STRUKTUR RING INVARIAN YANG MEMUAT PENCACAH BOBOT HAMMING DARI KODE SWA-DUAL ATAS
TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh : M. Fajar Sidik 10102023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009
STRUKTUR RING INVARIAN YANG MEMUAT PENCACAH BOBOT HAMMING DARI KODE SWA-DUAL ATAS
TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Oleh : M. Fajar Sidik 10102023
Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Juni 2009
Dosen Pembimbing,
Dr. Djoko Suprijanto NIP. 132147117
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009
i
ABSTRAK
Pencacah bobot Hamming adalah suatu sukubanyak dengan 2 variabel yang memuat informasi tentang distribusi bobot dari kata-katakode dalam suatu kode linier. Telah diketahui bahwa pada kode swa-dual atas biner yang bobot katakodenya habis dibagi 4, pencacah bobot Hammingnya tidak berubah (invarian) terhadap aksi suatu grup berorde 192 dan termuat dalam suatu ring invarian (MacWilliams and Sloane, 1977). Pada tugas akhir ini akan diselidiki struktur ring invarian yang memuat pencacah bobot Hamming dari kode swa-dual atas
dengan memanfaatkan teori
invarian.
Kata kunci : kode swa-dual, pencacah bobot Hamming, teori invarian.
ii
ABSTRACT Hamming weight enumerator is a 2 variables polynomial containing information about the weight distribution of codewords of a linear code. It is known that for a binary self-dual code with all weights divisible by 4, its Hamming weight enumerator is unchanged (or invarian) under the action of a group of order 192 and belong to a spesific ring of invariant (MacWilliams dan Sloane, 1977). In this final project, we investigate a structure of invariant ring to which the Hamming weight enumerators belong for self-dual codes over invariant theory.
Keywords : self-dual code, Hamming weight enumerator, invariant theory.
iii
using
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehubungan dengan telah diselesaikannya buku tugas akhir ini. Buku ini disusun sebagai syarat kelulusan sarjana Matematika Institut Teknologi Bandung. Pokok bahasan buku tugas akhir ini yaitu mengenai pencacah bobot Hamming dari kode swa-dual atas
panjang . Pencacah bobot Hamming ini
termuat dalam suatu ring invarian dan struktur dari ring invarian tersebut dapat dipelajari dengan memanfaatkan teori invarian. Atas bantuan, saran, dan bimbingan yang telah diberikan, penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah ikut berperan dalam penyelesaian tugas akhir. Secara khusus ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada : 1. Ibu, Bapak, serta adik-adikku yang selalu memberikan dorongan semangat, nasihat, dan doa. 2. Bapak Dr. Djoko Suprijanto yang telah memberikan masukan, arahan, dan bimbingan selama pengerjaan tugas akhir dengan penuh kesabaran. 3. Ibu Dr. Hilda Assiyatun dan Bapak Dr. Oki Neswan selaku dosen penguji, yang telah memberikan kritik dan saran dalam seminar tugas akhir.
iv
4. Pak Warsoma selaku dosen wali dan dosen-dosen Matematika yang telah memberikan ilmu dan bimbingan selama penulis kuliah. 5. Ibu Diah dan seluruh staf Tata Usaha serta staf Perpustakaan Matematika ITB yang telah membantu penulis selama kuliah. 6. Arzaki, Jumjum, Maliki, Hendra, Zaki, dan Trisno yang telah menjadi teman-teman seperjuangan TA. 7. Allan, Akhirul, Syarif, Agung, Ghif, Putra, Opik, Arya, Tape, Suryo, Febi, serta teman-teman matematika dan kawan-kawan HIMATIKA lainnya yang telah memberikan dorongan dalam mengerjakan tugas akhir. 8. Alex Prima, Lenggana, Alex Dananjaya, Sensei Huda, Sensei Anna, Vina, Luki, Prita, dan teman-teman unit aikido ITB lain yang memberikan semangat kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Semoga Allah SWT membalas seluruh kebaikan yang telah diberikan kepada penulis. Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam tugas akhir ini. Harapan penulis semoga buku tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.
Bandung, Juni 2009 M. Fajar Sidik
v
DAFTAR ISI
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
PRAKATA
iv
DAFTAR ISI
vi
BAB I. PENDAHULUAN
1
1.1. Latar Belakang …………………………………………………………..
1
1.2. Rumusan Masalah ………………………………………………………
2
1.3. Tujuan Penulisan ………………………………………………………..
2
1.4. Batasan Masalah ………………………………………………………...
2
1.5. Sistematika Pembahasan ………………………………………………...
3
BAB II. TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
4
2.1. Teori Koding
………………………………………………………….
4
……………………………………………………………..
5
…………………………………………………….
5
Bobot, Distribusi Bobot, dan Pencacah Bobot Hamming ……………..
6
Kode atas
Kode Linier atas
2.2. Teori Invarian Invarian
………………………………………………………….
7
……………………………………………………………….
8
Ring Invarian
…………………………………………………………
Bebas Aljabar
………………………………………………………… 10
vi
9
Deret Molien
…………………………………………………………. 14
Struktur Ring Invarian
……………………………………………….. 16
BAB III. PENCACAH BOBOT HAMMING DAN RING INVARIAN
17
3.1. Pencacah Bobot Hamming Kode Swa-Dual atas
................................. 17
3.2. Pencacah Bobot Hamming Kode Swa-Dual atas
……………………. 21
Kasus
1
4 …………………………………………………... 23
Kasus
3
4 …………………………………………………... 25
Teorema Tipe-Gleason
……………………………………………….. 30
BAB IV. KESIMPULAN
31
DAFTAR PUSTAKA
32
vii
