Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza

Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza:

Számhalmazok

Ha m és n természetes szám, akkor az m n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2.

Az egész számok halmaza: Ha m és n egész szám, akkor az m halmazán. Példa: 6x=2.

n n n egyenlet nem mindig oldható meg az egész számok

A racionális számok halmaza: {

|

,

}

Ha m racionális szám, akkor az 2=m egyenlet nem feltétlenül oldható meg a racionális számok halmazán. Példa: . Ha ugyanis az egyenlet megoldható lenne, akkor lenne olyan és olyan , hogy teljesülne. Ekkor az egyenlőség bal oldalán a áros hatványon, míg az egyenlőség jobb oldalán áratlan hatványon szere elne a rímtényezős felbontásban. Így jutottunk el közé iskolában a valós szám fogalmához: a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza. Használni fogjuk még az számok halmazára. Példák

és az

jelöléseket a ozitív valós számok, illetve a negatív valós

Egy mennyiség értékének rögzítése a mértékegység és a mérőszám megadásával történik. Példa Egy test tömege lehet 23,4 g, ahol g (gramm) a mértékegység, 23,4 a mérőszám. Az elméleti ( ontos) számításoknál a mérőszámok a valós számok halmazának elemei. A valós számok halmaza megfelel a számegyenesnek, a valós számok és a számegyenes ontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. A valós számok halmazánál szűkebb halmaz nem lenne alkalmas bármely mennyiség pontos leírására. Ha éldául a racionális számok halmazát akarnánk csak használni, akkor nem tudnánk ontosan leírni az m oldalhosszúságú négyzet átlójának hosszát sem. (Az átló hossza √ , ami nem racionális szám.) A gyakorlatban azonban a valós számok halmazánál sokkal szűkebb halmaz elemeit használunk mérőszámként, hiszen az elvárt ontosság mindig véges. Ha az adatokat tizedes tört formában kezeljük, akkor kerekítünk, és a racionális számokon belül is csak egy szűk részhalmaz elemeit használjuk: azokat a számokat, melyek néhány számjeggyel leírhatók. A műszaki roblémák megoldásakor általában elegendő a 4 értékes számjegy, de nagy ontosságú számítások esetén szükség lehet akár értékes számjegyre is. Példa Ha egy gerendát megadott hosszúságúra kell levágni, és a mérőszalag, valamint a vágás mm ontosságú, akkor nincs értelme annak, hogy az előírt méretet éldául , 56 8 m-nek adjuk meg, ami ezred milliméteres ontosságot igényelne. Néhány elnevezés és megálla ítás a négy ala művelettel ka csolatban: összeadás

szorzás

Amiket összeadunk, azok a tagok.

Amiket összeszorzunk, azok a tényezők.

Például a

Például a p+x+5

px5

összeadásban a , az és az 5 a tagok.

szorzásban a , az és az 5 a tényezők.

Az összeadás eredménye az összeg.

A szorzás eredménye a szorzat.

Az összeadás kommutatív művelet, azaz

A szorzás kommutatív művelet, azaz

x+y = y+x

xy = yx

bármely x és y szám esetén.

bármely x és y szám esetén.

Az összeadásnak a 0 egységeleme, azaz

A szorzásnak az 1 egységeleme, azaz

x+0 = x

x1 = x

bármely x szám esetén.

bármely x szám esetén.

Több szám összegének felírására használatos Több szám szorzatának felírására a szumma jel, amennyiben a tagok egy közös használatos a produktum jel, amennyiben a ké let segítségével írhatók fel. tényezők egy közös ké let segítségével írhatók fel. Példa Példa ∏ ∑(i

)

4

5

6

( k

)

5 8

kivonás

osztás

A kivonás az összeadásból és a szorzásból származtatható: a

b

a

(

) b

Az osztás eredménye a hányados.

A kivonás eredménye a különbség.

Az osztás nem kommutatív művelet, általában

A kivonás nem kommutatív művelet, általában a

b

b

Az osztás nem végezhető el korlátlanul: a valós számok között: 0-val való osztásnak nincs értelme.

a: b

b: a, avagy

.

a.

A és – műveleti jelek egyben a számok előjelének jelölésére is szolgálnak. A műveleti jeleket tartalmazó kifejezések leírásakor figyelni kell arra, hogy két műveleti jel nem kerülhet közvetlenül egymás mellé, zárójelet kell alkalmazni: éldául 4(-5) helyes írásmód, 4-5 nem helyes. A műveleteknek erősorrendje van, amit a kifejezések kiszámításakor figyelembe kell venni. A szorzás és az osztás magasabb rangúak, mint az összeadás és a kivonás. A szorzás és az osztás egymás közt egyenrangúak, az összeadás és a kivonás egymás közt szintén egyenrangúak. Egyenrangú műveletek végrehajtása balról jobbra történik. Ha ettől el akarunk térni, akkor zárójelet kell alkalmazni. Példa 34+5=17, de 3(4+5)=27

Tizedes törtek Tízes számrendszerben a számokat a

hatványainak segítségével állítjuk elő.

Példa 384 = 3100 + 810 + 41 Tört szám esetén tizedes tört alakot használunk, melyben tizedek, századok, stb. is megjelennek. Példa 384,5472 = 3100 + 810 + 41 + 50,1 + 40,01 + 70,001 + 20,0001 A 84,547 tizedes tört egész része: 384, tört része: 0,5472 A tizedes törteket a törtrészük ala ján három cso ortba lehet sorolni: 

véges tizedes törtek



végtelen, szakaszos tizedes törtek



végtelen, nem szakaszos tizedes törtek

Véges tizedes törtek: a törtrész felírható véges sok számjeggyel (a racionális számok egy része véges tizedes tört formában felírható). Példa 384,5472

Végtelen szakaszos tizedes törtek: a törtrész nem írható fel véges sok számjeggyel, de véges sok számjegy után egy számjegycso ort ismétlődik (azok a racionális számok, melyek nem írhatók fel véges tizedes tört formában, végtelen szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő cso ortot a számjegyei fölé tett ontokkal szoktuk jelölni. Példa 45 ̇ 6̇ , 5, 6 6 6 5, , , ̇ 88 A ̇ -re végződő végtelen szakaszos tizedes törteknek véges tizedes tört alakjuk is van. A racionális számoknak véges, vagy végtelen, szakaszos tizedes tört alakjuk van. Példa , ̇

,4 ̇

,

,4

Végtelen nem szakaszos tizedes törtek: azok a valós számok, melyek nem tartoznak az előző két kategória egyikébe sem. Példa √ é

irracionális számok

Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos. Bármely valós szám kerekítés után egész, vagy véges tizedes tört alakú. Példa A 13625407,4963 szám különböző kerekített értékei: 14 000 000

13 625 400

13 625 407,5

13 600 000

13 625 410

13 625 407,50

13 630 000

13 625 407

13 625 407,496

13 625 000 Példák Tizedes törtekkel végzett írásbeli műveletek: 1 + 1

1

2 4

+ 1

4

7 1 9

3, 4 0 4 2 3 7 3, 4

5, 4, 0,

6 5 1

6, 1

-

1

3 -

4 0 4

2 2

1

-

1 1 2 1

4 2 0 8 2 2 2

3 2 8 3 4 4 4

4’ 6 4, 9 5, 5 5

9 1 7

0, 4, 5,

1 5 6

4, 2 : 6 1 3 = 2 3, 4 „visszaszorzás” 2 2 2 2 0

tizedesvessző! „visszaszorzás”

Közönséges törtek Közönséges törtről akkor beszélünk, ha a számot egy egész szám ( ) és egy ozitív egész szám hányadosaként írjuk fel: , . p a számláló, q a nevező Ha x egy egész szám, akkor – szükség esetén – lehet alakban közönséges törtként is írni. Két közönséges tört összeszorzása A és az közönséges törtek szorzata r s

r s

vagyis a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel kell összeszorozni. Közönséges tört szorzása egész számmal, vagy tizedes törttel A

közönséges tört, és az szám szorzata ,

vagyis az számmal a számlálót kell megszorozni. Ezt úgy is el lehet ké zelni, hogy az számot alakú közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört összeszorzására vonatkozó szabályt. A közönséges tört reciproka, ha p

.

Világos, hogy egy törtnek és a reci rokának szorzata . (Reci rok minden nullától különböző valós számhoz rendelhető: az formula szerint.) Két közönséges tört osztása A és az közönséges törtek hányadosa (ha r :

r s

) s , r

vagyis törttel osztani úgy kell, hogy szorozni kell a reci rokával. Közönséges tört osztása egész számmal, vagy tizedes törttel A közönséges tört, és az szám hányadosa (ha :

) :

,

vagyis az számmal meg kell szorozni a nevezőt, vagy el kell osztani a számlálót. Ezt úgy is el lehet ké zelni, hogy az számot alakú közönséges törtnek tekintjük, és alkalmazzuk a két közönséges tört osztására vonatkozó szabályt.

A számításokban gyakran előfordulnak az alábbi (ún. „emeletes” törtekre vonatkozó) átalakítások, melyek összhangban vannak a fentiekkel: s s , r , r r r r r s s Az előbbi formulákból látható, hogy több törtvonal esetén világosan kell érzékeltetni, hogy melyik az ún. fő törtvonal. Ennek az egyenlőség jellel kell egy magasságban lenni. Közönséges törtek egyszerűsítése és bővítése Könnyen belátható, hogy

, ha s

.

Ez a formula úgy fogalmazható meg, hogy egy közönséges tört értéke nem változik meg, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal osztjuk (egyszerűsítés), vagy szorozzuk (bővítés). Két közönséges tört összeadása azonos nevező esetén A és az közönséges törtek összege r

r

,

vagyis azonos nevezőjű törtek esetén össze kell adni a számlálókat, a nevező változatlan. (A fenti formulát „fordítva olvasva” látható, hogy ha a számlálóban több tag van, akkor azokat külön-külön elosztva a nevezővel, az eredeti törtet egyszerűbbekre bonthatjuk.) Két közönséges tört összeadása különböző nevező esetén A és az közönséges törtek összege r s

s s

r s

s

r s

,

vagyis különböző nevezőjű törteket először úgy kell bővíteni, hogy a két nevező egyforma legyen (közös nevezőre hozás), és ez után alkalmazható az azonos nevezőjű törtek összeadása. Legegyszerűbb az eredeti nevezők szorzatát alkalmazni közös nevezőként, bár sok esetben lehet ennél kisebb közös nevezőt is találni. Példa 7 8

8 7

8

8

7 8 8 7

7 8 8 4

6

4

Hatvány, gyök, logaritmus Hatvány ozitív egész kitevővel Ha n ozitív egész szám, valós szám, akkor  



(n db szorzótényező)

x: alap, n: kitevő

Hatvány negatív egész kitevővel Ha n ozitív egész szám és

, akkor

Példa 5

, 5 5 Hatvány kitevővel Ha

,

, akkor x0 = 1.

Hatvány tört kitevővel, gyökvonás Ha egy ozitív szám, n edig egy ozitív egész szám és xn = y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke. Jelölése:

√y , vagy

y .

Példa √

,

,

√

√

,

8

√8

A gyökvonás fenti értelmezésében csak a ozitív számokra szorítkoztunk, ahol a gyökvonás egyértelműen elvégezhető. Az xn = y tí usú egyenletekben (y ismert, ismeretlen) nem feltétlenül kell élnünk az , y feltételezéssel, így a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete:

Páratlan n esete:

Ha y< , akkor nincs megoldás.

Egy megoldás van.

Példa x4 = -3

Példa x3 = -8 megoldása:

Ha y

, akkor egy megoldás van.

Példa x4 Ha y

megoldása:

, akkor két megoldás van.

Példa x4

6 megoldásai:

1=-2,

x2=2

-2.

Ha egy közönséges tört és

, akkor (√ ) .

Példa 8

( √8)

4,

8

7

( √8 )

A hatványozás néhány tulajdonsága Ha x>0, y>0, továbbá n és k racionális szám, akkor (

y)

y

( ) y (

y

)

Mivel a kitevők racionális számok is lehetnek, ezek a ké letek egyben a gyökvonás tulajdonságait is megadják. Így, ha

,y

, továbbá n és k ozitív egész szám, akkor √

√

√ √

√

√ √√ √

y √

(

)

(

y)

y

( ) y

√ y

√

√y

√ √y

y

A logaritmus Ha a,b

és a

, akkor az a

b egyenlet megoldását log b–vel jelöljük.

Szavakkal elmondva: a ala ú logaritmus b azt a hatványkitevőt jelöli, melyre a-t kell emelni, hogy b-t kapjunk, azaz: ) A definíció következménye, hogy ha a

és a

, akkor log

, log a

A logaritmus azonosságai: log ( log log

y) y

log log k log

log y log y ( ,a

( , y, a ( , y, a ,

,a

)

,a

)

,

)

.

Normál alak A p10k alakú szorzat, melyben ≤ <

, k edig egy egész szám normál alaknak nevezzük.

p: mantissza, k: karakterisztika Minden valós számnak van normál alakja. Példa 3,845472102 = 384,5472 A k értéke adja a szám nagyságrendjét. Így l. az, hogy egy y szám nagyságrenddel nagyobb az számnál azt jelenti, hogy y kb. 1000-szer akkora, mint az x. Normál alakú számok szorzása A p10k alakú és a 10s normál alakú számok szorzata (p10k)  (q10s) = pq10k+s, vagyis a mantisszákat össze kell szorozni, a karakterisztikákat edig össze kell adni. Példa 51051,4106 = 71011 Normál alakú számok összeadása Az összeadás előtt a számokat vissza kell írni tizedes tört alakba, vagy olyan alakba, ahol a hatványkitevője azonos: Példa A 4,52105 + 9,1106 összeadás két lehetséges elvégzési módja: 1,

4,52105 + 9,1106 = 452000 + 9100000 = 9552000 = 9,552106

2,

4,52105 + 9,1106 = 4,52105 + 91105 = 95,52105 = 9,552106

Középértékek Számtani közé (átlag) Az

,

,

,

számok számtani köze e (átlaga): ∑

Súlyozott számtani közé Az , , , számoknak a számtani köze e (átlaga):

,

,

,

ozitív számokkal (súlyokkal) ké zett súlyozott

∑ ∑ Ha a

,

,

,

.

( ozitív) súlyok összege , akkor a fenti formula leegyszerűsödik: ∑

.

Mértani közé Az

,

,

,

nemnegatív számok mértani köze e: √∏ .

√ Harmonikus közé Az

,

,

,

ozitív számok harmonikus köze e: n

n ∑

Négyzetes közé Az

,

,

,

nemnegatív számok négyzetes köze e: √

n

√

∑ n

Könnyen belátható, hogy az , , , számok bármelyik köze e a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik. Ha s eciálisan az összes szám egyenlő, akkor mindegyik köze ük egyenlő ezzel az értékkel. Ha , , , ozitív számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes köze ét H, M, S és N jelöli, akkor fennáll, hogy H≤M≤S≤N

Százalékszámítás Törtrész kiszámítása: egy szám -ad részének kiszámítása: A százalékszámítás is törtrész kiszámítását jelenti: % jelentése Például egy szám 35%-ának, azaz

. -ad rész.

-ad részének kiszámítása:

, 5.

Példa 125.000 Ft 35%-a: 125.0000,35 = 43.750 (Ft) A százalékszámítás ala ké lete, mellyel lényegében bármely százalékszámítási feladat megoldható: százalék ala

százalék láb

százalék érték

A ké let ala ján a százalék ala , százalékláb és a százalékérték közül bármelyik kettőből a harmadik kiszámítható. Egy feladat megoldásának legfontosabb lé ése, hogy azonosítsuk, hogy a rendelkezésre álló adatok közül melyik százalék ala , százalékláb vagy a százalékérték, illetve hogy melyiket kell kiszámítani. Példa Mennyi 12-nek a 30%-a? Itt a százalékala Válasz:

, a százalékláb ,

, és a százalékértéket kell kiszámítani.

,6.

Példa Hány %-a 288 a 240-nek? Itt a százalékala Válasz: 4

4 , a százalékérték 88, és a százaléklábat kell kiszámítani. 88 

, tehát 88 a 4 -nek 120%-a.

A százalékszámítás egyik gyakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az egy éves kamat % (vagyis a kamatláb ), akkor a bankban elhelyezett T összegre (tőkére) egy év elteltével kapott kamat T , a kamattal növelt összeg edig T T ( ) T. Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: (

)

T.

Példa 250.000 Ft tőke 7% éves kamat és évenkénti tőkésedés mellett 6 év elteltével (egész forintra kerekítve): (

7

)

5

, 7

5

75 8

forintot ér.

Többtagú összeg hatványozása, néhány azonosság Kéttagú összeg hatványaira vonatkozó formulákat a binomiális tétel adja, melyet nem részletezünk, mivel ez a későbbi tanulmányok része lesz. Itt csak a második, a harmadik és a negyedik hatvány esetét mutatjuk be. (A binomiális tétel ismeretében nem szükséges ezeket a ké leteket fejben tartani, mivel az általános sémából könnyen levezethetők.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Megjegyzésként megadjuk a háromtagú összeg második hatványára vonatkozó formulát is. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc A szorzattá alakításban gyakran alkalmazzuk az an – bn = (a-b)( an-1 + an-2b + an-3b2 +

a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

azonosságot, mely minden n ozitív egész szám esetén fennáll. a2 – b2 = (a-b)(a+b) a3 – b3 = (a-b)( a2+ab+b2) A felsorolt azonosságok bármelyike könnyen ellenőrizhető a műveletek elvégzésével. Binomiális tétel: Ha n nemnegatív egész szám, akkor (a n n, ( ) k

ahol n!

n ∑( ) a k

b)

!

, !

!(

b

.

)!

Példa (a

b)

∑( ) a b k ! a ! !

( ) a ! !

!

 4   0

b

!

a b

.

!

 2    0

 3    0

( ) a

 4   1

.

1    0

 3   1

!  0    0

 2   1

 4    2

.

b

1   1

 3    2

b

( ) a

a

ab

 2    2

 3    3

 4    3

.

.

b b

 4    4 .

.

A Pascal háromszög Ha n nemnegatív egész szám, a háromszög n

-edik sorában (a b)n együtthatói olvashatók.

( a  b) 0

1 1 1 1 1 .

2 3

4 .

( a  b) 2 ( a  b) 3

1 3

6 .

( a  b) 1

1 1 4 .

1 .

.

( a  b) 4 .

A háromszög soraiban a fentieknek megfelelően binomiális együtthatók vannak.

Függvények, egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények Függvény két halmaz elemei közötti ka csolat. Sokan azt hiszik, hogy a függvény nem más, mint egy görbe egy síkbeli koordinátarendszerben. Példa Legyen A az emberek halmaza, B az anyák halmaza. Ha minden emberhez hozzárendeljük az anyját, akkor egy függvényt ka unk. (Próbálja meg valaki ezt a függvény ábrázolni derékszögű koordinátarendszerben!) Példa Legyen A a téglala ok halmaza, B a ozitív valós számok halmaza. Ha minden téglala hoz hozzárendeljük a területét, akkor egy függvényt ka unk. A leggyakrabban előforduló függvények számokhoz számokat rendelnek, ezekkel találkozunk leghamarabb a tanulmányaink során. Ezeket természetesen ábrázolhatjuk, sőt sokszor é en azzal a céllal adunk meg egy függvényt, hogy azzal egy görbét azonosítsunk. Egy függvény az értelmezési tartományának minden eleméhez ontosan egy elemet rendel hozzá az értékkészletének elemei közül. Az értelmezési tartomány elemeit szokás helyeknek, az értékkészletének elemeit értékeknek nevezni.

edig

A műszaki roblémák esetén az adott feltételekből, körülményekből következik, hogy a folyamatot leíró függvényeknek mi az értelmezési tartománya. Az értelmezési tartomány gyakran az idő. Ebben az esetben az értelmezési tartomány nyilvánvalóan a mérés időtartama. Azt, hogy egy függvény a 6 számhoz a

számot rendeli így jelöljük: 62.

Ha f a függvény neve, akkor ugyanezt így jelöljük: f(6)=2 A hozzárendelést megadhatjuk az összetartozó értelmezési tartománya véges sok elemet tartalmaz.

árok felsorolásával, ha a függvény

Példa -5 -1 0 4 52 100 104 7

2

1 1

-4

0

0

A függvényeket általában ké lettel adjuk meg. A ké let azt mutatja meg, hogy az értelmezési tartománybeli elemhez („bemenő adat”) a függvény mely elemet rendeli az értékkészletből („kimenő adat”). Ilyenkor azt is meg kell mondani, hogy melyik halmaz az értelmezési tartomány. Példa x  x2 + 5x, x [-1,12] vagy, ha g a függvény neve: g(x) = x2 + 5x, x [-1,12] A g függvény néhány értéke: x (hely)

-0,5

2,2

6

8,9

11

11,6

g(x) (érték) -2,25 15,84 66 123,71 176 192,56

A matematikai tanulmányok minden részében köz onti szere e van a függvényeknek. Az alkalmazások többségében néhány ala vető függvény szere el. A roblémák megoldásához tudnunk kell, hogy ezek a függvények milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. A későbbiekben megadjuk néhány ala vető függvény grafikonját. (Ezeket a ké eket nem kell memorizálni, de szükség esetén – a hozzárendelési szabály ala ján – fel kell tudni rajzolni.)

Egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenlet alatt egy (*)

f(x)=g(x)

alakú szimbólumot értünk, ahol f és g valamilyen valós függvények, s egy ilyen egyenlet megoldáshalmaza alatt mindazon valós számok halmazát értjük, amelyek beletartoznak az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részébe és amelyekre teljesül a (*)

egyenlőség. Egyébként az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részét szokás az egyenlet értelmezési tartományának nevezni. Mindez az egyenlőtlenségekkel ka csolatban is szó szerint megismételhető, ha (*)-ban az = jelet a ≤, , <, jelek valamelyikével helyettesítjük. Ha két egyenletnek, vagy egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenlet, vagy egyenlőtlenség ekvivalens. Ha egy egyenlet, vagy egyenlőtlenség megoldáshalmazának keresése közben az egyes lé ésekben az előzővel ekvivalens egyenletet ka unk, akkor azt mondjuk, hogy ekvivalens átalakításokat végeztünk.

Hatványfüggvények Az xxn tí usú függvényeket, ahol n racionális szám hatványfüggvényeknek nevezzük.

A változó ( ) a hatványkifejezés ala jában van! A hatványfüggvények értelmezési tartománya – az n értékétől függően – lehet a valós számok halmaza, a nemnegatív valós számok halmaza, vagy \{0}.

xx

Függvény

f(x)=ax+b (a  0 )

Értelmezési tartomány

x

Értékkészlet

f(x)

Zérushely Növekedés Szélsőérték

b a szigorúan monoton növekvő, ha a , szigorúan monoton csökkenő, ha a<0 nincs

xx2

xx3

(a  0 )

Függvény

f(x)=a·x2

Értelmezési tartomány

x

Értékkészlet

f( )

, ha a>0

f( )

, ha a<0

Zérushely

x=0

Növekedés

a

esetén:

szigorúan monoton növekvő, ha , szigorúan monoton csökkenő, ha <

a< esetén: Szélsőérték

szigorúan monoton növekvő, ha <0, szigorúan monoton csökkenő, ha >0 a esetén x=0 minimumhely, a< esetén x=0 maximumhely

Függvény

f( )

Értelmezési tartomány Értékkészlet

f( )

Zérushely

nincs

Növekedés

szigorúan monoton csökkenő, ha < szigorúan monoton csökkenő, ha nincs

Szélsőérték

√

√

Függvény

f( )

√


f( )

Zérushely

x=0

Növekedés

szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték

x=0 minimumhely

Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek n-ed fokú olinom Ha an, ..,a0 rögzített valós számok és an

, akkor

P(x)=anxn +an-1xn-1

a1x + a0

módon értelmezett függvényt n-ed fokú olinomnak nevezzük. A legmagasabb fokú tag együtthatóját a olinom főegyütthatójának mondjuk. Ha az an, ..,a0 együtthatók egyike sem nulla, teljes n-ed fokú olinomról, ellenkező esetben hiányos n-ed fokú olinomról beszélünk. Ha valamely x0 valós szám esetén P( 0)=0, akkor x0-at a P( ) olinom zérushelyének, vagy a P( ) egyenlet gyökének nevezzük. Ezért ha a P( ) olinomot ábrázoljuk, akkor a P( ) olinom ké e azokon az 1,...xn, helyeken metszi az x tengelyt melyekre P(x1)=0,.., P(xn)=0.

Példa A P(x)=5x3-4x2+7x-9 polinom egy teljes harmadfokú olinom. A Q(x)=6x4-3x3-5 olinom egy hiányos negyedfokú olinom. Legyen adott egy P( ) olinom, illetve az általa meghatározott P( ) algebrai egyenlet. Megoldóké letnek nevezünk egy olyan ké letet, vagy eljárást, amely az egyenlet együtthatóiból a négy ala művelet, az egész kitevőjű hatványozás és a gyökvonás segítségével véges sok lé ésben származtatja az egyenlet gyökeit, vagy bizonyítja annak megoldhatatlanságát. Másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekre vannak megoldó ké letek, ennél magasabb fokúakra azonban bizonyítottan nincsenek, ezért az ötöd- vagy magasabb fokú olinomegyenleteket csak abban az esetben tudunk megoldani, ha az egyenlet alakja s eciális. Bármely másodfokú egyenlet rendezéssel az ax2 + bx + c=0 alakra hozható. Ezt az alakot a másodfokú egyenlet -ra rendezett, vagy 0-ra redukált alakjának nevezzük.

Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú olinom P(x) = ax2 + bx + c ahol a . Másodfokú olinom grafikonja arabola, mely a esetben „lefelé nyílt”. A grafikonnak az tengellyel , vagy másodfokú olinomnak , vagy zérushelye van.

esetben „felfelé nyílt”, a< közös ontja van, vagyis egy

Másodfokú egyenlet ax2 + bx + c = 0 Másodfokú egyenlet megoldása nem más, mint a baloldalon lévő másodfokú olinom zérushelyeinek megkeresése. A fentiekből következik, hogy egy másodfokú egyenletnek , vagy megoldása van. Diszkrimináns: D

b

4ac

A másodfokú egyenletnek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns értéke nem negatív, azaz ha b2 4ac.

Megoldóké let: √b

4ac

√D

A megoldóké let a diszkrimináns értékétől függően , vagy valós megoldást (gyököt) ad: 

Ha D<0, akkor nincs valós megoldás.



Ha D=0, akkor egy valós megoldás van.



Ha D

, akkor két valós megoldás van.

Példa 2x2 + 10x + 12 = 0 D=100-4· ·

4 √4 4

√4

,

4

Gyöktényezős felbontás Az ax2+bx+c másodfokú olinom gyöktényezős felbontását illetően három eset van annak megfelelően, hogy a megfelelő ax2+bx+c=0 egyenletnek hány gyöke van. Ha az egyenletnek egy gyöke van: x0, akkor ax2 + bx + c = a(x- x0)2 (ekkor ún. teljes négyzet alakról beszélünk) Ha az egyenletnek két gyöke van: x1 és x2, akkor ax2 + bx + c = a(x- x1)(x-x2) Ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor nincs gyöktényezős felbontás. A gyökök és az együtthatók összefüggései , Másodfokú egyenlőtlenségek ax2 + bx + c  0,

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c  0,

ax2 + bx + c < 0

Egy másodfokú egyenlőtlenség a megfelelő egyenlet megoldása, és a másodfokú grafikonjáról készítet vázlat ala ján könnyen megoldható.

olinom

Az ax2 + bx + c  0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében:

Az ax2 + bx + c  0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében:

Magasabb fokú olinomegyenletek Magasabb fokú olinomok zérushelyeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Polinomegyenletek megoldásakor hasznosak lehetnek az alábbi megálla ítások:  Az ax2n+bxn+c=0 (n ) alakú egyenletek megoldása visszavezethető másodfokú egyenlet n helyettesítéssel. (Először az ap2+bp+c=0 egyenletet kell megoldani, megoldására a majd a p=xn egyenletet.)  Az anxn+an-1xn-1+...+a1x+ao egyenlet egész megoldásait az ao ( ozitív és negatív) osztói között kell keresni (természetesen ilyenek nem mindig vannak)  Az anxn+an-1xn-1+...+a1x+ao olinomnak akkor és csak akkor gyöke az együtthatóinak összege , azaz an+an-1+...+a1+ao=0

, ha az

 Egy olinomnak akkor és csak akkor gyöke a - , ha a áros inde ű együtthatóinak összege egyenlő a áratlan inde ű együtthatóinak összegével  Ha a P olinomnak gyöke a c szám, akkor P a következő alakba írható: P( ) ( -c)Q(x), ahol Q egy a P-nél eggyel alacsonyabb fokszámú olinom. Az utóbbi megálla ítás szerint: ha egy n-edfokú olinom k db gyökét ismerjük, akkor az esetleges további gyökök keresése visszavezethető egy (n-k)-adfokú olinom gyökeinek keresésére.

A olinomok gyökeivel ka csolatos az ún. gyöktényezős felbontás. Minden olinom felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú tényezők szorzatára: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Egy (x-c) tényező ontosan akkor szere el a P felbontásában, ha a c gyöke P-nek, azaz P(c)=0. Ezért a fenti felbontásában szere lő ( -ci) tényezőket a ci gyökökhöz tartozó gyöktényezőknek (i ,...n), magát a felbontást gyöktényezős felbontásnak nevezzük. Példa Határozzuk meg a P( ) felbontását! Ehhez az x3-x2-

3-x2-

harmadfokú

olinom gyökeit, ill. a gyöktényezős

harmadfokú olinomegyenletet kell megoldani.

Így a P olinom felbontása: P(x) = ( x – 1 )  Q(x) = ( x – 1 )  ( x2 – 1 ) A Q(x) = x2 – másodfokú olinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P(x) = (x – 1)  (x – 1)  (x + 1) = (x – 1)2  (x + 1) A gyökök edig: x1

(kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( – 1)

x2= - (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: ( + 1)

E E

onenciális és logaritmus függvények onenciális függvények x2x

( )

Függvény

f( )


f( )

Zérushely

nincs

Növekedés

Szélsőérték

a

,  1)

(a

Logaritmus függvények xlog2x

xlog0,5x

Függvény

f( )


f( )

Zérushely

x=1

Növekedés

Szélsőérték

log

(a

,  1)

Az e

E E

onenciális és a logaritmus függvények ka csolata

onenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek onenciális egyenletek

Az e onenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szere el. A legegyszerűbb e onenciális egyenlet: af(x)=b alakú, ahol a , b és f valamilyen adott valós függvény. Ha a

, akkor ( )

Ha a

, akkor két eset van: b

 

, ami már nem e vagy b

onenciális egyenlet.

.

Ha a és b , akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Ha a és b , akkor nincs megoldása az egyenletnek.

Másik ilyen ala tí us az af(x)= ag(x), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények.  

Ha a , akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Ha a , akkor mindkét oldal a ala ú logaritmusát véve az f( ) g( ) egyenlethez jutunk.

Logaritmusos egyenletek A logaritmusos egyenlet olyan egyenlet, melyben az ismeretlen valamilyen logaritmus változójában szere el. A legegyszerűbb logaritmusos egyenlet: logaf(x)=b alakú, ahol a , a és f valamilyen adott valós függvény. Az egyenlet értelmezési tartománya az f függvény értelmezési tartományának azon része, amelyen f ozitív értékeket vesz fel. A logaritmus definícióját használva f( ) ab.

( ) ( ), ahol a>0, a Másik ala tí us valamint f és g adott valós függvények. Az egyenlet értelmezési tartománya az f és g függvény értelmezési tartományai metszetének azon része, amelyen f és g is ozitív értékeket vesz fel. Az egyenlet mindkét oldalára az a ala ú logaritmus függvény inverzét, az a ala ú e onenciális függvényt alkalmazva kapjuk, hogy f(x)=g(x). E

onenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek

Az e onenciális és logaritmusos egyenlőtlenségeket az e onenciális és logaritmusfüggvények szigorú monotonitását figyelembe véve (csökkenő vagy növekvő) oldjuk meg.

Trigonometrikus függvények Nevezetes szögek szinusza és koszinusza Egy egységnyi hosszúságú vektort ( ozitív forgásirányban) megforgatva a vég ont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják

Nevezetes szögeknek a rajzon megjelölt szögeket nevezzük.

A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a ,

,

√

,

√

,

értékek valamelyikével egyenlők. A felsorolt értékek nagyságrendi sorrendben vannak, így könnyen azonosíthatók a rajzon, a tengelyeken megjelölt értékekkel.

A rajzról bármelyik nevezetes szög koszinusza és szinusza leolvasható. Az értékeket a következő táblázat is tartalmazza: szög (fok)

szög (rad)

sin

cos

szög (fok)

szög (rad)

sin

cos

°

0

0

1

8 °



0

-1

√

°

7 6

√

5°

5 4

√

4

√

° 45°

6 4

√

6 °

√

°

1

°

√

5°

√ 4

4 ° 0

7 ° °

√

5°

√

-1 5

√

7 64

√

√

0

√

5 °

5 6

√

√

°

6

6 °

0

2

1

Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 6 °

Radián: egységnyi sugarú kör esetén radián az a (közé onti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik

Összefüggés fok és radián között :

8 °

 (rad)

A szinuszfüggvény: f(x)=sin(x)

Függvény

f( )


sin

Zérushelyek

sin , k

, k

szigorúan monoton növekvő, ha Növekedés

[

,

k

], k

k

], k

szigorúan monoton csökkenő, ha [

Szélsőértékek

k

a minimumok helye: a minimum értéke: -1

k

, k

, k

a maximumok helye:

k

, k

a maximum értéke: 1 Paritás

áratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, sin (-x)= -sin(x))

Periódus

Nevezetes szögek tangense és kotangense

Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak,

így megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

, azaz

A tangens függvény: f(x)=tg(x) (cos(x)  0 )

Függvény

f( )

tg ,

Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Növekedés

k

, k

tg k

, k

szigorúan monoton növekvő, ha ]

k

,

k

[, k

Szélsőértékek

nincs

Paritás

áratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, tg (-x)= -tg(x))

Periódus Összefüggések derékszögű háromszögben

Hasonlóan a fentiekhez, két derékszőgű háromszög hasonlóságát figyelembe véve

derékszögű háromszögben az oldalak aránya: a c

sin ,

b c

cos ,

a b

tg

Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hogy ha a derékszögön kívül még egy másik szög () adott a derékszögű háromszögben, akkor az oldalak aránya meghatározott. A fenti jelölésekkel, l. az a és a b oldal arányát a tg értéke adja. (Meg kell jegyezni, hogy a fenti formuláknak a szögfüggvények definiálására való alkalmazása csak a 0≤≤/ tartományban lenne értelme.) Gyakran van arra szükség ( l. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fentiek szerint a a = csin,

b = ccos

összefüggések alkalmazását jelenti. Összefüggés a trigonometrikus függvények között sin

cos

sin x =

-

cos x =

 1  sin x

tg x = ctg x =

√

√

√

sin

√

sin sin

tg

√

ctg

√ ctg

tg

√ cos

-

cos cos √

ctg

tg

cos -

2

sin

tg

tg

cos

ctg

√ ctg -

A táblázat használata: ha éldául a cos függvénynek a tg függvénnyel való kifejezésére van szükség, akkor a cos sorban és a tg oszlo ban lévő formulát kell tekinteni: cos

√

tg

A  jel arra utal, hogy az összefüggés az értékétől függően két formulával adható meg. Szögek összege, különbsége, kétszerese és fele trigonometrikus függvényeinek kifejezése az eredeti szögek trigonometrikus függvényeivel

x+y

x–y

2x

sin

sinxcosy + cosxsiny

sinxcosy – cosxsiny

2sinxcosx

√

cos

cosxcosy – sinxsiny

cosxcosy + sinxsiny

cos2x – sin2x

√

tg

tg

tg

tg y tg tg y

ctg ctg y ctg ctg y

ctg

tg y tg tg y

ctg ctg y ctg y ctg

x/2 cos

cos

tg tg

cos sin

ctg

cos sin

ctg

A táblázat használata: ha éldául a cos(x–y) kifejezésére van szükség az és az y trigonometrikus függvényeivel, akkor a cos sorban és az –y oszlo ban lévő formulát kell tekinteni: cos(x–y) = cosxcosy + sinxsiny. További összefüggések sin

cos

sin

sin y

sin

cos

cos y

cos

Trigonometrikus függvények

tg y y

cos cos

y y

cos

sin

sin y

cos

cos

cos y

sin

y y

sin cos

y y

Trigonometrikus egyenletek Jelölje trig a cos, sin tg, illetve ctg függvények bármelyikét. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet ( ) alakú, ahol f adott valós függvény, melynek értékkészlete részhalmaza a trig függvény értelmezési tartományának, c edig valós szám. Ennek az egyenletnek nyilván csak akkor van megoldása, ha a c szám benne van a trig függvény értékkészletében. Ha ez teljesül, a megoldásokat az adott trigonometrikus függvény eriodicitási tulajdonságát felhasználva tudjuk megadni.

Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) ontok távolsága ( ,

)

√(

)

(

)

Két ont által meghatározott vektor Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) ontok által meghatározott vektor: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PP

(

,y

y )

Vektor hossza és szöge A v̅

(v , v ) vektor hossza: v̅

d(P , P )

√v

v

A v̅ (v , v ) vektor szöge (az tengely ozitív felétől ozitív forgásirányban mért szög): v tg , v amennyiben vx

.

Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem árhuzamos) egyenesen felvéve két ontot: ( 1,y1) és ( 2,y2) az y y m tg értéket az egyenes meredekségének, iránytangensének nevezzük.

vagy

Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az

y = m(x-x0) + y0 formulát értjük. Az m, az

0 és

az y0 aramétereknek közvetlen geometriai jelentése van:

m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja

Meg kell jegyezni, hogy az y tengellyel árhuzamos egyeneseknek ilyen egyenlete nincs. Az ilyen egyenesek egyenlete c alakú, ahol c az tengellyel alkotott metszés ont. Az y = m(x-x0) + y0 formula átrendezésével ka ott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Egy egyenes „különböző” egyenletei valójában tehát csak átrendezésben térnek el egymástól. Az egyes átrendezésekben szere lő araméterek más-más geometriai tartalommal bírnak. A lehetséges átrendezések közül igen gyakran használjuk az y = mx + b formulát. Itt az m és a b araméterek jelentése: m: meredekség (iránytangens) b: metszés ont az y tengellyel Példa y=2x+3

Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból Az alábbi esetek mindegyikében az egyik adat az egyenes egy ontja, ami megfelel az egyenes egyenletében szere lő ( 0,y0) ontnak, a másik adat edig a következők valamelyike: egy másik ont, egy irányvektor, egy normálvektor. Mindegyik esetben kifejezhető a meglévő adatokból a meredekség, és felírható az egyenlet. . Két ont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két (Feltételezzük, hogy 0 x1)

m

ontja: ( 0,y0) és ( 1,y1)!

, így az egyenes egyenlete: y

y

y

(

)

y

2. Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy ontja: ( 0,y0), egy irányvektora (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx )

m

, így az egyenes egyenlete: y

v v

(

Szokásos a vy x- vx y= vy x0- vx y0 alakra való átírás.

)

y

. Egy ont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy ontja: ( 0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B )

m

, így az egyenes egyenlete:

A ( ) y B Szokásos az Ax + By = Ax0 + By0 alakra való átírás, illetve az y

Ax + By+C =0 alak, ahol C=-( Ax0 + By0) . S eciális helyzetű egyenesek egyenlete

Kör egyenlete Az (u,v) közé

ontú, R sugarú kör egyenlete: (x-u)2 + (y-v)2 = R2

Szakasz felező ontja Az (x1;y1) és az (

2;y2)

ontokat összekötő szakasz felező ontja:

(

;

)

Példa Legyen P=(2;-4), Q=(3; ). Ekkor a PQ szakasz felező ontja: 4 5 ( ), (

)

Háromszög súly ontja Az A=(x1;y1), B=(x2;y2), C=(x3;y3) csúcs ontú háromszög súly ontja:

(

)

Szakasz általános osztó ontja Legyen P1=(x1;y1), P2=(x2;y2) két ont, ezek helyvektorai legyenek rendre ̅̅̅ és ̅̅̅ . A P1P2 szakaszt m:n arányban osztó P ont helyvektora legyen ̅, a P koordinátái ( y). Ha P1P:PP2=m:n , akkor

̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

és

,y

Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria -

37. oldal

Geometria Síkgeometria I. Geometriai alapfogalmak 1. Térelemek A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C, ... P, Q, ... X, Y, Z – latin nagybetű egyenes: a, b, c, ... p, q, ... x, y, z – latin kisbetű sík: S,T, .. – latin nagybetű A továbbiakban támaszkodni fogunk a szemlélet ala ján magától értetődő ismereteinkre. A tér egyeneseit és síkjait is onthalmazoknak tekintjük. Igaznak fogadjuk el éldául, hogy egy egyenest bármely ontja két félegyenesre bontja, egy síkot bármely egyenese két félsíkra bontja, míg a teret bármely síkja két féltérre bontja.

A tér A és B ontját összekötő szakasz az A kezdő ontú és a B ontot tartalmazó, valamint a B kezdő ontú és az A ontot tartalmazó félegyenes metszete. Térelemek kölcsönös helyzete: Két egyenest a térben metszőnek mondunk, ha van közös ontjuk és nem esnek egybe. Két egyenest a térben árhuzamosnak mondunk, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Két egyenest a térben kitérőnek mondunk, ha nincsenek egy síkban. Két síkot a térben metszőnek mondunk, ha van közös ontjuk és nem esnek egybe. Két síkot a térben árhuzamosnak mondunk, ha nincs közös ontjuk, vagy ha egybeesnek. Azt mondjuk, hogy a tér egy egyenese döfi a tér egy síkját, ha van közös ontjuk és az egyenes nem illeszkedik a síkra. A tér egy egyenesét és egy síkját árhuzamosnak mondjuk, ha nincs közös ontjuk. Összegezve:   

Két egyenes kölcsönös helyzete lehet metsző, árhuzamos vagy kitérő. Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző vagy árhuzamos. Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet: - az egyenes illeszkedik a síkra, - az egyenes döfi a síkot, - az egyenes árhuzamos a síkkal.


38. oldal

. A szög A szög: olyan síkrész, amelyet egy ontból kiinduló két félegyenes határol.(Ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdő ontjuk a szög csúcsa. Szögek mérése és fajtáik.



A szögeket úgy is származtathatjuk, hogy a két, közös kezdőpontú, egymást fedő félegyenes közül az egyiket a kezdőpont körül elforgatjuk. Ilyenkor forgásszögről beszélünk. Ha a mozgó szár mozgása az óramutató járásával ellenkező irányú, akkor a szöget pozitívnak, ha pedig megegyező irányú, akkor a szöget negatívnak mondjuk. A szög nagyságát az elforgatás nagyságával mérjük, függetlenül a forgási iránytól.



Ha a mozgó félegyenes egy teljes fordulatot megtesz, a keletkező szöget teljesszögnek nevezzük. A szögmérés mértékegysége a fok, o- a teljes szög 6 -ad része.

A szögeket görög kisbetűvel jelöljük: α, β, γ, δ, … A szögeket nagyság szerint a következő cso ortokba soroljuk: teljesszög : egyenesszög : β

β

6

o

8

o

nullszög : γ

γ

hegyesszög : δ

0o < δ <

derékszög : ε

ε

o o o

tom aszög : ζ

90o < ζ < 8

homorúszög : η

180o < η < 6

teljesszög

egyenesszög

nullszög

o o

derékszög


hegyes szög

tom aszög

39. oldal homorúszög

A szögeket mérhetjük radiánban is: ekkor a teljes szög mértéke Az egységnyi sugarú körben az o-hoz tartozó körívhossz: / 8 Példa Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók és

.

óra között minden egész órakor?

Nevezetesebb szög árok: -

Egyenlő szög árok

Egyállású szögek : száraik áronként árhuzamosak és azonos irányúak Váltószögek : száraik áronként árhuzamosak, és ellenkező irányúak Csúcsszögek : s eciális váltószögek egy-egy száruk egy egyenest alkot Merőleges szárú szögek : száraik áronként merőlegesek egymásra a merőleges szárú szögek között vannak egyenlők és olyanok is, amelyek 8 °-ra egészítik ki egymást

Példa Az ábrán az

szög

o4

’. Mekkora a többi jelölt szög?


40. oldal

Példa Az α és β merőleges szárú szögek. Határozzuk meg a szögek nagyságát, ha a β szög harmadrésze az α-nak. Egymást kiegészítő szögpárok Pótszögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 90°. A kiegészítő szögek 180°-ra egészítik ki egymást-mellékszögek, társszögek

Példa Mekkora az a szög, amelyik a mellékszögének

részével egyenlő?

Térelemek szöge : Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90o.



 




41. oldal

Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel árhuzamos két egyenes szögét értjük. e

e' f f'

S

Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a

a' S

Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük.

Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is.( a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)


Párhuzamossági tételek Egy egyenes akkor árhuzamos egy síkkal, ha van a síkban egy olyan egyenes, amely az adott egyenessel árhuzamos.

Két sík akkor árhuzamos egymással, ha az egyik síkban van két olyan metsző egyenes, amely a másik síkkal árhuzamos.

Ha egy síkkal árhuzamos egyenesre síkot fektetünk, ez a sík az adott síkot az adott egyenessel árhuzamos egyenesben metszi.

Az adott síkkal árhuzamos egyenesre illeszkedő síkoknak az adott síkkal alkotott metszésvonalai egymással is árhuzamosak.

Két egymást metsző sík metszésvonalával árhuzamos harmadik sík az adott síkokat a metszésvonallal árhuzamos egyenesekben metszi. Ezek az egyenesek egymással is árhuzamosak.

Két árhuzamos síkot egy harmadik sík egymással árhuzamos egyenesekben metsz.

42. oldal


43. oldal

Két árhuzamos sík két, velük nem árhuzamos árhuzamos egyenesből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki.

Egy ponton át egy síkkal árhuzamosan végtelen sok egyenes fektethető. Ezek egy olyan síkban fekszenek, mely az adott síkkal árhuzamos.

Két térelem árhuzamosságára a továbbiakban a

jelölést is használjuk.

Merőlegesség 1. Egy egyenes merőleges egy síkra, ha van a síkban két olyan, különböző irányú egyenes, amelyre az adott egyenes merőleges. (Ekkor az egyenes a sík összes egyenesére merőleges.)

2. Két sík merőleges egymásra, ha legalább az egyik síkban van olyan egyenes, amely a másik síkra merőleges. Ez természetesen maga után vonja azt, hogy a másik síkban is van olyan egyenes, amely merőleges az egyikre.


Merőlegességi tételek Egy egyenes adott pontjában, az adott egyenesre merőleges egyenesek egy síkban vannak, még edig az egyenesre merőleges síkban. Ha két egyenes ugyanarra a síkra merőleges, akkor a két egyenes egymással árhuzamos. Ha két egyenes árhuzamos egymással és közülük az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra. Ha két sík ugyanarra az egyenesre merőleges, akkor a két sík egymással árhuzamos.

Két sík metszésvonalára merőleges sík mindkét adott síkra merőleges.

Ha két egymást metsző sík merőleges egy harmadikra, akkor a metszésvonaluk is merőleges a harmadik síkra

44. oldal


45. oldal

Ha három sík áronként merőleges egymásra, akkor metszésvonalaik is merőlegesek egymásra.

Egy ponton át egy adott síkra végtelen sok merőleges sík állítható. Ezek metszésvonala a ponton átmenő, adott síkra merőleges egyenes.

Egy általános helyzetű egyenesen keresztül, egy adott síkra merőlegesen csak egyetlen sík állítható.

Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. 1.

Két pont távolsága értelmezés szerint a két pontot összekötő szakasz hossza.

2. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.


46. oldal

3. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük

4. Két árhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mérttávolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető.

5. Egymással árhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakaszhosszát értjük

6. Két árhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.


47. oldal

7. Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük

Euklideszi ala szerkesztések Ha ábrákat készítünk, akkor két derékszögű háromszög alakú vonalzó segítségével könnyedén árhuzamos egyeneseket, illetve merőleges egyeneseket rajzolhatunk: e

P

f

e

P

f

Az euklideszi szerkesztés csak körző és egyélű vonalzó használatát engedi meg. Az euklideszi szerkesztés lehetőségei:


48. oldal

1. 2. 3. 4. 5.

Két ont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. Két adott ont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott ont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. Két metsző egyenes metszés ontját megkereshetjük. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszés ontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszés ontjukat megkereshetjük.

Szakasz felezése B A

A

B

Szög felezése

o



o

Egyenesre merőleges szerkesztése adott külső ontból



P

P e

e A

A

B P

P e

2 2

o

e B A

m B


Egyenes adott ontjára merőleges szerkesztése

49. oldal

P

e

e A

P

P

e A e B A

B P m

B

Szakasz felezőmerőlegese A síkon egy szakasz felezőmerőlegese az az egyenes, amely a szakasz felező ontjára illeszkedik, és merőleges a szakaszra.

Tételek

A sík két ontjától egyenlő távolságra lévő meghatározott szakasz felezőmerőlegese.

ontok halmaza a síkon a két

ont által

A térben adott két onttól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a szakaszra merőleges, annak felező ontjára illeszkedő sík. Három adott onttól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a síkon egy ont (ha a három pont nem esik egy egyenesre), vagy üres halmaz (ha a három ont egy egyenesre esik). Szögfelező

Definíció

Egy konve szög szögfelezője a szög csúcsából kiinduló, a szögtartományban haladó azon félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja.

Tétel

Egy konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra lévő ontok halmaza a szög szögfelezője. Párhuzamos szelők tétele Ha egy szög szárait árhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A tétel megfordítása is igaz: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes árhuzamos.


50. oldal

D C A

B

A'

O

B'

C'

D'

A árhuzamos szelők tételét felhasználhatjuk adott szakasz egyenlő részekre osztásához. Példa Legyen adott egy AB szakasz. Osszuk fel ezt a szakasz :5 arányban. Külső ontból húzható érintők a körhöz

E1 e1

r1 k

O

P

r2

e2 E2

A kör egy adott ontjához egyetlen érintő húzható, a körön kívül fekvő bármely ontból két érintő húzható. A két érintődarab egyenlő egymással, és a kör sugara az érintési ontban merőleges az érintőre. Adott egy k kör és egy külső P ont. Szerkesszünk egyenest, amely illeszkedik az adott ontra és érinti az adott kört

F

P

k

E A vázlatrajzról látjuk, hogy a szerkesztést Thalész tétele segítségével végezhetjük el. Azt is azonnal megálla íthatjuk, hogy egy körhöz egy külső ontból két érintőegyenes húzható, és a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú: PE PF.


51. oldal

Két kör közös érintőinek megszerkesztése

Közös külső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A külső érintők szerkesztése: Ha a kisebb sugarú k kör r sugarát (gondolatban) csökkentjük, és a nagyobb K kör R sugarát is ugyanannyival csökkentjük, akkor a két kör közös külső érintője árhuzamos marad az eredeti közös külső érintővel. Ezért mindkét kör sugarát r-rel csökkentjük, és megszerkesztjük a (R-r) sugarú körhöz a k kör O1 közé ontjából húzott érintőket. Ezeket az érintőket eltoljuk az r abszolút értékű, az érintőkre merőleges és az O1-ből „kifelé irányított” vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös külső érintői: e1, és e2 .

e1 R-r

r k O1

O2

R

e2

K

Közös belső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A belső érintők megszerkesztése: Most a kisebb k kör sugarát r-rel csökkentjük, és vele együtt a nagyobb kör sugarát r-rel növeljük. Ezután szerkesszük meg az O2 közé ontú és R+r sugarú körhöz az O1-ből induló érintőket. Ezeket toljuk el az r abszolút értékű, az érintőre merőleges és az O2-hez „befelé irányított” vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös belső érintői, e1 és e2.

e1 r R

r k

O1

O2

F

K

e2

Két kör közös érintőinek a szerkesztésekor s eciális eset az, amikor a két kör azonos sugarú. Ekkor a közös külső érintők árhuzamosak az O1O2 egyenessel.


52. oldal

II. Síkgeometria Háromszögek A szakaszokat, így az ABC háromszög oldalait is az ábécé kisbetűivel jelöljük ( a, b, c). A ontokat, így a háromszög csúcsait is az ábécé nagybetűivel jelöljük.( A, B, C). A szögek jelölésére görög betűket használunk ( , β, γ). (Az A csúcsnál az szög, vele szemben az a oldal található.) A szögeket a csúcs ontjuk és a száraikon lévő egy-egy ont betűjelével is megadhatjuk. Például az szöget így is jelölhetjük: CAB szög. A háromszögek cso ortosítása:

Szögeik szerint: -

hegyesszögű háromszögek (minden szögük hegyesszög),

-

derékszögű háromszögek (egyik szögük derékszög, a többi hegyesszög),

-

tom aszögű háromszögek (egyik szögük tom aszög, a többi hegyesszög).

Oldalaik szerint: -

egyenlő oldalú háromszögek (minden oldaluk egyenlő),

-

egyenlőszárú háromszögek (két oldaluk egyenlő),

-

általános háromszögek (minden oldaluk különböző)

A háromszögre vonatkozó állítások 1. A háromszög belső szögeinek összege 8 °.

Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak (egyenlőszárú háromszög). A háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög található, mint a rövidebb oldallal szemben.


53. oldal

Minden háromszög oldalaira teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: 2. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál.

3. A háromszög külső szögeinek összege 6 °. 4. A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. ( a háromszög külső szöge az adott szög mellékszöge)

Háromszögek egybevágósága: Mindhárom megfelelő oldal áronként egyenlő nagyságú

Két háromszög egybevágó, ha

Két megfelelő oldaluk hossza, és az általuk közrefogott szögek áronként egyenlők Egy megfelelő oldaluk hossza, és két megfelelő szögük áronként egyenlő Két-két oldaluk hossza, és a nagyobbik oldallal szembe lévő szögek áronként egyenlők.


54. oldal

Háromszögek hasonlósága: oldalaik aránya egyenlő

Két háromszög hasonló, ha

két oldaluk aránya, és az ezek által közrefogott szögük egyenlő két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt lévő szögük egyenlő két-két szögük áronként egyenlő

A háromszögek nevezetes vonalai, ontjai: A háromszög szögfelezői:

A szögfelező olyan egyenes, amely felezi a háromszög belső szögét (f , fβ , fγ). A háromszög szögfelezői egy ontban metszik egymást, ez a ont a háromszögbe írható kör közé ontja (O).

A szögfelezők osztásaránya: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre- szögfelező tétel.


55. oldal

A háromszög oldalfelező merőlegesei: Az oldalfelező merőleges olyan egyenes, amely átmegy az oldal felező ontján és merőleges az oldalra (fa , fb , fc). A háromszög oldalfelező merőlegesei egy ontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör közé ontja(O).

A háromszög magasságvonalai: A magasságvonal a háromszög csúcs ontjából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenes ( ma; mb; mc ). A háromszög magasságvonalai egy ontban metszik egymást, ez a háromszög

magasság ontja. (M)

A háromszög súlyvonalai: A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felező ontjával összekötő szakasz. (sa, sb, sc .)

A háromszög súlyvonalai egy ontban metszik egymást, ez a háromszög súly ontja (S). A súlyvonalak harmadolják egymást úgy, hogy a csúcs felé esik a súlyvonal kétharmad része.


56. oldal

A háromszög közé vonalai: A háromszög közé vonala két oldalának felező ontját összekötőszakasz (ka; kb ; kc). A háromszög közé vonala árhuzamos és feleakkora, mint a harmadik (nem felezett) oldal.

‖a

‖b

‖c

;

Számítások általános háromszögekben

ma: az a oldalhoz tartozó magasság : a beírt kör sugara Kerület: K = a + b + c Terület: T

a m

(A ké let bármely oldallal és a hozzá tartozó magassággal érvényes.) a b sin γ

T

(A ké let bármely két oldallal és a közrefogott szöggel érvényes, a háromszög trigonometrikus területké letének is mondják) T ahol

√s (s

a) (s

, (Heron-ké let) T

K

b) (s

c)


57. oldal

Szinusz tétel a b

sin sin β

(A ké let bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) Koszinusz tétel c2 = a2 + b2 – 2abcos (A ké let bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szere el.)

Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek: (A derékszögű háromszögekre természetesen érvényesek az általános háromszögekre kimondott állítások, az alábbiakban csak a további s eciális tulajdonságokat soroljuk fel.) Pitagorasz-tétel (a koszinusz tétel s eciális esete derékszögű háromszögre): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c2 = a2 + b2 a, b: befogók c: átfogó Terület: T 

ab 2

c2 = a2 + b2 Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani köze e a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt m √c c

C

Befogótétel: Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani köze e az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a

√c c és b

√c c ahol c=c1+c2.

b

A

a

m

c1

c2 c

B


58. oldal

A Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két vég ontját a körvonal bármely másik ontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget ka unk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör közé

ontja mindig az átfogójának felező ontja lesz.

Az átfogó a kör átmérője.

O

A kör geometriája A kör (körvonal) a sík mindazon ontjainak mértani helye, amelyeknek távolsága egy adott onttól állandó. Az adott ont a kör közé ontja, az adott állandó a kör sugara.   3,1415926 Kerület: 2R Terület: R2

A kör részei:

let

lõ sze

átmérõ

e rsz ö k sug ár

húr

körgyûrû

érintõ

Emlékeztető: 8 °

 (rad)

k ik

rc kö

kerületi szög középponti szög


59. oldal

Körcikk Ívhossz: i = R (radiánban kell számolni) Terület: T

(radiánban kell számolni)

Körszelet területe: T

(

)

ahol R a kör sugara, h a húr hossza, m a körszelet magassága,

i a körív hossza.

Kerületi és közé

onti szögek

A körben a közé onti szög csúcsa a kör közé ontja, két szára a kör két sugara (illetve azok félegyenese). Két sugár két közé onti szöget határoz meg. Mindkét közé onti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: „az körív tartozik”, vagy „az ii köríven a β szög nyugszik”.

szöghöz az i

A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konve szögeket, amelyeknek a csúcsa a kör kerületén van, a két száruk vagy egy- egy húrt tartalmaz, vagy egy húrt tartalmaz, a másik edig egy érintőre illeszkedik.

D 

A 

 

B

A B

C

A kerületi szög két szára között a körnek egy íve van. Gyakran azt mondjuk, hogy a kerületi szög ahhoz a körívhez „tartozik”, vagy azon a köríven „nyugszik”. (Végtelen sok kerületi szöghöz tartozhat ugyanaz a körív.)


60. oldal

Egy adott körben egy adott körívhez (ill. húrhoz) egyetlen közé kerületi szög tartozik.

 2  2

onti szög és végtelen sok

 2 

A

B

Kerületi szögek tétele : Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Közé onti és kerületi szögek tétele: Egy körben a közé íven nyugvó kerületi szögnek.

onti szög kétszerese a vele azonos

Azokat a konve négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. D

A

C O

B

A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk. Oldalfelező merőlegesei egy ontban, a köré írt kör közé ontjában metszik egymást. Húrnégyszögek tétele: Egy konve négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 8 °.

8 °

A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglala , a szimmetrikus tra éz és a derékszögű deltoid húrnégyszög.


61. oldal

Azokat a konve négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek érintői, érintőnégyszögeknek nevezzük. Az érintőnégyszögek belsejébe érintő kört szerkeszthetünk. Belső szögeinek szögfelezői egy ontban, a beírt kör közé ontjában metszik egymást.

D  

A

 

 

O

C

 

B Érintőnégyszögek tétele: Egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. (Itt: AB + CD= AD + BC.) Az ábrán érintőnégyszöget látunk.

D d

d G

H a

c

A O

a

C c

E b

F b B

Oldalait az E, F, G, H érintési ontok két-két szakaszra bontják. Tudjuk, hogy a körhöz egy külső ontból húzott két érintőszakasz hossza egyenlő. Ezért AE AH a, BE BF b, CF CG összeadva, nyilvánvaló az egyenlőség: AB + CD = a+b+c+d;

AD + BC = a+d+c+b

c, DG

DH

d. A szemközti oldalak szakaszait


62. oldal

Kú szeletek

A kör, a arabola, az elli szis és a hi erbola sok közös tulajdonsággal rendelkezik, ezek egyike, hogy előállnak egy forgáskú (hi erbola esetén kettős forgáskú ) meghatározott síkkal vett síkmetszeteként.

A parabola azon ontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy adott v egyenesétől (vezéregyenes) és egy v-re nem illeszkedő F ontjától (fókusz ont) vett távolsága egyenlő.

A fókusz ontra illeszkedő, a vezéregyenesre merőleges egyenes a parabola tengelye (t), erre az egyenesre nézve a arabola tengelyesen szimmetrikus. A tengelyen a fókusz ont és a vezéregyenes közötti szakasz felező ontja a arabola tengely ontja (T). A fókusz ont és a vezéregyenes távolsága a arabola aramétere ( p  0 ). Két arabola egybevágó, ha araméterük egyenlő.

Az ellipszis azon ontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott ontjától (fókusz ontok) vett távolságösszege a két adott ont távolságánál nagyobb állandó.


63. oldal

Az elli szis két fókusz ontja: F1 és F2. Az F1F2 szakasz felező ontja az elli szis közé ontja (O). Az elli szis bármely P ontját tekintve F1P + F2P a állandó (ahol 2a > F1F2). Az ellipszisnek az F1F2 egyenesre illeszkedő A és B ontjaira AB a. Az AB szakasz az ellipszis nagytengelye. A nagytengelyt merőlegesen felező KL szakasz az elli szis kistengelye, hossza b. Az elli szis tengelyesen szimmetrikus a nagytengely és a kistengely egyenesére nézve egyaránt, továbbá közé ontosan szimmetrikus a közé ontjára nézve. Az F1F2 távolságot cvel szokás jelölni. Ekkor az ábrán látható F1OK derékszögű háromszög oldalaira b 2  c 2  a 2 .

A hiperbola azon ontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott ontjától (fókusz ontok) vett távolságkülönbsége abszolút értékben a két adott ont távolságánál kisebb ozitív állandó.

A hi erbola két fókusz ontja F1 és F2. Az F1F2 szakasz felező ontja a hi erbola közé ontja (O). a hi erbola bármely P ontját tekintve F1 P  F2 P  2a állandó (0< 2a  F1 F2 ). A hi erbolának az F1F2 egyenesre illeszkedő A és B ontjaira AB a. Az AB szakasz a hi erbola valós tengelye. A valós tengelyt merőlegesen felező egyenes a hi erbola ké zetes tengelye. A hi erbola tengelyesen szimmetrikus a valós tengely és a ké zetes tengely egyenesére nézve egyaránt, továbbá közé ontosan szimmetrikus közé ontjára nézve. Az F1F2 távolságot cvel szokás jelölni. A ké zetes tengely K és L ontjaira AK AL BK BL c. Az OL

OK távolságot b-vel jelölve : a2 + b2 = c2.


64. oldal

III. Térgeometria Poliédernek nevezünk egy testet, ha azt véges sok sokszögla határolja. A oliéder konve , ha bármely két ontjának összekötő szakaszát is tartalmazza. A oliéder szabályos, ha élei, éleinek szögei és la szögei egyenlők. Összesen öt ilyen test van: tetraéder (4 la ), he aéder (kocka 6 la ), oktaéder (8 la ), dodekaéder ( la ), ikozaéder (20 lap). Szabályos tetraéder. (négyla ú test)

He aéder (kocka) (hatla ú test)

Oktaéder (nyolcla ú test)

Lapok száma

Csúcsok száma

Élek száma

Oldallap éleinek száma

Egy csúcsba futó élek száma

Szabályos tetraéder

4

4

6

3

3

He aéder (Kocka)

6

8

12

4

3

Oktaéder

8

6

12

3

4

Dodekaéder

12

20

30

5

3

Ikozaéder

20

12

30

3

5

Dodekaéder (tizenkét la ú test)

Ikozaéder (húszla ú test)

A test felszíne a testet határoló felület területe. Síkla okkal határolt testek esetén a határoló la ok területének összege.


65. oldal

A test hálója oliéderek esetén az a sokszögla , amelyet ha egy síkla ból kivágunk, akkor összehajtogatható belőle a test felülete. A hasáb származtatása: Adott egy ala síkon egy sokszög (alaplap), és egy egyenes, amely az ala síkkal nem árhuzamos. Ha a sokszög minden ontján keresztül árhuzamost húzunk az adott egyenessel, hasábfelületet ka unk. Ezt elmetsszük egy, az ala síkkal árhuzamos síkkal (fedőla ). Az így keletkező korlátos (zárt) térrészt nevezzük hasábnak. Egyenes hasábot kapunk, ha az adott egyenes merőleges az ala síkra. Az oldalla okat együtt alástnak nevezzük. Az ala la és a fedőla síkjának távolsága adja a hasáb magasságát. Felszíne: A · ala terület a alást területe A hasáb térfogata: V ala terület · testmagasság

S

S

e A

A

A téglatest és a kocka s eciális hasábok.

A kocka térfogata: V =a3, felszíne A = 6a2 (a a kocka élhossza). A téglatest térfogata V = abc, felszíne A = 2 (ab + bc + ac) (a, b és c a téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek hossza). A henger származtatása: Adott az ala síkon egy görbe vonallal határolt síkidom (ala la ), és egy egyenes, amely az ala síkkal nem árhuzamos. Ha a görbe minden ontján keresztül árhuzamost húzunk az adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet ka unk. Ezt elmetsszük egy, az ala síkkal árhuzamos síkkal (fedőla ). Az így keletkező, az ala la és a fedőla közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az ala síkra. A test görbe határoló felületét alástnak nevezzük. Az ala la és a fedőla síkjának távolsága adja a testmagasságot (M). Az egyenes körhenger felszíne: A = 2r2 r M = 2r (r + M) Az egyenes körhenger térfogata: A = r2 M A henger felszíne A 2Tala terület + T alást A henger térfogata: V ala terület · testmagasság.


66. oldal

e

g

A

k

k

A gúla származtatása: Adott az ala síkon egy sokszög (alaplap), és egy ont az ala síkon kívül (csúcs ont). Ha a sokszög minden ontját egyenesekkel összekötjük az adott onttal, gúlafelületet ka unk. A keletkező korlátos térrészt nevezzük gúlának. A gúla magassága az ala la síkjának és a csúcs ontnak a távolsága. Ha a gúlát elmetsszük egy, az ala la al árhuzamos síkkal, csonkagúlát kapunk.

A

A gúla felszíne: A Tala A gúla térfogata: V

terület

ü

+T

alást

á

A csonkagúla térfogata: V = ( ) ahol M a testmagasság, t a fedőla , T az √ ala la területe. A csonkagúla felszínének kiszámításához nincs ké let, minden feladatot egyedi módon oldunk meg. A kúp származtatása: Adott az ala síkon egy görbe vonallal határolt síkidom (ala la ), és egy ont az ala síkon kívül (csúcs ont). Ha a görbe minden ontját egyenesek segítségével összekötjük az adott onttal, kú felületet ka unk. A keletkező korlátos testet kú nak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkú . Egyenes körkú nak nevezzük a körkú ot, ha a ontnak az ala la síkjára eső merőleges vetülete az ala kör közé ontjába esik. A test határoló felületét nevezzük alástnak (egyenes körkú síkba kiterített alástja körcikk a alást az ala la ot nem tartalmazza), a csúcs ont és a görbe ontjai által meghatározott szakaszokat edig alkotóknak. Az ala la síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kú magasságát. Ha az


67. oldal

egyenes körkú ot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kú magasságának egyenesét tartalmazza (tengelymetszet), akkor egyenlőszárú háromszöget ka unk (ala ja az ala kör átmérője, szárai a kú alkotói). Másként: az egyenes körkú tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget a kú nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkú szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll a derékszögű háromszögre érvényes Pitagorasz-tétel. M

M

M

g k

A

A kú felszíne A Tala A kú térfogata: V

terület

ü

+T

alást

k

á

Ha a kú ot elmetsszük egy, az ala la al árhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kú ot és egy másik testet is ka unk, amelyet csonkakú nak nevezünk. Az ala la és a fedőla síkjának távolsága adja a csonkakú testmagasságát. Az egyenes körkú ból származó csonkakú felszíne: ( ) A= , ahol r az ala kör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Az egyenes körkú ból származó csonkakú térfogata: ( )

A gömb A gömb egy adott onttól (a közé onttól) egyenlő távolságra levő ontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik Az r sugarú gömb térfogata és felszíne: V=

,

A= 4

Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - fizika -

68. oldal

Fizika . ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA 1.1 MOZGÁSLEÍRÁS SKALÁRMENNYISÉGEKKEL . . Foronómiai függvények Az anyagi ont mozgása során egy térgörbén halad végig, amelyet a mozgás ályájának nevezünk ( . ábra). Ha a mozgás ályája ismert, akkor azon az anyagi ont helye egy előjeles skalármennyiséggel (valós számmal) megadható. Ehhez jelöljük ki a ályán egy O vonatkoztatási ontot, és egy ozitív irányítást. s P

Pálya irányítása

O

Pálya

. ábra A P anyagi ont helyét a ályán az O-tól mért előjeles ívhossz ( ) – amelyet ályakoordinátának vagy kitérésnek nevezünk – egyértelműen meghatározza. Ha a P pont az O-tól ozitív irányban van, akkor ozitív, ha az O ontban, akkor nulla, egyébként edig negatív. Így, szemléletesen szólva, a álya egy „görbe számegyenes” lesz, amelynek az origója az O ont. (Már itt ki kell hangsúlyoznunk, hogy nem azonos a közé iskolában tanult úttal!) ) Példaként tegyük fel, hogy a térké en A ályakoordináta SI egysége a méter. ( ismerjük egy gé kocsi útvonalát, és az útvonalon a nulla kilométerkő ontos helyét. Ha megadjuk, hogy a kilométerkőtől merre és ontosan hány kilométer távolságban van a gé kocsi, akkor megadtuk annak ontos helyét a térké en. Ahogy az anyagi ont halad a ályán, helyét időről-időre más ályakoordináta érték jellemzi. A ályakoordinátát megadva az egymást követő idő illanatokban, megka juk az anyagi pont ( ) ályakoordináta-idő függvényét. A ályán mozgó (P0, P1, P2, P3 . ábra)

anyagi ont helyét egyenlő

nagyságú időközönként megjelöltük.


69. oldal

S 2 S1 S 0

..

.

S0

S1

.

S3

P3

.

S2

P2

P1

O

P0

2. ábra Ábrázoljuk az ályakoordinátát, mint az eltelt idő függvényét ( . ábra). Az ábrán látható esetben éldául a ívhosszak monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás sebessége növekszik, azaz a mozgás gyorsuló. st  st 3 

s 2

st 2  st1  st 0 

s1

s 0

t0

t1

t2

t3

t

3. ábra Az -edik szakaszon a pont átlagos sebességét a hányados szolgáltatja. A időtartam csökkentésével a fenti hányados egyre inkább a idő illanatra lesz jellemző. Ez ala ján

éldául a

hányados a

időtartamot nullára csökkentjük, akkor a hányados sebességet adja. Matematikai megfogalmazásban: (t )

lim

s

Az 〈 〉 összefüggésben tehát a lim

lim

s(t ) t

s(t ) , t

idő illanatra. Ha a

ontosan a

[ ]

idő illanatbeli

〈 〉

jelölés azt a valós számot jelenti, amelyhez a

hányados értéke tart, ha a időtartamot nullára csökkentjük. Az 〈 〉 összefüggéssel értelmezett sebességet álya menti sebességnek, vagy röviden ályasebességnek nevezzük. Most ábrázoljuk a álya menti sebességet az eltelt idő függvényében (4. ábra)!


70. oldal

vt  vt 3 

v 2

vt 2  vt1  vt 0 

v1

v 0

t0

t1

t2

t3

t

4. ábra A pont átlagos gyorsulását az -edik szakaszon a hányados adja. Az ábrán látható esetben éldául a ályasebesség-változások monoton nőnek az eltelt idővel, tehát a mozgás átlagos gyorsulása növekszik. A illanatnyi álya menti gyorsulást, vagy röviden ályagyorsulást a álya menti sebességhez hasonlóan értelmezzük. Például a idő illanatban: (t )

lim

v

lim

v(t ) t

v(t ) , t

[ ]

〈 〉

Természetesen a ályakoordinátához és álya menti sebességhez hasonlóan a álya menti gyorsulást is ábrázolhatjuk az idő függvényében. Az ( ), ( ) és ( ) függvényeket összefoglaló néven foronómiai függvényeknek nevezzük. A foronómiai függvényeket általában együtt, egymás alatt ábrázoljuk. . . Egyenletes és egyenletesen változó mozgások A címben szere lő egyszerű mozgástí usokkal feladatmegoldás során gyakran találkozunk. Határozzuk meg, majd ábrázoljuk foronómiai függvényeiket! Egyenletes mozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi ont azonos azonos nagyságú s i ályaszakaszokat fut be (5. ábra), azaz: 〈 〉

időtartamok alatt


71. oldal

st   st n 

st 2  st1  s0  st 0 



s 0

0  t 0 t1 t 2 t 3

s s1 2

tn  t

t

5. ábra A t időtartammal a 〈 〉 egyenletet beosztva, majd lim

lim

lim

-vel nullához tartva: 〈4〉

⇒

Tehát egyenletes mozgás esetén az anyagi ont álya menti sebessége időben állandó: ( )

á

ó 〈5〉

A sebességre az 5. ábra ala ján teljesül az alábbi összefüggés: s(t) s( ) 〈6〉 t A 〈6〉 összefüggést átrendezve megka juk az anyagi ont ályakoordináta-idő függvényét: ( )

( )

〈7〉

Egyenletesen változó mozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi ont azonos időtartamok alatt azonos nagyságú sebességváltozásokat szenved el (6. ábra), azaz: 〈8〉 vt   vt n  vt 2  vt1  v0  vt 0 



v 0

0  t 0 t1 t 2 t 3

t

6. ábra

tn  t

v v1 2


A

72. oldal

időtartammal beosztva a fenti egyenletet, majd lim

lim

-vel nullához tartva:

lim

〈 〉

⇒

Tehát egyenletes változó mozgás esetén az anyagi ont gyorsulása időben állandó: ( )

ó 〈

á

〉

A gyorsulásra a 6. ábra ala ján teljesül az alábbi összefüggés:

A〈

v(t) v( ) 〈 〉 t 〉 összefüggést átrendezve megka juk a ályasebesség-idő függvényt: ( )

( )

〈

〉

A ályakoordináta-idő függvény származtatásához tekintsük a 7. ábrát! vt   vt n 

vt 2  vt1  v0  vt 0 

v 0

v v1 2

s 0 s1 s 2 0  t 0 t1 t 2 t 3

tn  t

t

7. ábra A rövid időtartamú ályaszakaszokon a sebesség nem változik számottevően, így a mozgás egyenletesnek tekinthető. Ez a közelítés természetesen annál ontosabb, minél rövidebb a időtartam. Ennek megfelelően az -edik ályaszakaszra: ( )

〈

〉

Tehát a befutott ályaszakasz nagysága a ala területű és ( ) magasságú téglala területével közelíthető. A fentiek ala ján a , időtartamon befutott ályaszakaszt az alábbi összeg közelíti: ( )

( )

( )

( )

(

)

〈 4〉

A fenti összeg nem más, mint a 7. ábrán látható téglala ok területeinek összege. A időtartam minél rövidebb – azaz minél több szakaszra bontjuk a mozgást – a fenti összeg annál ontosabban közelíti a befutott ályaszakaszt. Ezzel együtt a téglala ok terültének összege egyre ontosabban közelíti a ( ) függvény és a időtengely által közrefogott tra éz területét. Az elmondottakból adódik, hogy a ályaszakasz hosszúsága egyenlő a fenti tra éz területével, azaz: ( )

( )

v( )

v(t)

é

A 〈 5〉 összefüggést átrendezve megka juk az ( )függvényt: ( )

( )

v( )

v(t)

〈 6〉

〈 5〉


Felhasználva a 〈

73. oldal

〉 összefüggést: ( )

( )

( )

〈 7〉

Most ábrázoljuk az egyenletes és egyenletesen változó mozgások foronómiai függvényeit ( 8.

ábra)!

Egyenletes

Egyenletesen változó

a

0a 0

0

t

t

v v

v(t )  v

0

0

t

t

s(t )

s(t ) s(0)

v(t )  v0  a  t

v0

s(t )  s0  v  t

s(t )  s0  v0  t 

s(0)

0

t

0

t

a 2 t 2 t

8. ábra 1. mintafeladat Egy gé kocsi a 10-es kilométerkőnél áll, amikor egy mozdony állandó, sebességgel elhalad mellette. A gé kocsi az elhaladás illanatában állandó, gyorsulással üldözőbe veszi a mozdonyt.

Adatok: 6[ ]

a

[ ]

0

10

v

km

Kérdések: a) Mennyi idővel az indulása után, és hol éri utol a gé kocsi a mozdonyt? b) Mekkora a gé kocsi sebessége az utolérés illanatában?

Megoldás: a) Jelölje a gé kocsi indulásától a vonat utoléréséig eltelt időt. A gé kocsi sebessége a kilométerkőnél ( ) . A fenti jelölésekkel: (

)

( )

-es


(

)

( )

74. oldal

( )

Az utolérés illanatában: (

)

(

)

(

)

Az utolérés helye: (

)

b) A gé kocsi sebessége az utolérés illanatában: (

)

( )

[ ]

2. mintafeladat A Föld felszínétől 5

magasságban

[ ] nagyságú kezdősebességgel lefelé hajítunk egy

követ. A közegellenállástól eltekintünk. (

,8 [ ])

h0

v0

0

Kérdések: a) Milyen magasan lesz a kő a Föld felszínétől 4

múlva?

b) Mennyi idő alatt ér földet a kő, és mekkora ekkor sebességének nagysága?

Megoldás: A ködarab függőleges irányú, egyenes vonalú ályán mozog. A későbbiekben belátjuk, hogy gyorsulása időben állandó nagyságú, értéke Magyarország területén ,8 [ ], továbbá a gyorsulás értelme a Föld közé ontja felé mutat. Legyen a álya irányítása függőlegesen fölfelé mutató. Ekkor a kezdősebesség és a gyorsulás értéke negatív. h

h0

v0

0


a) (4)

( )

( )

5

75. oldal ,

4

b) Jelölje az elhajítástól a földet érésig eltelt időt (

)

4,

5

( )

√ )

8 ,5

! A földet érés illanatában: ,8

5 5

,

(

( )

4

4 4, ,8

5 5

⇒

( )

,8

, ,

,57 [ ]

1.2 MOZGÁSLEÍRÁS VEKTORMENNYISÉGEKKEL Ha a mozgás ályája nem ismert, akkor a skaláris mozgásjellemzők nem alkalmasak a mozgás leírására. Ebben az esetben vektormennyiségeket kell bevezetni. 1.2.1 Vonatkoztatási- és koordinátarendszer Az anyagi ont mozgását mindig egy másik testhez, vagy testekhez viszonyítjuk, amelyek összességét vonatkoztatási rendszernek nevezzük. A vonatkoztatási rendszer matematikai leírása a koordinátarendszer. A koordinátarendszereknek több tí usa van, itt mi csak a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerrel foglalkozunk. A mozgásjellemző vektoriális mennyiségeket ( l.: hely, sebesség, gyorsulás) ebben a rendszerben adjuk meg. Az anyagi pont (P) helyét a koordinátarendszer origójából a onthoz húzott helyvektorral adjuk meg (9. ábra). z

.

P r

. x

y

..

. . ábra

A helyvektornak – és egyben a ontnak – térbeli mozgás esetén három, síkmozgás esetén két koordinátája van. Az egyes koordinátákat az . ábra értelmezi. A helyvektort általában az alábbi, oszlo vektoros formában adjuk meg: ( )

〈 8〉


76. oldal

1.2.2 Hely-idő függvény és sebesség Tüntessük fel az anyagi ont helyét egyenlő t időközönként (P0, P1, P2, P3 pontok, 2. ábra)! Az egyes pontokhoz az ( ), ( ), ( ), ( ) helyvektorok tartoznak. e0

v0 r 0

P0

r t 0 

P1

r1

r t1 

P2

r 2

r t 2 

P3

r t 3 

O

pálya

. ábra A helyvektort megadva az idő függvényében a ont hely-idő függvényét kapjuk. ( )

( ) ( ( )) ( )

〈

〉

A hely-idő függvénybe egy konkrét idő ontot helyettesítve megka juk a helyvektorát.

ont aktuális

Vezessük be az elmozdulás vektort, mint két időben egymást követő helyvektor különbségét. A későbbi idő onthoz tartozó helyvektorból vonjuk ki a korábbi idő onthoz ( ) ( ). Minél rövidebb a t időtartam a tartozót ( . ábra). Azaz éldául vektor annál inkább a mozgás irányába mutat, hosszúsága edig közelíti a ályán befutott

P0P1 ív hosszát. Tehát

csökkentve a vektor iránya és nagysága közelíti a P0 pontbeli mozgásirányt és sebességnagyságot. A vektoriális sebességet a t0 idő illanatban ezek ala ján az alábbi módon értelmezzük: ( )

lim

lim

( )

( )

〈

〉

A jelölés azt jelzi, hogy az elmozdulás időtartamát nullára csökkentve ké ezzük a hányadost. Az így értelmezett sebesség iránya, értelme és nagysága már ontosan az adott idő illanathoz tartozó mozgásirány, értelem és sebességnagyság. A sebességvektor fontos tulajdonsága, hogy mindig a álya adott ontbeli érintőjének irányába mutat.


77. oldal

1.2.3 Gyorsulás A gyorsulásvektor értelmezéséhez tekintsük a 11. ábrát! at 0 

hodográf

at1  at 2 

pálya vt1 

vt 0 

c, vt 2 

at1  at  2 at 0 

hodográf vt 3 

vt 0 

O’

a,

v 0

vt1 

v 1

vt 2 

v 2

vt 3 

b,

. ábra Az ábra a részén felrajzoltuk az anyagi ont ályáját és feltüntettük rajta az anyagi ont sebességvektorát néhány, egymást követő idő illanatokban. Ezt követően a sebességvektorokat az ábra b részén látható O’ ontból, mint közös kezdő ontból felrajzoltuk. A sebességvektorok vég ontjai – ha elég sűrűn vesszük fel őket – egy görbét rajzolnak ki, az úgynevezett sebesség hodográfot. A gyorsulást az ábra b része ala ján hasonlóan értelmezzük, mint ahogy azt a sebesség esetében tettük. Csak most a elmozdulás helyett, a sebességváltozást használjuk a definícióban: ( )

lim

lim

( )

( )

〈

〉

Mint korábban említettük a sebesség a álya adott ontbeli érintőjének irányába mutat. Ez ala ján a gyorsulás iránya az ábra b részén látható hodográf görbe érintőjének iránya. Az ábra c részén feltüntettük a gyorsulásvektorokat. Fontos eredményre jutunk, ha a gyorsulásvektorokat átmásoljuk az ábra a részére, a álya megfelelő ontjaiba. Látható, hogy a gyorsulás mindig a álya belseje (homorú oldal) felé mutat!

. ANYAGI PONT DINAMIKÁJA Ta asztalatból tudjuk, hogy egy test mozgásálla ota egy másik test hatására megváltozhat. A mechanikában ezt a hatást egy erővel vesszük figyelembe, és azt mondjuk, hogy a test mozgásálla ota a másik test által kifejtett erő hatására változott. Azaz a test mozgásálla otát a rá ható erők befolyásolják. A dinamika tárgya annak vizsgálata, hogy egy test a rá ható erők hatása alatt hogyan fog mozogni (milyen hely-, sebesség- és gyorsulás-idő


78. oldal

függvény szerint) vagy fordítva, a test előírt mozgásához milyen erőkre van szükség. Az utóbbi esettel a kényszermozgásoknál találkozunk. . NEWTON TÖRVÉNYEI A dinamika ala ját Newton négy törvénye ké ezi. Ezeket most anyagi ont mozgására fogalmazzuk meg, de kiterjedt testek mozgására is általánosíthatók. Továbbá feltételezzük, hogy az anyagi pont tömege állandó. A dinamika ala feltevése az, hogy mindig található olyan vonatkoztatási rendszer – úgynevezett inercia rendszer –, amelyben Newton törvényei teljesülnek. A műszaki mechanikában a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer ilyen. Az ehhez ké est gyorsuló rendszerek nem inercia rendszerek. Bennük egy test akkor is gyorsuló mozgást végez, ha nincs kölcsönhatásban más testekkel. ( l. egy gyorsuló járműben, mint vonatkoztatási rendszerben, egy tárgy akkor is gyorsulhat, ha a rá ható erők eredője nulla!) Newton törvényei tehát inercia rendszerben teljesülnek.

Newton I. törvénye (tehetetlenség törvénye): Ha egy anyagi ont nincs kölcsönhatásban más testekkel, akkor sebessége időben állandó azaz egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van. ( )

á

〈

ó

〉

Tehát a sebesség fenntartásához nem szükséges egy másik test hatása! (Például a világűrben elhajított kődarab egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, amíg egy égitest gravitációs mezejével kölcsönhatásba nem kerül)

Newton II. törvénye (mozgásegyenlet): Ha egy anyagi ont kölcsönhatásban van más testekkel,

akkor azok együttes hatása minden idő illanatban egyértelműen meghatározza az anyagi ont tömegének és gyorsulásának szorzatát. A hatás jellemzésére az erő nevű fizikai mennyiséget vezetjük be, . Tehát: 〈

̅

〉

Az anyagi pont tartós nyugalmi álla ota esetén a gyorsulás zérus. Ebből adódóan Newton II. törvénye az alábbi, egyensúlyi egyenletté egyszerűsödik: ̅

〈 4〉

Ha egy tartósan egyensúlyban lévő anyagi ontra ható ismeretlen erő meghatározása a feladat, akkor a 〈 4〉 egyenletet kell felírni és megoldani.

Newton III. törvénye (hatás-ellenhatás törvénye): Egy test és egy anyagi ont kölcsönhatása során minden illanatban teljesül az alábbi egyenlőség:

〈 5〉 Ahol

a test által a ontra,

edig a ont által a testre kifejtett erő.

Newton IV. törvénye (erőhatások függetlenségének elve): Ha egy anyagi ontra több test is hatást

gyakorol,

akkor

a

Newton

II.

törvényében

szere lő


79. oldal

erő helyére azon erők vektoriális összegét kell írni, amelyeket a testek külön-külön, a többi test hiányában fejtenének ki az anyagi ontra. Azaz az erők nem befolyásolják egymás hatását: 〈 6〉

∑

. ERŐTÖRVÉNYEK Most számba vesszük a műszaki gyakorlatban leggyakrabban előforduló kölcsönhatásokat, és megadjuk az erőnek a kölcsönhatás aramétereitől való függését, azaz az erőtörvényt. Az erőtörvényeket általában kísérleti úton, méréssel határozzák meg. 2. . Gravitációs erő Bármely két tömeggel rendelkező test között fellé a gravitációs erő, amely mindig vonzó jellegű ( . ábra). m Fg

M

er

r

. ábra Az erő nagyságát ontszerű, vagy gömbszimmetrikus testek esetén az alábbi összefüggés adja, mM ahol

6,67

[

〈 7〉

], a gravitációs állandó,

és

a két test tömege,

edig a két test

geometriai közé ontjának távolsága. Az erő nagysága akkor érzékelhető, ha legalább az egyik test nagyon nagy tömegű ( l. egy égitest). Ebben az esetben be szokták vezetni a nagy tömegű test közé ontjából a kis tömegű testhez mutató ̅ helyvektort, vagy a belőle ̅ ké zett ̅ egységvektort. Ekkor az tömegű testre ható erő: mM

mM

〈 8〉

A műszaki gyakorlatban a nagy tömegű test általában a Föld. A Föld felszínén, vagy annak közvetlen közelében mozgó testek esetén az távolság változása az Földsugárhoz ké est elhanyagolható, így a gravitációs erő nagysága állandónak tekinthető és az alábbi, egyszerű formában írható: á

ó

〈

〉


80. oldal

Az összefüggésben g a gravitációs gyorsulás nagyságát, és a Föld tömegét és sugarát jelöli. Mivel a Föld nem tökéletesen gömb alakú, a gravitációs gyorsulás nagysága kis mértékben függ a földrajzi helytől, értéke Magyarország területén ,8 [ ]. . . Rugalmas erő Ha egy s irálrugót megnyújtunk vagy összenyomunk, akkor az a rugó hossztengelyével egyirányú, a megnyúlással/összenyomódással ellentétes értelmű erőt fejt ki. r

P Fr

r*

P*

r

er C

. ábra A rúgóerő előjeles nagyságát az alábbi összefüggés szolgáltatja, N [ ] 〈 〉 m ahol a rúgóállandó vagy rugómerevség, a rúgó megnyúlása/összenyomódása, amely megnyúlás esetén ozitív, összenyomódás esetén edig negatív előjelű. r,

c

A rúgóerőt vektorosan az alábbi összefüggés adja, (

r ahol és az anyagi ontnak a rugó rögzített és megnyújtott (összenyomott) álla otában, mutató egységvektor.

)

〈

〉

vég onttól mért távolsága a rugó terheletlen, pedig a ontból az anyagi ont irányába

. . Közegellenállási erő Egy folyadékban, vagy gázban mozgó testre közegellenállási erő hat, amely a test pillanatnyi sebességével azonos irányú, de ellentétes értelmű. Kis sebességek esetén az erő nagysága a közeghez viszonyított sebesség első, a sebesség növelésével egyre inkább annak második hatványával arányos. (Kis sebességről addig beszélünk, amíg a közeg örvénymentesen áramlik a test körül.) Ha a test s eciálisan gömb alakú, kis sebességeknél teljesül a Stokestörvény: 6 Rη

〈

〉


81. oldal

Az összefüggésben a gömb sugara η edig a folyadék vagy gáz viszkozitása. A viszkozitás a folyadék belső súrlódását jellemzi. Nagyobb sebességeknél az erő nagyságára – számos gyakorlati esetben – teljesül az alábbi összefüggés: | |

CA v

〈

〉

CA vv

〈 4〉

Az erőt vektorosan felírva:

Az egyenletben szere lő konstans az alaki tényező (a test „áramvonalasságát” jellemzi), az konstans a test homlokfelülete (legnagyobb felülete a sebességre merőleges irányban), a közeg sűrűsége. . .4 Kényszererők Számos gyakorlati esetben a tömeg ont csak egy előírt felület, vagy álya mentén mozoghat. Erre élda egy vasúti kocsi, amely csak a sínen haladhat, vagy egy nyújthatatlan kötélre függesztett ontszerű test, amelynek mozgása egy gömbfelületre korlátozott. De éldaként említhetjük egy síkfelületű lejtőn, vagy he ehu ás dombvidéken haladó gé kocsit, amelynek mozgási felülete a tere viszonyok által meghatározott. Az előírt ályán/felületen történő mozgást minden esetben egy merev (nem deformálható) test által kifejtett erő biztosítja. A fenti éldákban a merev test a sín, kötél, lejtő, dombvidék, amelyeket összefoglaló néven kényszereknek nevezünk, a kényszerek által kifejtett erőt edig kényszererőnek. A kényszererőkre mindig teljesül valamilyen feltétel. A kötélerő kötélirányú és húzó jellegű. Egy ideálisan sima, súrlódásmentes felület által kifejtett kényszererő a felületre merőleges irányú és nyomó jellegű. Egy súrlódásmentes görbe által kifejtett kényszererő edig mindig a álya érintőjére merőleges. A valóságban minden felületnek van érdessége, ami azt eredményezi, hogy a kényszererőnek a felület síkjába eső (görbe érintőjének irányába mutató) kom onense is van. Ezt a kom onenst mozgó ont esetén csúszási súrlódási, míg nyugvó ont esetén ta adási súrlódási komponensnek nevezzük. A csúszási súrlódási kom onens mindig a tömeg ont sebességével egyező irányú és ellentétes értelmű ( 4. ábra), nagysága arányos a felületre (görbe érintőjére) merőleges kom onens nagyságával. ,

(

)

〈 5〉

Fk  Fs  Fn

Fk

Fk n

Fs

0

Fn



Fn



v

Ft max

Ft

e

Fk  Ft  Fn

n e Súrlódási kúp

4. ábra


A felület érdességét jellemző nevezünk.

82. oldal

arányossági tényezőt (csúszási) súrlódási tényezőnek

Nyugvó ont esetén, rögzített nagyságú nyomókom onens mellett, az ta adási súrlódási kom onensnek létezik egy ma imális értéke, amely fölé nem emelkedhet, mert akkor bekövetkezik a megcsúszás. Ez a ma imális érték arányos az komponens nagyságával. Az arányossági tényezőt ta adási súrlódási tényezőnek nevezzük, jele: . Tehát: ,

(

)

〈 6〉

Az elmondottakból adódik, hogy az ̅ kényszererő mindig egy olyan kú on belül, vagy határesetben annak alkotóján helyezkedik el, amelynek csúcsa egybeesik az anyagi onttal, szimmetria tengelye a nyomókom onens egyenese, fél nyílásszögét edig az összefüggés definiálja. A fenti kú ot súrlódási kú nak nevezzük (14. ábra). Az elmondottak ala ján tehát mindig teljesül az alábbi egyenlőtlenség: 〈 7〉

≤

. .5 Molekulák és atomok között fellé ő erő A molekulák (atomok) között fellé ő erőket csak minőségileg írjuk le, mennyiségileg nem. A 6. ábrán két molekula (atom) között fellé ő erőt ábrázoltuk a két molekula (atom) távolságának függvényében. A taszító erőt ozitív, míg a vonzóerőt negatív előjellel tüntettük fel. F

r d0

d max

5. ábra Az ábráról leolvasható, hogy létezik egy egyensúlyi távolság, amelynél a két molekula (atom) által egymásra kifejtett erő nagysága nulla. Ha ennél közelebb visszük a két molekulát egymáshoz, akkor taszítóerő lé fel, amelynek nagysága a távolság csökkentésével rohamosan nő, ha távolabb, akkor vonzóerő, amely egy távolságig nő, majd fokozatosan nullára csökken. . MOZGÁSEGYENLET Newton II törvénye mozgásegyenlet néven is ismert. A mozgásegyenletbe beírva az erőtörvények konkrét alakját, egy differenciál egyenletet ka unk. A differenciálegyenletek megoldása általában komoly matematikai nehézséget jelent. A legegyszerűbb esetet az jelenti, amikor az egyenletben szere lő erők nem függnek a tömeg ont sebességtől és helyétől. Ekkor


83. oldal

a gyorsulás-idő függvény (ha az erők függetlenek az időtől, akkor s eciálisan a gyorsulás értéke) a tömeggel való osztás után közvetlenül adódik. .4 PÉLDÁK .4. Hajítási roblémák Hozzunk mozgásba a vízszinteshez ké est  szögben, v0 nagyságú kezdősebességgel egy anyagi pontot: hajítsunk el éldául egy kődarabot! Ha a dobás elég nagy, akkor a kő méretei a álya méretei mellett elhanyagolhatóak, így a követ anyagi ontnak tekinthetjük. Tekintsünk el a közegellenállástól. Ekkor a kőre csak a gravitációs erő hat, amely minden illanatban a Föld közé ontja felé mutat. A kő mozgásegyenlete: 〈 8〉

⇒

ontja felé mutat, és állandó g nagyságú.

Tehát a gyorsulásvektor is a Föld közé y

v0

v0 y 

y0

v0 x

r 0

g x

x0

z

6. ábra Vegyük fel az ábrán látható derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a mozgás kezdeti illanatát jellemző és vektorok, valamint a vektor az xy síkba essenek. Ekkor a mozgás az xy síkban zajlik, így a z koordináta a mozgás leírásában nem játszik szere et. A gyorsulás, a kezdeti sebesség, és a kezdeti hely koordinátái: (

)

〈

〉,

( )

(

( ) ) ( )

(

( ) ( )

)

〈4 〉,

( )

(

( ) ) ( )

〈4 〉

A gyorsulás x irányú kom onense zérus, y irányú kom onense állandó g nagyságú. Ebből adódóan a mozgás x irányban egyenletes, y irányban egyenletesen változó. Tehát a kő sebesség- és hely-idő függvényeinek kom onensei: ( ) ( )

( )

Tömör vektoriális jelöléssel:

( ) ( )

〈4 〉, 〈44〉 ,

( ) ( )

( ) ( )

〈4 〉 ( )

〈45〉


( )

(

( ) ( )

〈46〉,

)

( )

84. oldal

(

( )

( )

( )

( )

)

〈47〉

3. mintafeladat Egy lövedéket a vízszintessel 4 °-os szöget bezáró, kilövünk. A közegellenállástól eltekintünk.

[ ] nagyságú kezdősebességgel

v0 P



d

a) Vegyünk fel célszerű koordinátarendszert a mozgás leírásához, majd határozzuk meg a lövedék helyvektorát a kilövés után s-mal! b) Milyen távol van ekkor a lövedék a kilövés helyétől, és mekkora sebességének nagysága? c) Milyen d távolságban ér földet a lövedék a kilövés helyétől?

Megoldás: y v2 v0 r 2

P

x

r t1 

a) Először felírjuk a lövedék kezdeti hely és sebességvektorát, valamint a gravitációs gyorsulást. ( )

( )

( )

(

(

( ) ( )

,8

)

76,6 ( )[ ] 64,

4 ° ) 4 °

(

)[ ]

Ezt követően felírjuk a lövedék hely-idő függvényét. ( )

( )

( )

( )

76,6 ) 64,

(

(

4,

5

)

( 64,

Most helyettesítsük be a s-ot a t helyére: ( )

(

64,

76,6 4,

5

)

(

5 , 8,

)

b) A kérdéses távolság nem más, mint a helyvektor hosszúsága:

76,6 4,

5

)


( )

√ ( )

√ 5 ,

( )

85. oldal

8,

87,

A sebesség nagyságának kiszámításához fel kell írnunk a lövedék sebesség-idő függvényét: ( )

( )

( )

(

76,6 ) 64,

(

)

,8

76,6

(

64,

,8

)[ ]

A sebesség-idő függvénybe s-ot behelyettesítve: ( )

76,6 ,8

( 64,

)

(

76,6 )[ ] 44,66

( )

A sebesség nagysága:

√76,6

44,66

88,67 [ ]

c) Induljunk ki a hely-idő függvényből: ( )

76,6 4,

( 64,

)

5

A földet érés illanatában a lövedék helyvektora ( )

( )

, ahol

a kilövéstől a földet

érésig eltelt időt jelenti. Ezt felhasználva: ( )

( )

(

76,6 64, 4,

5

)

Innen az alábbi egyenletrendszert ka juk: I.

76,6

II.

64,

4,

5

⇒

,

-et behelyettesítve az első egyenletbe megka juk a keresett távolságot: 76,6

,

,46

4. mintafeladat A vízszinteshez ké est milyen szögben kell elhajítani egy ontszerű testet, hogy ugyanolyan magasra emelkedjék, mint amilyen távol ér vissza az elhajítás szintjére? A közegellenállástól eltekintünk.

Megoldás: Jelöljük az elhajítástól a álya tető ontjának eléréséig eltelt időt sebesség y irányú kom onense nulla. Ezt felhasználva: ( )

( )

(

(

( )

)

)

(

(

( ) ( ) ( ) ( )

-gyel. A tető ontban a

( )

) ⇒

( ) ) ( )

( )

( )

(

( A földet érés helyének az elhajítás helyétől mért távolsága:

( ) ( ) ( )

)

( ) )

(

)


86. oldal ( ) ( )

A feladat feltétele szerint:

( )

⇒

4

( )

⇒

76°

.4. Mozgás érdes lejtőn

5. mintafeladat Egy m tömegű, ontszerű testet egyenes vonalú, a vízszintessel állandó erővel, ideig húzunk felfelé.

szöget bezáró, érdes lejtőn

Adatok: F

F

5 kN , m

5

,

, ,

°,

m [ ] s

kg , v



,

0 , 

m

°

 a, Elegendő-e a megadott erő nagysága a test megmozdításához? b, Ha igen, akkor mekkora a test gyorsulása, és a talaj által kifejtett kényszererő nagysága a mozgás során?

c, Mekkora lesz a test ályasebessége d, Mekkora

s

t

idő elteltével, ha kezdetben nulla volt?

ályaszakaszt fut be a test a megadott t idő alatt.

Megoldás: a, Feltételezzük az egyensúlyt: n

F sin 

Fn

F F cos 



Fk Ft

mg cos  mg sin 



Egyensúlyi egyenlet: ∑

(

I.

)

(

)

(

) ⇒

( )

mg

e


II.

87. oldal

⇒

A test nyugalomban marad, ha: (

≤ 5

°

5

)

,8

47 ,5

, azaz:

≤ (5

° ≤ ,

,8

°

5

°)

 a test elmozdul.

,88

b, n

F sin 

Fn

F F cos 



Fk

e

Fs mg cos  mg sin 

mg



Mozgásegyenlet: ∑

(

)

(

)

(

)

(

)

I. II.

⇒

A kényszererő kom onensei közötti ka csolat: III. (

I.

A kényszererő nagysága:

)

4, 7 [ ]

√

√(

)

c, t

m ,8 [ ] s

4, 7

d, s

t

t

4, 7

,

m

.4. Statikai éldák

6. mintafeladat Az ábrán látható m tömegű, ontszerű test nyugalomban van.

√

6,45


88. oldal

Adatok: 

F

F

5 N,

°

m a) Rajzoljuk be a testre ható erőket! b) Válasszunk egy célszerű koordinátarendszert, és írjuk fel benne a test egyensúlyi egyenleteit, majd határozzuk meg a kötélben ébredő erő nagyságát, valamint a test tömegét! c) Szerkesszük meg a kötélerőt, valamint a testre ható gravitációs erőt!

Megoldás: a) y K  sinα K

F

x



K  cosα

mg

b) ∑ I. II. 7 ,

(

⇒ °

° ,8

5 ⇒

) ⇒

(

)

(

)

( )

7 ,

8,8

c) F

 K mg

7. mintafeladat Az ábrán látható, nyújthatatlan fonálhoz erősített m tömegű, d átmérőjű ing onglabdát szélsebesség mérésére használjuk. Egy adott szélerősségnél megmérjük a fonál függőlegessel bezárt  szögét, a gömb C alaki tényezője ismert.


89. oldal

Adatok: m

,465 g , d

C

,45,

7,7 mm ,

ő

4[



]

y K

°

 F sz

x

mg

Kérdés: Határozzuk meg a megadott adatokból a mozgó levegő (szél) által a nyugvó labdára kifejtett Fsz közegellenállási erő nagyságát, majd abból a szélsebességet!

Megoldás: Felírjuk a labda egyensúlyi egyenletét: A mozgás leírásához az ábrán látható koordinátarendszert választjuk, majd az összes erőt x és y kom onensekre bontjuk. A labda egyensúlyi egyenlete ezt követően: (

)

(

)

(

)

( )

Ebből az alábbi két skaláregyenlet adódik: . . A fenti egyenletekből: ,

4

,

⇒

√

6,8 5 [ ]

Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza

Recommend Documents