V A S B E T O N S Z E R K E Z E T E K
EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK
STNA211, STNB610 segédlet a PTE PMMK építész és építészmérnök hallgatói részére
„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése” HEFOP/2004/3.3.1/0001.01
VASBETONSZERKEZETEK Verzió: 2007. december
OKTATÁSI SEGÉDLET
SZERKESZTETTE:
ORBÁN ZOLTÁN SZILÁRDSÁGTAN ÉS TARTÓSZERKEZETEK TANSZÉK
BALOGH TAMÁS ANYAGTAN, GEOTECHNIKA ÉS KÖZLEKEDÉSÉPÍTÉSI TANSZÉK
2007
STNA211, STNB610
Vasbetonszerkezetek Részletes tantárgyprogram:
Hét 1.
Ea/Gyak./Lab.
Témakör
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
A tartószerkezetek méretezésének alapjai. Legfontosabb terhek, tehercsoportosítások és biztonsági tényezők. Tartók mértékadó leterhelése.
2.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
A vasbeton feszültségi állapotairól. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése I.
3.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
A vasbeton feszültségi állapotairól. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése II.
4.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Hajlított keresztmetszetek méretezése I.
5.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Hajlított keresztmetszetek méretezése II.
6.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Hajlított keresztmetszetek méretezése III.
7.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
1. ZÁRTHELYI DOLGOZAT TERVFELADAT KIADÁSA
8.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Ellenőrzés és méretezés nyírásra I.
9.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Ellenőrzés és méretezés nyírásra II.
10.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Nyomott elemek vizsgálata. Tervfeladat ismertetése
11.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Összetett igénybevételek Tervfeladat ismertetése
12.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
Szerkesztési szabályok, vasalás tervezés Tervfeladat ismertetése
13.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
2. ZÁRTHELYI DOLGOZAT Tervfeladat ismertetése, konzultáció
14.
2 óra előadás 2 óra gyakorlat
PÓTLÁSOK Tervfeladat beadása, konzultáció
Tartalom Az oktatási segédlet célja .............................................................................................................4 1. Általános ismertetés...............................................................................................................4 1.1. A tartószerkezetek méretezésének alapjai ...............................................................4 1.2. Az EC szerinti legfontosabb tehercsoportosítások és biztonsági tényezők...5 2. Hajlított keresztmetszetek méretezése, ellenőrzése......................................................6 2.1. I. feszültségi állapot........................................................................................................6 1. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése I. feszültségi állapotban 2.2. II. feszültségi állapot.......................................................................................................8 2. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése II. feszültségi állapotban 2.3. III. feszültségi állapot....................................................................................................10 2.3.1. Ellenőrzés 2.3.2. Szabad méretezés 2.3.3. Kötött méretezés 3. Példa: Vasbeton gerenda ellenőrzése hajlításra 4. Példa: Határozzuk meg az alábbi keresztmetszet határnyomatékát 5. Példa: Hajlított keresztmetszet szabad tervezése 6. Példa: Ellenőrizzük az adott "T" keresztmetszetet 7. Példa: T keresztmetszetű tartó szabad tervezése 8. Példa: Lemez szabad tervezése 9. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése I. 10. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése II. 3. Vasbeton tartók nyírásvizsgálata......................................................................................25 11. Példa: Megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó ellenőrzése nyírásra 4. Melléklet ...................................................................................................................................33 4.1. Vasbetonszerkezetek számításánál alkalmazott jelölések és elnevezések ..33 4.2. Betonok és betonacélok jellemzői............................................................................34 4.2.1. Betonok jellemzői..................................................................................................34 4.2.2. Betonacélok jellemzői ..........................................................................................35 4.2.3. Betonacélok keresztmetszeti területe és fajlagos tömege.........................35 4.3. Az elméleti támaszköz..................................................................................................36 4.4. Vasbetonszerkezetek szerkesztési szabályai az Eurocode 2 alapján.............37 Betonfedés................................................................................................................................37 Betonacélok közötti távolság .................................................................................................37 Betonacélok lehorgonyzása, kampók kialakítása...............................................................37 Betonacélok toldása................................................................................................................39 Gerendákra vonatkozó szabályok.........................................................................................39 Lemezekre vonatkozó szabályok..........................................................................................41 Oszlopokra vonatkozó szabályok .........................................................................................42 4.5. Közelítő méretfelvétel...................................................................................................43 Felhasznált irodalom ....................................................................................................................44
3
Az oktatási segédlet célja Az alábbi oktatási segédlet célja, hogy építész és építészmérnök hallgatók számára röviden összefoglalja a vasbetonszerkezetek méretezésének alapjait az EUROCODE 2 szabvány szerint. A segédlet jelen verziója elsősorban hajlított tartók méretezéséhez és ellenőrzéséhez nyújt segítséget. A rövid elméleti összefoglalók mellett mintapéldákon keresztül mutatja be a számítások fő lépéseit és a tervezéskor alkalmazandó szerkesztési szabályokat.
1.
Általános ismertetés 1.1.
A tartószerkezetek méretezésének alapjai
A tartószerkezeteket úgy kell megtervezni és a megvalósítani, hogy a gazdaságosság követelményeit is kielégítve, előirányzott élettartamuk alatt kellő megbízhatósággal feleljenek meg a megvalósítás és használat során fellépő minden hatásra, valamint alkalmasak legyenek a rendeltetésszerű használatra. A tartószerkezetek méretezésével szemben támasztott alapvető követelmények: • hatásokkal szembeni ellenálló képesség • használhatóság • tartósság Az EUROCODE (továbbiakban EC) szerint a megbízhatóság a parciális (biztonsági) tényezők módszerének alkalmazásával biztosítható. A tervezés keretében igazolni kell, hogy a hatások (terhek) a határállapotokat egyetlen lehetséges tervezési helyzetben sem lépik túl. Határállapot: a tartószerkezetnek azon állapota, amikor még épen megfelel a tervezési követelménynek. A határállapotoknak alapvetően két csoportját különböztetjük meg: • teherbírási határállapotok • használhatósági határállapotok Teherbírási határállapotban vizsgálatot igénylő állapotok: • helyzeti állékonyság elvesztése • szilárdsági vagy alaki stabilitási tönkremenetel • fáradási tönkremenetel • aljtalaj törése Használhatósági határállapotban vizsgálatot igénylő jellemzők: • alakváltozások • rezgések, lengések • repedések • feszültségek
4
1.2.
Az EC szerinti legfontosabb tehercsoportosítások és biztonsági tényezők
Az Eurocode 0 szerinti legfontosabb tehercsoportosítások vasbeton szerkezetek méretezéséhez a következők: A teherbírási határállapotok ellenőrzéséhez: Tartós és átmeneti tervezési helyzet (a leggyakoribb teherkombináció):
∑γ
G ,i
i
⋅ Gk ,i "+" γ Q , j ⋅ Qk , j "+" ∑ γ Q ,i ⋅ψ 0,i ⋅ Qk ,i i≠ j
Szeizmikus tervezési helyzet:
∑G
k ,i
i
"+" A Ed "+" ∑ψ 2,i ⋅ Qk ,i i
A lehajlás és repedéstágasság vizsgálatához (használhatósági határállapotok): Kvázi-állandó teherkombináció:
∑G
k ,i
i
–
Gk
"+" ∑ψ 2,i ⋅ Qk ,i i
az állandó teher (önsúly) karakterisztikus (várható) értéke
Az állandó teher lehet: g k – megoszló állandó teher (önsúly)
G k – koncentrált állandó teher –
Qk
az esetleges teher karakterisztikus értéke
Az esetleges teher lehet: q k – megoszló esetleges teher (szél, hó)
Qk – koncentrált esetleges teher
γ ψ0 ψ2
–
a teher biztonsági tényezője
–
az egyidejűségi tényező
–
a terhek tartósságát figyelembe vevő tényező
AEd
–
a szeizmikus teher
A "+" és a Σ jelek nem összeadást jelentenek, hanem azt, hogy a terheket egyszerre kell működtetni.
Épületek terheinek biztonsági tényezői teherbírási vizsgálatoknál: A teher fajtája Állandó teher, gk Esetleges teher, qk
Terhek biztonsági tényezői A teher hatása
kedvező
kedvezőtlen
Szilárdsági és stabilitási vizsgálatokhoz
γ G ,inf = 1,0
γ G ,sup = 1,35
Helyzeti állékonyság vizsgálatához
γ G ,inf = 0,9
γ G ,sup = 1,1
hasznos teher, szélteher, hóteher
-
γ Q = 1,5
5
2.
Hajlított keresztmetszetek méretezése, ellenőrzése 2.1.
I. feszültségi állapot
A mértékadó teherből számított hajlító igénybevétel hatására a beton húzott szélső szálában számítjuk ki a keletkező feszültség értékét. Repedésmentes a keresztmetszet – I. feszültségi állapotban van –, ha a számított beton húzófeszültség kisebb vagy egyenlő, mint a beton húzószilárdságának várható értéke ( σ ct ≤ f ctm ). Az ellenőrzés történhet a nyomatékok összehasonlításával is. Ekkor a keresztmetszet repesztő határnyomatéka egyenlő, vagy nagyobb legyen, mint a terhelésből számított mértékadó nyomaték( M cr ≥ M Ed ). I. feszültségi állapotban a keresztmetszet repedésmentes, a teljes keresztmetszetet figyelembe vesszük. Az I. rugalmas feszültségi állapotban végzett számításokkal a repedésmentesség követelményének igazolása történik. I. feszültségi állapotban a vasbeton keresztmetszetben a beton és a A beton (feszültség – megnyúlás) diagramja I. feszültségi állapotban betonacél is rugalmasan viselkedik és a betonnak van húzószilárdsága. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése I. feszültségi állapotban: Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet: Ideális keresztmetszeti terület:
Ai , I = b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ As
Statikai nyomaték a nyomott szélső szálra:
S i,I = b ⋅ h ⋅
h + (α e − 1) ⋅ As ⋅ d 2
A semleges tengely helye a nyomott szélső száltól: xi , I =
Inercianyomaték a semleges tengelyre: I i . I =
b ⋅ xi , I 3
(
b ⋅ h − xi , I
3
+
)
3 3
3
S i,I Ai , I
+ (α e − 1) ⋅ As ⋅ (d − xi , I )
2
Nyomott acélbetétet tartalmazó keresztmetszet: Ideális keresztmetszeti terület:
Ai , I = b ⋅ h + (α e − 1) ⋅ As + (α e − 1) ⋅ A' s
Statikai nyomaték a nyomott szélső szálra:
h Si,I = b ⋅ h ⋅ + (αe −1) ⋅ As ⋅ d + (αe −1) ⋅ A's ⋅d ' 2 A semleges tengely helye a nyomott szélső száltól: xi , I =
S i,I Ai , I
Inercianyomaték a semleges tengelyre:
I i.I =
b ⋅ xi , I 3
3
+
(
b ⋅ h − xi , I
)
3 3
3
A repedésmentesség feltétele:
+ (α e − 1) ⋅ As ⋅ (d − xi , I ) + (α e − 1) ⋅ A' s ⋅(xi , I − d ') 2
σ c ,t ≤ f ctm
Feszültségellenőrzés:
σ c ,t =
Repesztőnyomaték számítás:
M cr =
2
M Ed ≤ M cr
vagy
M Ed ⋅ (h − xi , I ) I i,I
f ctm ⋅ I i , I
(h − x ) i,I
6
1. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése I. feszültségi állapotban Anyagjellemzők: Beton:
C25/30
Betonacél:
N
fck := 25
γ c := 1.5
2
N
fcd = 16.7
γc
fyd :=
2
mm N
fyk
Es := 200
2
fyd = 435
γs
mm Ec.eff := 9.83
γ s := 1.15
2
mm
fck
fctm := 2.56
N
fyk := 500
mm fcd :=
B60.50
N 2
mm kN 2
mm
kN 2
mm
B38.24
Kengyel:
Igénybevétel: M Ed := 50kNm Geometriai jellemzők: b := 250mm
keresztmetszet szélessége
h := 350mm
keresztmetszet magassága
c := 20mm
betonfedés 2
As := 4 ⋅
φh ⋅ π 4
φh := 20mm
húzott acélbetét átmérője
φny := 20mm
nyomott acélbetét átmérője
φk := 10mm
kengyel átmérője
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
As = 1257 mm
2
Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
Nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
A's := 2 ⋅
φny ⋅ π
A's = 628 mm
4
A számítás menete: Hasznos magasságok kiszámítása:
φh d := h − c − φk − −δ 2
hasznos magasság a húzott szélső száltól
d = 300 mm
φh hasznos magasság a d' := c + φk + +δ d' = 50 mm nyomott szélső száltól 2 Es Hogyan kezeljük az inhomogenitást: α e := α e = 20.35 α' e := α e α' e = 20.35 Ec.eff A beton keresztmetszeti területe:
2
Ac := b ⋅ h
Ac = 87500 mm
(
Ideális keresztmetszeti terület:
)(
)
2
Ai.I := Ac + α e − 1 ⋅ As + A's 1
Ideális keresztmetszet súlypontja:
x i.I :=
2
(
Ai.I = 123966.125 mm
)
(
)
⋅ b ⋅ h + As⋅ α e − 1 ⋅ d + A's⋅ α' e − 1 ⋅ d' 2
x i.I = 187.257 mm
Ai.I
Ideális keresztmetszet inerciája: (a súlyponti tengelyre) 3
Ii.I :=
b ⋅ x i.I 3
+
(
)3
b ⋅ h − x i.I 3
(
) (
)2 + (α'e − 1)⋅ A's⋅ (xi.I − d')2
+ α e − 1 ⋅ As⋅ d − x i.I
A beton húzott szélső szálában keletkező feszültség:
σ ct :=
M Ed Ii.I
(h − xi.I)
σ ct = 5.634
)
(
2
σ ct > fctm
mm
Számítsuk ki a keresztmetszet repesztőnyomatékát: M cr fctm⋅ Ii.I fctm = ⋅ h − x i.I -> M cr := M cr = 22.7 kNm Ii.I h − x i.I
(
N
9
)
<
4
Ii.I = 1.444 × 10 mm
megreped, nincs I. feszültségi állapotban
M Ed = 50 kNm
A repesztő nyomaték összehasonlítása a tervezési nyomatékkal is mutatja, hogy a beton megreped, nincs I. feszültségi állapotban. 7
2.2.
II. feszültségi állapot
Az üzemi terhet —a teher alapértékét— a normál (nem feszített) vasbeton szerkezetek esetén legfőképpen ebben a stádiumban hordja a tartó, ezért a repedéskorlátozási, tartóssági és merevségi előírásokat ezen feszültségi állapotban ellenőrizzük. A fenti vizsgálatok elvégzéséhez az ideális keresztmetszeti adatokra és a húzott acélszálban fellépő feszültségre lehet szükségünk, ezért II. feszültségi állapotban csak feszültségek meghatározásával foglalkozunk. A II. feszültségi állapotban a vasbeton keresztmetszetben a beton és a betonacél is rugalmasan viselkedik és a húzott beton bereped, így a beton húzószilárdságával nem számolunk. Hajlított keresztmetszetek ellenőrzése II. feszültségi állapotban:
A beton (feszültség – megnyúlás) diagramja I. feszültségi állapotban
Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet:
Vetületi egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomott betonöv magasságának (xc) meghatározásához):
xi , II ⎡ ⎤ − α e ⋅ As ⋅ (d − xi , II )⎥ = 0 Fc − Fs = E c ,eff ⋅ κ ⋅ ⎢b ⋅ xi , II ⋅ 2 ⎣ ⎦ Nyomatéki egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomatéki teherbírás kiszámításához):
⎡1 2⎤ M Rd = κ ⋅ Ec ,eff ⋅ ⎢ ⋅ b ⋅ xi , II + As ⋅ α e ⋅ (d − xi , II ) ⎥ ⎦ ⎣3 Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka: 3 b ⋅ xi , II 2 I i , II = + α e ⋅ As ⋅ (d − xi , II ) 3 Nyomott acélbetétet tartalmazó keresztmetszet:
Vetületi egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomott betonöv magasságának (xc) meghatározásához):
xi , II ⎡ ⎤ Fc − Fs = E c ,eff ⋅ κ ⋅ ⎢b ⋅ xi , II ⋅ − α e ⋅ As ⋅ (d − xi , II ) + (α ' e −1) ⋅ A' s ⋅(xi , II − d ')⎥ = 0 2 ⎣ ⎦ Nyomatéki egyenlet II. feszültségi állapotban (nyomatéki teherbírás kiszámításához):
⎡1 2 2⎤ M Rd = κ ⋅ E c ,eff ⋅ ⎢ ⋅ b ⋅ xi , II + As ⋅ α e ⋅ (d − xi , II ) + A' s ⋅(α ' e −1) ⋅ (xi , II − d ') ⎥ ⎣3 ⎦ Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka:
I i , II =
b ⋅ xi , II 3
3
+ α e ⋅ As ⋅ (d − xi , II ) + (α ' e −1) ⋅ A' s ⋅(xi , II − d ') 2
2
8
2. Példa: Vasbeton keresztmetszet ellenőrzése II. feszültségi állapotban Anyagjellemzők: Beton:
C25/30
Betonacél:
N
fck := 25
γ c := 1.5
2
N
fcd = 16.7
γc
fyd :=
2
mm N
fyk
Es := 200
2
N
fyd = 435
γs
mm Ec.eff := 9.83
γ s := 1.15
2
mm
fck
fctm := 2.56
N
fyk := 500
mm fcd :=
B60.50
2
mm kN 2
mm
kN 2
mm Kengyel:
B38.24
Igénybevétel: M Ed := 50kNm Geometriai jellemzők:
φh := 20mm
húzott acélbetét átmérője
b := 250mm
keresztmetszet szélessége
φny := 20mm
nyomott acélbetét átmérője
h := 350mm
keresztmetszet magassága
φk := 10mm
kengyel átmérője
c := 20mm
betonfedés
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
2
As := 4 ⋅
φh ⋅ π 4
As = 1257 mm
2
Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
Nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
A's := 2 ⋅
φny ⋅ π
A's = 628 mm
4
A számítás menete: Hasznos magasságok kiszámítása:
φh d := h − c − φk − −δ 2
d = 300 mm
φh d' := c + φk + + δ d' = 50 mm 2 Es Hogyan kezeljük az inhomogenitást: α e := α e = 20.35 Ec.eff
⎡
( ⎣
Vetületi egyensúlyi egyenlet felírása:
1 2
hasznos magasság a nyomott szélső száltól α' e := α e
)
Ec.eff ⋅ κ ⋅ ⎢ α' e − 1 ⋅ A's⋅ ( x − d') +
2
b⋅ x
(
2
α' e = 20.35
⎤
− α e⋅ As⋅ ( d − x ) ⎥ := 0
⎦
2
(α'e − 1)⋅ A's⋅ (x − d') + b⋅2x
a zárójelben található összefüggés a statikai nyomatéki egyenlet x-re
hasznos magasság a húzott szélső száltól
2
− α e⋅ As⋅ ( d − x )
)
⋅ b ⋅ x + A's⋅ α' e − A's + α e⋅ As ⋅ x − A's⋅ α' e⋅ d' + A's⋅ d' − α e⋅ As⋅ d := 0
Az egyenlet megoldása a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával. Kapott eredmények: x 2 = −449.2 mm nem megoldás!
x 1 = 147.4 mm
Tehát:
x i.II := x 1
x i.II = 147.4 mm
Berepedt keresztmetszet inercianyomatéka Ii.II :=
b ⋅ x i.II 3
3
(
)
(
+ α' e − 1 ⋅ A's⋅ x i.II − d'
)2 + α e⋅ As⋅ (d − xi.II)2
8
M Ed σ s.II := α e⋅ ⋅ d − x i.II Ii.II M Ed Beton nyomott szélső szálában ébredő feszültség σ c := ⋅x Ii.II i.II Húzott acélban ébredő feszültség
(
4
Ii.II = 9.776 × 10 mm
)
N
σ s.II = 158.8
2
mm σ c = 7.54
N 2
mm
9
2.3.
III. feszültségi állapot
Az építmények vasbetonszerkezeteit teherbírásra a tartóra ható mértékadó terhelésből számított legnagyobb hajlító nyomatékra III. feszültségi állapotban méretezzük és ellenőrizzük. A III. feszültségi állapotban a nyomott öv magassága mentén fellépő betonfeszültségek értéke a számítás szerint minden esetben a beton nyomószilárdságának tervezési értéke ( f cd ) , a betonacélban fellépő
feszültség
pedig
általában
az
acél
folyáshatárának
feszültségszámításról nem lehet beszélni. A nyomott betonöv magasságának határhelyzetéből
(x0 )
tervezési
értéke
következik, hogy
( f ), yd
ezért
itt
x > x0 , azaz ξ > ξ 0
esetében az acél folyáshatárának tervezési értékével történő számítás hiba lenne, ezért ilyen esetben redukált acélfeszültséggel kell számolni a húzott acélbetétek esetén. Hasonlóan, ha ξ < ξ `0 , a nyomott acélbetéteknél szükséges redukált acélfeszültség számítása. A gyakorlatban nagyon ritkán fordul elő a redukált acélfeszültségekkel való számolás, mert igyekszünk ilyen eseteket elkerülni (pl. a kiindulási adatok kedvező változtatásával), ugyanis ezen esetek igen gazdaságtalan méretezést eredményeznek. A III. feszültségi állapotban végzett számítások lényegében három fő csoportba sorolhatók: – Ellenőrzés – Szabad méretezés – Kötött méretezés Egyensúlyi egyenletek: Nyomott acélbetét nélküli keresztmetszet:
Vetületi egyenlet:
Fc − Fs = 0 = b ⋅ xc ⋅ f cd − As ⋅ f yd Nyomatéki egyenlet:
x ⎞ ⎛ M Rd = b ⋅ xc ⋅ f cd ⋅ ⎜ d − c ⎟ 2⎠ ⎝ Nyomott acélbetétes keresztmetszet:
Vetületi egyenlet:
Fc − Fs + F ' s = 0 = b ⋅ xc ⋅ f cd − As ⋅ f yd + A' s ⋅ f ' yd Nyomatéki egyenlet:
x ⎞ ⎛ M Rd = b ⋅ xc ⋅ f cd ⋅ ⎜ d − c ⎟ + A' s ⋅ f ' yd ⋅(d − d ') 2⎠ ⎝ 10
2.3.1.
Ellenőrzés
Ellenőrzés esetén adott a mértékadó nyomaték (MEd), a vasbeton tartó méretei a vasalással és az anyagminőségek. Feladatunk kiszámítani a keresztmetszet MRd értékét. Az ellenőrzésre azért lehet szükség, mert a tartószerkezet terhelése megváltozik például az épület, helység funkció változása miatt. A meglévő tervekből a felsorolt adatok rendelkezésre állhatnak és helyszíni ellenőrző mérésekkel kiegészülhetnek. Az új terhelésből az MEd értéke kiszámítható. Megfelel a tartó ha MRd > MEd . Minden esetben fontos az xc < x0 összehasonlítás. Abban az esetben, ha xc > x0 (ξ > ξ0) adódik redukálni kell a húzott betonacél feszültségét. Kétszeresen vasalt tartó esetén ha ξ’ < ξ’0 a nyomott betonacélnál szükséges redukált acélfeszültség számítás.
2.3.2.
Szabad méretezés
Szabad méretezés esetén a cél az, hogy adott nyomatékhoz megtervezzük a leggazdaságosabb vasbeton keresztmetszetet, azaz minimális betonméretekre törekszünk nyomott acélbetét nélkül. Az anyagminőségek a kivitelezési körülményektől függően szintén adottak. Célszerűen a keresztmetszet szélességét felvesszük a (csatlakozó szerkezettől függően) és olyan hmin magasságot számolunk, mely esetén a betonkeresztmetszet teljesen kihasznált, azaz xc = xco
2.3.3.
Kötött méretezés
Kötött méretezés esetén adott nyomaték, betonméretek (keresztmetszet) és anyagminőségek mellett keressük a szükséges acélbetétek mennyiségéi. A feladat megoldása során három eset lehetséges: – – –
A feladat nyomott acélbetét nélkül megoldható, egyszeresen vasalt tartó A feladat csak nyomott acélbetéttel oldható meg, kétszeresen vasalt tartó A feladat nem oldható meg a kiindulási adatokkal. N s > Nc
A fenti megoldási lehetőségek a számítás menetét is meghatározzák. Ennek megfelelően az első lépés mindig annak megállapítása, hogy a feladat nyomott acélbetét nélkül megoldható-e.
11
3. Példa: Vasbeton gerenda ellenőrzése hajlításra Anyagjellemzők: Beton:
C40/50 N
fck := 40
Betonacél: γ c := 1.5
2
fyk := 500
mm fcd :=
B60.50 N
γ s := 1.15
2
mm
fck
N
fcd = 26.7
γc
fyd :=
2
mm
Kengyel:
B38.24
Terhek:
g := 3.75 q := 50
kN
fyk γs
N
fyd = 435
2
mm
önsúly
m
kN
hasznos teher
m
Geometriai adatok:
c := 20mm
betonfedés
feltámaszkodás hossza
φh := 20mm
húzott acélbetét átmérője
b := 300mm
gerenda szélessége
φny := 16mm
nyomott acélbetét átmérője
h := 500mm
gerenda magassága
φk := 10mm
kengyel átmérője
δ := 10mm
acélbetétek kedvezõtlen elmozdulása
L := 6.0m
szabad nyílás
t := 30cm
2
As := 10⋅
φh ⋅ π 4
2
As = 3142 mm
húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
A's := 3 ⋅
φny ⋅ π 4
Elméleti támaszköz:
A's = 603 mm
h t a1 := min⎛⎜ , ⎞⎟ ⎝2 2⎠
Mértékadó igénybevétel kiszámítása:
M Ed :=
a1 = 15 cm
a2 := a1
Leff := L + a1 + a2
Leff = 6.3 m
γ G := 1.5
állandó teher biztonsági tényezője
γ Q := 1.5
esetleges teher biztonsági tényezője
(γG⋅ g + γQ⋅ q)⋅ Leff 2 8
M Ed = 400 kNm
Hasznos magasság: Több sorban elhelyezett acélbetétek esetén az acélbetétek súlyvonala és a húzott szélső szál közötti távolságot kell kivonni a teljes magasságból, így kapható meg a hasznos magasság.
Acélbetétek súlyvonalának távolsága a húzott szélső száltól:
sφh :=
φh φh ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + δ ⎟ + 5 ⋅ φ h ⋅ ⎜ c + φk + φh + φh + φk + + δ⎟ 5 ⋅ φ h ⋅ ⎜ c + φk + 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 ⋅ φ h + 5 ⋅ φh
d := h − sφh
d = 425 mm
φny d' := c + φk + + 10mm 2
d' = 48 mm
12
Vetületi egyenlet felírása - nyomott betonöv magasságának meghatározása: Fc + F' s := Fs b ⋅ x c⋅ fcd + A's⋅ fyd := As⋅ fyd x c :=
(As − A's)⋅ fyd
x c = 138 mm
b ⋅ fcd
Ellenõrzés, hogy az acél megfolyik-e: Húzott acél xc ξ c := d ξ co :=
Nyomott acél xc ξ' c := d'
ξ c = 0.325 560
ξ co = 0.493
700 + fyd
ξ c < ξ co
ξ' co :=
560 700 − fyd
ξ' c > ξ' co
a húzott acél megfolyik
ξ' c = 2.874 ξ' co = 2.111
a nyomott acél megfolyik
Határnyomaték kiszámítása: M Rd := Fc⋅ z + F' s⋅ z' z := d −
xc
z = 356 mm
2
z' := d − d'
z' = 377 mm xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ + A's⋅ fyd⋅ ( d − d') 2
⎝
⎠
M Rd = 491.8 kNm
Ellenőrzés M Ed M Rd
= 0.813
M Ed M Rd
<1
Tehát megfelel.
13
4. Példa: Határozzuk meg az alábbi keresztmetszet határnyomatékát: Anyagjellemzők: Beton:
C25/30 N
fck := 25
Betonacél: γ c := 1.5
2
N
fyk := 500
mm
fck γc
Geometriai jellemzők:
N
fcd = 16.7
fyd :=
2
mm
Kengyel:
γ s := 1.15
2
mm fcd :=
B60.50
fyk γs
B38.24 φh := 20mm
húzott acélbetét átmérője
keresztmetszet szélessége
φsz := 8mm
szerelő vas átmérője
h := 350mm
keresztmetszet magassága
φk := 10mm
kengyel átmérője
c := 20mm
betonfedés
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
2
φh ⋅ π
2
As = 1885 mm
4
2
mm
b := 250mm
As := 6 ⋅
N
fyd = 435
Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
csak szerelő vas van
A's := 0
Acélbetétel súlyvonalának távolsága a húzott szélső száltól:
sφh :=
φh φh ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + δ ⎟ + 2 ⋅ φ h ⋅ ⎜ c + φk + φh + φh + + δ⎟ 4 ⋅ φ h ⋅ ⎜ c + φk + 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sφh = 63.3 mm
6 ⋅ φh
d := h − sφh d = 286.7 mm Vetületi egyensúly (feltételezve, hogy a húzott acélok megfolynak) As⋅ fyd Fc := Fs -> x c⋅ b ⋅ fcd := As⋅ fyd x c := b ⋅ fcd Ellenőrzés, hogy az acélok megfolynak-e: xc ξ c := ξ c = 0.686 ξ c0 := d
560
ξ c0 = 0.493
⎛ mm2 ⎞ ⎟ + 700 fyd⋅ ⎜ ⎝ N ⎠
az acél nem folyik meg, rugalmas állapotban van, ezért a vetületi egyenletet módosítani kell.
ξ c > ξ c0 Módosított vetületi egyenlet: σ s.red ≤ fyd
x c = 196.7 mm
σ s.red :=
felhasználva, hogy x c := ξ c⋅ d ->
560 xc
⋅ d − 700
fyd :=
ξ c⋅ d ⋅ b ⋅ α ⋅ fcd := As⎛⎜
560
⎝ ξc
x c⋅ b ⋅ fcd
560 x c⋅ b ⋅ α ⋅ fcd := As⎛⎜ ⋅ d − 700⎟⎞ xc ⎝ ⎠
->
As − 700⎞⎟ ->
⎠
2
ξc +
700 ⋅ As b ⋅ d ⋅ α ⋅ fcd
⋅ξc −
560 ⋅ As b ⋅ d ⋅ α ⋅ fcd
:= 0
A másodfokú egyenlet megoldóképletének felhasználásával:
ξ c1 = 0.538
ξ c2 = −1.643 nem megoldás
Határnyomaték számítása:
x c := ξ c1⋅ d
x c = 154.2 mm
xc ⎞ ⎛ M Rd := x c⋅ b ⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ M Rd = 134.7 kNm
14
5. Példa: Hajlított négyszög keresztmetszet szabad tervezése: Anyagjellemzők: Beton:
C25/30 N
fck := 25
Betonacél: γ c := 1.5
2
fck
N
fyd :=
2
mm
Kengyel:
B38.24
b, d, As, xc
Feltevések:
ξ c := 0.4
(ξc < ξc0)
fyk γs
Betonfedés:
η :=
N
fyd = 209
2
mm
Igénybevétel: M Ed := 1500kNm
φk := 10mm Keressük:
γ s := 1.15
2
mm fcd = 16.7
γc
N
fyk := 240
mm fcd :=
B38.24
b
c := 20mm
η := 1.5
d
Nyomatéki egyenletből kefejezhető "d": 3
d :=
η ⋅ M Ed
d = 750 mm
ξc ⎞ ⎛ ⎟ fcd⋅ ξ c⋅ ⎜ 1 − 2 ⎠ ⎝
->
b :=
d
b = 500 mm
1.5
x c := ξ c⋅ d
Vetületi egyenletből meghatározható As: x c⋅ b ⋅ fcd 2 As := As = 11979 mm fyd Alkalmazott vasalás:
12 db φ36
b alk := 500mm
x c = 300 mm
2
φa := 36mm
As := 12⋅
φa ⋅ π
2
As = 12215 mm
4
A 12 szál betonacélt két sorban helyezzük el: 1 sorban elfér-e 6 db?
< 500mm 6 ⋅ 36mm + 5 ⋅ 36mm + 2 ⋅ 12mm + 2 ⋅ 20mm = 460 mm
Tehát elfér.
"d" újraszámolva: Acélbetétek súlypontjának kiszámítása:
sφh :=
δ := 10mm
φa φa ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ + δ ⎟ + 2 ⋅ φ a ⋅ ⎜ c + φ k + φ a + φa + φ k + + δ⎟ 6 ⋅ φa⋅ ⎜ c + φk + 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Szükséges "h" magasság kiszámítása: h szüks := d + sφh
sφh = 104.7 mm
6 ⋅ φa
h szüks = 854.7 mm
A kerekítést célszerű 10 mm-re pontosan elvégezni.
h alk := 860mm
A keresztmetszet felrajzolása: 12
2
12
860
2
10
12
kengyel
36
500
15
6. Példa: Ellenõrizzük az adott "T" keresztmetszetet: Anyagjellemzők: Beton:
C25/30
fck := 25
N
Betonacél: γ c := 1.5
2
N
fyk := 500
mm fcd :=
B60.50
2
γ s := 1.15
mm
fck
N
fcd = 16.7
γc
2
fyd :=
mm
fyk
fyd = 435
γs
N 2
mm
ξ c0 := 0.49 ξ' c0 := Kengyel:
B38.24
560 700 − fyd
ξ' c0 = 2.11
Mértékadó igénybevétel: M Ed := 400kNm
Geometriai jellemzők: b g := 200mm
borda szélessége
h := 600mm
tartó magassága
b := 500mm
fejlemez szélessége
c := 20mm
betonfedés
t := 140mm
fejlemez vastagsága
φh := 28mm
húzott acélbetét átmérője
δ := 10mm
kedvezõtlen elmozdulás
φk := 8mm
kengyel átmérője
2
As := 4 ⋅
φh ⋅ π
2
As = 2463 mm
4
A's := 0
Húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
csak szerelő vasalás van
φh d := h − c − φk − φh − +δ 2 A számítás menete:
d = 540 mm
xc meghatározása:
ha a nyomott öv a bordába metsz, a számítás a következő:
két eset jöhet szóba:
I. a nyomott öv nem metsz bele a bordába (fejlemezbe metsz) II. a nyomott öv a bordába metsz A számítás során először feltételezzük, hogy a fejlemezbe metsz. Fc := Fs
Vetületi egyenlet:
->
b ⋅ x c⋅ fcd := As⋅ fyd
x c > t := 140mm
->
x c :=
⎡⎣( b − bg ) ⋅ t + b g⋅ x c⎤⎦ ⋅ fcd := As⋅ fyd ξ c :=
xc d
ξ c = 0.21
<
x c = 129 mm
b ⋅ fcd
A feltételezés nem volt helyes, tehát a bordába metsz.
Egyenlet újra felírása:
Ellenőrzés:
As⋅ fyd
->
ξ c0 = 0.49
x c :=
As⋅ fyd b g ⋅ fcd
−
(b − bg)⋅ t bg
x c = 111 mm
Tehát az acélbetétek folyási állapotban vannak.
16
Határnyomaték számítása:
xc ⎞ ⎛ t M Rd := b − b g ⋅ t⋅ fcd⋅ ⎛⎜ d − ⎞⎟ + b g ⋅ x c⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝
(
)
M Rd = 508.6 kNm
Ellenőrzés: M Ed M Rd
= 0.786
Tehát a keresztmetszet megfelel.
17
7. Példa: T keresztmetszetű tartó szabad tervezése Anyagjellemzők: Beton:
C24/30 N
fck := 24
2
Betonacél: γ c := 1.5
fck
N
fyd :=
2
fyk
mm
Igénybevétel:
γ s := 1.15
2
mm fcd = 16
γc
N
fyk := 500
mm fcd :=
B60.50
γs
N
fyd = 435
2
mm
M Ed := 400kNm
Geometriai jellemzők: b := 500mm
fejlemez szélessége
b g := 200mm
borda szélessége
v := 140mm
fejlemez vastagsága
c := 20mm
betonfedés
Tervezési feltevések: ξ c := 0.2 A nyomott öv a fejlemezben van. Számítás menete: d :=
M Ed
x c := ξ c⋅ d As :=
d = 527.046 mm
ξc ⎞ ⎛ b ⋅ fcd⋅ ξ c⋅ ⎜ 1 − ⎟ 2 ⎠ ⎝ x c = 105.4 mm
x c⋅ b ⋅ fcd
xc < v
a nyomott öv a fejlemezben marad, a feltételezés helyes volt.
2
fyd Alkalmazott vasalás:
As = 1940 mm 4 db φ25
φh.alk := 25mm
φk.alk := 10mm
2
As.eff := 4 ⋅
φh.alk ⋅ π
2
As.eff = 1963 mm
4
A vasalás elfér-e egy sorban? 2 ⋅ c + 2 ⋅ φk.alk + 4φh.alk + 4 ⋅ φh.alk = 260 mm >
b g = 200 mm Tehát egy sorban nem fér el.
A vasalást kér sorban kell elhelyezni, soronként 2-2 acélbetéttel. Hasznos magasság újraszámítása:
⎛
h := d + ⎜ c + φk.alk + φh.alk +
⎝
φh.alk ⎞ 2
⎟ ⎠
h = 595 mm
Alkalmazott tartómagasság:
h alk := 600mm
A felrajzolt keresztmetszet:
18
Anyagjellemzők:
8. Példa: Lemez szabad tervezése
Beton:
C25/30 N
fck := 25
γ c := 1.5
2
mm fcd := Betonacél:
B60.50 N
fyk := 500
fyd :=
Betonfedés: fyd = 435
γs
2
mm N
Ec.eff := 9.83
2
kN 2
mm c := 20mm
N Igénybevétel: M Ed := 38kNm
2
mm
A nyomaték a lemez 1 méterére vonatkozik (MEd = 38 kNm/m).
kN
Es := 200
N
mm
mm fyk
fcd = 16.7
γc
fctm := 2.56
γ s := 1.15
2
fck
2
mm
A lemez 1 m - es szakaszát vizsgáljuk:
b := 1000mm
Hasznos magasság és vasmennyiség meghatározása: ξc ⎞ ⎛ M Ed = M Rd = b ⋅ ξ c⋅ d ⋅ α ⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ (feltételezés)
ξ c := 0.2 d :=
Ne legyen a keresztmetszet teljesen kihasználva.
M Ed d = 112.5 mm
ξ c ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎢b ⋅ fcd⋅ ξ c⋅ ⎜ 1 − ⎟⎥ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝
x c := ξ c⋅ d
x c = 22.5 mm
As :=
x c⋅ b ⋅ fcd
2
As = 862.9 mm
fyd
Alkalmazott vasalás: (érdemes megnézni többféle vasalási sémát is) 2
1. típus:
φ12/100
mm As.1 := 1131 m
2. típus:
φ14/140
mm As.2 := 1100 m
3. típus:
φ16/180
mm As.3 := 1117 m
Alkalmazzuk a 2. típust.
φalk := 14mm
2
2
As := As.2
A lemez szükséges vastagsága: acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása δ := 10mm φalk a := c + + 10mm a = 37 mm 2 h := a + d h = 150 mm alkalmazott "h" magasság:
h alk := 150mm
Elosztó vasalás: 2
0.2⋅ As = 220
mm m
Ellenőrzés:
2
φ8/200
A tervezett elosztó vasalás: 2
mm As.elosztó = 251.5 m
>
mm As.elosztó := 251.5 m
2
220
mm m
Tehát megfelel.
19
9. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése I. Anyagjellemzők: Beton:
C20/25 N
fck := 20
Betonacél: γ c := 1.5
2
fyk := 500
mm fcd :=
N
γ s := 1.15
2
mm
fck
fcd = 13.3
γc
N 2
fyd :=
mm N
fctm := 2.2
B60.50
ξ co :=
2
mm
fyk
N
fyd = 435
γs
2
mm 560
ξ co = 0.493
700 + fyd
Geometriai adatok: b := 250mm
keresztmetszet szélessége
φh := 20mm
húzott acélok átmérője
h := 400mm
keresztmetszet magassága
φk := 10mm
kengyel átmérője
c := 20mm
betonfedés
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
Mértékadó nyomaték:
M Ed := 120kNm
Keressük: As, (A's) Feltételek: A húzott acélt szilárdságilag használjuk ki. Akkor tudjuk kihasználni, ha
ξ c ≤ ξ co
A számítás menete: Vasalás adatainak felvétele (ez késõbb a kapott eredmények szemléletében módosítandó): φh ⎛ ⎞ d := h − ⎜ c + φk + + δ⎟ d = 350 mm 2
⎝
⎠
Nyomatéki egyenletbõl xc meghatározása: M Rd := M Ed
->
xc ⎞ ⎛ M Rd = b ⋅ x c⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝
x c := ξ c⋅ d
->
M Rd = b ⋅ ξ c⋅ d ⋅ fcd⋅ ⎜ d −
⎛ ⎝
ξ c⋅ d ⎞ 2
⎟ ⎠
2 2
2
b ⋅ ξ c⋅ d ⋅ fcd − 2
b ⋅ ξ c ⋅ d ⋅ fcd
ξ c − 2⋅ ξ c + 2⋅
2 M Rd 2
− M Rd = 0
=0
b ⋅ d ⋅ fcd
( )
ξ c := Find ξ c x c := ξ c⋅ d
ξ c = 0.358 x c = 125.278 mm
ξc ξ co
= 0.725
ξ c < ξ co
Vetületi egyenletből a szükséges acélmennyiség kiszámítása: x c⋅ b ⋅ fcd Fc := Fs -> x c⋅ b ⋅ fcd := As⋅ fyd As := fyd
Tehát a húzott acél megfolyik.
2
As = 960 mm
A vasalást a megfelelõ szerkesztési szabályok betartásával kell kiosztani. Szerkesztési szabályok teljesülésének ellenőrzése: fctm ⎛ ⎞ Minimális vasalás: As.min := max⎜ 0.26⋅ ⋅ b ⋅ d , 0.0013⋅ b ⋅ d⎟ fyk ⎝ ⎠ Maximális vasalás:
Ac := b ⋅ h
2
Ac = 100000 mm
2
As.min = 113.75 mm
As.max := 0.04⋅ Ac
2
As.max = 4000 mm
20
4 db φ18
Alkalmazott vasalás:
φh.alk := 18mm
φk.alk := 10mm
2
As.alk := 4 ⋅
φh.alk ⋅ π 4
2
As.alk = 1018 mm
Elfér-e a tervezett vasalás egy sorban?
(
c⋅ 2 + φk.alk⋅ 2 + φh.alk⋅ 4 + 3 ⋅ amin = 192 mm < Ellenõrzés: φh.alk = 18 mm
)
amin := max φh.alk , 20mm
Acélbetétek minimális távolsága:
b = 250 mm
amin = 20 mm
a vasak egy sorban elhelyezhetõk.
φk.alk = 10 mm
Változott adatok kiszámítása a tervezett keresztmetszet alapján:
⎛
φh.alk
⎝
2
d alk := h − ⎜ c + φk.alk +
⎞
+ 10mm⎟
⎠
A vetületi egyenletből kifejezzük xc - t: fcd⋅ x c⋅ b = As⋅ fyd xc d alk
= 0.378
x c :=
->
ξ co :=
As.alk⋅ fyd b ⋅ fcd
560
d alk = 351 mm
x c = 132.8 mm ξ co = 0.493
700 + fyd
A húzott acél folyási állapotban van.
A nyomatéki egyenlet felhasználásával meghatározzuk a nyomatéki teherbírást: xc ⎞ ⎛ M Rd := fcd⋅ b ⋅ x c⋅ ⎜ d alk − ⎟ 2 ⎠ ⎝ M Ed = 120 kNm
M Ed M Rd
M Rd = 126 kNm = 0.953
Tehát megfelel.
A keresztmetszet felrajzolása:
21
10. Példa: Vasbeton keresztmetszet kötött tervezése II. Anyagjellemzők: Beton:
C20/25 N
fck := 20
Betonacél: γ c := 1.5
2
fyk := 500
mm fcd :=
N
γ s := 1.15
2
mm
fck
fcd = 13.3
γc
N 2
fyd :=
mm N
fctm := 2.2
B60.50
ξ co :=
2
mm Geometriai adatok:
fyk
N
fyd = 435
γs 560
700 + fyd
ξ co = 0.493
φh := 20mm
húzott acélok átmérője
b := 250mm
keresztmetszet szélessége
φny := 16mm
nyomott acélok átmérője
h := 400mm
keresztmetszet magassága
φk := 10mm
kengyel átmérője
c := 20mm
betonfedés
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
Mértékadó nyomaték:
M Ed := 180kNm
2
mm
Keressük: As, (A's) Feltételek: A húzott acélt szilárdságilag használjuk ki. Akkor tudjuk kihasználni, ha
ξ c ≤ ξ co
A számítás menete: Vasalás adatainak felvétele (ez késõbb a kapott eredmények szemléletében módosítandó): φh ⎛ ⎞ d := h − ⎜ c + φk + + δ⎟ d = 350 mm 2
⎝
⎠
φny
d' := c + φk + 2
+δ
d' = 48 mm
Nyomatéki egyenletbõl xc meghatározása: M Rd := M Ed
->
xc ⎞ ⎛ M Rd = b ⋅ x c⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝
x c := ξ c⋅ d
->
M Rd = b ⋅ ξ c⋅ d ⋅ fcd⋅ ⎜ d −
⎛ ⎝
ξ c⋅ d ⎞ 2
⎟ ⎠
2 2
2
b ⋅ ξ c⋅ d ⋅ fcd − 2
b ⋅ ξ c ⋅ d ⋅ fcd
ξ c − 2⋅ ξ c + 2⋅
2 M Rd 2
=0
b ⋅ d ⋅ fcd
( )
ξ c := Find ξ c x c := ξ c⋅ d
− M Rd = 0
ξ c = 0.656 x c = 230 mm
ξc ξ co
= 1.329
ξ c < ξ co
Tehát a húzott acél nem folyik meg, nyomott acélbetétet is kell alkalmazni.
M0 nyomaték bevezetése: Az M0 nyomaték az a maximális nyomaték, melyet a keresztmetszet nyomott vasalás nélkül elvisel úgy, hogy a húzott acél megfolyik. x co ⎞ ⎛ Az M0 az x c = xco - hoz tartozó nyomaték M 0 := b ⋅ x co⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ ξ co = 0.493 x co := ξ co⋅ d
x co = 173 mm
x co ⎞ ⎛ M 0 := b ⋅ x co⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝
M 0 = 151.8 kNm
22
M Rd M0
= 1.186
M Rd
Ha
M0 M Rd
Ha
M0
>1
nyomott acélbetétet is kell alkalmazni.
≤1
nem kell nyomott acélbetétet alkalmazni. M Rd
Tehát nyomott acélbetétet is kell alkalmazni, mert
M0
Nyomatéki teherbírás számítása:
= 1.186
ΔM - a nyomott acélbetéthez tartozó nyomaték
M Rd := M 0 + ΔM M Rd := M Ed
x co ⎞ ⎛ M 0 := b ⋅ x co⋅ fcd⋅ ⎜ d − ⎟ 2 ⎠ ⎝ ΔM := A's⋅ fyd⋅ ( d − d')
M 0 = 151.8 kNm
->
A's :=
M Rd − M 0
2
A's = 215 mm
fyd⋅ ( d − d')
A húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletből: b ⋅ x c⋅ α ⋅ fcd − A's⋅ fyd -> b ⋅ x c⋅ α ⋅ fcd − As⋅ fyd + A's⋅ fyd = 0 As := fyd Alkalmazott vasmennyiségek: 2
2
A's = 215 mm
2 φ16
A's.alk := 402mm
2
2
5 φ20 As = 1545 mm As.alk := 1571mm A vasmennyiségekre vonatkozó szerklesztési szabályok ellenőrzése: A húzott vasalás minimális mennyisége: fctm ⎛ ⎞ As.min := max⎜ 0.26⋅ ⋅ b ⋅ d , 0.0013⋅ b ⋅ d⎟ fyk ⎝ ⎠
2
As.min = 113.75 mm
2
As = 1545 mm
φny.alk := 16mm φh.alk := 20mm
As > As.min
Tehát megfelel.
Az összes hosszvasalás megengedett legnagyobb mennyisége: 2
As.max := 0.04⋅ b ⋅ h
As.max = 4000 mm 2
As + A's = 1760 mm
As + A's < As.max
Tehát megfelel.
Vasak közti minimális távolság:
(
)
amin := max φh , 20mm
amin = 20 mm
Elfér - e egy sorban a húzott vasalás? c + φk + 5 ⋅ φh.alk + 4 ⋅ amin + φk + c = 240 mm
b = 250 mm
Tehát elfér.
A vasbeton keresztmetszet ellenőrzése: Hasznos magasság újraszámolása: φh.alk d alk := h − c − φk − −δ 2 d'alk := c + φk +
φny.alk 2
d = 350 mm
+δ
d'alk = 48 mm
xc kifejezése a vetületi egyenletből: b ⋅ x c⋅ α ⋅ fcd − As.alk⋅ fyd + A's.alk⋅ fyd = 0
( )
x c := Find x c ξ c :=
xc d alk
ξ c = 0.436
x c = 152.478 mm ξ co :=
560 700 + fyd
ξ co = 0.493
ξ c < ξ co
Tehát a húzott acélok folyási állapotban vannak.
23
ξ' c :=
xc d'alk
ξ' c = 3.177
ξ' co :=
560
ξ' co = 2.11
700 − fyd
ξ' c > ξ' co
Tehát a nyomott acélok folyási állapotban vannak.
A nyomatéki egyenlettel meghatározzuk a nyomatéki teherbírást: xc ⎞ ⎛ M Rd.alk := b ⋅ x c⋅ α ⋅ fcd⋅ ⎜ d alk − ⎟ + A's.alk⋅ fyd⋅ d alk − d'alk 2 ⎠ ⎝
(
M Ed M Rd.alk
= 0.938
)
M Rd.alk = 191.9 kNm
Tehát megfelel.
A keresztmetszet felrajzolása:
24
3.
Vasbeton tartók nyírásvizsgálata
A nyírási teherbírás megfelelő, ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg teljesül: A keresztmetszet nyírási teherbírására vonatkozóan:
min (V Ed ,V Ed ,red ) ≤ VRd , s
A beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan:
V Ed < VRd ,max
A fenti összefüggésekben: VEd a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon létrejött nyíróerő tervezési értéke
VEd ,red a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke, mely tartalmazza: V Rd , s
Az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító hatását A tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti „ívhatást”. a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása
VRd ,max a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni, ha:
min(VEd ,VEd ,red ) ≤ VRd ,c Ahol:
VRd ,c
a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása
A megtámasztás közvetlen környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció) xxx ábra: az
a v < 2 ⋅ d szakaszon belül csak megoszló
teher működik Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik (pl. konzol), továbbá a támasz szélétől a v ≤ 2 ⋅ d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a V Ed , red redukált nyíróerő diagramját az xxx ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását
(V ) a nyomott zóna Rd , c
nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmetszet nyírási teherbírása – ha hajlítási repedések lépnek fel – a következőképpen számítható:
VRd ,c
1 ⎡⎛ 0,18 ⎤ ⎞ ⋅ k ⋅ (100 ⋅ ρ λ ⋅ f ck ) 3 + 0,15 ⋅ σ cp ⎟⎟ ⋅ bw ⋅ d ⎥ ⎢⎜⎜ = max ⎢⎝ γ c ⎠ ⎥ ⎢(ν + 0,15 ⋅ σ ) ⋅ b ⋅ d ⎥ cp w ⎣ min ⎦
Ahol:
f ck
beton karakterisztikus szilárdsága [N/mm2]
25
⎡ 200 ⎤ 1+ ⎢ ⎥ k = min d ⎥ melyben d mm – ben értendő ⎢ ⎢⎣2,0 ⎥⎦ ⎡ Asl ⎤ ρ λ = min ⎢⎢ bw ⋅ d ⎥⎥ ⎣⎢0,02 ⎦⎥ a vizsgált keresztmetszetben megfelelően lehorgonyzott hosszvasalás keresztmetszeti területe,
Asl
melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható bw a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában
σ cp
⎡ N Ed ⎤ ⎢ ⎥ = min Ac ⎢ ⎥ ⎢⎣0,2 ⋅ f cd ⎥⎦
σ cp
értékét N/mm2 – ben kell beírni
a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő tervezési értéke
N Ed
(nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható. Ac a betonkeresztmetszet területe 3 2
1
ν min = 0,035 ⋅ k ⋅ f ck 2 A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell elvégezni az alábbi ábrán látható modell alapján:
xxxxx. ábra: a változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen.
1,0 ≤ cot θ ≤ 2,5
A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható:
V Rd ,max = α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ν ⋅ f cd ⋅
cot θ + cot α 1 + cot 2 α
Ahol:
α cw
értéke: feszítés nélküli szerkezetek esetén
1,0 1+
σ cp f cd
ha
0 < σ cp ≤ 0,25 ⋅ f cd 26
1,25 ⎛ σ cp 2,5 ⋅ ⎜⎜1 − f cd ⎝
σ cp
⎞ ⎟⎟ ⎠
ha
0,25 ⋅ f cd < σ cp ≤ 0,5 ⋅ f cd
ha
0,5 ⋅ f cd < σ cp < f cd
átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. A támasz szélétől
0,5 ⋅ d ⋅ cot θ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. a húzott és a nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség
bw z
a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z alkalmazható hatékonysági tényező, általában: ν
ν
α
= 0,9 ⋅ d érték
f ⎞ ⎛ = 0,6 ⋅ ⎜1 − cd ⎟ ⎝ 250 ⎠
a nyírási vasalás síkjának a tar hossztengelyével bezárt szöge. (kengyel esetén felhajlítás esetén α = 45° .)
α = 90° ,
A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg:
V Rd = VRd , s =
Asw ⋅ z ⋅ f ywd ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α s
Ahol:
Asw
a nyírási vasalás keresztmetszeti területe
f ywd s
a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve
Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben a θ = 45° felvétele javasolt. Ha a keresztmetszetben normálerő is működik, akkor a tapasztalatok szerint a nyírási repedések (nyomott rácsrudak) hajlása kisebb. Ha a keresztmetszetben egy N normálerő is működik, akkor javasolható például az alábbi megoldás: ha N = 0 , akkor cot θ = 1
N Rl 1 = ⋅ (Ac ⋅ f cd + ∑ As ⋅ f yd ) , akkor cot θ = 2,5 2 2 1 ha 0 < N < ⋅ (Ac ⋅ f cd + ∑ As ⋅ f yd ) , akkor a két szélső érték között a cot θ értékét az N 2
ha N
>
függvényében lineáris interpolációval határozhatjuk meg.
27
11. Példa: Megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó ellenőrzése nyírásra Anyagjellemzők: Beton:
C20/25 N
fck := 20
Betonacél: γ c := 1.5
2
γ s := 1.15
2
mm
fck
N
fcd = 13.3
γc
2
fyd :=
fyk
mm
Betonfedés:
N
fyk := 500
mm fcd :=
B 60.50
c := 25mm
γs
Kengyel:
N
fyd = 435 B 38.24
φ10
N
fywk := 240
2
mm fywd :=
fywk γs N
fywd = 209
Terhek: g := 80
Önsúly: Hasznos teher:
kN
q := 100
Geometriai jellemzők:
kN
2
mm
γ G := 1.35
m
γ Q := 1.5
m
b := 450mm
gerenda szélessége
a := 0.32m
felfekvési hossz
h := 600mm
gerenda magassága
lnet := 3.8m
szabad nyílás
φh := 20mm
húzott vas átmérője
φk := 10mm
kengyel átmérője
φny := 0
nincs nyomott vasalás, csak szerelő
δ := 10mm
acélbetétek kedvezőtlen elmozdulása
Ac := b ⋅ h
Ac = 2700 cm
2
beton keresztmetszeti területe
2
húzott acélbetétek keresztmetszeti területe
2
As := 9 ⋅
φh ⋅ π 4
As = 2827 mm
A's := 0
nyomott acélbetétek keresztmetszeti területe 2
Asw := 2 ⋅
φk ⋅ π 4
2
Asw = 157 mm
kengyelek keresztmetszeti területe
Elméleti támaszköz kiszámítása: l eff := min⎛⎜ 1.05⋅ lnet , lnet +
⎝
a 2
⋅ 2⎞⎟
Hasznos magasság kiszámítása: φh d := h − c − φk − −δ 2 Mértékadó nyíróerő kiszámítása: ( g ⋅ 1.35 + q ⋅ 1.5) ⋅ leff VEd.max := 2
⎠
2
mm
leff = 3.99 m
d = 545 mm
VEd.max = 514.71 kN
A támasz szélétől 2d távolságban csak megoszló terhelés hat, ezért a nyíróerő redukált értéke: l eff −d 2 VEd.red := VEd.max⋅ VEd.red = 374.1 kN l eff 2
28
A beton által felvehető nyíróerő meghatározása: 1 ⎡⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ 0.18 ⎥ ⎥ 3 ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρ λ ⋅ fck) + 0.15⋅ σ cp⎥ ⋅ b w⋅ d ⎥ ⎢ ⎢ VRd.c := max ⎢ ⎣ γc ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ (ν min + 0.15⋅ σ cp)⋅ bw⋅ d ⎣ ⎦
⎛ ⎝
k := min⎜ 1 +
Ahol:
200 d
⎞ ⎠
, 2.0⎟
k = 1.606
⎛ As ⎞ , 0.02⎟ ⎝ b⋅ d ⎠
ρ λ := min⎜ σ cp := 0
mert
ρ λ = 0.012
NEd := 0kN 3
1
2
2
ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ fck
ν min = 0.319
1 ⎡⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ 0.18 ⎥ ⎥ 3 VRd.c := max⎢ ⎢ ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρ λ ⋅ fck) + 0.15⋅ σ cp⎥ ⋅ b ⋅ d , ( ν min + 0.15⋅ σ cp) ⋅ b ⋅ d⎥ ⋅ N ⎣ ⎣ γc ⎦ ⎦
VRd.c = 134.5 kN
<
szükség van nyírási vasalásra
VEd.red = 374.1 kN
A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróerő meghatározása: VRd.max := α cw⋅ b w⋅ z⋅ ν ⋅ fcd⋅ α cw := 1
cotθ + cotα 1 + ( cotθ)
2
feszítés valamint nyomóerő nélküli keresztmetszet esetén
z := 0.9⋅ d
⎛ ⎝
ν := 0.6⋅ ⎜ 1 −
fck ⎞
⎟
ν = 0.552
250 ⎠
α := 90fok Mivel a tartót nem terheli normálerő: VRd.max := α cw⋅ b ⋅ z⋅ ν ⋅ fcd⋅ VRd.max = 812.3 kN >
cot( θ ) + cot( α ) 1 + ( cot( θ ) )
2
VEd.max = 514.71 kN
θ := 45fok
cot( θ ) = 1
VRd.max = 812.268 kN a beton keresztmetszeti méretei megfelelőek, így a gerenda nyírásra bevasalható
A szükséges kengyeltávolságok meghatározása: A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása: Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: VRd.c < VEd.red leff
(
)
2
t n := VEd.max − VRd.c ⋅ VEd.max
tn = 1.474 m
29
Kengyeltávolságok számítása: A - A' szakaszon: Asw⋅ fywd ⋅ 0.9⋅ d sAA := VEd.red
sAA = 42.982 mm
Az meghatározott kengyelkiosztást kitoljuk B pontig. Ha nem tolnánk ki, az A' - B szakaszon meghatározott kengyeltávolság közel azonos lenne az A - A' szakaszon meghatározottal és ez kivitelezési szempontból előnytelen lenne. sAB := 40mm C - D szakaszon: A C-D szakaszon VRd.c > VEd, ezért itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kegyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg. A kengyelek legnagyobb távolsága: smax := 0.75⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) )
smax = 408.75 mm
sCD := 220mm A kengyeltávolság választása azért esett 220 mm - re, mert ez fölötti érték a szerkesztési szabályoknak nem felelt meg (lásd később). B - C szakaszon: leff VEd.B := VEd.max⋅
2
− 1135mm VEd.B = 221.88 kN
leff 2
sBC :=
Asw⋅ fywd ⋅ 0.9⋅ d VEd.B
sBC = 72.469 mm sBC := 70mm
Alkalmazandó kengyeltávolságok φ10 kengyel esetén:
sAB = 40 mm sBC = 70 mm sCD = 220 mm
Az A - B szakaszon az alkalmazandó kengyeltávolság túl kicsi, ezért a kegyeltávolság növelése érdekében a kengyelátmérőt ajánlott módosítani φ10 - ről φ14 - re. Kengyeltávolságok számítása 14 - es kengyelátmérőhöz: φh φk := 14mm d := h − c − φk − −δ 2 2
Asw := 2 ⋅
φk ⋅ π 4
2
Asw = 308 mm
A - A' szakaszon:
sAA :=
Asw⋅ fywd ⋅ 0.9⋅ d VEd.red
sAA = 83.626 mm
Az meghatározott kengyelkiosztást kitoljuk B pontig. Ha nem tolnánk ki, az A' - B szakaszon meghatározott kengyeltávolság közel azonos lenne az A - A' szakaszon meghatározottal és ez kivitelezési szempontból előnytelen lenne. sAB := 80mm
30
C - D szakaszon: A C-D szakaszon VRd.c > VEd, ezért itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kegyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg. A kengyelek legnagyobb távolsága: smax := 0.75⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) )
smax = 405.75 mm
sCD := 220mm A kengyeltávolság választása azért esett 220 mm - re, mert ez fölötti érték a szerkesztési szabályoknak nem felelt meg (lásd később). B - C szakaszon: leff VEd.B := VEd.max⋅
2
− 1135mm VEd.B = 221.88 kN
leff 2
sBC :=
Asw⋅ fywd ⋅ 0.9⋅ d
sBC = 140.997 mm
VEd.B
sBC := 140mm Alkalmazandó kengyeltávolságok φ10 kengyel esetén:
sAB = 80 mm sBC = 140 mm sCD = 220 mm
A szerkesztési szabályok ellenőrzése, határnyíróerő ábra meghatározása: A - B szakasz: A határnyíróerő értéke:
VRd.AB :=
Asw⋅ fywd sAB
⋅ 0.9⋅ d
VEd.red = 374.1 kN
VRd.AB = 391.06 kN VEd.red < VRd.AB
Tehát megfelel.
Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:
ρ w.AB :=
A fajlagos mennyiség minimális értéke:
ρ w.min :=
Asw
sAB⋅ b ⋅ sin( α ) 0.08⋅ fck fyk
ρ w.min < ρ w.AB
ρ w.AB = 0.86 %
ρ w.min = 0.07 % Tehát megfelel.
A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max := A kengyelek maximális távolsága:
1 α cw⋅ ν ⋅ fcd 1 ⋅ ⋅ 2 1 − cos( α ) fyd smax := 0.75⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) ) smax > sAB
B - C szakasz: A határnyíróerő értéke:
VRd.BC :=
ρ w.max = 0.85 %
Asw⋅ fywd sBC
VEd.B = 221.88 kN
⋅ 0.9⋅ d
sAB = 80 mm
smax = 405.75 mm Tehát megfelel.
VRd.BC = 223.46 kN VEd.B < VRd.BC
Tehát megfelel.
31
Szerkesztési szabályok ellenőrzése:
Asw
A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:
ρ w.BC :=
A fajlagos mennyiség minimális értéke:
ρ w.min :=
ρ w.BC = 0.49 %
sBC⋅ b ⋅ sin( α ) 0.08⋅ fck
ρ w.min = 0.07 %
fyk
Tehát megfelel.
ρ w.min < ρ w.BC A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max :=
1 α cw⋅ ν ⋅ fcd 1 ⋅ ⋅ 2 1 − cos( α ) fyd
ρ w.max = 0.85 %
smax := 0.75⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) )
A kengyelek maximális távolsága:
smax > sBC
smax = 405.75 mm
sBC = 140 mm
Tehát megfelel.
C - D szakasz: Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:
ρ w.CD :=
ρ w.min :=
A fajlagos mennyiség minimális értéke:
Asw
ρ w.CD = 0.31 %
sCD⋅ b ⋅ sin( α ) 0.08⋅ fck
ρ w.min = 0.07 %
fyk
Tehát megfelel.
ρ w.min < ρ w.CD A fajlagos mennyiség maximális értéke: ρ w.max :=
1 α cw⋅ ν ⋅ fcd 1 ⋅ ⋅ 2 1 − cos( α ) fyd
ρ w.max = 0.85 %
smax := 0.75⋅ d ⋅ ( 1 + cot( α ) )
A kengyelek maximális távolsága:
smax > sCD
sCD = 220 mm
smax = 405.75 mm Tehát megfelel.
Határnyíróerő ábra és kengyelkiosztási vázlat:
1120
420
880
420
1120
s = 220 mm s = 80 mm s = 80 mm s = 140 mm s = 140 mm
3,80 3,99 1,135
0,42
0,88
0,42
1,135
V VEd.red VEd
VRd.BC
VRd.c
VRd.AB
32
4.
Melléklet 4.1.
Vasbetonszerkezetek számításánál alkalmazott jelölések és elnevezések Latin nagybetűk
Ac As As,prov As,req Ecm Ec,eff Es Mcr MEd MRd N
– a beton keresztmetszeti területe – az acél keresztmetszeti területe – a betonacél keresztmetszeti területe, amelyet ténylegesen elhelyezünk a keresztmetszetben – a betonacél keresztmetszeti területe, amelyre a teherbírás szempontjából szükség van – a beton húrmodulusa – a beton effektív rugalmassági modulusa – acél rugalmassági modulusa – repesztőnyomaték – a hajlítónyomaték tervezési értéke (vagy mértékadó nyomaték) – a nyomatéki teherbírás tervezési értéke (vagy határnyomaték) – normálerő
– beton feszültségek eredője – a normálerő tervezési értéke (vagy mértékadó normálerő) – a nyomási teherbírás tervezési értéke NRd (vagy határnormálerő) – acélokban keletkező erő Ns – a nyíróerő tervezési értéke (vagy a VEd mértékadó nyíróerő) – a nyírási teherbírás tervezési értéke VRd (vagy határnyíróerő) – méretezett nyírási vasalást nem VRd,c tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása VRd,max – a keresztmetszet nyírási teherbírásának maximuma – méretezett nyírási vasalást tartalmazó VRd,s keresztmetszet nyírási teherbírása
Nc NEd
Latin kisbetűk a as b beff bw d1, d2
d fbd fcd fck fctd fctm fyk fyd g gd gk h lb lbd lc
– a feltámaszkodás széle és az elméleti támasz közti távolság – 1m széles sávra jutó betonacél keresztmetszeti területe – keresztmetszet szélessége – együttdolgozó szélesség – keresztmetszet gerincének szélessége – az 1 ill. a 2 jelű betonacélok távolsága a betonkeresztmetszet szélétől. Általában a (jobban) nyomott szélső száltól mérjük és a húzott acél jele az 1. – hatásos (hatékony) magasság (húzott acélbetét távolsága a (jobban) nyomott szélső száltól, azaz megegyezik d1-gyel) – beton és acél közötti kapcsolati szilárdság – beton nyomószilárdság tervezési értéke – beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke – beton húzószilárdság tervezési értéke – beton húzószilárdság várható értéke – acél folyáshatárának karakterisztikus értéke – acél folyáshatárának tervezési értéke – fajlagos tömeg, vagy önsúly – állandó teher tervezési értéke – állandó teher karakterisztikus értéke – keresztmetszet vagy lemez teljes magassága – lehorgonyzási hossz alapértéke – lehorgonyzási hossz tervezési értéke – konzolkinyúlás
ln leff lo
– szabad nyílás – elméleti támaszköz – nyomatéki zéruspontok távolsága vagy kihajlási hossz mx, my – lemez fajlagos hajlítónyomatékai – terhek tartós és átmeneti pEd teherkombinációja (mértékadó teher, tervezési teher) pqp – terhek kvázi állandó kominációja qd – esetleges teher tervezési értéke qk – esetleges teher karakterisztikus értéke s t tw u xc xco w wk wI, wII z zs
– acélok egymástól mért távolsága – feltámaszkodás hossza – falvastagság – keresztmetszet területe – betonzóna magasság, amelyben nyomás ébred téglalap alakú diagram esetén – nyomott betonzóna magasság határhelyzete (a húzott acélok a képlékeny állapot határán vannak) – lehajlás – a repedéstágasság karakterisztikus értéke – lehajlás első és második feszültségi állapotot feltételezve – a betonban ébredő nyomóerő és a húzott acélban ébredő erő egymástól mért távolsága – a húzott és a nyomott acélban ébredő erők egymástól mért távolsága
Görög betűk αe
– Es/Ec
εcu
– beton összenyomódásának tervezési értéke 33
εuk
κ ξc ξco
– acél megnyúlásának karakterisztikus értéke – acél megnyúlásának tervezési értéke – acélbetét átmérője – állandó teher parciális (biztonsági) tényezője – esetleges teher parciális (biztonsági) tényezője
εud φ γG γQ
ξ`co
– görbület – nyomott betonzóna relatív magassága – relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete a húzott acélokhoz – relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete a nyomott acélokhoz
Indexek I,II b c cr cs d eng E ef, eff eq f G
– első ill. második feszültségállapot – tapadás (bond) – beton (concrete) – repesztő (crack) – beton zsugorodása (concrete shrinkage) – tervezési értéke (design) – megengedett – teherből keletkező hatás (effect) – hatékony, effektív – egyenértékű (equivalent) – öv (flange) – állandó teher
4.2.
k pl prov qp Q r R requ rug s u w y
– karakterisztikus – képlékeny (plastic) – tervezett (provided) – kvázi állandó (quasi permanent) – esetleges teher – sugár(irányú) – ellenállás (resistance) – szükséges (required) – rugalmas – acél (steel) – határ (ultimate) – gerinc (web) – folyás (yield)
Betonok és betonacélok jellemzői
4.2.1.
Betonok jellemzői
A betonszilárdság biztonsági tényezője teherbírási határállapotban: γc = 1,5 fck fcd fctd fctm fbd ϕ(∝,28)
Ecm Ec,eff
– a hengerszilárdságának karakterisztikus értéke (φ150/300 mm- es hengeren mérve) – a beton nyomószilárdságának tervezési értéke (fcd = fck/γc) – a beton húzószilárdságának tervezési értéke (fcm = fck+8) – a beton húzószilárdságának várható értéke – a beton és az acél közti kapcsolati szilárdság általános esetben (jó tapadás esetén), bordás betonacéloknál – a kúszási tényező átlagos végértéke a következő feltételek mellett: állandó ill. tartós terhelés, 70% relatív páratartalom, 28 napos szilárdság megterheléskor, képlékeny konzisztencia betonozáskor, 100 mm egyenértékű lemezvastagság – a beton rugalmassági modulusa (Ecm = 22(fcm/10)0,3) – a beton hatásos alakváltozási tényezője a kúszás végértékével (Ec,eff = Ecm/(1+ϕ(∝,28)) 34
εcs,∝
– a beton zsugorodásának végértéke (feltételek, mint a kúszási tényezőnél) – a beton hőtágulási együtthatója
αt
4.2.2.
Betonacélok jellemzői
A betonacél szilárdságának biztonsági tényezője teherbírási határállapotban: γs = 1,15 * - a B60.40 régebben használatos, ma már nem használt betonacél. fyk fyd εuk φ Es
– a betonacél folyáshatárának karakterisztikus értéke – a betonacél folyáshatárának tervezési értéke (tervezési szilárdság) (fyd = fyk/γs – az acél határnyúlásának karakterisztikus értéke – a betonacél névleges átmérője (bordás acéloknál az azonos tömegű, kör keresztmetszetű rúd átmérője) – a betonacél rugalmassági modulusa
Hegeszthetőségi kategóriák: a – kézi ívhegesztésre előmelegítés nélkül, ponthegesztésre utókezelés nélkül is alkalmas b – ponthegesztésre utókezelés nélkül, valamint leolvasztó tompa hegesztésre is alkalmas c – nem hegeszthető!
4.2.3.
Betonacélok keresztmetszeti területe és fajlagos tömege
Betonacélok keresztmetszeti területe As (mm2), φ a betonacél névleges átmérője (mm):
35
Betonacélok folyóméterének tömege g (kg/m):
1 méter széles sávra jutó acélbetétek keresztmetszeti területe as (mm2/m), ha az acélok távolsága s (mm):
4.3.
Az elméleti támaszköz
Az elméleti támaszköz:
l eff = l n + a1 + a 2 ln ai
–
a szabad nyílás
–
⎧h⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ai = min ⎨ 2 ⎬ ⎪t ⎪ ⎩⎪ 2 ⎭⎪
ai (i=1 ; 2) a bal és jobb oldalon az elméleti támaszvonal és a feltámaszkodás széle közti távolság, h a tartó (gerenda vagy lemez) magassága, t a feltámaszkodás hossza. 36
4.4.
Vasbetonszerkezetek szerkesztési szabályai az Eurocode 2 alapján
Betonfedés A megfelelő betonfedés célja a tartóssági követelmények kielégítése, a betonacél korrózió és tűz elleni védelme és a kapcsolati erők biztonságos átadása. A betonfedés értékét az épület/építmény környezete határozza meg. Pl.: Általános esetben, mérsékelt nedvességtartalom mellett nedves, ritkán száraz környezetben:
c min,dur = 25 mm
Más esetekben a szerkezetet érő környezeti hatások figyelembe vételével növelendő. A betonacélok (pl. hosszvasak, kengyelek) betonfedése elégítse ki az alábbi feltételt:
c nom
⎧c min,b ⎫ ⎪ ⎪ ≥ 10 mm + max ⎨c min,dur ⎬ ⎪10 mm⎪ ⎭ ⎩
c min,b
– a tapadáshoz szükséges elméleti
c min,dur
minimális betonfedés. Ez általában egyenlő az acélbetét átmérőjével. – a szerkezet jellemzőitől és a környezeti feltételtől függ.
A terveken mindig a felülethez közelebb lévő acélbetétre vonatkozóan tüntetjük fel a betonfedést. Betonacélok közötti távolság A betonacélok közötti legkisebb távolság (a kibetonozhatóság és az átrepedés elkerülése érdekében):
a min
⎧φ ⎪ = max ⎨20 mm ⎪d + 5 mm ⎩ g
φ
–
betonacél névleges átmérője
dg
–
az adalékanyag legnagyobb szemnagysága
A vasak közti legnagyobb távolság:
a max = 400 mm
Betonacélok lehorgonyzása, kampók kialakítása Az acélbetéteket végeiken az erőátadás céljából le kell horgonyozni. Húzásra illetve nyomásra kihasznált egyenes acélbetét lehorgonyzási hosszának lb alapértéke (φ ≤ 32 mm esetén)
lb = f bd
–
φ f yd
⋅ = c ⋅φ 4 f bd
a tapadófeszültség alapértéke
c értékeit a következő táblázat adja meg:
37
300 mm magas vagy annál magasabb gerendák felső acélbetéteinél c értékét a rossz tapadási feltételek miatt 43% - kal növelni kell. A lehorgonyzási hossz tervezési értéke:
l bd
As ,req ⎫ ⎧ ⎪lb ,eq ⎪ As , prov ⎬ = max ⎨ ⎪l ⎪ ⎩ b ,min ⎭
lb ,eq
–
a húzásra kihasznált betonacél lehorgonyzási hossza l b ,eq = α a ⋅ l b
αa
–
a lehorgonyzás módját figyelembe vevő szorzó, értéke: egyenes vasvég esetén:
α a = 1,0
kampós vagy hurkos acélbetét esetén:
α a = 0,7
lb – As ,req –
a lehorgonyzandó szükséges vaskeresztmetszeti terület
As , prov –
a tényleges vaskeresztmetszeti terület
lb ,min
–
a lehorgonyzási hossz alapértéke
⎧10 ⋅ φ ⎫ ⎬ ⎩100 mm⎭
a minimális lehorgonyzási hossz l b ,min = max ⎨
Betonacélok jellemző lehorgonyzási módjai és a hozzájuk tartozó
αa
értékek:
: Példák kengyelek, nyírási vasak végeinek kialakítására:
38
Betonacélok toldása: A toldási hossz általában megegyezik a lehorgonyzási hosszal, de ha az acélbetétek több mint a negyedét toldjuk egy keresztmetszetben, a toldási hosszat α 6 szorzóval növelni kell. A toldási hossz:
⎧α 6 ⋅ lbd ⎫ l o = max ⎨ ⎬ ⎩l o ,min ⎭
α6
–
értéke az átfogásos toldás tengelyétől 0,65 ⋅ l 0 távolságon belül toldott acélok arányától függ az alábbi táblázat szerint:
l o ,min
–
arány:
≤ 25%
≥ 50%
α6
1,0
1,5
⎧15 ⋅ φ ⎫ ⎬ ⎩200 mm⎭
a toldási hossz minimális értéke l o ,min = max ⎨
Gerendákra vonatkozó szabályok Vasbeton gerendákon hajlított-, nyírt, rúdszerű elemeket értünk. Hajlítási vasalás A húzott vasalás legkisebb előírt mennyisége: Négyszög keresztmetszet esetén:
As ,min = ρ min ⋅ bt ⋅ d f ctm ⎫ ⎧ ⎪0,26 ⋅ f ⎪ = max ⎨ yk ⎬ ⎪0,0013 ⎪ ⎩ ⎭
ρ min
–
a minimális húzott vashányad
bt d
–
a húzott zóna átlagos szélessége
–
a keresztmetszet hatékony magassága
ρ min
T szelvény esetén, ha a fejlemez nyomott, csak a gerinc szélességét kell bt számításánál figyelembe venni, ha a fejlemez húzott, bt a nyomott borda szélességének kétszerese.
39
Az összes hosszvasalás megengedett legnagyobb mennyisége egy keresztmetszetben:
As ,max = 0,04 ⋅ Ac –
Ac
a teljes betonkeresztmetszet területe
Átfogásos toldásoknál ennek kétszerese megengedett. Tartóvégek részleges befogása: Monolit gerendák részlegesen befogott végeit a befogási nyomatékra méretezni kell. A figyelembe vett befogási nyomaték nem lehet kisebb, mint a maximális mezőnyomaték 15%-a. Alsó hosszvasalás lehorgonyzása támasz fölött: A mezővasalás legalább 1/3 – át mindkét irányban az elméleti támaszon túl kell vezetni. Szélső támasznál a vasalást az FEd =
M Ed húzóerőre kell lehorgonyozni (z a belső erők karja), a z
lehorgonyzást a támasz belső síkjától kell számítani. Közbenső támasznál az alábbi változatok valamelyike alkalmazható:
Nyírási vasalás Méretezett nyírási vasalás alkalmazása esetén a nyíróerőnek legalább a felét kengyelekkel kell felvenni.
ρw =
Nyírási vashányad:
0,08 ⋅ f ck Asw ≥ s ⋅ bw ⋅ sin α f yk
Asw
–
az s hosszúságú szakaszon elhelyezett nyírási vasalás keresztmetszeti
s bw
– –
területe a nyírási acélbetétek távolsága a gerenda hossztengelyén mérve gerincszélesség
–
a nyírási vasalás és a gerenda hossztengelye által bezárt szög
α
0,08 ⋅ f yk
f ck
= ρ w,min
–
a minimális nyírási vashányad
Nyírási vasalási elemek legnagyobb távolsága Kengyelek maximális távolsága a hossztengely mentén mérve:
s max = 0,75 ⋅ d ⋅ (1 + cot α )
Felhajlított acélbetétek maximális távolsága a hossztengely mentén mérve:
s max = 0,6 ⋅ d ⋅ (1 + cot α )
Kengyelszárak maximális keresztirányú távolsága:
40
⎧0,75 ⋅ d ⎫ s max = min ⎨ ⎬ ⎩600 mm⎭ Lemezekre vonatkozó szabályok Általában lemezeknek nevezzük az olyan, túlnyomórészt hajlításra igénybevett sík középfelületű elemeket, amelyeknek szélességi mérete nagyobb, mint a vastagság négyszerese, és középsíkjuk többnyire vízszintes. Monolit lemezek legkisebb vastagsága Nyírási vasalás nélkül: hmin = 70 mm Nyírási vasalás alkalmazása esetén: hmin = 200 mm A vasalás legkisebb és legnagyobb mennyisége A húzott hajlítási vasalásra előírt minimális és maximális vashányad a gerendákéval megegyező. Egyirányban teherhordó lemezek elosztó vasalásának keresztmetszete – azonos acél szilárdsági osztály esetén – legalább a fővasalásénak 20% - a legyen, a minimális vashányad biztosításával. A legnagyobb vastávolság Egyirányban teherhordó lemezeknél: A hosszirányú acélbetétek távolsága nem lehet nagyobb Főirányban 3,0h és 400 mm közül a kisebbik Mellékirányban 3,5h és 450 mm közül a kisebbik Koncentrált terhek környékén: Főirányban 2,0h és 250 mm közül a kisebbik Mellékirányban 3,0h és 400 mm közül a kisebbik Kétirányban teherhordó lemezeknél mindkét irányban a fővasalásra vonatkozó szabályokat kell alkalmazni. Legnagyobb vasátmérő:
φ max ≤
h 10
Vasalás a támaszok környezetében A méretezett alsó mezővasalás legalább 50%-át a támaszig kell vezetni és ott megfelelően le kell horgonyozni. A felső vasalást Szélső nem befogott támasz esetén a szélső mezőnyomaték 15%-ára kell méretezni és a mező 0,1-szeres hosszáig be kell vezetni Belső támasz esetén a szomszédos mezőnyomatékok nagyobbikának legalább 25%-ára kell méretezni, és mindkét mező minimum 0,2-szeres hosszán végig kell vezetni. Sarkaiknál felemelkedésükben gátolt, kétirányban teherbíró lemezek sarkainál a csavarónyomatékok felvételére kétirányú felső vasalást kell tervezni, melynek intenzitása megegyezik a rövidebb irányban futó alsó vasaláséval, és mindkét irányban a megfelelő támaszköz 0,2 szereséig be kell vezetni.
Konzollemez bekötése Konzollemez felső húzott vasalását legalább a konzolkinyúlás 25%-kal megnövelt értékével megegyező hosszal túl kell vezetni a támaszvonalon. Szabad lemezszélek vasalása Szabad lemezszélek mentén szegő vasalást kell kialakítani, amely a fővasalás visszagörbítésével vagy kiegészítő U alakú vasak elhelyezésével történhet.
41
Oszlopokra vonatkozó szabályok Vasbeton oszlopon olyan nyomott rudakat értünk, amelyeknek nagyobbik keresztmetszeti mérete a kisebbik oldalméretnek legfeljebb négyszerese, azaz
h ≤ 4. b
Tömör keresztmetszetű oszlopok legkisebb oldalmérete Álló helyzetben betonozott oszlopok esetén: bmin ≥ 200 mm Fekvő helyzetben betonozott oszlopok esetén: bmin ≥ 120 mm A hosszvasalásra vonatkozó szabályok Minimális acélbetét átmérő: φ min = 8 mm Minimális acélmennyiség: As , min
⎧ N Ed ⎫ ⎪0,1 f ⎪ = max ⎨ yd ⎬ ⎪0,002 ⋅ A ⎪ c⎭ ⎩
Maximális acélmennyiség: As , max = 0,04 ⋅ Ac , átfogásos toldásnál ennek kétszerese is lehet Központosan nyomott oszlopok hosszvasalásának toldásánál a toldási hossz: l bd A vasalási elemek közötti legnagyobb távolság (s) – Hosszvasalás: o Derékszögű négyszög ( h ≤ 400 mm ) esetén legalább minden sarokban egy acélbetét o Általános alakú, derékszögű négyszögekből összetett, derékszögű négyszög alakú, h > 400 mm vagy poligonális oszlopkeresztmetszet esetén s ≤ 300 mm és minimum minden sarokban egy acélbetét o Kör alakú oszlopkeresztmetszet esetén legalább 6 db hosszbetét és s ≤ 300 mm –
Kengyeltávolság
s s ,max
⎧12 ⋅ φ min ⎪ = min ⎨hmin ⎪400 mm ⎩
φ min
–
a legkisebb hosszvas átmérő
hmin
–
a legkisebb oldalméret
42
A kengyelátmérő legalább a legnagyobb hosszvas átmérő ¼ - e:
φs ≥
φ 4
legyen, de minimum 6 mm.
Kengyelszárak keresztezési pontjaiban hosszvasat (szerelővasat) kell alkalmazni. Kengyelsűrítés erőbevezetési helyek közelében és iránytörésnél Oszlophoz csatlakozó gerendák vagy lemezek alatt és fölött, az oszlop nagyobbik oldalméretének megfelelő hosszon, valamint φ14-nél nagyobb átmérőjű hosszbetétek átfogásos toldási szakaszán a minimális kengyeltávolságra 0,6-os szorzó alkalmazandó. Hosszbetétek 1/12-es arányt meghaladó iránytörésénél a ferde irányú nyomóerő vízszintes komponensére méretezni kell a kengyelezést. Oszlop és gerenda csatlakozásánál az oszlop kengyelezését kell végigvinni és a gerenda kengyelezése szakad meg. Hosszvasak helyzetbiztosítása Mindegyik hosszbetét helyzetét biztosítani kell oldalirányú elmozdulás ellen. A sarkokban lévő hosszbetétek helyzete a kengyelezéssel biztosítottnak tekinthető. A keresztmetszet nyomott részén egyetlen acélbetét sem lehet 150 mm-nél távolabb egy biztosított helyzetű hosszbetéttől. Szükség esetén pótkengyelt kell alkalmazni.
4.5.
Közelítő méretfelvétel
Ebben a fejezetben szereplő képletek, összefüggések a Dr. Kollár Lajos – Dr. Nédli Péter – Tartószerkezetek tervezése című könyvből származnak. Központosan nyomott vasbeton oszlop területe:
Ac =
N f cd
(feltételezve, hogy a kihajlási csökkentő szorzót az acélbetétek kompenzálják) Hajlított tartók h magassága (kb 5 kN/m2 hasznos teherig): Gerendák:
l 20 l Többtámaszú: h ≈ 25
Kéttámaszú: h ≈
Konzol:
A k kinyúlású konzol egy l = 2 ⋅ k támaszközű, kéttámaszú tartóval egyenértékű.
Amennyiben a gerenda egy keretszerkezetnek az alkotó eleme és ez a keretszerkezet biztosítja az épület vízszintes merevségét is, akkor nagyobb magasság szükséges!
43
Lemezek:
l 25 l Egyirányban teherbíró, többtámaszú: h ≈ 30 Egyirányban teherbíró, kéttámaszú: h ≈
Kétirányban teherbíró, szabadon támaszkodó: h ≈ Kétirányban teherbíró, többtámaszú: h ≈
L 25
l 30
Pontonként megtámasztott síklemez födém: h ≈
l 25
Gombafejekkel alátámasztott síklemez födém: h ≈
l 30
Felhasznált irodalom Kész Mária: Tartószerkezet tervezés 3, vasbetonszerkezetek. Főiskolai jegyzet, JPTE-PMMFK, 1994. Farkas György – Huszár Zsolt – Kovács Tamás – Szalai Kálmán: Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján – Közúti hidak, épületek.TERC Kft, 2006. Deák György – Draskóczy András – Dulácska Endre – Kollár László – Visnovitz György: Vasbetonszerkezetek – tervezés az Eurocode alapján. Springer Media Magyarország Kft, 2006.
44
