světa. Přesto v tomto textu zcela chybí obrázky. Je to hlavně proto, že kreslení pěkných obrázků

Matematický u ´stav Slezské univerzity v Opavˇe Uˇcebn´ı text z geometrie M. Marvan Pˇr´ımka je ˇ c´ ara, kter´ a leˇ z´ı stejnomˇ ernˇ e se sv´ ymi body na sobˇ e. Eukleides, Z´ aklady

Geometrie lineárn´ıch u´tvar˚ u 1. Pˇ redmluva Tento uˇcebn´ı text k pˇredmˇetu Geometrie je urˇcen student˚ um druhého roˇcn´ıku bakaláˇrského studia Slezské univerzity v Opavˇe. Prvn´ı ˇcást, kterou právˇe ˇctete, pojednává o geometrii line´ arn´ıch u ´tvar˚ u, jako jsou pˇr´ımky a roviny a jejich analogie ve v´ıcerozmˇern´ ych prostorech. Zav´ adˇej´ı se v n´ı odpov´ıdaj´ıc´ı struktury a ˇreˇs´ı se nˇekteré základn´ı u ´lohy. Geometrick´ a intuice je velmi u ´ˇcinn´ a pˇri odhalován´ı zákonitost´ı matematického i reálného svˇeta. Pˇresto v tomto textu zcela chyb´ı obr´ azky. Je to hlavnˇe proto, ˇze kreslen´ı pˇekn´ ych obrázk˚ u je ˇcasovˇe n´ aroˇcné a autor se k nˇemu jeˇstˇe nedostal. Student˚ um doporuˇcuji, aby navˇstˇevovali pˇredn´ aˇsky a cviˇcen´ı nebo si obr´ azky kreslili sami. ´ 2. Uvod ˇ e doklady Geometrie (ˇrecky γεωµετρια = zemˇemˇeˇriˇcstv´ı) je jednou z nejstarˇs´ıch nauk. Cetn´ o geometrickém myˇslen´ı a jeho v´ yvoji nalézáme jiˇz v neolitu. Poˇcátky geometrie lze spojit s poˇc´ atky stavitelstv´ı, astronomie a ornamentáln´ıho umˇen´ı. Jiˇz prvn´ı dochovaná p´ısemná ˇ ıny) vˇsak pˇredstavuj´ı jiˇz pomˇernˇe pojedn´ an´ı o geometrii (z Mezopot´ amie, Indie, Egypta a C´ rozs´ ahlé soubory poznatk˚ u o délk´ ach, u ´hlech, plochách a objemech. Maj´ı podobu numericky ˇreˇsen´ ych u ´loh, obvykle bez jakéhokoliv od˚ uvodnˇen´ı postupu. Jsou jen zˇcásti správné, napˇr. délka kruˇznice b´ yvala urˇcov´ ana jako trojn´ asobek pr˚ umˇeru. Cviˇ cen´ı. Babylonsk´ a hlinˇen´ a tabulka datovan´ a kolem roku 2600 pˇr. n. l. obsahuje n´ asleduj´ıc´ı u ´lohu a jej´ı ˇreˇsen´ı: Obvod kruhu je 60, v´ yˇska u ´seˇce je 2, jak´ a je délka seˇcny? Zdvojn´ asob 2, dostaneˇs 4. Odeˇcti 4 od 20, dostaneˇs 16. Umocni 16, dostaneˇs 256. Odeˇcti 256 od 400, dostaneˇs 144. Odmocni 144, dostaneˇs 12, délku seˇcny. Co znamenaj´ı hodnoty 20 a 400? Opravte je. Dostaneme pak spr´ avn´ y v´ ysledek? Znali Babyloˇ nané Pythagorovu vˇetu? Cviˇ cen´ı.

Kdo byl harpedonapt a co dˇelal?

Nejstarˇs´ı zn´ am´ y systematick´ y v´ yklad geometrie pˇredstavuj´ı Eukleidovy Z´ aklady (Στ oιχια), vzniklé kolem roku 300 pˇr. n. l. v Alexandrii. Eukleides v tˇrinácti knihách vyloˇzil matematické znalosti své doby: geometrii (9 knih) a teorii ˇc´ısel (4 knihy). Nejv´ yznamnˇejˇs´ı inovac´ı oproti dochovan´ ym text˚ um z dˇr´ıvˇejˇs´ı doby je pouˇzit´ı axiomatické metody. Vˇsechna tvrzen´ı, s v´ yjimkou definic, postul´ at˚ u a axiom˚ u, jsou dokazov´ ana. Geometrie se tak stala deduktivn´ı vˇedou. Geometrie roviny (planimetrie) a prostoru (stereometrie), se kterou jste se setkali na z´ akladn´ı a stˇredn´ı ˇskole, je geometri´ı Eukleidov´ ych Základ˚ u. Bˇehem stalet´ı, která uplynula od Eukleidov´ ych dob, bylo nashrom´ aˇzdˇeno obrovské mnoˇzstv´ı poznatk˚ u. D˚ uleˇzitou událost´ı byl vznik analytické geometrie, to jest, zaveden´ı souˇradnic a studium geometrick´ ych objekt˚ u metodami anal´ yzy a algebry. Otcem analytické geometrie je René Descartes (Renatus Cartesius, 1596–1650). Dˇr´ıvˇejˇs´ı, bezsouˇradnicov´ y pˇr´ıstup se naz´ yvá syntetick´ a geometrie.

Geometrie line´ arn´ıch u ´tvar˚ u

Modern´ı geometrie znaˇcnˇe pˇres´ ahla své klasické hranice: expandovala do v´ıcerozmˇern´ ych prostor˚ u, a to nejen re´ aln´ ych a komplexn´ıch, ale i mnohem obecnˇejˇs´ı povahy. Bˇeˇznˇe se pouˇz´ıvaj´ı obecné (kˇrivoˇcaré) souˇradnice. Geometrie naˇsla uplatnˇen´ı v klasické i modern´ı fyzice (zejména v mechanice, teorii relativity, teorii strun) a odtud také ˇcerpala podnˇety pro sv˚ uj dalˇs´ı rozvoj. Modern´ı geometrie je studiem myˇslen´ ych objekt˚ u spojité povahy a vztah˚ u mezi nimi, nezávisle na volbˇe souˇradnic. Jedn´ım z kriteri´ı, podle nichˇz m˚ uˇzeme tˇr´ıdit geometrické poznatky, je kriterium invariance, podle nˇejˇz rozezn´ av´ ame geometrii Eukleidovskou, afinn´ı, projektivn´ı, konformn´ı a dalˇs´ı. Do Eukleidovské geometrie ˇrad´ıme poznatky invariantn´ı v˚ uˇci shodnostem (transformac´ım zachov´ avaj´ıc´ım délky a potaˇzmo i odchylky a objemy). Do afinn´ı geometrie ˇrad´ıme poznatky invariantn´ı v˚ uˇci tzv. afinn´ım transformac´ım (budeme je definovat n´ıˇze). Pˇr´ıkladem je rovnobˇeˇzná projekce. V pozad´ı afinn´ı transformace bod˚ u je vˇzdy nˇejak´ a line´ arn´ı transformace vektor˚ u. Afinn´ı transformace zachovávaj´ı lineárn´ı u ´tvary (pˇr´ımky se zobrazuj´ı na pˇr´ımky) a jejich vzájemnou polohu (napˇr. rovnobˇeˇznost pˇr´ımek); jde proto o afinn´ı pojmy. Ani odchylky, ani vzdálenosti, ani obsahy se obecnˇe nezachovávaj´ı, a proto nepatˇr´ı mezi afinn´ı pojmy. Zachovává se vˇsak pomˇer délek kolineárn´ıch vektor˚ u (um´ıstˇen´ ych v jedné pˇr´ımce), tzv. dvojpomˇer. Pˇ r´ıklad. Pˇr´ıkladem rovnobˇeˇzného prom´ıt´ an´ı je vrh´ an´ı sluneˇcn´ıho st´ınu, je-li oslunˇen´ y prostor tak mal´ y, ˇze sluneˇcn´ı paprsky m˚ uˇzeme povaˇzovat za rovnobˇeˇzné. Pˇredstavme si, ˇze ˇreˇs´ıme nˇejakou u ´lohu na okenn´ım skle. Je-li u ´loha afinn´ı, pak bude spr´ avné i ˇreˇsen´ı, které sluneˇcn´ı paprsky vykresl´ı na stˇenˇe nebo podlaze m´ıstnosti. Afinn´ı u ´lohou je napˇr´ıklad konstrukce stˇredu u ´seˇcky nebo tˇeˇziˇstˇe troj´ uheln´ıka.

Do projektivn´ı geometrie ˇrad´ıme poznatky invariantn´ı v˚ uˇci tzv. projektivn´ım transformac´ım. Pˇr´ıkladem je stˇredov´ a projekce (ve v´ ytvarném umˇen´ı se projevuje jako perspektiva). Vyˇreˇs´ıme-li nˇejakou projektivn´ı u ´lohu na pr˚ uhledné rovné ploˇse, bude správné i ˇreˇsen´ı, které dostaneme jeho pom´ıt´ an´ım na libovolnou rovinu. Projektivn´ı transformace zachovávaj´ı lineárn´ı u ´tvary (pˇr´ımky se zobrazuj´ı na pˇr´ımky), ale nikoliv jejich vzájemnou polohu. Pr˚ umˇetem rovnobˇeˇzn´ ych pˇr´ımek mohou b´ yt r˚ uznobˇeˇzky, a proto se v projektivn´ı geometrii rovnobˇeˇzky prot´ınaj´ı “v nekoneˇcnu.” Nezachov´ av´ a se ani stˇred u ´seˇcky. Zachovává se tzv. ˇctyˇrpomˇer ˇctyˇr bod˚ u na pˇr´ımce. 3. Afinn´ı geometrie Afinn´ı geometrie pojedn´ av´ a o geometrick´ ych vlastnostech, k jejichˇz formulován´ı nepotˇrebujeme ˇz´ adné m´ıry jako vzd´ alenost, odchylku nebo objem. Pˇr´ıkladem afinn´ıch objekt˚ u jsou pˇr´ımky a roviny, mezi afinn´ı pojmy patˇr´ı napˇr. rovnobˇeˇznost, r˚ uznobˇeˇznost a mimobˇeˇznost pˇr´ımek, stˇred u ´seˇcky, apod. Z´ akladn´ı pojmy afinn´ı geometrie jsou bod a vektor. V afinn´ı geometrii jsou vektory chápány jako volné. Volnost vektoru u znamen´ a, ˇze m˚ uˇze b´ yt um´ıstˇen v libovolném poˇc´ ateˇcn´ım bodˇe A. T´ım je pak jednoznaˇcnˇe urˇcen pˇr´ısluˇsn´ y koncový bod B = A + u. V tomto textu je afinn´ı geometrie vlastnˇe jen zastávka (ale d˚ uleˇzitá) na cestˇe k eukleidovské geometrii. Eukleidovsk´ a geometrie m´ a nav´ıc skalárn´ı souˇcin vektor˚ u. Existuj´ı i neeukleidovské afinn´ı geometrie, napˇr´ıklad geometrie Minkowského ˇcasoprostoru speciáln´ı teorie relativity. 3.1. Afinn´ı prostory Afinn´ı prostor je zad´ an mnoˇzinou A bod˚ u, vektorov´ ym prostorem V vektor˚ u a zobrazen´ım A×V − → A, urˇcuj´ıc´ım koncov´ y bod um´ıstˇeného vektoru. 2


3.1. Definice. Bud’ V vektorov´ y prostor nad polem R. Afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V je mnoˇzina A 6= ∅ spolu se dvˇema zobrazen´ımi + : A × V − →A a −:A×A− → V takov´ ymi, ˇze pro libovolné A, B ∈ A a libovoln´ a u, v ∈ V plat´ı (i)

A + 0 = A,

(ii)

(A + u) + v = A + (u + v),

(iii)

A + (B − A) = B,

(iv)

(A + u) − A = u.

Prvky afinn´ıho prostoru se naz´ yvaj´ı body. Dimenze afinn´ıho prostoru se definuje jako dimenze zamˇeˇren´ı V. Proˇc vyluˇcujeme pr´ azdnou mnoˇzinu? Pr´ azdn´ a mnoˇzina by mohla b´ yt uˇziteˇcn´ a napˇr´ıklad jako pr˚ unik r˚ uznobˇeˇzn´ ych afinn´ıch podprostor˚ u (viz n´ıˇze). Tento jinak dobr´ yu ´ˇcel vˇsak neospravedlˇ nuje takovou anom´ alii, jakou by pr´ azdn´ y afinn´ı podprostor byl. Kdybychom totiˇz pˇripustili A = ∅, bylo by moˇzné splnit vˇsechny ostatn´ı podm´ınky této definice pro libovoln´ y vektorov´ y prostor v roli zamˇeˇren´ı. Pr´ azdn´ a mnoˇzina jako afinn´ı podprostor by nemˇela jednoznaˇcnˇe urˇcené ani zamˇeˇren´ı, ani dimenzi.

3.2. Tvrzen´ı. Bud’ A afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V. 1. Ke kaˇzdé dvojici bod˚ u A, B ∈ A existuje pr´ avˇe jeden vektor u ∈ V takový, ˇze B = A+u. T´ımto vektorem je u = B − A. 2. Ke kaˇzdému bodu A ∈ A a vektoru u ∈ V existuje pr´ avˇe jeden bod B ∈ A takový, ˇze B − A = u. T´ımto bodem je B = A + u. D˚ ukaz. 1. Bud’te A, B ∈ A libovolné dva body. Existence vektoru u: Podle axiomu (iii) vektor u = B − A splˇ nuje B = A + u. Jednoznaˇcnost vektoru u: Necht’ B = A + u. Pak B − A = u podle axiomu (iv). 2. Bud’ A ∈ A libovoln´ y bod a u ∈ V libovoln´ y vektor. Existence bodu B: Podle axiomu (iv) bod B = A + u splˇ nuje B − A = u. Jednoznaˇcnost bodu B: Necht’ B − A = u. Pak B = A + u podle axiomu (iii). Pˇ r´ıklad.

Ukaˇzte, ˇze (C − B ) + (B − A) = C − A.

ˇ sen´ı: M´ Reˇ ame dok´ azat rovnost dvou vektor˚ u, C − A a (C − B) + (B − A). Umistˇeme oba vektory do bodu A a najdˇeme koncové body: A + (C − A) = C, A + (C − B ) + (B − A) = A + (B − A) + (C − B ) = B + (C − B ) = C. Koncové body obou vektor˚ u spl´ yvaj´ı, a proto podle Tvrzen´ı 3.2 jsou si oba vektory rovny. Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze (A + u) − (B + v ) = (A − B ) + (u − v ).

3.3. D´ asledek. Zvolme pevnˇe libovolný bod A ∈ A. Pak je pˇriˇrazen´ı u 7− → A + u bijekc´ı V− → A. Inverzn´ım zobrazen´ım je B 7− → B − A, které je bijekc´ı A − → V. D˚ ukaz. Vztahy (iii) a (iv) znamenaj´ı, ˇze pˇri pevnˇe zvoleném A ∈ A jsou zobrazen´ı V − → A, u 7− → A + u a zobrazen´ı A − → V, B 7− → B − A, vzájemnˇe inverzn´ı. Uved’me pˇr´ıklady afinn´ıch prostor˚ u. 3


Pˇ r´ıklad. 1. Kaˇzd´ y vektorov´ y prostor je afinn´ım prostorem a je s´ am sobˇe zamˇeˇren´ım. Necht’ A = V. Necht’ + : A × V − → A i − : A×A − → V jsou obvyklé operace ve V. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze vˇsechny axiomy plat´ı. 2. Speci´ aln´ı pˇr´ıpad: Necht’A = V = Rn . Necht’+ : A×V − → A je obyˇcejné sˇc´ıt´ an´ı + : Rn ×Rn − → Rn jako ve vektorovém prostoru Rn . Tud´ıˇz, body i vektory jsou n-tice re´ aln´ ych ˇc´ısel. Pro rozliˇsen´ı je zvykem body zapisovat v hranat´ ych a vektory v kulat´ ych z´ avork´ ach. Napˇr´ıklad: [3, 2] − [1, 2] = (2, 0) nebo [1, 2] + (2, 0) = [3, 2], kdeˇzto [3, 2] + [1, 2] nen´ı definov´ ano. Pˇ r´ıklad.

Uvaˇzujme o systému line´ arn´ıch rovnic a11 x1 +· · · +a1n xn = b1 , ... am1 x1 +· · · +amn xn = bm .

Bud’ A mnoˇzina vˇsech jeho ˇreˇsen´ı [x1 , . . . , xn ] ∈ Rn a podobnˇe V mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn homogenn´ıho systému a11 x1 +· · · +a1n xn = 0, ... am1 x1 +· · · +amn xn = 0, kter´ y obdrˇz´ıme nahrazen´ım vˇsech koeficient˚ u b1 , . . . , bm na pravé stranˇe nulami. Z line´ arn´ı algebry je dobˇre zn´ amo, ˇze V je vektorov´ y podprostor v prostoru Rn . Zaved’me zobrazen´ı + : A × V − → A resp. −:A×A− → V jako souˇcet resp. rozd´ıl po sloˇzk´ ach. Pak A je afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V. Vypl´ yv´ a to ze zn´ amé vˇety, ˇze obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (ˇcili A) je souˇctem partikul´ arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy (ˇcili A ∈ A) a obecného ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy (ˇcili V).

3.2. Afinn´ı podprostory Pˇr´ımky, roviny a jejich v´ıcerozmˇerné analogie jsou v afinn´ı geometrii zavádˇeny jako tzv. afinn´ı podprostory. 3.4. Definice. Bud’ A afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V, bud’ B ⊆ A neprázdná podmnoˇzina a U ⊆ V vektorov´ y podprostor. Necht’ (i) pro kaˇzd´ y bod B ∈ B a kaˇzd´ y vektor u ∈ U plat´ı B + u ∈ B; (ii) pro kaˇzdé dva body B, B 0 ∈ B plat´ı B 0 − B ∈ U. Pak se mnoˇzina B naz´ yv´ a afinn´ı podprostor se zamˇeˇren´ım U. Uvedenou definici m˚ uˇzeme struˇcnˇe shrnout slovy: Afinn´ı podprostor a jeho zamˇeˇren´ı jsou podmnoˇziny uzavˇrené na vˇsechny algebraické operace, které mezi nimi existuj´ı. 3.5. Tvrzen´ı. Bud’ A afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V, bud’ B ⊆ A jeho afinn´ı podprostor se zemˇeˇren´ım U ⊆ V. Pak je B afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V. D˚ ukaz. Pˇredevˇs´ım zavedeme zobrazen´ı + : B × U − → B i − : B×B − → U jako ohraniˇcen´ı ˇ to je moˇzné, stejnojmenn´ ych zobrazen´ı mezi afinn´ım prostorem A a jeho zamˇeˇren´ım V. Ze zaruˇcuj´ı podm´ınky (i) a (ii) z definice afinn´ıho podprostoru. Splnˇen´ı kaˇzdé z podm´ınek (i)–(iv) z definice afinn´ıho prostoru je pak zˇrejm´ ym d˚ usledkem splnˇen´ı tˇechto podm´ınek v A. Cviˇ cen´ı. Dokaˇzte.

Zamˇeˇren´ı U ⊆ V je jednoznaˇcnˇe urˇceno mnoˇzinou B jako U = {B − A | A, B ∈ B}.

V´ ysledek cviˇcen´ı n´ as opravˇ nuje hovoˇrit o afinn´ım podprostoru B ⊆ A, aniˇz by bylo nutno uv´ adˇet, kter´ y vektorov´ y podprostor je jeho zamˇeˇren´ım. 4


Pˇ r´ıklad. Pˇr´ıklad afinn´ıho prostoru urˇceného soustavou line´ arn´ıch rovnic, uveden´ y v pˇredchoz´ı kapitole, je pˇr´ıkladem afinn´ıho podprostoru v prostoru Rn (ovˇeˇrte samostatnˇe).

3.6. Tvrzen´ı. Bud’ A afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V, bud’ U ⊆ V vektorový podprostor. Pro libovolný bod B ∈ A oznaˇcme B + U = {B + u | u ∈ U}. Pak je mnoˇzina B + U afinn´ı podprostor prostoru A, se zamˇeˇren´ım U. M˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze afinn´ı podprostor B+U je mnoˇzina koncov´ ych bod˚ u vektor˚ u z U um´ıstˇen´ ych do bodu B. D˚ ukaz. Ovˇeˇrme podm´ınky z definice afinn´ıho podprostoru. (i): Necht’ C ∈ B +U a u ∈ U. Pak C = B +v, kde v ∈ U, naˇceˇz C +u = B +v+u ∈ B +U, protoˇze v + u ∈ U. (ii): Necht’C, C 0 ∈ B. Pak C = B+v a C 0 = B+v0 , kde v, v0 ∈ U, naˇceˇz C 0 −C = v0 −v ∈ U. Tvrzen´ı lze obr´ atit, pˇriˇzemˇz bod B m˚ uˇzeme v daném podprostoru B volit libovolnˇe: 3.7. Tvrzen´ı. Bud’ B ⊆ A afinn´ı podprostor se zamˇeˇren´ım U, bud’ B ∈ B libovolný bod. Pak plat´ı B = B + U. D˚ ukaz. M´ ame dok´ azat rovnost B = B + U. Dokaˇzme obˇe inkluze. ⊆: Necht’ C ∈ B. Pak podle podm´ınky (i) z definice podprostoru plat´ı C − B ∈ U, naˇceˇz C = B + (C − B) ∈ B + U. ⊇: Necht’ C ∈ B + U. Pak C = B + v, kde v ∈ U, naˇceˇz C ∈ B podle podm´ınky (ii) z definice podprostoru. 3.8. Pozn´ amka. Formule A + U je v podstatˇe parametrick´ ym vyjádˇren´ım podprostoru. Je-li u1 , . . . , um b´ aze podprostoru U, pak lze libovoln´ y bod z A+U zapsat jako A+t1 u1 +· · · +tm um , kde t1 , . . . , tm jsou re´ alné parametry. 3.3. Pr˚ unik afinn´ıch podprostor˚ u Jak m˚ uˇzeme poznat, ˇze se afinn´ı podprostory prot´ınaj´ı? 3.9. Tvrzen´ı. (i) Afinn´ı podprostory A + U, B + V maj´ı spoleˇcný bod pr´ avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı B − A ∈ U + V; (ii) maj´ı-li spoleˇcný bod P , je jejich pr˚ unikem podprostor P + U ∩ V. D˚ ukaz. (i) Necht’ P ∈ (A + U) ∩ (B + V). Pak existuj´ı vektory u ∈ U a v ∈ V takové, ˇze P = A + u = B + v. Potom 0 = P − P = (A + u) − (B + v) = (B − A) + (u − v), a tedy B − A = v − u ∈ U + V. Necht’ naopak B − A = u + v, kde u ∈ U a v ∈ V. Ukaˇzte sami, ˇze A + u = B − v je bod spoleˇcn´ y podprostor˚ um A + U a B + V. (ii) Cviˇcen´ı. Snadno lze definovat rovnobˇeˇznost afinn´ıch podprostor˚ u, a to i v pˇr´ıpadˇe, ˇze podprostory maj´ı r˚ uzné dimenze. 3.10. Definice. Afinn´ı podprostory A + U, B + V se naz´ yvaj´ı rovnobˇeˇzné, jestliˇze U ⊆ V nebo V ⊆ U. 5


Pˇ r´ıklad.

Rozhodnˇete o vz´ ajemné poloze pˇr´ımek A + [[u]] a B + [[v]] v afinn´ım prostoru R3 , kde A = [a1 , a2 , a3 ],

u = (u 1 , u 2 , u 3 ),

B = [b 1 , b 2 , b 3 ],

v = (v1 , v2 , v3 ).

Pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzné pr´ avˇe kdyˇz [[u]] = [[v]], tj. pr´ avˇe kdyˇz jsou vektory u, v z´ avislé, tj. pr´ avˇe kdyˇz m´ a matice „ « u1 u2 u3 M= v1 v2 v3 hodnost 1. Pˇr´ımky se prot´ınaj´ı pr´ avˇe tehdy, kdyˇz B − A ∈ [[u]] + [[v]], kde ovˇsem [[u]] + [[v]] = [[u, v]], tj. pr´ avˇe kdyˇz maj´ı matice M a 0 1 u1 u2 u3 0 v2 v3 A M = @ v1 b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3 stejnou hodnost. Cviˇ cen´ı.

Pokraˇcuj´ıce v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu, vyplˇ nte tabulku rk M 0 = 1

rk M 0 = 2

rk M 0 = 3

rk M = 1

—

rk M = 2

—

slovy: totoˇzné, rovnobˇeˇzné r˚ uzné, r˚ uznobˇeˇzné, mimobˇeˇzné. Proˇc nemohou nastat pˇr´ıpady oznaˇcené vodorovn´ ym proˇskrtnut´ım? Cviˇ cen´ı. Necht’ maj´ı rovnobˇeˇzné afinn´ı podprostory B1 , B2 spoleˇcn´ y bod. Ukaˇzte, ˇze potom B1 ⊆ B2 nebo B1 ⊇ B2 .

3.4. Afinn´ı souˇ radnice 3.11. Definice. Afinn´ı prostor je koneˇcnˇerozmˇerný, je-li jeho zamˇeˇren´ım koneˇcnˇerozmˇern´ y vektorov´ y prostor. 3.12. Definice. Bud’ A koneˇcnˇerozmˇern´ y afinn´ı prostor se zamˇeˇren´ım V. Afinn´ı souˇradn´ a soustava (P, v1 , . . . , vn ) v A je tvoˇrena libovolnˇe zvolen´ ym bodem P ∈ A a libovolnou báz´ı v1 , . . . , vn prostoru V. Afinn´ı souˇradnice bodu A ∈ A vzhledem k afinn´ı souˇradné soustavˇe (P, v1 , . . . , vn ) jsou definov´ any jako souˇradnice vektoru A−P ∈ V vzhledem k bázi v1 , . . . , vn . Zaveden´ım afinn´ıch souˇradnic z´ısk´ av´ ame bijekci mezi n-rozmˇern´ ym afinn´ım prostorem A a mnoˇzinou Rn a souˇcasnˇe i izomorfismus mezi zamˇeˇren´ım V a vektorov´ ym prostorem Rn . Souˇradnice bod˚ u budeme zapisovat v hranat´ ych závorách, vektor˚ u v kulat´ ych. Tud´ıˇz, [a1 , . . . , an ] jsou afinn´ı souˇradnice bodu A ∈ A vzhledem k afinn´ı souˇradné soustavˇe (P, v1 , . . . , vn ) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz X A−P = ai vi , i

nebo, ekvivalentnˇe, A=P +

X

ai vi .

i

6


3.13. Tvrzen´ı. Bud’ d´ ana afinn´ı souˇradn´ a soustava (P, v1 , . . . , vn ) v afinn´ım prostoru A se zamˇeˇren´ım V. Uvaˇzujme opˇet o systému line´ arn´ıch rovnic a11 x1 +· · · +a1n xn = b1 , ... 1

(1)

n

am1 x +· · · +amn x = bm a pˇr´ısluˇsném homogenn´ım systému a11 u1 +· · · +a1n un = 0, ... 1

(2)

n

am1 u +· · · +amn u = 0. Oznaˇcme B mnoˇzinu vˇsech bod˚ u X ∈ A, jejichˇz afinn´ı souˇradnice [x1 , . . . , xn ] ∈ Rn vyhovuj´ı systému (1). Oznaˇcme U ⊆ V vektorový podprostor tvoˇrený vektory, jejichˇz souˇradnice (u1 , . . . , un ) ∈ Rn v b´ azi v1 , . . . , vn jsou ˇreˇsen´ımi homogenn´ıho systému (2). Pak je B afinn´ı podprostor v A a U je jeho zamˇeˇren´ı. D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. 3.14. Definice. Rovnice (1) se naz´ yvaj´ı obecné rovnice podprostoru. Obecné rovnice podprostoru snadno pˇrevedeme na parametrické rovnice (viz Poznámka 3.8) tak, ˇze soustavu (1) vyˇreˇs´ıme (najdeme x1 , . . . , xn ). Jak pˇrevést parametrické rovnice na obecné? Nejprve najdeme homogenn´ı systém (2) popisuj´ıc´ı zamˇeˇren´ı U. Hled´ ame a1 , . . . , an tak, aby pro vˇsechny bázové vektory u z U platilo a1 u1 +· · · +an un = 0. Tak z´ısk´ ame homogenn´ı soustavu lineárn´ıch rovnic, z jej´ıchˇz fundament´ aln´ıch ˇreˇsen´ı sestav´ıme po ˇr´ adc´ıch matici soustavy (2). Poté zvol´ıme libovoln´ y bod z B o souˇradnic´ıch [x1 , . . . , xn ] a z rovnic (1) urˇc´ıme pravé strany b1 , . . . , bm . 3.5. Afinn´ı zobrazen´ı 3.15. Definice. Bud’te A, A0 afinn´ı prostory se zamˇeˇren´ımi po ˇradˇe V, V0 . Zobrazen´ı f : A − → A0 se naz´ yv´ a afinn´ı zobrazen´ı, jestliˇze existuje lineárn´ı zobrazen´ı f : V − → V0 takové, ˇze pro libovoln´ y bod A ∈ A a libovoln´ y vektor u ∈ V plat´ı f (A + u) = f (A) + f (u). Bijektivn´ı afinn´ı zobrazen´ı se naz´ yv´ a afinn´ı izomorfismus. Zˇrejmˇe plat´ı f (B − A) = f (B) − f (A), ˇc´ımˇz je zobrazen´ı f jednoznaˇcnˇe urˇceno (pˇri zadaném zobrazen´ı f ). Pˇ r´ıklad. Zaveden´ım afinn´ıch souˇradnic z´ısk´ av´ ame afinn´ı izomorfismus mezi n-rozmˇern´ ym afinn´ım prostorem A a afinn´ım prostorem Rn .

Zvolme afinn´ı souˇradné soustavy P, u1 , . . . , un v A a P 0 , u01 , . . . , u0n v A0 . Pro bod B o souˇradnic´ıch x1 , . . . , xn m´ ame X X X f (B) = f P + xi ui = f (P ) + f xi ui = P 0 + f (P ) − P 0 + xi f (ui ) i

i

i

X XX X X = P0 + bj u0j + xi aji u0j = P 0 + bj + xi aji u0j . j

i

j

j

7

i


kde (b1 , . . . , bn ) jsou souˇradnice vektoru f (P ) − P 0 v bázi u01 , . . . , u0n a aji jsou prvky matice zobrazen´ı f vzhledem k baz´ım u1 , . . . , un a u01 , . . . , u0n . Pro souˇradnice (x10 , . . . , xn0 ) bodu B 0 = f (B) proto dost´ av´ ame xj0 = bj +

X

aji xi ,

i

ˇcili, v maticovém z´ apisu, x0 = Ax + b.

(3)

Ve speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe P 0 = f (P ) je b = 0, tud´ıˇz x0 = Ax. 3.16. Tvrzen´ı. Afinn´ı zobrazen´ı f : A − → A0 je afinn´ı izomorfismus pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je pˇr´ısluˇsn´ a matice A invertibiln´ı. K afinn´ımu izomorfismu existuje inverzn´ı afinn´ı zobrazen´ı, v maticovém z´ apisu x = A−1 x0 + A−1 b.

(4)

D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. 3.17. Tvrzen´ı. Bud’ f : A − → A0 afinn´ı zobrazen´ı. Pak plat´ı: 1. Obraz f B afinn´ıho podprostoru B ⊆ A je afinn´ı podprostor v prostoru A0 . 2. Vzor f −1 B 0 afinn´ıho podprostoru B 0 ⊆ A0 je afinn´ı podprostor v prostoru A. D˚ ukaz. Cviˇcen´ı.

3.6. Pˇ r´ıdavek: Afinn´ı kombinace a barycentrick´ e souˇ radnice V afinn´ım prostoru A lze sˇc´ıtat nejen body a vektory, ale v jist´ ych pˇr´ıpadech i body mezi sebou. 3.18. Definice. Bud’te A1 , . . . , An ∈ A body, bud’te t1 , . . . , tn ∈ R reálná ˇc´ısla. Zvolme libovolnˇe bod P ∈ A. (i) Je-li t1 +· · · +tn = 0, poloˇzme t1 A1 +· · · +tn An = t1 (A1 − P )+· · · +tn (An − P ) ∈ V. (ii) Je-li t1 +· · · +tn = 1, poloˇzme t1 A1 +· · · +tn An = P + t1 (A1 − P )+· · · +tn (An − P ) ∈ A. 3.19. Tvrzen´ı. Hodnoty t1 A1 +· · · +tn An z pˇredchoz´ı definice nez´ avis´ı na volbˇe bodu P . D˚ ukaz. Necht’ (i) t1 +· · · +tn = 0. Uvaˇzujme o vektorech t1 (A1 − P )+· · · +tn (An − P ) a 1 t (A1 − Q)+· · · +tn (An − Q), kde Q je libovoln´ y dalˇs´ı bod. Rozd´ıl obou v´ ysledk˚ u je roven t1 (A1 − Q)+· · · +tn (An − Q) − t1 (A1 − P )−· · · −tn (An − P ) = t1 (P − Q)+· · · +tn (P − Q) = (t1 +· · · +tn )(P − Q) = 0. 8


Necht’ (ii) t1 +· · · +tn = 1. Uvaˇzujme o bodech P + t1 (A1 − P )+· · · +tn (An − P ) a Q + t1 (A1 − Q)+· · · +tn (An − Q), kde Q je libovoln´ y dalˇs´ı bod. Rozd´ıl obou v´ ysledk˚ u je roven Q + t1 (A1 − Q)+· · · +tn (An − Q) − P − t1 (A1 − P )−· · · −tn (An − P ) = Q − P + t1 (P − Q)+· · · +tn (P − Q) = (−1 + t1 +· · · +tn )(P − Q) = 0. 3.20. Definice. Bud’te t1 , . . . , tn re´ aln´ a ˇc´ısla taková, ˇze t1 +· · · +tn = 1. Pak se bod 1 n t A1 +· · · +t An ∈ A naz´ yv´ a afinn´ı kombinace bod˚ u A1 , . . . , An ∈ A s koeficienty t1 , . . . , tn . Pˇ r´ıklad.

Tˇeˇziˇstˇe soustavy bod˚ u A1 , . . . , An ∈ A je bod 1 1 A1 +· · · + An . n n

Pˇ r´ıklad. Ukaˇzme, ˇze tˇeˇziˇstˇe troj´ uheln´ıka dˇel´ı kaˇzdou tˇeˇznici v pomˇeru 1 : 2. Bud’te A, B, C vrcholy troj´ uheln´ıka. Body C1 = 12 A + 12 B, A1 = 21 B + 21 C, B1 = stˇredy jeho stran. Bod ve dvou tˇretin´ ach tˇeˇznice mˇeˇreno od vrcholu C je C+

2 3

(C1 − C ) = C +

2 3

( 12 A +

1 2

B − C) =

1 3

A+

1 3

B+

1 3

1 C 2

+ 12 A jsou

C,

tedy tˇeˇziˇstˇe. Stejn´ y v´ ysledek obdrˇz´ıme pro ostatn´ı tˇeˇznice.

Je velmi dobˇre zn´ amo, ˇze dva r˚ uzné body urˇcuj´ı pˇr´ımku, dva body neleˇz´ıc´ı v pˇr´ımce urˇcuj´ı rovinu, atd. Nejmenˇs´ı afinn´ı podprostor obsahuj´ıc´ı dané body snadno pop´ıˇseme pomoc´ı afinn´ıch kombinac´ı. 3.21. Definice. Bud’te B1 , . . . , Bn body afinn´ıho prostoru A. Mnoˇzina afinn´ıch kombinac´ı {t1 B1 +· · · +tn Bn ∈ A | t1 +· · · +tn = 1} se naz´ yv´ a afinn´ı obal bod˚ u B1 , . . . , Bn a znaˇc´ı se hB1 , . . . , Bn i. 3.22. Tvrzen´ı. Bud’te B1 , . . . , Bn body afinn´ıho prostoru A. Afinn´ı obal B = hB1 , . . . , Bn i ⊆ A je afinn´ım podprostorem prostoru A, obsahuj´ıc´ım body B1 , . . . , Bn . Je pr˚ unikem vˇsech afinn´ıch podprostor˚ u C ⊆ A obsahuj´ıc´ıch body B1 , . . . , Bn . D˚ ukaz. Oznaˇcme V zamˇeˇren´ı prostoru A. Necht’ U = {t1 B1 +· · · +tn Bn | t1 +· · · +tn = 0} ⊆ V. Tvrzen´ı je d˚ usledkem n´ asleduj´ıc´ıch pomocn´ ych tvrzen´ı: 1. U je vektorov´ y podprostor ve V; 2. souˇcet bodu z B a vektoru z U je bod z B; 3. rozd´ıl bod˚ u z B je vektor z U; 4. body B1 , . . . , Bn leˇz´ı v B. Tvrzen´ı o pr˚ uniku vypl´ yv´ a z n´ asleduj´ıc´ıho pomocného tvrzen´ı: 5. Bud’ C ⊆ A podprostor, B1 , . . . , Bn ∈ C a t1 +· · · +tn = 1. Pak t1 B1 +· · · +tn Bn ∈ C. Dokaˇzte uveden´ a pomocn´ a tvrzen´ı jako cviˇcen´ı. 3.23. Definice. Body A1 , . . . , An afinn´ıho prostoru A se naz´ yvaj´ı nez´ avislé, jestliˇze jsou vektory A2 − A1 , . . . , An − A1 line´ arnˇe nez´ avislé. Vid´ıme, ˇze z bod˚ u A1 , . . . , An m˚ uˇzeme vytvoˇrit afinn´ı souˇradnou soustavu A1 , A2 − A1 , . . . , An − A1 v afinn´ım obalu hA1 , . . . , An i. 9


3.24. Tvrzen´ı. Bud’te A1 , . . . , An body v n-rozmˇerném afinn´ım prostoru. Pak jsou n´ asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı 1. Body A1 , . . . , An jsou nez´ avislé; 2. Ke kaˇzdému bodu B ∈ hA1 , . . . , An i existuje pr´ avˇe jedna n-tice t1 , . . . , tn ∈ R takov´ a, ˇze 1 n 1 n t +· · · +t = 1 a B = t A1 +· · · +t An . D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. ˇ ısla t1 , . . . , tn ∈ R z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´ 3.25. Definice. C´ yvaj´ı barycentrické souˇradnice bodu B vzhledem k n-tici nez´ avisl´ ych bod˚ u A1 , . . . , A n . ´ ˇ Pˇ r´ıklad. Uloha o tˇrech sklenic´ıch. Casto je zad´ av´ ana n´ asleduj´ıc´ı u ´loha: Tˇri sklenice maj´ı objem ´ po ˇradˇe umax , vmax , wmax objemov´ ych jednotek. Ukolem je odmˇeˇrit pˇresnˇe z objemov´ ych jednotek pˇrelév´ an´ım vody mezi sklenicemi. Vyˇzaduje, aby byl vˇzdy bud’ vylit cel´ y obsah vylévané sklenice nebo aby dolévan´ a sklenice byla dolita do plného objemu. Pˇredpokl´ ad´ a se, ˇze na zaˇca ´tku je v jednotliv´ ych sklenic´ıch po ˇradˇe u0 , v0 , w0 vody; vhodnou volbou objemové jednotky lze dos´ ahnout toho, ˇze u0 + v0 + w0 = 1, coˇz nad´ ale pˇredpokl´ ad´ ame. Celkem tedy m´ ame v obˇehu jednu objemovou jednotku vody, a to po celou dobu procesu. Hodnoty u, v, w, oznaˇcuj´ıc´ı mnoˇzstv´ı vody v jednotliv´ ych sklenic´ıch bˇehem procesu, tud´ıˇz splˇ nuj´ı rovnost u + v + w = 1 a m˚ uˇzeme je povaˇzovat za barycentrické souˇradnice bodu P leˇz´ıc´ıho v rovinˇe. Kromˇe podm´ınky u + v + w = 1 mus´ı platit 0 ≤ u ≤ umax ,

0 ≤ v ≤ vmax ,

0 ≤ w ≤ wmax ,

a proto bude zm´ınˇen´ y bod leˇzet v pr˚ uniku D oblast´ı vymezen´ ych tˇemito podm´ınkami. Oblast D je ˇca ´st roviny. Pˇrelév´ an´ı lze interpretovat jako pohyb bodu po nˇekteré z pˇr´ımek u = const, v = const, w = const, ukonˇcen´ y na hranici oblasti D. Napˇr´ıklad, pˇrelév´ an´ı z u do v zaprvé znamen´ a, ˇze w je konstantn´ı, a zadruhé mus´ı skonˇcit bud’ t´ım, ˇze u = 0 nebo t´ım, ˇze v = vmax . ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy pak spoˇc´ıv´ a v hled´ an´ı lomené ˇca ´ry, kter´ a vych´ az´ı z bodu (u0 , v0 , w0 ), prob´ıh´ a vˇzdy podél pˇr´ımek u = const, v = const nebo w = const, l´ ame se jen na hranici rovinné oblasti D a konˇc´ı v nˇekterém z bod˚ u hranice oblasti D, kde u = z, v = z nebo w = z. Zdroj: http://www.cut-the-knot.org/triangle/glasses.shtml 5 3 ´ Cviˇ cen´ı. Tˇri sklenice maj´ı objem po ˇradˇe 21 , 16 , 16 objemové jednotky. Ukolem je odmˇeˇrit pˇresnˇe 1 1 objemové jednotky pˇrelév´ an´ım vody mezi sklenicemi, je-li na poˇca ´tku 2 objemové jednotky vody 4 v prvn´ı sklenici a zbylé dvˇe jsou pr´ azdné.

3.7. Pˇ r´ıdavek: Dalˇ s´ı pˇ r´ıklady a aplikace Doposud jsme studovali afinn´ı prostory nad polem R reáln´ ych ˇc´ısel. V´ ysledky vˇsak z˚ ustanou v platnosti i kdyˇz pole R nahrad´ıme libovoln´ ym jin´ ym polem P . Pˇri v´ ybˇeru P = C tak obdrˇz´ıme komplexn´ı afinn´ı prostor, ve kterém se pracuje formálnˇe stejnˇe jako v reálném afinn´ım prostoru. 3.26. Pozn´ amka. Nad polem P = Q racion´ aln´ıch ˇc´ısel obdrˇz´ıme geometrii racion´ aln´ıch bod˚ u (bod˚ u s racion´ aln´ımi souˇradnicemi) v R. Mnoˇzina racion´ aln´ıch bod˚ u je zaj´ımav´ a t´ım, ˇze je uzavˇren´ a na konstrukce prov´ adˇené jen prav´ıtkem. Kdybychom chtˇeli pˇripustit konstrukce prav´ıtkem i kruˇz´ıtkem, museli bychom z´ akladn´ı pole P vybrat jako nejmenˇs´ı rozˇs´ıˇren´ı pole Q uzavˇrené na druhé odmocniny.

Obzvl´ aˇst’ pozoruhodné geometrie obdrˇz´ıme, vol´ıme-li za P nˇekteré koneˇcné pole, napˇr´ıklad pole zbytkov´ ych tˇr´ıd Zp = Z/pZ, kde p je prvoˇc´ıslo. Vektorov´ y prostor dimenze n pak má y poˇcet prvk˚ u má i odpov´ıdaj´ıc´ı afinn´ı prostor. koneˇcnˇe mnoho prvk˚ u (pˇresnˇe pn ) a stejn´ Koneˇcné afinn´ı prostory maj´ı aplikace v kryptografii. 10


Pˇ r´ıklad. Pole Z2 m´ a dva prvky, nulu 0 a jedniˇcku 1. Kartézsk´ a mocnina Zn zina vˇsech 2 , tj. mnoˇ posloupnost´ı nul a jedniˇcek délky n, je n-rozmˇern´ y afinn´ı prostor nad polem Z2 . Vidˇeli jsme, ˇze afinn´ı zobrazen´ı Zn → Zn ano formul´ı (3), kde A je matice typu n × n sloˇzen´ a z nul a jedniˇcek. Pro 2 − 2 je zad´ jednoduchost m˚ uˇzeme poloˇzit b = 0. Pˇredpokl´ adejme, ˇze chceme otevˇren´ ym kan´ alem (napˇr. r´ adiem) doruˇcit utajovanou zpr´ avu v podobˇe posloupnosti nul a jedniˇcek délky m. Zvol´ıme invertibiln´ı matici typu n × n sloˇzenou z nul a jedniˇcek a doprav´ıme ji pˇr´ıjemci spolehliv´ ym kan´ alem (napˇr. v zapeˇcetˇené ob´ alce kur´ yrem). Tato matice je tzv. k´ odovac´ı kl´ıˇc. Pˇred odesl´ an´ım depeˇsi délky m rozdˇel´ıme na ˇradu podposloupnost´ı délky n (pokud m nen´ı celistv´ ym n´ asobkem n, zbytek dopln´ıme n´ ahodn´ ym textem). Poté podposloupnosti jednu po druhé vyn´ asob´ıme matic´ı A a sestav´ıme z nich opˇet posloupnost délky m, kterou odeˇsleme otevˇren´ ym kan´ alem. Pˇr´ıjemce zpr´ avu dek´ oduje tak, ˇze ji rozdˇel´ı na podposloupnosti délky n, které jednu po druhé vyn´ asob´ı matic´ı A−1 . Osoba neznal´ a kl´ıˇce zpr´ avu dek´ odovat nem˚ uˇze. Cviˇ cen´ı. V re´ alném svˇetˇe je nutno poˇc´ıtat s t´ım, ˇze kaˇzd´ y kl´ıˇc bude jednou vyzrazen. V daném pˇr´ıpadˇe k tomu staˇc´ı z´ıskat jedinou dek´ odovanou zpr´ avu dostateˇcné délky (nejménˇe n2 ) a jej´ı k´ odovanou podobu (kter´ a proch´ azela otevˇren´ ym kan´ alem). Popiˇste postup rekonstrukce kl´ıˇce. Pˇ r´ıklad. V pˇr´ıpadˇe, kdy A je jednotkov´ a matice a b je vektor stejné délky jako pˇren´ aˇsen´ a zpr´ ava (tj. m = n), z´ısk´ av´ ame prakticky i teoreticky “nerozluˇstitelnou” ˇsifru. Pˇr´ıjemce dek´ oduje pomoc´ı stejného k´ odovac´ıho vektoru b (protoˇze v Z2 plat´ı −b = b). Jednou pouˇzité k´ odovac´ı vektory se likviduj´ı. Je osudovou chybou pouˇz´ıt jeden a t´ yˇz vektor dvakr´ at. Pˇredstavme si, ˇze osoba neznal´ a kl´ıˇce b zachyt´ı dvˇe zpr´ avy, x + b a y + b. Snadno zjist´ı, ˇze (x + b) − (y + b) = x − y. M´ a-li alespoˇ n ˇca ´steˇcnou informaci o obou zpr´ av´ ach, m˚ uˇze obˇe dek´ odovat. Cviˇ cen´ı. Pˇredpokl´ adejme, ˇze zpr´ avy x, y jsou ˇcesky a pro pˇreveden´ı do bin´ arn´ıho tvaru byl pouˇzit jeden ze zn´ am´ ych k´ od˚ u (napˇr. ASCII Latin 2). Protoˇze zpr´ ava obsahuje slova ˇceského jazyka, m˚ uˇzeme pro kaˇzdé konkrétn´ı slovo (napˇr. pˇrevrat) vyzkouˇset vˇsechna moˇzn´ a um´ıstˇen´ı ve zpr´ avˇe. Jak s pomoc´ı x − y pozn´ ame, ˇze um´ıstˇen´ı m˚ uˇze b´ yt spr´ avné? Jak m˚ uˇzeme tuto informaci d´ ale vyuˇz´ıt?

Kromˇe kryptografick´ ych aplikac´ı maj´ı koneˇcnˇerozmˇerné afinn´ı prostory pouˇzit´ı pˇri konstrukci samoopravných k´ od˚ u pro pˇrenos dat po ruˇsen´ ych kanálech (napˇr. pˇri komunikaci mezi Zem´ı a sondou na okraji sluneˇcn´ı soustavy). Necht’ je Zn2 mnoˇzina vˇsech znak˚ u. Vlivem ruˇsen´ı m˚ uˇze b´ yt pˇrijat jin´ y znak, neˇz byl vysl´ an. Jedno z moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı spoˇc´ıvá v konstrukci injektivn´ıho afinn´ıho zobrazen´ı f z Zn2 do nˇekterého “vˇetˇs´ıho” prostoru Zm ısto znaku 2 , m > n. M´ a ∈ Zn2 vˇzdy vyˇsleme odpov´ıdaj´ıc´ı znak f (a) ∈ Zm . Obraz Im f je afinn´ ı podprostor v pros2 toru Zm , jehoˇ z prvky vz´ a jemnˇ e jednoznaˇ c nˇ e odpov´ ıdaj´ ı vys´ ılan´ y m znak˚ u m. Tud´ ıˇ z , vys´ ılaj´ı se 2 znaky z Im f , ale vlivem ruˇsen´ı se pˇrij´ımaj´ı znaky leˇz´ıc´ı v prostoru Zm , kter´ e nemus´ ı nutnˇe 2 n´ aleˇzet Im f . Je-li pˇrijat znak leˇz´ıc´ı v Im f , pˇredpokládá se, ˇze nebyl ovlivnˇen ruˇsen´ım. Takov´ y znak pˇreneseme do prostoru Zn2 prostˇrednictv´ım inverzn´ıho zobrazen´ı (f |Im f )−1 a t´ım jej dekódujeme. Je-li pˇrijat znak neleˇz´ıc´ı v Im f , usuzujeme, ˇze jde o chybu zp˚ usobenou ruˇsen´ım. V takovém pˇr´ıpadˇe vyhled´ ame “nejbliˇzˇs´ı” správn´ y znak z Im f (napˇr. podle poˇctu shodn´ ych bit˚ u) a poté postupujeme jako pˇredeˇsle. Teorie samoopravn´ ych kód˚ u se zab´ yvá v´ ybˇerem zobrazen´ı f tak, aby pˇri dané u ´rovni ruˇsen´ı bylo moˇzno co nejspolehlivˇeji rekonstruovat co nejvˇetˇs´ı poˇcet chybnˇe pˇrijat´ ych znak˚ u pˇri minimáln´ım nav´ yˇsen´ı poˇctu pˇrenáˇsen´ ych bit˚ u. Pˇ r´ıklad.

Necht’ m = n + 1 a f (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 1 + x1 +· · · +xn ). Pak Im f = {(y1 , . . . , yn+1 ) | y1 +· · · +yn+1 = 1}.

V tomto pˇr´ıpadˇe se pˇridan´ y bit naz´ yv´ a paritn´ı bit. Umoˇzn ˇuje detekovat chybu v jednom bitu (nebo jiném lichém poˇctu bit˚ u), ale neumoˇzn ˇuje ji vˇerohodnˇe opravit (nen´ı zn´ amo, kter´ y bit byl zmˇenˇen; po detekci chyby se znak mus´ı odeslat znovu). Chyby na sudém poˇctu bit˚ u se vz´ ajemnˇe kompenzuj´ı a z˚ ustanou neodhaleny.

11


4. Eukleidovsk´ a geometrie 4.1. Definice. Eukleidovský prostor je afinn´ı prostor, v jehoˇz zamˇeˇren´ı je zadána pozitivnˇe definitn´ı symetrick´ a biline´ arn´ı forma (tj. skalárn´ı souˇcin). Shrˇ nme z´ akladn´ı poznatky, potˇrebné v dalˇs´ım v´ ykladu. Skalárn´ı souˇcin vektor˚ u u, v oznaˇc´ıme u · v. Délka neboli norma vektoru v je definována vztahem √ kvk = v · v . Vektor v se naz´ yv´ a normovaný, plat´ı-li kvk = 1. Normov´ an´ı je pˇriˇrazen´ı v 7− → v/kvk. Vektor v/kvk je n´ asobek vektoru v a je normovan´ y (druhá moˇznost v 7− → −v/kvk se nevyuˇz´ıvá). 4.2. Pozn´ amka. Skal´ arn´ı souˇcin lze zrekonstruovat z délek vektor˚ u: Jsou-li u, v vektory, pak ku + vk2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v = kuk2 + 2 u · v + kvk2 . Tud´ıˇz, u·v =

1 2

(ku + vk2 − |uk2 − kvk2 ).

Pˇredpokl´ adejme, ˇze E je eukleidovsk´ y prostor. Vzd´ alenost dvou bod˚ u A, B ∈ E definujeme vztahem d(A, B) = kB − Ak. 4.3. Tvrzen´ı. Eukleidovský prostor je metrickým prostorem s metrikou d: (i) d(A, B) = d(B, A); (ii) d(A, B) ≥ 0, pˇriˇcemˇz rovnost nast´ av´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz A = B; (iii) plat´ı troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost d(A, B) + d(B, C) ≥ d(A, C). D˚ ukaz. Tvrzen´ı (i) a (ii) jsou zˇrejm´ a. Troj´ uheln´ıková nerovnost (iii) je snadn´ ym d˚ usledkem nerovnosti kuk + kvk ≥ ku + vk, kter´ a se dokazuje v lineárn´ı algebˇre. Pˇripomeˇ nme formule pro poˇc´ıt´ an´ı v souˇradnic´ıch. V bázi u1 , . . . , un je skalárn´ı souˇcin zadán matic´ı   u1 · u1 · · · u1 · un .. , g =  .. . . un · u1 · · · un · un P i P j ˇcili gij = ui · uj . Naz´ yv´ a se Gramova matice. Pro vektory v = v ui , w = w uj pak plat´ı vztah X gij v i wj . (5) v·w = ij

Vektory u 6= 0, v 6= 0 se naz´ yvaj´ı kolmé ˇcili ortogon´ aln´ı, jestliˇze u · v = 0, coˇz zapisujeme u ⊥ v. Ortonorm´ aln´ı b´ aze vektorového prostoru V je taková báze e1 , . . . , en , ˇze plat´ı ei · ej = δij , kde δii = 1 a δij = 0 pro i 6= j (tzv. Kroneckerovo delta). Ekvivalentnˇe ˇreˇceno, Gramova matice v ortonorm´ aln´ı b´ azi je jednotkov´ a matice a plat´ı X u·v = ui v i . i

12


Souˇradnice vektoru v v ortonorm´ aln´ı b´ azi e1 , . . . , en jsou rovny skalárn´ım souˇcin˚ um v · ei : X (v · ei )ei . v= i

(Dokaˇzte jako cviˇcen´ı.) Ortogon´ aln´ı doplnˇek vektorového podprostoru U vektorového prostoru V je vektorov´ y podprostor U⊥ = v ∈ V ∀ v ⊥ u u∈U

Je zn´ amo, ˇze V je pˇr´ım´ ym souˇctem U a U⊥ , a proto má kaˇzd´ y vektor v ∈ V jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y rozklad v = PU v + P⊥ Uv ⊥ na sˇc´ıtance PU v ∈ U a P⊥ aváme lineárn´ı zobrazan´ı U v ∈ U . Dost´

PU : V − → U, P⊥ → U⊥ , U :V − kter´ a se naz´ yvaj´ı kolm´ a ˇcili ortogon´ aln´ı projekce. Pˇritom PU v ⊥ P⊥ U v, a proto 2 kvk2 = kPU vk2 + kP⊥ U vk .

4.4. Tvrzen´ı. Kolm´ a projekce vektoru v do podprostoru U s baz´ı u1 , . . . , un (ne nutnˇe ortonorm´ aln´ı) je rovna PU v = kde

∆n ∆1 u1 +· · · + un , ∆ ∆

u1 · u1 ∆ = .. . un · u1 je determinant Gramovy u1 · u1 ∆i = .. . un · u1

···

u1 · un .. , . · · · un · un matice a ··· ···

u1 · ui−1 .. . un · ui−1

u1 · v

u1 · ui+1

···

un · v

un · ui+1

···

u1 · un . un · un

D˚ ukaz. Oznaˇcme jeˇstˇe w1 , . . . , wm libovolnou bázi doplˇ nku U⊥ . Máme v = a1 u1 +· · · +an un + b1 w1 +· · · +bm wm . Vyn´ asob´ıme-li tento vztah po ˇradˇe vektory u1 , . . . , un , dostaneme u1 · v = a1 u1 · u1 +· · · +an u1 · un , ···, un · v = a1 un · u1 +· · · +an un · un . 13


Matice této soustavy line´ arn´ıch rovnic je rovna Gramovˇe matici báze u1 , . . . , un , a proto je nesingul´ arn´ı. Proto m˚ uˇzeme nezn´ amé a1 , . . . , an vypoˇc´ıst pomoc´ı Kramerova pravidla. Dosad´ıme-li vypoˇctené hodnoty do vztahu PU v = a1 u1 +· · · +an un , obdrˇz´ıme právˇe dokazovan´ y vztah. Obzvl´ aˇst’ jednoduch´ y vzorec pro kolmou projekci obdrˇz´ıme v ortonormáln´ı bázi e1 , . . . , en podprostoru U: PU v = (e1 · v)e1 +· · · +(en · v)en . Odchylka φ(u, v) vektor˚ u u 6= 0, v 6= 0 se definuje jako reálné ˇc´ıslo z intervalu [0, π] známou formul´ı cos φ(u, v) =

u·v . kuk kvk

Existence ˇc´ısla φ(u, v) plyne z Cauchyho nerovnosti |u · v| ≤ kuk kvk. Vid´ıme, ˇze vektory u 6= 0, v 6= 0 jsou kolmé, jestliˇze u · v = 0, tj. kdyˇz φ(u, v) = π/2. Cviˇ cen´ı. 1. Ukaˇzte, ˇze odchylka vektor˚ u se nezmˇen´ı, vyn´ asob´ıme-li je libovoln´ ymi kladn´ ymi ˇc´ısly: φ(u, v) = φ(au, bv), kdykoliv a > 0, b > 0. 2. Ukaˇzte, ˇze φ(−u, v) = π − φ(u, v).

4.5. Tvrzen´ı. Mnoˇzina vˇsech normovaných vektor˚ u eukleidovského prostoru je metrickým prostorem s metrikou φ: (i) φ(u, v) = φ(v, u); (ii) φ(u, v) ≥ 0, pˇriˇcemˇz rovnost nast´ av´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz u = v; (iii) plat´ı troj´ uheln´ıkov´ a nerovnost φ(u, v)+φ(v, w) ≥ φ(u, w). Rovnost nast´ av´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz jsou vektory line´ arnˇe z´ avislé. D˚ ukaz. Tvrzen´ı (i) je zˇrejmé. Tvrzen´ı (ii) plyne z podm´ınky pro rovnost v Cauchyho nerovnosti. Dokaˇzme troj´ uheln´ıkovou nerovnost (iii). Oznaˇcme α = φ(u, v), β = φ(v, w), γ = φ(u, w). V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou vektory u, v, w line´ arnˇe závislé, leˇz´ı v rovinˇe a plat´ı rovnost (dokaˇzte jako cviˇcen´ı) Zb´ yv´ a pˇr´ıpad, kdy jsou lineárnˇe nezávislé. Doplˇ nme je do báze a zkonstruujme Gramovu matici. Podle Sylvesterova kriteria jsou hlavn´ı minory Gramovy matice kladné, zejména minor odpov´ıdaj´ıc´ı vektor˚ um u, v, w. Ponˇevadˇz u · u = v · v = w · w = 1, dostáváme 1 − (u · v)2 − (u · w)2 − (v · w)2 + 2(u · v)(u · w)(v · w) u · u u · v u · w = v · u v · v v · w > 0. w · u w · v w · w Tuto nerovnost m˚ uˇzeme pˇrepsat jako 0 < 1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ = (1 − cos2 α)(1 − cos2 β) − (cos α cos β − cos γ)2 = sin2 α sin2 β − (cos α cos β − cos γ)2 = (sin α sin β − cos α cos β + cos γ)(sin α sin β + cos α cos β − cos γ) = (− cos(α + β) + cos γ)(cos(α − β) − cos γ). 14


Protoˇze funkce kosinus je na intervalu [0, π] monotonn´ı, nastává jedna z moˇznost´ı α − β < γ < α + β, α − β > γ > α + β. Pro α, β, γ ∈ [0, π] m˚ uˇze nastat jen prvn´ı varianta. Odtud troj´ uheln´ıková nerovnost. 4.6. Pozn´ amka. Ve speci´ aln´ı teorii relativity je rychlost svˇetla c konstantn´ı. Interval mezi ud´ alost´ı o ˇcasoprostorov´ ych souˇradnic´ıch x1 , y1 , z1 , t1 a událost´ı o ˇcasoprostorov´ ych souˇradnic´ıch x2 , y2 , z2 , t2 je podle definice roven (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − c2 (t2 − t1 )2 . Pˇri pˇrechodu k jiné (pohybuj´ıc´ı se) inerci´ aln´ı soustavˇe se interval mezi událostmi zachovává. Trojrozmˇerné délky a odchylky invariantn´ı nejsou a pˇri pˇri pˇrechodu k jiné (pohybuj´ıc´ı se) inerci´ aln´ı soustavˇe podléhaj´ı Lorentzovˇe transformaci. Minkowského ˇcasoprostor je pˇr´ıkladem afinn´ıho prostoru, v jehoˇz zamˇeˇren´ı je d´ ana bilineárn´ı forma, která ale nen´ı pozitivnˇe definitn´ı.

5. Shodnosti v eukleidovsk´ em prostoru Shodnost je afinn´ı zobrazen´ı f : E − → E, f : V − → V takové, ˇze vektorová sloˇzka f zachovává skal´ arn´ı souˇcin: f (u) · f (v) = u · v. Shodnost f zachov´ av´ a normu i odchylku vektor˚ u: kf (u)k2 = f (u) · f (u) = u · u = kuk2 , cos φ(f (u), f (v)) =

|u · v| |f (u) · f (v)| = = cos φ(u, v). kf (u)k kf (v)k kuk kvk

Pro rozpozn´ an´ı shodnosti staˇc´ı zn´ at matici vzhledem k nˇekteré ortonormáln´ı bázi. 5.1. Tvrzen´ı. Bud’ f : E − → E, f : V − → V afinn´ı zobrazen´ı. Bud’ e1 , . . . , en ortonorm´ aln´ı b´ aze vektorového prostoru V. Bud’ F matice zobrazen´ı f vzhledem k b´ azi e1 , . . . , en , ˇcili X f (ej ) = Fji ei . i

Pak je zobrazen´ı f shodnost pr´ avˇe tehdy, kdyˇz F je ortogon´ aln´ı matice, ˇcili F > F = F F > = E, kde exponent > oznaˇcuje transponov´ an´ı a E je jednotkov´ a matice. D˚ ukaz. Je-li f shodnost, pak jsou vektory f (e1 ), . . . , f (en ) ortonormáln´ı, a proto X X X X δjl = f (ej ) · f (el ) = Fji ei · Fjk ek = Fji Flk δik = Fji Fli . i

k

i,k

Odtud F > F = F F > = E. 15

i


Naopak, je-li F ortogon´ aln´ı matice, pak pro vektory u = f (u) · f (v) =

X

uj f (ej ) ·

j

=

X

uj v l Fji Fji =

X

v l f (el ) =

j,i,l

uj Fji ei ·

j,i

l

X

X

uj v l δjl =

X j

j,l

P

uj ej ·

j

uj ej , v =

X

P

l

v l el dostáváme

v l Fjk ek

l,k

X

v l el = u · v,

l

coˇz se mˇelo dok´ azat. Jelikoˇz det(F > F ) = det F > det F = (det F )2 , dostáváme 5.2. D˚ usledek. Bud’ f shodnost, bud’ F jej´ı matice vzhledem k nˇekteré ortogon´ aln´ı b´ azi. Pak det F = ±1. Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe, ˇze komponenty matice F snadno z´ıskáme jako skalárn´ı souˇciny X X f (ej ) · ek = Fji ei · ek = Fji δik = Fjk . i

i

5.1. Vzd´ alenosti podprostor˚ u 5.3. Definice. Vzd´ alenost podmnoˇzin B, C eukleidovského prostoru E definujeme vztahem d(B, C) = inf d(P, Q). P ∈B Q∈C

V obecném pˇr´ıpadˇe infimum nemus´ı b´ yt minimem (v mnoˇzinách B, C nemus´ı existovat body B, C, jejichˇz vzd´ alenost je rovna vzd´ alenosti mnoˇzin B, C). Pˇ r´ıklad. V pˇr´ıpadˇe dvou disjunktn´ıch otevˇren´ ych kruh˚ u B, C ⊂ R2 o vzd´ alenosti v neexistuj´ı body P ∈ B, Q ∈ C o vzd´ alenosti v a infimum vzd´ alenost´ı nen´ı minimem.

V pˇr´ıpadˇe, ˇze B, C jsou afinn´ı podprostory, je infimum z definice vzdálenosti vˇzdy minimem. Jinak ˇreˇceno, existuj´ı body P ∈ B, Q ∈ C, na nichˇz se dosahuje minima vzdálenost´ı d(P, Q). Jak body P, Q najdeme? Lidov´ a moudrost prav´ı, ˇze vzdálenost se mˇeˇr´ı na kolmici. V pˇr´ıpadˇe podprostor˚ u eukleidovského prostoru lze takové tvrzen´ı pˇresnˇe zformulovat a dokázat. Nejdˇr´ıve pojedn´ ame o speci´ aln´ım pˇr´ıpadu, kdy jeden z podprostor˚ u je bod. Jde tedy o vzdálenost bodu od podprostoru. 5.4. Tvrzen´ı. Bud’ A ∈ A bod a B + U podprostor eukleidovského prostoru E. (i) Pak existuje pr´ avˇe jeden bod Q ∈ B + U takový, ˇze vektor A − Q leˇz´ı v ortogon´ aln´ım doplˇ nku U⊥ . (ii) Plat´ı A − Q = P⊥ U (A − B). (iii) Vzd´ alenost d(A, B + U) je rovna vzd´ alenosti d(A, Q) = kA − Qk = kP⊥ U (A − B)k. Bod Q z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´ yv´ a kolmý pr˚ umˇet bodu A do podprostoru B + U. D˚ ukaz. (i) Podm´ınku, ˇze vektor A − Q leˇz´ı v ortogonáln´ım doplˇ nku U⊥ , lze ekvivalentnˇe ⊥ zapsat jako Q ∈ A + U . To ovˇsem znamená, ˇze Q leˇz´ı v pr˚ uniku (B + U) ∩ (A + U⊥ ). Tento ⊥ pr˚ unik je nepr´ azdn´ y podle kriteria 3.9, protoˇze U + U je celé zamˇeˇren´ı prostoru E. Zamˇeˇren´ı pr˚ uniku je potom U ∩ U⊥ = {0}, tud´ıˇz pr˚ unikem je jedin´ y bod. 16


(ii) Uvˇedom´ıme-li si, ˇze A − B = (A − Q) + (Q − B), kde A − Q ∈ U⊥ a Q − B ∈ U, je tvrzen´ı zˇrejmé. (iii) Protoˇze bod B lze v podprostoru B volit libovolnˇe, staˇc´ı ukázat, ˇze d(A, B) ≥ d(A, Q). Z pravo´ uhlosti troj´ uheln´ıka AQB ale plyne kB − Ak2 = kB − Qk2 + kQ − Ak2 ≥ kQ − Ak2 ; odtud tvrzen´ı. Nyn´ı se m˚ uˇzeme vr´ atit k pˇr´ıpadu dvou podprostor˚ u. 5.5. Tvrzen´ı. Bud’te A + U a B + V podprostory eukleidovského prostoru E. (i) Pak existuj´ı body P ∈ A+U a Q ∈ B +V takové, ˇze vektor P −Q je kolmý k podprostoru U + V, a tedy k obˇema podprostor˚ um U, V. ⊥ (ii) Vektor P −Q je kolmou projekc´ı P⊥ U+V (A−B) vektoru A−B do podprostoru (U+V) . (iii) Vzd´ alenost d(A + U, B + V) je rovna délce vektoru P − Q, tj. d(A + U, B + V) = kP⊥ U+V (A − B)k. D˚ ukaz je obt´ıˇznˇejˇs´ı neˇz u speci´ aln´ıho pˇr´ıpadu s jedn´ım bodem, protoˇze body P, Q nemus´ı b´ yt urˇceny jednoznaˇcnˇe, jak ukazuje pˇr´ıklad rovnobˇeˇzn´ ych podprostor˚ u. D˚ ukaz. (i) Nejdˇr´ıve probereme pˇr´ıpad U = V, kdy jsou zamˇeˇren´ı obou podprostor˚ u stejná. Pokud nav´ıc B − A ∈ U, jsou oba podprostory shodné a staˇc´ı poloˇzit P = Q. Pokud naopak B − A 6∈ U, oznaˇcme W = U⊥ ∩ (U + [[B − A]]). Podle známého tvrzen´ı o dimenz´ıch pr˚ uniku a souˇctu podprostor˚ u m´ ame dim W = dim U⊥ + dim(U + [[B − A]]) − dim(U⊥ + U + [[B − A]]) = (n − k) + (k + 1) − n = 1, kde jsme oznaˇcili n = dim E, k = dim U. Vybereme-li P ∈ A + U libovolnˇe, staˇc´ı urˇcit Q jako pr˚ unik pˇr´ımky P + W a druhého podprostoru B + U. Dokaˇzte sami, ˇze pr˚ unik existuje podle kriteria 3.9, sestává z jediného bodu a vektor Q − P je kolm´ y k U = V = U + V. Pˇrejdˇeme k obecnému pˇr´ıpadu U 6= V. Podle kriteria 3.9 existuje neprázdn´ y pr˚ unik P podprostor˚ u A + U + (U + V)⊥ a B + V a má zamˇeˇren´ı [U + (U + V)⊥ ] ∩ V = U ∩ V.

(6)

Tuto rovnost je nutno dok´ azat. Zˇrejm´ a je nerovnost [U + (U + V)⊥ ] ∩ V ⊇ U ∩ V. Abychom dok´ azali nerovnost opaˇcnou, uvaˇzujme o libovolném vektoru u náleˇzej´ıc´ım mnoˇzinˇe na levé stranˇe. M˚ uˇzeme ps´ at u = u1 + u2 , kde u1 ∈ U, u2 ∈ (U + V)⊥ a zároveˇ n u1 + u2 ∈ V. Podle tˇechto pˇredpoklad˚ u u1 ⊥ u2 a také (u1 +u2 ) ⊥ u2 , naˇceˇz 0 = u2 ·(u1 +u2 ) = u2 ·u1 +u2 ·u2 = u2 · u2 . Odtud u2 = 0, a tedy u ∈ U ∩ V. T´ım je d˚ ukaz rovnosti (6) ukonˇcen. Ze symetrie u ´lohy plyne, ˇze i A + U a B + V + (U + V)⊥ se prot´ınaj´ı a jejich pr˚ unik Q má stejné zamˇeˇren´ı U∩V. Maj´ıce stejn´ a zamˇeˇren´ı, pr˚ uniky P, Q splˇ nuj´ı pˇredpoklady jiˇz dokázané ˇc´ asti tvrzen´ı (i). Tud´ıˇz, existuj´ı body P ∈ P a Q ∈ Q takové, ˇze Q − P ∈ (U ∩ V)⊥ . D´ ale, z konstrukce podprostoru P vypl´ yv´ a, ˇze Q − P = (Q − A) − (P − A) ∈ U + (U + V)⊥ a analogicky z konstrukce podprostoru Q vypl´ yvá, ˇze Q − P = (Q − B) − (P − B) ∈ V + (U + V)⊥ . Nyn´ı jiˇz lze vyvodit poˇzadovan´ y vztah Q − P ∈ (U + V)⊥ . Podle posledn´ıch dvou formul´ı totiˇz 0 yvaj´ıc´ı prvky u0 , v0 náleˇz´ı m˚ uˇzeme ps´ at Q − P = u + u = v + v0 , kde u ∈ U, v ∈ V a oba zb´ 17


(U + V)⊥ . Pak ovˇsem u − v = v0 − u0 n´ aleˇz´ı jak souˇctu U + V, tak jeho doplˇ nku (U + V)⊥ , 0 0 a tedy u − v = v − u = 0, naˇceˇz u = v ∈ U ∩ V. D´ ale budeme postupovat podobnˇe jako pˇri d˚ ukazu rovnosti (6). Shrneme-li zat´ım z´ıskané v´ ysledky, m´ ame Q − P = u + u0 ∈ (U ∩ V)⊥ , kde u ∈ U ∩ V a u0 ∈ (U + V)⊥ . Snadno nahlédneme, ˇze u ⊥ u0 a souˇcasnˇe u ⊥ (u + u0 ), naˇceˇz 0 = u · (u + u0 ) = u · u + u · u0 = u · u. Odtud u = 0, a tedy Q − P = u0 ∈ (U + V)⊥ , coˇz se mˇelo dokázat. ˇ asti (ii) a (iii) se dok´ C´ aˇz´ı podobnˇe jako u pˇredchoz´ıho tvrzen´ı. 6. Orientovan´ y objem V této kapitole zavedeme orientovan´ y objem rovnobˇeˇznostˇenu v eukleidovském prostoru a uk´ aˇzeme, ˇze existuje souvislost mezi orientovan´ ym objemem rovnobˇeˇznostˇenu a determinantem. Bud’ Q bod a v1 , . . . , vn line´ arnˇe nez´ avislé vektory. Rovnobˇeˇznostˇen urˇcen´ y vrcholem Q a vektory v1 , . . . , vn definujeme jako mnoˇzinu {P + t1 v1 +· · · +tn vn | 0 ≤ t1 ≤ 1, . . . , 0 ≤ tn ≤ 1}. Jde tedy o mnoˇzinu bod˚ u afinn´ıho prostoru, jejichˇz vˇsechny souˇradnice vzhledem k afinn´ı souˇradné soustavˇe Q, v1 , . . . , vn leˇz´ı v uzavˇreném intervalu [0, 1]. Rovnobˇeˇznostˇen urˇcen´ y ortonorm´ aln´ı baz´ı se naz´ yv´ a jednotkov´ a krychle. 6.1. Definice. Orientovan´ a b´ aze vektorového prostoru V je uspoˇrádaná ntice (e1 , . . . , en ) takov´ a, ˇze vektory e1 , . . . , en tvoˇr´ı b´ azi prostoru V. Orientované báze (e1 , . . . , en ), (e01 , . . . , e0n ) naz´ yv´ ame souhlasnˇe orientované, pokud má matice pˇrechodu mezi obˇema bázemi kladn´ y determinant; jinak je naz´ yv´ ame nesouhlasnˇe orientované. Souhlasn´ a orientovanost je relace ekvivalence na mnoˇzinˇe vˇsech orientovan´ ych baz´ı prostoru V. M´ a pr´ avˇe dvˇe tˇr´ıdy rozkladu. Zvol´ıme-li pevnˇe nˇejakou bázi, pak jedna tˇr´ıda je tvoˇrena bazemi souhlasnˇe orientovan´ ymi a druh´ a je tvoˇrena bazemi nesouhlasnˇe orientovan´ ymi se zvolenou baz´ı. B´ yv´ a zvykem vybrat nˇekterou bázi a vˇsechny báze s n´ı souhlasnˇe resp. nesouhlasnˇe orientované nazvat kladnˇe resp. z´ apornˇe orientované báze. 6.2. Definice. Orientovaný vektorový prostor je vektorov´ y prostor, v nˇemˇz je zvolena jedna ze dvou tˇr´ıd souhlasnˇe orientovan´ ych baz´ı. Báze této tˇr´ıdy se naz´ yvaj´ı kladné, zb´ yvaj´ıc´ı se naz´ yvaj´ı z´ aporné. Pˇ r´ıklad. Tˇr´ırozmˇern´ y prostor, kter´ y ob´ yv´ ame, m˚ uˇzeme orientovat pravidlem pravé (nebo levé) ruky. Lze-li um´ıstit palec, ukazov´ aˇcek a prostˇredn´ıˇcek pravé resp. levé ruky podél vektor˚ u (e1 , e2 , e3 ), pak ˇrekneme, ˇze b´ aze (e1 , e2 , e3 ) je kladnˇe resp. z´ apornˇe orientovan´ a.

Zvolme nˇejakou kladnou ortonorm´ aln´ı bázi e1 , . . . , en . Rovnobˇeˇznostˇenu urˇcenému bodem Q a vektory v1 , . . . , vn pˇriˇrad´ıme re´ alné ˇc´ıslo Ω(v1 , . . . , vn ), zvané orientovaný objem, podle n´ asleduj´ıc´ıho pravidla: Necht’ V je matice pˇrechodu od báze e1 , . . . , en k bázi v1 , . . . , vn ; poloˇz´ıme Ω(v1 , . . . , vn ) = det V. Je zˇrejmé, ˇze orientovan´ y objem nez´ avis´ı na um´ıstˇen´ı (volbˇe vrcholu) rovnobˇeˇznostˇenu; proto vrchol Q sch´ az´ı mezi argumenty. Pˇripomeˇ nme, ˇze sloˇzka Vji matice V je rovna ité kartézské souˇradnici vektoru vj ; plat´ı tedy P i vj = i Vj ei . 18


V pˇr´ıpadˇe, ˇze jsou vektory v1 , . . . , vn lineárnˇe závislé (nejde o rovnobˇeˇznostˇen), definujeme Ω(v1 , . . . , vn ) = 0 (v tomto pˇr´ıpadˇe je matice V singulárn´ı). 6.3. Tvrzen´ı. Orientovaný objem rovnobˇeˇznostˇenu nez´ avis´ı na volbˇe kladné ortonorm´ aln´ı b´ aze e1 , . . . , en . D˚ ukaz. Uvaˇzujme o rovnobˇeˇznostˇenu urˇceném vektory v1 , . . . , vn . Bud’te dány kladnˇe orientované ortonorm´ aln´ı b´ aze e1 , . . . , en a e01 , . . . , e0n . Oznaˇcme Q pˇr´ısluˇsnou matici pˇrechodu; m´ ame tedy X e0j = Qkj ek k

a také det Q = 1. Necht’V resp. V 0 oznaˇcuje matici pˇrechodu od báze e1 , . . . , en resp. e01 , . . . , e0n k bázi v1 , . . . , vn . Potom X X 0j X 0j Vik ek = vi = Vi e0j = Vi Qkj ek j

k

k,j

a porovn´ an´ım koeficient˚ u u ek dost´ av´ ame X 0j Vik = Vi Qkj , j

ˇcili V = V 0 Q. Odtud Ω(v1 , . . . , vn ) = det V = det V 0 det Q = det V 0 = Ω0 (v1 , . . . , vn ). Cviˇ cen´ı. Dokaˇzte, ˇze orientovan´ y objem jednotkové krychle urˇcené ortonorm´ aln´ı baz´ı je roven 1 je-li b´ aze kladnˇe orientov´ ana a −1, je-li b´ aze z´ apornˇe orientov´ ana. Cviˇ cen´ı. znaménko?

Dokaˇzte, ˇze pro jednorozmˇern´ y orientovan´ y objem plat´ı Ω(u) = ±kuk. Jak se urˇc´ı

Mezi dalˇs´ı vlastnosti orientovaného objemu patˇr´ı zejména následuj´ıc´ı: 6.4. Tvrzen´ı. Plat´ı 1.

Ω(vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = (−1)|σ| Ω(v1 , . . . , vn );

Zde σ je libovoln´ a permutace a (−1)|σ| je jej´ı znaménko. D˚ usledek: Orientovaný objem Ω(u1 , . . . , uk ) zmˇen´ı znaménko, pokud si dva vektory vymˇen´ı m´ısto. 2.

Ωk (c1 u1 , . . . , ck uk ) = c1 · · · ck Ωk (u1 , . . . , uk )

pro libovolné skal´ ary c1 , . . . , ck ∈ R. D˚ usledek: Pˇri c-n´ asobném prodlouˇzen´ı nˇekteré hrany rovnobˇeˇznostˇenu se jeho orientovaný objem c-n´ asobnˇe zvˇetˇs´ı. X 3. Ωk (u1 , . . . , ui , . . . , uk ) = Ωk u1 , . . . , ui + cj uj , . . . , uk . j6=i

19


D˚ usledek: Zkosen´ı zachov´ av´ a orientovaný objem rovnobˇeˇznostˇenu (zkosen´ım rozum´ıme, ˇze se k jedné hranˇe pˇriˇcte line´ arn´ı kombinace ostatn´ıch hran). 4.

Ω(v1 + v10 , v2 , . . . , vn ) = Ω(v1 , v2 , . . . , vn ) + Ω(v10 , v2 , . . . , vn ).

Pokud jsou vektory v1 a v10 z´ avislé, tvrzen´ı vyjadˇruje aditivitu objemu (je-li sjednocen´ı disjunktn´ıch rovnobˇeˇznostˇen˚ u opˇet rovnobˇeˇznostˇen, pak jeho objem je roven souˇctu objem˚ u jednotlivých rovnobˇeˇznostˇen˚ u). D˚ ukaz. Tvrzen´ı bezprostˇrednˇe vypl´ yvaj´ı ze znám´ ych vlastnost´ı determinantu. Cviˇ cen´ı.

Co je Cavalieriho princip? Jak souvis´ı s tˇret´ım tvrzen´ım?

Neorientovan´ y objem definujeme jako absolutn´ı hodnotu |Ω(v1 , . . . , vn )| orientovaného objemu. Je zˇrejmé, ˇze ˇctvrté tvrzen´ı nem´ a analogii pro neorientované objemy. Existuje souvislost mezi objemem a determinantem Gramovy matice. 6.5. Tvrzen´ı. Plat´ı Ωk (v1 , . . . , vn )2 = det G, kde G je Gramova matice skal´ arn´ıho souˇcinu vzhledem k b´ azi v1 , . . . , vn . D˚ ukaz. Podle definice Gkl = vk · vl . Je-li e1 , . . . , en ortonormáln´ı báze a vk1 , . . . , vkn resp. 1 vl , . . . , vln kartézské souˇradnice vektor˚ u vk resp. vl , pak dostáváme X X X X Gkl = vk · vl = vki ei · vlj ej = vki vlj ei · ej = vki vlj δij . i

j

i,j

i,j

Odtud G = V V > , a tedy det G = det V 2 = Ωk (v1 , . . . , vn )2 . Je-li V orientovan´ y prostor a U ( V jeho podprostor, pak U nemá ˇzádnou indukovanou orientaci. Existuje vˇsak vazba mezi orientac´ı V, U a U⊥ : Je-li e1 , . . . , ek orientovaná báze podprostoru U a ek+1 , . . . , en orientovan´ a báze jeho doplˇ nku U⊥ , pak e1 , . . . , en je orientovaná b´ aze prostoru V. 6.6. Tvrzen´ı. Pro n > 1 plat´ı |Ωn (u1 , . . . , un )| = |Ωn−1 (u1 , . . . , un−1 )| kP⊥ [[u1 ,...,un−1 ]] un k. Význam: Objem rovnobˇeˇznostˇenu je objem z´ akladny kr´ at výˇska. D˚ ukaz. V z´ akladnˇe generované vektory u1 , . . . , un−1 zvol´ıme ortonormáln´ı bázi e1 , . . . , en−1 a dopln´ıme ji do b´ aze e1 , . . . , en−1 , en . Ve vyjádˇren´ı uj = Uji ei pak máme Ujn = uj · en = 0 pro j = 1, . . . , n − 1, a tedy 1 1 U1 · · · Un−1 Un1 1 1 U1 · · · Un−1 . . . .. .. . .. . .. Unn Ωn (u1 , . . . , un ) = = .. U n−1 · · · U n−1 U n−1 1 U n−1 · · · U n−1 n n−1 n 1 n−1 0 ··· 0 Un = ±Ωn−1 (u1 , . . . , un−1 ) Unn = ±Ωn−1 (u1 , . . . , un−1 ) kP⊥ [[u1 ,...,un−1 ]] un k, ⊥ protoˇze kP⊥ [[u1 ,...,un−1 ]] un k = kP[[e1 ,...,en−1 ]] un k = kP[[en ]] un k = k(un · en ) en k = |un · en | ken k = |un · en | = |Unn |.

20


Cviˇ cen´ı.

Ukaˇzte, ˇze pro odchylku φ(u, v) vektor˚ u u, v plat´ı tg φ(u, v) =

Ω2 (u, v) . u·v

6.1. Odchylky podprostor˚ u Odchylku afinn´ıch podprostor˚ u definujeme jako odchylku jejich zamˇeˇren´ı. Omez´ıme se proto na pˇr´ıpad vektor˚ u a vektorov´ ych podprostor˚ u. 6.7. Definice. Odchylka vektoru v 6= 0 a vektorového podprostoru U 6= 0 se definuje jako φ(v, U) = inf φ(v, u). u∈U\0

Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe vzd´ alenosti jde ve skuteˇcnosti o minimum, ale nen´ı to zˇrejmé. Plyne to aˇz z n´ asleduj´ıc´ıho tvrzen´ı, d´ıky kterému lze odchylku φ(v, U) pˇrevést na odchylku dvou vektor˚ u: 6.8. Tvrzen´ı. (i) Odchylka φ(v, U) vektoru v 6= 0 od podprostoru U 6= 0 je rovna π/2 pr´ avˇe tehdy, kdyˇz v m´ a nulovou projekci PU v do U. (ii) Jestliˇze PU v 6= 0, pak φ(v, U) = φ(v, PU v) <

1 2

π.

(iii) Plat´ı φ(v, U) = arccos

kPU vk . kvk

D˚ ukaz. Nejprve uk´ aˇzeme, ˇze odchylka, pokud existuje, je vˇzdy z intervalu [0, π/2]. Je-li totiˇz minima dosaˇzeno na nˇejakém vektoru u ∈ U, pak pro opaˇcn´ y vektor −u ∈ U plat´ı cos φ(−u, v) = − cos φ(u, v), a tedy φ(−u, v) = π − φ(u, v), naˇceˇz plat´ı φ(u, v) ≤ π/2 nebo φ(−u, v) ≤ π/2. V pˇr´ıpadˇe odchylky π/2 pak nutnˇe v ⊥ u pro kaˇzdé u ∈ U, naˇceˇz v ∈ U⊥ , a tedy PU v = 0. Zˇrejmˇe plat´ı i opaˇcn´ a implikace, coˇz dokazuje prvn´ı ˇcást tvrzen´ı a pˇr´ısluˇsnou ˇcást tˇret´ıho. Pˇredpokl´ adejme nyn´ı, ˇze PU v 6= 0. Hledejme nejmenˇs´ı moˇznou odchylku, kterou mohou m´ıt vektor v a libovoln´ y nenulov´ y vektor u ∈ U. Pˇredevˇs´ım plat´ı cos φ(u, v) =

u·v u · (PU v + P⊥ u · PU v U v) = = kuk kvk kuk kvk kuk kvk

protoˇze u ⊥ P⊥ c?). Pokraˇcujme d´ ale: U v (proˇ cos φ(u, v) =

u · PU v u · PU v kPU vk kPU vk = = cos φ(u, PU v) . kuk kvk kuk kPU vk kvk kvk

Protoˇze cos φ(u, PU v) ≤ 1, z rovnosti (7) plyne nerovnost cos φ(u, v) ≤

kPU vk . kvk 21

(7)


Pˇri volbˇe u = PU v ale obdrˇz´ıme rovnost, protoˇze pak cos φ(u, PU v) = cos φ(PU v, PU v) = 1. Odtud kPU vk = sup cos φ(u, v). kvk u∈U\0 Protoˇze funkce kosinus je na intervalu [0, π/2] klesaj´ıc´ı, plyne odtud arccos

kPU vk = inf φ(u, v). u∈U\0 kvk

T´ım je dok´ az´ ano (iii) a potaˇzmo i (ii). Cviˇ cen´ı.

Dokaˇzte vztah cos φ(u, v) = cos φ(u, PU v) cos φ(PU v, v),

kter´ y vyjadˇruje odchylku vektoru u ∈ U od v pomoc´ı odchylky u od projekce PU v.

6.9. Definice. Odchylka podprostor˚ u U 6= 0 a V 6= 0 takov´ ych, ˇze U ∩ V = {0}, se definuje jako φ(U, V) = inf φ(u, v). u∈U\0 v∈V\0

V pˇr´ıpadˇe netrivi´ aln´ıho pr˚ uniku U ∩ V vyjde nulová odchylka (proˇc?). Pˇresto i v tomto pˇr´ıpadˇe existuje netrivi´ aln´ı m´ıra odklonu a má rozumn´ y smysl. Pˇ r´ıklad. Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt odchylka dvou stˇen v koso´ uhlé m´ıstnosti. Pokud jsou stˇeny alespoˇ n kolmé k podlaze, m˚ uˇzeme za vhodnou u ´hlovou m´ıru povaˇzovat odchylku pˇr´ımek leˇz´ıc´ıch v u ´pat´ı stˇen (tj. pr˚ useˇcnic s podlahou).

6.10. Pozn´ amka. V obecném pˇr´ıpadˇe maj´ı prostory U ∩ (U ∩ V)⊥ a V ∩ (U ∩ V)⊥ nulov´ y pr˚ unik. Pokud nav´ıc U ∩ (U ∩ V)⊥ 6= 0 a V ∩ (U ∩ V)⊥ 6= 0, m˚ uˇzeme definovat φ(U, V) = φ(U ∩ (U ∩ V)⊥ , V ∩ (U ∩ V)⊥ ), kde na pravé stranˇe stoj´ı odchylka ve smyslu pˇredchoz´ı definice. Cviˇ cen´ı.

Poˇc´ıtejte vˇsechny moˇzné odchylky hran a stˇen (i mezi sebou) u pravideln´ ych mnohostˇen˚ u.

V´ ypoˇcet odchylky dvou podprostor˚ u a d˚ ukaz existence minima jsou ponˇekud sloˇzitˇejˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe odchylky vektoru a podprostoru. Nicménˇe, by bylo ˇskoda neuvést alespoˇ n myˇslenku, na n´ıˇz jsou zaloˇzeny. Pˇredpokl´ adejme na chv´ıli, ˇze jsme nalezli nenulové vektory u ∈ U a v ∈ V, které realizuj´ı minimum φ(u, v). Tat´ aˇz hodnota je ovˇsem rovna φ(u, V) i φ(U, v), a tedy i φ(u, PV u) a φ(v, PU v), jak plyne z tvrzen´ı 6.8(ii) o odchylce vektoru a podprostoru. M˚ uˇzeme proto dosti opr´ avnˇenˇe oˇcek´ avat, ˇze PV u = µv a PU v = νu pro nˇejak´ a kladn´ a ˇc´ısla µ, ν (m˚ uˇzeme to oˇcek´ avat s jistotou, pokud jsou vektory u, v aˇz na n´ asobek jediné). Pak ovˇsem PV PU v = µνv a podobnˇe PU PV u = µνu. Vid´ıme, ˇze v je vlastn´ı vektor line´ arn´ıho zobrazen´ı PV ◦ PU |V : V − →V pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ı hodnotˇe µν a stejnˇe tak u je vlastn´ı vektor line´ arn´ıho zobrazen´ı PU ◦ PV |U : U − →U

22


pˇr´ısluˇsn´ y téˇze vlastn´ı hodnotˇe µν. Podle tvrzen´ı 6.8(iii) nav´ıc cos2 φ(u, v) = cos φ(u, PV u) cos φ(PU v, v) =

µkvk νkuk kPV uk kPU vk = = µν. kuk kvk kuk kvk

M´ a-li b´ yt odchylka φ(u, v) minim´ aln´ı, mus´ı b´ yt jej´ı kosinus maxim´ aln´ı. Tud´ıˇz, vektory u, v jsou po ˇradˇe vlastn´ı vektory line´ arn´ıch zobrazen´ı PV ◦ PU |V , PU ◦ PV |U , pˇr´ısluˇsné jedné a téˇze maxim´ aln´ı vlastn´ı hodnotˇe, zat´ımco kosinus odchylky obou prostor˚ u je roven odmocninˇe z oné hodnoty. 6.11. Pozn´ amka. Hodnoty µ, ν sice nejsou jednoznaˇcnˇe urˇceny, protoˇze vektory u, v lze vyn´ asobit libovoln´ ymi kladn´ ymi ˇc´ısly aniˇz by se zmˇenila odchylka φ(u, v), ale pˇritom se nezmˇen´ı ani souˇcin µν. Vektory u, v jsme také mohli pro urˇcitost napˇr´ıklad normovat, naˇceˇz by platilo µ = ν (dokaˇzte jako cviˇcen´ı). Z v´ ysledk˚ u, ke kter´ ym jsme zat´ım dospˇeli, lze usoudit na platnost ˇca ´st´ı (ii) a (iii) n´ asleduj´ıc´ıho tvrzen´ı. Uvedeme je bez d˚ ukazu. 6.12. Tvrzen´ı. Bud’te U 6= 0, V 6= 0 podprostory takové, ˇze U ∩ V = 0. Uvaˇzujme o line´ arn´ıch zobrazen´ıch ΠU = PU ◦ PV |U : U − → U,

ΠV = PV ◦ PU |V : V − → V.

(i) Line´ arn´ı zobrazen´ı ΠU , ΠV maj´ı vˇsechny vlastn´ı hodnoty re´ alné a nez´ aporné. Vlastn´ı hodnoty obou zobrazen´ı jsou, kromˇe nulov´ ych, shodné vˇcetnˇe n´ asobnost´ı. (ii) Kosinus odchylky cos φ(U, V) je roven druhé odmocninˇe z maxim´ aln´ı vlastn´ı hodnoty zobrazen´ı ΠU nebo, coˇz je totéˇz, druhé odmocninˇe z maxim´ aln´ı vlastn´ı hodnoty zobrazen´ı ΠV . (iii) Bud’te po ˇradˇe u, v vlastn´ı vektory zobrazen´ı ΠU , ΠV , pˇr´ısluˇsné maxim´ aln´ı vlastn´ı hodnotˇe. Pak φ(u, v) = φ(U, V).

7. 1-formy v koneˇ cnˇ erozmˇ ern´ em eukleidovsk´ em vektorov´ em prostoru Pˇripomeˇ nme, ˇze line´ arn´ı zobrazen´ı φ : V − → R se naz´ yvá 1-forma. Vektorov´ y prostor vˇsech 1-forem na V se oznaˇcuje V∗ a naz´ yv´ a se du´ aln´ı prostor prostoru V. 7.1. Tvrzen´ı. Bud’ e1 , . . . , en b´ aze vektorového prostoru V . Pak existuj´ı 1-formy e1 , . . . , en , jednoznaˇcnˇe urˇcené podm´ınkou ei (ej ) = δji ,

(8)

kde δji je Kroneckerovo delta. 1-Formy e1 , . . . , en tvoˇr´ı b´ azi du´ aln´ıho prostoru V∗ . Pˇritom souˇradnice libovolné 1-formy φ v b´ azi e1 , . . . , en jsou rovny φi = φ(ei ).

(9)

D˚ ukaz. Dokaˇzme existenci 1-forem ei . Pro libovoln´ y vektor u =

P

i

ui ei poloˇzme

ei (u) = ui . Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze ei jsou line´ arn´ı zobrazen´ı V − → R a ˇze splˇ nuj´ı podm´ınku (8). Ovˇeˇrme jednoznaˇcnost. Necht’ 1-forma φi ∈ V∗ splˇ nuje podm´ınku (8), tedy φi (ej ) = δji . P j P P j i Pak pro libovoln´ y vektor u = aváme φi (u) = φi ( j uj ej ) = j u ej dost´ j u φ (ej ) = P j i i i i u δ = u . Pak ovˇ s em φ = e . j j 23

Geometrie line´ arn´ıch u ´tvar˚ u ∗ D´ aP le ukaˇzme, ˇze 1-formy ei P jsou gener´ atory VP . Pro libovolnou 1-formu φ a vektor P prostoru j j j u = j u ej m´ ame φ(u) = φ( j u ej ) = j u φ(ej ) = j ej (u)φ(ej ). Vid´ıme, ˇze

φ=

X

φ(ej )ej .

j

Odtud formule (9). P i Nakonec ukaˇzme, ˇze formy ei jsou lineárnˇe nezávislé. Pˇredpokládejme, ˇze i ai e = 0. Dosad´ıme-li do této rovnosti vektor ej , obdrˇz´ıme 0=

X

ai ei (ej ) =

X

i

ai δji = aj

i

pro kaˇzdé j = 1, . . . , n, ˇc´ımˇz je d˚ ukaz hotov. 7.2. D˚ usledek. Je-li prostor V koneˇcnˇerozmˇerný, pak je i du´ aln´ı prostor V∗ koneˇcnˇerozmˇerný ∗ a plat´ı dim V = dim V . Je-li, jak jsme pr´ avˇe vidˇeli, dim V = dim V∗ , pak jsou prostory V a V∗ izomorfn´ı. Nicménˇe, skal´ arn´ı souˇcin n´ am umoˇzn ˇuje jednu bijekci mezi 1-formami a vektory pˇr´ımo popsat. 7.3. Lemma. Bud’ V koneˇcnˇerozmˇerný vektorový prostor. Pak je zobrazen´ı [ : V − → V∗ , definované pˇredpisem [(v)(u) = u · v,

(10)

izomorfismus vektorových prostor˚ u. Z´ apis [(v)(u) na levé stranˇe se deˇsifruje jako dosazen´ı vektoru u do 1-formy [(v). 7.4. D˚ ukaz. Zobrazen´ı [ je zˇrejmˇe line´ arn´ı. Ukaˇzme, ˇze [ je injektivn´ı. Bud’te v, v0 dva vektory 0 a pˇredpokl´ adejme, ˇze [(v) = [(v ). Potom pro libovoln´ y vektor u plat´ı [(v)(u) = [(v0 )(u), a 0 0 tedy u · v = u · v , ˇcili u · (v − v ) = 0. To plat´ı zejména pro vektor u = v − v0 , coˇz znamená, ˇze kv − v0 k2 = (v − v0 ) · (v − v0 ) = 0, a tedy v − v0 = 0, ˇcili v = v0 . Prostory V a V∗ vˇsak maj´ı shodnou dimenzi n, a proto dim Im [ = dim V − dim Ker [ = n − 0 = n = dim V∗ . Vid´ıme, ˇze [ je surjektivn´ı a potaˇzmo i bijektivn´ı. 7.5. Tvrzen´ı. V souˇradnic´ıch X [(v)i = gij v j ,

(11)

j

kde gij je Gramova matice. P 7.6. D˚ ukaz. Pro libovoln´ y vektor v = j v j ej snadno obdrˇz´ıme s pouˇzit´ım vztah˚ u (9), (10) potˇrebnou rovnost X X [(v)i = [(v)(ei ) = ei · v = v j ei · ej = v j gij . j

j

Inverzn´ı zobrazen´ı k [ : V − → V∗ oznaˇc´ıme ] : V∗ − → V. 24


7.7. Tvrzen´ı. V souˇradnic´ıch X ](φ)i = g ij φj ,

(12)

j

kde g ij je matice inverzn´ı ke Gramovˇe matici gij . P i P 7.8. D˚ ukaz. Oznaˇcme ](φ)P = u, kde u = = [(u), naˇceˇz φj = [(u)j = i gjk uk i u ei . Pak φ P P ij ij k i k i i podle formule (11). Nyn´ı z se mˇelo j g φj = i,j g gjk u = i δk u = u = ](φ) , coˇ dok´ azat. 7.9. Pozn´ amka. Oznaˇcen´ı [ a ] se snadno pamatuje. Vektory maj´ı souˇradnice s indexy nahoˇre a 1-formy maj´ı souˇradnice s indexy dole. Proto m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze [, kter´ y pˇrevád´ı vektory na 1-formy, index sniˇzuje a ], kter´ y pˇrev´ ad´ı 1-formy na vektory, index zvedá. 7.10. Pozn´ amka. Je-li skal´ arn´ı souˇcin pevnˇe zvolen, m˚ uˇzeme vektor a jemu odpov´ıdaj´ıc´ı 1-formu ztotoˇznit, to jest, povaˇzovat oba za jeden objekt a oznaˇcit jej jedin´ ym symbolem. Souˇradnice p´ıˇseme jednou s indexy nahoˇre a jednou s indexy dole, podle toho, zda objekt pr´ avˇe vystupuje v roli vektoru nebo v roli 1-formy. Symboly [ a ] se potom také vynechávaj´ı a formule (11) a (12) maj´ı podobu X X vi = gij v j , φi = g ij φj . j

j

Takov´ y postup je obvykl´ y zejména ve fyzikáln´ı literatuˇre. 7.11. Pozn´ amka. Jediné vlastnosti skal´ arn´ıho souˇcinu, které jsme vyuˇzili, byly bilinearita a nesingul´ arnost. Analogickou konstrukci lze provést s kteroukoliv nesingulárn´ı bilineárn´ı formou, tedy i nesymetrickou. 8. Trojrozmˇ ern´ y eukleidovsk´ y prostor a vektorov´ y souˇ cin Trojrozmˇern´ y eukleidovsk´ y prostor je v´ yjimeˇcn´ y t´ım, ˇze pˇripouˇst´ı jeˇstˇe jednu v´ yznamnou bin´ arn´ı operaci – vektorov´ y souˇcin. Orientovan´ y objem Ω = Ω3 v orientovaném eukleidovském vektorovém prostoru V dimenze 3 jsme zavedli jako jisté zobrazen´ı, line´ arn´ı v kaˇzdém argumentu (trilineárn´ı). Bud’te zadány dva vektory u, v. Uvaˇzujme o 1-formˇe φu,v : V − → R, definované pˇredpisem φu,v (w) = Ω(u, v, w). 8.1. Definice. Vektor ]φu,v oznaˇc´ıme u × v. Naz´ yvá se vektorov´ y souˇcin vektor˚ u u, v. Definici m˚ uˇzeme struˇcnˇe shrnout tak, ˇze pro kaˇzdou trojici vektor˚ u u, v, w plat´ı Ω(u, v, w) = (u × v) · w a vektor u × v je touto identitou jednoznaˇcnˇe urˇcen. Vektorov´ y souˇcin je zˇrejmˇe antikomutativn´ı, u × v = −v × u, protoˇze Ω(u, v, w) = −Ω(v, u, w). Speci´ alnˇe, u × u = 0. 25


Plat´ı téˇz (u × v) · w = Ω(u, v, w) = u · (v × w). Vektorov´ y souˇcin je line´ arn´ı v obou argumentech, u × (v + w) = u × v + u × w, u × (cv) = cu × v, protoˇze Ω je triline´ arn´ı a ] je line´ arn´ı. Bilinearita umoˇzn ˇuje pohodlné poˇc´ıt´ an´ı vektorového souˇcinu v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch. Bud’ e1 , e2 , e3 kladn´ a ortonorm´ aln´ı b´ aze. Jsou-li ui , v i souˇradnice vektor˚ u u, v, pak X X X u×v = ui ei × v j ej = ui v j ei × ej i

j

i,j

Zb´ yv´ a spoˇc´ıtat souˇciny ei × ej . Jiˇz v´ıme, ˇze ei × ei = 0. Pak plat´ı (e1 × e2 ) · e1 = Ω(e1 , e2 , e1 ) = 0, (e1 × e2 ) · e2 = Ω(e1 , e2 , e2 ) = 0, (e1 × e2 ) · e3 = Ω(e1 , e2 , e3 ) = 1. Odtud prvn´ı z rovnost´ı e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 a ostatn´ı se dok´ aˇz´ı podobnˇe. Po dosazen´ı do vztahu u × v = kterou lze symbolicky zapsat ve tvaru determinantu: e1 e2 e3 u × v = u1 u2 u3 . 1 v v2 v3

P

i,j

ui v j ei × ej obdrˇz´ıme formuli,

Vektorov´ y souˇcin nen´ı asociativn´ı: 8.2. Tvrzen´ı (Lagrangeova formule). Plat´ı u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w. (u × v) × w = (w · u)v − (w · v)u. D˚ ukaz. Lagrangeovu formuli snadno ovˇeˇr´ıme pro u = ei , v = ej , w = ek pˇri libovolné volbˇe trojice index˚ u i, j, k. Platnost pro obecné vektory pak plyne z linearity. 8.3. D˚ usledek (Jacobiho identita). u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0. 26


Cviˇ cen´ı. v = w.

Bud’te v, w dva vektory. Necht’ u × v = u × w pro kaˇzd´ y vektor u. Ukaˇzte, ˇze potom

Cviˇ cen´ı. Bud’te v, w dva vektory. Ukaˇzte, ˇze z existence vektoru u 6= 0 takového, ˇze u · v = u · w a u × v = u × w, plyne v = w. Cviˇ cen´ı.

1. Dokaˇzte, ˇze  0 u×v = Ω2 (u, v) n

pokud jsou u, v line´ arnˇe z´ avislé jinak,

kde Ω2 (u, v) je obsah rovnobˇeˇzn´ıka se stranami u a v, naˇceˇz n je jednotkov´ y vektor leˇz´ıc´ı v doplˇ nku [[u, v]]⊥ takov´ y, ˇze u, v, n je kladn´ a b´ aze. Vektor n je v pˇr´ıpadˇe line´ arnˇe nez´ avisl´ ych vektor˚ u u, v urˇcen jednoznaˇcnˇe. Doplnˇek [[u, v]]⊥ je totiˇz jednorozmˇern´ y, a proto m´ ame jen dvˇe moˇznosti pro n (druh´ a je −n), z nichˇz pr´ avˇe jedna vede ke kladné b´ azi u, v, n. 2. D´ ale dokaˇzte, ˇze souˇcinitel Ω2 (u, v) z definice vektorového souˇcinu je roven sin φ(u, v) kuk kvk.

27

světa. Přesto v tomto textu zcela chybí obrázky. Je to hlavně proto, že kreslení pěkných obrázků

Recommend Documents