Seismologie I (verze 01) J. Zahradník Katedra geofyziky MFF UK

Seismologie I (verze 01)

J. Zahradník Katedra geofyziky MFF UK

Praha 2005

Předmluva Nepublikovaný a nerecenzovaný učební text, doprovázející stejnojmennou přednášku na KG MFF UK. Je využito výhody elektronického textu, umožňujícího přímé propojení s jinými dokumenty a snadné budoucí úpravy podle připomínek studentů a vývoje problematiky. Navazuje na klasické partie seismologie, podrobně zpracované ve skriptech Doc. O. Novotného. Potřebuje alespoň minimální znalost přehledu geofyziky, např. v rozsahu skript M. Šolce a J. Zahradníka. Součástí přednášky jsou cvičení, kde je poněkud více matematického odvozování. Tato cvičení ale nejsou v daném textu zachycena. Na rozdíl od dřívějšího pojetí úvodní seismologické přednášky na KG MFF UK, která se zaměřovala hlavně na šíření vln a strukturu zemského nitra, je zde důraz položen hlavně na ty partie, se kterými jsem se musel sám během několika posledních let nějak blíže seznámit, abych byl schopen pracovat v praktických seismologických výzkumech, hlavně v souvislosti s aktivitami katedry geofyziky v Řecku a v projektech EU. Poměrně hodně se tedy pojednává o datech, přístrojích a základních metodách určování parametrů zemětřesení. K úplnému zvládnutí problematiky Seismologie I jsou třeba kromě tohoto textu ještě dvě věci: a) Prostudování připojených materiálů (vybraných kapitol z monografií, vybraných internetových stránek a vybraných časopiseckých článků), b) co největší vlastní počítačové procvičení. Ve věci a) jsem se snažil udělat výběr z nepřeberného množství existujících pramenů a většinu věcí jsem se snažil připojit formou hypertextového odkazu. Kde to bylo možné, zkopíroval jsem příslušný soubor do pracovního adresáře těchto skript, takže takové materiály jsou pak k dispozici i bez napojení na internet. Nicméně některé věci internetové připojení vyžadují, zejm. to, co se týká seismických dat a mezinárodních center. Ve věci b), t.j. počítačového procvičení, jsem napsal několik menších fortranských programů, které může student používat nebo jednoduše upravovat. Jsem přesvědčen, že pochopení látky by úplně nejvíce prospělo, kdyby se student snažil tyto či obdobné programy nejprve napsat sám, a - teprve pokud by se mu to nedařilo - by použil ty moje. I když však student bude používat, např. pro nedostatek času, jen hotové programy, měl by je přinejmenším přečíst a pochopit. Některé z programů se mu kromě výuky mohou hodit i v běžné výzkumné práci. Mimoto jsem přiložil několik nejnutnějších programů jiných autorů. Jde o první verzi textu a programů, která by se měla ve spolupráci se studenty dál rozvíjet.

Nejvíce mi pomohla slečna Petra Adamová, studentka geofyziky, která dávala mým přednáškám předběžnou textovou podobu. Touto cestou jí za to velmi děkuji. Praha, duben 2005 Literatura: B. Bolt: Earthquakes, W.H. Freeman and Company., San Francisco 1978 (rus. překlad Mir, Moskva 1981). K.E. Bullen, B. Bolt: An introduction to the theory of seosmology. Cambridge University Press 1985. T. Lay, T.C. Wallace: Modern global seismology. Academic Press 1995. P.M. Shearer: Introduction to seismology. Cambridge University Press 1999. A. Udias: Principles of seismology. Cambridge University Press 2000. A. Udias, J.Mezcua: Fundamentos de sismologia. UCA Editores 1997. A. Udias, J.Mezcua: Fundamentos de geofisica. Alhambra Editorial 1986. O. Kulhánek: Anatomy of seismograms. Elsevier 1990. O. Kulhánek: Propagation of seismic waves (lecture notes). Uppsala University 1993. L. Lliboutry: Quantitative geophysics and geology. Springer-Praxis 2000. F. Scherbaum: Basic concepts in digital signal processing for seismologists. Springer-Verlag 1994. K. Aki, P.G. Richards, Quantitative seismology,1 and 2. W.H. Freeman and Company., San Francisco 1980 (rus. překlad Mir, Moskva 1983). F.A. Dahlen, J. Tromp: Theoretical global seismology. Princeton University Press 1998.

Seismologie jako vědní obor Co studuje seismologie? Zemětřesení a příbuzné jevy Vše co budí seismické vlny a způsobuje kmitavý pohyb (otřesy) – např. exploze, nárazy těles, meteorologické jevy, důlní otřesy. Pochopit zemětřesení, protože představují přírodní katastrofu, je to zdroj ohrožení. Pochopit zemětřesení, protože toužíme poznat jevy nedostupné přímému dotyku. Jaderné exploze - zjistit na dálku (detekovat slabé otřesy a odlišit je od zemětřesení, detekce a identifikace), kontrola dodržování mezinárodních dohod o zákazu zkoušek. Nárazy - např. dopad asteroidu, dopad části kosmické sondy na povrch Měsíce, pád budovy WTC v New Yorku (http://dax.geo.arizona.edu/wallace/WTC/index.html). Havárie ponorky Kursk. Meteorologické jevy, hlavně pohyb tlakových útvarů, přechod front, vlnobití, způsobují stálý (ale nepravidelný) kmitavý pohyb povrchu, mikroseismy (šum, neklid). Lidská činnost způsobuje seismické jevy nebo usnadňuje jejich vznik (spouští je), indukované jevy jako důlní otřesy, zemětřesení při napouštění přehrad. Struktura a dynamika Země Seismické vlny nesou informaci o fyzikálních vlastnostech nitra a dynamických (tektonických) procesech. Vlny "prozařují" Zemi. Parametry zemětřesení vypovídají o napěťovém poli a pohybech litosférických desek. Rozlišujeme několik měřítek: a) globální – studujeme celou Zemi, používáme dlouhé vlny, vidíme jen velké strukturní prvky. Např. kůru, plášť, jádro, subdukující desky, plášťové hřiby pod horkými skvrnami. Dříve jen sféricky symetrické modely, t.j. závislost jen na hloubce. Dnes 3D tomografie obr1-7. b) regionální - studujeme např. Středomoří, nebo jen východní Středomoří http://seis30.karlov.mff.cuni.cz/, nebo i menší celky a jdeme do větších detailů. Nutnost kratších vln, výhody i nevýhody s tím spojené. U nás např. oblast západních Čech (GFU web), bohatá na slabá zemětřesení (roje), minerální prameny. Studujeme jednotlivé tektonické desky, bloky, zlomy, podrobný výzkum struktury kůry a litosféry. Výjimečné jsou hluboké vrty (několik kilometrů). c) lokální – malé oblasti a mělká struktura, např. řádově 1 x 1 x 1 km, průzkum ložisek nafty a zemního plynu, průzkum možných úložišť jader. odpadu. Případně ještě menší jednotky, svrchní vrstvy do hloubky několika metrů Země, např. podloží staveb. Sedimentární vrstvy a pánve. Velmi krátké vlnové délky. "Experimenty" - profilová či plošná měření s umělými zdroji (exploze, vibrátory, padající závaží, vzduchová děla). Časté jsou mělké vrty (karotáž, odběr jádra, tomografie mezi vrty). Trend: náhrada umělých zdrojů mikrozemětřeseními (zdroje i v hloubce, zadarmo, ekologicky nezávadné). Jaká data používáme?

Hlavní seismická data jsou seismogramy - přístrojové záznamy zemětřesení a příbuzných jevů a rovněž data z řízených experimentů, např. profilových měření. Užitečné jsou ale též veškeré další údaje o účincích zemětřesení na člověka, na stavby a na přírodu (makroseismická data). Používá se též mnoho dat z příbuzných oborů. Geodetická a družicová data o poloze stanic a o přesném čase. Data z vrtů. Paleoseismická data z výkopů. Laboratorní data, např. měření vzorků z vrtů, fyzikální data z vysokotlakových laboratorních experimentů, mineralogická data.... Jaké parametry určujeme? Parametry zemětřesení: hlavně poloha, velikost a „geometrie“ ohniska. Souřadnice epicentra a hloubka, magnitudo, momentový tenzor, energie seismických vln. Ohnisko není bodové, jde o více méně plošný úsek zlomu, určuje se tedy velikost porušené zlomové plochy, její prostorová orientace a směr pohybu na něm. Nejde jen o výsledný stav trhlin na zlomu po zemětřesení, ale o celý prostoro-časový vývoj procesu na zlomu. Značný rozměr zlomových ploch ničivých zemětřesení a velká rychlost seismických vln umožňuje rychlé varování (zastavení rychlovlaků, vypnutí plynu, atd.).

Fyzikální studium jednotlivých jevů jde ruku v ruce se statistickým výzkumem velkých souborů zemětřesení. Empirické vztahy mezi četností a magnitudem, změnou četnosti v čase, momentem a velikostí zlomové plochy, atd. Pro jednoduchost je při těchto výzkumech zemětřesení považováno především za zdroj vln (kinematický přístup). Obtížnější jsou výzkumy dynamických porušení a šíření trhlin, napětí a tření na zlomu, vývoje zlomu mezi jednotlivými zemětřeseními, atd., kde lze nejspíše očekávat pokrok v předpovědi.

Strukturní parametry: elastické parametry, hlavně vp, vs (rychlost šíření vln P a S). 1D, 2D a 3D modely. Poloha a geometrie ploch nespojitosti (rozhraní, diskontinuity). Spojitý průběh mezi diskontinuitami. Lákavé ale obtížné je studovat i časovou změnu parametrů prostředí, zejm. parametrů "uvnitř" zlomů. Jaké metody používáme? Vztah mezi měřenými daty a hledanými parametry (zdroje a prostředí) může být za jistých okolností vyjádřen lineární rovnicí u = M * G, kde * značí konvoluci, u představuje seismogram, M seismický zdroj (zemětřesení) a G reprezentuje prostředí, t.j. souvisí se strukturou nitra. Pokud známe M a G, a chceme určit u, řešíme tzv. přímou úlohu. Pokud známe u a zajímá nás naopak M nebo G, hovoříme o úloze obrácené. Určování M je obrácená úloha zdroje, určování G je obrácená úloha struktury. Problémy obrácených úloh: bodové a nerovnoměrné rozložení dat, data zatížena chybami (šumem), nejednoznačnost. Mnoho obrácených úloh nelze vyjádřit lineárním vztahem, což představuje další komplikaci, zejména pro odhad neurčitosti řešení. Jak nahradit strukturu funkcí G? G je tzv. Greenova fce, charakterizující přenosové vlastnosti (odezvu) prostředí. I když máme k dispozici nějaký strukturní model, není jednoduché vypočítat šíření vln v této struktuře, tedy zjistit funkci G. Analytická řešení existují jen pro nejjednodušší případy (homogenní prostor, poloprostor, ...). Jinak je nutno používat buď přibližné metody (hlavně asymptotické, např. paprskové) nebo numerické metody (např.konečné diference). Příbuzné obory - matematika (diferenciální rovnice, numerická matematika, teorie obrácených úloh) - teoretická a experimentální fyzika (mechanika kontinua a mechanika porušení, vlastnosti materiálů při vysokých tlacích a teplotách, termodynamika, atd.) - užitá geofyzika (vrty, mělká seismika) - geologie (tektonika) - geodézie (polohy stanic a přesný čas z GPS, pozemní i družicová měření pohybů) - stavební inženýrství (stavební normy, seismicky odolné stavby) Tradice seismologie u nás Václav Láska (1862-1943) 1920 – profesor aplikované matematiky, založil Státní ústav geofyzikální na UK 1924 – instaloval Wiechertův seismograf v Praze 1927 – pražská seismická stanice (http://seis30.karlov.mff.cuni.cz/) - (zkratka PRA) součástí světové sítě

Alois Zátopek (1907-1985) 1952 – první profesor geofyziky na UK - předseda Evropské seismol. komise , UNESCO Karel Pěč (1930 - 1993) - průkopník matematické geofyziky a geodynamiky Vlastislav Červený * 1932 - jeden z otců paprskové teorie Jiří Vaněk - jeden z otců magnitudové škály Axel Plešinger - průkopník širokopásmové seismologie Vít Kárník - dlouholetý expert UNESCO pro seismicitu Evropy, spec. Balkánu Základní mezinárodní organizace IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics) IASPEI (International Assosiation for Seismology and Physics of the Earth Interior) ESC (European Seismological Commission) EGU (European Geophysical Union) AGU (American Geophysical Union) Světová, regionální a lokální seismická centra 1. USGS (http://earthquake.usgs.gov/scitech) – a její dílčí organizace NEIC 2. IRIS (http://www.iris.washington.edu/) 3. EMSC 4. ETH Zurich (SED), "Red puma" 5. ORFEUS (http://orfeus.knmi.nl/) (software), mechanismy 6. Řecko: NOA, PATNET, Soluň, Univ. Atény 7. česká národní síť - GFÚ AV ČR (http://www.ig.cas.cz/) Výskyt zemětřesení svět (mapa a tabulka počtu obětí největších katastrof) Evropa Řecko ČR a okolí Západní Čechy Příklady zemětřesení a našeho podílu na jejich studiu Atény 1999 (fotografie obr1-1, obr1-2, obr1-3, obr1-4, obr1-5, obr1-6) odkaz práce Tselentis-Zahradnik -http://seis30.karlov.mff.cuni.cz/papers/turkey/turkey.html

EC- současné projekty naší katedry týkající se seismologie MAGMA (http://geo.mff.cuni.cz/magma/index.html) SPICE (http://geo.mff.cuni.cz/spice) (teoretická seismologie) 3HAZ – Corinth Doplňková četba článek 1 článek 2 článek 3 článek 4 Počítačová cvičení Jaké bylo poslední velké zemětřesení světa (vyhledat informace na stránkách USGS, EMSC, atd.)

Jaké bylo nejnovější zemětřesení v Řecku (NOA)

Makroseismická data Pohyby na zlomu Když u velkých zemětřesení dosahuje zlomová plocha až k povrchu, můžeme vidět po zemětřesení výsledný převážně střižný posun. Alternativní název: smykové trhliny, nebo skluz. Příklady: 1906 – Kalifornie, 1999 - Turecko, Taiwan Silné pohyby mimo zlom Vznik a šíření trhlin na zlomu způsobuje v okolním prostředí vznik a šíření elastických (seismických) vln. Dorazí-li vlny k povrchu, způsobí jeho kmitavý pohyb. Silné kmity mohou mít ničivé účinky. Pojem "silné pohyby (půdy)" může ale zahrnovat i nevratná posunutí. Ničivé účinky • • •

Kmity způsobí poškození či zřícení stavby. Nebezpečné jsou hlavně silné horizontální složky, protože mnohé stavby postrádají odolnost proti smykové deformaci. Poškození stavby způsobí požár (1906 – San Francisco, 1995 – Kobe), poškození jaderné elektrárny, přehrady, naftové rafinérie způsobí sekundárně mnohonásobně větší katastrofu než samotné zemětřesení. Kmity vedou ke svahovým sesuvům, spouštějí laviny (např. 1970 – Huascaran v Peru zničení městečka Yungay obr2-1, obr2-2 a obr2-3), způsobují zvodnění písků (následné sedání může ničit stavby). Nevratné posunutí mořského dna, hlavně jeho vertikální složka, vede ke vzniku tsunami.

Průvodní jevy Přírodní zvuky (např. dunění), světla na obloze, změny spodních vod (kolísání hladiny podzemní vody, změna vydatnosti pramenů), zvláštní chování zvířat. Pozn.: Není vyloučeno, že některé tyto jevy mohou vznikat už před zemětřesením, studují se jako možné předzvěstné příznaky (prognostické jevy). Makroseismická intenzita Kvantitativní popis účinků může (do jisté míry) nahradit měření pohybů půdy, např. měření časového průběhu zrychlení kmitů a(t). K tomu slouží tzv. makroseismická intenzita I. Intenzita se stanoví detailním vyhodnocením účinků zemětřesení na člověka, na stavby a na přírodu. Studujeme-li účinky na stavby, musíme vzít v úvahu jejich typ, stáří, velikost, atd. Intenzita tedy není totéž co velikost poškození. Stojí-li vedle sebe na stejném geologickém podkladu chatrná nebo moderní stavba, jsou poškozeny různým způsobem, ale metodika stanovení intenzity nás musí od obou staveb dovést ke stejnému číslu, vystihujícímu, že šlo o stejný pohyb půdy.

Získávání informací o makroseismické intenzitě zemětřesení (sběr dat) 1. Obhlídka na místě – ideálně ve složení seismolog, geolog, stavební inženýr 2. Dotazníky (dotazník Geofyzikálního ústavu AV ČR (http://www.ig.cas.cz)), on-line USGS dotazníky, atd. 3. Jedná-li se o historické zemětřesení, používají se veškeré dostupné písemné a grafické materiály. Katalogy Evropa a ČR zpět až do 12. století (Vít Kárník). Kolekce historických (obr. obr2-4, obr2-5, obr2-6) vyobrazení (Jan Kozák). Základní makroseismické stupnice Obvykle mají 12 stupňů MCS (Mercalli, Cancani, Sieberg) MM (Modified Mercalli) MSK (Medvěděv, Sponheuer, Kárník) - obr2-10, obr2-11 EMS (European Macroseismic Scale) JMA (stupnice japonské meteorologické agentury), výjimka, má jen 7 stupňů. Zjednodušená charakteristika pro případ 12 stupňů: 40 – široce pozorované 50 – probuzení 60 – úlek, malé trhliny 70 – lehké poškození staveb 80 – řícení částí staveb 90 – velké řícení celých budov Podrobná definice Např. (ve stupnici MSK) se kvantifikuje: a) typ stavby A, B, C b) velikost poškození 1, 2, 3 c) četnost poškození v % výsledná (celočíselná) hodnota intenzity se pro studované místo určí souhrnným zpracováním těchto tří věcí. Příklad viz v tabulce (stupnice.pdf). Je tedy zřejmé, že studované místo musí mít k dispozici nějaký statistický soubor staveb. Prostorové rozložení intenzity (úbytek se vzdáleností) Intenzitu vyznačujeme na mapě pomocí izoseist. Jsou to čáry, oddělující oblasti s převažující intenzitou (např. oblast s převažující intenzitou 7 od oblasti s převažující 6). Nejsou to tedy izočáry, protože intenzita je veličina celočíselná. Nejvyšší intenzitu označujeme I0 (ohnisková intenzita); souvisí s velikostí zemětřesení a s jeho hloubkou. Makroseismická intenzita není závislá jen na epicentrální vzdálenosti, ale také na azimutu, I(∆,A). V některých mapách izoseist pozorujeme dvojí protažení: v okolí ohniska protažení podél zlomu, ve větší vzdálenosti od ohniska může být protažení způsobeno rozdílnou regionální stavbou zemské kůry. Známé je např. protažení isoseist východoalpských zemětřesení směrem do Českého masívu (obr. obr2-7, obr2-8 a obr2-9). Mapy intenzit tedy nesou informaci jak o zdrojovém procesu, tak o laterální nehomogenitě kůry.

Lokální zvýšení intenzity, systematicky se opakující při mnoha zemětřeseních, indikuje vliv místních geologických podmínek. Pozor na možnou záměnu s účinkem zdroje: protažení izoseist v okolí zdroje může souviset jak se zlomem, tak i s geologií, např. říčními údolími, sedimentárními pánvemi. Pozor na nerovnoměrnost osídlení studovaného území, která může při neopatrném zpracování dat vést k zcela falešným představám o prostorovém rozložení. Je žádoucí kombinovat data pomocí GIS. Na základě studia intenzity mnoha minulých zemětřesení v určité oblasti (např. jednoho státu) se konstruují zobecněné statistické vztahy, zejména I(∆), tzv. útlumové křivky. Název je poněkud zavádějící, protože pojem útlum v seismologii používáme také pro neelastické chování prostředí. Vztahy I(∆) jsou postupně vytlačovány útlumovými křivkami v nichž místo intenzity figurují přístrojově zjištěné charakteristiky silných pohybů, např. maximální hodnota zrychlení.

Výhody a nevýhody makroseismických dat 1) Nevýhody - Částečně subjektivní metoda (složitý vztah vlivu stavby a pohybu půdy) - Problematická fyzikální interpretace intenzity (složitý vztah mezi I a a(t)) 2) Výhody - Levná metoda - Velmi hustá pozorování - Pozorování jdou daleko do minulosti Vztah mezi intenzitou a zrychlením Na jednoduchou otázku, jaký je vztah mezi I a a(t), neexistuje jednoduchá odpověď. Problém je v tom, že silný pohyb půdy má nějaký časový průběh, konečnou dobu trvání, nějaké spektrum, a tyto mnohoparametrické funkce je téměř nemožné nahradit jediným číslem. Přesto (zkuste si zodpovědět otázku "proč?") se ale seismologové snaží korelovat intenzitu s jednoduchými charakteristickým veličinami: maximální hodnotou pohybu, nejčastěji maximálním zrychlením, nebo se středně-kvadratickou hodnotou. K tomu je pochopitelně nutno mít k dispozici bohatou databázi měření silných pohybů v místech, kde zemětřesení mělo makroseismické účinky, ale i pak se střetáváme s obrovským rozptylem. (I kdybychom se omezili třeba jen na jednu vesnici, charakterizovanou jedinou hodnotou intenzity, a hustě bychom ji pokryli akcelerografy, naměříme mnoho různých hodnot, např. kvůli rozdílným lokálním geologickým podmínkám, nebo dokonce z obecnějšího hlediska proto, že krátkovlnné pohyby nejsou na vzdálenostech několika set metrů korelované.) S menším rozptylem by snad bylo možno popsat vztah mezi intenzitu s maximální rychlostí kmitů, protože rychlost souvisí s delšími vlnovými délkami. Starší vztahy, které byly založeny na malém počtu měření (protože měření silných pohybů začala daleko později než měření slabých kmitů), přiřazovaly dané intenzitě spíš nižší hodnoty než vztahy současné.

Nicméně jedna věc je nepochybná. Zaměříme-li se třeba jen na to, jak člověk subjektivně vnímá pohyb, lze dokázat, že z fyziologických důvodů je lineární škála vjemů svázána s logaritmickou škálou podnětů. Předpokládáme-li tedy např. log10 a = βI + γ není to jen proto, že logaritmus plní roli hlazení v silně rozptýlených hodnotách a, ale má to i hlubší podstatu. Co se týče konstant, orientační hodnota je β = 1/3. To jest, zvýšení intenzity o 3 stupně odpovídá přibližně vzrůstu zrychlení o 1 řád. Co se týče γ (pozor, zde se již musíme dohodnout na nějakých jednotkách zrychlení, tedy např. m/s2), zhruba můžeme předpokládat γ = −3 , protože největší pozorovaná zrychlení jsou řádově 1g (=10 m/s2) a největší hodnota intenzity je 12. Studujeme-li kromě uvedeného "středního"vztahu i rozptyl, zjistíme, že je obrovský. Hodnoty zrychlení mohou stejně dobře dvojnásobné nebo poloviční. Proto jediný rozumný způsob svazování a s I je používat tabulky intervalů hodnot zrychlení pro jednotlivé intenzitní stupně. Jiné mapy silných pohybů

Tento odstavec vybočuje z rámce makroseimických dat, hodil by se spíše do následujících kapitol o instrumentálních datech, ale je zde věcná souvislosti. Budování hustých sítí akcelerografů, zejm. v Kalifornii, Japonsku a na Taiwanu, postupně v těchto zemích vytlačuje používání makroseismických dat. Hustá přístrojová síť umožňuje získat mapu silných pohybů při velkém zemětřesení prakticky ihned ("v reálném čase"). Pozor, nezaměňovat s jinou velmi silně se rozvíjející aktivitou, kdy oblast postižená zemětřesením třeba ani nemá hustou síť přístroj, ale (přibližná) mapa silných pohybů se sestrojí na základě rychlé výpočetní simulace, s použitím několika jednoduchých parametrů zemětřesení, které jsou těsně po něm k dispozici. Obojí typ map (instrumentální i výpočetní) slouží k rychlému odhadu míst s nejsilnějšími pohyby. Jsou-li kombinovány s mapami zranitelnosti staveb, lze současně odhadovat i místa největších škod a směřovat do nich rychlou pomoc. Je to důležité proto, že po zemětřesení často zkolabuje telefonní a energetická síť, takže právě z nejvíce postižené oblasti nemusíme mít žádnou rychlou zprávu. Makroseismická intenzita a hloubka ohniska

1 Vyjděme ze vztahu log10 a = βI + γ a předpokládejme, že a ∝ , kde r je hypocentrální r vzdálenost, a znak ∝ označuje úměrnost. Symbol dekadického logaritmu nadále pro jednoduchost vypouštíme. Máme tedy log a = const – log r = βI + γ Dále označme : h… hloubku zemětřesení

∆… epicentrální vzdálenost, kde r = h 2 + ∆2 Specielně pro ∆ = 0: const – log h = βI0 + γ a obecně pro ∆ ≠ 0 : const − log h 2 + ∆2 = βI ∆ + γ Odečtením těchto dvou rovnic:

− log h 2 + log h 2 + ∆2 = β ( I 0 − I ∆ )

β ( I 0 − I ∆ ) = log

h 2 + ∆2 h2

⎛∆⎞ = log 1 + ⎜ ⎟ ⎝h⎠

2

Dostáváme tedy výsledný vztah ⎛ ⎛ ∆ ⎞2 ⎞ I 0 − I ∆ = const. log⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝h⎠ ⎟ ⎝ ⎠ Znamená toto: Pokud uvažujeme konstantní rozdíl intenzit na levé straně, např. rozdíl jednoho stupně intenzity, můžeme při určité hloubce ohniska spočítat vzdálenost ∆ příslušných izoseist. Je vidět, že čím je hloubka větší, tím jsou izoseisty roztaženější. V principu lze vztah použít i obráceně, zjistit skutečný "rozestup" izoseist a vypočítat hloubku. Je to ale problematické, protože neznáme dobře hodnoty konstant v uvedených vztazích.

Zajímavou oblastí současné seismologie je návrat k velkým historickým zemětřesením a pokusy re-interpretovat makroseismické mapy ve snaze určit nejen hloubku, ale např. také mechanizmus ohniska, velikost zlomové plochy, směr šíření trhliny, atd. Příklad: Emolo Irpinia 1930

Doplňková četba manual seismol praxe přiručka EMS web stranka GSHAP sborník o roji 1985-86 - spec. články o spodnich vodách a zvucích

Počítačová cvičení Prostudovat, jak funguje sběr dat o silných pohybech v rámci USGS (makroseismické dotazníky a on-line mapy silných pohybů). Jak se dostat k datům japonské sítě K-net

Instrumentální data Prvními seismickými přístroji byly seismoskopy, např. čínský seismoskop sestrojený v 1. století. Umožňovaly zjistit zemětřesení, např. pomocí pádu kuliček, umístěných v labilní poloze, ale nepořizovaly záznam. V Evropě se takovéto přístroje objevují až počátkem 18.st. (např. De Haute – Feuilleův seismoskop z roku 1703). První seismografy (přístroje zaznamenávající zemětřesení) se objevují až mnohem později – na konci 19. a hlavně začátkem 20. století. První seismograf v Evropě - Ljubljana 1897, v Čechách - Příbram 1903 (v příbramských dolech, jeden přístroj na povrchu, druhý v hloubce 1 km), Cheb - 1908. Stanice Praha od r. 1924, součástí mezinárodní sítě od r. 1927. Princip seismografu je prostý. Jeho základní součástí je setrvačná hmota, která je nějakým vhodným způsobem spojena se zemí (je např. na pružině, na vahadle, na torzním vlákně).

Pokud se země rozkmitá, dochází k vzájemnému pohybu mezi zemí a setrvačnou hmotou, který lze zaznamenat. Složitost problematiky je v tom, že z naměřeného relativního pohybu je nutno pohyb půdy "dešifrovat". Požadavky na seismograf

1) široký dynamický rozsah, t.j. potřebujeme registrovat pohyby od velmi slabých (např. při malém blízkém zemětřesení, nebo silném zemětřesení na druhé straně zeměkoule) až po velmi silné (blízko ničivého zemětřesení), jejichž posunutí je od ~10-6 m do ~ 100 m. (Zrychlení má rozsah od ~10-6 do 1 g, kde g=10 m/s2.) 2) široký frekvenční rozsah, 10-3 Hz ~ 102 Hz. 3) registrace ve 3 složkách (zpravidla NS, EW, Z). Splnit požadavky 1) a 2) jediným přístrojem je velmi obtížné, běžně se tedy na jedné seismické stanici používá několik přístrojů, které se vzájemně se doplňují. Seismograf jako lineární harmonický oscilátor

Princip budeme ilustrovat tak, že (jednosložkový) seismograf popíšeme jako tlumený lineární harmonický oscilátor (viz následující obrázek).

Zavedeme následující značení: z … absolutní pohyb setrvačné hmoty, u … absolutní pohyb půdy, ten chceme určit, ξ … relativní pohyb ξ = z – u, tento pohyb měříme, přičemž obecně neplatí ξ = u. Seismograf je popsán obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu

&+ 2εξ&+ ω 2ξ = −u& & ξ& S

(1)

kde ωs je vlastní frekvence, ε tlumení, M setrvačná hmota a k konstanta pružnosti, pro něž platí 2ε =

⎛ 2π ⎞ k D ⎟⎟ = , ω S2 = ⎜⎜ M ⎝ TS ⎠ M

Vztah mezi "vstupem" u a "výstupem" ξ seismografu h je, jako u každého lineárního systému, popsán konvolučním vztahem

∞

ξ = u ∗ h = ∫ u (τ )h(t − τ )dt −∞

Vztah vyjadřuje princip lineární superpozice a říká, že odezva v čase t závisí na vstupu v čase t i v časech < t , jde o systém s "pamětí". Vložíme-li na vstup speciálně Diracovu delta-funkci, neboli impuls, u = δ(t),

ξ = δ (t ) ∗ h(t ) = h(t ) vidíme, že na výstupu je právě funkce h. Této funkci, vyjadřující přenosové vlastnosti seismografu, se proto říká impulzní odezva. Můžeme ji získat experimentálně, právě pomocí uvedeného konvolučního vztahu, pak hovoříme o kalibraci přístroje. V jednoduchých případech ji můžeme odvodit teoreticky, např. takto. Nechť F (h(t)) = H(f), F (ξ(t)) = X(f),

kde F značí Fourierovu transformaci, H(f) je tzv. komplexní přenosová funkce. Místo H(f) někdy pracujeme s H(ω). Rovnici (1) převedeme do frekvenční oblasti a pro impulsní buzení X(f)=1 dostaneme

(2πif)2H(f) + 2ε(2πif)H(f) + (2πfS)2H(f) = - (2πif)2 H (ω ) =

ω2 −ω2 = − ω 2 + 2εiω + ω S2 (ω 2 − ω S2 ) − 2εiω

Modul přenosové funkce, t.j. amplitudová charakteristika přístroje, pak je

H (ω ) =

ω2 (ω 2 − ω S2 ) 2 + ( 2εω ) 2

Limitní hodnoty jsou

ω2 =1 ω2 ω2

lim H (ω ) =

ω →∞

lim H (ω ) =

ω →0

konst

H (ω = ω S ) =

=0

ω S2 ω = S 2εω S 2ε

Později ještě použijeme β =

ε D = , související s tlumením a uplatňující se hlavně v ω S 2 kM

okolí vlastní frekvence. Přenosová funkce pro různý typ buzení

Známe-li přenosovou funkci, vyjadřující vztah mezi výstupem seismografu a určitým typem vstupu (buzení), můžeme zjistit, jak stejný přístroj reaguje i na jiné typy vstupních buzení. Výše jsme odvodili přenosovou funkci pro případ (A), kdy na vstupu je posunutí. Je-li na vstupu rychlost (případ B), lze výstup zapsat jako

ξ = u&∗ ∫ h Fourierova transformace tohoto vztahu je X = ( 2πif )U

H ( 2πif )

čili přenosovou funkci v tomto případě již nepředstavuje H(f), nýbrž H(f) / (2πif).

Je-li na vstupu zrychlení (případ C), dostaneme analogicky přenosovou funkci H(f) / (2πif)2

Nejdůležitější úlohu hrají ty situace, ve kterých je výstup věrným obrazem vstupu, t.j. časový průběh výstupu a vstupu se liší jen multiplikativní konstantou. V grafech tomu odpovídá plochá část amplitudové charakteristiky (a konstantní, nulová, fázová charakteristika). V

případě A vidíme, že výstup je věrným obrazem posunutí, ale jen pokud se zajímáme o frekvence ω > ωS. Naopak, zajímá-li nás věrná registrace pro ω < ωS, je to případ C, ale výstup je nyní věrným zápisem vstupního zrychlení. Můžeme tedy říkat, že jeden a tentýž přístroj, v našem případě mechanický seismograf, má na výstupu (věrně zaznamenané) posunutí pro ω > ωS a zrychlení pro ω < ωS . Nebo že má dvojí možný typ výstupu, nebo dvojí výstupní "kanál". Co ale máme dělat v případě, že požadujeme znalost posunutí i pro ω < ωS ? V principu jsou dvě možnosti. (i) Použít věrně zaregistrované zrychlení a dvojnásobnou integrací přejít na posunutí. Nebo (ii) použít přístroj s nižší vlastní frekvencí ωS. Snížit vlastní frekvenci mechanického seismografu není jednoduché; vzorce ... ukazují, že musíme použít velké M (např. Wiechertův seismograf měl M cca 1000 kg). Pozdější elmag. přístroje a moderní elektronické přístroje mohou pracovat s malou setrvačnou hmotou a přitom docílit velmi nízké (zdánlivé) vlastní frekvence, viz níže. Způsob (i) vypadá lákavě, ale naráží na jistá technická omezení, např. nízkofrekvenční přístrojový šum. Nicméně jsou případy, kdy se metodě (i) nevyhneme. Žádný současný přístroj neregistruje věrně posunutí (dokonce ani rychlost) pro frekvence < 0.001 Hz. Ale vlastní kmity Země, které také patří do sféry zájmu seismologie, tyto frekvence mají. Nezbývá tedy než zvolit přístroj s co nejnižší vlastní frekvencí a dostat se pod ní tak, že věrně registrujeme zrychlení vlastních kmitů, nikoli posunutí. Zde je třeba upozornit ještě na určitou terminologickou nejednotnost. Někdy se v této

souvislosti říká, že vlastní kmity je možno registrovat jen akcelerografem. Není to nejvhodnější vyjádření, třebaže nám opravdu jde o věrné zrychlení. Pojem akcelerograf je ale spíše vhodné ponechat pro přístroje, jejichž vlastní frekvence je vyšší než všechny běžné zájmové frekvence, např. > 20 Hz, čili pro přístroje s vysokou hodnotou ωS. Akcelerografy jsou obvykle konstruovány současně jako přístroje s nízkou citlivostí, takže se hodí i pro záznam velmi silných pohybů půdy (ale nejen jich....). Vše jsme dosud provedli na příkladu tlumeného lineárního harmonického oscilátoru (mechanického seismografu), ale pro libovolný seismograf musíme umět zjistit jeho přenosovou funkci H(ω). Jen tak se od záznamu dostaneme ke skutečnému pohybu půdy. Decibel,dekáda, oktáva

Třebaže fyzik a matematik vystačí s výše zavedenými pojmy, v technice a spec. v elektronice narazíme i na některé další. A Uvažujme relativní (bezrozměrné) zesílení r = A0 A V technické praxi se místo r používá zesílení v decibelech, definované jako z = 20. log10 . A0 Použijeme-li definici zesílení pro porovnání největší a nejmenší hodnoty rozlišitelné na seismogramu, hovoříme o (dynamickém) rozsahu. Moderní přístroje mají rozsah > 100 db. Příklad: Wiechertův mechanický seismograf vyrýval skleněným hrotem na konci pisátka tenkou stopu do vrstvy sazí, pokrývající registrační papír. Jsme-li pod lupou schopni odměřit ještě výchylku 0.1 mm, a dosahuje-li současně největší výchylka celé šíře papíru, t.j. např. 200 mm, jedná se o rozsah 20 log (200/0.1) = cca 66 db.

Řekneme-li, že přenosová funkce je úměrná ω2, je to totéž jako že log-log graf má sklon 2:1 (při vzrůstu frekvence o jeden řád se změní přenosová funkce o dva řády). V technické dokumentaci ale místo toho můžete nalézt ještě složitější vyjádření. Protože 2 řády představují zesílení 40db, závislost ω2 se charakterizuje jako 40db/dekádu. Odvoďte si, jak lze stejnou závislost ω2 popsat v db/oktávu; k tomu stačí vzpomenout, že oktáva je rozsah mezi nějakou frekvencí a frekvencí dvojnásobnou. (Odpověď: ω2 je ekvivalentní 12db/oktávu.) Vyjádření přenosové funkce pomocí nul a pólů

Funkci H(ω) přepíšeme pomocí formální substituce s = iω − (iω ) 2 H (ω ) = (iω ) 2 + 2ε (iω ) + ω S2 Tedy − s2 H (s) = 2 s + 2εs + ω S2 Čitatel tohoto výrazu je roven nule pokud s = 0 (dvojnásobný kořen). Hovoříme též o dvojité nule přenosové funkce. Jmenovatel má kořeny (póly přenosové funkce) pro s12 = −ε ± ε 2 − ω S2

Tlumení charakterizujeme pomocí veličiny β, pro kterou platí β =

ε ωS

Rozlišujeme následující případy pólů: a) kritické tlumení (β = 1, tedy ε = ωs): s12 = −ε b) přetlumený (β > 1, tedy ε > ωs): s12 = −ε ± ε 2 − ω S2 = −ε ± real ∈ R c) podtlumený (β < 1, tedy ε < ωs): s12 = −ε ± i ω S2 − ε 2 = −ε ± i ⋅ real ∈ C Přenosovou funkci libovolného seismografu lze zapsat v obecném tvaru − (s − s1n )(s − s2n )Κ H ( s) = (s − s1p )(s − s2p )Κ , kde s1n , s 2n ,Κ značí nuly a s1p , s 2p ,Κ póly. Počet nul a pólů je obecně různý. Protože s = iω, jsou takto definované nuly a póly v rad/sec, nikoli v Hz. Možné zdroje chyb: Rozhodneme-li se používat místo výrazu obsahujícího kruhové frekvence ω (rad/sec) H (ω ) =

− (iω − s1p )Κ iω − s1p Κ

(

)

spíše ekvivalentní výraz s frekvencí f (Hz),

⎛ s1n ⎞ ⎟Κ − ⎜⎜ if − 2π ⎟⎠ ⎝ H( f ) = ⎛ s1p ⎞ ⎜⎜ if − ⎟Κ 2π ⎟⎠ ⎝ je vidět, že nuly a póly je nutno dělit faktorem 2π. Jinak řečeno, musíme být opatrní na to, v jakých jednotkách získáme nuly a póly (např. od výrobce přístroje) a jsou-li kompatibilní s tvarem přenosové funkce, používaným v našich výpočetních programech.

Pokud bychom v předchozím vztahu chtěli používat místo if pouze f, musíme pak dělit faktorem 2πi . Přenosovou funkci je užitečné normovat tak, aby na své konstantní části (na platu) byla = 1. (Κ )Κ ⋅ Z Předchozí vztahy je tedy nutno doplnit o vhodnou násobící konstantu, tedy na tvar (Κ )Κ Je-li konstanta Z známa pro nuly a póly v rad/s, není stejná pro nuly a póly v Hz (pokud počet nul a pólů je různý). Instrumentální korekce

Snažíme-li se pomocí přenosové funkce přejít od naměřeného záznamu ξ(t) ke skutečnému pohybu půdy u(t), hovoříme o instrumentální korekci. Instrumentálně korigovaný záznam získáme takto: ⎛ X(f )⎞ ⎟⎟ = u (t ) F −1 ⎜⎜ ⎝ H( f )⎠ V některých úlohách se můžeme spokojit s jednodušší korekcí. Pro frekvence odpovídající platu přenosové funkce (konstantní amplituda i fáze) stačí výstupní signál dělit konstantou. Pokud nejsme na platu, ale signál má nějakou převládající frekvenci, dělíme ho konstantou odpovídající hodnotě amplitudy přenosové funkce na převládající frekvenci. Posledně zmíněný (přibližný) postup se používá při výpočtu magnituda. Příklady seismografů a jejich přenosových funkcí

Cílem zde není popsat konstrukci a princip seismografů. Cílem je pouze ilustrovat různé možné tvary přenosové funkce. Elektromagnetický seismograf Klasika 20. století. Kyvadlo seismometru je spojené s cívkou, takže při pohybu v poli nějakého magnetu se v cívce indukuje napětí. To se měří galvanometrem. Na následujícím obrázku jsou nekresleny přístrojové charakteristiky samotného seismografu, samotného galvanometru a spojeného systému. Čísla v grafech udávají strmost charakteristiky (např. 2 znamená vzrůst ω2, -2 je naopak spád ω-2 ).

Volbou vlastních frekvencí seismometru a galvanoměru fg, fs a také podle tlumení se dalo docílit různé šířky propustného pásma. Rozlišovaly se přístroje krátkoperiodické (SP, z angl. "short period"), zpravidla s úzkým pásmem kolem 1 sec, typické pro prostorové vlny v teleseismických vzdálenostech, přístroje dlouhoperiodické (LP), zesilující hlavně periody typické pro povrchové vlny, atd. Širokopásmový seismograf (BB, z angl. "broad band") Nejčastěji se konstruuje s plochou charakteristikou v rychlosti. Přesnější vyjádření je "s plochou charakteristikou pro vstupní rychlost", t.j. pro případ, že na vstupu přístroje je první derivace posunutí (rychlost).

Jsou často vytvořeny jako tzv. zpětnovazební systémy (feed-back, force balance). Setrvačná hmota je spojena s cívkou, v ní se indukuje napětí, to je zpětně využito k tomu, aby se uměle držela setrvačná hmota stále na místě. Neměříme relativní pohyb půdy a setrvačné hmoty (v ideálním případě žádný pohyb není), ale měříme napětí, které pohybu zamezuje. Příklady přístrojů: - v závorkách jsou uvedeny přibližné hodnoty tzv. dolní rohové frekvence, na nichž začíná u daného přístroje plato rychlosti. Je-li < 0.01 Hz, hovoří se někdy o VBB (very broad band). Guralp: CMG–3T (0,01 Hz), CMG–40T (1/30 Hz), CMG–1T (1/360 Hz) Streckeisen-Wielandt: STS–2 (1/360 Hz) Geotech: KS54000 (0,003 Hz) Posledně zmíněný přístroj je určen pouze do vrtu, aby se snížil veškerý vnější šum (teplota, tlak, vítr,…). Některé z výše uvedených mají jak povrchové tak vrtné verze.

Poznámka: Co rozumíme pod pojmem 100 sekundový přístroj? Plato nesahá přesně až do 100 sec.

Ještě opatrnější musíme být s fázovou charakteristikou přístroje. Pro tzv. 100s přístroj může vypadat např. takto:

- nekonstantní fáze může sahat poměrně hluboko do plata amplitudové charakteristiky, čili i když z hlediska amplitud např. pro periody 50 sec stačí dělit výstupní signál konstantou, časový průběh výstupního signálu je fázově posunut (tvarově zkreslen) oproti pohybu půdy. Jaké konstanty přístroje potřebujeme znát

Výše uvedenou přenosovou funkci (s platem normovaným na hodnotu 1) lze použít k instrumentální korekci výstupního signálu, vyjádřeného v jednotkách pohybu půdy (např. m/sec). V praxi ale zpravidla dostaneme nekorigovaný záznam v bezrozměrných jednotkách převodníku (count, bit). Vztah mezi bitem a m/s je třeba pečlivě posoudit, zvláště když máme seismometr a převodník od různých firem nebo v různém typu elektronického zapojení. 1) Seismometr je charakterizován vztahem mezi pohybem půdy a napětím, což je tzv. citlivost; např.: 1m/s = 2 x 3000 V. Stejný seismometr lze zapojit dvěma různými způsoby, při jednom z nich se faktor 2 nepoužívá, při druhém zapojení (tzv. diferenciálním) se používá. Máme-li tedy např. situaci bez faktoru 2, a víme-li, že přístroj může pracovat jen v oboru do 3 V, je jeho největší zaznamenatelná hodnota rovna 3V =1/1000 m/s = 1 mm/s. To je velmi citlivý přístroj (weak–motion seismometer, WM). Např. CMG-3T má saturační úroveň 2 mm/sec (též úroveň přebuzení, angl. clipping). Pokud chceme naopak zaznamenávat velmi silné pohyby, např. 1 m/s, musíme použít jiný přístroj, např. přístroj o citlivosti 1 m/s ~ 3V (strong–motion, SM). Např.akcelerograf CMG-5T má citlivost 1 g (10 m/s2)= 2 x 0.5 V. 2) Převodník je charakterizován vztahem mezi volty a bity, např.: 10-6 V = 1 bit. Často se používají 24 bitové převodníky, tzn. rozsah 224 = 17.106 hodnot. Dynamický rozsah takového převodníku je 20. log (17.106) = .... db. Pokud celý rozsah 17.106 = ± 8,5 . 106 mohu využít např. na ± 8,5 V, získám tak právě zmíněný případ, že 106 bitů odpovídá 1V

Oba vztahy je nutno složit, takže když 10-6 V = 1 bit, a zároveň 1m/s = 3000 V, dostaneme že 1bit = 10-6. 1/3000 = 0,3.10-9 m/s = 300.10-12 m/s. Přístroje – poznámky

Instrumentální šum Samotná přenosová funkce nevypovídá kompletně o možnostech přístroje. Zdálo by se, že pokud sice přenosová funkce klesá (s klesající frekvencí) k nule, ale my tento pokles známe, můžeme instrumentální korekcí získat signál pro libovolně nízké frekvence. Praktickou překážkou je ale přístrojový šum. Spec. akcelerograf a jeho omezená schopnost registrovat dlouhé periody; např. na CMG-5T nelze dokonce ani vidět mikroseismy (přístrojový šum je vyšší než přírodní). Technické provedení seismografů Kromě kyvadel se dříve někdy používaly i malé setrvačné hmoty na torzním vlákně. Moderní přístroje mají kyvadla, ale převod mechanického pohybu na elektrický signál je velmi různorodý (indukční cívky, kondenzátory,...) vertikální kyvadlo

horizontální kyvadlo

Náklon Zatím jsme všude mlčky předpokládali, že podložka je vodorovná. Všude jsme uvažovali, že &. Abychom vyjádřili, že jde o seismický pohyb půdy, připišme budící síla je úměrná pouze u& & dolní index, takže u& seis . Pokud je přístroj nakloněn o úhel τ(t), působí na jeho setrvačnou & hmotu ještě horizontální složka gravitačního zrychlení, u& náklon = g . tgτ ( t ) . Celkové buzení je & & & & & tedy obecně součtem u& seis + u náklon . Na dlouhých periodách je u seis relativně malé a buzení & & & náklonem u& náklon může být větší než u seis . Na seismických stanicích MFF v Řecku se při slabých ale velmi blízkých zemětřeseních občas vyskytují specifické dlouhoperiodické kmity, které se dají vysvětlit jako odezva širokopásmového velocigrafu na skokový náklon, τ(t) = H(t). Na CMG3-T s mezní periodou 100 sec má odezva tvar jednostranného pulzu o době trvání kolem 100 sec. Není to přístrojová vada, pouze to ukazuje jisté omezení, registrace není věrná až do f=0. Akcelerograf je v tomto smyslu lepší, na skokové zrychlení na vstupu odpoví skokem, ale problém je, že když skok je malý, může se ztratit v instrumentálním šumu

akcelerografu. Původ skokového náklonu je nejasný. Mohl by v principu být způsoben prostorovou variabilitou nevratného posunutí, ale pravděpodobnější vysvětlením je, že blízká zemětřesení, velmi bohatá na vysoké frekvence, způsobí lokální půdní nestabilitu těsně pod stanicí, dokonce možná jen těsně pod přístrojem. Viz článek. Jiný výklad téhož Uvažujme pohyb půdy (vstupní signál) ve tvaru skoku zrychlení. Na výstupu akcelerografu bude skok zrychlení, záznam je "věrný". Skoku zrychlení odpovídá trvale rostoucí rychlost (rampa). Jak na takový vstupní pohyb reaguje širokopásmový velocigraf? Rychlostní záznam nejprve sleduje rostoucí rychlost, pak ale není schopen vystihnout nekonečné trvání a vytvoří puls s dobou trvání přibližně rovnou mezní periodě (u CMG3-T např. cca 100 sec). V tom smyslu není rychlostní záznam "věrný", ale není divu, protože pro T > 100 sec již není jeho charakteristika konstantní, nýbrž pro f → 0 klesá. Nevratné posunutí Vzniká otázka, může-li seismograf naměřit i nevratné posunutí v okolí zlomu (které lze jinak změřit pomocí geodetických metod). To je spojeno s problémem registrace velmi nízkých frekvencí, v limitě dokonce f → 0. Předpokládejme, že pro nízké frekvence věrně registrujeme zrychlení, jak je tomu např. u mechanického seismografu, probraného výše. Pomocí nul a pólů není přístroj popsán úplně, je třeba zjistit instrumentální šum. Levné akcelerografy mají vysoké vlastní frekvence a na malých frekvencích vysoký instrumentální šum. Posunutí je tedy dáno dvojným integrálem z výstupního signálu ∫∫ ξ = u . Předpokládejme, že posunutí má tvar Heavisideovy fce, tedy rychlost je Diracova delta funkce a zrychlení jsou dvě delta fce s opačnými znaménky (viz obr.). Je-li zrychlení zaznamenáno věrně, má-li tedy tvar těchto dvou delta-funkcí, umíme si snadno představit numerickou dvojitou integraci v časové oblasti. kterou skutečně dospějeme zpátky k Heavisideově fci.

A( f ) a tak by se (2πif )2 mohlo zdát, že přechod je neuskutečnitelný kvůli dělení nulou na nulové frekvenci. V praxi to ale problém není. Dělení lze provést pro veškeré diskrétní frekvence N∆f, kde N je větší nebo rovno 1 a absence hodnoty f=0 nevadí. Podstatné je, že se zachytí prudký nárůst spektra posunutí směrem k nulové frekvenci, const. (1/f), což odpovídá skokové změně v časové oblasti, a že spektrum má správnou hodnotu const., která dává velikost skokového posunutí. Jak je tomu ale ve spektrální oblasti? Přechod k posunutí znamená dělení

Jediným problémem, zda tato teorie zafunguje nebo ne, je instrumentální šum akcelerografu na nízkých frekvencích, zmíněný již výše. Zrychlení musí být větší než tento šum. Proto je podstatná nejen věrnost zápisu zrychlení, ale také dostatečná velikost zrychlení. Záleží tedy i na čase, za který dojde k nevratnému posunutí. Pokud k němu dojde za dlouhou dobu, způsobí malé zrychlení, které se octne pod úrovní instrumentálního šumu a nevratné posunutí pomocí

akcelerografu nezjistíme. Můžeme ho ovšem zjistit na širokopásmovém přístroji, který má zpravidla nižší instrumentální šum na dlouhých periodách. Instalace přístroje, seismická stanice Přístroje mohou být nainstalovány např. na následujících místech: a) dům Typické pro dočasné instalace, např. studium dotřesových sérií. Obecně je každý dům špatný (sám se při pohybech půdy deformuje, působí na něj vítr,…). Hluboký sklep v domě nemusí být špatný, viz stanice PRA v budově MFF Ke Karlovu 3. Betonový pilíř spojený s pevným podložím. b) štola Např. stará zlatá štola, hornicky již dnes nevyužívaná, na stanici GFU v Kašperských Horách na Šumavě, která je jednou z nejlepších stanic ve střední Evropě (nízký šum). Taková stanice je schopná zaznamenávat velmi dlouhoperiodické kmity, včetně vlastních kmitů Země, ale též např. slapové pohyby. c) „studna“ d) vrt Na stanici je zpravidla několik přístrojů, blízko u sebe. SM akcelerografy musí být se zemí spojeny pevně (přišroubovány), protože silné pohyby mohou mít zrychlení srovnatelné s gravitačním. Přístroje potřebují stálé napájení stejnosměrným proudem. Baterie se dobíjejí ze sítě, příp. pomocí slunečních panelů. Stanice má anténu GPS (určujeme zeměpisnou délku, šířku, nadmořskou výšku a přesný čas), příp. anténu telemetrie. Musíme zajistit přesnou orientaci seismometru, tj. vodorovnou polohu a směr sever – jih. (Moderní seismografy mají všechny 3 složky v jedné krabici, dobrá vzájemná orientace tedy není problém). Směr sever - jih se určuje pomocí kompasu, ale není to jednoduchý úkol. (Základna přístroje má průměr jen cca 20cm.) Při přesném určování musíme vzít k úvahu i magnetickou deklinaci (odklon severního magnetického a geografického pólu). Akcelerografy či dočasné přístroje často nejsou orientovány N-S, E-W, ale např. kolmo či rovnoběžně se stěnou místnosti, což se někdy značí jako složky T a L a může to způsobit nebezpečnou záměnu se složkami longitudinálními a transverzálním, o nichž bude řeč na jiném místě; pak je nutno zjistit orientaci stěny a záznam matematicky "natočit" do složek N-S, E-W. Stanice by měla mít také: - měření šumu, pokud možno předběžné - znalost podloží, t.j. geologie a pokud možno i elastické parametry (stanice americké sítě USGS mají proměřen hloubkový průběh seis. rychlostí do hloubky ~30m) 6) registrace Digitální záznam se uchovává na magnetických médiích, např. pevných discích. Rozlišujeme dvojí typ registrace: a) spojitá registrace

Stále zaznamenáváme pohyby půdy a ukládáme na disky, např. hodinové záznamy.Typická vzorkovací frekvence je např. 4 Hz, u našich stanic MFF v Řecku je to 20 Hz. (Přístroj má vnitřní velmi vysokou vzorkovací frekvenci, z níž postupně provádí řídké převzorkování (decimace), přičemž se používá anti-alias filtr. b) spouštěná registrace (trigger) Tento typ registrace u starších přístrojů nebyl. U SM přístrojů bývala registrace spuštěna tehdy, pokud pohyb půdy přesáhl určitou hodnotu. Nevýhodou bylo, že se ztrácely informace o slabých začátcích pohybu půdy. (Starší SM neměly dokonce ani absolutní čas. Registrovalo se analogově, na film.) U dnešních přístrojů se používá následující spouštění: V paměti se stále uchovává nějaký úsek záznamu (kruhový buffer) a zjišťuje se, zda pohyb v tom úseku vyhovuje určitým zvoleným podmínkám. Spouštěcí algoritmy např. vyhodnocují STA a LTA (short/long time average). Porovnává se průměrná hodnota absolutní výchylky v obou úsecích. Zápis pohybu se spustí jen pokud poměr STA/LTA přesáhne nějakou hodnotu, např. 4. Zápis se zastaví po stanoveném čase, např. 3 minutách. V Řecku např. používáme pro STA úsek 1s, kdežto pro LTA úsek 50 s. Přístroj zaznamená přesný čas vybraného úseku. Pro absolutní čas se používá systém GPS (global position system). Signál z družice koriguje vnitřní křemenné hodiny v převodníku. Může docházet k systematickým či náhodným kolísáním přesnosti, což ovšem není problém GPS, nýbrž problém lokálních křemenných hodin. 7) binární záznam Objem dat je obrovský. Záznamy musejí být co nejvíce komprimovány. Mají různé binární formáty: GCF, SAC, SEED, GES,.. Specialista na tuto problematiku je dr. J.Zedník z GFÚ AV ČR. Doplňková četba

Manual of Seismological Practice Článek 1 Počítačová cvičení

SCREAM a SAM-INFO Profesionální software fy Guralp k prohlížení záznamů z našich řeckých stanic v binárním gcf formátu, možnost konverze do ASCII. Program KOREKCE. Instrumentální korekce ASCII záznamu. Lze použít či modifikovat parametry různých přístrojů. Lze kreslit amplitudovou a fázovou charakteristiku. Lze snadno modifikovat pro přímou úlohu, t.j. výpočet odezvy na jednoduchý vstup, např. delta-fci. a tak pochopit odlišnost přenosových vlastností jednotlivých přístrojů. Program ROTACE (vhodný až po probrání lokace) Primitivní program k rotaci E,N,Z záznamu do systému R,T,Z. Vyžaduje velmi pečlivě rozmyslet jak se zadává úhel otočení dvou souřadných soustav a jaká jsou znaménka jednotlivých složek. Je také zajímavé ověřovat, zda po rotaci vymizí P vlna na T složce, resp. jak by se musel modifikovat azimut oproti azimutu lokačnímu.

Lokace zemětřesení a seismicita Lokace (či též lokalizace) je základní úlohou studia každého zemětřesení, ale není vůbec jednoduchá. Rozlišujeme běžnou a detailní lokaci (relokaci). Běžná lokace je často jen hrubou aproximací, např. když ve studované síti musíme zpracovat až několik desítek jevů za den. Později se k vybraným jevům vracíme, zpracováváme je co nejlépe, používáme třeba i několik různých metod relokace. Výsledky tvoří podklad pro studium prostoro-časového rozložení zemětřesení (seismicita). Mnoho lokačních metod využívá časy příchodu seismických vln (P,S,…). Hlavní roli hrají vlny přicházející jako první. Většinou to jsou P, ale mohou to být také např. Pn. Je tomu tak proto, že čas prvního nasazení se odečítá nejlépe. Další nasazení, někdy též zvané "fáze", přicházející již "na pozadí" předchozích vln, se určují obtížně. Pro lokaci potřebujeme poměrně značnou vzorkovací frekvenci, při regionálních a místních zemětřeseních např. 100 Hz, případně i více. (V mnoha dalších seismologických úlohách však vystačíme s podstatně nižší vzorkovací frekvencí.) Potřebujeme také souřadnice stanic a obvykle ještě nějaký model prostředí. Musíme rozlišovat počet stanic a počet "čtení", čímž rozumíme počet odečtů časů příchodu jednotlivých "fází" ze seismogramu (např.pokud čteme z 1 záznamu vlny P i S máme 2 čtení). Minimální počet dat, z nichž lze za dobrých okolností lokovat, je cca 5 "čtení". Nechť x, y, z jsou souřadnice hypocentra a xst, yst, zst = 0, jsou souřadnice stanice. Ještě zaveďme označení H pro tzv. hypocentrální čas (čas vzniku). Čas příchodu studované vlny na i-tou stanici je ti = ti (x, y, z, H; xst, yst, zst). Následující odvození provedeme pro jednoduchost jen pro P vlny v homogenním prostředí, abychom snadno pochopili podstatu věci. Čas příchodu = čas vzniku + čas šíření: r 1 (xst − x )2 + ( y st − y )2 + (z st − z )2 , tP = H + =H+ vP vP kde tp je čas příchodu, vp rychlost šíření P vln. Je vidět, že určení souřadnic ohniska a času vzniku je obrácená úloha se 4 parametry, lineární v H a nelineární v parametrech x,y,z. Metody řešení nelineárních úloh lokace se dělí na dvě velké skupiny: a) globální, prohledávající celý prostor parametrů (např. systematické přebírání modelů, stochastické metody Monte Carlo, genetické algoritmy, nejbližší sousedi, atd.), b) lokální, pohybující se v okolí nějakého předpokládaného řešení (nulté aproximace), nejčastěji pomocí lineární aproximace studované nelineární funkce v tomto okolí – nejběžnější metoda. Dále se budeme věnovat pouze řešení pomocí linearizace. Rozložíme ti do Taylorova rozvoje a zanedbáme členy druhého a vyšších řádů. Tedy: ∂F t i = Fi ( x0 , y 0 , z 0 , H 0 ) + i (x − x0 ) + Κ ∂x x0 ti − Fi ( x0 , y0 , z 0 , H 0 ) =

∂Fi ∂x

( x − x0 ) + Κ x0

Výraz na levé straně nazveme časové reziduum (diference) o označme di. Dostáváme tedy vztah di = Gij.mj , kde G je matice parciálních derivací (pozor: co vše potřebujeme znát, abychom ji mohli spočítat ?), x – x0 = m1, atd…, tedy mj, j = 1,…,4 je počet parametrů, i = 1, … N je počet čtení (nebo počet stanic, viz výše), obecně N>4, jako příklad vezměme např. N=60. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1Κ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜Μ ⎟ = ⎜Μ ⎜ 60 ⎟ ⎜ 60 ⎝ ⎠ ⎝

4 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎟.⎜Μ⎟ ⎟ ⎜4⎟ ⎠⎝ ⎠

Máme úlohu s větším počtem rovnic než parametrů, tzv. formálně přeurčenou úlohu. Všem rovnicím tudíž nelze vyhovět přesně, musíme pracovat ve smyslu nějaké aproximace. (Proč se nesnažíme pro 4 hledané parametry sestavit právě 4 rovnice a řešit je přesně ?) Ei = di - Gij.mj Rozdíl E (vektor) chceme minimalizovat a můžeme si k tomu zvolit různou normu. Pro odhad chyb je nejschůdnější minimalizace vektoru E v L2 normě E L . Řešíme následující 2

∂E

2

=0 ∂mk Po úpravách (proveďte je !) dostaneme

soustavu

di.Gik = Gij.mj.Gik GkiT d i = GkiT Gij m j ρ ρ G T d = G T Gm Tak jsme dostali vlevo (4x60)(60x1) a vpravo (4x60)(60x4)(4x1)=(4x4)(4x1), na pravé straně máme tedy již čtvercovou matici (4x4), 4 rovnice pro 4 neznámé. Úlohu lze řešit v principu přesně (je-li dobře podmíněná). Lze použít např. eliminaci nebo kteroukoli jinou metodu. Elegantní (a pro odhad chyb vhodné) je řešení pomocí inverzní matice. Pokud soustavu vynásobíme (GTG)-1 zleva, dostaneme řešení v explicitním tvaru ρ ρ −1 GT G GT d = m

(

)

Problémy této metody 1) Matice GTG může být špatně podmíněná, tj. det G T G =&0 ⇔ sloupce nebo řádky jsou lineárně závislé, 1 vlastní číslo =&0 . Třebaže tedy formálně je úloha přeurčená, nemusíme být schopni všechny parametry určit. Pak někdy říkáme, že úloha je fyzikálně podurčená. Někdy

je možné a užitečné oddělit parametr způsobující špatnou podmíněnost a řešit jen zbývající (metoda singulárního rozkladu, SVD z angl. singular value decomposition). Grafická ilustrace špatné podmíněnosti: proložit přímku shlukem mnoha blízkých bodů. 2) Proč je v případě stanic na povrchu problém s určením hloubky? Použijme výše uvedený vzorec pro čas příchodu P vlny v homogenním prostředí a spočítejme parciální derivace (viz následující obrázek): ∂ t 1 x st − x sin γ = = r v ∂x v ∂ t 1 z st − z cos γ = = r v ∂z v

Vidíme, že parciální derivace času příchodu představují složky vektoru (tzv. vektoru pomalosti), jehož velikost je převrácená hodnota rychlosti a směr souvisí s úhlem východu "seismického paprsku" ze zdroje. To je důležitá vlastnost, která se zachová i v reálném případě, kdy budeme muset uvažovat nehomogenní prostředí. ∂t ∂t Obvykle platí, že z << x a tedy i << , což je jeden z důvodů obtížného určování ∂x ∂z hloubky; malá hodnota derivace ⇒ malý vliv a veličina málo ovlivňující pozorování se určuje špatně. Další důvod: Uvažujme (nerealistický) případ stanic na kružnici, všechny stanice se stejnou ∂t epicentrální vzdáleností. Pak budou derivace pro všechny stanice stejné (matice parc. ∂z ∂ti =1 pro každou derivací má v příslušném sloupci const (1,1,....)T . Uvážíme-li také že ∂H stanici, budou tyto dva sloupce matice lineárně závislé. V reálném případě nejsou stanice nikdy na kružnici, ale situace, kdy mají blízké epicentrální vzdálenosti, je možná. Přidáním S vln se může úloha výrazně stabilizovat (jak se změní matice parc. derivací ?). Poznámky 1) iterace ρ ρ T Při lokaci máme ve vektoru m přírůstky jednotlivých veličin, tedy m = (∆x, ∆y, ∆z , ∆H ) , nikoli přímo hledané parametry. Musíme tedy provádět několik iterací: x = x + ∆x. Souvisí to s tím, že lokační úloha je nelineární. Linearizované řešení nás dovádí k cíli postupně, po krocích, kterých je tím méně, čím je slabší nelinearita. Linearizovaný přístup ovšem také potřebuje dobré první přiblížení.

2) odhad chyb (neurčitosti) Dosud jsme minimalizovali vektor E, definovaný jako součet čtverců odchylek pozorovaných 2 a teoretických časů, pro který platí E 2 = ∑ (d i − Gij m j ) . Nyní tento vektor zobecníme

zavedením variance dat. Převrácená hodnota variance má význam vah. Budeme tedy 2 ( d i − Gij m j ) 2 minimalizovat E = ∑ . Roli "nové" matice Gij nyní hraje Gij/σi a podobně pro 2 σ id di.

( )

(

)

−1

Lze ukázat, že na diagonále matice G T G jsou variance jednotlivých parametrů (mimo diagonálu jsou čísla, o kterých zde nebudeme mluvit - obecně to nejsou nuly), což můžeme zapsat symbolicky takto: ⎛ σ x2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 σ 1 − ⎜ ⎟ y GT G = ⎜ ⎟ 2 σz ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ σ H ⎠ ⎝

(

)

Pokud si nejsme jisti velikostí variance dat nebo gaussovským rozložením chyb, jsou výsledné variance parametrů pouze relativní. Nemůžeme předpokládat, že daný parametr s pravděpodobností 99% leží v intervalu x ± σ . Relativní odhad má ovšem také velkou cenu. Např., pokud nám vyjde x = 10 ± 1 a y = 15 ± 5, víme pouze, že chyba v určení souřadnice y je 5-krát větší než v určení x. Taková situace může nastat např. tehdy, je-li většina stanic umístěna na východ od zemětřesení (ve směru osy y), žádná na západ, mnoho na sever od ohniska (ve směru osy x) hodně i na jih . Pak bude chyba v určení y větší než v určení x. Smysl má také relativní posouzení chyby mezi jednotlivými zemětřeseními navzájem. 3) chybová elipsa Chybové úsečky nám vymezují určitý obdélník (kvádr ve 3D). Je to dáno použitou kartézskou souřadnou soustavou. Je oprávněné podezření, že použití jiné souřadné soustavy nám chybové úsečky změní, takže se pídíme po informaci dané jen rozložením stanic vůči ohnisku, bez ohledu na zvolený souřadný systém. Takovou informaci poskytuje chybová elipsa (elipsoid ve 3D). Orientace hlavních os elipsoidu a délka těchto os je dána vlastními čísly a vlastními

(

)

−1

vektory matice G T G . Čím je menší vlastní číslo, tím protaženější elipsu dostaneme, což znamená velkou nepřesnost ve směru protažení. (Načrtněte možný chybový elipsoid pro případ lokace zemětřesení, nacházejícího se uvnitř sítě, pro případ lokace jen z P vln. Návod uvažte, jak dobře-špatně je úloha podmíněná a jak vypadá vlastní číslo související s hloubkou.) Výhoda elipsoidu je i v tom, že pokud je jedna osa hodně velká a druhá hodně malá, v mnoha jiných s. soustavách bychom mohli mít chybný dojem, že chyba v x a y je souměřitelná (schematicky obrazek). 4) na čem závisí kvalita lokace a jak se pozná problematická situace

a) variance dat – veličina σd Můžeme přiřadit každé stanici jinak, podle šumu (respektive poměru šum/signál), vzorkovací frekvence, vzdálenosti od zdroje. Mohlo by se zdát, že při vzorkovací frekvenci např. 0.01 s je možno položit σd = 0.01, ale vede to k nerealisticky malému odhadu lokační chyby. Lepší je

položit σd rovno standardní odchylce pozorovaných časů příchodu od výsledných časů teoretických, vzorec ...., např. σd = 0.3 sec. b) rozložení stanic (konfigurace seismické sítě) Pro ocenění tohoto typu chyby je metoda velmi vhodná, ale pozor, při výpočtu chyby musíme předpokládat nějakou polohu ohniska. (Parciální derivace počítáme v nějakém zvoleném bodě.) c) model prostředí Do lokace vstupují parciální derivace času šíření, které počítáme pomocí nějakého modelu prostředí. Model prostředí může být dvojím zdrojem chyb: Model sám nemusí být realistický (fyzikálně správný), např. má špatnou hodnotu rychlosti šíření – toto obvykle „nevidím“, dokud nedojde např. k tomu, že model dává nesmyslné hloubky. Vliv špatného modelu tato analýza chyb nepodchytí. Vyplatí se opakovaně lokovat zemětřesení v několika modelech, jsou-li k dispozici. Model vcelku správně zachycuje rozložení rychlostí, ale není realistický např. tím, že místo spojité změny uvažujeme změnu nespojitou, je nevhodně matematicky vyjádřen, např. pomocí skokové funkce. Tento zdroj chyb obvykle rozpoznáme tak, že pokud spočteme varianci parametrů jako funkci předpokládané polohy, bude vykazovat prudké změny na plochách nespojitosti parametrů. Nebo se ohniska začnou kupit podél některého rozhraní. Další problém je v tom, že většinou je k dispozici jen 1D model, což nevystihuje skutečnou 3D nehomogenitu. d) místní podmínky Místními podmínkami rozumíme např. horních několik metrů až stovek metrů pod stanicí. To je sice jen spec. případ 3D nehomogenity, ale je snáze podchytitelný. Pokud lokujeme mnoho zemětřesení stejnou sítí stanic s použitím jediného modelu, můžeme odchylky pozorovaných a vypočtených časů pro výsledné lokace statisticky vyhodnotit. Tak najdeme systematické chyby, pozorované časy o ně opravíme (staniční korekce) a lokaci provedeme s takto opravenými časy. 5) společná inverze ohniska a prostředí Místo výše zmíněné opakované lokace v několika modelech lze řešit obrácenou úlohu, kde kromě polohy ohnisek figurují i parametry modelu. 6) společná inverze mnoha blízkých ohnisek Používají se např.při studiu dotřesových sérií. Pokud jsou ohniska dotřesů rozmístěna difúzně, nepůsobí to důvěryhodně. Relativní lokace může obraz ohnisek "zaostřit", ohniska "zkoncentrovat".

(Joint hypocentral determination) Stejné rovnice, spojující časy, parametry a parc. derivace, ale vše dohromady v jedné úloze. Např. místo vektoru dat tvořeného časy pro 1 jev na 5 stanicích máme vektor tvořený časy 1. jevu na 5 stanicích a ještě časy 2. jevu na 7 stanicích. Podobně máme zvětšen počet parametrů i počet prvků matice. Jaká je výhoda oproti lokaci každého jevu samostatně? Dospějeme k rozložení ohnisek, které implicitně obsahuje lepší

kompenzaci neshody mezi daty a výpočtem než kdybychom nalezli individuální ohniska a pak je zprůměrovali nebo nějak jinak dodatečně ohniska "zaostřili", eliminovali "úlety". Protože ohniska leží blízko sebe, je to podobné, jako kdybychom zvětšili počet měření. Jedno každé individuální zemětřesení bude mít ovšem pochopitelně větší RMS než kdyby bylo lokováno samostatně. (K čemu by ale bylo malé RMS z malého počtu měření....) Poznámka: Pozor, není snadné rozhodnout, mají-li ohniska "nerealisticky" velký rozptyl. Obvykle se soudí, že dotřesy mapují zlomovou plochu hlavního otřesu, tedy neměly by zaujímat oblast výrazně větší než ohnisko hlavního otřesu. To ale platí jen pro největší a rané dotřesy. Ohnisko může aktivizovat různě veliké okolí, takže ani oblast výrazně větší než hlavní otřes nemusí být nerealistická, zejm. když sledujeme aktivitu delší dobu po hlavním otřesu. 7) relativní metody

- metoda Master event lokujeme jev vůči hlavnímu jevu, sestavíme podobné rovnice jako výše, ale data jsou tvořena rozdíly času šíření na danou stanici od studovaného jevu a od hlavního jevu - metoda DD (double diferences – dvojité diference) lokujeme 2 dotřesy vzájemně vůči sobě, data jsou tvořena rozdíly času šíření na danou stanici od dvou studovaných jevů - metoda DS (double station), zvolíme jednu stanici jako opěrnou a lokujeme tak, že modelujeme rozdíly času šíření na jednotlivé stanice vůči zvolené opěrné stanici, pak zvolíme jinou stanici za opěrnou a vše opakujeme. Výhoda: čas příchodu (ti) = čas vzniku (H) + čas šíření (τi). Pokud vypočteme rozdíl dvou časů příchodu, dostaneme rozdíl časů šíření a čas vzniku se eliminuje. I jiné metody eliminují hypocentrální čas. Např. Wadatiho metoda z poč. 20.století: Mějme model homogenního prostředí. V takovém modelu pro časy šíření vln P a S platí: r r τP = a τS = vS vP ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ r ⎛ vP ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ τ S − τ P = r ⎜⎜ − ⎟⎟ = ⎠ ⎝ vS v P ⎠ v P ⎝ vS rozdíl časů příchodu můžeme tedy vyjádřit takto ⎞ ⎛v t S − t P = (t P − H )⎜⎜ P − 1 ⎟⎟ ⎠ ⎝ vS

V ohnisku je t S − t P = 0, a tp = H. Vyneseme-li do grafu závislost t S − t P na tp a najdeme průsečík s osou tp, najdeme tím hodnotu H. Tato metoda se dá zobecnit i pro nehomogenní prostředí. Pro časy šíření v tomto prostředí platí: ds ds τP = ∫ a τS = ∫ v P (s ) v S (s ) takže, pokud předpokládáme, že v celém modelu platí v P ( z ) = const.v S ( z ) , dostaneme podobný postup určení H.

Eliminace času vzniku odstraňuje špatnou podmíněnost zmíněnou výše (lin. závislost sloupce odpovídajícího času vzniku a sloupce odpovídajícího hloubce). Uvedená metoda je důležitá také proto, že sklon grafu umožňuje odhad poměru rychlostí P a S vln. 8) nelineární metody – např. GS (grid search) Odpadají problémy s parc. derivacemi, problémy se špatnou podmíněností, problémy s nutností dobrého prvního přiblížení, atd. Hlavní výhoda je, že celou chybovou funkci můžeme "mapovat". Můžeme zjistit a vhodně posoudit situace kdy minimum je ploché nebo kdy je minim několik. (Pozor, pravé minimum dokonce nemusí být to nehlubší, protože úloha obsahuje nepřesná data a nepřesný model.)

Použijeme-li nelin. metodu, je nutno eliminovat čas vzniku. Bylo by nelogické hledat čas vniku např. metodou systematického přebírání, protože lokační úloha je vůči času vzniku lineární. Postupujeme proto tak, že při určité právě testované (tedy "známé") poloze ohniska jednoduše čas vzniku H dopočítáme pomocí času příchodu ti a času šíření τi do jednotlivých N stanic: H= Σ (ti - τi) /N. Tento vzorec vyplývá z minimalizace součtu čtverců odchylek Σ (ti (H+τi))2 podle H. Pak přejdeme na další testovanou polohu, atd. Dochází-li v dané úloze ale k přelévání neurčitosti mezi hloubkou a časem vzniku, např. když lokujeme bez S vln, uvedená metoda nás tohoto jevu nezbaví. Příklady lokace zemětřesení a využití lokačních výsledků

1) Atény 1999 Ničivé zemětřesení ze 7.9. 1999 na předměstí Atén, magnitudo 5.9 (viz kapitolu o účincích). Dočasná síť 30 stanic, postavená v okolí epicentra pracovníky univerzity v Patrasu. Zaznamenáno několik tisíc dotřesů. Lokace cca 300 dobře zaznamenaných jevů. Spoluúčast MFF na lokaci (J. Janský, O. Smrž). GS v homogenním poloprostoru s optimalizací poměru vp/vS. Na tomto příkladu je dobře vidět, jak kvalitní data a pečlivé zpracování mohou zjistit, že (hlavně rané) dotřesy se kupí do více méně plošného útvaru. Jeho azimut a sklon velmi dobře souhlasí s jednou z nodálních ploch hlavního otřesu, určenou při studiu mechanizmu ohniska. Je zajímavá i neurčitost, spec. provázanost hodnot veličin vp/vS a vp. Jinak řečeno, chybová fce lokace nemá jediné minimum, ale spíše "údolí", kde datům lze vyhovět stejně dobře mnoha různými kombinacemi vp/vS a vp. Geologicky jsou v dané oblasti dva možné zlomy (viditelné i na snímcích). Protože zlomový proces nedosáhl až na povrch, nebylo zprvu zcela jasné, který zlom zemětřesení způsobil. Myšlený průsečík zjištěné zlomové plochy se zemským povrchem však dobře souhlasí s jedním z nich (zlom Fili). Později se to potvrdilo i geodetickým studiem (okem neviditelného) nevratného posunutí, na základě interferometrických metod snímkování povrchu z družic. 2) Skyros 2002 Významné zemětřesení na jednom z ostrovů v severozápadní části Egejského moře 26. 7. 2002, magnitudo 6.2. Epicentrum v moři, takže naštěstí jen malé ničivé účinky. Lokováno v permanentní řecké síti NOA (N. Melis). Bylo zjištěno (V. Karakostas), že lze rozlišit dvojí typ dotřesů: - vázány na zlomovou plochu - vybuzeny coulombovským napětím

Výpočet pole přírůstkového napětí, vyvolaného hlavním otřesem ukazuje sektory zvýšeného a sníženého napětí. Dotřesy se (kromě zlomové plochy) vyskytovaly právě v sektorech zvýšeného napětí. Je to určitý typ migrace aktivity, následující v prvních hodinách nebo dnech po hlavním otřesu. EC projekt PRESAP, kterého se naše katedra účastnila, byl také zaměřen na tuto problematiku, s cílem odhadnout (co nejdříve po hlavním dotřesu) místa zvýšené pravděpodobnosti silných dotřesů. Zemětřesením Skyros se ale projekt PRESAP přímo nezabýval. Zemětřesení Skyros jsme ale na katedře podrobněji studovali z hlediska jeho mechanizmu a šíření trhliny (práce J. Z. v časopise Studia Geoph. Geod.). Modelováním seismogramů se podařilo vybrat mezi nodálními rovinami tu, která je rovinou zlomu. Zlom tak byl identifikován jako levostranný, což je v dané oblastí vzácné. Dále se vypočetlo, že trhlina se šířila od NW k SE, čímž lze vysvětlit zvýšené makroseismické účinky na ostrově Skyros oproti severněji položenému ostrovu Alonissos. 3) Lefkada 2003 Silné zemětřesení v Ionském moři 14. 8. 2003, magnitudo 6.5. Příklad podrobné lokace cca 300 dotřesů v západořecké permanentní síti stanic PATNET (A. Serpetsidaki). Je vidět neurčitost daná nedokonalou znalostí zemské kůry (3 modely kůry dávají trochu jiné lokace). Dobrý příklad, kdy ohnisko je mimo síť stanic (stanice jsou jen na pevnině, východně od ohniska, nikoli na západ, v Ionském moři), takže lokační chyba ve směru EW je výrazně větší než ve směru NS. Zajímavé jsou dva shluky dotřesů. Modelováním seismogramů regionálních stanic bylo zjištěno (Zahradník et al., práce v Bull. Seism. Soc. Am.), že zemětřesení bylo "dvojité", trhliny vznikly nejprve na Lefkadě a cca za 12 sec na Kefallonii, asi o 40 km na zlomové ploše směrem k jihozápadu. 4) Egion 2001 Zemětřesení v Korintském zálivu z 8.4. 2001 o magnitudu 4.5. Mnoho slabších jevů před i po, aktivita od března do května. Spíše jde o zemětřesný „roj“, což je podobná situace jako v západních Čechách. Na katedře jsme se zabývali lokací (J. Janský et al.) a mechanizmem ohniska (J. Zahradník). K lokaci byla použita data PATNETu a mnoho různým metod, např. metoda GS (grid search) a metoda DS (double station), byla vymapována chybová fce. Lokační hloubka byla dlouho výrazně větší (> 10 km) než optimální hloubka získaná ze studia mechanizmu (8 km). Lokální francouzsko–řecká síť CRL ale také lokovala hloubky cca 8 km. Problém PATNET lokace byl hlavně v absenci čtení S vln, protože jsou to jednosložkové stanice (jen vertikální složka). Je problém s vysvětlením příčiny této sekvence. Prostorové rozložení ohnisek zahrnuje oblast daleko větší než zlomová ploch hlavního otřesu. Ohniska ani mechanismus hlavních otřesů nesouvisejí jednoduše s žádným známým povrchovým zlomem a o hlubinných zlomech je několik rozdílných hypotéz. 5) vymezení desek Znalost seismicity byla základním zdrojem informace pro vymezení litosférických desek a stále více upřesňuje tektonický obraz Země. Ohniska mapují hranice desek. Existují tzv. seismické „pásy“ : - 2 základní poměrně široké pásy (Středomoří a kolem Tichého oceánu) - užší pásy slabších zemětřesení na oceánských hřbetech (např. uprostřed Atlantského oceánu) - detaily, viz např. kombinaci mnoha rozdílných tektonických hranic v oblasti Řecka a Turecka, Fig. 4-6 - detaily na našem území 6) spec. případ zanořování desek

Specifické rozložení ohnisek v hloubkových řezech některých oblastí, např. záp.pobřeží Jižní Ameriky (Wadati-Benioffovy zóny) vedlo k objevu subdukujících desek. Uvnitř těchto oblastí jsou místa bez ohnisek, která se nacházejí pod aktivními vulkány (J. Vaněk, V. Hanuš). 7) oblasti seismického klidu Místa dlouhodobě bez zemětřesení uvnitř seismoaktivní zlomové linie. Někdy se též označuje jako "mezera" (angl. gap). Např. na Anatolském zlomu v Turecku, u Sumatry, atd. Významný prvek dlouhodobé předpovědi míst nejnáchylnějších k výskytu budoucího velkého zemětřesení. 8) četnost zemětřesení různé velikosti Studium seismicity definuje ohniskové oblasti a pro každou z nich umožňuje najít vztah mezi velikostí jevů a jejich počtem. Označme jako N počet zemětřesení za 1 rok o magnitudu větším než M, pak log N = a – bM. Celosvětově platí přibližně a=8, b=1. To jsou tzv. Gutenberg-Richterovy vztahy, neboli N(M) vztahy, četnostní vztahy. Pro každou oblast obecně jiné. Problémy určení GR vztahu, velkých zemětřesení je málo a malá zemětřesení zase nemáme zaznamenána všechna. Koeficient b v četnostních vztazích může souviset s nehomogenitou prostředí a stavem zlomové plochy. Mapování tzv. apserit. Není vyloučeno, že se parametr b mění také s časem. (Před velkým zemětřesením občas roste počet zemětřesení o 1-2 jednotky menším.) Výzkum prostoro-časových změn b je významnou součástí problematiky predikce zemětřesení. Podrobnosti článek Burjánek et al., Čs. čas. fyz. Jiné využití GR: Můžeme odhadovat počet zemětřesení určité velikosti za určitou dobu nebo naopak "rekurenční" dobu. Pokud kombinujeme tyto četnostní vztahy se vztahy pro úbytek účinků se vzdáleností, např. úbytek makroseismické intenzity I nebo maximálního zrychlení s epicentrální vzdáleností, můžeme získat seismické ohrožení pro danou oblast. Pravděpodobnost, že v daném místě bude (nebude) překročena jistá intenzita za jistou dobu. f) hodochrony Hodochrona je závislost času příchodu vlny na epicentrální vzdálenosti, případně ještě také na hloubce (pokud se nedá považovat za zanedbatelně malou). Závislost na azimutu neuvažujeme. V tom smyslu hodochrony odrážejí pouze závislost rychlosti šíření na hloubce. Laterální variace, pokud je chceme vzít v úvahu, vedou k tomu, že máme různé hodochrony pro různé oblasti. Např. jiné ve střední Evropě a jiné ve Středomoří. Každý typ vln (fáze, např. P, S, PP, atd.) má svou hodochronu, nebo můžeme říkat větev hodochrony. K sestrojení hodochrony z pozorování potřebujeme nejen přesné měření časů příchodu vln, ale také dobrou znalost epicentrální vzdálenosti, hloubky a hypocentrálního času, čili dobrou lokaci. Hodochrony slouží k dvěma účelům: lokace a strukturální výzkum. Co se lokace týče, je zde tedy logický kruh, v dané oblasti po léta zpřesňujeme lokace s nějakými hodochronami, pak sestavíme nové, lepší hodochrony, atd. (v metodách společné lokace a strukturního výzkumu toto někdy děláme najednou). O použití hodochron k lokaci byla řeč v předchozích částech této kapitoly. Co se týče strukturního výzkumu, odkazujeme hlavně na skripta O. Novotného. Zde jen stručně. Rychlosti šíření v závislosti na hloubce v(z) lze získat pomocí WiechertHerglotzovy metody.

g) epic. vzdálenost a azimut Po provedení lokace je možno pro každou stanici vypočítat její epicentrální vzdálenost D a azimut A. D se měří jako úhel na hlavní kružnici mezi epicentrem a stanicí. Jeden úhlový stupeň odpovídá cca 111 km. A se měří jako úhel mezi touto hlavní kružnicí a místním poledníkem procházejícím epicentrem (A se počítá směrem od severu ve směru hodinových ručiček). Nakreslete sférický trojúhelník, jehož vrcholy tvoří epicentrum, stanice a severní pól. Odvoďte z něj (pomocí kosinové a sinové věty) vzorce pro D a A s využitím zeměpisné šířky epicentra a stanice (fe, fs) a zeměpisné délky epicentra a stanice (de,ds): cos D = sin fe sin fs + cos fe cos fs cos (ds-de) sin A = {sin (ds-de) cos fs} / sin D Tzv. zpětný azimut je naopak azimut epicentra vůči stanici. V praxi je kulová aproximace Země málo přesná. Pracuje se s elipsoidem a používají se hotové programy, neboť úloha je značně složitá. h) rotace složek Je-li známá lokace, můžeme předpokládat, že P vlna přichází ve směru výše zmíněné hlavní kruřnice, čili je dána (geometrickým) azimutem A. Ve skutečnosti je skutečný azimut poněkud jiný (v důsledku 3D nehomogenity Země), ale to zde neuvažujeme. Záznam ve složkách NS, EW je pak možno rotovat do složek mířících od epicentra na stanici (radiální složka, R) a kolmo na tento směr (transverzální složka, T). Velmi triviální úloha a snad práve proto se v ní často udělá chyba. Jsou níže uvedený úsek programu správný ? arot=A*pi/180. T= EW*cos(arot)-NS*sin(arot) R= EW*sin(arot)+NS*cos(arot) Příloha: Program ROTACE.FOR Příloha: Základní vlastnosti prostorových vln P a S: soubor se vzorci Příloha: Vlny v malých vzdálenostech od zdroje. Kůra jako homogenní vrstva na poloprostoru. Mohorovičičovo rozhraní (Moho). Vlny Pg, PmP, Pn. Analogicky pro S. Příloha: U středně hlubokých a hlubokých zemětřesení se vyskytují také tzv. hloubkové fáze, např.pP (vlna šířící se z hypocentra na povrch, od kterého se odrážejí, znovu se zanoří do hloubky, otočí a dorazí na stanici). Fáze pP může být velmi silná. Pokud přijde odděleně od P, můžeme využít čas příchodu pP k určení hloubky. Podobně sP.

Dodatek: Platí tzv. Láskovo pravidlo: (t S − t P )min − 1 =&∆1000km Doplňková četba

Lee & Wallace, str. 217-235 Počítačová cvičení

Program LOCUNC Linearizovaná lokace a lokační neurčitost pomocí kovarianční matice; m.j. realizuje numerický příklad z Lee & Wallace.

Principy a základní poznatky strukturální seismologie Hlavní data - hodochrony seismických vln (kap. 04) - disperzní křivky povrchových vln (kap. 06) - periody vlastních kmitů Země Budoucnost patří využití kompletních seismogramů. Wiechert-Herglotzova metoda Výjimečně jednoduchý případ, kdy lze určit 1D model hloubkového průběhu rychlosti P vln v(z) jednoznačně, "přímým" výpočtem, nemá charakter běžných obrácených úloh. Velmi silné předpoklady: Musí být k dispozici spojitá hodochrona, odpovídající rychlosti v(z) rostoucí s hloubkou, žádný kanál snížených rychlostí. Data nutno upravit tak, aby se těmto předpokladům vyhovělo. Z časů příchodu pak můžeme určit rychlost jako funkci hloubky v(z) nebo jako funkci vzdálenosti od středu Země r. Pro parametr paprsku ve sféricky symetrickém prostředí (viz cvičení) platí r.sin i (r ) p= , v(r ) kde i(r) je úhel paprsku vůči svislici (spojnicí se středem Země). Parametr paprsku se rovná dt derivaci hodochrony, tedy p = . Pro čas příchodu t platí d∆ R rdr t = 2. ∫ 2 2 2 rmin v r − p v

Po zdlouhavém odvození (skripta O.Novotného) se získá W.-H. rovnice pro polohu minima paprsku:

ln rmin = ln R −

1

∆1

p( ∆ )

arg cosh d∆ π ∫ p( ∆ ) 0

1

Zvolíme nějakou epicentrální vzdálenost ∆1, z hodochron zjistíme parametr paprsku pro tuto dt a pro veškeré vzdálenosti menší než delta ∆1. Spočteme rmin podle W.-H. vzdálenost p = d∆ ∆1 rmin .1 a spočteného rmin určíme v(rmin). Postup opakujeme pro další v(rmin ) paprsky, čili další hloubky a odpovídající rychlosti.

rovnice. Ze vztahu p =

Určovat derivaci hodochrony není jednoduché. Ideální je "měřit" derivaci pomocí skupinových stanic (angl. arrays), kde "měřením" rozumíme zjišťování rozdílu času příchodu do blízkých stanic. Ereje se budovaly v 60. létech k vojenským účelům detekce jaderných explozí a později posloužily k nalezení detailů pláště.

Další obrácené úlohy 1D W.H. má omezené použití. Pro kombinaci hodochron a ostatních dat zmíněných v úvodu této kapitoly, jakož i pro studie obsahující kanály, se dá použít nepřeberné množství nelineárních nebo linearizovaných metod řešení obrácených úloh. Poskytují současně účinný odhad "pásů" neurčitosti, uvnitř nichž se nachází skutečný (ale neznámý) rychlostní řez. Poznatky o 1D struktuře Většina historických poznatků o globální stavbě Země byla dosažena s tak jednoduchými daty jakými jsou časy příchodu seismických vln, zejména prvních nasazení. Totéž platí o soudobých výzkumech v menších prostorových měřítcích. Další v pořadí důležitosti jsou disperzní křivky. Vlastní kmity a kompletní seismogramy se používají sporadicky k některým detailním studiím.

1) Zemská kůra V epicentrálních vzdálenostech do několika set kilometrů jsou hlavní tři fáze prostorových vln: Pg, Pn , PMP (a také tři analogické fáze S vln) – obr5-4. V modelu vrstvy na poloprostoru jim odpovídá přímá vlna, čelná vlna od Moho a odražená od Moho. Jejich skutečná fyzikální povaha v nehomogenní kůře je však složitější. Dále, počínaje cca 100 km, jsou důležité i některé typy povrchových vln, např. Lg (viz níže). Na záznamech mají největší amplitudy, ale jejich použití pro strukturní výzkum je podstatně komplikovanější než použití prostorových fází. Hodochrony základních šesti fází prostorových P a S vln lze získat buď s použitím přirozených zemětřesení nebo s použitím řízených zdrojů (velké exploze nebo vibrátory). Historicky vše začalo od zemětřesení, objev rozhraní mezi kůrou a pláštěm pomocí Pn vln, Andrija Mohorovičič. Řízené zdroje lepší: jsou tam kde je potřebujeme, máme přesný čas vzniku a známou hloubku, poněkud problematické je, že odpaly jsou na povrchu (povrch vrstvy budí intenzivní povrchové vlny představující pro nás v těchto výzkumech šum.) Řízené zdroje používáme při tzv. aktivních seismických experimentech, což jsou nejčastěji profilová měření (2D modely). Z hodochron se určuje mocnost kůry (tedy hloubka MOHO) a vp(z) nebo vp(x,z) – podél profilu. Takováto měření se prováděla např. v projektu CELEBRATION (dr. P.Hrubcová GFÚ AV ČR). Základem pro výpočet rychlostí je paprsková teorie, pomocí níž se určují

syntetické časy příchodu. Modelování kompletního vlnového pole (nejen časů, ale celých seismogramů) pro účely strukturních výzkumů je v počátcích. 2) Pláštˇ a jádro Na seismogramech vzdálených (teleseismických) jevů lze rozeznat mnoho vln, šířících se v plášti a jádře, např.: P (přímá vlna) PP (jednou odražená od povrchu) pP (obdoba PP, kde ale paprsek opouští zdroj pod úhlem východu větším než 90°) PS (opustila zdroj jako P, ale při odrazu od povrchu konvertovala na S) PcP (odražená od jádra) PKP (prošlá jádrem) PKIKP (prošlá vnitřním jádrem) Podrobnosti viz "slovník fází” (seis_faze1.pdf) a program TTIME. OBR hodochron obr5-1 a k němu obr. seismogramů obr5-2. Pro lepší znázornění hodochrony používáme tzv.redukci hodochrony, kdy místo času vynesu T – 8∆ (redukovaný čas). Hlavní poznatky získané interpretací hodochron (a částečně i amplitud): Jádro původně indikováno geologicky (existence kamenných a železných meteoritů), seismicky objeveno (Oldham) z časů P do ∆ = 1800, později potvrzeno existencí stínu jádra začínajícího kolem ∆ = 1050. Komplikovaná struktura pláště pro z < 1000 km, prudce vzrůstá rychlost P vln vP. Dále vzrůst pomalejší až do rozhraní jádro-plášť (CMB, z angl. core-mantle boundary)-obr5-3. Skok (pokles) rychlostí na rozhraní jádro-plášť – obr5-5. Po zemském povrchu druhé nejsilnější rozhraní. Jeden z důsledků je tzv. stín jádra – oblast kde se nevyskytují P vlny. To ovšem neznamená, že tam (∆ > 1050) nejsou žádné jiné vlny. Nepokračuje tam hodochrona P, ale existují pozdější fáze, např. PP. V jádře se nešíří S vlny, je tedy kapalné. Další důkazy: slapy a vl. kmity Země. Stín jádra není až do kaustiky, existují prekurzory pro ∆ < 1450. Tyto vlny byly vysvětleny jako vlny PKIKP, důkaz existence vnitřního jádro (jadérko). Lehmanová, 30. léta 20.století. Vnitřní jádro je pevné. Hypotézu podal Bullen, 40. léta, viz níže. Observační důkaz až vlastní kmity Země, 60. léta. V plášti existuje kanál snížených rychlostí, tzv. astenosféra. B. Gutenberg objevil kanál na základě zvláštního chování amplitud seis. vln ve vzdálenostech okolo 20 stupňů. Pokles amplitud s rostoucí vzdáleností je v oblasti 20 stupňů vystřídán silným vzrůstem. Diskontinuity ve 410 km a 660 km. Anizotropie (zejm. z tzv. štěpení S vln: Babluška, Plomerová Vecsey-GFÚ; výzkum se většinou provádí "pod stanicí", např. s využitím teleseismických záznamů; tzv. pasívní seismické experimenty pro jednotlivé tektonické oblasti Evropy). Útlum, např. určování Q faktoru z prodlužování doby trvání P pulzu se vzdáleností od zdroje. Dodatek (Bullenova hypotéza pevného vnitřního jádra) Pro rychlosti P a S vlny platí známé vztahy λ + 2µ µ vP = a vS =

ρ

ρ

Pokud určíme v Zemi hloubkový průběh vp, vs, nemůžeme bezprostředně stanovit průběh λ a µ. Potřebujeme hustotu. Wiliamson-Adamsova rovnice. Pak již lze určit λ a µ. Dále vede cesta přes nestlačitelnost. 2 Pro nestlačitelnost k platí : k = λ + µ . Důležitý výsledek je, že na CMB je spojitá. Dále 3 uvažujme kombinaci (někdy označovanou jako parametr Φ) v P2 −

4 2 λ + 2µ 4 µ λ + 2 / 3µ k vS = − = = ρ ρ ρ 3 3ρ

K. Bullen věděl, že na rozhraní vnějšího a vnitřního jádra vp roste a chtěl to vysvětlit. Předpokládal, že to nemůže být dáno skokovým vzrůstem nestlačitelnosti k (která je spojitá dokonce i na tak významném rozhraní, jakým je rozhraní plášť/jádro) – obr5-5. Současně předpokládal, že ρ nemůže s hloubkou klesat. Logicky tedy z poslední rovnice plyne, že ve vnitřním jádře musí být skokový růst vS, čili vzrůst z nulové na hodnoty na nějakou nenulovou. Vnitřní jádro tedy musí být pevné. Přechod od 1D a 2D modelů k 3D modelům V regionálním měřítku např. tak, že se zpracuje několik různých profilů. Nebo se sjednocují měření a poznatky, týkající se jednotlivých geologických celků, takže se dostane pro každý z nich jiný model. V globálním měřítku se např. odděleně studuje kontinentální a oceánická stavba, nebo se odlišují tektonicky stabilní a aktivní oblasti. Ideální (a současně nejobtížnější) je konstruovat přímo 3D modely. Seismická tomografie (3D strukturní výzkum) Princip seismické tomografie je podobný lékařské tomografii, jen s tím rozdílem, že používáme seismické vlny vzniklé při zemětřeseních nebo odpalech. Nejběžnější je tomografie kinematická, z časů příchodu. Lze zobecnit a zapojit amplitudy a jiné parametry vln. Dále jen kinematická metoda. Ze známých časů příchodů určujeme v(x,y,z). Přesněji řečeno, máme nějaký předběžný model (1D nebo 3D), známe pro něj teoretické časy příchodu tteor a ty se liší od skutečných časů tskut. Odchylky (časová rezidua) ∆t = t teor − t skut představují data, z nichž se snažíme odvodit opravu předběžného modelu, s níž bychom se lépe přiblížili skutečnosti. Předpokládáme, že skutečnou rychlost lze zapsal v následujícím tvaru v skut ( x, y , z ) = v ( z ) − ∆v ( x, y , z ) Časové reziduum pak můžeme zapsat ve tvaru rozdílu dvou integrálů podél rozdílných paprsků. Zásadní předpoklad je, že předběžný odhad není špatný, hledané odchylky jsou malé, takže lze integrovat po stejném (známém) paprsku. 1 ⎞ ds ds ⎛1 ∆t = ∫ − ∫ =& ∫ ⎜ − ⎟ds v ( z ) paprsek v − ∆v paprsek ⎝ v v − ∆v ⎠ paprsek teoretický

skutečku

teoretický

Použijeme aproximaci 1/(1-a) = 1+a pro a << 1. Zavedeme tzv. pomalost g =1/v. S použitím ∆g = -∆v/v2 můžeme pak vztah přepsat do tvaru ∆t = ∫ [g ( s ) − (g ( s ) − ∆g ( s ) )]ds = ∫ ∆g ( s )ds

Po diskretizaci pak máme pro jedno reziduum jednu lineární kombinaci, v níž figuruje N známých hodnot paprskového elementu a N parametrů (neznámých hodnot přírůstku pomalosti) N

∆t = ∑ ∆g j ds j j =1

Přejdeme k případu "prozáření" studované oblasti, t.j. mnoho dvojic zdroj-přijímač. Pro k-tou dvojici (k-tý paprsek, k-té reziduum) platí N

∆t K = ∑ ∆g j ds Kj , j =1

kde N je počet buněk, na které jsme rozdělili studovanou oblast. Úloha je podobná lokaci, ale je mnohem složitější, protože počet parametrů (přírůstků pomalosti v buňkách) je veliký. Počet dvojic zdroj-přijímač musí být ještě mnohem větší, úloha je formálně přeurčená. Pro některé parametry nemáme informaci žádnou (buňkou neprochází žádný paprsek), pak je úloha fyzikálně podurčená a začínají velké problémy se špatnou podmíněností a s rozlišením. Problematika rozlišení v globální tomografii: dipl. práce M. Běhounkové. Příklady regionální tomografie: Korintský záliv, celé Řecko. Pozn.: Metody tzv. reflexních měření (2D a 3D), masivně používané např. v naftovém průzkumu, umožňují detailně modelovat tvar relativně mělkých podzemních nehomogenit, řádově do 1 km, např. tvar dna pánví, solných pňů, uhelných slojí, atd. Používají se jak na souši, tak na moři. Využívají odpalů, úderů (padající závaží, kladiva) nebo vibrátorů. Matematicky jsou založeny na paprskových metodách a metodách konečných diferencí. Vyžadují samostatný text.

Povrchové vlny Základní empirické poznatky (z pozorování):

a) Ve větších epicentrálních vzdálenostech a nepříliš hlubokém ohnisku jsou povrchové vlny na záznamech dominantní vlnovou skupinou (jsou silnější než prostorové vlny). Zjednodušený výklad: Amplituda A vlny souvisí s hustotou energie E, t.j. A ~ E . Povrchové vlny jsou vázány na vrstvu (zjednodušeně řekněme na plochu), zatímco prostorové vlny jsou vázány na objem. Označme plošný a objemový element dS, dV. Pak dostaneme pro povrchové vlny konst 1 A~ = , dS r zatímco pro prostorové vlny je konst 1 A~ = . dV r b) Povrchové vlny mají delší převládající periody než prostorové vlny, což souvisí s mechanismem jejich formování i s útlumem. Obecně mají různě dlouhé vlnové délky. Čím větší je vlnová délka povrchové vlny, λ = c.T, tím větší je jejich hloubka průniku. Kromě samotného povrchu Země přispívá k formování povrchových vln především relativně nízká

rychlost u povrchu, ale i oblasti snížených rychlostí ve větších hloubkách, které fungují jako vlnovody OBR. V teleseismických vzdálenostech jsou velmi často pozorovány povrchové vlny T ~ 20 s . Je tomu tak proto, že vlny s delšími periodami, T ≥ 25 s, se šíří v litosféře i astenosféře, jsou tedy příliš dlouhé na to, aby byly efektivně zachyceny u povrchu. Vlny s kratšími periodami, T ≤ 15 s, se sice dobře zachytí v litosféře, přesto nejsou dominantní, protože pro kratší periody je větší útlum. c) Amplituda povrchových vln závisí na hloubce zdroje. Zhruba lze říci, že mělká zemětřesení budí silnější povrchové vlny. d) Povrchové vlny jsou disperzní: nejdříve přijdou delší periody, pak kratší. To souvisí s tím, že vlny s různými periodami mají různé hloubky průniku a v různých hloubkách je různá rychlost šíření (ve větší hloubce je zpravidla větší rychlost). e) Závisí na typu trasy (jiné vlastnosti pro kontinentální, oceánské nebo smíšené trasy) Povrchové vlny dělíme do dvou základních typů podle jejich polarizace: - Loveovy vlny (LQ) jsou definovány jako povrchové vlny na transverzální složce - Rayleighovy vlny (LR) jsou definovány jako povrchové vlny na radiální a vertikální složce Tyto dvojí vlny mají odlišné vlastnosti, různou disperzi, různé rychlosti – obr6-4. Jednoduchý model Loveových vln (LQ) bez zdrojů

Pro LR a LQ použijeme podobný aparát jako pro prostorové SV a SH vlny. SH vlna je jednodušší (skalární), existuje pouze na transverzální složce. Zabývejme se tedy pro jednoduchost jen modelem šíření LQ vln. Pohybová rovnice SH vln: ∂ 2v ∂ ⎛ ∂v ⎞ ∂ ⎛ ∂v ⎞ µ µ ρ , ⎟= ⎟+ ⎜ ⎜ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ∂t 2 ρ kde v označuje y-složku vektoru posunutí u = (u, v, w) . Budeme uvažovat vrstvu na poloprostoru. Ve vrstvě bude rychlost β1, hustota ρ1 a modul torze µ1, v poloprostoru rychlost β2, hustota ρ2 a modul torze µ2. Nulovou hloubku z=0 položíme na rozhraní vrstva-poloprostor (na volném povrchu tedy bude z = -H) Okrajové podmínky: ρ a) na volném povrchu musí být vektor napětí nulový: T ≡ 0 Pro vodorovný povrch je Ti = τ iz ; použijeme-li Hookův zákon τ iz = λekk δ iz + 2µeiz , dostaneme pro náš případ podmínku ∂v Ty = τ yz = µ = 0 pro z = -H ∂z b) na rozhraní musí být vektor napětí spojitý, čili Ty1 = Ty2 pro z = 0 c) na rozhraní musí být vektor posunutí spojitý, čili v1 =v2 pro z = 0 Ve vrstvě i poloprostoru jsou konstantní parametry, dostaneme dvě vlnové rovnice:

ρ1 & v& 1 µ1 ρ & ∆v2 = 2 v& 2 µ2 ∆v1 =

Pro Fourierovu transformaci zaveďme označení F(v(t)) = V(f) a přejděme do frekvenční oblasti. Pro harmonické vlny dostaneme Helmholtzovy rovnice: 1 1 2 2 ∆V1 = 2 (2πif ) V1 , ∆V2 = 2 (2πif ) V2

β2

β1

∆V1 +

ω ω V = 0 , ∆V2 + 2 V2 = 0 2 1 β1 β2 2

2

Předpokládejme řešení ve tvaru vlny šířící se podél povrchu, ve směru osy x s nějakou (fázovou) rychlostí c, kterou zatím neznáme: V1 ( x, z , ω ) = f ( z ). exp(iω (t − x / c )) V2 ( x, z , ω ) = g ( z ). exp(iω (t − x / c ))

přičemž v dalším budeme požadovat, aby amplituda f byla omezená a aby g ubývala s rostoucí hloubkou z. Dosazením tohoto předpokládaného tvaru řešení do Helmholtzových rovnic dostaneme

ω 2 ⎛ β12 ⎞ f ′′( z ) + 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ f ( z ) = 0 β1 ⎝ c ⎠ ⎛ β 22 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ g (z ) = 0 c ⎠ ⎝ To jsou obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu, které mají následující řešení ⎛ ω ⎛ ω β12 ⎞⎟ β12 ⎞⎟ ⎜ ⎜ 1 − 2 .z + Q. exp − i 1 − 2 .z f ( z ) = P. exp i ⎜ β1 ⎟ ⎜ β1 ⎟ c c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g ′′( z ) +

ω2 β 22

⎛ ω ⎛ ω β 22 ⎞⎟ β 22 ⎞⎟ ⎜ ⎜ 1 − 2 .z + S . exp − i 1 − 2 .z g ( z ) = R. exp i ⎜ β2 ⎟ ⎜ β2 ⎟ c c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Protože g(z) musí klesat s hloubkou, musí tedy být β2 > c a koeficient S musí být nulový lim g ( z ) = 0 ⇒ 1 − z →∞

β 22 c2

<0

a zároveň, aby f bylo omezené, musí platit β1 < c ⇒ β1 < c < β 2 Pro zjednodušení zaveďme označení β2 ω ω β22 1 − 12 = s a −1 = r β1 c β2 c 2 Rovnice pak budou mít tvar

f ( z ) = Pe isz + Qe − isz = A cos sz + B sin sz g ( z ) = R.e − rz = Ce − rz

Okrajové podmínky dávají a) Ty ≡ 0 pro z = -H ∂V1 = − µ1 s A sin sz exp(...) + µ1 s B cos sz exp(...) ∂z A sin sH + B cos sH =0 µ1

∂V2 = − µ 2Cre −rz ∂z sµ1B + rµ2C = 0

b) µ 2

c) V1 = V2 pro z = 0 A=C Soustavu přepíšeme maticově − 1 ⎞⎛ C ⎞ ⎛ 0 ⎞ 0 ⎛ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ sµ1 rµ2 ⎟⎜ B ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎜ sin sH cos sH 0 ⎟⎠⎜⎝ A ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ Má řešení jen tehdy, je-li determinant soustavy nulový. Determinant spočteme rozvojem podle 1. řádku: det M = 0 = 1.(- rµ2cos sH) – 1.(-sµ1sin sH) = 0 rµ2cos sH = sµ1sin sH rµ tgsH = 2 sµ1 Dosazením za s a r dostáváme

⎡ ωH β2 ⎤ µ tg ⎢ 1 − 12 ⎥ = 2 c ⎥⎦ µ1 ⎢⎣ β1

1−

c2 β 22

c2 −1 β12

Této rovnici se říká disperzní rovnice a udává implicitní vztah mezi c a ω. Tímto jsme nevyřešili naši rovnici (nenašli jsme explicitně A,B,C), jen jsme ukázali, že Loveovy vlny pro případ vrstvy na poloprostoru mohou existovat a c je funkcí f, čili vlny jsou disperzní. Odvozený vztah můžeme přepsat takto [Κ ] = arctg Κ + π .m , kde m = 0,1,2,… Κ tím získáme různé větve – módy povrchových vln. Případ m = 0 nazýváme základní mód, m = 1,2,… jsou vyšší módy. K načrtnutí grafu spočtěme následující limity c → β2 ⇒ f → 0

konst →∞ 0 Při výpočtu poslední limity jsme využili toho, že arctg(∞)=π/2. c → β1 ⇒ f =

Pokud spočteme konstanty a amplitudové řešení, OBR, zjistíme, že různým modům odpovídá různý počet uzlových ploch uvnitř vrstvy (počet uzlů je dán hodnotou m).

Grupová rychlost, což je rychlost šíření energie, se definuje jako ω dω U= , kde k je vlnové číslo, pro které platí k = . dk c Dosazením do definice dostaneme d (2πf ) 2π U= = dk dk df dc 2πf dk 2π (c − fc′) ⇒ = , kde c′ = k= 2 df c( f ) df c Dostáváme tedy vztah c U= . f 1 − c′ c

Křivka závislosti fázové rychlosti c na frekvenci f má inflexní bod. V tomto bodě je derivace fázové rychlosti maximální a je záporná. Z toho tedy plyne, že grupová rychlost U musí mít v tomto bodě minimum. Bez důkazu navíc uveďme, že minimum grupové rychlosti je ekvivalentní maximálním amplitudám. Silné vlně, odpovídající minimu křivky grupové rychlosti říkáme Airyho fáze. Mívá pulzní charakter. Naopak strmým částem disperzní křivky odpovídá dlouhá skupina vln o stejné periodě, viz např. obr6-1. Ve cvičení se probírají Rayleighovy vlny. Jsou to vektorové vlny, čili existují na radiální a vertikální složce. Mohou existovat i v homogenním poloprostoru, kde jsou (pochopitelně) bezdisperzní, c
kontinentem (cca 10 nebo 40km). Vlna s periodou 10s už "vidí" přítomnost kůry. Střední rychlost na vlnovou délku je pak při tenké oceanické kůře větší než na kontinentu. Vlnu s periodou menší než 10s ovlivňují již detaily oceanické stavby, např. tloušťka vodní vrstvy. Uvnitř vody se šíří pouze podélné (tlakové) vlny, jejichž rychlost je menší než rychlost podélných vln v pevné Zemi. Plášťové povrchové vlny (obr6-3) Vlny o velmi dlouhých periodách, ~ 102 s, mají tedy velký hloubkový dosah. Rayleighovy plášťové vlny: R1 (vlna, která jde přímo do stanice), R2 (vlna přicházející do stanice po oběhu kolem Země z opačné strany), atd. Podobně Loveovy plášťové vlny: G1, G2, … Příklad: Sumatra 2004. Existence velmi dlouhých vln obíhajících kolem celé Země navozuje, že jejich superpozicí mohou vznikat i stojaté vlny. V tomto smyslu představují plášťové vlny přechod mezi povrchovými vlnami a vlastními kmity celé Země. Praxe: program SVAL (Petr Kolínský, ÚSMH AV ČR) frekvenčně-časová analýza povrchových vln, možnost vybrat ze seismogramu část odpovídající zvolené větvi disperzní křivky

Magnitudo Objektivní míra velikosti zemětřesení, určitelná ze seismogramů, tradičně a masově používaná od 40. let minulého století dosud. Smyslem magnituda je, aby to byla veličina, jejíž hodnota je přibližně stejná, ať je určena ze seismogramů v libovolné vzdálenosti od zdroje. Amplitudu A seismické vlny můžeme napsat ve tvaru A = α .∆− β , kde parametr α souvisí s velikostí zemětřesení, a parametr β charakterizuje úbytek amplitudy se vzdáleností ∆. Amplituda ubývá z důvodu rozšiřování vlnová trubice a neelastického útlumu. Magnitudo M lze definovat jako M = log α ±γ, kde γ je nějaká další konstanta (libovůle volby γ znamená, že magnitudo je relativní veličina). Použití logaritmu má zhlazovací roli, vede k tomu, že odhady magnituda téhož zemětřesení v mnoha stanicích se zpravidla liší "jen" o několik desetin. Později uvidíme, že logaritmus vede též k lineárním vztahům mezi magnitudem a energií nebo magnitudem a ohniskovou intenzitou. Odsud log A = log α − β log ∆ M = log A + β log ∆ ± γ Ch. Richter (~1935) použil podobnou úvahu a pro zemětřesení měřená v Kalifornii zavedl magnitudo označované jako lokální ML. Konstantu β stanovil z pozorování úbytku amplitud se vzdáleností (aby stanice v různých epicentrálních vzdálenostech daly totéž M), β=3, kdežto konstantu γ zvolil, γ = 2.92 (viz níže)

M L = log A + 3 log ∆ − 2,92 Definoval, že epicentrální vzdálenost ∆ se bere v km a za A se dosazuje amplituda v mm na záznamu (přičemž používal Wood-Andersonův seismograf s vlastní periodou 0.8 s, tlumením 0.8 a zvětšením 2800). Pro lepší pochopení ML uvažujme speciálně ∆ = 100km a položme přibližně 2,92 =& 3. Pak

M = log A + 3 = log (1000 A). Bereme-li A v mm, je to totéž jako brát veličinu 1000 A v mikrometrech. Lze tedy říci, že M odpovídá logaritmu amplitudy na záznamu, měřené v mikrometrech. K čemu vede volba γ= 2,92=3 ? Uvažujme slabé zemětřesení. Pokud bude pohyb půdy pro epicentrální vzdálenost 100 km roven náhodou 1/2800 10-3 m, amplituda A na papíře bude při zvětšení 2800 rovna právě 1 mm, takže vyjde ML = 3. Je zřejmé že z tohoto hlediska je M relativní veličinou, snadno si lze představit, že bychom jinou konstantou získali pro stejné zemětřesení např. M =1 nebo =106. Konstanta β není naopak vůbec libovolná. B. Gutenberg a Ch. Richter (~1940) zavedli magnitudo z povrchových vln MS, vhodné pro epicentrální vzdálenosti ∆ ∈ (150,1300) a pro mělká zemětřesení, protože ta budí silné povrchové vlny. Studiem úbytku amplitud se vzdáleností a stanovením konstanty γ tak, aby se pro totéž zemětřesení příliš nelišilo MS od ML: MS = log A +1,656 log ∆ + 1,818 + staniční konstanta, kde A je maximální amplituda skutečného pohybu půdy v mikrometrech a vzdálenost ∆ je ve stupních. Staniční konstanta vyjadřuje lokální podmínky. B. Gutenberg (~1950) zavedl magnitudo z prostorových vln, umožňující použití pro zemětřesení velmi rozdílných hloubek: mb = log (A/T) + σ(∆,h) + staniční konstanta, kde σ(∆,h) je tzv. kalibrační funkce, různá pro různé typy vln, např. P, PP, … MPV, MPH… magnitudo pro P vlny z vertikálních resp. horizontálních složek V roce 1962 přijala IASPEI tzv. Pražskou formuli jako standard pro určování MS: MS = log (A/T)max +1,66 log ∆ + 3,3 + staniční konstanta Na jejím zavedení se významně podílel Doc. J.Vaněk (spoluautoři L. Christoskof, ???? Vveděnskaja, ????). Podíl A/T vyjadřuje maximální rychlost kmitů. Magnituda téhož zemětřesení určená z povrchových a prostorových vln nejsou stejná, existují proto empirické převodní vztahy, např. mb =& 0,56 MS +2,9 . Poněkud méně se používají také různé definice magnituda MD z doby trvání záznamu (proto písmeno D, z angl. "duration"), např.: MD = 2 logτ – 0,87 + 0,0035 ∆, kde τ je doba trvání záznamu v sekundách (pozor na různé definice trvání, např. jako časový úsek od prvního nasazení až po místo, kde amplitudy již nepřesahují šumovou úroveň

viditelnou před prvním nasazením). Souvisí s kompletním vlnovým polem, podélnými i povrchovými vlnami, ale i s vlnami následujícími po povrchových vlnách, tzv. kóda vlny (z latinského cauda = ohon). Kóda vlny souvisejí s rozptylem. Vztah k makroseismické intenzitě v ohnisku lze stanovit empiricky, je-li k dispozici řada jevů, pro které jsou určeny obě veličiny: 2 M = I 0 + 1,2 log h − 1,1 , 3 kde hloubka h je v km, nebo zjednodušeně 2 M =& I 0 . 3 Vztah k energii seismických vln: log E = 5,24 + 1,44 M, kde E je v joulech. Pozn. I dnes se někdy z důvodu kompatibility dat (srovnání dnešních a historických zemětřesení) počítá pro kalifornská zemětřesení původní Richterovo magnitudo ML. K tomu je možno použít soudobý širokopásmový záznam a filtrovat ho tak, aby to odpovídalo přenosové funkci Wood-Andersonova seismografu. Pojem lokální magnitudo má i jiný, přenesený význam. V principu v libovolné oblasti světa, zpravidla v nějaké regionální nebo lokální seismické síti, vybavené stejnými přístroji, lze zavést vlastní magnitudovou stupnici. Vzorce jsou stále obdobné, pouze se liší hodnoty konstant, aby splňovaly dva požadavky: a) zachycovat úbytek amplitud se vzdáleností uvnitř dané oblasti a b) dávat podobné hodnoty magnituda jako jiné sítě. Bod b) je nutno chápat tak, že pokud je v "naší" (dejme tomu lokální) síti nějaké zemětřesení natolik veliké, aby ho zachytila i jiná (dejme tomu regionální) síť, požaduje se, aby „naše magnitudo“ vyšlo podobně jako magnitudo oné větší sítě. Hovoříme o svázání lokální magnitudové stupnice s jinými, zavedenými stupnicemi. I když se přidržíme jednoho typu magnituda, bude jeho hodnota různá na různých stanicích. Pak se používá buď hodnota dané stanice, nebo hodnota statisticky vyhodnocená nějakým mezinárodním seismologickým centrem. K hodnotě magnituda, kterou uvádíme v bulletinu nebo publikaci by se pak správně měl vždy připsat do závorky mezinárodní kód stanice, např. Ms = 5.2 (PRA), nebo označení centra, např. Ms = 5.5 (USGS).

Zemětřesení a seismické vlny Souvislost mezi zemětřesením a pohybem desek (bloků) lze zjednodušeně vysvětlit pomocí schematických obrázků – obr8-1 a obr8-2. Jsou na nich celkem tři časové úseky. Na obr. 1 je úsek ~ 20 mil. let a volný pohyb bloků. Na obr. 2 jsou další dva časové úseky: ~100 let, během nichž jsou bloky částečně zaklesnuty, a úsek ~10 sekund, kdy dojde k zemětřesení. Při

zemětřesení se uvolní zaklesnutí, na zlomu vznikne trhlina (nespojité posunutí), v okolí zlomu dojde k nevratnému (ale spojitému) posunutí. Přitom se z trhliny na zlomu vyzáří seismické vlny. Zemětřesení tedy není vzájemný pohyb tuhých bloků, ale je pohybem bloků vyvoláno. Seismické vlny souvisejí s prostoro-časovým vývojem nespojitostí posunutí na zlomu Σ. Např. P vlna má posunutí tvaru FP u P (t ) = const µ ∆u&(t )dΣ . r ∫Σ Integrál označujeme Ω(t) a nazýváme jej časová funkce zdroje, r je vzdálenost stanice od nějakého referenčního bodu zdroje (většinou vzdálenost od hypocentra), ∆u(t) je časový průběh nespojitosti posunutí na zlomu, neboli skluz, ∆u& je rychlost skluzu. F P je vyzařovací charakteristika zdroje, µ je smykový modul, neboli modul torze. V tomto jednoduchém případě je tedy tvar vlny dán přímo a jedině tvarem časové funkce zdroje. V pokročilejší seismologii se dovíme, že je tomu tak proto, že Greenova funkce je delta funkce. Časová funkce zdroje Ω(t) má v homogenním prostředí tvar jednostranného pulzu (>0). Tomu odpovídá skluz ∆u ve tvaru neklesající funkce. Amplitudové spektrum má plató a za tzv. rohovou frekvencí fc klesá jako f -2 (spád –2). Vhodná zjednodušená reprezentace je tedy např. trojúhelník, lichoběžník nebo Brunův puls, čili libovolná unipolární spojitá funkce s nespojitou první derivací. (Jaký spektrální spád má obdélník, delta funkce, atd. ?) Doba trvání časové funkce T souvisí s délkou zlomu L a rychlostí šíření trhliny vr, T=L/vr, kde vr =&(0,6 ÷ 0,9)vS . V nehomogenním prostředí je souvislost mezi tvarem vlny u(t) a časovou funkcí zdroje složitější. Doba trvání vlny je mnohem delší než doba trvání zdrojového procesu, protože seismogram je tvořen mnoha různými pulzy (přímou vlnou, různými odraženými vlnami, ...). Posunutí je konvoluce časové funkce zdroje s impulzní odezvou prostředí, která je v nehomogenním prostředí tvořena superpozicí mnoha delta funkcí nebo je ještě složitější. Amplitudové spektrum složitě osciluje. Nicméně jeho obálka může mít často (více či méně zřetelné) plató, rohovou frekvenci a spád. (Často pozorujeme prudší spád než f -2, což může být způsobeno útlumem, ale jeho vliv lze korigovat.) Ze spektrální analýzy je známo, že spektrum několika stejných nepřekrývajících se pulsů má obálku tvarově shodnou se spektrem jednotlivých pulsů. Obálka amplitudového spektra posunutí a příslušná rohová frekvence tedy umožní přibližně odhadnout dobu trvání zdrojového procesu T, neboť fc ~

1 vr 0,8vS = ≅ T L L

Označme U(f) spektrum posunutí u(t). Plató se týká limity pro f→ 0. ∞ ∞ FP U ( f = 0 ) = ∫ u(t)dt = const µ. ∫ Ω(t)dt . r −∞ −∞ Poslední integrál můžeme přepsat takto t

t

lim ∫ Ω(s)ds = lim ∫ ∫ ∆u&= ∫ ∆u(t → ∞ )dΣ = ∆u .Σ , t →∞

−∞

Σ −∞

Σ

kde pruh označuje střední hodnotu přes celou zlomovou plochu. Celkem tedy

∞

FP U ( f = 0 ) = ∫ u(t)dt = const µ.∆u .Σ . r −∞ Logicky tak dospíváme k důležité veličině popisující „velikost“ zemětřesení. Je to tzv. seismický moment M 0 = µ .∆u.Σ , rozměr N.m. Souvisí s momentem sil (přesněji řečeno silových dvojic, dipólů), které by vyvolaly stejné vlny jako trhlina šířící se po zlomové ploše. Pro vyzařovací charakteristiku P vln platí v případě smykového zemětřesení vztah ρρ ρρ F P = 2(γ .n )(γ .ν ) , ρ ρ kde ν je jednotkový vektor normály zlomové plochy, n je jednotkový vektor ve směru ρ ρ ρ skluzu (ν ⊥ n ), a γ je jednotkový vektor ve směru, v němž vyzařování studujeme (spojíme-li např. zdroj a stanici nějakým seismickým paprskem, jde o vektor tečný k tomuto paprsku při jeho východu ze zdroje). Pozorování vln v různých směrech od zdroje je tedy cestou k určení ρ ρ vektorů ν a n , resp. dvou vzájemně kolmých rovin: roviny zlomu a roviny kolmé na vektor posunutí. Tyto roviny se hledají na základě toho, že jsou uzlovými (nodálními) rovinami vyzařovací charakteristiky vln P, čili oddělují sektory kladných a záporných znamének prvních nasazení. Z těchto jednoduchých studií nelze říci, která z nodálních rovin je rovina zlomu. To se dá určit např. studiem dotřesů. Nodální roviny se (většinou spolu se znaménky) zobrazují pomocí tzv. ohniskové koule. Při plošném zobrazení se používá stereografická projekce jedné ze dvou polokoulí (většinou spodní). Geologové rozlišují tři základní typy zlomů: normální zlom, reverzní zlom a horizontální smyk (strike-slip). Horizontální smyk se ještě dělí na levostranný a pravostranný.

Odpovídající ohniskové koule jsou na OBR1, OBR2, OBR3. ρ ρ Seismologové popisují dva kolmé vektory n a ν zpravidla pomocí tří úhlů: φ (strike), δ (dip) a λ (rake). Sklon zlomu (dip) se měří jako ostrý úhel (<90 stupňů) mezi zlomem a horizontální rovinou. Ostrý úhel určuje tzv. visící blok, druhý blok je ležící. Azimut zlomu (strike) se určuje pomocí průsečnice zlomu s horizontální rovinou. Tuto průsečnici, řekněme "zlomovou čáru" nebo "směr zlomu", je třeba orientovat, a to tak, že při pohledu podél ní je visící blok vpravo. Strike je pak geografický azimut zlomové čáry, měřený od severu ke směru zlomu, ve směru hodinových ručiček. Úhel skluzu (rake) se měří v rovině zlomu, a to od horizontály (od směru zlomu) k vektoru posunutí, také ve směru hodinových ručiček. Posunutí se chápe jako posunutí visícího bloku vůči ležícímu. Pro normální zlom je tedy λ<0, pro reverzní zlom je λ>0. Pro horizontální smyk je λ = 0 nebo 180. Definuje se, že levostranný zlom má λ=0 (nebo malé číslo >0 či <0), kdežto pravostranný zlom má λ=180. Levostranný smyk znamená, že při pohledu z jednoho bloku na druhý se nám ten druhý

posunuje vlevo. Podobně pro pravostranný. Přitom nezáleží na tom, ze kterého bloku se díváme. U svislého zlomu není žádný úhel ostrý, visící blok je tedy nutno definovat specielním způsobem, a je to ten, který se posunuje dolů. Pokud se podél svislého zlomu pohybují bloky vodorovně, je možno zvolit libovolný z nich jako visící. Volba, kterou provedeme, pak určí směr zlomu (tedy i strike), protože stále musí platit, že visící blok je od směru zlomu vpravo. Nicméně, je-li zlom např. levostranný, zůstane jím, ať provedeme tu či onu volbu. Popisujeme-li dvě nodální roviny, aniž víme, která z nich je rovinou zlomu, používáme dvě trojice úhlů (φ, δ, λ) a mluví se o konjugovaných řešeních. V případě horizontálního smyku nemůžeme bez identifikace roviny zlomu říct, je-li zlom levo- či pravostranný. Případ normálního či reverzního zlomu ale rozlišíme, protože obě konjugovaná řešení mají stejné znaménko λ. I když nemáme číselnou hodnotu λ, poznáme normální zlom podle toho, že vnější sektory ohniskové koule mají kladná znaménka. Při reverzním zlomu mají vnější sektory záporná znaménka. OBR Postup při určování mechanismu ohniska 1) Lokace zemětřesení a odečtení znamének prvního nasazení ze všech tří složek 2) Určení úhlů východu paprsku ze zdroje (i) a azimutů (A) pro všechny stanice 3) Projekce stanic a znamének na ohniskovou kouli 4) Projekce ohniskové koule do roviny (stereografická) 5) Rozdělení koule na 4 kvadranty – 2 vzájemně kolmé uzlové roviny 6) Určení 2 trojic úhlů strike(φ), dip(δ), rake(λ) 7) Zakreslení os P (pressure),T (tension), N (neutral) Na ohniskové koule zakreslujeme dvě význačné osy: osu P (tlaková osa – z angl. pressure) a osu T (tahová osa – z angl. tension). Osa T se nachází uprostřed sektoru se známenkem plus a osa P uprostřed sektoru znamének mínus. Tyto osy vyjadřují dvojice sil. Na prvním pohybu na zlomové ploše (tah nebo tlak) závisí znaménka prvních nasazení na dané stanici. Do mapy se tyto osy zobrazují projekcí do horizontální roviny jako šipky mířící k sobě (osa P) nebo od sebe (osa T)

Dodatky: Momentové magnitudo Známe-li pro nějaké zemětřesení hodnotu seismického momentu M 0 , můžeme spočítat tzv. momentové magnitudo: M W = 0,67.log M 0 − 6,03 (uvedené konstanty platí, pokud uvádíme moment v jednotkách N.m) Toto magnitudo, na rozdíl od magnituda z povrchových vln, netrpí saturací. Magnitudo z povrchových vln se váže na periody kolem 20 s a pro velká zemětřesení zůstává stejné (MS =8.5), třebaže seismický moment dál roste. Momentové magnitudo bylo zavedeno jako empirická extrapolace magnituda MS. Tedy tak, aby pro MS < 8 bylo MS = Mw. Pro měření

seismického momentu velkých zemětřesení potřebujeme přístroje schopné zaznamenat posunutí na frekvencích řádově 0,01 Hz a menších (vysvětlete tento odhad). 2) Pokles napětí Rozměrová úvaha: Střižné napětí je úměrné deformaci, přičemž roli konstanty hraje modul torze. Odhadujeme-li změnu napětí mezi stavem před a po zemětřesení, a odhadneme-li deformaci pomocí průměrné nespojitosti posunutí vztažené na celou délku zlomu, dostaneme pokles napětí ∆u ∆σ ~ µ∆ε ~ µ . L Použijeme-li definici seismického momentu, dospíváme k výrazu M 0 = const.∆σL3 podle nějž lze očekávat růst momentu s třetí mocninou charakteristického délkového rozměru porušené části zlomu. Pozorování: Pokud pro mnoho zemětřesení odhadneme M0 a současně i L, potvrzuje se úměrnost s třetí mocninou (log-log graf závislosti M0 na L má sklon 3:1). V širokém rozsahu magnitud, cca 5 až 8, se hodnoty kupí do pásu, pro který se hodí hodnoty poklesu napětí řádu 1 až 10 MPa. V tomto smyslu lze říci, že pokles napětí nezávisí (nebo jen slabě závisí) na seismickém momentu. Bližší výzkum ukazuje, že tektonicky stabilní obasti (např. střední Evropa) mají hodnoty bližší k horní mezi a tektonicky aktivní oblasti (např. Středomoří) naopak. Teorie porušení: Např. výpočet rozložení výsledného skluzu při konstantním poklesu napětí na kruhové trhlině. Poskytuje moment a ukazuje úměrnost třetí mocnině poloměru. V praxi se obvykle pokles napětí odhaduje na základě výše uvedeného vzorce, tedy z hodnot M0 a L, přičemž se používají různé hodnoty const (blízké 1). 3) Energie seismických vln Energii vln definujeme vztahem ∞

E = ∫∫ τ ij u&i ν j dtdS , S

−∞

kde S je nějaká vhodná referenční plocha obklopující ohnisko, např. povrch ohniskové koule (proč se nehodí povrch Země ?). Analyzujme rozměrově veličinu pod integrálem: síla posunutí práce výkon napětí . rychlost = . = = , což je plošná hustota výkonu. plocha čas plocha.čas plocha Jinými slovy, E je definována jako časový integrál z toku výkonu. Vzhledem k útlumu je nutno počítat s tím, že čím je referenční plocha dál od zdroje, tím je tok menší. Má-li být hodnota representativní mírou velikosti zemětřesení, je třeba měřené hodnoty opravit, aby se vliv útlumu odstranil. Přesto existuje vážné omezení, E lze zjišťovat vždy jen v omezeném oboru frekvencí (vysokofrekvenční signál se brzo utlumí, klesne pod šum a pak jej již nelze nijak "opravit o vliv útlumu", rekonstruovat). Platí empirický vztah mezi energií E (v Joulech) a magnitudem, např. celosvětově log E = 5,24 + 1,44 M

4) Momentový tenzor: Obecně místo skaláru seismického momentu M0 uvažujeme tenzor Mpq. Tento tenzor obsahuje smykové (DC) a nesmykové (non-DC) složky. Zkratka DC (z angl. double couple) znamená dvojitý dipól. Posunutí a nodální roviny pro čistý smyk vypadají následovně:

Rovina (1,2) je rovina zlomu, nodální roviny jsou (1,2) a (2,3). Silové působení pro tento zlom vypadá takto:

Tento obrázek vysvětluje pojem dvojitý dipól: obsahuje dipól 1-3 a 3-1. Celkový točivý moment je nulový.