SUKU KE-n BARISAN ARITMETIKA TINGKAT DUA, TIGA DAN EMPAT DENGAN PENDEKATAN AKAR KARAKTERISTIK Drs. Sumarno Imail, M.Pd ABSTRAK Untuk memenuhi kebutuhan dalam pengembangan pemahaman terhadap substansi materi barisan aritmetika, kajian ini memberikan uraian tentang barisan aritmetika tingkat tinggi. Uraian hanya dibatasi pada barisan aritmetika tingkat dua, tingkat tiga dan tingkat empat. Kajian didasarkan tinjauan teoretis melalui pendekatan relasi rekursif melalui akarkarakteristik. Hasil dari kajian adalah : (1) Pola umum suku ken dari suatu barisan aritmetika tingkat dua adalah a n 3a n-1 3a n-2 a n-3 dengan syarat atau nilai awal a , a dan a 3 , dengan solusi umum pola barisan aritmetika 1
2
tingkat dua a n c1 c2 n c3n 2 , (2) Pola umum suku ke-n dari suatu barisan aritmetika tingkat tiga adalah a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 dengan syarat atau nilai awal
a1 ,
a 2 , a 3 dan
a 4 , solusi umum pola barisan aritmetika tingkat tiga
a n c1 nc2 n 2c3 n 3c4
dan (3) Pola umum suku ke-n dari suatu barisan
aritmetika tingkat empat adalah a n 5a n-1 10a n-2 10a n-3 5a n-4 a n-5 . solusi umum pola barisan aritmetika tingkat empat 2 3 4 a n c1 c2 n c3n c4 n c5 n . PENDAHULUAN Barisan aritmetika merupakan salah satu dari barisan bilangan yang menjadi salah satu materi pokok di dalam kurikulum matematika sekolah khsusnya di sekolah menengah. Sebagi ciri utama dari barisan ini adalah setiap suku yang berurutan memiliki selisih atau beda yang sama. Pokok kajian substansi materi ini adalah (1) menentukan beda, (2) menentukan suku ke-n dan (3) menghitung jumlah n buah suku berurutan. Jika ruang lingkup substansi materi barisan ini hanya dibatasi pada tiga hal di atas, maka sering dirasakan belum cukup untuk mengembangkan kemampuan penalaran matematika dalam menyelesaikan masalah yang terkait. Sebagian besar mereka yang pernah mempelajari barisan aritmetika berpendapat bahwa ( a n ) = (2, 3, 7, 14, 24, 37, …) bukan merupakan barisan aritmetika. Alasan
1
yang dikemukakan adalah barisan ini tidak memenuhi syarat sebagai barisan aritmetika sebab suku-suku yang berurutan pada barisan ini semuanya berbeda. Untuk memenuhi kebutuhan dalam pengembangan pemahaman terhadap substansi materi barisan aritmetika, kajian ini memberikan uraian tentang barisan aritmetika tingkat tinggi. Sebagai kajian awal uraian hanya dibatasi pada barisan aritmetika tingkat dua, tingkat tiga dan tingkat empat. Induktif menjadi pendekatan yang digunakan di dalam kajian ini. Dalam hal ini (1) diberikan sajian contoh barisan aritmetika tingkat dua, tingkat tiga dan tingkat empat, (2) tinjauan suku dan beda, (3) hubungan barisan pada satu tingkat dengan tingkat berikutnya dan (4) pendekatan relasi rekursif dengan akar karakteristik untuk menemukan pola barisan aritmetika tingkat dua, tingkat tiga dan tingkat empat dan (5) penarikan kesimpulan suku ke-n suatu barisan aritmetika tertentu pada tingkat dua, tingkat tiga dan tingkat empat. TINJAUAN BARISAN ARITMETIKA TINGKAT TINGGI 1.1
Barisan Aritmetika Tingkat Dua Secara
umum
barisan
bilangan
dapat
dinyatakan
sebagai
( a n ) = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ,..., a n ). Dalam hal ini ( a n ) nama barisan bilangan,
a 1 suku pertama, a 2 suku kedua, a 3 suku ketiga dan seterusnya
a n adalah suku ke-n. Beda dari dua suku yang berutan adalah selisih dari suku sesudahnya dan suku sebelumnya, seperti a - a , a 3 a 2 , a 4 a 3 , 2 1
a 5 a 4 dan seterusnya a
n
a n -1 .
Misalkan suatu barisan ( a n ) = (2, 3, 7, 14, 24, 37, …). Selisih masing-masing suku yang berurutan dari barisan ini berturut-turut sebagai berikut:
a 2 - a1 = 3 – 1 = 1 a3 a 2 = 7 – 3 = 4
2
a 4 a 3 = 14 – 7 = 7 a 5 a 4 = 24 -14 = 10 a 6 a 5 = 37 -24 = 13 dan seterusnya
Jika diperhatikan bilangan-bilangan sebagai beda dari setiap suku berurutan pada barisan ( a n ), maka diperoleh barisan ( b n ) = (1, 4, 7, 10, 13, …). Sekarang ditemukan bahwa barisan ( b n ) adalah barisan aritmetika karena setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang sama yakni k = 3. Barisan (
a n ) dan ( b n ) dapat disajikan secara bertingkat sebagai berikut.
Tingkat dua
Tingkat satu
2
3
1
4
3
Beda
7
14
7
24
10
3
3
…
13
3
…
37
…
Kecermatan kita mengamati barisan di atas menemukan bahwa barisan ( a n ) ditingkat dua menghasilkan barisan ( b n ) ditingkat satu sebagai barisan aritmetika dengan beda k = 3. Oleh sebab itu ( a n ) dinamakan barisan aritmetika tingkat dua. Definisi 1 : Barisan aritmetika tingkat dua adalah suatu barisan di tingkat dua yang menghasilkan barisan aritmetika di tingkat satu. Secara umum barisan aritmetika tingkat dua susunannya sebagai tingkatan dimaksus disajikan sebagai berikut:
3
a1
a3
a2 b1
a4 b3
b2 k
k
b4 k
…
b5 k
…
a6
a5
(2.1)
…
Dari (2.1) diperoleh hubungan sebagai berikut a 2 a 1 b1
b 2 b1 k
a3 a 2 b2
b3 b2 k
a 4 a 3 b3
b4 b3 k
a5 a 4 b4
b5 b4 k
a 6 a 5 b5
b6 b5 k
.
.
.
.
.
.
a n a n -1 b n
b n b n -1 k
(2.2)
Dari (2.2) diperoleh :
a3 a 2 b2 a 2 a 1 b1 (2.3)
a 3 2a 2 a 1 b 2 b 1 k
a 4 a 3 b3 a3 a 2 b2 a 4 2a 3 a 2 b 3 b 2 k
(2.4)
Dari (2.3) dan (2.4) diperoleh :
a 4 2a 3 a 2 a 3 2a 2 a 1
a 4 3a 3 3a 2 a 1
(2.5)
4
a 6 a 5 b5 a5 a 4 b4
(2.6)
a 6 2a 5 a 4 b 5 b 4 k
a 7 a 6 b6 a 6 a 5 b5
(2.7)
a 7 2a 6 a 5 b 6 b 5 k Dari (2.6) dan (2.7)
a 7 2a 6 a 5 a 6 2a 5 a 4
a 7 3a 6 3a 5 a 4
(2.8)
Dari (2.5) dan (2.8) dapat dibuat analog;
a 4 3a 3 3a 2 a 1 a 5 3a 4 3a 3 a 2 a 6 3a 5 3a 4 a 3 a 7 3a 6 3a 5 a 4 . . . a n 3a n -1 3a n -2 a n -3 Pola suku ke-n suatu barisan aritmetika tingkat dua adalah
a n 3a n-1 3a n-2 a n-3
5
(2.9)
Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat dua didasarkan pada pola tersebut, jika diselesaikan secara rekursif, maka diperlukan nilai awal a1 , a 2 dan a 3 (disebut tiga nilai awal atau syarat awal).
Secara rekursif dengan metode akar karakteristik beberapa hal yang perlu diperhatikan adalah : Hal-hal yang dirangkum tentang relasi rekursif dari Budayasa ( 2010) adalah sebagai berikut : Untuk a n c1a n -1 c 2a n - 2 c3a n -3 ... c n a n - k 0 (1) Misalkan an = xn , x 0; (2) Substitusikan ai dengan xi, i {n, n-1, n-2,…,n-k}, sedemikian sehingga diperoleh bagian rekursif; (3) Lakukan
pembagian
xn-k,
dengan
sedemikian
sehingga
diperoleh
persamaan xk + c1xk-1 + c2xk-2 + … + ck = 0 yang disebut persamaan karakteristik dari relasi rekursif yang ini memiliki k buah akar; (4) Dapatkan solusi umum relasi rekursif tersebut Sejalan dengan pendapat di atas, Sugirman (204, 117) mengemukakan pada relasi homogen berorder dua secara umum dinyatakan : Cnan + Cn-1an-1 + Cn-2 an-2 = 0; n ≥ 2. Pada dasarnya kita akan mencari solusi dalam bentuk an = crn; dimana c ≠ 0 dan r ≠ 0 . Pada bagian ini kita akan membahas relasi homogen berorder dua: Cnrn + Cn-1 rn-1 + Cn-2 rn-2 = 0; n ≥ 2. Pada dasarnya kita akan mencari solusi dalam bentuk an = c rn; dalam hal ini c ≠ 0 dan r ≠ 0. Contoh 1: Menentukan suku ke-n dari ( a n ) = (2, 3, 7, 14, 24, 37, …) Pola barisan aritmetika tingkat dua pada
(2.9) dapat digunakan untuk
menentukan suku ke-n dari ( a n ) sebagai berikut:
6
a n 3a n-1 3a n-2 a n-3 , n 4 dengan a
a 7 1 2 , a 2 3 dan 3
Misalkan a n x n , x 0 Substitusi a n x n ke a n
3a n-1 3a n-2 a n-3 ,
sedemikian sehingga diperoleh
bagian rekursif:
x n 3x n-1 3x n-2 x n-3 , bagilah persamaan ini dengan x n-3 sedemikian sehingga diperoleh
x 3 3x 2 3x 1 ; x 3x 3x 1 0 disebut persamaan karakteristik. 3
2
(x – 1) (x – 1)(x – 1) = 0 diperoleh akar-akar : x1 x 2 x 3 1 dalam hal ini persamaan karakteristik memiliki 3 buah
akar rangkap, sehingga solusi umum dari pola di atas dinyatakan sebagai :
a n c1x1n c2 nx n2 c3n 2 x 3n karena x1 x 2 x 3 1 , maka a c (1n ) c n(1n ) c n 2 (1n ) n
1
2
3
a n c1 c2 n c1n 2 dinamakan solusi umum. Karena syarat atau nilai awal a 2 , a 3 dan a 3 7 , maka 1 2 diperoleh, maka berturut-turut diperoleh :
a1 c1 c2 (1) c3 (12 ) c1 c2 c3 2
(*)
a 2 c1 c2 (2) c3 (22 ) c1 2c2 4c3 3
(**)
a 3 c1 c2 (3) c3 (32 ) c1 3c2 9c3 7
(***)
Persamaan (*), (**) dan (***) merupakan system persamaan linier dalam
c1 , c2 , c3 . Himpunan penyelesaian dari system persamaan linier ini
7
adalah c1 4, c2 -
7 2
dan
c3
3 . Jika nilai-nilai ini disubstitusikan 2
ke solusi umum, maka diperoleh : a n 4
7 3 n n2 2 2
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat dua dari ( a n ) = (2, 3, 7, 14, 24, 37, …) adalah : 7 3 2 an 4 n n dengan nilai awal 2 2
7 3 2 x4 x4 2 2 28 48 a4 4 14 2 2 7 3 a 4 4 x 6 x 62 2 2 42 108 a6 4 37 2 2 a4 4
Cek suku ke-4 :
Cek suku ke-6 :
1.2
Barisan Aritmetika Tingkat Tiga Perhatikan barisan ( a n ) = (1, 3, 8, 18, 53, 61, 98, 148, … ), barisan ini disusun dalam tingkat sebagai berikut Tingkat tiga Tingkat dua Tingkat satu Beda
1
3 2
8 5
3
18 10
17
5 2
35
7 2
37 …
26
11 …
9 2
98 …
61
2
…
Misalkan barisan di tingkat tiga ( a n ) = (1, 3, 8, 18, 53, 61, 98, 148, … ) barisan di tingkat dua ( b n ) = (2, 5, 10, 17, 26, 37, …) barisan di tingkat satu ( c n ) = (3, 5, 7, 9, 11, …)
8
Memperhatikan barisan di atas, ditemukan bahwa barisan ( a n ) di tingkat tiga menghasilkan barisan ( c n ) di tingkat satu sebagai barisan aritmetika dengan beda k = 2. Oleh sebab itu ( a n ) dinamakan barisan aritmetika tingkat tiga. Definisi 2 : Barisan aritmetika tingkat tiga adalah suatu barisan di tingkat tiga yang menghasilkan barisan aritmetika di tingkat satu. Secara umum barisan aritmetika tingkat dua dapat susunan barisan dalam tingkatan itu disajikan sebagai berikut:
Tingkat tiga
a1
Tingkat dua Tingkat satu
a3
a2 b1
b2 c1
Beda
c3
k
…
b5
…
bn
c4
…
cn
…
k
b4
b3 c2
a6
a5
a4
k
k
an
(3.1)
Dari (3.1) diperoleh hubungan sebagai berikut a 2 a 1 b1
b 2 b 1 c1
c 2 c1 k
a3 a 2 b2
b3 b2 c2
c3 c 2 k
a 4 a 3 b3
b 4 b3 c3
c4 c3 k
a5 a 4 b4
b 5 b 4 cb 4
c5 c 4 k
a 6 a 5 b5
b6 b5 c5
c6 c5 k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n a n -1 b n
b n b n -1 c n
c n c n -1 k
Dari (3.2) diperoleh :
9
(3.2)
b3 b 2 c2 b 2 b1 c1 (3.3)
b 3 2b 2 b1 c 2 c1 k b 4 b3 c3 b3 b 2 c2 b 4 2b 3 b 2 c 3 c 2 k
(3.4)
Dari (3.3) dan (3.4) diperoleh :
b 4 2b 3 b 2 b 3 2b 2 b1
b 4 3b3 3b 2 b1
(3.5)
Dari (3.2) dan (3,5) diperoleh:
b 4 3b3 3b 2 b1 a 5 - a 4 3(a 4 a 3 ) 3(a 3 a 2 ) (a 2 a1 ) a 5 a 4 3a 4 3a 3 3a 3 3a 2 a 2 a1 a 5 4a 4 6a 3 4a 2 a 1 Analog dengan (3.3), (3.4) dan (3.5) dapat ditunjukkan
a 6 4a 5 6a 4 4a 3 a 2 a 7 4a 6 6a 5 4a 4 a 3 a 8 4 a 7 6 a 6 4a 5 a 4 .
. . . a n 4a n -1 6a n -2 4a n -3 a n -4
10
(3.6)
Jadi pola suku ke-n suatu barisan aritmetika tingkat tiga adalah
a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 Berdasarkan pola tersebut,
(3.7)
selanjutnya rumus suku ke-n dari barisan
aritmetika tingkat tiga dapat diselesaikan secara rekursif. Penyelesaian secara rekursif memerlukan 4 buah nilai awal yakni a1 , a 2 , a 3 dan a 4 Contoh 2: Menentukan suku ke-n dari ( a n ) = (1, 3, 8, 18, 53, 61, 98, 148, … ) Pola barisan aritmetika tingkat tiga pada
(3.7) dapat digunakan untuk
menentukan suku ke-n dari ( a n ) sebagai berikut:
a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 , n 5 dengan a 1 , a 3 , a 3 8 dan 2 1 a 4 18 Menggunakan pendekatan akar karakteristi, misalkan a n x n , x 0 Substitusi a n x n ke a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 , sedemikai
n n-1 6x n-2 4x n-3 x n-4 , sehingga diperoleh bagian rekursif: x 4x bagilah persamaan ini dengan
x n-4 sedemikian sehingga diperoleh
x 4 4x 3 6x 2 4x 1 x 4 4x 3 6x 2 4x 1 0 persamaan ini disebut persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik ini ternyata memiliki 4 akar rangkap yaitu: x1 x 2 x 3 x 4 1 , sehingga solusi umum dari pola di atas dinyatakan
sebagai :
a n c1x1n c2nxn2 c3n 2 x 3n c4n 3x n4 karena x1 x 2 x 3 x 4 1 , maka
a n c1 (1n ) c2 n(1n ) c3n 2 (1n ) c3n 3 (1n ) diperoleh
11
a n c1 c2 n c3n 2 c4 n 3
atau
a n c1 nc2 n 2c3 n 3c4
dinamakan solusi umum yang memerlukan 4 syarat atau nilai awal yakni
a1 , a2 , a3 dan a4 . Solusi umum ini digunakan untuk menemukan rumus suku ke-n dari bariasan pada barisan ( a n ) = (1, 3, 8, 18, 53, 61, 98, 148, … ), di dalamnya terdapat syara awal yakni a 1 , a 3 , a 3 8 dan a 4 18 , jika disubstitusikan ke 2 1 solusi umum, maka diperoleh system persamaan linier dalam 4 variabel yakni
c1 , c2 , c3 , c4 sebagai berikut: a1 c1 c2 c3 c4
c1 c2 c3 c4 1
a 2 c1 2c2 4c3 8c4 c1 2c2 4c3 8c4 3 a 3 c1 3c2 9c3 27c4 c1 3c2 9c3 27c4 8 a 4 c1 4c2 16c3 64c4 c1 4c2 16c3 64c4 18 Himpunan penyelesaian dari system persamaan linier ini adalah
c1 0, c2
7 1 1 dan c3 dan c4 . Jika nilai-nilai ini disubstitusikan 6 2 3
ke solusi umum, maka diperoleh : a n
7 1 1 n n2 n3 6 2 3
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat tiga dari ( a n ) = (2, 3, 7, 14, 24, 37, …) adalah :
an
7 1 1 n n2 n3 6 2 3
Cek suku-suku pada barisan ( a n ) = (1, 3, 8, 18, 53, 61, 98, 148, … ):
12
7 1 1 a1 (1) (1) 2 (1) 3 6 2 3 7 1 1 7 3 2 6 1 6 2 3 6 6 6 6
Jadi benar bahwa a = 1 1 7 1 1 (3) (3) 2 (3) 3 6 2 3 21 9 27 7 27 54 48 8 6 2 3 6 6 6 6
a3
Jadi benar bahwa a 3 = 8
7 1 1 (8) (8) 2 (8) 3 6 2 3 56 64 512 56 192 1024 888 148 6 2 3 6 6 6 6
a8
Jadi benar bahwa a 8 = 148
1.3
Barisan Aritmetika Tingkat Empat Misalkan : ( a n ) = a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 ,..., a n barisan di tingkat empa. ( b n ) = b1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , b 7 ,..., b n barisan di tingkat tiga. ( c n ) = c1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6 , c 7 ,..., c n
barisan di tingkat dua.
( d n ) = d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 ,..., d n barisan di tingkat satu. Secara umum barisan aritmetika tingkat dua susunannya sebagai tingkatan
a1
a3
a2 b1
b2
a4 b3
a5 b4
dimaksus disajikan sebagai berikut:
13
b5
a6
…
…
bn
an
c1
c4
…
d3
…
dn
…
k
c3
c2 d1
d2 k
k
cn
(4.1)
Dari (4.1) diperoleh hubungan sebagai berikut: d 2 d1 k
b 2 b 1 c1
c 2 c1 d 1
b3 b2 c2
c3 c 2 d 2
b 4 b3 c3
c4 c3 d 3
b5 b4 c4
c5 c4 d 4
a 6 a 5 b5
b6 b5 c5
c6 c5 d 5
d6 d5 k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a n a n -1 b n
b n b n -1 c n
c n c n -1 d n
d n d n -1 k
a 2 a 1 b1 a 3 a 2 b2 a 4 a 3 b3 a 5 a 4 b4
d3 d2 k d4 d3 k d5 d4 k
(4.2)
Bilangan k adalah bilangan tetap yang diperoleh dari selisih setiap dua suku yang berurutan dari barisan ( d n ). Dari (4.2) diperoleh hubungan barisan di tingkat satu dan tingkat dua berikut:
c 4 c3 d 3
c3 c 2 d 2 c 2 c1 d1
dan
c3 c2 d 2 c 4 2c 3 c 2 d 3 d 2 k
c 3 2c 2 c1 d 2 d1 k
sehingga diperoleh c 3 2c 2 c1 c 4 2c 3 c 2
c 4 3c 3 3c 2 c1 c 4 c3 d 3
c5 c 4 d 4 c 4 c3 d 3
dan
c3 c2 d 2 c 4 2c 3 c 2 d 3 d 2 k
c 5 2c 4 c 3 d 2 d 1 k
14
(4.3)
sehingga diperoleh c 5 2c 4 c 3 c 4 2c 3 c 2
c 5 3c 4 3c 3 c 2
(4.4)
Dari (4.3) dan (4.4) diperoleh :
c 4 3c 3 3c 2 c1 c 5 3c 4 3c 3 c 2 . Jika proses di atas dilanjutkan, maka berturut-turut akan diperoleh:
c 6 3c 5 3c 4 c 3 c 7 3c 6 3c 5 c 4 Dari (4.2) diperoleh hubungan barisan di tingkat satu dan tingkat dua berikut: Dari c 4 3c 3 3c 2 c1 b 5 b 4 3(b 4 b 3 ) 3(b 3 b 2 ) (b 2 b1 ) b 5 b 4 3b 4 3b 3 3b 3 3b 2 b 2 b1
b 5 4b 4 6b 3 4b 2 b1
Analog dengan proses 4.4 diperoleh
b 6 4b 5 6b 4 4b 3 b 2 b 7 4b 6 6b 5 4b 4 b 3 dan seterusnya sampai dengan
b n 4b n -1 6b n -2 4b n -3 b n -4
(4.4)
Hubungan barisan di tingkat tiga dan tingkat empat dengan menggunakan (4.4) diperoleh hasil sebagai berikut:
b n 4b n -1 6b n -2 4b n -3 b n -4
a n a n-1 4(a n-1 a n-2 ) 6(a n-2 a n-3 ) 4(a n-3 a n-4 ) (a n-4 a n-5 ) a n 5a n-1 10a n-2 10a n-3 5a n-4 a n-5
15
Jadi pola suku ke-n suatu barisan aritmetika tingkat empat adalah
a n 5a n-1 10a n-2 10a n-3 5a n-4 a n-5
(4.5)
Menggunakan pendekatan akar karakteristi, misalkan a n x n , x 0 Substitusi a n x n ke (4.5), sedemikian sehingga diperoleh bagian rekursif:
x n 5x n-1 10x n-2 10x n-3 5x n-4 x n-5 , bagilah persamaan ini dengan
x n-5 sedemikian sehingga diperoleh
x 5 5x 4 10x 3 10x 2 5x 1 atau x 5 5x 4 10x 3 10x 2 5x 1 0 . 5 4 3 2 Persamaan x 5x 10x 10x 5x 1 0
ini disebut persamaan
karakteristik. Persamaan karakteristik ini ternyata memiliki 5
akar rangkap yaitu:
x1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 , sehingga solusi umum dari pola di atas
dinyatakan sebagai :
a n c1x1n c2 nx n2 c3n 2 x 3n c4 n 3 x n4 c5 n 4 x 5n
karena di atas
diperoleh bahwa x1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 , akaibatnya
a n c1 (1) n c2 n(1) n c3n 2 (1) n c4 n 3 (1) n c5 n 4 (1) n diperoleh
a n c1 c2 n c3n 2 c4 n 3 c5n 4 .
Jadi solusi umum relasi rekursif di tas merupakan pola umum suatu barisan aritmetika tingkat empat.
a n c1 c2 n c3n 2 c4 n 3 c5n 4 dengan nilai atau syarat awal yakni a1 , a2 , a3 , a4 dan a5 . Contoh 3: Diberikan barisan ( a n ) = (1, 4, 9, 20, 44, 91, 174, 309, … )
16
(4.6)
Solusi umum ini digunakan untuk menemukan rumus suku ke-n dari bariasan pada barisan ( a n ) = (1, 4, 9, 20, 44, 91, 174, 309, … ), di dalamnya terdapat syara awal yakni a 1 , a 4 , a 3 9 , a 4 20 dan a 5 44 , jika 2 1 disubstitusikan ke solusi umum, maka diperoleh system persamaan linier dalam 5 variabel yakni c1 , c2 , c3 , c4dan c5 sebagai berikut:
a1 c1 c2 c3 c4 c5
c1 c2 c3 c4 c5 1
a 2 c1 2 c2 4 c3 8 c4 16 c5 c1 2 c2 4 c3 8 c4 16 c5 4 a 3 c1 3c2 9c3 27c4 81c5 c1 3c2 9c3 27c4 81c5 9
(4.7)
a 4 c1 4c2 16c3 64c4 256c5 c1 4c2 16c3 64c4 256c5 20 a 5 c1 5c2 25c3 125c4 625c5 c1 5c2 25c3 125c4 625c5 44 Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat empat dari barisan tingkat empat ( a n ) = (1, 4, 9, 20, 44, 91, 172, 305, … ) ini dapat diperoleh dengan terlebih
dahulu
menemukan
c1 , c2 , c3 , c4dan c5 sebagai himpunan
penyelesaian dari sitem persamaan linier (4.7)
PENUTUP Simpulan Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan hal-hal sebagai beriku: 1)
Pola umum suku ke-n dari suatu barisan aritmetika tingkat dua :
a n 3a n-1 3a n-2 a n-3 dengan syarat
atau nilai awal a , a dan 1 2
a 3 . Berdasarkan pola umum diperoleh solusi umum pola barisan aritmetika
tingkat dua a n c1 c2 n c3n . Rumus suku ke-n dari suatu barisan 2
aritmetika tingkat dua ditentukan oleh c1 , c 2 dan c 3 melalui substitusi suku pertama, kedua, dan ketiga ke pola umum ( a n ).
17
2)
Pola umum suku ke-n dari suatu barisan aritmetika tingkat tiga :
a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 dengan syarat atau nilai awal a , a , 1 2 a 3 dan a . Berdaarkan pola umum diperoleh solusi umum pola barisan 4
aritmetika tingkat tiga a n c1 nc2 n c3 n c4 . Rumus suku ke-n 2
3
dari suatu barisan aritmetika tingkat tiga ditentukan oleh c1 , c 2 , c 3 dan c 4 melalui substitusi suku pertama, kedua, ketiga dan keempat kedalam pola umum ( a n ). 3)
Pola umum suku ke-n dari suatu barisan aritmetika tingkat empat :
a n 5a n-1 10a n-2 10a n-3 5a n-4 a n-5 .
Berdaarkan
pola
umum diperoleh solusi umum pola barisan aritmetika tingkat empat
a n c1 c2 n c3n 2 c4 n 3 c5n 4 . suatu
barisan
aritmetika
tingkat
Rumus suku ke-n dari
empat
ditentukan
c1 , c 2 , c 3 , c 4 dan c 5 melalui substitusi suku pertama, kedua,
oleh ketiga
dan keempat kedalam pola umum.
a n 4a n -1 6a n - 2 4a n -3 a n - 4 dengan syarat atau nilai awal a , a , 1 2 a 3 dan a . Berdaarkan pola umum diperoleh solusi umum pola barisan 4
aritmetika tingkat tiga a n c1 nc2 n c3 n c4 . Rumus suku ke-n 2
3
dari suatu barisan aritmetika tingkat tiga ditentukan c1 , c 2 , c 3 dan c 4 melalui substitusi suku pertama, kedua, ketiga dan keempat kedalam pola umum ( a n ).
18
1.4
Saran 1) Kajian masih dapat dilanjutkan sampai dengan menemukan rumus suku ken dari barisan aritmetika tingkat lima, tingkat enam sampai dengan tingkat ke-n. 2) Diharapkan mengembangkan barisan ini dengan menggunakan pendekatan selain pendekatan relasi rekursif dengan metode akar karakteristik.
DAFTAR PUSTAKA Edwin J. Purcell dan Dale Vaeberg, 1988 : Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid 1, Bandung : Gelora Aksara Pratama Endang Dedy, dkk, 2003: Kalkulus I. IMSTEP. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI. Bandung I Ketut Budayasa, 2001. Matematika Diskrit. Surabaya. Univercity Press Samuel Wibisono, 2008. Matematika Diskrit. Jogyakarta; Graha Ilmu
19
