Suatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi

Suatu Metode Numerik Untuk Komputasi Perembesan Air Ke Dalam Tanah Pada Sistim Irigasi Moh. Ivan Azis∗

Abstrak Suatu metode numerik ditemukan untuk menghitung kandungan air dalam tanah pada suatu sistim irigasi dimana volume air yang ditumpahkan diketahui. Teorinya didasarkan pada suatu asumsi bahwa kofisien konduksivitas hydrolik merupakan suatu fungsi eksponensial dari besaran kandungan air dalam tanah itu sendiri. Untuk kasus kasus tertentu hasil komputasi yang diperoleh dapat dibandingkan dengan hasil yang telah ditemukan sebelumnya oleh Batu [2], dan Warrick dan Loman [13].

1

Pendahuluan

Sejumlah ilmuwan (Philip [7],[8],[9], Wooding [14], Raats [10],[11], Zachmann dan Thomas [15], dan Batu [3]) telah berhasil menemukan solusi tunak (steady) untuk masalah perembesan air ke dalam tanah dari suatu sumber air berupa titik, garis dan areal pada permukaan tanah. Juga Warrick [12], Lomen dan Warrick [6] telah menemukan solusi untuk untuk masalah yang sama, dari sumber berupa titik, garis, bidang dan lingkaran. Untuk perembesan tunak dari suatu saluran berupa selokan/parit Batu [3] telah memperlihatkan hasil analitik dan eksperimental. Kajian di tulisan ini menggunakan metode persamaan integral untuk mencari solusi tunak masalah perembesan air ke dalam tanah dari suatu sumber berbentuk selokan/parit (ditch). Seperti hal dalam Batu [2] analisis didasarkan pada linearisasi, seperti yang diajukan oleh Gardner [5], dari persamaan aliran yang dituliskan dalam variabel kandungan air. Hasil kajian dapat diterapkan untuk penaksiran volume kandungan air dalam tanah untuk sistim irigasi selokan/parit (furrow) yang masih cukup populer di Indonesia.

2

Definisi masalah

Merujuk pada kerangka Cartesian OXY Z perhatikan penampang tanah isotropik dalam daerah Z > 0 dimana OZ mengarah ke bawah secara vertikal, dengan sumber air periodik masing-masing berbentuk saluran. Permukaan tanah terletak pada ∗

Jurusan Matematika Universitas Hasanuddin, Indonesia. mailto:[email protected]

1

X

permukaan tanah

2L

Y

Z

2D

Gambar 1: Sumber air periodik

bidang Z = 0 dan penampang tanah tersebut dianggap simetris pada bidang X = 0 (lihat Gambar 1). Setiap saluran memiliki luas permukaan 2L per satuan panjang dalam arah OY . Sedangkan jarak antara titik-titik ujung suatu saluran adalah 2D. Diasumsikan bahwa “water table” berlokasi pada kedalaman tak-terhingga dan setiap saluran terisi air. Dikehendaki untuk mengetahui potensial flux matrik Θ(X, Z) dalam tanah dalam daerah Z > 0.

3

Persamaan pembangun

Hubungan antara konduksivitas hydrolik K(h) (berdimensi panjang per waktu) dari tanah tak-jenuh (unsaturated soil) dan konduksivitas hydrolik Ks dari tanah jenuh (saturated soil) dapat dituliskan sebagai (lihat Gardner [5]) K(h) = Ks exp(αh),

(1)

dimana h (berdimensi panjang) adalah potensial air tanah dan α (berdimensi panjang −1 ) adalah suatu konstanta empiris. Potensial flux matrik Θ (berdimensi panjang 2 per waktu) dihubungkan dengan konduksivitas hydrolik oleh persamaan Z h Θ= K(q) dq = α−1 K(h). (2) −∞

Bentuk linear dari persamaan perembesan tunak adalah ∂ 2Θ ∂ 2Θ ∂Θ + =α . 2 2 ∂X ∂Z ∂Z Komponen flux matrik ke arah horizontal dan vertikal adalah U =− 2

∂Θ , ∂X

(3)

(4)

∂Θ . (5) ∂Z Flux matrik normal pada permukaan tanah dengan vektor normal mengarah ke luar n = (n1 , n2 ) diberikan oleh V = αΘ −

F =−

∂Θ ∂Θ n1 + (αΘ − )n2 . ∂X ∂Z

(6)

Definisikan peubah-peubah tanpa dimensi sebagai berikut θ=

1 Θ, v0 L

x=

α X, 2

z=

α Z, 2

2 2 2 U, v = V, f = F, v0 αL v0 αL v0 αL dimana v0 adalah suatu flux rujukan. Dinyatakan dalam peubah-peubah tanpa dimensi ini, persamaan (3) sampai (6) dapat ditulis sebagai ∂ 2θ ∂ 2θ ∂θ + 2 =2 , (7) 2 ∂x ∂z ∂z ∂θ u=− , (8) ∂x ∂θ v = 2θ − , (9) ∂z ∂θ ∂θ (10) f = − n1 + (2θ − )n2 . ∂x ∂z Transformasi θ = exp (z)Ψ (11) u=

merubah persamaan (7) ke persamaan ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ + − Ψ = 0. ∂x2 ∂z 2

(12)

Juga persamaan (8) sampai (10) berubah menjadi u = − exp (z)

∂Ψ , ∂x

v = exp (z)(Ψ −

∂Ψ ), ∂z

·

∂Ψ ∂Ψ f = − exp (z) n1 − (Ψ − )n2 ∂x ∂z · ¸ ∂Ψ = − exp (z) − Ψn2 . ∂n Sehingga

∂Ψ = Ψn2 − e−z f. ∂n 3

(13) (14) ¸

(15)

(16)

Karena kesimetrian dari masalah maka tidak akan ada aliran air menembus bidang X = 0, ±D, ±2D, . . .. Sehingga masalahnya hanya perlu diselesaikan di daerah terarsir yang diperlihatkan pada Gambar 1 dengan syarat batas sebagai berikut. Syarat batas untuk permukaan tanah di luar daerah saluran adalah bahwa tidak ada aliran air (yaitu F = 0) menembus daerah permukaan ini sehingga dari persamaan (15) syarat batas pada bagian dari daerah terarsir ini adalah Ψ−

∂Ψ =0 ∂z

(17)

Syarat batas sepanjang permukaan saluran adalah bahwa aliran normal yang diketahui, yakni · ¸ ∂Ψ ∂Ψ − n1 − (Ψ − )n2 = exp(−z)f0 (x, z) untuk (x, z) ² ∂Ω1 . (18) ∂x ∂z dimana ∂Ω1 melambangkan batas dari saluran di daerah terarsir pada Gambar 1 dan f0 (x, z) diketahui. Juga, syarat batas bahwa tak ada aliran yang menembus garis batas X = 0 dan X = −D dari daerah terarsir menghasilkan syarat batas ∂Θ =0 ∂x

untuk

0 ≤ z ≤ ∞ dan

x=0

dan

x = −αD/2.

Terakhir untuk 0 ≥ x ≥ −αD/2 dan z = ∞ ∂Θ/∂X = 0 dan ∂Θ/∂Z = 0.

4

Persamaan integral batas

Persamaan integral batas untuk persamaan (12) diberikan oleh ¸ Z · ∂Ψ 0 ∂φ0 λΨ(a, b) = − φ − Ψ dS, ∂n ∂Ω ∂n

(19)

dimana n= (n1 , n2 ) adalah vektor normal mengarah ke luar dari batas Ω (dimana Ω menandakan daerah terarsir pada Gambar 1), λ = 1 bila (a, b) ∈ Ω dan λ = 1/2 bila (a, b) ∈ ∂Ω (batas dari Ω) dan ∂Ω memiliki kemiringan berubah secara kontinyu. Untuk persamaan (12), φ0 dalam persamaan (19) diberikan oleh φ0 (x, z) = − 1

1 (1) K (r). 2π 0

(20)

(1)

dimana r = ((x − a)2 + (z − b)2 ) 2 dan K0 adalah fungsi Bessel termodifikasi. Substitusi (16) ke dalam (19) menghasilkan ¸ Z · Z ∂φ0 0 λΨ(a, b) = − φ n2 − Ψ dS + f e−z φ0 dS. ∂n ∂Ω ∂Ω

4

(21)

2L Vo

X soil surface

Y

Z

Gambar 2: Sumber air berbentuk bidang datar

5

Komputasi

Persamaan integral batas (21) dengan syarat batas seperti diberikan pada akhir Pasal 3 di atas, dapat digunakan untuk menentukan nilai potensial flux matrik untuk berbagai macam bentuk geometri dari saluran. Pada pasal ini hasil numerik potensial flux matrik akan ditentukan untuk kasus pada saat bentuk geometri saluran berupa suatu bidang datar, setengah lingkaran dan setengah persegi panjang (lihat Gambar 2, 3 dan 4). Untuk setiap kasus nilai numerik dari potensial flux matrik sepanjang garis x = k untuk beberapa nilai k diperlihatkan dalam bentuk grafik pada Gambar 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Untuk memperoleh nilai numerik ini dari persamaan (21) metode element batas digunakan (lihat misalnya Clements [4]). Batas domain dibagi menjadi beberapa segment sehingga integral dalam persamaan (21) dapat dituliskan dalam suatu jumlahan; dan karenanya integral dalam (21) dapat dituliskan sebagai suatu sistim persamaan aljabar linear untuk fungsi tak diketahui Ψ(a, b). Jumlah segment ditingkatkan sampai kekonvergenan hasil numerik dari nilai fungsi Ψ(a, b) tercapai (ke empat tempat desimal). Untuk mencapai level kekonvergenan ini daerah terarsir dalam Gambar 1 berada di antara bidang z = 0 dan z = 4 dan batas atau tepinya dibagi atas 1100 segment. Nilai numerik yang diperlihatkan dalam Gambar 5–10 untuk potensial flux matrik mengindikasikan secara jelas pengaruh keragaman ketiga bentuk geometri dari sumber air. Perlu dicatat bahwa untuk setiap kasus bentuk geometri sumber air, luas permukaan sumber air adalah sama sehingga volume air per satuan waktu yang merembes ke dalam tanah pun sama. Hasil yang diperoleh memperlihatkan potensial flux matrik tidak berubah secara signifikan dengan penggantian bentuk geometri sumber air dari bidang datar (Gam5

0.06

-0.06

0.5

-0.5

X

Y

Z

Gambar 3: Sumber air setengah lingkaran

0.5

0.1

-0.1

-0.5

X 0.1

0.1 impermeable layer

Y

Z

Gambar 4: Sumber air setengah persegi panjang

6

4.2

flat semi-circular rectangular

4 3.8

Φ 3.6 3.4 3.2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

z Gambar 5: Nilai Φ sepanjang garis x = 0.15

3.2 3.1

flat semi-circular rectangular

3 2.9

Φ 2.8 2.7 2.6 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z Gambar 6: Nilai Φ sepanjang garis x = 0.25

7

1.2

3.2 3.1

flat semi-circular rectangular

3 2.9 2.8

Φ 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

z Gambar 7: Nilai Φ sepanjang garis x = 0.35

3.2 3

flat semi-circular rectangular

2.8

Φ 2.6 2.4 2.2 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z Gambar 8: Nilai Φ sepanjang garis x = 0.40

8

1.2

3.2 3

flat semi-circular rectangular

2.8

Φ 2.6 2.4 2.2 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

z Gambar 9: Nilai Φ sepanjang garis tepi x = 0.50

5.5

flat semi-circular rectangular

5 4.5 4

Φ 3.5 3 2.5 2 1.5

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

x Gambar 10: Nilai Φ sepanjang permukaan tanah z = 0

9

bar 2) ke setengah lingkaran (Gambar 3). Sebaliknya, penggantian sumber air dari bidang datar ke saluran setengah persegi panjang dengan dasar yang diasumsikan tak permeabel (Gambar 4) memperlihatkan peningkatan nilai potensial flux matrik secara substansial. Ini khususnya benar dekat permukaan z = 0 dimana biasanya akar tanaman berada.

6

Konklusi

Suatu metode elemen batas telah diperoleh untuk solusi dari suatu kelas masalah tentang perembesan air dari suatu barisan saluran periodik. Metode ini telah digunakan untuk membandingkan keefektifan beberapa profil saluran tertentu dengan cara penentuan distribusi potensial flux matrik untuk saluran yang dipertimbangkan.

References [1] H. A. Basha. Multidimensional Steady Infiltration With Prescribed Boundary Conditions At The Soil Surface. Water Resources Research, 30:2105–2118, 1994. [2] V. Batu. Steady Infiltration From Single And Periodic Strip Sources. Soil Science Society of America Journal, 42:545–549, 1978. [3] V. Batu. Steady Infiltration From a Ditch : Theory and Experiment. Soil Science Society of America Journal, 41:677–682, 1977. [4] D. L. Clements. Boundary Value Problems Governed By Second Order Elliptic Systems. Pitman, New York, 1990. [5] W. R. Gardner. Some Steady State Solutions of the Unsaturated Moisture Flow Equation With Application to Evaporation From a Water Tabel. Soil Science, 85:228–232, 1958. [6] D. O. Lomen and A. W. Warrick. Time Dependent Linearized Infiltration. II. Line Sources. Soil Science Society of America Proceedings, 38:568–572, 1974. [7] J. R. Philip. Theory of Infiltration. Adv. Hydrosci., 5:215–296, 1971. [8] J. R. Philip. General Theorem on Steady Infiltration from Surface Sources with Application to Point and Line Sources. Soil Science Society of America Proceedings, 35:867–871, 1971. [9] J. R. Philip. Steady Infiltration From Burried Point Sources and Spherical Cavities. Water Resources Research, 4:1039–1047, 1968. [10] P. A. C. Raats. Steady Infiltration from Point Sources, Cavities and Basins. Soil Science Society of America Proceedings, 35:689–694, 1971. [11] P. A. C. Raats. Steady Infiltration from Line Sources and Furrows. Soil Science Society of America Proceedings, 34:709–714, 1970. 10

[12] A. W. Warrick. Time-dependent Linearized Infiltration: I. Point Sources. Soil Science Society of America Proceedings, 38:383–386, 1974. [13] A. W. Warrick and D. O. Lomen. Time-dependent Linearized Infiltration: III Strip and Disk Sources. Soil Science Society of America Journal, 40:639–643, 1976. [14] R. A. Wooding. Steady Infiltration From Shallow Circular Pond. Water Resour. Res., 4:1259–1273, 1968. [15] D. W. Zachman and A. W. Thomas. A Mathematical Investigation of Steady Infiltration from Line Sources. Soil Science Society of America Proceedings, 37:495– 500, 1973.

11