STUDY OF WAVE PROPAGATION IN A VIBRATING DRUMHEAD MEDIA Widyaningsih, Arif Hidayat, Hari Wisodo Jurusan FMIPA Universitas Negeri Malang Email :
[email protected] ABSTRACT : Has been conducted research study of wave propagation in a vibrating drumhead media based wave spherical equation. The physical phenomenon of a vibrating drumhead can be accurately modeled by use of the two-dimensional wave equation. Solving this model makes it possible to predict the natural frequencies at which the fundamental mode and subsequent modes of vibration appear. To complete this two dimensional wave equation can be visualized using wolfram’s program mathematica 7. This research was conducted to determine the propagation of wave that occur in the vibrating drumhead media. To know the wave happens in membrane drumhead using a drum, driven by a subwoofer, amplifier, sand and signal generator the modes of vibration were successfully reproduced and were found to match the predicted modes of vibration. Terms of waves is with connected amplifier to signal generator to set the frequency. In this case the distance between the amplifier with drumhead should remain so that value of the constant will be incurred for all modes. The vibration of the amplifier will be the effect of sand placed on the drumhead membrane and wollform to see a waves. The next step is frequency variations to mode m=0 and n=1 until the last mode m=2, n=2. The mode number is designated as (0,1) since there are no nodal diameters, but one circlular node (the outside edge). Remember that a node is a point (or line) on a structure that does not move while the rest of the structure is vibrating, the frequency of the (0,1) mode is 82 Hz. The (1,2) mode has one nodal diameter and two nodal circles. The frequency of the (1,2) mode is 230 Hz. The (1,2) mode does not radiate sound very effectively. It has somewhat of a quadrupole type behavior. Thus, the (1,2) mode takes a relatively long time to decay. However, this mode doesn't seem to play a dominant role in the musical tone quality of a drum. Keywords: Wave Propagation, Vibrating Drumhead, Bessel Function PENDAHULUAN Telah banyak dibahas beberapa gejala yang terjadi jika sebuah gelombang melewati sebuah medium baik satu dimensi maupun dalam bentuk dua dimensi. Untuk kasus satu dimensi misal perambatan gelombang pada media tali ataupun kawat, sedangkan untuk kasus dua dimensi yang sering banyak di bahas yakni mengenai perambatan gelombang air laut dll. Namun kali ini penulis ingin mengkaji fenomena fisik drumhead bergetar yang belum banyak orang ketahui. Fenomena drumhead bergetar dapat secara akurat dimodelkan dengan menggunakan persamaan gelombang dua dimensi. Dengan mempelajari model ini menjadikan mungkin untuk memprediksi
frekuensi yang mendasari mode -mode getaran yang muncul. Penelitian tentang fenomena drumhead bergetar ini sebelumnya pernah di lakukan oleh Matt Brozak (2008) yang di dalam penelitiannya tersebut lebih fokus kepada ralat perbandingan hasil percobaan dengan ralat hasil teori. Untuk penulisan kali ini penulis ingin lebih luas membahas tentang bentuk visualisasi dan pengaruh frekuensi terhadap mode-mode gelombang pada media drumhead tersebut. Pada waktu sebuah drum diberikan gangguan, misal dengan memukulnya menggunakan stick atau dihubungkan dengan Audio Frekuensi Generator dan mengatur frekuensi nya, maka gangguan tersebut merambat sepanjang 1
drumstick dan ahirnya akan terasa pada bagian yang lain dan terdengarlah bunyi. Bunyi-bunyi tersebut disalurkan diteruskan oleh udara disekelilingnya. Penting untuk dipahami apa yang dirambatkan sebagai gelombang pada gerak gelombang. Menurut Marcelo Alonso (1992:232) pada umumnya yang merambatkan adalah gangguan fisik yang dibangkitkan pada tempat tersebut, sebagai konsekuensi sifat gejalanya, keadaan itu dapat diteruskan ke tempat-tempat lain. Jadi bukanlah zat yang merambat, tetapi keadaan gerak dari zat tersebut yang dipindahkan. Pada beberapa kejadian, suatu gelombang merambat atas suatu permukaan seperti membran atau permukaan bebas. Kalau suatu gangguan ditimbulkan pada titik tertentu suatu permukaan, maka gangguan itu merambat pada semua arah sepanjang permukaan dengan kecepatan sama, hasilnya ialah suatu deret gelombang sirkular. Gelombang dua dimensi hanya memerlukan dua koordinat ruang untuk melukiskannya. Bila yang dibahas adalah sebuah gelombang yang merambat hanya dalam satu arah saja, maka digunakan gelombang berdiri dalam satu dimensi. Namun ketika sebuah drumhead digetarkan, maka akan terbentuk gelombang yang melingkar di permukaan drumhead, gelombang yang terlihat pada permukaan drumhead tersebut adalah gelombang 2 dimensi. Jadi pada penulisan kali ini penulis akan membahas tentang gelombang 2 dimensi mengingat gelombang dua dimensi hanya yang bergetar serta fungsi Bessel akan dikaji lebih lanjut secara khusus untuk menganalisis sejauh mana masalah-masalah tersebut dapat dipecahkan. Untuk hal ini penulis membuat judul“Studi Perambatan Gelombang pada Media Drumhead yang Bergetar”.
memerlukan dua koordinat ruang untuk melukiskannya. Media yang digunakan untuk perambatan gelombang kali ini adalah media drumhead. Tidak banyak yang tahu bahwa alat musik drumhead apabila diberikan getaran, baik dipukul ataupun ditabuh mempunyai gelombang yang bervariasi. Menurut Chick Evans(1956:20) “Drumhead adalah sebuah alat musik yang berbentuk lingkaran yang apabila di getarkan akan menimbulkan suara dan gelombang yang tidak terlihat oleh mata”. Keras atau lambatnya suara dan gelombang yang dihasilkan tergantung kepada kecepatan penggetarnya. Gelombang yang dihasilkan dari sebuah drumhead yang bergetar sangat bervariasi. Maka dari itu penulis ingin meneliti tentang bentukbentuk gelombang yang terjadi pada drumhead tersebut, karena sampai saat ini perambatan gelombang yang sering diketahui hanya pada media tali, kawat, air, senar gitar dll. Penelitian sebelumnya, Matt Brozak (2008) melakukan analisis pada mode-mode gelombang pada penelitian tersebut, dikemukakan perbandingan ralat frekuensi hasil teori dan perbandingan ralat frekuensi hasil percobaan. Pada penelitian ini dipresentasikan visualisasi hasil studi teori sekaligus visualisasi hasil eksperimen. Pola gelombang yang dihasilkan merupakan pola yang di buat dengan menggunakan visualisasi dari program Wolfram Mathematica 7 dengan menggunakan fungsi Bessel. Berdasarkan uraian di atas, pembahasan masalah perambatan gelombang, drumhead bergetar. Sedangkan untuk percobaan digunakan set percobaan berupa drumhead, speaker, alat statip dan media berupa butiran pasir yang lembut. Diagram Alur Penelitian 1. Metode Visualisasi Hasil kajian analitis diterapkan pada pola perambatan gelombang pada membrane drumhead untuk menentukan mode-mode dalam perambatanya. Adapun langkah-langkah metode visualisasi dalam memperoleh deskripsi studi perambatan gelombang dalam media drumhead yang bergetar, hal yang pertama dilakukan yakni mengekspresikan persamaan laplacian ∇2ke dalam koordinat bola r , , , kemudian
METODE EKSPERIMEN A. Metode Penelitian Pada bab ini akan dibahas tentang metode penelitian yang akan digunakan pada pola perambatan Drumhead. Metode yang digunakan pada penelitian kali ini menggunakan metode visualisasi dan metode eksperimen. Metode visualisasi menggunakan program wolfram mathematica, yakni dengan memasukkan fungsi Bessel kedalam persamaan drumhead yang 2
persamaan tersebut di substitusikan ke fungsi Bessel jenis pertama dan jenis kedua. Selanjutnya setelah menemukan persamaan secara umum untuk drumhead yang bergetar, langkah selanjutnya yakni mengolah persamaan ke dalam program wolfram mathematica dengan pola animasi 3D, maka akan terbentuklah pola dalam bentuk 3 dimensi. Berikut adalah diagram alur penelitian pemisahan variabel pada koordinat bola menggunakan fungsi Bessel pada medium drumhead yang bergetar
Adapun prosedur eksperimen pada drumhead yang bergetar akan dijelaskan pada gambar di bawah ini: Drumhead
Statip
Speaker
AFG
Menentukan persamaan gelombang untuk koordinat bola
Gambar 3.2 Gambar Set-Up eksperimen pada drumhead
Prosedur untuk melakukan percobaan pada drumhead gambar 3.2 adalah sebagai berikut: Drumhead yang berdiameter 14 cm tersebut dipasang pada sebuah statip, yang ujungnya dikaitkan pada drumhead. Lalu diatas membrane drumhead tersebut diberikan butiran pasir halus yang digunakan untuk mengetahui gelombang yang terbentuk ketika drumhead digetarkan. Kemudian untuk menimbulkan getaran dibawah drumhead,diberikan alat penggetar berupa speaker yang berukuran 6 inchi yang di hubungkan ke AFG. AFG ini berfungsi sebagai pengatur frekuensi sehingga dapat mengetahui mode-mode gelombang yang terjadi pada membrane drumhead tersebut.
Mensubstitusikan persamaan gelombang bola kedalam fungsi Bessel
Mensubstitusikan fungsi Bessel kedalam persamaan drumhead yang bergetar
Penerapan mode pada drumhead yang bergetar
Hasil dan Deskripsi Hasil Visualisasi Program Wolfram Mathematica 7
HASIL DAN PEMBAHASAN A. Visualisasi Perambatan Gelombang pada Media Drumhead 1. Visualisasi Perambatan Gelombang untuk mode m=0 dan n= 1,2,3 Persamaan yang digunakan pada persamaan koordinat bla yakni sebagai berikut :
Gambar 3.1 Diagram alur penelitian pada drumhead dengan menggunakan fungsi Bessel
2. Eksperimen Drumhead 2.1 Alat dan Bahan Alat dan bahan yang digunakan pada eksperimen drumhead yang bergetar adalah: a. Drumhead dengan diameter 14 cm. b. Speaker dengan ukuran 6 inchi. c. Statip. d. AFG (Audi Frekuensi Generator). e. Pasir pantai atau bedak. a. Prosedur Eksperimen
umn (r, , t ) ( A cos cmnt B sin cm,nt ) J m (m,n r )(C cos m D sin m )
merupakan solusi perambatan gelombang pada media Drumhead. Untuk memudahkan pembahasan, penulis menggunakan program Mathematica. Berikut ini adalah hasil visualisasi dari percobaan drumhead yang bergetar dengan menggunakan program wolfram mathematica:
3
Gambar 4.1
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Gambar4.2
Gambar 4.6 Gambar 4.3
Keterangan gambar : Gambar 4.4: Visualisasi gelombang mode (1,1) Gambar 4.5: Visualisasi gelombang mode (1,2) Gambar 4.6: Visualisasi gelombang mode (1,3)
Keterangan gambar : Gambar 4.1: Visualisasi gelombang mode (0,1) Gambar 4.2: Visualisasi gelombang mode (0,2) Gambar 4.3: Visualisasi gelombang mode (0,3)
2. Visualisasi Perambatan Gelombang untuk mode m=1 dan n= 1,2,3
4
3. Visualisasi Perambatan Gelombang untuk mode m=2 dan n= 1,2
Gambar 4.10
Gambar 4.7
Gambar 4.11 Keterangan Gambar : Gambar 4.9 :Hasil Eksperimen gelombang mode (0,1) Gambar 4.10: Hasil Eksperimen gelombang mode (0,2) Gambar 4.11: Hasil Eksperimen gelombang mode (0,3)
2. Hasil Eksperimen Perambatan Gelombang untuk mode m=1 dan n= 1,2,3
Gambar 4.8
Gambar 4.12:
Keterangan Gambar : Gambar 4.7:Visualisasi gelombang mode (2,1) Gambar 4.8:Visualisasi gelombang mode (2,2)
B. Hasil Eksperimen Perambatan Gelombang pada Media Drumhead 1. Hasil Eksperimen Perambatan Gelombang untuk mode m=0 dan n= 1,2,3 Gambar 4.9
Gambar 4.13
5
C. Perbandingan Hasil Eksperimen dengan Visualisasi Perambatan Gelombang pada Media Drumhead 1. Perbandingan hasil eksperimen dengan visualisasi gelombang 3D mode m=0 dan n= 1,2,3 Bagian (a) dan pada gambar (b) dibawah ini merupakan perbandingan hasil eksperimen dan hasil visualisasi pola perambatan gelombang tiga dimensi pada media Drumhead untuk mode (m,n). Dari hasil eksperimen diperoleh hasil yang sama dengan visualisasi dari teori drumhead yang bergetar. Pada halaman selanjutnya akan diberikan perbandingan hasil eksperimen dengan visualisasi hasil teori.
Gambar 4.14
Keterangan Gambar : Gambar 4.12 :Hasil Eksperimen gelombang mode (1,1) Gambar 4.13: Hasil Eksperimen gelombang mode (1,2) Gambar 4.14: Hasil Eksperimen gelombang mode (1,3)
Gambar a.1
n=1 3.
Hasil Eksperimen Perambatan Gelombang untuk mode m=2 dan n= 1,2 Gambar 4.15
Gambar:b.2
n=1 Gambar 4.16
Keterangan Gambar : Gambar a.1 :Visualisasi gelombang mode (0,1) Gambar b.2: Hasil Eksperimen gelombang mode (0,1)
Keterangan Gambar : Gambar 4.15 :Hasil Eksperimen gelombang mode (2,1) Gambar 4.16: Hasil Eksperimen gelombang mode (2,2)
6
Gambar b.2
n=1 n=2 n=3
Gambar a.1
n=2
n=1
Keterangan Gambar : Gambar a.1 :Visualisasi gelombang mode (0,3) Gambar b.2: Hasil Eksperimen gelombang mode (0,3)
Gambar b.2
Dari gambar terlihat bahwa hasil dari percobaan sama dengan visualisasi yang terbentuk dari perumusan teori, pada percobaan tersebut pasir putih yang diletakkan diatas membrane drumhead diatas membentuk gelombang-gelombang yang menunjukkan adanya mode bentuk dasar untuk membran melingkar yang bergetar. Jumlah mode di simbolkan dengan (m,n), dimana m menunjukkan jumlah simpul radial dan n menunjukkan jumlah simpul melingkar. Untuk gambar diatas tidak terdapat simpul radial (m) namun terdapat satu simpul lingkaran (tepi luar). Untuk mode (0,1) yang terdapat pada gambar (a,1) terlihat bahwa pasir membentuk gelombang dengan mengumpul dibagian tengah dan mempunyai plot yang mempunyai puncak tunggal, yakni hanya membentuk setengah gelombang. Frekuensi untuk mode (0,1) yaitu sebesar 82 Hz. Gambar selanjutnya yakni gambar (a.2), gambar tersebut menjelaskan hasil eksperimen untuk gelombang yang mempunyai 2 bentuk gelombang melingkar, gelombang tersebut terbentuk pada frekuensi 112 Hz. Pada gambar (b,2) juga terlihat bahwa terbentuk 2 gelombang melingkar, yakni terdapat 1 puncak gelombang dan 1 lembah. Mode (0,2) berarti bahwa pada gambar tidak ada simpul radial (m) dan terdapat 2 simpul melingkar. Namun ketika frekuensi menunjukkan angka 180 Hz, gelombang pada drumhead membentuk mode (0,3). Pada gambar (a,3) dapat dilihat bahwa pasir yang diletakkan diatas membrane drumhead membentuk 3 gelombang melingkar, yakni terdapat Satu setengah
n=2
n=1
Keterangan Gambar : Gambar a.1 :Visualisasi gelombang mode (0,2) Gambar b.2: Hasil Eksperimen gelombang mode (0,2)
Gambar a.1
n=3
n=1
n=2
7
Tabel 4.1: Tabel informasi Ketentuan Fungsi Bessel mode f0,1 – f2,3
gelombang, yaitu 1 puncak gelombang, 1 bukit dan 1 lagi puncak yang mengitari bukit ke dua, hal tersebut sesuai dengan hasil visualisasi yang ditunjukkan pada gambar (b,3).
D. Pengaruh Frekuensi Terhadap Modemode Gelombang Pada Media Drumhead yang Bergetar. Pada saat melakukan percobaan tidak semua frekuensi dapat membentuk gelombang pada rumhead yang bergetar. Hal tersebut sangat bergantung kepada jenis alat dan bahan yang digunakan. Pada percobaan yang telah dilakukan drumhead yang digunakan mempunyai membrane yang terbuat dari plastik mylamin dan mempunyai diameter sebesar 14 cm dan pasir yang digunakan adalah pasir pantai. Jika drumhead terbuat dari bahan berkulit tebal atau berkayu frekuensi yang diperlukan untuk membentuk gelombang pada membrane drumhead pun akan berbeda lagi. Seperti halnya pada mode (0,1) frekuensi yang diperlukan untuk menggerakkan pasir diatas membrane drumhead agar membentuk gelombang yakni sebesar 82 Hz, jika rentang frekuensi yang diatur antara 82-90 Hz maka mode yang di inginkan tidak akan muncul, karena memang frekuensi sangat bergantung dengan diameter dan jenis drumhead yang digunakan. Berikut ini merupakan tabel frekuensi yang diperoleh dengan menggunakan fungsi Bessel, dimana drumhead yang digunakan mempunyai diameter sebesar 14 cm. Dimana informasi tentang nilai fungsi Bessel dan perhitungan frekuensi akan ditampilkan pada tabel berikut: J m, n c f m, n 2a
f0,1
1.0 f0,1
f1,1
1.593 f0,1
f2,1
2.135 f0,1
f0,2
2.295 f0,1 f1,2
2.917 f0,1
f2,2
3.500 f0,1
f0,3
3.598 f0,1 f1,3
4.23 f0,1
f2,3
4.832 f0,1
Setelah dilakukan perhitungan sesuai dengan informasi ketentuan Fungsi Bessel di atas, maka frekuensi yang di peroleh ketika eksperimen adalah: Tabel 4.2: Tabel frekuensi dengan mode f0,1 – f2,3
Mode f0,1 f0,2 f0,3 f1,1 f1,2 f1,3 f2,1 f2,2 f 82 112 180 161,5 230 325 362 432 Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Tabel 4.2 tersebut menjelaskan bahwa jumlah frekuensi berpengaruh terhadap jumlah mode. Misalnya pada mode (2,2), pada mode tersebut 2 gelombang membentuk puncak gelombang dan 2 gelombang membentuk lingkaran di tepi drumhead. Jika frekuensi yang dihasikan semakin besar maka panjang gelombang yang ditimbulkan akan mengecil dan membentuk gelombang semakin banyak. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan untuk perambatan gelombang pada media drumhead yang bergetar, maka dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Hasil pola yang terbentuk pada drumhead merupakan gelombang yang timbul ketika drum tersebut diberi penggetar berupa AFG. Gelombang tersebut membentuk puncak gelombang dan simpul lingkaran dibagian tepinya. Untuk gelombang yang terbentuk pertama kali dimulai dengan frekuensi 82 Hz, dimana pada frekuensi tersebut butiran pasir diatas membrane drumhead mengumpul dibagian tengah dan membentuk puncak 8
gelombang. Selanjutnya pada frekuensi 112 Hz, terbentuk 2 gelombang yang melingkar dibagian tepi, hingga frekuensi yang di dapat yakni 161,5 Hz, 180 Hz, 230 Hz dan seterusnya. Frekuensi yang dihasilkan sangat bergantung terhadap ukuran, jenis dan bahan yang digunakan untuk percobaan. Untuk pola yang terjadi pada drumhead yang bergetar dengan mode (0,1) diperoleh visualisasi berbentuk gelombang yang mempunyai puncak tunggal. Selanjutnya mode (0,2) diperoleh visualisasi yang tidak memiliki simpul radial, namun memiliki 2 simpul lingkaran di tepi luarnya, begitu sampai mode seterusnya. Pasangan nomor disetiap pola menunjukkan jumlah simpul radial dan simpul lingkaran atau biasa ditulis dengan symbol (m,n).
http://mathworld.wolfram.com/BesselFun ctionoftheFirstKind.html Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the Second Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFun ctionoftheSecondKind.html Eric W. Weisstein. "Bessel Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BesselFun ction.html Gordon, Carolyn, David L. Webb, and Scott Wolpert. "One cannot hear the shape of a drum". American Mathematical Society 27.1 (1992): 134-138. Kinsler and Frey, "Fundamentals of Acoustics", fourth edition, Wiley & Sons Maia, Silva.1997. Theoretical And Experimental Modal Analysis, Research Studies Press Ltd. ISBN 0-471-97067-0 Mc Donald, Graham S. 2004. Separation of variables. Jurnal. Polyanin, A.D. 2002. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists.Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. Q , Murray. 1986. Analisis Fourier. Surabaya: Erlangga.
DAFTAR RUJUKAN Abramowitz, M. and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965, sections 9.1.1, 9.1.89 and 9.12, formulas 9.1.10 and 9.2. Alonso, Marcelo.1992. Dasar-dasar Fisika Universitas Jilid 2 Medan dan Gelombang. Jakarta : Erlangga. Boas, M.L. 1983. Mathematical Method in Th Physical Sciences. New York. John Wiley and Sons Inc. Brozak,Matt.2008. Qualatative Analysis of Symmetric Modes of a Vibrating Drumhead. Conway, Arkansas 72032: University of Central Arkansas. Down, Adrian. 2006. Separation of Variables in spherical Coordinat. Jurnal. Driscoll, Tobin. A1997. Eigenmodes of isospectral Drum. Society for Industrial and Applied Mathematics 39.1 : 1-17. Errede, Steven. "Measurement of Complex Sound Fields:" Lecture notes. Errede, Steven. "Measurement of Complex Sound Fields – Part 2:" Lecture notes. Eric W. Weisstein. "Bessel Function of the First Kind." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Renze, John & Eric W Weistein. 2008. Separation of variables. MatWorld. Rossing, T. D. and Fletcher, N. H. (2004), Principles of Vibration and Sound, Springer. Schroder,Bernd. 2002. Separating Spherical Coordinates. College of engineering and sciencey,: Lousiana Tech University. Skeel, R. D. and M. Berzins, "A Method for the Spatial Discretization of Parabolic Equations in One Space Variable," SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, Vol. 11, 1990, pp.1–32. Sridhar, S., and A. Kudrolli.1994. Experiments on Not 'Hearing the Shape' of Drums. Physical Review Letters 72.14: 2175-2178.
9
Tim Penyusun. 2010. Pedoman Penulisan Karya Ilmiah (PPKI). Malang: UM. Tustin, Wayne. 2006. Where to place the control accelerometer: one of the most critical decisions in developing random vibration tests also is the most neglected, EE-Evaluation Engineering.
10
