Akordy z hlubin Zemˇ e ˇk Martinec, Ctirad Matyska Ladislav Hanyk, Zdene Katedra geofyziky MFF UK, V Holeˇsoviˇ ck´ach 2, 180 00 Praha 8 Hlahol Hospodinu cel´a zemˇe ˇ Zlm 98,4; 100,1
Je Zemˇe hudebn´ı n´astroj? Fyzik nad klaviaturou varhan nevn´ım´a jen samotnou hudebn´ı expresi t´on˚ u, jeho profese mu nedovol´ı nec´ıtit souˇ casnˇe i prostor naplˇ nuj´ıc´ı stojat´e vlnˇe’ Geofyzik na otˇra´saj´ıc´ı se n´ı, buzen´e kmitaj´ıc´ımi rezon´atory varhann´ıch p´ıˇstal. zemi nepodl´eh´a panice prchaj´ıc´ıch dav˚ u, ale pˇrikl´ad´a ucho k jej´ımu povrchu a soustˇred´ı se k poslechu hudebn´ı produkce vskutku svˇetov´eho mˇeˇr´ıtka — kmitaj´ıc´ı Zemˇe. Vzruˇsen´ı mu pˇritom neposkytuj´ı jen bˇeˇznˇe registrovan´e seismick´e vlny, at’ uˇz pod´eln´e, pˇr´ıˇ cn´e cˇi povrchov´e, ale jev podstatnˇe vz´acnˇejˇs´ı, totiˇz stojat´e vlnˇen´ı naz´ yvan´e vlastn´ımi kmity cˇi vlastn´ımi m´ody. Vlastn´ı kmity (nˇekdy t´eˇz voln´e kmity) tˇelesa se fyzik´alnˇe popisuj´ı jako kmity vybuzen´e z rovnov´aˇzn´eho stavu poˇ c´ateˇ cn´ım impulsem. Elasticita d´av´a tˇelesu schopnost harmonicky kmitat, obecnˇe na mnoha frekvenc´ıch; celkov´a mechanick´a energie se cyklicky pˇrel´ev´a mezi energiemi potenci´aln´ı a kinetickou. Neelastick´e vlastnosti jsou odpovˇedn´e za u ´tlum, pˇribliˇznˇe exponenci´aln´ı postupn´ yu ´bytek amplitud je prov´azen´ y pˇremˇenou celkov´e mechanick´e energie v energii tepelnou. Vlastn´ı kmity Zemˇe generovan´e uvolnˇen´ım mohutn´ ych d´avek deformaˇ cn´ı energie bˇehem siln´ ych zemˇetˇresen´ı jsou jevem relativnˇe vz´acn´ ym. Prvn´ı dokumentovan´e z´aznamy se datuj´ı rokem 1952, dalˇs´ımi pˇr´ıleˇzitostmi byla moˇ hutn´a zemˇetˇresen´ı v Chile (21. 5. 1960) a na Aljaˇsce (28. 3. 1964). Cetnost registrac´ı se spolu s citlivost´ı aparatur zvyˇsuje. Byly vybudov´any glob´aln´ı seismometrick´e a gravimetrick´e s´ıtˇe c´ılen´e k zachycen´ı co nejkvalitnˇejˇs´ıch dlouhoperiodick´ ych z´aznam˚ u, takˇze vlastn´ı m´ody jsou dnes cˇiteln´e v z´aznamech zemˇetˇresen´ı jiˇz od magnituda Ms ≥ 6, 5, na rozd´ıl od Ms ≥ 8 pˇred tˇriceti lety. Takov´ ych zemˇetˇresen´ı b´ yv´a do roka nˇekolik des´ıtek a d´ıky celosvˇetov´e registraci jsou dnes k dispozici jiˇz tis´ıce z´aznam˚ u, v jejichˇz spektrech bylo identifikov´ano v´ıce neˇz tis´ıc vlastn´ıch kmit˚ u. Jejich periody se prost´ıraj´ı od 54 minut k des´ıtk´am sekund a u ´tlum je pˇritom natolik slab´ y, ˇze cel´a produkce 1
m˚ uˇze trvat i ˇradu dn˚ u. N´aˇs chladnokrevn´ y geofyzik sice v d˚ usledku nulov´eho −1 −4 pr˚ uniku spektr´aln´ıch interval˚ u vlastn´ıch kmit˚ u (10 –10 Hz) a slyˇsiteln´eho zvuku (101 –104 Hz) vlastn´ı kmity patrnˇe neslyˇs´ı, ovˇsem jeho dlouhoperiodick´ y seismograf v podzemn´ı ˇstole jiˇz zaˇ c´ın´a registrovat. . . Jeden z takov´ ych z´aznam˚ u je zachycen na obr.˜1. V tomto pˇr´ıpadˇe seismograf zachytil i mnohahodinovou slapovou vlnu, modulovanou zd´anlivˇe vysokofrekvenˇ cn´ımi vlastn´ımi kmity. Standardn´ı klasifikace cˇlen´ı kmity sf´ericky symetrick´eho tˇelesa podle sloˇzek vektoru posunut´ı do dvou tˇr´ıd, na kmity toroid´aln´ı s nulovou vertik´aln´ı sloˇzkou a kmity sf´eroid´aln´ı s nenulov´ ymi obecnˇe vˇsemi sloˇzkami posunut´ı. Tzv. radi´aln´ı kmity s nenulovou pouze vertik´aln´ı sloˇzkou jsou speci´aln´ım pˇr´ıpadem kmit˚ u sf´eroid´aln´ıch. Uzlov´ ymi plochami (plochami s nulov´ ym posunut´ım) radi´aln´ıch kmit˚ u jsou koncentrick´e kulov´e plochy uvnitˇr tˇelesa, pr˚ unikem uzlov´ ych ploch toroid´aln´ıch kmit˚ u s povrchem jsou rovnobˇeˇzky v soustavˇe s pol´arn´ı osou proch´azej´ıc´ı bodem poˇ c´ateˇ cn´ıho impulsu. Spoleˇ cnou vlastnost´ı kmit˚ u je rotaˇ cn´ı symetrie oscilac´ı kolem pol´arn´ı osy. Nejjednoduˇsˇs´ı sf´eroid´al’ an´ı tˇelesa, kmit n´ı kmit, tzv. 0 S0 , pˇredstavuje cyklick´e rozp´ın´an´ı a smrˇstov´ S se pro sv˚ u j tvar naz´ y v´ a fotbalov´ y m m´ o dem, kmit S ripom´ın´a hruˇsku 0 2 0 3 pˇ (viz obr. 2). Toroid´aln´ı kmit 0 T2 znamen´a protismˇern´e st´acˇen´ı severn´ı a jiˇzn´ı polokoule, 0 Tn protismˇern´e st´acˇen´ı kaˇzd´ ych dvou sousedn´ıch z celkov´ ych n z´on, vymezen´ ych n − 1 rovnobˇeˇzkami. Nˇekter´e kmity, jako 0 S1 , 0 T1 , nemohou b´ yt v izolovan´em tˇelese buzeny, nebot’ vyjadˇruj´ı pohyb tˇeˇziˇstˇe nebo ot´acˇen´ı tˇelesa jako celku. Teoretick´ y z´aklad probl´emu vlastn´ıch kmit˚ u sf´ericky symetrick´ ych tˇeles poloˇzil S. D. Poisson, zab´ yvaj´ıc´ı se v roce 1829 radi´aln´ımi kmity homogenˇ s´ı pohled nab´ıdl roku 1882 H. Lamb prac´ı o obecn´ n´ı elastick´e koule. Sirˇ ych elastick´ ych vibrac´ıch koule, klasifikuj´ıc´ı uˇz kmity jako toroid´aln´ı a sf´eroid´aln´ı. N´asledovala dalˇs´ı zobecnˇen´ı teorie, napˇr. pro sebegravituj´ıc´ı tˇelesa (L. Rayleigh, 1906), s vrcholem v pr´aci A. E. H. Lovea (1911), pˇredkl´adaj´ıc´ım teorii modelu planet´arn´ıch rozmˇer˚ u s hloubkovˇe promˇennou hustotou a pˇredpov´ıdaj´ıc´ım periody vlastn´ıch kmit˚ u Zemˇe, vˇ cetnˇe nejdelˇs´ı hodinov´e periody. Identifikace vlastn´ıch m´od˚ u ve spektrech seismogram˚ u v ˇsedes´at´ ych letech pˇrispˇela k dalˇs´ımu mas´ıvn´ımu rozvoji teorie, pokr´ yvaj´ıc´ı dnes uˇz trojrozmˇern´e modely i neelastick´ yu ´tlum, a k rozvoji numerick´eho modelov´an´ı vlastn´ıch kmit˚ u na st´ale v´ ykonnˇejˇs´ıch poˇ c´ıtaˇ c´ıch. Vlastn´ı kmity se osvˇedˇ cily jako efektivn´ı zdroj informac´ı o hlubok´ ych parti´ıch Zemˇe, jak dokl´ad´a sf´ericky syme2
trick´ y model fyzik´aln´ıch parametr˚ u zemsk´eho nitra, tzv. PREM, odvozen´ y s d˚ urazem na splnˇen´ı pozorovan´ ych frekvenc´ı vlastn´ıch m´od˚ u. S tuˇzkou v ruce Pˇri popisu vln ˇs´ıˇr´ıc´ıch se v hudebn´ıch n´astroj´ıch vystaˇ c´ıme s pomˇernˇe jednoduch´ ym matematick´ ym apar´atem. Kmity ve slyˇsiteln´e oblasti jsou natolik rychl´e, ˇze setrvaˇ cn´a s´ıla je dominantn´ı a nem˚ uˇze b´ yt kompenzov´ana niˇ c´ım jin´ ym neˇz silou deformaˇ cn´ı. Ostatn´ı s´ıly, jako s´ıla t´ıhov´eho pole, jsou zanedbateln´e. V takov´em pˇr´ıpadˇe pohybov´a rovnice vyjadˇruje rovnov´ahu pr´avˇe tˇechto dvou sil. Podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ı je situace s kmity tak velk´eho tˇelesa, jak´ ym je Zemˇe. Intuitivnˇe je zˇrejm´e, ˇze vlastn´ı kmity Zemˇe musej´ı b´ yt vzhledem k jej´ım rozmˇer˚ um znaˇ cnˇe pomal´e a relativn´ı deformace velmi mal´e. Do u ´vahy proto vstupuj´ı dalˇs´ı s´ıly, jako prvn´ı s´ıla t´ıhov´a. S n´ı je vˇsak spjat z´asadn´ı probl´em; Zemˇe je tˇelesem sebegravituj´ıc´ım a rotuj´ıc´ım, tj. zm´ınˇenou s´ılu sama generuje a pˇri kmit´an´ı m˚ uˇze sv´e t´ıhov´e pole mˇenit. Mohlo by se zd´at, ˇze vliv tˇechto mal´ ych zmˇen je zanedbateln´ y ve srovn´an´ı s vlivem klidov´eho t´ıhov´eho pole Zemˇe. Zmˇeny t´ıhov´eho pole je vˇsak nutno vz´ıt do u ´vahy, pokud pˇredpokl´ad´ame, ˇze klidov´e t´ıhov´e pole je plnˇe kompenzov´ano hydrostatick´ ym tlakem uvnitˇr Zemˇe. Odchylky napˇet´ı od hydrostatick´eho tlaku, vznikl´e pˇri kmit´an´ı, vysvˇetlujeme pomoc´ı elastick´e reakce zemsk´eho tˇelesa. Z vlnov´eho probl´emu se st´av´a spˇraˇzen´ y probl´em vlnovˇe gravitaˇ cn´ı, kdy spolu s pohybovou rovnic´ı ˇreˇs´ıme souˇ casnˇe i rovnici popisuj´ıc´ı gravitaˇ cn´ı pole. Pˇrirozenou vztaˇznou soustavou, v n´ıˇz vyjadˇrujeme pohybovou rovnici, je soustava rotuj´ıc´ı spolu se Zem´ı. Ta nen´ı inerci´aln´ı, a tak na kmitaj´ıc´ı cˇ´astice zemsk´e hmoty p˚ usob´ı jeˇstˇe s´ıly odstˇrediv´a a Coriolisova. Matematicky lze kmity Zemˇe popsat zjednoduˇsenou (linearizovanou) vektorovou pohybovou rovnic´ı ve tvaru "
#
∂ 2u ∂u %0 + grad ϕ1 + grad (u · grad Φ0 ) − div u grad Φ0 + 2Ω × = div τ , 2 ∂t ∂t (1) doplnˇenou o reologickou vazbu mezi elastick´ ym napˇet´ım τ a vektorem posunut´ı u v podobˇe tenzorov´e rovnice i
h
τ = λ div u I + µ grad u + (grad u)T .
(2)
V rovnic´ıch (1) a (2) veliˇ cina %0 popisuje rozloˇzen´ı hustoty v klidov´em stavu, Φ0 odpov´ıdaj´ıc´ı t´ıhov´ y potenci´al a ϕ1 pˇr´ır˚ ustkov´ y gravitaˇ cn´ı potenci´al generovan´ y deformacemi tˇelesa. Skal´arn´ı funkce λ a µ jsou Lam´eovy koeficienty, 3
vyjadˇruj´ıc´ı elastick´e vlastnosti (ˇreknˇeme pruˇznost v tahu a smyku), jej´ı rotace je pops´ana vektorem Ω, i je identick´ y tenzor a horn´ı index T oznaˇ cuje transpozici. K rovnic´ım (1), (2) pˇristupuje jeˇstˇe tzv. Poissonova rovnice pro ϕ1 : div grad ϕ1 + 4πGdiv (%0 u) = 0 , (3) kde G je gravitaˇ cn´ı konstanta. Voln´ y povrch Zemˇe implikuje homogenn´ı (nulov´e) okrajov´e podm´ınky pro povrchov´e sloˇzky tenzoru napˇet´ı, podobnˇe jako ’ pˇri popisu zvuˇ c´ıc´ıho povrchu zvon˚ u nebo konc˚ u otevˇren´ ych varhann´ıch p´ıˇstal. ˇ sen´ım syst´emu parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic (1)–(3) s dan´ Reˇ ymi parametry %0 , λ, µ pˇredpov´ıme nezn´am´e pole posunut´ı u, soustˇredˇeni zvl´aˇstˇe na frekvenˇ cn´ı informaci v nˇem obsaˇzenou. Porovn´an´ım pˇredpovˇezen´ ych frekvenc´ı s frekvencemi nalezen´ ymi anal´ yzou zaznamenan´ ych vlastn´ıch kmit˚ u se tˇr´ıda pˇrijateln´ ych model˚ u Zemˇe v´ yraznˇe zuˇzuje. Hled´an´ı rozmanit´ ych metod, jak z´ıskat pravdˇepodobn´e profily %0 , λ, µ s co nejlepˇs´ı shodou syntetick´ ych spekter se spektry pozorovan´ ymi, naz´ yv´ame ˇreˇsen´ım obr´acen´e u ´lohy. Obr´acen´e u ´lohy v˚ ubec jsou a budou α + ω glob´aln´ı geofyziky; pˇrinejmenˇs´ım tak dlouho, neˇz ponorky podobn´e tˇreba tˇem z viz´ı Julese Verna nepˇrivezou z hlubin Zemˇe jednoznaˇ cn´e odpovˇedi. Sf´erick´ a symetrie a asymetrie V prvn´ım uˇz pomˇernˇe pˇresn´em pˇribl´ıˇzen´ı zanedb´av´ame vliv rotace a Zemi povaˇzujeme za kouli, jej´ıˇz fyzik´aln´ı parametry ovlivˇ nuj´ıc´ı vlastn´ı kmity, %0 , λ a µ, jsou pouze hloubkovˇe z´avisl´e. V takov´em pˇr´ıpadˇe se vektorov´a pohybov´a rovnice (1) rozpad´a na dvˇe nez´avisl´e skupiny skal´arn´ıch parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic druh´eho ˇr´adu: jedn´e rovnice pro toroid´aln´ı kmity, dvou rovnic pro sf´eroid´aln´ı kmity. Poissonova rovnice (3), spˇraˇzena pouze s kmity sf´eroid´aln´ımi, vstupuje pouze do soustavy pro sf´eroid´aln´ı kmity a doplˇ nuje tak soustavu na celkem tˇri rovnice. Vektor posunut´ı toroid´aln´ıch kmit˚ u splˇ nuje totiˇz podm´ınku div u = 0, vyjadˇruj´ıc´ı nulovou zmˇenu hustoty; pˇr´ır˚ ustkov´ y potenci´al ϕ1 je tak v pˇr´ıpadˇe toroid´aln´ıch kmit˚ u rovnˇeˇz nulov´ y. To m´a z´avaˇzn´ y d˚ usledek pˇri registraci kmit˚ u: zat´ımco toroid´aln´ı kmity lze pozorovat jen pomoc´ı dlouhoperiodick´ ych seismograf˚ u, sf´eroid´aln´ı kmity ovlivˇ nuj´ı i gravimetrick´a mˇeˇren´ı. V pˇr´ıpadˇe kmit˚ u, kdy vektor posunut´ı z´avis´ı pouze na jedn´e prostorov´e ’ promˇenn´e, jak je tomu u strun nebo ve sloupc´ıch vzduchu varhann´ıch p´ıˇstal, rozv´ıj´ıme hledanou veliˇ cinu do goniometrick´e ˇrady; d´elka struny nebo ote4
’ vˇren´e p´ıˇstaly je polovinou vlnov´e d´elky z´akladn´ıho cˇlenu ˇrady. Rozvoj kmit˚ u Zemˇe jako tˇr´ırozmˇern´eho tˇelesa je pˇrimˇeˇrenˇe komplikovanˇejˇs´ı. Pro popis z´avislosti v u ´hlov´em smˇeru, vyj´adˇren´em u ´hly ϑ, φ, sv´azan´ ymi s geocentrickou ˇs´ıˇrkou a d´elkou, vol´ıme analogick´ y rozvoj do tzv. kulov´ ych funkc´ı Yn (ϑ, φ). V ˇreˇsen´ı naˇseho probl´emu je podstatn´e, ˇze po dosazen´ı tˇechto rozvoj˚ u na m´ısta sloˇzek posunut´ı u, sloˇzek tenzoru napˇet´ı τ a pˇr´ır˚ ustkov´eho gravitaˇ cn´ıho potenci´alu ϕ1 dostaneme pro kaˇzd´ y cˇlen rozvoje, dan´ y tzv. u ´hlov´ ym cˇ´ıslem neboli stupnˇem n, samostatnou obyˇ cejnou diferenci´aln´ı rovnici v pˇr´ıpadˇe toroid´aln´ıch kmit˚ u cˇi soustavu tˇr´ı obyˇ cejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic v pˇr´ıpadˇe ˇ sen´ı tˇechto obyˇ sf´eroid´aln´ıch kmit˚ u. Reˇ cejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic, jimiˇz jsou nezn´am´e funkce radi´aln´ı promˇenn´e r, lze pro pevn´e n ch´apat opˇet jako rozvoj, tentokr´at ve funkc´ıch r. Tento rozvoj obecnˇe nelze urˇ cit analyticky, tvar ˇreˇsen´ı se urˇ cuje numerickou integrac´ı. Celkovˇe je tedy v´ ysledn´a ˇrada ˇradou dvojnou; sˇ c´ıt´a se nejen pˇres u ´hlov´e cˇ´ıslo n, ale i pˇres cˇ´ıslo `, nˇekdy naz´ yvan´e hloubkov´ ym. Kaˇzd´ y cˇlen t´eto ˇrady pˇredstavuje samostatn´ y kmit, charakterizovan´ y cˇasovou periodou, pro kterou m´a pohybov´a rovnice nenulov´e ˇreˇsen´ı. Toroid´aln´ı, resp. sf´eroid´aln´ı kmity, odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym cˇlen˚ um ˇrady, b´ yv´a zvykem znaˇ cit ` Tn , resp. ` Sn , v souladu se znaˇ cen´ım z´akladn´ıch kmit˚ u zm´ınˇen´ ych uˇz v u ´vodu. Obr. 3 zachycuje cˇ´ast Fourierova spektra (viz d´ale) zm´ınˇen´eho Chilsk´eho zemˇetˇresen´ı, frekvence jednotliv´ ych pozorovan´ ych kmit˚ u, pˇripraven´e z ˇsirˇs´ı kolekce z´aznam˚ u, jsou shrnuty na obr. 4. Kmit 0 S2 m´a d´elku periody t´emˇeˇr 54 minut a je tak nejdelˇs´ı. Za povˇsimnut´ı stoj´ı, ˇze nˇekter´e kmity, aˇ c teoreticky pˇredpovˇezeny, nejsou takˇrka pozorovateln´e. Takov´ ym kmitem je napˇr´ıklad z´akladn´ı toroid´aln´ı kmit 0 T2 . Jedn´a se patrnˇe o podobn´ y efekt jako u varhan’ s potlaˇ n´ıch p´ıˇstal cen´ ym z´akladn´ım harmonick´ ym t´onem, tzv. pˇrefukuj´ıc´ıch ’ znˇej´ıc´ıch obvykle o okt´avu v´ p´ıˇstal, yˇse neˇz by odpov´ıdalo jejich d´elce. Zaj´ımav´e je tak´e sledovat rozloˇzen´ı energie jednotliv´ ych vlastn´ıch kmit˚ u s mˇen´ıc´ı se hloubkou v Zemi. To je moˇzn´e pouze s teoretick´ ymi modely, nebot’ pˇr´ım´a pozorov´an´ı jsou prakticky omezena na zemsk´ y povrch. Obecnˇe lze ˇr´ıci, ˇze s rostouc´ı frekvenc´ı se v´ıce a v´ıce kinetick´e energie kmit˚ u koncentruje v podpovrchov´ ych parti´ıch Zemˇe; fyzik takov´e chov´an´ı naz´ yv´a skinefektem. Vlastn´ı kmity Zemˇe tak pˇrech´azej´ı v povrchov´e vlny, toroid´aln´ı kmity v Loveovy vlny, sf´eroid´aln´ı kmity v Rayleighovy vlny. Samozˇrejmˇe nen´ı n´ahodou, ˇze oba typy povrchov´ ych vln nesou jm´ena jiˇz zm´ınˇen´ ych klasik˚ u teorie vlastn´ıch kmit˚ u. 5
O obecn´ ych modelech Zemˇe, kter´e nejsou sf´ericky symetrick´e, jen kr´atce. Ze stˇredoˇskolsk´e chemie cˇi vysokoˇskolsk´e atomov´e fyziky je zn´am´ y pojem degenerovan´ y multiplet. Jde o skupinu spektr´aln´ıch cˇar (singlet˚ u) postiˇzen´ ych ztr´atou identity, vyˇ ck´avaj´ıc´ıch vhodn´e pˇr´ıleˇzitosti k jej´ımu znovunabyt´ı. Je-li multipletem energetick´a hladina (frekvence vyzaˇrov´an´ı) sf´ericky symetrick´eho atomu a vhodnou pˇr´ıleˇzitost´ı pˇriloˇzen´ı vnˇejˇs´ıho magnetick´eho pole, hovoˇr´ıme o Zeemanovˇe jevu. Je-li multipletem vlastn´ı kmit sf´ericky symetrick´eho modelu Zemˇe a vhodnou pˇr´ıleˇzitost´ı obohacen´ı modelu o rotaci, later´aln´ı (tj. horizont´aln´ı) nehomogenity parametr˚ u cˇi topografii povrchu a vnitˇrn´ıch rozhran´ı, hovoˇr´ıme o ˇstˇepen´ı vlastn´ıch kmit˚ u Zemˇe; detailn´ı tvar u ´seku spektra kolem kmitu 0 S2 je pro uk´azku vynesen na obr. 5. V obou pˇr´ıpadech se jedn´a o naruˇsen´ı sf´erick´e symetrie nesf´erickou perturbac´ı; v´ ysledkem je ˇstˇepen´ı multiplet˚ u a komplikovanˇejˇs´ı spektrum. Charakteristick´ y rozmˇer fyzik´aln´ıho jevu, nanometry v prvn´ım pˇr´ıpadˇe a tis´ıce kilometr˚ u v pˇr´ıpadˇe druh´em, jak vidno, v tomto opusu nehraje. Od cˇasu k frekvenc´ım Dlouhoperiodick´ y cˇasov´ y sign´al f (t), t≥0, je v´ yhodn´e popsat ˇradou tlumen´ ych goniometrick´ ych funkc´ı (tlumen´ ych harmonik), napˇr. f (t) =
X
Ak cos(ωk t + Φk )e−αk t ,
(4)
k
kde Ak je poˇ c´ateˇ cn´ı amplituda, Φk f´aze, ωk u ´hlov´a frekvence a αk u ´tlum k-t´eho cˇlenu ˇrady. Bˇeˇzn´ ym pˇr´ıkladem elastick´ ych vlastn´ıch m´od˚ u je chvˇen´ı zvonu. Udeˇr´ımeli do zvonu, slyˇs´ıme zvuk sloˇzen´ y z ˇrady t´on˚ u, jejichˇz frekvence a u ´tlum charakterizuj´ı akustick´e vlastnosti zvonu. Kaˇzd´ y jednotliv´ y zvuk z´avis´ı ovˇsem ˇ ım vˇetˇs´ı silou udeˇr´ıme, t´ım vˇetˇs´ı b´ tak´e na s´ıle a zp˚ usobu u ´deru do zvonu. C´ yv´a amplituda oscilac´ı, zvon v´ıce zn´ı; vhodnˇe veden´ ym u ´derem m˚ uˇzeme naopak vybudit jen nˇekter´e harmoniky. Vr´at´ıme-li se k vlastn´ım kmit˚ um Zemˇe, pak ωk a αk popisuj´ı charakteristick´e vlastnosti zemsk´eho nitra, zat´ımco Ak a Φk ´ ukazuj´ı na vlastnosti zemˇetˇresn´eho zdroje. Utlum αk b´ yv´a vyjadˇrov´an pomoc´ı faktoru kvality Qk , ωk αk = . (5) 2Qk Je-li faktor Qk velk´ y, je u ´tlum αk mal´ y a kmit´an´ı trv´a dlouho, v opaˇ cn´em pˇr´ıpadˇe jsou oscilace rychle tlumeny. Hodnoty Qk vlastn´ıch kmit˚ u Zemˇe leˇz´ı 6
v intervalu 100 aˇz 6000, coˇz je hodnota dostateˇ cn´a, aby αk ¿ ωk , a tlumen´ı kmit˚ u je tedy slab´e. Ze z´aznamu zemˇetˇresen´ı na obr. 1 je zˇrejm´e, ˇze rozliˇsit jednotliv´e tlumen´e harmoniky nen´ı u ´lohou ani pro cviˇ cen´e oko. Vid´ıme pouze interferenˇ cn´ı obraz mnoha tlumen´ ych harmonik. Standardn´ı cestou k rozliˇsen´ı individu´aln´ıch kmit˚ u je frekvenˇ cn´ı anal´ yza cˇasov´eho sign´alu f (t); Fourierov´ ym spektrem cˇasov´e funkce f (t) nazveme komplexn´ı funkci u ´hlov´e frekvence ω, f (ω) =
Z ∞ −∞
f (t)e−iωt dt .
(6)
Uvaˇzme nyn´ı jeden cˇlen cˇasov´eho sign´alu (4) ve tvaru (
ck (t) =
cos(ωk t)e−αk t 0
pro t ≥ 0 , pro t < 0 .
(7)
Transformac´ı (6) dost´av´ame Z ∞
´ 1 Z ∞ ³ iωk t ck (ω) = cos(ωk t)e e dt = e + e−iωk t e−αk t e−iωt dt 2 0 0 " # 1 1 1 1 1 ' = + 2 αk − i(ωk − ω) αk + i(ωk + ω) 2 αk − i(ωk − ω) αk ωk − ω i 1 + . (8) = 2 2 2 2 αk + (ωk − ω) 2 αk + (ωk − ω)2 −αk t −iωt
V druh´em ˇra´dku jsme zanedbali druh´ y sˇ c´ıtanec, nab´ yvaj´ıc´ı pro kladn´e frekvence v okol´ı ωk mal´ ych hodnot ve srovn´an´ı s prvn´ım sˇ c´ıtancem (αk je mal´e). Pr˚ ubˇeh modulu, re´aln´e a imagin´arn´ı cˇ´asti ck (ω) s charakteristick´ ym vrcholem, tzv. p´ıkem, je zn´azornˇen na obr. 6. Spektrum seismogramu (obr. 3) je d´ano sloˇzen´ım podobn´ ych spekter, centrovan´ ych na r˚ uzn´ ych frekvenc´ıch. V´ ysledn´ y tvar je vˇsak komplikov´an nˇekolika efekty. Za prv´e, z rovnice (8) plyne, ˇze poloˇs´ıˇrka spektr´aln´ıho p´ıku je pˇr´ımo u ´mˇern´a u ´tlumu αk ; cˇ´ım m´enˇe tlumen´ y m´od, t´ım uˇzˇs´ı spektr´aln´ı p´ık. Za druh´e, spektr´aln´ı p´ık ck (ω) netlumen´eho sign´alu (tj. s αk =0) ub´ yv´a jako 1/|ωk − ω|, coˇz je pouze 6 dB na okt´avu, p´ıky tlumen´ ych sign´al˚ u ub´ yvaj´ı jeˇstˇe pomaleji. Separace kmit˚ u s bl´ızk´ ymi frekvencemi je proto na re´aln´ ych z´aznamech znaˇ cnˇe zt´ıˇzena. Dalˇs´ım probl´em je koneˇ cn´a d´elka z´aznamu. Fourierovo spektrum funkce ck (t) omezen´e na interval 0 ≤ t ≤ T nem´a pouze jeden spektr´aln´ı vrchol 7
na hledan´e frekvenci ωk , ale obsahuje tak´e ˇradu postrann´ıch, faleˇsn´ ych p´ık˚ u. Energie kmitu s frekvenc´ı ωk je tak rozprostˇrena i na frekvence postrann´ıch lalok˚ u. Tento jev b´ yv´a naz´ yv´an prosakov´an´ım energie. K jeho potlaˇ cen´ı je tˇreba zvolit spektr´aln´ı metodu tlum´ıc´ı postrann´ı laloky, souˇ casnˇe je vˇsak nutno ˇza´dat co nejuˇzˇs´ı centr´aln´ı p´ık, aby nebylo sniˇzov´ano spektr´aln´ı rozliˇsen´ı. Tyto dva poˇzadavky nelze z principu splnit souˇ casnˇe, ale je tˇreba zvolit optim´aln´ı kompromis. Hled´an´ım tohoto kompromisu se zab´ yv´a tzv. teorie odhadu v´ ykonov´e spektr´aln´ı hustoty. A jak s akordy? Historie pˇredstav o stavbˇe Zemˇe je star´a tis´ıce let. Omez´ıme-li se na dvˇe posledn´ı desetilet´ı, pak jedn´ım z konkr´etn´ıch vyj´adˇren´ı tˇechto pˇredstav je sf´ericky symetrick´ y model publikovan´ y v roce 1981 pod n´azvem PREM (Preliminary Reference Earth Model). Tento model je v´ ysledkem dlouhodob´e snahy vytvoˇrit obecnˇe pˇrijateln´e reprezentanty dvou, bohuˇzel vz´a jemnˇe nesluˇ citeln´ ych, tˇr´ıd model˚ u: modelu co nejjednoduˇsˇs´ıho a modelu co nejpˇresnˇejˇs´ıho. PREM patˇr´ı k tˇem jednoduˇsˇs´ım a je dnes z tˇech nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch. Vstupn´ımi daty t´eto velkolep´e obr´acen´e u ´lohy byly z´akladn´ı astronomicko-geodetick´e u ´daje (polomˇer, hmotnost, moment setrvaˇ cnosti Zemˇe), kolekce t´emˇeˇr dvou mili´on˚ u cˇas˚ u pˇr´ıchodu pod´eln´ ych a pˇr´ıˇ cn´ ych objemov´ ych vln, poznamenan´a vˇsak znaˇ cnˇe nestejnomˇern´ ym rozloˇzen´ım epicenter zemˇetˇresen´ı i registraˇ cn´ıch stanic, a poprv´e kolem tis´ıce frekvenc´ı vlastn´ıch kmit˚ u. PREM poskytuje hustotu %0 , dva elastick´e parametry (rychlosti objemov´ ych seismick´ ych vln vP , vS , spojen´e s parametry λ, µ jednoduch´ ym pˇrepoˇ ctem) a faktor kvality Q jako po cˇ´astech polynomi´aln´ı funkce nejv´ yˇse tˇret´ıho stupnˇe. Jednotliv´e vrstvy koresponduj´ı s vnitˇrn´ım a vnˇejˇs´ım j´adrem, pl´aˇstˇem s v´ yznamn´ ymi diskontinuitami v hloubk´ach 400 a 670 km, tzv. z´onou n´ızk´ ych rychlost´ı nad rozhran´ım v 220 km, litosf´erou se spodn´ı a svrchn´ı k˚ urou a oce´anskou vrstvou. PREM je dnes vˇrele pˇrij´ım´an geofyzik´aln´ı veˇrejnost´ı; vˇseobecn´ y optimismus je podporov´an oˇ cek´av´an´ım, ˇze jeho pˇr´ıpadn´e odchylky od skuteˇ cn´ ych hodnot nepˇrekroˇ c´ı nejv´ yˇse nˇekolik procent. Pr˚ ubˇeh hustoty %0 a rychlost´ı vP , vS jako funkce hloubky je vynesen na obr. 7. Popis Zemˇe jako spojit´eho prostˇred´ı, pˇredpjat´eho v d˚ usledku sv´ ych rozmˇer˚ u svou vlastn´ı gravitaˇ cn´ı silou, je kvalitn´ım stavebn´ım z´akladem nejen pro teorii vlastn´ıch kmit˚ u. Staˇ c´ı pˇridat vnˇejˇs´ı gravitaˇ cn´ı pole a t´ ymiˇz rovnicemi s tentokr´at nenulov´ ymi okrajov´ ymi podm´ınkami se poˇ c´ıtaj´ı slapov´e efekty, tedy deformace Zemˇe vlivem Mˇes´ıce, Slunce a ostatn´ıch vesm´ırn´ ych 8
tˇeles (mimochodem, vyjadˇrovan´e bezrozmˇern´ ymi tzv. Loveov´ ymi cˇ´ısly — A. E. H. Love potˇret´ı). Staˇ c´ı zamˇenit elastickou reologii (2) za reologii viskoelastickou a m´ısto slap˚ u se modeluje dosud mˇeˇriteln´ y (v cm/rok) v´ yzdvih oblast´ı (Kanady, Skandin´avie) stlaˇ cen´ ych mohutn´ ymi ledovci za doby ledov´e pˇred v´ıce neˇz deseti tis´ıci lety. A tak jedni modeluj´ı minutov´e vlastn´ı kmity, druz´ı mˇes´ıˇ cn´ı slapov´e vlny, tˇret´ı tis´ıcilet´e relaxaˇ cn´ı cˇasy postglaci´aln´ıho v´ yzdvihu a vˇsichni dohromady se pokouˇsej´ı porozumˇet Zemi, jakkoliv jsou jej´ı akordy urˇ ceny pro jinou registraˇ cn´ı aparaturu, neˇz jakou je lidsk´e ucho.
Podˇekov´ an´ı Autoˇri jsou zav´az´ani doc. RNDr. Jiˇr´ımu Zahradn´ıkovi, CSc. za cˇetn´e podnˇety napom´ahaj´ıc´ı zv´ yˇsit pˇresnost, srozumitelnost a cˇtivost textu.
Doporuˇ cen´a literatura [1] Aki K., Richards P. G.: Quantitative Seismology, San Francisco, W. H. Freeman and Co. 1980 [2] Bolt, B. A.: Inside the Earth, San Francisco, W. H. Freeman and Co. 1982 [3] Dziewonski, A. M., Anderson, D. L.: Preliminary Reference Earth Model, Phys. Earth Planet. Inter. 25 (1981), 297 [4] Fowler, C. M. R.: The Solid Earth, Cambridge University Press 1990 [5] Jacobs, J. A.: A Textbook on Geonomy, London, Adam Hilger 1974
9
Texty k obr´ azk˚ um Obr. 1. Dvacetihodinov´ y z´aznam vertik´aln´ıch pohyb˚ u zaznamenan´ ych na univerzitn´ı seismick´e stanici v Berkeley po zemˇetˇresen´ı v Indon´esii 19. srpna 1977. Vlna s nˇekolikahodinovou periodou je slapov´eho p˚ uvodu. ˇ Vodorovnˇe: cas v hod., svisle: posunut´ı v µm. Podle [2]. Obr. 2. Skica tvaru toroid´aln´ıch m´od˚ u 0 T2 , 1 T2 a sf´eroid´aln´ıch m´od˚ u 0 S2 , 0 S3 . Podle [4]. Obr. 3. Fourierovo spektrum vlastn´ıch m´od˚ u historick´ ych zemˇetˇresen´ı v Chile a na Aljaˇsce. Svisl´e cˇ´ary znaˇ c´ı frekvence m´od˚ u 0 Tn , 0 S n . Vodorovnˇe: frekvence v mHz, svisle: relativn´ı amplitudy. Podle [5]. Obr. 4. Pozorovan´e frekvence v´ yznamn´ ych a) toroid´aln´ıch, b) sf´eroid´aln´ıch vlastn´ıch kmit˚ u. Linie spojuj´ı frekvence kmit˚ u se stejn´ ymi hloubkov´ ymi cˇ´ısly. Vodorovnˇe: u ´hlov´e cˇ´ıslo n, svisle: u ´hlov´a frekvence v rad/s. Podle [1]. ˇ epen´ı sf´eroid´aln´ıho multipletu 0 S2 . Periody tˇr´ı dominantn´ıch sinObr. 5. Stˇ ˇ glet˚ u jsou ud´any v minut´ach. Sipky pˇri vodorovn´e ose oznaˇ cuj´ı teoretick´e frekvence prvk˚ u multipletu rozˇstˇepen´eho pouze vlivem rotace. Vodorovnˇe: frekvence v min−1 , svisle: relativn´ı amplitudy. Podle [2]. Obr. 6. Modul |ck | a re´aln´a a imagin´arn´ı cˇ´ast ck (ω), viz text. Vodorovnˇe: u ´hlov´a frekvence, svisle: amplitudy. Obr. 7. Pr˚ ubˇeh hustoty %0 a rychlost´ı vP , vS sf´ericky symetrick´eho modelu Zemˇe PREM. K nejvˇetˇs´ım skok˚ um zobrazen´ ych veliˇ cin doch´az´ı na rozhran´ı pl´aˇstˇe a j´adra v hloubce 2891 km. Vodorovnˇe: hloubka v km, svisle: hustota v tis´ıc´ıch kg/m3 , rychlosti v km/s. Podle [3].
10
