Syntetická sekuritizace Jaroslav Rauš, Filip Šimsa Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK

Syntetick´ a sekuritizace ˇ Jaroslav Rauˇs, Filip Simsa Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky MFF UK

´ Uvod

1

1 Gener´ ator korelovan´ ych default˚ u

2

2 Tranˇ sov´ an´ı portfolia 2.1 Teoretick´ y z´ aklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Odhady hustoty rozdˇelen´ı relativn´ı ztráty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 8

3 Vyˇ c´ıslen´ı n´ aklad˚ u sekuritizace 3.1 Urˇcen´ı spravedlivé prémie CDS kontrakt˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Urˇcen´ı v´ yˇse prémie CDS kontrakt˚ u v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Regulatorn´ı vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 11

4 Realizace 4.1 Popis dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Zpracov´ an´ı dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Aplikace teoretick´ ych v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . 4.3.1 Odhad rozdˇelen´ı ztr´ at . . . . . . . . . . 4.3.2 Tranˇsov´ an´ı portfolia . . . . . . . . . . . 4.4 Vyhodnocen´ı n´ aklad˚ u a kapit´ alové pˇrimˇeˇrenosti

13 13 14 14 15 16 19

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Z´ avˇ er

21

Seznam pouˇ zit´ e literatury

23

Appendix

24

´ Uvod Práce je zkr´ acenou a m´ırnˇe pˇrepracovanou verz´ı [1], kterou zadal Mgr. Martin Hanuˇs, Ph.D. ze spoleˇcnosti Raiffeisenbank a.s. jako roˇcn´ıkov´ y projekt na MFF UK. C´ılem [1] je vybudovat pomocn´ y rozhodovac´ı n´ astroj pro urˇcen´ı, zda je proces sekuritizace pro banku v dan´ y moment v´ yhodn´ ym ˇreˇsen´ım. Cel´ y proces je n´ azornˇe pops´ an na reáln´ ych datech a naprogramován v jazyce R [14], kter´ y na základˇe v pr´ aci popsan´ ych pˇr´ıstup˚ u napoˇc´ıtá v´ ystupy nutné pro samotn´ y rozhodovac´ı proces. Skript je z tohoto d˚ uvodu moˇzné st´ ahnout na webové stránce http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~simsaf/. Dˇr´ıve, neˇz pop´ıˇseme strukturu této pr´ ace, vysvˇetl´ıme samotn´ y pojem sekuritizace. Pˇredstavme si hypotetick´ y stav, kdy banka rozp˚ ujˇcovala vˇsechen sv˚ uj voln´ y kapitál. A v této situaci se j´ı nab´ız´ı nové moˇznosti poskytnut´ı u ´vˇer˚ u. Jeden ze zp˚ usob˚ u, jak dosáhnout uvolnˇen´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u (a t´ım poskytnout bance moˇznost dalˇs´ıch investic), se naz´ yvá sekuritizace. Pojem sekuritizace lze definovat jako (jedná se o definici International Finance Corporation – ˇclen svˇetové banky): Sekuritizace aktiv je proces, ve kterém se nevyrovnané finanˇcn´ı pohledávky pr´ avnˇe ” a ekonomicky izoluj´ı a jejich oˇcek´ avané finanˇcn´ı toky se sdruˇzuj´ı do obvykle velmi bonitn´ıch cenn´ ych pap´ır˚ u, které jsou podloˇzené aktivy.“ Zaved’me nejdˇr´ıve pojem tradiˇcn´ı sekuritizace. Základn´ı myˇslenkou je fyzick´ y prodej kreditn´ıho rizika z jistého objemu pohled´ avek aktiv (´ uvˇer˚ u, hypoték) investor˚ um. T´ım se nejen z´ıská likvidita samotn´ ym prodejem, ale také se uvoln´ı v´ azan´ y kapitál potˇrebn´ y ke kryt´ı rizika dan´ ych aktiv. Aktiva urˇcen´ a k prodeji se slouˇc´ı a zabal´ı do tzv. poolu aktiv, kter´ y se fyzicky pˇrevede na SPV (Special purpose vehicle), tedy na spoleˇcnost, kter´ a je na bance plnˇe nezávislá a jej´ımˇz jedin´ ym u ´kolem je proveden´ı v´ yˇse popsané transakce. SPV n´ aslednˇe emituje nové CP, asset backed securities, které jsou podkladov´ ymi aktivy zajiˇstˇeny. Tento produkt je pak urˇcen k prodeji investor˚ um. Aby bylo snazˇs´ı oslovit investory s rozd´ılnou averz´ı k riziku, provád´ı se u sekuritizovan´ ych CP tzv. tranˇsován´ı. Jedn´ a se o operaci, kdy rozdˇel´ıme pool aktiv do nˇekolika vzájemnˇe podˇr´ızen´ ych skupin. Tyto skupiny se naz´ yvaj´ı tranˇse. Vz´ ajemnˇe podˇr´ızené jsou ve smyslu, ˇze v pˇr´ıpadˇe nastán´ı kreditn´ı události postihne ztr´ ata nejdˇr´ıve nejniˇzˇs´ı tranˇse, aˇz v pˇr´ıpadˇe vyˇcerpán´ı vˇsech podˇr´ızen´ ych tranˇs´ı ztráta postihne i tranˇsi vyˇsˇs´ı. Cel´ y tento proces je ovˇsem pro investory málo pr˚ uhledn´ y, nebot’ maj´ı jen velmi omezené informace o podkladov´ ych aktivech a jejich bonitˇe. Z tohoto d˚ uvodu banky nech´ avaj´ı jednotlivé tranˇse ohodnotit ratingov´ ymi agenturami. Jak se ovˇsem ukázalo v dobˇe finanˇcn´ı krize, tyto ratingy byly ˇcasto nadhodnocované. Pˇri syntetické sekuritizaci oproti tradiˇcn´ı sekuritizaci nedocház´ı k pˇrevodu podkladov´ ych aktiv na SPV, ale pouze k pˇrevodu kreditn´ıho rizika s nimi spojeného. T´ım se banka zajiˇst’uje proti nastán´ı kreditn´ı události a zároveˇ n m˚ uˇze uvolnit kapit´ al drˇzen´ y kv˚ uli regulatorn´ım podm´ınkám dan´ ych metodikou [4] a [5]. Tento pˇrevod se prov´ ad´ı pomoc´ı credit default swapu (CDS), kdy se kupuj´ıc´ı rizika zav´ aˇze kr´ yt ztrátu v pˇr´ıpadˇe nast´ an´ı kreditn´ı ud´ alosti, a za to prodávaj´ıc´ı rizika plat´ı pravidelné platby, prémie. V pˇr´ıpadˇe syntetické sekuritizace z˚ ustávaj´ı veˇskerá aktiva v rozvaze banky, coˇz znaˇcnˇe usnadˇ nuje celkov´ y proces po technické i pr´ avn´ı stránce. Tranˇsován´ı portfolia a následn´ y prodej CDS na urˇcité tranˇse m˚ uˇze provést samotn´ a banka. V´ yˇse popsané postupy a definice jsou pˇrevzaty z [2] a [3]. Aby bylo moˇzné ohodnotit sekuritizaci, je základn´ım pˇredpokladem vybudován´ı generátoru scén´ aˇr˚ u default˚ u jednotliv´ ych dluˇzn´ık˚ u, ze kter´ ych lze pozdˇeji odhadnout rozdˇelen´ı ztrát. Konkrétnˇe vybudujeme generátor korelovan´ ych default˚ u, to je nápln´ı 1. kapitoly. Ve 2. kapitole matematicky pop´ıˇseme proces tranˇsov´ an´ı. Pop´ıˇseme pˇr´ıstupy EL-based a PD-based a budeme diskutovat jejich vz´ ajemn´ y vztah. Abychom ale mohli implementovat kter´ ykoli z tˇechto pˇr´ıstup˚ u, je nejdˇr´ıve potˇreba odhadnout 1

rozdˇelen´ı ztr´ at. Od zadavatele jsme dostali informaci, ˇze se v souˇcasnosti pouˇz´ıvá metoda odhadu parametr˚ u log–norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı. Legitimitu takového pˇr´ıstupu budeme v práci diskutovat. Jako alternativu tomuto pˇr´ıstupu pouˇzijeme beta rozdˇelen´ı, rozdˇelen´ı z hyperbolické tˇr´ıdy a kernelov´ y odhad hustoty. 3. kapitola pak odpov´ı na otázku, jak´ ym zp˚ usobem se urˇc´ı cena CDS kontrakt˚ u, a jak se spoˇcte mnoˇzstv´ı v´ azan´ ych prostˇredk˚ u, které si banka mus´ı drˇzet kv˚ uli regulatorn´ım podm´ınk´ am ˇ dan´ ych vyhl´ aˇskou CNB. A koneˇcnˇe, ve 4. kapitole pop´ıˇseme data poskytnutá zadavatelem a sep´ıˇseme v´ ystupy jednotliv´ ych, v´ yˇse popsan´ ych, krok˚ u procesu sekuritizace.

1. Gener´ ator korelovan´ ych default˚ u Základn´ı myˇslenka zde popsaného generátoru je pˇrevzata z [6]. Zaved’me nejprve znaˇcen´ı pro tuto podkapitolu. Oznaˇcme T poˇcet let sekuritizace a pˇredpokl´ adejme, ˇze jednotlivé defaulty u ´vˇer˚ u jsou shodnˇe kladnˇe korelované, oznaˇcme pˇr´ısluˇsn´ y spoleˇcn´ y koeficient korelace ρ ∈ (0, 1). D´ ale oznaˇcme N poˇcet dluˇzn´ık˚ u a P Di , kde i ∈ {1, . . . , N }, pravdˇepodobnost defaultu i-tého dluˇzn´ıka za 1 rok (budeme uvaˇzovat, ˇze pravdˇepodobnost defaultu je konstantn´ı v ˇcase). V práci budeme uvaˇzovat diskretizaci celého procesu po jednotliv´ ych letech. Zaj´ımat nás tedy budou vˇzdy defaulty, potaˇzmo ztr´ ata z nich plynouc´ı, za cel´ y dan´ y rok. Uvaˇzujme nyn´ı pro u ´ˇcely této podka´ pitoly pouze jeden pevn´ y ˇcas t ∈ {1, . . . , T }. Uloha se pro vˇsechny roky vyˇreˇs´ı analogicky, jen budeme pro kaˇzd´ y pˇr´ıpad uvaˇzovat pˇr´ısluˇsné parametry. Naˇs´ım koneˇcn´ ym c´ılem nyn´ı bude pro pevnˇe zvolen´ y rok t odhadnout rozdˇelen´ı ztrát, které v nˇem nastaly. Toho doc´ıl´ıme simulac´ı jednotliv´ ych scénáˇr˚ u. Mˇejme systém n´ ahodn´ ych veliˇcin {Z(t), E1 (t), E2 (t), . . . , EN (t)}, které jsou po dvou nekorelované. Z(t) lze v n´ asleduj´ıc´ım ch´ apat jako spoleˇcn´ y rizikov´ y faktor udávaj´ıc´ı v´ yvoj ekonomiky, Ei (t), i ∈ {1, . . . , N }, pak jako specifick´ y faktor udávaj´ıc´ı v´ yvoj bonity i-tého dluˇzn´ıka. Budeme pˇredpokl´ adat, ˇze vˇsechny zm´ınˇené n´ ahodné veliˇciny maj´ı normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Za tˇechto pˇredpoklad˚ u zaved’me kreditn´ı ukazatel i-tého dluˇzn´ıka Xi (t) jako lineárn´ı kombinaci faktoru specifického a faktoru spoleˇcného, konkrétnˇe p √ Xi (t) = ρ · Z(t) + 1 − ρ · Ei (t), kde ρ ∈ (0, 1), potom Xi (t) m´ a také normované normáln´ı rozdˇelen´ı. Normalita vypl´ yvá pˇr´ımo z konstrukce (jedn´ a se o line´ arn´ı kombinaci dvou normálnˇe rozdˇelen´ ych náhodn´ ych veliˇcin). Stˇredn´ı hodnota a rozptyl Xi (t) se s vyuˇzit´ım nekorelovanosti Ei (t) a Z(t) snadno spoˇctou. Nav´ıc pro i 6= j plat´ı cov(Xi (t), Xj (t)) = ρ. Toho jsme chtˇeli doc´ılit. Vid´ıme totiˇz, ˇze parametr ρ skuteˇcnˇe udává korelaci mezi kreditn´ımi ukazateli jednotliv´ ych dluˇzn´ık˚ u. Jeˇstˇe zb´ yvá urˇcit hranici defaultu ci (t), pod kterou kdyˇz klesne pˇr´ısluˇsn´ y kreditn´ı ukazatel, tak nastane default. K tomu vyuˇzijeme znalosti rozdˇelen´ı kreditn´ıho ukazatele Xi (t) a pravdˇepodobnosti defaultu P Di . Uvˇedomme si, ˇze hranice defaultu nen´ı závislá na t, nebot’ vˇsechny kreditn´ı ukazatele maj´ı stejn´ a rozdˇelen´ı a P Di je konstantn´ı v ˇcase. V dalˇs´ım tento parametr ze zápisu vynecháme. Vyjdˇeme tedy z toho, ˇze P (Xi (1) ≤ ci ) = Φ (ci ) , P Di = P (Xi (1) ≤ ci ) . Odtud plyne ci = Φ−1 (P Di ) . 2

Cel´ y algoritmus tedy bude vypadat n´ asledovnˇe. (i) Urˇc´ıme parametr ρ a poˇcet simulac´ı m. Pro kaˇzdou konkrétn´ı simulaci a kaˇzd´ y konkrétn´ı ˇcas t pak: 1. Nagenerujeme realizace n´ ahodn´ ych veliˇcin Z(t) a p Ei (t) z N(0, 1). Následnˇe spoˇcteme hod√ notu kreditn´ıho ukazatele jako Xi (t) = ρZ(t) + (1 − ρ)Ei (t). 2. Pro kaˇzdého dluˇzn´ıka porovnáme hodnotu realizace Xi (t) s pˇr´ısluˇsnou hranic´ı defaultu ci . Pokud je Xi (t) ≤ ci , dluˇzn´ık zdefaultoval. 3. Spoˇcteme L(t)j (v´ yˇse ztr´ aty zp˚ usobená defaulty v t-tém roce a v j-té simulaci). (ii) Pˇrepoˇc´ıt´ ame zb´ yvaj´ıc´ı dluˇznou ˇca´stku nezdefaultovan´ ych u ´vˇer˚ u pro dalˇs´ı rok. (iii) Pro následuj´ıc´ı roky vyˇrad´ıme z mnoˇziny dluˇzn´ık˚ u vˇsechny, kteˇr´ı v daném roce zdefaultovali. Naopak do této mnoˇziny pˇrid´ ame nové u ´vˇery tak, aby celkov´ y objem prostˇredk˚ u v sekuritizaci z˚ ustal pˇribliˇznˇe zachov´ an (nenahrazujeme ale zdefaultované u ´vˇery). Pro jednoduchost budeme v dalˇs´ım pouˇz´ıvat právˇe popsan´ y generátor. Ten má ale jisté nedostatky a z nich plynouc´ı omezen´ı. Hlavn´ım zjednoduˇsen´ım je fakt, ˇze pokud nˇejak´ y u ´vˇer zdefaultuje, v následuj´ıc´ıch letech uˇz korelace s n´ım souvisej´ıc´ı nejsou v modelu uvaˇzovány. Dalˇs´ı nev´ yhodou je, ˇze v rámci jednoho roku gener´ ator nen´ı dynamick´ y v ˇcase. Po nagenerován´ı tedy nen´ı moˇzné zpˇetnˇe zjistit, ve které ˇc´ asti roku k danému defaultu doˇslo (napˇr. ve kterém ˇctvrtlet´ı). Diskutujme jeˇstˇe pˇredpoklady samotného generátoru. Pˇredpoklad shodn´ ych kladn´ ych korelaˇcn´ıch koeficient˚ u je znaˇcnˇe zjednoduˇsuj´ıc´ı. Uˇzit´ y princip lze ale pˇr´ımoˇcaˇre rozˇs´ıˇrit i na r˚ uznˇe korelované u ´vˇery (napˇr. stejné korelace jen pro stejn´ a odvˇetv´ı). Staˇc´ı zavést dalˇs´ı náhodné veliˇciny s normovan´ ym J K k normáln´ım rozdˇelen´ım Z (t) tak, ˇze {1, . . . , N } = ∪k=1 Jk . Opˇet bychom pˇredpokládali vz´ ajemnou √ √ nezávislost a nez´ avislost na veliˇcin´ ach Ei (t), Z(t) a poloˇzili bychom Xi (t) = ρ1 Z(t) + ρk Z Jk (t) + √ 1 − ρ1 − ρk Ei (t). Nyn´ı by dvˇe veliˇciny ze stejného odvˇetv´ı Jk mˇeli korelaci ρ1 +ρk a z r˚ uzn´ ych odvˇetv´ı ρ1 . Princip tedy z˚ ust´ av´ a stejn´ y a volba poˇctu korelaˇcn´ıch koeficient˚ u závis´ı na typu dat. Pˇredpoklad stejnˇe norm´ alnˇe rozdˇelen´ ych specifick´ ych faktor˚ u Ei také nen´ı pˇr´ıliˇs realistick´ y, nebot’ r˚ uzn´ı dluˇzn´ıci investuj´ı do r˚ uznˇe rizikov´ ych odvˇetv´ı. Toto je ale z ˇcásti kompenzováno r˚ uzn´ ymi pravdˇepodobnostmi defaultu. Pˇredpoklad norm´ alnˇe rozdˇeleného kreditn´ıho ukazatele Xi pak vycház´ı z pˇredpokladu, ˇze se odv´ıj´ı od hodnoty podkladového aktiva firmy (dluˇzn´ıka), jehoˇz rozdˇelen´ı je bl´ızké normáln´ımu. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze zjednoduˇsuj´ıc´ı pˇredpoklady konstantn´ı pravdˇepodobnosti defaultu a shodn´ ych korelaˇcn´ıch koeficient˚ u neodporuj´ı z´ akladn´ım matematick´ ym poˇzadavk˚ um na tyto veliˇciny kladen´ ym. D˚ ukazy pˇr´ısluˇsn´ ych tvrzen´ı lze nalézt v [1].

2. Tranˇ sov´ an´ı portfolia Na zaˇcátek zavedeme znaˇcen´ı, které budeme pouˇz´ıvat i v následuj´ıc´ıch ˇcástech. Pojmy jsou pˇrevzaty z [8] a znázornˇeny na obr´ azku 2.1, v´ yznam znaˇcen´ı bude vysvˇetlen n´ıˇze. ´ • C – Uroveˇ nu ´vˇerového pos´ılen´ı (credit enhancement level ). Stanovuje se jako pod´ıl, kde v ˇcitateli je jmenovit´ a hodnota vˇsech tranˇs´ı podˇr´ızen´ ych té tranˇsi, ve které je drˇzena pozice, a ve jmenovateli je souˇcet hodnot sekuritizovan´ ych expozic. • T – Pomˇern´ a velikost (thickness) tranˇse, ve které je drˇzena pozice. Tato hodnota se stanovuje jako pod´ıl, kde v ˇcitateli je jmenovitá hodnota pˇr´ısluˇsné tranˇse a ve jmenovateli je souˇcet hodnot sekuritizovan´ ych expozic. • D – Horn´ı hranice tranˇse (detachment point). Pokud relativn´ı ztráta pˇresáhne tento bod, jsou ztráty v tranˇsi u ´plné, tedy D = C + T . 3

• L – Relativn´ı ztr´ ata (loss) z celkové hodnoty portfolia. • Lt – Relativn´ı ztr´ ata z hodnoty dané tranˇse.

Obr´ azek 2.1: Znázornˇen´ı zaveden´ ych pojm˚ u

2.1

Teoretick´ y z´ aklad

Teoretick´ y podklad pro tranˇsov´ an´ı portfolia je zaloˇzen na [7]. Pro urˇcen´ı optim´ aln´ıho roztranˇsov´ an´ı portfolia je nejprve nutné stanovit, jak´ ym zp˚ usobem se pˇriˇrazuje cena jednotliv´ ym tranˇs´ım. Obecnˇe se pouˇz´ıvaj´ı následuj´ıc´ı dva zp˚ usoby: • PD-based: Pravdˇepodobnost, s jakou ztráty zasáhnou tranˇsi. • EL-based: Stˇredn´ı hodnota ze ztrát v dané tranˇsi. Na jejich základˇe se jednotliv´ ym tranˇs´ım pˇriˇrad´ı rating, z kterého se následnˇe odv´ıj´ı v´ yˇse prémi´ı pro CDS. Samozˇrejmˇe plat´ı, ˇze ˇc´ım niˇzˇs´ı pravdˇepodobnost nastán´ı ztrát (resp. oˇcekávané ztr´ aty) v dané tranˇsi, t´ım vyˇsˇs´ı rating a n´ aslednˇe niˇzˇs´ı cena CDS. Pˇri pouˇzit´ı obou pˇr´ıstup˚ u je pˇrirozené se v kaˇzdé tranˇsi co nejv´ıce pˇribl´ıˇzit hranic´ım rating˚ u. Pouˇzit´ı prvn´ıho pˇr´ıstupu je pˇr´ımoˇcaré. Oznaˇcme p poˇcet r˚ uzn´ ych ratingov´ ych stupˇ n˚ u. Naˇs´ım u ´kolem je naj´ıt hodnoty C1 , C2 , . . . , Cp takové, ˇze 0 < C1 < C2 < . . . < Cp < 1 tak, aby P(L > Ci ) odpov´ıdali pr´ avˇe hranic´ım ratingov´ ych stupˇ n˚ u. To bude moˇzné za pˇredpokladu absolutnˇe spojitého rozdˇelen´ı ztr´ at. Hranice ratingov´ ych stupˇ n˚ u jsou uvedeny v tabulce 2.1, kde jednotlivé sloupce uv´ ad´ı, o kolikaleté kontrakty se jedn´ a. Oznaˇcme FL distribuˇcn´ı funkci relativn´ıch ztrát, hranici pro nejseniornˇejˇs´ı tranˇsi jako P DAAA . Poté urˇcen´ı bodu C1 plyne z n´ asleduj´ıc´ı u ´pravy: P DAAA = P(L > C1 ) = 1 − P(L ≤ C1 ) C1 = FL−1 (1 − P DAAA ). 4

Zcela analogicky se urˇc´ı i dalˇs´ı body Ci . Vid´ıme tedy, ˇze u ´kolem je nalezen´ı kvantil˚ u. Kvantily ’ m˚ uˇzeme urˇcit bud neparametricky (empirické kvantily) nebo parametricky (odhadneme hustotu ztr´ at a následnˇe urˇc´ıme poˇzadované kvantily). Diskutujme nyn´ı logickou str´ anku tohoto pˇr´ıstupu. Za pˇredpokladu absolutnˇe spojitého rozdˇelen´ı ztrát je P(L > 0) = 1, a tedy equity tranˇse je vˇzdy bez ratingu nezávisle na jej´ı ˇs´ıˇrce. V extrému to znamená, ˇze t´ımto zp˚ usobem by netranˇsované portfolio mˇelo vˇzdy rating jako default a to nez´ avisle na jeho kvalitˇe. Dalˇs´ı nev´ yhodou je, ˇze zv´ yˇsen´ım vrchn´ı hranice tranˇse (tedy zahrnut´ım bonitnˇejˇs´ıch u ´vˇer˚ u) se rating nezv´ yˇs´ı. Tyto nev´ yhody jsou odstranˇeny v druhém zp˚ usobu ocenˇen´ı, ovˇsem za cenu sloˇzitosti v´ ypoˇct˚ u. Rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1 Caa2 Caa3

1 0,00005 0,00057 0,00136 0,00302 0,00581 0,01087 0,03885 0,09000 0,17000 0,42000 0,87000 1,56000 2,81000 4,68000 7,16000 11,62000 17,38160 26,00000 50,99020

2 0,00020 0,00300 0,00800 0,01900 0,03700 0,07000 0,15000 0,28000 0,47000 1,05000 2,02000 3,47000 5,51000 8,38000 11,67000 16,61000 23,23416 32,50000 57,00877

3 0,00070 0,01000 0,02600 0,05900 0,11700 0,22200 0,36000 0,56000 0,83000 1,71000 3,13000 5,18000 7,87000 11,58000 15,55000 21,03000 28,63861 39,00000 62,44998

4 0,00180 0,02100 0,04700 0,10100 0,18900 0,34500 0,54000 0,83000 1,20000 2,38000 4,20000 6,80000 9,79000 13,85000 18,13000 24,04000 32,47884 43,88000 66,24198

5 0,00290 0,03100 0,06800 0,14200 0,26100 0,46700 0,73000 1,10000 1,58000 3,05000 5,28000 8,41000 11,86000 16,12000 20,71000 27,05000 36,31374 48,75000 69,82120

Tabulka 2.1: Urˇcen´ı ratingu na z´ akladˇe pravdˇepodobnosti ztráty v dané tranˇsi (v procentech), zdroj [9] V dalˇs´ı ˇcásti pr´ ace se budeme zab´ yvat druh´ ym pˇr´ıstupem, kterému vˇenujeme trochu v´ıce prostoru. Neˇz se pust´ıme do samotného popisu problému, opˇet uvedeme tabulku, která dané tranˇsi na z´ akladˇe oˇcekávané ztr´ aty, pˇriˇrad´ı rating, viz tabulka 2.2. Vid´ıme, ˇze tyto hodnoty jsou niˇzˇs´ı neˇz hodnoty v tabulce 2.1, toto si zd˚ uvodn´ıme po zadefinován´ı základn´ıch pojm˚ u. Nejprve si uvedeme definici procentu´ aln´ı ztráty tranˇse. Vzhledem k podˇr´ızenosti tranˇs´ı je ztráta tranˇse odvislá od jej´ı seniority. Pokud celkov´ a relativn´ı ztráta nedosáhne nad hranici C, bude ztráta pˇr´ısluˇsné tranˇse nulov´ a. V pˇr´ıpadˇe, ˇze ztr´ ata pˇresáhne hranici D = C + T , ztráty zasáhnou tranˇsi v plné v´ yˇsi a ve zb´ yvaj´ıc´ım pˇr´ıpadˇe bude ztr´ ata relativn´ı hodnotˇe pˇresahu C. Matematickou formul´ı toto zap´ıˇseme následovnˇe:   0 L−C L−C = Lt (C, D) = min 1, max 0,  D−C D−C 1

;L < C ;C ≤ L ≤ D . ;L > D

Pro lehˇc´ı pˇredstavu jsou vˇsechny pojmy znázornˇeny na obrázku 2.1. Z definice je zˇrejmé, ˇze hodnoty Lt (C, D) jsou vˇzdy mezi 0 a 1. Kdybychom hodnoty v intervalu C ≤ L ≤ D nahradili ˇc´ıslem 1, dostali bychom ELt (C, D) = P(L > C) a jednalo by se o pˇr´ıstup PD-based. Vid´ıme tedy, ˇze ELt (C, D) <

5

P(L > C), coˇz d´ av´ a odpovˇed’ na ot´ azku, proˇc jsou niˇzˇs´ı hodnoty pro jednotlivé ratingové stupnˇe v tabulce 2.2 oproti tabulce 2.1. Rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1 Caa2 Caa3

1 0,00003 0,00031 0,00075 0,00166 0,00320 0,00598 0,02137 0,04950 0,09350 0,23100 0,47850 0,85800 1,54550 2,57400 3,93800 6,39100 9,55988 14,30000 28,04461

2 0,00011 0,00165 0,00440 0,01145 0,02035 0,03850 0,08250 0,15400 0,25850 0,57750 1,11100 1,90800 3,03050 4,60900 6,41850 9,13550 12,77879 17,87500 31,35482

3 0,00039 0,00550 0,01430 0,03245 0,06435 0,12210 0,19800 0,30800 0,45650 0,94050 1,72150 2,84900 4,32850 6,36900 8,55250 11,56650 15,75124 21,45000 34,34749

4 0,00099 0,01155 0,02585 0,05555 0,10395 0,18975 0,29700 0,45650 0,66000 1,30900 2,31000 3,74000 5,38450 7,61750 9,97150 13,22200 17,86336 24,13400 36,43309

5 0,00160 0,01705 0,03740 0,07810 0,14355 0,25685 0,40150 0,60500 0,86900 1,67750 2,90400 4,62550 6,52300 8,86600 11,39050 14,87750 19,97256 26,81250 38,40166

Tabulka 2.2: Urˇcen´ı ratingu na základˇe oˇcekávané ztráty (v procentech), zdroj [9] Nyn´ı za velmi obecn´ ych podm´ınek zkoumejme vlastnosti deterministické funkce ELt (C, D), kterou pro jednoduchost oznaˇc´ıme G(C, D), tedy: G(C, D) = ELt (C, D), (C, D) ∈ M = {(C, D); 0 ≤ C < D ≤ 1}. Omezen´ı na definiˇcn´ı obor vypl´ yvaj´ı z toho, ˇze zkoumáme relativn´ı ztrátu v tranˇsi o nenulové ˇs´ıˇrce T . Nyn´ı dokáˇzeme uˇziteˇcné vlastnosti funkce G, které v dalˇs´ı ˇcásti interpretujeme. Vˇ eta 2.1.1. Necht’ rozdˇelen´ı ztr´ at je zn´ amé a absolutnˇe spojité s hustotou fl , kter´ a je kladn´ a na intervalu (0, 1). Pak plat´ı: Rd (i) G(c, d) = ELt (c, d) = c x−c d−c fl (x) dx + P(L > d), (ii) G(c, d) ∈ [0, 1], pro vˇsechna (c, d) ∈ M , (iii) G(0, 1) = EL, (iv) limc→1− G(c, 1) = 0, (v) limd→0+ G(0, d) = 1, (vi) pro 0 ≤ c < d∗ < d ≤ 1 jest G(c, d∗ ) > G(c, d), (vii) pro 0 ≤ c∗ < c < d ≤ 1 jest G(c∗ , d) > G(c, d), (viii) pro p ∈ N a pro 0 = c0 < c1 < . . . < cp−1 < cp = 1 jest p−1 X

(ci+1 − ci )G(ci , ci+1 ) = EL.

i=0

6

D˚ ukaz.

(i) Jedn´ a se o pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet stˇredn´ı hodnoty: Z +∞ x−c fl (x) dx min 1, max 0, ELt (c, d) = d−c −∞ Z d Z +∞ x−c = fl (x) dx fl (x) dx + c d−c d Z d x−c = fl (x) dx + P(L > d). c d−c

(ii) Z definice Lt plyne Lt (c, d) ≤ 1, a tedy G(c, d) = ELt (c, d) ≤ E1 = 1. (iii), (iv), (v) jsou d˚ usledkem bodu (i). (vi) Opˇet se jedn´ a o pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet, vyjdeme z bodu (i): Z d∗ x−c ∗ ∗ f (x) dx + P(L > d∗ ) G(c, d ) = ELt (c, d ) = ∗−c l d c nyn´ı vyuˇzijeme linearity integr´ alu, Z Z d d−c d x−c x−c = ∗ fl (x) dx − f (x) dx + P(L > d∗ ) ∗−c l d −c c d−c d ∗ d dále cel´ y v´ yraz uprav´ıme tak, abychom dostali hodnotu G(c, d) a dalˇs´ı sˇc´ıtance Z Z d Z d d − d∗ d x − c x − d∗ x−c fl (x) dx + P(L > d) + ∗ fl (x) dx − fl (x) dx = ∗ d −c c d−c d∗ d − c c d−c k dokonˇcen´ı d˚ ukazu staˇc´ı uk´ azat, ˇze posledn´ı dva ˇcleny jsou v souˇctu kladné, tedy z nezápornosti d∗ − c plyne, ˇze chceme kladnost v´ yrazu: Z d Z d x−c ∗ (d − d ) fl (x) dx − (x − d∗ )fl (x) dx d − c ∗ c d jelikoˇz funkce x − c a fl (x) jsou na intervalu (c, d∗ ) kladné, dostáváme Z d Z d ∗ (d − d∗ )(x − c) − (x − d∗ )(d − c) (d − c)(d − x) > fl (x) dx = fl (x) dx d − c d−c ∗ ∗ d d pˇriˇcemˇz posledn´ı sˇc´ıtanec je kladn´ y, nebot’ c < d∗ < d a fl je hustota. T´ımto je d˚ ukaz dokonˇcen. (vii) Dokáˇze se analogicky jako (vi). (viii) Opˇet dok´ aˇzeme pˇr´ım´ ym v´ ypoˇctem pomoc´ı (i): p−1 X

(ci+1 − ci )G(ci , ci+1 ) =

i=0

p−1 X

(ci+1 − ci )·

i=0

Z ci+1 1 ci · xfl (x) dx − P(ci ≤ L < ci+1 ) + P(L > ci+1 ) = ci+1 − ci ci ci+1 − ci p−1 Z ci+1 p−1 p−1 X X X = xfl (x) dx − ci P(L > ci ) + ci+1 P(L > ci+1 ) =

i=0 1

ci

i=0

i=0

Z

xfl (x) dx − c0 P(L > c0 ) + cp P(L > cp ) = EL.

= 0

7

Nyn´ı se zab´ yvejme interpretac´ı vˇety 2.1.1. Oˇcekávané relativn´ı ztráty pro danou tranˇsi se pohybuj´ı mezi 0 a 1. Pˇriˇcemˇz u ´pln´ a ztr´ ata nastane, pokud se bude jednat o equity tranˇsi (C = 0) s infinitizim´ alnˇe malou ˇs´ıˇrkou a ˇz´ adné ztr´ aty pro super senior tranˇsi s C bl´ızkou jedné. Relativn´ı ztráta je rovna souˇctu pravdˇepodobnosti pˇrekroˇcen´ı dané tranˇse a pˇr´ır˚ ustku mezi hranicemi C a D. Dále v´ıme, ˇze pˇri zv´ yˇsen´ı C nebo D n´ am relativn´ı ztr´ ata v tranˇsi klesne. V posledn´ım bodˇe jsme ovˇeˇrili, ˇze souˇcet absolutn´ıch ztrát v jednotliv´ ych tranˇs´ıch je roven celkové ztrátˇe, a tedy definice je konzistentn´ı s oˇcekáván´ım. Pˇri hledán´ı optim´ aln´ıho roztranˇsov´ an´ı portfolia vycház´ıme z oˇcekávan´ ych ztrát v jednotliv´ ych tranˇs´ıch. Ty samozˇrejmˇe urˇc´ıme tak, abychom se dostali na hranici dvou rating˚ u a pˇriˇradili tranˇsi ten vyˇsˇs´ı. Maximáln´ı poˇcet tranˇs´ı je tedy poˇcet ratingov´ ych stupˇ n˚ u. Cel´ y algoritmus pro urˇcen´ı tranˇs´ı lze provést následovnˇe: 1. Urˇc´ıme C0 pro super-senior tranˇsi, a to tak, aby jej´ı oˇcekávaná ztráta dosáhla u ´rovnˇe ELAaa (hodnota z tabulky 2.2 odpov´ıdaj´ıc´ı ratingu Aaa), tedy ˇreˇs´ıme u ´lohu inf{C0 |ELAaa > ELt (C0 , 1); 0 < C0 < 1}. 2. Analogicky pokraˇcujeme pro urˇcen´ı credit enhancement level C1 s druhou nejv´ıce seniorn´ı tranˇs´ı. Chceme, aby se jej´ı oˇcek´ avan´ a ztráta co nejv´ıce pˇribl´ıˇzila u ´rovni ELAa1 . Hledáme tedy inf{C1 |ELAa1 > ELt (C1 , C0 ); 0 < C1 < C0 }. 3. Analogicky postupujeme v dalˇs´ıch kroc´ıch aˇz do urˇcen´ı posledn´ıho zvoleného ratingového stupnˇe. Poznamenejme, ˇze v bodˇe 1. poˇc´ıt´ ame infimum z neprázdné mnoˇziny, to vypl´ yvá z faktu, ˇze ELAaa > 0, a z bod˚ u (iii), (iv) a (vii) vˇety 2.1.1, z nich totiˇz v´ıme, ˇze 0 = lim G(x, 1) < G(C, 1) < G(0, 1) = EL; C ∈ (0, 1). x→1−

Pokud by ELAaa > EL (coˇz je velmi nepravdˇepodobné), tak by nebylo tranˇsován´ı tˇreba, nebot’ by celé portfolio jiˇz mˇelo nejvyˇsˇs´ı rating. D´ıky ryz´ı monotonii funkce G(C, 1) lze toto infimum naj´ıt postupn´ ym sniˇzován´ım hranice C. Pro dalˇs´ı tranˇse jiˇz mnoˇzina, z n´ıˇz hled´ ame infimum, nemus´ı b´ yt neprázdná, nebot’ z bodu (i) vˇety 2.1.1 v´ıme, ˇze Z C0 x − C1 ELt (C1 , C0 ) = fl (x) dx + P(L > C0 ) > P(L > C0 ). C1 C0 − C1 Tedy, pokud by platila nerovnost ELAa1 < P(L > C0 ), tak hledáme infimum z prázdné mnoˇziny. Proto se m˚ uˇze st´ at, ˇze nˇekteré ratingové stupnˇe bude nutné vynechat. Uveden´ y algoritmus provede tranˇsov´ an´ı, které maximalizuje délku nejseniornˇejˇs´ıch tranˇs´ı. Tento algoritmus nemus´ı d´ at nejv´ yhodnˇejˇs´ı tranˇsován´ı pro banku, nebot’ to je závislé na v´ yˇsi prémi´ı CDS. Ovˇsem vyuˇzit´ı této informace by nebylo spr´ avné, nebot’ ratingové agentury tuto informaci také nemaj´ı, a proto ani my ji nevyuˇzijeme.

2.2

Odhady hustoty rozdˇ elen´ı relativn´ı ztr´ aty

K odhadu hustoty m˚ uˇzeme obecnˇe pouˇz´ıt dva pˇr´ıstupy – parametrick´ y nebo neparametrick´ y. Nev´ yhodou parametrického pˇr´ıstupu je pˇredpoklad znalosti rozdˇelen´ı, nebot’ ten ˇcasto vypl´ yvá jen z naˇseho 8

oˇcekáván´ı. Obecnˇe lze hypotézu o uˇzit´ı správné parametrické rodiny testovat, k tomu lze pouˇz´ıt empirickou distribuˇcn´ı funkci Fn a jej´ı vzdálenost od teoretické distribuˇcn´ı funkce F , protoˇze ze z´ akona s.j. velk´ ych ˇc´ısel plat´ı: Fn (t) −−→ F (t). Nejznámˇejˇs´ı test tohoto druhu je Kolmogorov˚ uv-Smirnov˚ uv test. Jeho myˇslenkou je porovn´ an´ı empirické a teoretické distribuˇcn´ı funkce pomoc´ı suprémové metriky. Testová statistika m´ a tedy tvar Dn = sup |Fn (x) − F (x)| .

(2.1)

x∈R

Je zˇrejmé, ˇze velké hodnoty Dn svˇedˇc´ı proti hypotéze. Rozdˇelen´ı testové statistiky, vˇcetnˇe jeho odvozen´ı, pak lze nalézt v [10]. Pop´ıˇseme si jeˇstˇe dvˇe metriky, které pouˇz´ıvaj´ı integráln´ı vzdálenost a maj´ı tvar: Z

∞

n

(Fn (x) − F (x))2 w(x)dF (x),

−∞

kde w(x) je v´ aˇz´ıc´ı funkce. Volbou w(x) = 1 dostaneme Cramérovu-von Misesovu vzdálenost, pro w(x) = [F (x) (1 − F (x))]−1 se jedn´ a o Andersonovu-Darlingovu vzdálenost, která dává vˇetˇs´ı d˚ uraz na chvosty rozdˇelen´ı. Oznaˇcme tedy testové statistiky pˇr´ısluˇsn´ ych test˚ u následovnˇe

Z

∞

CvM = n −∞ Z ∞

AD = n −∞

(Fn (x) − F (x))2 dF (x)

(2.2)

(Fn (x) − F (x))2 dF (x). [F (x) (1 − F (x))]

(2.3)

Nev´ yhodou popsan´ ych test˚ u je fakt, ˇze pro jejich uˇzit´ı je tˇreba pˇredem znát hodnoty parametr˚ u daného rozdˇelen´ı (nikoliv je odhadovat z dat). V práci [13] se m˚ uˇzeme doˇc´ıst, ˇze pro normáln´ı rozdˇelen´ı je zobecnˇen´ım Kolmogorovova-Smirnovova testu pro odhady parametr˚ u test Lilliefors˚ uv. Ten má shodn´ y tvar testové statistiky, ale upravené p-hodnoty, aby dodrˇzovali pˇr´ısluˇsnou testovou hladinu. V praxi se pouˇz´ıv´ a pro odhad hustoty ztrát log-normáln´ı rozdˇelen´ı. Zda je tento postup oprávnˇen´ y, tedy zda je skuteˇcnˇe splnˇen pˇredpoklad, ˇze data pocházej´ı z log-normáln´ıho rozdˇelen´ı, budeme cht´ıt otestovat. K tomu vyuˇzijeme v´ yˇse uveden´ y Lilliefors˚ uv test (aplikujeme ho na logaritmus dat). Nev´ yhodou log-normáln´ıho rozdˇelen´ı je, ˇze jeho nosiˇc nen´ı omezen´ y shora. To se neshoduje s pˇredpokladem, ˇze nosiˇcem relativn´ıch ztr´ at je interval (0, 1). Tento pˇredpoklad splˇ nuje mj. beta rozdˇelen´ı, v pr´ aci ho proto pro srovn´ an´ı zkus´ıme vyuˇz´ıt také. Dále pouˇzijeme obecnˇejˇs´ı tˇr´ıdy rozdˇelen´ı, které obecnˇe pouˇz´ıvaj´ı v´ıce parametr˚ u, coˇz jim umoˇzn ˇuje vˇetˇs´ı flexibilitu. Konkrétnˇe budeme odhadovat parametry pro zobecnˇené hyperbolické rozdˇelen´ı a jeho speciáln´ı pˇr´ıpady - hyperbolické, normal-inverse Gaussian, variance-gamma rozdˇelen´ı a Studentovo asymetrické t-rozdˇelen´ı. Druhou moˇznost´ı je odhadnout hustotu pomoc´ı neparametrick´ ych metod. V takovém pˇr´ıpadˇe uˇz nepˇredpoklád´ ame ˇz´ adnou znalost rozdˇelen´ı a tedy neodhadujeme ˇzádné parametry. Nejjednoduˇsˇs´ım neparametrick´ ym odhadem je histogram, kter´ y ovˇsem pro spojité náhodné veliˇciny nen´ı pˇr´ıliˇs vhodn´ y. Vhodnˇejˇs´ı alternativou jsou kernelové (jádrové) odhady, u kter´ ych je kromˇe ˇs´ıˇrky okna nutné zvolit jádro. Z hlediska asymptotické stˇredn´ı integrované chyby je nejv´ yhodnˇejˇs´ı jádro Epaneˇcn´ıkovo viz. [11], a tak se omez´ıme pr´ avˇe na jeho pouˇzit´ı. Dále je nutné urˇcit, jakou metodou budeme volit ˇs´ıˇrku okna, 1 které pro minim´ aln´ı asymptotickou integrovanou stˇredn´ı ˇctvercovou chybu je ˇrádu O(n− 5 ). Pro urˇcen´ı vhodné konstanty pouˇzijeme referenˇcn´ı metodu s log-normáln´ı hustotou.

9

3. Vyˇ c´ıslen´ı n´ aklad˚ u sekuritizace V této kapitole se budeme zab´ yvat urˇcen´ım v´ yˇse prémie za jednotlivé tranˇse.

3.1

Urˇ cen´ı spravedliv´ e pr´ emie CDS kontrakt˚ u

Spravedlivou prémi´ı rozum´ıme takovou prémii, ˇze pr˚ umˇerné zisky a ztráty vycházej´ıc´ı z drˇzen´ı tranˇse se rovnaj´ı. Oznaˇcme M p˚ uvodn´ı objem tranˇse, r v´ yˇsi prémie, L aktuáln´ı relativn´ı kumulovanou ztr´ atu a L5 celkovou relativn´ı ztr´ atu. Kaˇzd´ y rok prodejce rizika zaplat´ı r z celkové nezdefaultované ˇc´ astky M a naopak obdrˇz´ı ztr´ atu z dané tranˇse v daném roce. Tedy kaˇzd´ y rok prodejce rizika zaplat´ı D−L M · r · min 1, max 0, D−C a ve v´ ysledku obdrˇz´ı L5 − C M · min 1, max 0, . D−C Pro v´ ypoˇcet spravedlivé prémie staˇc´ı poloˇzit (Li znaˇc´ı ztrátu v i-tém roce): E

5 X i=1

D − Li L5 − C M · r · min 1, max 0, = EM · min 1, max 0, , D−C D−C

a tedy spravedliv´ a v´ yˇse prémie je 5 −C E min 1, max 0, LD−C . r=P 5 D−Li i=1 E min 1, max 0, D−C K v´ ypoˇctu této hodnoty vyuˇzijeme informace o ztrátách pomoc´ı generátoru popsaném v kapitole 1 a metodou Monte Carlo odhadneme jednotlivé stˇredn´ı hodnoty.

3.2

Urˇ cen´ı v´ yˇ se pr´ emie CDS kontrakt˚ u v praxi

V pˇredchoz´ı kapitole jsme shrnuli dva pˇr´ıstupy k ohodnocen´ı jednotliv´ ych tranˇs´ı. Na jejich z´ akladˇe zjist´ıme pˇr´ısluˇsné ratingy. Typicky nejvˇetˇs´ı tranˇs´ı je super senior s ratingem AAA. Dalˇs´ı tranˇs´ı, kter´ a je obsaˇzena vˇzdy, je equity tranˇse, které se naopak rating v˚ ubec nepˇriˇrazuje. Poˇcet tranˇs´ı mezi nimi je jiˇz na konkrétn´ıch poˇzadavc´ıch banky. Pˇriˇcemˇz maximáln´ı moˇzn´ y poˇcet odpov´ıdá poˇctu ratingov´ ych stupˇ n˚ u, nebot’ dvˇe tranˇse se stejn´ ym ratingem postrádaj´ı smysl. Chceme-li zhodnotit v´ ysledky sekuritizace, zaj´ımaj´ı nás pˇredevˇs´ım dvˇe sady hodnot. Tou prvn´ı jsou náklady spojené se sekuritizac´ı jednotliv´ ych tranˇs´ı. V´ yˇsi prémie za sekuritizaci poskytuje prodejce rizika, a to pro kaˇzd´ y jednotliv´ y stupeˇ nu ´rovˇ nové kvality (rating). Abychom vˇsak dostali porovnateln´ y v´ ystup, pouˇzijeme pr˚ umˇer posledn´ıch 100 denn´ıch hodnot pr˚ umˇern´ ych cen CDS, jejichˇz uk´ azka je v tabulce 3.1. Tyto n´ aklady tak odpov´ıdaj´ı cenˇe, za jakou prodáme poloˇzky v jednotliv´ ych tranˇs´ıch a zbav´ıme se tak rizika z pˇr´ıpadného kryt´ı ztrát. Jeˇstˇe zmiˇ nme, ˇze tato tabulka poch´ az´ı od spoleˇcnosti Standard & Poor´s, oproti tabulkám 2.1 a 2.2, které jsou od spoleˇcnosti Moody´s. Tedy, i pˇres stejn´ y poˇcet ratingov´ ych grad˚ u, nemus´ı jednotlivé u ´rovnˇe znamenat stejnou kvalitu, ovˇsem pro naˇse u ´ˇcely je budeme povaˇzovat za navzájem odpov´ıdaj´ıc´ı. Toto je bez u ´jmy na obecnosti, protoˇze samotné tranˇsován´ı a urˇcen´ı v´ yˇse prémie za zajiˇstˇen´ı jednotliv´ ych tranˇs´ı jsou na sobˇe nez´ avislé.

10

Date AAA AA+ AA AAA+ A ABBB+ BBB BBBBB+ BB BBB+ B BCCC+ CCC CCC-

10,10,2013 26,803 57,050 42,762 105,343 61,168 68,164 75,886 79,191 118,870 143,637 216,142 285,297 350,295 287,504 519,134 355,809 1217,693 1528,000 4417,458

9,10,2013 26,803 57,050 42,762 105,343 61,168 68,164 75,886 79,191 118,870 143,637 216,142 285,297 350,295 287,504 519,134 355,809 1217,693 1528,000 4417,458

8,10,2013 26,879 56,432 42,731 101,597 61,271 68,084 75,151 78,931 118,649 140,885 215,134 283,956 347,958 298,108 522,588 351,666 1030,984 1521,024 4356,044

7,10,2013 27,006 55,881 44,073 100,288 61,560 68,055 74,668 78,581 118,290 140,282 215,220 283,316 348,858 294,487 518,670 343,174 1021,672 1527,561 3855,479

4,10,2013 27,389 56,659 44,378 100,334 60,859 67,160 77,224 77,433 117,855 141,760 219,163 279,825 352,595 297,834 520,764 346,560 978,178 1535,372 4650,986

3,10,2013 27,289 55,468 41,844 62,140 58,650 67,439 76,725 78,312 120,501 144,288 221,657 283,565 354,636 300,639 495,862 330,611 936,194 1535,911 4648,551

Tabulka 3.1: Pr˚ umˇerné ceny CDS kontrakt˚ u v bps (100bps=1%)

3.3

Regulatorn´ı vzorec

Druhou popisnou statistikou je hodnota rizikovˇe váˇzené sekuritizované poloˇzky. Z té se pak odv´ıj´ı nutné zajiˇstˇen´ı pro kryt´ı ztr´ at, to jest mnoˇzstv´ı kapitálu, které banka mus´ı vázat a nem˚ uˇze s nimi dále nakládat. Toto nutné zajiˇstˇen´ı odpov´ıdá 8% z rizikovˇe váˇzené sekuritizované poloˇzky a ˇr´ıd´ı se ˇ pravidly CNB, [4] a [5]. Pˇri v´ ypoˇctu hodnot rizikovˇe váˇzené sekuritizované expozice budeme postupovat v souladu s [8]. Kapitálová pˇrimˇeˇrenost, jak se ono v´ azán´ı prostˇredk˚ u naz´ yvá, je právˇe jedn´ım z d˚ uvod˚ u sekuritizace. Pokud expozice sekuritizujeme, uvoln´ıme tak tyto vázané prostˇredky pro dalˇs´ı bankovn´ı ˇcinnost. K samotnému v´ ypoˇctu rizikov´ ych vah pro jednotlivé tranˇse pouˇz´ıváme regulatorn´ı vzorec, kter´ y vˇsak potˇrebuje nápoˇcet nˇekolika dalˇs´ıch hodnot, neˇz m˚ uˇze probˇehnout samotn´ y algoritmus. Jako prvn´ı je vypoˇcten´ı hodnoty Kirb , coˇz je desetinné ˇc´ıslo mezi nulou a jedniˇckou, které nám ud´ av´ a ˇcást kapitálu, jenˇz mus´ı banka drˇzet, pokud by portfolio nebylo sekuritizováno. Hodnota Kirb je rovna pod´ılu, kde ˇcitatel je roven 8% ze souˇctu hodnot rizikovˇe váˇzen´ ych sekuritizovan´ ych expozic tak, jakoby tyto expozice nebyly sekuritizovány a souˇctu hodnot oˇcekávan´ ych u ´vˇerov´ ych ztrát spojen´ ych s tˇemito expozicemi, jmenovatel je roven souˇctu hodnot sekuritizovan´ ych expozic. Dále je potˇreba urˇcit efektivn´ı poˇcet expozic N . Ten urˇc´ıme ze vztahu P ( i Ei )2 N= P 2 , i Ei kde Ei znaˇc´ı souˇcet hodnot expozic i-tého dluˇzn´ıka. Posledn´ı, co mus´ıme spoˇc´ıst pˇred samotn´ ym v´ ypoˇctem rizikové váhy pro jednotlivé tranˇse, je expoziˇcnˇe váˇzená pr˚ umˇern´ a hodnota LGD, tedy ˇcást hodnoty expozice, kterou ztrat´ıme, pokud dluˇzn´ık zdefaultuje. Tu stanov´ıme podle n´ asleduj´ıc´ıho vztahu

11

P ELGD =

i LGD P i

· Ei

i Ei

,

kde LGDi oznaˇcuje pr˚ umˇernou hodnotu LGD vzhledem ke vˇsem expozic´ım i-tého dluˇzn´ıka. Nyn´ı m˚ uˇzeme pˇrikroˇcit k samotnému v´ ypoˇctu rizikové váhy pro jednotlivé tranˇse r, kterou pak pˇrenásob´ıme hodnotou tranˇse a dostaneme poˇzadovanou rizikovˇe váˇzenou sekuritizovanou poloˇzku, r se urˇc´ı z n´ıˇze uvedeného vztahu; nesm´ı vˇsak b´ yti niˇzˇs´ı neˇz 7%. Tuto hodnotu vypoˇcteme pomoc´ı vzorce: r = 12, 5 ·

S[C + T ] − S[C] , T

kde T oznaˇcuje pomˇernou velikost tranˇse v desetinné formˇe, ve které je drˇzena expozice, C znaˇc´ı u ´roveˇ nu ´vˇerového pos´ılen´ı a stanovuje se jako pod´ıl vˇsech podˇr´ızen´ ych tranˇs´ı v dané sekuritizaci. Toto znaˇcen´ı odpov´ıd´ a obr´ azku 2.1. S se stanovuje podle vztahu

S[x] =

 x,

x ≤ Kirb ,

Kirb + K[x] − K[Kirb ] + d ·

h=

x > Kirb ,

N Kirb , 1− ELGD c=

v=

Kirb ω

Kirb −x ω· K irb · 1−e ,

Kirb , 1−h

(ELGD − Kirb ) · Kirb + 0, 25 · (1 − ELGD) · Kirb , N f=

v + Kirb 2 − c2 1−h g=

+

(1 − Kirb ) · Kirb − v , (1 − h) · τ

(1 − c) · c − 1, f a = g · c,

b = g · (1 − c),

d = 1 − (1 − h)(1 − Beta[Kirb ; a, b]),

K[x] = (1 − h)((1 − Beta[x; a, b]) · x + Beta[x; a + 1, b] · c), kde τ = 1000, ω = 20 a Beta[x; a, b] znaˇc´ı distribuˇcn´ı funkci beta rozdˇelen´ı s parametry a,b spoˇc´ıtanou v bodˇe x. 12

Povˇsimnˇeme si, ˇze pro tranˇse leˇz´ıc´ı pod hodnotou Kirb je v´ ysledná hodnota r konstantn´ı, a to 12, 5. To odpov´ıdá plnˇe poˇzadavku m´ıti kapitálovou pˇrimˇeˇrenost 100%. Druhou pozn´ amkou k hodnot´ am r je, ˇze souhrnné kapitálové poˇzadavky jsou vyˇsˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe, kdyby se sekuritizace neprov´ adˇela, coˇz koresponduje s konstrukc´ı celé sekuritizace, kdy nem˚ uˇzeme pˇrerozdˇelen´ım sn´ıˇzit riziko, ale m˚ uˇzeme ho efektivnˇe odprodat.

4. Realizace Implementace metod popsan´ ych v kapitolách v´ yˇse byla provedena ve statistickém softwaru R, viz [14].

4.1

Popis dat

Od zadavatele jsme dostali data s informacemi o jednotliv´ ych kontraktech, které banka vlastn´ı a zaj´ım´ a se o dopady, které by mˇela jejich pˇr´ıpadná sekuritizace. Celkem jsme dostali portfolio o 2243 kontraktech s r˚ uznou dobou vzniku a splatnosti. Pro u ´ˇcely naˇs´ı práce jsme vybrali data pouze s maturitou v roce 2014 a pozdˇeji a s dobou trv´ an´ı minimálnˇe p˚ ul roku, tˇech je v portfoliu na 1737. ˇ e Republiky. K dispozici máme u kaˇzdého kontraktu Jedná se pouze o u ´vˇery firem na u ´zem´ı Cesk´ jedineˇcn´ y identifik´ ator dluˇzn´ıka (ID f irmy), segment urˇcuj´ıc´ı velikost podniku (SEGM DESC), p˚ uvodn´ı v´ yˇsi p˚ ujˇcky v korun´ ach (ORIGBAL); nˇekteré kontrakty byly p˚ uvodnˇe v eurech, pˇr´ıpadnˇe dolarech, ty jsme vˇsak pˇrepoˇcetli ve sjednaném kurzu a dále pˇredpokládáme jeho nemˇennost v ˇcase. Dalˇs´ım u ´dajem je rizikov´ a v´ aha (RW ), která nab´ yvá hodnot 0 aˇz 12, 5 a je velmi d˚ uleˇzitá pro v´ ypoˇcet kapitálové pˇrimˇeˇrenosti. Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

PD 0,00020 0,00363 0,01136 0,03082 0,05214 0,16709

LGD 0,00474 0,45000 0,45000 0,43924 0,45000 0,45000

SEGM DESC Affluent 0 Banks (FI) 0 Large Corporates 120 Micro Companies 7 Middle Market 637 Small Business 968 Structured finance 5

ORIGBAL 5,74e+04 6,78e+05 3,00e+06 1,32e+07 9,99e+06 1,12e+09

RW 0,01077 0,55823 0,80064 0,90349 1,11247 2,42063

DISBURSDATE 25.6.2012 15 29.11.2011 13 31.10.2012 9 12.1.2012 8 12.12.2011 8 15.1.2013 8 (Other) 1676

ID firmy 49224 472 80154 61 31748 39 89488 13 24180 6

INTRATE 1,020 3,850 5,700 5,182 5,850 15,100

MATURDATE 9.11.2014 55 9.7.2014 45 9.12.2014 38 9.5.2015 35 9.2.2015 30 9.7.2015 30 (Other) 1504

PAY TYPE anuity 350 bullet 927 line 460

Tabulka 4.1: Pˇrehled dat. Dalˇs´ı informac´ı je pravdˇepodobnost defaultu za jeden rok zadaná v desetinné formˇe (P D) a s t´ım souvisej´ıc´ı LGD, které ud´ av´ a procentuáln´ı ztrátu ze zbylé, dosud nesplacené, ˇcásti u ´vˇeru dluˇzn´ıka, pokud dojde k jeho defaultu. Zde poˇc´ıtáme s LGD v desetinné formˇe. Jeho nejˇcastˇejˇs´ı hodnotou je 0, 45.

13

V neposledn´ı ˇradˇe zn´ ame datum vzniku (DISBU RSDAT E) a datum splatnosti (M AT U RDAT E), roˇcn´ı u ´rokovou m´ıru v procentech (IN T RAT E) a typ splácen´ı u ´vˇeru (P AY T Y P E), kter´ y nab´ yv´ a tˇrech hodnot odpov´ıdaj´ıc´ı roˇcn´ım spl´ atkám a splatnosti aˇz ke konci ˇzivota u ´vˇeru. V obou pˇr´ıpadech se u ´roky plat´ı jednou roˇcnˇe. Lepˇs´ı pˇredstavu o datech poskytne pˇrehled 4.1.

4.2

Zpracov´ an´ı dat

Vzhledem ke zn´ amosti pouze roˇcn´ı pravdˇepodobnosti defaultu jsme byli nuceni pˇristoupit k následuj´ıc´ım zjednoduˇsen´ım. V prvé ˇradˇe se zab´ yv´ ame daty v roˇcn´ı granularitˇe, to jest napoˇc´ıtáváme stavy portfolia pouze na pˇrelomu jednotliv´ ych let. Veˇskerá data redukujeme pouze na rok a pˇredpokládáme tak vznik kontraktu (ST ART Y EAR) i maturitu (EN D Y EAR) kontraktu na pˇrelomu roku, tj. vznik k 1.1. a splatnost celého kontraktu, jednotliv´ ych splátek i u ´rok˚ u k 31.12. Je-li kontrakt z prvn´ı poloviny roku, pˇriˇrazujeme mu aktu´ aln´ı datum pro datum vzniku a o rok ménˇe pro maturitu. Obdobnˇe pro druhou polovinu roku. Je-li datum mezn´ı, uˇz´ıváme konvenci o zachován´ı roku. Pokud se jedn´ a o v´ yvoj pravdˇepodobnosti defaultu v jednotliv´ ych letech, tak vzhledem k absenci historick´ ych dat n´ am nezb´ yv´ a nic jiného, nˇeˇz pravdˇepodobnost uvaˇzovat jako konstantn´ı v ˇcase. Upravujeme i aktuáln´ı v´ yˇsi u ´vˇeru, podle typu spl´ acen´ı a ˇcasu, kter´ y uplynul od zaˇcátku ˇzivota kontraktu. Takto novˇe vytvoˇrené sloupce jsou zobrazeny v tabulce 4.2. (F IRST SIM BAL) znaˇc´ı prvn´ı uvaˇzovanou hodnotu u ´vˇeru. Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

FIRST SIM BAL 4,771e+04 5,851e+05 1,869e+06 9,633e+06 6,465e+06 1,121e+09

START YEAR 2001 2010 2012 2011 2013 2014

END YEAR 2014 2014 2016 2017 2019 2029

DOBA UVERU 1 3 5 7 10 21

DOBA OD SIM 1 1 3 4 6 16

Tabulka 4.2: Pˇrehled novˇe nepoˇcten´ ych sloupc˚ u. Oba nutné u ´stupky byly jiˇz diskutov´ any v 1. kapitole a jsou znaˇcn´ ymi zjednoduˇsen´ımi v naˇsem modelu. Pomáhaj´ı n´ am ale vytvoˇrit jednoduch´ y generátor. Pˇresto pˇredpokládáme, ˇze rozd´ıl ve v´ ystupech neznehodnocuje naˇse z´ avˇery.

4.3

Aplikace teoretick´ ych v´ ysledk˚ u

Nyn´ı na data postupnˇe aplikujeme postup popsan´ y v pˇredchoz´ıch kapitolách. Jako prvn´ı je nutné nagenerovat scén´ aˇre ztr´ at. K tomu pouˇzijeme generátor popsan´ y v 1. kapitole. Tento postup vyˇzaduje sadu vstupn´ıch parametr˚ u. Konkrétnˇe to jsou jednak parametry o jednotliv´ ych dluˇzn´ıc´ıch, které jsme popsali na zaˇc´ atku této kapitoly. Tˇemi jsou (i) P D – Pravdˇepodobnost defaultu. (ii) LGD – Relativn´ı ztr´ ata zp˚ usobená defaultem dluˇzn´ıka. (iii) Ex – V´ yˇse dluˇzné ˇc´ astky v ˇcase poˇcátku sekuritizace. ym dluˇzn´ık sv˚ uj u ´vˇer splác´ı. V naˇs´ı realizaci jsou uvaˇzov´ any jen (iv) T Y P E P AY M EN T – Typ, jak´ dvˇe moˇznosti – u ´vˇer spl´ acen´ y roˇcnˇe a u ´vˇer splatn´ y v maturitˇe. (v) T – Poˇcet let do splacen´ı u ´vˇeru.

14

Druhou sadou parametr˚ u jsou parametry samotné simulace (vi) m – Poˇcet simulac´ı. Pro naˇse u ´ˇcely jsme zvolili hodnotu m = 5000. (vii) ρ – Korelace mezi defaulty dluˇzn´ık˚ u zp˚ usobená vnˇejˇs´ım vlivem v´ yvoje ekonomiky. Tato hodnota nám byla urˇcena zadavatelem, a to ρ = 0, 15. (viii) τ – Poˇcet let sekuritizace. Stanoveno zadavatelem τ = 5 let. (ix) seed – Parametr stanovuj´ıc´ı seed generátoru náhodn´ ych ˇc´ısel. D´ıky tomu je kaˇzdá simulace opakovateln´ a. Zvoleno seed = 12345. Posledn´ı sadou parametr˚ u jsou u ´daje o dluˇzn´ıc´ıch, které budeme pouˇz´ıvat k dosypáván´ı, abychom v kaˇzdém roce dos´ ahli na ˇc´ astku, kter´ a je sekuritizována. Jelikoˇz u ´daje o hypotetick´ ych u ´vˇerech nejsou dopˇredu známé, pouˇzili jsme jako vstupn´ı hodnoty opˇet stejné u ´vˇery, které se sekuritizuj´ı. Ovˇsem s dobou do maturity a poˇc´ ateˇcn´ı ˇc´ astkou vzatou z doby, kdy byl u ´vˇer poskytnut, nikoliv z poˇc´ atku sekuritizace. Po inicializaci tˇechto parametr˚ u probˇehne algoritmus, jehoˇz v´ ystupem je m = 5000 scénáˇr˚ u ztrát.

4.3.1

Odhad rozdˇ elen´ı ztr´ at Stˇredn´ı hodnota 0,0407

Smˇerodatná odchylka 0,0157

Tabulka 4.3: Popisné statistiky pro nagenerované scénáˇre ztrát Dalˇs´ım krokem je odhad hustoty rozdˇelen´ı ztrát. Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno v´ yˇse, lze k tomuto problému ’ pˇristupovat bud parametricky nebo neparametricky. Pˇri parametrickém pˇr´ıstupu budeme fitovat rozdˇelen´ı log-norm´ aln´ı, které se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá k modelován´ı ztrát ve finanˇcn´ı teorii, beta rozdˇelen´ı, jehoˇz nosiˇcem je interval (0, 1), coˇz odpov´ıdá naˇsim poˇzadavk˚ um na omezen´ı relativn´ıch ztr´ at. D´ ale pouˇzijeme zobecnˇené hyperbolické a jeho speciáln´ı pˇr´ıpady uvedené v kapitole 2. Pro odhad parametr˚ u zvol´ıme metodu maxim´ aln´ı vˇerohodnosti.

Obr´ azek 4.1: Grafické porovnán´ı r˚ uzn´ ych typ˚ u hustot Pro neparametrick´ y pˇr´ıstup pouˇzijeme kernelov´ y odhad s Epaneˇcn´ıkov´ ym jádrem a ˇs´ıˇrkou okna pomoc´ı referenˇcn´ı metody s hustotou log-normáln´ıho rozdˇelen´ı. Na obrázku 4.1 jsou vykreslené v´ ystupy 15

z pouˇzit´ ych metod. Pˇri zamˇeˇren´ı na parametrick´ y pˇr´ıstup vid´ıme, ˇze log-normáln´ı rozdˇelen´ı (oproti beta) lépe vystihne ˇspiˇcatost dat. V pˇredchoz´ıch kapitolách jsme zm´ınili nev´ yhodu log-norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı pro tento typ u ´lohy, totiˇz ˇze nemá shora omezen´ y nosiˇc. Z tohoto d˚ uvodu je uˇziteˇcné si vyˇc´ıslit pravdˇepodobnost, ˇze relativn´ı ztráta bude vˇetˇs´ı neˇz 1. Tato pravdˇepodobnost je PLN (L > 1) = 8.4 · 10−18 , coˇz je ˇc´ıslo natolik malé, ˇze na tento problém nebudeme brát v u ´loze nadále zˇretel. Obdobn´ y v´ ysledek bychom dostali pro zobecnˇené hyperbolické rozdˇelen´ı, které má definiˇcn´ı obor na celém R. Z grafického v´ ystupu se zd´ a, ˇze pˇredpoklad log-normáln´ıho ˇci beta rozdˇelen´ı je pomˇernˇe odpov´ıdaj´ıc´ı. Lilliefors˚ uv test chceme nyn´ı vyuˇz´ıt k testu log-normality dat. Jelikoˇz je ale tento test urˇcen pro normáln´ı rozdˇelen´ı, je potˇreba naˇse data nejprve zlogaritmovat. Testujeme tedy, zda zlogaritmovan´ a data pocház´ı z rozdˇelen´ı norm´ aln´ıho. Pro tento test vzhledem k velkému poˇctu pozorován´ı pouˇzijeme testovac´ı hladinu α = 0.01. Hodnota testové statistiky je 0.0169 a pˇr´ısluˇsn´ a p-hodnota testu je 0.002353. Z v´ ystupu vid´ıme, ˇze na dané testovac´ı hladinˇe zam´ıt´ ame hypotézu, ˇze zlogaritmovaná data pocház´ı z normáln´ıho rozdˇelen´ı, tedy p˚ uvodn´ı data z log-norm´ aln´ıho. Na z´ akladˇe tˇechto v´ ystup˚ u bychom se mˇeli otevˇr´ıt k alternativn´ım zp˚ usob˚ um modelov´ an´ı ztr´ at. Je ovˇsem d˚ uleˇzité zm´ınit, ˇze naˇse pozorován´ı nejsou z´ıskaná z re´ aln´ ych dat, ale ze simulace, kter´ a m´ a nemal´ a omezen´ı a nev´ yhody diskutované v kapitole 1. Nav´ıc je st´ ale potˇreba m´ıt na pamˇeti opravdu velk´ y poˇcet pozorován´ı. Proto si porovnejme r˚ uzné typy modelován´ı hustot za pomoci vzdálenosti teoretické a empirické distribuˇcn´ı funkce. K tomuto pouˇzijeme Kolmogorovovu-Smirnovovu statistiku z 2.1 a v´ ybˇerové verze z 2.2 a 2.3. Log-normaln´ı Beta Epaneˇcn´ık Zobecnˇené hyperbolické Variance-Gamma Hyperbolické Asymetrické T Normal-Inverse Gaussian

KS 0,017 0,024 0,004 0,011 0,011 0,008 0,011 0,008

CvM 0,271 0,609 0,008 0,080 0,080 0,044 0,056 0,043

AD 1,350 1,887 0,245 0,685 0,685 0,510 0,606 0,504

Tabulka 4.4: Porovn´ an´ı r˚ uzn´ ych typ˚ u hustot na základˇe vzdálenosti Fn a F V tabulce 4.4 vid´ıme, ˇze nejlépe dopadne jádrov´ y odhad, coˇz je oˇcekávané vzhledem k tomu, ˇze se nejv´ıce pˇrizp˚ usobuje napozorovan´ ym dat˚ um. Z parametrick´ ych hustot nejlépe vyjde normal-inverse Gaussian, kter´ y vych´ az´ı nejvhodnˇeji vzhledem ke vˇsem uveden´ ym kritéri´ım. Neparametrickou variantou je pouˇzit´ı jádrového odhadu s Epaneˇcn´ıkov´ ym jádrem. Z obr´ azku 4.1 vid´ıme, ˇze v´ ystupem je kˇrivka, kter´ a je jak´ ymsi kompromisem mezi beta a log-normáln´ım rozdˇelen´ım. Dále je patrné, ˇze pˇri zvolené ˇs´ıˇrce okna nedojde k vyhlazen´ı kˇrivky, tak aby zmˇena monotonie nastala jen v jednom bodˇe. Z tohoto d˚ uvodu nen´ı pˇr´ıliˇs vhodnou volbou. V dalˇs´ım textu si jako zástupce ze zobecnˇené hyperbolické rodiny vezmeme rozdˇelen´ı Normal-Inverse-Gaussian, které vycház´ı na z´ akladˇe zvolen´ ych kritéri´ı nejlépe.

4.3.2

Tranˇ sov´ an´ı portfolia

Pro tranˇsov´ an´ı jsme zm´ınili dva pˇr´ıstupy k ohodnocen´ı cen CDS v jednotliv´ ych tranˇs´ıch. Tˇemi byly PD-based a EL-based pˇr´ıstup. Postupnˇe probereme obˇe metody. Zaˇcneme metodou snazˇs´ı, kterou je PD-based pˇr´ıstup. Zde se jedn´ a jen o urˇcen´ı kvantil˚ u daného rozdˇelen´ı, pˇr´ıpadnˇe kvantil˚ u empirick´ ych. 16

Obr´ azek 4.2: Tranˇsován´ı s pouˇzit´ım PD-based pˇr´ıstupu Toto roztranˇsov´ an´ı si m˚ uˇzeme pro lepˇs´ı orientaci znázornit pˇr´ımo na hustotˇe daného rozdˇelen´ı. Na obrázku 4.2 byla pouˇzita hustota log-normáln´ıho rozdˇelen´ı a pro pˇrehlednost vybrány jen nˇekteré ratingové stupnˇe. Plochy, které jsou barevnˇe odliˇsené, urˇcuj´ı pravdˇepodobnost, ˇze ztráta se bude nacházet v urˇceném rozmez´ı. Hodnoty na ose x pak udávaj´ı relativn´ı velikost tranˇse s dan´ ym ratingem. Tranˇse ˇ S´ıˇrka tranˇse

Equity 4,3%

Caa1 1,7%

Ba3 2,7%

Baa2 2,4%

A1 6,7%

Aaa 82,2%

ˇıˇre jednotliv´ Tabulka 4.5: S´ ych tranˇs´ı na základˇe PD-based pˇr´ıstupu Velikosti jednotliv´ ych tranˇs´ı jsou zaneseny v tabulce 4.5. Zde se jedná jen o ilustraci dan´ ych poˇ jm˚ u, protoˇze obecnˇe lze vˇzdy t´ımto postupem sestrojit libovoln´ y poˇcet tranˇs´ı. S´ıˇrky tranˇs´ı odpov´ıdaj´ı znázornˇen´ı na obr´ azku 4.2, napˇr. pro Aaa máme 1 − 0, 178 = 0, 822. Velikosti jednotliv´ ych tranˇs´ı pˇri pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych pˇr´ıstup˚ u zjiˇstˇen´ı kvantil˚ u jsou shrnuty v tabulce 4.6. V zájmu banky, jakoˇzto prodejce rizika, je, aby uvedené hodnoty byly co nejniˇzˇs´ı, a tedy seniornˇejˇs´ı tranˇse co nejˇsirˇs´ı. Z hlediska super senior tranˇse je v tomto ohledu nejpˇr´ıznivˇejˇs´ı pˇr´ıstup neparametrick´ y. Ovˇsem v dalˇs´ıch, aˇz po Ba1 je nejv´ yhodnˇejˇs´ı pouˇzit´ı Beta rozdˇelen´ı. V dalˇs´ım se budeme zab´ yvat urˇcen´ım roztranˇsován´ı za pouˇzit´ı pˇr´ıstupu EL-based. Pro tento zp˚ usob je nutné m´ıt urˇcenou hustotu rozdˇelen´ı ztrát. My pouˇzijeme postupnˇe hustoty log-normáln´ıho, beta a normal-inverse Gaussian rozdˇelen´ı a jádrov´ y odhad. Tento pˇr´ıstup je jiˇz znaˇcnˇe komplikovanˇejˇs´ı a dává prostor ke kreativitˇe. Zejména z d˚ uvodu, ˇze nˇekteré ratingové stupnˇe nemus´ı vˇzdy b´ yti moˇzné zahrnout, a ˇze vynech´ an´ı ratingového gradu zmˇen´ı ˇs´ıˇri tranˇs´ı vˇsech ménˇe seniorn´ıch tranˇs´ı. V textu byl popsán algoritmus, jak toto tranˇsov´ an´ı provést, a to na základˇe maximalizace nejseniornˇejˇs´ıch tranˇs´ı. V tabulce 4.7 m˚ uˇzeme porovnat v´ ystupy za pouˇzit´ı r˚ uzného modelován´ı hustoty ztrátové funkce. Tyto hodnoty m˚ uˇzeme d´ ale porovnat s hodnotami za pouˇzit´ı pˇr´ıstupu PD-based, které jsou v tabulce 4.6. Nejseniornˇejˇs´ı tranˇse je za pouˇzit´ı libovolného pˇr´ıstupu vˇzdy vˇetˇs´ı pro pˇr´ıstup EL-based a to v ˇrádech jednotek procent. Na druhou stranu ostatn´ı body Ci jsou vyˇsˇs´ı. A to z d˚ uvodu, ˇze celkov´ a ˇs´ıˇrka tranˇs´ı pro log-norm´ aln´ı rozdˇelen´ı je aˇz do u ´rovnˇe B1 v obou pˇr´ıstupech nejniˇzˇs´ı, zat´ımco pˇri beta rozdˇelen´ı je tomu naopak (vˇzdy aˇz na jednu v´ yjimku). Kompromisem, pak je pouˇzit´ı neparametrického pˇr´ıstupu, at’ uˇz za pouˇzit´ı j´ adrového odhadu ˇci empirick´ ych kvantil˚ u.

17

Rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1

Neparametricky 12,71 12,01 11,63 11,38 10,69 9,76 9,14 8,68 8,26 7,53 6,96 6,36 5,91 5,54 5,23 4,81 4,36

Beta 12,95 11,22 10,62 10,03 9,54 9,05 8,67 8,30 7,97 7,35 6,80 6,30 5,92 5,55 5,23 4,87 4,43

Log-normáln´ı Normal-inverse-Gaussian 17,76 14,94 14,11 12,50 12,97 11,68 11,93 10,91 11,08 10,26 10,29 9,64 9,68 9,16 9,13 8,71 8,65 8,31 7,78 7,56 7,05 6,92 6,43 6,36 5,96 5,93 5,54 5,54 5,18 5,20 4,79 4,82 4,33 4,37

Tabulka 4.6: Hodnoty hranic Ci ratingov´ ych stupˇ n˚ u v % pomoc´ı pˇr´ıstupu PD-based

Rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1

Log-normaln´ı Beta 12,49 9,82 x x x x x x 11,40 x 10,82 9,31 10,18 9,06 9,70 8,62 9,21 8,41 8,02 7,49 7,68 7,30 6,83 6,60 6,72 6,55 6,03 5,96 6,01 x 5,32 5,36 x x

Epaneˇcn´ık 11,38 x x x x 10,05 9,87 9,03 9,03 7,54 x 6,71 x 5,92 x 5,38 x

Normal-Inverse Gaussian 10,95 x x x 10,84 9,80 x 8,97 8,96 7,64 7,60 6,63 x 6,00 5,98 5,33 x

Tabulka 4.7: Hodnoty hranic Ci ratingov´ ych stupˇ n˚ u v % pomoc´ı pˇr´ıstupu EL-based

18

4.4

Vyhodnocen´ı n´ aklad˚ u a kapit´ alov´ e pˇ rimˇ eˇ renosti

V pˇredchoz´ı ˇc´ asti jsme si uk´ azali nˇekolik zp˚ usob˚ u, jak roztranˇsovat portfolio. Nyn´ı se pod´ıváme na statistiky, kter´ ymi m˚ uˇzeme porovnat jednotlivé zp˚ usoby, a které jsme si jiˇz zadefinovali v kapitole 3. Jedn´ a se o náklady na odprodej jednotliv´ ych tranˇs´ı, oˇcekávanou ztrátu, která je zp˚ usobena namodelovan´ ymi defaulty, kapit´ alové kryt´ı pro jednotlivé tranˇse a v neposledn´ı ˇradˇe také Kirb . Ten má hodnotu 0, 1007, tedy kapitálov´ a pˇrimˇeˇrenost portfolia bez sekuritizace je stanovena pˇribliˇznˇe jako 10% z celkové hodnoty. Vzhledem ke struktuˇre n´ apoˇctu kapit´ alové pˇrimˇeˇrenosti maj´ı veˇskeré tranˇse v doln´ı desetinˇe portfolia rizikovou v´ ahu 12, 5 a je tak nutné drˇzet 100% hodnoty dané tranˇse, pokud se nerozhodneme ji odprodat. K v´ yˇsi kapit´ alové pˇrimˇeˇrenosti obecnˇe dospˇejeme tak, ˇze rizikovou váhu pˇrenásob´ıme jeˇstˇe 0, 08. Pro vˇsech 6 zp˚ usob˚ u rozvrstven´ı tranˇs´ı v portfoliu je roztranˇsován´ı obdobné, jak m˚ uˇzeme vidˇet z tabulek 4.6 a 4.7. Tranˇse s nejvyˇsˇs´ı pˇrednost´ı tvoˇr´ı 82 − 90%, 4 − 6% tvoˇr´ı pásmo bez ratingu a ostatn´ı tranˇse maj´ı kaˇzd´ a kolem 1%. Rating Aaa Aa1 Aa2 Aa3 A1 A2 A3 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 Ba3 B1 B2 B3 Caa1 Neni

ˇıˇrka % S´ 85,061 2,439 0,818 0,773 0,645 0,623 0,484 0,449 0,401 0,743 0,639 0,561 0,429 0,398 0,338 0,378 0,448 4,372

Objem v Kˇc 18320202180 525296943 176208430 166551780 138972341 134216270 104188329 96692860 86411114 160034627 137578525 120743034 92426599 85668671 72852049 81516151 96423214 941655185

Riz. váha 0,07 0,923 2,473 4,182 7,421 12,117 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5

Váz. kap. 102593132 38772360 34855643 55718744 82509291 130107869 104188329 96692860 86411114 160034627 137578525 120743034 92426599 85668671 72852049 81516151 96423214 941655185

´ Urok % 0,282 0,564 0,459 0,785 0,645 0,73 0,793 0,814 1,206 1,501 2,242 2,974 3,746 3,389 5,063 4,443 12,378

Náklady 51714303 2964543 808798 1307547 895401 977969 824389 785053 1038002 2384204 3042022 3506002 3341547 2760115 3436887 3294765 10460701

Sprav. prémie v % 0 0,001 0,007 0,03 0,057 0,083 0,122 0,19 0,257 0,431 0,828 1,404 2,054 2,888 3,997 5,242 7,177 35,422

Tabulka 4.8: PD Normal-Inverse Gaussian Nyn´ı porovnejme pr˚ umˇern´ yu ´rok na trhu a spravedlivou v´ yˇsi prémie pro PD a EL pˇr´ıstup pˇri pouˇzit´ı hustoty rozdˇelen´ı Normal-Inverse-Gaussian, viz tabulky 4.8 a 4.9. Lze pozorovat, ˇze pro vˇsechny ratingové stupnˇe (s vyj´ımkou PD pro stupeˇ n B2) je spravedlivá prémie niˇzˇs´ı. To odpov´ıdá intuici, protoˇze investice s pr˚ umˇernˇe nulov´ ym ziskem nejsou vyhledávané a tedy za riziko je nutné platit v´ıce. D´ ale si m˚ uˇzeme povˇsimnout, ˇze pr˚ umˇerné v´ yˇse u ´rok˚ u na trhu nejsou monotónn´ı vzhledem k senioritˇe tranˇse. Napˇr´ıklad v tabulce 4.8 je u ´rok pro B2 vyˇsˇs´ı neˇz pro B3, coˇz neodpov´ıdá intuici a je nejsp´ıˇse zp˚ usobeno velk´ ymi institucemi, které nevypl´ acely, tak velké u ´roky a neposkytovaly napˇr. právˇe rating B2. Naopak spravedliv´ a prémie je monotonn´ı vˇzdy, coˇz potvrzuje v´ ysledky z teorie, nebot’ relativn´ı ztr´ ata v seniornˇejˇs´ı tranˇsi je vˇzdy niˇzˇs´ı. Náklady pro danou tranˇsi byly spoˇc´ıt´ any jako souˇcin u ´roku, objemu v Kˇc a pr˚ umˇerná relativn´ı v´ yˇse nezdefaultované ˇc´ asti tranˇse. Z toho vypl´ yvá, ˇze náklady odpov´ıdaj´ı pr˚ umˇern´ ym roˇcn´ım v´ ydaj˚ um za sekuritizaci tranˇse.

19

Rating Aaa A1 A2 Baa1 Baa2 Baa3 Ba1 Ba2 B1 B2 B3 Neni

ˇıˇrka % S´ 89,05 0,105 1,046 0,827 0,013 1,317 0,046 0,97 0,631 0,019 0,645 5,331

Objem v Kˇc 19179288447 22679133 225197546 178051656 2756818 283758385 9864238 208915092 135924035 4113689 138917767 1148171498

Riz. váha 0,086 5,535 9,556 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5

Váz. kap. 131908613 10042449 172164737 178051656 2756818 283758385 9864238 208915092 135924035 4113689 138917767 1148171498

´ Urok % 0,282 0,645 0,73 0,814 1,206 1,501 2,242 2,974 3,389 5,063 4,443

Náklady 54139074 146150 1641355 1447104 33159 4235167 219068 6113929 4465211 199891 5840341

Sprav. prémie v % 0 0,041 0,067 0,128 0,186 0,327 0,563 0,953 1,817 2,349 3,134 26,644

Tabulka 4.9: EL Normal-Inverse Gaussian Dále se zamˇeˇrme na v´ yˇsi v´ azaného kapitálu, viz 5. sloupec v tabulkách 4.8 a 4.9. V kapitole 3.3 jsme zm´ınili, ˇze celkov´ a v´ yˇse v´ azaného kapitálu po roztranˇsován´ı mus´ı b´ yt vyˇsˇs´ı. To snadno ovˇeˇr´ıme seˇcten´ım celkové v´ yˇse v´ azaného kapit´ alu a vydˇelen´ım celkov´ ym objemem. Pro PD pˇr´ıstup dostaneme K = 0, 1170 a pro EL pˇr´ıstup K = 0, 1126, coˇz v porovnán´ı s Kirb = 0, 1007 je skuteˇcnˇe vyˇsˇs´ı. Prodejem tranˇse miz´ı povinnost drˇzet vázan´ y kapitál, a tedy pˇri odprodeji dostateˇcného mnoˇzstv´ı tranˇs´ı se doc´ıl´ı sn´ıˇzen´ı kapit´ alov´ ych poˇzadavk˚ u. Coˇz, jak jiˇz bylo ˇreˇceno, je jeden z hlavn´ıch d˚ uvod˚ u pro proveden´ı syntetické sekuritizace. Vytvoˇr´ıme si nyn´ı jednotlivé scén´ aˇre pro nakládán´ı s portfoliem: • Varianta A – nab´ız´ıme vˇse, co m´ a rating • Varianta B – nab´ız´ıme vˇse s ratingem Baa3 a lepˇs´ım • Varianta C – nab´ız´ıme jen tranˇse s ratingem A3 a lepˇs´ım • Varianta D – nab´ız´ıme pouze tranˇsi s nejvyˇsˇs´ı pˇrednost´ı, tj. s ratingem Aaa • Bez sekuritizace – nenab´ız´ıme nic, sekuritizaci neprovád´ıme U tˇechto variant budeme sledovat n´ asleduj´ıc´ı parametry: • Nab´ızené mnoˇzstv´ı – celkov´ y relativn´ı objem nab´ızen´ y k sekuritizaci • Ponechané mnoˇzstv´ı – relativn´ı objem, kter´ y nedáváme k sekuritizaci • Vázan´ y kapit´ al – relativn´ı objem kapitálu, kter´ y si banka mus´ı podrˇzet pro kryt´ı rizika • Oˇcekávané n´ aklady – relativn´ı n´ aklady spojené s odprodejem CDS kontrakt˚ u za pˇet let a n´ aklady spojené s defaulty dluˇzn´ık˚ u bˇehem pˇeti let v korunách Prezentovat budeme v´ ysledky jen pro hustotu Normal-Inverse-Gaussian a pˇr´ıstup EL-based (ve skriptu jsou napoˇc´ıt´ any i ostatn´ı varianty). V tabulce 4.10 m´ ame shrnuty v´ ysledky pro jednotlivé typy odprodej˚ u uvedené relativnˇe v procentech. Vˇsimnˇeme si, ˇze oˇcek´ avané n´ aklady rostou s odprodávan´ ym mnoˇzstv´ım. To odpov´ıdá dosavadn´ım v´ ysledk˚ um, nebot’ jsme pozorovali, ˇze spravedlivá prémie byla vˇzdy niˇzˇs´ı neˇz obecnˇe nab´ızen´ y u ´rok na trhu, a tedy v pr˚ umˇeru vyjde v´ yhodnˇeji si tranˇse nechat neˇz je odprodat. Vid´ıme, ˇze varianta D (prodej pouze nejseniornˇejˇs´ı tranˇse) nedává v naˇsem pˇr´ıpadˇe dobr´ y smysl, nebot’ vázan´ y kapit´ al je dokonce vyˇsˇs´ı neˇz bez sekuritizace a oˇcekávané náklady jsou také vˇetˇs´ı. Ostatn´ı varianty jsou logicky pˇr´ıpustné a z´ avis´ı na priorit´ ach banky (a schopnosti naj´ıt investory).

20

Varianta A Varianta B Varianta C Varianta D Bez sekuritizace

Nab´ızené Ponechané Vázan´ y kapitál mnoˇzstv´ı mnoˇzstv´ı z celk. objemu 95,628 4,372 4,372 92,437 7,563 7,563 90,844 9,156 9,156 85,061 14,939 11,228 0,000 100,000 10,077

Oˇcekávané náklady z celk. objemu 5,752 5,515 5,443 5,271 4,070

Tabulka 4.10: Porovn´ an´ı pˇri r˚ uzném mnoˇzstv´ı odprodeje tranˇs´ı na základˇe hustoty Normal-InverseGaussian a pˇr´ıstupu EL-based v procentech.

Obrázek 4.3: Rozdˇelen´ı n´ aklad˚ u pro r˚ uzné scénáˇre pˇri Normal-Inverse-Gaussian a pˇr´ıstupu EL-based. Jak dopadla varianta Normal-Inverse-Gaussian s pˇr´ıstupem EL-based, co se t´ yká v´ yhodnosti v jednotliv´ ych simulac´ıch, zn´ azorˇ nuje obr´ azek 4.3. Z obrázku vid´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe varianty A jsou n´ aklady podstatnˇe vyˇsˇs´ı, ale jsou zastropované a pro ˇcást simulac´ı dokonce niˇzˇs´ı neˇz náklady bez sekuritizace. To, ˇze náklady na sekuritizaci jsou stejné od hodnoty 0, 64 odpov´ıdá tomu, ˇze pravdˇepodobnost defaultu celé equity tranˇse je pr´ avˇe 1 − 0, 64 = 0, 36 viz tabulka 2.1. U ostatn´ıch variant toto zastropov´ an´ı nen´ı tak v´ yrazné, u varianty D témˇeˇr neznatelné vzhledem k uvaˇzované pravdˇepodobnosti.

Z´ avˇ er Práce jako celek pod´ av´ a z´ akladn´ı pohled na sekuritizaci jako pojem a na jednotlivé kroky jej´ı realizace zejména z hlediska statistického modelován´ı. Primárn´ım c´ılem bylo zpracován´ı celého procesu sekuritizace a následné ohodnocen´ı jeho v´ yhodnosti. Pro lepˇs´ı ilustraci je v posledn´ı ˇcásti práce algoritmus aplikován na re´ aln´ a data. V´ ystupem celého procesu jsou dva parametry: • Fyzické finanˇcn´ı n´ aklady sekuritizace – prémie placené za zajiˇstˇen´ı. • V´ yˇse v´ azaného kapit´ alu, kter´ y je banka z regulatorn´ıch podm´ınek nucena drˇzet. Zkoumat v´ yznamnost tˇechto dvou vliv˚ u v rozhodnut´ı, zda sekuritizaci opravdu realizovat, nebylo c´ılem

21

práce. Otázkou pak samozˇrejmˇe také z˚ ustává, ke kter´ ym pˇr´ıstup˚ um se pˇri rozhodován´ı o v´ yhodnosti ’ sekuritizace pˇriklonit, nebot metodologie pˇriˇrazován´ı rating˚ u ratingovou agenturou nen´ı známa. V 1. kapitole je pouˇzit gener´ ator korelovan´ ych default˚ u pomoc´ı metody jednoparametrické gaussovské kopule. Jak jiˇz bylo ˇreˇceno v samotné práci, takto sestrojen´ y generátor má mnohá omezen´ı. Abychom tato omezen´ı odstranili, museli bychom cel´ y proces chápat jako Markov˚ uv ˇretˇezec se spojit´ ym ˇcasem (a s pˇr´ısluˇsnou korelaˇcn´ı matic´ı), viz napˇr. [12]. Ve 2. kapitole je pro EL-based pˇr´ıstup navrˇzen algoritmus tranˇsován´ı, kter´ y je nezávisl´ y na samotném ohodnocen´ı tranˇs´ı. Na prvn´ı pohled by ˇclovˇeku mohlo pˇrij´ıt pˇrirozené tuto u ´lohu formulovat jako optimalizaˇcn´ı vzhledem k cenˇe placené za jednotlivé tranˇse, ovˇsem pak by u ´loha neodpov´ıdala praxi, kde je nejprve provedeno tranˇsov´ an´ı a následnˇe jsou urˇceny u ´roky za jednotlivé tranˇse. Dalˇs´ım moˇzn´ ym zlepˇsen´ım pr´ ace by bylo pouˇzit´ı tzv. bufferu. Základn´ı myˇslenkou této operace je splacené ˇcásti u ´vˇer˚ u nechat v procesu sekuritizace pod u ´rovn´ı nejhorˇs´ı tranˇse jako jak´ ysi polˇstáˇr zvyˇsuj´ıc´ı rating vˇsech tranˇs´ı. Ve 3. kapitole jsou uvedeny dva zp˚ usoby pro urˇcen´ı v´ yˇse prémie pro jednotlivé tranˇse. Prvn´ı je ˇcistˇe teoretick´ y a slouˇz´ı pro urˇcen´ı spodn´ı hranice prémie, protoˇze se urˇc´ı tak, aby ve stˇredn´ı hodnotˇe investorovi pˇrin´ aˇsel nulov´ y zisk. Druh´ y vycház´ı z pr˚ umˇern´ ych cen CDS kontrakt˚ u na trhu. D´ ale je v kapitole pops´ an regulatorn´ı vzorec, kter´ y urˇcuje jak velké mnoˇzstv´ı kapitálu si banka mus´ı drˇzet pro pˇr´ıpadné kryt´ı ztr´ at zp˚ usobené defaulty dluˇzn´ık˚ u. V závˇereˇcné 4. kapitole je cel´ y proces aplikován na reáln´ ych datech. Z uvaˇzovan´ ych typ˚ u rozdˇelen´ı se jako nejv´ yhodnˇejˇs´ı (z hlediska kritéri´ı dobré shody) jevilo Normal-Inverse-Gaussian, které poch´ az´ı ze zobecnˇené hyperbolické tˇr´ıdy. N´ azornˇe jsme okomentovali v´ ysledky tranˇsován´ı, kde se ukázalo, ˇze pro EL-based pˇr´ıstup a pouˇzit´ y algoritmus bylo nutné vynechat nˇekteré ratingové stupnˇe. V závˇeru této kapitoly byly pro jednotlivé tranˇse urˇceny spravedlivé prémie a v´ yˇse vázaného kapitálu. D´ ale jsme uvaˇzovali ˇctyˇri r˚ uzné varianty odprodeje jednotliv´ ych tranˇs´ı a hodnotili jejich v´ yhodnost na z´ akladˇe v´ yˇse vázaného kapit´ alu a n´ aklad˚ u na sekuritizaci. Jako nesmyslná varianta se ukazuje odprodat pouze nejseniornˇejˇs´ı tranˇsi, protoˇze v´ yˇse v´ azaného kapitálu bude vyˇsˇs´ı a oˇcekávané náklady taktéˇz. Ostatn´ı varianty jsou pˇr´ıpustné a z´ aleˇz´ı na prioritách banky a jej´ı schopnosti naj´ıt investory.

22

Rádi bychom podˇekovali Mgr. Martinu Hanuˇsovi, Ph.D. za poskytnut´ı dat.

Seznam pouˇ zit´ e literatury ˇ [1] Rauˇ s, Jaroslav, Simsa, Filip a Poul, Pavel. In house sekuritizace. Praha: Univerzita Karlova v Praze, 2014. ´ , Blanka. Sekuritizace jako n´ [2] Kamen´ıkova astroj efektivn´ıho financov´ an´ı ekonomických subjekt˚ u ˇ Zl´ın: Univerzita Tomáˇse Bati ve Zl´ınˇe, 2011. Vedouc´ı práce Miloˇs Kr´ v trˇzn´ıch podm´ınk´ ach CR. al. [3] Warchil, Michal. Sekuritizace a jej´ı souvislost s finanˇcn´ı kriz´ı. Brno: Masarykova univerzita v Brnˇe, 2012. Vedouc´ı pr´ ace Dalibor Pánek. [4] BASEL II. Basel: Bank for International Settlements, 2004. [5] BASEL III. Basel: Bank for International Settlements, 2010. ˇek, Oldˇrich Alfons. The distribution of loan portfolio value. Risk, 2002. [6] Vaˇ s´ıc [7] Das, Ashish and Roger, M. Stein. Differences in Tranching Methods: Some Results and Implications. New York: Moody’s Research Labs, 2011. ˇ a národn´ı banka, 2007. [8] Vyhl´ aˇska 123/2007, ˇc´ ast ˇctvrt´ a, pˇr´ıloha 18. Praha: Cesk´ [9] Moody’s Rating Approach to European Covered Bonds. London: Moody’s, 2005. [10] Durbin, James. Distribution Theory for Tests Based on the Sample Distribution Function. London: University of London, 1973. [11] Wand, Matt and Jones, Milton. Kernel smoothing. Chapman & Hall, 1995. [12] Giesecke, K., Kakavand, H., Mousavi, M. and Takada, H. Exact and Efficient Simulation of Correlated Defaults. Siam J. Financial Math, Vol. 1, pp. 868-896, 2010. [13] Kotlorz, Luk´ aˇs. Testy normality. Praha: Matematicko-fyzikáln´ı fakulta Univerzity Karlovy v Praze, 2012. Vedouc´ı pr´ ace Jiˇr´ı Andˇel. [14] R Core Team. R: A language and environment for statistical computing. Vienna, Austria, 2013. http://www.R-project.org/.

23

R-script Gener´ ator default˚ u #########################Generator defaultu################### Defaulty_po_jednom_roce<-function(N,PD,rho){ X<-matrix(data=NA,nrow=1,ncol=N) #kreditn´ ı ukazatel Y<-matrix(data=NA,nrow=1,ncol=N) #identifik´ ator jevu, zda dluˇ zn´ ık #zdefaultoval c<-qnorm(PD) # hranice pod kter´ y kdyˇ z klesne kreditn´ ı ukazatel (Xi), #tak dluˇ zn´ ık zdefaultuje Z<-rnorm(1) E<-rnorm(N) V<-c() #ˇ c´ ısla zdefaultovan´ ych for(j in 1:N){ X[[j]]<-sqrt(rho)*Z+sqrt(1-rho)*E[[j]] Y[[j]]<-ifelse(X[[j]]
24

R_sim<-R PD_d_sim<-PD_d LGD_d_sim<-LGD_d Ex_d_sim<-Ex_d TYPE_d_sim<-TYPE_d R_d_sim<-R_d for(r in 1:tau){ #urˇ c´ ıme mnoˇ zinu zdefaultovanych v dan´ em roce zdefault<-Defaulty_po_jednom_roce(N_sim,PD_sim,rho) L[[r,sim]]<-LGD_sim[zdefault]%*%Ex_sim[zdefault] #ztr´ ata v dan´ em roce #a dan´ e simulaci #Pokud nejsme na konci obdob´ ı provedeme ´ upravy o zdefaultovan´ e, #splacen´ e a pˇ ridan´ e if(r
25

LGD_d_sim<- LGD_d_sim[zbyle_k_d] Ex_d_sim<- Ex_d_sim[zbyle_k_d] TYPE_d_sim<- TYPE_d_sim[zbyle_k_d] R_d_sim<- R_d_sim[zbyle_k_d] } } LOSS[[sim]]<- sum(L[,sim]) } return(L/Ex_sek1) }

Naˇ cten´ı a u ´ prava dat library(xtable) #########################Selekce dat########################## #### UPRAVA DAT A DOPOCITANI SLOUPCU A SELEKT VHODNYCH HODNOT ## FIRST_C_YEAR<-2014 ## dost_doba boolean, rika zdali mame zahrnout jen kontrakty, ## ktere trvaji po celou dobu modelovani defaultu ## ## ## ## ##

Vzhledem k rocni granularite upravime datumy aby odpovidaly datum 1.1.YYYY pro zacatek uveru a 31.12.YYYY pro maturitu ozn. START_YEAR a END_YEAR Pouzijeme ten rok, ktery je k puvodnimu datu blize (pri rovnosti volime stejny rok) Napocteme delku uveru, stav k FIRST_C_YEAR a rocni platby

separace<-function(data,FIRST_C_YEAR,dost_doba){ # dva nejblizsi roky pocatku uveru 1.1. min_start_date<-as.Date(paste("1.1.",format(as.Date(data[,’DISBURSDATE’], format="%d.%m.%Y"),format="%Y"),sep=""), format="%d.%m.%Y") max_start_date<-as.Date(paste("1.1.",(as.numeric(format(as.Date( data[,’DISBURSDATE’],format="%d.%m.%Y"), format="%Y"))+1),sep=""),format="%d.%m.%Y") # dva nejblizsi roky konce uveru 31.12. max_end_date<-as.Date(paste("31.12.",format(as.Date(data[,’MATURDATE’], format="%d.%m.%Y"),format="%Y"),sep=""), format="%d.%m.%Y") min_end_date<-as.Date(paste("31.12.",(as.numeric(format(as.Date( data[,’MATURDATE’],format="%d.%m.%Y"), format="%Y"))-1),sep=""),format="%d.%m.%Y") # porovnani blizsi hodnoty a prirazen data[,’START_YEAR’]<-data[,’END_YEAR’]<-numeric(nrow(data)) #i<-1 for (i in 1:nrow(data)){ ks<-which.min(c(as.Date(data[i,’DISBURSDATE’],format="%d.%m.%Y")min_start_date[i],max_start_date[i]as.Date(data[i,’DISBURSDATE’],format="%d.%m.%Y"))) data[i,’START_YEAR’]<-as.numeric(format(as.Date(ifelse(ks==1, min_start_date[i],max_start_date[i]), origin="1970-01-01"),format="%Y")) ke<-which.min(c(max_end_date[i]-as.Date(data[i,’MATURDATE’], format="%d.%m.%Y"),as.Date(data[i,’MATURDATE’], format="%d.%m.%Y")-min_end_date[i])) data[i,’END_YEAR’]<-as.numeric(format(as.Date(ifelse(ke==1, max_end_date[i],min_end_date[i]),origin="1970-01-01"),

26

format="%Y")) } # napocitani delky uveru a doby od zacatku pocitani defaultu (napoctu) # do maturity data[,’DOBA_UVERU’]<-data[,’END_YEAR’]-data[,’START_YEAR’]+1 data[,’DOBA_OD_SIM’]<-data[,’END_YEAR’]-as.numeric(FIRST_C_YEAR) + 1 # odstraneni prilis kratkych kontraktu (mene nez pul roku) data<-data[data[,’DOBA_UVERU’]!=0,] # odstraneni kontraktu, ktere maturovali pred rokem napoctu nebo zacinaji # po FIRST_C_YEAR data<-data[data[,’END_YEAR’]>=FIRST_C_YEAR,] data<-data[data[,’START_YEAR’]<=FIRST_C_YEAR,] # napocitani rocni platby Y1BAL a objemu na zacatku napoctu for (i in 1:nrow(data)) { data[i,’Y1BAL’]<-ifelse(data[i,’PAYMENT_TYPE’]==’bullet’,0, round(data[i,’ORIGBAL’]/data[i,’DOBA_UVERU’])) data[i,’FIRST_SIM_BAL’]<-ifelse(data[i,’PAYMENT_TYPE’]==’bullet’, round(data[i,’ORIGBAL’]), round(data[i,’ORIGBAL’]*(data[i,’END_YEAR’]FIRST_C_YEAR+1)/data[i,’DOBA_UVERU’])) } # vynechani kratkych kontraktu, pokud dost_doba TRUE if (dost_doba) {data<-data[data[,’END_YEAR’]>=FIRST_C_YEAR+4,]} return (data) } #########################Prace s daty######################### #setwd(’’) data<-read.csv(’Data_upravena_v2.csv’,header=T,sep=’;’,dec=’.’) # filtrace nevhodnych dat vzhledem k maturity date a pridani sloupecku pro # dalsi pocitani # 3. hodnota odpovida pozadavku dostatecne vzdalene maturity FIRST_C_YEAR<-2014 vyber1<-separace(data,FIRST_C_YEAR,FALSE) head(vyber1) rhoF<-0.15 #korelace mezi dluˇ zn´ ıky NF<-nrow(vyber1) #poˇ cet dluˇ zn´ ık˚ u PDF<-vyber1[,’PD’] #pravdˇ epodobnost defaultu bˇ ehem pevn´ eho obdob´ ı ExF<-vyber1[,’FIRST_SIM_BAL’] #expozice - v´ yˇ se dluhu LGDF<-vyber[,’LGD’] mF<-5000 #poˇ cet simulac´ ı tauF<-5 #poˇ cet let TYPEF<-vyber1[,’PAYMENT_TYPE’] RF<-vyber1[,’DOBA_OD_SIM’] seedF<-12345 ´vˇ #U ery urˇ cen´ e k dosyp´ av´ an´ ı - bereme stejn´ e jako ´ uvˇ ery urˇ cen´ e k sekuritizaci ExF_d<-vyber[,’ORIGBAL’] RF_d<-vyber[,’DOBA_UVERU’] PDF_d<-PDF LGDF_d<-LGDF TYPEF_d<-TYPEF seedF<-12345

27

ExF_d<-vyber1[,’ORIGBAL’] RF_d<-vyber1[,’DOBA_UVERU’] ptm <- proc.time() L_po_letech<-simulace_s_dosypavanim(mF, NF, rhoF, tauF, PDF, LGDF, ExF, TYPEF, RF, PDF_d, LGDF_d, ExF_d, TYPEF_d, RF_d,seedF) proc.time() - ptm L_po_letech<-t(L_po_letech)

Odhad rozdˇ elen´ı ztr´ at ####################Odhad hustoty ztr´ at############################ L<-apply(L_po_letech,1,sum) head(L) ####GHYP #http://cran.r-project.org/web/packages/ghyp/ghyp.pdf #install.packages("ghyp") library(ghyp) fit<-fit.ghypuv(L, lambda = 1, alpha.bar = 0.5, mu = median(L), sigma = mad(L), gamma = 0, opt.pars = c(lambda = T, alpha.bar = T, mu = T,sigma = T)) fitNIG<-fit.NIGuv(L) fithyp<-fit.hypuv(L) fitVG<-fit.VGuv(L) fitT<-fit.tuv(L) hist(fit) hist(fitVG) hist(fitNIG) hist(fithyp) hist(fitT) ### LOGNORMALNI ROZDELENI #odhad parametr˚ u pomc´ ı MLE #install.packages("MASS") library("MASS") fitLN<-fitdistr(L,"log-normal") head(fitLN) ## odhad parametr˚ u pomoc´ ı MM mean_logMM<- mean(log(L)) sd_logMM<- sd(log(L)) #rozd´ ıl v odhadech fitLN$estimate-c(mean_logMM,sd_logMM)

## Lilliefors˚ uv test #install.packages("nortest") library(nortest) lillie.test(log(L)) #obdoba KS-tetu, kde parametry odhadujeme z dat ks.test(L,"plnorm",mean_log,sd_log) png(filename="log_empir.png",width=800,height=480) plot(seq(0,0.1,length=200),plnorm(seq(0,0.1,length=200), meanlog=fitLN$estimate[1],sdlog=fitLN$estimate[2]), type="l",lwd=2,col="red",xlab="x",ylab="y") plot(ecdf(L), add = TRUE, lty = "dashed",col="blue")

28

title("Porovn´ an´ ı ECDF a odhadnut´ e lognorm´ aln´ ı CDF") dev.off() #lognorm´ aln´ ı nen´ ı omezen´ e na intervalu (0,1). #Jak´ a je pst, ˇ ze rel.ztr´ ata bude vˇ etˇ s´ ı neˇ z 1? integrate(function(x)dlnorm(x,meanlog=fitLN$estimate[1],sdlog=fitLN$estimate[2]),1,Inf)$value

### BETA ROZDELENI ## funkce, ktera odhadne parametry beta rozdeleni pri znalosti #stredni hodnoty a rozptylu alpha_beta<- function(EF,varF){ ny<-EF*(1-EF)/varF-1 alpha<-EF*ny beta<-(1-EF)*ny return(c(alpha,beta)) } mean_L<-mean(L) var_L<-var(L) #MM metoda param_beta<- alpha_beta(mean_L,var_L) #MLE metoda fitBETA<-fitdistr(L,"beta",list(shape1=param_beta[1],shape2=param_beta[2])) ## Kolmogorov - Smirnov test plot(seq(0,0.1,length=200),pbeta(seq(0,0.1,length=200), shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2]), type="l",lwd=2,col="purple",xlab="x",ylab="y") plot(ecdf(L), add = TRUE, lty = "dashed",col="blue") title("Porovn´ an´ ı ECDF a odhadnut´ e beta CDF") ## JADROVE ODHADY #Epaneˇ cnikovo j´ adro K<-function(u){ ifelse(abs(u)<1,3/4*(1-u*u),0) } #bandwith, using reference method with lognormal density fitLN$estimate[1] fitLN$estimate[2] #pouˇ zijeme v´ ypoˇ cty z Wolfram Mathematica 9.0. mu2K=1/5 normK2=3/5 dK<-(normK2/mu2K^2)^(1/5) ddf=45824175591 cf=1/(5000^(1/5)*ddf^(1/5)) bw_opt=dK*cf density(L,kernel="epanechnikov")$bw #pouˇ z´ ıv´ a gaussovsk´ e j´ adro s nrd bw_bcv=bw.bcv(L) #pouˇ z´ ıv´ a gaussovsk´ e j´ adro #j´ adrov´ y odhad hustoty fj<-function(x){ h<-density(L,kernel="epanechnikov")$bw n<-length(L) vystup<-c() for(i in 1:length(x)){ vystup[[i]]<-sum(K((x[[i]]-L)/h)/h)/n } return(vystup)

29

} Ij<-c() for(i in 1:4999){ Ij[i]<-integrate(fj,Lsort[i],Lsort[i+1],subdivisions=200,stop.on.error=F)$value } #distribuˇ cn´ ı fce pro epaneˇ cn´ ıkovo j´ adro v bodech ztr´ at Fj<-c(0,cumsum(Ij))+integrate(fj,0,Lsort[1],subdivisions=200,stop.on.error=F)$value head(Fj) #histogram s relativn´ ımi frekvencemi h<-hist(L, plot=F) sirka<-1/(h$mids[2]-h$mids[1]) h$counts <- sirka*h$counts / sum(h$counts) ## GRAFICK´ E POROVN´ AN´ I HUSTOT BETA - LOGNORM´ ALN´ I - HISTOGRAM x<-seq(0,0.15,length=200) barvy<-c("red","purple","blue","green") png(filename="Ruzna_rozdeleni2.png",width=800,height=480) plot(x,dlnorm(x,meanlog=fitLN$estimate[1],sdlog=fitLN$estimate[2]), type="l",lwd=2,col=barvy[1],xlab="x",ylab="y") lines(x,dbeta(x,shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2]), type="l",lwd=2,col=barvy[2],xlab="x",ylab="y") lines(x,fj(x),type="l",lwd=2,col=barvy[3],xlab="x",ylab="y") lines(h, freq=TRUE, ylab="Relativn´ ı Frekvence") lines(fit,lwd=2,col=barvy[4]) legend(0.11,max(dlnorm(x,meanlog=fitLN$estimate[1],sdlog=fitLN$estimate[2]))-2, c("Lognormal","Beta","Epaneˇ cn´ ık","Zob. hyperbolick´ e"),col=barvy, cex=1.3,lty=1,lwd=2) dev.off() ## POROVN´ AN´ I HUSTOT POMOC´ I AD,CvM,KS dist<-list(plnorm(Lsort,fitLN$estimate[1],fitLN$estimate[2]), pbeta(Lsort,shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2]), Fj, pghyp(Lsort, object = fit), pghyp(Lsort, object = fitVG), pghyp(Lsort, object = fithyp), pghyp(Lsort, object = fitT), pghyp(Lsort, object = fitNIG)) names(dist)<-c("LogNormal","Beta","Epaneˇ cn´ ık","Ghyp","Variance-Gamma","hyperbolic", "Assymetric T","Normal-Inverse Gaussian") #KS ks.test(L,"pbeta",shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2])$statistic ks.test(L,"plnorm",fitLN$estimate[1],fitLN$estimate[2])$statistic #empirick´ a distribuˇ cn´ ı funkce pro relativn´ ı ztr´ atu ecdf<-function(x){ ret<-c() for(y in x){ val<-mean(L-y<=0) ret<-c(ret,val) } return(ret) } n<-length(L) Lsort<-sort(L,decreasing=FALSE) KStatistics<-function(CDF){ #D+ z<-ecdf(Lsort)-CDF Dp<-max(z)

30

#Dzz<-ecdf(Lsort[1:(n-1)])-CDF[2:n] Dm<-min(zz) #D D<-max(max(z),-min(zz)) ret<-c(Dp,Dm,D) names(ret)<-c("D+","D-","D") return(ret) } KSall<-c() for(d in dist){ val<-KStatistics(d) KSall<-rbind(KSall,val) } row.names(KSall)<-names(dist) KSall ##the best in KS is fithyp! ##CvM CvM<-function(x){ #x are values - F(Lsort) n<-length(x) p<-seq(1,2*n-1,2)/(2*n) S=sum((p-x)^2) ret<-1/(12*n)+S return(ret) } CvMall<-c() for(d in dist){ val<-CvM(d) CvMall<-rbind(CvMall,val) } row.names(CvMall)<-names(dist) colnames(CvMall)<-"CvM" CvMall #NIG, hyperbolic ##AD AD<-function(CDF){ #x are values - F(Lsort) n<-length(CDF) p<-seq(1,2*n-1,2)/(n) S=sum(p*(log(CDF)+log(1-sort(CDF,decreasing=TRUE)))) ret<-sqrt(-n-S) return(ret) } ADall<-c() for(d in dist){ val<-AD(d) ADall<-rbind(ADall,val) } row.names(ADall)<-names(dist) colnames(ADall)<-"AD" ADall KSall CvMall porovnani<-round(cbind(KSall[,3],CvMall,ADall),3) colnames(porovnani)<-c("KS","CvM","AD")

31

porovnani library(xtable) xtable(porovnani,digits=3) #the best is NIG hist(fitNIG)

Tranˇ sov´ an´ı #############################Tranˇ sov´ an´ ı################################### Rating<-c("Aaa","Aa1","Aa2","Aa3","A1","A2","A3","Baa1","Baa2","Baa3","Ba1" ,"Ba2","Ba3","B1","B2","B3","Caa1") ################PD based pˇ r´ ıstup Ratingove_meze<-c(0.0029,0.031,0.068,0.142,0.261,0.467,0.73,1.1,1.58,3.05, 5.28,8.41,11.86,16.12,20.71,27.05,36.31374)/100 #viz zdroj: #http://www.pfandbrief.de/cms/_internet.nsf/0/FB08ACD3FC93E2C5C125778200473271/ #$FILE/Moodys_Expected_Loss_Covered_Bond_Modell_2005-06-13.pdf?OpenElement #slide: 26 ## neparametrick´ y odhad kvantil˚ u kvantily_nepar<-quantile(L, probs = 1-Ratingove_meze) ## parametrick´ y odhad kvantil˚ u pˇ res hustoty a jejich grafick´ e zn´ azornˇ en´ ı Graf_PD<-function(kvantily,x,y){ podmnoz<-seq(1,length(kvantily),4) kvantily<-kvantily[podmnoz] n<-length(kvantily) require(graphics) barvy<-heat.colors(n+1) plot(x,y, type="l",lwd=2,col="black",xlab="x",ylab="y",xaxt="n") i <- x <= kvantily[[n]] polygon(c(0,x[i],kvantily[[n]]), c(0,y[i],0), col=barvy[1]) for(j in 1:(n-1)){ i <- x <= kvantily[[j]] & x>=kvantily[[j+1]] polygon(c(kvantily[[j+1]],x[i],kvantily[[j]]), c(0,y[i],0), col=barvy[n-j+2]) } # i <- x >= kvantily[[1]] # polygon(c(kvantily[[1]],x[i],1), c(0,y[i],0), col=barvy[1]) abline(v=kvantily) abline(h=0) axis(1,at=kvantily,pos=0) legend(0.15,max(y)-2,legend=c("Equity",Rating[length(Rating)-podmnoz+1]), fill=c(barvy[setdiff(1:length(barvy),2)],"white"),border="black") } ### BETA ROZDELENI kvantily_beta<-qbeta(1-Ratingove_meze,shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2]) kvantily<-round(kvantily_beta,3) x<-sort(union(seq(0,0.2,length=600),kvantily)) png(filename="Beta.png",width=800,height=480) y<-dbeta(x,shape1=param_beta[1],shape2=param_beta[2]) Graf_PD(kvantily,x,y) title("Beta rozdˇ elen´ ı") dev.off() ### LOGNORMALNI ROZDELENI kvantily_lnorm<-qlnorm(1-Ratingove_meze,fitLN$estimate[1],fitLN$estimate[2]) kvantily<-round(kvantily_lnorm,3) x<-sort(union(seq(0,0.2,length=600),kvantily))

32

y<-dlnorm(x,meanlog=mean_log,sdlog=sd_log) png(filename="Lognormal.png",width=800,height=480) Graf_PD(kvantily,x,y) title("Lognorm´ aln´ ı rozdˇ elen´ ı") dev.off() ### NIG kvantily_NIG<-qghyp(1-Ratingove_meze, object = fitNIG) kvantily<-round(kvantily_NIG,3) x<-sort(union(seq(0,0.2,length=600),kvantily)) y<-dghyp(x, object = fitNIG) png(filename="NIG.png",width=800,height=480) Graf_PD(kvantily,x,y) title("Normal - Inverse Gaussian") rug(jitter(L)) dev.off() #Tranˇ sov´ an´ ı pomoc´ ı pˇ r´ ıstupu PD-based tranching_PD<-function(kvantily){ #nejprve vytvoˇ r´ ıme nejseniornˇ ejˇ s´ ı tranˇ si m<-c() m<-c(kvantily[[1]],1,(1-kvantily[[1]]),Ratingove_meze[[1]])*100 #ostatn´ ı tranˇ se for(i in 1:(length(kvantily)-1)){ m<-rbind(m,c(kvantily[[i+1]],kvantily[[i]], (kvantily[[i]]-kvantily[[i+1]]),Ratingove_meze[[i+1]])*100) } #equity tranˇ si nutno pˇ ridat zvl´ aˇ st’ m<-rbind(m,c(0,kvantily[[length(kvantily)]], kvantily[[length(kvantily)]],1)*100) transe<-data.frame(c(Rating,"Neni"),m,row.names=NULL) colnames(transe)<-c("Rating","C v %","D v %", "ˇ s´ ıˇ rka tranˇ se v %", "P(L>C) v %") return(transe) } transePD_nepar<-tranching_PD(kvantily_nepar) transePD_beta<-tranching_PD(kvantily_beta) transePD_lnorm<-tranching_PD(kvantily_lnorm) transePD_NIG<-tranching_PD(kvantily_NIG) vystupPD<-data.frame(Rating,transePD_nepar[1:17,2],transePD_beta[1:17,2], transePD_lnorm[1:17,2],transePD_NIG[1:17,2]) colnames(vystupPD)<-c("Rating","Neparametricky","Beta","Lognorm´ aln´ ı","NIG") vystupPD #write.table(round(vystup,3),file="Porovnani_transi.csv",row.names=FALSE, quote=FALSE,sep=";") library(xtable) print(xtable(vystup,digits=2), include.rownames=FALSE) #######################EL based pˇ r´ ıstup#################################### ########Urˇ cen´ ı roztranˇ sov´ an´ ı za pouˇ zit´ ı algoritmu popsan´ eho v pr´ aci str. 16 tranching<-function(eF=0.00000001,hF=0.001,max_transi,fl){ #max_transi: 2 - 18) #fl - hustota rozdˇ elen´ ı ztr´ at #fl<-function(x)dbeta(x,shape1=param_beta[1],shape2=param_beta[2]) Ratingove_meze<-c(0.0016, 0.01705, 0.03740, 0.07810, 0.14355, 0.25685, 0.40150, 0.60500, 0.8690, 1.67750, 2.9040, 4.62550,

33

6.5230, 8.8660, 11.3905, 14.8775, 26.8125)/100 #viz zdroj: http://www.pfandbrief.de/cms/_internet.nsf/0/ #FB08ACD3FC93E2C5C125778200473271/$FILE/Moodys_Expected_Loss_ #Covered_Bond_Modell_2005-06-13.pdf?OpenElement #slide: 26 Rating<-c("Aaa","Aa1","Aa2","Aa3","A1","A2","A3","Baa1","Baa2","Baa3","Ba1" ,"Ba2","Ba3","B1","B2","B3","Caa1") EL_t<-function(c,d){ # dle vzorce ve vˇ etˇ e 3.2.1 (i) if(c>=d){cat("Nelze!")} else{ f<-function(x)(x-c)/(d-c)*fl(x) I<-integrate(f,c,d)$value P<-integrate(fl,d,1,subdivisions=200,stop.on.error=F)$value return(I+P) } } #Urˇ cen´ ı roztr´ anˇ sov´ an´ ı #Zaˇ c´ ın´ ame od nejseniornˇ ejˇ s´ ı tranˇ se e<-eF #povolen´ a odliˇ snost v EL_t a EL_rating p<-max_transi #maxim´ aln´ ı poˇ cet tranˇ s´ ı, posledn´ ı tranˇ se vˇ zdy bez ratingu Rating[p-1] #nejhorˇ s´ ı moˇ zn´ y pˇ riˇ razen´ y rating tranˇ si nad equity tranˇ s´ ı c<-c() vynechane<-c() #m˚ uˇ ze se st´ at, ˇ ze nˇ ejak´ e tranˇ se je nutn´ e vynechat c[[1]]<-1 #prvn´ ı koncov´ y bod je maxim´ aln´ ı ztr´ ata - relativnˇ e 1 for(i in 2:p){ h<-hF #poˇ c´ ateˇ cn´ ı krok ifelse(i<3,c[[i]]<-1,c[[i]]<-c[[i-1]]) #dosad´ ıme pˇ redchoz´ ı hranici c[[i]]<-c[[i]]-e #odeˇ cteme mal´ e ˇ c´ ıslo if(EL_t(c[[i]],c[[i-1]])e){ if(EL_t(c[[i]],c[[i-1]])
34

} transeEL_nepar<-tranching(max_transi=17,fl=function(x)fj(x)) transeEL_beta<-tranching(max_transi=17,fl=function(x) dbeta(x,shape1=fitBETA$estimate[1],shape2=fitBETA$estimate[2])) transeEL_lnorm<-tranching(max_transi=17,fl=function(x) dlnorm(x,fitLN$estimate[1],fitLN$estimate[2])) transeEL_NIG<-tranching(max_transi=17,fl=function(x)dghyp(x, object = fitNIG)) ## EL-pristup tranche<-list() tranche[[1]]<-transeEL_lnorm tranche[[2]]<-transeEL_beta tranche[[3]]<-transeEL_nepar tranche[[4]]<-transeEL_NIG names(tranche)<-c("Lognormal","Beta","Epaneˇ cn´ ık","Normal-Inverse Gaussian") vystupEL<-data.frame(Rating) names(vystupEL)<-"Rating" library(plyr) for(i in 1:4){ vystupEL<-join(vystupEL,tranche[[i]][,1:2],by="Rating",type="left") } names(vystupEL)<-c("Rating",c("Lognormal","Beta","Epaneˇ cn´ ık","Normal-Inverse Gaussian")) vystupEL2<-format(vystupEL,digits=3,row.names=F) vystupEL2[is.na(vystupEL)] <- "x" ## PD-pristup tranche[[5]]<-transePD_lnorm tranche[[6]]<-transePD_beta tranche[[7]]<-transePD_nepar tranche[[8]]<-transePD_NIG names(tranche)<-c("EL Lognormal","EL Beta","EL Epaneˇ cn´ ık","EL Normal-Inverse Gaussian", "PD Lognormal","PD Beta","PD neparmetricky","PD Normal-Inverse Gaussian") #save(tranche, file="tranche.Rdata")

V´ ypoˇ cet rizikovˇ e neutr´ aln´ı pr´ emie ##### OCENˇ EN´ I CDS - V´ YPOˇ CET RIZIKOVˇ E NEUTR´ ALN´ I PR´ EMIE###### kryti<-function(C,D,L){ #n´ aklady spojen´ e s vlastnictv´ ım tranˇ se #skuteˇ cn´ e n´ aklady z´ ısk´ ame aˇ z po pˇ ren´ asoben´ ı objemem tranˇ se #kryti v rozmezi (0,1) i=1; kryti_sim<-c() for(L_sim in L){ kryti_sim[[i]]<-min(max(0,L_sim-C),D-C) #n´ aklady na kryt´ ı tranˇ se - relativnˇ e i=i+1 } return(mean(kryti_sim)/(D-C)) } zisk<-function(C,D,L_po_letech){ #zisk z vlastnicvtv´ ı tranˇ se #zisk z´ ısk´ ame aˇ z po pˇ ren´ asoben´ ı v´ yˇ s´ ı pr´ emie a objemem tranˇ se #zisk v rozmez´ ı (0,1) - za 1 let´ e obdob´ ı zisk_sim<-c() for(sim in 1:nrow(L_po_letech)){ cum_L_po_l<-c()

35

for(i in 1:ncol(L_po_letech)){ cum_L_po_l[[i]]=min(max(0,sum(L_po_letech[sim,1:i])-C),D-C) } zisk_sim[[sim]]<-sum((D-C)-cum_L_po_l)/ncol(L_po_letech) } return(mean(zisk_sim)/(D-C)) } #Dva n´ asleduj´ ıc´ ı v´ ystupy by mˇ ely b´ yt stejn´ e zisk(0,1,L_po_letech) sum(1-cumsum(apply(L_po_letech,2,mean)))/5 #spravedliv´ a pr´ emie - zisky a ztr´ aty jsou v pr˚ umˇ eru stejn´ e premie<-function(transe){ for(i in 1:nrow(transe)){ D<-transe[i,"D v %"]/100 C<-transe[i,"C v %"]/100 kryti<-kryti(C,D,L) zisk<-zisk(C,D,L_po_letech) prem<-100*kryti/zisk transe[i,"Kryt´ ı v %"]<-round(kryti,7) transe[i,"V´ yˇ se k zisku v %"]<-round(zisk,7) #zisk z´ ısk´ ame aˇ z po pˇ ren´ asoben´ ı pr´ emi´ ı transe[i,"Spravedliv´ a premie v %"]<-round(prem,7) } return(transe) } transeALL<-list() i=1 for(tr in tranche){ tr[,"Kryt´ ı v %"]<-NA tr[,"V´ yˇ se k zisku v %"]<-NA tr[,"Spravedliv´ a premie v %"]<-NA transeALL[[i]]<-premie(tr) i=i+1 } names(transeALL)<-names(tranche) transeALL

Regulatorn´ı vzorec #load(’L.Rdata’) #### Vypocet rizikove vahy dle vyhlasky 123 CNB, priloha c. 18, str. 5 ## T_S, resp. L_S, jsou ve vyhlasce znaceny T, resp. L (C) ## vstupni parametry: L_S,T_S,m,C,LGD,fac,LOSS,RW ## ´ Uroveˇ n m m˚ uˇ ze povinn´ a osoba stanovit, m nab´ yv´ a hodnot od 0 aˇ z length(C) ## m urˇ cuje zp˚ usob v´ ypoˇ ctu N a LGD v pˇ r´ ıpadˇ e, ˇ ze C1<0.03 ## pro m=0 postupujeme dle bodu 13 ## C je vektor hodnot sekuritizovan´ ych expozic, LGD je prislusny vektor ## T_S, resp. L_S, jsou ve vyhlasce znaceny T, resp. L ## fac je vektor faktoru delky length(LGD) urcujici dluznika, ke kteremu ##patri prislusna hodnota ve vektoru LGD, resp. C reg_vzorec<- function(L_S,T_S,m,C,LGD,fac,mLOSS,RW){ if ((!(length(fac)==length(C))) | (!(length(fac)==length(LGD)))){ return_value<- "Spatny vstup- delky fac, C a LGD nejsou shodne." } else{ # vypocet C1 if (m==0) { C1<- max(C)/sum(C)

36

# vypocet Cm (pod´ ıl, kde v ˇ citateli je souˇ cet m nejvˇ etˇ s´ ıch hodnot) Cpom<- C Cm<- 0 for (i in 1:m){ Cm<- Cm+max(Cpom) Cpom<- Cpom[-which.max(Cpom)] } rm(Cpom) Cm<- Cm/sum(C) } # vypocet vektoru Ei,LGDi # E_i expozice i-t´ eho dluˇ zn´ ıka # LGDi oznaˇ cuje pr˚ umˇ ernou hodnotu LGD vzhledem ke vˇ sem expozic´ ım v˚ uˇ ci # i-t´ emu dluˇ zn´ ıkovi. Ei<- rep(0,nlevels(fac)) LGDi<- rep(0,nlevels(fac)) for (i in 1:length(fac)){ for (j in 1:nlevels(fac)){ if (fac[i]==levels(fac)[j]){ Ei[j]<- Ei[j]+C[i] LGDi[j]<- LGDi[j]+LGD[i] } } } for (i in 1:nlevels(fac)){ LGDi[i]<- LGDi[i]/(table(fac)[i]) } # vypocet N (efektivn´ ı poˇ cet expozic - v´ ıce expozic v˚ uˇ ci stejn´ emu dluˇ zn´ ıkovi # se povaˇ zuje za jednu expozici.) # a vypocet LGD,LGDi) if (C1<0.03 & m>0){ # Pokud hodnota C1 nen´ ı vˇ etˇ s´ ı neˇ z 3 % souˇ ctu hodnot, # povinn´ a osoba m˚ uˇ ze pro metodu regulatorn´ ıho vzorce pouˇ z´ ıt # hodnotu LGD = 50% a N stanovit podle vztahu dle n´ ıˇ ze for (i in 1:length(LGD)){ LGD[i]<- 0.5 if (i<(length(LGDi)+1)){ LGDi[i]<- 0.5 } } if(m==1){ N<-1/C1 } else N<- 1/( (C1*Cm) + (((Cm-C1)/(m-1))*max(0,1-m*C1)) ) } else{ # spocitame efektivni pocet expozic N # unfirmy = unikatni identifikatory firem N<-(sum(Ei))^2/sum(Ei^2) } # vypocet ELGD pom_LGDiEi<- rep(0,nlevels(fac)) for (i in 1:length(LGDi)){ pom_LGDiEi[i]<- LGDi[i]*Ei[i] } ELGD<- sum(pom_LGDiEi)/sum(Ei) rm(pom_LGDiEi) ## Spocitame kirb ## vyber1 - znaci tabulku, ze ktere pocitame defualty

37

## LOSS - ztratova funkce vzesla z modelu K_irb<-(0.08*sum(C*RW)+mLOSS)/sum(C) # naplneni konstant tau,omega tau<- 1000 omega<- 20 # vypocet h,c,v,f,g,a,b,d h<- (1-(K_irb/ELGD))^N #pravdˇ epodobnost, ˇ ze nikdo nezdefaultuje c<- K_irb/(1-h) #mu v ˇ cl´ anku 0303_RANDOM v<- (K_irb/N) * ((ELGD-K_irb)+(0.25*(1-ELGD))) #V[L|X_q] v 0303_RANDOM (stresov´ y rozptyl ztr´ at) f1<- ((v+(K_irb^2))/(1-h))-c^2 f2<- (((1-K_irb)*K_irb)-v) / ((1-h)*tau) f<- f1+f2 #sigma^2 v 0303_RANDOM rm(f1,f2) g<- ((1-c)*c/f)-1 #theta v 0303_RANDOM a<- g*c b<- g*(1-c) d<- 1-((1-h)*(1-pbeta(K_irb,a,b))) # vypocet K (funkce v K_hat v 0303_RANDOM) K<- function(xK){ beta1<- pbeta(xK,a,b) beta2<- pbeta(xK,(a+1),b) ret_value<- (1-h)*( ((1-beta1)*xK) + (beta2*c) ) return(ret_value) } # vypocet S S<- function(x){ if (x>K_irb){ zavorka<- 1-((exp(1))^(omega*(K_irb-x)/K_irb)) posl<- d*K_irb*zavorka/omega ret<- K_irb+K(x)-K(K_irb)+posl } else{ ret<- x } return(ret) } # vypocet r r<- 12.5*(S(L_S+T_S)-S(L_S))/T_S return(max(r,0.07)) }}

V´ ypoˇ cet rizikovˇ e neutr´ aln´ı pr´ emie ## LOSS v absolutni hodnote ## L v relativni casti LOSS<-L*sum(vyber[,’FIRST_SIM_BAL’]) (K_irb<-(0.08*sum(vyber[,’FIRST_SIM_BAL’]*vyber[,’RW’])+ mean(LOSS))/sum(vyber[,’FIRST_SIM_BAL’])) # 0.1007671 ## pocitana varianta - slouzi k pojmenovani pri ukladani ## varianta=1 transe1 atd. for (varianta in 1:8) { ## sloupecek celkovych obemu transeALL[[varianta]][,"objem"]<-sum(vyber[,’FIRST_SIM_BAL’])*

38

transeALL[[varianta]][,"ˇ s´ ıˇ rka tranˇ se v %"]/100 ## napocitani r - trva dlouho transeALL[[varianta]][,"r"]<-0 for(mF in 1:nrow(transeALL[[varianta]])){ L_S<-transeALL[[varianta]][mF,"C v %"]/100 T_S<-transeALL[[varianta]][mF,"ˇ s´ ıˇ rka tranˇ se v %"]/100 transeALL[[varianta]][mF,"r"]<-reg_vzorec(L_S,T_S,m,vyber[,’FIRST_SIM_BAL’], vyber[,"LGD"],as.factor(vyber[,"ID_firmy"]),mean(LOSS),vyber[,"RW"]) } ## kapitalove pozadavky - pomoci reg.vzorce transeALL[[varianta]][,"kapital"]<-0.08*(transeALL[[varianta]][,"r"]* transeALL[[varianta]][,"objem"]) ## naklady na sekuritizaci transi ## tabulka v bazickych bodech uroky<-read.table("ratings-cds.csv",sep=";",header=T) names(uroky)<-c("DATE",t(Rating)) transeALL[[varianta]][,"urok v %"]<-transeALL[[varianta]][,"naklady"]<-0 for (i in 1:nrow(transeALL[[varianta]])){ transeALL[[varianta]][i,"urok%"]<-ifelse(is.null(uroky[1:100, as.character(transeALL[[varianta]][i,1])]),NA,mean(uroky[1:100, as.character(transeALL[[varianta]][i,1])]))/100 transeALL[[varianta]][i,"naklady"]<-transeALL[[varianta]][i,"V´ yˇ se k zisku v%"] *transeALL[[varianta]][i,"urok v %"]*transeALL[[varianta]][i,"objem"]/100 } } #urˇ cen´ ı spravedliv´ e pr´ emie pro jeden rok (nikoliv pro cel´ e 5-let´ e obdob´ ı) for(i in 1:8){ transeALL[[i]][,’Spravedliv´ a premie v %’]<-transeALL[[i]][,’Spravedliv´ a premie v %’]/5 } # tabulka roztransovaneho portfolia transe<-transeALL[[’PD Normal-Inverse Gaussian’]] library(xtable) xx<-as.table(cbind(as.character(transe[,’Rating’]), round(transe[,’ˇ s´ ıˇ rka tranˇ se v %’],3), round(transe[,’objem’],0),round(transe[,’r’],3), round(transe[,’kapital’],0),round(transe[,’urok v%’],3), round(transe[,’naklady’],0),round(transe[,’Spravedliv´ a premie v %’],3))) colnames(xx)<-c(’Rating’,’ˇ S´ ıˇ rka %’,’Objem v Kˇ c’,’Riz. v´ aha’,’V´ az. kap.’,’´ Urok %’, ’N´ aklady’,’Sprav. pr´ emie v %’) print(xtable(xx,label = ’PD_NIG’,caption = ’PD Normal-Inverse Gaussian’), include.rownames=FALSE) #v´ yˇ se ˇ c´ astky v´ azan´ eho kapit´ alu transe[,"r"]%*%transe[,"objem"]/sum(transe[,"objem"])*0.08 #v´ yˇ se ˇ c´ astky v´ azan´ eho kapit´ alu jinak sum(transe[,"kapital"])/sum(transe[,"objem"]) transe<-transeALL[[’EL Normal-Inverse Gaussian’]] # tabulka roztransovaneho portfolia xx<-as.table(cbind(as.character(transe[,’Rating’]), round(transe[,’ˇ s´ ıˇ rka tranˇ se v %’],3),round(transe[,’objem’],0), round(transe[,’r’],3),round(transe[,’kapital’],0),round(transe[,’urok vc %’],3), round(transe[,’naklady’],0),round(transe[,’Spravedliv´ a premie v %’],3))) colnames(xx)<-c(’Rating’,’ˇ S´ ıˇ rka %’,’Objem v Kˇ c’,’Riz. v´ aha’,’V´ az. kap.’, ’´ Urok %’,’N´ aklady’,’Sprav. pr´ emie v %’) print(xtable(xx,label ="EL_NIG",caption = "EL Normal-Inverse Gaussian"), include.rownames=FALSE) #v´ yˇ se ˇ c´ astky v´ azan´ eho kapit´ alu sum(transe[,"kapital"])/sum(transe[,"objem"])

39

for (varianta in 1:8) { ## porovnani celkov´ ych n´ aklad˚ u # A - Odprodej vse s ratingem # B - Odprodej A+Baa # C - Odprodej Acek # D - Odprodej super senior tr. # Bez sekuritizace transe<-transeALL[[varianta]] Agrade<-which(substr(transe[,’Rating’],1,1) == ’A’) Bgrade<-which(substr(transe[,’Rating’],1,3) == ’Baa’) ABgrade<-c(Agrade,Bgrade) Ngrade<-which(substr(transe[,’Rating’],1,1) == ’N’) sum(transe[,"objem"]) sum(transe[,"kapital"]) sum(transe[-Ngrade,"naklady"]) # barvy pro graf col<-c(’gold’,’red’,’green3’,’blue’) ##transformace LOSS pri ruzne sekuritizaci ztraty<-matrix(0,ncol=4,nrow=length(LOSS)) for (i in 1:length(LOSS)) { ztraty[i,1]<-round(min(transe[Ngrade,"objem"],LOSS[i])+ (5*sum(transe[-Ngrade,"naklady"]))) ztraty[i,2]<-round(min(sum(transe[,"objem"])-sum(transe[ABgrade,"objem"]),LOSS[i])+ (5*sum(transe[ABgrade,"naklady"]))) ztraty[i,3]<-round(min(sum(transe[,"objem"])-sum(transe[Agrade,"objem"]),LOSS[i])+ (5*sum(transe[Agrade,"naklady"]))) ztraty[i,4]<-round(min(sum(transe[2:nrow(transe),"objem"]),LOSS[i])+ (5*transe[1,"naklady"])) } png(paste(’naklady_sek_v’,varianta,’m’,m,’.png’,sep=""),width=800,height=480) plot(sort(LOSS)/1000000,lwd=2,type=’l’,ylim=c(0,(mm<-1.1*max(ztraty,LOSS)/1000000)), xaxt="n",yaxs="i",xlab="Pravdˇ epodobnost", ylab="N´ aklady spolu se ztr´ atou v milil´ onech korun") for (i in 1:4){ lines(sort(ztraty[,i])/1000000,type=’l’,col=col[i],lwd=2)} axis(1,at=seq(0,length(LOSS),length=11),labels=seq(0,1,length=11)) legend(x=10,y=mm*0.9,legend=c(’Varianta A’,’Varianta B’,’Varianta C’,’Varianta D’, ’Bez sekuritizace’),col=c(col,’black’),lwd=2) #legend(x=10,y=mm*0.9,legend=c(’Odprodej vˇ seho s ratingem’, ’Odprodej tranˇ s´ ı s ratingem Baa a lepˇ s´ ım’,’Odprodej tranˇ s´ ı s ratingem A’, ’Odprodej super senior tranˇ se’,’Bez sekuritizace’),col=c(col,’black’),lwd=2) dev.off() ## tabulka porovnani typu sekuritizace vzhledem k objemum a nakladum yy<-as.table(rbind(c(round(sum(transe[,"objem"])-transe[Ngrade,"objem"]), round(sum(transe[Ngrade,"objem"])), round(transe[Ngrade,"kapital"]),round(mean(ztraty[,1]))), c(round(sum(transe[ABgrade,"objem"])),round(sum(transe[,"objem"])sum(transe[ABgrade,"objem"])), round(sum(transe[,"kapital"])-sum(transe[ABgrade,"kapital"])), round(mean(ztraty[,2]))), c(round(sum(transe[Agrade,"objem"])),round(sum(transe[,"objem"])sum(transe[Agrade,"objem"])), round(sum(transe[,"kapital"])-sum(transe[Agrade,"kapital"])), round(mean(ztraty[,3]))),

40

c(round(transe[1,"objem"]),round(sum(transe[,"objem"])transe[1,"objem"]), round(sum(transe[,"kapital"])-transe[1,"kapital"]), round(mean(ztraty[,4]))), c(0,round(sum(transe[,"objem"])), round(0.08*sum(vyber[,"RW"]*vyber[,"FIRST_SIM_BAL"])+mean(LOSS)), #kirb*sum(CUR_BAL) round(mean(LOSS))))) rownames(yy)<-c(’Varianta A’,’Varianta B’,’Varianta C’,’Varianta D’,’Bez sekuritizace’) colnames(yy)<-c(’Nab´ ızen´ e mnoˇ zstv´ ı’,’Ponechan´ e mnoˇ zstv´ ıs’, ’V´ azan´ y kapit´ al’,’Oˇ cek´ avan´ e n´ aklady’) print(xtable(xtable(yy/sum(transe[,"objem"])*100, label = paste(’srovnani_v’,varianta,’m’,m,sep=""),caption = "",digits=0)) save(transe,file=paste("transe_v",varianta,".Rdata",sep="")) } print(xtable(yy/sum(transe[,"objem"])*100, label = paste(’srovnani_v’,varianta,’m’,m,sep=""),caption = "",digits=3))

41

Syntetická sekuritizace Jaroslav Rauš, Filip Šimsa Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK

Recommend Documents