Vissza
Fejezet tartalma
A valós számok halmaza
I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
Tartalomjegyzék 5
Fejezet tartalma 6
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma A valós számok halmaza
7
I. A valós számok halmaza 1.1. A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja a valós számokat. A valós számok halmazát \ -rel (a reális = valós szó kezdőbetűjével) jelöljük és ismertnek tekintjük. A valós számok halmazával azonban nem csupán mint halmazzal lesz dolgunk, hiszen elemei között ismét valós számokat eredményező műveleteket értelmezünk, rendezzük őket, stb. Elöljáróban felhívjuk a figyelmet arra, hogy a valós számok halmaza a matematika eléggé bonyolult építménye, amely a tudomány sok évszázados fejlődése során jött létre. Az \ igazi felépítése voltaképpen annak az útnak a következetes véghezvitele lenne, amelyet az iskolai tanulmányok során minden diák érint, és amely legalább részben követi a tudomány fejlődéstörténetét. Előbb a természetes számok halmazában, intuitív módon értelmezünk két műveletet, az összeadást és a szorzást, valamint „nagyságrendi viszonyokat” ( <, =,> ). A természetes számok halmazának „elégtelensége” azonban hamar kiderült, a két említett művelet megfordítottja (inverze), a kivonás és az osztás nem volt mindig elvégezhető köztük, pedig ezekre már nagyon egyszerű mérések során is szükség mutatkozott. A számoknak ezt a viszonylag egyszerű modelljét tehát bővíteni kellett. Az egész számok és a racionális számok halmazának a bevezetése, a műveletek és a rendezés kiterjesztése megoldotta ugyan ezt a problémát, de továbbra is lényeges megválaszolatlan kérdések maradtak. Vegyük például a távolságmérés feladatát. Jelöljünk ki valamely egyenesen (tetszés szerint) két pontot: a 0-t és az 1-et. Ezzel voltaképpen megadtunk egy távolság-mértékegységet és egy haladási (0-tól 1 felé „pozitív”, fordítva pedig „negatív”) irányt: 1
0
1. ábra Ha a szakasz osztásánál és összeadásánál úgy járunk el, ahogyan a geometriában szokás, akkor minden racionális számnak nyilvánvalóan megfelel egy szakasz. Állapodjunk meg abban, hogy pozitív racionális szám esetében a megfelelő szakasz pozitív, negatív racionális szám esetében pedig negatív irányban mérjük fel a 0 pontból kiindulva, és a szóban forgó racionális számot a szakasz másik végpontjával szemléltetjük. Például: 2 1 3 3
5 4 3 3
2
1
1 2 3 3
0
4 5 3 3
1
2
2. ábra
Nyilvánvaló, hogy ilyen módon az egyenesen minden racionális számnak pontosan egy pont felel meg. 3. ábra Fordítva a dolog nem áll: az egyenesnek végtelen sok 1 olyan pontja van, amelynek – a fent vázolt eljárás során 2 – nem felel meg racionális szám. Könnyen belátható, hogy ilyen tulajdonságú az 1 (egység) oldalhosszúságú négyzet átlójának megfelelő pont. x 2 0 1 E négyzet átlójának mérőszáma – Pitágorász tétele szerint – olyan szám, amelynek a négyzete 2-vel egyenlő, ilyen pedig, ahogy azt y
Fejezet tartalma 8
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
korábbi tanulmányaitok során láthattátok, a racionális számok között nincs. Ilyen és hasonló meggondolások tették szükségessé a racionális számok halmazának bővítését és a valós szám fogalmának megalkotását. A bővítésben szereplő „új számok” az irracionális számok. Az irracionális és racionális számok halmazának egyesítése adja a valós számok halmazát. Ennek igazi felépítése tehát valami olyasfélét jelentene, hogy kiindulunk a természetes számok halmazának ismeretéből és néhány axiómából, majd ezek segítségével értelmeznénk az egész, a racionális és a valós számok halmazát, az említett műveleteket, a rendezést. Sajnos, a valós számok fogalmának erre az igazi megalapozására – annak hosszadalmas volta miatt – nincs lehetőség a középiskolában. Kénytelenek vagyunk megelégedni a következő félmegoldással: nem definiáljuk az \ halmazt, és így természetesen nem adjuk meg a szokásos műveletek és rendezés értelmezését sem, hanem axiómák segítségével pontosan megfogalmazzuk, hogy mi végezhető el, illetve érvényes a valós számok halmazában. Nagyjából olyan helyzetben leszünk tehát, mintha lenne egy gépünk, amelynek a konstrukciójával nem lennénk teljesen tisztában, pontosan tudnánk viszont, hogy a gép mire használható, milyen műveletek elvégzésére képes. A mindennapi életben sok ilyen géppel van dolgunk, és eredményesen használjuk őket. 1.1.1. Az összeadás és a szorzás axiómái (a test axiómái) A1. Minden a, b ∈ \ számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén \ -beli) a + b összege; A2. a + b = b + a , ∀ a, b ∈ \ (kommutativitás); A3. (a + b ) + c = a + (b + c ) , ∀ a, b, c ∈ \ (asszociativitás); A4. Létezik pontosan egy olyan \ -beli szám (jelöljük a 0 szimbólummal), hogy minden a ∈ \ esetén a + 0 = a ; A5. Minden a -hoz létezik pontosan egy olyan x ∈ \ , amelyre a + x = 0 ( x et az a szám ellentettjének nevezzük és −a -val jelöljük). A következő öt axióma hasonlít a felsoroltakhoz, de a szorzásra vonatkozik: M1. Minden a, b ∈ \ számhoz (egyértelműen) hozzá van rendelve azok (szintén \ -beli) a ⋅ b szorzata; M2. a ⋅ b = b ⋅ a , ∀ a, b ∈ \ (kommutativitás); M3. (ab )c = a (bc ) , ∀ a, b, c ∈ \ (asszociativitás); M4. Létezik pontosan egy olyan \ \ {0} -beli szám (jelöljük az 1 szimbólummal), hogy minden a -ra 1 ⋅ a = a ; M5. Minden 0-tól különböző a-hoz létezik egy olyan x ∈ \ , amelyre a ⋅ x = 1 1 ( x -et az a szám inverzének vagy reciprokának nevezzük és -val jelöljük). a Az alábbi axióma kapcsolatot teremt a fent értelmezett két művelet között: D. (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c , ∀ a, b, c ∈ \ (disztributivitás). Megjegyzés. Az A1, ..., A5, M1, ..., M5, D axiómákat testaxiómáknak is nevezzük.
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
9
1.1.2. Rendezési axiómák A következő négy axióma valós számok rendezésére vonatkozik: R1. Bármely két a, b ∈ \ számra az alábbi relációk közül pontosan egy érvényes: a > b, a = b, b > a (trichotómia); R2. Ha a > b és b > c , akkor a > c (tranzitivitás); R3. Ha a > b , c ∈ \ , akkor a + c > b + c ; R4. Ha a > b és c > 0 , akkor ac > bc . R5. Bármely két különböző valós szám között van racionális szám (ha a, b ∈ \ , a < b , akkor létezik r ∈ \ úgy, hogy a < r < b ). Megjegyzés. R5-ből következik, hogy bármely két különböző valós szám között végtelen sok racionális szám van. Valóban, ha a, b ∈ \, a < b és létezik r ∈ _ úgy, hogy a < r < b , akkor létezik r1 ∈ _ úgy, hogy a < r1 < r , stb. Értelmezések. Az a > b relációt szóban így fejezzük ki: a nagyobb b -nél ( b kisebb a -nál), az a > b és b < a írásmód ugyanazt jelenti. Az a ≥ b szimbólum jelentése: az a > b , a = b relációk közül fennáll az egyik. Ha a > 0 , akkor a -t pozitív, ha a < 0 , akkor a -t negatív számnak nevezzük. Ha a ≥ 0 , akkor a -t nemnegatív, ha a ≤ 0 , akkor a -t nempozitív számnak mondjuk. Ha A ⊂ \ és A ≠ ∅ , akkor A -t (valós) számhalmaznak nevezzük. Értelmezés. a) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem kisebb, akkor ezt az elemet az A halmaz legnagyobb elemének vagy maximumának nevezzük és max A -val jelöljük. b) Ha az A halmaz tartalmaz olyan elemet, amely A egyetlen eleménél sem nagyobb, akkor ezt az elemet az A halmaz legkisebb elemének vagy minimumának nevezzük és min A -val jelöljük. Tehát érvényesek a következő ekvivalenciák: M = max A ⇔ a ≤ M , ∀ a ∈ A ;
m = min A ⇔ m ≤ a, ∀ a ∈ A . Nem minden halmaznak van legkisebb, illetve legnagyobb eleme. Például az (1, 2) intervallumnak nincs sem legkisebb sem legnagyobb eleme, az [1, 2) intervallum legkisebb eleme az 1 és nincs legnagyobb eleme, míg az (1, 2] intervallumnak a 2 a legnagyobb elem és nincs legkisebb eleme. 1.1.3. A felső határ axiómája Értelmezés. Valamely A számhalmazt felülről (alulról) korlátosnak mondunk, ha létezik olyan K (k ) valós szám, hogy minden x ∈ A esetén fennáll az
x ≤ K (x ≥ k ) egyenlőtlenség. Ekkor a K (k ) számot az A számhalmaz egy felső (alsó) korlátjának nevezzük. Korlátos számhalmazon alulról is és felülről is korlátos számhalmazt értünk.
Fejezet tartalma 10
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
Felülről korlátos számhalmazokra vonatkozik a következő axióma: F1. Ha A ≠ ∅ felülről korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan H valós szám, hogy 1. minden x ∈ A esetén x ≤ H ; 2. ha K az A halmaz egy felső korlátja, akkor H ≤ K . Először is vegyük észre, hogy az F axióma egyértelműen meghatározza a H számot. Tegyük fel ugyanis, hogy a H és H * számokra igaz az axiómában szereplő 1. és 2. tulajdonság. Ekkor 1. szerint mind H , mind pedig H * felső korlátja az A számhalmaznak, amiből 2. szerint következik egyrészt a H ≤ H * , másrészt pedig a H * ≤ H egyenlőtlenség, vagyis H * = H . Az F axióma biztosította H számot a felülről korlátos A halmaz legkisebb felső korlátjának, felső határának vagy szuprémumának nevezzük és a következőképpen jelöljük: sup A = H . Az F axiómából közvetlenül adódik alulról korlátos számhalmazokra a következő állítás: Ha A alulról korlátos számhalmaz, akkor létezik olyan h valós szám, hogy 1. minden x ∈ A esetén x ≥ h ; 2. ha k az A halmaz egy alsó korlátja, akkor k ≤ h . Megjegyezzük, hogy az állításban szereplő h számot az alulról korlátos A halmaz legnagyobb alsó korlátjának, alsó határának vagy infimumának nevezzük és így jelöljük: inf A = h . Térjünk rá most állításunk bizonyítására. Ennek érdekében legyen B = x ∈ \ −x ∈ A . Nyilvánvaló, hogy ha k alsó korlátja az A halmaznak, akkor K = −k felső korlátja a B halmaznak és fordítva. Mivel A alulról korlátos, ezért B felülről korlátos számhalmaz. Legyen H = sup B . Ez azt jelenti, hogy minden y ∈ B esetén y ≤ H , amiből az A és B halmaz közti kapcsolat alapján a h = −H jelölés mellett adódik, hogy minden x ∈ A esetén k ≤x (1) Legyen most k az A tetszés szerint választott alsó korlátja. Mivel ekkor K = −k felső korlátja a B halmaznak, ezért F szerint H ≤ K , vagyis −K ≤ −H , ahonnan k ≤h. (2) következik, hogy Az (1) és a (2) egyenlőtlenség fennállása azt jelenti, hogy állításunkat igazoltuk. Felülről korlátos A számhalmaz esetében F voltaképpen azt mondja ki, hogy a felső korlátok között van legkisebb, a felső határ. Más szóval, ez azt jelenti, hogy felülről korlátos számhalmazok esetén létezik olyan szám (a felső határ), amelynél nagyobb nincs a számhalmazban, azonban bármely nála kisebb számnál nagyobb szám már van a számhalmazban. Hasonló megállapítások tehetők alulról korlátos számhalmaz és annak alsó határa közti kapcsolatáról. Korlátos számhalmaznak természetesen létezik mind alsó, mind felső határa. A következő két jellemzés fontos az alkalmazásokban: a) Legyen az A számhalmaz felülről korlátos, és legyen H = sup A . A H értelmezéséből következik, hogy H-nál nagyobb szám nincs az A halmazban. Tetszés
{
1
}
Lásd a X. osztályos tankönyvben
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma A valós számok halmaza
11
szerinti ε > 0 szám esetében viszont a H − ε szám nem felső korlátja A-nak, tehát létezik olyan x ∈ A elem, amelyre x > H − ε . b) Az alulról korlátos B számhalmaz esetében nincs B-ben a h = inf B számnál kisebb elem, viszont tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan y ∈ B , amelyre fennáll az y < h + ε egyenlőtlenség. Vezessük be a következő jelöléseket:
{
}
{ = {x ∈ \
} x < 0} .
{
}
\ + = x ∈ \ x ≥ 0 , \ *+ = x ∈ \ x > 0 , \ − = x ∈ \ x ≤ 0 , \ *−
Az \ − és \ *− számhalmazok felülről korlátosak. Könnyen belátható, hogy mind a kettőnek 0 a szuprémuma: sup \ − = sup \ *− = 0 . Az \ *− halmaz tartalmazza a szuprémumát, míg az \ − halmaz nem. Példák. 1) Az A = (1, ∞) halmaz alulról korlátos és felülről nem. 0 ≤ x , ∀ x ∈ A , tehát a 0 egy alsó korlátja A -nak. Az A alsó korlátjainak halmaza a (−∞, 1] intervallum, tehát a legnagyobb alsó korlát az 1 . Az A halmazban nincs sem legnagyobb, sem legkisebb elem. 2) A B = [5,2002) halmaz alulról is és felülről is korlátos mert 5 ≤ x ≤ 2002 ,
∀ x ∈ B . Az alsó korlátok halmaza (−∞, 5] és a felső korlátok halmaza [2002, ∞) . Így a B halmaz szuprémuma 2002 és infimuma 5 , ugyanakkor a halmaz legkisebb eleme 5 és nincs legnagyobb eleme. 3) Az ` halmaz alulról korlátos, felülről nem. A halmaz legkisebb eleme a 0 , ez egyben az alsó határa is. 1.1.4. Az Arkhimédész féle axióma Sokszor alkalmazzuk majd a következő, úgynevezett Arkhimédész féle axiómát: A. Minden a és b pozitív valós számhoz található olyan n természetes szám, amelyre n ⋅ a > b . Megjegyzés. a = 1 esetén következik, hogy bármely b valós számnál van nagyobb n természetes szám. Az A és F axiómák következménye, hogy ∀ x ∈ \ esetén létezik egyetlen olyan n ∈ ] szám, amelyre teljesülnek az n ≤ x < n + 1 egyenlőtlenségek. Az így kapott n számot az x valós szám egészrészének nevezzük és [x ] -szel jelöljük. Tehát [x ] ≤ x < [ x ] + 1 , ∀ x ∈ \ . A valós szám egészrészének segítségével értelmezhetjük a törtrészét is, mint a szám és az egészrészének különbsége. Az x valós szám törtrészét {x } -szel jelöljük és értelmezés alapján: {x } = x − [x ], ∀ x ∈ \ . A fentiekből látható, hogy 0 ≤ {x } < 1, ∀ x ∈ \ .
Fejezet tartalma 12
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
Példák. 1) Az x = 2, 3 szám egészrésze [2, 3] = 2 és a törtrésze {2, 3} = 0, 3 . Pozitív számok esetén a tizedes reprezentáció vessző előtti rész a szám egészrésze és a tizedesvessző utáni rész a szám törtrésze. 2) Az x = −5, 8 szám egészrésze [−5, 8 ] = −6 , mert −6 ≤ −5, 8 < −5 . Így a törtrésze {−5, 8} = −5, 8 + 6 = 0, 2 . A következő pontokban az ismertetett axiómák néhány lényeges következményével, \ nevezetes részhalmazaival és néhány fontos, \ -rel kapcsolatos fogalommal ismerkedhetünk meg. 1.1.5. A testaxiómák néhány következménye 1. Műveletek valós számokkal Igaz a következő állítás: bármely a, b ∈ \, c ∈ \ \ {0} , d ∈ \ esetén pontosan egy olyan x ∈ \ létezik, amelyre a + x = b (illetve c ⋅ x = d ), 1 mégpedig az x = b + (−a ) (illetve az x = d ⋅ ). c A fenti x számot a b és a számok különbségének (a második esetben pedig a d és c d számok hányadosának) nevezzük és b − a -val ( -vel) jelöljük. c Igazoljuk a különbség egyértelmű létezését. Kiindulva az a és b valós számokból, legyen x = b + (−a ) . Ekkor, felhasználva az A1 és A5 axiómákat, a + x = a + (b + (−a )) = a + ((−a ) + b ) . Most felhasználjuk az A2 axiómát, és kapjuk, hogy a + x = (a + (−a)) +b = 0 +b =b . Tehát a -hoz x-et hozzáadva tényleg b-t kapunk. Tegyük fel, hogy valamely x ∈ \ esetében a + x = b . Adjuk hozzá mind az a + x , mind a b számhoz a (−a ) számot: (a + x ) + (−a ) = b + (−a ) . A1 és A2 alkalmazásával, a fenti egyenlőségből következik, hogy (x +a) +(−a) =b +(−a) , valamint x + (a + (−a )) = b + (−a ) . Rendre alkalmazva az A3, A5 és A4 axiómákat, kapjuk, hogy x + 0 = b + (−a ) , x = b + (−a ) . Tehát valóban csak egy x ∈ \ létezik amelyre a + x = b , ez az x = b + (−a ) szám. Állításunknak az osztásra vonatkozó része hasonlóan igazolható. Megjegyzések 1. Az A1, ..., A5, M1, ..., M5, D axiómákból könnyen levezethetők a valós számokra vonatkozó, ismert és a középiskolában használt összefüggések. 2. Az A3 axióma szerint (a + b ) + c = a + (b + c ), ∀ a, b, c ∈ \ , vagyis mindegy, hogy hol állnak a tagok csoportosítását kijelző zárójelek. Ezért el is hagyhatjuk őket, ha megállapodunk abban, hogy a + b + c = (a + b ) + c = a + (b + c ) . (1) Az (1) alatti értelmezésből az A2 és A3 axióma szerint következik, hogy közömbös a bal oldalon szereplő tagok sorrendje is. Például b + c + a = a + b + c .
Fejezet tartalma
Tartalomjegyzék
A valós számok halmaza
13
Valóban, b + c + a = (b + c ) + a = a + (b + c ) = a + b + c , ahol az axiómákat és az előbbi értelmezést használtuk. Eredményünkre úgy is hivatkozhatunk, hogy „három tag esetében az összeg független a tagok sorrendjétől”. Teljesen hasonlóan, az M3 axióma alapján, abc = (ab )c = a (bc ) , és itt is igaz a megfelelő eredmény, vagyis „három tényező esetében a szorzat független a tényezők sorrendjétől”. 1 Megoldott feladat. Határozzuk meg az A = n ∈ `* halmaz n + 1 minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát. 1 1 Mivel 0 < ≤ , ∀ n ∈ `* , az A halmaz alulról is és felülről is korlátos, tehát n +1 2 1 létezik alsó és felső határa. A halmaz legnagyobb eleme , ez tehát egyúttal a 2 szuprémuma is. Bizonyítjuk, hogy a halmaz alsó határa a 0 . Az értelmezés alapján a következő két állítást kell igazolnunk: 1 1. 0 < , ∀ n ∈ `* - ezt már beláttuk, hogy igaz; n +1 1 2. ∀ ε > 0 esetén ∃ n ∈ `* úgy, hogy <ε. n +1 1 Az utóbbi egyenlőtlenség ekvivalens az − 1 < n egyenlőtlenséggel, tehát ε 1 1 1 n > − 1 + 1 . De − 1 + 1 = és mivel a keresett n szám nem lehet nulla, ε ε ε 1 ezért az n = max ,1 értékre biztosan teljesül a kért egyenlőtlenség. Így a 0 ε teljesíti az infimum értelmezésében szereplő feltételeket, tehát inf A = 0 . Mivel 0 ∉ A , a halmazban nincs legkisebb elem. Gyakorlatok 1. Határozd meg a következő halmazok alsó és felső határát, legnagyobb és legkisebb elemét (amikor ezek léteznek): a) A = ] ; b) A = _ ; c) A = (−∞, 5) ; d) A = (−∞,10] ; e) A = (7, ∞) ; f) A = [2000, ∞) ; g) A = (−3,100) ; i) (−3, 5] ∪ {11} ;
j) A = (−∞,2] ∪ (3, ∞) ;
n n ∈ ` ; l) A = n + 2
{
}
n) A = x ∈ \ x − 2 ≤ 1 ;
h) A = [−8,13) ;
k) (−2, 5] ∪ (6,103] ;
2n 2 m) A = n ∈ `* 2 ; n + 1 o) A = x ∈ _ 2x + 3 ≤ x ;
{
x 2 − 5x + 4 p) A = > 0 ; r) A = x ∈ \ x ∈ \ x +3
{
}
}
x −2 x −1 > 1 .
Tartalomjegyzék
Fejezet tartalma 14
A valós számok halmaza
2. Határozd meg a következő számok egészrészét és törtrészét: 17 135 n 3n 2 ,n ∈ ` . ; b) a = − ; c) a = , n ∈ `* ; d) a = 2 a) a = 5 3 n +3 n +2 3. Oldd meg a következő egyenleteket: x + 1 2x + 1 4x + 1 3x − 1 a) b) c) = ; = x −2 ; = 2; 3 3x − 1 5 2 2x + 1 1 x +1 d) = ; = [x − 1] . e) 3 2 2
{
}
{
}
Feladatok 1. Bizonyítsd be, hogy ha az alábbi egyenlőségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőségek igazak ( A, B ⊂ \ ):
{
}
a) inf (A + B ) = inf A + inf B , ahol A + B = a + b a ∈ A, b ∈ B ; b) sup (A + B ) = sup A + sup B ;
{
}
c) inf (λ ⋅ A) = λ ⋅ inf A , ahol λ ⋅ A = λ ⋅ a a ∈ A és λ ∈ \ + ; d) sup (λ ⋅ A) = λ ⋅ sup A , ahol λ ∈ \ + . Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha az infimum és szuprémum helyett minimum illetve maximumot írunk. 2. Bizonyítsd be, hogy ha f , g : a, b → \ és az alábbi egyenlőtlenségekben szereplő kifejezések léteznek, akkor az egyenlőtlenségek igazak: a) max ( f (x ) + g(x )) ≤ max f (x ) + max g(x ) ; x ∈ a , b
x ∈ a , b
x ∈ a , b
b) min ( f (x ) + g(x )) ≥ min f (x ) + min g (x ) ; x ∈a , b
x ∈a , b
x ∈ a , b
c) max ( f (x ) ⋅ g(x )) ≤ max f (x ) ⋅ max g(x ) , ha f , g : a, b → \ + . x ∈ a , b x ∈a , b x ∈ a , b Hasonló egyenlőségek igazak akkor is, ha a minimum illetve maximum helyett infimumot és szuprémumot írunk. 3. Bizonyítsd be, hogy ha a ≤ b , ∀ a ∈ A és ∀ b ∈ B esetén ( A, B ⊂ \ ), akkor
sup A ≤ inf B . 4. Számítsd ki a következő kifejezések egészrészét és törtrészét: 2001 n(n + 1) b) n 2 + n − 1 , n ∈ `* ; c) , n ∈ `. a) (2 + 3 ) ; 6 5. Számítsd ki a következő összegeket: n 2003 n k k (k + 1) ; a) ∑ k 2 + k + 1 ; b) ∑ c) ∑ (3 + 2 2 ) . 6 k =1 k =1 k =1
{
{
{
6. Számítsd ki a min max x 2 + y + z, y 2 + z + x , z 2 + x + y x ,y ,z ∈ \
}
}} kifejezés értékét! Tovább
