Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green _____________________________________ 4.1

Integral Garis

Definisi : Misal ⃗ suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan ⃗ adalah medan vektor yang didefinisikan pada lintasan ⃗. Integral ⃗ sepanjang ⃗ disebut integral garis. b

b

a

a

W  F.ds  F  s  t   s  t  dt

Untuk ruang dimensi m cara menghitungnya adalah; m b

W    Fk  s  t   sk (t )dt k 1 a

Dalam hal ini

F   F1 , F2 ,, Fm  , sedangkan s  (s1 , s2 ,, sm ) . Jadi dapat juga ditulis Dalam ruang dua dimensi (2D) pernyataannya menjadi  x  s1  t  , y  s2 (t ) Dalam ruang tiga dimensi (3D) pernyataannya menjadi  x  s1  t  , y  s2  t  , z  s3  t 

4.2 1.

Sifat Integral Garis

  aF  bG  ds  a F .ds  bG.ds ,

a, b suatu konstanta

2. Jika lintasannya adalah c  c1  c2  cm maka F .ds  F .ds   F .ds   F .ds c

C1

C2

c1

Ci

c2

cm

Cm

Gambar 4- 1 Lengkungan C dipilah-pilah menjadi lengkungan C1, C2, …..,Cm KK-Astronomi ITB

Page 4-1

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2



Bila a  b lintasan disebut lintasan tertutup, simbol   a b

3.

biasa digunakan

C

Gambar 4- 2 Contoh lengkungan tertutup. Contoh

1





Misalkan F  x, y   yi  x3  y j ,   x, y  dengan y  0 Hitunglah kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan suatu partikel dari titik (0,0) ke titik (1,1) sepanjang lintasan berikut: a.

Garis dengan persamaan x  t , y  t , 0  t  1

b.

Garis dengan persamaan x  t 2 , y  t 3 , 0  t  1 y

y

 s x, y 

 a

 s x, y 

 a

 b

 b

xt y  t,

x  t2 y  t3

x

x

(a)

(b)

Jawab:





a. Jadi s  t   x  t  i  y  t  j  s (t )  ti  tj  ds t   i  j dt

F  x, y   yi   x3  y  j  F  t   ti  t 3  t  j 1,1

W



 0,0 

1

1

F ds   F (t )  ds (t )  W   0

0







1



ti   t 3  t  j  i  j dt   t

b. Jadi s  t   x  t  i  y  t  j  s (t )  t 2i  t 3 j

0



1

2



 t 3  t dt 

17 12



 ds (t )  2ti  3t 2 j dt

F  x, y   yi   x3  y  j  F  t   t 2 i   t 6  t 3  j 3

KK-Astronomi ITB

Page 4-2

Suryadi Siregar 1,1

W

Metode Matematika Astronomi 2

1

3 F ds   t 2 i   t 6  t 3  j    2ti  3t 2 j  dt   0  0,0 



1

W    2t  0

5

2

59  3  t 8  t 5  dt   42

Contoh 2: Hitung kerja yang diperlukan dari medan vektor F  x, y  

x

2

 2xy  i   y2 – 2xy  j

untuk memindahkan partikel dari (-1,1) ke (1,1) sepanjang lintasan y = x2.

s  t   x  t  i  y  t  j  s (t )  ti  t 2 j F  x, y   F t  

t

2

x

2

 2 xy  i 

y

2

– 2 xy  j

 2t 3  i   t 4 – 2t 3  j

Batas integrasi:

x  t , x  1 t  1, x  1  t  1

Jadi, 1,1

W



F  ds

 1,1 1







1

 W   (t 2  2t 3 )i  (t 4  2t 3 ) j  i  2tj dt   (t 2  2t 3  2t 5  4t 4 )dt  14 /15 1

1

Contoh 3: Carilah kerja yang dilakukan oleh medan gaya F  x, y, z   xi  yj   xz  y  k untuk memindahkan partikel dari (0,0,0) ke (1,2,4) sepanjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jawab: Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (1,2,4) jadi lintasan tempuh = garis lurus penghubung dua titik. Besar usaha dapat ditulis secara matematis dengan persamaan

W   F  ds Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh oleh partikel. ds  dxi  dyj  dzk KK-Astronomi ITB

Page 4-3

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

W   F  ds





  xi  yj   xz  y  k  dxi  dyj  dzk



  xdx   ydy    xz  y  dz Dari garis yang menghubungkan kedua titik dapat kita lihat adanya suatu hubungan: Partikel dipindahkan dari (0,0,0) ke (1,2,4) Maka terlihat bahwa y = 2x , dan z = 4x Apabila kita substitusikan nilai x = t maka: x = t ⟶ dx = dt y = 2t ⟶ dy = 2 dt z = 4t ⟶ dz = 4 dt batas integrasi adalah dari t = 0 sampai t = 1 dan persamaan diatas dapat dituliskan sebagai 1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

W   t dt   2t  2dt     t  4t   2t  4dt   t dt   4t dt  4  4t 2  2t  dt 0

1

1 1 4  1 1  t 2  2t 2  4  t 3  t 2    2  4   0 2 0 3 3 0 2 3  12  8 23   6 6 1

Contoh 4:

F  x, y   cxy i  x6 y 2 j , c>0. Gaya ini bekerja pada suatu partikel yang ingin dipindahkan dari (0,0) ke garis x=1, sepanjang kurva y  axb , a > 0 dan b > 0. Tentukan nilai a (dalam bentuk c) agar kerja yang dilakukan tidak bergantung pada b. Jawab: Besar usaha secara dituliskan secara matematis dengan persamaan

W   F  ds Dimana ds adalah lintasan yang ditempuh partikel. ds  dxi  dyj

W   F  ds

   cxy i  x 6 y 2 j    dxi  dyj    cxydx   x 6 y 2 dy

KK-Astronomi ITB

Page 4-4

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

Apabila kita substitusikan nilai x = t dan karena lintasan tempuh adalah kurva y  axb maka: ⟶ dx  dt

xt

y  at b ⟶

dy  abt b1dt

Batas integrasi adalah dari t = 0 ke t = 1 Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan sebagai 1

1

2 W   ct  at  dt   t 6  at b   abt b 1   dt   0 0 b

1

1

   act b 1  dt    a 3bt 3b 5  dt 0

0

b2 1

act  b2

a 3bt 3b  6  3b  6 0

1

0

3



ac ab  b  2 3b  2



3ac  a 3b 1 3ac  a 3b  3b  2 3 b  2

Agar tidak bergantung pada b, maka bagian pembilang, 3ac  a3b , agar dapat dibagi dengan penyebutnya harus dapat dituliskan sebagai bentuk perkalian dengan (b+2). Misalkan bagian pecahan tersebut; 3ac  a 3b   atau 3ac  a3b    b  2   b  2 b  2  

Yang menjadi variabel disini adalah b oleh sebab itu, ada dua persamaan;

2  3ac b  a 3b Dengan demikian;

  a3 atau 2a3  3ac atau c 

3 2 2 c a a  2 3

Contoh 5: 





Tentukan kerja/usaha yang diperlukan oleh gaya F ( x, y)  ( x 2  y 2 ) i  2 xy j untuk memindahkan partikel (berlawanan dengan arah putaran jarum jam) sepanjang bujur sangkar yang dibatasi oleh garis x=a dan y=a, a>0 KK-Astronomi ITB

Page 4-5

Suryadi Siregar 

Metode Matematika Astronomi 2









Penyelesaian: d s  dx i  dy j dalam hal ini jika x konstan  d s  dy j sedangkan jika y 



konstan maka d s  dx i Perhatikan;

Sepanjang C1 : F ( x, y)  F ( x,0) dengan 0  x  a Sepanjang C2 : F ( x, y)  F (a, y) dengan 0  y  a Sepanjang C3 : F ( x, y)  F ( x, a) dengan lintasan dari x=a ke x = 0 Sepanjang C4 : F ( x, y)  F (0, y) dengan lintasan dari y= a ke y = 0

Gambar 4- 3 Lengkungan tertutup berbentuk empat persegi panjang 



















 F ( x, y)d s   F ( x, 0)d x   F (a, y)d y   F ( x, a)d x   F (0, y )d y

C

C1

C2

C3

a

a

0

0

0

0

a

a



C4



a

a

a

0

0

0

W   x 2 dx   2aydy   ( x 2  a 2 )dx    y 2 i  jdy   x 2 dx   2aydy   ( x 2  a 2 )dx 1 1 W  a3  a3  a3  a3  2a3 3 3 Jadi usaha yang diperlukan adalah W  2a3 Contoh 6: Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva yang dibentuk oleh irisan bola dan bidang dengan . Lintasan berlawanan dengan putaran jarum jam bila dilihat dari sumbu z. Partikel ini berada dalam pengaruh gaya yang dinyatakan oleh

F  x, y, z   ( y  z )i  ( z  x) j  ( x  y)k

Pertanyaannya gambarkan lintasannya dan

hitunglah usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel tersebut selama satu periode.

KK-Astronomi ITB

Page 4-6

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2 x2  y 2  z 2  4 x2  y 2  y 2tan2  4

x2  y 2 sec2  4 y2 

4  x2 sec 2

y 2   4  x 2  cos 2

 4  x  cos   4  x  cos

y

2

y

2

2

Gambar 4- 3 Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola. Jika: x  t , maka dapat ditulis

y

 4  t  cos 2

dan z 

 4  t  cos  tan    4  t  sin  2

2

z  0  t  2

Integrasi dimulai dari bidang z=0. Maka batas integral t adalah dari -2 ke 2

s  t   x  t  i  y  t  j  z t  k dengan demikian ds  t   idt 

t

4  t  2

cos jdt 

t

4  t  2

s (t )  ti 

 4  t  cos j   4  t  sin k 2

2

sin k dt

Sehingga

W  F ds  W   2

W

 2 



 y  z  i   z  x  j  (x  y)k  ds

  

4  t 2 Cos  4  t 2 Sin i 

  tCos  tSin   j k  dt i 4  t2 4  t2  





 2 2   4  t  cos   4  t  sin  2  W  t 2  t   4  t 2  cos . sin 2  4  t   



KK-Astronomi ITB



 



   4  t 2 Sin  t j  t  4  t 2 Cos k  

 4  t  sin  t  . 2

 cos   4  t    dt    t

2

Page 4-7

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

 W   2 

 cos  t sin cos  sin  t sin cos  dt  4  t  cos   4  t  sin  2 2  4  t  4  t  

 W   2 

 4  t  cos   4  t  sin 

2

2

2

t2

2

2

2

 W   cos  sin     2 

t2

4  t2 

cos 

t2

4  t  2

 sin  dt  

  dt 4  t   2   4  t  

2

t2

2

2

4  t2  t2

2

4  t 

W   cos  sin  

t2

dt

2

2

4

W   cos  sin  

dt

4  t  2

2 2

dt

W  4  cos  sin  

4  t  2

2

Berdasarkan teorema dalam integral 1 1 u  a 2  u 2 du  sin a  C Maka, 2



2

1

4  t 

dt  sin 1

2

t 2      2 2 2 2

Sehingga W  4  cos  sin  Jadi kerja yang dilakukan F besarnya adalah W  4  cos  sin  Catatan: jika suatu medan vektor F adalah gradien dari medan skalar  , maka  disebut potensial untuk F level set dari  disebut permukaan ekipotensial. Dalam 2D disebut garis-garis ekipotensial (equipotential line) jika,

 menyatakan temperatur



isothermal

 menyatakan tekanan



isobaric

 menyatakan density



isodensity 1

Contoh: ( x, y, z )  r m dengan r  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 ,  integer m medan vektor dapat dicari dari pernyataan;

KK-Astronomi ITB

Page 4-8

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

F ( x, y, z)   = (r m ) = mr m1(r ) = mr m1[

r r r i j  k] x y z

x y z = mr m1[ i  j  k ] = mr m2 r r r r Jadi , F ( x, y, z )  mr m2 r Sebagai latihan coba anda selesaikan soal ini. Massa m bergerak dalam orbit lingkaran dengan kecepatan sudut  . Mengalami gaya sentrifugal F ( x, y, z )  m2 r . Tunjukan bahwa potensial  , akibat gaya F adalah ( x, y, z )  1 m2 ( x 2  y 2  z 2 ) , r  xi  y j  zk 2

Latihan 1. F ( x, y, z )  yzi  xz j  x( y  1)k . hitung kerja yang dilakukan olah F untuk memindahkan partikel disepanjang (0,0,0) , (1,1,1) , (-1,-1,-1). 2. Hitung kerja yang dilakukan F  x, y, z   y 2 i  z 2 j  x 2 k sepanjang kurva yang dibentuk oleh irisan bola x2  y 2  z 2  a 2 dengan silinder x 2  y 2  ax , z  0, a  0 lintasannya

[a3 / 4]

berlawanan arah dengan jarum jam bila dilihat dari atas bidang xy. 3. Integral

 ( x  y)ds

dimana C merupakan segitiga dengan vertex (0.0),(1,0) dan (0,1)

C

[ 2]

bergerak berlawanan arah dengan putaran jarum jam. 4.

Integral

 y ds 2

dimana C menyatakan lengkungan vektor;

C 





(t )  a(t  sin t ) i  a(1  cost) j , 0  t  2

5.

[

256a 3 ] 15

Integral  ( x 2  y 2 )ds dengan C menyatakan kurva berbentuk; C







(t )  a(cos t  t in t ) i  a(sin t  t cost) j , 0  t  2

6.

Integral

 zds

dengan C menyatakan kurva berbentuk;

C









(t )  t cos t i  t sin t j  t k , 0  t  t0

KK-Astronomi ITB

[ 2a3 (1  22 ) ]

 (2  t [

2 3/2 0

)

3

2 2

]

Page 4-9

Suryadi Siregar 4.3

Metode Matematika Astronomi 2

Teorema Green (George Green 1793-1841)

Misalkan P dan Q dua fungsi sembarang dengan dua variable, kontinyu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinyu, pada suatu daerah R di bidang . Daerah R ini di batasi oleh kurva C. Maka

 Q

P 

∮P  x, y  dx  Q  x, y  dy ∬ x  y  dA C

R

Simbol ∮berarti bahwa integral diambil satu C

kali putar pada lengkungan C dalam arah berlawanan putaran jarum jam.

Gambar 4- 4 Teorema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

Teorema: Jika R suatu daerah macam I atau II (kombinasi), maka luas daerah R tersebut adalah. 1 A  ∮x dy  y dx dengan C batas daerah R. 2 C Jika C dapat diuraikan menjadi

C1 , C2 , ..Ci , ..Cn maka ∮ ∮∮∮∮ c C C C C 1

2

3

n

Gambar 4- 5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian. Bukti:

y x Misal P  x, y    danQ  x, y   2 2 Dari Teorema Green

 Q

P 

1

1

∮P  x, y  dx  Q  x, y  dy ∬ x  y  dA ∬ 2  2  dA ∬dA C

R

R

R

Jadi x y 1 dy  dx ∬dA jadi A  ∮x dy  y dx ∮ 2 2 C C 2 R Contoh 1: Tentukan luas daerah yang terkurung oleh ellip

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2

Jawab :

KK-Astronomi ITB

Page 4-10

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2 Perhatikan

b 2 x 2  a 2 y 2  a 2b 2 Atau dapat ditulis sebagai; 2

2

 x  y     1 a b

Gambar 4- 6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar. Misal

 x  a cos t x  cos t   , 0  t  2 y  b sin t a 

Kita gunakan pernyataan A 

1 2

 xdy  ydx

C

jadi, karena x  acost  dx   asintdt dan y= bsint  dy = bcostdt Subsitusi pada kedua persamaan untuk mencari A 1 A   [acost bcost  absint sint ]dt 2C 2

A

2

1 1 ab cos 2t  sin 2t dt  ab  dt   ab satuan luas.  2 0 2 0

Contoh 2: Ditanya : Luas daerah R yang dibatasi lengkungan y  x3 dan y  x

1

2

Penyelesaian: Misal potongan kurva C1 : y  x1/2 dari (1,1) → (0,0) C2 : y  x3 dari (0,0) → (1,1)

C  C1  C2

Gambar 4- 7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva. Luas R : A 

1 2

1

1

 xdy  ydx  2  xdy  ydx  2  xdy  ydx

C

C1

C2

sepanjang

KK-Astronomi ITB

Page 4-11

Suryadi Siregar

1 21 x dx , jadi dapat ditulis untuk lengkungan ini 2

1

C1 : y  x 2  dy  xdy  ydx 

Metode Matematika Astronomi 2

1 1 12 1 1 x dx  x 2 dx   x 2 dx 2 2

C2 : y  x3  dy  3x2 dx jadi 0

Jadi A 

4.4

xdy  ydx  3x3dx  x3dx  2 x3dx

1

1 1 12 1 (  x )dx   2 x3dx  5 /12 satuan luas  21 2 20

Theorema Green dalam bentuk vektor 





Jika F  F1 i  F2 j

dalam hal ini F1 dan F2 menyatakan vector dalam arah sumbu x

dan sumbu y maka  F2

  x R





F1   dxdy  y  



  F dx  F dy  1

(Skalar)

2

c





  Curl F  dxdy   F d r R

(vektor)

c





i   Dalam hal ini Curl F  x F1

j  y F2









k  , dalam tiga dimensi (3D) z F3



F  F1 i  F2 j  F3 k

Catatan :  V V V DivV  1  2  3 x y z Atau



















dengan i  j  k  1 dan i  i  j  j  k  k  1

             V   i  j  k    V1 i  V2 j  V3 k  y z     x

 f  f  f   Gradf   i  j k  y z   x Div  Gradf  

2 f 2 f 2 f  2  2  2 f 2 x y z 

Curl  Gradf   O

KK-Astronomi ITB

Page 4-12

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2





Ingat : DivV menghasilkan skalar sedangkan Grad V menghasilkan vektor.

4.5 1.

Soal Latihan Buktikan bahwa luas daerah yang dibentuk oleh lengkungan tertutup c dapat juga dicari 1 dengan koordinat polar A   r 2 d  . Selanjutnya tentukan luas daerah berikut bila dia 2c dibatasi

a)

r  a 1  Cos dimana 0    2

Oleh kardioid :



[



b) Oleh Cycloid : r  a  t  sin t  i  a  t  cos t  j dengan 0  t  2 

2.

Selesaikan integral



3 2 a ] 2

[ 3a 2 ]



 F (r ) dr sepanjang lengkungan C apabila F c



a)





F  3x 2 i  4 xy j dengan C adalah suatu empat persegi panjang dengan syarat; 0  x  4 dan 0  y  1 





b)

2 2 F  y i  x j dengan C adalah suatu elips; x  9 y  9

c)

2 2 F  y 3 i  x3 j dengan C adalah suatu lingkaran ; x  y  1





[-8]



KK-Astronomi ITB

Page 4-13

Suryadi Siregar

Metode Matematika Astronomi 2

Daftar Isi Bab 4 .......................................................................................................................................... 1 Integral Garis dan Teorema Green ............................................................................................. 1 4.1

Integral Garis ................................................................................................................ 1

4.2

Sifat Integral Garis ......................................................................................................... 1

4.3

Teorema Green (George Green 1793-1841) ................................................................ 10

4.4

Theorema Green dalam bentuk vektor .......................................................................... 12

4.5

Soal Latihan .................................................................................................................. 13

Daftar Gambar Gambar 4- 1 Lengkungan C dipilah-pilah menjadi lengkungan C1, C2, …..,Cm ...................... 1 Gambar 4- 2 Contoh lengkungan tertutup. ................................................................................ 2 Gambar 4- 3 Lintasan sepanjang perpotongan bidang datar dan kulit bola. .............................. 7 Gambar 4- 4 Terema Green pada lengkungan tertutup integrasi dilakukan berlawanan dengan arah putaran jarum jam ............................................................................................................ 10 Gambar 4- 5 Integral sepanjang lengkungan dapat dilakukan bagian demi bagian. ............... 10 Gambar 4- 6 Menghitung luas elips dengan cara mengubah koordinat kartesis ke koordinat polar. ........................................................................................................................................ 11 Gambar 4- 7 Luas daerah yang diapit oleh dua kurva ............................................................ 11

KK-Astronomi ITB

Page 4-14