Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Elméleti fizikai tanszék TDK dolgozat
Spin-dominált és spines effektív egy test gravitációs hullámformák összehasonlítása
Tarjányi Tamás II. éves fizikus Msc. hallgató
Témavezetők: Tápai Márton, predoktor, SZTE TTIK Kísérleti Fizikai Tanszék Dr. Gergely Árpád László, egyetemi tanár, az MTA doktora, SZTE TTIK Elméleti fizikai Tanszék, SZTE TTIK Kísérleti Fizikai Tanszék
Szeged, 2016
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
2
2. Gravitá iós hullámok elméleti háttere
4
2.1. Általános relativitáselmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Gravitá iós hullámok gyengetér közelítésben . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Általános megoldás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4. Detektálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3. Posztnewtoni (PN) formalizmus
12
4. Spines eektív egytest gravitá iós hullámforma
14
5. Spin-dominált hullámforma
17
6. Összehasonlítás
19
7. Összegzés
26
8. Köszönetnyílvánítás
27
A. Függelék
28
1
1. fejezet Bevezetés Az általános relativitáselmélet a térid®t az anyag által kialakított geometriai görbületként értelmezi, ennek függését az anyagtól az Einstein-egyenletek írják le. A gravitá iós hullám a térid® görbületén keletkezett kis zavar hullámszer¶ terjedése. Az elmélet szerint akkor keletkeznek gravitá iós hullámok, ha egy rendszer kvadrupólmomentumának els® és második id®deriváltja sem nulla. A fekete lyukak és neutron sillagok által alkotott kompakt kett®sök ilyen rendszerek. Közvetett bizonyítékot a létezésükre a Hulse-Taylor kett®s pulzár rendszer vizsgálata során találtak el®ször. A keringésük során a periódusváltozás igen nagy pontossággal illett az elmélet jósolta görbére. Ezért a munkáért 1993-ban Nobel díjat kapott Russel Hulse és Joseph Taylor [1℄. Azóta több kett®sre is igazolták a meg gyelésüket. A LIGO nemzetközi tudományos kollaborá ió azért jött létre, hogy gravitá iós hullámokat mérjenek[2℄. A szeizmikus zajsz¶rést 2015-ben javították Advan ed LIGO projekt néven [3℄. A LIGO berendezések nagy pontosságú Mi helson-interferométerek, melyek alkalmasak a beérkez® gravitá iós hullámok kimutatására 10−18 hosszváltozás esetén is, mely 3 nagyságrenddel kisebb a protonnál. A modellek által jósolt hullámokat az illesztett sz¶rés (mat hed ltering) eljárással hasonlítják össze a zajos adatokkal. 2015 szeptemberben sikerült közvetlen mérésekkel igazolnia a LIGO-nak a gravitá iós hullámok létezését [4℄. A be slések szerint 410+160 −180 megaparszekre volt a forrás, amely egy összeolvadó kompakt kett®s fekete lyuk rendszer. A kisebbik tömege 29+4 −4 M⊙ +0.5 +4 a nagyobbik 36+5 −4 M⊙ , az összeolvadás után az össztömeg 62−4 M⊙ , azaz 3−0.5 M⊙
tömegnyi energia szabadult fel. A jöv®re vonatkozóan az a terv, hogy az ¶rbe telepítenek ki egy rendszert, melynek 2
5 millió kilométeres karhosszai lennének, ez a LISA. Az indítására kit¶zött dátum 2034. Ez lehet®vé tenné nagyobb tömeg¶ fekete lyuk kett®sök bespirálozása által keltett gravitá iós hullámok detektálását, valamint a zajt is sökkentené[5℄. Az alsó mérhet® frekven ia határa az Advan ed LIGO-nak 10 Hz, míg LISA-nak 10−5 HZ. A kompakt kett®sök összeolvadása három fázisra osztható: bespirálozás, összeolvadás és le sengés. A bespirálozás analitikusan tárgyalható, posztnewtoni formalizmusban szokás. Az összeolvadás numerikus módszerekkel tárgyalható. A le sengés során a két fekete lyuk már egybeolvadt és egy perturbált fekete lyukként lehet kezelni. Ezt a fázist is lehet analitikusan kezelni, melynek megoldása, hogy sillapodó gravitá iós hullámot bo sát ki a rendszer [6℄. Munkám során a bespirálozást leíró két modellt hasonlítottam össze Python-ban írt szkripteket futtatva. Mindkett® spines fekete lyuk kett®söket ír le, ezek a spindominated waveform (SDW) és spinning ee tive one body-numeri al relativity (SEOBNR). Mindkét modell kihasználja, hogy a teljes impulzusmomentum (a pályaimpulzusmomentum és spinek összege) iránya állandó. Az SDW egyrészt posztnewtoni, valamint a pálya-impulzusnyomaték és a domináns spin hányadosa szerinti sorfejtést is felhasznál. Az SEOBNR Hamiltoni-formalizmust használ az úgynevezett kváziszférikus sorfejtésben. A két modell által jósolt hullámok egyezését vizsgáltam össztömeg és tömegarány változtatásával különböz® spinekre és pálya-impulzusmomentumokra. Az összehasonlításokból látszó különbség oka az lehet, hogy a a megállási feltételek különböz®ek a két modellben, valamint a SEOBNR bizonyos kis tömegarányú korrek iókat nem tartalmaz.
3
2. fejezet Gravitá iós hullámok elméleti háttere 2.1. Általános relativitáselmélet
Az általnos relativitáselmélet a térid®t az anyag által kialakított geometriai görbületként értelmezi, ennek függését az anyagtól az Einstein-egyenletek írják le. A geometria kifejezhet® a gab metrikus tenzorral, amely mennyiség a gravitá iós poten iállal áll kap solatban. Az ívelemnégyzettel a következ® kap solatban áll: ds2 = gab dxa dxb ,
(2.1)
ahol az ismétlöd® alsó és fels® indexek összegzést jelentenek. Ezek az indexek 0tól futnak 3-ig, a 0 index jelenti az id® részt és 1,2,3 a tér részt. A Christoelszimbólumok a tér görbeségére vonatkozó mennyiség a dieren iálgeometriában és a metrikus tenzorral így fejezhet® ki: 1 Γabc = g ad (∂b gcd + ∂c gbd − ∂d gbc ) . 2
(2.2)
A dieren iálható sokaságokon értelmezett mennyiségek geometriiáját leíró mennyiség a Riemann tenzor, az el®z® mennyiségekkel így írható fel: a Rbcd = ∂c Γadb − ∂d Γacb + Γace Γedb − Γade Γecb ,
ahol ∂c =
∂ ∂xc
(2.3)
deriválást jelenti. Ebb®l származtatható a Ri
i tenzor, amely a spúrja
a Riemann tenzornak: c Racb = Rab ,
4
(2.4)
és a Ri
i skalár pedig: R = Raa .
(2.5)
Az indexek mozgatását a következ® képpen lehet megvalósítani: V a = g ab Vb ,
(2.6)
ahol g ab az alsó indexes metrikus tenzor inverze, és az alsó indexes Vb mennyiség pedig egy egy-forma. Ezen geometriai mennyiségekkel írhatók le az Einstein-egyenletek, amelyek azt mondják meg, hogy az anyag milyen geometriát alakít ki, az ezt leíró egyenlet: 1 Gab = Rab − gab R = −8πTab . 2
(2.7)
Tab az energia-impulzus tenzor, amely az anyagra jellemz® mennyiségekb®l áll és Gab
az Einstein tenzor. Az Einstein-egyenletek 10 független dieren álegyenletb®l épülnek fel. A megoldása szimmetria feltevésekkel és közelítéseket felhasználva lehetséges.
2.2. Gravitá iós hullámok gyengetér közelítésben
A számolások során = G = 1 a mértékegység, valamint a (+,-,-,-) szignatúrát használom. A gravitá iós hullámokat gyenge tér közelítésben a sík Minkowski metrikára rárakódott kis pertrubá ióként kezelik, ez a következ®t jelenti: gab = ηab + hab .
(2.8)
Az abszolút értéke a perturbá iónak ki si, azaz |hab | << 1 és a deriváltjai |∂c hab | << 1.
A Minkowski metrika deriváltjai nullák, azaz a ∂c ηab = 0. Az ebb®l számolt Christoelszimbólumot sak lineáris rendig számoljuk: 1 Γabc = η ad (∂b hcd + ∂c hbd − ∂d hbc ) . 2
(2.9)
Ekkor a metrikából számolt Riemann tenzor: a Rbcd =
1 (∂c ∂b had − ∂c ∂ a hbd − ∂d ∂b hac + ∂d ∂ a hbc ) . 2
A spúrját számolva megkapjuk a Ri
i tenzort: 5
(2.10)
c Rab = Racb =
1 ∂b ∂a h + 2 hab − ∂c ∂a hcb − ∂b ∂ c hac , 2
(2.11)
ahol h = ha ha és d'Alambert operátor a következ®t jelenti: = ∂ a ∂a = g ab ∂b ∂a .
(2.12)
R = 2 h − ∂a ∂b hab .
(2.13)
Az ebb®l adódó Ri
i skalár:
Ezekb®l felírható az Einstein-egyenlet: ∂b ∂a h + 2 hab − ∂b ∂e hea − ∂e ∂a heb − ηab 2 h − ∂e ∂i hei = −8πTab .
(2.14)
Bevezetjük az úgy nevezett nyom megfordított mennyiséget, amely a hab -ra a következ®: ¯ ab = hab − 1 ηab h. h 2
(2.15)
¯ = −h és hab = Ennek a következ® tulajdonságait használjuk ki a számolások során: h ¯ . Ekkor az Einstein egyenletek így fognak kinézni: ¯ ab − 1 ηab h h 2
¯ ab + ηab ∂e ∂i h ¯ ei − ∂b ∂e h ¯ e − ∂a ∂e h ¯ e = −8πTab . 2 h a b
(2.16)
Bevezetjük a Lorentz-mértéktranszformá iót, amely ezt jelenti: h′ab = hab − ∂a ξb − ∂b ξa ,
(2.17)
Itt ξ a tetsz®leges függvények, mely koordinátatranszformá iók miatt jönnek be. Az ¯ ab transzformálódni: alábbiak szerint fog h ¯ ab − ∂ a ξ b − ∂ b ξ a + η ab ∂c ξ c . ¯ ′ab = h′ab − 1 η ab h′ = h h 2
(2.18)
¯ ′ab deriváltját a következ®képpen lehet felírni: h ¯ ′ab = ∂b h′ab − 2 ξ a , ∂b h
(2.19)
és úgy választjuk a ξ a (x) függvényeket, hogy teljesüljön a Lorentz-mérték feltétel: ¯ ab = 0 . ∂b h
6
(2.20)
Ekkor azt kapjuk az Einstein-egyenletre a Lorentz-mértékfeltétel kirovásával, hogy: ¯ ab = −16πTab . 2 h
(2.21)
Vákuum esetén Tab energia-impulzus tenzor, 0 és megkapjuk (ez egy próbaközelítés): ¯ ab = 0 . 2 h
(2.22)
erre a hullámegyenletre a következ® alakban keressük a (síkhullám) megoldást: ¯ ab = Aab exp(ikc xc ) . h
(2.23)
Visszahelyettesítve ez a megoldás kielégíti a hullámegyenletet. Az amplitúdónak komplex része is van, valódi zikai megoldást viszont sak a valós rész tartalmaz, ezért kell venni annak ezt a részét. Alkalmazva a Lorentz-mérték feltételt a megoldásra azt kapjuk, hogy: ¯ ab = η cd kc kd h ¯ ab = 0. 2 h
(2.24)
η cd kc kd = k c kc = 0,
(2.25)
Aab kb = 0.
(2.26)
Ez a következ®t jelenti:
az elöz®ekb®l ez tehet® fel:
Kihasználva azt, hogy az Aab amplitúdó tenzor szimmetrikus a két indexére, 10 független komponense lesz. A Lorentz mérték transzformá ió után 6 lesz független. Majd megfelel®en választva ξ a (x)-eket, hogy azok kielégítsék 2 ξ a = 0, utána már sak két független mennyiség marad. Ez lesz a két polarizá iós állapot és majd ezek összegéb®l áll össze az összes lehetséges állapot. Az A11 A12 A21 A22 komponenseket együttesen ,
,
,
egy a és b mennyiségekkel lehet jellemezni a következ®képpen:
Aab TT
0 0 0 0 0 a b 0 = 0 b −a 0 0 0 0 0
7
.
(2.27)
2.3. Általános megoldás
Az általános megoldás során Tab energia-impulzus tenzor nem nulla. A (2.21) egyenletre keressük a megoldást. Ezt az elektrodinamikából ismert eljáráshoz hasonlóan tehet® meg. A következ® Green függvényt vezetjük be: 2x G(xσ − y σ ) = δ(xσ − y σ ) .
(2.28)
Majd ennek a Green függvénynek a tulajdonságait kihasználva a linearizált Einstein¯ ab -re a következ® összefüggést kapjuk: egyenletben szerepl® h ¯ ab (ct, x) = − 4G h c4
Z
T ab (ct − |x − y| , y) 3 dy. |x − y|
(2.29)
Ebb®l az összefüggésb®l fel lehet írni a multipólus sorfejtést: ¯ ab (ct, x) = − 4G h c4
∞ X (−1)l
l!
l=0
M
abi1 ...il
1 , (ctr )∂i1 ...∂il r
(2.30)
itt a multipól momentumok a következ® tagok lesznek:
M
abi1 ...il
(ct) =
Z
T ab (ct, y)y i1 y i2 ...y il d3 y .
(2.31)
A multipólus sorfejtés során az l-edik tagig megy a sorfejtés. Az energia-impulzus tenzorból kifejezhetünk egy úgynevezett kvadrupól momentum tenzort, amely a forrásra jellemz®: ab
I (ct) =
Z
T 00 (ct, y)y ay b d3 y,
ekkor a gravitá iós hullámot letudjuk írni a kvadrupól formulával: 2 ab ′ d I (ct ) 2G ab ¯ (ct, x) = − h c6 r dt′2 r
(2.32)
(2.33)
Ezen alfejezetkhez Hobson[7℄ könyvét használtam fel.
2.4. Detektálás
A gravitá iós hullámok megváltoztatják a relatív távolságot két általunk kijelölt objektum között. Ezt úgy szokás illusztrálni, hogy kör alakba rendezett tömegpárokat 8
helyezünk el az x-y síkba és rájuk mer®legesen a z tengely irányából érkeznek a gravitá iós hullámok. Ekkor a kör alak eltorzul ellipszissé, attól függ®en milyen fázisában éri a hullám ®ket és melyik polarizá ió.
2.1. ábra. A két polarizá ió szemléltetése mer®legesen beérkez® gravitá iós hullámok hatására a körben elhelyezett tömeg pontsorra.
A lézeres interferometria detektálási módszer a fenti jelenség alapján m¶ködik. A karokban a lézerfénye megtesz egy utat és ha gravitá iós hullámok érik megváltozik a karhossz. A megváltozott karhossz változtat a felfogott interferen iaképen és ha a képet állandóan akarjuk tartani, akkor változtatni kell a karhosszt, ezt mérik. Ezekb®l a mért adatokból sz¶rik aztán ki a gravitá iós hullámokat. A mért adatsorok nagyon zajosak és különböz® algoritmusokat dolgoztak ki sz¶résükre. A hullám id®beli lefutása azaz a h(t) függvény írja le, amely az antenna fügvények és a polarizá iók lineáris kombiná iójából áll össze [8℄. A LIGO (Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory) egy olyan létesítmény melyet azért hoztak létre, hogy lézeres interferométerrel gravitá iós hullámokat meg gyelhessenek[2℄. Mi helson interferométereket használnak kiegészítve Fabry-Perot karokkal. A karok 4km hosszúak, amikben vákuumrendszert alakítottak ki. A karokban 75ször ver®dik vissza a fény amely az eektív hosszat n®veli és ez feler®síti a jelenséget. Hasonló detektor az Olaszországban található Virgo is[9℄. A detektorok érzékenyek a különböz® küls® zajokra. Az Advan ed LIGO program keretében a küls® zajsz¶rés javult[3℄.
9
2.2. ábra. Mi helson detektor ábrája, ez az ábra a LIGO ikkéb®l származik[2℄. A jöv®ben telepítend® harmadik generá iós Einstein teleszkóp alsó frekven ia tartománya 1 Hz [10℄, ami azt jelenti, hogy a maximális mérhet® kett®sök össztömege 2020 M⊙ . A tömegarányt beállítva úgy, hogy a kisebbik objektum tömege a neutron sillag
legyen, a legkisebb mérhet® tömegarány νmin ≈ 7×10−4 . A világ¶rbe tervezik telepíteni
a Lagrange teleszkópot[11℄ és a LISA ¶rszondát[5℄. Ezek nagy össztömeg¶ fekete lyukak
összeolvadása során keletkez® gravitá iós hullámokat is tudnának észlelni. A Lagrange teleszkóp alsó mérési frekven ia határa 10−3 Hz, míg a LISA-nak 10−5 Hz, a mérhet® maximális össztömeg az el®bbire 2 × 106 M⊙ , utóbbira 2 × 108 M⊙ . A tömegarányok
νmin ≈ 7 × 10−7 a Lagrange-ra, a LISA-ra νmin ≈ 7 × 10−9 .
2015-ben rögzítettek két detektálást [4℄[12℄. Az els® forás a be slések szerint 410+160 −180 megaparszekre volt, amely egy összeolvadó kompakt kett®s fekete lyuk rendszer volt. +5 A kisebbik tömege 29+4 −4 M⊙ a nagyobbik 36−4 M⊙ , az összeolvadás után az össztömeg +0.5 +180 62+4 −4 M⊙ , azaz 3−0.5 M⊙ tömegnyi energia szabadult fel. A második 440−190 megaparszek+8.3 re volt, a kisebbik tömege 7.5+2.3 −2.3 M⊙ a nagyobbik 14.2−3.7 M⊙ , az összeolvadás után
az össztömeg 20.8+6.1 −1.7 M⊙ . Mindkét mérés szigni kan iája nagyobb volt mint 5σ .
10
2.3. ábra. Az Advan ed LIGO mérési tartománya a frekven ia függényében ez az ábra az Advan ed LIGO ikkéb®l származik[3℄.
2.4. ábra. Az Advan ed LIGO, Einstein teleszkóp, Lagrange teleszkóp és a LISA ¶rtáv s® mérési tartományai különböz® össztömegekre és tömegarányokra, ez az ábra az SDW ikkb®l származik[13℄.
11
3. fejezet Posztnewtoni (PN) formalizmus A PN sorfejtés azt jelenti, hogy az ε ≈
Gm c2 r
≈
v2 c2
<< 1 kis paraméter szerint
sorfejtjük a mozgásegyenletet. Itt m a két fekete lyuk össztömege, G a gravitá iós állandó, r a fekete lyukak szepariá iója, c a fénysebesség és v a szepará ió deriváltja. A poszt-newtoni közelítés ε ≈ 0, 1-ig érvényes. A mozgásegyenletek így a következ®k lesznek:
d2 x 3 3/2 2 5/2 = − mx/r 1 + O (ε) + O ε + O ε + O ε + ... , dt2
(3.1)
itt x = x1 − x2 és r = |x|, xi pedig a koordináták. A pályamenti szepará ió id®ben nem változik, tehát r˙ = 0, az impulzusmomentum deriváltjai viszont nem nullák, ezt
hívják körpálya közelítésnek. Ekkor a gravitá iós hullámforma ez lesz[8℄: hij =
2 ij Q 1 + O ε1/2 + O (ε) + O ε3/2 + ... T T , D
(3.2)
ahol D a távolság a forrás és a meg gyel® között és a T T a transzverzális tra e mentesítést jelenti. A különböz® rendekben megjelennek a spin és pálya köl sönhatásaiból származó elkülöníthet® tagok. Így fognak kinézni a rendek az 1PN rendig: h m i ji i j Q =2 vv − nn , r hm o i δm n m (i j) ˆ ·n ˆ ·v , ˆ + 3 2n v − rn ˙ i nj N ni nj − 2v i v j N P 0.5 Qij = m r r ij
12
(3.3) (3.4)
P Qij =
h i m 1n ˆ · v + 2 3v i v j − m ni nj (3.5) ˆ ·n ˆ N (1 − 3η) 4 3rn ˙ i nj − 8n(i v j) N 3 r r i 2 2 m h m 2 2 i j (i j) i j ˆ ·n ˆ ·v + N ˆ 3v − 15r˙ + 7 n n + 30rn ˙ v − 14v v × N r r 2 m i j 4m (i j) 2 vv r˙ (5 + 3η) n v + (1 − 3η) v − (2 − 3η) + 3r 3 r m 1 29 m i j 2 2 + (1 − 3η) r˙ − (10 + 3η) v + nn , (3.6) r 3 3 r P Qij SO =
(i 2 ˆ nj) . ∆ × N r2
(3.7)
ˆ = x/r, v =dx/dt, Itt a kövekez® mennyiségek lettek bevezetve: δm = m1 − m2 , n
a kett®s tömegközéppontjától a meg gyelé felé mutató ∆ =m (S2 /m2 − S1 /m1 ) és N
egységvektor. A posztnewtoni rendekben megjelnik a spin-pálya korrek ió, ezek mellett 2 PN rendnél a spin-spin köl sönhatás, valamint a spin-pálya köl sönhatásnak egy korrek iója adódik hozzá. Az egyes fekete lyukak spinje a következ®: Si = χi m2i ,
(3.8)
ahol χi ∈ [0, 1], dimmenziómentes paraméter. Kis tömegarány esetén a nagyobb
tömeg¶ fekete lyuk spinje válik dominánsá. A folyamat alatt a teljes impulzusmomentum állandó azaz J˙ = 0, ez a pálya impulzusmomentumból és az egyes spinekb®l tev®dik össze: J = L + S1 + S2 .
13
(3.9)
4. fejezet Spines eektív egytest gravitá iós hullámforma A Spines eektív egy test gravitá iós hullámforma (SEOBNR) modellben Hamiltoniformalizmusban írják fel a dinamikát, majd kváziszférikus sorfejtésben adják meg a gravitá iós hullámot [16℄. A dinamikát leíró Hamilton függvények ebben a ikkben találhatók [14℄, a következ® Poisson zárójelekkel írhatóak fel: ˆ real dr n ˆ o ∂ H = r, Hreal = , ∂p dtˆ
ˆ real ahol tˆ = t/M és H
(4.1)
ˆ real dp n ˆ o ˆ ∂ H (4.2) = p, Hreal + F = , ∂p dtˆ ˆ a redukált radiá iós reak iós a redukált Hamilton-függvény, F
er® [15℄. A redukált Hamilton-függvény az eektív Hamilton-függvénnyel kifejezve a következ®: ˆ real = M µH
s
1 + 2ν
A spinekre is felírhatóak a Poisson zárójelek:
Hef f −1 −M µ
o ˆ real dS1 n ∂H ˆ × S1 , = S1 , µHreal = µ dt ∂S1
(4.3)
o ˆ dS2 n ˆ real = µ ∂ Hreal × S2 , = S2 , µH (4.4) dt ∂S2 ˆ i pedig a spin irányát ˆ i és S ahol µ = m1 m2 /(m1 + m2 ), a spinek vektorok Si (t) = χi m2i S
megadó egység vektorok. A redukált radiá iós reak iós er®t a következ®képpen lehet 14
kifejezni: ˆ= F
dE p, ˆ |r × p| dt νΩ 1
ˆ a dimmenziómentes pálya frekven ia, itt Ω
dE dt
(4.5)
a kváziszférikus pályákhoz tartozó
energia uxus, ezek a következ®k: ˆ = M |r × r˙ | /r 2, Ω 2 8 X l ˆ2 X Ω dE 2 R m hlm . = dt 8π l=2 m=−l M
(4.6)
(4.7)
A pálya-impulzusmomentum newtoni vezet® rend¶ tagjához hozzá adódnak a posztnewtoni és a spin-pálya korrek iók: L = LN + LP N + LSO + O(c−4 ),
LP N = LN
LSO = −
M 1 2 , ν (1 − 3ν) + (3 + ν) 2 r
i 2µ h ˆ . ˆ N + Sef f · λ ˆ λ ˆN L Sef f · L r
(4.8)
(4.9)
(4.10)
ˆ ˆ N × r /r egységvektor L ˆ N körül forog Ω szögsebességel, az eektív spin pedig λ= L
a következ®t jelenti:
Sef f =
3m2 1+ 4m1
3m2 S1 + 1 + S2 4m1
(4.11)
A dimmenziótlan spin paraméterek lineáris kombiná iójával számolnak a sorfejtés során, ezek a következ®képpen néznek ki: χS =
χ1 + χ2 , 2
(4.12)
χA =
χ1 − χ2 . 2
(4.13)
ˆ N (t) levetítésével a spinekre kifejezhet® az id®függésük: A pre esszáló esetben L 1 S1 (t) S2 (t) ˆN , + ·L χS (t) = (4.14) 2 m21 m22
15
1 χS (t) = 2
S1 (t) S2 (t) − m21 m22
(4.15)
ˆN . ·L
Az SEOBNR kvázi-szférikus sorfejtésben adja meg a hullám alakját, az összeolvadásra is tartalmaz egy be slést és a le sengést is leírja a teljes hullámforma: inspiral−plunge merger−RD hEOB (t)θ(tlm θ(t − tlm lm (t) = hlm match − t) + hlm match ),
(4.16)
ahol tlm match azaz id®pont ahol összeillesztik a két hullámot. A bespirálozást leíró tag a hinspiral−plunge (t), amely a következ®képpen néz ki: lm hinspiral−plunge = hFlm Nlm , lm
(4.17)
(N,ǫ) hFlm = hlm Sˆef f Tlm eiδlm (ρlm )l ,
(4.18)
ahol
itt ǫ a paritását írja le a hullámformának. Az Sˆef f eektív spin a következ®: H ˆ ef f (r, pr∗ , pφ , S1 , S2 ), ǫ = 0, ˆ Sef f (r, pr∗ , pφ , S1 , S2 ) = , ˆ L = p v , ǫ = 1, ef f
(4.19)
φ Ω
ˆ 1/3 . Tlm a vezet® rend¶ logaritmusai az uszály-járulékoknak: ahol vΩ = Ω Tlm =
Γ(l + 1 − 2imHreal Ω) exp [πmΩHreal ] exp [2imΩHreal log(2mΩr0 )] , Γ(l + 1)
(4.20)
√ (N,ǫ) ahol r0 = 2M/ e. hlm a newtoni rendek és így néznek ki: (N,ǫ)
hlm
=
π Mν (ǫ) nlm cl+ǫ (ν)Vφl Y l−ǫ,−m( , φ), R 2
(4.21)
ahol R a távolság a meg gyel® és a forrás között, M az össztömeg, ν a tömegarány, Y l,m (Θ, φ) a szférikus harmonikus skalárok, Vφl = vφl+ǫ ez pedig: ˆ =Ω ˆ vφ = rΩ Ω
ˆ real ∂H |pr =0 ∂pφ
.
16
!−2/3
.
(4.22)
5. fejezet Spin-dominált hullámforma Megfelel®en kis tömegarány esetén a második spin elhanyagolható, valamint a bespirálozás végére a nagyobb tömeg¶ fekete lyuk spinje lesz domináns, míg a pályaimpulzusmomentum mellette elhanyagolható. A Spin-dominált hullámforma (SDW) [13℄ egyrészt ε posztnewtoni, valamint a pálya-impulzusnyomaték és a domináns spin hányadosa szerinti sorfejtést is felhasznál, ezek a következ®ket jelentik:
ε≈
v2 Gm ≈ , c2 r c2
ξ = ε−1/2 ν,
(5.1) (5.2)
ahol ν a tömegarány, m az össztömeg, G a gravitá iós állandó, c a fénysebesség, r a pálya szepará ió, v ennek az id® deriváltja. A spinek arányára a következ® írható fel: S2 χ2 = ν2, S1 χ1
(5.3)
ahol χi ǫ[0, 1] a dimmenziómentes spin paraméter. A második spin vezet® tagjai 2PN rendben jelentkeznek, ezért gyorsan forgó kompakt kett®sökre, kis tömegarányok esetén a második spin elhanyagolható lesz. A spin és a newtoni pálya-impulzusmomentum arányára a következ® írható: S1 ≈ ε1/2 ν −1 χ1 . LN
(5.4)
S1 szerepe lesz a domináns a bespirálozás utolsó szakaszaiban kis tömegarányokra ν < 0.1. Továbbá ξ ≤ ξ1 = 0.1 feltételb®l az adódik, hogy ε1 = Gm/c2 r1 = 100ν 2 . A
posztnewtoni formalizmus [17℄ ikk alapján ε2 = 0.1-ig érvényes, ekkor a 3.5 rend¶
PN járulék összemérhet® lenne a 2.5 járulékkal és összeomlik a formalizmus. Kepler 17
harmadik törvényét felírva meglehet be sülni az össztömeget körpálya közelítésre, a gravitá iós hullámok f frekven iáját ismerve PN paraméterrel:
m=
c3 3/2 −1 ε f . πG
(5.5)
Az Advan ed LIGO alsó mérhet® frekven ia határa 10 HZ [3℄, míg a LISA-nak 10−5 HZ [18℄. Össztömegre a limit az Advan ed LIGO esetén 202 M⊙ és a LISA esetén 2 × 108 M⊙ . Egy további be slés, ha a kisebb tömeget le xáljuk a neutron sillag
tömegére, ekkor az Advan ed LIGO esetén νmin = 0.007 ≈ 1 : 143 és a LISA esetén
νmin ≈ 7 × 10−9 . A posztnewtoni paraméter kifejezhet® a szögsebességgel: (Gmω)2/3 ε= . c2
(5.6)
A teljes impulzusmomentum a pálya-impulzusmomentum newtoni, posztnewtoni, spinpálya köl sönhatások adódó részekb®l tev®dik össze, valamint a spinek összegéb®l: J = LN + LP N + LSO + S1 + S2 .
A folyamat során
J iránya állandó.
(5.7)
[19℄ ikk alapján a mágneses dipól-mágneses dipól
járuléktól eltekintve (amely sak magnetár kett®söknél számít) a következ® írható fel:
ε3/2 c3 ω= Gm
3 3 9 ξ 3/2 171 2 2 1 + ε + − + χ1 cos κ1 ε − χ1 − + cos κ1 ε2 . 2 2 8 8 8 (5.8)
A radiatív pálya szög sebesség fejl®dése (ω˙ ) nem egyenl® tömegarányokra:
1105 79 23 96 ε6 ξc6 1+ ε + 4π − ξ − χ1 cos κ1 ε3/2 + ω˙ = 5 (Gm)2 336 12 4 697465 35 335 2 ε2 . − χ21 sin κ1 − 9072 96 16
(5.9)
A pálya fázisa így írható fel: ε−3 1195 3925 1/2 φc − φ = (5.10) 1 + 2ε ξ + ε + −10π + ξ 32ξ 1008 504 21440675 375 3425 2 175 3/2 2 3/2 , χ1 cos κ1 ε + − + χ1 − sin κ1 ε + 8 1016064 16 96 ahol φc az egyesülésnél a fázis. 18
6. fejezet Összehasonlítás Gravitá iós hullámokat összehasonlítva a detektor által el®álított zajos adatsorokkal az illesztett sz¶rés (mat hed ltering) eljárással történik. A gravitá iós hullámforma id®beli lefutását a h(t) függvény írja le. Két hullámforma közötti átfedés a skalárszorzatukkal írható fel: O[e1 , e2 ] =< e1 |e2 >,
ahol e = √
h
(6.1)
normált hullámforma, mivel a jel amplítúdója nem számít a hullámfor-
máknak. A LIGO által megírt program somagot használtam, amely programnyelven kódolva tartalmazza a hullámformákat. Az összehasonlításokat python szkriptekkel hívtam meg, a függelék fejezetben található egy ilyen szkript. Az SEOBNR hullámformából hiányoznak a PN formalizmus amplitúdó korrek ióiból származó tömegarányban els® rend¶ tagok. Az SEOBNR hullámforma leírja a bespirálozást, összeolvadást és le sengést is, míg az SDW sak a bespirálozást írja le. Ez az összehasonlításnál a bespirálozás levágásánál további különbséget okoz. A spin egységvektorokat így lehet átváltani a spint leíró szögekre: s1x = χ sin(κ) cos(θ),
(6.2)
s1y = χ sin(κ) sin(θ),
(6.3)
s1z = χ cos(κ).
(6.4)
El®ször az SDW korrek iói közötti különbséget mutatom be, ezek tartalmazzák a kistömegarányú korrek iókat. Mind a 4 ábrán az SDW és az SEOBNRv3 látható, 19
az SDW-ben sak az amplitude" paran sot változtattam. A következ® kon gurá iót vizsgáltam: ν = 0.01 tömegarány, m = 150 M⊙ össztömeg, inkliná ió ι = 0.2, χ1 = 0.75 spin paraméter, κ = 0.7, θ = 0.837 szögekkel. Az ezt követ® ábrákon az egyezést mutatom be, különböz® tömegarányok és össztömegekre. Négy eset látható és ezek a paraméterek jellemzik az ábrákat: az össztömeget 50-t®l 200 naptömegig változtattam, valamint a tömegarányt 0.01-t®l 0.03-ig. Az els® kon gurá ióban a spint leíró szögek: κ = 1.58,, θ = 1.16589, és a spin paraméter χ1 = 0.75, az inkliná ió ι = 0.2. A második esetben: κ = 0.0, θ = 0.837, és a spin
paraméter χ = 0.75. A harmadik kon gurá ióra a szögek κ = π/2, θ = 0.837, és a spin paraméter χ = 0.75. A negyedik kon gurá ió: κ = 1.3, θ = 1.2, χ = 0.75. Minden esetben az inkliná ió ι = 0.2. Az utolsó ábrákon azt mutatom meg, hogy különböz® spin szögekre milyen az egyezés. Ezeket a szögeket (κ, θ) változtatva bejárható a teljes spin paraméter tartomány. A κ szög 0-tól π -ig változik, a θ 0-tól 2π -ig. A ν tömegarány minden esetben 0.03. Az els® kon gurá ió során az össztömeg 50 naptömeg, a másodiknál 100, a harmadiknál
0.8 1e−21
0.8 1e−21
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Strain
Strain
pedig 150. Az ι inkliná ió minden esetben 0.3.
0.0
−0.2
0.0
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8 −35
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
−0.8 −35
5
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
6.1. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, a hullám nagysága van ábrázolva az id® függvényében. Az SDW kék színnel, az SEOBNRv3 pirossal van ábrázolva. Az amplitude paran s itt 0 és az egyezés 22.02%. Az ι inkliná ió 0.2, az m össztömeg 150 naptömeg, a ν tömegarány 0.01, a spin paraméter χ1 = 0.75, κ = 0.7, θ = 0.837 szögekkel.
20
5
1.0 1e−21
6 1e−22 4 2
Strain
Strain
0.5
0.0
0
−2 −4
−0.5
−6 −1.0 −35
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
−8 −35
5
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
5
6.2. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, a hullám nagysága van ábrázolva az id® függvényében. Az SDW kék színnel, az SEOBNRv3 pirossal van ábrázolva. Az amplitude paran s itt 1 és az egyezés 20.59%. Az ι inkliná ió 0.2, az m össztömeg 150 naptömeg, a ν tömegarány 0.01, a spin paraméter χ1 = 0.75,
6 1e−22
6 1e−22
4
4
2
2
0
0
Strain
Strain
κ = 0.7, θ = 0.837 szögekkel.
−2
−2
−4
−4
−6
−6
−8 −35
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
−8 −35
5
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
6.3. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, a hullám nagysága van ábrázolva az id® függvényében. Az SDW kék színnel, az SEOBNRv3 pirossal van ábrázolva. Az amplitude paran s itt 2 és az egyezés 17.22%. Az ι inkliná ió 0.2, az m össztömeg 150 naptömeg, a ν tömegarány 0.01, a spin paraméter χ1 = 0.75, κ = 0.7, θ = 0.837 szögekkel.
21
5
2.0 1e−21
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
Strain
Strain
2.0 1e−21
0.0
−0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.0
−1.5
−1.5
−2.0 −35
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
−2.0 −35
5
−30
−25
−20
−15
−10
Time (s)
−5
0
6.4. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, a hullám nagysága van ábrázolva az id® függvényében. AAz SDW kék színnel, az SEOBNRv3 pirossal van ábrázolva. Az amplitude paran s itt 3 és az egyezés 20.6%. Az ι inkliná ió 0.2, az m össztömeg 150 naptömeg, a ν tömegarány 0.01, a spin paraméter χ1 = 0.75, κ = 0.7, θ = 0.837 szögekkel.
22
5
3 1e−21
4
2
2
1
Strain
Strain
6 1e−21
0
0
−2
−1
−4
−2
−6 −20
−15
−10
−5
Time (s)
0
−3 −16
5
4 1e−21
−14
−12
−10
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
−8
−6
−4
−2
0
2
Time (s)
3 1e−21 2
2
Strain
Strain
1 0
−2
−1 −2
−4 −20
0
−15
−10
−5
Time (s)
0
5
−3 −16
−14
Time (s)
6.5. ábra. Az SDW (kékkel) és az SEOBNRv3 (pirossal) hullámformák összehasonlítása, a hullám nagysága van ábrázolva az id® függvényében. Az Amplitude paran s minden esetben 3. Az els® ábrán a spint leíró szögek értékei: κ = 0.0, θ = 0.837, a másodiknál κ = π/2, θ = 0.837, a harmadiknál κ = π/4, θ = 0.837, a negyediknél κ = 1.45, θ = 0.837,. Az ι inkliná ió minden esetben 0.2, az össztömeg 150 naptömeg, a tömegarány ν = 0.02, a spin paraméter χ = 0.75,.
23
0.03
0.55
0.03
0.028
0.5
0.028
0.8
0.7 0.026
0.026 0.45
0.024
0.024
0.6
0.4 0.022
ν
0.022
0.02
0.35
0.018
0.3
ν
0.016
0.5
0.02 0.018
0.4
0.016 0.25
0.014
0.3
0.014 0.2
0.012
0.012 0.2
0.01
0.15
0.01
0.008
0.1
0.008
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.1 40
60
80
100
m
120
140
160
180
200
m
0.03
0.55
0.03
0.028
0.5
0.028
0.5 0.45
0.026
0.026 0.45
0.024
0.4
0.024 0.4
0.022
ν
0.022
0.02
0.35
0.018
0.3
0.016
ν
0.35
0.02 0.3 0.018 0.25
0.016 0.25
0.014
0.014
0.2
0.2 0.012
0.012 0.15
0.01
0.15
0.01
0.008
0.1
0.008
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0.1 40
60
80
m
100
120
140
160
180
200
m
6.6. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, az össztömeg és a tömegarány van ábrázolva. Az Amplitude paran s minden esetben 3. Az els® ábrán a spin értékek: s1x = 0.3, s1y = 0.7, s1z = 0.0, a másodiknál a spint leíró szögek κ = 0.0, θ = 0.837, a spin paraméter χ = 0.75, a harmadiknál κ = π/2, θ = 0.837, χ = 0.75, a
negyediknél κ = 1.3, θ = 1.2, χ = 0.75. Az ι inkliná ió minden esetben 0.2.
24
6
0.5
5
0.45 350
400
300
0.4 4
θ
0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15
250 0.35
3 0.3
θ
200 150
2 0.25
100
1
0.2
50
0
0.15
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
20
40
60
κ
80
100
120
140
160
180
κ
6
0.34 0.32
5
0.3 0.28
4
0.26
θ
3
0.24 0.22
2
0.2 0.18
1
0.16 0
0.14 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
κ
6.7. ábra. Az SDW és az SEOBNRv3 hullámformák összehasonlítása, a spint leíró κ és θ szögek változtatásával. Az Amplitude paran s minden esetben 3. Az els® ábrán az
össztömeg 50 naptömeg, a másodikon 100, a harmadikon 150. Az ι inkliná ió minden esetben 0.3 és a spin paraméter χ = 0.75.
25
7. fejezet Összegzés A dolgozatomban a gravitá iós hullámok felírási módját ismertettem, megmutattam hogyan vezethet® le a síkhullám és az általános megoldás. Bemutattam a PN sorfejtés módszert amely leírja a bespirálozás során keletkez® hullámokat. Ismertettem két modellt amelyek megadják a hullámformákat, majd összehasonlítottam ®ket különböz® paraméterekre. Az SEOBNR-ból a PN vezet® rendjéb®l hiányzik a tömegarány korrek ió. Az SEOBNR hullámformából hiányoznak a PN formalizmus amplitúdó korrek ióiból származó tömegarányban els® rend¶ tagok. Az SEOBNR hullámforma leírja a bespirálozást, összeolvadást és le sengést is, míg az SDW sak a bespirálozást írja le. Ez az összehasonlításnál a bespirálozás levágásánál további különbséget okoz. Az ebb®l adódó különbségek a hullámformákon jelent®s. Az gyelhet® meg az ábrákon, hogy nagyobb össztömegekre és tömegarányokra javul az egyezés.
26
8. fejezet Köszönetnyílvánítás Köszönöm témavezet®imnek, Dr. Gergely Árpád Lászlónak és Tápai Mártonnak hogy a kutatásba bekap solódhattam és hálás vagyok a szakmai útmutatásért.
27
A. függelék Függelék import pylab from py b .waveform import get_td_waveform from py b .filter import mat h from py b .psd import aLIGOZeroDetHighPower import numpy import s ipy import math import lal massratio_in = 0.01 totalmass_in = 50 samplerate = 9192 in l = 0.2 k=math.pi/2 t=0.837
hiin=0.75 s1x = hiin * numpy.sin(k)*numpy. os(t) s1y = hiin *numpy.sin(k) *numpy.sin(t) s1z = hiin *numpy. os(k) diff_mass = 7.5 diff_massratio = 0.001 num_mass = 21 28
num_massratio = 20 name = 'output.txt' output = open(name, 'w') output.write("#SOF \n") output. lose() for MassIndex in range(num_mass): for MassratioIndex in range(num_massratio): totalmass = totalmass_in + diff_mass * MassIndex massratio = massratio_in + diff_massratio * MassratioIndex hp, h = get_td_waveform(approximant='SpinDominatedWf', mass1=totalmass/(1.+massratio), mass2=totalmass-totalmass/(1.+massratio), delta_t=1.0/samplerate, f_lower=10, distan e = 100, spin1x=s1x, spin1y=s1y, spin1z=s1z, spin2x=0.0, spin2y=0.0, spin2z=0.0, in lination=in l, phase_order=4, amplitude_order=3) sp, s =
get_td_waveform(approximant='SEOBNRv3', mass1=totalmass/(1.+massratio), mass2=totalmass-totalmass/(1.+massratio), delta_t=1.0/samplerate, f_lower=10, distan e = 100, spin1x=s1x, spin1y=s1y, 29
spin1z=s1z, spin2x=0.0, spin2y=0.0, spin2z=0.0, in lination=in l) pylab.plot(sp.sample_times, sp, olor='r') pylab.plot(hp.sample_times, hp, olor='b') pylab.ylabel('Strain', fontsize = 22) pylab.xlabel('Time (s)', fontsize = 22) pylab.legend() tlen = max(len(sp), len(hp)) sp.resize(tlen) hp.resize(tlen) f_low = 10. delta_f = 1.0 / sp.duration flen = tlen/2 + 1 psd = aLIGOZeroDetHighPower(flen, delta_f, f_low) m, i = mat h(hp, sp, psd=psd, low_frequen y_ utoff=f_low) print 'Total mass: %1.4f' % totalmass print 'Mass ratio: %1.4f' % massratio print 'The mat h is: %1.4f \n'
% m
text = '{0} {1} {2}\n'.format(totalmass, massratio, m) output = open(name, 'a') output.write(text) output. lose() output = open(name, 'a') output.write("\n") output. lose() pylab.show()
30
Irodalomjegyzék [1℄ J. H. Taylor, A. Wolsz zan, T. Damour, and J. M. Weisberg, Nature
355,
132
(1992). [2℄ B. Abbott et al. (LIGO S ienti Collaboration),
Rept. Prog. Phys.
72,
076901
(2009). [3℄ G. M. Harry (for the LIGO S ienti Collaboration) Class. Quantum Grav.
27
084006 (2010). [4℄ Ligo S ienti Collaboration and Virgo Collaboration, Phys.Rev.Lett. 116, 061102 (2016) [5℄ T. A. Prin e, et al.,
Bull. Ameri an Astron. So .
38, 990 (2006).
[6℄ D. Talukder, S. Bose, S. Caudill, P. T. B., Phys. Rev. D
88, 122002 (2013)
[7℄ M. P. Hobson, G. P. Efstathiou & A. N. Lasenby, General Relativity, CUP, Cambridge (2006). [8℄ L. E. Kidder, Phys.Rev. D [9℄ F. A ernese et al.,
52 821-847 (1995)
Class. Quantum Grav.
25, 184001 (2008).
[10℄ B. Sathyaprakash, M. Abernathy, F. A ernese, P. Ajith, B. Allen ..., Class. Quantum Grav
29 124013 (2012)
[11℄ J. W. Conklin, et. al., arXiv:1111.5264 (2011). [12℄ LIGO S ienti Collaboration and Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 241103 (2016) [13℄ M. Tápai, Z. Keresztes, L. Á. Gergely, 10.1103/PhysRevD.86.104045 (2012) 31
116
[14℄ A. Tara
hini, Y. Pan, A. Buonanno, E. Barausse, M. Boyle, et al., Phys.Rev. D
86, 024011 (2012), 1202.0790. [15℄ A. Buonanno, Y. Chen, and T. Damour, Phys.Rev. D
74,
104005 (2006), gr-
q /0508067. [16℄ Y. Pan, A. Buonanno, A. Tara
hini, L. E. Kidder, A. H. Mroue, H. P. Pfeier, M. A. S heel, B. Szilagyi, Phys. Rev. D
89, 084006 (2014)
[17℄ J. Levin, S. T. M Williams, H. Contreras, Class. Quant.Grav. [18℄ K. G. Arun et al., Class. Quantum Grav.
28 175001 (2011).
26 094027 (2009).
[19℄ B. Mikó zi, M. Vasúth, L. Á. Gergely, Phys. Rev. D
71 (2005).
[20℄ L. Á. Gergely, P. L. Biermann, The typi al mass ratio and typi al nal spin in supermassive bla k hole mergers (2012).
32
