12/5/2016
TEKUKAN 7.1. Terjadinya Tekukan Tekukan terjadi apabila batang tekan memiliki panjang tertentu yang yang jauh lebih besar dibandingkan dengan penampang lintangnya. Perhatikan Gambar 7.1 di bawah, dua buah balok berpenampang lintang bxh dengan b < h.
F h b F
h
b
l
l
F (a) Tekan F (b) Tekuk
Gambar 7.1. Pembebanan Normal Negatif Gambar 7.1(a) merupakan pembebanan tekan karena panjang batang, l, relatif tak berbeda jauh dengan ukuran penampang lintangnya, b maupun h. Dalam pembebanan yang berlebihan, balok ini akan rusak hancur atau geser pada bidang tegangan geser maksimumnya, tergantung pada sifat-sifat bahannya.
1
12/5/2016
Sedangkan batang pada Gambar 7.1(b) mengalami pembebanan tekuk karena panjang batang, l, yang jauh lebih besar dibandingkan dengan ukuran penampang lintangnya. Pembebanan yang berlebih akan menyebabkan batang rusak tekuk atau bengkok. Tekukan dapat terjadi karena dua hal, yakni oleh sebab geometris dan homogenitas bahan. Sebab yang pertama terutama adalah karena letak beban yang tidak tepat pada titik pusat berat penampang lintangnya, sehingga timbul momen terhadap sumbu netral batang. Sebab kedua karena sifat mekanis bahan yang tidak homogen sehingga titik-titik pada suatu penampang lintang mengalami deformasi yang tidak sama. Hal ini juga akan menimbulkan momen terhadap sumbu netral batang. Momen ini akan semakin besar bila penyimpangan dari keadaan ideal semakin besar. Secara teoritis, tekukan akan terjadi atau tidak ditentukan oleh harga koefisien kerampingan (slenderness ratio), yang besarnya ditentukan oleh panjang batang, bentuk dan ukuran penampang lintangnya, serta konstruksi penumpuan. Secara matematis dinyatakan oleh persamaan (7.1a) dan (7.1b) berikut.
r
l r
(7.1a)
I A
(7.1b)
l k. L
dengan : koefisien kerampingan l : panjang tekuk, panjang satu tekukan simetri (mm) r : jari-jari girasi (mm) I : inersia minimal penampang lintang batang (mm4) A : luas penampang lintang batang (mm2) k : koefisien pemasangan, tergantung konstruksi penumpuan ujung batang L : panjang batang (mm)
2
12/5/2016
Teori tekuk Euler, yang dikemukakan oleh seorang ahli matematika Swiss Loenhard Euler, pada tahun 1757 digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tekuk. Teori ini menggunakan asumsi bahwa tegangan tekan langsung yang terjadi kecil sehingga dapat diabaikan, dan beban tidak lebih dari beban kritis yang dapat menyebabkan terjadinya tekukan. Selain itu, bahan batang bersifat isotropis, penampang lintang batang merata sepanjang batang, serta tegangan yang terjadi masih berada dalam batas proporsional sehingga hukum Hooke masih berlaku.
7.2. Batang-batang dengan Berbagai Konstruksi Penumpuan Ada empat macam sistem penumpuan yang akan dibahas, berturut-turut adalah satu ujung batang dijepit sedang ujung lain bebas, kedua ujung batang dijepit, kedua ujung batang dipasang berengsel, dan satu ujung batang dijepit sedang ujung lain berengsel. Harga koefisien pemasangan ditunjukkan oleh grafik elastis perubahan bentuk batang dalam pembebanan.
7.2.a. Batang dengan Kedua Ujung Bertumpuan Sendi F B
F x B
B
y
l/2
F
l/2 C
C
l a F
l/2 A
A F
(a) Tanpa Beban
F (b) Superposisi
(c)
(d)
Gambar 7.2. Pembebanan Normal Negatif
Perhatikan Gambar 7.2(c) di atas. Beban gaya F (N) pada titik berat penampang lintangnya yang di asumsikan selalu bekerja pada arah vertikal. Akibat beban F tersebut titik B akan berpindah ke B’ yang berjarak a dari kedudukan awal. Beban tersebut merupakan beban kritis, sehingga perpindahan sangat kecil dan momen yang timbul tidak cukup untuk menimbulkan tekukan.
3
12/5/2016
Pada titik sembarang seperti ditunjukkan pada Gambar 7.2(c), seperti pada defleksi, maka d 2x M dy 2 EI
(7.2a)
M = F.x
(7.2b)
Sehingga
d dx F .x dy dy EI Kedua ruas dikalikan dengan dx sehingga dx dx F . d . x. dx dy dy EI Dimisalkan maka persamaan di atas menjadi dx z dy z. dz
F . x. dx EI
Karena variabelnya telah terpisah pada masing-masing ruas, maka persamaan tersebut dapat diintegralkan, yang hasilnya z2 F 2 F . x C1 atau z 2 . x 2 C1 2 2 EI EI Dikembalikan harga z sehingga 2
(7.3a) dx F 2 . x C1 dy EI Terhadap titik A dengan x = a dan (dx/dy) = 0, maka persamaan (7.3a) menjadi (7.3b) F F 2 02 . a 2 C1 atau C1 .a EI EI Persamaan (7.3b) disubstitusikan ke persamaan (7.3a) diakar, akan menjadi dx F dy EI
a2 x2
kemudian
(7.4) atau
dx a2 x2
F . dy EI
4
12/5/2016
Persamaan (7.4) juga merupakan fungsi eksplisit, sehingga masingmasing ruasnya dapat diintegrasikan, yang hasilnya x sin1 a
(7.5a)
F . y C2 EI
Di titik B dengan x = 0 dan y = 0, maka persamaan di atas menjadi (7.5b) F .0 C2 atau C2 0 EI Substitusi persamaan (7.5b) ke persamaan (7.5a) akan menghasilkan sin1 0
x sin1 a atau
F . y2 EI
F .y EI
(7.6)
F . y2 x sin a EI
Karena untuk suatu pembebanan tertentu pada suatu batang tertentu, harga-harga F, E dan I adalah konstan, sehingga persamaan tersebut menyatakan bahwa simpangan tekuk merupakan fungsi sinus. Untuk titik A dengan x = xmax = a dan y = (l/2), persamaan (7.6) menjadi
2 F .l 2 F. l 2 a 1 sin atau sin EI a 4 EI Persamaan (7.7) di atas dipenuhi apabila
F .l 2 4 EI 2
atau
3 2
atau
(7.7)
5 seterusnya. ............ dan 2
Karena F yang dicari adalah yang terkecil untuk menyebabkan tekukan, maka diambil harga ruas kanan yang terkecil, sehingga
F .l 2 4 EI 2
atau
sehingga F .l 2 2 EI
5
12/5/2016
Fcr
2 . EI l2
(7.8)
: beban kritik yang dapat memulai terjadinya tekukan (N) : modulus elastistas Young (MPa) : inersia minimum penampang lintang batang (mm4) : panjang tekuk (mm), dengan l = k.L. : koefisien pemasangan, untuk penumpuan jenis ini harga k = 1. L : panjang batang (mm), sehingga untuk penumpuan jenis ini k = L. Dengan demikian, karena l = L , maka persamaan (7.8) menjadi dengan
Fcr E I l k
(7.9)
2 . EI Fcr L2
7.2.b. Satu Ujung Dijepit dan Ujung lain Bebas Menurut analisis pada sub bagian 7.2.a., dengan harga k = 1, panjang tekuk sama dengan sama dengan panjang batang. Sehingga pada Gambar 7.3(a) di samping, panjang batang tersebut sama dengan panjang batang pada Gambar 7.2(c), atau l/2 = L. Dengan perkataan lain, panjang tekuk batang dengan satu tumpuan jepit dan ujung lainnya bebas adalah l = 2L
atau
k = 2
7.10)
Substitusi persamaan (7.10) ke persamaan (7.8) akan menghasilkan
6
12/5/2016
Fcr dengan
Fcr E I L
2 . EI 4 L2
(7.11)
: beban kritik yang dapat memulai terjadinya tekukan (N) : modulus elastistas Young (MPa) : inersia minimum penampang lintang batang (mm4) : panjang batang (mm).
7.2.c. Batang dengan Kedua Ujung Bertumpuan Jepit Secara logika, batang dengan kedua ujung ditumpu secara jepit lebih kaku dibandingkan dengan batang dengan yang kedua ujungnya bertumpuan engsel. Perhatikan perubahan bentuk elastis batang pada Gambar 7.4(b). Ternyata bahwa batang terbagi menjadi empat bagian yang sama panjang yang masing-masing sebangun benar dengan Gambar 7.2(c). Karena hal inilah maka konstruksi penumpuan semacam ini memiliki panjang tekuk l = 2L. Dengan perkataan lain, koefisien pemasangan, k = 2.
F
F F
B
B F l 2
L
l
F
F F
A
A F F
(a) Tanpa Beban
F (b) Superposisi
Gambar 7.4. Balok dengan Kedua Ujung Bertumpuan Jepit
Dengan panjang tekuk l = 2L
atau
k=2
(7.12)
maka persamaan (7.8) menjadi
Fcr
4 2 . EI L2
(7.13)
7
12/5/2016
dengan
Fcr E I L
: beban kritik yang dapat memulai terjadinya tekukan (N) : modulus elastistas Young (MPa) : inersia minimum penampang lintang batang (mm4) : panjang batang (mm)
7.2.d. Batang dengan Ujung-ujung Bertumpuan Jepit-Sendi F B
l/2 L
F
B
F F
l/2 F F
A
A
(a) Tanpa Beban
F (b) Pembebanan
F (c) Penyederhanaan
Gambar 7.5. Pembebanan Normal Negatif
Perhatikan Gambar 7.5(b) di atas. Gambat tersebut menunjukkan bahwa panjang tekuk kurang lebih dua per tiga panjang batang, atau
l
2L 3
(7.14)
maka persamaan (7.8) menjadi 7.15) 9 2 . EI 2 4L Fcr : beban kritik yang dapat memulai terjadinya tekukan (N) E : modulus elastistas Young (MPa) I : inersia minimum penampang lintang batang (mm4) L : panjang batang (mm)
Fcr
dengan
8
12/5/2016
7.3. Berlakunya Teori Euler Sebagaimana telah dikemukakan pada bagian depan, bahwa teori Euler hanya berlaku untuk pembebanan pada daerah proporsional. Sedangkan untuk pembebanan di luar daerah proporsional berlaku rumus-rumus yang dikoreksi yang di luar pembahasan pada diktat ini. Karena tegangan yang terjadi harus lebih kecil atau maksimal sama dengan tegangan pada batas proporsional, maka cr p
sedangkan cr
Fcr A
(7.16)
Dari persamaan (7.8), diperoleh rumus umum untuk berbagai konstruksi penumpuan ujung sebagai berikut Fcr
2 . EI l2
Dengan demikian persamaan (7.16) menjadi 2
2 r2 2 . EI 2 . E I 1 2 2 . E . . E . l2 A l2 A l2 Harga cr di atas kemudian disubstitusikan kembali ke persamaan (7.16) yang di sebelah kiri, sehingga koefisien kerampingan batang dapat dihitung sebagai berikut
cr
2 (7.17) E 1 2 . E . p sehingga . p Sedangkan batas harga kerampingan untuk berlakunya Euler adalah diambil dari persamaan di atas, yang besarnya adalah
(7.18a)
batas
E . p
dengan: l : kerampingan batang E : modulus elastisitas Young bahan (MPa) sp : tegangan pada batas proporsional bahan (MPa)
9
12/5/2016
Contoh Soal:
Tiang penyangga berbentuk pipa dengan diameter dalam 90% dari
diameter luarnya, atau
d = 0,9 D.
pada batas proporsional 700 MPa. keamanan diambil
4.
Mudulus elestisitas Young 200 GPa, tegangan Tinggi tiang tinggal
sedangkan faktor
Tentukan ukuran diameter luar dan diameter dalam tiang
tersebut bila penumpuan ujung-ujung dengan: kedua ujung berengsel,
3 m
(a) satu jepit ujung lain bebas,
(b)
(c) satu ujung jepit ujung lain engsel, dan (d) kedua ujung
jepit.
10
