PIKOMAT MFF UK 30. ročník

PIKOMAT MFF UK 30. ročník Milé řešitelky, milí řešitelé, vánoční čas se přiblížil a s ním přichází i výsledky a vzorová řešení druhé série úloh, jakož i zadání úloh série čtvrté. Doufáme, že prožijete svátky v poklidu s nejbližšími. Úlohy druhé (i třetí) série bývají obtížnější než úlohy série prvé, přesto se několika z vás podařilo získat plných 30 bodů. Blahopřejeme. Ostatní ovšem nezoufejte; před vámi je ještě 28 úloh, na kterých si můžete otestovat své matematické schopnosti. Především však vám naše úlohy často dávají i příležitost se něčemu novému přiučit. Nezapomínejte si proto pečlivě přečíst vzorová řešení. Připomínáme, že 12. ledna 2015 je termín odeslání 3. série. Zadání této série bohužel navštívil tiskařský šotek, který pozměnil znění 2. úlohy. Poloměr kružnice opsané trojúhelníku ASa C je správně 6 m a ohradu je třeba narýsovat v měřítku 1 : 100. Správné zadání tak zní: Úloha č. 2: Ohrada měla tvar trojúhelníku, nazvěme si ho ABC. Víme, že délka těžnice ta = 10 m, výška vc = 8,4 m a kružnice opsaná trojúhelníku ASa C, kde Sa je střed strany a, měla poloměr 6 m. Narýsujte tuto ohradu v měřítku 1 : 100. Za tuto chybu se vám omlouváme. Připomínáme Chtěli bychom všem řešitelům opět připomenout, aby řešení každé úlohy – posílají-li poštou – psali na zvláštní list papíru formátu A4. Každý papír nezapomeňte označit svým jménem, příjmením a číslem úlohy. Odevzdáváte-li elektronicky, řešení musí být v souboru formátu pdf: návod, jak své řešení do tohoto formátu převést, naleznete také na našem webu. Nestačí změnit příponu souboru. Tábor V tomto ročníku se tradiční tábor Pikomatu bude konat na táborové základně v Bukovině u Čisté v Podkrkonoší, a to od 18. července do 1. srpna. Kapacita tábora je 28 dětí, proto doporučujeme zájemcům přihlásit se včas. Předběžné přihlašování je spuštěno na našich stránkách: http://pikomat.mff.cuni.cz/prihlaska. pikomat.mff.cuni.cz

Soustředění Jarní soustředění Pikomatu pro nejlepší řešitele se v roce 2015 bude konat již počtrnácté, a opět v Kunžaku u Jindřichova Hradce. Termín byl stanoven na 11. až 17. dubna 2015. Několik nejlepších řešitelů z každého ročníku se může těšit na pozvánku krátce po termínu odeslání 4. série. Příjemné vánoční prázdniny a hodně štěstí (nejen při řešení Pikomatu) v novém roce vám všem přejí Vaši organizátoři

Účastníci vánoční besídky Pikomatu si rozdávají dárky.

Strana 2

Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Termín odeslání: 16. února 2015

Zadání úloh 4. série 30. ročníku Termín odeslání: 16. února 2015 Jan utíkal ven jako zběsilý, aby si mohl šátek pořádně prohlédnout na denním světle. Jaké proto bylo jeho překvapení, když šátek přede dveřmi roztáhl v rukách a neviděl na něm nic než ony dvě výšivky v rozích. Zaběhl proto rychle do komory a nechal za sebou dveře pootevřené jen na špehýrku. Náhle se před ním na šátku matně objevily různé znaky, číslice a písmena. Snažil se najít nějakou větu či aspoň smysluplné slovo, ale marně. Úloha č. 1: Až u jednoho z okrajů si všiml něčeho, co vypadalo jako rovnice:

8x + 132y2 − 3 = 33z − 3x + 3. Jan se chvíli pokoušel dosazovat do ní celá čísla, zda dostane nějaké řešení. Jaké řešení má tato rovnice, pokud jsou x, y a z celá čísla? Brzy vyhodnotil, že tohle sám rozluštit nezvládne, zastrčil si proto šátek za opasek a vyšel z komory ven. Markétku našel, jak se akorát chystala zatopit v kamnech, aby na nich mohla začít vařit oběd. Chytil ji za ruku a řekl jí: „Pojď, dneska bys měla pomoct tetičce Gajdošové s vařením a úklidem.“ „Ty jdeš zase někam pryč?“ zeptala se ho Markétka vyčítavě. Dobře si totiž pamatovala, jak ji hlavně jako menší často nechával na hlídání u sousedů a mizel třeba i na celý den. Jan odpověděl jen mírným pokývnutím hlavou. „Ty mi, Markétko, přicházíš docela vhod,“ pronesla sousedka, když k ní vešli a ukázala do kouta u kamen, kde si malá holčička ryla dřívkem v hliněné podlaze a snažila se napsat nejoblíbenější zdrobnělinu svého jména. Úloha č. 2: Na podlaze vyryla slovo ANIČIČIČKA. Vedle něj pak začala psát všechna různá slova, která vznikla z tohoto slova přeházením písmen. Kolik jich mohla napsat? „Budu jen ráda, když si s ní budeš hrát a dohlédneš na ni, zatímco já dovařím oběd,“ pokračovala tetička Gajdošová. „Teď možná vypadá jako učiněný andílek, ale jinak to bývá pěkné čertovo kvítko. Třeba včera při obědě tak zlobila, až vybryndala skoro všechnu polévku.“ pikomat.mff.cuni.cz

Strana 3

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 4. série Úloha č. 3: Anička měla misku, která byla uříznutá z koule o poloměru 20 cm ve výšce 5 cm a byla až po okraj plná polévky. Jak si nad ní ale Anička hrála, spadla jí rovnou doprostřed kostka o rozměrech 10 × 10 × 10 cm tak, že její podstava byla rovnoběžně se stolem. Kolik polévky zůstalo v misce? Jan už byl celý jako na trní. Když se mu konečně podařilo rozloučit s tetičkou Gajdošovou, odbíjelo akorát 11 hodin. Přidal proto do kroku, aby na faru dorazil co nejdřív. Celý zadýchaný se vhrnul dovnitř jako velká voda. „Co se děje, že jsi se sem tak kvapně vrátil?“ zeptal se ho překvapeně farář. „Konečně jsem objevil pořádnou stopu,“ chrlil ze sebe Jan mávaje šátkem, „tohle je maminčin šátek, který jsem našel na louce v den, kdy moji rodiče zmizeli. V přímém světle na něm mnoho vidět není, snad jen ty dvě výšivky, ale když se na něj podíváte v šeru, nebudete se stačit divit.“ Farář si šátek začal prohlížet a mířil s ním do kouta pod schodištěm, kde byla dostatečná tma. Náhle se otočil k Janovi: „Tenhle ornament znám,“ řekl, ukazuje při tom rozrušeně na výšivku připomínající květinu, „je vytesán nad vchodem do svatého Jakuba. Vždy mi tam připadal tak trochu zvláštní, jako by vůbec nezapadal do rázu zbytku kostela. Myslím si, že na tom šátku není jen tak náhodou. A vidíš tu změť písmen a čísel zde? Vypadá to jako nějaká šifra, možná to je označení nějakých úryvků z knih, kdysi mi o tomto způsobu někdo vyprávěl. Řekl bych, Jane, že jsi na to kápl. Ten šátek nám pomůže odhalit, co jsou tví rodiče vůbec zač, a třeba je díky tomu ještě dokážeš najít. Budeme se ale muset vydat do Hradce, tam toho dokážeme zjistit mnohem víc. Mám tam jednoho přítele, se kterým si čas od času dopisuji, ten by nás tam snad mohl i na pár dní ubytovat.“ „A kdy vyrazíme?“ zeptal se Jan odhodlaně. „Bude ku prospěchu věci, když se vypravíme co nejdříve. Vyjdeme-li ještě dnes po poledni a na noc se někde ubytujeme, mohli bychom už zítra navečer být na místě.“ Venku bylo krásně, slunce příjemně hřálo, ale nepálilo a v lese pofukoval čerstvý vánek. Cestou si Jan s farářem povídal. Farář byl světa znalý muž, a tak toho od něj Jan spoustu zajímavého vyslechl. Když už jim pak na chvíli příběhy došly, začali hrát jednoduchou hru. Úloha č. 4: Na začátku si vybrali nějaké přirozené číslo a poté se střídali v tazích, v nichž vždy ten, kdo byl na tahu, dle svého uvážení odečetl číslo od jedné do tří. Přirozené číslo se tak postupně zmenšovalo, až nakonec vyhrál ten, kdo svým tahem odečetl na nulu. Teď si zrovna vybrali číslo 100 a Jan dal samozřejmě farářovi přednost, aby mohl začít. Má farář nějakou vyhrávající strategii? (Tj. může farář Strana 4


Termín odeslání: 16. února 2015 volit tahy tak, že neprohraje, ať už Jan volí jakékoliv možné tahy? Pokud může, jaké tahy zvolí?) Pozdě odpoledne se obloha pomalu začala zlověstně mračit. Vzduch ztěžkl, všechno najednou utichlo. I mírný vánek ustal. Nad kopci ležely olověně šedivé mraky a obzor se pomalu ztrácel, jak se k nim blížila hráz padajícího deště. Náhle se zablesklo a chvíli nato začal v korunách stromů ﬁčet vítr. Bylo jasné, že moc času už nezbývá, a bouřka se k nim přižene v plné parádě. Vyšli proto rychle z lesa. Naštěstí v údolí pod sebou zahlédli vesnici. Ale přesně v tom okamžiku se mračna nad nimi protrhla. Než sešli ze svahu dolů, byli už dávno promočení až na kost. Jaké pak pro ně bylo milé překvapení, že hned na kraji vesnice narazili na hostinec. Sotva vešli dovnitř, udělala se pod nimi na podlaze louže vody. Hostinský k nim zamířil a všimnuv si muže s kolárkem se celý rozzářil. Nabídl jim, že hned zatopí v kamnech, aby se mohli usušit a ohřát. Farář ho poprosil o jídlo. Jan by se býval spokojil i s kusem chleba, který si doma sbalil na cestu, ale farář trval na tom, že má hostinský přinést jídlo pro oba. Po večeři je hostinský odvedl do patra, kde bylo na každé straně chodby několik pokojů. Na jedné straně měly na dveřích lichá čísla, na té druhé čísla sudá. Úloha č. 5: Farář po své levé ruce viděl pokoje 2, 4, 6 a 8. Napadlo ho, že 2 468 je docela pěkné číslo a zamyslel se. Jakým nejmenším číslem by bylo potřeba číslo 2 468 vynásobit, aby bylo druhou i třetí mocninou přirozeného čísla a jeho ciferný součet byl dělitelný třemi? Časně zrána se opět vydali na cestu. Kvůli bouřce před nimi byl delší úsek cesty, než původně zamýšleli, a tak měl farář obavy, aby vůbec stihli za světla dorazit do cíle. Po bouřce už naštěstí nebylo ani památky a z blankytné oblohy na ně dopadaly sluneční paprsky. Byli krásně odpočatí a cesta jim rychle ubíhala. Odpoledne už na oba začala dopadat únava. Nohy jim těžkly a slunce teď, když přecházeli přes louky a pole, hřálo až až. Náhle se farář zastavil a zahleděl do dálky. „Vidíš támhle před námi tu věž a o kousek vedle ní ještě druhou?“ zeptal se Jana a ukázal tím směrem, „tak tam je náš cíl, už to není tak daleko.“ A opravdu, netrvalo to už ani dvě hodiny a octli se na kraji Hradce. Jan byl ohromen a tak trochu nesvůj. Nikdy předtím v tak velkém městě nebyl. Jako malý byl asi dvakrát s rodiči na trhu v městečku za kopcem, ale to s tímto nemohl vůbec srovnávat. Většina lidí tu vypadala elegantněji, než byl zvyklý ze své vesničky, ale hlavně si nadšeně prohlížel všechny ty velké domy s krásnými fasádami. Pak u jednoho takového zastavili a farář zabouchal na dveře. Chvíli pikomat.mff.cuni.cz

Strana 5

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 4. série bylo ticho, ale pak se dveře otevřely a objevil se v nich starší pán s prošedivělým plnovousem. Překvapeně pohlédl na osoby stojící před jeho dveřmi. Pak ale faráře přivítal a objal jako přítele, kterého už dlouho neviděl. „Promiň mi to zaváhání, takovou návštěvu jsem vůbec nečekal,“ řekl a pozval je dovnitř, „a co vás sem vůbec přivádí?“ Muž, který je pozval dovnitř, byl učitelem přírodovědy na zdejší škole. Farář se s ním dal do přátelského rozhovoru a mezitím si Jan prohlížel jeho obydlí. Byl to vybavením skromně zařízený byt, zato knihovna byla plná různých krásných, nejen přírodovědných knih. Také různě na stěnách byly pověšeny vitríny s všelijakým hmyzem, ale i listy a plody nejrůznějších rostlin. Pak Jana na nástěnce nad pracovním stolem zaujala tabulka. Nesměle vstoupil mužům do rozhovoru: „Co je to za tabulku?“ Úloha č. 6: „Víš, Jane, kromě přírodopisu ještě na naší škole vedu chlapce ke sportu,“ odpověděl učitel a pokračoval, „v tabulce, na kterou se ptáš, jsou body z turnaje v kopané, kterého se chlapci účastní. Za vyhraný zápas dostanou tři body, za remízu jeden a za prohru žádný bod. V turnaji by se měl každý ze šesti týmů utkat s každým právě jednou, ale zatím stihl každý tým odehrát právě tři zápasy. No schválně, dokážeš podle té tabulky říct, které zápasy už proběhly a s jakým výsledkem? Ještě ti poradím, že jeden ze zápasů skončil 5 : 0.“ Pořadí

Tým

1 2 3 4 5 6

modří bílí žlutí černí červení zelení

Výhry Remízy Prohry Skóre Body ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

5:0 6:1 3:2 2:1 0:4 2:10

7 6 5 4 1 1

Pan učitel byl velmi pohostinný a bez okolků souhlasil s tím, aby u něj na pár dní zůstali. Uvařil jim kávu a pustil se s nimi do řeči. Odpoledne rychle uteklo, a jen se zešeřilo, Jan i farář se znaveni po dvoudenní cestě rychle odebrali ke spánku. Ráno se vypravili ke kostelu sv. Jakuba. Učitel měl ten den vyučování až krátce před obědem, a tak se nabídl, že se k nim přidá. Před vchodem do kostela se zastavili a farář ukázal na kytici nade dveřmi. Opravdu vypadala, jako by tam nepatřila. Vešli dovnitř a hned po vstupu se pokřižovali. Pak si začali prohlížet vnitřek celého kostela. Jan byl opět unešený z toho, jak je velký a zdobený. Pak Strana 6


Termín odeslání: 16. února 2015 jeho pozornost upoutala malá dvířka. Nejprve si všiml, že je v jejich rohu v dřevě vyryt malý trojúhelník. Úloha č. 7: Trojúhelník ABC měl pravý úhel u vrcholu C, délka strany AB byla rovna 6 cm a těžnice na stranu AC byla dlouhá 5 cm. Zkonstruujte tento trojúhelník. Pak si ale dvířka prohlédl pořádně a úlekem se mu skoro zastavilo srdce. Vždyť ten znak nade dveřmi, tu rozloženou krychli, tu přece také viděl vyšitou na maminčině šátku. Hlavou se mu začaly rozbíhat myšlenky o tom, co je za dvířky tak důležitého, že ho sem možná jeho maminka chtěla jednou nasměrovat.

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 7

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 2. série

Vzorová řešení a komentáře k 2. sérii úloh Úloha č. 1 Hlavní část pece byla tvořena železnou krychlí. Když byl Jan malý, stěhoval ji jeho otec s dalšími muži ze vsi do chalupy. Krychle byla tak těžká, že ji zvládli jen převalovat přes její hrany. Potřebovali ji posunout o šestinásobek délky její hrany dopředu a trojnásobek této délky doleva a ještě k tomu tak, aby na konci stála na stejné podstavě a byla stejně otočená jako na začátku. Mohlo se jim to vůbec podařit? Předpokládejme, že měli okolo dostatek místa. Řešení: Pec si představím jako krychli, která se pohybuje po čtvercovém poli. Mým úkolem je zjistit, zda je možné ji převalováním přes hrany dostat na pole vzdálené o šest délek dopředu a o tři délky doleva, tedy na ilustracích z bodu A do bodu B. To, že kostka je na výsledném poli ve správné orientaci, nazvu, že je umístěna správně. Prvním dobrým krokem, jak přistoupit k řešení, je vyzkoušet si celou situaci ve skutečnosti. Je dobré si vzít třeba hrací kostku a zkusit ji valit na požadované místo tak, aby ležela správně. Dále můžeme zkoušet, na jakých B místech může být umístěna správně a na jakých ne. Pokud se budeme držet pravidel podle zadání, nemělo by se nám podařit ji umístit správně v bodu B. Navíc se může ukázat jako pravděpodobné, že v tom, zda kostka bude umístěna správně, může hrát roli počet překlopení, která s kostkou udělám, přesněji, že se mi to může podařit, jen pokud kostku překlopím sudým počtem tahů. Pro lepší představu si mohu pole obarvit jako šachovnici (obr. 1). Pokud kostka A leží správně na bílém poli, nemohu ji sudým počtem překlápění dostat správně na černé pole. Pravděpodobně tedy nebude správným řešením ukázat, jak pec dostat na požadované místo, ale Obr. 1 ukázat, že ji tam dostat nemohu. Strana 8


Vzorová řešení úloh Až tady začíná samotné řešení. Ještě jednou si obarvím rohy pole a krychle dvěma barvami, a to tak, aby spolu nesousedily dva rohy stejné barvy (obr. 2).

B

A

Obr. 2

Když se krychle valí po poli, barva jejích rohů vždy odpovídá barvě vrcholů. Cílové pole označené B má vrcholy obarvené inverzně oproti výchozímu poli. Proto je zřejmé, že ať budu krychli valit jakoukoliv cestou, v bodě B bude krychle otočená jinak, než na poli označeném A, tedy na poli výchozím. Komentář: Úloha se dala vyložit i tak, že pec valili o šest dopředu a o 18 délek doleva, v tom případě ji na požadované místo samozřejmě dostat šlo. Bod jsem strhával za to, pokud řešitel objevil šachovnicový rastr polí, na které lze orientovat krychli správně, a nebo pouze předpokládal, že počet přetočení musí být sudý, a neukázal proč. Úloha č. 2 Výšivka měla tvar rozložené krychle (obr. 3). Její plocha byla 40 cm2 . Jaký byl její obvod? Řešení: Vzhledem k obrázku ze zadání (obr. 3), ve kterém je znázorněna čtvercová síť, jde lehce spočítat, že plochu tvoří 20 malých čtverečků (19 celých a 2 po40 loviční trojúhelníky). Obsah jednoho z nich pak je 20 = 2 cm2 . pikomat.mff.cuni.cz

Strana 9


Obr. 3

K výpočtu obvodu celé výšivky potřebujeme znát délku strany a délku úhlopříčky√u tohoto čtverečku. Ze vzorce pro obsah máme S = 2 cm2 = a2 , a proto a = √ 2 cm. Délku √ úhlopříčky vypočteme například z Pythagorovy věty u = = a2 + a2 = √ 4 cm = 2 cm. A z obrázku vidíme, že obvod výšivky je roven . 20a + 2u = (20 2 + 4) cm = 32,28 cm. Komentář: Jak několik z vás správně poznamenalo, tato úloha byla dost jednoduchá. Většina obdržela plný počet bodů. Někteří však měli problém s pochopením zadání. Výpočet pak prováděli v prostoru místo v rovině, jako by 40 cm2 byl povrch krychle. Ale zadání je jednoznačné, krychle nemá plochu ani obvod, to jsou neexistující pojmy, a proto se nutně otázka vztahuje k výšivce. Úloha č. 3 „Mám tu volný záhonek tvaru lichoběžníku s rameny dlouhými 2,5 m a 3,5 m. Úhlopříčkami jsem ho rozdělila na čtyři trojúhelníky. Do těch u horní a dolní podstavy jsem vysela mrkev a teď marně přemýšlím, do kterého ze zbylých nasázet česnek, abych ho měla co nejvíc. Který z nich je větší?“ Řešení: Upravené řešení podle Martina Schmieda: Trojúhelníky ACD i BCD mají stejnou základnu CD i stejnou výšku na ni, která se rovná vzdálenosti mezi rovnoběžkami AB a CD (obr. 4). Ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku (polovina součinu strany a příslušné výšky) vyplývá, že tyto trojúhelníky mají stejnou plochu. Plochu trojúhelníku ACD lze vyjádřit také jako součet ploch trojúhelníků AED a CDE, obdobně je plocha trojúhelníku BCD součtem ploch trojúhelníků BEC a CDE. Trojúhelník CDE je obsažen v obou velkých trojúhelnících, pokud jeho obsah odečteme, nutně musí být výsledné trojúhelníky stejně velké. Takže je jedno, kam tetička Gajdošová zasadí česnek. Strana 10


Vzorová řešení úloh

A

B E

D

C Obr. 4

Komentář: Tento příklad mi přišel jako jeden z jednodušších v sérii, takže bodování bylo přísné. Byl to příklad na počítání a dokazování, takže způsob „narýsuji a změřím“ neuznávám. Přišel dostatek řešení podobných vzorovému, ale popisujte, prosím, jak jste k řešení přišli, přestože vám to přijde zřejmé. Některým bych doporučila zopakovat, jak vypadá lichoběžník… Chválím Martina Hubatu, který předvedl velmi pěkné řešení přes podobnosti trojúhelníků.

Úloha č. 4 Jeden kraj příkopu byl ve výšce 5 m a druhý 3 m nad vodorovným dnem; stěny příkopu byly svislé. Přes příkop měli muži šikmo položené dva žebříky, každý opřený o jeden kraj příkopu a druhým koncem zapřený u paty protější stěny příkopu. Jan stál na hraně pětimetrové stěny. O kolik metrů musel sestoupat po žebříku dolů, aby mohl přelézt na druhý žebřík a po něm se dostat na druhou stranu? Řešení: Žebříky jsou v příkopu umístěné jako na obr. 5. Všimněme si, že úsečky AB, CD jsou rovnoběžné, proto jsou úhly BAC a DCA shodné a také úhly ABD a BDC jsou shodné (střídavé úhly). Tedy trojúhelníky AEB a CED jsou podobné (v poměru 5:3). Stejně tak jsou podobné i trojúhelníky BFE a DGE ve stejném poměru. Tedy víme, že

x 5−x = . 5 3 Tuto rovnici vyřešíme: pikomat.mff.cuni.cz

Strana 11


B

C

x F

E

5−x

G 5−x

A

D Obr. 5

3x = 5(5 − x), 3x = 25 − 5x, 8x = 25, 25 x= , 8 x = 3,125. Komentář: Pokud jste chápali úlohu tak, že je třeba najít délku úsečky BE, tak jste mohli dostat plný počet bodů, jen pokud jste tuto délku vypočítali pro všechny možné šířky příkopu (našli jste vzorec). Když jste ji spočítali jen pro nějaké ﬁxní šířky, strhával jsem za to body. Úloha č. 5 Farář měl připraveno šest lamp, které pověsí na dlouhé řetízky přímo od stropu. Chtěl ale, aby byly nějak netradičně rozmístěné v prostoru. Nejlepší by bylo, kdyby mu vzniklo co nejvíce rovin, ve kterých by ležely alespoň čtyři lampy, a přitom kdyby žádné čtyři lampy neležely v jedné přímce. Kolik nejvíce rovin mu může vzniknout? Řešení: Asi první řešení, které by nás mohlo napadnout, je rozmístit lampy do vrcholů trojbokého hranolu. Tím vzniknou tři roviny, které budou obsahoStrana 12


Vzorová řešení úloh vat čtyři lampy. Více rovin ale můžeme dosáhnout, když tři lampy umístíme do jedné přímky. Pak totiž každá další lampa s těmito třemi vytvoří rovinu o čtyřech lampách, neboť rovinu lze určitě právě pomocí přímky a bodu. Zbylé tři lampy však můžeme také umístit do přímky, která však nesmí být s první přímkou rovnoběžná ani různoběžná, pak by totiž všechny lampy ležely v jedné rovině, tedy jinak ona přímka musí být s tou první mimoběžná. Při takovém umístění lamp každý bod z jedné trojice vytvoří rovinu s druhou trojicí bodů a naopak, čímž nám vznikne 6 rovin obsahujících čtyři lampy. Komentář: Mile mě překvapilo, že spousta z řešitelů dospěla k správnému výsledku a zasloužila si tak pět bodů. Ti, kdo přišli s myšlenkou umístit tři body na přímku, ale už ji nedotáhli do úplného konce a s tímto poznatkem vytvořili čtyři roviny, dostali obvykle čtyři body. Za řešení jako v první větě vzorového řešení jsem uděloval tři body. Bohužel se objevilo i pár řešení, kde byly všechny lampy umístěné v jedné rovině. Tak je samozřejmě možné získat maximální počet čtveřic lamp ležících v jedné rovině, ale vždy to bude pouze jedna a ta samá rovina. Za taková řešení jsem pak udílel nejvýše bod. Úloha č. 6 „Před jeho zmizením nás v semináři bylo právě 30 a každý z nás uměl dobře nějaký cizí jazyk. Řecky umělo 22 z nás, hebrejsky 13 a jen 6 z nás neumělo německy. Neušlo mi ani, že každý, kdo uměl hebrejsky, uměl i německy. Kolik nejméně z nás se naučilo dokonale všechny tři jazyky?“ Řešení: Aby někdo uměl dokonale všechny tři jazyky, musí umět hebrejsky i německy, těch lidí je podle zadání třináct, a navíc musí umět řecky. Když chceme minimalizovat počet lidí mluvících všemi jazyky, tak musíme minimalizovat počet řecky mluvících z těch, kteří mluví hebrejsky i německy, tj. v této skupině maximalizovat počet řecky nemluvících. Řecky nemluví pouze 30 − 22 = 8 lidí, proto minimální počet lidi mluvících všemi jazyky je 13 − 8 = 5. Snadno se dá rozmyslet, že 5 takových lidí může být, a to v případě, když všichni, co umí německy, mluví i nějakým jiným jazykem a počet lidí mluvících jenom řecky je 6, tedy správná odpověď je 5. Komentář: Většina z vás si s úlohou poradila a našla správný výsledek, ale často chyběla úvaha, proč počet lidí mluvících všemi jazyky nemůže být méně než 5, za což jsem strhával body. Pětibodová řešení byla podobná vzorovému nebo využila obrázek, případně tabulku, z které bylo už snadné vyčíst výsledek. Někteří samozřejmě získali za svou originalitu a přehlednost smajlíka do čokoládové pikomat.mff.cuni.cz

Strana 13

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 2. série soutěže, tak si své řešení nezapomeňte schovat. Úloha č. 7 Na louce si nahrabal rovnou řadu kupek. První byla u stodoly, druhá 10 m od stodoly a každá další právě 10 m od té předchozí. Poté začal seno uklízet. U stodoly nabral první kupku a uklidil ji, potom došel k další nejbližší a opět ji odnesl do stodoly, a tímto způsobem sklidil postupně všechny kupky. Složit třetinu kupek mu trvalo přesně 18 minut, spolu s druhou třetinou je pak měl ve stodole přesně po hodině a 16 minutách od začátku. Jak dlouhá byla řada kupek? Řešení: Označme si celkový počet kupek m a počet kupek v jedné třetině n. Víme, že platí m = 3n. Také víme, že kupky jsou od sebe vzdálené 10 m, od kupky 1 ke kupce 2 a zpátky tedy Jan ujde 20 m a tím pádem při sběru x-té kupky ujde o 20 m více než při sběru x − 1. Jedná se tedy o aritmetickou posloupnost a pro její součet platí vzorec

n(a1 + an ) , 2 kde Sn znamená součet prvních n členů posloupností, a1 značí první a an n-tý člen posloupnosti. Pro náš příklad platí, že a1 = 0, protože při sběru první kupky ujde 0 m, an = (n − 1) · 20. Po dosazení nám tedy vyjde Sn =

S1 =

n(0 + (n − 1) · 20) . 2

To samé můžeme provést i pro sběr dvou třetin, kde je kupek 2× více, a vyjde nám

2n(0 + (2n − 1) · 20) . 2 Předpokládejme, že rychlost je konstantní. Pro výpočet rychlosti platí vztah S2 =

s v= , t tedy

v 1 = v2 , s2 s1 = , t1 t2 Strana 14


Vzorová řešení úloh kde t1 = 18 min, t2 = 76 min. Po dosazení získáme n(0+(n−1)·20) 2

=

2n(0+(2n−1)·20) 2

18 76 20(n2 − n) 20(4n2 − 2n) = , 18 76 76n2 − 76n = 72n2 − 36n, 4n = 40,

,

n = 10. V jedné třetině je tedy 10 kupek, tím pádem celkem jich je 30. Jelikož je první kupka přímo u stodoly, je řada dlouhá 30 · 10 − 10 = 290 m. Komentář: Nejtěžší na celé úloze bylo uvědomit si, že rychlost sběru je konstantní a že samotný sběr kupky Janovi nezabere žádný čas. Řešitelé, kteří správně poznali, že se jedná o aritmetickou posloupnost, a došli ke správnému výsledku, dostali plný počet, za správný výsledek s postupem metodou pokus-omyl jsem dávala body 3. O bod přišli ti řešitelé, kteří si neuvědomili, že počet kupek není odpověď, nebo zapomněli odečíst vzdálenost kupky ležící přímo u stodoly. Úlohy druhé série opravovali a komentáře sepsali: 1. Filip Lux, 2. Vojtěch Kika, 3. Helena Pučelíková, 4. Martin Smolík, 5. Miroslav Koblížek, 6. Jakub Dargaj, 7. Barbora Šmídová.

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 15


Výsledková listina Pikomatu MFF UK po 2. sérii

Celkově 1.–2.

V roč. 1.–2.

3. 4.–8.

3. 1.–2.

9.–15.

1. 4. 1. 2. 5.–6. 2.–5.

16. 17.–20.

6. 3. 7.–9.

21.–26.

4.–5. 7.–8. 10.–11.

27. 28. 29. 30.–35.

12. 13. 3. 6.–7. 9.–10. 14.–15.

36. 37.

Strana 16

11. 12.

Jméno a příjmení Jan Kaifer Michal Krtouš Kristýna Kratochvílová Michal Beránek Kryštof Pravda Vladimír Chudý Martin Hubata Lucie Kundratová Petr Khartskhaev Jakub Janků František Záhorec Ivana Horáčková Ondřej Krabec Eleonora Krůtová Josef Minařík Martin Zimen Robert Gemrot Tereza Jílková Kateřina Rosická Martin Trégl Lubor Čech Jakub Kislinger Martin Schmied Samuel Soukup Václav Brož Erik Kočandrle Tomáš Večeřa Marek Seďa Michael Azilinon Tomáš Baják Jan František Porazil Vít Šimeček Jakub Ucháč Daniel Bárta Karina Lysáková Michaela Dunajová Nora Prokešová

Roč. a škola 8. GCBR 8. GUST 8. GBNE 6. ZSON 6. GMSP 7. ZSRD 8. GMNP 9. GJSZ 7. PORG 8. GMLE 8. GRNL 9. GHAB 9. GHAV 9. GKJB 9. ZSLP 9. GJIH 7. GHAV 9. GJVK 9. GJOK 9. GZAT 7. GMIK 7. GJVK 8. GJIH 8. AGKP 9. GCDP 9. GMNP 9. GPOA 9. ZSNE 6. GNVP 7. ZSVB 7. GJSB 8. CSLH 8. ZVNV 9. GHPP 9. ZSHR 8. GHUS 8. GCKV

1 5 5 4 5 4 1 4 3 3 4 3 5 4 3 5 4 3 3 3 5 5 3 3 4 3 4 2 5 2 2

2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5

3 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 4 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 2 5 4 1 5

4 3 4 5 4 4 5 5 5 5 4 4 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 2 4 5 2 5 0 5 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 3 5 5 5 4 5 4 5 3 5 3 4 5 3 3 5 3 0 3 5 4

6 5 5 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 3 4 5 5 5 4 5 4 5 1 4 5 5 5 3 5 5 5 5 5 5 3 5 5

7 5 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 1 3 5 1 1 5 3 1 5 5 5 3 3 3 4 1 3 3

P -

σ

Σ

30 30 30 28 29 29 29 29 28 28 28 29 28 27 27 30 28 28 27 26 26 24 26 26 26 25 29 24 22 24 29 23 24 21 24 21 26

60 60 59 58 58 58 58 58 57 57 57 57 57 57 57 56 55 55 55 55 54 54 54 54 54 54 53 52 51 50 50 50 50 50 50 49 48


Výsledková listina Celkově 38.–39. 40. 41.–42.

V roč. 4. 8. 13. 14.–15.

43.–44.

16.–17.

45.–47.

9. 18. 16. 19.–21.

48.–50.

51.–53.

22. 17.–18.

54.–57.

5. 23. 19.–20.

58.–63.

6.–7. 24.–25. 21.–22.

64.–67.

26.–27. 23.–24.

68.–71.

28.–29. 25.–26.

72.–75.

10. 27.–29.

76.–78.

30.–31.

79.–81.

30. 32.–34.

pikomat.mff.cuni.cz

Jméno a příjmení David Horák Jiří Szotkowski Matěj Hasala Viktor Materna Jakub Tichánek Michal Kodad Martina Nová Anna Musilova Martina Malá Jan Feruga Ondřej Macháč Pavel Mazáč Eliška Vítková Jindřich Hátle Jana Romová Marie Sejkorová Jan Heřta Filip Wagner Martin Kodada Miroslava Sloupová Ondřej Janeček Martin Kolovratník Jan Hátle Jan Kačenka Sára Elichová Jan Krepčík Kateřina Novotná Michal Uiberlay Tim Anderle Daniel Pitoňák Kateřina Křivková Denisa Nováková Tomáš Turza Veronika Vohníková Štěpán Konšel Marek Gottwald Michal Chudoba Jakub Vobora Daniel Archalous Martina Petrůjová Vilém Boušek Barbora Halíková Petra Hrubá Josef Pernica

Roč. a škola 6. GMSP 7. ZSBO 8. ZSBU 8. GKJB 8. ZSCH 8. ZSJI 8. GSOV 7. PORG 8. GMOK 9. GBOS 8. ZSMN 8. ZSVY 8. GCDP 8. ZSKL 9. GMNP 9. ZSPP 6. GSOV 8. GTIS 9. ZSKU 9. GJVK 6. PORG 6. ZSPS 8. GMIM 8. OPEN 9. GJKP 9. GJIH 8. GNKP 8. GTRU 9. GJSB 9. ZSZE 8. ZSPS 8. GSOV 9. ZSLU 9. NPRG 7. GJSB 9. ZSLI 9. GLIP 9. GSCT 8. OPEN 8. ZSBB 9. ZSRA 8. AGKP 8. GSOV 8. MGOV

1 2 5 5 3 1 2 2 5 3 1 1 2 2 3 4 1 4 1 3 1 1 1 2 1 0 -

2 5 5 5 5 2 3 5 5 5 5 5 5 4 5 4 3 5 3 4 5 5 2 5 5 2 5 5 4 5 5 4 5 5 5 5 5 5 2 4 5 5 5

3 5 4 5 0 1 1 0 5 1 5 1 2 1 0 1 1 2 0 1 0 3 0 5 1 1 -

4 1 4 3 2 5 1 2 1 2 4 3 0 1 1 2 2 1 0 1 1 4 2 3 5 -

5 4 3 1 3 3 3 3 1 4 3 0 3 1 3 5 3 3 0 3 4 3 5 1 0 3 2 4 0 -

6 5 5 4 5 4 5 4 5 5 5 1 4 5 2 3 5 2 4 3 5 5 4 5 4 5 4 4 4 2 4 5 5 5 5 2 5 5 1 5 4 5 4

7 3 3 5 1 1 3 0 5 2 4 3 2 1 1 2 0 1 1 5 -

P 1 1 -

σ

Σ

20 26 24 20 16 16 17 11 24 17 14 18 14 8 13 22 16 16 12 11 15 16 11 16 14 14 13 9 11 12 10 9 12 21 13 5 19 10 9 6 14 15 5 9

45 45 43 42 42 40 40 38 38 38 37 37 37 35 35 35 34 34 34 34 33 33 33 33 33 33 32 32 32 32 31 31 31 31 30 30 30 30 26 26 26 25 25 25

Strana 17

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 2. série Celkově 82.–84.

V roč. 8. 11.–12.

85.–86.

9. 35. 13. 36.–37.

87.–91.

31.–32. 92.–95.

14.–15. 38.–39.

96.–100.

10. 16. 40.–42.

101.–103. 43. 33.–34. 104. 44. 105.–107. 11.–12. 35. 108. 36. 109. 45. 110.–111. 17. 46. 112.–118. 13.–14. 18. 47. 37.–39.

119.–121. 15. 19. 48. 122.–124. 20. 49. 40. 125.–135. 16.–18.

Strana 18

Jméno a příjmení Radomír Mielec Mikuláš Brož Tomáš Kovanda Mikuláš Hlaváček Jonáš Havelka Petr Šulc Nikola Müllerová Tadeáš Tomiška Michal Holec Ondřej Wrzecionko Václav Janáček Nela Mauerová Martina Novotná Matěj Rendla Štěpán Šebestyán Terezie Třeštíková Ondřej Brož Pavlína Moravcová Lucie Sokolová Johan Rott Petr Aubrecht Natálie Mikerásková Matěj Krátký Gwenhwyfar Gonnot Eliška Hybnerová Andrea Bínová Dominik Peterka Michaela Kostková Lukáš Frk Nikola Borovcová Tereza Plevová Magdalena Rybová Matěj Malysa Adéla Kaiserová Tereza Bergová David Ha Jan Novotný Tomáš Flídr Adam Smetana Petr Kolář Viktor Rychlík Štěpán Henrych Kateřina Kovandová Gabriela Dvorská

Roč. a škola 6. GVOL 7. GNSP 7. AGKP 6. GKAD 8. GJIR 7. GHAV 8. ZSHU 8. ZSRD 9. ZSZE 9. GCST 7. ZSSI 7. ZSPS 8. GMHS 8. OPEN 6. ZSPS 7. GKKO 8. GCDP 8. ZSPS 8. ZSPS 8. OPEN 9. GJHP 9. GMAS 8. PORG 6. AGKP 6. GKAD 9. GCSL 9. ZSTG 8. GJVK 7. GNAP 8. ZSPS 6. ZSRD 6. ZVNV 7. GHAV 8. GJVK 9. GRPR 9. MGPP 9. ZSVP 6. GKRO 7. AGKP 8. GMIM 7. ZSTU 8. GZAT 9. GMIM 6. GKAD

1 1 2 1 4 1 5 1 2 1 1 1 2 -

2 5 5 4 3 5 5 5 5 3 5 5 2 5 1 2 2 3 5 5 -

3 1 0 1 0 1 0 4 1 0 0 5 1 0 0 1 -

4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -

5 1 3 3 3 0 0 0 -

6 5 4 5 1 1 5 3 0 5 3 4 1 5 4 5 1 0 3 1 5 4 5 -

7 3 0 0 1 1 2 1 1 1 -

P 2 1 1 1 -

σ 6 13 14 8 0 9 0 10 5 0 0 12 0 4 8 0 11 11 0 0 0 8 4 0 1 9 15 5 0 3 4 0 0 0 5 6 11 11 6 0 0 0 0 0

Σ 24 24 24 23 23 22 22 22 22 22 21 21 21 21 20 20 20 20 20 18 18 18 17 16 16 16 15 14 13 13 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 10 10 10 9


Výsledková listina Celkově V roč. 125.–135. 16.–18. 21.–23.

50.–54.

136.–139. 19. 24. 55.–56. 140.–143. 25.–26. 57. 41. 144.–148. 27.–29.

58.–59. 149.–152. 30. 60.–61. 42. 153.–157. 31.–33.

62.–63. 158.–159. 20. 43. 160.–164. 21. 34.–36.

44. 165. 37. 166.–219. 1. 1.–2. 22.–33.

pikomat.mff.cuni.cz

Jméno a příjmení Petr Junek Barbora Macounová Jan Heřmánek Gabriela Klézlová Klára Kozlová Alena Bidlová Dominika Hadravová Pavla Mašková Alina Mojšová Michaela Nejedlá Marie Michnová Tereza Vendlbergerová Oleg Molkanov Lucie Teufelová Marie Korandová Zuzana Plodíková Lubor Šída Veronika Deketová Martin Hyla Marie Pokorná Oldřich Šístek Lukáš Hušek Barbora Chlostová Václav Trpišovský Hana Guziurová Miroslav Šafář Tom Křížek Natálie Březinová Marie Pokorná Marek Štefaník Michal Křempek Martin Svoboda Matouš Řezníček Gabriela Amchová Antotnín Koukl Emma Pěchoučková Oliver Rákosník Jakub Zavadil Jiří Halberštát Anne-Marie Lhotková Max Uxa Mai Lan Dang Adam Ucháč Anna Arnotová

Roč. a škola 6. AGKP 6. GKKO 7. GKKO 7. GKKO 7. GHAV 8. ZSPS 8. AGKP 8. GMIM 8. GNVP 8. GNKP 6. PORG 7. GCKV 8. GCDP 8. ZSPS 7. GSOV 7. ZSPS 8. ZSMA 9. GVMS 7. GTVL 7. ZSKO 7. AGKP 8. ZSKV 8. ZSPS 7. OPEN 8. GHAV 8. ZSZN 9. GCHB 7. ZSTN 7. ZSKO 7. GMAS 8. ZMFM 8. GHAV 6. GKAD 9. GCHB 6. GKAD 7. AGKP 7. AGKP 7. AGKP 9. ZSBN 7. GCKV 4. ZSJM 5. ZSML 5. ZSVP 6. AGKP

1 1 1 0 1 1 1 -

2 3 4 2 5 2 2 2 -

3 1 1 0 0 1 0 -

4 0 0 -

5 3 0 3 4 -

6 5 5 3 0 4 3 5 0 0 0 1 -

7 1 -

P 1 4 -

σ 5 0 0 0 5 5 3 0 9 0 0 0 8 2 3 0 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0 3 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Σ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0

Strana 19

Pikomat MFF UK, 30. ročník, 2. série Celkově V roč. 166.–219. 22.–33.

38.–50.

64.–77.

45.–56.

Strana 20

Jméno a příjmení Roč. a škola 1 2 3 4 5 6 7 P Albert Jan Budik 6. GSOV - - - - - - - Ondřej Červený 6. GSOV - - - - - - - David Hájek 6. ZSJW - - - - - - - Vít Kaifer 6. GSOV - - - - - - - Postránecká Kateřina 6. GFPN - - - - - - - Jozef Krššák 6. AGKP - - - - - - - Anna Pánková 6. GJRC - - - - - - - Filip Petránek 6. ZSPS - - - - - - - Barbora Picková 6. GSOV - - - - - - - Mia Tejcová 6. PORG - - - - - - - Aneta Zítková 6. GFPN - - - - - - - Josefína Dušková 7. OPEN - - - - - - - Vilém Gutvald 7. GZWR - - - - - - - Danel Idžakovič 7. GSOS - - - - - - - Noelle Nikol Jermanová 7. GMEL - - - - - - - Pavel Junker 7. GFZB - - - - - - - Daniel Krátký 7. GTRU - - - - - - - Jakub Kubala 7. ZMFM - - - - - - - Nikol Kynčlová 7. ZSTN - - - - - - - Filip Novotný 7. GJIH - - - - - - - Anežka Pikhartová 7. GJSB - - - - - - - Valérie Slepičková 7. ZSPS - - 0 - 0 0 - Tereza Strakošová 7. GMAS - - - - - - - Jiří Zinecker 7. GHAV - - 0 - - - - Matyáš Babka 8. ZSML - - - - - - - Berenika Držková 8. ZSPS 0 - - - - - - Martin Flídr 8. GKRO - - - - - - - Radek Husák 8. ZSPB - - - - - - - Tomáš Kadlec 8. GJVK - - - - - - - Linda Kameníková 8. GJES - - - - - - - Ondřej Med 8. GJIH - - - - - - - Barbora Němečková 8. ZSPS - - - - - - - Husák Radek 8. ZSPB - - - - - - - Jiří Šereda 8. GHAB - - - - - - - Kristýnka Šimůnková 8. AGKP - - - - - - - Linda Šindelářová 8. GJSP - - - - - - - Petr Štěpán 8. GMSP - - - - - - - Bronislav euer 8. GZAT - - - - - - - Tereza Bohumská 9. GPIS - - - - - - - Ondřej Čejka 9. GFPN - - - - - - - Kateřina Černá 9. GMIM - - - - - - - Michal Dvořák 9. GPRI - - - - - - - Zbyszek Kwiczala 9. ZSHS - - - - - - - Richard Lupoměský 9. GCBR - - - - - - - -

σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Σ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


PIKOMAT MFF UK 30. ročník

Recommend Documents