PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építő mérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

V É G E S E L E M E S

EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK

M O D E L L E Z É S PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére

„Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése” HEFOP/2004/3.3.1/0001.01

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés

VÉGESELEMES MODELLEZÉS

CSÉBFALVI ANIKÓ Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar, Szilárdságtan és Tartószerkezetek Tanszék

2007 2

PMSTNB 260


Kiadó: Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki Kar Cím: Pécs, Boszorkány út 2. Telefon/Fax: 36 72 503-650/2801 Szerző: Csébfalvi Anikó ([email protected]) ISBN 978-963-642-205-9

3

PMSTNB 260


Részletes tantárgyprogram: Hét Ea/Gyak Témakör 1. 2 óra előadás A végeselemes modellezés alapjai. Rúdelemek modellezése. Az elemi tartó merevségi mátrixa és mechanikai jelentése. Tehervektor meghatározása. 2 óra gyakorlat Rúdelemek modellezése. Az elemi tartó merevségi mátrixa és mechanikai jelentése. Tehervektor meghatározása. 2. 2 óra előadás Rúdszerkezetek modellezése. Ferde helyzetű rúdelem. Lokális és globális koordináta rendszerek. Koordináta transzformációk. 2 óra gyakorlat 1. OGY. AZ ELEMI TARTÓ MEREVSÉGI MÁTRIXÁNAK ELŐÁLLÍTÁSA. 3. 2 óra előadás Gerenda tartók végeselemes modellezése. Folytatólagos gerendatartók végeselemes modellezése. 2 óra gyakorlat Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megoldása az AXIS program segítségével. 4. 2 óra előadás Rugalmas ágyazású gerendatartók végeselemes modellezése.

5.

2 óra gyakorlat Rugalmas ágyazású gerendatartók megoldása az AXIS program segítségével 2 óra előadás I. ZH. RÚDSZERKEZETEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE.

6.

2 óra gyakorlat Síkbeli és térbeli keretek megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás Ferde helyzetű tartók végeselemes modellezése. Koordináta transzformációk.

7.

8.

9

2 óra gyakorlat Ferde helyzetű tartók megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás Síkbeli keretek végeselemes modellezése. A merevségi mátrix és a tehervektor meghatározása. 2 óra gyakorlat 2. OGY. SÍKBELI KERETEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE. 2 óra előadás Tárcsák végeselemes modellezése. Alapegyenletek. Alakváltozások és belső erők vektora. Háromszög elemek. 2 óra gyakorlat Tárcsa feladatok megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás Tárcsák végeselemes modellezése. Négyszög elemek. Elemi merevségi mátrix.

10. 11.

2 óra gyakorlat Tárcsa feladatok megoldása az AXIS program segítségével. TAVASZI SZÜNET 2 óra előadás Tárcsák végeselemes modellezése. Az egyenletrendszer felírása.

12.

2 óra gyakorlat 3. OGY. TÁRCSÁK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE. 2 óra előadás Lemezek végeselemes modellezése. Alapegyenletek. Négyszögelemek.

13.

14.

15.

2 óra gyakorlat Lemezfeladatok megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás Lemezek végeselemes modellezése. A közelítés pontossága. További lemezmodellek. 2 óra gyakorlat Lemezfeladatok megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás II. ZH. LEMEZEK VÉGESELEMES MODELLEZÉSE 2 óra gyakorlat Rugalmas ágyazású lemezek megoldása az AXIS program segítségével. 2 óra előadás PÓTLÁSOK 2 óra gyakorlat Rugalmas ágyazású lemezek végeselemes modellezése.

4

PMSTNB 260


TARTALOMJEGYZÉK: 1. A végeselemes modellezés alapjai 1.1. Rúdelemek modellezése 1.2 Az elemi tartó merevségi mátrixa és mechanikai jelentése. 1.3 Tehervektor meghatározása

7 7 9 11

2. Rúdszerkezetek modellezése 2.1 Ferde helyzetű rúdelem 2.2 Koordináta transzformációk

13 13 14

3. Gerendatartók végeselemes modellezése 3.1 Folytatólagos gerendatartók végeselemes modellezése 3.3 Síkbeli és térbeli rácsos tartók megoldása az AXIS program segítségével

19 19 21

4. Törtvonalú gerendatartók végeselemes modellezése. 4.1 A merevségi mátrix előállítása 4.2 Az egyenletrendszer felírása 4.3 Törtvonalú gerendatartók megoldása az AXIS program segítségével

23 23 25 26

5. Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megoldása az AXIS program segítségével 5.1 Síkbeli rúdszerkezetek 5.2 Térbeli rúdszerkezetek megoldása az AXIS program segítségével

27 27 29

6. Síkbeli keretek végeselemes modellezése 6.1 Elmozdulás paraméterek a lokális és globális koordinátarendszerben 6.2 A globális merevségi mátrix előállítása

33 33 34

7. Síkbeli és térbeli keretek végeselemes megoldása az AXIS VM8 program segítségével 7.1 Síkbeli keretek. Merev és félmerev kialakítású oszlop-gerenda kapcsolatok 7.1 Térbeli keretek modellezése az AXIS VM8 program segítségével

37 37 39

8. Tárcsák végeselemes modellezése 8.1 Alapegyenletek 8.2 Háromszög elemek 8.3 Az egyensúlyi egyenletek 8.4 Tárcsa feladatok megoldása az AXIS program segítségével

41 41 42 44 46

9. Tárcsák végeselemes modellezése 9.1 Négyszög elemek 9.2 Az elemi merevségi mátrix

47 47 49

10. Tárcsák végeselemes modellezése 10.1 Az elemi merevségi mátrix meghatározásának bemutatása egy adott példán keresztül 10.2 A redukált terhek meghatározásának bemutatása egy adott példán keresztül

51 51 53

11.

55

Lemezek végeselemes modellezése

5

PMSTNB 260 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Alapfogalmak Alakváltozások és belső erők vektora Négyszög elemek Az alakváltozások meghatározása Az elemi tartó merevségi mátrixa és a tehervektor

Végeselemes modellezés 55 55 56 58 61

12. Lemezek végeselemes modellezése 12.1 A közelítés pontossága - további lemez modellek 12.2 Kilenc szabadságfokú nemkonform háromszögelem 12.3 Huszonegy szabadságfokú konform háromszögelem

62 62 62 64

13.

Lemezfeladatok megoldása az AXIS program segítségével

65

14.

Rugalmas ágyazású lemezek végeselemes modellezése

70

Irodalomjegyzék

72

6

PMSTNB 260


1. A végeselemes modellezés alapjai A végeselemes modellezést a tartószerkezetek igénybevételeinek megoldó módszereként alkalmazzuk a tartószerkezeti mechanikában. A tantárgy keretén belül foglakozunk a rúdszerkezetek, ezen belül a keretek és gerendatartók végeselemes modellezésével, továbbá a lemez és tárcsa feladatok végeselem-módszerrel történő megoldásával. A félév során az AXIS VM8 programcsomag alkalmazásával ellenőrizzük a bemutatásra kerülő egyszerűbb feladatok végeselemes modellezést. Bemutatjuk az AXIS VM8 programcsomag alkalmazási lehetőségeit nagyméretű, összetett tervezési feladatok megoldására is. 1.1. Rúdelemek modellezése A rúdszerkezetek elemi tartórészekre bontásával, illetve az elemi tartók modellezésén keresztül határozzuk meg a rúdszerkezetek elmozdulás módszeren alapuló egyenletrendszerét. L

1

u1

EI,

2 u 2

EA

w1

w2

w ( x) ϕ1 z, w

x, u

ϕ2 deformált alak

1.1 ábra: A deformált tartó elmozdulásai

Határozzuk meg az 1.1 ábra szerinti elemi tartó u(x), w(x) eltolódásainak közelítő értékét az alábbi polinomokkal: u(x) = a1 + a2x

(1.1)

w(x) = a3 + a4 x + a5x2 + a6x3

(1.2)

7

PMSTNB 260


Az 1.1 és 1.2 kifejezések mátrix alakban történő felírásával az alábbi egyszerű formát kapjuk: u = Xa (1.3) ahol

uT = [u w ] ,

aT = [a1

a2

a3

a4

⎡1 x 0 0 0 X=⎢ 2 ⎣0 0 1 x x

(1.4)

a5

a6 ],

(1.5)

0⎤ . x3 ⎥⎦

(1.6)

A rúdelem teljes elmozdulás-rendszerét ezek után az alábbi formában adhatjuk meg: dT = [u1 w1

φ1 u2 w2

φ2 ] .

(1.7)

Az 1.3 kifejezés behelyettesítésével kapjuk az elemi tartó elmozdulásaira vonatkozó általános formát:

ahol

d = Aa , ⎡ 1 x1 ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 A=⎢ ⎢ 1 x2 ⎢0 0 ⎢ ⎢⎣0 0

0

0

1 0 0

x1 1 0

0

x12

2x1 0

1 x2 x22 0 1 2x2

0 ⎤ ⎡1 x13 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 3x12 ⎥ ⎢0 ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎢1 x23 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 3x22 ⎥⎦ ⎢⎣0

(1.8) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 L 0 0 0 1 L 0 0 1

0

0 ⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥. 0 0 ⎥ L2 L3 ⎥ ⎥ 2L 3L2 ⎥⎦

(1.9)

Az 1.8 mátrix egyenlet megoldásával meghatározható az a együtthatók vektora:

ahol

a = A −1d ,

(1.10)

8

PMSTNB 260


A −1

0 ⎡ 1 ⎢− 1 / L 0 ⎢ ⎢ 0 1 =⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 − 3 / L2 ⎢ 3 / L3 ⎢⎣ 0

0 0 0 1

0 1/ L 0 0

− 2/ L 1 / L2

0 0

0 0 0 0

3 / L2 − 2 / L3

0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ − 1 / L⎥ ⎥ 1 / L2 ⎥⎦

(1.11)

1.2 Az elemi tartó merevségi mátrixa és mechanikai jelentése. Az elemi tartó elmozdulásait behelyettesítjük az 1.10 egyenletet:

meghatározhatjuk,

ha

az

1.3

kifejezésbe

u = XA−1d .

(1.12)

N = XA−1 ,

(1.13)

Vezessük be az alábbi kifejezést:

ahol N az alakfüggvények (bázisfüggvények) mátrixa. Az N mátrix az 1.13 szerinti mátrixszorzás elvégzése után az alábbi formában írható: 0 0 N4 0 0⎤ ⎡N N=⎢ 1 ⎥, ⎣ 0 N2 N3 0 N5 N6 ⎦

(1.14)

ahol

N1 = 1 − x / L

N4 = x / L

N2 = 1 − 3x2 / L2 + 2x3 / L3

N5 = 3x2 / L2 − 2x3 / L3

(

)

N3 = x / L − 2x2 / L2 + x3 / L3 L

(

)

N6 = − x2 / L2 + x3 / L3 L

Az elemi tartó egyenletrendszerének meghatározásához szükségünk van az anyagtörvény, valamint a belső erők és az alakváltozások közötti összefüggések ismeretére. Az 1.2 ábra szerinti belső erők és az elmozdulások közötti kapcsolatok szilárdságtani ismereteink alapján az alábbi formában írhatók: S1 (x) = N(x) = EA du / dx

(1.15)

S2 (x) = Q(x) = −EI d3w / dx3

(1.16) 9

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés 2

S3 (x) = M(x) = −EI d w / dx

S2

S1

2

2

1

S3

(1.17)

L

S5

S4

S6

1.2 ábra: A rúdvégi belső erők

Az 1.15-1.17 összefüggések alapján látható, hogy az alakváltozások az elmozdulások függvényei. Vegyük észre továbbá, hogy a rúdvégi nyíróerők a rúdvégi nyomatékok alapján meghatározhatók, a feladatunk ez által kétváltozósra redukálódik. Legyen a belső erők vektora: ST = [S1 S3 ]

(1.18)

Az alakváltozások és az elmozdulások közötti kapcsolat felírásához vezessük be az alábbi operátort: 0 ⎡d / dx ⎤ D=⎢ 2 2⎥ − d / dx ⎦ ⎣ 0

(1.19)

Lineárisan rugalmas anyagot feltételezve, az anyagtörvény mátrixa a következő: ⎡EA 0 ⎤ E=⎢ ⎥ ⎣ 0 EI⎦

(1.20)

ε = Du = DXA−1d = BA−1d ,

(1.21)

Az alakváltozások vektora

ahol

10

PMSTNB 260


0 ⎤ ⎡0 1 0 0 0 B = DX = ⎢ ⎥. ⎣0 0 0 0 − 2 − 6x ⎦

(1.22)

A belső erők vektora az 1.15-1.17 összefüggések alapján, valamint 1.22 behelyettesítésével a következő eredményt kapjuk:

S = EDu = EDXA−1d = EBA −1d = Kd ,

(1.23)

azaz 0 ⎡ S1 ⎤ ⎡ EA / L ⎢S ⎥ ⎢ 0 12EI / L3 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢S3 ⎥ ⎢ 0 6EI / L2 ⎢ ⎥=⎢ 0 ⎢S4 ⎥ ⎢− EA / L ⎢S5 ⎥ ⎢ 0 − 12EI / L3 ⎢ ⎥ ⎢ 6EI / L2 ⎣⎢S6 ⎦⎥ ⎢⎣ 0

0 6EI / L2 4EI / L 0 − 6EI / L2 2EI / L

0 − EA / L 0 − 12EI / L3 0 EA / L 0 0

− 6EI / L2 0 12EI / L3 − 6EI / L2

0 ⎤ ⎡ d1 ⎤ 2 ⎥⎢ ⎥ 6EI / L ⎥ ⎢ d2 ⎥ 2EI / L ⎥ ⎢ d3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ .(1.24) 0 ⎥ ⎢d4 ⎥ − 6EI / L2 ⎥ ⎢d5 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 4EI / L ⎥⎦ ⎢⎣d6 ⎥⎦

Az elemi tartókra vonatkozó 1.24 szerinti merevségi mátrix megegyezik a Tartók statikája tantárgy keretében ismertetett mátrix-elmozdulás módszer elemi tartókra meghatározott merevségi mátrixával. (Lásd: Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája ) 1.3 Tehervektor meghatározása Az egyensúlyi egyenletrendszer felírásához szükségünk van a rúdvégekre redukált csomóponti terhek meghatározására. A tehervektor fogalma és mechanikai jelentése szintén a Tartók statikája tantárgy keretében került bevezetésre. A végeselemes modellezés esetén a tehervektor meghatározására a külső potenciális energia függvényből indulunk ki. Az 1.14 kifejezés szerinti alakfüggvények behelyettesítésével határozzuk meg a tehervektort, azaz a rúdvégekre redukált megoszló terhet. fN

fT

q1

q4 q3

q2

1

L

2

q5

q6

1.3 ábra: A rúdvégekre redukált terhek

11

PMSTNB 260


L

L

0

0

πk = − ∫ fN (x)u(x)dx − ∫ fT (x)w(x)dx ,

L

πk = − ∫ [fN 0

L

πk = − ∫ [fN 0

fT ]udx ,

0 0 N4 ⎡N fT ]⎢ 1 ⎣ 0 N2 N3 0

(1.25)

(1.26)

0 N5

0⎤ ddx , N6 ⎥⎦

(1.27)

πk = − qT d ,

(1.28)

⎡ fNN1 ⎤ ⎡ fNL / 2 ⎤ ⎡ q1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢q ⎥ ⎢ fT N2 ⎥ ⎢ fT L / 2 ⎥ ⎢ 2⎥ L ⎢f N ⎥ ⎢ fT L2 / 12 ⎥ ⎢ q3 ⎥ T 3 q = ⎢ ⎥ = −∫ ⎢ ⎥dx = − ⎢ ⎥. 0 ⎢fNN4 ⎥ ⎢ fNL / 2 ⎥ ⎢q4 ⎥ ⎢ f N5 ⎥ ⎢ f L /2 ⎥ ⎢ q5 ⎥ ⎢T ⎥ ⎢ T 2 ⎥ ⎢ ⎥ f N ⎢⎣ q6 ⎥⎦ ⎣⎢ T 6 ⎦⎥ ⎣⎢− fT L / 12⎦⎥

(1.29)

ahol

Megjegyezzük, hogy az 1.29 szerinti eredmény megegyezik a mindkét végén befogott tartó esetén meghatározott reakció erőkkel, illetve nyomatékokkal. (Lásd: Kurutzné Kovács Márta: Tartók statikája MK 2003)

12

PMSTNB 260

2.


Rúdszerkezetek modellezése

A teljes potenciális energia minimum tétele alapján meghatározhatjuk az egyensúlyi feltételt biztosító mátrix egyenletrendszert. Az előző fejezetben meghatározott, a belső erők és rúdvégi elmozdulásokra vonatkozó 1.24 kifejezés alapján a teljes potenciális energia függvény:

π=

1 T d Kd − dT q , 2

(2.1)

ahol q a tehervektort jelöli. A potenciális energia minimum tétele alapján: ∂ ⎛1 T ∂π T ⎞ = ⎜ d Kd − d q ⎟ = 0 , ∂d ∂d ⎝ 2 ⎠

(2.2)

Kd = q .

(2.3)

Az egyensúlyi egyenletrendszer pontosan annyi egyenletet tartalmaz amennyi az elmozdulás változók száma, a merevségi mátrix pedig, kvadratikus, így a megoldás az alábbi formában keresendő:

d = K −1 q .

(2.4)

2.1 Ferde helyzetű rúdelem Mielőtt rátérnénk a rúdszerkezetek végeselemes megoldására, vizsgáljuk meg, hogyan módosul az egyenletrendszerünk általános helyzetű tartó (2.1 ábra) esetén. A 2.1 ábrán feltüntettük az elemi tartó elmozdulásait a tartóhoz rendelt x, z lokális koordinátarendszerben. A globális X, Z koordinátarendszerben az elmozdulásokra az

u∗, w∗ jelölést vezetjük be. A csomóponti elmozdulások vektora legyen d∗ . A tehervektort

q∗ ,

a

merevségi

mátrixot

pedig,

K∗

jelöli

a

globális

koordinátarendszerben.

13

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés d1

∗

X, u

d2

1

d3

α Z, w∗ z, w

2

d5 d4

d6

x, u

2.1 ábra: Ferde helyzetű rúdelem a lokális és globális koordináta rendszerben

2.2 Koordináta transzformációk

Az x, z lokális koordinátarendszer és a globális X, Z koordinátarendszer közötti kapcsolatot az alábbi koordináta transzformációkkal adjuk meg:

illetve

⎡x ⎤ ⎡ cos α sin α ⎤ ⎡X⎤ ⎢z ⎥ = ⎢− sin α cos α ⎥ ⎢Z ⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.5)

⎡X⎤ ⎡cos α − sin α ⎤ ⎡x ⎤ ⎢Z ⎥ = ⎢ sin α cos α ⎥ ⎢z ⎥ . ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

(2.6)

A rúdelem elmozdulás vektorát hasonló módon transzformáljuk a lokális koordinátarendszerből a globálisba, illetve globálisból a lokális rendszerbe. A 2.1 ábra szerinti lokális koordinátarendszerben megadott dT = [d1 d2 d3 d4 ∗T

globális d

[

= d1∗ d2∗ d3∗ d4∗

]

d5

d6 ] és a

d5∗ d6∗ elmozdulás vektor közötti transzformációk: d = Td∗ ,

(2.7)

d∗ = T −1d = T T d ,

(2.8)

illetve

14

PMSTNB 260


ahol a transzformáló mátrix

⎡ cos α sin α ⎢− sin α cos α ⎢ ⎢ 0 0 T=⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0 1 0 0 0

0

0

0⎤ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥. cos α sin α 0⎥ − sin α cos α 0⎥ ⎥ 0 0 1 ⎥⎦

(2.9)

Megjegyzés: A T transzformáló mátrix speciális tulajdonságú mátrix, mivel mindig igaz, hogy T -1 = T T . A tehervektor transzformációját az előzőekhez hasonló módon állítjuk elő:

illetve ahol qT = [q1 2.2

ábra)

és

q2

q3 q4

[

T

q5

q∗ = q1∗ q2∗

q = Tq∗ ,

(2.10)

q∗ = T −1d = T T q ,

(2.11)

q6 ] a lokális koordinátarendszerben megadott (lásd q3∗ q4∗

q5∗

transzformált csomóponti terhek vektora.

q6∗

]

a

globális

koordinátarendszerbe

X, q1∗

q1

q2

1

q3∗ α

q3

Z, q2∗

z

2

q6 q4

q5

x

2.2 ábra: A rúdvégre redukált terhek a lokális és globális koordináta rendszerben

15

PMSTNB 260


A merevségi mátrix transzformációját a csomóponti elmozdulásokra vonatkozó 2.7, illetve a csomóponti terhekre vonatkozó 2.10 kifejezések 2.3 egyenletrendszerbe való behelyettesítéssel vezetjük le. KTd∗ = Tq∗ ,

(2.12)

T −1KTd∗ = q∗ .

(2.13)

Mivel T −1 = T T , az egyensúlyi egyenletrendszer transzformált alakja a következő formában írható: K∗d∗ = q∗ ,

(2.14)

ahol K∗ = T T KT a transzformált merevségi mátrix.

2.1 példa Határozzuk meg a 2.3 ábra szerinti rúdelem merevségi mátrixát, valamint a rúdvégekre redukált terhek vektorát a lokális és a globális koordináta rendszerben! ( A = 313.76 cm2 ; I = 7834.1 cm4 ; E = 21000 kN/cm2 ) A merevségi mátrix a lokális koordinátarendszerben: 0 0 − 10013 0 0⎤ ⎡ 10013 ⎢ 0 12 30 0 - 12 30 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 30 100 0 30 50 EI K= 3 ⎢ ⎥ 0 0 10013 0 0⎥ L ⎢− 10013 ⎢ 0 - 12 - 30 0 12 - 30⎥ ⎢ ⎥ 0 30 50 0 - 30 100 ⎥⎦ ⎢⎣ A transzformáló mátrix és inverze:

16

PMSTNB 260


0 0 0⎤ ⎡ 0,8 0,6 0 ⎢− 0,6 0,8 0 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥ T=⎢ ⎥ 0 0 0,8 0,6 0⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 − 0,6 0,8 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

⎡0,8 − 0,6 ⎢0,6 0,8 ⎢ ⎢ 0 0 TT = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0

0 0

0 0

0⎤ 0⎥ ⎥ 1 0 0 0⎥ ⎥ 0 0,8 − 0,6 0⎥ 0 0,6 0,8 0⎥ ⎥ 0 0 0 1 ⎥⎦

A K∗ = T T KT transzformáció után kapjuk a merevségi mátrixot a globális koordináta rendszerben:

⎡ 6412,6 ⎢ 4800,5 ⎢ - 18,0 EI ⎢ K∗ = 3 ⎢ L ⎢ - 6412,6 ⎢ - 4800,5 ⎢ - 18,0 ⎢⎣

4800,5 - 18,0 - 6412,6 3612,4 24,0 - 4800,5 24,0 100,0 18,0 - 4800,5 18,0 6412,6 - 3612,4 - 24,0 4800,5 24,00 50,0 18,0

- 4800,5 - 3612,4 - 24,0 4800,5 3612,4 - 24,0

- 18,0 ⎤ 24,0 ⎥⎥ 50,0 ⎥ ⎥. 18,0 ⎥ - 24,0 ⎥ ⎥ 100,0 ⎥⎦

X, q1∗ q3∗

q1

q2

q3

Z, q2∗

1

12 kN/m 3m

5m

q5

2 q6

q4

2.3 ábra: A rúdvégre redukált terhek transzformációja

Határozzuk meg a 2.3 ábra szerinti tartó rúdvégekre redukált tehervektorát az 1.29 képlet segítségével a lokális koordinátarendszerben, majd transzformáljuk a globális rendszerbe. 17

PMSTNB 260


⎡ q1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ q ⎥ ⎢− 30 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ q3 ⎥ ⎢ − 25⎥ q=⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢q4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ q5 ⎥ ⎢− 30 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ q6 ⎥⎦ ⎢⎣+ 25⎥⎦

⎡ q1∗ ⎤ ⎡ 18 ⎤ ⎢ ∗⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q2 ⎥ ⎢− 24⎥ ⎢ q∗ ⎥ ⎢ − 25⎥ ∗ ⇒ q = ⎢ 3∗ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢q4 ⎥ ⎢ 18 ⎥ ⎢ q∗ ⎥ ⎢− 24⎥ ⎢ 5∗ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ q6 ⎥⎦ ⎢⎣+ 25⎥⎦

ahol a globális koordinátarendszerbe történő transzformálást a 2.11 formula szerint végeztük el: ⎡0,8 − 0,6 ⎢0,6 0,8 ⎢ ⎢ 0 0 q∗ = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0

0 0

0 0

0⎤ ⎡ 0 ⎤ 0 ⎥ ⎢− 30⎥ ⎥⎢ ⎥ 1 0 0 0 ⎥ ⎢ − 25⎥ ⎥⎢ ⎥. 0 0,8 − 0,6 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 0,6 0,8 0 ⎥ ⎢− 30⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣+ 25⎥⎦

18

PMSTNB 260

3.


Gerendatartók végeselemes modellezése

3.1 Folytatólagos gerendatartók végeselemes modellezése A folytatólagos többtámaszú gerendatartók végeselemes modellezésén keresztül mutathatjuk be legegyszerűbben az elmozdulás módszeren alapuló egyensúlyi egyenletrendszer meghatározását. A gerenda állandó keresztmetszetű (IPE 200) acél tartó. A tartó elemekre bontása után meghatározzuk az elemi merevségi mátrixokat, s mivel a tartót a globális ( X, Z ) koordinátarendszerben adtuk meg, így ebben az esetben nincs szükség a koordináta transzformációra. Az elmozdulás vektorokat a globális rendszerben adjuk meg a 3.1 ábra szerinti pontokban: T

d1∗ = [w1

ϕ1 ]

T

T

T

ϕ2 ] d3∗ = [w3 ϕ3 ] d4∗ = [w4

d2∗ = [w2

ϕ4 ]

16 kN EI = állandó

3m

1

3m

6m

2 1. rúdelem

3 2. rúdelem

4 3. rúdelem

3.1 ábra: Folytatólagos gerendatartó végeselemes modellezése

Az elemi merevségi mátrixok jelen esetben az elmozdulás változókkal összhangban 4x4 elemet tartalmaznak. Az almátrixok jelölésekor alkalmazott alsó index az elem sorszámát jelöli, a felső index pedig, a kapcsolódó elmozdulás változókra vonatkozik. ⎡ k11 k12 ⎤ k1 = ⎢ 121 122 ⎥ ⎢⎣ k1 k1 ⎥⎦ ahol

⎡ k22 k23 ⎤ k2 = ⎢ 232 233 ⎥ ⎢⎣ k2 k2 ⎥⎦

18 − 12 18 ⎤ ⎡ 12 ⎢ ⎥ 36 − 18 18 ⎥ EI 18 k1 = 3 ⎢ , L1 ⎢ - 12 - 18 12 − 18 ⎥ ⎢ 18 18 − 18 36 ⎥⎦ ⎣

⎡ k33 k34 ⎤ k3 = ⎢ 343 344 ⎥ ⎢⎣ k3 k3 ⎥⎦ ,

18 − 12 18 ⎤ ⎡ 12 ⎢ ⎥ 36 − 18 18 ⎥ EI 18 k2 = 3 ⎢ , L2 ⎢ - 12 - 18 12 − 18 ⎥ ⎢ 18 18 − 18 36 ⎥⎦ ⎣ 19

PMSTNB 260


36 − 12 144 − 36 - 36 12

⎡ 12 ⎢ EI ⎢ 36 k3 = 3 L3 ⎢ - 12 ⎢ 36 ⎣

72 − 36

36 ⎤ ⎥ 72 ⎥ − 36 ⎥ 144 ⎥⎦

⎡ 12 ⎢ 0,125 EI ⎢ 36 k3 = ⎢ - 12 L31 ⎢ 36 ⎣

36 − 12 144 − 36 - 36 12

36 ⎤ ⎥ 72 ⎥ − 36 ⎥ 144 ⎥⎦

72 − 36

A gerendatartó globális merevségi mátrixát az elemi merevségi mátrixok kompilálásával határozzuk meg: ⎡ k11 ⎢ 121 k K = ⎢⎢ 1 0 ⎢ ⎢⎣ 0

k122

k112

+ k222 k232 0

0

k223 k233 + k333 k343

⎤ ⎥ 0 ⎥, 34 ⎥ k3 ⎥ k344 ⎥⎦ 0

A k1 , k2 , k3 elemi merevségi mátrixok behelyettesítésével kapjuk a 3.1 ábra

szerinti gerendatartó teljes merevségi mátrixát:

18 − 12 18 ⎡ 12 ⎢ 18 36 − 18 18 ⎢ ⎢− 12 − 18 24 0 ⎢ 18 0 72 EI 18 K= 3 ⎢ − 12 − 18 0 L1 ⎢ 0 ⎢ 0 18 18 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 ⎢ 0 0 0 ⎢⎣ 0

0 0 − 12 − 18 13,5 − 13,5 − 1,5 4,5

0

0

0 ⎤ 0 0 0 ⎥ ⎥ 18 0 0 ⎥ ⎥ 18 0 0 ⎥ − 13,5 − 1,5 4,5 ⎥ ⎥ − 4,5 54 9 ⎥ − 4,5 1,5 − 4,5⎥ ⎥ − 4,5 9 18 ⎥⎦

A külső támaszoknak megfelelően: w1 = 0; ϕ1 = 0; w3 = 0; w4 = 0 , nem változó, így az

elmozdulás vektor az alábbiak szerint négyeleműre redukálódik: dT = [w2

ϕ2

ϕ3 ϕ4 ] .

A megfelelő (1., 2., 5., és 7.) sorok és oszlopok törlésével a merevségi mátrix is 4x4 elemű lesz. A feladat megoldását jelentő egyenletrendszer a következő alakot ölti: 0,006 − 0,024 0,012 ⎤ ⎡16⎤ ⎡ 0,060 ⎡24 0 18 0 ⎤ ⎡w2 ⎤ ⎡16⎤ ⎡w2 ⎤ ⎢ 0 72 18 0 ⎥ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ϕ ⎥ 3 ⎢ 0,006 0,016 − 0,008 0,004 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ EI ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 2 ⎥ = L ⎢ . ⎢ ϕ3 ⎥ EI ⎢− 0,024 − 0,008 0,032 − 0,016⎥ ⎢ 0 ⎥ L3 ⎢ 18 18 54 9 ⎥ ⎢ ϕ3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ 0 9 18⎦ ⎣ϕ4 ⎦ ⎣ 0 ⎦ 0,004 − 0,016 0,063 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ϕ 4 ⎦ ⎣ 0,012 ⎣0

20

PMSTNB 260

A megoldás: d


[

T

= 6,3 ∗ 10

−3

0,63 ∗ 10

−3

− 2,52 ∗ 10

−3

1,26 ∗ 10

−3

] m, illetve radián.

3.3 Síkbeli és térbeli rácsos tartók megoldása az AXIS program segítségével Határozzuk meg 3.4 ábra szerinti acélszerkezetű rácsos tartó rúderőit az AXIS VM8 programmal. Vegyük fel az anyagjellemzőket és a rúdkeresztmetszeteket oly módon, hogy a tartó szilárdságtanilag megfeleljen.

RND28

8 D2 RN

RN D2 8

RND28

RND28

RND28

D2 8 RN

0.500

RND28

RND28

RND28

RN D2 8

0.500

RND28 -200.00

0.500

RND28

2.000

Y

X

3.4 ábra: Síkbeli rácsos tartó kezdeti geometria adatai Szabvány : MSz Eset : ST1

0.51 8

0 1.0

0

0.51 8

0.51 8

0

1.000

Y

0

1.0 0

0 1.0 1.0 0

0

1.000

8

0.5 1

1 0.5

8

0.51 8

1.000

X

3.5 ábra: Síkbeli rácsos tartó optimális geometria kialakítása

21

PMSTNB 260


8.220 5.140

8.265 9.250

10.000

10.000 Z

30.000

X

6

14

9

7 5 8

11

10

1

2

3

4

5.000

12

10.000

13

18 20

15 17

21

19

Y

16 X

15.000

15.000

3.6 ábra: Térbeli rácsos tartó geometria kialakítása

22

PMSTNB 260


4. Törtvonalú gerendatartók végeselemes modellezése. Az elmozdulás vektorokat a globális koordinátarendszerben adjuk meg a 4.1 ábra szerinti pontokban: T

d1∗ = [u1 w1

T

ϕ1 ] d2∗ = [u2 w2

T

T

ϕ2 ] d3∗ = [u3 w3 ϕ3 ] d4∗ = [u4

w4

ϕ4 ]

22 kN EI = állandó

1

2m

2

2m

3

4m

3m

1

4

2 1. rúdelem

3 2. rúdelem 3. rúdelem

4

4.1 ábra: Törtvonalú gerendatartó végeselemes modellezése

4.1 A merevségi mátrix előállítása Az elemi merevségi mátrixok előállítása formailag megegyezik az előző feladat esetén tárgyalt elemi merevségi mátrixok meghatározásával. Ferde helyzetű tartók esetén viszont transzponálnunk kell az elemi merevségi mátrixot a globális koordináta rendszerbe. Ennek következményeként, X, Y, Z tengely irányú elmozdulásokkal kell számolnunk, amit már az elemi merevségi mátrix felírásánál figyelembe kell venni. ⎡ k11 k12 ⎤ k1 = ⎢ 121 122 ⎥ ⎣⎢ k1 k1 ⎦⎥

⎡ k22 k23 ⎤ k2 = ⎢ 232 233 ⎥ ⎢⎣ k2 k2 ⎥⎦

⎡ k33 k34 ⎤ k3 = ⎢ 343 344 ⎥ ⎢⎣ k3 k3 ⎥⎦

23

PMSTNB 260


⎡ 1602 ⎢ ⎢ 0 EI ⎢ 0 k1 = 3 ⎢ L1 ⎢ − 1602 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ ⎡ 1602 ⎢ ⎢ 0 EI ⎢ 0 k2 = 3 ⎢ L1 ⎢ − 1602 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

0 0⎤ 0 0 − 1602 ⎥ − 12 12 ⎥ 0 12 12 − 12 0 8⎥ 12 16 ; 0 0⎥ 0 0 1602 ⎥ − 12 − 12 0 12 − 12 ⎥ ⎥ − 12 0 8⎦ 12 8 0 0 − 1602 0 0⎤ ⎥ 12 12 0 − 12 12 ⎥ 12 16 0 8⎥ − 12 ; 0 0 1602 0 0⎥ ⎥ 0 12 − 12 ⎥ − 12 − 12 ⎥ 12 8 0 8⎦ − 12

0 0 - 10013 0 0 ⎤ ⎡ 10013 ⎥ ⎢ 12 30 0 - 12 30 ⎥ ⎢ 0 30 100 0 - 30 50 ⎥ EI ⎢ 0 k3 = 3 ⎢ ; 0 0 10013 0 0⎥ L3 ⎢ - 10013 ⎥ ⎢ 0 - 12 - 30 0 12 - 30 ⎥ ⎥ ⎢ 30 50 0 - 30 100 ⎦ ⎣ 0 0 0 - 10013 0 0 ⎤ ⎡ 10013 ⎥ ⎢ 12 30 0 - 12 30 ⎥ ⎢ 0 30 100 0 - 30 50 ⎥ EI ⎢ 0 k3 = 0,064 3 ⎢ 0 0 10013 0 0⎥ L1 ⎢ - 10013 ⎥ ⎢ 0 - 12 - 30 0 12 - 30 ⎥ ⎥ ⎢ 30 50 0 - 30 100 ⎦ ⎣ 0 A transzformáló mátrix és inverze: 0 0 0⎤ ⎡ 0,8 0,6 0 ⎢− 0,6 0,8 0 0 0 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 0 1 0 0 0⎥ T=⎢ ⎥ 0 0 0,8 0,6 0⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 − 0,6 0,8 0⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

⎡0,8 − 0,6 ⎢0,6 0,8 ⎢ ⎢ 0 0 TT = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 0

0 0

0 0

0⎤ 0⎥ ⎥ 1 0 0 0⎥ ⎥ 0 0,8 − 0,6 0⎥ 0 0,6 0,8 0⎥ ⎥ 0 0 0 1 ⎥⎦ 24

PMSTNB 260

k3∗

Végeselemes modellezés T

= T k3 T

⎡ 410,41 ⎢ ⎢ 307,23 - 1,15 EI ⎢ k3∗ = 3 ⎢ L1 ⎢ - 410,41 ⎢ - 307,23 ⎢ - 1,15 ⎣⎢

307,23 231,19 1,54 - 307,23 - 231,19 1,54

- 1,15 - 410,41 1,54 - 307,23 6,40 1,15 1,15 410,41 - 1,54 307,23 3,20 1,15

- 307,23 - 231,19 - 1,54 307,23 231,19 - 1,54

- 1,15 ⎤ ⎥ 1,54 ⎥ 3,20 ⎥ 1,15 ⎥ ⎥ - 1,54 ⎥ ⎥ 6,40 ⎦⎥

4.2 Az egyenletrendszer felírása A törtvonalú gerendatartó globális merevségi mátrixát az elemi merevségi mátrixok kompilálásával határozzuk meg: ⎡ 11 ⎢ k1 ⎢ k21 K=⎢ 1 ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣

k112 k122 + k222 k232 0

0 k223

33

k233 + k ∗3 43

k ∗3

0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, 34 k∗3 ⎥ 44 ⎥ k ∗3 ⎥⎦

A külső támaszoknak megfelelően: u1 ; w1 = 0; ϕ1 = 0;

u4 ; w4 = 0 , így az elmozdulás

vektor az alábbiak szerint hételeműre redukálódik: dT = [u2 w2

ϕ2 u3 w3 ϕ3 ϕ4 ] .

A megfelelő (1., 2., 3.; 10.; 11.) sorok és oszlopok törlésével a merevségi mátrix is 7x7 elemű lesz. A feladat megoldását jelentő egyenletrendszer a következő alakot ölti: Ku = q 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ u2 ⎤ ⎡ 0 ⎤ − 1602 ⎡ 3204 ⎢ 0 24 0 0 12 0 ⎥⎥ ⎢w2 ⎥ ⎢⎢22⎥⎥ − 12 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 32 0 8 0 ⎥ ⎢ ϕ2 ⎥ ⎢ 0 ⎥ − 12 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2012,4 307,23 − 1,15 − 1,15⎥ ⎢ u3 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢− 1602 0 ⎢ 0 219 − 12 − 12 307,23 − 10,46 1,54 ⎥ ⎢w3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 1,15 − 10,46 22,40 3,20 ⎥ ⎢ ϕ3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 12 8 ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 − 1,15 1,54 3,20 6,40 ⎥⎦ ⎢⎣ϕ4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ A megoldást a merevségi mátrix inverzének előállításával az alábbi formában kapjuk:

25

PMSTNB 260 −1

u=K q

u

⇒

T

= 10

−4

[0,04


6,69 1,16 − 0,09 0,34 − 4,12 1,96] [m, rad].

4.3 Törtvonalú gerendatartók megoldása az AXIS program segítségével Határozzuk meg a 4.1 ábrán látható tartó igénybevételi és elmozdulási ábráit az AXIS VM8 programmal. Ellenőrizzük az elmozdulásokra kapott eredményeket.

-0.00041

0.00047

-0.00047

-0.00041

0.00020

0.00020

Z

X

4.2 ábra. A törtvonalú tartó elfordulás értékei [rad]

0.296

-0.667

-0.029

-0.029

Z

X

4.3 ábra. A törtvonalú tartó lehajlás értékei [mm]

26

PMSTNB 260


5. Síkbeli és térbeli rúdszerkezetek megoldása az AXIS program segítségével 5.1 Síkbeli rúdszerkezetek Határozzuk meg az 5.1 ábrán megadott síkbeli tartó igénybevételi ábráit csuklós csomóponti kialakítással, illetve az oszlopok és a rácsrudak teljesen merev és félmerev ( Sy = 1,9 * 10 4 kNm/rad ) kapcsolata esetén. A teher értéke 300 kN . A kiindulási

keresztmetszeti szelvény ROR 42,40*5,0. Határozzuk meg a keresztmetszeti értékeket oly módon, hogy a maximális csomóponti lehajlás értéke 5 cm, a maximális feszültség pedig, 20 kN/cm2 legyen!

7

3.330

5.330

5

4

3

5.000

2

5.000

12 11

6.000

6

1

8

9

10

5.000

Y

X

5.1 ábra. Síkbeli rúdszerkezet geometriai kialakítása

27

PMSTNB 260


-125.060

-138.490

-125.060

-87.663

-88.464

-87.663

-125.390

-145.680

-125.390

-88.464

Y

X

5.2 ábra. A rácsos tartó csomóponti elmozdulásai a deformált tartón [mm]

-125.050

-138.480

-125.050

-87.652

-88.452

-87.652

-125.380

-145.660

-125.380

-88.452

Y

X

5.3 ábra. A merev csomóponti kialakítású tartó elmozdulásai a deformált tartón [mm]

28

PMSTNB 260


5.2 Térbeli rúdszerkezetek megoldása az AXIS program segítségével Határozzuk meg az 5.4 és 5.5 ábrán megadott geometriájú acélszerkezetű térbeli tartó igénybevételeit és elmozdulásait három különböző csomóponti kialakítás esetén: 1. Csuklós csomóponti kialakítással térbeli rácsos tartó 2. Teljesen merev csomóponti kialakítással 3. A kupola belső tizenkétszögű lezáró része félmerev csomóponti kialakítással csatlakozzon a tartó alsó részéhez, míg a többi csomópont teljesen merev legyen! A csomóponti terhek az 5.5 ábra szerinti csomópontokban a következők: F1 = 60 kN ,

F2− 4 = F17 −19 = F29 −31 = F41− 42 = 30 kN , F6−12 = F20 −25 = F32−37 = F43− 47 = 10 kN A rudak

7.000

3.000

5.000

keresztmetszetei európai ROR szelvényből készülnek. A keresztmetszeti méreteket mindhárom esetben úgy határozzuk meg, hogy a szerkezet szilárdságtanilag megfeleljen. A szelvény kiindulási adata: ROR 44,50*2,6. Mindhárom esetben határozzuk meg a rúdelemek kihajlását! Ellenőrizzük a tartóelemeket az Euler-féle nyomófeszültségekre!

Z

X

5.4 ábra. Térbeli kupola oldalnézete

29

PMSTNB 260


3.470

43

1

7 2

41 30

33 34

47

46

35

36

13

32

31

45

49

6

29 42

44

8

5 3

17

14 12.500

4

18

20

6.011

6.250

19

21

Y

12 9

22

48

11

23

27

26

24

16

31.780

25

10

38

12.500

28

37 40

39

X

5.5 ábra. Térbeli kupola alaprajzi kialakítása Smax [kN/cm2 ] 24.50 19.69 14.87 10.06 5.24

31.780

3.470

-28.46 -33.27 -38.09 -42.90

12.500

6.011

6.250

12.500

0.43 -4.39 -9.20 -14.01 -18.83 -23.64

Y

X

5.6 ábra. A sarokmerev csomóponti kialakítású tartó feszültségei [ kN / cm2 ]

30

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés eZ [mm] 28.444 20.327 12.209 4.091 -4.026 -12.144 -20.262 -28.379 -36.497 -44.614 -52.732 -60.850 -68.967 -77.085

7.000

3.000

5.000

-85.203

Z

X

5.7 ábra. Térbeli rácsos kupola csomóponti eltolódásai az elmozdult tartón [mm] eZ [mm] 28.444

28.443

-85.203

-85.201

28.443

-85.201

-41.806

-85.203

-85.201

-85.203

28.443 7.878 Y

7.878

28.443

-44.614 -52.732 -60.850 -68.967 -77.085 -85.203

7.878 28.443 7.878

28.443 28.443

-36.497

28.443

-85.203 -85.201

-28.379

7.878

-85.203 -85.203

-85.203

7.878

-12.144 -20.262

31.780

3.470

7.878

-4.026

28.443

-85.203

28.443

6.011

6.250

7.878

4.091

7.878

12.500

28.443

20.327 12.209

12.500

7.878

28.443

7.878

7.878

X

5.8 ábra. Térbeli rácsos kupola csomóponti eltolódásai [mm]

31

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés eZ [mm] 27.112 19.222 11.332 3.443 -4.447 -12.337 -20.227 -28.116 -36.006 -43.896 -51.786 -59.675 -67.565 -75.455

-40.727

-83.345

27.111

27.111 27.111

7.000

27.111

3.000

5.000

27.111 27.111

Z

X

5.9 ábra. A sarokmerev csomóponti kialakítású tartó deformált alakja [mm] eZ [mm] 27.112 19.222

27.111 7.617 27.111 7.617

-83.344

-83.345 -83.344

-40.727

-83.345

7.617

-83.344

-83.345

27.111 7.617

27.111

-59.675 -67.565 -75.455 -83.345

7.617

-83.345 -83.344

-43.896 -51.786

27.111

-83.345

-83.345

27.111

7.617

-83.345

12.500

-83.345

-20.227 -28.116 -36.006

31.780

3.470 6.011

6.250

7.617

7.617

-4.447 -12.337

27.111

12.500

27.111

27.111

11.332 3.443

7.617

27.111 7.617

7.617 27.111 7.617 27.111

Y

X

5.10 ábra. A sarokmerev csomóponti kialakítású tartó csomóponti eltolódásai [mm]

32

PMSTNB 260


6. Síkbeli keretek végeselemes modellezése A 3. és 4. fejezetekben már foglakoztunk egyszerű gerendatartók és törtvonalú tartók végeselemes modellezésével. Síkbeli keretek esetén, hasonló módon járunk el. A keretet “véges elemekre” bontjuk, meghatározzuk az elemi merevségi mátrixokat, majd ezek kompilálásával előállítjuk a szerkezet globális koordináta-rendszerbéli merevségi mátrixát, illetve egyenletrendszerét.

6.1 Elmozdulás paraméterek a lokális és globális koordinátarendszerben A 6.1 ábrán látható kéttámaszú kereten keresztül mutatjuk be a síbeli keretek végeselemes modellezését. 18 kN

EI2 = 1,2 EI0 2

EI3 = 1,2 EI0 3

4

2m

2m

4m

EI1 = EI0

EI4 = 0,8 EI0

5

1 3

2 1

2. rúdelem

2

4 1

3. rúdelem

2 1

2

1. rúdelem

X

4. rúdelem

1 1

3m

Y

2 5

6.1 ábra. Síkbeli keret végeselemes felbontása

A 6.1 ábrán feltüntettük a tartó geometriáját, illetve a hajlítási merevségi arányokat. A nyúlási merevségek aránya: EA1 = EA2 = EA3 = 0,9 EA4 .

33

PMSTNB 260

Rúdelemek Elem végpontok a lokális koordináta rendszerben Elmozdulások a lokális koordináta rendszerben Elmozdulások a lokális koordináta rendszerben Lokális kódok Globális kódok a peremfeltételek nélkül Globális kódok a peremfeltételek mellett Elmozdulások a globális koordináta rendszerben Elem végpontok a globális koordináta rendszerben


1

2

3

4

1

2

1

2

1

2

1

2

u1 w1 ϕ1

u2 w2 ϕ2

u1 w1 ϕ1

u2 w2 ϕ2

u1 w1 ϕ1

u2 w2 ϕ2

u1 w1 ϕ1

u2 w2 ϕ2

d1 d2 d3

d4 d5 d6

d1 d2 d3

d4 d5 d6

d1 d2 d3

d4 d5 d6

d1 d2 d3

d4 d5 d6

123 123

456 123 456

456 123 789

456 123 10 11 12

456 13 14 15

001

234

567

8 9 10

0 0 11

d2 d3 d4

d5 d6 d7

d8 d9 d10

0 0 d11

2

3

4

5

0 0 d1

1

6.1 táblázat. Elmozdulás paraméterek a lokális és globális koordináta rendszerben

A 6.1 táblázat segítségével könnyen átlátható a lokális és globális koordináta rendszerekben megadott elmozdulások közötti kapcsolat. A táblázat nem csak az elmozdulás vektor meghatározásában, hanem a globális merevségi mátrix előállításában is segítségünkre lesz. A táblázatból “kiolvasható”, hogy az egyes elemek végpontjaiban mely elmozdulások lesznek azonosak. A szerkezet valós elmozdulása csak a globális rendszerben megadott elmozdulás paraméterekkel jellemezhető, ahol figyelembe vettük a támaszok hatását, mint peremfeltételeket.

6.2 A globális merevségi mátrix előállítása Az elemi merevségi mátrixok előállítása az első fejezetben tárgyalt módon az 1.24 szerint történik. Abban az esetben, amikor a lokális koordinátairányok nem egyeznek meg a globális koordináta tengelyekkel, akkor az elemi merevségi mátrixokat a globális koordináta rendszerbe kell transzponálnunk (lásd a 6.1 ábra szerinti 1. és 2. jelű rúdelemeket). A lokális koordináta rendszerben az elemi merevségi mátrixok az alábbiak:

34

PMSTNB 260


⎡ k 44 k 45 ⎤ ⎡ k 33 k34 ⎤ ⎡ k11 k12 ⎤ ⎡ k 22 k 23 ⎤ 3 3 1 1 2 2 k1 = ⎢ 21 22 ⎥ , k2 = ⎢ 32 33 ⎥ , k3 = ⎢ 43 44 ⎥ , k4 = ⎢ 454 455 ⎥ , ⎢⎣ k4 k4 ⎥⎦ ⎢⎣ k3 k3 ⎥⎦ ⎢⎣ k1 k1 ⎥⎦ ⎢⎣ k2 k2 ⎥⎦

(6.1)

ahol

kiii

0 0 ⎤ ⎡EAi / Li ⎢ 3 2⎥ 12EIi / Li 6EIi / Li ⎥ . =⎢ 0 ⎢⎣ 0 6EIi / L2i 4EIi / Li ⎥⎦

A globális koordináta rendszerbe transzformált elemi merevségi mátrixok az alábbiak: k1∗ = T1T k1 T1 ,

k2∗ = k2 ,

k3∗ = k3 ,

k4∗ = T4T k4 T4 ,

(6.2)

ahol 0 0 ⎡ cos αi sin αi 0 ⎢− sin α cos α 0 0 0 i i ⎢ ⎢ 0 0 1 0 0 Ti = ⎢ α αi 0 0 0 cos sin i ⎢ ⎢ 0 0 0 − sin αi cos αi ⎢ 0 0 0 0 0 ⎣⎢

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥. 0⎥ 0⎥ ⎥ 1 ⎦⎥

A kompilálást a 6.3 szerinti globális koordinátarendszerbe forgatott elemi mátrixok azonos felső indexű ki∗−ii1 + ki∗ii blokkmátrixainak összegzésével nyerjük. ⎡ k ∗44 k ∗45 ⎤ ⎡ k ∗33 k ∗34 ⎤ ⎡ k ∗22 k ∗23 ⎤ ⎡ k ∗11 k ∗12 ⎤ k1∗ = ⎢ 1∗21 1∗22 ⎥ , k2∗ = ⎢ 2∗32 2∗33 ⎥ , k3∗ = ⎢ 3∗43 3∗44 ⎥ , k4∗ = ⎢ 4∗54 4∗55 ⎥ , ⎢⎣ k4 k4 ⎥⎦ ⎢⎣ k3 k3 ⎥⎦ ⎢⎣ k2 k2 ⎥⎦ ⎢⎣ k1 k1 ⎥⎦

(6.3)

A peremfeltételek figyelembe vétele nélkül a teljes merevségi mátrix mérete 15x15 elemű, mint azt az előzőekben láttuk, illetve a 6.1 táblázatból kiolvasható. A teljes merevségi mátrixot az elemi mátrixok kompilálásával kapjuk a következő séma szerint, ahol a kitöltött • jel jelöli a zérustól különböző elemeket.

35

PMSTNB 260


⎡• ⎢• ⎢ ⎢• ⎢ ⎢• ⎢• ⎢ ⎢• ⎢ ⎢ K=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

• • • • • o o o o o o o o o⎤ • • • • • o o o o o o o o o⎥ ⎥ • • • • • o o o o o o o o o⎥ ⎥ • • • • • • • • o o o o o o⎥ • • • • • • • • o o o o o o⎥ ⎥ • • • • • • • • o o o o o o⎥ • • • • • • • • • o o o⎥ ⎥ • • • • • • • • • o o o⎥ • • • • • • • • • o o o⎥ ⎥ • • • • • • • • •⎥ • • • • • • • • •⎥⎥ • • • • • • • • •⎥ ⎥ • • • • • •⎥ • • • • • •⎥ ⎥ • • • • • •⎥⎦ .

(6.4)

A támaszok miatt a globális koordinátarendszerben felvett 1 és 5 jelű csomópontok eltolódásait megakadályoztuk, ezáltal a peremfeltételek figyelembevételével a merevségi mátrix 11x11 elemű lesz, amit az előző 6.4 mátrix első két sorának és oszlopának, valamint a 13. és 14. sorának és oszlopának törlésével kapunk.

⎡• • • • o o o o o o o ⎤ ⎢ • • • • • • o o o o⎥ ⎢ ⎥ • • • • • o o o o⎥ ⎢ ⎢ ⎥ • • • • o o o o⎥ ⎢ ⎢ • • • • • • o⎥ ⎢ ⎥ • • • • • o⎥ . K=⎢ ⎢ • • • • o⎥ ⎢ ⎥ • • • •⎥ ⎢ ⎢ • • •⎥ ⎢ ⎥ • •⎥ ⎢ ⎢ •⎥⎦ ⎣

(6.5)

36

PMSTNB 260


7. Síkbeli és térbeli keretek végeselemes megoldása az AXIS VM8 program segítségével 7.1 Síkbeli keretek. Merev és félmerev kialakítású oszlop-gerenda kapcsolatok Határozzuk meg a síkbeli keret igénybevételi ábráit teljesen merev és félmerev

( Sy = 1,9 * 10 4 kNm/rad )

oszlop-gerenda

kapcsolat

esetén.

Az

AXIS

VM8

2.400

-10.00

2.400

3.600

2.400

IPE360

HE260A

HE260A

-10.00

alkalmazásához megadjuk a szerkezet kiinduló adatait.

7.200

Z

X

5.1 ábra. Síkbeli keret geometriai adatai

37

-10.00

-10.00

10.52


10.52

PMSTNB 260

[2]

[3]

[1]

-13.48

10.52 -13.48

-10.52

Z

X

-0.00043 -0.00094

[2]

[1]

[3]

0.00094

0.00043

-10.00

-10.00

5.2 ábra. A nyomaték ábra teljesen merev oszlop-gerenda kapcsolat esetén

-0.00021

0.00021

Z

X

5.3 ábra. Elfordulások a deformált tartón

38

[2]

7.92

-10.00

-10.00


7.92

PMSTNB 260

7.92

[3]

[1]

-16.08

-7.92

Z

X

5.4 ábra. A nyomaték ábra félmerev oszlop-gerenda kapcsolat esetén

7.1 Térbeli keretek modellezése az AXIS VM8 program segítségével Határozzuk meg az 5.4 és 5.5 ábrán látható keretszerkezet igénybevételi ábráit

teljesen merev és félmerev ( Sy = 1,9 * 10 4 kNm/rad ) oszlop-gerenda kapcsolat esetén. Tervezze meg a csarnok lefedését és a hosszirányú merevítését!

39

PMSTNB 260


4.000

HE200A

HE200A

IPE240

Z

6.000

X

5.4 ábra. A keretszerkezet kiinduló adatai

2

Y

4.000 16

HE200A[9]

[5]

1

12

7

] [015 4 2 IPE

HE2 00A[3]

HE200A[4]

] [17 24 0 E IP 15

9

3

] 0[16 4 2 IPE 11

5

13

6.000

Z

HE200A[7]

[11]

HE200A [12]

[10] HE2 00A

] 0[13 4 2 IPE 14 IPE 24 0

] 0[18 4 2 IPE 10 IPE 24 0 [8]

IPE IPE2 40

IPE2 40 [ 2]

HE200A[6]

6

HE200A[1]

14] 24 0[

4

6.000 8

5.000

5.000

5.000

X

5.5 ábra. A keretszerkezet kiinduló adatai

40

PMSTNB 260


8. Tárcsák végeselemes modellezése 8.1 Alapegyenletek A 8.1 ábra szerinti belső metszeterők vektora:

[

ST = Sx

] [

]

Sxy = nx ny nxy .

Sy

(8.1)

Az elmozdulások vektora:

uT = [u v ].

y, v

ny dx

(8.2)

nyx dx

nxdy

dy

nxdy

nxy dy

nxy dy x, u nyx dx

ny dx dx 8.1 ábra

Az alakváltozások vektora:

[

εT = ε x

εy

]

γ xy .

(8.3)

Az anyagtörvény:

41

PMSTNB 260


⎡1 µ Eh ⎢ E= µ 1 1 − µ2 ⎢ ⎢⎣0 0

0

⎤ ⎥. 0 ⎥ (1 − µ ) / 2⎥⎦

(8.4)

A belső erők és az alakváltozások közötti összefüggést a 8.1 és 8.4 kifejezések alapján a tárcsákra vonatkozó Hooke-törvény adja:

S = Eε .

(8.5)

Az elmozdulások és az alakváltozások közötti kapcsolatot az alábbi kifejezésekkel jellemezzük:

εx =

∂v ∂u ∂v ∂u , εy = , γ xy = + . ∂x ∂y ∂y ∂x

(8.6)

Vezessük be az alábbi operátort: 0 ⎤ ⎡∂ / ∂x ⎥ ⎢ D=⎢ 0 ∂ / ∂y ⎥ , ⎢⎣ ∂ / ∂y ∂ / ∂x ⎥⎦

(8.7)

így az alakváltozási vektor mátrix alakban az alábbi formában írható 0 ⎤ ⎡∂ / ∂x ⎥ ⎡u⎤ ⎢ ε=⎢ 0 ∂ / ∂y ⎥ ⎢ ⎥ . v ⎢⎣ ∂ / ∂y ∂ / ∂x ⎥⎦ ⎣ ⎦

(8.7)

8.2 Háromszög elemek A tárcsák végeselemes modellezésének egyik lehetséges módja, hogy a felületet háromszög elemekre bontjuk. Az elmozdulás módszeren alapuló végeselemes modellezés első lépéseként közelítsük a 8.2 szerinti elmozdulásokat az alábbi polinomokkal: u(x, y) = a1 + a2x + a3 y ,

(8.8)

v(x, y) = a4 + a5x + a6 y ,

(8.9)

azaz mátrix alakban 42

PMSTNB 260


u = Xa ,

(8.10)

⎡ 1 x y 0 0 0⎤ X=⎢ ⎥. ⎣0 0 0 1 x y ⎦

(8.11)

ahol az együttható mátrix

y, v v2

u2 2

v1

1

u1

v3

3

u3 x, u

8.2 ábra: A háromszög tárcsaelem elmozdulás paraméterei

A 8.2 ábra szerinti háromszög “véges elem” csomóponti elmozdulásait az alábbi formában kapjuk:

d = Aa ,

ahol

dT = [u1

v1 u2

v2 u3 v3 ] = [d1 d2 d3 d4

(8.12)

d5

d6 ] ,

(8.13)

43

PMSTNB 260


⎡ 1 x1 ⎢0 0 ⎢ ⎢ 1 x2 A=⎢ ⎢0 0 ⎢ 1 x3 ⎢ ⎢⎣0 0

y1 0

0 0 1 x1

y2 0 0 0 1 x2 y3 0 0 0 1 x3

0⎤ y1 ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥. y2 ⎥ 0⎥ ⎥ y3 ⎥⎦

(8.14)

a = A −1d ,

ahol

A −1

0 ⎡xy23 ⎢y 0 ⎢ 23 0 1 ⎢ x32 = ⎢ xy23 2A ⎢ 0 ⎢ 0 y23 ⎢ x32 ⎢⎣ 0

(8.15)

xy31

0

x13

0

y31

0

0

xy31

0 0

y31

x13

xy12 y12

x21 0 0 0

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥, xy12 ⎥ y12 ⎥ ⎥ x21 ⎥⎦

(8.16)

és xyij = xiyj − xjyi , xij = xi − xj , yij = yi − yj , 2A = x21 y31 − x31 y21 . Az alakváltozások és a csomóponti elmozdulások közötti összefüggést a 8.6 alapján határozhatjuk meg:

ahol

ε = Du = DXa = DXA−1d = BA−1d ,

(8.17)

0 ⎤ ⎡∂ / ∂x ⎡0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎡ 1 x y 0 0 0⎤ ⎢ ⎢ ⎥ B=⎢ 0 ∂ / ∂y ⎥ ⎢ = ⎢0 0 0 0 0 1 ⎥⎥ . ⎥ 0 0 0 1 x y⎦ ⎢⎣ ∂ / ∂y ∂ / ∂x ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣0 0 1 0 1 0⎥⎦

(8.18)

8.3 Az egyensúlyi egyenletek Az egyensúlyi egyenletrendszer meghatározásához induljunk ki a potenciális energia függvényből: 44

PMSTNB 260


π=

1 T T T ∫ ε Eε dA − ∫ g udA − ∫ p udP , 2 (A) (A) ( P)

(8.19)

ahol g a tömegerők, p pedig a peremerők vektora. Az alakváltozásokra és a csomóponti elmozdulásokra vonatkozó 8.10, 8.12, illetve 8.15 kifejezések behelyettesítésével kapjuk: π=

( )T ⎛⎜⎜ ∫ BTE BdA ⎞⎟⎟(A−1 )d −

1 T −1 d A 2

⎝ (A)

⎠

ahol

T T ∫ g Nd dA − ∫ p NddP ,

(A)

( P)

(8.20)

N = XA−1 ,

(8.21) az alakfüggvények mátrixa. Az egyensúlyi egyenletrendszert a 8.17 alapján a teljes potenciális energia minimum tétele alapján írhatjuk fel:

∂π = 0 ⇒ Kd = q , ∂d

(8.22)

⎞ T⎛ K = A−1 ⎜ ∫ BT E BdA ⎟ A−1 , ⎜ (A) ⎟ ⎝ ⎠

( )

(8.23)

q = ∫ gT N dA + ∫ pT NdP .

8.24)

ahol

( ) (A)

(P)

45

PMSTNB 260


8.4 Tárcsa feladatok megoldása az AXIS program segítségével Határozzuk meg 8.3 ábra szerinti tárcsa feladat igénybevételeit! A tárcsa anyaga C16 beton. A terhek a 2-es és 38-as elem élén q2 = q38 = 66,67 kN/m , a 20-as és a 8-as

elemeken pedig q20 = q8 = 133,33 kN/m . A felvett vastagság v = 10 cm .

8.3 ábra: A tárcsa geometriai adatai Linear Analysis Code : MSZ -0.115 -0.392 Case : 1 E (W) : 1.65E-11 E (P) : 1.65E-11 E (Eq) : 2.02E-12 -0.116 -0.393 Comp. : eZ [mm]

-0.116

-0.115

-0.393

-0.392

-0.819

-0.819

-0.819

-0.819

-1.384

-1.384

-1.384

-1.384

-2.077

-2.077

-2.077

-2.077

-2.887

-2.887

-2.887

-2.887

-3.803

-3.803

-3.803

-3.803

-4.816

-4.816

-4.816

-4.816

-5.913

-5.913

-5.913

-5.913

-7.085

-7.085

-7.085

-7.085

Z

-8.322

-8.322

-8.322

-8.322

-9.611

-9.611

-9.611

-9.611

-10.943

-10.943

-10.943

-10.943

-12.307

-12.307

-12.307

-12.307

-13.692

-13.693

-13.693

-13.692

-15.097

-15.088

-15.088

-15.097

X

8.4 ábra: A tárcsa z tengely irányú eltolódásai [mm] Linear Analysis 0.342 Code : MSZ Case : 1 E (W) : 1.65E-11 E (P) : 1.65E-11 0.161 E (Eq) : 2.02E-12 Comp. : eX [mm]

Z

0.650

0.938

1.204

1.450

1.673

1.876

2.057

2.217

2.355

2.472

2.568

2.643

2.696

2.728

2.743

0.315

0.458

0.592

0.714

0.826

0.927

1.018

1.098

1.167

1.225

1.273

1.311

1.337

1.353

1.358

-0.161

-0.315

-0.458

-0.592

-0.714

-0.826

-0.927

-1.018

-1.098

-1.167

-1.225

-1.273

-1.311

-1.337

-1.353

-1.358

-0.342

-0.650

-0.938

-1.204

-1.450

-1.673

-1.876

-2.057

-2.217

-2.355

-2.472

-2.568

-2.643

-2.696

-2.728

-2.743

X

8.5 ábra: A tárcsa x tengely irányú eltolódásai [mm]

46

PMSTNB 260


9. Tárcsák végeselemes modellezése

A tárcsák végeselemes modellezésének egyik lehetséges módját, a felület háromszög elemekre való bontását, az előző fejezetben tárgyaltuk. A másik lehetőség a négyszög elemekre történő felbontás, amelynek pontossága a közelítő polinom méretének függvényében tovább javítható. 9.1 Négyszög elemek Közelítsük a 9.1 ábra szerinti u(x, y ) , v(x, y ) elmozdulásokat az alábbi polinomokkal: u(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4xy ,

(9.1)

v(x, y) = a5 + a6x + a7 y + a8xy ,

(9.2)

u = Xa ,

(9.3)

⎡ 1 x y xy 0 0 0 0 ⎤ X=⎢ ⎥. ⎣0 0 0 0 1 x y xy ⎦

(9.4)

azaz mátrix alakban

ahol az együttható mátrix

v1

v2 u1

1

u2

2

y, v b/2

x, u b/2 v4

v3

u4 4

u3

3 a /2

a /2

47

PMSTNB 260


9.1 ábra: A négyszög tárcsaelem elmozdulás paraméterei

A 9.1 ábra szerinti négyszög “véges elem” csomóponti elmozdulásait az alábbi formában kapjuk: d = Aa , ahol

dT = [u1

v1 u2

v2 u3 v3 u4

v4 ] = [d1 d2 d3 d4

⎡ 1 − a / 2 − b / 2 ab / 4 ⎢ 0 0 0 ⎢0 ⎢ 1 a / 2 − b / 2 − ab / 4 ⎢ 0 0 0 0 A=⎢ ⎢1 a / 2 b/2 ab / 4 ⎢ 0 0 0 ⎢0 ⎢ 1 − a / 2 b / 2 − ab / 4 ⎢ 0 0 0 ⎣⎢0

(9.5) d5

d6 d7

0 0 0 0 ⎤ ⎥ 1 − a / 2 − b / 2 ab / 4 ⎥ 0 0 0 ⎥ 0 ⎥ 1 a / 2 − b / 2 − ab / 4⎥ . 0 0 0 0 ⎥ ⎥ 1 a/2 b/2 ab / 4 ⎥ 0 0 0 0 ⎥ ⎥ 1 − a /2 b/2 ab / 4 ⎦⎥

d8 ] ,

(9.6)

(9.7)

A 9.5 egyenletrendszer megoldásával kapjuk az a vektor értékét: a = A −1d .

(9.8)

Az A együttható mátrix inverze egyszerű formában megadható, ha szeparáljuk a 9.5 egyenleteket ui , vi változók szerint. ⎡o A A=⎢ u ⎢0 ⎣ o

⎤ 0⎥ . o Av ⎥⎦

(9.9)

ahol ⎡1 − a / 2 − b / 2 ab / 4 ⎤ ⎢1 a / 2 − b / 2 − ab / 4 ⎥ o o ⎥. Au = Av = ⎢ ⎢1 a / 2 b/2 ab / 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 − a / 2 b / 2 − ab / 4 ⎦

o

(9.10)

o

Az Au és Av blokkmátrixok inverz mátrixa:

48

PMSTNB 260

Végeselemes modellezés o −1 Au

=

o −1 Av

1/2 1/2 1/2 ⎤ ⎡ 1/2 ⎥ ⎢ 1/ a 1/ a − 1/ a ⎥ 1 − 1/ a . = ⎢ 1/b 1/b ⎥ 2 ⎢− 1 / b − 1 / b ⎥ ⎢ ⎣2 / ab − 2 / ab 2 / ab − 2 / ab⎦

(9.11)

A 9.9 mátrix inverze: o −1

A

⎡ o −1 ⎤ 0 ⎥ Au ⎢ . = ⎢ o −1 ⎥ ⎢⎣ 0 Av ⎥⎦

(9.12)

A 9.12 alapján a 9.7 mátrix inverze:

A−1

⎡ 1/2 0 ⎢ ⎢− 1/ a 0 ⎢− 1/b 0 ⎢ 1 ⎢ 2 / ab 0 = ⎢ 2 0 1/2 ⎢ ⎢0 − 1/ a ⎢0 − 1/b ⎢ ⎢⎣ 0 2 / ab

1/2 0 1/ a 0 − 1/b 0 − 2 / ab 0 0 1/2 0 1/ a 0 − 1/b

0⎤ ⎥ 0⎥ 1/b 0 1/b 0⎥ ⎥ 2 / ab 0 − 2 / ab 0 ⎥ . 0 1/2 0 1/2 ⎥ ⎥ 0 1/ a 0 − 1/ a ⎥ 0 1/b 0 1/b ⎥ ⎥ 0 − 2 / ab 0 2 / ab 0 − 2 / ab ⎥⎦ 1/2 1/ a

0 0

1/2 − 1/ a

(9.13)

9.2 Az elemi merevségi mátrix Az elemi merevségi mátrix meghatározásakor ismét az alakváltozások és az elmozdulás paraméterek közötti összefüggésből indulunk ki. ε = Du = DXa = DXA−1d = BA −1d ,

(9.14)

ahol ebben az esetben 0 ⎤ ⎡∂ / ∂x ⎡0 1 0 y 0 0 0 0 ⎤ ⎡ 1 x y xy 0 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ B=⎢ 0 ∂ / ∂y ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢0 0 0 0 0 0 1 x ⎥ . (9.15) 0 0 0 0 1 x y xy ⎦ ⎢0 0 1 x 0 1 0 y ⎥ ⎢⎣ ∂ / ∂y ∂ / ∂x ⎥⎦ ⎣ ⎣ ⎦

49

PMSTNB 260


Az alakváltozások vektorát a 9.15 és 9.13 9.14-be történő behelyettesítésével kapjuk: ⎡d ⎤ ⎡2y − b 0 − 2y + b 0 2y + b 0 − 2y − b 0 ⎤⎢ 1 ⎥ 1 ⎢ ⎥ d − 2x − a 0 − 2x + a⎥ ⎢ 2 ⎥ ,(9.16) ε = ab ⎢ 0 2x − a 0 2x + a 0 ⎢d ⎥ 2 ⎢2x − a 2y − b − 2x − a − 2y + b 2x + a 2y + b − 2x + a − 2y − b ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦ d ⎣ 4⎦ ahol di i = 1,2,34 csomóponti elmozdulás paraméterek. Az egyensúlyi egyenletrendszert szokásos módon a teljes potenciális energia minimum tétele alapján határozzuk meg:

π=

1 εT Eε dA − ∫ gT udA − ∫ pT udP , ∫ 2 (A) (A) ( P)

(9.17)

ahol g a tömegerők, p pedig a peremerők vektora. Az egyensúlyi egyenletrendszert az alakváltozásokra vonatkozó 9.16 kifejezés 9.17be való behelyettesítésével kapjuk az alábbi módon: ∂π = 0 ⇒ Kd = q , ∂d

(9.18)

⎞ T⎛ K = A−1 ⎜ ∫ BT E BdA ⎟ A−1 , ⎜ (A) ⎟ ⎝ ⎠

(9.19)

ahol a merevségi mátrix

( )

( )

azaz a 9.16 kifejezés együttható mátrixa behelyettesítésével előállítható. A tehervektor 9.3, illetve 9.4 behelyettesítésével


9.20)

N = XA−1 .

(9.21)

(A)

ahol

(P)

50

PMSTNB 260


10. Tárcsák végeselemes modellezése A tárcsafeladatok végeselemes modellezésére két lehetséges közelítést mutattunk be 8. és 9. fejezetben, a háromszög, illetve négyszög elemekre történő felbontást. 10.1 Az elemi merevségi mátrix meghatározásának bemutatása egy adott példán keresztül A modell felépítésének főbb lépéseit egy mintapéldán keresztül mutatjuk be, amelyet Bojtár Imre –Gáspár Zsolt: “Végeselem módszer építőmérnököknek” című könyvéből vettünk át. A feladatot az x, y koordinátasíkban ábrázoltuk a csomópontokhoz rendelt elmozdulásokkal. A Poisson-tényező értéke 0,2. y, v

v3 3

7

u3

v1

3

1

u1

v2

u2 1

x, u

2 7

2

9

10.1 ábra: Tárcsa feladat háromszögelemmel

A merevségi mátrix meghatározását a 8.23 szerint végezzük: ⎞ T⎛ K = A−1 ⎜ ∫ BT E BdA ⎟ A−1 , ⎜ (A) ⎟ ⎝ ⎠

( )

( )

(10.1)

ahol most a síkbeli feszültség állapotra vonatkozó 8.4 szerinti kifejezés 51

PMSTNB 260


⎡ 1 0,2 ⎢ E= 0,2 1 2 ⎢ 1 − 0,2 ⎢⎣ 0 0 Eh

0

⎤ ⎥ 0 ⎥ (1 − 0,2)/ 2⎥⎦

(10.2)

Végezzük el 8.16 és 8.18 kifejezések alapján az alábbi mátrixszorzást:

BA −1

⎡xy23 ⎢y 23 ⎡0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎢ x 1 ⎢ ⎥ = 0 0 0 0 0 1 ⎥ ⎢ 32 0 2A ⎢ ⎢⎣0 0 1 0 1 0⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 0 0 xy23 y23 x32

xy31 y31 x13 0 0 0

0 0 0 xy31

xy12

y31 x13

y12 x21 0 0 0

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥, xy12 ⎥ y12 ⎥ ⎥ x21 ⎥⎦

(10.3)

és xyij = xiyj − xjyi , xij = xi − xj , yij = yi − yj , 2A = x21 y31 − x31 y21 . A megoldásként kapott kifejezésbe helyettesítsük be a csomóponti koordináták aktuális értékeit:

BA

−1

⎡ y23 1 ⎢ 0 = 2A ⎢ ⎢⎣x32

0 x32 y23

y31

0 x31

0 x13 y13

y12

0 x21

0 ⎤ 4 0 2 0⎤ ⎡− 6 0 1 ⎢ ⎥ ⎥ x21 ⎥ = 0 2 0 − 7 0 5 ⎥ , (10.4) 34 ⎢ ⎢⎣ 2 − 6 − 7 4 5 2 ⎥⎦ y12 ⎥⎦

amelyet a merevségi mátrix 8.23 szerinti kifejezésébe helyettesítve az alábbi megoldásra jutunk: − 7,2 − 29,6 11,6 −8 − 4,4 ⎤ ⎡ 37,6 ⎢ − 7,2 18,4 18,4 − 23,6 − 11,2 5,2 ⎥⎥ ⎢ ⎢− 29,6 18,4 −6 − 1,6 ⎥ 35,6 − 16,8 Eh K= ⎢ ⎥. 5,2 − 31,8⎥ 68 ⋅ 0,96 ⎢ 11,6 − 23,6 − 16,8 55,4 ⎢ −8 − 11,2 −6 5,2 14 6 ⎥ ⎢ ⎥ − 1,6 − 31,8 5,2 6 26,6 ⎥⎦ ⎢⎣ − 4,4

(10.5)

52

PMSTNB 260


10.2 A redukált terhek meghatározásának bemutatása egy adott példán keresztül A redukált terhek vektorának meghatározását szintén egy mintapéldán keresztül mutatjuk be, amelyet ugyancsak Bojtár Imre –Gáspár Zsolt: “Végeselem módszer építőmérnököknek” című könyvéből vettünk át. y, v

3 s s0 3m 45o

1

2

x, u

ps = 3 kN/m 4m

10.2 ábra: A tárcsaelem terhelése

A tehervektor meghatározása a külső potenciális energia (8.20) alapján a következő alakban keresendő:

q = ∫ p T NdP .

(10.6)

N = XA−1 ,

(10.7)

⎡ 1 x y 0 0 0⎤ X=⎢ ⎥. ⎣0 0 0 1 x y ⎦

(10.8)

( P)

ahol

53

PMSTNB 260


A −1

0 xy31 ⎡xy23 ⎢y 0 y31 ⎢ 23 0 x13 1 ⎢ x32 = ⎢ xy23 0 2A ⎢ 0 ⎢ 0 y23 0 ⎢ x32 0 ⎢⎣ 0

0 xy12 0 y12 0 x21 xy31 0 y31 0 x13 0

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥, xy12 ⎥ y12 ⎥ ⎥ x21 ⎥⎦

(10.9)

ahol xyij = xiyj − xjyi , xij = xi − xj , yij = yi − yj , 2A = x21 y31 − x31 y21 . A mátrix szorzás elvégzése után a bázis függvények az alábbi alakot öltik: ⎡N N=⎢ 1 ⎣0

ahol N1 = 1 −

0 N1

N2

0

0

N2

N3 0

0⎤ , N3 ⎥⎦

(10.10)

y x y x − , N2 = , N1 = . 4 3 4 3

A 10.2 ábra adatainak behelyettesítésével az x, y szerinti változókat s függvényeként írunk fel: 3 ⎛ s ⎞ 12 2 s ⎜1 − ⎟, x=y= − px = py = s0 = , ⎜ ⎟ s0 ⎠ 7 2 2⎝ A 10.6 kifejezésbe való behelyettesítés után az eredmény: ⎡1 − s − s ⎢ 4 2 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ s ⎢ s0 ⎢ 4 2 q= ∫ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ s ⎢ 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ qT =

⎤ ⎥ s s ⎥ ⎥ − 1− 4 2 3 2⎥ ⎥ 0 ⎥ 3 ⎛ s ⎞ ⎡− 1⎤ ⎜1 − ⎟ ⎢ ⎥ds , ⎥ ⎜ s s0 ⎟⎠ ⎣ 1 ⎦ ⎥ 2⎝ ⎥ 4 2 ⎥ 0 ⎥ ⎥ s ⎥ ⎥⎦ 3 2 0

1 [− 84 84 − 18 18 − 24 24]. 49

(10.11)

(10.12) 54

PMSTNB 260


11. Lemezek végeselemes modellezése 11.1 Alapfogalmak A tantárgy keretén belül csak a vékony lemezek végeselemes modellezésével fogunk foglalkozni, azaz síkbeli feszültségállapotot feltételezünk. A 11.1 ábrán x, y koordináta síkban adtuk meg az elemi tartóra ható metszeterőket. A vékonylemezek esetén az elmozdulások vektora csak egy elemet, a 11.1 ábra szerinti w(x, y) lehajlást tartalmazza: uT = [w(x, y)] .

(11.1)

y dx myx dx

dy

qxzdy mxy dy

my dx

my dx

qyz dx

mxdy

mxy dy

mxdy

qyz dx

qxzdy x

myx dx z, w 11.1 ábra: A lemezelem belső erői

11.2 Alakváltozások és belső erők vektora Az alakváltozások vektora: ⎡ ∂ 2w εT = −⎢ 2 ⎣⎢ ∂x Az anyagtörvény:

∂ 2w ∂y 2

⎡1 µ ⎢µ 1 E= 2 ⎢ 12(1 − µ ) ⎢ ⎣0 0 Eh3

∂ 2w ⎤ ⎥. ∂xy ⎦⎥

(11.2)

0 ⎤ ⎥. 0 ⎥ (1 − µ )/ 2⎥⎦

(11.3)

2

55

PMSTNB 260


A 11.1 ábra szerinti független belső erők vektora:

[

ST = Sx

Sy

] [

Sxy = mx

]

mxy .

my

(11.4)

A belső erők és az alakváltozások közötti összefüggés mátrix alakja: S = Eε ,

(11.5)

azaz mx = mY =

Eh3 wxx + µwyy , 12(1 − µ2 )

(

Eh3

12(1 − µ 2 )

mxy =

Eh3

)

(11.6)

(w yy + µwxx ) ,

(11.7)

(1 − µ )wxy .

(11.8)

12(1 − µ 2 )

11.3 Négyszög elemek Közelítsük a 11.1 ábra szerinti w (x, y ) lehajlás függvényt az alábbi 16 elemű kubikus polinommal: w(x, y) = a1 + a2x + a3y + a4 x2 + a5xy + a6 y2 + a7 x3 + a8x2 y + a9xy2 + a10 y3 + a11xy3 + a12x3 y + a13x2 y2 + a14 x2 y3 + a15x3 y2 + a16x3y3 ,

(11.9)

azaz mátrix alakban w = Xa ,

(11.10)

ahol

[

XT = 1 x y x2 xy y2 x3 x2 y xy2 y3 xy3 x3 y x2 y2 x2 y3 x3y2 x3 y3

]

(11.11)

56

PMSTNB 260


a = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 ] . (11.12) T

Az elmozdulás paraméterek vektora a közelítő függvénynek megfelelően a 11.2 ábra szerinti négyszögelem sarokpontjaiban felvett dT = [d1

d2 d3 d4 ] ,

(11.13)

ahol

[

]

diT = wi wxi wyi wxyi , i = 1,2,3,4 .

[

d4T = w4

wx 4

wy 4

wxy 4

]

[

d3T = w3

4

(11.14)

wx3

w y3

wxy3

]

3

b y

x

1

[

d1T = w1

wx1

wy1

wxy1

2

]

[

d2T = w2

wx2

wy2

wxy2

]

a

11.2 ábra: A lemezelem elmozdulás vektorai

Az elmozdulás paraméterek a szokásos módon megadhatók d = Aa ,

(11.15)

így a lehajlás függvényt az alábbi formában kapjuk: w = XA−1d .

(11.16)

57

PMSTNB 260


Az A együttható mátrix előállításához adjuk meg a lehajlás függvény x, y és xy szerinti deriváltjait: ∂w(x, y) = 0 + a2 + 0 + 2a4 x + a5 y + 0 + 3a7 x2 + 2a8xy + a9 y2 + ∂x

0 + a11 y3 + 3a12x2 y + 2a13xy2 + 2a14 xy3 + 3a15x2 y2 + 3a16x2 y3 ,

(11.17)

∂w(x, y) = 0 + 0 + a3 + 0 + a5x + 2a6 y + 0 + a8x2 + 2a9xy + ∂y

3a10 y2 + 3a11xy2 + a12x3 + 2a13x2 y + 3a14 x2 y2 + 2a15x3 y + 3a16x3y2 ,

(11.18)

∂w2 (x, y) = 0 + 0 + 0 + 0 + a5 + 0 + 0 + 2a8x + 2a9 y + ∂x∂y 0 + 3a11 y2 + 3a12x2 + 4a13xy + 6a14 xy2 + 6a15x2 y + 9a16x2 y2 ,

(11.19)

Az A együttható mátrix elemeit a 11.1 táblázat tartalmazza. Az A együttható mátrix inverzének elemeit a 11.2 táblázatban adtuk meg. 11.4 Az alakváltozások meghatározása Az alakváltozásokra vonatkozó 11.2 szerinti kifejezés 11.16 behelyettesítésével az alábbi alakot ölti: ε T = −DXA −1 d = −BA −1 d .

(11.20)

ahol ⎡0 0 0 2 0 0 6x 2y 0 0 0 6xy 2y 2 2y 3 6xy 2 6xy 3 ⎤ ⎢ ⎥ B = ⎢0 0 0 0 0 2 0 0 2x 6y 6xy 0 2x 2 2x 2 2x 3 6x 3 y ⎥ . ⎢0 0 0 0 2 0 0 4x 4 y 0 6y 2 6x 2 8xy 12xy 2 12x 2 y 18x 2 y 2 ⎥ ⎣ ⎦

(11.21)

58

PMSTNB 260 1 1


3

4

1

a

a2

a3

1

2a

3a

7

1

8 1

10

a

b

1

11

1

12

15 16

9

10

11

12

13

14

15

16

a2b2

a2b3

a3b2

a3b3

3

3a b

1

6

14

8

1

4

13

7

1

3

9

6

1

2

5

5

a

a2

a3

1

2a

3a

a2

ab

2a

b a

b2 2b

2

a2b

ab2

2 ab

b2

a2

2 ab

2a

2b

2

b

1

2

3b

ab3

a3b

b3

3a b

2 ab

3 ab

a3

2a b

3a b

2 2

2a b

2

3a

4 ab

6 ab

2

6a b

2

2

3b

2

2

2

2 ab

2 2

3a b

2 3

3

3a b

2

9a b

3 2

2 2

b 2

b3

b

2

2b

1

b3

2

3

b b

1

a3 3a

1 1

2

3b 2b

2

3b

11.1 táblázat: Az A mátrix elemei (az üresen hagyott helyek értéke zérus)

59

PMSTNB 260 1 1


3

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2 2 9/ a b

2 -3/ ab

2 3/ a b

1/ ab

3 2/ ab

2 2 3/ a b

2 -1/ ab

3 2 6/ a b

2 2 3/ a b

2/ a

-

-

-

1

2

4

-3/ a

5

1

6

2 -3/ b 3

2/ a

-2/ a

3/ a

1/ a

3

2/ a

2

2

-3/ b

3

2b

2

-1/ a

2 3/ b

1/ b

-2 b

2 2

b

2

6/ ab

14

-

2 3 6/ a b

3 -4/ ab

15

-

-

3 2

b

3 3

b

2 2

3/ a

b

2

2/ a

1/ b

3

1/ b

3 2/ a

b

1/ a

6/ a

b

-

2 2 3/ a b -4/ a

3

b

3 2

2/ a

2

3 -2/ a

b

2 -2/ ab 2

b

2 2

1/ a

2 2

9/ a

4/ ab

-2/ a

2 1/ b

-2 b -

2

-1/ b

2

2

12

4/ a

3/ a

3

2b

6/ a

2/ a -2/ b

3

9/ a

1/ a

-1/ b

2

2

11

13

-1/ a

2 3/ b

2 -3/ a

9

2

-2/ b

8

16

6

1

3

10

5

1

2

7

4

b

b

2 3 6/ a b 3 2

6/ a -

b

3 3

4/ a

b

2

3/ ab

3 -2/ ab -

2 2

3/ a

b

2 3

2/ a

b

2

-6/ a

b

2 2 3/ a b 4/ a -

3

b

3 2

2/ a

b

1/ a

2 -

2 2 9/ a b

2/ ab 2 -1/ ab 2

-2/ a

b

2 2

1/ a

b

2 3 6/ a b 3 2

6/ a -

b

3 3

4/ a

b

2 -6/ ab 3 4/ ab 2 2

3/ a -

b

2 3

2/ a

b

2 3/ a b -

2 2 3/ a b -2/ a

3

b

3 2

2/ a

b

2/ ab 2 -2/ ab 2

-1/ a

b

2 2

1/ a

b

-

2 3 6/ a b -

3 3

4/ a

b

2 3

2/ a

b

3

b

3 2 2/ a b

2 -1/ a b 2 2 1/ a b

11.2 táblázat: Az A −1 mátrix elemei (az üresen hagyott helyek értéke zérus)

60

PMSTNB 260 Végeselemes modellezés _____________________________________________________________________________

11.5 Az elemi tartó merevségi mátrixa és a tehervektor

A merevségi mátrix meghatározásánál most is ugyanúgy járunk el mint a tárcsák esetén, azaz a teljes potenciális energia függvény szélsőértékét keressük: π=

1 εT Eε dA − ∫ gT udA − ∫ pT udP , ∫ 2 (A) (A) ( P)

(11.22)

ahol g a tömegerők, p pedig a peremerők vektora. Az alapösszefüggések (11.1 – 11.21) kifejezéseinek behelyettesítésével a formailag a tárcsa feladatokéval megegyező, de tartalmilag eltérő összefüggést kapjuk: π=

( )T ⎛⎜⎜ ∫ BTE BdA⎞⎟⎟(A−1 )d −

1 T −1 d A 2

⎝ (A)

⎠

ahol

T T ∫ g Nd dA − ∫ p NddP ,

(A)

( P)

(11.23)

N = XA−1 ,

(11.24)

∂π = 0 ⇒ Kd = q , ∂d

(11.25)

⎞ T⎛ K = A−1 ⎜ ∫ BT E BdA ⎟ A−1 , ⎜ (A) ⎟ ⎝ ⎠

( )

(11.26)


(11.27)

az alakfüggvények mátrixa. Az egyensúlyi egyenletrendszert a 11.23 alapján a teljes potenciális energia minimum tétele alapján írhatjuk fel:

ahol

( ) (A)

(P)

A merevségi mátrix, illetve a tehervektor meghatározásához szükséges A −1 mátrix értékeit a 11.2 táblázat tartalmazza. 61


12. Lemezek végeselemes modellezése 12.1 A közelítés pontossága - további lemez modellek A lemezek végeselemes modellezésénél nem szabad figyelmen kívül hagynunk a lemezvastagság hatását. Az eddig tárgyalt vékony lemezek az ún. klasszikus KirchoffLove féle lemezmodellen alapulnak. Ha lemez befoglaló méretének és vastagságának befoglaló méretének aránya kisebb, mint tíz, akkor a lemezvastagság hatása számításainkban már nem hanyagolható el. A lemezvastagság hatását is követő lemezmodellt Reissner-Mindlin féle modellnek nevezzük. A lemezek végeselemes modellezésénél, azaz az alkalmazott végeselemes modell megválasztásánál szintén tekintettel kell lennünk a lemezvastagság hatására. Az előző fejezetben bemutatott 16 szabadságfokú konform négyszögelem mint említettük vékony lemezek esetén alkalmazható. Az ismertetésre kerülő további lemezelemeket, melyek ugyancsak a vékony lemezek modellezésére alkalmasak, Bojtár Imre –Gáspár Zsolt: “Végeselem módszer építőmérnököknek” című könyve alapján állítottuk össze. A vastag lemezek végeselemes modellezésre további lehetőségeket szintén Bojtár Imre –Gáspár Zsolt: “Végeselem módszer építőmérnököknek” című könyvében találhatnak a téma iránt érdeklődők. 12.2 Kilenc szabadságfokú nemkonform háromszögelem Közelítsük a 12.1 ábra szerinti w (x, y ) lehajlás függvényt az alábbi 9 elemű kubikus polinommal: w(x, y) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + + a6 x 3 + a7 x 2 y + a8 xy 2 + a9 y 3 ,

(12.1)

azaz mátrix alakban w = Xa ,

(12.2)

ahol

[

XT = 1

x

y

x 2 y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3

a T = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ] .

]

(12.3)

(12.4)

62


Az elmozdulás paraméterek vektora a közelítő függvénynek megfelelően a 11.2 ábra szerinti négyszögelem sarokpontjaiban felvett

d T = [d1

d2

d3 ] ,

(12.5)

[

w yi , i = 1,2,3 .

(12.6)

ahol

diT = wi

wxi

]

A 12.1 ábra, valamint a 12.5 és 12.6 formula alapján belátható, hogy ebben az esetben a csomóponti elmozdulások és a közelítő polinom mérete közt csak akkor teremthető meg a kapcsolat, ha a vegyes deriváltakat elhagyjuk.

y

3

w3 ∂w3 / ∂x

segéd pont

w1 ∂w1 / ∂x

∂w3 / ∂y

∂w1 / ∂y segéd pont

1

segéd pont

w2 ∂w2 / ∂x 2

∂w2 / ∂y

x

12.2 ábra: 9 szabadságfokú nemkonform lemezelem

A továbbiakban a merevségi mátrix és a tehervektor meghatározását az előző fejezethez hasonló módon végezzük.

63


12.3 Huszonegy szabadságfokú konform háromszögelem

A 21 szabadságfokú, a 12.2 ábra szerinti háromszögelem esetén közelítsük a w (x, y ) lehajlás függvényt az alábbi 21 elemű ötödfokú polinommal: w(x, y) = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 x 3 + a8 x 2 y + .......... + a18 x 3 y 2 + a19 x 2 y 3 + a20 xy 4 + a21 y 5 ,

(12.7)

w = Xa ,

(12.8)

azaz mátrix alakban

ahol

[

XT = 1

x

y

a T = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 ...... a20

y

∂ w1 / ∂x

(12.9)

a21 ] .

(12.10)

3

w1 ∂w1 / ∂x 2

]

x 2 xy y 2 x 3 x 2 y ...... xy 4 y 5

2

2

∂ w1 / ∂x∂y

w3 ∂w3 / ∂x

n

∂w1 / ∂y 2

∂ w1 / ∂y

∂2w3 / ∂x2

2

∂w3 / ∂y

∂2w3 / ∂x∂y

∂ 2w3 / ∂y2

6 5

1

n

4 ∂w / ∂n

w2 ∂w2 / ∂x

n 2

∂ 2w2 / ∂x2

∂w2 / ∂y ∂2w2 / ∂x∂y

∂ 2w2 / ∂y2 x

12.2 ábra: 21 szabadságfokú konform lemezelem

A 12.2 ábra szerinti deriváltak előállítása és behelyettesítése után a további lépések a korábbi fejezeteknek megfelelően történnek. 64


13.

Lemezfeladatok megoldása az AXIS program segítségével

Határozzuk meg a 4,00 x 6,00 m-es vasbeton lemez elmozdulásait és belső igénybevételeit! A lemezvastagság v = 12 cm , a beton minősége C20. A lemez baloldali pereme befogott, a jobboldali sarokpontokban csuklós támaszt alkalmaztunk.

0.011

4.000

-71.743

0.011 6.000

Y

X

13.1 ábra: A vasbeton lemez lehajlása wz [mm]

65


eZ [mm] 0.012 -5.119 -10.249 -15.380 -20.511 -25.641 -30.772 -35.903 -41.033 -46.164 -51.294 -56.425 -61.556 -66.686 -71.817

Y

X

13.2 ábra: A vasbeton lemez lehajlása wz [mm] – 2D szintfelület

mx [kNm/m] 58.28 51.68 45.07 38.46 31.85 25.25 18.64 12.03 5.42 -1.18 -7.79 -14.40 -21.01 -27.61 -34.22

Y

X

13.3 ábra: A vasbeton lemez x irányú nyomatéka mx [kNm/m] - 2D szintfelület

66


my [kNm/m] 9.43 6.74 4.05 1.36 -1.33 -4.02 -6.70 -9.39 -12.08 -14.77 -17.46 -20.15 -22.84 -25.53 -28.22

Y

X

13.4 ábra: A vasbeton lemez y irányú nyomatéka my [kNm/m] - 2D szintfelület

mxy [kNm/m] 22.98 19.70 16.41 13.13 9.85 6.57 3.28 0 -3.28 -6.56 -9.85 -13.13 -16.41 -19.69 -22.98

Y

X

13.5 ábra: A vasbeton lemez xy irányú nyomatéka mxy [kNm/m] - 2D szintfelület

67


m1 [kNm/m] 58.28 52.82 47.35 41.89 36.42 30.96 25.49 20.03 14.56 9.10 3.63 -1.83 -7.30 -12.77 -18.23

Y

X

13.6 ábra: A vasbeton lemez 1 főirányú nyomatéka m1 [kNm/m] - 2D szintfelület

m2 [kNm/m] 9.43 6.26 3.09 -0.08 -3.25 -6.42 -9.60 -12.77 -15.94 -19.11 -22.28 -25.45 -28.62 -31.79 -34.96

Y

X

13.7 ábra: A vasbeton lemez 2 főirányú nyomatéka m2 [kNm/m] - 2D szintfelület

68


mx [kNm/m] 60.00 52.33 44.67 37.01 29.35 21.69 14.03 6.37 -1.29 -8.95 -16.61 -24.27 -31.93 -39.59 -47.25

Y

X

13.8 ábra: A nyílással áttört lemez x irányú nyomatéka mx [kNm/m] - 2D szintfelület

my [kNm/m] 9.63 6.95 4.28 1.61 -1.07 -3.74 -6.41 -9.09 -11.76 -14.43 -17.11 -19.78 -22.45 -25.13 -27.80

Y

X

13.9 ábra: A nyílással áttört lemez y irányú nyomatéka my [kNm/m] - 2D szintfelület

69


14. Rugalmas ágyazású lemezek végeselemes modellezése Határozzuk meg a 14.1 ábrán található 7,00 x 11,00 m-es rugalmas ágyazású vasbeton lemez elmozdulásait és belső igénybevételeit! A lemezvastagság v = 12 cm , a beton minősége C20. A lemez pereme minden oldalon, szabadon elmozdulhat. A lemez felületén egyenletesen megoszló teher hat. A 14.1 ábrán megadott helyen koncentrált erőt működtettünk, amelynek a környezetében a háló felosztást sűrítettük.

7.000

2.163

3.226

Y

X

11.000

14.1 ábra: A rugalmas ágyazású vasbeton lemez háló generálása

70

PMSTNB 260 Végeselemes modellezés _____________________________________________________________________________ 3.226

eZ [mm]

-0.360 -0.523

2.163

-0.177

-0.177 -0.354 -0.530 -0.706 -0.882 -1.058 -1.235 -1.411 -1.587 -1.763 -1.939

-2.644

7.000

-2.115 -2.292 -2.468 -2.644

-0.491

-0.520

-0.487 -0.514

Y

-0.524 11.000

X

14.2 ábra: A vasbeton lemez lehajlása wz [mm] 3.226

mx [kNm/m] 2.19 -0.12 -2.44

2.163

-4.75 -7.06 -9.37 -11.69 -14.00 -16.31 -18.62 -20.94 -23.25 -25.56

7.000

-27.88 -30.19

Y

X

11.000

14.3 ábra: A rugalmas ágyazású lemez x irányú nyomatéka mx [kNm/m]

71

PMSTNB 260 Végeselemes modellezés _____________________________________________________________________________ 3.226

my [kNm/m] 2.17 -0.15 -2.46

2.163

-4.78 -7.09 -9.41 -11.72 -14.04 -16.35 -18.67 -20.98 -23.30 -25.61 -27.93

7.000

-30.24

Y

X

11.000

14.4 ábra: A rugalmas ágyazású lemez y irányú nyomatéka my [kNm/m]

Irodalomjegyzék 1. Bojtár Imre –Gáspár Zsolt, Végeselemmódszer építőmérnököknek, TERC Kft, Budapest, 2003 2. Cook, R. D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, second edition, John Wiley & Sons, 1974 3. Hinton, E. – Owen, D. R. J., Finite Element Programming, Academic Press, London, 1977 4. Kurutzné Kovács Márta, Tartók statikája, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2003 5. Thieme, D., Einfürung in die Finite Elemente Methode für Bauingenieure, Verlag für Bauwesen, Berlin, 1990 6. Rózsa Pál, Lineáris algebra és alkalmazásai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 7. Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, third edition, McGraw-Hill, 1977

72

PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építő mérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Recommend Documents