Světový rok fyziky 2005 v zrcadle filatelie

ROK FYZIKY

Světový rok fyziky 2005 v zrcadle filatelie Zdeněk Janout, ÚTEF ČVUT Praha Tento článek pojednává o Světovém roce fyziky 2005 z jiného pohledu než články publikované v předchozích číslech. Jde o emisní činnost poštovních správ různých zemí v souvislosti s touto událostí. Připomeňme, že cílem Světového roku fyziky 2005 bylo vzpomenout sté výročí zveřejnění čtyř legendárních vědeckých článků Alberta Einsteina v roce 1905 – annus mirabilis“. Tyto články se staly ” základem tří oblastí fyziky, a to teorie relativity, kvantové teorie a teorie Brownova pohybu, a ovlivnily dosavadní představy o světě. Einsteinovy revoluční myšlenky se týkaly základních otázek, jako je existence atomů, molekul, podstata světla a představa o prostoru, času, energii a hmotě. Světového roku fyziky 2005 využily národní fyzikální společnosti k různým akcím, na nichž seznamovaly veřejnost s významem fyziky, s dosaženými výsledky a dále pořádaly akce zaměřené na zvýšení zájmu mladé generace o studium fyziky (viz www.wyp2005.org, www.fzu.cz/ruzne/wyp2005). Fyzika hraje důležitou úlohu v rozvoji vědy, je páteří všech technických věd a má velký vliv na celkovou životní úroveň společnosti. Z podnětu Jednoty českých matematiků a fyziků vydalo Ministerstvo informatiky České republiky dne 25. května 2005 příležitostnou poštovní známku Světový rok fyziky 2005“ nominální hodnoty 12 Kč. Současně ” se známkou byla vydána obálka prvního dne vydání“ včetně příležitost” ného razítka. Na známce je v pravé části znázorněno logo Světového roku fyziky 2005 (světelný kužel) a v levé části je uveden Einsteinův postulát o konstantní rychlosti světla a jméno Alberta Einsteina (obr. 1). Uvedené prvky jsou součástí relativistické fyziky a vzájemně se doplňují. Náklad je jeden milion kusů. V obrazové části obálky prvního dne vydání (obr. 2) je portrét Alberta Einsteina vytvořený Maxem Švabinským v roce 1955. Pod portrétem je uveden text: ALBERT Ročník 80 (2005), číslo 4

1

ROK FYZIKY

EINSTEIN 1905, TEORIE BROWNOVA POHYBU, TEORIE FOTOELEKTRICKÉHO JEVU, SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY. Obálka je vytištěna ocelotiskem z plochy v barvě hnědé. V příležitostním razítku na obálce je faksimile Einsteinova podpisu, jméno PRAHA a den vydání. Autorem výtvarných návrhů emise je akademický architekt a grafik Zdeněk Ziegler , s nímž rytecky spolupracoval Václav Fajt.

Obr. 1

Obr. 3

Obr. 2

2

Rozhledy matematicko-fyzikální

ROK FYZIKY

Poznamenejme, že autor výtvarných návrhů Z. Ziegler byl v roce 2000 autorem známky a obálky prvního dne vydání i ke Světovému roku matematiky (obr. 3), proto jsou si tyto dvě známky výtvarně podobné. Je pochopitelné, že Světový rok fyziky 2005 našel odezvu i u dalších poštovních správ. Podle mých současných informací vydaly příležitostnou známku k této události, anebo ke stému výročí speciální teorie relativity, následující země: Argentina, Francie, Indie, Irsko, Izrael, Itálie, Jižní Afrika, Kongo, Kostarika, Makedonie, Mali, Mexiko, Monako, Německo, Rumunsko, Slovensko, Srbsko a Černá Hora, Španělsko, Švýcarsko, Taiwan, Tunis a Turecko. Podíváme-li se na obrazovou část vydaných známek, zjistíme, že většina z nich obsahuje tytéž prvky, a to podobiznu A. Einsteina, jeho jméno s letopočty narození a úmrtí a vztah E = mc2 . Na většině vydaných známek je uvedeno logo Světového roku fyziky 2005. Vztah E = mc2 je vůbec nejvíce uváděným fyzikálním vztahem na poštovních známkách, a proto při návrhu české známky bylo poprvé použito jiného vztahu, neméně důležitého, a to c = konst. – postulátu o konstantní rychlosti světla ve vakuu. Poněkud odlišný obrazový obsah mají známky Argentiny, Mexika, Monaka, Srbska a Černé Hory a Švýcarska. Na známce Argentiny je faksimile časopisu Annalen der Physik , v němž A. Einstein publikoval své práce. Známka Monaka uvádí počet článků publikovaných A. Einsteinem v roce 1905, to je pět, neboť kromě čtyř legendárních článků publikoval A. Einstein ještě článek o stanovení rozměrů molekul. Na kupónu známky Srbska a Černé Hory v hodnotě 0,70 EUR je pravděpodobně uvedena svatební fotografie A. Einsteina a jeho srbské manželky Milevy Maričové. Podle některých pramenů se jeho manželka Mileva podílela tvůrčím způsobem právě na pracích z roku 1905. Poštovní správy některých států vydaly série známek, tj. více známek než jednu. Jsou to Irsko, Kostarika a Srbsko a Černá Hora. V Irsku byla kromě známky s portrétem A. Einsteina vydána známka s portrétem W. R. Hamiltona (uplynulo 200 let od jeho narození) a známka k 60. výročí UNESCO, které bylo jedním z iniciátorů Světového roku fyziky 2005. Kostarika vydala dvě známky, prvá je věnována A. Einsteinovi, druhá Maxu Planckovi – na ní jsou kromě portrétu M. Plancka uvedeny: graf spektrálního rozdělení intenzity záření emitovaného absolutně černým tělesem a hodnota Planckovy konstanty. Zcela jinou koncepci, než mají známky výše popisované, má známka Slovenska (obr. 4). Známka zobrazuje blesk – přírodní úkaz. Na známce je Ročník 80 (2005), číslo 4

3

ROK FYZIKY

text: SVETOVÝ ROK FYZIKY – D. ILKOVIČ. Na obálce prvního dne vydání je pak portrét významného slovenského fyzika Dionýze Ilkoviče (1907–1980), který se proslavil svou rovnicí pro polarografické difúzní proudy, jež je napsána pod jeho portrétem. Výtvarný návrh známky, obálky prvního dne vydání a příležitostného razítka je od akademického malíře Zdeno Brázdila, rytcem je Jaroslav Tvrdoň.

Obr. 4

Vydané známky se stávají předmětem sběratelského zájmu, filatelisté je řadí do svých sbírek. Zájem o ně potvrzuje článek Světový rok fyziky uveřejněný na internetových stránkách www.infofila.cz/new/. A že sbírání známek s vhodným tématem může ovlivnit rozhodnutí člověka, jsem se přesvědčil před pětadvaceti lety. Tehdy jsem, jako spoluautor, publikoval v časopisu Filatelie článek Československý jaderný program. Na článek se ozvalo několik čtenářů. Jedním z nich byl patnáctiletý student brněnského gymnázia Petr Koláček. Napsal mi dopis a potom mnoho dalších. Jaderná problematika mu natolik učarovala, že začal se seriózním sbíráním známek s jadernou tématikou a nakonec se rozhodl pro studium na Fakultě jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT. Na fakultě úspěšně vystudoval obor jaderného inženýrství a nyní pracuje řadu let v oblasti jaderné energetiky v Brně. Závěrem poznamenejme, že od vzniku České republiky je to již šestá známka s fyzikálním námětem vydaná Českou poštou. Předcházely jí známky: Johanes Marcus Marci (1994), W. C. Röntgen (1995), Tycho Brahe (1996), Fr. Křižík (1997) a 100. výročí založení hvězdárny v Ondřejově (1998).

4


MATEMATIKA O posloupnostech kružnic s vnějším dotykem Filip Švrček, PřF UP Olomouc V tomto článku se budeme zabývat řešením několika tematicky příbuzných úloh o jistých posloupnostech kružnic s vnějším dotykem. Některé z těchto úloh jsou bez řešení uvedeny v publikacích [1], [2], jejichž spoluautorem je japonský matematik a popularizátor japonské planimetrie 18. a 19. století – Hidetoši Fukagawa. Knihy obsahují výběr starých japonských planimetrických problémů, které se dochovaly na dřevěných tabulkách v některých japonských chrámech a mezi matematickou veřejností jsou známy jako úlohy SANGAKU. V článku ukážeme čtenáři užití dvou základních variant principu matematické indukce při řešení některých planimetrických úloh. Pro jednoduchost budeme v celém článku symbolem O(r) značit kružnici se středem O a poloměrem r. V každé ze čtyř následujících úloh budeme pracovat s jistou posloupností kružnic a ve většině případů bude naším úkolem stanovit obecný vzorec pro n-tý člen posloupnosti (rn ) jejich poloměrů. Úloha 1 Uvažujme dvě kružnice O1 (r1 ), O2 (r2 ), které mají vnější dotyk, a jejich společnou vnější tečnu ℓ (obr. 1). Kružnice O3 (r3 ) se dotýká zvnějšku obou kružnic O1 (r1 ) a O2 (r2 ) a dotýká se také přímky ℓ, dále se kružnice O4 (r4 ) dotýká zvnějšku kružnic O1 (r1 ), O3 (r3 ) a zároveň se dotýká přímky ℓ atd. Vyjádřete rn pomocí r1 , r2 a n. Řešení. Označme Ti dotykový bod i-té kružnice posloupnosti Oi (ri ) s danou přímkou ℓ. Z obr. 1 je patrné, že pro dotykové body kružnic O1 (r1 ), O2 (r2 ), O3 (r3 ) platí |T1 T3 | + |T3 T2 | = |T1 T2 |.

(1.1)

Užitím Pythagorovy věty pro trojúhelníky O1 O2 P3 , O2 O3 P1 a O3 O1 P2 (body P1 , P2 , P3 viz obr. 1) snadno dokážeme platnost vztahů √ √ √ |T1 T2 | = 2 r1 r2 , |T2 T3 | = 2 r2 r3 , |T1 T3 | = 2 r1 r3 . Ročník 80 (2005), číslo 4

5

MATEMATIKA

Místo (1.1) tak můžeme psát √ √ √ 2 r1 r3 + 2 r3 r2 = 2 r1 r2 . Odtud obdržíme rovnost 1 1 1 √ +√ =√ , r1 r2 r3 ze které vyplývá r3 =

1 1 √ +√ r1 r2

O1

r1

r1 − r2 P3 P2

O4

T1

−2

r2

O2

O3 T4

(1.2)

.

P1

T3

T2

ℓ Obr. 1

Aplikujeme-li stejný postup na trojici kružnic O1 (r1 ), O3 (r3 ), O4 (r4 ), dostaneme s využitím rovnosti (1.2) r4 =

2 1 √ +√ r1 r2

−2

.

Podobnými úvahami o trojici kružnic O1 (r1 ), O4 (r4 ) a O5 (r5 ) odvodíme r5 = 6

3 1 √ +√ r1 r2

−2

.


MATEMATIKA

Můžeme tak vyslovit následující hypotézu: Pro poloměr rn (n ≧ 3) kružnice On (rn ) platí −2 n−2 1 +√ . rn = √ r1 r2

(1.3)

Platnost této hypotézy dokážeme užitím principu matematické indukce vzhledem k přirozenému číslu n, kde n ≧ 3. (i) Pro n = 3 je rovnost (1.3) ověřena vztahem (1.2). (ii) Předpokládejme nyní, že rovnost (1.3) platí pro n = k, kde k ∈ N, k ≧ 3. Pro dotykové body kružnic O1 (r1 ), Ok (rk ), Ok+1 (rk+1 ) s přímkou ℓ je splněna rovnost a tedy

|T1 Tk+1 | + |Tk+1 Tk | = |T1 Tk |, √ √ √ 2 r1 rk+1 + 2 rk+1 rk = 2 r1 rk ,

z čehož vyplývá rk+1 =

1 1 √ +√ r1 rk

−2

.

Podle indukčního předpokladu můžeme za rk dosadit ze vztahu (1.3), v němž n = k. Po úpravě dostaneme −2 k−1 1 rk+1 = √ +√ . r1 r2 Dokázali jsme tedy, že z platnosti (1.3) pro n = k vyplývá platnost této rovnosti pro n = k + 1. Spojením výsledků (i) a (ii) je dokázáno, že rovnost (1.3) platí pro libovolné přirozené číslo n (n ≧ 3). Úloha 2 Nechť C1 (r), C2 (r) jsou dvě shodné kružnice s vnějším dotykem v bodě T a ℓ jejich společná vnější tečna (obr. 2). Kružnice O1 (r1 ) se dotýká přímky ℓ a zvnějšku obou kružnic C1 (r), C2 (r). Kružnice O2 (r2 ) se dotýká zvnějšku kružnice O1 (r1 ) a obou kružnic C1 (r), C2 (r) atd. Určete rn pomocí r a n. Ročník 80 (2005), číslo 4

7

MATEMATIKA

Řešení. Je zřejmé, že středy Oi kružnic posloupnosti Oi (ri ) leží na společné vnitřní tečně kružnic C1 (r), C2 (r) s bodem dotyku T . V pravoúhlém trojúhelníku C1 T O1 podle Pythagorovy věty platí (r + r1 )2 = r 2 + (r − r1 )2 , odkud r1 = 14 r.

(2.1)

Podobně z trojúhelníku C1 T O2 plyne (r + r2 )2 = r 2 + (r − 2r1 − r2 )2 , odkud s využitím (2.1) po úpravách dostaneme r2 =

C1

r

1 12 r.

(2.2)

C2

T O2

r r r1 O1 ℓ Obr. 2

Analogicky bychom z trojúhelníku C1 T O3 dostali

a z trojúhelníku C1 T O4 8

r3 =

1 24 r

(2.3)

r4 =

1 40 r.

(2.4) Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA

Všimněme si podrobněji prvních čtyř členů posloupnosti (ri ). Lze psát: 1 r 4·1 1 r2 = r 4 · (1 + 2) 1 r3 = r 4 · (1 + 2 + 3) 1 r4 = r 4 · (1 + 2 + 3 + 4)

r1 =

Lze tedy očekávat, že pro n-tý člen posloupnosti (ri ) platí rn = tj.

1 r, 4 · (1 + 2 + . . . + n) rn =

1 r. 2n(n + 1)

(2.5)

Dále budeme postupovat podobně jako v předchozí úloze. Užitím principu matematické indukce (vzhledem k přirozenému číslu n) dokážeme platnost rovnosti (2.5) pro všechna n ∈ N.

(i) Pro n = 1 je rovnost (2.5) ověřena vztahem (2.1). (ii) Předpokládejme nyní, že rovnost (2.5) platí pro každé přirozené číslo n ∈ {1, 2, . . . , k}, kde k ∈ N. Ukážeme, že z toho vyplývá platnost této rovnosti pro n = k + 1. Z pravoúhlého trojúhelníku C1 T Ok+1 vyplývá 2 (r + rk+1 )2 = r 2 + r − (2r1 + 2r2 + . . . + 2rk ) − rk+1 . (2.6) Podle indukčního předpokladu platí 1 1 1 2r1 + 2r2 + · · · + 2rk = + + ··· + r= 1·2 2·3 k · (k + 1) 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + ··· + − r = 1− r. 2 2 3 k k+1 k+1 Ročník 80 (2005), číslo 4

9

MATEMATIKA

Dosazením do (2.6) pak dostaneme (r + rk+1 )2 = r 2 + Odtud po úpravách obdržíme rk+1 =

1 r − rk+1 k+1

2

.

1 r, 2(k + 1)(k + 2)

což znamená platnost rovnosti (2.5) pro n = k + 1. Spojením výsledků (i) a (ii) je dokázána platnost rovnosti (2.5) pro všechna n ∈ N. Úloha 3 Nechť I(a) je kružnice vepsaná do čtverce ABCD se stranou délky 2a. Sestrojme posloupnost kružnic Oi (ri ), kde i ∈ N, takovou, že kružnice O1 (r1 ) se dotýká stran AB a DA daného čtverce a také zvnějšku kružnice I(a), kružnice O2 (r2 ) se dotýká strany AB a zvnějšku kružnic I(a) a O1 (r1 ) atd. Vyjádřete rn pomocí a a n. D

C

I

O2 O1 A

X1 X2 X3

O3 T

B Obr. 3

10


MATEMATIKA

Řešení. Označme Xi body dotyku kružnic Oi (ri ) se stranou AB čtverce ABCD a bod dotyku kružnice I(a) se stranou AB označme T . Z obr. 3 (podobnými úvahami jako v úloze 1) odvodíme, že pro každé i ∈ N platí √ √ |Xi Xi+1 | = 2 ri ri+1 , |Xi T | = 2 ri a. Při výpočtu r1 vyjdeme z rovnosti |AT | = |AX1 | + |X1 T |, tedy

√ a = r1 + 2 r1 a.

Po úpravě dostaneme kvadratickou rovnici s neznámou r1 a reálným parametrem a: r12 − 6ar1 + a2 = 0

Jediným reálným kořenem této rovnice, který vzhledem k podmínce 0 < r1 < a vyhovuje naší úloze, je √ 1 1 √ a= r1 = 3 − 2 2 a = (3.1) √ 2 a. 3+2 2 1+ 2 Nyní určíme r2 . Platí

|AT | = |AX1 | + |X1 X2 | + |X2 T |, tj.

√ √ a = r1 + 2 r1 r2 + 2 r2 a

neboli

√ √ √ a − r1 = 2 r2 r1 + a .

Do této rovnosti dosadíme z (3.1) za r1 a pak ji upravíme na tvar √ r2 = odkud r2 =

√ 1 √ a, 2+ 2 1 √ 2 a. 2+ 2

Analogicky bychom došli k výsledku r3 = Ročník 80 (2005), číslo 4

1 √ 2 a. 3+ 2

11

MATEMATIKA

I zde můžeme vyslovit hypotézu: Pro každé n ∈ N platí rn =

1 √ 2 a. n+ 2

(3.2)

K důkazu této hypotézy využijeme opět princip matematické indukce. (i) Pro n = 1 je rovnost (3.2) ověřena vztahem (3.1). (ii) Předpokládejme nyní, že rovnost (3.2) platí pro pro každé přirozené číslo n ∈ {1, 2, . . . , k}, kde k ∈ N. Dokážeme, že z toho vyplývá platnost této rovnosti pro n = k + 1. Pro délku úsečky AT platí |AT | = |AX1 | + |X1 X2 | + · · · + |Xk−1 Xk | + |Xk Xk+1 | + |Xk+1 T |, tedy √ √ √ √ a = r1 + 2 r1 r2 + · · · + 2 rk−1 rk + 2 rk rk+1 + 2 rk+1 a neboli kde

√ √ √ a = r1 + 2S + 2 rk+1 rk + a ,

S=

√

r1 r2 +

√

r2 r3 + · · · +

(3.3)

√ rk−1 rk .

Z indukčního předpokladu, tj. z platnosti rovnosti (3.2) pro každé n ∈ {1, 2, . . . , k}, vypočteme 1 1 1 1 √ · √ + ··· + √ · √ a= S= 1+ 2 2+ 2 (k − 1) + 2 k + 2 1 1 1 1 √ − √ √ − √ = + ··· + a= 1+ 2 2+ 2 (k − 1) + 2 k + 2 1 1 √ − √ a. = 1+ 2 k+ 2 1 Poslední výsledek a součásti indukčního předpokladu r1 = √ 2 a, 1+ 2 1 rk = √ 2 a dosadíme do (3.3) a po úpravách obdržíme k+ 2 √ 2 (k + 1) + 2 √ √ √ a = 2 rk+1 √ a, k+ 2 k+ 2 12


MATEMATIKA

odkud rk+1 =

1 (k + 1) +

√ 2 a, 2

což znamená platnost rovnosti (3.2) pro n = k + 1. Spojením výsledků (i) a (ii) je také v tomto případě matematickou indukcí dokázáno, že rovnost (3.2) platí pro všechna přirozená čísla n. Při řešení předešlých tří úloh jsme využili princip matematické indukce, který reprezentuje efektivní metodu řešení celé řady úloh (nejen s uvedenou problematikou). Přitom si povšimněme dvou odlišných variant tohoto principu. Při řešení úlohy 1 jsme v kroku (ii) dokazovali platnost implikace: Platí-li dokazovaná rovnost (dokazované tvrzení) pro n = k, kde k ∈ N (k ≧ 3), pak platí i pro n = k + 1, tedy platnost implikace T (k) ⇒ T (k + 1), kde symbol T (k) značí uvažovanou výrokovou formu (příslušnou rovnost – tvrzení úlohy) v závislosti na k. Na rozdíl od této varianty byla při řešení úloh 2 a 3 shodně použita jiná (obecnější) varianta principu matematické indukce. V kroku (ii) jsme dokazovali platnost implikace: Platí-li dokazovaná rovnost (dokazované tvrzení) pro všechna přirozená čísla n ∈ {1, 2, . . . , k}, kde k ∈ N (k ≧ 1), platí i pro n = k + 1, tedy platnost implikace [T (1) ∧ T (2) ∧ . . . ∧ T (k)] ⇒ T (k + 1). První z uvedených variant principu matematické indukce je zvláštním případem (důsledkem) varianty druhé. Vyřešení poslední úlohy přenecháváme čtenářům k samostatnému procvičení. Správný výsledek je uveden v hranatých závorkách.

Ročník 80 (2005), číslo 4

13

MATEMATIKA

Úloha 4 Nechť O1 (r1 ) a O2 (r2 ) jsou kružnice s vnějším dotykem a ℓ jejich společná vnější tečna. Uvažujme kružnice Oi (ri ), kde i = 3, 4, . . . , takové, že O3 (r3 ) se dotýká přímky ℓ a zvnějšku obou kružnic O1 (r1 ), O2 (r2 ), kružnice O4 (r4 ) se dotýká zvnějšku kružnice O3 (r3 ) a také obou kružnic O1 (r), O2 (r) atd. (obr. 4). Určete rn v závislosti na r1 , r2 a n.

O1 O2

O4

O3 ℓ Obr. 4



  rn = 

1 2(n − 2)

q

1 r1 r2

+ (n − 2)2



 , n≧3  1 1 + r1 r2

Literatura: [1] Fukagawa, H. – Pedoe, D.: Japanese Temple Geometry Problems. Winnipeg, Canada, 1989 [2] Fukagawa, H. – Rigby, J. F.: Traditional Japanese Mathematics Problems. SCT Publishing, Singapore 2002 [3] Švrček, J.: Japonská planimetrie 18. a 19. století. MFI, roč. 4, 1994/95, č. 9, str. 385–391

14


FYZIKA Tři náročnější úlohy z fyziky, při jejichž řešení se můžeme setkat s parabolou Miroslava Jarešová, PedF UHK Hradec Králové Jaroslav Zhouf, PedF UK Praha Při řešení úloh z fyziky se často setkáváme s různými kuželosečkami. Ukážeme tři náročnější úlohy, v nichž se vyskytuje parabola. První úloha se týká určení normály a tečny paraboly. 1. Sluneční pec Ve francouzských Pyrenejích v městečku Odeillo pracuje největší a nejvýkonnější sluncem vytápěná tavicí pec na světě. Úkolem zařízení je dosahovat nejvyšších tavicích teplot (až 3 800 ◦ C), aniž by se materiály během tavení znečistily. Komplex tvoří obrovské parabolické zrcadlo o ohniskové délce f = 18 m. Do něj vstupují paprsky dalších 63 otočných zrcadel (heliostarů) řízených počítačem. Na energii extrémně bohatý svazek světelných a tepelných paprsků dopadajících na pec dokáže během jedné minuty roztavit kruhovou ocelovou desku centimetrové tloušťky o průměru 30 cm a počáteční teplotě 20 ◦ C. a) Dokažte, že všechny paprsky rovnoběžné s optickou osou zrcadla jsou odraženy do ohniska zrcadla umístěného v tavicí peci (obr. 1). 18 m

40 m

Obr. 1 Ročník 80 (2005), číslo 4

15

FYZIKA

b) Parabolické zrcadlo nahradíme kulovým zrcadlem o poloměru R = 2f tak, aby vrcholy obou zrcadel byly totožné. Poloměr podstavy kulového vrchlíku vymezeného zrcadlem bude 20 m. Určete interval na optické ose zrcadla, ve kterém paprsky odražené kulovým zrcadlem protínají optickou osu. Řešení a) Na zrcadlo tvaru rotačního paraboloidu dopadá soustava paprsků rovnoběžných s optickou osou. Chceme ukázat, že všechny tyto paprsky se po odrazu protínají v jednom bodě – ohnisku. Budeme uvažovat řez zrcadla libovolnou rovinou, která obsahuje osu zrcadla. V této rovině zvolíme soustavu souřadnic Oxy tak, aby vrchol parabolického y zrcadla byl v jejím počátku t a osa zrcadla splývala s osou x (obr. 2). Nechť paprsek rovnoA[x0 , y0 ] běžný s optickou osou dopadne α α na zrcadlo v libovolně zvoleném bodě A[x0 , y0 ]. Rovnice 1 p −2α p −α řezu zrcadla má tvar 2 O

x

x

y 2 = 4f x

(1)

a rovnice dopadajícího paprsku je y = y0 .

Obr. 2

Při označení z obr. 2 má odražený paprsek rovnici y − y0 = tg (p − 2α) · (x − x0 ).

(2)

Vypočteme x-ovou souřadnici x průsečíku tohoto paprsku s osou x. V rovnici (2) položíme y = 0, x = x a s využitím vzorců tg (p − 2α) = − tg 2α, postupně dostaneme x=− 16

tg 2α =

2 tg α 1 − tg2 α

y0 y0 y0 · (1 − tg2 α) + x0 = + x0 = + x0 . (3) tg (p − 2α) tg 2α 2 tg α Rozhledy matematicko-fyzikální

FYZIKA

Zbývá vypočítat tg α a dosadit do výsledného výrazu v (3). Z analytické geometrie víme, že rovnice tečny t paraboly (1) sestrojené v jejím bodě A[x0 , y0 ] má tvar y0 y = 2f · (x + x0 ), po úpravě y=

2f x0 2f ·x+ . y0 y0

Odtud vidíme, že směrnice tečny t je k = 2f /y0 . Podle obr. 2 platí k = tg 12 p − α = cotg α.

Tedy

cotg α =

2f , y0

odkud

tg α =

y0 . 2f

Dosadíme-li odtud do výsledného výrazu v (3), vypočteme y2 y0 · 1 − 02 4f y02 y2 x= + x0 = f · 1 − 2 + x0 = f − 0 + x0 . 4f 4f y0 2· 2f Protože bod A[x0 , y0 ] leží na parabole (1), platí pro jeho souřadnice y02 = 4f x0 , a proto x=f−

4f x0 y02 + x0 = f − + x0 = f − x0 + x0 = f. 4f 4f

Dokázali jsme, že paprsek rovnoběžný s optickou osou parabolického zrcadla, který na zrcadlo dopadne v libovolném jeho bodě A[x0 , y0 ], se odrazí do bodu [x, 0] = [f, 0], což je ohnisko zrcadla. Všechny odražené paprsky se tedy protínají v ohnisku. b) Parabolické zrcadlo nahradíme nyní kulovým zrcadlem o poloměru R = 2f . Dopadá na ně svazek paprsků rovnoběžných s optickou osou. Opět uvažujeme řez zrcadla libovolnou rovinou, která obsahuje osu zrcadla a v této rovině soustavu souřadnic Oxy zvolenou podobně jako v případě parabolického zrcadla (obr. 3). Ročník 80 (2005), číslo 4

17

FYZIKA

Paprsek, který dopadne na zrcadlo v libovolném jeho bodě A[x0 , y0 ], se odrazí do bodu P [xP , 0]. Při výpočtu xP budeme vycházet z označení na obr. 3. y

O

Ze sinové věty pro trojúhelník AP S postupně dostaneme

A[x0 , y0 ] α α 2f n p −2α M

P [xP , 0]

α

sin (p − 2α) sin α = , 2f n

S

n

2 sin α cos α sin α = , 2f n

x

n= Obr. 3

f . cos α

(4)

!

(5)

Z pravoúhlého trojúhelníku SAM vypočteme p 4f 2 − y02 cos α = 2f a dosadíme do (4). Dostaneme tak 2f 2 n= p . 4f 2 − y02

Protože xP = 2f − n, platí

2f 2

xP = 2f − p = 2f 4f 2 − y02

f

1− p 4f 2 − y02

.

Podle zadání úlohy je f = 18 m, y0 ∈ (0 m, 20 mi. Dosadíme-li odtud do výsledného výrazu v (5), zjistíme, že xP ∈ (14,35 m, 18 m). Průsečíky paprsků s optickou osou leží tedy na ose x v intervalu (14,35 m, 18 m), délka tohoto intervalu je 3,65 m.

18


FYZIKA

Druhá úloha se týká výtoku kapaliny z nádoby otvorem ve stěně. Víme, že proud vytékající kapaliny se za ideálních podmínek (zanedbání odporu prostředí) pohybuje po části paraboly, která má vrchol v místě, odkud kapalina vytéká z nádoby. 2. Výtok kapaliny z nádoby Z otevřené válcové nádoby o poloměru R vytéká postranním otvorem voda. Vedle této nádoby stojí otevřená válcová nádoba o poloměru r, jejíž horní okraj je o h níže než výtokový otvor první nádoby. Středy podstav obou nádob leží v rovině vodního paprsku. Objem nižší nádoby je V0 . Předpokládáme, že počáteční výška vodní hladiny ve vyšší nádobě je dostatečná pro to, aby vytékající voda dostříkla“ až za nižší nádobu. ” Při výtoku kapaliny postupně klesá výška vodní hladiny v nádobě a mění se tvar paraboly, po níž se vodní paprsek pohybuje. a) Určete vzdálenost x středu podstavy nižší nádoby od stěny vyšší nádoby (obr. 4), jestliže během doby, kdy vodní paprsek zasahuje do nižší nádoby, nateče do této nádoby voda o objemu V (V < V0 ). b) Určete vzdálenost x a nejmenší počáteční výšku H0 vodní hladiny ve vyšší nádobě, aby se nižší nádoba při výtoku kapaliny celá naplnila.

v

h H h0

2R

x

r

Obr. 4

Řešení a) Označme H výšku vodní hladiny ve vyšší nádobě na počátku děje (vytékající voda dostříkne“ přesně k nejvzdálenějšímu okraji horní ” podstavy nižší nádoby). Velikost výtokové rychlosti vody v tomto okamžiku je p v0 = 2(H − h0 − h)g, Ročník 80 (2005), číslo 4

19

FYZIKA

kde h0 je výška nižší nádoby. Na konci děje (vytékající voda do” stříkne“ přesně k nejbližšímu okraji horní podstavy nižší nádoby) je velikost výtokové rychlosti vody p v0 = 2(H − h0 − h − ∆h)g, kde ∆h je pokles hladiny ve vyšší nádobě od počátku děje.

Jedná se o vrh vodorovný. Doba pohybu jednotlivých částic vody p z otvoru po horní okraj menší nádoby je t = 2h/g. Platí s p p 2h = 2 h(H − h0 − h), x + r = 2(H − h0 − h)g · g s p p 2h = 2 h(H − h0 − h − ∆h). x − r = 2(H − h0 − h − ∆h)g · g Odtud postupně dostaneme

(x + r)2 − (x − r)2 = 4h(H − h0 − h) − 4h(H − h0 − h − ∆h), 4xr = 4h∆h.

(6)

Protože podle zadání nateče do nižší nádoby během děje voda o objemu V , musí právě tolik vody vytéct z vyšší nádoby, tedy V = pR2 · ∆h,

tj.

∆h =

V . pR2

Dosadíme-li odtud do (6), vypočteme, že x=

h V · . r pR2

(7)

b) Aby se nižší nádoba celá naplnila a žádná voda nepřetekla přes její okraj, musí být V = V0 , a tedy podle (7) x=

20

h V0 · . r pR2

(8)

Minimální počáteční výšku hladiny vody H0 ve vyšší nádobě určíme ze vztahu p x + r = 2 h(H0 − h0 − h).


FYZIKA

Po dosazení z (8) a z rovnosti h0 = V /pr 2 postupně vypočteme s h V0 V0 h H − · + r = 2 − h , 0 r pR 2 pr 2 2 hV0 V0 + r = 4h H − − h , 0 pR2 r pr 2 H0 =

1 4h

hV0 +r pR2 r

2

+

V0 + h. pr 2

O třetí úloze můžeme říci, že je to typ úlohy, jejíž řešení usnadní nápad, který přijde v pravou chvíli“. ” 3. Míček mezi stěnami Je dán prostor ohraničený dvěma rovnoběžnými svislými stěnami vzdálenými od sebe L. V tomto prostoru je z podlahy ze vzdálenosti d od pravé stěny vržen šikmo vzhůru pod úhlem α míček (v rovině kolmé ke stěnám a k podlaze) s počáteční rychlostí o velikosti v0 (obr. 5). Míček dopadne na stěnu, odrazí se od ní, dopadne na protější L stěnu a po odrazu dopadne zpět do místa, odkud byl vržen. Předpokládejme, že odrazy míčku od stěn jsou dokonale pružné. Urv0 čete vzdálenost d a velikost počáteční rychlosti v0 (při daném α úhlu α), aby nastala popsaná sid tuace. Obr. 5

Řešení Protože odrazy míčku od stěn jsou dokonale pružné, bude velikost rychlosti před odrazem rovna velikosti rychlosti po odrazu a úhel dopadu bude stejně velký jako úhel odrazu. Oba úhly budou souměrně sdružené podle horizontální roviny procházející bodem dopadu. Jestliže uplatníme osovou souměrnost podle jednotlivých stěn, můžeme danou úlohu převést na úlohu nalézt velikost rychlosti v0 tak, Ročník 80 (2005), číslo 4

21

FYZIKA

aby míček vržený šikmo vzhůru pod daným úhlem α dopadl do roviny podlahy ve vzdálenosti 2L od místa vrhu (pokud by tam ovšem nebyla stěna), viz obr. 6.

v0

α a

a

d L

L

a

2L

Obr. 6

Vzdálenost x místa dopadu (ve vodorovném směru) od místa odrazu při vrhu šikmo vzhůru je dána vzorcem x=

2v02 sin α cos α . g

Dosadíme-li sem x = 2L, dostaneme postupně 2L =

2v02 sin α cos α , g

v02 sin 2α, g s 2gL v0 = . sin 2α

2L =

Výsledek je zajímavý tím, že velikost rychlosti v0 nezávisí na poloze místa, odkud je míček vržen, ale pouze na tíhovém zrychlení, vzdálenosti stěn L a úhlu α. Vzdálenost d může mít libovolnou hodnotu z intervalu (0, L). Změníme-li místo vrhu, změní se pouze místa, v nichž se míček odrazí od stěn. 22


INFORMATIKA Recepty z programátorské kuchařky Korespondenčního semináře z programování, 3. část Daniel Kráľ, Martin Mareš, Milan Straka, MFF UK Praha Recepty z programátorské kuchařky jsou povídáním o algoritmech a datových strukturách, které připravili organizátoři Korespondenčního semináře z programování, který pro studenty středních škol pořádá MFF UK∗ ). Tentokrát vysvětlíme, co je problém minimální kostry a jak ho řešit, a popíšeme datovou strukturu Disjoint-Find-Union (její název je často zkracován na DFU), která se nám bude při řešení tohoto problému hodit. Grafy – některé termíny a vlastnosti Co je graf, jsme vysvětlili v první z kuchařek. Podgraf nějakého grafu vznikne z původního grafu odebráním některých vrcholů a hran. Cesta v grafu je posloupnost vrcholů taková, že každý vrchol je s následujícím spojen hranou a vrcholy se na cestě neopakují. Pokud si graf představíme jako města spojená silnicemi, pak cesta je cestovní plán“, jak se dostat ” z jednoho z měst do některého dalšího. Kružnice v grafu je posloupnost vrcholů, v níž jsou dvojice po sobě následujících vrcholů opět spojeny hranami, první vrchol je shodný s posledním a žádné jiné dva vrcholy nejsou totožné. Pokud v grafu mezi každými dvěma vrcholy existuje cesta, řekneme, že graf je souvislý. Pokud graf souvislý není, můžeme ho rozdělit na podgrafy, které již souvislé jsou a nevedou mezi nimi žádné hrany. Takovým podgrafům budeme říkat komponenty souvislosti. Komponenta souvislosti je tedy maximální podgraf grafu, který je ještě souvislý. Souvislý graf má jednu komponentu souvislosti (celý graf). ∗

) Více se o semináři můžete dozvědět na jeho webové stránce

http://ksp.mff.cuni.cz/.


23

INFORMATIKA

Strom je graf, který je souvislý a zároveň acyklický, tj. neobsahuje žádnou kružnici. List stromu je takový vrchol, ze kterého vede jen jedna hrana. Není těžké si uvědomit, že každý strom (s alespoň dvěma vrcholy) má alespoň dva listy. O něco těžší je nahlédnout, že strom s n vrcholy má právě n − 1 hran. Dokážeme to matematickou indukcí aplikovanou na počet vrcholů stromu. Strom s jedním vrcholem neobsahuje žádnou hranu. Pokud máme strom s n vrcholy, kde n > 1, potom libovolný list z tohoto stromu odebereme. Tím získáme opět strom (souvislost jsme porušit nemohli a kružnici jsme také nevytvořili), přičemž počet jeho vrcholů je o 1 menší. Podle indukčního předpokladu má tento strom o jednu hranu méně než vrcholů. Nyní list přilepíme“ zpět, čímž zvýšíme ” počet vrcholů i hran o 1. Počet vrcholů uvažovaného stromu je tedy rovněž o 1 větší než počet hran. V dalším se omezíme jen na souvislé grafy. Kostra souvislého grafu je jeho podgraf, který je stromem a obsahuje všechny vrcholy původního grafu. Jinými slovy, kostra je podgraf, který obsahuje všechny vrcholy a nejmenší počet hran, takový, že mezi každými dvěma vrcholy existuje cesta. Pokud každou hranu grafu ohodnotíme nějakou vahou, což v našem případě bude vždy kladné číslo, dostaneme ohodnocený graf. Váha kostry je součet vah hran, které obsahuje, a minimální kostra je kostra s nejmenší vahou (obr. 1). Graf může mít více minimálních koster, např. jestliže všechny hrany grafu mají ohodnocení 1, pak váha každé kostry je n − 1, kde n je počet vrcholů grafu. Pokud si graf představíme jako města spojená silnicemi, pak problém nalezení minimální kostry můžeme vidět takto: Chceme určit silnice, které se budou v zimě udržovat sjízdné, a to tak, aby součet délek těchto silnic byl co nejmenší a zároveň aby bylo možné se po nich přepravit mezi každými dvěma městy. 21 7 8

1

20

2 4 14

12 10 11

3

Obr. 1. Příklad minimální kostry. Body reprezentují vrcholy grafu a úsečky hrany mezi nimi. Váhy hran jsou uvedeny čísly a minimální kostra je vyznačena tučně.

24


INFORMATIKA

Algoritmus hledání minimální kostry Algoritmus na hledání minimální kostry, který předvedeme, je typickou ukázkou tzv. hladového algoritmu. Nejprve setřídíme hrany vzestupně podle jejich váhy. Kostru budeme postupně vytvářet přidáváním hran od té s nejmenší vahou tak, že hranu do kostry přidáme právě tehdy, pokud spojuje dvě (prozatím) různé komponenty souvislosti vytvořeného podgrafu. Jinak řečeno, hranu do vytvářené kostry přidáme, pokud v ní zatím neexistuje cesta mezi vrcholy, které tato hrana spojuje. Je zřejmé, že tímto postupem získáme kostru, tj. souvislý acyklický podgraf (pokud je vstupní graf souvislý, což mlčky předpokládáme). Než ukážeme, že nalezená kostra je opravdu minimální, podívejme se na časovou složitost našeho algoritmu: Pokud má vstupní graf N vrcholů a M hran, vyžaduje úvodní setřídění hran čas O(M log M ) (použijeme některý z rychlých třídicích algoritmů popsaných v minulé části kuchařky). Po setřídění hran se pokusíme každou z M hran přidat. V dalším textu ukážeme datovou strukturu, s jejíž pomocí bude M testů toho, zda mezi dvěma vrcholy vede cesta, trvat nejvýše O(M log N ). Celková časová složitost našeho algoritmu je tedy O(M log N ) (platí totiž log M ≦ log N 2 = 2 log N ). Paměťová složitost je lineární vzhledem k počtu hran, tj. O(M ). Důkaz správnosti hladového algoritmu Zbývá dokázat, že nalezená kostra vstupního grafu je minimální. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že váhy všech hran grafu jsou vesměs různé. Pokud tomu tak není, přičteme k některým z hran, jejichž váhy jsou duplicitní, velmi malá kladná čísla tak, aby pořadí hran nalezené naším třídicím algoritmem zůstalo zachováno. Tím se kostra nalezená naším algoritmem nezmění a pokud bude tato kostra minimální s modifikovanými váhami, bude minimální i pro původní zadání. Označme Talg kostru nalezenou naším algoritmem a Tmin minimální kostru. Nechť e1 , . . . , eN −1 jsou hrany kostry Talg v pořadí, v jakém byly naším algoritmem přidány do kostry. Pokud jsou kostry Talg a Tmin různé, pak existuje hrana ei , která není obsažena v kostře Tmin . Zvolme nejmenší takové i, tedy kostra Tmin obsahuje všechny hrany e1 , . . . , ei−1 , ale neobsahuje hranu ei . Váha každé hrany kostry Tmin , Ročník 80 (2005), číslo 4

25

INFORMATIKA

kromě i − 1 hran e1 , . . . , ei−1 , je větší než váha hrany ei . Kdyby tomu tak nebylo, pak by kostra Tmin obsahovala hranu f s menší vahou než ei a náš algoritmus by hranu f použil jakožto jednu z hran e1 , . . . , ei−1 , což se nestalo. Přidejme nyní hranu ei ke kostře Tmin . Takto vzniklý podgraf vstupního grafu obsahuje kružnici, neboť před přidáním hrany ei existovala v kostře Tmin cesta mezi koncovými vrcholy hrany ei . Tuto kružnici označme C. Protože Talg neobsahuje žádnou kružnici, obsahuje kružnice C alespoň jednu hranu e′ , která není v kostře Talg . Protože hrana e′ není žádnou z hran e1 , . . . , ei−1 , je její váha větší než váha hrany ei . Odstraňme nyní hranu e′ a označme T ′ výsledný podgraf, tj. graf získaný z kostry Tmin záměnou hrany e′ za hranu ei . Protože hrany e′ a ei ležely na společné kružnici C, je T ′ souvislý podgraf. Součet vah hran kostry T ′ je menší než součet vah hran kostry Tmin , což není možné, neboť Tmin je minimální kostra. Předpoklad, že kostry Talg a Tmin jsou různé, tedy vede ke sporu. Proto je kostra Talg nalezená naším algoritmem skutečně minimální. Disjoint-Find-Union Datová struktura DFU slouží k udržování rozkladu množiny na několik disjunktních podmnožin. To znamená, že pomocí této struktury můžeme pro každé dva z uložených prvků říci, zda patří či nepatří do stejné podmnožiny rozkladu. V algoritmu hledání minimální kostry budou prvky v DFU vrcholy daného grafu a budou náležet do stejné podmnožiny rozkladu, pokud mezi nimi v již vytvořené části kostry existuje cesta. Jinými slovy, podmnožiny v DFU budou odpovídat komponentám souvislosti vytvářené kostry. S reprezentovaným rozkladem umožňuje datová struktura DFU provádět tyto dvě operace: find Test, zda dva prvky leží ve stejné podmnožině rozkladu. Tato operace bude v případě našeho algoritmu odpovídat testu, zda dva vrcholy leží ve stejné komponentě souvislosti. union Sloučení dvou podmnožin do jedné. Tuto operaci v našem algoritmu na hledání kostry provedeme vždy, když do vytvářené kostry přidáme hranu (tehdy spojíme dvě komponenty souvislosti dohromady). 26


INFORMATIKA

Nejdříve vysvětlíme, jak budeme jednotlivé podmnožiny v DFU reprezentovat. Prvky obsažené v jedné podmnožině budou tvořit zakořeněný strom. Připomeňme, že zakořeněný strom je datová struktura, kterou si můžeme představit jako orientovaný graf ∗ ) s jedním význačným vrcholem, kořenem, ze kterého vede právě jedna orientovaná cesta do každého jiného vrcholu. Kdybychom zapomněli“ na orientaci hran, ” bude tento graf stromem ve smyslu definice stromu na začátku článku. Pokud z vrcholu u vede hrana do vrcholu v, řekneme, že vrchol u je otcem vrcholu v a vrchol v synem vrcholu u. Kořen stromu je tedy jediný vrchol, který nemá otce. Vrcholy, které nemají syny, se nazývají listy. Pokud v programu používáme zakořeněné stromy, odpovídají jejich vrcholy obvykle datovým položkám a orientované hrany mezi nimi představují ukazatele. V datové struktuře DFU vedou ukazatele mezi prvky trochu nezvykle, od listů ke kořeni (obr. 2). Operaci find lze jednoduše implementovat tak, že pro dané dva prvky nejprve nalezneme kořeny jejich stromů. Jsou-li tyto kořeny stejné, jsou prvky ve stejném stromě, a tedy i ve stejné podmnožině rozkladu. Naopak, jsou-li kořeny různé, jsou dané prvky v různých stromech, a tedy i v různých podmnožinách reprezentovaného rozkladu. Operaci union provedeme tak, že mezi kořeny stromů reprezentujících slučované podmnožiny přidáme ukazatel, a tím tyto stromy spojíme dohromady. α

β

γ

ν

δ

ξ

ε

ϕ

ω

µ

χ

ψ

ν

α

ε

ξ

β γ ω

ϕ

χ

ψ

µ

δ

Obr. 2. Rozklad množiny {α, β, γ, δ, ε, ϕ, ψ, χ, ξ, µ, ν, ω} a jeho možná reprezentace pomocí datové struktury DFU.

Následuje implementace dvou právě popsaných operací. Množina, jejíž rozklad reprezentujeme, bude pro jednoduchost množina přirozených čísel od 1 do N . Ukazatele ve stromě si pamatujeme v poli parent, kde 0 znamená, že prvek nemá otce, tj. že je kořenem svého stromu. Funkce root(v) vrací kořen stromu, který obsahuje prvek v. ∗

) S orientovanými grafy jsme se setkali v první z našich Kuchařek.


27

INFORMATIKA

var parent:array[1..N] of integer; procedure init; var i:integer; begin for i:=1 to N do parent[i]:=0; end; function root(v: integer):integer; begin if parent[v]=0 then root:=v else root:=root(parent[v]); end; function find(v,w:integer):boolean; begin find:=(root(v)=root(w)); end; procedure union(v,w:integer); begin v:=root(v); w:=root(w); if v<>w then parent[v]:=w; end; S předvedenou implementací operací find a union by se mohlo stát, že by stromy odpovídající některým podmnožinám vypadaly jako hadi“; ” pokud by takový strom obsahoval N prvků, byl by na nalezení jeho kořene potřebný čas O(N ). Ke zrychlení práce DFU se používají dvě jednoduchá vylepšení: union by rank Každý prvek má přiřazen rank. Na začátku jsou ranky všech prvků rovny nule. Při provádění operace union propojíme dva stromy s kořeny různých ranků tak, že ukazatel vede od kořene s menším rankem ke kořeni s větším rankem. Ranky kořenů (a ani ostatních prvků obou stromů) se v tomto případě nemění. Pokud kořeny obou stromů mají stejný rank, propojíme je libovolně, ale rank kořene výsledného stromu zvětšíme o 1 (obr. 3). 28


INFORMATIKA

path compression Ve funkci root(v) přepojíme všechny prvky na cestě od prvku v ke kořeni přímo na kořen, tj. otce těchto prvků změníme na kořen příslušného stromu (obr. 4).

Obr. 3. Příklady stromů v datové struktuře DFU, jejichž kořeny mají postupně ranky 1, 2, 2 a 3. α

α

ψ

β ψ

γ

ξ ϕ

χ ω

δ

γ

β ξ

ϕ

δ χ

ω

Obr. 4. Provedení operace path compression při volání funkce root pro prvek δ .

Než obě metody blíže rozebereme, podívejme se, jak se změní implementace funkcí root a union: var parent:array[1..N] of integer; rank:array[1..N] of integer; procedure init; var i:integer; begin for i:=1 to N do begin parent[i]:=0; rank[i]:=0; end; end;


29

INFORMATIKA

function root(v: integer):integer; { path compression } begin if parent[v]=0 then root:=v else begin parent[v]:=root(parent[v]); root:=parent[v]; end; end; function find(v,w:integer):boolean; begin find:=(root(v)=root(w)); end; procedure union(v,w:integer); { union by rank } begin v:=root(v); w:=root(w); if v=w then exit; if rank[v]=rank[w] then begin parent[v]:=w; rank[w]:=rank[w]+1; end else if rank[v] 0 a že tvrzení platí pro r − 1. V okamžiku, kdy se rank prvku v změnil z r − 1 na r, jsme sloučili dva stromy, jejichž kořeny měly rank r − 1. Každý z těchto dvou stromů měl dle indukčního před30


INFORMATIKA

pokladu alespoň 2r−1 prvků, proto má výsledný strom alespoň 2r prvků, což jsme měli dokázat. Z dokázaného tvrzení plyne, že rank každého prvku je nejvýše log2 N a že prvků s rankem r je nejvýše N/2r (všimněme si, že rank prvku v DFU se nemění od okamžiku, kdy tento prvek přestane být kořenem nějakého stromu). Když provádíme jen union by rank, je hloubka každého stromu v DFU (tj. největší počet hran mezi vrcholem tohoto stromu a jeho kořenem) rovna ranku jeho kořene, protože rank kořene se mění právě tehdy, když hloubku stromu zvětšujeme o 1. A protože rank každého prvku je nanejvýš log2 N , je hloubka každého stromu v DFU také nanejvýš log2 N . V uvažovaném případě tedy procedura root spotřebuje čas nejvýše O(log N ), a proto také operace find a union budou vyžadovat čas O(log N ). Z toho vyplývá, že na vykonání M operací find a union budeme potřebovat čas O(M log N ). To nám dává odhad potřebný v důkazu časové složitosti našeho algoritmu na hledání minimální kostry. Disjoint-Find-Union s metodou path compression Nyní popíšeme, jak se datová struktura DFU chová, pokud místo techniky union by rank použijeme path compression, a co se stane, když použijeme obě techniky současně. Podívejme se nejprve na případ, kdy používáme jen techniku path compression. Začneme jednoduchým příkladem. Pokud datová struktura DFU obsahuje N jednoprvkových množin, jejichž prvky jsou, řekněme, čísla od 1 do N , může se stát, že postupným provedením operace union na dvojice prvků i a i + 1, i = 1, . . . , N − 1, vytvoříme jeden strom tvořený orientovanou cestou s hranami z 1 do 2, z 2 do 3 atd. Pokud nyní zavoláme operaci find na číslo 1, budeme na nalezení kořene potřebovat čas lineární v N . Určitě tedy neplatí, že každé použití operace find nebo union vyžaduje čas O(log N ). Lze však ukázat toto: Máme-li strukturu DFU tvořenou N jednoprvkovými stromy a provedeme-li M operací union a find, bude všech M operací dohromady potřebovat čas nejvýše O(M log N ). V našem příkladě vyžadovalo prvních N − 1 operací union čas O(1) a poté jedna operace spotřebovala čas O(N ). Dohromady těchto M = N operací potřebovalo čas O(N ). Nemáme sice dobrý časový odhad toho, kolik času spotřebuje jedna operace union nebo find, ale máme zaručeno, že M těchto operací neRočník 80 (2005), číslo 4

31

INFORMATIKA

překročí čas O(M log N ). Tento odhad je dostatečně dobrý pro použití v analýze algoritmu hledání minimální kostry. Podívejme se nyní, co se stane, když budeme používat obě techniky současně. Ani v tomto případě neexistuje dobrý odhad času potřebného k provedení jedné operace union nebo find, ale lze ukázat, že na provedení M takových operací potřebujeme čas O (N + M ) · log∗ N . Funkce log∗ N je tzv. iterovaný logaritmus, jehož definice následuje. Nejprve definujeme funkci 2 ↑ k rekurzivním předpisem 2 ↑ 0 = 1,

2 ↑ k = 22↑(k−1) .

Je tedy 2 ↑ 1 = 2, 2 ↑ 2 = 22 = 4, 2 ↑ 3 = 24 = 16, 2 ↑ 4 = 216 = 65 536, 2 ↑ 5 = 265 536 atd. Iterovaný logaritmus log∗ N čísla N je pak nejmenší přirozené číslo k takové, že N ≦ 2 ↑ k. Jiná (ekvivalentní) definice iterovaného logaritmu je ta, že log∗ N je nejmenší počet, kolikrát musíme číslo N opakovaně zlogaritmovat, než dostaneme hodnotu menší nebo rovnu jedné. Vidíme tedy, že funkce log∗ N je ve všech praktických aplikacích shora omezena číslem 5. Ve skutečnosti lze ukázat ještě lepší časový odhad O M α(N ) , kde α(N ) je tzv. inverzní Ackermannova funkce. Definici této funkce, ani technicky poněkud náročnější důkazy uvedených časových odhadů předvádět nebudeme; čtenář je může nalézt v některém z pramenů uvedených v literatuře.

Literatura: [1] Aho, A. V., Hopcroft, J. E., Ullman, J. D.: The design and analysis of computer algorithms. Addison-Wesley, Reading, MA, 1974 [2] Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., Stein, C.: Introduction to algorithms, Chapter 21. MIT Press, Cambridge, MA, 2001 [3] Tarjan, R. E., van Leeuwen, J.: Worst-case analysis of set union algorithms. J. ACM 31(2) (1984) 245–281 [4] Tarjan, R. E.: Efficiency of a good but not linear set union algorithm. J. Assoc. Comput. Mach. 22 (1975), 215–215

32


HISTORIE Astronomický příběh Edmonda Halleye František Jáchim, VOŠ a SPŠ Volyně Tento článek je o tom, jak Edmond Halley ovlivnil další rozvoj astronomie. První z problémů, jemuž byli astronomové vystaveni po objevu Keplerových zákonů a po úvaze, že hlavní síla ve sluneční soustavě má původ ve Slunci, zněl: Jaký je vztah přitažlivé síly a vzdálenosti, v níž se projevuje? Čtverec vzdálenosti Domněnka, že síla působící na planety má původ ve Slunci, se rodila velmi pomalu a opatrně. Jako první zaznamenáváme úvahy o možnosti silového působení Slunce na planetu ve směru spojnice obou těles roku 1660 u francouzského astronoma Bullialda, který dokázal, že III. Keplerův zákon vyžaduje ubývání centrální síly se čtvercem vzdálenosti, ale nevěděl, proč musí být dráha planety eliptická. V roce 1667 se stejná domněnka objevuje u Roberta Hooka a také u Edmonda Halleye. Dokázání její správnosti znamenalo obrovský pokrok v nebeské mechanice a vedlo nakonec I. Newtona k formulaci zákona všeobecné přitažlivosti. První kvantitativní krok k pochopení silového působení mezi planetami a Sluncem učinil holandský fyzik Christian Huygens (1629–1695) svými poznatky o odstředivé a dostředivé síle. Z Galileiho znalostí o pohybech těles na povrchu Země vyvodil a ve své knize o kyvadle Horologium oscillatorum poprvé uvedl vztah pro dostředivé zrychlení a = v 2 /r. Pokud tedy budeme nad hlavou otáčet kamenem na provázku, bude provázek napínán odstředivou silou o velikosti F = (m · v 2 )/r. Pokud se planeta pohybuje okolo Slunce, působí na ni dostředivá síla, která její dráhu neustále zakřivuje. Protože je dráha planety eliptická – se Sluncem v ohnisku, ukazovala se jako reálná domněnka, že tuto přitažlivou sílu vyvíjí Slunce a že velikost této síly klesá nepřímo úměrně druhé mocnině vzdálenosti. Usilovná cesta za převráceným čtvercem vzdálenosti začala ovšem v roce 1683 na zcela neakademické půdě – v hospodě. Nad sklenkami whisky se tam scházeli R. Hooke, E. Halley, Ch. Wren, Ročník 80 (2005), číslo 4

33

HISTORIE

kteří se všichni domnívali totéž: Přitažlivé síly musí ubývat se čtvercem vzdálenosti od Slunce. Nabízí to i jednoduché dosazení do Huygensova vztahu pro dostředivé zrychlení. Označíme-li oběžnou dobu planety T , její vzdálenost od Slunce r a použijeme-li III. Keplerův zákon ve tvaru T 2 = k · r 3 , dostáváme pro velikost dostředivého zrychlení vztah v2 4p2 r 2 4p2 r 4p2 r 1 a= = 2 = 2 = =K· 2. 3 r T r T k·r r Odtud vyplývá, že i přitažlivá gravitační síla je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti planety od Slunce. Žádný z výše jmenovaných však neuměl dokázat, že důsledkem ubývání přitažlivé síly se čtvercem vzdálenosti od Slunce je eliptická dráha planety. Na vyřešení tohoto problému vypsal dokonce Ch. Wren jakousi cenu. Sebevědomý Hooke tvrdil, že důkaz zná, ale úmyslně ho tají. Edmond Halley důkaz neměl, ale zvolil jinou cestu; vypravil se roku 1684 do Cambridge za I. Newtonem. Na Halleyovu přímou otázku, jaký tvar bude mít dráha planety, když velikost přitažlivé síly bude ubývat se čtvercem vzdálenosti, Newton bez váhání odpověděl: Bude to elipsa, ” vypočetl jsem to.“ Protože výpočet neměl po ruce, slíbil Halleyovi, že mu ho pošle. Sice nechvátal, ale poslal. V listopadu 1685 dostal Halley od Newtona výtisk jeho devítistránkové práce O pohybu těles po oběžné dráze – budoucího jádra první knihy Principií. Newtonovo dílo Philosophiae naturalis principia mathematica vyšlo v květnu roku 1687. Vydání tohoto pro přírodovědu tak zásadního spisu se neobešlo bez problémů. Jen s malou nadsázkou můžeme říci, že nebýt Halleye, Principia by ve známé podobě nevyšla, určitě ne v roce 1687. Právě Edmond Halley na Newtona silně naléhal, aby dílo uzavřel, a sám se nabízel, že z něj vytvoří celek, který půjde do tisku. Ve fázi, kdy Newton stále váhal, se Halleyův přístup jevil jako klíčový – možná víc než Newton tušil. Cesta k zákonu všeobecné gravitace, který je vrcholem celého díla, trvala Newtonovi řadu let. Ve fázi, kdy problém byl takříkajíc rozuzlen (mohlo to být přibližně v roce 1671), odradily Newtona od další práce jen chybné rozměry Země. Dne 20. června 1686 psal Newton Halleyovi: V jednom ze svých pa” pírů, napsaném nevím v kterém roce, ale jsem si jist, že před veškerou korespondencí s Oldenburgem∗ ), tj. před více než patnácti lety, jsem ∗

) Tehdejší sekretář Royal Society.

34


HISTORIE

vyjádřil pro síly působící na planety nepřímou kvadratickou úměrnost vzdálenosti od Slunce a vypočítal jsem poměr zemské gravitace k odstředivé síle Měsíce, avšak ještě nedostatečně přesným způsobem.“ Newton však i před těmi patnácti lety postupoval správně a počítal přesně. Dovolím si na několika řádcích připomenout problém, který Newtona na dlouhá léta od další práce odradil. S využitím Huygensova vztahu pro dostředivé zrychlení nalezl jeho hodnotu ve vzdálenosti Měsíce (2pR/T )2 4p2 R v2 = = , a= r R T2 kde R je vzdálenost středů Země-Měsíc a T oběžná doba Měsíce kolem Země. Když do tohoto vztahu dosadíme R = (3,84 · 108 ) m a T = (2,36 · 106 ) s, dostáváme a = 0,002 7 m · s−2 . Newton věděl, že Měsíc je 60krát dále od Země, než je její poloměr, proto totéž zrychlení určil také podle vztahu a = g/602 . Po dosazení g = 9,81 m · s−2 dostal a = 0,002 7 m · s−2 . Protože vycházel z chybného poloměru Země a užil tudíž nesprávnou hodnotu R pro vzdálenost k Měsíci, nedospěl při výpočtu zrychlení ke stejným výsledkům, nýbrž k hodnotám lišícím se asi o 14 %, což považoval za neúnosné a svůj postup zavrhl.∗ ) Až po létech se k problému vrátil a vyřešil jej ke své spokojenosti. Nejen celková Newtonova nechuť k dokončení, ale i osobní spory zpožďovaly uzavření díla. Newton tvrdošíjně odmítal uznat sebemenší zásluhy R. Hooka – kdyby ho měl zmínit, dílo by nikdy nevydal. Jak víme, Newton možná převzal od Hooka inspiraci k užití myšlenky o poklesu gravitační síly se čtvercem vzdálenosti, proto by Hooke v Principiích za zmínku jistě stál. Planoucí nenávist se snažil tlumit právě E. Halley. V jednom ze svých dopisů Newtonovi píše: Sire, musím Vás znovu žádat, ” abyste svému hněvu nedovolil natolik vzkypět, že by nás připravil o Vaši třetí knihu. Když jste již s typem písma i papírem spokojen, vynaložím všechno úsilí, abych vydání urychlil.“ Průběh sestavení celých Principií pod stálým nátlakem Halleyovým je tento: Roku 1684 Newton dokončuje devět přednášek O pohybu těles, základ budoucí první knihy Principií. Na podzim Halley přesvědčuje Newtona, aby dílo dokončil a vydal. Na přelomu let 1684 a 1685 vzniká další přípravná část nazvaná Teze o pohybu, nikdy samostatně nevydaná. Během roku 1685 Newton dokončil první knihu svého díla, na podzim roku 1686 knihu druhou. V březnu opět na Halleyovo naléhání ∗

) Poměrně přesný poloměr Země nalezl roku 1672 Piccard, a to asi 6 340 km.


35

HISTORIE

dílo uzavírá knihou třetí. K vydání byl celý spis Royal Society předložen 28. dubna 1687. V květnu 1687 konečně Principia jako celek vychází v nákladu něco málo přes 300 výtisků. Royal Society na vydání neměla prostředky, neboť tu byla zatím nevrácená investice do Historie ryb, díla téměř neprodávaného. Halley neváhal a vložil osobní finanční prostředky, aby Newtonův spis mohl roku 1687 vyjít. Předtím ještě musel krotit rozzuřeného Hooka, zavilého Newtonova nepřítele, který se domáhal citace své myšlenky o ubývání přitažlivé síly se čtvercem vzdálenosti. Když roku 1729 vyšel první anglický překlad Principií (původně napsaných latinsky), doplnil Halley frontispis hymnem: Skrytá tajemství ” nebes a neměnný řád věcí leží před našima očima, neboť matematika zaplašila mraky. Bystrozrakost vznešeného intelektu nám dovolila proniknout do obydlí bohů a vystoupit na výšiny nebes.“ Jedním z kritérií správnosti fyzikální teorie je, že lze podle ní jevy předvídat. Jako objekty pro takový test se nabízely komety. A zde začíná hlavní astronomický příběh Halleyův. Kometa Komety byly člověkem pozorovány odpradávna. Po většinu 16. století patřily stále ještě k Zemi, jazykem antické a středověké astronomie náležely do podměsíční sféry. Otázka, odkud se berou a kam prchají, nebyla kladena. Ani po tvaru dráhy se nijak nepátralo, mělo se zato, že se pohybují po přímce. Průlom do názorů na kometární dráhy vnesl G. S. Dörfel (1643–1688). V roce 1681 vydal pojednání Astronomische Betrachtungen o kometě z roku 1680, ve kterém přiřkl této vlasatici parabolickou dráhu se Sluncem v ohnisku. Poznal, že kometa, která se přibližovala ke Slunci, až zanikla v jeho záři, a kometa, která byla pozorována o pár týdnů později jako vzdalující se od Slunce, byly jedno a totéž těleso. Nákresy dráhy této komety pozorované také berlínským astronomem Gottfriedem Kirchem (1639–1710) i Johnem Flamsteedem vstoupily do dějin astronomie jako tzv. Dörfelova zatáčka. S obrázkem dráhy v blízkosti Slunce obracející se téměř do protisměru přišel jednou J. Flamsteed za I. Newtonem. Otázkou bylo, jak dráha této komety zapadne do tehdy se rodící teorie gravitace, která zatím měla mnohé skalní odpůrce. Diskuse dosud probíhaly nad vztahem čtverce vzdálenosti a eliptické dráhy. Pokud by kometa obíhala kolem Slunce 36


HISTORIE

trvale, měla by mít její dráha tvar elipsy. Najednou tu byla nabídnuta jiná dráha, ale ze stejného matematického soudku – také kuželosečka. Pozorování komet nemohla dát odpověď na typ této kuželosečky. Komety byly pozorovatelné jen poblíž Slunce a z toho nebylo možné určit, zda oblouk dráhy je část elipsy, paraboly, nebo hyperboly. Kromě toho by eliptická dráha znamenala opětovný návrat. Newton, vzhledem k tomu, že nešlo o periodické úkazy, se přikláněl k drahám parabolickým. Do roku 1680 spadá počátek Halleyova kontaktu s problematikou komet. Tehdy se na obloze objevila jedna z velmi jasných komet, kterou Halley poprvé spatřil při plavbě Lamanšským průlivem. O jejím pozorování živě diskutoval v Paříži s astronomem J. D. Cassinim. Francouz se domníval, že je to táž kometa, jako v roce 1577. Soudil, že její dráha je kruhová a prochází poblíž Země. Zdá se, že tyto závěry na Halleye zatím žádný dojem neudělaly a příliš pozornosti jim prozatím nevěnoval. Do ohniska jeho zájmu se komety dostaly kolem roku 1698. Tehdy začal zpracovávat statistiku komet, doufaje, že přece jen něco zajímavého odhalí. Podařilo se mu shromáždit záznamy o 24 kometách z let 1337 až 1698. Dlouhými a namáhavými výpočty se snažil získat popisy drah v pozorovatelném úseku. Mezitím byla dokončena a vyšla Newtonova Principia a pohyb komet se mohl stát testem teorie gravitace. Když měl Halley vše pěkně přehledně srovnáno na jednom listu papíru, padly mu do oka komety z let 1531, 1607 a 1682. Byl mezi nimi interval 75, resp. 76 let. A nejen to: Shodovaly se i v dalších parametrech – sklon dráhy k ekliptice, vzdálenosti komet od Slunce v periheliu i v průsečících dráhy s rovinou ekliptiky. Mnoho věcí mne utvrzuje v přesvědčení, že kometa z roku 1531, kte” rou pozoroval Apianus, je ta samá, kterou v roce 1607 popsali Kepler a Longomontanus a kterou jsem sám viděl v roce 1682. Všechny elementy souhlasí, až na rozdíl v oběžné době. Ten není tak velký, aby se nedal vysvětlit fyzikálními příčinami. Např. pohyb Saturna je natolik rušený jinými planetami, zejména Jupiterem, že jeho oběžná doba se mění až o několik dní. O co víc musí těmto poruchám podléhat kometa, která se od Slunce vzdaluje až do čtyřnásobné vzdálenosti Saturna, a jejíž nepatrné zvýšení rychlosti může změnit dráhu z elipsy na parabolu. Totožnost těchto komet potvrzuje i to, že v roce 1456 pozorovali kometu, která prošla téměř stejně retrogonálním směrem mezi Sluncem a Zemí. . . Mohu tedy s důvěrou předpovídat její návrat na rok 1758.“ Ročník 80 (2005), číslo 4

37

HISTORIE

Již tento krátký úryvek z Halleyova spisu Synopsis of the Astronomy of Comets (1705) obsahuje dvě významné myšlenky. Především se tu poprvé objevuje periodicita oběhu komety – tudíž uzavřená dráha, elipsa. A potom se nabízí úvaha o výpočtu dalšího návratu komety ke Slunci. Halley věnoval problému značné početní úsilí a zjistil, že dráha komety je skutečně eliptická, a že tedy lze kometu očekávat opět v roce 1758, v době, kdy už ji Halley nespatří. Hrdě prohlásil: Až se kometa roku ” 1758 vrátí, nebude spravedlivé potomstvo popírati, že tuto pravdu poprvé hlásal Angličan.“ Když nastal rok 1758, vzpomněli si na Halleyovu předpověď nejen astronomové, ale i matematici. V listopadu, kdy kometa ještě vidět nebyla, předložil Francouz Alexis Claude Clairaut (1713–1765) společně s Nicole Reine Lepautovou (1723–1788) po šesti měsících práce výpočet vypovídající o zpoždění komety s tím, že kometa projde přísluním 14. dubna roku 1759. Štědrý den roku 1758 byl opravdu štědrý pro Halleyovy příznivce. Právě tento den kometu poprvé zahlédl německý sedlák J. G. Palitzsch v malé vesničce Prohlis u Drážďan. O měsíc později ji z Paříže viděl Charles Messier (1730–1817). Kometa prošla přísluním 12. března 1759. Co je to měsíční chyba v 76leté periodě! Zpětně se podařilo dohledat v historických pramenech ještě 28 návratů Haleyovy komety. Komety dostaly rázem prozaičtější obraz. Nejsou nadpřirozené, ale jsou to obyčejná tělesa kroužící kolem Slunce a podléhající stejným zákonům jako vržený kámen nebo kroužící Měsíc. Halleyovu kometu lze v blízkosti Země pozorovat vždy přibližně po 76 letech. Dvakrát za rok se připomene svými meteorickými roji. Jak ukázal J. Svoboda, květnové Aquaridy a říjnové Orionidy letí v její protáhlé eliptické dráze, a tím prozrazují svoji dávnou příslušnost k této kometě.

Literatura: [1] [2] [3] [4]

38

Horský, Z., Plavec, M.: Poznávání vesmíru. Praha, Orbis 1962 Kresák, L.: Kometa Halley přichází (15–35). Bratislava, Obzor 1985 Nový, L., Smolka, J.: Isaac Newton. Praha, Orbis 1969 Sagan, C.: Komety. Praha, Eminent 1998


HISTORIE

Několik postřehů z historie matematiky v Indii Radim Gottwald, MZLU Brno Indická matematika má velmi bohatou historii. Uvádím stručně několik poznatků, které ji charakterizují. Období rozvoje i stagnace První matematické poznatky byly ve starověké Indii zaznamenány v knihách Veda (Vědění, vědomosti) z 19. až 13. století př. n. l. a Šalvasútra (Pravidla provazce) ze 7. až 5. století př. n. l. Po tisíci letech pak přišla doba Árjabhaty I. (476–550), Bráhmagupty (598–670), Mahávíry (800–870) a dalších slavných jmen. Po období Bháskary II. (1114–1185) a Madhavy (1350–1425) došlo opět k určité stagnaci. Následovala století plná opakování známých poznatků, vycházela spousta komentářů na dříve vydané knihy. Především to byly matematické části astronomických spisů. Renesance indické matematiky probíhá opět od začátku 19. století až dodnes. Po vzniku Indické matematické společnosti (1907) působí mnozí Indové v Anglii i jinde ve světě. Pod různými vlivy Na rozvoj matematiky v Indii měly velký vliv buddhismus a džinismus. Mezi první matematiky patřili kněží, kteří přemýšleli, jak postavit oltář nebo i celý chrám tak, aby splňoval určitá geometrická kritéria. Matematika byla od počátku součástí vzdělávání, žáci se učili nazpaměť i řešení slovních úloh. Mnoho matematiků psalo svá díla ve verších. Obchod – pomocník rozvoje Indové byli zdatnými obchodníky, jejich styk se sousedními národy přispěl i k vývoji matematiky. V Indii byly známy Eukleidovy Základy, Ptolemaiův Almagest a mnoho dalších evropských knih, z Indie do Evropy se rozšířila poziční dekadická číselná soustava a používání záporných čísel a nuly. Ročník 80 (2005), číslo 4

39

HISTORIE

Neobvyklé poznatky a nápady Rozvoj indické matematiky je spjat hlavně s používáním poziční dekadické číselné soustavy, záporných čísel, rozvojů funkcí v mocninné řady, binomické věty, Pythagorovy věty a logaritmů o základu 2, 3 a 4. Vzpomeňme také Pingala (kolem roku 200 př. n. l.), který zkoumal souvislosti mezi kombinatorikou a teorií hudby, a Paniniho (520 př. n. l. – – 460 př. n. l.), předchůdce teorie moderních formálních jazyků. Americký matematik John Backus, autor programovacího jazyka FORTRAN, objevil v roce 1959 normální formu popisující syntaxi, která má vlastnosti blízké výrazům Paniniho. Zajímavé je také to, že Bráhmagupta v rovnicích někdy rozlišoval různé neznámé nikoliv různými písmeny, ale různými barvami. Přesněji a přesněji O úrovni matematiky v určitém období vypovídá i míra přiblížení se přesné hodnotě čísla p. Nejde jen o vypočtené přibližné hodnoty této konstanty, ale také o metody, jimiž byly tyto hodnoty určeny. V následující tabulce jsou uvedeny některé aproximace čísla p řazené vzestupně podle odchylky od přesné hodnoty p = 3, 141 592 653 589 793 238 . . . : Přibližná hodnota

Vypočtena jako

3,141 592 653 589 793 24 3,141 592 653 921 421 04 . . . 3,141 6

Nílakantha (1444–1544) 62 832/20 000

Árjabhata (476–550)

3,142 857 1 . . .

22/7

Árjabhatta II. (920–1000)

3,125

25/8

Kniha Satapatha brahmana (19. až 13. století př. n. l.)

3,162 277 6 . . .

√ 10

Árjabhata (476–550)

3,114 186 8 . . .

900/289

3,088

40

Autor Madhava (1350–1425)

Baudhájana (8. století př. n. l.) Kniha Šalvasútra (7. až 5. století př. n. l.)


SOUTĚŽE 47. ročník Fyzikální olympiády, kategorie C, D Úlohy 1. kola (Ve všech úlohách počítejte s tíhovým zrychlením g = 9,81 m · s−2 .) KATEGORIE C 1. Pád okolo okna Volně padající těleso přeletělo před oknem výškové budovy za dobu t. Výška okna je b. a) Určete rychlost v 1 tělesa při horním okraji a v 2 při dolním okraji. b) Jakou dobu t1 padalo těleso do okamžiku, kdy se objevilo při horním okraji okna? c) Z jaké výšky h od dolního okraje okna bylo těleso volně puštěno? d) Jak velkou rychlostí v 3 dopadne těleso na zem, je-li dolní okraj okna ve výšce c nad zemí? Řešte obecně, potom pro hodnoty: t = 0,100 s, b = 2,10 m, c = 30,0 m. 2. Plavba přes řeku Motorový člun, jehož rychlost na klidné vodní hladině by měla velikost v, se pohybuje po řece šířky d. Hloubka řeky je všude stejná a mnohem menší než šířka. Rychlost v 0 vodního proudu u hladiny je proto v celé šířce řeky stejná. a) Určete nejmenší dobu t1 , za kterou se člun dostane od jednoho břehu ke druhému. Jakou rychlostí v 1 se bude člun pohybovat vzhledem k okolní krajině? Jaká bude poloha místa přistání B vzhledem k místu startu A? b) Za jakou nejkratší dobu t2 může člun dorazit z místa A do nejbližšího místa A′ na druhém břehu? O jaký úhel β musíme odchýlit osu lodi od směru kolmého k proudu řeky a jakou rychlostí v 2 se bude člun pohybovat vzhledem k okolní krajině? Ročník 80 (2005), číslo 4

41

SOUTĚŽE

c) Za jakou nejkratší dobu t3 může člun dorazit z místa B, které jsme určili v úloze a), zpět do místa A? O jaký úhel γ musíme odchýlit osu lodi od směru kolmého k proudu řeky a jakou rychlostí v 3 se bude člun pohybovat vzhledem k okolní krajině? d) Rozhodněte, jak závisí řešitelnost úloh a) až c) na velikostech rychlostí v a v 0 . Řešte obecně, pak pro hodnoty: d = 600 m, v0 = 2,0 m · s−1 , v = 5,0 m · s−1 . 3. Plování Vnitřní objem duté měděné polokoule je V1 . Položíme-li polokouli na vodu, plove tak, že její dolní část se ponoří pod hladinu vody do hloubky h = 0,5R, kde R je vnější poloměr polokoule. a) Určete vnitřní poloměr r polokoule. b) Určete vnější poloměr R polokoule. c) Určete hmotnost m měděné polokoule. d) Určete objem V2 vody, kterou můžeme nalít do plovoucí polokoule, aby se ještě nepotopila. Řešte obecně a pro hodnoty: hustota mědi ̺ = 8,9 · 103 kg · m−3 , hustota vody ̺0 = 1,00 · 103 kg · m−3 , V1 = 2,00 dm3 . Návod: Objem kulové úseče můžeme vypočítat podle vztahu: ph3 V = ph2 R − . 3 4. Kruhový děj Činnost spalovacího motoru modelujeme kruhovým dějem, při kterém je vzduch jako pracovní látka o počátečním objemu V1 = 571 cm3, počátečním tlaku p1 = 100 kPa a počáteční teplotě t1 = 20 ◦ C (stav 1) nejprve adiabaticky stlačen na objem V2 = 71 cm3 (stav 2). Stav V /cm3 p/kPa T /K Pak se izochorickým ohřátím jeho 1 571 100 tlak zvětší na p3 = 2,5p2 (stav 3). 2 71 Následuje adiabatická expanze na 3 71 původní objem (stav 4) a izocho4 571 rické ochlazení na původní tlak (návrat do stavu 1). 42


SOUTĚŽE

a) Doplňte tabulku a sestrojte p -V diagram kruhového děje. b) Určete látkové množství a hmotnost použitého vzduchu. c) Určete celkovou práci při jednom cyklu a účinnost motoru při popsaném kruhovém ději. Vzduch považujte za ideální plyn o relativní molekulové hmotnosti Mr = 28,96. Vnitřní energie U = 2,5nRT . Pro adiabatický děj ve vzduchu platí Poissonův zákon ve tvaru pV 1,4 = konst. 5. Tání ledu V termosce o tepelné kapacitě K je led o hmotnosti m a teplotě t1 a topné tělísko o odporu R, jehož tepelnou kapacitu můžeme zanedbat. Topné tělísko připojíme k elektrickému zdroji. Jaké musí být svorkové napětí zdroje U , aby za dobu τ led roztál a teplota uvnitř termosky stoupla na t2 ? Řešte obecně a pro hodnoty: K = 55 J · K−1 , m = 0,85 kg, t1 = −8 ◦ C, t2 = 25 ◦ C, R = 5,8 Ω, τ = 45 min. Měrné tepelné kapacity ledu a vody jsou c1 = 2100 J · kg−1 · J−1 a c2 = 4200 J · kg−1 · J−1 , měrné skupenské teplo tání ledu lt = 332 kJ · kg−1 . Pro dané hodnoty sestrojte graf závislosti teploty na čase během celého děje. 6. Praktická úloha: Měření součinitele odporu dutého kužele Před praktickým provedením této úlohy doporučujeme prostudovat studijní text Vybíral, Zdeborová: Odporové síly (Knihovnička FO, č. 48), str. 19 až 21.

Pomůcky: váhy, stopky, tenký papír, rýsovací potřeby, délková měřidla. Popis měřicí metody: Z tenkého (nejlépe průklepového) papíru vystřihněte dvě kruhové výseče o středovém úhlu 270 ◦ C a poloměru 10 cm a dvě kruhové výseče o středovém úhlu 225 ◦ C a stejném poloměru. Z těchto výsečí slepte pomocí úzkého proužku tenké izolepy papírové kornouty. a) Kornouty zvažte a vypočítejte jejich vrcholové úhly a poloměry podstav. b) Změřte teplotu a tlak vzduchu v místnosti a pomocí stavové rovnice určete hustotu vzduchu, ve kterém provedete měření. Ročník 80 (2005), číslo 4

43

SOUTĚŽE

Při teplotě 0 ◦ C a tlaku 105 Pa je hustota suchého vzduchu ̺0 = 1,276 kg · m−3 .

Úlohy c) a d) proveďte nejprve s dvojicí kornoutů s větším vrcholovým úhlem a potom se zbývajícími dvěma kornouty. c) Pozorujte pád kornoutu otočeného vrcholem dolů od stropu místnosti z co největší výšky h0 . Účinkem odporu vzduchu se rychlost kornoutu velmi brzy ustálí a jeho pohyb bude rovnoměrný. Rychlost pádu určete z doby, která uplyne od průletu kornoutu kolem značky ve výšce h < h0 do jeho dopadu na podlahu místnosti. Volte h0 − h > 0,5 m. Měření doby pádu několikrát zopakujte a stanovte aritmetický průměr naměřených hodnot. d) Úlohu c) opakujte se dvěma kornouty vloženými do sebe. Ověřte, že velikost odporové síly působící na kornouty je přímo úměrná druhé mocnině rychlosti. Kornout složený ze dvou kornoutů má dvakrát větší hmotnost než jeden samostatný, proto by jeho rych√ lost měla být 2krát větší než rychlost jednoduchého kornoutu – pokud platí Newtonův vztah F = 21 C̺Sv 2 = mg. e) Ze známé hustoty vzduchu, hmotnosti a rozměrů kornoutu a jeho ustálené rychlosti při pádu určete součinitel odporu C dutého kužele s daným vrcholovým úhlem. f) Ze stejného papíru vyrobte kornouty o stejných vrcholových úhlech, ale jiných poloměrech podstavy. Ověřte, že ustálené rychlosti pádu kornoutů se stejnými vrcholovými úhly jsou stejné, a vysvětlete to. g) Porovnejte vypočtené hodnoty součinitele odporu C s hodnotami uvedenými v učebnici fyziky pro jiné tvary těles. 7. Setrvačník Na vodorovnou hřídel setrvačníku o poloměru r bylo navinuto tenké vlákno. Na něm bylo ve výšce h nad podlahou zavěšeno závaží o hmotnosti m (obr. 1). Po uvolnění začalo závaží klesat a dosáhlo podlahy za dobu t1 . Setrvačník roztočený působením závaží pokračoval v otáčivém pohybu a zastavil se až za dobu t2 od okamžiku, kdy se závaží dotklo podlahy. Zbytek vlákna se přitom odmotal. Předpokládejme, že moment M odporových sil, které brzdily pohyb setrvačníku, byl konstantní. 44


SOUTĚŽE

a) Určete úhlové zrychlení ε1 setrvačníku během roztáčení, úhlové zrychlení ε2 setrvačníku během zastavování a úhlovou rychlost ω1 setrvačníku v okamžiku, kdy se závaží dotklo podlahy. b) Určete moment setrvačnosti J setrvačníku vzhledem k jeho rotační ose a moment M brzdících sil. Řešte obecně a pro hodnoty: r = 7,00 mm, m = 0,500 kg, h = 1,00 m, t1 = 5,00 s, t2 = 30,00 s.

r

J

m

h

Obr. 1

KATEGORIE D 1. Vagony Na nakloněné rovině se sklonem α = 1,7◦ se nachází zabrzděný vagon. Vagon odbrzdíme a po projetí dráhy s1 = 200 m zablokujeme brzdy tak, že se pohybuje smykem. Součinitel smykového tření mezi koly vagonu a kolejemi je f = 0,10. a) Sestrojte graf závislosti velikosti rychlosti na čase. b) Sestrojte graf závislosti dráhy na čase. 2. Cyklisté na uzavřené trati Dva cyklisté jezdí po uzavřeném okruhu délky o = 750 m, jeden rychlostí v1 = 45 km/h, druhý rychlostí v2 = 27 km/h. a) Oba vyrazili současně opačnými směry. b) Oba vyrazili současně stejným směrem. c) Oba vyrazili stejným směrem, ale pomalejší cyklista o τ = 12 s dříve. Kdy a v jaké vzdálenosti od místa startu (měřeno podél okruhu) se setkají během prvních 5 minut jízdy rychlejšího cyklisty? Úlohu řešte graficky i početně. Ročník 80 (2005), číslo 4

45

SOUTĚŽE

3. Jízda v zatáčce Při cyklistických závodech mají cyklisté projíždět protisměrnou zatáčkou, tj. zatáčkou se středovým úhlem 180◦ . Vozovka celé zatáčky leží ve vodorovné rovině. a) Do zatáčky vjíždí dva cyklisté, jeden jede po kruhovém oblouku o poloměru r1 , druhý po kruhovém oblouku o poloměru r2 (r1 < r2 ). Během průjezdu zatáčkou se oba cyklisté nachází v každém okamžiku vedle sebe. Rozhodněte, který z cyklistů je více odkloněn od svislé osy. Zdůvodněte. b) Určete nejkratší dobu tmin , za kterou je teoreticky možné zatáčkou projet, a maximální rychlost vmax , kterou je možné zatáčkou projíždět. Zatáčku je možné projíždět po kruhových obloucích o minimálním poloměru rmin = 5,0 m a maximálním poloměru rmax = 9,0 m. Součinitel smykového tření mezi pláštěm kola a vozovkou je f = 0,60. Řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. 4. Tenis Při podání tenisty od základní čáry míček opouští raketu ve vodorovném směru kolmo ke svislé rovině sítě tak, že nejnižší bod míčku je ve výšce h0 = 2,50 m nad základní čarou. Síť výšky h1 = 0,91 m se nachází ve vzdálenosti d1 = 11,9 m od základní čáry, zadní čára pole podání je ve vzdálenosti d2 = 18,3 m. a) Určete velikost minimální počáteční rychlosti vmin , aby míček přeletěl síť. b) Určete velikost maximální počáteční rychlosti vmax , aby míček dopadl do pole podání. c) Tenista podával počáteční rychlostí o velikosti v0 = 56, 0 m · s−1 pod elevačním úhlem α = −6◦ 30′ . Rozhodněte, zda míček přejde přes síť do pole podání. d) Určete dobu letu míčku z úlohy c). Úlohy řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. 5. Padostroj Přes kladku zajištěnou nejprve proti otáčení jsou na tenkém pevném vlákně zavěšena dvě stejná závaží o hmotnostech M = 2,00 kg. Levé 46


SOUTĚŽE

závaží stojí na podlaze, pravé se nachází ve výšce h1 = 1,00 m nad podlahou. Nad pravým závažím ve vzdálenosti d = 20 cm je další závaží o hmotnosti m = 0,500 kg (obr. 1). Vlákno je s výjimkou kladky napnuté ve svislém směru. Kladku v určitém okamžiku uvolníme. a) Jakou rychlostí dopadne pravé dolní závaží na podlahu? b) Do jaké výšky vystoupí levé závaží poté, co pravé dolní závaží dopadne nepružně na podlahu? c) Do jaké maximální výšky pak opět vystoupí pravé dolní závaží? Hmotnost vlákna i kladky, deformaci vlákna tahem a tření zanedbejte.

m d M

h1 M

Obr. 1

6. Praktická úloha: Pohyb hladiny při výtoku kapaliny otvorem ve stěně nádoby Vezměte plastovou láhev, která má mezi dnem a hrdlem stejný příčný průřez ve výškovém rozmezí aspoň 20 cm. V nejnižším bodě válcové části vytvořte pomocí hřebíku o průměru asi 2,5 mm zahřátého v plameni malý otvor. Na stěně válcové části vytvořte svislou stupnici v centimetrech s počátkem ve středu výtokového otvoru, která určuje výšku hladiny nad středem otvoru. Naplňte láhev vodou a nechte ji vytékat. V okamžiku, kdy hladina dosáhne úrovně horního konce stupnice, začněte stisknutím stopek měřit čas. Optimální jsou stopky, které umožňují měřit mezičasy. Zaregistrujte časy průchodu hladiny každou ryskou, dokud voda tryská vodorovně a nestéká po stěně, a zapište je do tabulky. Toto celé měření proveďte 5krát. Vyplňte zbývající část tabulky. V tabulce je ti aritmetický průměr pěti naměřených časů, ∆ti = ti − ti−1 doba průchodu hladiny mezi ti + ti−1 dvěma sousedními ryskami, ti = aritmetický průměr kraj2 ∆h ních časů intervalu ∆ti , vi = průměrná rychlost pohybu hladiny ∆ti mezi dvěma sousedními ryskami (∆h = 0,01 m). Ročník 80 (2005), číslo 4

47

SOUTĚŽE

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

h m

ti1 s

0,20 − 0,19 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

ti2 ti3 s s

ti4 s

ti5 ti ∆ti = ti − ti−1 ti = s s s

−

−

−

−

0

−

ti + ti−1 2 s −

∆h ∆ti 10−3 m·s−1 vi =

−

Považujte nyní rychlost vi za okamžitou rychlost v čase ti a do grafu závislosti rychlosti na čase vyneste jednotlivé body. Body proložte přímkou a určete její směrnici. Stanovte fyzikální význam hodnoty směrnice a napište závěr o charakteru pohybu hladiny v láhvi. 7. Dva automobily Dva automobily, každý o hmotnosti m = 1200 kg, stojí vedle sebe a ve stejném okamžiku se začínají rozjíždět. První se rozjíždí rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a = 1,8 m · s−2 , druhý s konstantním výkonem P = 20 kW. a) Určete čas t1 , v němž budou mít stejnou rychlost, a velikost této rychlosti v1 . Řešte nejprve obecně, pak pro dané číselné hodnoty. b) Sestrojte pro každý automobil graf závislosti okamžité rychlosti na čase. c) Z grafu přibližně určete maximální vzdálenost mezi automobily. 48


Světový rok fyziky 2005 v zrcadle filatelie

Recommend Documents