14.3
Kolmost podprostorů
14.3.1
Ortogonální doplněk vektorového prostou
Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze 2) přímka na ní kolmá (vektorový prostor dimenze 1, jehož vektory jsou kolmé na všechny vektory v té rovině) a ortogonálním doplňkem přímky je naopak rovina. v3
v2 v1
Obrázek 6: V1 = [{v3 }], V2 = [{v1 , v2 }], v3 ⊥ v1 , v2 ;
V1 = V2⊥ a zároveň V2 = V1⊥
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). Vk → Vk⊥
Vk ⊆⊆ Vn;
(Pech:AGLÚ/str.101 - D.5.1) Věta 56 (Dimenze ortogonálního doplňku). Je-li Vk podprostor vektorového prostoru Vn . potom ortogonální doplněk Vk⊥ vektorového podprostoru Vk je vektorový prostor dimenze n − k. (Pech:AGLÚ/str.102 - V.5.1) Definice 29 (Kolmost vektoru k podprostoru). b ⊥ Vk (Pech:AGLÚ/str.102 - V.5.1)
104
Věta 57 (Kritérium kolmosti vektoru k podprostoru). Vektor b ∈ Vn je kolmý k podprostoru Vk ⊆⊆ Vn , jestliže je kolmý ke všem vektorům jeho báze {a1, a2, ..., ak }. (Pech:AGLÚ/str.102 - V.5.1) Definice 30 (Kolmost podprostorů). Vr ⊥ Vs (Pech:AGLÚ/str.102 - V.5.1) Poznámka. Rozlišujeme: • prostory kolmé:
Vr ⊥ Vs
• prostory totálně kolmé:
Vr = Vs⊥ a Vs = Vr⊥
Prostory totálně kolmé jsou zároveň i kolmé. Tvrzení opačné však obecně neplatí. Prostory kolmé nemusí být zároveň totálně kolmé. Uveďte příklad. PŘÍKLAD 14.8. Rozhodněte, za jakých podmínek jsou na sebe kolmé
podprostory V2 = [{a1, a2}], V3 = [{b1, b2, b3}] Řešení: Dle definice 30: 1) existuje x ∈ V2 kolmý k V3, x = x1a1 + x2a2, tj. x · b1 = x1a1b1 + x2a2b1 = 0 x · b2 = x1a1b2 + x2a2b2 = 0 x · b3 = x1a1b3 + x2a2b3 = 0 2) existuje y ∈ V3 kolmý k V2, y = y1b1 + y2b2 + y3b3, tj. y · a1 = y1b1a1 + y2b2a1 + y3b3a1 = 0 y · a2 = y1b1a2 + y2b2a2 + y3b3a2 = 0 Aby měly obě uvedené soustavy nenulová řešení, musí být hodnost matice a1b1 a1b2 a1b3 (21) a2b1 a2b2 a2b3 105
menší než 2. Obecně bychom řekli, že hodnost takovéto matice musí být menší než minimum z dimenzí posuzovaných vektorových prostorů. Definice 31 (Nutná a postačující podmínka kolmosti dvou podprostorů). ⎡ ⎤ a1b1 a1b2 . . . a1bs ⎢ ⎥ ⎢ a2b1 a2b2 . . . a2bs ⎥ Vr ⊥ Vs ⇔ h(G) < min(r, s); G = ⎢ ⎥ ⎣ ... ... ... ... ⎦ arb1 arb2 . . . arbs (Pech:AGLÚ/str.103 - V.5.3) 14.4
Orientace vektorového prostoru
PŘÍKLAD 14.9. Najděte matice přechodu mezi uvedenými (ortonor-
málními) bázemi vektorového prostoru V2. 1 1 1 1 a) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1); f1 = ( √ , √ ), f2 = (− √ , √ ), 2 2 2 2 1 1 1 1 b) e1 = (1, 0), e2 = (0, 1); f1 = ( √ , √ ), f2 = ( √ , − √ ), 2 2 2 2 Podle znaménka determinantu matice přechodu mezi dvěma bázemi určujeme, zda jsou souhlasné (+), nebo nesouhlasné (-). Definice 32 (Orientovaný vektorový prostor). (Pech:AGLÚ/str.105 - D.6.1) Poznámka. V prostoru dimenze 3 rozlišujeme pravotočivé a levotočivé báze. Konstrukci pravotočivé báze užitím pravidla pravé ruky známe z fyziky.
106
14.5
Ortogonální doplněk n-1 vektorů
Ortogonálním doplňkem skupiny n − 1 vektorů rozumíme jeden vektor, který je kolmý ke všem n − 1 vektorům Jedná se o zobecnění vektorového součinu, který známe z prostoru dimenze 3. Vektorový součin bychom tedy mohli nazývat také „ortogonální doplněk 2 vektorů.
14.5.1
Vektorový součin
PŘÍKLAD 14.10. Coriolisova síla
FC = 2mv × ω . PŘÍKLAD 14.11. Určete obsah trojúhelníku ABC :
a) A = [1, 2, 0], B = [3, 0, −3], C = [5, 2, 6], b) A = [−1, 1], B = [3, 3], C = [1, 5]. Vektorový součin vektorů u, v ; u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) : u × v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1) Norma (velikost) vektorového součinu: |u × v | = |u| · |v | · sin ϕ u1 u2 u3 u × v = v1 v2 v3 e1 e2 e3 u1 u3 u1 u2 u2 u3 ,− , u × v = v2 v3 v1 v3 v1 v2 107
(22)
Úkol: Dokažte, že vektorový součin u × v je kolmý k oběma vektorům u, v . Věta 58 (Vlastnosti vektorového součinu). 1. u × v = −(v × u) 2. (cu) × v = u × (cv ) = c(u × v ) 3. (u + v ) × w = u × w + v × w 4. u × v = o
⇔
5. u, v nezávislé
u, v závislé ⇒
{u, v , u × v } tvoří kladnou bázi V3
6. u × v ⊥ u, v 2 u v u 2 7. |u × v | = u|2|v |2 sin2 ϕ 2 = | vu v (Pech:AGLÚ/str.111 - V.7.3) PŘÍKLAD 14.12. Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC s vrcholy A =
[7, 3, 4], B = [1, 0, 6], C = [4, 5, −2]. Po normu vektorového součinu platí následující vztahy: |w| = |u × v | = |u| · |v | · sin α 2 u v u 2 2 |w| = |u × v | = u|2 · |v |2 · sin2 α 2 = | vu v Poznámky.
(23) (24)
2 u uv 1. Determinant u, v 2 je tzv. Gramův determinant vektorů vu v (Pech:AGLÚ/str.111) 2 u v u 2 2. Vztah |u × v | = 2 je speciálním případem tzv. Lagrangevu v ovy identity (Pech:AGLÚ/str.114-115)
108
14.5.2
Ortogonální doplněk n-1 vektorů v prostoru Vn
Definice 33.
a1 ×a2 ×...×an−1
a a12 11 a a22 21 = ... ... an−1,1 an−1,2 e1 e2
... ... ... ... ...
a1n a2n . . . = A1e1 +A2e2 +...+Anen an−1,n en
a1 × a2 × ... × an−1 = (A1, A2 , ..., An) Poznámka. Připomeňme si větu o rozvoji determinantu n aik · Ajk = δij · det A, k=1
kde δij je tzv. Kroneckerovo delta, pro které platí: δij = 1 pro i = j a δij = 0 pro i = j. Vlastnosti ortogonálního doplňku 1. Ortogonální doplněk a1×a2×...×an−1 je kolmý k vektorům a1, a2, ..., an−1. 2. a1 × a2 × ... × an−1 = o
⇔
a1, a2, ..., an−1 lineárně závislé
3. a1, a2, ..., an−1 lineárně nezávislé ... × an−1} tvoří kladnou bázi Vn
⇒
{a1, a2, ..., an−1 , a1 × a2 ×
4. Prohozením pořadí dvou vektorů se ortogonální doplněk mění na opačný, tj. mění se znaménko a2 a1a2 a1a3 . . . a1an−1 1 a22 a2a3 . . . a2an−1 a2a1 2 5. |a1 × a2 × ... × an−1 | = = ... ... ... ... ... an−1a1 an−2a2 an−1a3 . . . a2n−1 det G(a1, a2, ..., an−1 ) . . . Gramův determinant (Pech:AGLÚ/str.108,109 - V.7.1,V.7.2) 109
