SZÓBELI TÉMAKÖRÖK A MATEMATIKA ÉRETTSÉGIRE

SZÓBELI TÉMAKÖRÖK A MATEMATIKA ÉRETTSÉGIRE 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok TÉMÁK 1.1. Halmazok

1.1.1. Halmazműveletek

1.1.2. Számosság, részhalmazok 1.2. Matematikai logika

1.2.1. Fogalmak, tételek és bizonyítások a matematikában 1.3. Kombinatorika

1.4. Gráfok

KÖZÉPSZINT Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát. Definiálja és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő fogalmakat: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz. Ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő műveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat. Véges halmazok elemeinek száma. Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza megfelelően a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet. Ismerje az „és”, a „(megengedő) vagy” logikai jelentését, tudja használni és összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a „minden”, „van olyan” kvantorokat. Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban helyesen a „szükséges”, az „elégséges” és a „szükséges és elégséges” feltétel fogalmát. Tudjon egyszerű sorbarendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani. Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat. Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével.

2. Számelmélet, algebra TÉMÁK 2.1. Alapműveletek

KÖZÉPSZINT Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is). Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). 2.2. A természetes számok halmaza, Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). számelméleti ismeretek Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, tudja adott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét kiszámítani; tudja mindezeket egyszerű szöveges (gyakorlati) feladatok megoldásában alkalmazni. Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban. 2.2.1. Oszthatóság Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat, tudjon egyszerű oszthatósági feladatokat megoldani. 2.2.2. Számrendszerek Tudjon más számrendszerek létezéséről. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2 alapú számrendszerbe és viszont. Helyiértékes írásmód. Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát. 2.3. Racionális és irracionális számok Adott n (nN) esetén tudja eldönteni, hogy √n irracionális szám-e. * 2.4. Valós számok Ismerje a valós számkör felépítését (N, Z, Q, Q , R), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát. Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolútérték definícióját. Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal.

A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. n√ Definiálja és használja az a fogalmát. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra. Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját. 2.6. Betűkifejezések 2.6.1. Nevezetes azonosságok Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá 2 2 3 3 2 2 3 3 alakítását: (a + b) ; (a - b) ; (a + b) ; (a - b) ; a - b ; a - b ; Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani, algebrai kifejezéseket egyszerűbb alakra hozni (összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása). Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat. 2.7. Arányosság Tudjon arányossági feladatokat megoldani. 2.7.1. Százalékszámítás Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása. 2.8. Egyenletek, egyenletrendszerek, Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát. Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségmegoldás, ekvivalens átalakítások, következményegyenletre vezető átalakítások, új rendszerek ismeretlen bevezetése stb. 2.8.1. Algebrai egyenletek, Tudjon elsőfokú, egyismeretlenes egyenleteket megoldani. egyenletrendszerek Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása. Elsőfokú egyenletek, Alkalmazza az egyenleteket, egyenletrendszereket szöveges feladatok egyenletrendszerek megoldásában. Másodfokú egyenletek, Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját. egyenletrendszerek Tudja meghatározni a diszkrimináns fogalmát. Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet. Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot. Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatokat megoldani. Másodfokú egyenletrendszerek megoldása. Magasabb fokú egyenletek Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Négyzetgyökös egyenletek Tudjon √ax + b = cx + d típusú egyenleteket megoldani. 2.8.2. Nem algebrai egyenletek Abszolútértékes egyenletek Tudjon |ax + b| = c típusú egyenleteket algebrai és grafikus módon, valamint |ax + b| = cx + d típusú egyenleteket megoldani. Exponenciális és logaritmikus Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat egyenletek megoldani. Trigonometrikus egyenletek Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. 2.8.3. Egyenlőtlenségek, Ismerje az egyenlőtlenségek alaptulajdonságait (mérlegelv alkalmazása). egyenlőtlenség-rendszerek Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. 2.9. Középértékek, egyenlőtlenségek Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk. 2.5. Hatvány, gyök, logaritmus

3. Függvények, az analízis elemei TÉMÁK 3.1. A függvény

3.2. Egyváltozós valós függvények

3.2.1. A függvények grafikonja, függvénytranszformációk

KÖZÉPSZINT A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat (értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet) Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani, illetve tudja egyszerű függvények esetén f(x) = c alapján az x-et meghatározni. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmus függvény vagy a geometriai transzformációk). Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: 2 3 2 x → ax + b; x → x ; x → x ; x → ax + bx + c; x → √x; x →|x|; x x → a/x; x → sin x; x → cos x; x → tg x; x → a ; x → log x. a Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról.

Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [(x) + c; (x + c); c · (x); (xc)] 3.2.2. A függvények Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, jellemzése szélsőérték, periodicitás, paritás szempontjából. Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait. 3.3. Sorozatok 3.3.1. Számtani és mértani Tudjon olyan feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol a soroztok számtani, illetve mértani sorozat fogalmát és az a -re, illetve az S -re vonatkozó n n összefüggéseket kell használni. Végtelen mértani sor 3.3.2. Kamatos kamat, Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot járadékszámítás kiszámolni.

4. Geometria, koordinátageometria, trigonometria TÉMÁK 4.1. Elemi geometria 4.1.1. Térelemek

KÖZÉPSZINT Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát. Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát. Ismerje a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat. Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont és egyenes, pont és sík, párhuzamos egyenesek, párhuzamos síkok távolsága; két egyenes, egyenes és sík, két sík hajlásszöge) vonatkozó meghatározásokat. Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban.

4.1.2. A távolságfogalom segítségével definiált ponthalmazok 4.2. Geometriai transzformációk 4.2.1. Egybevágósági transzformációk Síkban Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat. Alkalmazza a feladatokban az eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, egybevágósági transzformációkat. Tudjon végrehajtani transzformációkat konkrét esetekben. Ismerje és tudja alkalmazni feladatokban a háromszögek egybevágósági alapeseteit. Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.

Térben 4.2.2. Hasonlósági transzformációk

Ismerje a transzformációk leírását, tulajdonságait, alkalmazza azokat. Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést egyszerű, gyakorlati feladatokban. Szakasz adott arányú felosztása. Hasonló alakzatok felismerése, (pl. háromszögek hasonlósági alapesetei) alkalmazása, arány felírása. Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket.

4.3. Síkbeli és térbeli alakzatok 4.3.1. Síkbeli alakzatok Háromszögek

Négyszögek

Sokszögek

Kör

4.3.2. Térbeli alakzatok 4.4. Vektorok síkban és térben

4.5. Trigonometria

Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint.

Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei, oldalai és szögei között (háromszög-egyenlőtlenség, belső, illetve külső szögek összege, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van). Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait. Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör). Ismereteit alkalmazza egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt. Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat, alkalmazza ismereteit egyszerű feladatokban. Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Tudja a szabályos sokszögek definícióját. A kör részeinek ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Tudja és használja, hogy a kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, s hogy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúak. A szög mérése fokban és radiánban. Tudja és alkalmazza feladatokban, hogy a középponti szög arányos a körívvel és a hozzá tartozó körcikk területével. Tudja és alkalmazza feladatokban a Thalész-tételt és megfordítását. Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete, alkalmazása egyszerű feladatokban. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: - vektor fogalma, abszolútértéke, - nullvektor, ellentett vektor, - vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa, - vektorműveletekre vonatkozó műveleti azonosságok, - vektor felbontása összetevőkre. Skaláris szorzat definíciója; tulajdonságai. Ismerje és alkalmazza feladatokban a következő definíciókat, tételeket: - vektor koordinátái, - a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái, - vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái, - skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatokban. Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban. Tudja a szögfüggvények általános definícióját. Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból. Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit. Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.

4.6. Koordinátageometria 4.6.1. Pontok, vektorok

4.6.2. Egyenes

4.6.3. Kör

4.7. Kerület, terület

4.8. Felszín, térfogat

Tudja AB vektor koordinátáit, abszolútértékét. Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban. A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása feladatokban. Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása. Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit. Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel. Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása. Alkalmazza ismereteit feladatokban. Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát. Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból: t= a · ma/2; t = ab sin γ/2. Nevezetes négyszögek területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása. Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok. Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel.

5. Valószínűség-számítás, statisztika TÉMÁK 5.1. Leíró statisztika 5.1.1. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai

KÖZÉPSZINT Tudjon adott adathalmazt szemléltetni. Tudjon adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni. Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát. Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni. Tudjon adott diagramról információt kiolvasni. Tudja és alkalmazza a következő fogalmakat: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság. 5.1.2. Nagy adathalmazok Ismerje és alkalmazza a következő fogalmakat: jellemzői, statisztikai mutatók - aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), - medián (rendezett minta közepe), - módusz (leggyakoribb érték). Ismerje és használja a következő fogalmakat: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Szórás kiszámolása adott adathalmaz esetén számológéppel. Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével. Véges sok kimenetel esetén szimmetria-megfontolásokkal számítható valószínűségek 5.2. A valószínűség(egyenlő esélyű elemi eseményekből) egyszerű feladatokban. számítás elemei Esemény, eseménytér konkrét példák esetén. A klasszikus (Laplace)-modell ismerete. Szemléletes kapcsolat a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén, binomiális eloszlás.

Elmélet 1. Definiálja két halmaz unióját, metszetét és különbségét! 2. Mondja ki a koszinusztételt! 3. Sorolja fel a logaritmus azonosságait! 4. Határozza meg, mit értünk a következő fogalmak alatt: két halmaz egyenlő, egy halmaz részhalmaza egy másiknak! 5. Ismertesse az 5-re és a 6-ra vonatkozó oszthatósági szabályt! 6. Hogyan fejezhető ki két vektor skaláris szorzata koordinátáik segítségével? 7. Definiálja két mennyiség egyenes- és fordított arányosságát és mondjon példát mindkettőre! 8. Milyen összefüggés áll fenn ugyanazon tetszőleges szög szinusza és koszinusza között? 9. Mit ért a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? 10. Ismertesse az 3-re és a 4-ra vonatkozó oszthatósági szabályt!

11. Adja meg a deltoid fogalmát, és sorolja fel tulajdonságait! Ismertessen speciális deltoidokat! 12. Adja meg a számtani sorozat n-edik elemét, és az első n elemének összegét! 13. Ismertesse a derékszögű háromszögre vonatkozó befogótételt! 14. Határozza meg a trapéz fogalmát! Ismertessen néhány speciális trapézt! 15. Fogalmazza meg a négyzetgyökvonásra vonatkozó azonosságokat! 16. Adjon meg elemeivel egy-egy növekvő, illetve csökkenő számtani és mértani sorozatot! 17. Határozza meg a racionális szám fogalmát és adja meg tizedestört alakját! 18. Mit ért két pont, egy adott pont és egy adott egyenes, illetve két párhuzamos egyenes távolságán a síkban? 19. Mondja ki a (derékszögű háromszögekben érvényes) magasságtételt! 20. Határozza meg a mértani sorozat fogalmát! 21. Miért nem egyenlő egy négyzet két átlóvektora? 22. Mit nevezünk vektornak? Ábrázolja a v ( -2; 3 ) helyvektort! 23. Számítsa ki az {1; 4; 6; 9} adatsokaság szórásnégyzetét, illetve szórását! 24. Határozza meg két adott ponttól, illetve két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmazát a síkon! 25. Ismertesse a hasonló síkidomok területének és a hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó tételeket! 26. Mit értünk egy valós szám abszolútértékén? 27. A függvény fogalma. Mit nevezünk egy függvény értékkészletének, értelmezési tartományának? 28. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza és koszinusza? Mivel egyenlő sin 240° illetve cos 870° pontos értéke? 29. Mekkorák az „a” élű kocka lapátlói és testátlói? 30. Fogalmazza meg Thalész tételét és a tétel megfordítását! 31. Írja fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét! 32. A háromszög súlypontjának koordinátái hogyan fejezhetők ki a csúcspontok koordinátáival? 33. Mondja ki a szinusz-tételt! 34. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több pozitív egész szám relatív prím? 35. Ismertesse a Pitagorasz-tétel geometriai és algebrai megfogalmazását! 36. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? 37. Hogyan értelmezzük a hegyesszögek szögfüggvényeit? 38. Egy mértani sorozat első tagja 6, hányadosa pedig 0,5. Mekkora a 10-edik tag? 39. Írjon le egy olyan kísérletet, amelyben az Ön által megadott esemény bekövetkezésének valószínűsége 0,45! 40. Sorolja fel a háromszögek egybevágóságának alapeseteit! 41. Ismertesse az adatok, adathalmazok grafikus megjelenítésére tanult módszereket! 42. Mit értünk két pozitív szám számtani és mértani közepén, milyen kapcsolat van közöttük? 43. Ismertesse a valós számok pozitív egész-, valamint a pozitív számok nulla-, negatív egész- és törtkitevőjű hatványának definícióját! 44. Mit értünk két sík hajlásszögén? 45. Határozza meg a számtani sorozat fogalmát! 7 46. Számítsa ki   értékét! 3 47. Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! 48. Ábrázolja a pozitív valós számok halmazán értelmezett x  log2 x függvényt, és állapítsa meg a függvény értékkészletét, értelmezési tartományát, zérushelyét, menetét és szélsőértékét! 49. Mit nevezünk egy adathalmaz aritmetikai átlagának, móduszának és mediánjának? 50. Adjon meg három olyan prímszámot, amelyeknek összege páratlan szám! 51. Határozza meg sin 30o kettes alapú logaritmusának a pontos értékét! 52. A boltban kapható „Szidónia napraforgó olaj” nem csak olajat, hanem 8 % vizet is tartalmaz. Hány liter „Szidónia napraforgó olaj”-ban van 1 dl víz? 53. Hogyan értelmezzük egy valós szám n-edik gyökét? 54. Hogyan adunk össze vektorokat? Milyen tulajdonságai vannak a vektorösszeadásnak?

55. Ismertesse a 2-vel, a 3-mal, illetve a 9-cel való oszthatóság szabályát! 56. Adja meg 6002 prímtényezős alakját! 57. Mikor nevezünk egy alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak? Soroljon fel tengelyesen szimmetrikus alakzatokat! 58. Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett x  x2 függvényt és állapítsa meg a függvény függvény értékkészletét, értelmezési tartományát, zérushelyét, menetét és szélsőértékét! 59. Határozza meg a háromszög súlyvonalának fogalmát és tulajdonságait! 60. Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett x  sin x; x  cos x és x  tg x függvényeket és állapítsa meg a függvények függvény értékkészletét, értelmezési tartományát, zérushelyét, menetét, szélsőértékét és peródikusságát! 61. Adja meg 6002 normálalakját! 62. Kamatos kamat számítása (képlettel) 63. Az egyenes egyenletei (meredekség, irányvektor, normálvektor) Feladatok 1. Oldja meg az (5x – 3)2 – (4x – 2)2 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! 2. A (x – 2)2 – 5(x + 1)(x – 1) kifejezésben végezze el a műveleteket! lgx  2  x  3 függvény értelmezési tartományát! 2

x

3. Állapítsa meg az 4. Egy cipő eredeti ára 12 000 Ft volt. 10 %-ot engedtek az árból, majd az új árból ismét 10 %-ot. Hány forintba kerül most a cipő? 5. Írja fel a T (6; -3) ponton átmenő, és a P (-1; 4) és Q (2; 5) pontokat összekötő egyenesre merőleges egyenes egyenletét! 6. Oldja meg a sin 2x = ½ egyenletet a valós számok halmazán! 7. Egy 25 fős csoportban a matematika dolgozatok átlaga 82 pont, egy 19 fős csoportban pedig 76 pont. Mennyi a 44 tanuló matematika dolgozatainak átlaga? 8. Egy könyvszekrényben hét polc van. A legalsó polcon 51 könyv van, és minden polcon hárommal kevesebb, mint az alatta levőn. Hány könyv van ebben a könyvszekrényben? 9. Egy háromszög oldalai 10 cm, 40 cm, és 25 cm. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge? 10. Egy dobozban 5 fehér színű golyó van. Hány piros golyót tegyünk a dobozba, hogy a fehér golyó kihúzásának valószínűsége 0,25 legyen? 11. Egy iskolában 140 tanulónak ötös a matematika osztályzata, 160 tanulóé négyes, 200-an kaptak hármast, 80-an kettest és 20 tanuló megbukott. Készítsen oszlopdiagramot a jegyek eloszlásáról! Mennyi a matematika jegyek átlaga? 12. Karácsonyra egy nagy piros gömböt vásároltunk ajándékba, melyet a közepén egy aranyszalaggal kötöttünk át. Mennyi szalagot vásároljunk, ha a gömb sugara 18 cm és a masni elkészítéséhez 80 cm szalagra van szükségünk? 13. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: cos x = 3sin2 x 14. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: tg 3x = 1 15. Egyenlő oldalú háromszög egyik szögfelezőjének hossza 6 cm. Számítsa ki a háromszög szögeit, oldalait, kerületét és területét! 16. Egy henger alakú pohár térfogata fél liter. A pohár alja az asztalon levő 8 cm átmérőjű korongot éppen lefedi. Milyen magas a pohár? 17. Szerkessze meg annak a háromszögnek a beírt körét, amelynek oldalai 10 cm, 7 cm és 6 cm hosszúak! 18. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x 2  6x  9  x  3 19. Adjon meg három olyan pontot, amelyik illeszkedik az 5x – 3y + 2 = 0 egyenletű alakzatra! A három pont közül az egyiknek mindkét koordinátája egész szám legyen! 20. Írja át a tízes számrendszerben adott 137 számot a kettes számrendszerbe! 21. Egy dobozban 3 piros, 5 zöld és 2 kék golyó van. Véletlenszerűen húzunk egyet a golyók közül. Mi a valószínűsége annak, hogy kék golyót húzunk? 22. Oldja meg a valós számok halmazán az |3x – 6| = 2x + 1 egyenletet!

23. Határozza meg a 3960 és az 5670 számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! 24. Ábrázolja az A = {2; 5; 7; 8}, B = {3; 5; 6; 8} és C = {4; 6; 7; 8} halmazokat Venn-diagramon! Határozza meg a három halmaz uniójába, illetve metszetébe tartozó elemeket! 25. A Legyél Okos Gimnáziumban 125 tanuló nyelvi érettségire való jelentkezését mutatja az alábbi ábra. Készítsen adattáblázatot, ha tudjuk, hogy minden tanuló pontosan egy nyelvből jelentkezett érettségire! Nyelvi érettségire való jelentkezés adatai

4% 12% Angol 40% 16%

Német Francia Orosz Latin

28%

26. Egy pozitív számnak és a reciprokának a különbsége 2,1. Melyik ez a szám? 27. Mennyi a kétjegyű pozitív egész számok átlaga, illetve mediánja? Van-e módusza ennek a számsokaságnak? 28. Egy tengerparton álló, 47 m magas világítótoronyból egy kis motorcsónak 26°-os depressziószögben (süllyedési szögben) látszik. Milyen messze van a csónak a torony aljától? 29. Mennyi üdítőitalt öntünk abba a henger alakú pohárba, amelynek átmérője 8 cm, magassága 12 cm, ha csak a pohár magasságának háromnegyedéig töltjük az italt? 30. Oldja meg az alábbi egyenletet a pozitív egész számok halmazán! x x 5  5 x4 x4 9 31. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az E, Ö, Ö, T, V, S betűket valamilyen sorrendben egymás mellé írjuk, akkor Eötvös József vezetéknevét olvashatjuk? 32. Egy dobozban két piros és három fehér golyó található. Ha találomra egyet kihúzunk, mekkora annak a valószínűsége, hogy piros golyót választottunk? 33. Metszik-e egymást az alábbi egyenletekkel megadott egyenesek? y = -2x + 5 és x = y/2 – 3 34. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek egy 10 cm hosszúságú húrja a kör középpontjából 120°-os szögben látszik? 35. Egy tízszintes ház egyik oldalán levő ablakok két méter magasak és másfél méter szélesek. Hány négyzetméter az ablakmentes felület, ha minden szinten 10 ablak található, továbbá a ház 35 méter magas és 20 méter széles? 36. Oldjuk meg a ctg x = cos x egyenletet a valós számok halmazán! 37. Egy tizedik osztály tanulóit megkérdezték, hogy kinek hány testvére van. Az alábbi gyakorisági táblázatot kapták: Testvérek száma 0 1 2 3 5 Gyakoriság 8 15 5 2 1 38. Mekkora a testvérek átlagos száma ebben az osztályban? 39. Hány gyerek van összesen az osztályba járók családjában (az osztály tanulóit is beleértve)? 40. Egy osztályban 36 tanuló érettségizik matematikából. Tudjuk, hogy hattal többen választották a középszintű érettségit, mint az emelt szintűt. Hányan érettségiznek matematikából emelt szinten? 41. Egy dobozban 60 golyó van, pirosak és kékek. Tudjuk, hogy annak valószínűsége, hogy becsukott szemmel– elsőre pirosat húzunk 3/5. Mennyivel kellene a dobozban lévő kék golyók számát csökkenteni, hogy az előbb említett esemény valószínűsége 4/5 legyen?

x x 1 42. Oldja meg az 4  2 egyenletet a valós számok halmazán! 43. Egy ládában 100 alkatrész van, közöttük 10 hibás. Véletlenszerűen kiválasztottunk a ládából egy alkatrészt. Mekkora valószínűséggel lesz a kiválasztott darab hibátlan? 44. Határozza meg az x2 + y2 = 25 egyenletű kör és az y = 15 – x egyenletű egyenes metszéspontjainak koordinátáit! 45. Mennyi a kétjegyű, 3-mal osztható pozitív számok összege? 46. Készítsen oszlopdiagramot az alábbi adatokból: Távolság (m) 100 200 300 400 500 Gyakoriság 12 15 4 7 3 47. Hány négyzetméter csempét kell vásárolnunk egy szabályos hatszög alapú, függőleges falú medence kicsempézéséhez, ha a medence oldala 3 m hosszú és mélysége 1,5 m? (A burkoláshoz a tényleges méretnél 10 %-kal többet kell vásárolnunk; a medence alját és oldalát is csempézzük.) 48. Oldja meg az lg(x – 3) = 3 egyenletet a valós számok halmazán! 49. Ábrázolja a valós számok halmazán értelmezett f(x) = sin (x +/2) függvényt! 50. Valamely hegy két átellenes oldalán található az A és B település. Egy kiránduló csoport a C hegycsúcson át szeretne elmenni az A helységből a B helységben található szállásukra. A térképen leolvasták, hogy az A helységből a hegycsúcsra 4 út, a B-ből pedig 3 vezet. Hányféle útvonal között választhatnak a kirándulók? 51. Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok azon legbővebb részhalmazán, amelyen az egyes kifejezések értelmezve vannak! x  4 2x  1  3 x a. 52. Egy iskola tanulóinak 8%-a jelest, 24%-a jót, 23%-a elégségest és 5 %-a elégtelent kapott matematikából a félévi osztályozás során. Hányan jártak ebbe az iskolába, ha 240-en közepes matematikajegyet kaptak? 53. Határozza meg a következő számok ellentettjét, abszolútértékét, majd az eredeti számokkal együtt rendezze ezeket növekvő sorrendbe! Tegye közéjük a megfelelő relációs jeleket! -1,5, 0, 6, -0,25, -2 54. Egy csavar fejének keresztmetszete olyan szabályos hatszög, melyben a szemközti oldalak távolsága 18 (3x – 4)2 – (6x – 7)2 = 0egyenletet a valós számok halmazán! 55. Egy 10 cm sugarú körbe írt téglalap oldalainak aránya 3 : 4. Mekkorák a téglalap oldalai? 56. Hány egyenest határoznak meg a szabályos tizenhétszög csúcspontjai? 57. Sorolja fel a {1; 2; 3; 4; 5} halmaz háromelemű részhalmazait és adja meg a kiszámítás módját képlettel! 58. Paralelogrammát határoz-e meg a következő négy pont? A (-2; 0), B (2; 1), C (3; 6) és D (-1; 4) 59. Két ládában együtt 90 kg alma van. Mennyi alma van az egyes ládákban, ha tudjuk, hogy az első ládában lévő almák 25 %-a ugyanannyi, mint a második ládában lévő almák 20 %-a? 60. Egy háromszögben adottak a = 20 cm; b = 12 cm, közbezárt szögük 61,3°. Mekkora a háromszög harmadik oldala? 61. Egy számtani sorozat hetedik tagja 12, nyolcadik tagja 20. Határozza meg a sorozat első elemét és differenciáját! 62. Egy bank 8 %-os kamatot ad évente. Mennyi pénzt tegyünk be, hogy 10 év eltelte után 2 millió forintunk legyen? (Feltételezve, hogy közben a kamatláb nem változik.) 3 63. Oldja meg a sin 2x = 2 egyenletet a valós számok halmazán! 64. Hozza egyszerűbb alakra az alábbi kifejezést! (a + 2)2 – 3(a + 1) (a – 1) 65. Adottak a (-2; 3) és b (4; 6) vektorok. Számítsa ki az a + b, illetve a b –2a/5 vektorok koordinátáit! 2