Fotonove´ rakety Jirˇ´ı Podolsk´y ´ UTF MFF UK
´r seminaˇ
bˇrezen 2012
fotonove´ rakety – p. 1/29
obsah
• prolog:
science fiction motivace
´ ´ pohybu v • hlavn´ı tema: popis zrychleneho ⋆ newtonovske´ mechanice ´ ı teorii relativity ⋆ specialn´ ⋆ obecne´ teorii relativity
• epilog:
´ eˇ realizovatelne? ´ jsou fotonove´ rakety fyzikaln
fotonove´ rakety – p. 2/29
prolog: science fiction motivace ˇ ı o cestach ´ ke hved ˇ am ´ snen´
ˇ bezpoˇctu SF autoru: ´ ´ klasicke´ pˇr´ıbehy ˚ romany, pov´ıdky, filmy & TV serialy
fotonove´ rakety – p. 3/29
´ hlavn´ı tema: pohyb s konstatn´ım zrychlen´ım
g
nejjednoduˇssˇ ´ı model pohybu rakety: ´ kosmicka´ lodˇ hmotnosti m0 je urychlovana se zrychlen´ım a = g = 9, 81 ms−2 ´ ve stejnem ´ smeru ˇ podel ´ osy x stale [ x(0) = 0, v(0) = 0 ]
dle Einsteinova principu ekvivalence c´ıt´ı astronauti v lodi konstantn´ı gravitaˇcn´ı pole g
fotonove´ rakety – p. 4/29
Newton: klasicka´ mechanika pohybova´ rovnice:
dp =F dt
p = m0 v
kde
opravdu plat´ı
F =
pˇriˇcemˇz
dx dv v= , a= dt dt
dp d(m0 v) dv = = m0 = m0 a = m0 g = G dt dt dt
integrace pohybu:
• zrychlen´ı • rychlost ´ • vzdalenost ´ er: ˇ zav
a=g v(t) = x(t) =
R
R
a dt = g t v dt = 12 g t2
´ rychlost i vzdalenost rostou nade vˇsechny meze
c . . ˇ c, a to v cˇ ase t = v muˇ ˚ ze pˇrekonat rychlost svetla = 3 × 107 s = 1 rok g fotonove´ rakety – p. 5/29
´ ı teorie relativity Einstein: specialn´ pohybova´ rovnice
dp = F = m0 g dt
ˇ ALE: vypada´ stejne,
• setrvaˇcna´ hmotnost nen´ı konstanta m0 , ale plat´ı m0 p = mv kde m= q 2 1 − vc2
pro v → c je m → a tud´ızˇ nelze pˇrekonat
• cˇ as nen´ı absolutn´ı, ale plyne ruzn ˚ eˇ pro ˇ zn´y cˇ as t na Zemi ⋆ beˇ ⋆ vlastn´ı cˇ as τ astronautu˚ r v2 ´ vzajemn´ y vztah: dτ = 1 − 2 dt c pohybova´ rovnice:
d dt
m v q 0 2 1 − vc2
!
= m0 g
∞ c
´ ı system ´ vneˇ rakety inercialn´ ´ ı system ´ uvnitˇr rakety neinercialn´
pro pro
⇒
integrac´ı
v = 0 je dτ = dt v → c je dτ → 0
v q
1−
v2 c2
= gt
fotonove´ rakety – p. 6/29
´ ı teorii relativity zrychlen´y pohyb ve specialn´ gt v(t) = q 2 g 1+ c t
• rychlost
c2 x(t) = g
´ • vzdalenost
r
! g 2 t −1 1+ c
pro pro
. . t = 0 je v = g t t → ∞ je v → c
pro pro
. . t = 0 je x = 12 gt2 OK! t → ∞ je x → c t OK!
OK! OK!
ˇ ren´y pozemsk´ym cˇ asem dolet rakety meˇ jednoduchou upravou ´ lze pˇrepsat do tvaru:
x+ c2 g
c2 g
!2
−
ct c2 g
!2
=1
´ ˇ ı v prostoroˇcasovem ´ diagramu (x, ct): znazorn en´ ˇ cara ´ rakety je rovnoosa´ hyperbola svetoˇ
fotonove´ rakety – p. 7/29
pozemsk´y cˇ as t versus vlastn´ı cˇ as astronautu˚ τ Lorentz˚uv faktor
1
γ≡q 1− integrac´ı
v2 c2
=
r
Rq τ= 1−
g 2 1+ t c
v2 c2
dt
efekty STR se projev´ı jakmile g t ≈ 1, tedy zhruba po 1 roce c
´ ame ´ dostav
• pozemsk´y cˇ as
g g t = sinh τ c c
´ • vzdalenost
g i c2 h x(τ ) = cosh τ −1 g c
• rychlost
g v(τ ) = c tanh τ c
. troku = sinh τroku
hyperbolicke´ funkce:
sinh z ≡ 12 (ez − e−z ) cosh z ≡ 12 (ez + e−z ) sinh z tanh z ≡ cosh z
c2 = [γ − 1] g
cosh2 z − sinh2 z = 1 sinh z → 12 ez ← cosh z fotonove´ rakety – p. 8/29
´ cˇ ´ıseln´ych v´ysledku˚ pro ilustraci par ´ ı: vztah mezi vlastn´ım cˇ asem τ astronautu˚ a t, x, γ je prakticky exponencialn´ cˇ as v raketeˇ τ
cˇ as na Zemi t
dolet x
Lorentz˚uv faktor γ
5 roku˚
85 roku˚
ˇ 84 svetelen´ ych let
87
10 roku˚
14 780 roku˚
ˇ 14 779 svetelen´ ych let
15 262
15 roku˚
2 582 156 roku˚
ˇ 2 582 155 svetelen´ ych let
2 666 401
ˇ ˇ • bl´ızke´ hvezdy: 10 sveteln´ ych let ˇ • Galaxie: ∅ 100 tis´ıc sveteln´ ych let ˇ • galaxie v Andromedeˇ M31: 2,4 milionu sveteln´ ych let ´ eˇ je zapotˇreb´ı nepˇredstavitelne´ mnoˇzstv´ı energie: take´ roste exponencialn
E(τ ) = F x(τ ) = m0 c2
h
g i cosh τ − 1 = m0 c2 (γ − 1) c
´ ˇ 25 PWh energie = 1020 J za 1 rok vyrob´ı vˇsechny elektrarny sveta klidova´ energie kosmicke´ lodi hmotnosti 1000 tun je m0 c2 = 1023 J
(=20%)
fotonove´ rakety – p. 9/29
pˇresne´ ˇreˇsen´ı fotonove´ rakety v obecne´ teorii relativity model libovolneˇ zrychluj´ıc´ı rakety uvaˇzuj´ıc´ı:
⋆ ⋆ ⋆ ⋆
´ ım foton˚u ubytek ´ hmoty vyzaˇrovan´ gravitaˇcn´ı pole rakety i fotonu˚ libovolnou dimenzi prostoroˇcasu D libovolnou kosmologickou konstantu Λ
2
2Λ 2 m(u) r i j 2 2 r − D−3 du2 ds = 2 δij dx dx − 2 du dr − 1 − 2 r(ln P ),u − P (D − 2)(D − 1) r kde
P (u, xi ) = (z˙ 0 − z˙ D−1 ) − (δij z˙ j ) xi + (z˙ 0 + z˙ D−1 ) 14 δij xi xj
´ ı interpretace: fyzikaln´ ´ libovolne´ trajectorie z α (u) • let podel • [ z˙ 0 (u), z˙ 1 (u), . . . , z˙ D−1 (u) ] jsou sloˇzky rychlosti u • m(u) je hmotnost rakety jako funkce cˇ asu
• pole foton˚u je 8π D−2
Tαβ = n2 (xi , u) r 2−D kα kβ kde
n2 = −m,u + (D − 1) m (ln P ),u k = ∂r
r = 0 je poloha rakety v cˇ ase u fotonove´ rakety – p. 10/29
´ eˇ objekt je v klidu: z˙ 0 = 1, z˙ j = z˙ D−1 = 0 ⇒ P = 1 + 14 δij xi xj specialn ´ sfericky symetricke´ vakuove´ ˇreˇsen´ı m = konst: Schwarzschild literatura:
• W. Kinnersley,
Field of an arbitrarily accelerating point mass Phys. Rev. 186 (1969) 1335–1336
• W. B. Bonnor,
The photon rocket Class. Quantum Grav. 11 (1994) 2007–2012
• radiation properties:
¨ Damour (1995), von der Gonna and Kramer (1998), Cornish (2000) ...
• J. Podolsk´y,
Photon rockets moving arbitrarily in any dimension Int. J. Mod. Phys. D 20 (2011) 335–360 gr-qc1006.1583 na adrese http://arxiv.org/abs/1006.1583
fotonove´ rakety – p. 11/29
ˇ fotonova´ raketa zrychluj´ıc´ı v jednom smeru
(D = 4)
2 m(u) Λ 2 − r − 2 α(u) r cos ϑ − α2 (u) r 2 sin2 ϑ du2 r 3 2 2 2 2 2 −2 du dr + 2 α(u) r sin ϑ du dϑ + r dϑ + sin ϑ d φ
ds2 = − 1 −
popisuje pˇr´ım´y let se zrychlen´ım α(u)
• pˇr´ısluˇsn´y vyzaˇrovac´ı diagram foton˚u je ϑ 1 2 n (u, ϑ) = 2π − m,u cos2 2 ´ eˇ • hmotnost rakety klesa´ exponencialn R m(u) = m0 exp −3 α(u) du
i
´ • zavisolst na koneˇcne´ rychlosti v je 3/2 m(v) 1−v α = konst. = m0 1+v
fotonove´ rakety – p. 12/29
´ cej´ıc´ı se po kruhove´ trajektorii fotonova´ raketa otaˇ 2
2 m(u) Λ 2 r − r du2 ds2 = 2 dθ 2 +sin2 θ dφ2 − 2 du dr− 1 − 2 r ( log p),u − p r 3 √ kde p(u, θ, φ) = 1 + a2 ω 2 − a ω sin θ sin(φ − ω u) ˇ kruhove´ drahy, ´ a je polomer ω je uhlov ´ a´ rychlost • vyzaˇrovac´ı diagram fotonu˚ je
´ eˇ • hmotnost rakety klesa´ exponencialn m(u) = m0 exp − 3 a ω 2 u • hmotnost po otoˇ cce o 180◦ je m(v) 3π v √ ´ eˇ v´yhodne´ neˇz pˇr´ıme´ brˇzden´ ˇ ı: men = exp − 2 m0 1−v fotonove´ rakety – p. 13/29
´ eˇ realizovatelne? ´ epilog: jsou fotonove´ rakety fyzikaln
fotonove´ rakety – p. 14/29
´ ´ ı uvahy zakladn´ ı fyzikaln´ ´ m v
←
M
≫≫ ⋑≎◮ vyvrhovana´ hmota
mv = M V
obrovske´
→
raketa
V
(pˇrejeme si V → c)
• potˇrebuje ohromnou reakˇcn´ı hybnost p = mv (impuls ⇒ tah): ´ ı v : standardn´ı rakety na kapalna´ cˇ i tuha´ paliva ⋆ velke´ m, normaln´ ´ ı m: iontove´ rakety, jaderne´ a fotonove´ rakety ⋆ velke´ v , normaln´ fotonove´ rakety maj´ı v = c (!) a m0 = 0 (!) ale • je k tomu nutn´y v´ykon P = E˙ (spotˇreba energie):
´ jednoduch´ym vzorcem: pod´ıl v´ykonu ku tahu je dan
1 ˙ 2 P v´ykon [W ] E˙ v 2 mv = = = = , F tah [N ] p˙ mv ˙ 2
˙ P (pc) pro fotony: = =c F p˙
fotonove´ rakety vyˇzaduj´ı gigantick´y v´ykon P = c F (!) coˇz je 300 MW/N (!) ´ kW/N) (pro standardn´ı rakety je to jen par fotonove´ rakety – p. 15/29
tabulka hlavn´ıch raketov´ych technologi´ı ´ pohonu a typicke´ hodnoty jejich parametru˚ hlavn´ı druhy raketoveho metoda pohonu
v´ytokova´ rychlost [km/s]
tah [N]
´ ı trvan´
raketa na tuhe´ palivo
1−4 1−5 15 − 200 300 000 9
103 − 107 0, 1 − 107 10−3 − 10 9/km2 @ 1 AU 107
minuty
20 − 100
109 − 1012
dny
20 − 1000 300 000 100 − 1000 10 000 − 100 000
109 − 1012 10−5 − 1
roky
raketa na kapalne´ palivo electrostatick´y iontov´y pohon sluneˇcn´ı plachetnice jaderna´ tepelna´ raketa
minuty roky
∞
minuty
jadern´y pulzn´ı pohon projekt Orion jadern´y pulzn´ı pohon projekt Daedalus
• jaderna´ fotonova´ raketa fuzn´ ´ ı raketa
antihmotova´ raketa
desetilet´ı
?
?
?
?
fotonove´ rakety – p. 16/29
jaderne´ tepelne´ rakety: prvn´ı vize
fotonove´ rakety – p. 17/29
NERVA (1959) Nuclear Engine for Rocket Vehicle Applications
fotonove´ rakety – p. 18/29
jadern´y pulzn´ı pohon navrhl Stanislaw Ulam v roce 1947: k tahu vyuˇz´ıva´ jadern´ych mikrov´ybuchu˚
• projekt Orion (konec 1950s–1965, General Atomics, NASA, DARPA) ˇ e´ jaderne´ naloˇ ´ ze tlaˇc´ı na velkou ocelovou desku male´ smerov ´ kosmicke´ lodi pˇripojenou teleskopick´ymi tlumiˇci k zadi ˇ s´ı neˇz u klasick´ych chemick´ych raket) (tah by mohl b´yt aˇz 1000× vetˇ
• projekt Daedalus (1973–1978, British Interplanetary Society)
´ ı jaderna´ fuze: ´ any ´ svazkem elektronu, intercialn´ ´ pelety He-3 periodicky zeˇzehav ˚ velk´y elektromagnet pote´ zˇ ene horke´ plazma dozadu, cˇ ´ımˇz vznika´ tah
• projekt Medusa (1990s, British Interplanetary Society)
´ je coby plachta rozvinut pˇred kosmickou lod´ı, velk´y “padak” ´ a t´ım i lodˇ urychluj´ı pravidelne´ v´ybuchy jadern´ych bomb reakc´ı padak ˇ s´ı neˇz Orion: vyuˇz´ıva´ v´ıc energie z v´ybuchu, tlumiˇc v´ybuchu je delˇs´ı, je v tahu a tud´ızˇ lehˇc´ı) (efektivnejˇ
• jadern´y pulzn´ı pohon katalyzovan´y antihmotou (polovina 1990s, Pen State) ˇ ˇretezovou ˇ antiprotony by uvnitˇr jader uranu spouˇstely reakci
(obvykla´ kriticka´ hmota Pt je 12 kg, pomoc´ı katal´yzy antihmotou by byla pouh´y gram)
fotonove´ rakety – p. 19/29
Orion
´ en ˇ periodick´ymi v´ybuchy jadern´ych naloˇ ´ z´ı o mohutnosti 5–15 kilotun pohan
fotonove´ rakety – p. 20/29
fiktivn´ı Orion
fotonove´ rakety – p. 21/29
Medusa
fotonove´ rakety – p. 22/29
vize fotonove´ rakety
fotonove´ rakety – p. 23/29
jaderne´ fotonove´ rakety ruzn ˚ e´ koncepty: ´ ´ ren´ı cˇ erneho ´ telesa ˇ • jadern´y fuzn´ ´ ı reaktor ohˇr´ıva´ radiator (z grafitu cˇ i wolframu) → zaˇ ´ vyˇzaduje ohromn´y v´ykon, tah je mal´y, zrychlen´ı nepatrne´ funkˇcn´ı ale neprakticke: ˇ eho ´ (pˇr´ıklad: 300 t raketa v n´ızˇ je 240 t sˇ tepn paliva → a
= 10−5 g, v´ysledna´ rychlost 240 km/s po 80 letech)
• laserov´y paprsek
ˇ a´ kolimace a regulovatelnost skvel ´ eˇ uˇ ´ ren´ı cˇ erneho ´ telesa ˇ ˇ eˇ energie na svetlo ˇ ale lasery jsou men ´ cinne´ neˇz zaˇ pˇri pˇremen
• jadern´y fuzn´ ´ ı reaktor coby zdroj energie zat´ım nen´ı dostupn´y ani na Zemi
´ en ˇ a´ anihilac´ı antihmoty s hmotou • fotonova´ raketa pohan ¨ Eugen Sanger (1950): anihilace pozitronu˚ s elektrony produkuje gama fotony ´ je odraˇ ´ zet, kolimovat a st´ınit technick´y problem ´ eˇ funkˇcn´ı! je vˇsak potencialn
fotonove´ rakety – p. 24/29
fuzn´ ´ ı rakety
fotonove´ rakety – p. 25/29
ˇ ´ en ˇ eho ´ vize hvezdoletu pohan antihmotou ISV Venture Star z filmu Avatar
fotonove´ rakety – p. 26/29
ˇ nepˇrekonateln´y hvezdolet: Bussarduv ˚ ramjet (1960) • proton-protonova´ fuze ´ 4p → He jako ve Slunci (645 TJ/kg) ´ z prostoru 1000 km elektromagnetick´ym sberaˇ ˇ cem • protony za letu sb´ırany
fotonove´ rakety – p. 27/29
´ er: ˇ zav
• konzistentn´ı popis pohybu fotonov´ych raket: moˇzn´y existuj´ı dokonce pˇresna´ modelova´ ˇreˇsen´ı Einsteinov´ych rovnic
´ ı a technicka´ realizace: nejasna´ • jejich fyzikaln´ ´ v´ykon a celkova´ energie fotonov´ych motoru˚ GIGANTICKE
fotonove´ rakety – p. 28/29
´ ereˇ ˇ cn´y test zav
fotonove´ rakety – p. 29/29
