Bek¨ uldend˝ o Vezeteknev-keresztnev.doc nev˝ u fileban a feladat matematikai modellje ´ es megold´ asa, ´ es Vezeteknev-keresztnev.gms fileban a gams file. Hat´ arid˝ o dec. 5. 20 ´ ora F1. Egy c´eg le akarja cser´elni az aut´oparkj´ at, ez´ert el akarja adni a haszn´alt aut´oit. A c´egnek h´arom telephelye van; Gy˝orben 10, Sopronban 15, Zalaegerszegen 20 elad´asra v´ar´o aut´o van. Szombathelyre ´es Kapuv´arra rendelnek 8 aut´ot, P´ap´ara ´es S´arv´arra pedig 10-t. Az egyes v´arosok k¨ozti t´avols´agok kil´om´eterben: Gy˝or Sopron Zalaegerszeg
Sombathely 106 64 54
Kapuv´ar 49 39 103
P´apa 46 95 99
S´arv´ar 91 58 55
El˝o van ´ırva, hogy Zalaegerszegr˝ol az ¨osszes aut´ot el kell vinni, m´ıg Gy˝orb˝ol legal´abb annyit el kell vinni, mint Sopronb´ ol. Hogyan oldj´ak meg a sz´all´ıt´ast, hogy az ¨ossze sz´all´ıt´asi u ´thossz a lehet˝o legkisebb legyen? F2. Egy c´eg le akarja cser´elni az aut´oparkj´ at, ez´ert el akarja adni a haszn´alt aut´oit. A c´egnek h´arom telephelye van; Gy˝orben 13, Sopronban 12, Zalaegerszegen 20 elad´asra v´ar´o aut´o van. Szombathelyre rendelnek 8, Kapuv´arra rendelnek 10 aut´ot, m´ıg P´ap´ara ´es S´arv´arra pedig 10-et. Az egyes v´arosok k¨ozti t´avols´ agok kil´om´eterben: Gy˝or Sopron Zalaegerszeg
Sombathely 106 64 54
Kapuv´ar 49 39 103
P´apa 46 95 99
S´arv´ar 91 58 55
El˝o van ´ırva, hogy Zalaegerszegr˝ol legal´abb 14 aut´ot el kell vinni, tov´abb´a Gy˝orb˝ol nem sz´all´ıthatunk S´arv´arra. Hogyan oldj´ak meg a sz´all´ıt´ ast, hogy az ¨osszes sz´all´ıt´asi u ´thossz a lehet˝o legkisebb legyen? F3. Egy v´allalatnak n´egy v´arosban (B1, B2, B3, B4) van kavicsb´any´aja. (A v´arosokat a programban is jel¨olj¨ uk B1,B2,B3,B4-gyel!) Az egyes b´any´akban rendre (100; 120; 110; 130) tonna kavics ´all rendelkez´esre. 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o u ´t´ep´ıt´eshez (R1, R2, R3) (a programban is h´ıvjuk ˝oket ´ıgy!) kell kavicsot sz´all´ıtani, rendre (140; 160; 130) tonn´at. Egy tonna kavics elsz´all´ıt´as´anak a k¨olts´eg´et (ezer Forintban) a k¨ovetkez˝ o t´abl´ azat tartalmazza: R1 R2 R3
B1 400 360 280
B2 380 290 250
B3 250 180 100
B4 380 240 150
El˝o van ´ırva, hogy a B4-es v´arosb´ ol az ¨osszes kavicsot el kell sz´all´ıtani, m´ıg B2-b˝ol legfeljebb annyit vihet¨ unk el, mint B1-b˝ol. Hogyan oldjuk meg a megrendel´esek teljes´ıt´es´et, hogy ¨osszes sz´all´ıt´asi k¨olts´eg a lehet˝o legkisebb legyen? (az elsz´all´ıtott kavics mennyis´ege nem kell, hogy eg´esz sz´am legyen!) F4. Egy v´allalatnak n´egy v´arosban (B1, B2, B3, B4) van kavicsb´any´aja. (A v´arosokat a programban is jel¨olj¨ uk B1,B2,B3,B4-gyel!) Az egyes b´any´akban rendre (120; 120; 110; 130) tonna kavics ´all rendelkez´esre. 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o u ´t´ep´ıt´eshez (R1, R2, R3) (a programban is h´ıvjuk ˝oket ´ıgy!) kell kavicsot sz´all´ıtani, rendre (140; 160; 150) tonn´at. Egy tonna kavics elsz´all´ıt´as´anak a k¨olts´eg´et (ezer Forintban) a k¨ovetkez˝ o t´abl´ azat tartalmazza: R1 R2 R3
B1 420 380 260
B2 380 300 280
B3 250 180 100
B4 380 240 150
El˝o van ´ırva, hogy a B3-as v´arosb´ ol nem sz´all´ıthatunk R2-be, m´ıg B2-b˝ol nem sz´all´ıthatunk R1-be. Hogyan oldjuk meg a megrendel´esek teljes´ıt´es´et, hogy ¨osszes sz´all´ıt´asi k¨olts´eg a lehet˝o legkisebb legyen? F5. Egy c´eg Tat´an 20, Kisb´eren 40, T´aton 70 kont´ener ´arut t´arol. Rendel´est kap Tatab´any´ar´ol 25, Oroszl´anyb´ol 40, Sz´arligetb˝ ol 35 kont´ener ´aru lesz´all´ıt´as´ara. T´atr´ol legfeljebb 1,5-szer annyi
kont´enert sz´all´ıthatunk el, mint Tat´ ar´ ol ´es Kisb´err˝ol ¨osszesen. kil´om´eterben: Tata Kisb´er T´at
Tatab´ anya 10 40 40
Oroszl´any 20 30 50
A v´arosok k¨ozti t´avols´agok
Sz´arliget 20 50 50
Hogyan oldj´ak meg a sz´all´ıt´ ast, hogy az ¨osszes sz´all´ıt´asi u ´thossz a lehet˝o legkisebb legyen? F6. Egy c´eg Tat´an 30, Kisb´eren 40, T´aton 60 kont´ener ´arut t´arol. Rendel´est kap Tatab´any´ar´ol 25, Oroszl´anyb´ol 40, Sz´arligetb˝ ol 35 kont´ener ´aru lesz´all´ıt´as´ara. T´atr´ol legal´abb 1,3-szer annyi kont´enert kell elsz´all´ıthatunk, mint Tat´ ar´ ol ´es Kisb´err˝ol ¨osszesen. A v´arosok k¨ozti t´avols´agok kil´om´eterben: Tata Kisb´er T´at
Tatab´ anya 10 40 40
Oroszl´any 20 30 50
Sz´arliget 20 50 50
Hogyan oldj´ak meg a sz´all´ıt´ ast, hogy az ¨osszes sz´all´ıt´asi u ´thossz a lehet˝o legkisebb legyen? F7. 10 t´argyat kell k´et kisteheraut´oba berakodnunk. (A t´argyakat jel¨olj¨ uk a programban t1,t2,...t10-zel.) A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´at(m3 ), ´es az elsz´all´ıt´as eset´en az ´ert¨ uk kapott p´enzt(10 ezer FT) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: t´argyak t¨omeg t´erfogat ´ar
t1 30 2 6
t2 50 3 8
t3 20 3 3
t4 70 2 5
t5 50 4 7
t6 30 1 4
t7 70 3 9
t8 80 2 4
t9 30 5 5
t10 70 3 4
Az els˝o teheraut´o maximum 150 kg t¨omeg˝ u, ´es 13m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. A m´asodik teheraut´o maximum 130 kg t¨omeg˝ u, ´es 15m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. Az els˝o ¨ot t´argyb´ol legal´abb 2-t el kell vinn¨ unk, m´ıg a 6-os ´es 8-as t´argyat nem sz´all´ıthatjuk ugyanabban a teheraut´oban. Melyik teheraut´oval melyik t´argyakat sz´all´ıtsuk el, hogy maxim´alis legyen a bev´etel¨ unk? F8. 10 t´argyat kell k´et kisteheraut´oba berakodnunk. (A t´argyakat jel¨olj¨ uk a programban targy1,targy2,...targy10-zel.) A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´at(m3 ), ´es az elsz´all´ıt´as eset´en az ´ert¨ uk kapott p´enzt(10 ezer FT) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: t´argyak t¨ omeg t´erfogat ´ar
targy1 30 2 6
targy2 40 3 8
targy3 50 3 3
targy4 70 2 5
targy5 50 4 8
targy6 30 1 6
targy7 70 3 9
targy8 80 2 4
targy9 30 5 5
targy10 70 3 4
Az els˝o teheraut´o maximum 160 kg t¨omeg˝ u, ´es 13m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. A m´asodik teheraut´o maximum 140 kg t¨omeg˝ u, ´es 15m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. Az els˝o hat t´argyb´ol legal´abb 3-at el kell vinn¨ unk, m´ıg ha a 4-es t´argyat elvissz¨ uk, akkor az 5-¨ost is el kell vinn¨ unk. Melyik teheraut´oval melyik t´argyakat sz´all´ıtsuk el, hogy maxim´alis legyen a bev´etel¨ unk? F9. K´et bar´at kir´andulni indul. 10 t´argy elvitel´en gondolkodnak. A t´argyakat jel¨olje t1,t2,... t10 a programban. A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´at(m3 ), ´es a hasznoss´agukat az al´abbi t´abl´azat tartalmazza: t´argyak t¨omeg t´erfogat hasznoss´ ag
t1 6 2 8
t2 5 3 4
t3 2 3 3
t4 8 4 5
t5 2 4 7
t6 3 1 4
t7 7 3 9
t8 8 2 4
t9 3 5 5
t10 7 3 3
P´eter h´atizs´akj´aba ¨osszesen maximum 14 kg t¨omeg˝ u, ´es 10m3 t´erfogat´ u, m´ıg P´al h´atizs´akj´aba 3 ¨osszesen maximum 12 kg t¨omeg˝ u, ´es 11m t´erfogat´ u t´argy f´er el. A t1-es t´argyat mindenk´eppen el kell vinni¨ uk. P´eter ragaszkodik hozz´a, hogy ha t4-et elviszik, akkor t6-ot is vigy´ek. Melyik t´argyat ki vigye, hogy maxim´alis legyen az ¨osszhasznoss´ag?
F10. K´et bar´at kir´andulni indul. 10 t´argy elvitel´en gondolkodnak. A t´argyakat jel¨olje t1,t2,... t10 a programban. A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´at(m3 ), ´es a hasznoss´agukat az al´abbi t´abl´azat tartalmazza: t´argyak t¨omeg t´erfogat hasznoss´ ag
t1 5 2 8
t2 5 3 5
t3 2 4 3
t4 5 4 5
t5 2 4 7
t6 3 1 4
t7 7 3 9
t8 8 2 4
t9 3 5 5
t10 7 3 3
P´eter h´atizs´akj´aba ¨osszesen maximum 16 kg t¨omeg˝ u, ´es 12m3 t´erfogat´ u, m´ıg P´al h´atizs´akj´aba 3 ¨osszesen maximum 13 kg t¨omeg˝ u, ´es 11m t´erfogat´ u t´argy f´er el. A t1-es ´es t2-es t´argyb´ol legal´abb az egyiket mindenk´eppen el kell vinni¨ uk. P´eter ragaszkodik hozz´a, hogy ha t4-et elviszik, akkor t6-ot hagyj´ak otthon. Melyik t´argyat ki vigye, hogy maxim´alis legyen az ¨osszhasznoss´ag? F11. 10-f´ele t´argy mindegyik´eb˝ ol 4 darab ´all rendelkez´esre. A 40 t´argyat kell k´et kisteheraut´oba berakodnunk. (A k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o t´ıpus´ u t´argyakat jel¨olj¨ uk a programban t1,t2,...t10-zel.) A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´ at(m3 ), ´es az elsz´all´ıt´ as eset´en az ´ert¨ uk kapott p´enzt(10 ezer FT) az al´abbi t´abl´azat tartalmazza: t´argyak t¨omeg t´erfogat ´ar
t1 30 2 6
t2 50 3 8
t3 20 3 3
t4 70 2 5
t5 50 4 7
t6 30 1 4
t7 70 3 9
t8 80 2 4
t9 30 5 5
t10 70 3 4
Az els˝o teheraut´o maximum 150 kg t¨omeg˝ u, ´es 13m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. A m´asodik teheraut´o maximum 130 kg t¨omeg˝ u, ´es 15m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. A t2 t´ıpusb´ol legfeljebb kett˝ot vihet¨ unk el. Melyik teheraut´oval melyik t´argyakat sz´all´ıtsuk el, hogy maxim´alis legyen a bev´etel¨ unk? F12. 10-f´ele t´argy mindegyik´eb˝ ol 3 darab van. A t´argyakat (¨osszesen teh´at 30 van!) k´et kisteheraut´oba kell berakodnunk. (A k¨ ul¨ onb¨oz˝ o t´ıpus´ u t´argyakat jel¨olj¨ uk a programban targy1,targy2,...targy10zel.) A t´argyak t¨omeg´et(kg), t´erfogat´ at(m3 ), ´es az elsz´all´ıt´as eset´en az ´ert¨ uk kapott p´enzt(10 ezer FT) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: t´argyak t¨ omeg t´erfogat ´ar
targy1 30 2 6
targy2 40 3 8
targy3 50 3 3
targy4 70 2 5
targy5 50 4 8
targy6 30 1 6
targy7 70 3 9
targy8 80 2 4
targy9 30 5 5
targy10 70 3 4
Az els˝o teheraut´o maximum 160 kg t¨omeg˝ u, ´es 13m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. A m´asodik teheraut´o maximum 140 kg t¨omeg˝ u, ´es 15m3 t´erfogat´ u ´arut tud sz´all´ıtani. Az els˝o teheraut´oval legfeljebb 3 t´argyat vihet¨ unk el, m´ıg a targy2-es t´ıpusb´ol legal´abb kett˝ot el kell vinn¨ unk. Melyik teheraut´oval melyik t´argyakat sz´all´ıtsuk el, hogy maxim´alis legyen a bev´etel¨ unk?
F13. Egy u ¨zlet naponta reggel 8-t´ol 17-ig van nyitva. A nap egyes id˝oszakaiban az al´abbi sz´am´ u elad´ora van sz¨ uks´eg: 8-10 2
10-14 3
14-16 5
16-17 3
Az elad´ok mindig eg´esz ´orakor kezdenek dolgozni, ´es 4 ´or´at dolgoznak egyfolyt´aban (azaz a legk´es˝obbi lehets´eges munk´ aba ´all´ asi id˝o a 13 ´ora). Minim´alisan h´any elad´ora van sz¨ uks´ege az u ¨zletnek? Mikor kezdjenek az egyes elad´ok? F14. Egy u ¨zlet naponta 0-t´ol 24 ´or´ aig van nyitva. A nap egyes id˝oszakaiban az al´abbi sz´am´ u elad´ora van sz¨ uks´eg: 0-6 3
6-14 4
14-20 5
20-24 3
Az elad´ok mindig eg´esz ´orakor kezdenek dolgozni, ´es 8 ´or´at dolgoznak egyfolyt´aban. Minim´alisan h´any elad´ora van sz¨ uks´ege az u ¨zletnek? Mikor kezdjenek az egyes elad´ok? F15. Egy u ¨zlet naponta 0-t´ol 24-ig van nyitva. A nap egyes id˝oszakaiban az al´abbi sz´am´ u elad´ora van sz¨ uks´eg: 0-5 2
5-9 4
9-18 6
18-24 5
Az elad´ok mindig p´aros ´orakor (azaz 0,2,4, stb.) kezdenek dolgozni, ´es 6 ´or´at dolgoznak egyfolyt´aban. Minim´alisan h´any elad´ora van sz¨ uks´ege az u ¨zletnek? Mikor kezdjenek az egyes elad´ok? F16. Egy ´ep´ıt˝oipari c´egn´el 60 munk´ as dolgozik, tov´abb´a a c´egnek van 10 kamionja. A k¨ovetkez˝o h´onapra a c´egnek 6 munka aj´anlata van. (Egy ember, illetve kamion csak egy helyen dolgozhat.) Az egyes munk´ akhoz sz¨ uks´eges emberek ´es kamionok sz´am´at, illetve a munka´a´ert kapott p´enzt(milli´o Ft-ban) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: munk´ ak emberek kamionok bev´etel
1 16 2 8
2 25 3 4
2 22 3 3
4 18 4 5
5 12 4 7
6 13 1 6
Ha egy munk´as nem dolgozik, akkor az a c´egnek 1 milli´os vesztes´eget jelent. Melyik munk´akat v´allaljuk el, hogy a hasznunk (azaz bev´etel-vesztes´eg) maxim´alis legyen? Mennyi ekkor a haszon? F17. Egy ´ep´ıt˝oipari c´egn´el 70 munk´ as dolgozik, tov´abb´a a c´egnek van 8 kamionja. A k¨ovetkez˝o h´onapra a c´egnek 6 munka aj´anlata van. (Egy ember, illetve kamion csak egy helyen dolgozhat) Az egyes munk´akhoz sz¨ uks´eges emberek ´es kamionok sz´am´at, illetve a munka´a´ert kapott p´enzt(milli´o Ft-ban) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: munk´ ak emberek kamionok bev´etel
1 17 1 10
2 25 3 4
2 22 3 3
4 18 3 5
5 12 4 7
6 10 1 6
Ha az egyes munk´at elv´allaljuk, akkor a h´armasat is el kell v´allalnunk. Melyik munk´akat v´allaljuk el, hogy a bev´etel maxim´alis legyen? Mennyi ekkor a haszon? F18. Egy ´ep´ıt˝oipari c´egn´el 100 munk´ as dolgozik, tov´abb´a a c´egnek van 10 kamionja. A k¨ovetkez˝o h´onapra a c´egnek 6 munka aj´anlata van. (Egy ember, illetve kamion csak egy helyen dolgozhat) Az egyes munk´akhoz sz¨ uks´eges emberek ´es kamionok sz´am´at, illetve a munka´a´ert kapott p´enzt(milli´o Ft-ban) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: munk´ ak emberek kamionok bev´etel
1 17 1 10
2 25 3 4
2 22 3 3
4 18 3 5
5 12 4 7
6 10 1 6
Az els˝o h´arom munk´ ab´ ol legfeljebb kett˝ ot v´allalhatunk el, m´ıg a 4-est ´es 6-ost egyszerre nem v´allalhatjuk el. Melyik munk´ akat v´allaljuk el, hogy a bev´etel maxim´alis legyen? Mennyi ekkor a haszon?
F19. Egy gy´arban h´arom term´eket, A, B ´es C gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 4 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3 ef˝ oforr´ as4
A 4 2 5 4
B 3 1 7 3
C 6 3 8 2
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (70; 60; 100; 90) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:20; B:30; C:25 egys´eg. Mindegyik term´ekb˝ol legal´abb 5 egys´egnyit gy´artanunk kell, m´ıg a B-b˝ol legal´abb annyit, mint a C-b˝ol. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? (csak eg´esz sz´am´ u term´ek gy´arthat´o) F20. Egy gy´arban h´arom term´eket, A, B ´es C gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 4 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨obetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3 ef˝ oforr´ as4
A 5 4 5 4
B 3 1 9 3
C 7 3 8 2
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (80; 70; 100; 80) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:40; B:30; C:25 egys´eg. A B term´ekb˝ol legfeljebb 5 egys´egnyit gy´arthatunk, m´ıg az A-b˝ol legal´abb k´etszer annyit kell gy´artani, mint a C-b˝ol. Egyik term´ekb˝ol sem akarunk 7-n´el t¨obbet gya´artani. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? (Csak eg´esz sz´am´ u term´ek gy´arthat´ o) F21. Egy gy´arban h´arom term´eket, A, B ´es C gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 4 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3 ef˝ oforr´ as4
A 5 6 5 4
B 3 1 7 3
C 7 3 9 4
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (110; 80; 100; 80) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:40; B:30; C:55 egys´eg. A B term´ekb˝ol pontosan annyit kell gy´artani, mint C-b˝ol. Mindegyik term´ekb˝ ol legal´abb 3-t kell gy´artani. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? F22. Egy gy´arban h´arom term´eket, A, B ´es C gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 4 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3 ef˝ oforr´ as4
A 5 6 5 4
B 3 1 7 3
C 7 3 9 4
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (110; 80; 100; 80) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:40; B:30; C:55 egys´eg. A B term´ekb˝ol pontosan annyit kell gy´artani, mint C-b˝ol. A C er˝oforr´ asb´ ol legal´abb 60 egys´egnyit fel kell haszn´alnunk. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? (Csak eg´esz sz´am´ u term´ek gy´arthat´o) F23. N´egy u ´sz´ob´ol (jel¨olje ˝oket A,B,C ´es D) szeretn´enk ¨ossze´all´ıtani a legjobb vegyesv´alt´ot Az egyes u ´sz´ok legjobb egy´eni eredm´enyei (m´asodpercben) a k¨ ul¨onb¨oz˝o u ´sz´asnemekben:
gyors mell h´ at pillang´ o
A 51,10 60,25 59,80 55,60
B 51,35 60,10 59,75 55,45
C 51,25 60,45 60,1 55,30
D 51,40 60,05 59,75 55,50
Melyik versenyz˝o melyik u ´sz´ asnemben induljon, hogy a v´alt´o a leggyorsabb legyen? F24. Egy v´allalatnak 4 (jel¨olje a programban h1,h2,h3 ´es h4) helysz´ınre kell egy-egy munk´ast k¨ uldenie. A 4 sz´oba j¨ohet˝ o munk´ asnak az egyes helysz´ınekre val´ o kijut´as´anak a k¨olts´eg´et (ezer Ft-ban) k¨ovetkez˝o t´abl´ azat tartalmazza: h1 h2 h3 h4
A 6 7 3 5
B 7 4 4 6
C 5 8 2 7
D 5 6 5 5
Tudjuk, hogy a D munk´ as semmik´eppen nem akar a h1 helysz´ınre menni. Melyik munk´ast hova k¨ uldj¨ uk, hogy az ¨osszk¨ olts´eg minim´alis legyen? Mennyi a minim´alis ¨osszk¨olts´eg? F25 Van 1 milli´o Ft befektetni val´ o p´enz¨ unk. 5 festm´eny megv´etele k¨oz¨ ul v´alaszthat: A: 200000 Ft-ba ker¨ ul; 1 ´ev m´ ulva azonban v´arhat´oan 300000 Ft-ot kapunk ´erte; B: 300000 Ft-ba ker¨ ul; 1 ´ev m´ ulva azonban v´arhat´oan 450000 Ft-ot kapunk ´erte; C: 400000 Ft-ba ker¨ ul; 1 ´ev m´ ulva azonban v´arhat´oan 700000 Ft-ot kapunk ´erte; D: 250000 Ft-ba ker¨ ul; 1 ´ev m´ ulva azonban v´arhat´oan 360000 Ft-ot kapunk ´erte; E: 330000 Ft-ba ker¨ ul; 1 ´ev m´ ulva azonban v´arhat´oan 500000 Ft-ot kapunk ´erte. Mivel az A-t ´es B-t ugyanaz festette, ez´ert nem akarjuk mindkett˝ot megvenni. C ´es D pedig egy sorozat k´et k´epe, ez´ert ha az egyiket megvessz¨ uk, akkor a m´asikat is meg kell. A fetm´enyv´as´arl´asb´ol megmaradt p´enzt 1 ´evre lek¨otj¨ uk a bankban ´evi 6 sz´azal´ekos kamatra. Tudjuk, hogy b´armit is vesz¨ unk, azt 1 ´ev m´ ulva el is adjuk. Melyik k´epeket vegy¨ uk meg, hogy 1 ´ev m´ ulva a legt¨obb p´enz¨ unk legyen? F26. Egy sportiskola foci-, kos´ arlabda-, k´ezilabda-, r¨oplabda- ´es tollaslabda edz˝ot szeretne felvenni. H´et jelentkez˝ o van, akik a k¨ovetkez˝ o edz˝oi k´epes´ıt´esekkel b´ırnak: A: foci, kos´arlabda B: foci, r¨oplabda, k´ezilabda C: tollaslabda D: kos´arlabda, k´ezilabda E: k´ezilabda, r¨oplabda, tollaslabda F: r¨oplabda, k´ezilabda G: foci, tollaslabda A jelentkez˝ok fizet´esi ig´enyei (ezer Ft-ban): A: 250; B:300; C: 180; D:200; E: 320; F:240; G:230. ´ akarunk a jelentkez˝ Ugy ok k¨oz¨ ul felvenni embereket, hogy mindegyik sport´agot tudja valaki oktatni, de k´ezilabd´ab´ ol legal´abb k´et edz˝o kell. Kiket vegy¨ unk fel, hogy a b´erk¨olts´eg minim´alis legyen? F27. Egy megy´eben hat v´aros van (jel¨olje ˝oket A,B,C,D,E ´es F). A v´arosok egym´ast´ol val´o t´avols´ag´at (percben) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza: A B C D E F
A 0 40 10 25 15 30
B 40 0 30 20 15 20
C 10 30 0 25 20 35
D 25 20 25 0 18 25
E 15 15 20 18 0 25
F 30 20 35 25 25 0
Legal´abb 3 v´arosban ment˝ o´ allom´ ast kell ´ep´ıteni u ´gy, hogy minden v´aros el´erhet˝o legyen legal´abb egy ment˝o´allom´asr´ ol legfeljebb 20 perc alatt. Ha az A v´arosban ´ep¨ ul ´allom´as, akkor a D-be is kell ´ep´ıteni. Az ´ep´ıt´esi k¨olts´egek (milli´o Ft-ban) A: 20, B:25, C:30, D:18, E: 19, E:23. Mely
v´arosokba kell az ´allom´ asokat ´ep´ıteni, hogy az ¨osszk¨olts´eg minim´alis legyen? F28. Egy megy´eben hat v´aros van (jel¨olje ˝oket A,B,C,D,E ´es F). A v´arosok egym´ast´ol val´o t´avols´ag´at (percben) az al´abbi t´abl´ azat tartalmazza:
A B C D E F
A 0 30 10 25 15 30
B 30 0 30 20 15 20
C 10 30 0 25 20 35
D 25 20 25 0 18 25
E 15 15 20 18 0 35
F 30 20 35 25 35 0
Rend˝or´allom´asokat akarunk ´ep´ıteni u ´gy, hogy minden v´aros el´erhet˝o legyen legal´abb egy rend˝or´allom´asr´ol legfeljebb 25 perc alatt. A B ´es D v´arosok mindegyik´ebe nem ´ep´ıthet¨ unk ´allom´ast. Az ´ep´ıt´esi k¨olts´egek (milli´o Ft-ban) A: 23, B:28, C:30, D:25, E: 19, E:23. Mely v´arosokba kell az ´allom´asokat ´ep´ıteni, hogy az ¨osszk¨ olts´eg minim´alis legyen? F29. Egy gy´arban n´egy term´eket, A, B, C ´es D gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 3 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3
A 4 2 5
B 3 1 7
C 6 3 8
D 5 7 4
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (70; 60; 100) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:20; B:30; C:25, D:50 egys´eg. Mindegyik term´ekb˝ol legal´abb 2 egys´egnyit gy´artanunk kell, m´ıg a B-b˝ol legal´abb annyit, mint a C-b˝ol ´es D-b˝ol ¨osszesen. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? (csak eg´esz sz´am´ u term´ek gy´arthat´o) F39. Egy gy´arban n´egy term´eket, A, B, C ´es D gy´artanak. Mindegyik gy´art´as´ahoz 3 er˝oforr´as sz¨ uks´eges. Egy term´ek el˝o´ all´ıt´ as´ ahoz sz¨ uks´eges er˝oforr´asok mennyis´eg´et a k¨ovetkez˝o t´abl´azat tartalmazza: er˝ oforr´ as1 er˝ oforr´ as2 er˝ oforr´ as3
A 2 3 5
B 3 1 5
C 6 3 8
D 5 7 4
Az egyes er˝oforr´asokb´ ol a rendelkez´esre ´all´ o mennyis´eg rendre (80; 90; 100) egys´eg. A term´ekek ´ara: A:20; B:30; C:25, D:50 egys´eg. Az A term´ekb˝ol legal´abb h´aromszor annyit kell gy´arteni, mint a C-b˝ol. Mib˝ol mennyit termelj¨ unk, hogy az ´arbev´etel maxim´alis legyen? (csak eg´esz sz´am´ u term´ek gy´arthat´o)
