vind ik het behoorlijk irritant om de telduivel voor de zoveelste keer te horen praten over huppen en achteruithuppen. In het boek kon je dat nog net door de vingers zien, omdat er in de inleiding van het trefwoordenoverzicht duidelijk op wordt gewezen wat de echte begrippen zijn, maar je kunt deze cd-rom helemaal uitkijken zonder het trefwoordenboek te openen. Begeleiding is hier dus echt wel nodig! Waarschijnlijk had Enzensberger de bedoeling om het verhaal wat vlotter te
vertellen en de lezers even weg te halen uit de echte wiskundewereld, maar eigenlijk is het toch een gemiste kans. Op deze manier bevestig je toch het stereotiepe idee dat wiskunde alleen maar leuk kan zijn als je het niet over die doorsnee termen hebt? Om nog maar te zwijgen over de verwarring voor de leerlingen. Stel je even voor dat je als leerling perfect leert huppen door deze cd-rom, maar tijdens een toets machten de opgave niet begrijpt en daardoor een nul krijgt. Dat zou pas een reden zijn om jouw meester of juf Van Balen voor de rest van je leven te haten en de wondere wereld van de wiskunde definitief de rug toe te keren! En dat is nu net wat Vector en de telduivel niet willen ...
Praktisch: Titel: Wiskunde in een notendop Auteurs: Martin Kindt en Ed de Moor Uitgeverij: Bert Bakker ISBN: 978 90 3513 212 2 Prijs: € 9,95 Titel: De telduivel Auteur: Hans Magnus Enzensberger Uitgeverij: Lannoo ISBN: 978 90 2095 565 1 Prijs: € 9,95
9
Kangoeroe zonder grenzen De wedstrijd Sommigen onder jullie kennen de Kangoeroewedstrijd misschien al langer. De voorbije schooljaren konden Vlaamse scholen zich al inschrijven via de Stichting Kangoeroe Nederland in vier verschillende categorieën. Dit schooljaar krijgen we voor de eerste keer onze eigen Kangoeroe. De VWO (Vlaamse Wiskunde Olympiade) heeft zich in samenwerking met Technopolis immers aangesloten als partner voor Vlaanderen bij de organisatie “Kangoeroe zonder Grenzen” (Kangourou sans Frontières, ook wel de Europese Kangoeroe Wedstrijd genoemd). Deze internationale organisatie wenst kinderen en jongeren aan te moedigen in hun wiskundige vaardigheden en deze wereldberoemde reken-, denk- en puzzelwedstrijd is daar slechts één onderdeel van. Het gaat om een reeks verrassende vraagstukken die stuk voor stuk een vonkje creativiteit of een flits van inzicht vragen. Vijf antwoorden per opgave zijn gegeven, één is er goed. De eerste vragen zijn makkelijk, maar gaandeweg worden ze lastiger. Wie haalt de eindstreep zonder te struikelen? Een beetje geschiedenis De oorsprong van de wedstrijd ligt in Australië. Daar werd in 1980 de allereerste wiskundewedstrijd voor scholen georganiseerd. Het succes daarvan inspireerde enkele Franse wiskundigen om zelf een wedstrijd voor rekenen en wiskunde in elkaar te knutselen. Als eerbetoon aan hun
10
vector
Australische ‘muze’, noemden ze het Kangourou. Ondertussen heeft hun wedstrijd internationaal veel weerklank gekregen. Hij wordt nu al in 40 landen georganiseerd, en in 2007 waren er al bijna 4,7 miljoen deelnemers. De vragen zijn voor iedereen hetzelfde, al krijgt elke organisatie het recht om drie vragen te vervangen. Doorgaans worden liever kleine aanpassingen doorgevoerd in de opgave in plaats van ze helemaal te vervangen (bv. namen, grote getallen vervangen door kleinere, een extra voorbeeld geven of een tekening bijplaatsen ...). Elk land heeft namelijk zijn eigen onderwijscultuur. Voor wie? Alle 10 tot 14 jarige leerlingen uit het Vlaamse onderwijs kunnen deelnemen. De wedstrijd is opgedeeld in verschillende moeilijkheidsgraden. Voor leerlingen uit het vijfde en zesde leerjaar van het basisonderwijs en de eerste graad B-stroom uit het secundair onderwijs (vroeger gekend als wizSMART) en voor leerlingen uit de eerste graad A-stroom van het secundair onderwijs (wizBRAIN). Internationaal zijn er naast deze twee niveaus nog de categorieën wizKID (voor leerlingen uit het derde en vierde leerjaar van het basisonderwijs) en de wizPROF (voor leerlingen uit de tweede en derde graad aso en tso van het secundair onderwijs), maar die worden hier niet georganiseerd. De VWO neemt dus enkel de middelste categorieën over, we vermoeden dan ook dat de namen van de moeilijkheidsgraden zullen worden gewijzigd. Vanaf de tweede graad van het secundair onderwijs kun je bij de VWO immers al
deelnemen aan de Junior Wiskunde Olympiade en de Vlaamse Wiskunde Olympiade. Waarom meedoen? De Kangoeroewedstrijd laat je ervaren dat wiskunde heel leuk en uitdagend kan zijn, en dat op elk niveau. Even je hersenactiviteit opdrijven voor een aantrekkelijke reken- of denkpuzzel is best wel gezond en een prima belevenis. Ontdek dat je meer kunt dan je zelf dacht. En wat is er leuker dan te laten zien dat je meer kunt dan jouw leerkracht van je had verwacht! Bovendien kun je zelf of kan de klas, met wat geluk, nog prijzen winnen ook, door te antwoorden op welke vraag de meeste foute antwoorden zullen worden gegeven. Vergeet ook niet dat het nieuwe leerplan voor de eerste graad VVKSO veel aandacht vraagt voor probleemoplossend denken. Door mee te doen aan deze wedstrijd, realiseer je op een speelse manier een stukje van dit doel. Meedoen met Kangoeroe is een plezier voor iedereen, ook voor leerlingen zonder wiskundeknobbel. Na afloop zie je ze hun oplossingen vergelijken; nog dagenlang wordt er over doorgepraat. De vragen gaan mee naar huis: vaders en moeders, ooms en tantes krijgen ze voorgelegd en die willen zich natuurlijk ook niet laten kennen! Het is ook een goed idee om deze wedstrijd te organiseren op de lerarenopleidingen, of om na de wedstrijd de vragen te laten oplossen door toekomstige leerkrachten.
De Vlaamse Wiskunde Kangoeroe wordt per school georganiseerd. Praktische informatie, wedstrijdreglement, instructies en aanmeldformulieren vind je op de website van de VWO. Per school en per graad verwacht de organisatie één leerkracht die zich als schoolverantwoordelijke registreert en minstens tien leerlingen die deelnemen per schoolverantwoordelijke. Na aanmelden ontvang je dan de nodige informatie over de wedstrijd, het inschrijven van leerlingen ... alsook je persoonlijke login en paswoord.
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������ ������������������� ���� �� ����������� �� �� ������ �������� ������� ��
��������� ���������� ��������� ���������������������� ����������
����������� ����������������������� �� ������� ���������������� ������� ������������� �����
Je hebt geen enkel excuus meer om de start van de Vlaamse Kangoeroe te missen.
Praktisch:
������ ��������������������� ��������� ����������� �� ������������������������� ������ ���������������� ����������������������� ������ ��������� ������
www.wiskundekangoeroe.be www.vwo.be www.math.ru.nl/kangoeroe www.mathkang.org/ksf/index.asp
� � � ����������������������������������������������� ��� �������������� ������������������������������������� ����������������������������������� �������������������������������������
�������������������������������
���������������������������������������� ������������������������������������ ���� ����������� ����� ���� ������ ������� ����� ���������� ������������������������ ���� ������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������
Noteer nu al de wedstrijddatum van de allereerste Vlaamse Kangoeroe Wedstrijd in je agenda: 20 maart 2009!
���������������������
11
���������������������� ����� Tekst: Hans Wisbrun
Dit is een speciaal voor Vector aangepaste versie van een artikel dat in oktober verscheen in Euclides (84-2), orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
De titel van dit artikel mag dan een hoog Creatief-met-kurk-gehalte hebben, de genoemde activiteit bracht mij onverwachts en op een volstrekt vanzelfsprekende manier in dat wat didactici graag een rijke leeromgeving noemen. Achteraf kan ik zeggen dat het hele proces, van idee naar product, de integratie van heel wat vakken betrof: techniek, ICT, wiskunde, natuurkunde, scheikunde, economie en een snufje industrieel ontwerpen. Hieronder het verhaal hoe de productie van een chocoladeletter mij, behalve veel plezier, een mooi les- of projectidee gaf voor het volledige secundair onderwijs (richting- en niveauoverschrijdend). Ik ben benieuwd of jullie dat er ook in zien.
Ideeën hebben vaak een lange sluimertijd in het onbewuste nodig om op een natuurlijk moment weer aan de oppervlakte te komen. Dat moment kwam bij mij deze zomer. Toen het idee zich eenmaal in mijn bewuste had genesteld ging het ineens heel hard. Binnen de kortste keren was ik bezig met de fabricage van mallen, zat ik rond de tafel met Amsterdamse chocolatiers, zette ik als test een webwinkeltje op en verdiepte ik me in de financiële aspecten van het experiment. En met een concreet resultaat: tweehonderd chocoladeletters in de vorm van een π. Deze waren op de jaarvergadering van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW), net op tijd voor Sinterklaas, tegen kostprijs te koop.
MIJN IDEE Het begon allemaal toen ik ruim twee jaar geleden de volgende notitie maakte in mijn ideeënboekje.
Fig.2 De chocolade π Fig.1 Mijn idee
12
vector
HET FABLAB Een cruciaal moment in het hele proces was het moment dat ik via een internetspeurtocht kennis maakte met het concept FabLab (afkorting voor Fabrication Laboratory). Dat bleek niet alleen een concept te zijn, maar ook een concrete plek, zowaar bij mij aan de overkant van het water. De beste methode om als lezer iets over het concept Fab Lab aan de weet te komen is even met het woord te googlen. Op het web staan talloze teksten, foto’s en video’s die het beter kunnen verduidelijken dan ik dat hier kan doen. In het kader staat slechts een korte omschrijving. Webtekst FabLab De digitale communicatierevolutie ligt achter ons. Het is tijd voor de volgende ... Personal Fabrication. De mogelijkheid ‘to make almost anything’, thuis met desktopmachines. Deze ligt nu (bijna) binnen handbereik door een concept uitgedacht door Neil Gershenfeld van MIT. Het heet een FabLab, en bestaat uit een set computergestuurde machines van bij elkaar zo’n 30.000 dollar, waarmee zo niet alles, dan toch veel kan. Elk FabLab wordt aangesloten bij het zogenaamde FabLab netwerk, een wereldwijd netwerk, waar op gestandaardiseerde en laagdrempelige manier mensen worden uitgedaagd om zelf bedenker, ontwerper en maker te worden van hun eigen ideeën.
Nog beter voor een eerste kennismaking is een afspraak maken om een keer een FabLab te bezoeken. Er zijn er momenteel een handvol in Nederland (o.a. in Amsterdam, Den Haag, Utrecht en Eindhoven), maar wereldwijd zijn er al veel meer. Dat bezoeken is ook wat ik deed, ik fietste gewoon de brug over. Ik had mijn idee vooraf aan de mensen van Waag Society, waar het Amsterdamse FabLab is ondergebracht, voorgelegd en ze hadden enthousiast gereageerd. De laagdrempeligheid waarvan op hun site gerept wordt, werd waargemaakt. Samen met Mike, een Canadese vrijwilliger, stond ik een paar dagen later al met een computergestuurde machine een mal te frezen die uiteindelijk een chocoladen π zou gaan opleveren.
Eerst ontwierp ik met een ComputerAided-Design programma een driedimensionale π, waarbij eigenlijk alleen maar de vorm van belang was. Een chocoladeletter mag niet te makkelijk breken, dus algauw denk je aan wat dikkere benen van de π. Spitse uitstekels: maar niet doen. Een beetje afvlakken aan de zijkanten is natuurlijk ook mooi, om straks de letter wat makkelijker uit de mal te kunnen halen. Bovendien staat een smooth oppervlak decoratiever.
welke lijnen er straks gefreesd moet gaan worden, hoe snel je de boorkop laat lopen ... Ik maakte eerst een positieve mal door uit een blok (styrenefoam, MDF ... ik heb wat geëxperimenteerd) alles rond het driedimensionale object weg te frezen met een boorkop. De π verheft zich in die mal als het ware als een rotsformatie uit een rechthoekige kuil. Dat maken gebeurt door vanuit de computer een ‘printopdracht’ te sturen naar de freesmachine.
Fig.3 π in perspectief en in drie aanzichten
Fig.4 De positieve mal wordt uit de freesmachine gehaald.
HET PRODUCTIEPROCES Ik zal hier niet in details treden, het hele proces staat uitgebreid beschreven op mijn weblog (http://chocopi.blogspot. com ), inclusief alle verkeerde wegen die ik insloeg en de beginnersfouten die ik maakte. Hieronder gaat het over het maken van een chocolade π, maar `almost anything’ kan zo geproduceerd worden. In grote lijnen komt het proces op het volgende neer.
Toen het ontwerp eenmaal klaar was, importeerde ik het ontworpen model (de data worden vastgelegd in een bestand) in een Computer-Aided-Manufacturing programma dat de freesmachine zou gaan aansturen. In dat programma bepaal je zaken als de uiteindelijke maten, de lege ruimte rond de letter, volgens
De zo gevormde positieve mal vulde ik met dikvloeibare siliconenrubber, die ik vervolgens liet uitharden. Zo krijg je een negatieve mal, waar later de chocolade in wordt gegoten.
13
liep. Bij de opsomming van de vakken in de inleiding vergat ik nog een vak: Engels. Veel handleidingen zijn in die taal en op het internet zijn achtergrondteksten ook vaak in het Engels. WISKUNDE, NATUURKUNDE
Fig.5 De positieve mal van styrenefoam (links) en de negatieve mal van siliconenrubber (rechts) RIJKE LEEROMGEVING Nu het proces beschreven is, kan ik tot de kern van mijn artikel komen: dat een productieproces als dit voor leerlingen een rijke leeromgeving kan vormen bij de integratie van verschillende vakken. Ik maakte zelf een chocolade π, maar uw leerlingen zouden vanalles kunnen maken. Sterker nog: hoe meer het hun eigen idee is, hoe gemotiveerder ze aan het werk zullen gaan. De vragen die onderweg opdoemen zijn nu eens niet de vragen uit het leerboek of van de leraar, maar obstakels die de leerlingen vanzelf tegen komen op weg naar het gewenste product. Ze dienen zich op een heel natuurlijke manier aan. Daarbij zijn uitstapjes naar aangrenzende leerstof natuurlijk niet verboden. Sterker nog: zo kunt u, als leerkracht, het productieproces stevig koppelen aan het curriculum. Dat techniek en ICT in deze leeromgeving een belangrijke rol spelen, zal inmiddels wel duidelijk zijn. Wat de andere vakken betreft volsta ik hieronder met wat voorbeelden waar ik zelf tegenaan
14
vector
Dat in CAD/CAM-software veel wiskunde verstopt zit, voel je direct aan. Ik had nog nooit met zo’n programma gewerkt, maar bepaalde onderdelen wekten direct associaties met programma’s als Maple en Cabri op. Toen ik een platte π via een 3D-tekenprogramma opgehoogd had tot een driedimensionale vorm, moest die vorm opgeslagen worden in de taal van computers: bits en bytes. Dat gebeurt door die vorm eerst op te splitsen in eenvoudiger geometrische vormen, viervlakken. Het wiskundig proces dat hierachter zit heet triangulatie.
ingegaan worden op deze vragen. Ook een onderwerp als Aanzichten kan zo op een natuurlijke manier aan de orde komen (zie figuur 3). Op een gegeven moment stuitte ik bij de productie van de mal op een probleem: een volumebepaling. Ik wilde weten hoeveel siliconenrubber ik ongeveer nodig had voor het maken van de negatieve mal. Siliconenrubber is duur en wordt ter plekke geprepareerd door twee componenten bij elkaar te voegen. Ik wilde om kosten te besparen een afgepaste hoeveelheid siliconenrubber aanmaken. De wiskundige in mij wilde dat volume in eerste instantie ook wiskundig bepalen. Ook al was de vorm wat onregelmatig, met wat integraalrekening zou wel aan het volume te komen zijn, vermoedde ik. Maar gelukkig won de natuurkundige in mij het (ik heb theoretische natuurkunde gestudeerd). Of was het gewoon het gezond verstand? Ik pakte het veel simpeler aan: door de ruimte rond en boven de π te vullen met meegebrachte gierstkorrels.
Fig.6 Triangulatie Maar hoe vindt die opsplitsing nu precies plaats? Welk algoritme wordt er gebruikt? Ik ga op deze vragen hier niet in, de antwoorden zijn niet relevant voor het productieproces van de mallen. Maar tijdens de begeleidende wiskundelessen van het project kan wel dieper
Fig.7 Positieve mal gevuld met gierstkorrels
Die gierstkorrels stortte ik vervolgens voorzichtig in een plastic cilinder die voorhanden was. Daar stond geen maatverdeling op. Maar met de bekende formule voor de inhoud van een cilinder (waar onze π zelf in voorkomt!) en wat meten (straal, hoogte) zou gemakkelijk het benodigde volume bepaald kunnen worden. Ook dat bleek niet nodig. Met tape gaf ik aan tot welke hoogte ik de cilinder met siliconenrubber zou moeten vullen. Toen diende het wiskundige onderwerp Verhoudingen zich aan. De siliconenrubber zou ontstaan door menging van een dikvloeibare massa (component A) en een vloeistof (component B). Dat moest in de verhouding 100 : 10. Maar er was een kleine complicatie: die verhouding betrof geen volumes, maar massa’s. Nu is daar met behulp van soortelijke “gewichten” van beide componenten wel achter te komen (leerlingenvraag), maar die stonden niet op de bijsluiters. Wel stonden van beide componenten op de nog ongeopende verpakkingen de netto massa’s aangegeven, dus ... (weer een leerlingenvraag).
Fig.8 Componenten A en B voor het maken van siliconerubber
Maar ook deze vraag omzeilde ik, met een eenvoudige keukenweegschaal. Kortom: er zijn verscheidene wegen die naar siliconenrubber leiden! SCHEIKUNDE, NATUURKUNDE Siliconenrubber is, in scheikundige termen, een polymeer waarvan de keten gevormd wordt door een vaak als anorganisch beschreven binding. De keten bestaat namelijk uit afwisselende silicium- en zuurstofatomen. Het zuurstofatoom heeft geen vrije bindingen meer, silicium echter wel. Aan het siliciumatoom bevinden zich organische substituenten, bijvoorbeeld een methylgroep CH3. De structuurformule van het polymeer kan dan geschreven worden als: [-SiRR1-O-]n.
Siliconenrubber prepareren uit twee componenten is een chemisch proces, met een daarbij behorende chemische reactievergelijking. Voor het productieproces is het niet nodig die op te stellen. Maar zou het voor een leerling met scheikunde in het pakket niet interessant zijn om hier eens wat dieper in te duiken? Een andere, natuurkundige, ingang voor verdieping: bij het gieten van de aangemaakte siliconenrubber in de mal sluit je onbedoeld luchtbelletjes in het materiaal op. Die kunnen straks zorgen voor lelijke oneffenheden in de chocolade π. Hoe zorg je er nu voor dat je zo weinig mogelijk van die belletjes in de siliconenmal krijgt? Mike, mijn partner in crime, verzon een creatieve oplossing: de met (toen nog) vloeibare siliconenrubber gevulde mal werd op een in het FabLab aanwezige subwoofer geplaatst. En dan: music maestro, met zo veel mogelijk bastonen erin! Maar waarom werkt dit eigenlijk? En kun je alternatieve methoden bedenken?
Fig.9 Structuurformule ECONOMIE, WISKUNDE Siliconenrubber is vreemd spul, een niet-Newtonse vloeistof. Bij Newtonse vloeistoffen is de schuifspanning τ in de stof rechtevenredig met de gradiënt van de (stroom)snelheid loodrecht op het schuifvlak. In wiskundige termen: τ = µ · dv/dx, waarin µ de viscositeit is. Siliconen-rubber voldoet, net als een maïzenapapje, niet aan deze wet. Op YouTube staan verrassende filmpjes over het gedrag van dit soort vloeistoffen. Het is inderdaad mogelijk om net als Jezus op het water te lopen!
Het ligt niet in mijn bedoeling om nu een fabriek op te gaan zetten voor dit soort chocoladeletters, het was vooral een leuk en leerzaam experiment. En een uitdaging: krijg ik het ook voor elkaar, tweehonderd chocoladeletters produceren voor de NVvW-jaarvergadering en die daar dan kostendekkend verkopen? Dit leverde direct al het nodige rekenwerk op voor die kosten: prijs die de chocolatier (dat is een vak apart, daar houd ik me verre van) vraagt voor zijn
15
werk, kosten van de mallen, kosten van verpakking, kosten van vervoer en kosten voor de registratie van de naam ChocoPI bij het Benelux-Bureau voor Intellectuele Eigendom. En hoe veel zullen de deelnemers bereid zijn te betalen voor dit product? Wel meer dan voor een supermarktletter, het zijn unica en de chocolade is van goede kwaliteit (Callebaut). Maar ze zullen toch ook wel een bovengrens hebben? En als er nu ineens veel interesse blijkt te zijn, bijvoorbeeld van instellingen of bedrijven in de bèta-hoek die de letter als relatiegeschenk willen gaan gebruiken, hoe ga ik dan verder? Mijn eigen arbeidsuren, hoeveel ga ik daar dan voor rekenen? Hoe ga ik distribueren? Het idee van een webwinkel was gauw geboren en, in een testversie, gerealiseerd (zie onder Links op mijn bovengenoemde weblog). Hoe ga ik in dat geval de verzendkosten berekenen? Doe ik dat bijvoorbeeld per gewichtsklasse? En hoe reken ik de kosten van het betalingsverkeer door? Oh ja, ik moet natuurlijk btw gaan berekenen. Dat is toch iets met percentages?
Enfin, voor ik het wist zat ik met mijn gedachten niet meer bij het productieproces, maar bij economie. Dat zal voor uw leerlingen ook gelden. Misschien bedenken en produceren ze wel iets zo unieks dat er echt geld in zit! HIER KAN IK WEL CHOCOLA VAN MAKEN Toen ik aan de volgende stap toe was, het laten vullen van de mallen met chocolade, kwamen er weer de nodige prikkels voor bèta-onderwijs langs. Omdat uw leerlingen niet dit specifieke product zullen maken, maar hun eigen idee zullen gaan uitwerken, volsta ik hier met wat figuren. U kunt er zelf wel de vragen bij bedenken, inclusief uitstapjes naar de voedingsleer.
Fig.12 Chocoladeconsumptie per land
Fig.10 Tempereren is een sleutelbegrip bij de productie van chocolade Mijn mallen werden gevuld door het ROC van Amsterdam, Afdeling Brood & Banket, en Confiserie Manfred Spaargaren. En alle ChocoPI’s zijn op!
16
vector
Fig.11 Samenstelling van chocolade A = suiker; B = cacaoboter; C = melkpoeder; D = andere ingrediënten; E = cacaomassa ; I =wit; II = melk; III = puur
TERUGBLIK Het was voor mij een spannende ontdekkingstocht, in veel opzichten. Al doende begon ik mij ook te realiseren dat ik niet alleen iets concreets aan het maken was, maar dat ik, onbedoeld, in een rijke leeromgeving beland was, die veel schoolvakken met elkaar in verband bracht. En dat dat verband volstrekt natuurlijk aanvoelde. Dat bracht me tot het schrijven van dit artikel. Daarbij voelde ik de opwinding een eigen idee te realiseren. Dat moet toch ook voor leerlingen motiverend werken? Of ze in het aso, tso of bso zitten, maakt eigenlijk niet zo veel uit, op elk niveau valt wel wat te ontwerpen, te maken en dus te leren. Het proces kan individueel doorlopen worden, maar ook in groepen. De laatste wijze heeft als voordeel dat elk zijn of haar sterke zijde kan inzetten. Tot slot nog dit: België heeft toch een naam als chocoladeland hoog te houden? En op 14 maart (3-14 in de Amerikaanse schrijfwijze) is het toch Internationale Pi-dag? Wie van jullie nu de toorts wil overnemen, kan contact met mij opnemen over de voorwaarden. [Met dank aan Teake Oppewal en Fred Pach voor hun commentaar op het conceptartikel.]
Praktisch: • Hans Wisbrun was vakdidacticus wiskunde en onderwijskundig medewerker aan de Universiteit Leiden. Hij is momenteel onderwijsadviseur met een eigen bedrijf, Wisc. U kunt hem boeken voor lezingen en workshops. Maar ook andere opdrachten zijn mogelijk. • Een overzicht van zijn expertise vind je op: www.linkedin.com/in/hanswisbrun E-mail:
[email protected] • FabLab België: Technopolis (Mechelen). Verduidelijking: In het Nederlandse onderwijs wordt vaak gesproken over alfa en bèta. Bèta-vakken zijn exacte en wetenschappelijke vakken, zoals wiskunde, fysica, biologie, chemie, natuurwetenschappen ... In de categorie alfa horen onder andere taalvakken, geschiedenis, psychologie ... thuis. i
17
KA Zelzate wint de Frimoutprijs editie 2008 Tekst: Joachim Van Gucht en Hugo Brokken
Met de Dirk Frimoutprijs neemt het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap een initiatief om de wetenschappen te promoten bij haar leerlingen. Deze prijs wordt tweejaarlijks georganiseerd en de prijsuitreiking vindt telkens plaats tijdens de Vlaamse Wetenschapsweek. Burggraaf Dirk Frimout, astronaut en erelid van de jury, deelde op 18 oktober 2008 in Technopolis de hoofdprijs van 1500 euro uit. Het thema van deze editie was de opwarming van de Aarde. Alle leerlingen uit de 3e graad konden een project inzenden, waaruit negen finalisten gekozen werden die hun werk mochten verdedigen voor de jury in Brussel. Er waren enkele extra voorwaarden aan deze wedstrijd verbonden: de groep moest uit minstens drie personen bestaan, er moest minstens één wetenschapsvak gebruikt worden én de inzending moest exclusief voor de GO! Frimoutprijs zijn. De leerlingen konden namelijk niet meedingen aan andere wedstrijden met hetzelfde onderwerp. Het project “Fotovoltaïsche cellen: vergelijking van statische en dynamische panelen”, is een samenwerking van aso en tso leerlingen geworden. Het team bestond uit een leerling uit de richting economie-wiskunde en twee leerlingen uit de richting elektrische installaties: Gert Willems, Niels Cornelis en Jens Sierens. Deze samenwerking was een stap in het duister, nooit eerder werd er op het Koninklijk Atheneum van Zelzate zo onder-
18
vector
wijsvormoverschrijdend samengewerkt. Dat bood uiteraard veel nieuwe perspectieven: een meer technisch ontwerp was plots realiseerbaar. Het werkstuk kwam voort uit de vraag of de meeropbrengst van een dynamisch systeem opweegt tegen de meerkosten voor de installatie ervan. Om de meeropbrengst kwalitatief te meten, diende een proefopstelling gebouwd te worden die de zon altijd zou volgen. Formules voor de beweging van de zon werden verkregen door fysica en wiskunde los te laten op basisleerstof van de lessen aardrijkskunde. Een zelfgeschreven programma, in Visual Basic 6.0, zorgde samen met de zelfgemaakte micro-elektronica voor de sturing van twee motoren en zo ook voor de beweging van het paneel. Het resultaat was verbazingwekkend. Het bleek dat de extra geproduceerde energie ruimschoots de meerkost overtreft.
tie, na de schooluren en in weekends, zorgde niet alleen voor beter wederzijds begrip, maar liet Gert ook zijn technische kant ontdekken. Zijn motivatie om te blijven werken, haalde hij uit de uitdagingen, het overwinningsgevoel door deadlines en opgeloste problemen en bovenal de steun van de leerkrachten, familie en vrienden. Uiteindelijk kwam dan de ultieme voldoening voor het driekoppige team, de totale erkenning van hun werk toen ze de GO! Frimoutprijs wonnen. Een prijs die bovendien voor de tweede keer op rij naar onze school werd gebracht. (Na Aaron Coone in 2006.)
Praktisch: De eer van de school verdedigen in een wetenschappelijke wedstrijd? Lang twijfel je niet, aldus Gert Willems, één van de laureaten. Als “leider” van de projectgroep was het zijn taak de algemene omkadering van het werk in handen te nemen. Volgens hem was de eerste maand erg moeilijk. Hoe begin je aan zoiets immens? Het antwoord: stukje per stukje. Naarmate het project vorderde, kwamen ook de eerste botsingen: theorie en praktijk kunnen een wereld van verschil zijn. Het actief meewerken aan de construc-
• De negen laureaten en werkstukken van deze editie vind je terug op: http://www.g-o.be/sites/ portaal_nieuw/Documents/ 20102008motivatiejuryFrimout. pdf • Wil je meedoen met jouw GO!school of wil je meer info? Contacteer dan de projectverantwoordelijke Lieve De Cuyper:
[email protected]
VBTL: nieuw leerplan, nieuwe reeks Aan alle leerkrachten VVKSO eerste graad. 1 september 2009 starten jullie met een nieuw leerplan. Van Basis Tot Limiet wordt daarom in een nieuw jasje gestopt. Onze nieuwe reeks boeken is volledig op dit nieuwe leerplan afgestemd. Kom naar onze infosessies BRUGGE (Kinepolis) woensdag 4 maart 2009 om 14.00u DEINZE (Schaubroeck) woensdag 4 maart 2009 om 19.00u BORGERHOUT (Scandic) woensdag 11 maart 2009 om 14.00u HASSELT (Kinepolis) woensdag 18 maart 2009 om 15.00u LEUVEN (Brabanthal) woensdag 18 maart 2009 om 19.00u Meer info? Hou onze websites in het oog of registreer je op de nieuwsbrieven.
Kleine Pathoekeweg 3 ı 8000 Brugge T 050 47 12 88 ı F 050 47 12 87 E
[email protected] W www.diekeure.be www.vbtl.be www.diekeure.be/educatief
19
Colofon Vector Tweede jaargang nummer 7
Redactieadres Vector Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge
[email protected] Externe auteurs die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met de redactie. Vector Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België Voor het buitenland betaal je € 5 Verantwoordelijke uitgever Bart Vandenbussche Kleine Pathoekeweg 3 8000 Brugge
