Szakdolgozat
Fegyveres György 2014
Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
A hozamgörbe modellezésének módszertani bemutatása a spline és a Nelson-Siegel típusú modellek összehasonlításán keresztül
Készítette: Fegyveres György Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Kvantitatív pénzügyek szakirány 2014
Témavezet®: Dr. Száz János, Vidovics-Dancs Ágnes
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni Dr.
Száz Jánosnak és Vidovics-Dancs Ágnesnek,
hogy észrevételeikkel és tanácsaikkal segítették munkámat. Továbbá hálás vagyok munkatársaimnak, Mohai Ádámnak, Reguly Ágostonnak és Bebes Andrásnak segít® észrevételeikért.
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés
1
2. A hozamgörbe és a kötvényárazás
5
2.1.
A kamatlábak lejárati szerkezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.
Kötvényárfolyam
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.
Benchmark kötvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4.
Az átlagid® és a módosított átlagid®
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Az kötvényárazás hibája
15
3.1.
Az árazó függvény
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2.
A hiba mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3.
A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. A hozamgörbe közelítése
21
4.1.
Interpoláció
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.2.
Spline illesztés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.3.
Függvény alapú módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.4.
A Nelson-Siegel modellcsalád
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4.1.
A Nelson-Siegel modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4.2.
A Nelson-Siegel modell kiterjesztései
. . . . . . . . . . . . . .
32
A paraméterek becslése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.5.
5. Empirikus vizsgálat 5.1.
5.2.
38
Statikus vizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.1.1.
Spline alapú modellek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.1.2.
Nelson-Siegel alapú modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Dinamikus vizsgálat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6. Befejezés
53
A. Programkódok
56
ii
Táblázatok jegyzéke
2.1.
A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései
3.1.
A benchmark kötvények szórása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.
A harmadfokú spline bázisfüggvényei
4.2.
A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei
5.1.
A vizsgált hibafüggvények
5.2.
A bázisfüggvény súlyok szórása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.3.
A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meg gyelésekt®l . . . .
42
5.4.
Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén
. . . . . . . . . . . .
44
5.5.
Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén . . . . . . . . .
46
5.6.
A Nelson-Siegel típusú modellek hibája . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.7.
A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén . . . . . . .
48
6.1.
A külföldi jegybankok gyakorlata
53
τ = kt,m+1
+ τ = kt,m+1
18
esetén .
25
. . . . . . .
37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
iii
és
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ábrák jegyzéke
2.1.
A 2014.03.31-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe . . . .
7
2.2.
A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.
A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása
. . . . . . . .
8
2.4.
A benchmark hozamok alakulása
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.5.
A benchmark hozamok korrelációja
2.6.
Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel
2.7.
Az árfolyamváltozás közelítésének hibája
4.1.
A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei
4.2.
Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén
.
28
4.3.
Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.4.
A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . .
30
4.5.
A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok
. . .
32
5.1.
A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett . . . . . . . .
40
5.2.
A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén . . . . . . . . . . . . .
40
5.3.
A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése
. . . . . . . . . . . .
41
5.4.
A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén . . . . . .
43
5.5.
A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén . . . .
43
5.6.
Hozamgörbék spline módszerek esetén
. . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.7.
A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja . . . . . . . .
45
5.8.
Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén
46
5.9.
Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
46
5.10. A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén 47 5.11. Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén
. . . . . . . . .
48
. . . . . . . . . . . . . . .
49
5.13. Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén . . . . . . . . . .
50
5.14. Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.15. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén
51
5.12. Súlyok a harmadfokú spline modell esetén
. . . . . . . . . . . . . .
5.16. Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén
iv
. . . . . . . . . .
51
5.17. Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén . . . . . . . . . .
52
1. fejezet
Bevezetés
Egy pénzáramlás jöv®beli és mai értéke nem egyezik meg, a kapcsolatot közöttük a hozamgörbe jelenti.
E görbe ismerete, vagy legalábbis becslése, a piaci szerep-
l®k számára létszükséglet különböz® derivatívák árazásához és fedezéséhez, míg az adósságkezel®k, mint szuverén piaci szerepl®k esetén az adósságportfólió menedzselése szempontjából lényeges.
Így dolgozatomban különböz® módszereket mutatok
be, amellyel keresztmetszeti kötvényárfolyamokra tudunk hozamgörbét illeszteni, illetve utóbbi id®beli fejl®dését lehet meghatározni. A magyar adatok vizsgálatával pedig rávilágítok a bemutatott modellek gyakorlati nehézségeire. A magyar adósságkezel®, az Államadósság Kezel® Központ Zrt.
(ÁKK) adós-
ságkezelési stratégiája alapján az ÁKK feladata az, hogy a központi költségvetés nanszírozási szükségletét hosszú távon minimális költséggel, elfogadható kockázatok vállalása mellett, egységes szemléletben nanszírozza (ÁKK Zrt., 2012).
A
legnagyobb költség és kockázati tényez®k, azaz a kamatkiadások és a kamatláb kockázat a hozamgörbéhez kapcsolódnak, ezért kockázatkezelési szempontból fontos a hozamgörbe vizsgálata és becslése egyaránt. A hozamgörbe vizsgálata történhet statikusan vagy dinamikusan. El®bbi keresztmetszeti becslést jelent, azaz egy adott id®pontra határozzák meg a hozamgörbét. Legegyszer¶bb eljárás a bootstrap módszer, melyet Fama és Bliss (Fama és Bliss, 1987) publikált el®ször. Az összetettebb görbeillesztési technikákon belül két fontos módszercsalád különíthet® el, a spline és a függvény alapú modellek.
El®bbiek a
hozamgörbét szakaszonként építik fel, a szakirodalomban a f®bb módszerek az alkotó függvényekben térnek el. Ezek többek között lehetnek harmadfokú (McCulloch, 1975), exponenciális (Vasicek és Fong, 1981), simító (Fischer, Nychka és Zervos, 1995) vagy B-spline-ok (Bolder és Gusba, 2002). A függvény alapú modellek esetén a teljes intervallumra illesztenek, a legnagyobb hatású a Nelson-Siegel (Nelson és Siegel, 1987) és a Svensson modell (Svensson, 1994). A megfelel® statikus módszertan
1
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
2
kiválasztásához nyújtanak segítséget Bliss (1996) és Bolder és Gusba (2002) összehasonlító tanulmányai.
A dinamikus becslés a hozamok id®soros jellegét ragadja
meg a görbe fejl®désének leírásával. Az alkalmazandó hozammodell kiválasztásakor különböz® elvárások képzelhet®k el (Bolder, 2001). A hozamgörbe alakjából következtetni lehet a piaci szerepl®k várakozására és annak bekövetkezésének sebességére. Így például emelked® hozamgörbe a gazdaság és az in áció növekedését, míg meredeksége a változás gyorsaságát jelzi. A magyar adatok alapján elvárható, hogy a modell képes legyen reprodukálni különböz® hozamgörbe alakokat is. Ezenkívül a historikus adatok alapján meg gyelhet® további jellemz®kkel, stilizált tényekkel is összhangban kell lennie a kapott eredményeknek. További elvárt követelmények a modell matematikai alakjával, valamint a paraméterek megszorításával érhet®k el. Ilyen az arbitrázsmentesség, a negatív és nem korlátos hozamok tiltása, illetve, hogy a modell az egész görbét modellezze, ne csak egy pontjának dinamikájából vezesse le a többi alakulását. A modell ellen®rzése során szükséges a paramétereit többször újrabecsülni, ugyanis els®dleges vizsgálati elem a modell eredményeinek paraméterekt®l való függése, érzékenységvizsgálata. Minél könnyebben végezhet® eló a becslés, akár a paraméterek száma, akár az alkalmazott módszertan miatt, annál könnyebben ellen®rizhet® a hozamgörbe stabilitása. A könny¶ becsülhet®ség mellett a paraméterek közgazdasági értelmezése és ezáltal egyes értékek kizárása is lehetséges szempont az empirikus vizsgálat során. Végül a görbe id®beli fejl®désének pontos modellezése és a függvényszer¶ kapcsolat egyes faktorok és a hozamok között a szimuláció helyességének és sebességének lehetséges elemi kritériumai. Szimulációs szempontból további követelmény, hogy a különböz® lejáratra kapott kamatlábak közti korrelációk a meg gyelt mintát tükrözzék (Danmarks Nationalbank, 2010). Természetesen nem teljesíthet® egyidej¶leg az összes lehetséges elvárás, így szükséges jellemz®ik alapján csoportosítani a szakirodalomban fellelhet® modelleket. Kopányi (2009) alapján a rendszerezés a modell id®belisége (diszkrét vagy folytonos), célja (árazás vagy kockázatkezelés), faktorainak száma (egy vagy több) és az azok közti függvénykapcsolat alapján végezhet® el. Az id®beliség alapján megkülönböztethet®ek diszkrét és folytonos idej¶ modellek.
Utóbbiak el®nye a jóval b®vebb szakirodalom és elméleti háttér, továbbá az
egyszer¶bb modellek esetén zárt képlettel számolhatók a kötvényárfolyamok, illetve meghatározható a kamatlábak eloszlása. Hátrányuk, hogy ezzel szemben a valós kereskedés diszkrét idej¶ és az árfolyamok mozgása is diszkrét nagyságú, így gyakorlati szemszögb®l a folytonos folyamatokat diszkretizálni kell. A nagyfrekvenciájú kereskedés (HFT, High Frequency Trading) megjelenésével azonban a diszkrét lépésközök
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
3
egyre kisebbek, így a folyamatok egyre jobban közelítenek a folytonoshoz. A diszkrét modellek hátránya, hogy az id®közök megválasztása önkényes, ami befolyásolhatja a modell eredményeit, el®nye viszont a könny¶ interpretálhatóság és érthet®ség. Jelen dolgozatban a komplexebb, folytonos modellekkel foglalkozom els®dlegesen. A hozamgörbe felhasználásának két területét említi Bolder (Bolder, 2006):
a
kamatláb derivatívák árazását és a kockázatkezelést. Az el®bbi esetén a görbe dinamikájának leírása a rizikósemleges, vagy martingál mérték szerint történik, így arra nincsenek hatással a befektet®k kockázati preferenciái. Kockázatkezelésnél ez nem lenne járható út, így ott a dinamika felírása a valós mérték szerint történik. A két lehetséges cél szerint megkülönböztethet®k arbitrázsmentes és egyensúlyi hozamgörbe modellek. Az arbitrázsmentes családba tartozó módszerek az egy adott id®pontra való tökéletes illeszkedésre összpontosítanak, ezáltal kizárva az arbitrázs lehet®ségét, ami elengedhetetlen árazási szempontból.
Ebbe a csoportba tartozik
többek között a diszkrét Ho-Lee (Ho és Lee, 1986), a Heath-Jarrow-Morton (Heath, Jarrow és Morton, 1992) és a Hull-White (Hull és White 1994a, illetve Hull és White 1994b) modell. Az egyensúlyi modellek a pillanatnyi kamatláb dinamikája alapján a hozamgörbe többi pontját a kockázati prémiumra vonatkozó feltételezések alapján határozzák meg. Idetartozik például a Merton (Merton, 1973) és a két legismertebb a n modell, a Vasicek (Vasicek, 1977) és a CIR (Cox, Ingersoll és Ross, 1985). Az arbitrázsmentes és az egyensúlyi modellek el®nye az analitikus számolhatóság és az elméleti megalapozottság, az el®rejelzésben azonban gyengén teljesítenek (Duee, 2002). Az eddig említett elméleti modellekr®l Yu (Yu, 2012) ad részletes összefoglalót. Kockázatkezelési szempontból a jöv®beli hozamok becslése kiemelt jelent®ség¶, ezért a dolgozatban els®dlegesen az emprikus modelleket mutatom be részletesen. Egyszer¶sége és értelmezhet®sége miatt alapvet® a dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006), mely a korábban említett Nelson-Siegel modell id®függ® változata. De Pooter (De Pooter, 2007) összefoglalja a Nelson-Siegel modellcsalád egyes tagjait, míg Bolder (Bolder, 2006) elméleti és empirikus modelleket hasonlít össze egy általa választott szempontrendszer alapján, például egy egyszer¶ portfólió optimalizálási feladat alapján. A Nelson-Siegel modell közvetlenül nem illeszthet® be a korábban említett, Dai és Singleton (2000) által rendszerezett a n modellek közé (Diebold, Ji és Li, 2006a), az eredeti modell módosításával azonban megtehet® (Christensen, Diebold és Rudebusch, 2011).
Az így kapott a n arbitrázsmentes
NelsonSiegel modellt általánosítja Yu (2012) két deviza esetére. A hozamgörbe volatilitását három látens faktor szinte teljesen magyarázza (Litterman és Scheinkman, 1991), így a három faktoros modellek a leggyakrabban el-
1. FEJEZET. BEVEZETÉS
4
terjedtek, ráadásul a faktoroknak közgazdasági értelmet is lehet adni (szint, meredekség, görbület).
Eltérés, hogy míg az a n modellek esetén a faktorok a rövid
kamatot határozzák meg, addig a Nelson-Siegel típusú modelleknél a teljes hozamgörbét. Empirikus tapasztalatok azt mutatják, hogy az el®bb említett nem meg gyelhet® változók mellett meg gyelhet® makrováltozók (például in áció, alapkamat) használata javítja a modell eredményeit. Ezért a 2000-es években mind az elméleti modellek (Ang és Piazzesi, 2003), mind az empirikus modellek esetén (Diebold, Rudebusch és Aruoba, 2006b) születtek a makrogazdaság alakulását gyelembe vev® modellek.
Bolder és Liu (2007) összehasonlító elemzésében elméleti és empirikus
makro-hozam modellek teljesítményét hasonlítja össze. Dolgozatomban áttekintem a külföldi adósságkezel®k és nemzeti bankok gyakorlatát (Bank for International Settlements (BIS), 2005) és a szakirodalomban korábban megjelent hazai (Reppa, 2009, illetve Kopányi, 2009) és regionális (opov és Seidler, 2011) empirikus eredményeket is. Dolgozatom felépítése a következ®. A második fejezetben összefoglalom a kötvényekkel és azok árazásával kapcsolatos elemi ismereteket. A következ® két fejezetben bemutatom a becsült és elméleti árfolyamok eltérését számszer¶sít® mutatószámokat, illetve különböz® görbeillesztési technikákat.
Két csoporttal foglalkozom, a
spline illesztésekkel és a Nelson-Siegel típusú modellekkel. Az ötödik fejezetben a magyar adatok alapján 2014.03.31-ére illesztek hozamgörbét Excel segítségével, illetve az R statisztikai programmal dinamikusan a 2003.01.01. és 2013.12.31. közti id®szakra. Dolgozatom ábráit az ÁKK honlapján elérhet® adatokra támaszkodva, saját számítások alapján, Matlabbal készítettem.
2. fejezet
A hozamgörbe és a kötvényárazás
A kamatlábmodellek egy adott id®pontra a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamokat ábrázolják, valamint azok id®beni fejl®dését írják le. Egy id®pillanatra többféle görbe is meghatározható, melyek ugyanazt az információt hordozzák, a következ®kben röviden a diszkontfüggvényt, a hozamgörbét és a forwardgörbét tekintem át.
2.1. A kamatlábak lejárati szerkezete A kötvénypiacok legegyszer¶bb épít®elemei a kockázatmentes diszkontpapírok, vagy elemi kötvények. Ezek árfolyama a jöv®beli kockázatmentes 1 egység¶ ki zetés jelenlegi értékét mutatják. Jelölje kötvény árfolyamát diszkontfüggvény.
t-ben,
a
p(t, T )
T
a
id®pillanatban
d(t, ·) : s 7→ p(t, t + s)
1
egységet zet® elemi
hozzárendelés az árfolyam- vagy
Az arbitrázsmentességhez szükségesek a függvényre vonatkozó
kikötések (Makara, 1998), azaz
d(t, 0) = 1
d(t, ·)
d(t, ·) > 0.
monoton csökken®
p(T, T ) = 1,
Az elemi kötvény de níciója alapján számolva, a
T −t
futamidej¶ elemi kötvény
r(t, T )
így folytonos kamatozással
azonnali hozamára
t-ben:
p(t, T )er(t,T )(T −t) = 1, log p(t, T ) . T −t A magyar terminológiában használatos az Y (t, T ) kamattömeg fogalma (Medver(t, T ) = −
gyev és Száz, 2010), mely az
Y (t, T ) = r(t, T )(T − t) 5
mennyiséggel egyezik meg, és
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
6
ezzel a kötvény
p(t, T ) = e−Y (t,T ) árfolyama könnyebben értelmezhet®vé válik. A kés®bbi egységes jelölés miatt azonban a kamattömeg tényez®it a dolgozatban mindig kiírom. A továbbiakban hozam alatt, ha külön nem említem, loghozamot értek.
R(t, ·) : s 7→ r(t, t + s)
Az
függvényt nevezzük hozamgörbének, ez a piacon közvetlenül
nem gyelhet® meg. Ha a
T −t hátralév® lejárat 0-hoz tart, akkor az r(t) pillanatnyi
kamatot kapjuk, mely egy
t-ben
megkötött, azonnal megtérül® befektetés hozama.
Ez matematikailag a kötvényárfolyam logaritmusának lejárat szerinti deriváltjának értéke
t-ben,
így a L'Hospital szabály felhasználásával (Bolder, 2001):
log p(t, T ) 1 ∂p(t, T ) ∂ log p(t, t) = − lim =− . T →t T →t p(t, T ) T −t ∂T ∂t
r(t) = lim r(t, T ) = − lim T →t
Jelölje
f (t, S, T ) azt az [S, T ] id®szaki határid®s kamatlábat,
ban kötnek, majd tegyük fel, hogy t-ben befektetünk míg
T -ben ef (t,S,T )(T −S) -et t-beli, T -ben
darab
fog érni. A
T -beli
melyet a
p(t, S) egységet.
Ez
pénzáramlás megegyezik
lejáró elemi kötvény pénzáramlásával, így a
t
t id®pont-
S -ben 1-et,
ef (t,S,T )(T −S)
id®pontra vonat-
kozóan:
p(t, S) = ef (t,S,T )(T −S) p(t, T ), (T − t)r(t, T ) − (S − t)r(t, S) log p(t, T ) − log p(t, S) = . T −S T −S S → T határátmenettel kapott mennyiséget f (t, T ) pillanatnyi határid®s
f (t, S, T ) = − Az
kamatlábnak nevezzük, és a következ® alapján kapható az
F (t, ·) : s 7→ f (t, t + s)
forwardgörbe:
f (t, T ) = lim f (t, S, T ) = − S→T
A de níciók alapján látható, hogy A
∂ log p(t, T ) . ∂T
r(t) = f (t, t).
d(t, ·) diszkontfüggvény, az R(t, ·) hozamgörbe és az F (t, ·) forwardgörbe közti
ekvivalenciát a 2.1 táblázat tartalmazza, becslési szempontból azonban nem mindegy a választás. Ránézve az összefüggésekre látható, hogy a határid®s kamatláb és az azonnali hozam mikroökonomiai megfeleltetése a termelés marginális- és átlagköltsége (Svensson, 1994).
) r(t, T ) = − logTp(t,T −t
p(t, T ) = e
−r(t,T )(T −t)
p(t,T ) f (t, T ) = − ∂ log∂T
r(t, T ) = − T 1−t −
p(t, T ) = e
RT t RT t
f (t, u) du f (t,u) du
) f (t, T ) = r(t, T ) + (T − t) ∂r(t,T ∂T
2.1. táblázat. A diszkontfüggvény, a hozamgörbe és a forwardgörbe elemi összefüggései
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
7
A 2.1 ábrán látható az Államadósság Kezel® Központ által közölt,
1
2014.03.31-
ei hozamgörbe és az ebb®l számított diszkontfüggvény, illetve forward görbe.
Az
adósságkezel® eektív hozamokkal számol, így szükséges az adatokat az
rlog (t, T ) = log(1 + ref f (t, T )) T1 , . . . Tn
képlet alapján átszámítani. Az adatok a így a diszkontfüggvény a
diszkrét id®pontokban adottak,
p(t, Ti ) = e−r(t,Ti )(Ti −t) képlettel számolható, míg a forward-
görbét numerikus deriválással határoztam meg. A kezd®pontban haladó, a közbens® pontokban központi, a végpontban retrogád dierenciával, sorrendben:
f (t, T1 ) ≈ r(t, T1 ) + (T1 − t)
f (t, Ti ) ≈ r(t, Ti ) + (Ti − t)
r(t,Ti+1 )−r(t,Ti ) Ti+1 −Ti
+
r(t, T2 ) − r(t, T1 ) , T2 − T1
r(t,Ti )−r(t,Ti−1 ) Ti −Ti−1
2
f (t, Tn ) ≈ r(t, Tn ) + (Tn − t)
,
ahol
i = 2, . . . n − 1
és
r(t, Tn ) − r(t, Tn−1 ) . Tn − Tn−1 20
100
75
15
50
10
25
5
0 0.02
3.65
7.29
10.93
Hozam− és forwardgörbe (%)
Diszkontfüggvény (%)
Diszkontfüggvény Hozamgörbe Forwardgörbe
0 14.57
Lejárat (év)
2.1. ábra. A 2014.03.31-ei hozamgörbe, diszkontfüggvény és forwardgörbe A 2.1 ábra alapján a március végi hozamgörbe emelked® volt, illetve a diszkontfüggvény megfelel az arbitrázsmentességhez szükséges függvényalaknak. Ha minden lejáratra van elemi kötvény, akkor azok árfolyamaiból megkapható a diszkontfüggvény és így a hozamgörbe.
A feltevés azonban nem igaz, egyrészt
az elemi kötvények futamideje általában éven belüli, másrészt a lejárat összessége diszkrét halmaz. A magyar kötvénypiacon kockázatmentes elemi kötvénynek a diszkont kincstárjegy tekinthet®. Ezek a Magyar Állam által kibocsátott névre szóló, dematerializált, nem kamatozó értékpapírok, melyek alapvet®en 3 és 12 hónapos futamid®vel, névérték alatt kerülnek kibocsátásra.
Ahogy a 2.2 ábra mutatja, az
1 http://akk.hu/zerokupon.ivy?public.cat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E-
ltergroup=user3 (letöltve 2014.04.11-én)
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
8
12 11 10
Lejárat (hónap)
9 8 7 6 5 4 3 2013.01.01
2013.07.01
2013.12.21
Dátum (nap)
2.2. ábra. A napi DKJ adatok lejárat szerinti megoszlása
Els®dleges forgalmazók árjegyzése alapján jellemz®en naponta 5 diszkont kincstárjegy árfolyama áll rendelkezése, a legrövidebb futamid® 3 hónapos. Az elemi kötvények alacsony száma miatt ezért numerikus módszereket alkalmaznak a zérókupon hozamok meghatározására, ezt nevezik összefoglalóan a hozamgörbe becslésének. Ezen eljárások a kockázatmentesnek tekinthet® állampapírok diszkontkincstárjegy és államkötvény árfolyamaiból határozzák meg a hozamgörbét. Jelenleg 3, 5, 10 és 15 éves futamidej¶ államkötvények kerülnek kibocsátásra. A 2.3 ábra alapján egy adott napon jelenleg általában 15 x kamatozású kötvényre jegyeznek árfolyamot. 16
14
12
Lejárat (év)
10
8
6
4
2
0 2013.01.01
2013.07.01
2013.12.21
Dátum (nap)
2.3. ábra. A napi államkötvény adatok lejárat szerinti megoszlása
A következ®kben áttekintem a kamatozó kötvényekkell kapcsolatos elemi számításokat.
2.2. Kötvényárfolyam A kamatozó kötvényeket megkülönböztethetjük a kamat zetés típusa, gyakorisága és konvenciója szerint.
Típusa lehet x vagy változó kamatozású, el®bbi esetben
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
9
minden ki zetéskor a névérték egy el®re meghatározott százaléka (kuponráta) kerül ki zetésre.
A magyar államkötvények esetén a változó kamatot a három hónapos
diszkontkincstárjegy hozamából, a fogyasztói árindex változásából, vagy a BUBORból származtatják. A kamat zetés jellemz®en félévente vagy évente történhet, Magyaroszágon 2003 óta csak éves kamatperiódusú államkötvényeket bocsátanak ki. A kamatkonvenció a két ki zetés között eltelt id® számításának módszertanát határozza meg. A következ® jelölésekkel ACT: tényleges napok száma 360: az évet 360 naposnak tekinti 365: az évet 365 naposnak tekinti a magyar diszkontkincstárjegyek esetén a konvenció ACT/360, míg az államkötvényeknél ACT/ACT (a lakossági állampapírok, például a kamatozó kincstárjegy esetén jellemz® az ACT/365 is). A kamatkonvenció mind a kötvények felhalmozott kamatára, mind árfolyamára hatással van. A kamatozó kötvények esetén a rendszeres kupon zetés miatt az árfolyam az egyes diszkontált pénzáramlások összege. Tegyük fel, hogy az lásait (kamat és t®ke zetés) a id®pontok és a
i.
kötvény pénzáram-
t = {ti,1 , ti,2 , . . . ti,ni } (t ≤ ti,1 ≤ · · · ≤ ti,ni = T )
c = {ci,1 , ci,2 , . . . ci,ni }
ki zetés nagyságok írják le. Ekkor ezen pénz-
áramlásokat tekinthetjük elemi kötvények portfóliójának, ahol a ki zetés nagysága a darabszám. Így az
i.
kötvény árfolyamára:
Pi (t, r) = Pi (t, T, t, c, r(t, ·)) =
ni X
ci,j p(t, ti,j ) =
j=1
ni X
ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) .
(2.1)
j=1
Természetesen diszkont kincstárjegyek esetén is igaz a képlet, ott egy pénzáramlás van, a lejáratkori t®ke vissza zetés. Adott napra vonatkozóan az Els®dleges forgalmazók árjegyzése alapján az Államadósság Kezel® Központ két árfolyamot közöl, egy
Pibid (t, r)
zük az
si =
vételi és egy
Piask (t, r)
eladási árfolyamot, a kett® közti sávot nevezz-
Piask (t, r) − Pibid (t, r) bid-ask spreadnek. Az elméleti kötvényárfolyamra
teljesülnie kell, hogy
Pibid (t, r) ≤ Pi (t, r) ≤ Piask (t, r), ezt több hozamgörbe is kielégítheti.
Pimid (t, r) = (Pibid (t, r) + Piask (t, r))/2 Tegyük fel, hogy ezek árfolyamát
N
t-ben.
A továbbiakban egy kötvény árfolyamán a középárfolyamot értem.
kötvényünk van és fel szeretnénk írni mátrixos formában Ehhez létre kell hozni egy
mátrixot, melynek sorai az összes lehetséges
{Ci,j }i=(1,...,K),j=(1,...,N )
t1 , t2 , . . . tK
ki zetés
id®pont és az oszlopai az
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
értékpapírok. Azaz a mátrix i. sorának mekkora pénzáramlás tartozik a
( Ci,j = A
C
ti
j.
10
eleme megmutatja, hogy a
j.
kötvényhez
id®pontban:
ci,k
ha
ti = tj,k
0
különben.
valamilyen
k -ra,
mátrix ritka, ugyanis az oszlopokban körülbelül a kötvény hátralév® fu-
tamidejével (évben) egyez® elem nem nulla (éves kamat zetés esetén), míg a kamat zetések idejének nem kell egybeesni, így a sorok száma nagy is lehet. Például 2014.03.31-ére vonatkozóan a cash- ow mátrix 69 sorból és 19 oszlopból állt
2
, az
1311 eleméb®l pedig csupán 89 nem volt nulla. Legyen továbbá vektora, és
p = (P1 , P2 , . . . PN )T T
d = (d1 , d2 , . . . dK )
az egyes kötvények árfolyamának oszlop-
a diszkonttényez®k oszlopvektora, azaz
di = p(t, ti ).
Ezekkel a jelölésekkel
P1
C1,1
C1,2
···
C1,N
T
P2 C2,1 C2,2 · · · C1,N . = . . . .. . . .. .. . . . PN CK,1 CK,2 · · · CK,N
d1
d2 . , .. dK
p = C T d. A kés®bbi fejezetekben az R statisztikai program
(2.2)
termstrc
csomagját is hasz-
nálom (Ferstl és Hayden, 2010), így megemlítem, hogy ott hogyan számítják a vektort. Meghatároznak egy
Cˆ
p
cash- ow mátrixot, mely oszlopaiban az egyes kötvé-
nyek pénzáramlásai szerepelnek egymás után, és az ezekhez tartozó diszkontfaktorok
ˆ D
mátrixát. Így legyen
L = max1≤i≤N ni ,
azaz a legtöbb kamat- és t®ke zetéssel
rendelkez® kötvény cash ow-inak száma, továbbá
( Cˆi,j =
i ≤ ni ,
cj,i
ha
0
különben.
Ekkor
p1
T
p2 . .. pN
T 1 1 = . .. 1
Cˆ1,1 Cˆ1,2 · · · Cˆ1,N d1,1 d1,2 · · · d1,N Cˆ2,1 Cˆ2,2 · · · Cˆ2,N d2,1 d2,2 · · · d2,N . . . · . . . , . . . .. . . . .. . .. . . . . . ˆ ˆ ˆ CL,1 CL,2 · · · CL,N dL,1 dL,2 · · · dL,N ˆ pT = 1T Cˆ · D,
2 Csak
(2.3)
a diszkont kincstárjegy és a x kamatozású államkötvény adatokat gyelembe véve.
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
11
· elemenkénti szorzást jelent és di,j = p(t, tj,i , ha i ≤ ni . 2014.03.31-ét ˆ és D ˆ mérete így 15-ször 19-es, és az 585 elemb®l 89 nem nulla. tekintve C ahol
Összefoglalva, a
p
kiszámításához a 2.2 képlet használatával
m¶veletre (szorzás és összeadás) van szükség, míg a 2.3 esetén
(K · K + K) · N
L · N + (L · L + L) · N -
re. Egy tipikus napra (2014.03.31.) vonatkozóan ez azt jelenti, hogy az els® esetben
(69 · 69 + 69) · 19 = 91770,
míg a második esetben
15 · 19 + (15 · 15 + 15) · 19 = 4845
m¶veletre van szükség, így a második módszer gyorsíthatja a becslést.
2.3. Benchmark kötvények A kötvények árfolyamával ekvivalens módon megadható az
yi (t)
lejáratig számított
hozama, vagy másnéven bels® megtérülési rátája. Ez az a konstans kamatláb, amely mellett a pénzáramlások jelenértéke éppen az árfolyammal egyezik meg.
Pi (t, yi ) = Pi (t, T, t, c, yi (t)) =
ni X
ci,j e−yi (t)(ti,j −t) .
(2.4)
j=1 A legtöbb esetben a lejáratig számított hozamot analitikusan nem lehet meghatározni, csak numerikusan, például a NewtonRaphson módszerrel.
A lejáratig
számított hozamok a kötvények közti összehasonlítást segítik, a hozamgörbét azonban nem határozzák meg.
Egyrészt a 2.1 és a 2.4 egyenletekb®l látszik, hogy a
lejáratig számított hozam az azonnali hozamok súlyozott átlaga, másrészt az értéke a kuponráta függvénye. Ez utóbbit nevezik kuponhatásnak, azaz az azonos lejáratú kamatozó kötvények bels® megtérülési rátája a kuponráta nemlineáris függvénye.
3 hónap 6 hónap 12 hónap 3 év 5 év 10 év 15 év
Effektív hozam (százalékpont)
14
12
10
8
6
4
2 2003.01.02
2005.10.17
2008.08.12
2011.05.31
2014.03.31
Dátum (nap)
2.4. ábra. A benchmark hozamok alakulása A referencia hozamgörbe, melyet az Államadósság Kezel® Központ minden napra közöl, kitüntetett lejáratokhoz tartozó kötvények lejáratig számított hozamát
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
szemlélteti.
12
Így a 3, 6, 12 hónapos és a 3, 5, 10, 15 éves benchmark kötvények
árfolyamának alakulását láthatjuk a 2.4 ábrán 2003.01.02.
és 2014.03.31.
között.
Meg gyelhet®ek hozamemelkedéssel járó állampapírpiaci zavarok, melyek a forint gyengülésének és a külföldiek állampapír eladásának (2003), a likviditás kiapadásának (2008), illetve a hitelmin®sít®k általi bóvli kategóriába sorolás (2011) következményei voltak. Látható a különböz® lejáratú benchmark hozamok együttmozgása, különösen a diszkont kincstárjegyek esetén. Az összes hozam szétválása (2004 eleje és 2013 végét®l) emelked®, míg a rövid és hosszú lejáratok kettéválása meredek hozamgörbére utal.
2.5. ábra. A benchmark hozamok korrelációja A rövid hozamok közti er®s, pozitív kapcsolatot jelzi számszer¶leg a 2.5 ábra, melyen az egyes lejáratok benchmark hozamai közti korrelációk szerepelnek. Habár itt külön nem szerepel, de a zérókupon hozamok vizsgálatával is hasonló eredményeketre juthatunk. A korrelációk magas szintje mutatja, hogy a benchmark, illetve zérókupon hozamokat kevesebb faktorral is le lehet írni, a hozamgörbét leíró faktorokról a 4.4 részben lesz szó.
2.4. Az átlagid® és a módosított átlagid® Az árfolyam és a lejáratig számított hozam megváltozása közti kapcsolat számszer¶sítéséhez határozzuk meg el®ször
Pi (t, yi ) yi (t)
szerinti félrugalmasságát loghoza-
mokra:
ni ni X X ∂Pi (t, yi ) ci,j e−yi (t)(ti,j −t) P V (ci,j ) /Pi (t, yi ) = − (ti,j − t) =− (ti,j − t) , ∂yi (t) Pi (t, yi ) Pi (t, yi ) j=1 j=1 ahol
P V (·) a jelenértéket jelöli.
(2.5)
Eektív hozamok esetén a következ®képpen módosul
az összefüggés:
∂Pi (t, yi ) /Pi (t, yi ) = ∂yi (t) ni ni ci,j P V (ci,j ) 1 X 1 1 X =− (ti,j − t) = − (t − t) . i,j t −t 1 + yi j=1 (1 + yi ) i,j Pi (t, yi ) 1 + yi j=1 Pi (t, yi )
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
A
Pni
j=1 (ti,j
P V (c
)
− t) Pi (t,yi,ji )
rugalmasság ellentettjét
összeget nevezzük Macaulay-féle
Di∗
Di
13
átlagid®nek és a fél-
módosított átlagid®nek. Az átlagid® a két esetben meg-
egyezik, a módosított átlagid® loghozamok esetén
Di∗ = Di , míg eektív hozamokra
Di∗ =
1 Di . 1 + yi
2 1.5
Változás (százalékpont)
1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 Árváltozás Becsült árváltozás
−3 2014.01.02
2014.01.23
2014.02.14
2014.03.07
2014.03.31
Dátum (nap)
2.6. ábra. Az árfolyamváltozás közelítése módosított átlagid®vel A de níció alapján az átlagid® a jöv®beli pénzáramlások hátralév® idejének súlyozott átlaga, ahol a súlyozás a pénzáramlások jelenértékének árfolyamhoz viszonyított aránya alapján történik. A félrugalmasság, és így a módosítot átlagid® azt mutatja meg, hogy mekkora a kötvény árfolyamában történ® változás (százalékban) a lejáratig számított hozam egységnyi változása esetén.
Ez alapján a módosított
átlagid® az árfolyam hozamérzékenységét mutatja, minél nagyobb, annál nagyobb a kötvény kamatlábkockázata. Az el®bbi jelölésekkel így az els®rend¶ Taylor-sorfejtés alapján
∂Pi (t, yi ) ≈ −Di∗ Pi (t, yi )∂yi . A 2.6 ábrán a 2028/A államkötvény 2014 márciusi bruttó vételi árváltozásai szerepelnek az el®z® közelítéssel. Látható, hogy az approximáció viszonylag közeli eredményeket ad, de a hibák természetér®l még nem árul el sokat.
A 2.7 pontdi-
agramon már meg gyelhet®, hogy az árfolyamváltozás nagyságával n® a hiba abszolútértéke is (igazából minden esetben alulbecsüljük az árfolyam változását). Az árfolyamváltozás és a hibák között másodrend¶ kapcsolat van, ami legalább másodrend¶ Taylor-sor használatának (a második deriváltat konvexitásnak nevezzük) szükségességét jelzi. A magasabb hibanagyságok csütörtöki napokhoz tartoznak, a
2. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE ÉS A KÖTVÉNYÁRAZÁS
14
két munkanappal kés®bbi elszámolás miatt így igazából a többivel ellentétben nem egynapos, hanem háromnapos az árfolyamváltozás. Az ábrán azért maradtak mégis rajta, mert az el®bbi meg gyelések ezekre is igazak. 0.08
0.07
Hiba (százalékpont)
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 −2.80
−0.38
0.02
0.59
2.28
Az árváltozás nagysága (százalékpont)
2.7. ábra. Az árfolyamváltozás közelítésének hibája
Az el®bbiek alapján az átlagid® a vízszintes hozamgörbe kismérték¶, párhuzamos eltolódása esetén méri jól a kockázatot. Ha a zérókupon hozamgörbét használjuk a diszkontáláshoz, akkor a Fischer-Weil átlagid®t kapjuk, melyre loghozamok esetén
Di,F W
ni X = (ti,j − t) j=1
1 ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) . Pi (t, yi )
Ebben a fejezetben áttekintettem a kötvények árazásához kapcsolodó alapfogalmakat, úgymint az árfolyam, a hozam- és forwardgörbe.
Bemutattam a magyar
államkötvények referencia hozamgörbéjéhez kapcsolódóan a benchmark kötvényeket és a lejáratig számított hozamot, majd a kamatlábkockázathoz tartozó legegyszer¶bb mutatószámot, az átlagid®t. Ezek ismeretében a következ® fejezetben már választ adhatok arra a kérdésre, hogy egy adott nap kötvényárfolyam adataiból hogyan lehet meghatározni a hozamgörbét.
3. fejezet
Az kötvényárazás hibája
A görbeillesztés során diszkrét id®pontok meg gyeléseihez keressük a pontokat minél jobban leíró folytonos függvényt.
Adott napra vonatkozó illesztés esetén azonban
több probléma is adódik. A korábban említettek alapján egyrészt kamatozó kötvény adatokat is fel kell használni a görbe meghatározásához, de a 2.2 és a 2.3 ábrák alapján csupán közel 20 futamid®re tudunk valós adatot meg gyelni. A másik, hogy két, egymást kiszorító cél van, a minél pontosabb illeszkedés és a simaság. Utóbbi a hozamgörbénél lényeges szempont, ugyanis nem kívánatosak az ugrások a görbében, két közeli lejárat között nem változik szigni kánsan a hozam.
Túl sima függvény
esetén azonban nem elég pontos a kötvényárfolyamok becslése, míg túl jó illeszkedés mellett, empirikus tapasztalatok alapján romlik a mintán kívüli becslés. A hozamgörbe becslésénél el®zetesen három kérdésben kell dönteni (Bliss, 1996): az árazó függvény alakja, a közelít® függvény típusa, a paraméterek becslésének módszertana. A választás a végs® eredményeket is befolyásolja, ezért a következ®kben ezeket részletesen is bemutatom, a fejezet további részében kalappal jelzem a becsült, elméleti mennyiségeket, míg a valós, meg gyelt árfolyamok kalap nélküliek.
3.1. Az árazó függvény A meg gyelt árfolyamok a becsült árfolyamok és egy hibatag összegei, azaz
Pi (t, r) = Pˆi (t, r) + it Ha nem vesszük gyelembe az adókat és az esetleges beágyazott opciókat (például visszaváltható és visszahívható kötvények), akkor a
15
Pˆi (t, r)
meghatározására a
3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA
16
legegyszer¶bb árazó függvény a 2.1 képlettel adható meg. A piacok tökéletlensége miatt azonban a gyakorlatban ez nem teljesül, általánosan a meg gyelt árfolyamokat a
Pi (t, r) = g(ci,j , r(t, tj )) + it összefüggéssel írhatjuk le. Ebben feltesszük, hogy
g(·)-n
(3.1) keresztül a kötvény árfo-
lyama az összes lényeges információt tartalmazza, így az elméleti és valós ár eltérése csupán zaj. Az
r(·)
illesztése úgy történik, hogy az
it
véletlen zaj valamilyen, el®re
meghatározott függvénye minimális legyen. A dolgozatban felteszem, hogy a kötvények árfolyamát az egyes pénzáramlások jelenértéke határozza meg (2.1 képlet), azaz
Pˆi (t, r) =
ni X
ci,j e−r(t,ti,j )(ti,j −t) + it .
(3.2)
j=1 Ez egyrészr®l megtehet®, ugyanis az állampapírok nem tartalmaznak semmilyen bels® opciót. Másrészr®l viszont így nem veszünk gyelembe olyan, az árfolyamra ható faktorokat, mint a likviditási prémium vagy akár az adatok min®sége. El®bbit a hibák likviditás szerinti súlyozásán keresztül beépíthetjük a modellbe, err®l kés®bb még lesz szó.
Lényegesen egyszer¶sítjük továbbá az állampapírpiacot az
adózási hatások kihagyásával.
Meg gyelhet® ugyanis, hogy a befektet®k adózási
szempontokhoz igazíthatják tranzakcióik idejét (tax-timing option) vagy a keresett termékek körét (tax-clientele).
Érdemes lehet ugyanis az árfolyamnyereség elha-
lasztásával és a veszteségek el®rehozatalával csökkenteni a zetened® adó mértékét (Makara, 2013). Magyarországon a kamatjövedelmeket terhel® egészségügyi hozzá-
1
járulás (EHO) 2013. augusztusi bevezetése
megváltoztatta a befektet®k szokásait,
ugyanis az az állampapírokat nem terheli, míg a bankbetéteket és a befektetési jegyeket igen. Az emiatti kereslet növekedés az állampapír piacon befolyásolta azok árfolyamát is. A külföldi szakirodalomban kiemelt szereppel bír McCulloch (1975) cikke, melyben a kötvény árfolyamokat korrigálta az adózással.
Vizsgálatai során
azt kapta, hogy az adózás gyelembe vétele csökkenti az illesztés által nem megmagyarázott varianciát, illetve meghatározta azt az adókulcsot, ami a modell keretei között legjobban magyarázza a meg gyeléseket (ebb®l kapva az adózás el®tti hozamgörbét).
3.2. A hiba mérése A hozamgörbe illesztésekor, ahogy el®bb említettem, minimalizálnak egy el®re de niált
h(·)
hibafüggvényt. Ez lehet például az árfolyamok vagy az azokból számított
1 http://www.kozlonyok.hu/nkonline/MKPDF/hiteles/MK13111.pdf
3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA
17
bels® megtérülési ráták különbségének függvénye, azaz a feladat a következ®:
min r(t,·) ahol
N
Pˆi (t, r),
N X
h(Pi (t, r) − Pˆi (t, r))
i=1
az árfolyamadatok száma a míg az
vagy
yi − yˆi
t
min
N X
r(t,·)
id®pillanatban.
h(yi − yˆi ),
i=1 3.1 alapján
it = Pi (t, r) −
már ennek függvénye. A következ®kben említett mér®számok
analóg módon átvihet®k a lejáratig számított hozamok különbségére is, így külön nem írom le. Az egyik legegyszer¶bb függvényalak az abszolútérték függvény, ezzel az
N 1 X |Pi (t, r) − Pˆi (t, r)| M AEt = M AE(t, P, r) = N i=1 átlagos abszolút eltérést kapjuk. Ahogy a neve is mutatja, ez átlagolja a meg gyelt és becsült értékek közti abszolút távolságokat. Ha a valós adatok között nagy volt az eltérés, akkor nehezen értelmezhet® az értéke. Az illeszkedés leggyakrabban használt mér®száma az átlagos négyzetes eltérés, melyre
v u N u1 X t (Pi (t, r) − Pˆi (t, r))2 . RM SEt = RM SE(t, P, r) = N i=1 Tehát az
RM SEt
négyzetre emeli a valós és elméleti árak közti távolságot, így
nagyobb hatással vannak rá az extrém meg gyelések. A kett® közti relációra teljesül a következ® egyenl®tlenség (Bolder és Gusba, 2002):
A magyar adatok száma
1 √ RM SEt ≤ M AEt . N √ alapján így RM SEt . 20M AEt ,
ezáltal valamelyest
összehasonlíthatóvá válik a két mér®szám. Egy hiba lehet abszolút értelemben nagy, de relatíve kicsi a kötvény árfolyamához képest. Ezért jobban értelmezhet® és stabilabb eredményeket ad, ha normalizáljuk a hibákat (Bolder és Rubin, 2007). Természetesen adódik normalizáló tényez®nek a kötvények meg gyelt árfolyama, azaz
N 1 X |Pi (t, r) − Pˆi (t, r)| sM AEt = N i=1 Pi (t, r)
v u N u1 X (Pi (t, r) − Pˆi (t, r))2 sRM SEt = t . N i=1 Pi (t, r) Ezzel az sMAE már értelmezhet® százalékos formában, minél kisebb ez az érték annál jobb az illeszkedés a meg gyelt és becsült árfolyamadatok között. Azaz, ha
3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA
18
3 hónap
6 hónap
12 hónap
3 év
5 év
10 év
15 év
Szórás (árfolyam)
6,66
6,37
6,34
7,51
8,38
10,77
12,17
Szórás (YTM)
2,12
2,09
2,04
1,79
1,52
1,12
0,97
3.1. táblázat. A benchmark kötvények árfolyamának és lejáratig számított hozamának (YTM) szórása százalékpontban
az sMAE értéke 1%, akkor átlagosan a becsült kötvényárfolyamok 1%-kal térnek el a piaci árfolyamoktól. Az
M AEt
és az
RM SEt
egyenl®en súlyozza az egyes hibákat, azonban a becsl®
preferenciái alapján elképzelhet®ek más súlyozások is.
Rövid távon sokkal több
meg gyelés áll rendelkezésre (ahogy a 2.3 ábrán is látható), mint hosszú távon. Másrészt, ahogy a 3.1 táblázat mutatja, a 2003.01.02. és 2013.12.31. közötti adatok alapján a hosszú lejáratú benchmark kötvények árfolyama jobban szóródik, mint a rövid lejáratúaké.
Ezek miatt a termék lejáratát tükröz® mér®számmal szükséges
az egyes hibák közti fontosságot meghatározni.
Legegyszer¶bb ilyen a hátralév®
futamid® reciproka, ezzel nagyobb súlyt helyezve az éven belüli meg gyelésekre, míg kisebbet az 5 éven túli, ritkább, volatilisebb adatokra. használva, azaz ti,ni jelöli az utolsó ki zetést (így az
A korábbi jelöléseket
i. kötvény lejáratát), a súlyozott
átlagos abszolút és négyzetes eltérés a következ®képpen kapható:
W M AEttn = PN
N X |Pi (t, r) − Pˆi (t, r)|
1 1
i=1 ti,ni i=1
v u u 1 = tP
W RM SEttn
ti,ni
,
N X (Pi (t, r) − Pˆi (t, r))2
N 1 i=1 ti,ni i=1
ti,ni
.
Az illesztési hibák heteroszkedaszticitását, illetve az árfolyamok és lejáratig számított hozamok közti elméleti kapcsolatot azonban a
Di∗
Macaulay-féle módosított
átlagid®vel való súlyozás ragadja meg a legjobban (Bliss, 1996). Ekkor
∗ W M AEtD
W RM SEtD
∗
1
= PN
N X |Pi (t, r) − Pˆi (t, r)|
1 i=1 Di∗ i=1
v u u 1 = tP
Di∗
,
N X (Pi (t, r) − Pˆi (t, r))2
N 1 i=1 Di∗ i=1
Di∗
.
Szükséges lehet, hogy a likvid papírok árfolyamát jobban közelítsük, mint a nem likvidekét.
A piaci likvidást méri a bid-ask spread, minél sz¶kebb a sáv, annál
pontosabb becslés szükséges.
Ezért a hibákat súlyozhatjuk az
si
bid-ask spread
3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA
19
reciprokával is, azaz
N X |Pi (t, r) − Pˆi (t, r)|
1 W M AEts = PN
1 i=1 si i=1
v u u 1 W RM SEts = t PN
si
,
N X (Pi (t, r) − Pˆi (t, r))2
1 i=1 si i=1
si
.
A benchmark kötvények tekinthet®k az állampapírpiacon a leglikvidebb termékeknek, így azok meg gyelt árfolyamáról feltételezhet®, hogy legpontosabban jelzik az elméleti árfolyamot. Ahhoz, hogy az ezekhez tartozó hibatagok minél kisebbek legyenek, beszorozhatjuk ezek súlyait egy olyan
K
konstanssal, amely mellett a
benchmark kötvények közelítése már megfelel® pontosságú (Bolder és Gusba, 2002). A négyzetes hibákat felírhatjuk mátrixos formában is, mellyel jobban értelmezhet®vé válik. Például a módosított átlagid®vel súlyozott négyzetes átlagos eltérésre ∗
W RM SEtD =
P1 (t, r) − Pˆ2 (t, r)
T
. . = . PN (t, r) − PˆN (t, r)
1 D∗ PN 1 1 i=1 D ∗ i
···
0
. . .
..
. . .
0
···
.
1 D∗ N
PN
1 i=1 D ∗ i
P1 (t, r) − Pˆ2 (t, r) . . . . P (t, r) − Pˆ (t, r) N N
Eddig mindig olyan hozamgörbét kerestünk, mellyel a legjobban közelítjük a meg gyelt középárfolyamokat. Egyfel®l a középárfolyam használatával elveszítjük a felhasználható adatok egy részét, a vételi és eladási árfolyamokat (bid-ask spread súlyozás esetén egy részét meg®rizzük viszont).
Másfel®l félreárazást csak akkor
lehet kihasználni, ha a számított árra
Pˆi (t, r) ≤ Pibid (t, r)
vagy
Piask (t, r) ≤ Pˆi (t, r). Pˆi (t, r) Pi (t, r) − Pˆi (t, r)
Tehát becslés esetén lényegében tekinthetjük csupán azt is hibának, ha nem esik a vételi és eladási árfolyam közé (Bliss, 1996), így nem a (vagy
yi − yˆi )
maga is
it
függvényét minimalizáljuk, hanem a következ® kifejezését (ami már
függvénye):
ask ˆ Pi (t, r) − Pi (t, r) ∗it Pibid (t, r) − Pˆi (t, r) 0
ha ha
Piask (t, r) ≤ Pˆi (t, r), Pˆi (t, r) ≤ P bid (t, r), i
(3.3)
különben.
Egy illesztés sikerességét mérhetjük azzal is, hogy a meg gyelések hanyadrészénél 0 a hiba az el®z® de nícióval, Bliss (Bliss, 1996) ezt nevezi találati aránynak. Lehetséges további mér®szám az olcsó arány (felülbecsüljük az eladási árat) és a drága arány (alulbecsüljük a vételi árfolyamot).
3. FEJEZET. AZ KÖTVÉNYÁRAZÁS HIBÁJA
20
3.3. A hibatagokra vonatkozó vizsgálatok Ha élünk az árazófüggvényre vonatkozó egyszer¶sít® feltételezéssel, akkor szükséges megvizsgálni, hogy a reziduálisok valóban véletlen zajok-e és korrelálatlanok-e más faktorokkal. Ehhez kapcsolódóan Bliss (Bliss, 1996) három lehet®séget javasol, ezeket mutatom be röviden a következ®kben. Ha az árazó egyenletet helyesen határoztuk meg és az árazási hibák valóban véletlen zajok, akkor egy kötvény egymást követ® id®szaki becslése során kapott hibák között nincs kapcsolat.
Az
it
illeszkedési hibákat három kategóriába sorolhatjuk
el®jelük szerint. Ha véletlenek voltak, akkor ezeknek a kategorizált változóknak is annak kell lenniük. Az els® módszer szerint megnézzük az egymást követ® id®szakok kategorizált hibáinak átmenetmátrixát, melynek sorai a
t.
t − 1.,
míg oszlopai a
id®szaki hibák el®jelei. A mátrix egyes elemei pedig a feltételes valószín¶ségek,
azaz például, hogyha a
t − 1.
a következ®ben negatív.
id®szakban pozitív volt a hiba, mekkora eséllyel lesz
Ha a mátrix oszlopösszegei nem egyeznek meg annak a
feltétel nélküli valószín¶ségével, hogy a hiba negatív, nulla, vagy pozitív, akkor azok nem véletlenek. Ez pedig azt jelenti, hogy vannak olyan tartósan fennálló faktorok, melyeket az árazó egyenlet nem ragad meg. Ha több módszerrel is elvégezzük a becslést, akkor az árazó egyenlet helyessége esetén a hibák el®jelének a módszert®l függetlennek kell lenniük.
A vizsgálatot
az el®z® módszerhez hasonlóan egy feltételes valószín¶ségeket tartalmazó mátrix alapján végezhetjük. Ha a módszerek hibáinak el®jele között nincs kapcsolat, akkor arra következtethetünk, hogy a meg gyelt eltérések más okból származnak az egyes módszerek esetén, például a következ® részben említend® közelít® függvény helytelen megválasztásából.
Ha magas az egyik módszer magyarázó hatása, akkor a hibák
adat-, és nem módszerspeci kus faktorokból származnak. A harmadik módszer a hibák regressziójára épül, azaz különböz® faktorokkal próbáljuk azokat magyarázni. Magyarázó változó lehet péládul a kibocsátás óta eltelt vagy lejáratig hátralév® id® (lejárati prémium), a fennálló állomány vagy a bid-ask spread (likviditási prémium). A regresszió R-négyzet értéke alapján következtethetünk a faktor szükségességére, azonban nem várható el nagy magyarázó er®, ugyanis ezen faktorok általában nem lineárisan hatnak a kötvény árfolyamára.
4. fejezet
A hozamgörbe közelítése
A következ®kben a közelít® függvény lehetséges alakjait tekintem át. El®ször felteszem, hogy adottak egyes lejáratokra a diszkontfaktorok (és így hozamok) és ezekre szeretnénk diszkontfüggvényt illeszteni. Ha ez sikerül, akkor abból már rögtön adódik a hozamgörbe is.
A korábbi jelöléssel ellentétesen a továbbiakban legyen egy
adott id®pont becsült diszkontfüggvénye
d(t, τ ).
4.1. Interpoláció A görbeillesztés matematikailag egy interpoláció, tegyük fel, hogy ismerjük a diszkontfüggvény (de lehet a forward- vagy hozamgörbe is)
{Dt,0 , Dt,1 , . . . , Dt,N } értékeit a különböz®
{τt,0 , τt,1 , . . . , τt,N } lejáratokra.
Általánosan a feladat ekkor lehet például a többi pontbeli érték, a
függvény deriváltjának vagy integráljának meghatározása, így biztosítva átjárást a hozamgörbe különböz® alakjai között (Faragó és Horváth, 2013). Ezek megoldásához általában olyan, a melyekre
[τt,0 , τt,N ]
d(t, τt,i ) = Dt,i ,
intervallumon folytonos
d
függvényeket keresünk,
és ezekre végezzük el a kívánt m¶veletet. Ilyen lehet pél-
dául a lépcs®s, a szakaszonként lineáris, a polinomiális, a szakaszonként polinomiális (spline) és az exponenciális függvény. Lineáris illesztés esetén egyszer¶en
d(t, τ ) = Dt,i +
Dt,i+1 − Dt,i (τ − τt,i ), τt,i+1 − τt,i
ha
τt,i ≤ τ < τt,i+1 .
τt,i
pontokban általában nem is deriválható, ami a forward görbe meghatározásához
Az így kapott diszkontfüggvény azonban nem sima, az adott
szükséges volna.
21
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
Jobb megoldás, ha a keresett
d(t, τ )
22
függvény formája polinom, azaz
d(t, τ ) =
N X
at,k τ k .
k=0 Ekkor minden
i-re teljesülnie kell, hogy d(t, τt,i ) = Dt,i , azaz mátrixos 2 N 1 τt,0 τt,0 · · · τt,0 a D t,0 t,0 1 τt,1 τ 2 · · · τ N at,1 Dt,1 t,1 t,1 . . . . . = . . . . . .. . . .. . . . . . . 2 N 1 τt,N τt,N · · · τt,N at,N Dt,N
formában
(4.1)
Az egyenlet könnyen megoldható az együttható mátrix invertálásával. Mivel a
1
mátrix Vandermonde-mátrix , illetve az id®pontok különböz®ek, így az invertálás mindig elvégezhet®. fokú polinom.
Ez alapján
N +1
meg gyelésre mindig illeszthet® egy
N -ed
A gyakorlatban az együtthatók ilyen módon való meghatározása
a Vandermonde-mátrix gyenge kondícionáltságából következ® nagy approximációs hiba miatt nem javasolt (Bolder és Gusba, 2002). Az
N +1
dimenziós polinomok terében természetes bázis az el®bbi
1, τ, . . . , τ N .
Ennek használatával jutottunk a mátrix invertálási problémához, ami a gyakorlatban nem használható. következ®
N +1
Jobb választás a Lagrange-polinomokból álló bázis, melyet a
függvény alkot (k
lk (t, τ ) =
∈ {0, . . . N }):
(τ − τt,0 ) . . . (τ − τt,k−1 )(τ − τt,k+1 ) . . . (t − τt,N ) . (τt,k − τt,0 ) . . . (τt,k − τt,k−1 )(τt,k − τt,k+1 ) . . . (τt,k − τt,N )
Ezek lineáris kombinációjaként adódik az interpolációs polinom, azaz a becsült diszkontfüggvény:
d(t, τ ) =
N X
Dt,k lk (t, τ )
k=0 Ezen módszerek hátránya, hogy a meg gyelések számával közel azonos fokú polinommal közelítjük a diszkontfüggvényt, ami 20 pont esetén már a görbe ingadozását is eredményezheti. Ennek következménye egymáshoz közeli lokális széls®értékek, ami irreális forwardgörbéhez vezet (Makara, 2013). Természetes ötlet, hogy szakaszonként kisebb fokú polinommal közelítsünk, például spline módszerrel.
4.2. Spline illesztés Legyenek a szakaszhatárok (csomópontok) esnek egybe a
1 Azaz
τt,i
{kt,0 , kt,1 , . . . , kt,l },
ezek nem feltétlenül
id®pontokkal, s®t a számuknak sem kell megegyezniük. Legyen
determinánsára det(V ) =
Q
1≤i<j≤N (τj
− τi ).
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
S(t, τ )
23
szakaszonként harmadfokú polinomokból álló függvény, azaz
S1 (t, τ ) = at,1 + bt,1 (τ − kt,0 ) + · · · + dt,1 (τ − kt,0 )3
ha
kt,0 ≤ τ ≤ kt,1 ,
S2 (t, τ ) = at,2 + bt,2 (τ − kt,1 ) + · · · + dt,2 (τ − kt,1 )3
ha
kt,1 ≤ τ ≤ kt,2 ,
ha
kt,l−1 ≤ τ ≤ kt,l .
. . .
Sl (t, τ ) = at,l + bt,l (τ − kt,l−1 ) + · · · + dt,l (τ − kt,l−1 )3
(4.2)
S(t, τ )-t
akkor nevezzük spline függvénynek, ha az egyes szakaszok illeszked-
nek a csomópontokban (folytonosság) és kell®en simák (els® és második deriváltja folytonos). Továbbá, mivel interpolációról van szó, így a értékeknek
Dt,i -vel
τt,i
id®pontokban felvett
kell megegyezniük. Formálisan, ha kielégíti a következ® feltéte-
leket: -
S(t, τt,i ) = Dt,i , i ∈ {0, . . . N }
Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i ), i ∈ {1, . . . l − 1}
Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i )
0
0
és
Látható 4.2 alapján, hogy alapján
N +1
00
00
Si (t, kt,i ) = Si+1 (t, kt,i ), i ∈ {1, . . . l − 1}. 4l
paramétert kell meghatározni.
Az els® feltétel
egyenletet írhatunk fel a következ®képpen
at,j + bt,j (τt,0 − kt,j−1 ) + · · · + dt,j (τt,0 − kt,j−1 )3 = Dt,0
kt,j−1 ≤ τt,0 ≤ kt,j
ahol
. . .
at,j + bt,j (τt,N − kt,j−1 ) + · · · + dt,j (τt,N − kt,j−1 )3 = Dt,N A folytonossági követelmény a következ®
l−1
ahol
kt,j−1 ≤ τt,N ≤ kt,j .
egyenletet határozza meg:
at,1 + bt,1 (kt,1 − kt,0 ) + ct,1 (kt,1 − kt,0 )2 + dt,1 (kt,1 − kt,0 )3 = at,2 . . .
at,l−1 + bt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) + · · · + dt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 )3 = at,l . Végül a simaságra vonatkozó feltételek alapján az els® deriváltakra
bt,1 + 2ct,1 (kt,1 − kt,0 ) + 3dt,1 (kt,1 − kt,0 )2 = bt,2 , . . .
bt,l−1 + 2ct,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) + 3dt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 )2 = bt,l , míg a második deriváltakra
2ct,1 + 6dt,1 (kt,1 − kt,0 ) = 2ct,2 , . . .
2ct,l−1 + 6dt,l−1 (kt,l−1 − kt,l−2 ) = 2ct,l .
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
Az el®bbiek alapján így
24
4l változó és (N +1)+(l−1)+(l−1)+(l−1) = N +3l−2
egyenlet van, így az osztópontok számától is függ, hogy megoldható-e az egyenlet rendszer. Ha az osztópontok megegyeznek az alappontokkal, akkor a rendszer alulhatározott (4N változó és
4N −2 egyenlet).
Ezért két további feltételt is meg kell határozni,
általános választás (Bolder és Gusba, 2002), hogy a kezd®, illetve végpontban 0 le-
2
gyen a második derivált , azaz
2ct,1 = 0, 2ct,l + 6dt,l (kt,l − kt,l−1 ) = 0). Így már általában megoldható a lineáris egyenletrendszer, az alappontok és így a csomópontok növekedésével ezt a megközelítést nehéz implementálni és numerikusan instabil (Bolder és Gusba, 2002). Az el®z® részhez hasonlóan most is egy alkalmas bázis felírása jelent megoldást. Makara (2013) a következ® bázisfüggvényeket említi a
{kt,0 , kt,1 , . . . , kt,l }
csomó-
pontok által meghatározott harmadfokó spline-ok terében:
fj (τ ) =
0
(τ −kt,j )3 6(kt,j+1 −kt,j ) (kt,j+1 −kt,j )2 6
+
(τ −kt,j )(τ −kt,j+1 ) 2
ha
τ ≤ kt,j ,
ha
kt,j < τ ≤ kt,j+1 ,
ha
kt,j+1 < τ ≤ kt,l−1 ,
fl−1 (τ ) = τ,
(4.3)
fl (τ ) = τ 2 , fl+1 (τ ) = 1. A 4.1 ábrán 5 csomópont ({0; 2, 5; 5; 7, 5; 10}) mellett ábrázoltam a bázisfüggvényeket, ez és a de níció alapján látható, hogy nagyobb lejáratok esetén rugalmasabb lesz a kapott diszkontfüggvény, ugyanis több bázisfüggvény vesz fel nullától különböz® értéket. Az empirikus vizsgálatok során a szükséges csomópontok számának megtalálása id®igényes feladat. Fontossága viszont megkérd®jelezhetetlen, ugyanis ha túl kicsi, akkor nem biztos, hogy megfelel®en illeszkedik a görbe. Túl sok szakasz esetén a túlzott pontosság a probléma, ugyanis ekkor a kiugró meg gyelések elhúzzák a görbét. McCulloch (1971) ezért azt a hüvelykujj szabályt javasolta, hogy a csomópontok száma a meg gyelések négyzetgyökéhez legközelebb es® egész szám legyen. A keresett diszkontfüggvény ezután ezen bázisfüggvények súlyozott összegeként adódik, a becslés ezen
wt,i
súlyok megtalálását jelenti.
d(t, τ ) =
l+1 X j=0
2 Ezeket
nevezzük a természetes spline-nak.
wt,j fj (τ ).
(4.4)
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
25
40
100 f0(t) f1(t) f2(t) f3(t)
30
75
f4(t)
Érték
f5(t) 20
50
10
25
0
Érték (f5)
f6(t)
0
0
2.5
5
7.5
10
Idõ (t)
4.1. ábra. A harmadfokú spline módszer lehetséges bázisfüggvényei
Ellen®rizzük, hogy a 4.3 de níció valóban spline függvényt ad-e. Mivel a bázisfüggvények folytonos függvények voltak (ezért szükséges a
(kt,j+1 −kt,j )2 konstans), így 6
összegük is az lesz. A 4.1 táblázatban egyes bázisfüggvények szerepelnek abban az esetben, ha
kt,m+1
(els® sor), illetve
m ∈ {0, 1, . . . l − 1}.
dik sor), tam a
t
τ=
+ kt,m+1 (azaz
τ =
kt,m+1 -nél in nitezimálisan nagyobb, máso-
Helytakarékossági szempontból a táblázatban lehagy-
indexeket. Látható, hogy csak
fm
és
fm+1
esetén térnek el, így elég csak
ezekre megnézni az els® két derivált különbségét.
fm−1 )2
(km −km−1 6 (km −km−1 )2 6
+ +
fm
(τ −km−1 )(τ −km ) 2 (τ −km−1 )(τ −km ) 2
fm+1
fm+2
0
0
(τ −km+1 )3 6(km+2 −km+1 )
0
)3
(τ −km 6(km+1 −km ) (km+1 −km )2 + (τ −km )(τ2 −km+1 ) 6
4.1. táblázat. A harmadfokú spline bázisfüggvényei
τ = kt,m+1
és
+ τ = kt,m+1
esetén
Az els® deriváltak különbségére 0
0
+ d (t, kt,m+1 ) − d (t, kt,m+1 ) = 0 0 0 0 + + = wt,m fm (t, kt,m+1 ) − fm (t, kt,m+1 ) +wt,m+1 fm+1 (t, kt,m+1 ) − fm+1 (t, kt,m+1 ) = + + (kt,m+1 − kt,m+1 )2 kt,m+1 − kt,m 2kt,m+1 − kt,m − kt,m+1 = wt,m − +wt,m+1 . 2 2 2(kt,m+2 − kt,m+1 ) Mivel
+ kt,m+1 → kt,m+1 ,
így mindkét tag tart a 0-hoz, így az összeg is. Tehát
lim
τ →kt,m+1
0
0
d (t, τ ) = d (kt,m+1 )
minden bels® osztópontra, így azokban folytonos az els® derivált, márcsak a második
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
26
deriváltakra kell ellen®rizni. 00
00
+ d (t, kt,m+1 ) − d (t, kt,m+1 ) = 00 00 00 00 + + ) − fm+1 (t, kt,m+1 ) = ) − fm (t, kt,m+1 ) +wt,m+1 fm+1 (t, kt,m+1 = wt,m fm (t, kt,m+1 + kt,m+1 − kt,m+1 → 0. = wt,m (1 − 1) + wt,m+1 kt,m+2 − kt,m+1 Így a második derivált is folytonos a bels® pontokban, továbbá a kezd®- és végpontban nulla, így harmadfokú, természetes spline-t kapunk. Természetesen nem csak egy bázis adható meg, a harmadfokú spline-ok terében numerikusan stabil eredményeket ad a B-spline bázis használata (Fischer, Nychka és Zervos, 1995). Ezeket rekurzióval de niálják, részletes elméleti összefoglaló található Bolder és Gusba (2002) tanulmányában. Az eddig elmondottak során végig feltettem, hogy adottak az illesztend® görbe egyes pontjai. A piacon azonban éven túl nem lehet zérókupon hozamokat meg gyelni, így az eddig említett spline módszerek nem alkalmazhatók közvetlenül.
Egyik
lehet®ség, hogy valamilyen egyszer¶ módszerrel meghatározunk egyes lejáratokra zérókupon hozamokat.
Ilyen módszer a bootstrap módszer (Bliss, 1996).
Ez egy
iterációs eljárás a forward hozamok kinyerésére a kötvényárfolyam meg gyelésekb®l. Az algoritmus minden lépésben b®víti a diszkontfüggvényt, úgy, hogy kiszámítja a legközelebbi lejáratú, addig még nem használt kötvény árazásához szükséges forward hozamot, a köztes lejáratokra pedig lineáris függvényt illeszt.
A simítatlan
Fama-Bliss módszer annyival több a bootstrap módszernél, hogy kisz¶ri az extrém meg gyeléseket. A simított Fama-Bliss módszernél a kapott diszkont rátákhoz approximáló függvényt illesztenek (Bliss, 1996). A módszerek el®nye, hogy a kapott diszkontfüggvény pontosan árazza a piacon lév® kötvényeket, szükséges feltétel azonban, hogy megegyezzen a meg gyelések és a pénzáramlások száma (Kopányi, 2009). Ez a magyar adatokra nem teljesül, így nem célszer¶ ezt a módszert használni. Fontos megemlíteni, hogy Diebold és Li (2006) ezt az eljárást használják a zérókupon hozamok meghatározására, amikb®l kiindulva aztán elvégzik a hozamgörbeillesztést a kés®bb említend® Nelson-Siegel módszerrel. Ha nem adottak zérókupon hozamok, akkor az el®z® fejezetben említettek alapján úgy becsüljük a bázisfüggvények súlyait, hogy minimális legyen a becsült és valós árfolyamok (vagy lejáratig számított hozamok) eltérésének valamilyen függvénye (általában a súlyozott átlagos négyzetes eltérés).
Ez utóbbi azonban csak az
illeszkedést méri, annak túlzott jósága pedig a diszkontfüggvény ingadozását eredményezi. Ezért Fischer, Nychka és Zervos (1995) bevezetett egy büntet®függvényt,
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
27
mely a diszkontfüggvény simaságát méri a második derivált segítségével.
Z
τt,N
λ
00
d (t, u) du, τt,0
ahol
λ
a simaság relatív fontosságát határozza meg az illeszkedéshez képest.
A
korábbi jelölésekkel így a diszkontfüggvény optimalizálási feladata
min d(t,·)
N +1 X
Z h Pi (t, r) − Pˆi (t, r) + λ
τt,N
00
d (t, u) du
taut,0
i=1
célfüggvény minimalizálást jelenti.
Az így kapott függvényeket nevezzük simított
spline-oknak.
4.3. Függvény alapú módszerek Az el®z® részben az approximáló függvény alakja szakaszonként polinom volt. Ilyen típusú függvényekkel azonban nehéz leírni az alapvet®en exponenciális lecsengés¶
d(t, τ )
diszkontfüggvényt.
Ezért Vasicek és Fong (1981) exponenciális spline-okat
használ a diszkontfüggvény közelítésére. Mivel a diszkontfüggvény logaritmizálásával egy nem lineáris becslési problémához jutnánk, ezért a függvény argumentumának transzformálását javasolták, azaz
1 τ = − log (1 − τ 0 ), α ahol
α
konstans. Végül az így kapott függvényt közelítették spline-okkal.
Vasicek és Fong (1981) módszere rámutatott, hogy az exponenciális függvények használata célravezet® lehet. Továbbá ne szakaszonként, hanem az egész intervallumon közelítsünk (ez olyan, mintha két csomópont lenne, az intervallum kezd®és a végpontja).
El®ször Bolder és Gusba (2002) alapján a Merrill Lynch (ML)
exponenciális spline módszert mutatom be. A ML exponenciális spline modellben a diszkontfüggvény exponenciális függvények lineáris kombinációjaként adódik, azaz
d(t, τ ) =
K X
wt,j e−jατ ,
j=1 ahol
α
paraméter.
A 4.2 ábrán ábrázoltam az Látható, hogy az
α
e−jατ
bázisfüggvényeket
α = 0, 1 és α = 0, 14 mellett.
paraméter a lecsengés gyorsaságát határozza meg. Míg ennél a
rövid távra van hatással több bázisfüggvény, addig a 4.1 ábra alapján harmadfokú spline módszer esetén a hosszú távra volt.
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
28
1
k=1, α=0,1 k=2, α=0,1 k=3, α=0,1 k=4, α=0,1 k=1, α=0,14 k=2, α=0,14 k=3, α=0,14 k=4, α=0,14
0.9 0.8 0.7
Érték
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10
15
Idõ (év)
4.2. ábra. Bázisfüggvények a Merrill Lynch exponenciális spline modell esetén
Az ismeretlen paraméterek száma is becsülni kell, de a
τ =0
K + 1 − 1 = K,
ugyanis a
pillanatban a diszkontfüggvény
d(t, 0) =
K X
1,
wt,j
súlyokat és
α-t
azaz
wt,j .
j=1 Utóbbi feltétel miatt az egyik súly kötött, így azt nem kell becsülni.
A modell
egyik er®ssége, hogy az ebb®l kapott elméleti árak az ismeretlen paraméterek lineáris függvénye lesz (Bolder és Gusba, 2002), ami egyszer¶síti a becslést.
3
A Taylor-
4
és Fourier-sorfejtés
két további bázist motiválnak (Bolder és Gusba,
2002). Az els® a 4.1 részben is szerepl® másik a
1, τ, . . . , τ N ,
így azt nem ismétlem meg. A
n n τ , cos τ a a adott, ahol n = 1, 2, . . . , K
1, sin trigonometrikus függvényekkel
és
a
paraméter.
1 0.8 0.6 0.4
Érték
0.2 0 −0.2 1 sin(1/5*t) sin(2/5*t) sin(3/5*t) sin(4/5*t) cos(1/5*t) cos(2/5*t) cos(3/5*t) cos(4/5*t)
−0.4 −0.6 −0.8 −1 0
5
10
Idõ (év)
4.3. ábra. Bázisfüggvények a Fourier-sorfejtés alapján
3 d(t, τ
0)
4 d(t, τ )
=
=
P∞
d(t,τ )(j) (τ0 ) (τ − τ0 )j j! P∞ 2πjτ j=1 aj cos( p ) +
j=0
a0 2
+
aj sin( 2πjτ ) p
15
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
Ha ábrázoljuk ezen bázisfüggvényeket
N =4
29
és
a=5
esetén, akkor a 4.3 ábrán
láthatjuk, hogy ezzel az egész intervallumon egyformán rugalmasan illeszthet® a diszkontfüggvény. Bolder és Gusba (2002) empirikus tapasztalatai alapján az ezzel a módszerrel kapott forward görbék jobban ingadoznak, mint az ML exponenciális spline esetén, de stabil eredményeket ad.
4.4. A Nelson-Siegel modellcsalád Az el®z® rész exponenciális függvényformájából kiindulva, a következ®kben a legelterjedtebb modellcsaláddal, a Nelson-Siegel típusú modellekkel foglalkozom.
4.4.1. A Nelson-Siegel modell Nelson és Siegel felteszik, hogy a forwardgörbe egy másodrend¶ dierenciálegyenlet megoldása (Nelson és Siegel, 1987). Ha az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet megoldásai valósak és megegyeznek, akkor a megoldás a következ® alakban írható fel:
F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ . Két különböz® gyök esetére
5
(4.5)
Nelson és Siegel azt tapasztalták, hogy ekkor a
modell túlparaméterezett, így az el®z® feltevésnél maradtak (Nelson és Siegel, 1987). A forward görbe 4.5 egyenletéb®l a 2.1 táblázat alapján integrálással kaphatjuk a hozamgörbét, azaz
1 R(t, τ ) = τ −0
Z
τ
−λt u
−λt u
βt,1 + βt,2 e + βt,3 λt ue du = Z Z τ 1 1 τ −λt u e du + βt,3 λt ue−λt u du = = βt,1 + βt,2 τ 0 τ 0 Z τ −λt u −λt u τ −λt u τ 1 e 1 e 1 e = βt,1 + βt,2 − + βt,3 λt − u + βt,3 λt du = τ λt 0 τ λt 0 τ λt 0 τ 1 − e−λt τ 1 e−λt u −λt τ = βt,1 + βt,2 − βt,3 e + βt,3 − . λt τ τ λt 0 0
Ebb®l már adódik a Nelson-Siegel modell hozamgörbére vonatkozó egyenletének jól ismert alakja:
R(t, τ ) = βt,1 + βt,2
1 − e−λt τ λt τ
+ βt,3
1 − e−λt τ −λt τ −e . λt τ
(4.6)
Nelson és Siegel (Nelson és Siegel, 1987) a kövektez® faktorizációval írta fel az egyenletet, azonban a két alak
βt,·
paraméterei egyszer¶en kifejezhet®k egymásból.
0
0
R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 5 F (t, τ )
= βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 + βt,3 e−τ λt,2
1 − e−λt τ λt τ
0
− βt,3 e−λt τ
(4.7)
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
A
βt,·
30
paraméterekre tekinthetünk úgy, mint faktorokra a hozzájuk tartozó fak-
torsúlyokkal. A
λt
paramétert nevezik exponenciális késleltetésnek, kis értékei lassú
lecsengést eredményeznek, így a görbe jobban illeszkedik a hosszú lejáratokon, míg nagy értékek mellett a rövid távon. A
λt
paraméter határozza meg továbbá, hogy
mikor éri el a második faktor a maximumát.
Az eddigi megállapításokat foglal-
ja össze a 4.4 ábra, ahol az egyes faktorsúlyokat ábrázoltam különböz®
λt
értékek
mellett. 1 β1 súlya
Faktorsúly
0.9
β2 súlya, λ=0,7308
0.8
β2 súlya, λ=1,4616
0.7
β3 súlya, λ=0,7308
β2 súlya, λ=2,1924 β3 súlya, λ=1,4616
0.6
β3 súlya, λ=2,1924
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10
15
Idõ (év)
4.4. ábra. A faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén
Ezen látható, hogy az els® faktor konstans
1
súlyú, így ez tekinthet® egy hosszú
1−e−λt τ távú faktornak. A második faktor súlya is az λt τ exponenciális sebességgel, monoton tart a sabban), tehát ez rövid távú faktor. A
0-hoz
1-b®l
indul, azonban ezután
(minél nagyobb a
β3 -hoz tartozó
1−e−λt τ λt τ
−e−λt τ
λt ,
annál gyor-
súly 0-ból indul
és ugyanoda tér vissza, így se nem rövid, se nem hosszú távú faktor.
λt
értékét®l
függ®en éri el közben maximumát, ez alapján ez a faktor középtávon hat. ábra alapján annál hamarabb veszi fel maximumát, minél nagyobb a Egyrészt
βt,1
A 4.4
λt .
egyformán változtatja az összes lejáratú hozamot, másrészt
R(t, ∞) = lim R(t, τ ) = βt,1 , τ →∞
így
βt,1
azonosítható a hozamgörbe szintjével. A görbe meredekségének de níciójára
természetes gondolat egy hosszú és egy rövid távú hozam különbsége (Diebold és Li, 2006). Elméletileg ez az
R(t, ∞) − R(t, 0) mennyiséget jelenti.
Erre a L'Hospital
szabály felhasználásával
1 − e−λt τ 1 − e−λt τ lim R(t, τ )−lim R(t, τ ) = βt,1 −βt,1 −βt,2 lim −βt,3 lim − τ →0 τ →∞ τ →0 τ →0 λt τ λt τ −λt τ −λt τ λe λe −λt τ − βt,3 lim − e = −βt,2 lim + βt,3 lim − βt,3 = −βt,2 . τ →0 τ →0 τ →0 λ λ
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
31
Tehát látható, hogy a meredekség szorosan kapcsolódik a második faktorhoz és annak súlyfüggvénye alapján az is elmondható, hogy a faktor növekedése jobban növeli a rövid oldali kamatokat, mint a hosszúakét. látható továbbá, hogy az
R(t, 0)
Az el®z® számolás alapján
pillanatnyi kamat a szintt®l és a meredekeségt®l is
függ, ugyanis
R(t, 0) = βt,1 + βt,2 . A piacon értelemszer¶en nem lehet a végtelen és pillanatnyi lejáratra hozamokat meg gyelni, ezért Diebold és Li (2006) a meredekséget a tizenkét éves és a három hónapos hozam különbségeként de niálja, azaz
R(t, 12) − R(t, 0, 25).
A harmadik
faktor azonosítható a hozamgörbe görbületével, ugyanis középtávú faktorként ez felel®s a hozamgörbe púpos alakjáért. Ez a
2R(t, 2) − R(t, 0, 25) − R(t, 12)
különb-
ségként de niálható (Diebold és Li, 2006). Eddig az id® szerinti határátmeneteket említettem, fontos azonban megvizsgálni a késleltetési paraméter extrém értékeit is, ugyanis ez a paraméter adja a modell nemlineáris természetét.
A
λt
széls®séges értékei esetén multikollinearitás lép fel,
ami azt eredményezheti, hogy egyes faktorok nem azonosíthatók. Mivel
lim
λt →∞
1 − e−λt τ λt τ
=0
és
lim
λt →∞
1 − e−λt τ − e−λt τ λt τ
= 0,
így az exponenciális késleltetés túl nagy értékei esetén a meredekség és görbület faktorok nem értelmezhet®k, ami extrém becsléseket eredményez (De Pooter, 2007). Túl kicsi
λt
paraméter esetén a korábbihoz hasonló számítás alapján (a súlyfüggvé-
λt -ra) 1 − e−λt τ lim =1 λt →0 λt τ
nyek szimmetrikusak
τ -ra
és
és
lim
λt →0
1 − e−λt τ − e−λt τ λt τ
= 0,
azaz ekkor a görbület nem azonosítható, míg a szint és meredekség is csupán együttesen, egyedileg nem. Egy adott napra vonatkozó hozamgörbeillesztés esetén nem jelent problémát, ha nem azonosíthatók a faktorok, a modell ugyanúgy helyes becslést ad. Ha azonban több napra is elvégezzük a becslést, és így lényeges a faktorok dinamikája, akkor a
λt
miatti széls®séges faktorbecslések torzíthatják az eredménye-
ket (De Pooter, 2007). A nemzetközi szakirodalomban többek között Litterman és Scheinkman (1991) megmutatták, hogy a hozamok varianciájának nagy része magyarázható viszonylag kis számú faktor segítségével, tipikusan az els® három f®komponenssel. A harmadik f®komponens magyarázó hatása már jóval kisebb az els® kett®nél, így egyszer¶síthet® az eddig felvázolt modell, ha csak az els® két faktort, a szintet és a meredekséget tekintjük. Ez a két faktor azonban lehetséges, hogy nem elegend® a kell®en pontos
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
32
el®rejelzéshez, vagy pedig a teljes hozamgörbe pontos illesztéséhez (Diebold, Piazessi és Rudebusch, 2005).
β3=−6
5
β3=−3 β3=0 β3=3
Hozam (százalékpont)
4
β3=6 β3=9 β3=12
3
2
1
0 0
5
10
15
Idõ (év)
4.5. ábra. A Nelson-Siegel modellel kapható különböz® hozamgörbe alakok
A három faktoros modellel amellett, hogy könnyen kezelhet® és értelmezhet® (a szint, meredekség és görbület azonosítás miatt), sokféle hozamgörbe alakot is el® tudunk állítani. Ezt látjuk a 4.5 ábrán is, ahol feltettem, hogy
βt,3
βt,1 = βt,2 = λt = 1, és
6
különböz® értékei mellett ábrázoltam a hozamgörbét . Az eltér® alakok mellett
meg gyelhet®, ahogy mindegyik görbe tart a
βt,1 -hez, illetve hogy az egyez® λt
miatt
mindegyik görbének ugyanott van lokális széls®értéke. Fontos megjegyezni, hogy az ábra alapján is szükséges megkötésekkel élnünk a paraméterekre és a faktorokra vonatkozólag, hogy elkerüljük a negatív hozamokat.
4.4.2. A Nelson-Siegel modell kiterjesztései A még rugalmasabb illesztéshez azonban több faktorra is szükség lehet. Els® lehet®ség egy újabb rövid távon ható komponens használata, így De Pooter összefoglaló írásában (De Pooter, 2007) a négyfaktoros Björk és Christensen modellt említi els®ként (Björk és Christensen, 1999). Ebben a forwardgörbe az
F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ + βt,4 e−2λt τ egyenlettel írható le, amib®l a hozamgörbe
R(t, τ ) = βt,1 + βt,2
1 − e−λt τ λt τ
+ βt,3
1 − e−λt τ − e−λt τ λt τ
+ βt,4
1 − e−2λt τ . 2λt τ
A negyedik faktor súlya hasonló a másodikéhoz, a különbség csupán annyi, hogy gyorsabban tart a nullához. Így ez tekinthet® egy második meredekség faktornak, a
6 R(t, τ )
=1+
1−e−τ τ
+a
1−e−τ τ
− e−τ
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
modell a hozamgörbe meredekségét
βt,2
és
βt,4
33
súlyozott összegén keresztül ragadja
meg (De Pooter, 2007). Változik a pillanatnyi kamat is, azaz
R(t, 0) = βt,1 + βt,2 + βt,4 . Másik lehet®ség, hogy nem követeljük meg, hogy a késleltetési paraméter meg-
7
egyezzen a meredekség és a görbület esetén . Az így kapott három faktoros Bliss modell (Bliss, 1996), amit a szerz® b®vített Nelson-Siegel modellnek nevezett el, az
F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 + βt,3 τ λt,2 e−τ λt,2 forwardgörbéb®l indul ki. A korábbiak szerint ennek második változó szerinti integrálásával adódik az
R(t, τ ) = βt,1 + βt,2 hozamgörbe. Természetesen modellt.
1 − e−τ λt,1 τ λt,1
λt,1 = λt,2
+ βt,3
1 − e−τ λt,2 − e−τ λt,2 τ λt,2
esetén visszakapjuk az eredeti Nelson-Siegel
Ebben az esetben 5 paramétert kell megbecsülni nemlineáris, korlátos
optimalizálással. Bliss (Bliss, 1996) célfüggvényként az átlagid®vel súlyozott négyzetes hibaösszeget választotta, míg a korlátok a következ®k, ha a meg gyelések a
{τ1 , τ2 , . . . , τN }
lejáratokra esnek:
0 ≤ R(t, τ1 ),
0 ≤ R(t, τN ),
e−R(t,τi )τi ≥ e−R(t,τi+1 )τi+1 , i ∈ {1, . . . , N − 1}
azaz lényegében azaz lényegében
0 ≤ βt,1 + βt,2 , 0 ≤ βt,1 , .
Látható, hogy ezek azért szükségesek, hogy a diszkontfüggvény a rövid és hosszú oldalon pozitív legyen, míg a harmadik korlát biztosítja a monoton csökkenést, azaz, hogy ne legyenek negatív forward hozamok. Svensson (1994) nem újabb meredekség, hanem új görbület faktort épített be a modelljébe. Eszerint a forward görbe egyenlete az
F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e−τ λt,1 + βt,3 τ λt,1 e−τ λt,1 + βt,4 τ λt,2 e−τ λt,2 alakra módosul (λt,2
> 0),
melyb®l a hozamgörbe
R(t, τ ) = = βt,1 +βt,2 7 Hasonlóról
voltak.
1 − e−τ λt,1 1 − e−τ λt,1 −τ λt,1 1 − e−τ λt,2 −τ λt,2 +βt,3 −e +βt,4 −e . τ λt,1 τ λt,1 τ λt,2 már volt szó a szakasz elején, amikor a dierenciálegyenletnek különböz® gyökei
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
34
Svensson a modellt bemutató tanulmányában (Svensson, 1994) a hozamgörbe alapján adott diszkontfüggvény kiszámításhoz a hibák (számított kötvényárfolyam vagy lejáratig számított hozamok eltérése) négyzetösszegét minimalizálta. Azt tapasztalta, hogy az árfolyamhibák minimalizálásakor a rövid oldalon a kötvények hozamai jelent®s eltérést mutatnak, ezt azzal magyarázta, hogy az árfolyamok kevésbé érzékenyek közeli lejáratok esetén a hozamokra. A becsléseket a kés®bb említend® maximum likelihood módszerrel végezte és azt az eredményt kapta, hogy az általa vizsgált, 1992 és 1994 közti svéd adatokra a hozameltérések minimalizálásra jobb eredményre vezet. A több faktor használata néhány esetben pontosabb eredményre vezetett, mint az eredeti Nelson-Siegel modell (Svensson, 1994). De Pooter (2007) két problémáját is említi a Svensson-modellnek. Egyrészt a két nem lineáris
λt,·
paraméter miatt a modell még nehezebben becsülhet®, másrészt a
paraméterek között felléphet multikollinearitás. Ez akkor jelentkezik, amikor
λt,2
λt,1
és
becslésére közel azonos érték adódik, és ezáltal a modell a három faktoros alap-
modellre redukálódik. A görbületi faktor ekkor a hatékonyan becsülhet®, egyedileg azonban nem.
βt,3
és
βt,4
összege, ami együttesen
Erre megoldást jelent a De Poo-
ter által javasolt módosított Svensson-modell, melyben biztosítja, hogy esetén a középtávú faktorok eltérjenek.
λt,1 ≈ λt,2
A forward görbe egyenlete a módosított
Svensson modell esetén a következ® (De Pooter, 2007).
−τ λt,1
F (t, τ ) = βt,1 + βt,2 e
−τ λt,1
+ βt,3 τ λt,1 e
−2τ λt,2 −τ λt,2 + βt,4 e + 2τ λt,2 − 1 e .
Látható, hogy ezzel a második görbületi faktor súlya gyorsabban emelkedik, majd cseng le a nullához, mint az els® görbületi faktoré. Az el®z® egyenletb®l a hozamgörbe egyenletére a következ®t kaphatjuk.
R(t, τ ) = = βt,1 +βt,2
1 − e−τ λt,1 1 − e−τ λt,1 −τ λt,1 1 − e−τ λt,2 −2τ λt,2 −e −e +βt,3 +βt,4 . τ λt,1 τ λt,1 τ λt,2
Hurn, Lindsay és Pavlov (2005) általánosította a faktorsúlyokon keresztül a három faktoros Nelson-Siegel modellt. A
K
faktoros forward görbét (illetve a hozam-
görbét is) az
−τ λt
F (t, τ ) = βt,1 + e
K−2 X
βt,k+2 Lk (τ λt )
k=0 alakban írták fel, ahol
Lk (τ λt )
a
k -ad
fokú Laguerre-polinom. Utóbbi a Rodrigues
formula alapján számítható (Hurn, Lindsay és Pavlov, 2005) az
Lk (x) =
ex dk k −x x e k! dxk
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
képlettel. Egyszer¶ számítással adódik, hogy
35
L0 (τ λt ) = 1 és L1 (τ λt ) = 1 − τ λt .
Ezt
behelyettesítve a forward görbe egyenletébe
F (t, τ ) = βt,1 + e−τ λt βt,2 + βt,3 (1 − τ λt ) = βt,1 + (βt,2 + βt,3 )e−λt τ + βt,3 λt τ e−λt τ , ami formailag megegyezik a Nelson-Siegel modellel. Hurn, Lindsay és Pavlov (2005) a brit kötvényadatokon végeztek empirikus vizsgálatot. Azt tapasztalták, hogy az újabb faktorokkal csökken® mértékben, de javul az illeszkedés és az eredmények kevésbé érzékenyek az exponenciális késleltetésre, azonban négynél több faktor esetén
λt
magasabb hatványai is megjelennek. A hozamok faktorokkal történ® felírása lehet®séget biztosít a 2.4 részben de -
niált Fischer-Weil féle átlagid® általánosítsására (Diebold, Ji és Li, 2006a), mely a kockázatkezelésben játszik fontos szerepet . Ha
Bt,· (τ )-val
jelöljük a faktorsúlyokat,
i. kötvényárfolyam ni X ∂Pi τ, R(t, ·) ci,j e−R(t,τi )τj = ∂R(t, ·) = − τj Pi τ, R(t, ·) P τ, R(t, ·) i j=1
akkor három faktoros modell esetén az
=
ni 3 X X k=1
százalékos változására
3
n
i XX ci,j e−R(t,τj )τi τj τj wj Bt,k (τj )∂βt,k . Bt,k (τj )∂βt,k = Pi τ, R(t, ·) j=1 k=1 j=1
Ezzel az árfolyamváltozást felbontottuk kockázati tényez®k szerint, így az egyes tényez®kre való érzékenység
Dj :=
ni X
τj wj Bt,k (τi ).
j=1 Speciálisan az alap Nelson-Siegel modell esetére
! ni 1 − e−λt τj X 1 − e−λt τj τj wj , wj . , wj − τi e−λt τj λ λ t t j=1 j=1 j=1
ni X
(D1 , D2 , D3 ) = D1
ni X
az eredeti Fischer-Weil átlagid®t adja (vízszintes hozamgörbe esetén Macaulay),
D1 , D2 , D3
azonos irányba változnak, mivel mindegyik növekv®
τ
szerint. Továb-
bá mindhárom tényez® csökken® a szelvényhozam és a lejáratig számított hozam függvényében (Diebold, Ji és Li, 2006a). Az összes eddigi modell hasonlóan épült fel, azaz faktorok lineáris kombinációja, ahol a faktorok id®ben változó folyamatok. Az ilyen modellek leírására alkalmasak az állapottér modellek. A Nelson-Siegel típusú modellek állapottér reprezentációja során De Pooter tanulmányára támaszkodom (De Pooter, 2007), de a szakirodalom többsége foglalkozik ezzel.
Legyen
N
különböz® lejárat, ekkor a
állapottér modell meg gyelési egyenlete a következ®képpen írható fel.
R(t, τ1 ) . . .
Xt,1,1 · · ·
Xt,1,K
βt,1
t,1
. . . . .. = .. .. + .. , . . . R(t, τN ) Xt,N,1 · · · Xt,N,K βt,K t,N
K
faktoros
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
36
R t = X t β t + t .
(4.8)
Xt,i,j
Az el®z® egyenletben
t
id®pontban. A
βt
jelöli a
j.
faktorhoz tartozó súlyt a
τi
lejárat esetén a
vektor minden id®pillanatban leírja a rendszer állapotát, így a
βt,· faktorokat nevezzük állapotváltozóknak.
Látható, hogy a meg gyelési egyenlettel
illesztjük a hozamgörbét, feltevés szerint a különböz® lejáratokhoz tartozó hibatagok függetlenek, és szórásuk egy id®ben állandó, a lejárattól függ®
σ 2 (τi )
konstans. Az
el®rejelzéshez azonban szükséges meghatároznunk a faktorok dinamikáját is.
Ezt
a fejl®dést Diebold és Li (2006) 1 késleltetés¶ AR(1) autoregresszív, vagy VAR(1) vektorautoregresszív folyamattal modellezi.
βt,1 . . .
=
βt,K
µt,1 . . .
+
µt,K
Φt,1,1
···
Φt,1,K
. . .
..
. . .
.
Φt,K,1 · · ·
Φt,K,K
βt−1,1
Φt
mátrix diagonális, akkor
K
. . .
. + .. , βt−1,K νt,K
Rt = µt + Φt βt + νt . Ha a
νt,1
(4.9)
darab különálló AR(1) folyamatot kapunk,
ahol az egyes faktorok nem hatnak egymásra. Szükséges még feltételezéssel élni a mérési és állapot egyenlet hibatagjaira vonatkozóan. Ezekre De Pooter (2007) azt teszi fel, hogy
t νt
!
" ∼N
0N×1 0K×1
! ,
H
0N ×N
0K×K
Q
!# ,
(4.10)
tehát a meg gyelési és állapot egyenlet hibavektorai normális eloszlásúak és ortogonálisak (korrelálatlanok). Az el®z® egyenletben szerepl®
H
kovaraiancia mátrix
diagonális, mivel feltettük, hogy a különböz® lejáratokhoz tartozó hozamok hibája független egymástól.
A
Q
mátrix a becslési módszert®l függ®en lehet diagonális
vagy teljes mátrix egyaránt.
A következ® részben f®képp az állapottér modellek
becslésér®l lesz szó.
4.5. A paraméterek becslése A korábban bemutatott spline alapú módszerek többek között becsülhet®k általánosított (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerével (Bolder és Gusba, 2002). Habár ebben a részben a Nelson-Siegel típusú hozamgörbék becslésével foglalkozom, de a lenti megállapítások ugyanúgy igazak a spline alapú módszerekre is. Az állapottér modellek becslésére több megközelítés is létezik (De Pooter, 2007). Egyrészt a becslés történhet két lépésben, az els®ben a meg gyelési egyenletet különállóan kezeljük, és minden id®pontra megbecsüljük a paramétereket legkisebb
4. FEJEZET. A HOZAMGÖRBE KÖZELÍTÉSE
37
négyzetek módszerével (keresztmetszeti vizsgálat). A második lépésben az így kapott faktorok id®sorára illesztünk általában autoregresszív folyamatot az állapot egyenlet alapján (id®soros vizsgálat). A másik szemléletmód esetén egy lépésben, párhuzamosan történik az állapottér modell paramétereinek becslése.
Kétfaktoros Nelson-Siegel
βt,1 , βt,2 , λt,1
Három faktoros Nelson-Siegel
βt,1 , βt,2 , βt,3 , λt,1
Björk és Christensen
βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1
Bliss
βt,1 , βt,2 , βt,3 , λt,1 , λt,1
Svensson
βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1 , λt,2
Módosított Svensson
βt,1 , βt,2 , βt,3 , βt,4 , λt,1 , λt,2
4.2. táblázat. A Nelson-Siegel típusú modellek becsülend® paraméterei
A két lépéses módszer els® lépésében becsülend® paramétereket foglalja össze a 4.2 táblázat.
A három faktoros Nelson-Siegel módszer esetén, ha a három fak-
tort és az exponenciális késleltetés paramétert is becsüljük, akkor az egy nemlineáris (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerét igényl® probléma. Az exponenciális késleltetés becslése esetén továbbá a korábban említett multikollinaritás miatt szükséges korlátokat állítani (De Pooter, 2007). Diebold és Li (2006) az egyszer¶ség és a numerikus megbízhatóság miatt, ami tökéletesen látszik az 5.14 és az 5.16 eltéréséb®l, felteszi, hogy
λt
értéke el®re adott konstans.
Rögzített
λt
esetén ugyanis
a becslés (súlyozott) legkisebb négyzetek módszerére redukálódik, ugyanis ekkor a meg gyelési egyenlet az állapotvektorban lineáris. Ennek hátránya, hogy ekkor ezt a paramétert megfelel®en kell megválasztanunk. Az egy lépéses becslés esetén Kálmán-sz¶r®vel határozhatjuk meg az
Rt+1 |Rt
feltételes átmenet-s¶r¶ségfüggvényének logaritmusát, amit aztán maximum likelihood (ML) módszerrel maximalizálhatunk.
A Kálmán-sz¶r® a priori becslést ad
a meg gyelési egyenlet alapján az állapotváltozókból kiindulva, majd a meg gyelt hozamok alapján a posteriori frissíti az állapot egyenletre vonatkozó becslését és el®rejelzi az állapotváltozókat. Ezen lépéseket iterálva végül meghatározható a loglikehood függvény.
Err®l részletesen Bolder (2001) tanulmányában lehet olvasni.
Az ML becsléssel kapcsolatosan Kopányi (2009) megemlíti továbbá a kvázi-ML és a szimulált ML-becsléseket is, illetve bemutat momentum becslési technikákat is (általánosított momentumok és hatékony momentumok módszerei), ezeket azonban nem fejtem ki részletesen.
A következ® fejezetben két program (Excel, R) segítségével
vizsgálom a hozamgörbe illesztését magyar állampapírpiaci meg gyelésekre.
5. fejezet
Empirikus vizsgálat
Az adatok min®sége miatt Diebold és Li (2006) nem használ opcióval rendelkez®, változó kamatozású vagy éven belül lejáró kötvényeket, illetve egy hónapon belüli kincstárjegyeket. Bolder és Gusba (Bolder és Gusba, 2002) továbbá szintén a likviditás miatt korlátokat állít a fennálló mennyiségre, illetve adózási szempontból a piaciés a kuponráta túlzott eltérésére. El®ször 2014.03.31-ére vonatkozóan végeztem el a hozamgörbe illesztését harmadfokú spline és Nelson-Siegel típusú módszerek esetén a magyar adatok alapján. Egy adott nap legjobb vételi és eladási árfolyamai az ÁKK honlapjáról
1
tölthe-
t®k le. Ez alapján a vizsgált napra 23 állampapír adata állt rendelkezésre. Ebb®l négy volt a három hónapos diszkont kincstárjegy hozamaihoz kötött változó kamatozású papír (2015/B, 2018/N, 2019/B és 2020/N), ezeket az adatokat kisz¶rtem. Két kötvény volt éven belüli lejáratú (2014/D, 2015/A), az adatok kevés száma miatt ezeket viszont benthagytam az elemzésben, annak ellenére, hogy ezen kötvények esetén jóval nagyobb a bid-ask spread (20, illetve 30 bázispont), mint a diszkont kincstárjegyek esetén (10 és 15 bázispont közöttiek). Így összesen 6 zérókuponnak tekinthet® adat (a két éven belüli kötvény mellett a D140606, D141015, D150121), illetve 4 három éven belüli (2015/C, 2016/C, 2016/D, 2017/B), 3 öt év belüli (2017/A, 2018/B, 2018/A), 4 tíz éven belüli (2019/A, 2020/A, 2022/A, 2023/A) és 2 tizenöt éven belüli (2025/A, 2028A) meg gyelés állt rendelkezésre. Ezt a statikus vizsgálatot Excellel végeztem.
1 http://akk.hu/bestpdfull.ivy?public.cat-sys-B8869B77-407E-4608-A3F7-6A132CF162B3-
ltergroup=user3, Letöltve: 2013.04.21.
38
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
39
5.1. Statikus vizsgálat El®ször a Makara Tamás által a Budapesti Corvinus Egytemen, az Empirikus pénzügyek nev¶ tárgy keretében tartott el®adásán elhangzott módszertan alapján végeztem az illesztést. A spline módszerek során eektív hozamokkal számoltam az ÁKK módszertanához igazodva.
A diszkontáláshoz gyelembe vettem, hogy a teljesítés
értéknapja 2014.04.02., így 2 nappal kevesebbel kell számolni. A valóságtól eltér®en a kamatkonvencióra feltettem, hogy ACT/365 ezzel egyszer¶sítve a vizsgálatot. Végül az egyes papírok módosított Macaulay-féle átlagidejének kiszámításhoz, és az árfolyamok becsléséhez elkészítettem a 2.2 képletben is szerepl® cash- ow mátrixot, ennek tulajodnságair®l ott már esett szó.
5.1.1. Spline alapú modellek A spline illesztést 12 különböz® hibafüggvénnyel végeztem el, ezeket foglalja össze az 5.1 táblázat. Ebben félkövérrel szerepelnek, ahol négyzetes eltéréseket számítottam. A hiba a becsült és valós árfolyam tényleges eltérése (Alap sor), vagy a 3.3-ban de niált mennyiség (Bid-ask sor) volt. A Benchmark sor arra utal, hogy azok esetében a cél a benchmark állampapírok (D140806, D141015, D150121, 2018/B, 2019/A, 2025/B és 2028/A) minél jobb közelítése volt. Itt érdemes megjegyezni, hogy például a három éves benchmark kötvény lejárata több, mint négy év. A súlyozást tekintve három eset volt: a súlyozatlan, a bid-ask spreaddel és a módosított átlagid®vel súlyozott hibatagok.
Súlyozatlan
Bid-ask spread
Módosított átlagid®
Alap
Spline 1
és Spline 2
Spline 3
Spline 4
Bid-ask
Spline 5
és Spline 6
Spline 7
Spline 8
és Spline 10
Spline 11
Spline 12
Benchmark
Spline 9
5.1. táblázat. A vizsgált hibafüggvények
Ahogy említettem, az adatok sz¶rése után 19 meg gyelés állt rendelkezésre, így 4 csomópontot határoztam meg úgy, hogy mindegyik intervallumba közel azonos számú állampapír essen. Csomópontoknak a
{0; 0, 8658; 4, 7205; 14, 5671}
adódtak, az
így kialakuló három intervallumba pedig 6, 7, illetve 6 meg gyelés esett. Az illesztés során olyan diszkontfüggvény kerestem, ami minimalizálja a korábban említett hibafüggvényeit az árfolyamok eltérésének (a benchmark esetben csak a benchmark kötvényekét).
Az optimalizálást a beépített Solver-rel végeztem, a 4.3 bázisfügg-
vények súlyaival, mint módosuló cellákkal, és amellett a korlátozó feltétel mellett,
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
hogy a lyok a
0
40
id®pillanatban a diszkontfüggvény értéke
{0, 0, 0, 0, 0, 1}
1
legyen. A kiinduló, kezd® sú-
voltak, ugyanis ekkor minden diszkontfaktor
1.
Az így kapott
eredményekb®l határoztam meg a hozamgörbét, melyet az 5.1 ábra mutat be. 6.5 6
Effektív hozam (százalékpont)
5.5 5 4.5 4
D141126 3.5 3 Spline 1 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12 ÁKK
2.5 2 1.5 0
2
4
6
8
10
12
14
Lejárat (év)
5.1. ábra. A kapott hozamgörbe a vizsgált hibafüggvények mellett
Ezen tizenkét módszerrel kapott hozamgörbe látható az egyes kötvények lejáratig számított hozama mellett.
Meg gyelhet®, hogy a benchmark módszerek esetén a
kilógó D141126 mennyire elhúzza a hozamgörbét, ami után csak 4 év körül térnek vissza a többi módszer általi görbékhez. Látványos a súlyozatlan, négyzetes hibák esetén kialakuló görbe rossz illeszkedése, illetve hogy az általam kapott hozamok középtávon az ÁKK honlapján közzétett
2
zérókupon hozamok alatt vannak.
0.04 Spline 1 Spline 9 Spline 10 Spline 11 Spline 12
0.03
0.02
Súly
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
Elsõ
Második
Harmadik
Negyedik
Ötödik
Bázisfüggvény
5.2. ábra. A bázisfüggvények súlyai spline illesztés esetén
A hozamgörbe eltérések okára mutat rá az 5.2 ábra. Ezen az els® öt bázisfüggvényhez tartozó súlyokat láthatjuk a különböz® módszerek esetén. Azért csupán az
2 http://akk.hu/zerokupon.ivy?public.cat-sys-B23DDCB1-22B0-40E0-A088-991F3409C08E-
ltergroup=user3
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
41
els® ötét, mivel a diszkontfüggvényre vonatkozó egyenl®ségi feltétel miatt a hatodik bázisfüggvény súlya minden esetben 1. A súlyok els®sorban a rövid lejáraton is ható bázisfüggvények esetén térnek el, ezek az els®, a negyedik és az ötödik.
Látható,
hogy a benchmark módszerek esetén (Spline 9, 10, 11, 12) ellentétes el®jel¶ súly kerül az els® bázisfüggvényre a D141126 miatt. Ennek a kilengésnek a kompenzálása az egész intervallumra ható
t
t2
és
bázisfüggvények súlyain keresztül történik.
A
súlyozatlan, négyzetes hibák minimalizálása esetén kapott súlyok is jelent®s eltérést mutatnak a többi esethez képest. 0.08
0.06 Elsõ Második Harmadik Negyedik Ötödik Hiba
Súlyok
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04 0
50
100
150
200
Futtatás
5.3. ábra. A bázisfüggvények súlyainak kezd®pont függése
A Solver a nemlineáris programozási feladatok esetén általánosított redukált gradiens módszert alkalmaz. Mint minden optimalizálási algoritmus esetén, itt is meg kell vizsgálni a kiindulási súlyoktól való függést. Ehhez létrehoztam 243 kiindulási állapotot, ahol az els® öt bázisfüggvény súlya 0; 0,5 vagy 1 lehet és a tól haladtam az
{1, 1, 1, 1, 1, 1}
felé.
{0, 0, 0, 0, 0, 1}-
A négyzetes, módosított átlagid® súlyozású
hibafüggvény minimalizálásával kapott bázisfüggvény súlyokat kapjuk az 5.3 ábrán. Ezen látható, hogy a súlyok az els® bázisfüggvényét leszámítva stabilak.
Az els®
esetén pedig az ingadozás az els® intervallumba es® meg gyelések volatilitása miatt tapasztalható.
Els®
Második
Harmadik
Negyedik
Ötödik
Spline 1
16,10
1,56
0,88
4,75
7,50
Spline 4
3,17
0,53
0,43
0,76
1,41
−3 5.2. táblázat. A bázisfüggvény súlyok szórása (·10 )
Az 5.2 táblázat alapján a Spline 1 módszer (alap, súlyozatlan, négyzetes hibák) esetén a bázisfüggvény súlyok jóval nagyobb ingadozást mutatnak, mint a Spline 4 (alap, módosított átlagid®vel súlyozott, négyzetes). Az 5.3 táblázat alapján azonban
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
42
nem azért tér el jelent®sen a hozamgörbe, mert rossz volt a kezd®pont megválasztása és egy lokális optimumot találtunk csupán. Ebben az egyes módszerek esetén láthatjuk a középárfolyamt®l vett távolságok négyzetösszegét. Ez alapján, ha a hibát a becsült és meg gyelt középárfolyam eltéréseként de niáljuk, akkor a súlyozott megoldások jobb eredményt adnak, mint a súlyozatlanok. Meg gyelhet®, hogy ha a hibát a bid-ask sávtól való eltérésnek vesszük, akkor az azt eredményezi, hogy az optimális megoldás esetén a számított árfolyamok jobban eltérnek a középárfolyamtól, mint az el®z® esetben. Itt a súlyozatlan, abszolút hibák esetén lényegesen jobb eredményt kapunk. Abban az esetben a legmagasabb az eltérések összege, ha a benchmark kötvényekre fókuszálunk. Ez annak a következménye, hogy a benchmark papírok hibáinak csökkentése mellett nem gyelünk a többi kötvény esetleges félreárazására. Spline 1
0,2729
Spline 5
0,3005
Spline 9
0,3562
Spline 2
0,2320
Spline 6
0,2164
Spline 10
0,3312
Spline 3
0,2093
Spline 7
0,3298
Spline 11
0,3486
Spline 4
0,2063
Spline 8
0,3621
Spline 12
0,3506
5.3. táblázat. A becsült árfolyamok eltérése (RMSE) a valós meg gyelésekt®l
Az eltérések négyzetösszege helyett szemléletesebb a
Pˆi (t, r) − Pi (t, r) Pi (t, r) relatív hibák ábrázolása az egyes kötvények esetén.
Ezért az 5.4 ábra a módosí-
tott átlagid®vel súlyozott négyzetes hibák minimalizálásaikor kapott relatív hibákat szemlélteti (Spline 4, 8, 12) a vizsgált állampapírok esetén, a piros pontok a vételi és eladási árfolyamok relatív eltérését mutatják a középárfolyamtól. Ezzel már látható, hogy mely kötvények adják az eltérés nagy részét. Látható, hogy a benchmark módszer a nem benchmark papírok esetén a vételi árfolyamnál is alacsonyabb árfolyamokat határoz meg, így a korábbiakat is gyelembe véve elmondható, hogy nem célszer¶ a minimalizálást a benchmark kötvényekre végezni csupán. Célravezet®bb lehet a korábban említett módszer, miszerint a benchmark kötvények súlyait egy adott
K
konstanssal szorozzuk, azonban akkor szükséges megtalálni a
helyes átváltást a benchmark és nem benchmark kötvények hibái között. A másik két esetben (zöld és kék oszlopok) láthatjuk, hogy a hibák el®jele két papírt leszámítva (2019/A, 2028/A) megegyezik, így arra lehet következtetni, hogy az árfolyamok számításánál nem vettünk gyelembe valamilyen faktort (persze azzal, hogy csak máshogy de niáljuk a hibákat, még nem változtatunk lényegesen a
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
43
1
0.8
Relatív hiba (százalékpont)
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Becsült árfolyam (alap) Becsült árfolyam (bid−ask) Becsült árfolyam (benchmark) 2014/A
2015/A
2015/C
2016/C
2016/D
2018/B
2017/A
2018/B
2018/A
2019/A
2020/A
2022/A
2023/A
2025/B
2028/A D140806 D141015 D141126 D150121
Állampapír
5.4. ábra. A spline közelítés relatív hibája három hibafüggvény esetén
módszertanon). Meg gyelhet® továbbá, hogy a hosszú lejáratú kötvények (f®leg a 2022/A) esetén jelent®s a relatív hiba, azok esetleges kihagyásával javítnai lehetne a becslést. A meg gyelések, f®leg a hosszú lejáratúaké, kis száma miatt ez azonban nem javasolt.
A spline közelítés relatív hibája különbözõ értékpapírok esetén 1
Relatív hiba (százalékpont)
0.8
2016/C 2018/B 2022/A D141126
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Spline 1
Spline 2
Spline 3
Spline 4
Spline 5
Spline 6
Spline 7
Spline 8
Spline 9
Spline 10 Spline 11 Spline 12
Módszer
5.5. ábra. A spline közelítés relatív hibája különböz® értékpapírok esetén
További következtetések tehet®k, ha néhány kiemelt állampapír esetén ábrázoljuk a relatív hibát az optimalizáláshoz használt hibafüggvényenként, ahogy az 5.5 ábrán is látható.
A választásnál gyelembe vettem, hogy szerepeljen az a papír,
ami elhúzza a hozamgörbét (D141126) és a legnagyobb relatív hibával rendelkez® (2022/A) is.
Látható, hogy az els® módszer, ahogy a rövid távon eltér® hozam-
görbe alapján várható is, félreárazza a majdnem féléves lejáratú diszkontpapírt. A korábbiak alapján pedig az sem meglepetés, hogy a nem benchmark kötvényeket a többihez vizsonyítva is mennyire félreárazza az utolsó négy módszer. A legfontosabb
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
44
azonban, hogy lényegében az összes módszer azonos el®jel¶ relatív hibát eredményez. Eddig csak a harmadfokú spline-okat vizsgáltam (Harmadfokú spline 1), így elvégeztem a görbeillesztést további módszerekkel is (a hibát a módosított átlagid®vel súlyoztam).
Ilyen volt például, amikor a csomópontokat is változóknak tekintet-
tem (Harmadfokú spline 2). Az így kapott, optimális csomópontokat tartalmazza az 5.4 táblázat.
Látható, hogy a csomópontok változtatásával már nem oszlanak
el egyenletesen a meg gyelések az intervallumok között, az els®be kevesebb, míg a másodikba több kerül. Harmadfokú spline 1
0
0,8658
4,7205
14,5671
Harmadfokú spline 2
0,1077
0,60594
5,2237
14,5374
5.4. táblázat. Csomópontok harmadfokú spline becslés esetén
További két módszert is elemeztem, a ML exponenciális spline-t (3 bázisfüggvény) és ennek a trigonometrikus változatát (7 bázisfüggvény). A négy megközelítés által kapott hozamgörbét szemlélteti az 5.6 ábra. Ezen látható, hogy a két harmadfokú spline-nal kapott görbék a rövid távot leszámítva közel megegyeznek (az eltérés a csomópontoknak köszönhet®), míg az exponenciális spline modellel adódó hozamgörbe alakja eltér a többi módszerét®l. A hibák alapján (0,0533;0,055;0,1237;0,0490) elmondható, hogy a gra kus vizsgálattal összhangban az ML exponenciális spline modell teljesít a legrosszabbul 2014.03.31-ére vonatkozóan (több bázisfüggvény esetén még rosszabb volt az illeszkedes). 6.5
Effektív hozam (százalékpont)
6
5.5
Harmadfokú spline 1 Harmadfokú spline 2 ML exponenciális spline MLES−Fourier ÁKK
5
4.5
4
3.5
3
2.5 0
2
4
6
8
10
Lejárat (év)
5.6. ábra. Hozamgörbék spline módszerek esetén
12
14
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
45
5.1.2. Nelson-Siegel alapú modellek A szükséges faktorok számának meghatározására f®komponens elemzést végeztem a
3
nyilvános magyar zérókupon adatokon
a 2002.01.01. és 2014.02.28. közti id®szakra.
A f®komponens elemzéssel egymással korrelált változókból állítunk el® korrelálatlanokat (Kovács, 2011). Az SPSS statisztikai programmal kapott komponens mátrix eredményeit láthatjuk az 5.7 ábrán, ami azt mutatja meg, hogy az egyes hozamok mennyire korrelálnak a kapott f®komponensekkel.
Látható, hogy minden hozam
er®sen, ugyanolyan mértékben korrelál az els® f®komponenssel, így az valóban tekinthet® a szintnek. A második f®komponens a rövid lejáratok esetén er®s pozitív kapcsolatot mutat, míg hosszú lejáratok esetén már negatívat. Ez alapján ezt meredekségként értelmezhetjük. Két f®komponens elegend® a magyar adatok alapján, ugyanis ezek a hozamok varianciájának 99,062%-át magyarázzák.
1
Korreláció
0.5
0
−0.5
1. fõkomponens 2. fõkomponens 0,25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Lejárat (év)
5.7. ábra. A zérókupon hozamok és a f®komponensek korrelációja
Tehát abban az esetben, ha rendelkezésünkre áll már egy zérókupon hozamgörbe, akkor két faktorral (szint és meredekség) leírhatjuk a hozamokat. A piacon ez azonban nem gyelhet® meg, így a rugalmasabb, három faktoros Nelson-Siegel modellt vizsgáltam el®ször. El®ször x lambdák (0, 25; 0, 5; 0, 75; 1; 1, 25; 1, 5; 1, 75; 2; 2, 25; 2, 5) mellett határoztam meg a három faktoros Nelson-Siegel modellel kapható hozamgörbéket. Az 5.8 ábra alapján a következ®ket gyelhetjük meg. Az els® és második faktor összege a lambdával n®. A szint független az exponenciális késleltetést®l, illetve a hosszú lejáratú hozamok megegyeznek, így azt várom, hogy az els® faktor közel azonos a különböz® lambdák mellett, míg a második faktor emelked®.
A harmadik faktor
pedig a hozamgörbe púpossága alapján el®jelet vált és egyre jobban csökken.
Az
ÁKK által számított görbéhez képest hosszabb lejáratokon a görbe rugalmatlanabb, de középtávon nem tapasztalható eltérés. Látható, hogy a kapott hozamgörbék rövid távú illeszkedése mennyire érzékeny az exponenciális késleltetésre, így dinamikus
3 Az
adatokért köszönettel tartozom az Államadósság Kezel® Központ Zrt. elemzési osztályának.
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
46
7.5 7
Loghozam (százalékpont)
6.5 6 5.5 5 4.5 4 NS 1 NS 3 NS 5 NS 7 NS 10 ÁKK
3.5 3 2.5 0
2
4
6
8
10
12
14
Lejárat (év)
5.8. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén
vizsgálat esetén különösen fontos ennek helyes megválasztása (Diebold és Li, 2006). Az ábra alapján nem meglep®, hogy nagyobb lambda magasabb hibát eredményez, ez látható az 5.5 táblázatban. Habár nem ábrázoltam külön, de érdemes megemlíteni, hogy a Nelson-Siegel modell a 2028/A papírt árazza szigni kánsan félre (a spline módszereknél ez a papír a a 2022/A volt).
λ = 0, 25
0,0969
λ = 0, 5
0,0971
λ = 0, 75
0,1008
λ=1
0,1107
λ = 1, 25
0,1283
λ = 1, 5
0,1510
λ = 1, 75
0,1758
λ=2
0,2007
λ = 2, 25
0,2246
λ = 2, 5
0,2469
5.5. táblázat. Hibák különböz® lambdák mellett a NS modell esetén A becsléssel kapott béta értékek láthatóak az 5.9 ábrán. Ezen meg gyelhet®ek az el®z® várakozások a faktorok alakulására.
0.05
A faktor értéke
0
−0.05
−0.1 β1 β2 −0.15
β3 0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
A λ értéke
1.75
2
2.25
2.5
5.9. ábra. Faktorok különböz® lambdák mellett a NS modell esetén
A spline módszerekhez hasonlóan szükséges megvizsgálni a kialakuló optimális faktorok kezd®pont függését. Adott lambda mellett a korábban említettek alapján az optimalizálás legkisebb négyzetek módszerével megoldható a linearitás miatt, és
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
az optimalizálás stabil eredményeket ad.
47
Ha a faktorokon kívül a lambdát is be-
csüljük, akkor már a nemlinearitás miatt érdekes lehet a kezd®pont függés. Ezért 162-szer elvégeztem az optimalizálást, ahol az egyes faktorok és a lambda a következ® lehetett:
β1 = {0, 05; 0, 08; 0, 11}, β2 = {−0, 1; 0; 0, 1}, β3 = {−0, 1; 0; 0, 1}
λ = {0, 25; 0, 75; 1, 25; 1, 75; 2, 25; 2, 75}.
és
A különböz® kezd®pontokból elvégezve az
optimalizálást az 5.10 ábrán szerepl® paraméterek adódnak. Ezen látható, hogy az egyes faktorok stabilak, míg a lambdában tapasztalható kisebb ingadozás, de közel sem akkora, mint ami a harmadfokú spline módszer súlyainál volt jellemz®. 0.4
0.35
0.3
A β és λ érték
0.25
β1 β2
0.2
β3 λ Hiba
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Futtatás
5.10. ábra. A faktorok és a lambda kezd®pont függése a Nelson-Siegel modell esetén
A 4.4.2 részben bemutatott Nelson-Siegel típusú modellek esetén is elvégeztem a görbeillesztést a 2014.03.31-ei adatokra, módosított átlagid®vel súlyozott hibatagok esetén. Minden módszernél a 4.2 táblázat összes paraméterét módosulónak tekintettem a Solverben. WRMSE
RMSE
Kétfaktoros Nelson-Siegel
0,0958
0,4316
Három faktoros Nelson-Siegel
0,0958
0,4317
Björk és Christensen
0,0959
0,4333
Bliss
0,0788
0,2967
Svensson
0,0957
0,4262
Módosított Svensson
0,0851
0,3755
5.6. táblázat. A Nelson-Siegel típusú modellek hibája
A kapott
W RM SE D
∗
hibák alapján, melyet az 5.6 táblázat tartalmaz, a Bliss
módszer t¶nik a legjobbnak, az
RM SEt
oszlop is ezt támasztja alá.
Utóbbiakat
összehasonlítva a különböz® hibafüggvény¶ spline illesztésekkel (5.3 táblázat) elmondható, hogy a Nelson-Siegel modellek erre a napra gyengébben teljesítenek az
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
48
illeszkedésben. De ett®l függetlenül más preferenciák miatt, például a görbe alakja, választhatjuk ezeket. A hozamgörbék 5.11 ábráját vizsgálva látható, hogy a Nelson-Siegel típusú modellek az Államadósság Kezel® Központ görbéjénél rugalmatlanabb illeszkedést eredményeznek. Nagyon rövid távon a módosított Svensson-modell ad irreális eredményeket, ez a faktorokra és a lambdákra kapott eredményekb®l is látszik (5.7 táblázat). Ezenkívül a Bliss modell tér el a többit®l mind az ábrát, mind a táblázatot tekintve. 6.5
6
Loghozam (százalékpont)
5.5
5
4.5
4
3.5
Kétfaktoros NS Háromfaktoros NS Björk és Christensen Bliss Svensson Módosított Svensson ÁKK
3
2.5 0
2
4
6
8
10
12
14
Lejárat (év)
5.11. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel típusú modellek esetén
A kapott faktorok alapján látható, hogy a két- és három faktoros Nelson-Siegel nem tér el jelent®sen, ez azt jelenti, hogy a görbében kicsi a görbület. Hasonló eredményeket ad a Björk és Christensen, illetve a Svensson modell is, így a 2014.03.31-ei hozamgörbét els®dlegesen csupán a szint és a meredekség határozza meg.
βt,1
βt,2
βt,3
2F NS
0,0693
-0,046
3F NS
0,0693
-0,046
-0,0002
Björk és Christ.
0,0692
-0,0456
-0,0059
Bliss
0,2884
-0,2662
-0,5381
Svensson
0,0698
-0,0466
-0,0056
Mód. Svensson
0,0713
-0,0294
0,0222
βt,4
λt,1
λt,2
0,3318 0,3333 -0,0002
0,3777
0,0763
0,2204
0,5987
0,0027
0,3513
1,3533
-0,032
0,0959
5.7. táblázat. A kapott faktorok és lambdák különböz® modellek esetén
Eddig egy adott napra, statikusan vizsgáltam a hozamgörbe illesztését. A következ® részben a dinamikus illesztést mutatom be az R statisztikai programcsomag segítségével.
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
49
5.2. Dinamikus vizsgálat A dinamikus elemzés során a 2003.01.02.
és 2013.12.31.
közti árfolyam adatokat
használtam fel. Az el®z® elemzéshez hasonlóan kisz¶rtem a változó kötvények meg gyeléseit, ezenkívül azonban mindent felhasználtam. Excelben elég nehézkes volna egy ilyen hosszú id®szakra illeszteni hozamgörbéket, ezért az R
termstrc
csomagját
használtam, ezt Ferstl és Hayden (2010) mutatja be részletesen. A csomag felhasználásval egy adott napra illeszthet® hozamgörbe a harmadfokú spline módszerrel, ahol a csomópontok számának meghatározása McCulloch (1971) történik. A NelsonSiegel típusú modellek közül pedig a három faktoros Nelson-Siegel modellt, illetve a Svensson és a módosított Svensson modellt használhatjuk, ezeknél minden paramétert becsül. Rögzített lambda esetén Diebold és Li (2006) módszertanával is elvégezhet® az elemzés.
Eredményként megkapható a diszkontfüggvény, a hozam-
és forwardgörbe, a becsült súlyok, illetve a faktorok az exponenciális késleltési paraméterekkel. Megkaphatjuk továbbá a korábban említett cash- ow mátrixot is, az átlagid®ket, a becsült kötvényárfolyamokat és lejératig számított hozamokat, illetve azok hibáját egyaránt. A következ®kben a kapott eredményeket mutatom be, a használt R kódok az A. függelékben találhatóak (a kapott eredmények kinyerésére csak egy reprezentatív példát másoltam be). 0.1
Faktor
0
−0.1 w1 w2 w3 w4 w5
−0.2 2003.01.02
2004.10.18
2006.07.26
2008.05.16
2010.05.21
Dátum
5.12. ábra. Súlyok a harmadfokú spline modell esetén A harmadfokú spilne módszer esetén Ferstl és Hayden (2010) az általam bemutatottól picit eltér® bázisfüggvényeket használ, ez megtalálható tanulmányukban. Minden egyes napra külön-külön megbecsültem a hozamgörbét, majd a súlyok alakulását tekintettem. Az 5.12 ábra alapján a rövid távon ható bázisfüggvény súlya a legvolatilisebb, egyik napról a másikra is jelent®sen meg tud változni. A többi bázisfüggvény súlyának alakulása viszonylag stabilnak mondható. A vizsgált id®szak elején 4 csomópont volt a meg gyelések száma alapján, míg 2010 második felét®l már csak három, ezért ábrázoltam a kapott súlyokat csak addig.
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
50
1
Diszkontfaktor
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0,01
2013.12.31
3,6
2011.05.04
7,2
2008.07.24
10,8
2005.10.10 14,58
2003.01.02
5.13. ábra. Diszkontfaktorok a harmadfokú spline modell esetén
A diszkontfaktorokon nem látszik a súlyoknál tapasztalható ingadozás, az 5.13 ábra alapján a diszkontfüggvények teljesítik az elvárható feltételeket.
Azaz 0-ból
indulnak, pozitívak és monoton csökkennek. Az illesztés viszonylag gyorsan, fél óra alatt lefutott, illetve a kapott eredmények alapján ez a módszer használhatónak bizonyult. 20
15
10
Faktor
5
0
−5
−10
β1 β2
−15
β3 τ
−20 2003.01.02
2005.10.10
2008.07.08
2011.07.19
2013.12.31
Dátum
5.14. ábra. Faktorsúlyok a Nelson-Siegel modell esetén
Ezután megvizsgáltam a háromfaktoros Nelson-Siegel illesztést is minden napra. Ekkor a 2758 nap közül utólag kisz¶rtem azokat, ahol irreális eredményeket kaptam, azaz ahol a második és harmadik faktor nem esik faktor kisebb, mint és a
τ
1%.
−20
és
20
közé, vagy az els®
Így 225 napot töröltem az elemzésb®l. A kapott faktorok
(ez az exponenciális késleltetés reciproka) id®soros alakulásából (5.14 ábra)
nagyfokú volatilitást gyelhetünk meg. Ez els®sorban a nemlineáris optimalizálás instabilitásából fakad, különösen nagy volatilitás gyelhet® meg a görbület és a esetében.
τ
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
51
12
Loghozam (százalékpont)
11 10 9 8 7 6 5 4 14,58 10,8
3 7,2 2 2003.01.02
2005.10.10
2008.07.08
2011.07.19
2013.12.31
3,6 0,01
5.15. ábra. Hozamgörbék a Nelson-Siegel modell esetén
A kapott hozamgörbék 5.15 ábráján továbbra is láthatóak extrém görbék, ezek el®sorban a rövid oldalon adnak rossz közelítést. Ezen látszanak a benchmark hozamoknál említett állampapírpiaci zavarok, ezek a legmagasabb szakaszok. Meg gyelhet® továbbá, hogy a 11 év során mennyire változatos a magyar hozamgörbék alakja, illetve a meredekség változása is. A faktorok és a hozamgörbe pontok magas volatilitása, illetve a lassabb futásid® (fél nap) miatt így e módszer használata kell® körültekintést igényel.
β1
15
β2 β3
Faktor
10
5
0
−5
2003.01.02
2005.10.10
2008.07.24
2011.05.04
2013.12.31
Dátum
5.16. ábra. Faktorsúlyok a dinamikus Diebold-Li modell esetén
A harmadik módszer esetén rögzítettem a alapján ennek
0, 7308-at
λ
értéket, és Diebold és Li (2006)
választottam. A faktorok 5.16 ábrája alapján a görbület
faktor mutat nagyobb ingadozást, els®sorban a pénzügyi válság idején.
Az opti-
malizálás egyszer¶södésével a faktorok volatilitása is lényegesen csökken (korábban a
τ
paraméter változékonysága átragadt a faktorokra is).
Az 5.17 ábrán látható
hozamok is ezt a stabilitást támasztják alá, a hozamgörbe dinamikája megegyezik
5. FEJEZET. EMPIRIKUS VIZSGÁLAT
52
az el®z® ábrán tapasztaltéval. A futásid® a három módszer közül a legalacsonyabb, így további vizsgálatokra és el®rejelzésre ez a módszer javasolt a lambda körültekint® megválasztása mellett. A Svensson- és módosított Svensson módszerekkel a rendkívül hosszú futásid® (körülbelül 1 hét) miatt nem végeztem el a görbeillesztést.
12
Loghozam (százalékpont)
11 10 9 8 7 6 5 4 14,58 10,8
3 7,2 2 2003.01.02
2005.10.10
2008.07.24
2011.05.04
2013.12.31
3,6 0,01
5.17. ábra. Hozamgörbék a dinamikus Diebold-Li modell esetén
Ebben a fejezetben egy 11 éves periódus minden napjára megbecsültem a piaci adatok alapján a hozamgörbéket.
Ez még a 4.5 részben említett két lépéses
módszer els® lépése, szükséges volna még a faktorok id®sora alapján az AR(1) vagy VAR(1) folyamatokat is megbecsülni. Jelen dolgozatban azonban erre nem térek ki részletesen.
6. fejezet
Befejezés
A külföldi jegybankok gyakorlatában
1
a legelterjedtebb a simított spline és Svensson
modellek használata, ahogy a 6.1 táblázatban is látható (Bank for International Settlements (BIS), 2005). Megoszlik azonban, hogy miknek a hibáját minimalizálják, az árakét súlyozva, vagy a hozamokét.
Központi Bank
Becslési módszer
Minimalizált hiba
Belgium
Svensson vagy Nelson-Siegel
súlyozott ár
Egyesült Királyság
VRP
hozam
Finnország
Nelson-Siegel
súlyozott ár
Franciaország
Svensson vagy Nelson-Siegel
súlyozott ár
Japán
simított spline
árak
Kanada
ML exponenciális spline
súlyozott ár
Németország
Svensson
hozam
Norvégia
Svensson
hozam
Olaszország
Nelson-Siegel
súlyozott ár
Spanyolország (-1995)
Nelson-Siegel
árak
Spanyolország (1995-)
Svensson
súlyozott ár
Svájc
Svensson
hozam
Svédország
simított spline vagy Svensson
hozam
USA (kincstárjegy)
simított spline
súlyozott ár
USA (kötvény)
simított spline
árak
6.1. táblázat. A külföldi jegybankok gyakorlata (Bank for International Settlements (BIS), 2005)
1 Habár
külön nem esett szó róla, de a britek által használt VRP (Variable Roughness Penalty) modell a simított spline módszerek egyik változata (Anderson és Sleath, 2001).
53
6. FEJEZET. BEFEJEZÉS
54
Dolgozatomban áttekintettem a hozamgörbe modellezésének különböz® lehet®ségeit. Az a n modellek osztályát jelen tanulmányban nem vizsgáltam részletesen, pedig azok is a hozamgörbe modellezésének alapkövei. Ugyanakkor azért helyeztem nagyobb hangsúlyt az empirikus modellekre, mert Kopányi (2009) a hozamgörbe dinamikus becslése során els®sorban az a n modelleket vizsgálja, így azokról már született átfogó magyar elemzés. Tanulmányában arra az eredményre jut, hogy a három faktoros Vasicek modell jó választás a magyar adatok alapján. A rendszerez® bemutatás során említett modellek közül részletesen csak a spline és a Nelson-Siegel típusúakkal foglalkoztam, ezek elengedhetetlenek a téma módszertani megalapozásához.
Így aprólékosan felépítettem a spline modellek módszertanát, a lineáris
illesztéseken keresztül a harmadfokú spline-okig. Természetesen a vizsgálat tovább folytatható a B-spline bázisfüggvények vagy a simított spline-ok irányába. A Nelson-Siegel típusú modellek kapcsán a két-, három- és négyfaktoros modellek elméletével egyaránt foglalkoztam. Így megemlítettem a két- és három faktoros Nelson-Siegel, a Björk és Christensen, a Bliss, a Svensson és a módosított Svensson modelleket. Egyik továbblépési irány az empirikus modellek kapcsán makrováltozók bevezetése a faktorok közé. A Magyar Nemzeti Bank m¶helytanulmányában Reppa (2009) két látens (szint, meredekség) és négy meg gyelhet® faktor (in áció, kibocsátás, alapkamat, devizaárfolyam) mellett elemzi a magyar adatokat. Eredményül azt kapta a szerz®, hogy a látens faktorok varianciájánák közel 60%-a magyarázható makrogazdasági sokkokkal.
Vizsgálhatók továbbá a faktorok értékét meghatározó
regionális és globális hatások.
opov és Seidler (2011) a magyar, lengyel, cseh és
szlovák hozamgörbéket meghatározó faktorokban szerepl® regionális hatásokat vizsgálták dinamikus Nelson-Siegel modell segítségével. A szerz®k azt találták, hogy a magyar hozamgörbére hatnak leginkább a regionális faktorok a négy ország közül. A magyar adatok alapján statikus és dinamikus elemzést is végeztem 2014.03.31ére, illetve a 2003.01.02.
és 2013.12.31.
közti id®szakra.
Az egy adott napra
vonatkozó illesztést Excellel készítettem el, el®ször harmadfokú spline módszerrel, különböz® hibafüggvények esetére.
A legjobb illeszkedést a súlyozott hibák mini-
malizálása eredményezte, így a vizsgálat további részében módosított átlagid®vel súlyozott hibatagokat használtam. A Nelson-Siegel esetben, a Bliss modellt leszámítva rosszabb illeszkedéseket kaptam. Túlzott következtetést azonban nem vontam le egy nap alapján, szükséges az eredmények további elemzése is. Ilyen lehet például a vizsgálat megismétlése egy hosszabb id®távon keresztül, az esetlegesen félreárazott értékpapírok kisz¶rése a meg gyelések közül vagy pedig az el®zetesen rögzített preferenciának (például alak, simaság) megfelel® hozamgörbe kiválasztása. Mivel a hozamgörbéket optimalizálással kaptam, így érzékenységvizsgálatot is készítettem a
6. FEJEZET. BEFEJEZÉS
55
kezd®pontra vonatkozóan. Az eredmények alapján a harmadfokú spline módszerek esetén jobban függ a kapott eredmény a kezd®pont megválasztásától, mint a három faktoros Nelson-Siegel modellnél. A dinamikus elemzés során egy hosszabb id®szakra végeztem el minden napra vonatkozóan a hozamgörbe illesztését az R statisztikai programcsomag segítségével. Három módszert tekintettem, a harmadfokú spline-t, valamint a három faktoros Nelson-Siegel modellt rögzített és becsült exponenciális késleltetés paraméter mellett. A kapott bázisfüggvény súlyok és faktorok gra kus elemzése során arra jutottam, hogy a rögzített
λ
paraméter¶ dinamikus Nelson-Siegel modell esetén kapunk
további elemzésre alkalmas faktor id®sorokat. minden napra külön becsültem a dozást mutattak.
λ
A másik két esetben, f®leg, amikor
paramétert, az id®sorok sokkal nagyobb inga-
Ez alapján kijelenthetem, hogy a hozamgörbe el®rejelzéséhez a
dinamikus Nelson-Siegel modell (Diebold és Li, 2006) használható.
A dinamikus
vizsgálat soron következ® lépéseként szükséges meghatározni a megfelel®
λ
paramé-
tert, illetve a három faktor id®soros alakulását leíró (vektor) autoregresszív folyamatot. Az elemzés további folytatására másik lehet®ség a faktorok dinamikájának és a hozamgörbe illesztésének együttes becslése is. A dolgozat megírása során célom volt a hozamgörbe modellezésének rendkívül széles módszertanának bemutatása.
Ebb®l fakadóan nem volt lehetséges mindent
teljes részletességében vizsgálni, azonban hiszem, hogy legalább egy kezdeti képet sikerült adnom. Reményeim szerint kell®képp felhívtam a gyelmet a módszertani kihívásokra, illetve a további elemzések szükségességére és irányára.
A. függelék
Programkódok
56
beolvasas_papir=read.csv("dynDataCSV.csv", sep=";", dec=",", header=TRUE) beolvasas_cf=read.csv("cfDataCSV.csv", sep=";", dec=",", header=TRUE) data <-list() class(data) <- "dyncouponbonds" adatbazis_elem <- function(date, pos){ data[[pos]] <<- list(HUNGARY=list(ISIN=as.vector(beolvasas_papir$ISIN[beolvasas_papir$TODAY==date]), MATURITYDATE=as.Date(beolvasas_papir$MATURITYDATE[beolvasas_papir$TODAY==date], format="%Y.%m.%d"), ISSUEDATE=as.Date(beolvasas_papir$ISSUEDATE[beolvasas_papir$TODAY==date], format="%Y.%m.%d"), COUPONRATE=as.vector(beolvasas_papir$COUPONRATE[beolvasas_papir$TODAY==date]), PRICE=as.vector(beolvasas_papir$PRICE[beolvasas_papir$TODAY==date]), ACCRUED=as.vector(beolvasas_papir$ACCRUED[beolvasas_papir$TODAY==date]), CASHFLOWS=list(),
cf_index<-logical(length(beolvasas_cf$CFISIN)) for (i in c(1:length(data[[pos]]$HUNGARY$ISIN))) { cf_index=cf_index | (beolvasas_cf$CFISIN==data[[pos]]$HUNGARY$ISIN[i] & as.vector(beolvasas_cf$DATE)>=date)} data[[pos]]$HUNGARY$CASHFLOWS <<-list(ISIN=as.vector(beolvasas_cf$CFISIN[cf_index]), CF=as.vector(beolvasas_cf$CF[cf_index]), DATE=as.Date(beolvasas_cf$DATE[cf_index], format="%Y.%m.%d")) class(data[[pos]]) <<- "couponbonds"} adatbazis <- function(date1,date2) { data <-list()
A. FÜGGELÉK. PROGRAMKÓDOK
TODAY=as.Date(date, format="%Y.%m.%d")))
class(data) <- "dyncouponbonds" dates=vector() dates<-as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY)[as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY))>=date1 & as.vector(unique(beolvasas_papir$TODAY))<=date2]) for (i in 1:length(dates)) { adatbazis_elem(dates[i],i)} return(data)} becsles<-function(type="cs", data=data_input, bound=c(0,15)) { res<-list() group_est<-"HUNGARY" matrange_est<-c(bound[1],bound[2]) 57
if(type =="cs") {
res[[i]]<-estim_cs(data[[i]], group=group_est, matrange=matrange_est, rse = TRUE)}} else { for (i in 1:length(data)) { res[[i]]<-estim_nss(data[[i]],group=group_est, matrange=matrange_est, method=type)}} return(res)} idosor_beta_ns<- function(result) { lambda_ts<-data.frame() row.names<-c() for (i in 1:length(data)) { row.names<-c(row.names,as.character(data[[i]]$HUNGARY$TODAY))
A. FÜGGELÉK. PROGRAMKÓDOK
for (i in 1:length(data)) {
for (j in 1:4) { lambda_ts[i,j]<- result[[i]]$opt_result$HUNGARY$par[j]}} rownames(lambda_ts)<-c(row.names) colnames(lambda_ts)<-c("Beta1","Beta2","Beta3","Tau1") write.table(lambda_ts, file="beta_ns_ts.txt", sep=";", dec=",")}
58
Irodalomjegyzék
ÁKK Zrt.
Éves jelentés az államadósság kezelésér®l.
http://akk.hu//kepek/
upload/2013/%C3%89VES%20JELENT%C3%89S%20-%20magyar-48.pdf,
2012.
Le-
töltve: 2014-04-21. N. Anderson és J. Sleath. New estimates of the uk real and nominal yield curves. 2001. A. Ang és M. Piazzesi. A no-arbitrage vector autoregression of term structure dynamics with macroeconomic and latent variables.
Journal of Monetary economics,
50(4):745787, 2003. Bank for International Settlements (BIS). Zero-coupon yield curves: Technical documentation.
BIS Papers, 25, 2005.
Tomas Björk és Bent Jesper Christensen. forward rate curves. R. R. Bliss.
Interest rate dynamics and consistent
Mathematical Finance, 9(4):323348, 1999.
Testing term structure estimation methods.
Working Paper Series
(Federal Reserve Bank of Atlanta), 96(12):142, 1996. D. J. Bolder. A ne term-structure models: Theory and implementation. Working Paper 2001-15 Bank of Canada, 2001. D. J. Bolder. Modelling term-structure dynamics for risk management: A practitioner's perspective. Working Paper 2006-48 Bank of Canada, 2006. D. J. Bolder és S. Gusba. Exponentials, polynomials, and fourier series: More yield curve modelling at the bank of canada. Working Paper 2002-29 Bank of Canada, 2002. D. J. Bolder és S. Liu. Examining simple joint macroeconomic and term-structure models: A practitioner's perspective. Working Paper 2007-49 Bank of Canada, 2007.
59
IRODALOMJEGYZÉK
60
D. J. Bolder és T. Rubin. Optimization in a simulation setting: Use of function approximation in debt strategy analysis. Working Paper 2007-13 Bank of Canada, 2007. J. H. E. Christensen, F. X Diebold és G. D. Rudebusch. The a ne arbitrage-free class of nelsonsiegel term structure models.
Journal of Econometrics,
164(1):
420, 2011. J. C Cox, J. E. Ingersoll és S. A. Ross. A theory of the term structure of interest rates.
Econometrica: Journal of the Econometric Society, 53(2):385407, 1985.
Q. Dai és K. J. Singleton.
Speci cation analysis of a ne term structure models.
The Journal of Finance, 55(5):19431978, 2000. Danmarks
Nationalbank.
debt.
Danish
government
borrowing
and
http://www.nationalbanken.dk/C1256BE9004F6416/side/
B91B80668274D0A6C125783F00379DA7/$file/SLOG-2010-UK-web.pdf,
2010.
Letöltve: 2014-04-21. M. De Pooter. Examining the nelson-siegel class of term structure models.
Tinbergen
Institute Discussion Papers. Tinbergen Institute, 2007. F. X. Diebold és C. Li. Forecasting the term structure of government bond yields.
Journal of Econometrics, 130:337364, 2006. F. X. Diebold, M. Piazessi és G. D. Rudebusch. Modeling bond yields in nance and macroeconomics.
The American Economic Review, 95:415420, 2005.
F. X. Diebold, L. Ji és C. Li. A three-factor yield curve model: non-a ne structure, systematic risk sources and generalized duration.
Long-run Growth and Short-run
Stabilization: Essays in Memory of Albert Ando, pages 240274, 2006a. F. X. Diebold, G. D. Rudebusch és S. B. Aruoba. yield curve: a dynamic latent factor approach.
The macroeconomy and the
Journal of econometrics,
131(1):
309338, 2006b. G. R. Duee. Term premia and interest rate forecasts in a ne models.
The Journal
of Finance, 57(1):405443, 2002. E. F. Fama és R. R. Bliss. The information in long-maturity forward rates.
The
American Economic Review, 77(4):680692, 1987. András,. Faragó és Róbert, Horváth. 2013.
Numerikus módszerek.
Typotex, Budapest,
IRODALOMJEGYZÉK
61
R. Ferstl és J. Hayden. Zero-coupon yield curve estimation with the package termstrc.
Journal of Statistical Software, 36(1), 2010.
M. Fischer, D. Nychka és D. Zervos. Fitting the term structure of interest rates with smoothing splines. Federal Reserve System Working Paper No. 95-1., 1995. D. Heath, R. Jarrow és A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation.
Econometrica: Journal
of the Econometric Society, 60(1):77105, 1992. T. S. Y. Ho és S. B. Lee. contingent claims.
Term structure movements and pricing interest rate
The Journal of Finance, 41(5):10111029, 1986.
J. C. Hull és A. D. White. Numerical procedures for implementing term structure models i: Single-factor models.
The Journal of Derivatives, 2(1):716, 1994a.
J. C Hull és A. D White. Numerical procedures for implementing term structure models ii: Two-factor models.
The Journal of Derivatives, 2(2):3748, 1994b.
S. Hurn, K.h Lindsay és V. Pavlov. Smooth estimation of yield curves by laguerre functions. 2005. Szabolcs András, Kopányi.
A hozamgörbe dinamikus becslése.
Ph.d. értekezés,
Budapesti Corvinus Egyetem, 2009. Erzsébet, Kovács.
Pénzügyi adatok statisztikai elemzése.
Tanszék Kft., Budapest,
2011. R. B. Litterman és J. Scheinkman. Common factors aecting bond returns.
The
Journal of Fixed Income, 1(1):5461, 1991. Tamás, Makara.
A hozamgörbe becslése spline módszerrel.
Nemzetközi Bankárképz®
Központ, Budapest, 1998. Tamás, Makara. A hozamgörbe mérése. Egyetemi Tanulmány (BCE), 2013. J. H. McCulloch.
The tax-adjusted yield curve.
The Journal of Finance,
30(3):
811830, 1975. J.H. McCulloch. Measuring the term structure of interest rates.
Journal of Business,
44(1):19, 1971. Péter, Medvegyev és János, Száz.
A meglepetések jellege a pénzügyi piacokon.
zetközi Bankárképz® Központ, Budapest, 2010.
Nem-
IRODALOMJEGYZÉK
62
R. C. Merton. Theory of rational option pricing.
Bell Journal of Economics,
4(1):
141183, 1973. C. R. Nelson és A. F. Siegel. Parsimonious modeling of yield curves.
The Journal
of Business, 60(4):473489, 1987. Zoltán, Reppa. A joint macroeconomic-yield curve model for hungary. MNB Working Papers 2009/1, 2009. B. opov és J. Seidler.
Yield curve dynamics:
Regional common factor modell.
Prague Economic Papers, 2:141, 2011. L. E. O. Svensson.
Estimating and interpreting forward interest rates:
Sweden
19921994. NBER Working Paper Series No. 4871, 1994. O. A. Vasicek. An equilibrium characterization of the term structure.
Journal of
nancial economics, 5(2):177188, 1977. O. A. Vasicek és H. G. Fong. Term structure modeling using exponential splines.
The Journal of Finance, 37(2):339348, 1981. Y. Yu.
Modeling a two-currency a ne arbitrage-free nelson-siegel tem structure
model. Master's thesis, National University of Ireland, 05 2012.
